第三章 线性规划的对偶原理

原问题最优解为X =B 1b, 目标值为z CX C B B 1b Y b w
由最优性可知，Y 为对偶问题的最优解， 且原问题和对偶问题的最优值相等。
14
5、对偶定理 若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，且目标 值相等。 推论（单纯形乘子Y的定理）： 原问题有一个对应于基B的最优解，则此时的Y 是对偶问题的一个最优解。
§3
对偶单纯形法
单纯形法：由 XB = B-1b ≥ 0，使σj ≥ 0，j = 1,· · · ,m 对偶单纯形法：由σj ≥ 0(j= 1,· · · ,n)，使XB = B-1b ≥ 0 相同点：都用于求解原问题 对偶单纯形法：从一个原始不可行而对偶可行的基出发，进 行基变换，每次基变换时都保持基的对偶可行性，一旦获得 一个原始可行基，则该基必定是最优基。 步骤：(1)保持σj ≥ 0，j= 1,· · · ,n，确定XB，建立计算表格； (2)判别XB = B-1b ≥ 0是否成立？ ①若成立，XB为最优基变量； ②若不成立，转(3)；
推论： (1)max问题任一可行解的目标值为min问题目标值的一个下界； (2)min问题任一可行解的目标值为max问题目标值的一个上界。
11
原 max z CX AX b X 0
min w Yb YA C Y 0
3、无界性（性质2的推论） 若原问题(对偶问题)为无界解，则对偶问题(原问题)为 无可行解。
X B B 1 b , z C B B 1b,
N C N C B B 1 N
1
§1
线性规划的对偶问题
Ⅰ 设备台时 材料A 材料B 利润 1 4 0 2 Ⅱ 2 0 4 3 限制 8台时 16kg 12kg
一、问题提出 [例1]制定生产计划 M1: max z = 2x1 + 3x2 1x1 + 2x2 ≤ 8 4x1 ≤ 16 4x2 ≤ 12 x1，x2 ≥ 0
由 B 1 b B 1 b 0 求 出bi的 变 化 范 围 ,保 持 问 题 的 最 优 性 不. 变 这里用到可行性条件 .
25
例1 已知下述问题的最优解及最优单纯形表,
1) 求b2的变化范围 , 使最优基不变 . 2) 求b1 4 时的最优解 .
’+
-2x1 - x2 - 3x3 ≤-3
令y1 = -y1’，则： min w = 3y1 + 4y2 2 y1 + y2 ≥ 1 y1 + 2 y2 ≥ 2 3 y1 + 5 y2 ≥ 4 y1 ≤ 0,y2 ≥ 0
7
一般: ① ② ③ ④ ⑤ max问题第i个约束取“≥”，则min问题第i个变量 ≤ 0 ； min问题第i个约束取“≤”，则max问题第i个变量 ≤ 0 ； 原问题第i个约束取等式，对偶问题第i个变量 自由变量； max问题第j个变量 ≤ 0 ,则min问题第j个约束取“≤” ； min问题第j个变量 ≤ 0 ，则max问题第j个约束取“≥” ；
原 min z CX AX b
max w Yb YA C Y自由变量
X 0 5、对偶定理 若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，且目标 值相等。
证： 设X 为原问题的最优解，相应的基矩阵为B,
全部检验数可表示为：C CB B1 A 0, 则CB B1 A C 令Y CB B1 , 有Y A C Y 为对偶问题的可行解, w =Y b CB B1b,
2x1 + x2 + 3x3 ≤ 3 -2x1 - x2 - 3x3 ≤-3
令y1=y1’-y1”,则： min w = 3y1+4y2 2 y1 + y 2 ≥ 1 y1 +2y2 ≥ 2 3y1 +5y2 ≥ 4 y2 ≥ 0，y1自由变量
一般，原问题第i个约束取等式，对偶问题第i个变量自由变量。
9
§2
对偶问题的基本性质和基本定理
1、对称性定理 对偶问题的对偶为原问题.
原问题：max z = CX 对偶问题：min w = Yb
AX ≤ b YA ≥ C
X≥0 Y≥0
(1) (2)
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原 max z CX AX b X 0
min
w Yb YA C Y 0
2.弱对偶性 设X 为原问题的可行解, Y 为对偶问题的可行解, 则存在 CX Yb
可行性条件 : X B B 1b 0
24
一、 b （限定向量）的变化 i
bi bi bi b b b b (b1 b2 bi bm )T b (0 0 bi 0)T
X B B1b B1 (b b) B 1b B 1b
i
若 max { a' a 0}
j
lj
'j
' lj
' k ' alk
则xk 入基。
' 若所有 alj 0, 则无可行解。
(4)取主变换，得到新的XB。 重复（2）-（4）步，求出结果。
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[例8]用对偶单纯形法求解 min w = 2x1 + 3x2 + 4x3 x1 + 2x2 + x3 ≥ 1 2x1 - x2 + 3x3 ≥ 4 x1,x2,x3 ≥ 0
第三章 线性规划的对偶原理
单纯形法的矩阵描述
A为m×n阶矩阵 RankA=m,取B为可行基,N为非基，
XB X , A B N , C C B C N XN
m i nz C B X B C N X N BX B NX N b XB, XN 0
则M2为M1的对偶问题， 反之亦然。
Ⅰ
设备台时 材料A 材料B 利润 1 4 0 2
Ⅱ
2 0 4 3
限制
8台时 16kg 12kg
M 1 m axz 2 x1 3 x 2 x1 2 x 2 8 16 4 x1 4 x 2 12 x1 , x 2 0
2
现在不再生产，将设备材料出租出让，确定租费及转让费？ 设y1为设备单位台时的租金，y2,y3为材料A、B转让附加费(kg-1) 目标函数，约束条件？ M2: min w = 8y1 + 16y2 + 12y3 y1 + 4 y2 ≥2 2 y1 + 4 y3 ≥ 3 y1 , y2 , y3 ≥ 0
23
§4 灵敏度分析 分析 bi , c j , ai j 变化对最优解的影响。 1、保持原最优基的变化范围； 2、原最优基不再最优时，求新的最优解的最简便方法
最优性条件 : N C N C B B N 0
1
或 C C B B 1 A 0 或 j c j C B B 1 p j 0, j 1, 2, , n
21
2
3 x2
4
0
0
0
x1
0 x4
x3
-1
x4
1
x5
0
b
-1
0

0 2 x4
x5
-1 -2 -2* 1 2 0 1 0 3
2 4 max ， 1 2 3
-3
4
0
0 1 0 0
1
0
-0.5 -0.5
-4
0 1 2 -4
-2.5 0.5 -0.5 1.5

x1
4
1
1
22
• 作业 • P81 1.12(1)
注：该性质的逆不存在。若原(对偶)问题为无可行解， 对偶(原问题)问题或为无界解，或为无可行解。
12
原 max z CX AX b X 0
min w Yb YA C Y 0
4、最优性 设X*，Y*分别为原问题和对偶问题可行解， 当CX*=Y*b时， X*，Y*分别为最优解。
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对偶：min w = 6y1 + 8y2 2 y1 ≥1 y1 + 2 y2 ≥ 2 y2 ≥ 1 y1 , y2 ≥ 0
5
2、含等式的情况 [例3]max z = x1 + 2x2 + 4x3 2x1 + x2 + 3x3 = 3 x1 + 2x2 + 5x3 ≤ 4 x1,x2,x3 ≥ 0 对偶：min w = 3y1’-3y1”+4y2 2y1’-2y1”+ y2 ≥ 1 y1’- y1”+2y2 ≥ 2 3y1’-3y1”+5y2 ≥ 4 y1’,y1”,y2 ≥ 0
min w = 2x1 + 3x2 + 4x3 + 0x4 + 0x5 x1 + 2x2 + x3 - x4 ＝ 1 2x1 - x2 + 3x3 – x5 ＝4 x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0
20
min w = 2x1 + 3x2 + 4x3 + 0x4 + 0x5 x1 + 2x2 + x3 - x4 ＝ 1 2x1 - x2 + 3x3 – x5 ＝4 x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0 min w = 2x1 + 3x2 + 4x3 + 0x4 + 0x5 - x1 - 2x2 - x3 + x4 ＝ - 1 - 2x1 + x2 - 3x3 + x5 ＝ - 4 x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0
2
1
b1 ： 8 b2：16 b3：12
9 17 13
Q2’(4，2.5) z*’ = 15.5 Δ z* = z*’- z* = 3/2 = y1* Q2”(4.25，1.875) z*” = 14.125 Δ z* = z*”- z* = 1/8 = y2* Δ z* = 0 = y3 *
17
条件3未满足，再增加b，不会带来z的增加， 故该资源价值为0.
例：书P25
CB 8, 3
1 0 B 2 1
1
Y CB B1 2, 3
15
• • • •
对偶问题中，解的情况有： 1.都有有限最优解 2.都无可行解 3.一个有无界解，另一个无可行解
16
6、对偶问题的经济含义——影子价格 最优情况：z* = w* = b1y1* + · · ·+ biyi* + · · ·+ bmym* z* * yi* 称 yi b i为 的影子价格 bi x [例7]max z = 2x1 + 3x2 x1 + 2x2 ≤ 8 Q2（4，2） Q2’ 4x1 ≤ 16 z =14 Q2 Q2” 4x2 ≤ 12 x1,x2 ≥ 0 x
6
3、含“≥”的max问题 [例4]max z = x1 + 2x2 + 4x3 2x1 + x2 + 3x3 ≥ 3 x1 + 2x2 + 5x3 ≤ 4 x1,x2,x3 ≥ 0 对偶：min w = -3y1 4y2 -2y1’ + y2 ≥ 1 - y1 ’ + 2 y2 ≥ 2 -3y1’ + 5y2 ≥ 4 y1’,y2 ≥ 0
⑥ 原问题第j个变量自由变量，对偶问题第j个约束取等式。
8
例5
min z = 2x1 + 3x2 - 5x3 + x4 x1 + x2 - 3x3 + x4 ≥ 5 2x1 + 2x3 - x4 ≤ 4 x2 + x3 + x4 = 6 x1 ≤ 0,x2,x3 ≥ 0,x4自由变量
对偶：max w = 5y1 + 4y2 + 6y3 y1 + 2 y2 ≥2 y1 + y3 ≤ 3 -3y1 + 2y2 + y3 ≤ -5 y1 - y2 + y3 = 1 y1 ≥ 0,y2 ≤ 0,y3自由变量
3
一般的，原问题：max z = CX
AX ≤ b
X≥0
对偶问题：min w = Yb
比较： max z 决策变量为n个 约束条件为m个 “≤” 约束条件的限定向量
YA ≥ C
min w
Y≥0
约束条件为n个 决策变量为m个 “≥” 目标函数的价值向量
目标函数的价值向量
约束条件的限定向量
4
二、 对偶问题的化法 1、典型情况（对称形式） [例2]max z = x1 + 2x2 + x3 2x1 + x2 ≤6 2x2 + x3 ≤ 8 x1,x2,x3 ≥ 0
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步骤：(1)保持σj ≥ 0，j= wenku.baidu.com,· · · ,n，确定XB，建立计算表格；
(2)判别XB = B-1b ≥ 0是否成立？ ①若成立，XB为最优基变量； ②若不成立，转(3)；
(3)基变换 ①换出变量， 若 min {bi' bi' 0} bl' i 1,, m， 则xl出 基 ； ②换入变量（最大负比值规则），