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高中数学直线的方程与性质基础知识及例题练习(含答案)

高中数学直线的方程与性质基础知识及例题练习（含答案）一、基础知识：（一）直线的要素与方程：1、倾斜角：若直线l 与x 轴相交，则以x 轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与l 重合所成的角称为直线l 的倾斜角，通常用,,,αβγ表示（1）若直线与x 轴平行（或重合），则倾斜角为0 （2）倾斜角的取值范围[)0,απ∈2、斜率：设直线的倾斜角为α，则α的正切值称为直线的斜率，记为tan k α= （1）当2πα=时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）（4）k 越大，直线越陡峭（5）斜率k 的求法：已知直线上任意两点()()1122,,,A x y B x y ，则2121y y k x x −=−，即直线的斜率是确定的，与所取的点无关。

3、截距：若直线l 与坐标轴分别交于()(),0,0,a b ，则称,a b 分别为直线l 的横截距，纵截距（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线4、直线方程的五种形式：首先在直角坐标系中确定一条直线有两种方法：一种是已知直线上一点与直线的方向（即斜率），另一种是已知两点（两点确定一条直线），直线方程的形式与这两种方法有关（1）一点一方向：① 点斜式：已知直线l 的斜率k ，直线上一点()00,P x y ，则直线l 的方程为：()00y y k x x −=−证明：设直线l 上任意一点(),Q x y ，根据斜率计算公式可得：0y y k x x −=−，所以直线上的每一点都应满足：()00y y k x x −=−，即为直线方程② 斜截式：已知直线l 的斜率k ，纵截距b ，则直线l 的方程为：y kx b =+证明：由纵截距为b 可得直线与y 轴交点为()0,b ，从而利用点斜式得：()0y b k x −=− 化简可得：y kx b =+ （2）两点确定一条直线：③ 两点式：已知直线l 上的两点()()1122,,,A x y B x y ，则直线l 的方程为：221212y y x x y y x x −−=−− ④ 截距式：若直线l 的横纵截距分别为(),0a b ab ≠，则直线l 的方程为：1x y a b+= 证明：从已知截距可得：直线上两点()(),0,0,a b ，所以00b bk a a−==−− ():01b x yl y b x bx ay ab a a b∴−=−−⇒+=⇒+= ⑤ 一般式：由前几类直线方程可知：直线方程通常由,x y 的一次项与常数项构成，所以可将直线的通式写为：0Ax By C ++=（,A B 不同时为0），此形式称为直线的一般式一般式方程的作用：可作为直线方程的最终结果可用于判定直线的平行垂直关系点到直线距离公式与平行线间距离公式需要用直线的一般式 5、五种直线形式所不能表示的直线：（1）点斜式，斜截式：与斜率相关，所以无法表示斜率不存在的直线（即竖直线）（2）截距式：① 截距不全的直线：水平线，竖直线 ② 截距为0的直线：过原点的直线6、求曲线（或直线）方程的方法：在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）（二）直线位置关系：1、在解析几何中直线的位置关系有三种：平行，相交（包含垂直），重合如果题目中提到“两条直线”，则不存在重合的情况，如果只是12,l l ，则要考虑重合的情况。

高中数学直线方程练习题

高中数学直线方程练习题．高中数学直线方程练习题一．选择题（共12小题）1．已知A（﹣2，﹣1），B（2，﹣3），过点P（1，5）的直线l与线段AB有交点，则l的斜率的范围是（）A．（﹣∞，﹣8] B．[2，+∞） C．（﹣∞，﹣8]∪[2，+∞） D．（﹣∞，∞）+8﹣）∪（2，2．已知点A（1，3），B（﹣2，﹣1）．若直线l：y=k（x﹣2）+1与线段AB相交，则k的取值范围是（）2]（﹣∞，﹣B．∪C．（﹣∞，﹣2]．[，+∞） D[﹣2，，]+∞）A． [3．已知点A （﹣1，1），B（2，﹣2），若直线l：x+my+m=0与线段AB（含端点））相交，则实数m的取值范围是（﹣，+∞） D．．（﹣∞，﹣2]∪[[A．∪（﹣∞，][2，+∞） B．﹣[，2] C2]，﹣4．已知M（1，2），N（4，3）直线l过点P（2，﹣1）且与线段MN相交，那么直线l的斜率k的取值范围是（）﹣]．（﹣∞，﹣3，2] B．[D﹣，] C．[∞）A．（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）+[∪，5．已知M（﹣2，﹣3），N（3，0），直线l过点（﹣1，2）且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）．．≥．D 或．k5 BAC，），P（﹣1，1）6．已知A（﹣2，若直线（），B2l，过点P且与线） AB有公共点，则直线l的倾斜角的范围是（段．． AB∪ C．．D7．已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2），若直线l过点P（1，1）与线段AB始终 2第26页（共页））的斜率k的取值范围是（没有交点，则直线l2k＜＞k2或kD＜ C．kA＜．k＜2．＞B．内一点，且O三点共线，为△ABC，8．已知，若B，O，D） t的值为（则．A．． B ． CD））两点的直线方程是（，9．经过（30），（0，44y+12=0 3x﹣A．3x+4y12=0D．4x+3y﹣C．4x﹣3y+12=0﹣12=0B．） 10．过点（3，﹣6）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（x+y+3=0A．2x+y=0 B．2x+y=0x+y+3=0或C．x﹣y+3=0 D．）．经过点M（1，1）且在两轴上截距相等的直线是（ 11x+y=1．A．x+y=2 B．C．x=1或y=1 Dx+y=2或x﹣y=0边上的中，G（41），则BC12．已知△ABC的顶点A（2，3），且三条中线交于点）点坐标为（），﹣3．（6，﹣6，﹣1） C．（53） D，A．（50） B．（小题）二．填空题（共4的值l，则实数a，若ax+3y+1=0，l：2x+（a+1）y+1=0l ∥13．已知直线l：2112．是．a= （和直线l：2x+5+a）y=8平行，则x+4y=514．直线l：（3+a）﹣3a21，∥l）x+3y+2m=0，当m= 时，ll15．设直线l：x+my+6=0和：（m﹣22112．l当m= 时，l⊥21互相1=0a+3）y﹣）2）y+4=0与直线（2﹣ax+（﹣）16．如果直线（2a+5x+（a． a的值等于垂直，则小题）11三．解答题（共始AB1）且与线段，﹣过点2，），直线lP（﹣12B），（．已知点17A11，（﹣． k的斜率的取值范围为 l终有交点，则直线第3页（共26页）．x+2y=6满足直线l：18．已知x，y（1）求原点O关于直线l的对称点P的坐标；的取值范围．，3]时，求2）当x∈[1（，），﹣1）、B（5A19．已知点（1，2的方程；l2，求直线B两点到直线l的距离都为（1）若A，（2）若A，B两点到直线l的距离都为m（m＞0），试根据m的取值讨论直线l存在的条数，不需写出直线方程．20．已知直线l的方程为2x+（1+m）y+2m=0，m∈R，点P的坐标为（﹣1，0）．（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；的距离的最大值．到直线l2）求点P（21．已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．；（Ⅰ）证明：直线恒过定点M（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B 两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．22．已知光线经过已知直线l：3x﹣y+7=0和l：2x+y+3=0的交点M，且射到x21轴上一点N（1，0）后被x 轴反射．（1）求点M关于x轴的对称点P的坐标；（2）求反射光线所在的直线l的方程．3的直线方程．l距离为（3）求与3y=3x+3l：23．已知直线求（1）点P（4，5）关于l的对称点坐标；对称的直线的方程．l2（2）直线y=x﹣关于24．已知点M（3，5），在直线l：x﹣2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小．25．已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l；x+y+1=0和l：x+y+6=021截得的线段之长为5，求直线l的方程．26．已知直线l：5x+2y+3=0，直线l′经过点P（2，1）且与l的夹角等于45，的一般方程．求直线l'27．已知点A（2，0），B（0，6），O为坐标原点．页（共4第26页）的面积；ABCACB=，求△）若点（1C在线段OB上，且∠（2）若原点O关于直线AB的对称点为D，延长BD到P，且|PD|=2|BD|，已知108=0经过点P﹣，求直线l的倾斜角．ax+10y+84L直线：第5页（共26页）高中数学直线方程练习题参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2016秋?滑县期末）已知A（﹣2，﹣1），B（2，﹣3），过点P（1，5）的直线l与线段AB有交点，则l的斜率的范围是（）A．（﹣∞，﹣8] B．[2，+∞） C．（﹣∞，﹣8]∪[2，+∞） D．（﹣∞，∞）+2﹣8）∪（，【分析】利用斜率计算公式与斜率的意义即可得出．=【解答】=﹣8，解：=2，kk=PAPB∵直线l与线段AB有交点，∴l的斜率的范围是k≤﹣8，或k≥2．．C故选：【点评】本题考查了斜率计算公式与斜率的意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．（2016秋?碑林区校级期末）已知点A（1，3），B（﹣2，﹣1）．若直线l：y=k （x﹣2）+1与线段AB相交，则k的取值范围是（），][﹣2+∞） D．2]+∞） B．（﹣∞，﹣C．（﹣∞，﹣2]∪，[A．[，【分析】由直线系方程求出直线l所过定点，由两点求斜率公式求得连接定点上点的斜率的最小值和最大值得答案．AB与线段【解答】解：∵直线l：y=k（x﹣2）+1过点P（2，1），的斜率最小，为）时直线l1上的点A（，3AB连接P与线段，．l的斜率最大，为1BP连接与线段AB上的点（﹣2，﹣）时直线．的取值范围是∴k．D故选：第6页（共26页）本题考查了直线的斜率，考查了直线系方程，是基础题．【点评】3．（2016秋?雅安期末）已知点A（﹣1，1），B（2，﹣2），若直线l：x+my+m=0与线段AB（含端点）相交，则实数m的取值范围是（）﹣，+∞） D．．（﹣∞，﹣2]∪[[A．﹣（﹣∞，]∪[2，+∞） B．，[2] C2]，﹣【分析】利用斜率计算公式、斜率与倾斜角的关系及其单调性即可得出．【解答】解：直线l：x+my+m=0经过定点P（0，﹣1），．==﹣==﹣2，kk PBPA∵直线l：x+my+m=0与线段AB（含端点）相交，，2≤≤﹣∴．∴．B故选：【点评】本题考查了斜率计算公式、斜率与倾斜角的关系及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．（2016秋?庄河市校级期末）已知M（1，2），N（4，3）直线l过点P（2，﹣1）且与线段MN相交，那么直线l的斜率k的取值范围是（）﹣]D．（﹣∞，，C．[﹣3+．（﹣∞，﹣3]∪[2，∞） B．[2] ﹣，] A∞）+[，∪【分析】画出图形，由题意得所求直线l的斜率k满足 k≥k 或 k ≤k，用PMPN直线的斜率公式求出k和k的值，解不等式求出直线l的斜率k的取值范围．PMPN解：如图所示：【解答】由题意得，所求直线l的斜率k满足 k ≥k 或 k≤k，PMPN≤=2，或3=﹣， k即 k≥，3，或2k≤﹣≥∴k页）26页（共7第．A故选：本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想．【点评】5．（2013秋?迎泽区校级月考）已知M（﹣2，﹣3），N（3，0），直线l过点（﹣1，2）且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）．．B ． CDAk．或≥5【分析】求出边界直线的斜率，作出图象，由直线的倾斜角和斜率的关系可得．，），2解：（如图象）即P（﹣1【解答】=5，PM的斜率k=由斜率公式可得1，直线PN的斜率k==2当直线l与x轴垂直（红色线）时记为l′，可知当直线介于l′和PM之间时，k≥5，≤﹣，之间时，k当直线介于l′和PN≤﹣，或kk的斜率k的取值范围是：≥5l故直线A故选第8页（共26页）本题考查直线的斜率公式，涉及数形结合的思想和直线的倾斜角与斜【点评】率的关系，属中档题．，A（﹣26．（2004秋?南通期末）已知）），B（2，），P（﹣1，1，若）的倾斜角的范围是（ P且与线段AB有公共点，则直线l过点直线l．A ．B∪D．C ．先求出直线的斜率的取值范围，再根据斜率与倾斜角的关系以及倾斜【分析】角的范围求出倾斜角的具体范围．α，直线的倾斜角为l的斜率等于k【解答】解：设直线==，或﹣﹣ k=由题意知，k=PAPB，tanα=k，，π）α∈设直线的倾斜角为α，则[0150°≤α＜180° 0°≤α≤120°或由图知．故选：D 269第页（共页）本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，直线的斜率公式的应用，属于【点评】基础题．始终）与线段AB（1，13，﹣2），若直线l过点P，7．已知点A（2，3）B（﹣）的斜率k的取值范围是（没有交点，则直线l2＜．k．k ＞D2k＜B．k＞2或k＜ CA．＜所在直线的斜率，数形结合得答案．PBPA，【分析】求出，）1（，1，﹣32），若直线l过点P，2【解答】解：点A（，3）B（﹣，的斜率是=2∵直线PA．的斜率是=直线PB如图，始终有公共点，ABl与线段∵直线的取值范围是（k∴斜率），2．．故选：A 2610第页（共页）本题考查了直线的倾斜角和直线的斜率，考查了数形结合的解题思想【点评】方法，是基础题．内一点，且为△，若ABC8．（2017?成都模拟）已知O，） t的值为（ B，O，D三点共线，则．C． DA．． B为，E与OF BC相交于点E【分析】以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接由=2，的中点．根BC点，O可得是直线=2AE的中点．BCOM∥的交点．过点O作D三点共线，可得点D是BO与AC，据，B，O的中点．即可得出．M为AC于点交ACM，则点，E BC相交于点OFOC为邻边作平行四边形OBFC，连接与【解答】解：以OB，的中点．为BCE，，∴∵=2=2的中点．AE∴点O是直线三点共线，D，∵O，，B的交点．ACBO与D∴点是的中点．AC，则点MM为交作过点OOM∥BCAC于点，，=BC则OM=EC= 2611第页（共页），∴MCDM=AM=ACAD=∴，t=．∴．B故选：【点评】本题考查了向量共线定理、向量三角形与平行四边形法则、平行线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（2016秋?沙坪坝区校级期中）经过（3，0），（0，4）两点的直线方程是（）12=0﹣A﹣12=0．3x+4y．4x﹣B．3x4y+12=0C．﹣3y+12=0D4x+3y直接利用直线的截距式方程求解即可．【分析】所以所求直线方程为：两点，4）），，（0，（【解答】解：因为直线经过3，0．﹣4x+3y12=0即．D故选【点评】本题考查直线截距式方程的求法，考查计算能力．10．（2016秋?平遥县校级期中）过点（3，﹣6）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（）x+y+3=0A．．2x+y=0 B2x+y=0或．y+3=0 Dx+y+3=0xC．﹣【分析】当直线过原点时，用点斜式求得直线方程．当直线不过原点时，设直线的方程为x+y=k，把点（3，﹣6）代入直线的方程可得k值，从而求得所求的直线方程，综合可得结论．页）26页（共12第．，即2x+y=0y=﹣2x【解答】解：当直线过原点时，方程为当直线不过原点时，设直线的方程为x+y=k，把点（3，﹣6）代入直线的方程可，﹣3得 k=故直线方程是 x+y+3=0．综上，所求的直线方程为x+y+3=0或2x+y=0，．D故选：【点评】本题考查用待定系数法求直线方程，体现了分类讨论的数学思想，注意当直线过原点时的情况，这是解题的易错点，属于基础题．11．（2015秋?运城期中）经过点M（1，1）且在两轴上截距相等的直线是（）A．x+y=2 B．x+y=1 C．x=1或y=1 D．x+y=2或x﹣y=0【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为x+y=a，把已知点坐标代入即可求出a的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把已知点的坐标代入即可求出k的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程．【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为，x+y=a把（1，1）代入所设的方程得：a=2，则所求直线的方程为x+y=2；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，．y=x）代入所求的方程得：k=1，则所求直线的方程为把（1，1．x﹣y=0综上，所求直线的方程为：x+y=2或．D故选：【点评】此题考查直线的一般方程和分类讨论的数学思想，要注意对截距为0和不为0分类讨论，是一道基础题．12．（2013春?泗县校级月考）已知△ABC的顶点A（2，3），且三条中线交于点G （4，1），则BC边上的中点坐标为（）A．（5，0） B．（6，﹣1） C．（5，﹣3） D．（6，﹣3）第13页（共26页）利用三角形三条中线的交点到对边的距离等于到所对顶点的距离的一【分析】半，用向量表示即可求得结果．；【解答】解：如图所示，，）4，13），三条中线交于点G（∵△ABC的顶点A（2，，则（=2，x，y）设BC边上的中点D，1）4，y﹣，1﹣3）=2（x﹣﹣∴（42，即，解得；0）D（5，即所求的坐标为．A故选：本题考查了利用三角形三条中线的交点性质求边的中点坐标问题，是【点评】基础题．小题）4二．填空题（共，若y+1=0a+1）2x+ax+3y+1=0，l：（l13．（2015?益阳校级模拟）已知直线：21．3 ﹣l，则实数a的值是∥l21【分析】根据l∥l，列出方程a（a+1）﹣2×3=0，求出a的值，讨论a是否21即可．l满足l∥21【解答】解：∵l∥l，21，）﹣a+12×3=0（∴a2，即a6=0+a﹣第14页（共26页）；a=2解得a=﹣3，或，a=﹣3时，l为：﹣3x+3y+1=0当1；l∥﹣2y+1=0，满足ll为：2x212，时，l2x+3y+1=0为：当a=21重合；与ll为：2x+3y+1=0，l221．的值是﹣3所以，实数a．3故答案为：﹣本题考查了两条直线平行，斜率相等，或者对应系数成比例的应用问【点评】题，是基础题目．）5+a（l：2x+2015．（秋?天津校级期末）直线l：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线1421．7 平行，则a= ﹣y=8﹣4×2=0，且5）3+a﹣（3a5+a≠）8．进【分析】根据两直线平行的条件可知，（的值．a而可求出【解答】解：直线l：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l：2x+（5+a）y=8平行，21则（3+a）（5+a）﹣4×2=0，2．+8a+7=0即a解得，a=﹣1或a=﹣7．又∵5﹣3a≠8，∴a≠﹣1．．a=﹣7∴．7故答案为：﹣【点评】本题考查两直线平行的条件，其中5﹣3a≠8是本题的易错点．属于基础题．15．（2015秋?台州期末）设直线l：x+my+6=0和l：（m﹣2）x+3y+2m=0，当m= 21m=⊥时， ll，当∥．l﹣1 时，l2121【分析】利用直线平行、垂直的性质求解．第15页（共26页），﹣2）x+3y+2m=0l：x+my+6=0和l：（m【解答】解：∵直线21，ll∥21≠，∴=；m=﹣1解得，）﹣2x+3y+2m=0x+my+6=0和l：（m∵直线l：21，⊥ll21，2）+3m=0∴1×（m﹣；解得m=．1，故答案为：﹣本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注【点评】意直线的位置关系的合理运用．）﹣a）y+4=0与直线（2a（2016春?信阳月考）如果直线（2a+5）x+（﹣2．16的值等于 a=2或a=﹣1=0a+3）y﹣互相垂直，则a2 ．x+（【分析】利用两条直线互相垂直的充要条件，得到关于a的方程可求．【解答】解：设直线（2a+5）x+（a﹣2）y+4=0为直线M；直线（2﹣a）x+（a+3）N为直线y﹣1=0①当直线M斜率不存在时，即直线M的倾斜角为90°，即a﹣2=0，a=2时，直线N的斜率为0，即直线M的倾斜角为0°，故：直线M与直线N互相垂直，所时两直线互相垂直．以a=2，k= 要使两直线互相垂直，②当直线M和N的斜率都存在时，k=（MN．2a=﹣即让两直线的斜率相乘为﹣1，故：③当直线N斜率不存在时，显然两直线不垂直．综上所述：a=2或a=﹣22a=a=2故答案为：或﹣【点评】本题考查两直线垂直的充要条件，若利用斜率之积等于﹣1，应注意斜率不存在的情况．第16页（共26页）小题）三．解答题（共11Pl过点（﹣2，2），直线，17．（2016秋?兴庆区校级期末）已知点A（11），B k始终有交点，则直线l的斜率k的取值范围为≤，﹣（﹣11）且与线段AB．1 ，或k≥﹣3【分析】由题意画出图形，数形结合得答案．【解答】解：如图，，），﹣1过点P（﹣1l1），B（﹣2，2），直线∵A（1，，又∴直线l的斜率k的取值范围为k≤﹣3，或k≥1．故答案为：k≤﹣3，或k≥1．【点评】本题考查直线的斜率，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．18．（2015春?乐清市校级期末）已知x，y满足直线l：x+2y=6．（1）求原点O关于直线l的对称点P的坐标；（的取值范围．2）当x∈[1，3]时，求【分析】（1）设对称后的点P（a，b），根据点的对称即可求原点O关于直线l的坐标．的对称点P（2）根据斜率公式可知，表示的为动点（x，y）到定点（2，1）的两点的斜率的取值范围．【解答】解：（1）设原点O关于直线l的对称点P的坐标为（a，b），则满足，解得a=，b=，故；第17页（共26页））的斜率的取值范围．，1C（∈[1，3]2时，的几何意义为到点（2）当x，y=，当x=3当x=1时，时，y=，，），），B（由可得A（13﹣，====，从而kk ACBC[，+k∞）的范围为（﹣∞，﹣]∪∴【点评】本试题主要是考查了直线的方程以及点关于直线对称点的坐标的求解和斜率几何意义的灵活运用．19．（2016秋?浦东新区校级月考）已知点A（1，2）、B（5，﹣1），（1）若A，B两点到直线l的距离都为2，求直线l的方程；（2）若A，B两点到直线l 的距离都为m（m＞0），试根据m的取值讨论直线l存在的条数，不需写出直线方程．【分析】（1）要分为两类来研究，一类是直线L与点A（1，2）和点B（5，﹣1）两点的连线平行，一类是线L过两点A（1，2）和点B（5，﹣1）中点，分类解出直线的方程即可；（2）根据A，B两点与直线l的位置关系以及m与两点间距离5的一半比较，得到满足条件的直线．|AB|=【解答】解：∵，＞=5，|AB|2∴A与B可能在直线l的同侧，也可能直线l过线段AB中点，第18页（共26页）x+b﹣l的方程为平行直线AB时：ky==，可设直线①当直线l AB，b=或b=依题意得：=2，解得：故直线l的方程为：3x+4y﹣1=0或3+4y﹣21=0；﹣=k的方程为y可设直线，），l②当直线l过线段AB中点时：AB的中点为（3）3x﹣（依题意得：，k==2，解得：；=0﹣的方程为：x﹣故直线l2y（2）A，B两点到直线l的距离都为m（m＞0），AB平行的直线，满足题意得一条，定有2经过AB中点的直线，若2m＜|AB|，则有2条；条；1若2m=|AB|，则有条，|AB|，则有0若2m＞，∵|AB|=5条直线符合题意；42.5时，有综上：当m＜当m=2.5时，有3条直线符合题意；条直线符合题意．2＞当m2.5时，有【点评】本题考查点到直线的距离公式，求解本题关键是掌握好点到直线的距离公式与中点坐标公式，对空间想像能力要求较高，考查了对题目条件分析转化的能力20．（2015秋?眉山校级期中）已知直线l的方程为2x+（1+m）y+2m=0，m∈R，点P的坐标为（﹣1，0）．（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；（2）求点P到直线l的距离的最大值．第19页（共26页），联立方程组=0，求2x+y+m（y+2）【分析】（1）把直线方程变形得，恒过的定点．l得方程组的解即为直线（2）设点P在直线l上的射影为点M，由题意可得|PM|≤|PQ|，再由两点间的距离公式求得点P到直线l的距离的最大值【解答】（1）证明：由2x+（1+m）y+2m=0，得2x+y+m（y+2）=0，∴直线l恒过直线2x+y=0与直线y+2=0的交点Q，，）1，﹣2解方程组，得Q（∴直线l恒过定点，且定点为Q（1，﹣2）．（2）解：设点P在直线l上的射影为点M，则|PM|≤|PQ|，垂直时，等号成立，PQl 与当且仅当直线=2．的长度，等于到直线l的距离的最大值即为线段PQ∴点P【点评】本题考查了直线系方程问题，考查了点到直线的距离公式，正确理解题意是关键，是中档题．（2010秋?常熟市期中）已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．（Ⅰ）21．证明：直线恒过定点M；（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．【分析】（Ⅰ）直线方程按m集项，方程恒成立，得到方程组，求出点的坐标，即可证明：直线恒过定点M；（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，说明直线的斜率小于0，设出斜率根据直线过的定点，写出直线方程，求出△AOB面积的表达式，利用基本不等式求出面积的最小值，即可得到面积最小值的直线的方程．【解答】（Ⅰ）证明：（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0化为（x﹣2y﹣3）m=﹣2x分）3．（4﹣y﹣得∴直线必过定点（﹣1，﹣2）．（6分）（Ⅱ）解：设直线的斜率为k（k ＜0），则其方程为y+2=k（x+1），第20页（共26页）分）8，（，OB=|k﹣∴2|OA=|﹣1|﹣2）||=（﹣1）（k|..（10分）S=﹣?OA?OB=|AOB△，00，∴﹣k＞∵k＜（﹣）+（﹣k）]=[4+∴S=[]﹣≥4．AOB△当且仅当﹣=﹣k，即k=﹣2时取等号．（13分）分）144，（∴△AOB的面积最小值是直线的方程为y+2=﹣2（x+1），即y+2x+4=0．（15分）【点评】本题是中档题，考查直线恒过定点的知识，三角形面积的最小值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力，转化思想的应用．22．（2016秋?枣阳市校级月考）已知光线经过已知直线l：3x﹣y+7=0和l：212x+y+3=0的交点M，且射到x轴上一点N（1，0）后被x轴反射．的坐标；轴的对称点P）求点M关于x（1的方程．l（2）求反射光线所在的直线3的直线方程．l距离为（3）求与3【分析】（1）联立方程组，求出M的坐标，从而求出P的坐标即可；（2）法一：求出直线的斜率，从而求出直线方程即可；法二：求出直线PN的方程，根据对称性求出直线方程即可；（3）设出与l平行的直线方程，根据平行线的距离公式求出即可．3得，（﹣21）．）由【解答】解：（1，∴M所以点M关于x轴的对称点P的坐标（﹣2，﹣1）．...（4分）．2）因为入射角等于反射角，所以∠1=∠（2180°﹣α.l的斜斜角为α，则直线直线，所MN的倾斜角为3．的斜率以直线l3的方程为：分）．即． (9)反射光线所在的直线l3解法二：第21页（共26页）．∠2因为入射角等于反射角，所以∠1=．3，∴∠2=∠根据对称性∠1=∠3所以反射光线所在的直线l的方程就是直线PN的方程．3，整理得：直线PN的方程为：．的方程为．…（l9分）故反射光线所在的直线3，（3）设与l平行的直线为3根据两平行线之间的距离公式得：b=3，，或，解得，或．…（所以与l13分）为：3【点评】本题考查了点对称、直线对称问题，考查求直线方程，是一道中档题．23．（2015秋?嘉峪关校级期末）已知直线l：y=3x+3求（1）点P（4，5）关于l的对称点坐标；对称的直线的方程．﹣2关于l（2）直线y=x【分析】（1）设点P（4，5）关于直线y=3x+3对称点P′的坐标为（m，n），得P′的坐标；的值，可得m、n到关于m，n的方程组，求得（2）求出交点坐标，在直线y=x ﹣2上任取点（2，0），得到对称点坐标，求出直线方程即可．【解答】解：（1）设点P（4，5）关于直线y=3x+3对称点P′的坐标为（m，n），，求得m=﹣2，n=7，故P′（﹣2，7则由）．，，解得：交点为（2）由，）2，0﹣在直线y=x2上任取点（，得到对称点为所以得到对称的直线方程为7x+y+22=0【点评】本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，利用了垂第22页（共26页）直、和中点在对称轴上这两个条件，属于中档题．24．（2014秋?宜秀区校级期中）已知点M（3，5），在直线l：x﹣2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小．【分析】本题实际是求点M关于l的对称点M，点M关于y轴的对称点M，求21的方程，MM得直线21与y轴交点为Q，与直线l：x﹣2y+2=0的交点为P．【解答】解：由点M（3，5）及直线l，可求得点M关于l的对称点M（5，1）．同1．）3，5关于y轴的对称点M（﹣样容易求得点M2据M及M两点可得到直线MM的方程为x+2y﹣7=0．2112．）得交点P，（，）．轴的交点Q（0与令x=0，得到MMy21解方程组x+2y﹣7=0，，﹣2y+2=0x）即为所求．0QP（（，，）、故点本题考查直线关于直线对称的问题，三角形的几何性质，是中档题．【点评】25．（2010?广东模拟）已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l；x+y+1=01和l：x+y+6=0截得的线段之长为5，求直线l的方程．2【分析】法一如图，若直线l的斜率不存在，直线l的斜率存在，利用点斜式方程，分别与l、l联立，求得两交点A、B的坐标（用k表示），再利用|AB|=521的方程．的值，从而求得kl可求出法二：求出平行线之间的距离，结合|AB|=5，设直线l与直线l的夹角为θ，1求出直线l的倾斜角为0°或90°，然后得到直线方程．就是用l、l之间的距21第23页（共26页）夹角的关系求解．l离及l与1法三：设直线l、l与l分别相交于A（x，y），B（x，y），211221则通过求出y﹣y，x﹣x的值确定直线l的斜率（或倾斜角），从而求得直线l2112的方程．【解答】解：解法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3，此时与l、l的交点分别为A′（3，﹣4）或B′（3，﹣9），21，符合题意．﹣4+9|=5截得的线段AB的长|AB|=|若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x﹣3）+1．得解方程组．，﹣A）（得解方程组．，﹣（）B．|AB|=5由222﹣+=5+．得（））（﹣．y=1解之，得k=0，直线方程为综上可知，所求l 的方程为x=3或y=1．d=之间的距离为解法二：由题意，直线l、=，l21，5AB的长为l、l所截得的线段且直线L被平行直线21，故θ，则=sinθ=θ=45°．l设直线与直线l 的夹角为1由直线l：x+y+1=0的倾斜角为135°，知直线l的倾斜角为0°或90°，1．y=1的方程为：x=3或）（3，1，故直线l又由直线l过点P解法三：设直线l与l、l分别相交A（x，y）、B（x，y），则x+y+1=0，x+y+6=0．2122112121．①）=5y）+（y﹣x两式相减，得（x﹣211222．②﹣yy）=25（）﹣x又（x+2121页）26页（共24第或联立①、②可得90°．0°或l的倾斜角分别为由上可知，直线．y=1x=3或故所求的直线方程为本题是中档题，考查直线与直线的位置关系，直线与直线所成的角，【点评】直线的点斜式方程，斜率是否存在是容易出错的地方，注意本题的三种方法．），1l′经过点P（2：26．（2009秋?重庆期末）已知直线l5x+2y+3=0，直线的一般方程．，求直线l'且与l的夹角等于45k′，通过直线的夹角公式求出直线的斜率，然设出直线l′的斜率为【分析】后求出直线的方程．k′，解：设直线l′的斜率为【解答】分）， (7)分），…（10分）1313=0；…（3x+7y3y﹣11=0和﹣直线l′：7x﹣本题是基础题，考查直线方程的求法，夹角公式的应用，注意夹角公【点评】式与到角公式的区别，考查计算能力．为坐标原点．O），6，02，），B（0A27．已知点（ACB=OB上，且∠在线段ABC，求△的面积；（1）若点C，已知|PD|=2|BD|PBD到，且DO（2）若原点关于直线AB的对称点为，延长的倾斜角．l经过点=0P，求直线﹣：直线Lax+10y+84108 2625第页（共页）【分析】（1）依据条件求出AC的斜率，可得点C的坐标，即得边长BC，点A的横坐标就是三角形的高，代入三角形的面积公式进行计算．（2）利用对称的特点，待定系数法求出原点O关于直线AB的对称点D的坐标，=2，由题意可得把相关向量的坐标代入，利用两个向量相等的条件求出点P的坐标，再把点P的坐标代入代入直线l的方程，求出a，即得直线l的斜率，的倾斜角．由斜率求直线lACB=OB上，且∠）∵点C在线段，故AC的【解答】解：（1，∴∠ACO=，倾斜角为1=b），由﹣1，设点C（0，AC 得 b=2，即点C（0，2），故的斜率为﹣．2=4×4，故△ABC的面积为× A BC=4，点到BC的距离为2+=1，即 3x+y的方程﹣6=0d，点P（c，），AB，，（2）设D（mn），D，得由（ m=，）n=，故，（﹣），﹣d），=，（﹣c=由题意知，，=2d=，，，∴﹣c=d=﹣﹣﹣，解得 c=108ax+10y+84P，﹣﹣（）代入直线l：P，﹣），把=0（，故 a=10108．，即得=0 得a?+10?+84﹣，故直线l的倾斜角为的斜率为∴直线l 120°．﹣=【点评】本题考查直线的倾斜角的定义，倾斜角与斜率的关系；点关于直线的对称点的坐标求法，两个向量相等时向量坐标间的关系．第26页（共26页）。

内蒙古准格尔旗世纪中学人教版高中数学必修二习题：3.2.3《直线的一般式方程》Word版含答案

《直线的一般式方程》习题一、选择题1、直线 xcos α +ysin α +1=0， α(0, ) 的倾斜角为2A αB- αC - αD+α222、直线 l 上一点 (-1 ， 2) ，倾斜角为 α ，且 tan1 ，则直线 l 的方程是22A 4 x +3y +10=0B 4 x -3 y -10=0C 4 x -3 y +10=0D 4x +3y -10=03、直线 y1ax的图象可能是ayyyyxooxxxABCD4、直线 l 过点 P (1 ， 3) ，且与 x ， y 轴正半轴围成的三角形的面积等于 6的直线方程 A 3 x +y -6=0 B x +3y -10=0 C 3 x - y =0Dx -3 y +8=05、直线 ax +by +c =0( ab ≠ 0) 在两坐标轴上的截距相等，则 a ， b ，c 知足的条件是A a =bB | a |=| b |C a =b 且 c =0 Dc =0或 c ≠0且 a =b6、假如直线与坐标轴围成的三角形面积为 3，且在 x 轴和 y 轴上的截距之和为 5，那么这样的直线共有( ) 条A 4B 3C 2D 1二、填空题1、在轴上的截距为 -6 ，且与 y 轴订交成 450角的直线方程是 _________；y2、直线 l 过点 P (-1 ，1) ，且与直线 l ’ :2 x - y +3=0及 x 轴围成底边在 x 轴上的等腰三角形，则直线的方程为 ________；3、直线 l 过点 (4，3)且在x 轴、 y 轴上的截距之比为 1： 2，则直线 l 的方程 _______；P4、斜率为 3/4 ，且与两坐标轴围成的三角形的周长为 12的直线的方程为 ________.三、解答题1、直线 mx +ny -1=0 的倾斜角是直线 2x - y +1=0的倾斜角的 2倍，与两坐标轴围成的三角形的面积等于 6，试求 m 和 n 的值2、过点P(2 ， 1) ，作直线l交x，y正半轴于 A，B两点，当 | P A| · | P B| 获得最小值时，求直线l 的方程答案一、 DCBADA二、 1、x- y-6=0 或x+y+6=0；2、 2x+y+1=0；3、 2x+y-11=0 ；4、 3x-4 y± 12=01 1m m三、 1、3或 31 1n n4 4 2、x+y-3=0。

高中数学直线的方程练习题及讲解

高中数学直线的方程练习题及讲解### 练习题1：点斜式方程题目：已知直线过点A(3,4)，且斜率为-2，求该直线的方程。

解答：根据点斜式方程 \( y - y_1 = m(x - x_1) \)，其中 \( m \) 是斜率，\( (x_1, y_1) \) 是已知点。

代入已知值：\( m = -2 \)，\( (x_1, y_1) = (3, 4) \)。

得到方程：\( y - 4 = -2(x - 3) \)。

### 练习题2：斜截式方程题目：若直线的斜率为3，且在y轴上的截距为-5，求该直线的方程。

解答：斜截式方程为 \( y = mx + b \)，其中 \( m \) 是斜率，\( b \) 是y轴截距。

代入已知值：\( m = 3 \)，\( b = -5 \)。

得到方程：\( y = 3x - 5 \)。

### 练习题3：两点式方程题目：求经过点B(-1,6)和点C(4,-1)的直线方程。

解答：两点式方程为 \( \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x -x_1}{x_2 - x_1} \)。

代入点B和点C的坐标：\( \frac{y - 6}{-1 - 6} = \frac{x - (-1)}{4 - (-1)} \)。

化简得到：\( 7(y - 6) = -5(x + 1) \)。

### 练习题4：截距式方程题目：若直线与x轴交于点(4,0)，与y轴交于点(0,-3)，求该直线的方程。

解答：截距式方程为 \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \)，其中 \( a \) 和 \( b \) 是x轴和y轴的截距。

代入截距：\( a = 4 \)，\( b = -3 \)。

得到方程：\( \frac{x}{4} - \frac{y}{3} = 1 \)。

### 练习题5：一般式方程题目：将直线方程 \( 3x + 4y - 12 = 0 \) 转换为斜截式。

高考数学专题《直线与直线方程》习题含答案解析

专题9.1 直线与直线方程1.（福建高考真题（文））“a=1”是“直线x+y =0和直线x-ay =0互相垂直”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】直线x +y =0和直线x −ay =0互相垂直的充要条件是1×(−a)+1×1=0，即a =1，故选C2．（2020·肥东县综合高中月考（文））点(),P x y 在直线40x y +-=上，O 是坐标原点，则OP 的最小值是（） A BC ．D 【答案】C 【解析】原点到直线40x y +-===故选C. 3．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线:1l y =-，则直线l （）． A ．过点)2-B C ．倾斜角为60° D ．在y 轴上的截距为1【答案】BC 【分析】根据直线斜截式方程的定义，依次判断，即得解【详解】点)2-的坐标不满足方程1y =-，故A 错误；根据斜截式的定义，直线l 的斜率tan k θ=60°，故B ，C 正确；由1y =-，知直线l 在y 轴上的截距为1-，故D 错误．故选：BC4．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线:10l x my m -+-=，则下列说法正确的是（）． A ．直线l 的斜率可以等于0练基础B ．若直线l 与y 轴的夹角为30°，则m =或m =C ．直线l 恒过点()2,1D ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则1m =或1m =- 【答案】BD 【分析】讨论0m =和0m ≠时直线的斜率和截距情况，判断AD 的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B 的正误；将方程化为()()110x m y ---=判断直线过定点，判断C 的正误. 【详解】当0m =时，直线:1l x =，斜率不存在，当0m ≠时，直线l 的斜率为1m，不可能等于0，故A 选项错误； ∵直线l 与y 轴的夹角角为30°，∴直线l 的倾斜角为60°或120°，而直线l 的斜率为1m，∴1tan 60m =︒=1tan120m =︒=m 或m =B 选项正确；直线l 的方程可化为()()110x m y ---=，所以直线l 过定点()1,1，故C 选项错误；当0m =时，直线:1l x =，在y 轴上的截距不存在，当0m ≠时，令0x =，得1m y m-=，令0y =，得1x m =-，令11m m m-=-，得1m =±，故D 选项正确．故选：BD ．5．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线l 的方程为20ax by +-=，则下列判断正确的是（）．A ．若0ab >，则直线l 的斜率小于0B ．若0b =，0a ≠，则直线l 的倾斜角为90°C ．直线l 可能经过坐标原点D ．若0a =，0b ≠，则直线l 的倾斜角为0° 【答案】ABD 【分析】根据直线方程与斜率，倾斜角的关系，依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于A 选项，若0ab >，则直线l 的斜率0ab-<，A 正确；对于B 选项，若0b =，0a ≠，则直线l 的方程为2x a=，其倾斜角为90°，B 正确；对于C 选项，将()0,0代入20ax by +-=中，显然不成立，C 错误；对于D 选项，若0a =，0b ≠，则直线l 的方程为2y b=，其倾斜角为0°，D 正确．故选：ABD ．6．（2021·全国高二课时练习）直线3240x y +-=的斜率为______，在x 轴上的截距为______. 【答案】32- 43【分析】将直线转化为斜截式即可得出斜率，令0y =可求出在x 轴上的截距. 【详解】由3240x y +-=，可得322y x =-+，故该直线的斜率32k =-.令0y =，得43x =，所以该直线在x 轴上的截距为43. 故答案为：32-；43.7．（2021·全国）已知直线1:1l y x =+，将直线1l 绕点()1,2按逆时针方向旋转45︒后，所得直线2l 的方程为_______，将直线1l 绕点()1,2按顺时针方向旋转45°后，所得直线3l 的方程为_______．【答案】1x = 2y = 【分析】根据斜率和倾斜角的关系得出直线2l 和直线3l 的斜率再求解其直线方程即可. 【详解】易知直线1l 的斜率为1，倾斜角为45︒，所以直线2l 的倾斜角为90︒，直线3l 的倾斜角为0︒，又因为直线2l 和直线3l 都经过点()1,2，所以直线2l 和直线3l 的方程分别为1x =，2y =．故答案为：1x =；2y =8．（2021·浙江衢州·高二期末）已知直线1l ：3480x y +-=和2l ：320x ay -+=，且12l l //，则实数a =__________，两直线1l 与2l 之间的距离为__________．【答案】-4； 2 【分析】根据两直线平行斜率相等求解参数即可；运用两平行线间的距离公式计算两直线之间的距离可得出答案. 【详解】解：直线1:3480l x y +-=和2:320l x ay -+=，12l l //， 334a -∴=，解得4a =-； ∴2:3420l x y ++= 两直线1l 与2l间的距离是：2d == .故答案为：4-；2.9.（2020·浙江开学考试）已知直线1l 的方程为3420x y --=，直线2l 的方程为6810x y --=，则直线1l 的斜率为___________，直线1l 与2l 的距离为___________. 【答案】34310【解析】直线1l 的方程为3420x y --=即为3142y x =-，斜率为34. 因为直线2l 的方程为6810x y --=即为13402x y --=，所以直线1l 与2l 平行，则直线1l 与2l310=.故答案为：34；31010．（2021·抚松县第一中学高二月考）已知A （1，0），B （﹣1，2），直线l ：2x ﹣ay ﹣a ＝0上存在点P ，满足|P A |+|PB |＝a 的取值范围是 ___________．【答案】2[,2]3-【分析】计算线段AB 的距离，得到点P 的轨迹，将点A ，B 分别代入2x ﹣ay ﹣a ＝0，得到a ，根据题意得到直线l 所过定点Ｃ，求出直线AC ,BC 的斜率，根结合直线l 与线段AB 始终有交点计算出a 的取值范围. 【详解】因为||AB ==||||PA PB += 由图可知，点P 的轨迹为线段AB ，将点A ，B 的坐标分别代入直线l 的方程，可得a ＝2，a ＝23-，由直线l 的方程可化为：2x ﹣a （y +1）＝0，所以直线l 过定点C （0，﹣1），画出图形，如图所示：因为直线AC 的斜率为k AC ＝1，直线BC 的斜率为k BC ＝2(1)10----＝﹣3，所以直线l 的斜率为k ＝2a ，令2123aa⎧≥⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，解得23-≤a ≤2，所以a 的取值范围是[23-，2]．故答案为：[23-，2]．1.（2021·绥德中学高一月考）已知0a >，0b >，直线220ax by -+=恒过点(2-，1)，则14a b+的最小值为（） A ．8 B ．9 C ．16 D ．18【答案】B 【分析】利用给定条件可得1a b +=，再借助“1”的妙用即可计算得解. 【详解】因直线220ax by -+=恒过点(2-，1)，则有2220a b --+=，即1a b +=，又0a >，0b >，则14144()()559b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b a a b =，即2b a =时取“=”，练提升由21b a a b =⎧⎨+=⎩得12,33a b ==，所以当12,33a b ==时，14a b+取得最小值9.故选：B2．（2019·四川高考模拟（文））已知点(3,0)P -在动直线(1)(3)0m x n y -+-=上的投影为点M ，若点3(2,)2N ，那么||MN 的最小值为（） A ．2 B ．32C ．1D ．12【答案】D 【解析】因为动直线()()130m x n y -+-=方程为，所以该直线过定点Q （1,3），所以动点M 在以PQ5,2= 圆心的坐标为3(1,)2-，所以点N3=，所以MN 的最小值为51322-=.故答案为：D 3．（2019·湖南衡阳市八中高三月考（文））已知直线的倾斜角为且过点，其中，则直线的方程为( )C.【答案】B 【解析】，，则直线方程为：故选4．（四川高考真题（文））设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线l θ1sin()22l 20y --=40y +-=0x -=360y 122sin πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭1cos 2θ∴=-2 3πθ=tan θ=1y x -=40y +-=B30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B 【解析】易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，令,PA PB θθ==，则)4PA PB πθθθ+=+=+.因为0,0PA PB ≥≥，所以02πθ≤≤.sin()14πθ≤+≤PA PB ≤+≤.选B. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.5.（2020·浙江）已知点(2,1)M -，直线l 过点M 且与直线210x y -+=平行，则直线l 的方程为____________；点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为_______________. 【答案】240x y -+= (0,1)- 【分析】根据所求直线与直线210x y -+=平行，设方程为()201x y n n -+=≠求解；设点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为(),M x y '，由112211022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩求解.【详解】因为所求直线与直线210x y -+=平行，所以设方程为()201x y n n -+=≠，因为直线过点(2,1)M -，代入直线方程解得4n =，所以所求直线方程为：240x y -+=；设点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为(),M x y '，则112211022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩，所以点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为()0.1-故答案为：240x y -+=，(0,1)-6．（2019·黑龙江鹤岗·月考（文））已知直线l 经过点()4,3P ，且与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，O 为坐标原点.（1）若点O 到直线l 的距离为4，求直线l 的方程；（2）求OAB ∆面积的最小值.【答案】（1）7241000x y +-=（2）24 【解析】（1）由题意可设直线l 的方程为()34y k x -=-，即430kx y k --+=，则4d ==，解得724k =-. 故直线l 的方程为774302424x y ⎛⎫---⨯-+= ⎪⎝⎭，即7241000x y +-=. （2）因为直线l 的方程为430kx y k --+=，所以34,0A k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()0,43B k -+，则OAB ∆的面积为()113194431624222S OA OB k k k k ⎛⎫⎛⎫=⋅=-+⨯-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由题意可知k 0<，则91624k k --≥=（当且仅当34k =-时，等号成立）.故OAB ∆面积的最小值为()12424242⨯+=. 7.（2021·抚松县第一中学高二月考）已知直线l 1：2x +y +3＝0，l 2：x ﹣2y ＝0．(1) 求直线l 1关于x 轴对称的直线l 3的方程，并求l 2与l 3的交点P ； (2)求过点P 且与原点O （0，0）距离等于2的直线m 的方程．【答案】(1)2x ﹣y +3＝0，P （﹣2，﹣1）；(2) 3x +4y +10＝0或x ＝﹣2. 【分析】(1)由对称关系求直线l 3的方程，联立l 2与l 3的方程，求点P 的坐标，(2)当直线m 的斜率存在时，设直线m 的点斜式方程，由点到直线距离公式列方程求斜率，由此可得直线m 的方程，再检验过点P 的斜率不存在的直线是否满足要求. 【详解】(1)由题意，直线l 3与直线l 1的倾斜角互补，从而它们的斜率互为相反数，且l 1与l 3必过x 轴上相同点3(,0)2-，∴直线l 3的方程为2x ﹣y +3＝0，由230,20,x y x y -+=⎧⎨-=⎩解得2,1.x y =-⎧⎨=-⎩∴P （﹣2，﹣1）．(2)当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y +1＝k （x +2），即kx ﹣y +2k ﹣1＝0，∴原点O （0，0）到直线m2=，解得34k =-，∴直线m 方程为3x +4y +10＝0，当直线m 的斜率不存在时，直线x ＝﹣2满足题意，综上直线m 的方程为3x +4y +10＝0或x ＝﹣2．8．（2021·宝山区·上海交大附中高一开学考试）如图，点(),4A m ，4,B n 在反比例函数()0ky k x=>的图象上，经过点A ､B 的直线与x 轴相交于点C ，与y 轴相交于点D .（1）若2m =，求n 的值；（2）求m n +的值；（3）连接OA ､OB ，若tan tan 1AOD BOC ∠+∠=，求直线AB 的函数关系式. 【答案】(1)2(2)0(3)2y x =+ 【分析】（1）先把A 点坐标代入()0k y k x =>求出k 的值得到反比例函数解析式为8y x=，然后把(4,)B n -代8y x=可求出n 的值；（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4m ＝k ，﹣4n ＝k ，然后把两式相减消去k 即可得到m +n 的值；（3）作AE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，如图，利用正切的定义得到tan ∠AOE 4AE mOE ==，tan 4BF n BOF OF -∠==，则144m n-+=，加上0m n +=，于是可解得2,2m n ==-，从而得到(2,4)A ，(4,2)B --，然后利用待定系数法求直线AB 的解析式．【详解】（1）当m ＝2，则A （2，4），把A （2，4）代入ky x=得k ＝2×4＝8，所以反比例函数解析式为8y x=，把(4,)B n -代入8y x=得﹣4n ＝8，解得n ＝﹣2；（2）因为点A （m ，4），B （﹣4，n ）在反比例函数()0ky k x=>的图象上，所以4m ＝k ，﹣4n ＝k ，所以4m +4n ＝0，即m +n ＝0；（3）作AE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，如图，在Rt △AOE 中，tan ∠AOE 4AE mOE ==，在Rt △BOF 中，tan 4BF nBOF OF -∠==，而tan ∠AOD +tan ∠BOC ＝1，所以144m n-+=，而m +n ＝0，解得m ＝2，n ＝﹣2，则A （2，4），B （﹣4，﹣2），设直线AB 的解析式为y ＝px +q ，把(2,4),(4,2)A B --代入得2442p q p q +=⎧⎨-+=-⎩，解得12p q =⎧⎨=⎩，所以直线AB 的解析式为y ＝x +2．9．（2021·全国高二课时练习）已知点()2,1P -. （1）求过点P 且与原点的距离为2的直线的方程.（2）是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1） 20x -=或34100x y --=；（2）不存在这样的直线；理由见解析．【分析】（1）分k 存在与不存在两种情况讨论，点斜式表示直线方程，利用点到直线距离公式即得解；（2）过点P 且与原点的距离最大的直线为过点P 且与OP 垂直的直线，分析即得解【详解】（1）①当直线的斜率不存在时，直线方程为2x =，符合题意． ②当直线的斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程为()12y k x +=-，即210kx y k ---=．2=，解得34k =，所以直线方程为34100x y --=．故所求直线方程为20x -=或34100x y --=．（2）不存在．理由如下：过点P 且与原点的距离最大的直线为过点P 且与OP 垂直的直线，OP =而6>10．（2021·全国高三专题练习）AOB 是等腰直角三角形，||AB =动直线l 过点(1,1)P 与AOB 的斜边、直角边分别交于不同的点M 、N （如图所示）.（1）设直线l 的斜率为k ，求k 的取值范围，并用k 表示M 的坐标；（2）试写出表示AMN 的面积S 的函数解析式()S k ，并求()S k 的最大值.【答案】（1）0k >，1,11kM k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭；（2）112(1)()012(1)k k k S k kk k ⎧⎪+⎪=⎨-⎪<<⎪+⎩，max 1()4S k =.【分析】(1)根据题意，结合图象即可得到k 的取值范围，再联立直线方程即可得到M 的坐标； (2) 由于l 绕P 点转动，则N 点可落在OA 上，也可落在OB 上，AMNS的计算不一样，所以必须对l 的斜率不同的取值范围进行分类讨论，表示出()S k ，结合函数单调性即可求解. 【详解】(1)由已知条件得(1,0)A 、(0,1)B ，0k >，设直线l 的方程为1y kx k =+-.由11x y y kx k+=⎧⎨=+-⎩，得1,11kM k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭. (2)当1k 时，点N 在直角边OA 上，1,0k N k -⎛⎫⎪⎝⎭， 1111()1212(1)k S k k k k k -⎛⎫=-⋅= ⎪++⎝⎭. 当01k <<时，点k 在直角边OB 上，(0,1)N k -，111()11(1)122212(1)k k S k k k k k =⨯⨯--⨯-⨯=++.∴112(1)()012(1)k k k S k k k k ⎧⎪+⎪=⎨-⎪<<⎪+⎩，当1k 时，()S k 递减，∴max 1()(1)4S k S ==，当01k <<时，11111()22(1)244S k k =-<-=+. 综上所述，当1k =时，max 1()4S k =.1.（上海高考真题（文））已知直线1l ：(3)(4)10k x k y -+-+=与2l ：2(3)230k x y --+=平行，则k 的值是（）. A ．1或3 B ．1或5C ．3或5D ．1或2【答案】C 【解析】由两直线平行得，当k-3=0时，两直线的方程分别为1y =- 和32y =，显然两直线平行．当练真题k-3≠0时，由()k 34k1/32k 32--=≠--，可得 k=5．综上，k 的值是 3或5，故选 C ．2．（2020·山东高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D 【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出sin 0θ<、cos 0θ>，即可得出结果. 【详解】结合图像易知，sin 0θ<，cos 0θ>，则角θ是第四象限角，故选：D.3．（2021·山东高考真题）如下图，直线l 的方程是（）A 0y -=B 20y -=C 310y --=D ．10x -=【答案】D 【分析】由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线l 与x 轴交点为()1,0求解. 【详解】由图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率tan 30k =︒=所以直线l 与x 轴的交点为()1,0，所以直线的点斜式方程可得l ：)01y x -=-，即10x -=．故选：D4．（2021·湖南高考真题）点(0,1)-到直线3410x y -+=的距离为（） A ．25B ．35C ．45D ．1【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】点(0,1)-到直线3410x y -+=的距离为515d ==，故选：D.5.（全国高考真题（理））已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（） A.（0，1） B.112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， C.113⎛⎤⎥ ⎝⎦， D.1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【答案】B 【解析】由题意可得，三角形ABC 的面积为12AB OC ⋅⋅=1，由于直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的交点为M （ba-，0），由直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，可得b ＞0，故ba-≤0，故点M 在射线OA 上．设直线y ＝ax +b 和BC 的交点为N ，则由1y ax b x y =+⎧⎨+=⎩可得点N 的坐标为（11b a -+，1a ba ++）．①若点M 和点A 重合，如图：则点N为线段BC的中点，故N（12，12），把A、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b13 =．②若点M在点O和点A之间，如图：此时b13＞，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于12，即1122NMB y⋅⋅=，即111212b a ba a+⎛⎫⨯+⋅=⎪+⎝⎭，可得a212bb=-＞0，求得b12＜，故有13＜b12＜．③若点M在点A的左侧，则b13＜，由点M的横坐标ba--＜1，求得b＞a．设直线y ＝ax +b 和AC 的交点为P ，则由 1y ax b y x =+⎧⎨=+⎩求得点P 的坐标为（11b a --，1a ba --），此时，由题意可得，三角形CPN 的面积等于12，即 12•（1﹣b ）•|x N ﹣x P |12=，即12（1﹣b ）•|1111b b a a ---+-|12=，化简可得2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|．由于此时 b ＞a ＞0，0＜a ＜1，∴2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|＝1﹣a 2 ．两边开方可得（1﹣b）=1，∴1﹣b ，化简可得 b ＞12-，故有1b 13＜．综上可得b 的取值范围应是1122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，故选：B ．6.（2011·安徽高考真题（理））在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号） ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点 ③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线【答案】①③⑤ 【解析】①令直线为：，则其不与坐标轴平行且不经过任何整点，①正确； ②令直线为：，②错误；③令直线为：，过两个不同的整点，则，两式作差得：即直线经过整点直线经过无穷多个整点，③正确；x y (,)x y k b y kx b =+l l y kx b =+k b l 12y x =+l y =-()2,0l y kx =()11,x y ()22,x y 112y kx y kx =⎧⎨=⎩()1212y y k x x -=-l ()1212,x x y y --∴l④令直线为：，则不过整点，④错误； ⑤令直线为：，则其只经过一个整点，⑤正确.本题正确结果：①③⑤l 1132y x =+ll y =()0,0。

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高中数学直线练习题一、选择题1.已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，则点N 的坐标是( )A.(－2，－1)B.(2,3)C.(2,1)D.(－2,1) 答案 B解析由题意知，直线MN 的方程为2x －y －1＝0.又∵点N 在直线x －y ＋1＝0上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，2x －y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3. 2.三点A (3,1)，B (－2，k )，C (8,11)在一条直线上，则k 的值为( )A.－8B.－9C.－6D.－7答案 B解析 ∵三点A (3,1)，B (－2，k )，C (8,11)在一条直线上，∴k AB ＝k AC ，∴k －1－2－3＝11－18－3，解得k ＝－9.故选B.3.若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋ny ＋5＝0相交于同一点，则点(m ，n )可能是( )A.(1，－3)B.(3，－1)C.(－3,1)D.(－1,3)考点两条直线的交点题点求两条直线的交点坐标答案 A解析由已知可得直线y ＝2x ，x ＋y ＝3的交点为(1,2)，此点也在直线mx ＋ny ＋5＝0上， ∴m ＋2n ＋5＝0，再将四个选项代入，只有A 满足此式.4.与直线l ：x －y ＋1＝0关于y 轴对称的直线的方程为( )A.x ＋y －1＝0B.x －y ＋1＝0C.x ＋y ＋1＝0D.x －y －1＝0 考点对称问题的求法题点直线关于直线的对称问题答案 A解析直线l ：x －y ＋1＝0与两坐标轴的交点分别为(－1,0)和(0,1)，因为这两点关于y 轴的对称点分别为(1,0)和(0,1)，所以直线l ：x －y ＋1＝0关于y 轴对称的直线方程为x ＋y －1＝0.5.已知A (2,3)，B (－4，a )，P (－3,1)，Q (－1,2)，若直线AB ∥PQ ，则a 的值为( )A.0B.1C.2D.3答案 A解析 ∵直线AB 的斜率k AB ＝3－a 6，直线PQ 的斜率k PQ ＝2－1－1－(－3)＝12，直线AB ∥PQ ，∴3－a 6＝12，解得a ＝0，故选A. 6.如果AB >0，BC >0，则直线Ax －By －C ＝0不经过的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限考点直线的一般式方程题点直线的一般式方程的概念答案 B解析直线Ax －By －C ＝0化成斜截式方程y ＝A B x －C B， ∵AB >0，BC >0，∴斜率大于0，纵截距小于0，∴直线不经过第二象限.7.已知点P (2，－3)，Q (3,2)，直线ax －y ＋2＝0与线段PQ 相交，则a 的取值范围是( )A.a ≥43B.a ≤－43C.－52≤a ≤0D.a ≤－43或a ≥12 考点直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系题点倾斜角、斜率的变化趋势及其应用答案 C解析直线ax －y ＋2＝0可化为y ＝ax ＋2，斜率k ＝a ，恒过定点A (0,2)，如图，直线与线段PQ 相交，则k AP ≤k ≤0，即－52≤a ≤0，故选C. 8.过点A (3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( )A.2条B.3条C.4条D.无数多条答案 B解析由题意知，直线的斜率存在，设所求直线的方程为y ＝k (x －3)－1.当y ＝0时，得横截距x ＝3＋1k；当x ＝0时，得纵截距y ＝－1－3k .由题意得⎪⎪⎪⎪3＋1k ＝|－1－3k |， ∴－1－3k ＝3＋1k 或－1－3k ＝－1k－3， ∴k ＝－1或k ＝－13或k ＝1， ∴所求直线有3条.故选B.二、填空题9.若直线l 的斜率是过点(1,6)，(－1,2)的直线的斜率的2倍，则直线l 的斜率为________. 答案 4解析过点(1,6)，(－1,2)的直线的斜率为6－21－(－1)＝2，∴l 的斜率为k ＝2×2＝4. 10.若无论m 为何值，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0恒过一定点P ，则点P 的坐标为________.答案 (3,1)解析特殊值法：令m ＝－1，得－x ＋3＝0；令m ＝0，得x ＋y －4＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1. 故点P 的坐标为(3,1).11.设直线l 经过点(－1,1)，则当点(2，－1)与直线l 的距离最远时，直线l 的方程为________. 答案 3x －2y ＋5＝0解析数形结合(图略)可知，当直线l 与过两点的直线垂直时，点(2，－1)与直线l 的距离最远，因此所求直线的方程为y －1＝－2－(－1)－1－1·(x ＋1)，即3x －2y ＋5＝0. 三、解答题12.已知直线l 的倾斜角为135°，且经过点P (1,1).(1)求直线l 的方程；(2)求点A (3,4)关于直线l 的对称点A ′的坐标.解 (1)∵k ＝tan 135°＝－1，∴由直线的点斜式方程得直线l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)设点A ′的坐标为(a ，b )，则根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧ b －4a －3×(－1)＝－1，a ＋32＋b ＋42－2＝0，故a ＝－2，b ＝－1.∴A ′的坐标为(－2，－1).13.在平面直角坐标系中，已知A (－1,2)，B (2,1)，C (1,0).(1)判定△ABC 的形状；(2)求过点A 且在x 轴和y 轴上的截距互为倒数的直线方程；(3)已知l 是过点A 的直线，点C 到直线l 的距离为2，求直线l 的方程.考点分类讨论思想的应用题点分类讨论思想的应用解 (1)k AC ＝－1，k BC ＝1，k AC ·k BC ＝－1，且|AC |≠|BC |，∴△ABC 为直角三角形.(2)设所求直线方程为x a＋ay ＝1(a ≠0)，则－1a ＋2a ＝1，即a ＝－12或a ＝1， ∴－2x －12y ＝1或x ＋y ＝1， ∴所求直线方程为－2x －12y ＝1或x ＋y ＝1，即4x ＋y ＋2＝0或x ＋y －1＝0. (3)①当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝－1，此时点C 到直线l 的距离为2，符合题意；②当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0，则点C 到直线l 的距离d ＝|2k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝0， ∴直线l 的方程为y －2＝0.综上可知，直线l 的方程为x ＋1＝0或y －2＝0.14.已知平面上一点M (5,0)，若直线上存在点P 使|PM |＝4，则称该直线为“切割型直线”.下列直线中是“切割型直线”的是( )①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝43x ；④y ＝2x ＋1. A.①③B.①④C.②③D.③④ 考点点到直线的距离题点与点到直线的距离有关的最值问题答案 C解析设点M 到下列4条直线的距离分别为d 1，d 2，d 3，d 4，对于①，d 1＝|5－0＋1|2＝32>4；对于②，d 2＝2<4；对于③，d 3＝|5×4－3×0|5＝4；对于④，d 4＝|5×2－0＋1|5＝115>4，所以符合条件的有②③.15.已知一束光线经过直线l 1：3x －y ＋7＝0和l 2：2x ＋y ＋3＝0的交点M ，且射到x 轴上一点N (1,0)后被x 轴反射.(1)求点M 关于x 轴的对称点P 的坐标；(2)求反射光线所在的直线l 3的方程.考点对称问题的求法题点关于对称的综合应用解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y ＋7＝0，2x ＋y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，∴M (－2,1). ∴点M 关于x 轴的对称点P 的坐标为(－2，－1).(2)易知l 3经过点P 与点N ， ∴l 3的方程为y －0－1－0＝x －1－2－1，即x －3y －1＝0.。

高中数学必修二习题：第3章直线与方程3.2.2 Word版含解析

第三章 3.2 3.2.2一、选择题1．直线x 2－y5＝1在x 轴、y 轴上的截距分别为( )A ．2,5B ．2，－5C ．－2，－5D ．－2,5[答案] B[解析] 将x 2－y 5＝1化成直线截距式的标准形式为x 2＋y －5＝1，故直线x 2－y5＝1在x 轴、y 轴上的截距分别为2、－5.2．已知点M (1，－2)、N (m,2)，若线段MN 的垂直平分线的方程是x2＋y ＝1，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1 [答案] C[解析] 由中点坐标公式，得线段MN 的中点是(1＋m 2，0)．又点(1＋m2，0)在线段MN的垂直平分线上，所以1＋m4＋0＝1，所以m ＝3，选C ．3．某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李，行李费用y (元)与行李质量x (kg)的关系如图所示，则旅客最多可免费携带行李的重量为( )A ．20 kgB ．25 kgC ．30 kgD ．80 kg [答案] C[解析] 由图知点A (60,6)、B (80,10)，由直线方程的两点式，得直线AB 的方程是y －610－6＝x －6080－60，即y ＝15x －6.依题意，令y ＝0，得x ＝30，即旅客最多可免费携带30千克行李．4．如右图所示，直线l 的截距式方程是x a ＋yb＝1，则有( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0[答案] B[解析] 很明显M (a,0)、N (0，b )，由图知M 在x 轴正半轴上，N 在y 轴负半轴上，则a >0，b <0.5．已知△ABC 三顶点A (1,2)、B (3,6)、C (5,2)，M 为AB 中点，N 为AC 中点，则中位线MN 所在直线方程为( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y ＋8＝0C ．2x ＋y －12＝0D ．2x －y －12＝0[答案] A[解析] 点M 的坐标为(2,4)，点N 的坐标为(3,2)，由两点式方程得y －24－2＝x －32－3，即2x＋y －8＝0.6．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为( )A ．－32B ．－23C ．25D ．2[答案] A[解析] 直线方程为y －91－9＝x －3－1－3，化为截距式为x －32＋y 3＝1，则在x 轴上的截距为－32.二、填空题7．已知点P (－1,2m －1)在经过M (2，－1)、N (－3,4)两点的直线上，则m ＝________[答案] 32[解析] 解法一：MN 的直线方程为：y ＋14＋1＝x －2－3－2，即x ＋y －1＝0，代入P (－1,2m －1)得m ＝32.解法二：M 、N 、P 三点共线， ∴4－(2m －1)－3＋1＝4－(－1)－3－2，解得m ＝32.8．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是________.[答案] 3x ＋2y －6＝0[解析] 设直线方程为x a ＋yb ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3a ＋b ＝5，解得a ＝2，b ＝3，则直线方程为x 2＋y3＝1，即3x ＋2y －6＝0. 三、解答题9．已知点A (－1,2)、B (3,4)，线段AB 的中点为M ，求过点M 且平行于直线x 4－y2＝1的直线l 的方程.[解析] 由题意得M (1,3)，直线x 4－y 2＝1的方程化为斜截式为y ＝12x －2，其斜率为12，所以直线l 的斜率为12.所以直线l 的方程是y －3＝12(x －1)，即x －2y ＋5＝0.10．求分别满足下列条件的直线l 的方程：(1)斜率是34，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6；(2)经过两点A (1,0)、B (m,1)；(3)经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等． [解析](1)设直线l 的方程为y ＝34x ＋b .令y ＝0，得x ＝－43b ，∴12|b ·(－43b )|＝6，b ＝±3. ∴直线l 的方程为y ＝43x ±3.(2)当m ≠1时，直线l 的方程是 y －01－0＝x －1m －1，即y ＝1m －1(x －1) 当m ＝1时，直线l 的方程是x ＝1. (3)设l 在x 轴、y 轴上的截距分别为a 、b . 当a ≠0，b ≠0时，l 的方程为x a ＋yb ＝1；∵直线过P (4，－3)，∴4a －3b ＝1.又∵|a |＝|b |，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a －3b ＝1a ＝±b，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7b ＝－7. 当a ＝b ＝0时，直线过原点且过(4，－3)， ∴l 的方程为y ＝－34x .综上所述，直线l 的方程为x ＋y ＝1或x 7＋y －7＝1或y ＝－34x .一、选择题1．如果直线l 过(－1，－1)、(2,5)两点，点(1 008，b )在直线l 上，那么b 的值为( )A ．2 014B ．2 015C ．2 016D ．2 017[答案] D[解析] 根据三点共线，得5－(－1)2－(－1)＝b －51 008－2，得b ＝2 017.2．两直线x m －y n ＝1与x n －ym＝1的图象可能是图中的哪一个( )[答案] B[解析] 直线x m －yn ＝1化为y ＝n m x －n ，直线x n －ym＝1化为 y ＝mnx －m ，故两直线的斜率同号，故选B ．3．已知A 、B 两点分别在两条互相垂直的直线y ＝2x 和x ＋ay ＝0上，且线段AB 的中点为P (0，10a)，则直线AB 的方程为( )A ．y ＝－34x ＋5B ．y ＝34x －5C ．y ＝34x ＋5D ．y ＝－34x －5[答案] C[解析] 依题意，a ＝2，P (0,5)．设A (x 0,2x 0)、B (－2y 0，y 0)，则由中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－2y 0＝02x 0＋y 0＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4y 0＝2，所以A (4,8)、B (－4,2)．由直线的两点式方程，得直线AB 的方程是y －82－8＝x －4－4－4，即y ＝34x ＋5，选C ．4．过P (4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条[答案] B[解析] 解法一：设直线方程为y ＋3＝k (x －4)(k ≠0)．令y ＝0得x ＝3＋4kk ，令x ＝0得y ＝－4k －3.由题意，3＋4k k ＝－4k －3，解得k ＝－34或k ＝－1.因而所求直线有两条，∴应选B ．解法二：当直线过原点时显然符合条件，当直线不过原点时，设直线在坐标轴上截距为(a,0)，(0，a )，a ≠0，则直线方程为x a ＋ya＝1，把点P (4，－3)的坐标代入方程得a ＝1.∴所求直线有两条，∴应选B ．二、填空题5．直线l 过点P (－1,2)，分别与x 、y 轴交于A 、B 两点，若P 为线段AB 的中点，则直线l 的方程为________.[答案] 2x －y ＋4＝0 [解析] 设A (x,0)、B (0，y )．由P (－1,2)为AB 的中点，∴⎩⎨⎧x ＋02＝－10＋y 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝4.由截距式得l 的方程为 x －2＋y4＝1，即2x －y ＋4＝0. 6．已知A (3,0)、B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________.[答案] 3[解析] 直线AB 的方程为x 3＋y4＝1，∴y ＝4－4x3，∴xy ＝x (4－43x )＝4x －43x 2＝－43(x 2－3x )＝－43[(x －32)2－94]＝－43(x －32)2＋3，∴当x ＝32时，xy 取最大值3.三、解答题7．△ABC 的三个顶点分别为A (0,4)、B (－2,6)、C (－8,0).(1)分别求边AC 和AB 所在直线的方程； (2)求AC 边上的中线BD 所在直线的方程； (3)求AC 边的中垂线所在直线的方程； (4)求AC 边上的高所在直线的方程； (5)求经过两边AB 和AC 的中点的直线方程．[解析] (1)由A (0,4)，C (－8,0)可得直线AC 的截距式方程为x －8＋y4＝1，即x －2y ＋8＝0.由A (0,4)，B (－2,6)可得直线AB 的两点式方程为y －46－4＝x －0－2－0，即x ＋y －4＝0.(2)设AC 边的中点为D (x ，y )，由中点坐标公式可得x ＝－4，y ＝2，所以直线BD 的两点式方程为y －62－6＝x ＋2－4＋2，即2x －y ＋10＝0.(3)由直线AC 的斜率为k AC ＝4－00＋8＝12，故AC 边的中垂线的斜率为k ＝－2.又AC 的中点D (－4,2)，所以AC 边的中垂线方程为y －2＝－2(x ＋4)，即2x ＋y ＋6＝0.(4)AC 边上的高线的斜率为－2，且过点B (－2,6)，所以其点斜式方程为y －6＝－2(x ＋2)，即2x ＋y －2＝0.(5)AB 的中点M (－1,5)，AC 的中点D (－4,2)， ∴直线DM 方程为y －25－2＝x －(－4)－1－(－4)，即x －y ＋6＝0.8．已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点，点M 在此抛物线上，点N 在y 轴上，以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，求点M 的坐标.[解析] 容易求得抛物线与x 轴的交点分别为(－3,0)、(1,0)不妨设A (－3,0)、B (1,0)，由已知，设M (a ，b )、N (0，n )，根据平行四边形两条对角线互相平分的性质，可得两条对角线的中点重合．按A 、B 、M 、N 两两连接的线段分别作为平行四边形的对角线进行分类，有以下三种情况：①若以AB 为对角线，可得a ＋0＝－3＋1，解得a ＝－2；②若以AN为对角线，可得a＋1＝－3＋0，解得a＝－4；③若以BN为对角线，可得a＋(－3)＝1＋0，解得a＝4.因为点M在抛物线上，将其横坐标的值分别代入抛物线的解析式，可得M(－2,3)或M(－4，－5)或M(4，－21)．。

高中数学3.2直线的方程练习试题(A)

3.2直线的方程(A)一、选择题1.经过点()2倾斜角是30的直线的方程是（）A.(2)3y x +=- B.2y x +=-C.23y x -=D.2y x -=+2.直线方程可表示成点斜式方程的条件是（）A.直线的斜率存在B.直线的斜率不存在C.直线不过原点D.不同于上述答案3、如果AC<0，且BC<0，那么直线0=++C By Ax 不通过（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4、下列命题中正确的是( )A. 经过点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0=k(x －x 0)表示B. 经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y=kx ＋b 表示．C. 经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)， P 2(x 2，y 2)的直线都可用方程(x 2－x 1)(y －y 1)=(y 2－y 1)(x －x 1)表示．D. 不经过原点的直线都可以用方程a x ＋by =1表示． 5.直线Ax+By+C=0通过第一、二、三象限，则（）(A) A ·B>0，A ·C>0 (B) A ·B>0，A ·C<0(C) A ·B<0，A ·C>0 (D) A ·B<0，A ·C<06. 过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（A ）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D ）x+2y-1=0二、填空题7.在直线方程y =kx +b 中，当x ∈[－3,4]时，y ∈[－8,13]，则此直线的方程是_____ _____．8.直线x-2y+b=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么b 的取值范围是_________.9. 若直线l 在x 轴上的截距4-时，倾斜角的余弦值是35-，则直线l 的点斜式方程是___________；直线l 的斜截式方程是___________；直线l 的一般式方程是___________三、解答题10.已知直线y=kx ＋k ＋2与以A(0，－3)、B(3，0)为端点的线段相交，求实数k 的取值范围.11. 设△ABC的顶点A(1，3)，边AB、AC上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1=0，y=1，求△ABC中AB、AC各边所在直线的方程.12. 求与两坐标轴正向围成面积为2平方单位的三角形，并且两截距之差为3的直线的方程.13. 已知△ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点.（1）求AB边所在的直线方程；（2）求中线AM的长；（3）求AB边的高所在直线方程.14. 若一直线被直线4x+y+6=0和3x-5y-6=0截得的线段的中点恰好在坐标原点，求这条直线的方程.3.2直线的方程(B)一、选择题1.已知直线方程34)y x -=-，则这条直线经过的已知点，倾斜角分别是（）A.（4，3）；3πB.（－3，－4）；6π C.（4，3）；6π D.（－4，－3）；3π 2.以(1,3)A ，(5,1)B -为端点的线段的垂直平分线方程是（）A.3x －y －8=0 B .3x +y +4=0C. 3x －y +6=0D. 3x +y +2=03、经过点A （1，2）并且在坐标轴上截距的绝对值相等的直线共有（）A. 4条B. 3条C. 2条D.1条4.若直线0=++C By Ax 通过第二、三、四象限，则系数A 、B 、C 满足条件（）A.AB<0，C<0B.AC<0，BC>0C.C=0，AB<0D.A=0，BC<05.设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且│PA │=│PB │，若直线PA 的方程为x-y+1=0，则直线PB 的方程是( )A.2y-x-4=0B.2x-y-1=0C.x+y-5=0D.2x+y-7=0二、填空题6.将直线y ＝x +3－1绕它上面一点(1，3)沿逆时针方向旋转15°，则所得直线方程为_____ _____．7..已知直线l 过点P(5,10)，且原点到它的距离为5,则直线l 的方程为___________.8.经过点P(0,-1)作直线l ，若直线l 与连接A(1,-2)，B(2,1)的线段没有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围为___________.9. 点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________.三、解答题10. 已知点M （1，0），N （－1，0）,点P 为直线2x-y-1=0上的动点，则|PM|2+|PN|2的最小值为何？11.已知直线l 1：y=4x 和点P(6，4)，过点P 引一直线l 与l 1交于点Q ，与x 轴正半轴交于点R，当△OQR的面积最小时，求直线l的方程.12. 经过点A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程.13. 求经过点(2,2)A 并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程14.过点A(-5,-4)作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两坐标轴所围成的三角形面积为5.求直线l的方程.3.3一、选择题1. 直线3x +5y －1=0与4x +3y －5=0的交点是( )A.(－2，1)B.(－3，2)C.(2，－1)D.(3，－2)2. 过直线2x －y +4=0与x －y +5=0的交点，且垂直于直线x －2y =0的直线的方程是( )A.2x +y －8=0B.2x －y －8=0C.2x +y +8=0D.2x －y +8=03. 两平行直线12:3420,:6850l x y l x y +-=+-=的距离等于( )A ．3B ．01⋅C ．05⋅D ．74.已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y +1=0上，若直线MN 垂直于直线x +2y －3=0，则N 点的坐标是( )A ．(－2,－3)B ．(2,1)C ．(2,3)D ．(－2,－1)5.已知A(3，-1)、B(5，-2)，点P 在直线x+y=0上，若使｜PA ｜+｜PB ｜取最小值，则P 点坐标是( )A.(1，-1)B.(-1，1)C.(135，135-) D.(-2，2)二、填空题6.直线mx+y-m=0，无论m 取什么实数，它都过定点 .7. 已知点(3,2)P --到直线512100x y -+=的距离与到5120x y c -+=的距离相等，则c = ．8若直线y =kx +3与直线15y x k=-的交点在直线y =x 上，则k =______________.9.已知△ABC 的顶点坐标为A(3，2)，B(1，0)，C(2，1-，则AB 边上的中线CM 的长为__________________.三、解答题10.求经过点(2，3)且经过l 1：x + 3y – 4 = 0与l 2：5x + 2y + 6 = 0的交点的直线方程.11.求经过两直线2x －3y －3=0和x ＋y ＋2=0的交点且与直线3x ＋y －1=0平行的直线l 的方程.12.在x轴上求一点P，使P点到A(-4，3)和B(2，6)两点的距离相等.13.如图，一束光线经过P (2，1)射到直线l：x + y + 1 = 0，反射后穿过点Q (0，2)，求：（1）入射光线所在直线的方程；（2）沿这条光线从P到Q的长度.14. 已知直线l过两条直线3x+4y-5=0,2x-3y+8=0的交点，且与A(2，3)，B(－4，5)两点的距离相等，求直线l的方程.。

高中数学直线方程练习题(附答案)

高中数学直线方程练习题一．选择题（共12小题）1．已知A（﹣2，﹣1），B（2，﹣3），过点P（1，5）的直线l与线段AB有交点，则l的斜率的范围是（）A．（﹣∞，﹣8]B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣8]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣8）∪（2，+∞）2．已知点A（1，3），B（﹣2，﹣1）．若直线l：y=k（x﹣2）+1与线段AB相交，则k的取值范围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，﹣2]C．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）D．[﹣2，]3．已知点A（﹣1，1），B（2，﹣2），若直线l：x+my+m=0与线段AB（含端点）相交，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，]∪[2，+∞） B．[，2] C．（﹣∞，﹣2]∪[﹣，+∞）D．[﹣，﹣2]4．已知M（1，2），N（4，3）直线l过点P（2，﹣1）且与线段MN相交，那么直线l的斜率k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）B．[﹣，]C．[﹣3，2]D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）5．已知M（﹣2，﹣3），N（3，0），直线l过点（﹣1，2）且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．或k≥5 B．C．D．6．已知A（﹣2，），B（2，），P（﹣1，1），若直线l过点P且与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的范围是（）A．B．C．D．∪7．已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2），若直线l过点P（1，1）与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．＜k＜2 B．k＞2或k＜C．k＞D．k＜28．已知O为△ABC内一点，且，，若B，O，D三点共线，则t的值为（）A．B．C．D．9．经过（3，0），（0，4）两点的直线方程是（）A．3x+4y﹣12=0B．3x﹣4y+12=0 C．4x﹣3y+12=0 D．4x+3y﹣12=010．过点（3，﹣6）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（）A．2x+y=0 B．x+y+3=0C．x﹣y+3=0 D．x+y+3=0或2x+y=011．经过点M（1，1）且在两轴上截距相等的直线是（）A．x+y=2 B．x+y=1 C．x=1或y=1 D．x+y=2或x﹣y=012．已知△ABC的顶点A（2，3），且三条中线交于点G（4，1），则BC边上的中点坐标为（）A．（5，0） B．（6，﹣1）C．（5，﹣3）D．（6，﹣3）二．填空题（共4小题）13．已知直线l1：ax+3y+1=0，l2：2x+（a+1）y+1=0，若l1∥l2，则实数a的值是．14．直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则a=．15．设直线l1：x+my+6=0和l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，当m=时，l1∥l2，当m=时，l1⊥l2．16．如果直线（2a+5）x+（a﹣2）y+4=0与直线（2﹣a）x+（a+3）y﹣1=0互相垂直，则a的值等于．三．解答题（共11小题）17．已知点A（1，1），B（﹣2，2），直线l过点P（﹣1，﹣1）且与线段AB始终有交点，则直线l的斜率k的取值范围为．18．已知x，y满足直线l：x+2y=6．（1）求原点O关于直线l的对称点P的坐标；（2）当x∈[1，3]时，求的取值范围．19．已知点A（1，2）、B（5，﹣1），（1）若A，B两点到直线l的距离都为2，求直线l的方程；（2）若A，B两点到直线l的距离都为m（m＞0），试根据m的取值讨论直线l 存在的条数，不需写出直线方程．20．已知直线l的方程为2x+（1+m）y+2m=0，m∈R，点P的坐标为（﹣1，0）．（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；（2）求点P到直线l的距离的最大值．21．已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．（Ⅰ）证明：直线恒过定点M；（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．22．已知光线经过已知直线l1：3x﹣y+7=0和l2：2x+y+3=0的交点M，且射到x 轴上一点N（1，0）后被x轴反射．（1）求点M关于x轴的对称点P的坐标；（2）求反射光线所在的直线l3的方程．（3）求与l3距离为的直线方程．23．已知直线l：y=3x+3求（1）点P（4，5）关于l的对称点坐标；（2）直线y=x﹣2关于l对称的直线的方程．24．已知点M（3，5），在直线l：x﹣2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ 的周长最小．25．已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l1；x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段之长为5，求直线l的方程．26．已知直线l：5x+2y+3=0，直线l′经过点P（2，1）且与l的夹角等于45，求直线l'的一般方程．27．已知点A（2，0），B（0，6），O为坐标原点．（1）若点C在线段OB上，且∠ACB=，求△ABC的面积；（2）若原点O关于直线AB的对称点为D，延长BD到P，且|PD|=2|BD|，已知直线L：ax+10y+84﹣108=0经过点P，求直线l的倾斜角．高中数学直线方程练习题参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2016秋•滑县期末）已知A（﹣2，﹣1），B（2，﹣3），过点P（1，5）的直线l与线段AB有交点，则l的斜率的范围是（）A．（﹣∞，﹣8]B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣8]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣8）∪（2，+∞）【分析】利用斜率计算公式与斜率的意义即可得出．【解答】解：k PA==2，k PB==﹣8，∵直线l与线段AB有交点，∴l的斜率的范围是k≤﹣8，或k≥2．故选：C．【点评】本题考查了斜率计算公式与斜率的意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．（2016秋•碑林区校级期末）已知点A（1，3），B（﹣2，﹣1）．若直线l：y=k （x﹣2）+1与线段AB相交，则k的取值范围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，﹣2]C．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）D．[﹣2，]【分析】由直线系方程求出直线l所过定点，由两点求斜率公式求得连接定点与线段AB上点的斜率的最小值和最大值得答案．【解答】解：∵直线l：y=k（x﹣2）+1过点P（2，1），连接P与线段AB上的点A（1，3）时直线l的斜率最小，为，连接P与线段AB上的点B（﹣2，﹣1）时直线l的斜率最大，为．∴k的取值范围是．故选：D．【点评】本题考查了直线的斜率，考查了直线系方程，是基础题．3．（2016秋•雅安期末）已知点A（﹣1，1），B（2，﹣2），若直线l：x+my+m=0与线段AB（含端点）相交，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，]∪[2，+∞） B．[，2] C．（﹣∞，﹣2]∪[﹣，+∞）D．[﹣，﹣2]【分析】利用斜率计算公式、斜率与倾斜角的关系及其单调性即可得出．【解答】解：直线l：x+my+m=0经过定点P（0，﹣1），k PA==﹣2，k PB==﹣．∵直线l：x+my+m=0与线段AB（含端点）相交，∴≤≤﹣2，∴．故选：B．【点评】本题考查了斜率计算公式、斜率与倾斜角的关系及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．（2016秋•庄河市校级期末）已知M（1，2），N（4，3）直线l过点P（2，﹣1）且与线段MN相交，那么直线l的斜率k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）B．[﹣，]C．[﹣3，2]D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）【分析】画出图形，由题意得所求直线l的斜率k满足k≥k PN或k≤k PM，用直线的斜率公式求出k PN和k PM的值，解不等式求出直线l的斜率k的取值范围．【解答】解：如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足k≥k PN或k≤k PM，即k≥=2，或k≤=﹣3，∴k≥2，或k≤﹣3，故选：A．【点评】本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想．5．（2013秋•迎泽区校级月考）已知M（﹣2，﹣3），N（3，0），直线l过点（﹣1，2）且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．或k≥5 B．C．D．【分析】求出边界直线的斜率，作出图象，由直线的倾斜角和斜率的关系可得．【解答】解：（如图象）即P（﹣1，2），由斜率公式可得PM的斜率k1==5，直线PN的斜率k2==，当直线l与x轴垂直（红色线）时记为l′，可知当直线介于l′和PM之间时，k≥5，当直线介于l′和PN之间时，k≤﹣，故直线l的斜率k的取值范围是：k≤﹣，或k≥5故选A【点评】本题考查直线的斜率公式，涉及数形结合的思想和直线的倾斜角与斜率的关系，属中档题．6．（2004秋•南通期末）已知A（﹣2，），B（2，），P（﹣1，1），若直线l过点P且与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的范围是（）A．B．C．D．∪【分析】先求出直线的斜率的取值范围，再根据斜率与倾斜角的关系以及倾斜角的范围求出倾斜角的具体范围．【解答】解：设直线l的斜率等于k，直线的倾斜角为α由题意知，k PB==﹣，或k PA==﹣设直线的倾斜角为α，则α∈[0，π），tanα=k，由图知0°≤α≤120°或150°≤α＜180°故选：D．【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，直线的斜率公式的应用，属于基础题．7．已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2），若直线l过点P（1，1）与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．＜k＜2 B．k＞2或k＜C．k＞D．k＜2【分析】求出PA，PB所在直线的斜率，数形结合得答案．【解答】解：点A（2，3），B（﹣3，﹣2），若直线l过点P（1，1），∵直线PA的斜率是=2，直线PB的斜率是=．如图，∵直线l与线段AB始终有公共点，∴斜率k的取值范围是（，2）．故选：A．【点评】本题考查了直线的倾斜角和直线的斜率，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．8．（2017•成都模拟）已知O为△ABC内一点，且，，若B，O，D三点共线，则t的值为（）A．B．C．D．【分析】以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与BC相交于点E，E 为BC的中点．由，可得=2=2，点O是直线AE的中点．根据，B，O，D三点共线，可得点D是BO与AC的交点．过点O作OM∥BC交AC于点M，则点M为AC的中点．即可得出．【解答】解：以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与BC相交于点E，E为BC的中点．∵，∴=2=2，∴点O是直线AE的中点．∵，B，O，D三点共线，∴点D是BO与AC的交点．过点O作OM∥BC交AC于点M，则点M为AC的中点．则OM=EC=BC，=，∴DM=MC，∴AD=AM=AC，∴t=．故选：B．【点评】本题考查了向量共线定理、向量三角形与平行四边形法则、平行线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（2016秋•沙坪坝区校级期中）经过（3，0），（0，4）两点的直线方程是（）A．3x+4y﹣12=0B．3x﹣4y+12=0 C．4x﹣3y+12=0 D．4x+3y﹣12=0【分析】直接利用直线的截距式方程求解即可．【解答】解：因为直线经过（3，0），（0，4）两点，所以所求直线方程为：，即4x+3y﹣12=0．故选D．【点评】本题考查直线截距式方程的求法，考查计算能力．10．（2016秋•平遥县校级期中）过点（3，﹣6）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（）A．2x+y=0 B．x+y+3=0C．x﹣y+3=0 D．x+y+3=0或2x+y=0【分析】当直线过原点时，用点斜式求得直线方程．当直线不过原点时，设直线的方程为x+y=k，把点（3，﹣6）代入直线的方程可得k值，从而求得所求的直线方程，综合可得结论．【解答】解：当直线过原点时，方程为y=﹣2x，即2x+y=0．当直线不过原点时，设直线的方程为x+y=k，把点（3，﹣6）代入直线的方程可得k=﹣3，故直线方程是x+y+3=0．综上，所求的直线方程为x+y+3=0或2x+y=0，故选：D．【点评】本题考查用待定系数法求直线方程，体现了分类讨论的数学思想，注意当直线过原点时的情况，这是解题的易错点，属于基础题．11．（2015秋•运城期中）经过点M（1，1）且在两轴上截距相等的直线是（）A．x+y=2 B．x+y=1 C．x=1或y=1 D．x+y=2或x﹣y=0【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为x+y=a，把已知点坐标代入即可求出a的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把已知点的坐标代入即可求出k的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程．【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，把（1，1）代入所设的方程得：a=2，则所求直线的方程为x+y=2；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把（1，1）代入所求的方程得：k=1，则所求直线的方程为y=x．综上，所求直线的方程为：x+y=2或x﹣y=0．故选：D．【点评】此题考查直线的一般方程和分类讨论的数学思想，要注意对截距为0和不为0分类讨论，是一道基础题．12．（2013春•泗县校级月考）已知△ABC的顶点A（2，3），且三条中线交于点G（4，1），则BC边上的中点坐标为（）A．（5，0） B．（6，﹣1）C．（5，﹣3）D．（6，﹣3）【分析】利用三角形三条中线的交点到对边的距离等于到所对顶点的距离的一半，用向量表示即可求得结果．【解答】解：如图所示，；∵△ABC的顶点A（2，3），三条中线交于点G（4，1），设BC边上的中点D（x，y），则=2，∴（4﹣2，1﹣3）=2（x﹣4，y﹣1），即，解得，即所求的坐标为D（5，0）；故选：A．【点评】本题考查了利用三角形三条中线的交点性质求边的中点坐标问题，是基础题．二．填空题（共4小题）13．（2015•益阳校级模拟）已知直线l1：ax+3y+1=0，l2：2x+（a+1）y+1=0，若l1∥l2，则实数a的值是﹣3．【分析】根据l1∥l2，列出方程a（a+1）﹣2×3=0，求出a的值，讨论a是否满足l1∥l2即可．【解答】解：∵l1∥l2，∴a（a+1）﹣2×3=0，即a2+a﹣6=0，解得a=﹣3，或a=2；当a=﹣3时，l1为：﹣3x+3y+1=0，l2为：2x﹣2y+1=0，满足l1∥l2；当a=2时，l1为：2x+3y+1=0，l2为：2x+3y+1=0，l1与l2重合；所以，实数a的值是﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了两条直线平行，斜率相等，或者对应系数成比例的应用问题，是基础题目．14．（2015秋•天津校级期末）直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则a=﹣7．【分析】根据两直线平行的条件可知，（3+a）（5+a）﹣4×2=0，且5﹣3a≠8．进而可求出a的值．【解答】解：直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则（3+a）（5+a）﹣4×2=0，即a2+8a+7=0．解得，a=﹣1或a=﹣7．又∵5﹣3a≠8，∴a≠﹣1．∴a=﹣7．故答案为：﹣7．【点评】本题考查两直线平行的条件，其中5﹣3a≠8是本题的易错点．属于基础题．15．（2015秋•台州期末）设直线l1：x+my+6=0和l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，当m=﹣1时，l1∥l2，当m=时，l1⊥l2．【分析】利用直线平行、垂直的性质求解．【解答】解：∵直线l1：x+my+6=0和l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，l1∥l2，∴=≠，解得m=﹣1；∵直线l1：x+my+6=0和l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，l1⊥l2，∴1×（m﹣2）+3m=0，解得m=；故答案为：﹣1，．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线的位置关系的合理运用．16．（2016春•信阳月考）如果直线（2a+5）x+（a﹣2）y+4=0与直线（2﹣a）x+（a+3）y﹣1=0互相垂直，则a的值等于a=2或a=﹣2．【分析】利用两条直线互相垂直的充要条件，得到关于a的方程可求．【解答】解：设直线（2a+5）x+（a﹣2）y+4=0为直线M；直线（2﹣a）x+（a+3）y﹣1=0为直线N①当直线M斜率不存在时，即直线M的倾斜角为90°，即a﹣2=0，a=2时，直线N的斜率为0，即直线M的倾斜角为0°，故：直线M与直线N互相垂直，所以a=2时两直线互相垂直．②当直线M和N的斜率都存在时，k M=（，k N=要使两直线互相垂直，即让两直线的斜率相乘为﹣1，故：a=﹣2．③当直线N斜率不存在时，显然两直线不垂直．综上所述：a=2或a=﹣2故答案为：a=2或a=﹣2【点评】本题考查两直线垂直的充要条件，若利用斜率之积等于﹣1，应注意斜率不存在的情况．三．解答题（共11小题）17．（2016秋•兴庆区校级期末）已知点A（1，1），B（﹣2，2），直线l过点P （﹣1，﹣1）且与线段AB始终有交点，则直线l的斜率k的取值范围为k≤﹣3，或k≥1．【分析】由题意画出图形，数形结合得答案．【解答】解：如图，∵A（1，1），B（﹣2，2），直线l过点P（﹣1，﹣1），又，∴直线l的斜率k的取值范围为k≤﹣3，或k≥1．故答案为：k≤﹣3，或k≥1．【点评】本题考查直线的斜率，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．18．（2015春•乐清市校级期末）已知x，y满足直线l：x+2y=6．（1）求原点O关于直线l的对称点P的坐标；（2）当x∈[1，3]时，求的取值范围．【分析】（1）设对称后的点P（a，b），根据点的对称即可求原点O关于直线l 的对称点P的坐标．（2）根据斜率公式可知，表示的为动点（x，y）到定点（2，1）的两点的斜率的取值范围．【解答】解：（1）设原点O关于直线l的对称点P的坐标为（a，b），则满足，解得a=，b=，故；（2）当x∈[1，3]时，的几何意义为到点C（2，1）的斜率的取值范围．当x=1时，y=，当x=3时，y=，由可得A（1，），B（3，），从而k BC==，k AC==﹣，∴k的范围为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）【点评】本试题主要是考查了直线的方程以及点关于直线对称点的坐标的求解和斜率几何意义的灵活运用．19．（2016秋•浦东新区校级月考）已知点A（1，2）、B（5，﹣1），（1）若A，B两点到直线l的距离都为2，求直线l的方程；（2）若A，B两点到直线l的距离都为m（m＞0），试根据m的取值讨论直线l 存在的条数，不需写出直线方程．【分析】（1）要分为两类来研究，一类是直线L与点A（1，2）和点B（5，﹣1）两点的连线平行，一类是线L过两点A（1，2）和点B（5，﹣1）中点，分类解出直线的方程即可；（2）根据A，B两点与直线l的位置关系以及m与两点间距离5的一半比较，得到满足条件的直线．【解答】解：∵|AB|==5，|AB|＞2，∴A与B可能在直线l的同侧，也可能直线l过线段AB中点，①当直线l平行直线AB时：k AB=，可设直线l的方程为y=﹣x+b依题意得：=2，解得：b=或b=，故直线l的方程为：3x+4y﹣1=0或3+4y﹣21=0；②当直线l过线段AB中点时：AB的中点为（3，），可设直线l的方程为y﹣=k（x﹣3）依题意得：=2，解得：k=，故直线l的方程为：x﹣2y﹣=0；（2）A，B两点到直线l的距离都为m（m＞0），AB平行的直线，满足题意得一定有2条，经过AB中点的直线，若2m＜|AB|，则有2条；若2m=|AB|，则有1条；若2m＞|AB|，则有0条，∵|AB|=5，综上：当m＜2.5时，有4条直线符合题意；当m=2.5时，有3条直线符合题意；当m＞2.5时，有2条直线符合题意．【点评】本题考查点到直线的距离公式，求解本题关键是掌握好点到直线的距离公式与中点坐标公式，对空间想像能力要求较高，考查了对题目条件分析转化的能力20．（2015秋•眉山校级期中）已知直线l的方程为2x+（1+m）y+2m=0，m∈R，点P的坐标为（﹣1，0）．（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；（2）求点P到直线l的距离的最大值．【分析】（1）把直线方程变形得，2x+y+m（y+2）=0，联立方程组，求得方程组的解即为直线l恒过的定点．（2）设点P在直线l上的射影为点M，由题意可得|PM|≤|PQ|，再由两点间的距离公式求得点P到直线l的距离的最大值【解答】（1）证明：由2x+（1+m）y+2m=0，得2x+y+m（y+2）=0，∴直线l恒过直线2x+y=0与直线y+2=0的交点Q，解方程组，得Q（1，﹣2），∴直线l恒过定点，且定点为Q（1，﹣2）．（2）解：设点P在直线l上的射影为点M，则|PM|≤|PQ|，当且仅当直线l与PQ垂直时，等号成立，∴点P到直线l的距离的最大值即为线段PQ的长度，等于=2．【点评】本题考查了直线系方程问题，考查了点到直线的距离公式，正确理解题意是关键，是中档题．21．（2010秋•常熟市期中）已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．（Ⅰ）证明：直线恒过定点M；（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．【分析】（Ⅰ）直线方程按m集项，方程恒成立，得到方程组，求出点的坐标，即可证明：直线恒过定点M；（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，说明直线的斜率小于0，设出斜率根据直线过的定点，写出直线方程，求出△AOB面积的表达式，利用基本不等式求出面积的最小值，即可得到面积最小值的直线的方程．【解答】（Ⅰ）证明：（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0化为（x﹣2y﹣3）m=﹣2x ﹣y﹣4．（3分）得∴直线必过定点（﹣1，﹣2）．（6分）（Ⅱ）解：设直线的斜率为k（k＜0），则其方程为y+2=k（x+1），∴OA=|﹣1|，OB=|k﹣2|，（8分）S△AOB=•OA•OB=|（﹣1）（k﹣2）|=|﹣|..（10分）∵k＜0，∴﹣k＞0，∴S=[﹣]=[4+（﹣）+（﹣k）]≥4．△AOB当且仅当﹣=﹣k，即k=﹣2时取等号．（13分）∴△AOB的面积最小值是4，（14分）直线的方程为y+2=﹣2（x+1），即y+2x+4=0．（15分）【点评】本题是中档题，考查直线恒过定点的知识，三角形面积的最小值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力，转化思想的应用．22．（2016秋•枣阳市校级月考）已知光线经过已知直线l1：3x﹣y+7=0和l2：2x+y+3=0的交点M，且射到x轴上一点N（1，0）后被x轴反射．（1）求点M关于x轴的对称点P的坐标；（2）求反射光线所在的直线l3的方程．（3）求与l3距离为的直线方程．【分析】（1）联立方程组，求出M的坐标，从而求出P的坐标即可；（2）法一：求出直线的斜率，从而求出直线方程即可；法二：求出直线PN的方程，根据对称性求出直线方程即可；（3）设出与l3平行的直线方程，根据平行线的距离公式求出即可．【解答】解：（1）由得，∴M（﹣2，1）．所以点M关于x轴的对称点P的坐标（﹣2，﹣1）．…（4分）（2）因为入射角等于反射角，所以∠1=∠2．直线MN的倾斜角为α，则直线l3的斜斜角为180°﹣α.，所以直线l3的斜率．故反射光线所在的直线l3的方程为：．即．…（9分）解法二：因为入射角等于反射角，所以∠1=∠2．根据对称性∠1=∠3，∴∠2=∠3．所以反射光线所在的直线l3的方程就是直线PN的方程．直线PN的方程为：，整理得：．故反射光线所在的直线l3的方程为．…（9分）（3）设与l3平行的直线为，根据两平行线之间的距离公式得：，解得b=3，或，所以与l3为：，或．…（13分）【点评】本题考查了点对称、直线对称问题，考查求直线方程，是一道中档题．23．（2015秋•嘉峪关校级期末）已知直线l：y=3x+3求（1）点P（4，5）关于l的对称点坐标；（2）直线y=x﹣2关于l对称的直线的方程．【分析】（1）设点P（4，5）关于直线y=3x+3对称点P′的坐标为（m，n），得到关于m，n的方程组，求得m、n的值，可得P′的坐标；（2）求出交点坐标，在直线y=x﹣2上任取点（2，0），得到对称点坐标，求出直线方程即可．【解答】解：（1）设点P（4，5）关于直线y=3x+3对称点P′的坐标为（m，n），则由，求得m=﹣2，n=7，故P′（﹣2，7）．（2）由，解得：交点为，在直线y=x﹣2上任取点（2，0），得到对称点为，所以得到对称的直线方程为7x+y+22=0【点评】本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，利用了垂直、和中点在对称轴上这两个条件，属于中档题．24．（2014秋•宜秀区校级期中）已知点M（3，5），在直线l：x﹣2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小．【分析】本题实际是求点M关于l的对称点M1，点M关于y轴的对称点M2，求得直线M1M2的方程，与y轴交点为Q，与直线l：x﹣2y+2=0的交点为P．【解答】解：由点M（3，5）及直线l，可求得点M关于l的对称点M1（5，1）．同样容易求得点M关于y轴的对称点M2（﹣3，5）．据M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x+2y﹣7=0．得交点P（，）．令x=0，得到M1M2与y轴的交点Q（0，）．解方程组x+2y﹣7=0，x﹣2y+2=0，故点P（，）、Q（0，）即为所求．【点评】本题考查直线关于直线对称的问题，三角形的几何性质，是中档题．25．（2010•广东模拟）已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l1；x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段之长为5，求直线l的方程．【分析】法一如图，若直线l的斜率不存在，直线l的斜率存在，利用点斜式方程，分别与l1、l2联立，求得两交点A、B的坐标（用k表示），再利用|AB|=5可求出k的值，从而求得l的方程．法二：求出平行线之间的距离，结合|AB|=5，设直线l与直线l1的夹角为θ，求出直线l的倾斜角为0°或90°，然后得到直线方程．就是用l1、l2之间的距离及l 与l1夹角的关系求解．法三：设直线l1、l2与l分别相交于A（x1，y1），B（x2，y2），则通过求出y1﹣y2，x1﹣x2的值确定直线l的斜率（或倾斜角），从而求得直线l 的方程．【解答】解：解法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3，此时与l1、l2的交点分别为A′（3，﹣4）或B′（3，﹣9），截得的线段AB的长|AB|=|﹣4+9|=5，符合题意．若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x﹣3）+1．解方程组得A（，﹣）．解方程组得B（，﹣）．由|AB|=5．得（﹣）2+（﹣+）2=52．解之，得k=0，直线方程为y=1．综上可知，所求l的方程为x=3或y=1．解法二：由题意，直线l1、l2之间的距离为d==，且直线L被平行直线l1、l2所截得的线段AB的长为5，设直线l与直线l1的夹角为θ，则sinθ==，故θ=45°．由直线l1：x+y+1=0的倾斜角为135°，知直线l的倾斜角为0°或90°，又由直线l过点P（3，1），故直线l的方程为：x=3或y=1．解法三：设直线l与l1、l2分别相交A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+y1+1=0，x2+y2+6=0．两式相减，得（x1﹣x2）+（y1﹣y2）=5．①又（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2=25．②联立①、②可得或由上可知，直线l的倾斜角分别为0°或90°．故所求的直线方程为x=3或y=1．【点评】本题是中档题，考查直线与直线的位置关系，直线与直线所成的角，直线的点斜式方程，斜率是否存在是容易出错的地方，注意本题的三种方法．26．（2009秋•重庆期末）已知直线l：5x+2y+3=0，直线l′经过点P（2，1）且与l的夹角等于45，求直线l'的一般方程．【分析】设出直线l′的斜率为k′，通过直线的夹角公式求出直线的斜率，然后求出直线的方程．【解答】解：设直线l′的斜率为k′，则，…（7分），…（10分）直线l′：7x﹣3y﹣11=0和3x+7y﹣13=0；…（13分）【点评】本题是基础题，考查直线方程的求法，夹角公式的应用，注意夹角公式与到角公式的区别，考查计算能力．27．已知点A（2，0），B（0，6），O为坐标原点．（1）若点C在线段OB上，且∠ACB=，求△ABC的面积；（2）若原点O关于直线AB的对称点为D，延长BD到P，且|PD|=2|BD|，已知直线L：ax+10y+84﹣108=0经过点P，求直线l的倾斜角．【分析】（1）依据条件求出AC的斜率，可得点C的坐标，即得边长BC，点A 的横坐标就是三角形的高，代入三角形的面积公式进行计算．（2）利用对称的特点，待定系数法求出原点O关于直线AB的对称点D的坐标，由题意可得=2，把相关向量的坐标代入，利用两个向量相等的条件求出点P的坐标，再把点P的坐标代入代入直线l的方程，求出a，即得直线l的斜率，由斜率求直线l的倾斜角．【解答】解：（1）∵点C在线段OB上，且∠ACB=，∴∠ACO=，故AC 的倾斜角为，故AC的斜率为﹣1，设点C（0，b），由﹣1=得b=2，即点C（0，2），BC=4，点A到BC的距离为2，故△ABC的面积为×4×2=4．（2）设D（m，n），点P（c，d），AB的方程+=1，即3x+y﹣6=0，由得m=，n=，故D（，），=（﹣c，﹣d），=（﹣，），由题意知，=2，∴﹣c=﹣，﹣d=，解得c=，d=﹣，故P（，﹣），把P（，﹣）代入直线l：ax+10y+84﹣108=0，得a•+10•+84﹣108=0，即得a=10．∴直线l的斜率为=﹣，故直线l的倾斜角为120°．【点评】本题考查直线的倾斜角的定义，倾斜角与斜率的关系；点关于直线的对称点的坐标求法，两个向量相等时向量坐标间的关系．。

第06讲：必修2第三章《直线与方程》单元检测题-高中数学单元检测题及详细解析.doc

必修2第三章《直线与方程》单元检测题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共6（）分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若直线过点（1,2）, （4,2+萌），则此直线的倾斜角是（）A.30°B. 45。

C. 60°D. 90°2.如果直线处+2y+2=0与直线3匕一丿一2=0平行，则系数。

为（）3 2A.—3B. —6C. —2D.亍3.下列叙述屮不正确的是（）A.若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B.每一条直线都有唯一对应的倾斜角C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0。

或90。

D.若直线的倾斜角为u,则直线的斜率为怡z4.在同一直角坐标系中，表示直线），=做与直线＞，=兀+。

的图象（如图所示）正确的是（）5.若三点A（3,l）, B（—2, b）, C（&11）在同一直线上，则实数b等于（）A. 2B. 3C. 9D. -96.过点（3, —4）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（）A.卄），+1=0B.4兀一3）=0C.4x+3y=0D.4兀+3y=0 或x+y+l=07.已知点4（兀,5）关于点（1, y）的对称点为（一2, 一3）,则点P（x, y）到原点的距离是（）A. 4 B・竝C・飒 D. 08.设点4(2, -3), 3( — 3, -2),直线过P(l,l)且与线段43相交，则/的斜率殳的取值范围是()3 3A. &玄或 4B. —3C. 一3才WRW4 D・以上都不对9.已知直线1\: ov+4y—2=0与直线2x—5y-\~b=0互相垂直，垂足为(1, c),则a + b+c的值为( )A. -4B. 20C. 0D. 2410.如果4(1,3)关于直线/的对称点为B(—5,1),则直线I的方程是()A. 3兀+y+4=0B. x—3y+8 = 0C. x+3y—4=QD. 3x~y+S=011.直线mx+ny+3=0在y轴上截距为一3,而且它的倾斜角是直线伍一y=3也倾斜角的2倍，则( )A. m = _甫,n= 1B. 〃?=—羽,n=~3C. » n =—3D. ~*^3, ~ 112.过点A(0,彳)与B(7,0)的直线厶与过点(2,1),⑶R+1)的直线人和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数£等于()A. —3B. 3C. —6D. 6第II卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13.已知厶：2x+my+1 = 0与人：y=3兀一1,若两直线平行，则加的值为____________ .14.若直线加被两平行线厶：x-y+\=0与念x-y+3=0所截得的线段的长为2迈，则加的倾斜角可以是________ •(写出所有正确答案的序号)① 15。

高中数学直线方程习题

（数学2必修）第三章直线与方程[基础训练A 组]一、选择题1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 知足（）A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x3．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（）A ．0B ．8-C ．2D ．104．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限5．直线1x =的倾斜角和斜率别离是（）A ．045,1B ．0135,1- C ．090，不存在 D ．0180，不存在二、填空题1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________.2．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________;若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________;若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________;3．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________.4．直线l 过原点且平分ABCD 的面积，若平行四边形的两个极点为(1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为________________。

三、解答题1．已知直线A x B yC ++=0，（1）系数为何值时，方程表示通过原点的直线；（2）系数知足什么关系时与坐标轴都相交；（3）系数知足什么条件时只与x 轴相交；（4）系数知足什么条件时是x 轴；（5）设()P x y 00，为直线Ax B yC ++=0上一点，证明：这条直线的方程可以写成()()A x x B y y -+-=000．2．求通过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线032=-+y x 的直线方程。

高中直线方程的综合练习数学班主任整理

高中直线方程的综合练习数学班主任整理高中数学直线方程的综合练习1.求直线的斜率和截距，并写出直线的方程：题目一：过点P(2,3)，斜率为-2的直线。

解析：已知直线过点P(2, 3)，斜率为-2、直线的方程一般可以表示为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。

代入已知条件，得到3 = -2*2 + b，解b得到b = 7、所以直线的方程为y = -2x + 7题目二：过点(4,5)，斜率为1/3的直线。

解析：已知直线过点(4, 5)，斜率为1/3、同样地，直线的方程可以表示为y = kx + b。

代入已知条件，得到5 = (1/3)*4 + b，解b得到b = 19/3、所以直线的方程为y = (1/3)x + 19/32.求直线的斜率和截距，并写出直线的方程：题目一：已知直线过点(-1,2)，且与直线y=x-3垂直，求该直线的方程。

解析：已知直线过点(-1, 2)，且与直线y = x - 3垂直。

两条直线垂直可以得到斜率的乘积为-1、所以直线的斜率为-1的倒数，即1、直线的方程可以表示为y = kx + b，代入已知条件得到2 = 1*(-1) + b，解b得到b = 3、所以直线的方程为y = x + 3题目二：已知直线过点(2,4)，且与直线y=-2x+1平行，求该直线的方程。

解析：已知直线过点(2, 4)，且与直线y = -2x + 1平行。

两条直线平行可以得到斜率相等。

所以直线的斜率与直线y = -2x + 1的斜率相等，即斜率为-2、直线的方程可以表示为y = kx + b，代入已知条件得到4 = -2*2 + b，解b得到b = 8、所以直线的方程为y = -2x + 83.求直线的斜率和截距，并写出直线的方程：题目一：已知直线过点(3,1)，且平行于直线y=3x-2，求该直线的方程。

解析：已知直线过点(3, 1)，且平行于直线y = 3x - 2、直线的平行可以得到斜率相等。

高中数学直线的方程总结练习含答案解析A

3.2 直线的方程一、直线的点斜式方程1.定义直线l经过点P0(x,y),且斜率为k,则直线l的方程为①,此方程由直线上一定点及斜率确定,叫做直线的点斜式方程.2.两种特殊情况(1)直线l经过点P0(x,y),且倾斜角为90°时,直线l的方程为②;(2)直线l经过点P0(x,y),且倾斜角为0°时,直线l的方程为③.二、直线的斜截式方程1.定义如果直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b),则直线l的方程为④,这个方程叫做直线的斜截式方程.2.截距我们把直线l与y轴的交点(0,b)的⑤叫做直线l在y轴上的截距.三、直线的两点式方程已知直线经过点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),当y1≠y2时,直线P1P2的方程可以写成⑥,这个方程称为直线的两点式方程,简称两点式.四、直线的截距式方程若直线l经过点(a,0),(0,b)(其中a≠0,b≠0),则直线l的方程为⑦.这就是直线的截距式方程,其中⑧叫做直线在x轴上的截距,⑨叫做直线在y轴上的截距.五、直线的一般式方程关于x,y的一次方程Ax+By+C=0(A、B不同时为0)叫做直线的一般式方程.判断题1.方程k=y-y0x-x0与y-y=k(x-x)表示的意义相同.( )2.直线在y轴上的截距为b,其中b是直线与y轴的交点到坐标原点的距离.( )3.直线方程的两点式能表示所有的直线.( )4.将直线方程的两点式变形为(y-y1)(x2-x1)=(y2-y1)(x-x1)后能表示所有直线.( )5.直线的一般式方程Ax+By+C=0中,A2+B2≠0.()一、选择恰当形式确定直线方程1.(2015云南师大附中月考,★☆☆)经过点(-1,1),斜率是直线y=√22x-2的斜率的2倍的直线方程是( )A.y=-1B.y=1C.y-1=√2(x+1)D.y-1=2√2(x+1)思路点拨求斜率代入点斜式方程求解结论2.(2015贵州遵义四中月考,★★☆)如果直线l过(-1,-1),(2,4)两点,点(1 208,m)在直线l上,那么m 的值为( )A.2 012B.2 013C.2 014D.2 015思路点拨利用两点式求方程将(1 208,m)代入方程求m的值3.(2015四川绵阳中学月考,★★☆)过点P(1,2),且与原点O距离最大的直线l的方程是( )A.x+2y-5=0B.2x+y-4=0C.x+3y-7=0D.3x+y-5=0思路点拨l与原点O的距离最大l⊥OP求kOP求直线l的斜率求l的方程4.(2015甘肃庆阳一中期末,★★☆)求经过点A(-2,2)且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程.思路点拨设直线方程求直线与x轴、y轴的交点利用三角形的面积为1求直线的斜率求直线方程5.(2015江苏苏州中学月考,★★☆)△ABC的三个顶点坐标分别为A(-5,0),B(3,-3),C(0,2).(1)求三角形三边所在的直线方程;(2)求AB边上的高线所在的直线方程;(3)求AB边上的中线所在的直线方程.思路点拨(1)利用两点式求直线方程.(2)求kAB求高线所在直线的斜率k求直线方程(3)求AB的中点坐标利用点斜式求方程二、利用直线的一般式方程研究两直线平行或垂直6.(2015山东烟台二中月考,★★☆)若直线l与直线3x+y-1=0垂直,且直线l在x轴上的截距为-2,则直线l的方程为( )A.x-3y-2=0B.x-3y+2=0C.3x-y+2=0D.3x-y-2=0思路点拨利用垂直关系求斜率利用截距求点求方程7.(2015重庆一中检测,★★☆)若直线l1:(a-1)x+y-1=0和直线l2:3x+ay+2=0垂直,则实数a的值为( )A.12B.32C.14D.34思路点拨利用A1A2+B1B2=0建立关于a的方程求解.8.(2014山东实验中学模拟,★★☆)已知直线y=ax-2和直线3x-(a+2)y+1=0互相平行,则a等于( )A.1或-3B.-1或3C.1或3D.-1或-3思路点拨由两直线平行的条件列出关于a的方程,然后求解.9.(2015四川绵阳中学月考,★☆☆)若直线x+2y-3=0,kx+y-1=0,x轴的正半轴和y轴的正半轴所围成的四边形有外接圆,且k<0,则实数k的值为.思路点拨四边形有外接圆对角互补两直线垂直由斜率乘积为-1求k10.(2015陕西渭南临渭高一期末,★★☆)已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0.(1)试判断l1与l2是否平行;(2)当l1⊥l2时,求a的值.思路点拨(1)l1∥l2A1B2-A2B1=0,A1C2-A2C1≠0结论(2)l1⊥l2A1A2+B1B2=0求a的值三、利用直线系方程解题11.(2015华南师大附中月考,★★☆)过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是( )A.4x+3y-13=0B.4x-3y-19=0C.3x-4y-16=0D.3x+4y-8=0思路点拨设直线系方程代入(4,-1)求方程12.(2014河南开封检测,★★☆)过点(-1,2),且与直线2x-3y+4=0平行的直线方程为( )A.3x-2y+8=0B.2x-3y-8=0C.2x-3y+8=0D.3x-2y-8=0思路点拨设直线系方程代入(-1,2)求方程13.(2015江西吉安一中月考,★★☆)求与直线2x-y+10=0平行且在y轴、x轴上截距之和为2的直线方程.思路点拨题组一直线的点斜式方程1.经过点(-3,2),倾斜角为60°的直线方程是( ) A.y+2=√3(x-3) B.y-2=√33(x+3) C.y-2=√3(x+3) D.y+2=√33(x-3)2.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0题组二直线的斜截式方程3.在平面直角坐标系中,直线y=ax+1a 的形状可能是( )4.若两条直线y=ax-2和y=(2-a)x+1互相平行,则a 等于( ) A.2 B.1 C.0 D.-15.与直线y=2x+1垂直,且在y 轴上的截距为4的直线方程为 .题组三直线的两点式方程6.过A(1,1),B(0,-1)两点的直线方程为( ) A.y+11+1=x B.y -1-1=x -1-1 C.y -10-1=x -1-1-1 D.y=x7.求过点M(m,0)和点N(2,1)的直线方程.题组四直线的截距式方程8.在x 轴,y 轴上的截距分别为2,-3的直线方程为( ) A.x 2-y3=1 B .x 2+y3=1 C .y 3-x2=1 D .x 2+y3=09.已知直线mx+ny+12=0(mn≠0)在x轴,y轴上的截距分别为-3和4,则mn= .10.过点(-2,3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为.题组五直线的一般式方程11.已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则k的值是.12.设直线l的方程为(m2-2m-3)x-(2m2+m-1)y=2m-6,分别根据下列条件确定实数m的值.(1)直线l在x轴上的截距是-3;(2)l的斜率为-1.13.已知直线l:3x+4y-20=0.(1)求过点(2,2)且与直线l平行的直线方程;(2)已知直线l1:2x-ay+a=0与直线l垂直,试确定实数a的值.(时间:45分钟;分值:65分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016山东潍坊一中月考,★☆☆)如图,在同一直角坐标系中,表示直线y=ax与y=x+a正确的是( )2.(2015甘肃嘉峪关期末,★☆☆)如果AB>0,BC>0,那么直线Ax-By-C=0不经过的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.(2015湖南浏阳一中月考,★☆☆)直线xa +yb=1过第一、二、三象限,则( )A.a>0,b>0B.a>0,b<0C.a<0,b>0D.a<0,b<04.(2015福建福州八中月考,★★☆)若y=a|x|与y=x+a(a>0)有两个公共点,则a的取值范围是( )A.a>1B.0<a<1C.a∈⌀D.0<a<1或a>15.(2015福建宁德五校联考,★★☆)若原点在直线l上的射影是P(-2,1),则直线l的方程为( )A.x+2y=0B.y-1=-2(x+2)C.y=2x+5D.y=2x+3二、解答题(每小题10分,共40分)6.(2016辽宁实验中学期末,★★☆)已知△ABC的顶点A的坐标为(5,1),AB边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0,AC边上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0.(1)求顶点C的坐标;(2)求直线BC的方程.7.(2016湖北沙市中学月考,★★☆)△ABC中,A(0,1),AB边上的高CD所在直线方程为x+2y-4=0,AC边上的中线BE所在直线方程为2x+y-3=0.(1)求直线AB的方程;(2)求直线BC的方程.8.(2016广东台山华侨中学期末,★★☆)矩形ABCD的两条边AB和AD所在直线的方程分别是x-2y+4=0和2x+y-7=0,矩形的对角线的交点M的坐标是(-1,1),求边BC和边CD所在直线的方程.9.(2015福建福州八中月考,★★☆)直线过点P(4,2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐3标原点,是否存在这样的直线满足下列条件:①△AOB的周长为12;②△AOB的面积为6?若存在,求出该直线的方程;若不存在,请说明理由.知识清单①y -y 0=k(x-x 0) ②x -x 0=0或x=x 0 ③y -y 0=0或y=y 0 ④y=kx+b ⑤纵坐标b ⑥y -y 1y2-y 1=x -x 1x2-x 1⑦x a + yb =1 ⑧a ⑨b1.×2.×3.×4.√5.√链接高考1.C 由方程知已知直线的斜率为√22,∴所求直线的斜率是√2,由直线方程的点斜式可得所求直线方程为y-1=√2(x+1).2.C 由两点式,得y+14+1=x+12+1,将(1 208,m)代入方程得m=2 014,故选C.3.A 要使原点O 到过点P 的直线的距离最大,该直线必与直线OP 垂直,而k OP =2,∴直线l 的斜率为-12,则由点斜式方程得直线l 的方程为y-2=-12(x-1),即x+2y-5=0,故选A. 4.解析易知直线斜率存在且不为零,设直线方程为y-2=k(x+2)(k≠0), 则直线与x 轴的交点为(-2k -2,0),与y 轴的交点为(0,2k+2), 由直线与两个坐标轴所围成的三角形面积为1, 得12×|-2k -2|×|2k+2|=1, 整理得2|(k+1)2k|=1⇒2(k+1)2=|k|,即2k 2+4k+2=k(k>0)或2k 2+4k+2=-k(k<0), 解得k=-12或k=-2,故所求直线方程为x+2y-2=0或2x+y+2=0.5.解析 (1)直线AB 过A(-5,0),B(3,-3)两点,由两点式得y -0-3-0=x -(-5)3-(-5).整理得3x+8y+15=0,∴直线AB 的方程为3x+8y+15=0. 直线AC 过A(-5,0)和C(0,2)两点, 由两点式得y -02-0=x -(-5)0-(-5), 整理得2x-5y+10=0.∴直线AC 的方程为2x-5y+10=0. 直线BC 过B(3,-3)和C(0,2)两点,由两点式得y -(-3)2-(-3)=x -30-3. 整理得5x+3y-6=0,∴直线BC 的方程为5x+3y-6=0. (2)∵k AB =-3-03-(-5)=-38,∴AB 边上的高线所在直线的斜率k=83. 故所求直线方程为y-2=83(x-0), 即8x-3y+6=0.(3)设AB 边的中点为D,则D (-1,-32).又C(0,2)∴k CD =-32-2-1-0=72. 故所求直线方程为y-2=72(x-0), 即7x-2y+4=0.6.B ∵直线l 与直线3x+y-1=0垂直,∴k l =13,又直线l 在x 轴上的截距为-2,∴直线l 过点 (-2,0),∴直线l 的方程为y=13(x+2),即x-3y+2=0. 7.D 由题意知3(a-1)+a=0,即a=34.8.A 由题意知两直线的斜率均存在,因为两直线互相平行,所以{a =3a+2,-2≠1a+2,所以a=1或-3.经检验,均为原方程的解. 9.答案 -2解析根据所围成的四边形有外接圆,且k<0,可知该四边形的对角互补,则直线x+2y-3=0和kx+y-1=0互相垂直,因此-12·(-k)=-1,即k=-2. 10.解析 (1)若l 1∥l 2, 则{A 1B 2-A 2B 1=0,A 1C 2-A 2C 1≠0,即{a (a -1)-1×2=0,a (a 2-1)-1×6≠0. 也即{a 2-a -2=0,a (a 2-1)≠6. ∴a=-1,故当a=-1时,l 1∥l 2. (2)∵l 1⊥l 2,∴A 1A 2+B 2B 1=0, 即a+2(a-1)=0,∴a=23,故当a=23时,l 1⊥l 2.11.A ∵所求直线与直线3x-4y+6=0垂直,∴设直线方程为4x+3y+m=0,又∵该直线过点P(4,-1),∴16-3+m=0,即m=-13.故所求直线方程为4x+3y-13=0.12.C 设所求直线方程为2x-3y+m=0(m≠4),因为直线过点(-1,2),故2×(-1)-3×2+m=0,得m=8. 故所求直线方程为2x-3y+8=0.13.解析设所求直线的方程为2x-y+c=0(c≠10).令x=0得y=c;令y=0得x=-c 2.由c+(-c 2)=2得c=4, ∴所求直线的方程为2x-y+4=0.基础过关1.C 因为直线的倾斜角为60°,所以直线的斜率k=tan 60°=√3,故所求直线方程为y-2=√3(x+3).2.A x-2y-2=0化为y=12x-1,其斜率为12,故所求直线的斜率为12.又因为所求直线过点(1,0),所以所求直线方程为y-0=12(x-1),即x-2y-1=0.3.B 根据斜截式方程知,斜率与直线在y 轴上的截距同正负.故选B.4.B ∵两直线平行,∴a=2-a,即a=1.5.答案 x+2y-8=0解析因为所求直线与直线y=2x+1垂直,所以其斜率k=-12,又所求直线在y 轴上的截距为4,故所求直线方程为y=-12x+4,即x+2y-8=0.6.A 过A(1,1),B(0,-1)两点的直线方程可写成y -(-1)1-(-1)=x -01-0,整理得y+11+1=x,故选A.7.解析 (1)当m=2时,过点M(m,0)和点N(2,1)的直线斜率不存在,其方程为x=2.(2)当m≠2时,直线的两点式方程为y -01-0=x -m 2-m ,即x+(m-2)y-m=0.当m=2时,x=2也适合上式.综上,所求直线方程为x+(m-2)y-m=0.8.A 根据截距式方程x a +y b =1(ab≠0),得所求直线方程为x 2+y -3=1,即x 2-y 3=1.9.答案 -12解析令x=0,得y=-12n ;令y=0,得x=-12m .由题意得-12m =-3,-12n =4,∴m=4,n=-3,∴mn=-12.10.答案 3x+2y=0或x-y+5=0解析若截距为0,则设直线方程为y=kx.∵直线过点(-2,3),∴3=k·(-2),∴k=-32,∴y=-32x,即3x+2y=0.若截距不为0,则设直线在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为-a,可得直线方程为x a +y -a =1,∵直线过点(-2,3),∴-2a +3-a =1,∴a=-5,∴直线方程为x -5+y 5=1,即x-y+5=0.综上,适合条件的直线方程为3x+2y=0或x-y+5=0.11.答案 3或5解析当k=3时,l 1:y+1=0,l 2:-2y+3=0,显然两直线平行;当k=4时,l 1:x+1=0,l 2:2x-2y+3=0,显然两直线不平行;当k≠3且k≠4时,要使l 1∥l 2,应有k -32(k -3)=4-k -2≠13,∴k=5.综上所述,k=3或5.12.解析 (1){m 2-2m -3≠0,2m -6m -2m -3=-3⇒m=-53. (2){2m 2+m -1≠0,m 2-2m -32m 2+m -1=-1⇒m=43. 13.解析 (1)因为所求直线与直线3x+4y-20=0平行,所以所求直线的斜率k=-34.又因为所求直线经过点(2,2),所以所求直线方程为y-2=-34(x-2),即3x+4y-14=0.(2)∵l 1⊥l,∴3×2+4×(-a)=0,∴a=32.三年模拟一、选择题1.C 当a>0时,直线y=ax 的斜率k=a>0,直线y=x+a 在y 轴上的截距a>0,此时,选项A 、B 、C 、D 都不符合;当a<0时,直线y=ax 的斜率k=a<0,直线y=x+a 在y 轴上的截距a<0,只有选项C 符合,故选C.2.B 把直线方程Ax-By-C=0转化为斜截式为y=A B x-C B ,因为AB>0,BC>0,所以A B >0,-C B <0,所以直线Ax-By-C=0不经过的象限是第二象限.3.C 因为直线l 在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,且经过第一、二、三象限,故a<0,b>0.4.A y=x+a(a>0)表示斜率为1,在y 轴上的截距为a(a>0)的直线,y=a|x|表示关于y 轴对称的两条射线.画图知当0<a≤1时,只有一个公共点;当a>1时,有两个公共点,故选A.5.C 由已知得直线OP 的斜率为-12,且OP⊥l,∴直线l 的斜率为2.∴直线l 的点斜式方程为y-1=2(x+2),化简得y=2x+5,故选C.二、解答题6.解析 (1)由题意可知,直线AC 的斜率为-2,又A(5,1),∴直线AC 的方程为y-1=-2(x-5),即2x+y-11=0.又点C 在直线2x-y-5=0上,∴由{2x +y -11=0,2x -y -5=0可求C(4,3). (2)由题意可知,点B 在直线x-2y-5=0上,不妨设B(2t+5,t),所以AB 的中点M 的坐标为(t +5,t+12),又点M 在直线2x-y-5=0上,代入M 的坐标可求t=-3.∴B(-1,-3).故直线BC 的方程为y -3-3-3=x -4-1-4,即6x-5y-9=0.7.解析 (1)∵AB 边上的高CD 所在直线方程为x+2y-4=0,∴其斜率为-12,∴直线AB 的斜率为2,且直线AB 过A(0,1),∴AB 边所在的直线方程为y-1=2x,即2x-y+1=0.(2)联立直线AB 和BE 的方程得{2x -y +1=0,2x +y -3=0, 解得{x =12,y =2,∴直线AB 与直线BE 的交点为B (12,2). 设C(m,n),则AC 的中点E 的坐标为(m 2,n+12), 由已知可得{m +n+12-3=0,m +2n -4=0,解得{m =2,n =1,∴C(2,1), ∴BC 边所在的直线方程为y -12-1=x -212-2,即2x+3y-7=0.8.解析解{x -2y +4=0,2x +y -7=0,得{x =2,y =3,∴点A 的坐标为(2,3).设点C 的坐标为(x 0,y 0),∵点M(-1,1)是AC 的中点,∴2+x 02=-1且3+y 02=1,解得x 0=-4,y 0=-1.∴点C 的坐标为(-4,-1).∵CD∥AB,BC∥AD,∴k BC =k AD =-2,k CD =k AB =12.∴直线BC 的方程是y-(-1)=-2[x-(-4)],即2x+y+9=0; 直线CD 的方程是y-(-1)=12[x-(-4)],即x-2y+2=0.9.解析存在.设直线方程为x a +y b =1(a>0,b>0),由条件①可知,a+b+2+b 2由条件②可得12ab=6.又直线过点P (43,2),∴43a +2b =1,联立,得{ a +b +√a 2+b 2=12,12ab =6,43a +2b =1,解得{a =4,b =3.∴所求直线方程为x 4+y 3=1.。

高中数学人教版直线的方程小习题及解析

直线的方程练习题1、若图中的直线、、的斜率分别为、、则（）A ．B ．C ．D ． 2、直线5x-2y-10=0在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则（） A ．a=2,b=5 B ．a=2,b=-5" C ．a=-2,b=5 D ．a=-2,b=-53、若直线与互相平行，则a 的值为（）A ．1B C ．3 4、的倾斜角为（）A ．B ．C ．D ．5、直线过点 (－3,－2)且在两坐标轴上的截距相等，则这条直线方程为（）A ．B ．C ．或D ．或6、已知点、，则线段的垂直平分线的方程为（） A ． B ． C ．D ． 7、直线和直线平行，则实数的值为（） A ．3B ．C ．D ．或 8、直线必过定点，该定点为．9、若三点共线，则的值为． 10、若直线与直线互相垂直，那么的值等于．1L 2L 3L 1K 2K 3K 123K K K <<213K K K <<321K K K <<132K K K <<310ax y ++=40x y +-=10y -+=135︒120︒45︒60︒230x y -=50x y ++=230x y -=50x y ++=50x y ++=50x y -+=()1,3A ()5,1B -AB 310x y +-=340x y ++=210x y -+=210x y --=1:30l ax y --=2:(2)20l x a y +++=a 1-2-31-23y kx k =-+1(2,3),(3,2),(,)2A B C m --m 210ax y ++=20x y +-=a11、已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线方程的方程为_______________________．12、若，则线段的垂直平分线的方程是________.13、已知：直线，绕着它与轴的交点逆时针旋转90°，得到直线，求直线的点法向式方程．14、已知的顶点，，是的中点.（1）求直线的方程；（2）求边上的高所在直线的方程.l ()2,1P l l (4,3),(2,1)-A B AB 2:23l y x =-+x l 'l 'ABC ∆()1,4A -()2,1B --()0,1M BC AC AC参考答案1、【答案】A2、【答案】B3、【答案】D4、【答案】D5、【答案】C6、【答案】B7、【答案】B8、【答案】（2、3）9、【答案】10、【答案】11、【答案】或12、【答案】13、【答案】试题分析：由已知可得直线过点，且与直线垂直，根据直线方程，求出的法向量，即可得出结论.详解：设直线与轴的交点为，则．直线的一个法向量是，它是直线的一个方向向量，所以的一个法向量是，且过点，所以直线的点法向式方程为.【点睛】本题考查直线的点法向式方程，以及直线与直线的位置关系，明确法向量与直线方程关系是解题的关键，属于基础题.14、【答案】（1）；（2）.试题分析：（1）先设，再结合中点坐标公式求解即可；（2）所求直线与直线垂直，可算出斜率，又直线过点，利用点斜式即可求解；【详解】（1）设，由题意得∴∴. ∴直线的方程为；122-20x y -=30x y +-=250x y +-=3(3)20--=x y l '(3,0)P l l l 'l x P (3,0)P l 2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭l 'l '(3,2)-(3,0)P l '3(3)20--=x y 3110x y +-=350x y -+=(),C x y AC B (),C x y 20,12,x y -+=⎧⎨-+=⎩2,3,x y =⎧⎨=⎩()2,3C AC 3110x y +-=（2）∵，，∴，∴边上的高所在直线的斜率，∴边上的高所在直线方程为：，即.【点睛】本题考查中点坐标公式，直线方程的求法，属于基础题()1,4A -()2,3C 13AC k =-AC 3k =AC ()321y x =+-350x y -+=。

高中数学人教B版 2.2.2 直线的方程课后练习、课时练习

一、单选题1. 过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（）A．B．或C．或D．或2. 若直线在轴上的截距为，且它的倾斜角是直线的倾斜角的倍，则（）A．B．C．D．3. 已知直线在轴上的截距为-3，则实数n的值为（）A．B．C．D．4. 已知为非零实数，且满足，则一次函数的图象一定经过第（）象限．A．一B．二C．三D．四5. 经过点，且与直线平行的直线方程为（）A．B．C．D．6. 已知直线的方程为，则直线（）A．恒过点且不垂直轴B．恒过点且不垂直轴C．恒过点且不垂直轴D．恒过点且不垂直轴二、多选题7. 下列说法正确的是（）A．直线必过定点B．直线在轴上的截距为C．直线的倾斜角为D．过点且垂直于直线的直线方程为8. 下列说法正确的有（）A．若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限.B．直线不过定点.C．过点，且斜率为的直线的点斜式方程为. D．斜率为，且在轴上的截距为的直线方程为.三、填空题9. 一条直线经过，并且倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的方程为__________．10. 在y轴上的截距为-6，且与y轴相交成30°角的直线方程是____.11. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为__________．12. 直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为、，则直线l的方程为______．四、解答题13. 过作直线l，与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，求使最小值的直线l的方程．14. 求经过直线与直线的交点且满足下列条件的直线方程．（1）与直线垂直；（2）在两条坐标轴上的截距相等；15. 求过点与点的直线方程．16. 在平面直角坐标系中，画出满足下列条件的直线：（1）直线过原点，斜率为；（2）直线过点，斜率为；（3）直线过点，斜率为；（4）直线过点，斜率不存在．。