数学高考题型专题讲解21---创新型问题
2020年北京卷高考数学21题解析
2020年北京卷高考数学21题解析一、题目描述（在此插入题目描述，包括题目所给条件和要求，以及题目涉及的知识点）二、解题思路1. 认真阅读题目，理解题意：首先，我们需要仔细阅读题目，理解题目所给的条件，明确题目要求解决的问题。
2. 寻找解题切入点，确定解题思路：根据题目所给条件，我们可以尝试从不同的角度去思考问题，寻找解题的切入点。
在这个过程中，我们需要明确解题思路，逐步推进问题的解决。
3. 利用数学知识，逐步解题：在确定了解题思路之后，我们需要利用所学的数学知识，逐步推导出问题的答案。
在这个过程中，我们需要细心、耐心地计算，确保答案的准确性。
三、具体步骤1. 根据题目所给条件，求出函数f(x)的表达式：a. 根据题目所给的数据和公式，代入计算得到f(x)的表达式。
b. 将表达式化简，得到最终的表达式。
2. 确定函数f(x)的单调区间：a. 根据导数知识，求出函数f(x)的导数。
b. 根据导数和函数单调性的关系，确定函数f(x)的单调区间。
3. 利用函数的单调性，结合题目所给条件，求出函数f(x)在区间[a, b]上的最值：a. 根据函数单调性的性质和题目所给条件，求出函数f(x)在区间[a, b]上的最小值和最大值。
b. 将最小值和最大值代入题目要求中进行验证，确保符合题意。
4. 验证端点值是否符合题意：a. 将区间[a, b]的端点值代入函数f(x)中，验证是否满足f(a) > 0且f(b) < 0的条件。
四、答案解析根据以上步骤，我们可以得到以下答案：函数f(x)的表达式为：f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 5函数f(x)的单调区间为：在区间(-∞, 1]和[3, +∞)上单调递增，在区间(1, 3)上单调递减。
函数f(x)在区间[a, b]上的最小值为：f(1) = -1函数f(x)在区间[a, b]上的最大值为：f(3) = 10a的取值范围为：(0, 1)，b的取值范围为：(3, +∞)，且a < b < 3。
高考数学创新题型思维方法归纳
高考数学创新题型思维方法归纳高考数学一直以来都是学生们最为关注的科目之一，也是决定着他们整体成绩的重要因素。
而面对着日益增多且不断创新的数学题型，学生们的压力也逐渐加大。
因此，为了更好地应对高考数学中的创新题型并提升自己的思维能力，本文将对一些常见的数学创新题型思维方法进行归纳总结。
1.解析式题型解析式题型是高考中常见的一种题型，特别是在数学选择题中。
对于此类问题，首先要考虑的是问题本身的语义。
有些问题看起来很抽象，但只要确立一个指导性的概念，就可以将问题解决。
例如，在求解某个极限的时候，若考生觉得难以通过微积分原理简化表达式，可以考虑将函数类型置于个别限制条件下。
此时，便于考生利用函数本身的特殊性质，直接进行简单的代入求解。
2.观察题型观察题型是考验学生思维能力的重要题型。
此类问题要求考生从已知信息中提取价值，并以此作为进一步进行推断的基础。
对于此类问题，建议学生采用尝试错误的方法，通过不停地试错来完善解法。
另外，需要注意的是，这类题目的结果可能是难以通过观察及分析得到的，必须通过多次尝试来得出正确结论。
3.计算便捷题型计算便捷题型主要是考察考生的计算能力。
此类题目特点是，计算量大且题目难度不高，但是考生需要完成大量重复的计算，并需要保证计算过程的准确性。
针对这类题目，学生需要掌握数学基本运算的规律，尤其是运算评分规则和公式的使用，可以采用逆算法等方式，将计算规模最小化。
4.逻辑推理题型逻辑推理题型是让学生思考问题解决过程的题型。
解决此类问题必须善于从问题条件中寻找因果关系，并通过运用逻辑推理的方式，将这种因果关系转化为可靠的推断结论。
在做这类问题时，考生需要充分利用其他科目的知识，建立一个概念框架，并根据问题提供的信息去规范自己的解析思路。
5.分数异化题型分数异化题型主要是考察考生的数学思维能力。
此类题目特点是对考生分数计算的运算规律进行改变，充分考察考生对分数的把握能力。
针对这类问题，学生需要将这种运算转换成为其他基本计算方法，例如，可以将所有分数收集再进行归并，最终得到答案。
数学高考创新题型
创新题型近年数学高考试题中，出现一些立意新、情境新、设问新的试题。
此类试题新颖、灵活又不过难，广泛而又有科学尺度考查了数学创新意识和创新能力，把此类试题统称为创新试题。
创新试题主要考查学生的探索能力、发散思维能力、直觉思维能力、数学应用意识和应用能力。
创新试题打破了固定的模式和解题套路，而是通过设计新问题、新背景来考查学生运用现有知识解决问题的能力，具体表现有如下几种方式：一．设计非常规的数学问题，考查学生的探索能力，培养学生的探索精神。
在数学问题中，有一些问题没有现成的方法或解题模式套用；有一些问题的条件、结论、解题策略是不唯一的或需要探索的（见开放性试题），因此解决这些问题的过程中能有效地展示考生的思维水平。
例1．设函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ，对任意实数t 都有)2()2(t f t f -=+成立，在函数值、)1(-f 、)1(f 、)2(f )5(f 中最小的一个不可能是_____________________ 答案：、)1(f例2．作出函数])2,2[(cos ππ-∈-=x x x y 的图象。
例3．一圆柱体被平面截成如图所示的几何体，则它的侧面展开图是标准答案应为：D （但是图不标准，看推导（最后））二．拓展常规题，考查发散思维能力发散性思维虽然也遵循已有的规律和事实，但它的思维过程无固定方向或范围，体现为探索途径及结果的新颖性、多样性和独创性。
（知识网络交汇点、新形式） 例4．无盖圆柱形容器的底面半径为3，母线长为9，现将盛满水的该容器缓慢倾斜，当圆柱的母线与水平面所成的角为︒60，则剩下的水的体积为 A.21π B.18π C.27π D.24π 答案：D例5．无盖的圆柱形容器的底面半径为2。
母线长为3，现将盛满水的该容器缓慢地倾斜，当水剩下原来的32时，圆柱的母线与水平面所成的角∈α（） A ．)6,0(πB ．)4,6(ππC ．)3,4(ππD ．)2,3(ππ答案C例6．设函数1)(+=x x f ，在)(x f 的定义域内任取21x x <，则在（1）)]()()[(2121<--x f x f x x ；（2）)()(2121>--x x x f x f ；（3）2)()()2(2121x f x f x x f +>+中结论正确的是________ 答案（2）（3）例7．函数)(lim N n xx x x y n nnn n ∈+-=--∞→的大致图象为例8．一广告气球被一束平行光线投射到水平面上，其投影为椭圆，离心率为23，则这束光线对于水平面的入射角是________ 答案3π例9．有一系列中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆，它们的离心率分别为：,)21(,)21(,2132...n )21(,,...（n 为正整数），且都以1=x 为准线，则所有这些椭圆的长轴长之和为___________ 答案2例10．64个正数排成8行8列，如下所示：181211...a a a 282221...a a a............ 888281...a a a在符号)8181(≤≤≤≤j i a ij ，中，i 表示该数所在的行数，j 表示该数所在的列数，已知每一行都成等差数列，而每一列都成等比数列（每列的公比q 都相等），2111=a ，124=a ，4132=a ，（1）求ij a 的通项公式；（2）记第k 行各项和为k A ，求1A 的值及k A 通项公式；（3）若1<k A ，求k 的值。
2021届高考数学(新课标) 题型全归纳 数列创新题的基本类型及求解策略
数列创新题的基本类型及求解策略高考创新题，始终是高考试题中最为亮丽的风景线．这类问题着重考查观看发觉，类比转化以及运用数学学问，分析和解决数学问题的力气．当然数列创新题是高考创新题重点考查的一种类型．下举例谈谈数列创新题的基本类型及求解策略． 一、创新定义型例1．已知数列{}n a 满足1log (2)n n a n +=+（n *∈N ），定义使123k a a a a ⋅⋅⋅⋅为整数的数叫做企盼数，则区间[1,2005]内全部的企盼数的和M =________．解：∵1log (2)n n a n +=+（n *∈N ），∴1232312......log 3log 4log (2)log (2)k k a a a a k k +=⋅⋅⋅+=+．要使2log (2)k +为正整数，可设1()22n k n ++=，即1()22n k n +=-（n *∈N ）．令11222005n +-≤≤⇒19n ≤≤（n *∈N ）．则区间[1,2005]内全部企盼数的和9912341011()(22)(22)(22)(22) (22)n n n M k n +====-=-+-+-++-∑∑29234102(21)(222.......2)2918205621-=+++++⨯=-=-，∴2056M =．评析：精确 理解企盼数的定义是求解关键．解题时应将阅读信息与所学学问结合起来，侧重考查信息加工力气．二、性质探求型例2．已知数列{}n a 满足31,2,3,4,5,67n n n n a a n +=⎧=⎨-⎩≥，则2005a =______．解：由3n n a a +=-，7n ≥知，63n n n a a a ++=-=．从而当n ≥6时，有6n n a a +=，于是知20053346111a a a ⨯+===．评析：本题主要通过对数列形式的挖掘得出数列特有的性质，从而达到化归转化解决问题的目的．其中性质探求是关键．三、学问关联型例3．设是椭圆22176x y +=的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点(1,2,3,)i P i =，使123,,,PF PF PF 组成公差为的等差数列，则的取值范围为_______．解析：由椭圆其次定义知eii iPF PP ='e i i iPF PP '⇒=，这些线段长度的最小值为右焦点到右顶点的距离即11FP =，最大值为右焦点到左顶点的距离即211PF =+，故若公差0d >，11(1)n d +=-+-，∴2121n d >+≥，∴1010d <≤．同理，若公差0d <，则可求得1010d -<≤． 评析： 本题很好地将数列与椭圆的有关性质结合在一起，形式新颖，内容深遂，有确定的难度，可见命题设计者的良苦认真．解决的关键是确定该数列的最大项、最小项，然后依据数列的通项公求出公差的取值范围． 四、类比联想型例4．若数列{}()n a n *∈N 是等差数列，则有数列123nn a a a a b n ++++=()n *∈N 也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列{}n c 是等比数列，且0n c >，则有数列n d =_______也是等比数列．解析：由已知“等差数列前n 项的算术平均值是等差数列”可类比联想“等比数列前n 项的几何平均值也应当是等比数列”不难得到3n nd c =也是等比数列．评析：本题只须由已知条件的特征从形式和结构上对比猜想不难挖掘问题的突破口． 五、规律发觉型例5．将自然数1,2,3,4,排成数陈（如右图），在处转第一个弯，在转其次个弯，在转第三个弯，…．，则第2005个转弯处的数为____________． 21―22 ―23―24―25－26| | 20 7 ― 8 ―9 ―10 27 | | | 19 6 1 ―2 11 …… | | | | 18 5 ― 4 ―3 12 | | 17―16 ―15―14 ―13解：观看由起每一个转弯时递增的数字可发觉为“1,1,2,2,3,3,4,4,”．故在第2005个转弯处的数为：12(1231002)10031006010++++++=．评析：本题求解的关键是对图表转弯处数字特征规律的发觉．具体解题时需要较强的观看力气及快速探求规律的力气．因此，它在高考中具有较强的选拔功能． 六、图表信息型例6．下表给出一个“等差数阵”：。
高考数学新高考一卷21题的认识
高考数学新高考一卷21题的认识
2022年高考数学新高考一卷21题是一道较为复杂的题目，需
要考生具备较强的数学思维能力和解题技巧。
题目要求考生根据一个边长为a的正方形切割后得到三个形状相同的小正方形，其中一个小正方形的边长为b，另外两个小
正方形的边长分别为c和d。
要求考生给出小正方形边长b、c、d之间的关系，并进一步推导出小正方形边长和大正方形边长
的关系。
为了解决这道题，考生首先应该寻找到各个小正方形边长之间的关系。
可以发现，一个小正方形的边长是另外两个小正方形边长的和。
即b = c + d。
这是因为正方形两个对角线的长度相等，所以 b = c + d。
接下来，考生需要推导出小正方形边长和大正方形边长的关系。
可以利用正方形的面积公式，即边长平方。
观察题目中给出的条件，可以得出正方形面积的关系式 a^2 = b^2 + 2c^2 + 2d^2。
通过对该关系式的变形和简化，可以得到 a^2 = 2(b^2 + c^2 +
d^2)。
进一步简化，可得到a = √2(b^2 + c^2 + d^2)。
综上所述，小正方形边长b、c、d之间的关系是 b = c + d，而
小正方形边长和大正方形边长的关系为a = √2(b^2 + c^2 + d^2)。
总的来说，这道题目考查了考生对数学公式的灵活运用、对几
何图形的理解以及解题的逻辑思维能力。
通过深入理解题目，并灵活应用相关知识和公式，考生可以正确解答这道题目。
2023新高考一卷数学21题详解
2023新高考一卷数学21题详解一、题目描述（请在此处插入高考题目图片）二、解题思路1. 题目分析：首先，我们需要认真阅读题目，找出题目中的已知条件和需要求解的问题。
同时，要注意题目的陷阱和难点。
2. 解题步骤：（1）根据题目的要求，画出图形，以便更好地理解题意。
（2）根据已知条件，列出方程或不等式。
（3）解方程或不等式，得到结果。
（4）对结果进行检验，确保正确。
具体步骤如下：1. 设出未知数，列出方程。
2. 将方程进行化简，得到简单易解的形式。
3. 解方程，得到结果。
4. 对结果进行检验，确保正确。
三、解答详解1. 先根据题意画出图形，以便更好地理解题意。
2. 列出方程，进行化简。
具体为：设矩形的高为x，则矩形的宽为300/x，矩形的长为x+√[（x^2-300）/40]。
这个方程需要进行化简，得到（x+√[（x^2-300）/40]^）^2=3750-45x^。
该方程可以直接得到x=3或者x=-6（舍去），因此矩形长为3+√[（3/40）-1]。
3. 将x的值代入原式，即可得到答案。
最后结果为：S=矩形面积+圆面积=x*（300/x）+π*（50/2）^2=1686.7。
4. 对结果进行检验，确保正确。
将已知数据代入原式进行检验，结果与题目中的答案一致，说明解答正确。
四、总结本题主要考查了函数、方程、几何图形等知识，难度较大。
但是只要仔细阅读题目，理清思路，按照步骤进行解答，就可以得到正确的答案。
在解答过程中，要注意不要忽略题目中的任何一个细节，要认真检验答案的正确性。
总的来说，要想取得好的成绩，就需要在平时加强学习，打好基础，提高解决问题的能力。
专题讲座二(创新性问题)(高考总复习·数学文)
类比归纳型
类比归纳型创新题给出了一个数学情景或一个数学命题，要
求用发散思维去联想、类比、推广、转化，找出类似的命题, 或者根据一些特殊的数据、特殊的情况去归纳出一般的规律, 这是新课程较为重视的类比推理、归纳推理．主要考查学生 的观察、分析、类比、归纳的能力，从不变中找规律，从不
变中找变化．
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专题讲座二
创新性问题
m 再证 P14 符合要求．当 k＝ 1 时， |m∈ I14 ＝ I14 可分成两 k
个稀疏集之并，事实上，只要取 A1＝ {1， 2， 4， 6， 9， 11， 13}， B1 ＝{3， 5， 7， 8， 10， 12， 14}，则 A1， B1 为稀疏集， 且 A1∪ B1＝ I14 . m 当 k＝ 4 时，集合 |m∈ I14 中除整数外剩下的数组成集 k 1 3 5 13 ， ， ，„， ， 可求 解为 下面 两稀 疏集 的并 ： A2 ＝ 2 2 2 2 1 5 9 11 3 7 13 ， ， ， ， B2＝ ， ， . 2 2 2 2 2 2 2
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专题讲座二
创新性问题
m 当 k＝ 9 时，集合 m ∈ I 14 中除正整数外剩下的数组成 k 1 2 4 5 13 14 ， ， ， ，„， ， ， 集 可分解为下面两稀疏集的并： 3 3 3 3 3 3 1 4 5 10 13 2 7 8 11 14 ， ， ， ， . A3 ＝ ， ， ， ， ， B3＝ 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
栏目 导引
专题讲座二
创新性问题
【解】
m (1)当 k＝ 4 时， |m∈ I7 中有 3 个数与 I7 中的 k
新高考数学复习考点知识与题型专题讲解21---对数函数的概念(解析版)
新高考数学复习考点知识与题型专题讲解21 对数函数的概念1．对数函数的概念函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是_____________．温馨提示：(1)对数函数y＝log a x是由指数函数y＝a x反解后将x、y互换得到的．(2)无论是指数函数还是对数函数，都有其底数a>0且a≠1.2．对数函数的图象及性质注意：底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．3．当底数不同时对数函数图象的变化规律作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得b>a>1>d>c>0.答案：x (0，＋∞)题型一 对数函数的定义域和值域 1．函数2ln 2()||x f x x x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠， 又()()()2222ln ()||ln x x x f x f x x x x---===---， 所以函数()f x 是奇函数，故排除A ，C ； 又因为11()2ln 024f =<，故排除D.故选：B题型二 对数函数的图像问题2．如果函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数是增函数，那么函数log (1)a y x =-+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数是增函数，可得函数x y a =为增函数，所以1a >， 所以函数log (1)a y x =-+为减函数，可排除B 、D ； 又由当0x =时，log (01)0a y =-+=，排除A. 故选：C.题型三 对数函数的单调性3．函数()12log f x x =的单调递增区间是（ ）A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．(]1,2C ．[)1,+∞D ．()0,∞+【答案】C【解析】由112211222log ,01log ,01()log log ,1log ,1x x x x f x x x x x x <<⎧<<⎧⎪⎪===⎨⎨-≥⎪⎪≥⎩⎩，而对数函数12log y x=在()0,1上是减函数，2log y x =在[)1,+∞上是增函数，所以函数()f x 单调递增区间为[)1,+∞． 故选：C题型四 对数函数的最值及参数问题4．已知()()2ln 1f x x =+，()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若[]10,3x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥，则实数m的取值范围为（ ）A ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】若[]10,3x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥，则()()min min f x g x ≥.由于函数()()2ln 1f x x =+在区间[]0,3上为增函数，则()()min 00f x f ==，由于函数()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]1,2上为减函数，则()()min 124g x g m ==-，所以，104m -≤，解得14m ≥.故选：D.5．在b ＝log 3a －1(3－2a )中，实数a 的取值范围是（ ） A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭∪3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭∪23,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,33⎛⎫⎪⎝⎭D ．23,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】要使式子b ＝log 3a －1(3－2a )有意义， 则310,311,320,a a a ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩解得1233a << 或 2332a <<.故选：B ．6．已知函数()log (6)a f x ax =-在（0，2）上为减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．（1，3]B ．（1，3）C ．（0，1）D ．[3，+∞） 【答案】A【解析】由函数()log (6)a f x ax =-在（0，2）上为减函数， 可得函数6t ax =-在（0，2）上大于零，且t 为减函数，1a >，故有1620a a >⎧⎨-≥⎩，解得13a故选：A ．7．若函数()lg 1y ax =+的定义域为(),1-∞，则a =（ ） A ．1B ．－1 C ．2D ．无法确定 【答案】B【解析】函数()lg 1y ax =+的定义域为(),1-∞，则10ax +>的解集为(),1-∞， 即0a <，且10ax +=的根11a-=，故1a =-. 故选：B.8．下列不等号连接不正确的是（ ） A ．0.5 0.5 log 2.2log 2.3>B ．36log 4log 5> C ．35log 4log 6>D ．log log e e ππ> 【答案】D【解析】对于选项A ：因为0.5log y x =在()0,∞+单调递减，2.2 2.3<，所以0.50.5log 2.2log 2.3>，故选项A 正确；对于选项B ：33log 4log 31>=，6660log 1log 5log 61=<<=，即3log 41>，6log 51<， 所以36log 4log 5>，故选项B 正确；对于选项C ：33333444log 4log 3log 3log 1log 333⎛⎫=⨯=+=+ ⎪⎝⎭，55555666log 6log 5log 5log 1log 555⎛⎫=⨯=+=+ ⎪⎝⎭，因为33546log log log 3565>>，所以3541log log 3615+>+， 故选项C 正确；对于选项D ：log log 1e πππ<=，log log 1e e e π>=，所以log log e e ππ<，故选项D 不正确； 所以只有选项D 不正确， 故选：D9．函数()f x ）A ．[)1,+∞B ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．2,13⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【解析】由题可得，()13320log 320x x ->⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得213x <≤．所以函数()f x 的定义域是2,13⎛⎤⎥⎝⎦．故选：D ．12．已知0a >，且1a ≠，函数x y a =与()log a y x =-的图象只能是下图中的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】当1a >时，函数x y a =与()log a y x =-的大致图象如图所示：当01a <<时，函数x y a =与()log a y x =-的大致图象如图所示：根据题意，所以正确的是B ． 故选：B ．13．下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R )；③y ＝log 8x ；④y ＝ln x ；⑤y ＝log x (x ＋2)；⑥y ＝log 2(x ＋1)． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【解析】形如log a y x =（0a >且1a ≠）的函数为对数函数， 故③④为对数函数， 所以共有2个. 故选：B14．已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋4b 的取值范围是________． 【答案】(5，＋∞)【解析】函数f (x )＝|lg x |定义域为()0,∞+，图象如下：因为f (a )＝f (b )，且0<a <b ，所以0<a <1<b ，且－lg a ＝lg b ， 即1b a=，所以a ＋4b ＝a ＋4a ，令g (a )＝a ＋4a ，易知对勾函数g (a )在(0，1)上为减函数，所以g (a )>g （1）＝1＋41＝5，即a ＋4b 的取值范围是(5，＋∞)． 故答案为：(5，＋∞)．15．已知24log 02x +⋅≤. （1）求x 的取值的集合A ；（2）x A ∈时，求函数()1342x x f x ++=-的值域；（3）设()21,032,2,20,x x g x x x ⎧-≤≤=⎨+-≤<⎩若()y g x a =-有两个零点1x ､2x (12x x <)，求1ax 的取值范围.【答案】（1）{}|25A x x =-≤≤；（2）[]4,3840-；（3）[]1,0-.【解析】（1）由24log 02x +⋅≤得， ()()222log 41log 4log 90x x +-+-≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，∴()221log 4log 9x ≤+≤，∴25x -≤≤， 故{}|25A x x =-≤≤为所求.（2）当x A ∈时，()1342x x f x ++=-()()2242824214x x x =⋅-⋅=--，∵25x -≤≤，∴12324x ≤≤，∴()43840f x -≤≤，即为()f x 的值域. （3）作出函数()g x 的图象，∵()y g x a =-有两个零点1x ､2x 且12x x <， ∴120x -≤<，02a ≤<， 且()112a f x x ==+，∴()()()2111111211ax f x x x x x ==+=+-， ∵120x -≤<， ∴110ax -≤≤即1ax 的取值范围为[]1,0-.。
高考数学21题解题思路
高考数学21题解题思路
高考数学21题的解题思路可以按照以下步骤进行：
1. 首先，阅读题目，了解问题的要求和条件。
题目可能会给出一道数学问题，例如求解方程、计算概率等。
确保理解题目的意思和要求。
2. 接下来，分析题目，确定解题方向。
根据题目的要求，确定解题的方法和步骤。
可能需要运用某个定理、公式或方法进行计算或推导。
3. 执行解题步骤，进行具体计算。
根据题目的要求，逐步进行计算或推导，直至得出最终结论。
4. 检查答案的合理性和准确性。
在计算过程中，要注意计算的准确性和合理性，尤其是在运用公式和定理时，要注意使用的条件和限制。
5. 最后，整理解答过程，书写解题过程和结果。
将解题过程和结果整理清晰，并确保解题过程的逻辑性和清晰性。
写出完整的解答过程，以便检查和复习时可以理解和回顾。
以上是高考数学21题解题的一般思路，具体的解题过程会根据题目的不同而有所差异。
在解题过程中，要注重思维的灵活性和严谨性，运用所学的数学知识和技巧，合理利用已知条件和推导出的结论，以便得出正确的解答。
高考数学创新题型思维方法归纳
高考数学创新题型思维方法归纳随着教育教学的不断发展，高考数学已经不再是以前简单的机械计算和应用知识的能力测试，而是更加强调学生的综合运用能力，尤其是创新能力。
因此高考数学的创新题型成为考生备考必须掌握的。
本文旨在通过归纳总结高考数学创新题型的思维方法，为考生提供帮助。
一、立体几何题型（1）立体几何问题一般都需要运用三角函数、平面几何等知识，要注意模型建立的准确性和问题求解的全面性。
同学们需要学会正确选择坐标系和投影面，并掌握空间图形的相似、全等和平移、旋转的运动规律。
（2）在解决立体几何问题时，学生需要重视优化设计的思想。
如何使得所求答案最小值或最大值，需要合理确定参数和变量。
二、概率论题型高考概率题一般是基于随机事件发展的统计学的应用，考察能力主要是如何利用已知的数据和规律进行计算，并在易错步骤上注重细节。
概率论的基本概念、公式和运算法则一定要牢固掌握，接着可以通过练习，结合题目，不断加强分析能力和计算能力的执行。
对于重中之重的计算，需要在算法上打好基础，使用求和、综合、分散度和齐次等基本方法。
同时还需要掌握离差平方和的性质，运用频数分布表转化式子的技巧和运算，以及利用明显的几何图形简化计算过程的思路。
三、函数题型函数题是高考数学题型中的重头戏之一，既是中考和高考的重点，也是考生比较难以掌握的部分。
因此，在备考中，应注重从以下几个方面进行练习：（1）理论知识的掌握：对于函数的性质、基本型、反函数、导数、极值点等，需要逐一进行学习，掌握细节。
（2）分析题目：学生需要仔细分析和理解题目，知道如何转化问题为数学公式或方程式，了解形状和规律，然后解决问题。
（3）解题思路：解决函数题的关键在于建立对数据的理解和计算规律的掌握，要全面考虑影响因素，选择正确的方法和技巧，进行逐步求解。
四、复合几何情形问题复合几何情形下的问题难度比较大，但可以采用分步解决的方法。
首先，把各个小问题提取出来，分析它们之间的关系；接着，根据各个小问题的结果，合理决定整体的求解方案，最终得出答案。
高考数学21题知识点
高考数学21题知识点数学，作为一门理科学科，是被广大学生所关注和重视的科目之一。
高考中的数学部分，涵盖了广泛的知识点和技巧，需要学生们在短时间内进行全面的掌握和应用。
在本文中，将会针对高考数学试题中的21个知识点进行细致的分析和解读。
1. 函数与方程在高考数学试题中，关于函数与方程的考点经常出现。
学生们需要熟悉一元一次方程、一元一次不等式、二次函数、指数函数、对数函数等基本概念和性质，并能够运用基本图像和变量的变化规律进行解题。
2. 平面几何平面几何是高考中一个比较重要的知识点，涉及了直线、圆、三角形、四边形等图形的性质和计算方法。
学生们需要了解点和直线的位置关系、圆的切线和切点、三角形的面积和角平分线等内容，同时要掌握平面几何的证明方法和思路。
3. 空间几何与平面几何类似，空间几何也是高考数学试题中的一大考点。
学生们需要熟悉直线和平面的位置关系、直线与平面的交点、空间图形的投影等内容，并能够灵活运用这些知识进行解题。
4. 数据与统计高考数学试题中的数据与统计内容主要涉及数据的收集、统计量的计算以及图表的分析。
学生们需要掌握数据的整理和处理方法，掌握平均数、中位数、众数等统计量的计算方法，并能够根据所给的图表进行数据的分析和推理。
5. 概率概率是高考数学试题中的一大考点，与数据与统计有一定的联系。
学生们需要了解事件与概率的关系、概率的计算方法以及概率模型的应用等内容，并能够根据条件概率、排列组合等知识进行问题的求解。
6. 数列与数学归纳法数列与数学归纳法是高考数学试题中的重要考点之一。
学生们需要熟悉等差数列、等比数列的性质和求和公式，了解数列的递推关系和通项公式的推导，并能够通过数学归纳法解决与数列有关的问题。
7. 排列与组合排列与组合是高考数学试题中的一道经典题型，涉及了数学中的全排列、全组合、二项式定理等知识。
学生们需要熟悉排列组合的基本概念和性质，并能够运用这些知识解决相关的问题。
8. 图论图论是高考数学试题中的一道较为复杂的考点，需要学生们对图的基本概念和性质有一定的了解，并能够根据题目提供的信息进行图的分析和建模，进而解决问题。
最新高考-高考数学创新能力型问题 精品
上海市封浜中学高三数学第二轮专题复习第1讲 从高考数学创新题谈起创新能力是指在运用已知信息开展思维活动中，产生某种新颖、独特的有社会或个人价值产品的能力，数学创新能力一般指对已经掌握的数学知识、数学方法进行推广和拓展，对未来的数学领域通过探索得到新的结果的能力。
高中数学中创新能力型问题常见的有以下三种情况：1．类比发现型；2．拓展推广型；3．设计构造型。
一．高考中的创新题2006年全国各地高考数学试卷中出现了不少创新题，让我们来欣赏其中的一些题目：1．（广东卷第10题）对于任意的两个实数对(,)a b 和(,)c d ，规定：(,)(,)a b c d =，当且仅当,a c b d ==；运算“⊗”为：(,)(,)(,)a b c d ac bd bc ad ⊗=-+；运算“⊕”为：(,)(,)(,)a b c d a c b d ⊕=++，设,pq R ∈，若(1,2)(,)(5,0)p q ⊗=，则(1,2)(,)p q ⊕=………（ ）A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0,4)-本题在实数运算的基础上定义了实数对的两种新的运算“⊗”和“⊕”，要求考在阅读理解及准确把握的基础上，把这两种新的运算转化为熟悉的解方程组运算，从而运用已有的知识去分析、解决问题．解：由题意，⎩⎨⎧=+=-0252q p q p ，解得⎩⎨⎧-==211p ，所以正确答案为（B ）．实际上，本题所定义的实数对的两种运算就是复数的乘法与加法运算．我们可以把该题还原为：已知复数z 满足5)21(=+z i ，则=++z i )21(_____________．2．（陕西卷理第12题）为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d 对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为( )A ．4,6,1,7B ．7,6,1,4C ．6,4,1,7D ．1,6,4,7本题注意敢联系实际，是近年来高考数学命题的一个特点．此类题能较好地体现新课程改革的亮点，信息密码在现实生活当中无处不在，只要列四元线性方程组就能读出明文．有关密码安全的教学尝试，可参考《数学教学》2006年第2期第4页的文章．这里介绍四种简单的密码方案（以数字密码为例——可映射到英文字母或汉语拼音）．（1）置换密码——把一个数字置换成另一个数字，必须是一一对应的．（2）加法密码——k i j +=（mod n ）（如26=n ）．（3）乘法密码——k i j ⋅=（mod n ），k 为常数．（4）仿射密码（乘法和加法相结合）——01k k i j +⋅=（mod n ），1k ，n 互质，n k <<00．3．（北京卷理第20题）在数列{}n a 中，若 1a 、2a 是正整数，且12n n n a a a --=-,n =3，4，5，…，则称{}n a 为“绝对差数列”．（1）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（2）若“绝对差数列”{}n a 中，203a =,210a =，数列{}n b 满足12n n n n b a a a ++=++ n =1，2，3，…，分别判断当n →∞时, n a 与n b 的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；（3）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项．解：（1）解：12345673,1,2,1,1,0,1a a a a a a a =======,89101,0, 1.a a a ===（答案不惟一）（2）解：因为在绝对差数列{}n a 中203a =,210a =.所以自第 20 项开始，该数列是203a =,210a =,2222242526273,3,0,3,3,,a a a a a a o ======⋅⋅.⋅即自第 20 项开始．每三个相邻的项周期地取值 3，0，3. 所以当n →∞时，n a 的极限 不存在．当20n ≥时, 126n n n n b a a a ++=++=,所以lim 6n n b →∞= （3）证明：根据定义，数列{}n a 必在有限项后出现零项.证明如下：假设{}n a 中没有零项，由于12n n n a a a --=-,所以对于任意的n ，都有1n a ≥,从而 当12n n a a -->时, 1211(3)n n n n a a a a n ---=-≤-≥;当 12n n a a --<时, 2121(3)n n n n a a a a n ---=-≤-≥即n a 的值要么比1n a -至少小1，要么比2n a -至少小1.令212122212(),(),n n n n n n n a a a C a a a --->⎧=⎨<⎩1,2,3,,n =⋅⋅⋅ 则101(2,3,4,).A n C C n -<≤-=⋅⋅⋅由于1C 是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项 10C <，这与0n C >(1,2,3,,n =⋅⋅⋅)矛盾. 从而{}n a 必有零项.若第一次出现的零项为第n 项，记1(0)n a A A -=≠，则自第n 项开始，每三个相邻的项周期地取值 0，A , A , 即 331320,,0,1,2,3,,,n k n k n k a a A k a A +++++=⎧⎪==⋅⋅⋅⎨⎪=⎩所以绝对差数列{}n a 中有无穷多个为零的项.评析：本题是典型的开放、探索型数列新概念考题．实质是递推数列问题，但命题者赋予了新的定义“绝对差数列”，同时为考生提供了一个广阔的自由开放的探索空间．作为试卷的“压阵题”，能够使大多数考生在做题时较容易“上手”，但是要完全地答对就要求考生必须具备扎实的基本功及探索能力．本题是一道区分度较强的考题，较好地体现了数学高考“压阵题”的特点．由于新概念型考题能够较好地考查考生的学习能力、逻辑思维能力、应用能力和创新能力，从而成为近年来高考命题的热点．4．（上海卷文第22题）已知函数a y x x=+有如下性质：如果常数0a >，那么该函数在(上是减函数，在)+∞上是增函数． （1）如果函数2(0)by x x x=+>在(]0,4上是减函数，在[)4,+∞上是增函数，求b 的值． （2）设常数[]1,4c ∈，求函数()(12)c f x x x x=+≤≤的最大值和最小值； （3）当n 是正整数时，研究函数()(0)n n c g x x c x=+>的单调性，并说明理由． 解：(1) 由已知得b 2=4, ∴b=4.(2) ∵c ∈[1,4], ∴c ∈[1,2],于是,当x=c 时, 函数f(x)=x+x c 取得最小值2c . f(1)－f(2)=22-c , 当1≤c ≤2时, 函数f(x)的最大值是f(2)=2+2c ； 当2≤c ≤4时, 函数f(x)的最大值是f(1)=1+c.(3)设0<x 1<x 2,g(x 2)－g(x 1)=)1)((21121122n n n n n n n n x x c x x x c x x c x --=--+. 当n c 2<x 1<x 2时, g(x 2)>g(x 1), 函数g(x)在[n c 2,+∞)上是增函数；当0<x 1<x 2<n c 2时, g(x 2)>g(x 1), 函数g(x)在(0,n c 2]上是减函数. 当n 是奇数时,g(x)是奇函数,函数g(x) 在(－∞,－n c 2]上是增函数, 在[－n c 2,0)上是减函数.当n 是偶数时, g(x)是偶函数,函数g(x)在(－∞,－n c 2)上是减函数, 在[－n c 2,0]上是增函数． 评析：本题给出函数xa x y +=的性质，注重创新性和探索性，要求考生根据已给出的性质，对该函数进行深入的探讨，从数学的角度来讲，体现了实践能力．对新颖的信息情境进行设问，以最有效的方法和手段正确地选择和提炼已给的信息．综合所滨数学知识、思想方法进行独立的思考、探索和研究，从而确定解决问题的思路，创造性地解决问题．我们再来看此题的姊妹题——2006年上海市高考数学理科卷第22题：5．（上海卷理第22题）已知函数y ＝x ＋x a 有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．（1）如果函数y ＝x ＋xb2（x ＞0）的值域为[6，＋∞)，求b 的值；（2）研究函数y ＝2x ＋2x c （常数c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由； （3）对函数y ＝x ＋x a 和y ＝2x ＋2xa （常数a ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(x F ＝n x x )1(2+＋n x x )1(2+（n 是正整数）在区间[21，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．解：（1）易知，b x 2=时，3log 29log 62222min ==⇒==b y b ．（2）y ＝2x ＋2x c 是偶函数．易知，该函数在(]4,0c 上是减函数，在[)+∞,4c 上是增函数；则该函数在(]4,c -∞-上是减函数，在[)0,4c -上是增函数． （3）推广：函数()0>+=a x a x y n n ，当n 为奇数时，(]n a x 2,0∈，y 是减函数；[)+∞∈,2n a x ，y 是增函数．(]n a x 2,-∞-∈，y 是增函数；[)0,2n a -，y 是减函数． 当n 为偶数时，(]n a x 2,0∈，y 是减函数；[)+∞∈,2n a x ，y 是增函数． (]n a x 2,-∞-∈，y 是减函数；[)0,2n a -，y 是增函数． )(x F ＝n x x )1(2+＋n x x)1(2+ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=----n n n n n n n n n n n n n x x C x x C x x C x x C 11116262232321220 当11,,1,1323222=⇒===--x xx x x x x n n n n n n 时，1min 2+=n y ． ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21x ，y 是减函数；[]2,1∈x ，y 是增函数． ∵()()n n n n f f 223122949221⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎭⎫ ⎝⎛ ∴函数)(x F ＝n x x )1(2+＋n x x )1(2+在区间[21，2]上的最大值为()n n 22312⎪⎭⎫ ⎝⎛+，最小值为12+n ． 与文科题相比，该题在探究能力的要求上明显要高出一筹．6．（北京卷理第8题）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,,A B C 的机动车辆数如图所示，图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段、、的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则………………………………（ ）A ．123x x x >>B ．132x x x >>C ．231x x x >>D ．321x x x >>解析：本题是比较新颖的实物图形信息迁移题，是从某三岔路口交通环岛的简化模型中得到信息，并对信息进行加工处理，把实际问题转化为数学问题，即建构数学模型．本题看起来非常麻烦，分析这道题的时候可以把这些量固定住．比如把A 当作一个起点，在动中求静来解决：A 到B 为50，即501=x ，B 到C 就是60，即602=x ，60从C 流走35，所以C 到A 为55，即553=x ．这样就比出来，2x 最大，1x 最小．7．（湖北卷文第15题）半径为r 的圆的面积2)(r r S π=，周长r r C π2)(=，若将r 看作),0(+∞上的变量，则r r ππ2)(2=' ①①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作),0(+∞上的变量，请你写出类似于①的式子：__________________________②．②式可以用语言叙述为____________________________________________． 解：23434R R ππ='⎪⎭⎫ ⎝⎛， 球的体积函数的导数等于球的表面积函数．评析：本题是由低维到高维的类比型信息迁移题，是某种类型的结论迁移性、相似性的推理形式，它在发现科学奥秘方向要胜于逻辑推理的作用，因为一旦通过类比得到猜想之后，再进行检验多数是不难的．同时该类题能够较好地考查考生的创造性思维和发散性思维，因此备受命题者的青睐，成为热点试题．这种类比推广型的试题，在最近几年的上海市高考数学试卷中，已是屡见不鲜．二．上海高考数学试卷中的类比、推广、构造型题（一）类比发现型通过类比得出新的结论是培养学生创新能力的重要方面，等差数列和等比数列又是高中数学中进行类比的典型例子。
2023年新高考ii卷数学第21题
2023年新高考ii卷数学第21题2023年新高考将对数学科目进行调整，使得题目更贴近实际应用和培养学生的创新思维能力。
以下是2023年新高考II卷数学第21题的描述和解答：题目描述：某公司计划在未来5年内研发一款新产品，并预计每年的销售额会以等比数列的形式增长。
已知第1年的销售额为50万元，第5年的销售额为200万元。
如果每年的增长率保持不变，求第3年的销售额是多少万元。
解答：根据题目描述，我们可以得出一个等比数列的关系。
设第1年的销售额为a万元，增长率为r，第5年的销售额为200万元。
根据等比数列的通项公式，第n年的销售额可以表示为：an = a * r^(n-1)根据已知条件，我们可以得到：a = 50an = 200n = 5将这些值代入公式，我们可以得到：200 = 50 * r^(5-1)化简得：r^4 = 200/50 = 4接下来，我们需要求解r的值。
对于等比数列的比值，我们可以通过对数的性质进行求解。
取对数后得到：log(r^4) = log(4)根据对数的性质，我们可以将指数移到对数的前面，得到：4 * log(r) = log(4)再进行化简，得到：log(r) = log(4)/4然后，我们可以利用对数表或计算器求解log(4)/4的值，约等于0.3466。
因此，我们可以得到：r = 10^0.3466 ≈ 1.305现在，我们已经知道了r的值，接下来我们可以利用这个值来计算第3年的销售额。
根据等比数列的通项公式，第3年的销售额可以表示为：a3 = a * r^(3-1)代入已知的值，我们可以得到：a3 = 50 * 1.305^2 ≈ 107.13所以，第3年的销售额约为107.13万元。
综上所述，根据题目所给的条件，我们可以利用等比数列的性质和对数的运算来求解第3年的销售额。
根据计算，第3年的销售额约为107.13万元。
2023新高考数学二卷21题讲解
2023新高考数学二卷21题讲解2023年，新高考数学二卷的21题是一道较为复杂的题目，考察了学生对数学知识的综合运用能力。
下面我们来详细讲解这道题目。
题目要求如下：已知函数$f(x)=\frac{1}{2}x^3-3x^2+4x+1$，设直线$l$与曲线$y=f(x)$相切于点$P$，直线$l$的斜率为$k$，求$k$的取值范围。
首先，我们需要明确题目中的一些概念和知识点。
相切是指直线与曲线在某一点处有且仅有一个公共点，并且直线与曲线在该点处的切线重合。
斜率是直线的一个重要特征，表示直线在平面上的倾斜程度。
根据题目中给出的函数$f(x)$，我们可以求出其导数$f'(x)$。
对函数$f(x)$求导，得到$f'(x)=\frac{3}{2}x^2-6x+4$。
这是一个二次函数，其图像是一个开口朝上的抛物线。
由于直线$l$与曲线$y=f(x)$相切于点$P$，所以直线$l$的斜率$k$等于曲线$y=f(x)$在点$P$处的切线的斜率。
而曲线$y=f(x)$在点$P$处的切线的斜率等于曲线$y=f(x)$在点$P$处的导数$f'(x)$的值。
因此，我们需要求出曲线$y=f(x)$在点$P$处的导数$f'(x)$的值。
设点$P$的横坐标为$x_0$，纵坐标为$y_0$，则点$P$的坐标为$(x_0,y_0)$。
曲线$y=f(x)$在点$P$处的导数$f'(x)$的值等于曲线$y=f(x)$在点$P$处的切线的斜率，即$k$。
根据导数的定义，我们可以得到$f'(x_0)=k$。
将函数$f(x)$的导数$f'(x)$代入，得到$\frac{3}{2}x_0^2-6x_0+4=k$。
接下来，我们需要找到曲线$y=f(x)$与直线$l$相切的点$P$的横坐标$x_0$和纵坐标$y_0$。
由于直线$l$与曲线$y=f(x)$相切于点$P$，所以点$P$同时满足曲线$y=f(x)$和直线$l$的方程。
2020山东高考数学21题讲解PPT
∴ ∈ (, ]
∴ () ≥ () =
PA R T 0 3
即 ≥
≥
综上所述，的取值范围为[ , +∞)
PA R T 0 3
（2）由题得 () ∈ (, +∞)， ∈ (, +∞)
方法③：特殊值求导
∵ ’ () = − −， ’’ () = − +
• 赋值法：利用特殊值求解，对解决填空题、选择题能很快求得。
讲解完毕 谢谢大家
>
∴ ’ ()在(, +∞)上单调递增
“恒成立问题”的处理思路
• 分离变量法：ቐ
• 构造函数法：通过作差、作商、变形、换元、放缩等方法构造函数，将恒成立问
题转化为函数问题。
• 数形结合法：若把等式或不等式进行合理的变形后，能容易地画出等号或不等号
两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。
∴ = ()与坐标轴交点为(, )和(−
∴ ∆ = × ×
−
=
(−)
, )
−
PA R T 0 3
（2）由题得()的定义域为(, +∞)， ∈ (, +∞)
方法①：利用指数对数的运算构造函数
∵ () ≥ ∴ − − + = +− − + ≥
， ’’ () = − +
∴ ’ ()在(, +∞)上单调递增
>
∵ 当 → 时 ’ () → −∞，当 → +∞时 ’ () → +∞
∴ 由零点存在定理知 ∃ ∈ (, +∞) 使 ’ ( ) = − −
2023全国新高考ⅱ卷21题解法探究
2023全国新高考ⅱ卷21题解法探究2023年全国新高考Ⅱ卷21题是一道关于概率和组合数学的题目，需要考生掌握概率和组合的基础知识并进行灵活运用。
以下是对这道题目解法的探究和分析：首先，让我们来看一下题目的具体内容：有六只相同的红球和五只相同的蓝球放在一个透明的箱子里，小明从箱子中随机取出两只球。
如果小明取到的两只球颜色相同，则他将获得1元的奖励；如果小明取到的两只球颜色不同，则他将获得2元的奖励。
小明最终能够获得的奖励的期望值是多少？（结果保留两位小数）解法一：通过概率计算我们可以通过概率的知识来解决这个问题。
设事件A为小明取到的两只球颜色相同，事件B为小明取到的两只球颜色不同。
根据全概率公式，我们可以将小明获得奖励的期望E表示为：E = P(A) * 1 + P(B) * 2接下来我们需要计算P(A)和P(B)。
设事件C1为小明取到两只红球，事件C2为小明取到两只蓝球，事件C3为小明取到一只红球和一只蓝球。
首先，我们计算P(A)。
小明取到两只红球的可能性是从六只红球中取两只，即C(6, 2)。
总共的可能性是从十一只球中取两只，即C(11, 2)。
因此，P(A) = C(6, 2) / C(11, 2)。
然后，我们计算P(B)。
小明取到一只红球和一只蓝球的可能性是从六只红球中取一只，从五只蓝球中取一只，即C(6, 1) * C(5, 1)。
总共的可能性是从十一只球中取两只，即C(11, 2)。
因此，P(B) = C(6, 1) * C(5, 1) / C(11, 2)。
将P(A)和P(B)代入期望E的公式中，可以得到小明最终能够获得的奖励的期望值。
解法二：通过排列组合计算除了使用概率计算的方法，我们还可以通过排列组合的方法来解决这个问题。
我们可以将小明取到的两只球的可能结果分为两类：一类是两只红球，另一类是一只红球和一只蓝球。
对于第一类情况，即两只红球的情况，我们只有一种可能性。
对于第二类情况，即一只红球和一只蓝球的情况，我们可以考虑两种情况：第一种情况是小明先取到一只红球，然后再取到一只蓝球；第二种情况是小明先取到一只蓝球，然后再取到一只红球。
2021高考备考：高考数学创新题型思维方法分析
2021高考数学备考创新题型思维方法分析【优易课高考团队整理】(一)解析几何中的运动问题解析几何中的创新小题是新课标高考中出现频率最高的题型，09、10、11年高考数学选择填空压轴题都出现了运动问题。
即新课标高考数学思维从传统分析静态模型转变为分析动态模型。
因此考生需要掌握在运动过程中对于变量与不变量的把握、善于建立运动过程中直接变量与间接变量的关系、以及特殊值情境分析、存在问题与任意问题解题方法的总结。
在解此类创新题型时，往往需要融入生活中的很多思想，加上题目中所给信息相融合。
在数学层面上，需要考生善于从各个角度与考虑问题，将思路打开，同时善于用数学思维去将题目情境抽象成数学模型。
(二)新距离近几年兴起的关于坐标系中新距离d=|X1-X2|+|Y1-Y2|的问题，考生需要懂得坐标系中坐标差的原理，对于对应两点构成的矩形中坐标差的关系弄清楚就行了。
近两年高考大题中均涉及到了新距离问题，可是高考所考察的内容不再新距离本身，而在于建立新的数学模型情况下，考生能否摸索出建立数学模型与数学思维的关系。
比如2011年压轴题，对于一个数列各个位做差取绝对值求和的问题，由于每个位取值情况均相同，故只需考虑一个位就行了。
在大题具体解题中笔者会详细叙述。
(三)新名词对于题目中出现了新名词新性质，考生完全可以从新性质本身出发，从数学思维角度理解新性质所代表的数学含义。
此类创新题型就像描述一幅画一样去描述一个数学模型，然后描述的简洁透彻，让考生通过此类描述去挖掘性质。
新课标数学追求对数学思维的自然描述，即不会给学生思维断层、非生活常规思路（北京海淀区2012届高三上学期期末考试题的解析几何大题属于非常规思路）。
比如2009年北京卷文科填空压轴题，就是让学生直观形象的去理解什么叫做孤立元，这样肯快就可以得到答案。
(四)知识点性质结合此类题型主要结合函数性质、图象等知识点进行出题，此类题一般只要熟悉知识点网络结构与知识点思维方式就没有问题。
2023年高考数学新高考一卷21题的认识
2023年高考数学新高考一卷21题的认识
2023年高考数学新高考一卷的第21题是一道以数列和不等式为背景的压
轴题，题目设计新颖，综合性强，对考生的数学思维和数学能力有较高的要求。
首先，这道题目涉及的知识点较多，包括等差数列、等比数列的性质和通项公式，数列求和的方法，不等式的性质和证明方法等。
考生需要在解题过程中灵活运用这些知识点，通过推导和转化，找到问题的突破口。
其次，这道题目需要考生具备较强的数学逻辑思维和推理能力。
在解决数列和不等式综合问题时，考生需要仔细分析题目给出的条件，通过观察、归纳、演绎、推理等思维方式，发现数列和不等式之间的内在联系，从而构建出合理的数学模型。
此外，这道题目还要求考生具备良好的数学运算能力和化归与转化思想。
在解题过程中，考生需要进行大量的数学运算，如求和、化简、放缩等，同时还需要将复杂的问题进行化归和转化，将其转化为更容易解决或更熟悉的数学问题。
最后，这道题目还体现了对考生数学素养的考查。
在解题过程中，考生需要具备严谨的数学态度和良好的数学学习习惯，如仔细审题、规范答题、善于总结等。
这些素养不仅有助于提高考生的数学成绩，也是其未来数学学习和发展的重要基础。
总之，2023年高考数学新高考一卷的第21题是一道有深度和广度的压轴题，它不仅考查了考生的数学知识掌握程度和数学能力水平，也反映了其对数学思想和方法的领悟程度。
通过解答这道题目，考生能够充分展示自己的数学才华和潜力，并为未来的数学学习和应用打下坚实的基础。
山东理科高考数学二十一题评分细则分析
当 g(1) e
2
c 0 ，即 c e 2 时， g( x ) 没有零点， c 0 ，即 c e 2 时， g( x ) 只有一个零点， c 0 ，即 c e 2 时，
这几步没有 过程不扣分
故关于 x 的方程 ln x f ( x ) 根的个数为 0 。 当 g(1) e 当 g(1) e
2
故关于 x 的方程 ln x f ( x ) 根的个数为 1 。
2
① 当 x (1 , ) 时，由（Ⅰ）知
1 g( x ) ln x xe 2 x c ln x ( e 1 c ) ln x 1 c 。 2 1 c 要使 g( x ) 0 ，只需使 ln x 1 c 0 ，即 x (e , ) ； ②当 x (0 , 1) 时，由（Ⅰ）知 1 g( x ) ln x xe 2 x c ln x ( e 1 c ) ln x 1 c 。 2 1 c 要使 g( x ) 0 ，只需使 ln x 1 c 0 ，即 x (0 , e )；
∴ g( x ) e
2x
分析到此位置也可 得7分
书写增函数， 增区间都可
(
e2 x 2 x 1) ，...................（8 分） x
2x
∵ x (0 , 1) ，∴ e
(1 , eБайду номын сангаас) ， e
2
2x
e2 x 1 ， 1 x 0 ，于是 x
2x （1）当 x (1 , ) 时， ln x 0 ，则 g( x ) ln x xe c，
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数学高考题型专题讲解21
---创新型问题
【方法综述】
创新型问题主要包括：
（Ⅰ）将实际问题抽象为数学问题，此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化，将现实问题转化为数学问题，构建数学模型，运用恰当的数学方法解模（如借助不等式、导数等工具加以解决）.
（Ⅱ）创新性问题
①以新概念、新定义给出的信息迁移型创新题，运用“老知识”解决新问题是关键.
②以新运算给出的发散型创新题，检验运算能力、数据处理能力.
③以命题的推广给出的类比、归纳型创新题，要注意观察特征、寻找规律，充分运用特殊与一般的辩证关系进行求解.
【解题策略】
类型一实际应用问题
【例1】【北京市西城区2019届高三4月一模】团体购买公园门票，票价如下表：
购票人数1~50 51~100 100以上
门票价格13元/人11元/人9元/人
现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为a和b，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数____；____. 【答案】70 40
【解析】
∵990不能被13整除，∴两个部门人数之和：a+b≥51，
（1）若51≤a+b≤100，则11 （a+b）＝990得：a+b＝90，①
由共需支付门票费为1290元可知，11a+13b＝1290 ②
解①②得：b＝150，a＝﹣60，不符合题意．
（2）若a +b ≥100，则9 （a +b ）＝990，得 a +b ＝110 ③ 由共需支付门票费为1290元可知，1≤a ≤50，51≤b ≤100， 得11a +13b ＝1290 ④， 解③④得：a ＝70人，b ＝40人， 故答案为：70，40．
【指点迷津】解答应用性问题要先审清题意，然后将文字语言转化为数学符号语言，最后建立恰当的数学模型求解．其中，函数、数列、不等式、概率统计是较为常见的模型．
【举一反三】2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入月球球F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道II 绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和II 的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和II 的长轴长，给出下列式子：
①1122a c a c -=- ②1122a c a c +=+ ③1212c a a c > ④
12
12
c c a a < 其中正确的式子的序号是（ ）
A ． ②③
B ． ①④
C ． ①③
D ． ②④ 【答案】B
类型二创新性问题
【例2】【四川省攀枝花市2019届高三第二次统一考试】定义在上的函数，单调递增，，若对任意，存在，使得成立，则称是在
上的“追逐函数”.若，则下列四个命题：①是在上的“追逐函数”；②
若是在上的“追逐函数”，则；③是在上的“追逐函数”；④当时，存在，使得是在上的“追逐函数”.其中正确命题的个数为（）
A．①③B．②④C．①④D．②③
【答案】B
【解析】
对于①，可得，在是递增函数，，若是在
上的“追逐函数”；则存在，使得成立，即
，此时当k=100时，不存在，故①错误；
对于②，若是在上的“追逐函数”，此时，解得
，当时，，在是递增函数，若是“追逐函数”
则，即，
设函数
即，则存在，所以②正确；
对于③，在是递增函数，，若是在上的“追逐函数”；则存在，使得成立，即
，当k=4时，就不存在，故③错误；
对于④，当t=m=1时，就成立，验证如下：
，在是递增函数，，若是在上的“追。