2021年高考数学二轮复习推理与证明、算法初步、复数训练题理

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2021年高考数学二轮复习推理与证明、算法初步、复数专题训练(含解析)

2021年高考数学二轮复习推理与证明、算法初步、复数专题训练（含解析）一、选择题1．(xx·安徽卷)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A．34 B．55C．78 D．89解析由程序框图知依次为：x＝1，y＝1，z＝2；x＝1，y＝2，z＝3；x＝2，y＝3，z＝5；x＝3，y＝5，z＝8；x＝5，y＝8，z＝13；x＝8，y＝13，z＝21；x＝13，y＝21，z＝34；x＝21，y＝34，z＝55>50，故输出55.答案B2．(xx·北京卷)当m＝7，n＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )A．7 B．42C．210 D．840解析开始：m＝7，n＝3.计算：k＝7，S＝1.第一次循环，此时m－n＋1＝7－3＋1＝5，显然k<5不成立，所以S＝1×7＝7，k＝7－1＝6.第二次循环，6<5不成立，所以S＝7×6＝42，k＝6－1＝5.第三次循环，5<5不成立，所以S＝42×5＝210，k＝5－1＝4.显然4<5成立，输出S的值，即输出210，故选C.答案C3．若复数z满足i z＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是( ) A．(2,4) B．(2，－4)C．(4，－2) D．(4,2)解析由i z＝2＋4i得：z＝2＋4ii＝2＋4i i－1＝4－2i，对应点为(4，－2)，故选C.答案C4．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )A ．－4B ．－45C ．4D .45解析 |4＋3i |＝42＋32＝5，所以(3－4i )z ＝5，即z ＝53－4i ＝53＋4i 3－4i 3＋4i＝35＋45i ，所以z 的虚部为45，故选D .答案 D5．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{a n }的前n 项和为S n ，由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f(x)＝x cos x 满足f(－x)＝－f(x)对∀x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2>2n解析注意到，选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n 1＋2n －12＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．因此选A.答案 A6．类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S (x )＝a x －a －x ，C (x )＝a x＋a －x，其中a >0，且a ≠1，下面正确的运算公式是( )①S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；②S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )；③2S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；④2S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )．A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③解析经验证易知①②错误．依题意，注意到2S (x ＋y )＝2(a x ＋y－a－x －y)，又S (x )C (y )＋C (x )S (y )＝2(ax ＋y－a－x －y)，因此有2S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；同理有2S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )，综上所述，选B.答案 B 二、填空题7．(xx·江苏卷)下图是一个算法流程图，则输出的n 的值是________．解析本题实质上是求不等式2n>20的最小整数解，2n>20的整数解为n ≥5，因此输出的n ＝5. 答案 58．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝________.解析 z 2－2z z －1＝z －12－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i ＝－i －i －i·i＝－2i.答案－2i 9．观察下列等式： 13＋23＝1； 73＋83＋103＋113＝12； 163＋173＋193＋203＋223＋233＝39； ……则当m <n 且m ，n ∈N 时，3m ＋13＋3m ＋23＋3m ＋43＋3m ＋53＋…＋3n －23＋3n －13＝________(最后结果用m ，n 表示)．解析由13＋23＝1，知m ＝0，n ＝1,1＝12－02；由73＋83＋103＋113＝12，知m ＝2，n ＝4,12＝42－22；由163＋173＋193＋203＋223＋233＝39，知m ＝5，n ＝8,39＝82－52； ……依此规律可归纳，3m ＋13＋3m ＋23＋3m ＋43＋3m ＋53＋…＋3n －23＋3n －13＝n 2－m 2.答案 n 2－m 2三、解答题10．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解 ∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ， ∴z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. ∵z 1·z 2∈R ， ∴a ＝4. ∴z 2＝4＋2i.11．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解 (1)由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)得b n ＝S n n＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r . 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)． ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0. ∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0.∵⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0，∴p ＝r .与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．B 级——能力提高组1．若数列{a n }是等差数列，则数列 {b n }⎝⎛⎭⎪⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝ n c n1＋c n 2＋…＋c n nnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n 解析若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n n －12d ，∴b n ＝a 1＋n －12d ＝d 2n ＋a 1－d 2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n1·q1＋2＋…＋(n －1)＝c n1·qn n －12，∴d n ＝n c 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －12，即{d n }为等比数列，故选D. 答案 D2．(xx·湖北卷)设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I (a )，按从大到小排成的三位数记为D (a )(例如a ＝815，则I (a )＝158，D (a )＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b ＝________.解析不妨取a＝815，则I(a)＝158，D(a)＝851，b＝693；则取a＝693，则I(a)＝369，D(a)＝963，b＝594；则取a＝594，则I(a)＝459，D(a)＝954，b＝495；则取a＝495，则I(a)＝459，D(a)＝954，b＝495.故输出结果b＝495.答案4953．根据如图所示的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x1，x2，…，x k，…；y1，y2，…，y k，….(1)分别求数列{x k }和{y k }的通项公式；(2)令z k ＝x k y k ，求数列{z k }的前k 项和T k ，其中k ∈N *，k ≤2 007. 解 (1)由程序框图，知数列{x k }中，x 1＝1，x k ＋1＝x k ＋2， ∴x k ＝1＋2(k －1)＝2k －1(k ∈N *，k ≤2 007)．由程序框图，知数列{y k }中，y k ＋1＝3y k ＋2， ∴y k ＋1＋1＝3(y k ＋1)． ∴y k ＋1＋1y k ＋1＝3，y 1＋1＝3. ∴数列{y k ＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列． ∴y k ＋1＝3·3k －1＝3k.∴y k ＝3k－1(k ∈N *，k ≤2 007)．(2)T k ＝x 1y 1＋x 2y 2＋…＋x k y k ＝1×(3－1)＋3×(32－1)＋…＋(2k －1)(3k －1)＝1×3＋3×32＋…＋(2k －1)·3k－[1＋3＋…＋(2k －1)]．记S k ＝1×3＋3×32＋…＋(2k －1)·3k，① 则3S k ＝1×32＋3×33＋…＋(2k －1)·3k ＋1，②①－②，得－2S k ＝3＋2·32＋2·33＋…＋2·3k－(2k －1)·3k ＋1＝2(3＋32＋…＋3k )－3－(2k －1)·3k ＋1＝2×3×1－3k1－3－3－(2k －1)·3k ＋1＝3k ＋1－6－(2k －1)·3k ＋1＝2(1－k )·3k ＋1－6，∴S k ＝(k －1)·3k ＋1＋3.又∵1＋3＋…＋(2k －1)＝k 1＋2k －12＝k 2，∴T k ＝(k －1)·3k ＋1＋3－k 2.27235 6A63 橣@qc24387 5F43 彃26788 68A4 梤24556 5FEC 忬25364 6314 挔36889 9019 這}29383 72C7 狇 23216 5AB0 媰34210 85A2薢。

高考数学二轮总复习专题3复数、算法、推理(共30张PPT)

)
命题定位:本题主要考查复平面、复数乘法运算等知识,重在强化对复
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因为 i(1-2i)=i+2,其在复平面内对应的点为(2,1),位于第一象限.故选 A.
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A
解析答案
-5能力目标解读热点考题诠释
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3.(2014 课标全国Ⅰ高考,理 7)执行下面的程序框图,若输入的 a,b,k 分别为 1,2,3,则输出的 M=( )
2 2 2 2 2
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-7能力突破点一能力突破点二能力突破点三能力突破点四
能力突破方略
能力突破模型
能力迁移训练
能力突破点一复数的概念、运算及复数的几何意义
思考 1:已知 z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R). �� 如何求(1)z1· z2, 1的实部,虚部.(2)|z1|.Leabharlann -3能力目标解读热点考题诠释
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1.(2014 山东高考,理 1)已知 a,b∈R,i 是虚数单位,若 a-i 与 2+bi 互为共轭复数,则(a+bi)2=( ) A.5-4i B.5+4i C.3-4i D.3+4i 命题定位:本题主要考查复数概念、复数的运算、共轭复数等知识,能力方面,要求准确理解复数的概念和具备复数的基本运算能力.
解析答案
六边形数 N(n,6)=2n2-n, 1 1 由题中数据可猜想 :含 n2 项的系数组成首项是 ,公差是的等差数列,含 n 项 …… …… 2 2 1 1 1 1 1 可以推测 N(n,k, )公差是的表达式 ,由此计算 N (10,24) = 的系数组成首项是 - 的等差数列 ,因此 N(n ,k)= + (k-3.) n2+ +

2021年高考数学二轮复习专题六不等式、推理与证明、算法框图与复数限时检测(文、理)

年高考数学二轮复习专题六不等式、推理与证明、算法框图与复数限时检测（文、理）一、选择题(本大题共8小题，每小题6分，共48分；在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a 1、a 2∈(1，＋∞)，设P ＝1a 1＋1a 2，Q ＝1a 1a 2＋1，则P 与Q 的大小关系为( )A ．P >QB ．P <QC ．P ＝QD ．不确定[答案] B[解析] ∵a 1>1，a 2>1，∴P －Q ＝(1a 1＋1a 2)－(1a 1a 2＋1)＝a 1＋a 2－1－a 1a 2a 1a 2＝－a 1－1a 2－1a 1a 2<0，∴P <Q ，故选B.2．(文)复数z ＝2＋m i 1＋i (m ∈k )是纯虚数，则m 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[答案] A[解析] 由于z ＝2＋m i1＋i＝2＋m i1－i2＝2＋m ＋m －2i2，根据纯虚数的概念可得2＋m2＝0，解得m ＝－2.(理)(xx·新乡、许昌、平顶山调研)复数z 1、z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m 、λ、θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－916，1]C ．[－916，7]D. [916，1][答案] C[解析] ∵z 1＝z 2，∴m ＋(4－m 2)i ＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i ，∴⎩⎨⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ.∴λ＝4sin 2θ－3sin θ＝4(sin θ－38)2－916，当sin θ＝38时，λ取最小值－916，当sin θ＝－1时，λ取最大值7，故选C. 3．(文)(xx·保定市一模)已知x 、y 满足不等式组⎩⎨⎧y ≤x x ＋y ≥2x ≤2，则z ＝2x ＋y 的最大值与最小值的比值为( )A.12B.43C.32 D ．2[答案] D[解析] 作出可行域如图，作直线l 0：2x ＋y ＝0，平移l 0当经过点A 时，z min ＝3，当经过点C 时，z max ＝6，∴所求比值为2.(理)(xx·西城区月考)设实数x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －2≤0，则y －4x 的最大值是( )A ．－4B ．－12C ．4D ．7[答案] C[解析] 作出可行域如图，令y －4x ＝z ，则当直线y ＝4x ＋z 经过点A (－1,0)时，z max＝4.4．(文)(xx·西城区月考)执行如图所示的程序框图．若输出y ＝－3，则输入角θ＝( )A.π6 B ．－π6C.π3D ．－π3[答案] D[解析] 由输出y ＝－3得， ⎩⎪⎨⎪⎧|θ|<π4，sin θ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧π4≤|θ|<π2，tan θ＝－ 3.∴θ＝－π3.(理)(xx·大兴区模拟)执行如图所示的程序框图，若n ＝4，则输出s 的值是( )A ．－42B ．－21C ．11D ．43[答案] C[解析] 程序运行过程依次为：n ＝4→S ＝1，i ＝1，i ≤n 成立→S ＝1＋(－2)1＝－1，i ＝1＋1＝2，i ≤n 仍成立→S ＝－1＋(－2)2＝3，i ＝2＋1＝3，i ≤n 仍成立→S ＝3＋(－2)3＝－5，i ＝3＋1＝4，i ≤n 仍成立→S ＝－5＋(－2)4＝11，i ＝4＋1＝5，i ≤n 不成立→输出S 的值11后结束．5．已知a 、b 分别为直线y ＝x ＋1的斜率与纵截距，复数z ＝a －ib ＋ii在复平面上对应的点到原点的距离为( )A ．1B ．2C ．4 D. 2[答案] B[解析] 由已知得，a ＝1，b ＝1，z ＝1－i1＋ii＝1＋i －i ＋1i ＝2i＝－2i ，故复数z 在复平面上对应的点的坐标为(0，－2)，所求距离为2，选B.6．(文)(xx·吉林一中二模)“a 2＋b 2ab≤－2”是“a >0且b <0”的( )A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 若a >0且b <0，则a 2＋b 2≥2|ab |＝－2ab ，a 2＋b 2ab ≤－2；若a 2＋b 2ab≤－2，则ab <0，a >0且b <0不一定成立，故选A.(理)已知点A n (n ，a n )(n ∈N *)都在函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)的图象上，则a 2＋a 10与2a 6的大小关系为( )A ．a 2＋a 10>2a 6B ．a 2＋a 10<2a 6C ．a 2＋a 10＝2a 6D ．a 2＋a 10与2a 6的大小与a 有关 [答案] D[解析] 由条件知a n ＝log a n ， ∴a 2＋a 10＝log a 2＋log a 10＝log a 20， 2a 6＝2log a 6＝log a 36，若a >1，y ＝log a x 为增函数，则log a 20<log a 36，∴a 2＋a 10<2a 6，若0<a <1，同理得a 2＋a 10>2a 6，故选D.7．(文)(xx·和平区模拟)在如图所示的计算1＋3＋5＋…＋xx 的程序框图中，判断框内应填入( )A ．i ≤1007B ．i ≤2011C ．i <xxD ．i ≤xx[答案] D[解析] 由框图知，S ＝1＋3＋5＋…＋xx ，i 初值为1，步长为2，S 中加上的最后一项为xx ，故判断框中的条件应为i ≤xx.(理)(xx·郑州市质检)阅读下边的程序框图，则输出的S 为( )A ．6B ．10C ．14D ．30[答案] D[解析] 执行一次，S ＝1，i ＝2；执行二次，S ＝1＋4＝5，i ＝3；执行三次，S ＝5＋32＝14，i ＝4；执行四次，S ＝14＋42＝30，i ＝5，此时满足条件i >4，故输出的S 为30.8．(文)(xx·耀华中学月考)设A 1、A 2、A 3、A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )且1λ＋1μ＝2，则称A 3、A 4调和分割A 1A 2.已知点C (c,0)、D (d,0)(c 、d ∈R )调和分割点A (0,0)，B (1,0)，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C 、D 可能同时在线段AB 上D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上 [答案] D[解析] 由A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )知：四点A 1、A 2、A 3、A 4在同一条直线上，因为C 、D 调和分割点A 、B ，所以A 、B 、C 、D 四点在同一直线上，且1c ＋1d＝2，故选D.(理)△ABC 满足AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，设M 是△ABC 内的一点(不在边界上)，定义f (M )＝(x ，y ，z )，其中x 、y 、z 分别表示△MBC 、△MCA 、△MAB 的面积，若f (M )＝(x ，y ，12)，则1x ＋4y的最小值为( ) A ．9 B ．8 C ．18D ．16[答案] C[解析] ∵AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°， ∴|AB →|·|AC →|＝4，∴S △ABC ＝12AB ·AC sin30°＝12|AB →|·|AC →|·sin30°＝1，∵f (M )＝(x ，y ，12)，∴x ＋y ＋12＝S △MBC ＋S △MCA ＋S △MAB ＝S △ABC ＝1，∴x ＋y ＝12，∴1x ＋4y ＝(1x ＋4y )·2(x ＋y )＝2(5＋4x y ＋yx)≥2(5＋24x y ·y x )＝18，等号在4x y ＝y x，即x ＝16，y ＝13时成立．二、填空题(本大题共2小题，每小题6分，共12分，将答案填写在题中横线上．) 9．若不等式－1<ax 2＋bx ＋c <1的解集为(－1,3)，则实数a 的取值范围是________． [答案] (－12，12)[解析] 当a ＝0时，存在b ＝12，c ＝－12，使得相应的不等式－1<ax 2＋bx ＋c <1的解集是(－1,3)，因此a ＝0适合题意；当a >0时，依题意得，－1与3是方程ax 2＋bx ＋c ＝1的两根，且ax 2＋bx ＋c >－1恒成立，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，－b a＝－1＋3，c －1a ＝－1×3，b 2－4a c ＋1<0.解得0<a <12；当a <0时，依题意得，－1与3是方程ax 2＋bx ＋c ＝－1的两根，且ax 2＋bx ＋c <1恒成立，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－b a＝－1＋3，c ＋1a ＝－1×3，b 2－4a c －1<0.解得－12<a <0.综上所述，满足题意的实数a 的取值范围是(－12，12)．10．(文)已知命题：在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A (－p,0)和C (p,0)，顶点B 在椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >n >0，p ＝m 2－n 2)上，椭圆的离心率是e ，则sin A ＋sin C sin B ＝1e.试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题________．[答案] 在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A (－p,0)和C (p,0)，顶点B 在双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >n >0，p ＝m 2＋n 2)上，双曲线的离心率是e ，则|sin A －sin C |sin B ＝1e. [解析] 由已知命题，根据类比推理可得出答案． (理)(xx·福建理，15)当x ∈R ，|x |<1时，有如下表达式： 1＋x ＋x 2＋…＋x n＋…＝11－x，两边同时积分得：∫1201d x ＋∫120x d x ＋∫120x 2d x ＋…＋∫120x n d x ＋…＝∫12011－x d x ，从而得到如下等式：1×12＋12×(12)2＋13×(12)3＋…＋1n ＋1×(12)n ＋1＋…＝ln2，请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：C 0n ×12＋12C 1n ×(12)2＋13C 2n ×(12)3＋…＋1n ＋1C n n ×(12)n ＋1＝________.[答案]1n ＋1[(32)n ＋1－1] [解析] 令f (x )＝C 0n x ＋12C 1n x 2＋13C 2n x 3＋…＋1n ＋1C n n x n ＋1，则f ′(x )＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n，由C 0n x 0＋C 1n x ＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n两边积分得，∫120C 0n x 0d x ＋∫120C 1n x d x ＋…＋∫120C n n x n d x ＝∫120(1＋x )nd x ，即C 0n 12＋12C 1n ×(12)2＋13C 2n ×(12)3＋…＋1n ＋1C n n (12)n ＋1＝1n ＋1(1＋x )n ＋1|120＝1n ＋1[(32)n ＋1－1]．三、解答题(本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 11．(本小题满分13分)设[x ]表示取x 的整数部分，如[5]＝5，[2.7]＝2，下面程序框图运行后输出结果为S 、T ，设z 1＝S －Ti ，z 2＝1＋i ，z ＝z 1·z 2，求z 在复平面内对应点所在的象限，并求|z |.[解析] 由题意知，程序框图运行后跳出循环时，S 为等差数列{a n }，a n ＝2n ＋1的前5项的和，T 为等比数列{b n }，b n ＝2n的前5项的和，∴S ＝35，T ＝62，故输出的S ＝[355]＝7，T ＝[625]＝12，∴z 1＝7－12i ，z 2＝1＋i ，∴z ＝z 1z 2＝(7－12i )(1＋i )＝19－5i ，∴z 在复平面内对应点(19，－5)在第四象限，|z |＝192＋－52＝386.12．(本小题满分13分)(文)(xx·霍邱二中模拟)解关于x 的不等式：log a (x 2－x －2)>1＋log a (x －2a)(a >0，a ≠1)．[解析] 原不等式等价于log a (x 2－x －2)>log a (ax －2)①当a >1时，①式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，ax －2>0，x 2－x －2>ax －2.即⎩⎪⎨⎪⎧ax －2>0，x 2－x －2>ax －2，亦即⎩⎪⎨⎪⎧x >2a，x <0或x >a ＋1.∴x >a ＋1.②当0<a <1时，①式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，ax －2>0，x 2－x －2<ax －2.即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2<ax －2，亦即⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >2，0<x <a ＋1.此不等式组的解集为∅.综上所述，当a >1时，原不等式的解集为{x |x >a ＋1}；当0<a <1时，原不等式的解集为∅.(理)(1)设x ≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy .(2)1≤a ≤b ≤c ，证明log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c .[证明] (1)由于x ≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2.将上式中的右式减左式，得 (y ＋x ＋(xy )2)－(xy (x ＋y )＋1) ＝((xy )2－1)－(xy (x ＋y )－(x ＋y )) ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1)．由于x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而所要证明的不等式成立． (2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数的换底公式得 log c a ＝1xy ，log b a ＝1x ，log c b ＝1y，log a c ＝xy .于是，所要证明的不等式即为x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ，其中x ＝log a b ≥1，y ＝log b c ≥1. 故由(1)知所要证明的不等式成立． 13．(本小题满分14分)观察下表： 1， 2,3 4,5,6,78,9,10,11,12,13,14,15， ……问：(1)此表第n 行的最后一个数是多少？ (2)此表第n 行的各个数之和是多少？ (3)xx 是第几行的第几个数？(4)是否存在n ∈N *，使得第n 行起的连续10行的所有数之和为227－213－120？若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由．[解析] (1)∵第n ＋1行的第1个数是2n， ∴第n 行的最后一个数是2n－1. (2)2n －1＋(2n －1＋1)＋(2n －1＋2)＋…＋(2n－1)＝2n －1＋2n －1·2n －12＝3·22n －3－2n －2.(3)∵210＝1024,211＝2048,1024<xx<2048，∴xx 在第11行，该行第1个数是210＝1024，由xx －1024＋1＝989，知xx 是第11行的第989个数．(4)设第n 行的所有数之和为a n ，第n 行起连续10行的所有数之和为S n . 则a n ＝3·22n －3－2n －2，a n ＋1＝3·22n －1－2n －1，a n ＋2＝3·22n ＋1－2n ，…，a n ＋9＝3·22n ＋15－2n ＋7，∴S n ＝3(22n －3＋22n －1＋…＋22n ＋15)－(2n －2＋2n －1＋…＋2n ＋7)＝3·22n －3410－14－1－2n －2210－12－1＝22n ＋17－22n －3－2n ＋8＋2n －2，n ＝5时，S 5＝227－128－213＋8＝227－213－120.∴存在n ＝5使得第5行起的连续10行的所有数之和为227－213－120.一、选择题1．(文)(xx·福建理，1)已知复数z 的共轭复数z －＝1＋2i(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] D[解析] ∵z －＝1＋2i ，∴z ＝1－2i ，对应点为(1，－2)在第二象限．点评：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应复平面内的点z (a ，b )． (理)已知复数z ＝2ii －1，则复数z 的共轭复数为( )A ．1＋iB ．－1＋iC ．1－iD ．－1－i [答案] A[解析] 由已知得z ＝2i i －1＝2i－i －12＝1－i ，故其共轭复数z －＝1＋i.2．(xx·浙江理，5)某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则( )A ．a ＝4B ．a ＝5C ．a ＝6D ．a ＝7[答案] A[解析] 由框图的变化规律可知k 1 2 3 4 S32537495故a 应取4.3．若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．－1[答案] B[解析] ∵(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0a ≠1，∴a ＝2.故选B.4．(xx·泗县双语中学模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1[答案] D[解析] 由于不等式组表示面积为1的直角三角形区域，∴直线y ＝kx 与直线x ＝1垂直或与直线x ＋y －4＝0垂直，再由围成面积为1的直角三角形区域知k ＝1.5．(xx·山东理，9)已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C. 5 D ．2[答案] B[解析] 本题考查线性规划与点到直线的距离．如图所示由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，2x －y －3＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.∴A 点坐标为(2,1)，z ＝ax ＋by 在A 点处取得最小值25，即2a ＋b ＝2 5.a 2＋b 2可看作两点(0,0)(a ，b )的距离的平方，原点到直线2a ＋b ＝25的距离的平方是(255)2＝4.6．(文)(xx·安徽理，3)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A ．34B ．55C ．78D ．89[答案] B[解析] 程序运行过程依次为：x ＝1，y ＝1，z ＝1＋1＝2，z ≤50成立→x ＝1，y ＝2，z ＝1＋2＝3，z ≤50成立→x ＝2，y ＝3，z ＝2＋3＝5，z ≤50成立，…依次进行下去得到z的值依次为2,3,5,8,13,21,34,55，当z ＝34时，循环最后一次得到z ＝55，此时不满足z ≤50，输出z ＝55后结束．(理)(xx·新课标Ⅱ文，8)执行下面的程序框图，如果输入的x 、t 均为2，则输出的S ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7[答案] D[解析] 程序运行过程依次为：x ＝2，t ＝2，M ＝1，S ＝3，k ＝1→M ＝11×2＝2，S ＝2＋3＝5，k ＝2→M ＝22×2＝2，S ＝2＋5＝7，k ＝3，∵3>2，不满足k ≤t ，输出S ＝7后结束．7．(文)(xx·内江市模拟)已知程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是( )A ．4B ．8C ．16D ．64[答案] D[解析] 初值S ＝1，n ＝0；第一次运行后，S ＝1×20＝1，n ＝0＋1＝1；第二次运行后，S ＝1×21＝2，n ＝1＋1＝2；第三次运行后，S ＝2×22＝8，n ＝2＋1＝3；第四次运行后，S＝8×23＝64，n ＝3＋1＝4，此时n >3成立，输出S 值为64.(理)(xx·江西八校联考)一个算法的程序框图如下，则其输出结果是( )A ．0 B.22C.22＋1 D.2＋1[答案] B[解析] 依程序框图可知，S ＝sin π4＋sin 2π4＋sin 3π4＋…＋sin 2014π4＝251×(sinπ4＋sin2π4＋…＋sin 8π4)＋(sin π4＋sin 2π4＋…＋sin 6π4)＝251×0＋(22＋1＋22＋0－22－1)＝22，故选B. 8．(文)(xx·求知中学月考)已知x 、y ∈R ，且满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x －2y ＋3≥0y ≥x，则x 2＋y 2－6x的最小值等于( )A ．－92B ．－4C ．0D ．－1[答案] A[解析] 作出可行域如图，x 2＋y 2－6x ＝(x －3)2＋y 2－9表示平面区域ABC 内的点到点P (3,0)距离的平方减去9，由于|PA |＝5，P 到直线y ＝x 的距离d ＝322，∴x 2＋y 2－6x ≥－92，故选A.(理)定义max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≥b b a <b，已知实数x 、y 满足|x |≤1，|y |≤1，设z ＝max{x ＋y,2x －y }，则z 的取值范围是( )A ．[－32，2]B ．[32，2]C ．[32，3]D ．[－32，3][答案] D[解析] 由x ＋y ≥2x －y 得x ≤2y ，∴z ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y x ≤2y 2x －yx >2y，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ |x |≤1|y |≤1x ≤2y及⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤1|y |≤1x ≥2y表示的平面区域分别为正方形BCEF ，被直线AD ：x ＝2y 分开所成的两部分，作直线l 1：x ＋y ＝0和直线l 2：2x －y ＝0，平移l 1可知在平面区域ADEF 内z ＝x ＋y 在A (－1，－12)处取最小值，在E (1,1)处取最大值，∴－32≤z ≤2；平移l 2可知在平面区域ABCD 内的点A (－1，－12)处z ＝2x －y 取最小值，在点C (1，－1)处z ＝2x －y 取最大值，∴－32≤z ≤3，综上知，z 的取值范围是－32≤z ≤3，故选D.[点评] 作为选择题可在正方形BCEF 内取点检验，例如取点C (1，－1)，则x ＋y ＝0,2x －y ＝3，∴z ＝3，排除A 、B ；取B (－1，－1)，则x ＋y ＝－2,2x －y ＝－1，∴z ＝－1，排除C ，故选D. 二、填空题9．(文)(xx·北京东城区模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y ≤0，x ＋y ≥0表示的平面区域为D ，则区域D 的面积为________，z ＝x ＋y 的最大值为________．[答案] 2 2[解析] 作出区域D 如图，其面积S ＝12×2×2＝2，当直线z ＝x ＋y 过点A (2,0)时，z max＝2.(理)如果直线ax －by ＋5＝0(a >0，b >0)和函数f (x )＝mx ＋1＋1(m >0，m ≠1)的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆(x －a ＋1)2＋(y ＋b ＋12)2＝854的内部或圆上，那么ab 2a ＋b 的取值范围是________．[答案] [37，59][解析] 根据指数函数的性质，可知函数f (x )＝mx ＋1＋1(m >0，m ≠1)恒过定点(－1,2)，将点(－1,2)代入ax －by ＋5＝0，可以得到a ＋2b ＝5.对ab2a ＋b作如下变形：ab 2a ＋b ＝11a ＋2b ＝5a ＋2b ·1a ＋2b＝55＋2b a ＋a b.由于(－1,2)始终落在所给圆的内部或圆上，所以a 2＋(b ＋52)2≤854.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝5，a 2＋b ＋522＝854，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，这说明点(a ，b )在以A (1,2)和B (3,1)为端点的线段上运动，所以b a 的取值范围是[13，2]，从而b a ＋a b 的取值范围是[2，103]，进一步可以推得ab 2a ＋b 的取值范围是[37，59]．[点评] 对于指数函数恒过定点的问题，就是让幂指数为零，则函数值必然为 1.同时对于点在圆内和圆上的文字语言，只有准确翻译为符号语言，才能得到a ，b 的关系式，进一步求解后面的问题．另外，我们得到a ，b 表达式后，能否利用b a ，来表示b a ＋a b的范围，即为所求的结果，这个是难点，体现了数学中的转化思想的运用．10．(文)(xx·武汉市模拟)设M 1(0,0)、M 2(1,0)，以M 1为圆心，|M 1M 2|为半径作圆交x 轴于点M 3(不同于M 2)，记作⊙M 1；以M 2为圆心，|M 2M 3|为半径作圆交x 轴于点M 4(不同于M 3)，记作⊙M 2；…；以M n 为圆心，|M n M n ＋1|为半径作圆交x 轴于点M n ＋2(不同于M n ＋1)，记作⊙M n ；…当n ∈N *时，过原点作倾斜角为30°的直线与⊙M n 交于A n ，B n .考察下列论断：当n ＝1时，|A 1B 1|＝2；当n ＝2时，|A 2B 2|＝15；当n ＝3时，|A 3B 3|＝35×42＋23－13；当n ＝4时，|A 4B 4|＝35×43－24－13；……由以上论断推测一个一般的结论：对于n ∈N *，|A n B n |＝________. [答案]35×4n －1＋－1n －1×2n－13[解析] 当n ＝4时，圆心为M 4(3,0)，又点M 5(－5,0)，所以半径为|M 4M 5|＝8.故圆心M4(3,0)到直线y ＝33x的距离为d＝|3－0|1＋13＝32，故|A4B4|＝282－322＝22474＝247＝35×43－24－13.因为|A1B1|＝35×41－1＋－11－1×21－13，|A2B2|＝35×42－1＋－12－1×22－13，|A3B3|＝35×43－1＋－13－1×23－13，|A4B4|＝35×44－1＋－14－1×24－13，由归纳推理得|A n B n|＝35×4n－1＋－1n－1×2n－13.(理)(xx·合肥市质检)先阅读第(1)题的解法，再解决第(2)题：(1)已知a＝(3,4)，b＝(x，y)，a·b＝1，求x2＋y2的最小值．解：|a·b|≤|a|·|b|⇒1≤5x2＋y2⇒x2＋y2≥125，故x2＋y2的最小值为125.(2)已知实数x、y、z满足：2x＋3y＋z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值为________．[答案]1 14[解析] 设a＝(2,3,1)，b＝(x，y，z)，则a·b＝1，因为|a·b|≤|a||b|，所以1≤x2＋y2＋z2·4＋9＋1，所以x2＋y2＋z2≥114.三、解答题11．(文)如图所示，在复平面内有三点P1、P2、P3对应的复数分别为1＋a、1＋2a、1＋3a，且OA＝1，|a|＝2，O为原点，若S△P1OP2＋S△P2OP3＝2，求对应的复数a.[解析] 由向量加法的运算法则知，OA →＋AP i →＝OP i →，i ＝1,2,3. ∵P 1、P 2、P 3对应的复数分别为1＋a 、1＋2a 、1＋3a ， ∴AP 1→、AP 2→、AP 3→对应的复数为a 、2a 、3a ， ∴AP 1→＝12AP 2→＝13AP 3→，即A 、P 1、P 2、P 3共线，设AP 3→与x 轴正方向夹角为θ.∵|a |＝2，∴S △AOP 3＝12|OA →|·|AP 3→|sin θ＝12×1×|3a |·sin θ＝3sin θ.∴S △AOP 1＝12|OA →|·|AP 1→|sin θ＝12×1×|a |·sin θ＝sin θ.显然S △P 1OP 2＋S △P 2OP 3＝S △OAP 3－S △OAP 1＝2sin θ. 从而2sin θ＝2，sin θ＝1，∵θ∈(0，π)，∴θ＝π2，因此a ＝2i.(理)对于任意的复数z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，定义运算P (z )＝x 2[cos(y π)＋isin(y π)]． (1)集合A ＝{ω|ω＝P (z )，|z |≤1，x 、y 均为整数}，试用列举法写出集合A ； (2)若z ＝2＋y i(y ∈R )，P (z )为纯虚数，求|z |的最小值；(3)直线l ：y ＝x －9上是否存在整点(x ，y )(坐标x 、y 均为整数的点)，使复数z ＝x ＋y i 经运算P 后，P (z )对应的点也在直线l 上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由．[解析] (1)⎩⎪⎨⎪⎧ z ＝x ＋y i ，|z |≤1⇒x 2＋y 2≤1，由于x 、y ∈Z ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±1，y ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝±1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0.∴P (±1)＝1，P (±i)＝0，P (0)＝0，∴A ＝{0,1}．(2)若z ＝2＋y i(y ∈R )，则P (z )＝4[cos(y π)＋isin(y π)]．若P (z )为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧cos y π＝0，sin y π≠0，∴y ＝k ＋12，k ∈Z ，∴|z |＝22＋y 2＝k ＋122＋4，k ∈Z ，当k ＝0或－1时，|z |min ＝172. (3)P (z )对应点坐标为(x 2cos(y π)，x 2sin(y π))，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －9，x 2sin y π＝x 2cos y π－9，x 、y ∈Z ，∴x 2sin(x π－9π)＝x 2cos(x π－9π)－9， ∴x 2sin x π＝x 2cos x π＋9. ∵x ∈Z ，∴①当x ＝2k ，k ∈Z 时，得x 2＋9＝0不成立； ②当x ＝2k ＋1，k ∈Z 时，得x 2－9＝0， ∴x ＝±3成立．此时⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－6或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－12，即z ＝3－6i 或z ＝－3－12i.12．(文)看下面一段发现数学公式的过程，指出各自运用了哪种推理方式．公式：S 2(n )＝12＋22＋32＋…＋n 2(n ∈N *)． (1)首先列表计算观察：n 1 2 3 4 5 6 7 8 … S 2(n )1514305591140204…(2)从上表中的数据没有明显的发现，于是联想到正整数之和的公式S 1(n )＝1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)，二者能否有关系呢？此处思维过程运用了什么推理？(3)再列表计算、比对：n 1 2 3 4 5 6 7 8 … S 1(n ) 1 3 6 10 15 21 28 36 … S 2(n )1514305591140204…(4)从上表中数据没有看出明显的规律，再进一步列表计算：n 1 2 3 4 5 6 7 8 … S 1(n ) 1 3 6 10 15 21 28 36 … S 2(n ) 1 5 14 30 55 91 140 204 … S 2nS 1n33537393113133153173…此处思维过程运用了什么推理？ (5)从上表发现了规律：S 2n S 1n ＝2n ＋13，于是猜想：S 2(n )＝16n (n ＋1)(2n ＋1)．此处思维过程运用了什么推理？[解析] (1)通过直接计算得到对应的数字，用的是演绎推理． (2)通过比较，用的是类比推理．(3)通过直接计算得到对应的数字，用的也是演绎推理． (4)通过直接计算得到对应的数字，用的还是演绎推理． (5)通过分析规律，加以总结，用的是归纳推理． (理)先阅读下列框图，再解答有关问题： (1)当输入的n 分别为1,2,3时，a 各是多少？(2)当输入已知量n 时，①输出a 的结果是什么？试证明之； ②输出S 的结果是什么？写出求S 的过程．[解析] (1)当n ＝1时，a ＝13；当n ＝2时，a ＝115；当n ＝3时，a ＝135.(2)(方法一)当输入n 时，①中输出结果为a n ，②中输出结果为S n ，则a 1＝13，a n ＝2n －32n ＋1a n －1(n ≥2)，所以a n a n －1＝2n －32n ＋1(n ≥2) 所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a 2a 1·a 1＝2n －32n ＋1·2n －52n －1·2n －72n －3…15·13＝12n ＋1·12n －1＝14n 2－1. (方法二)由a 1＝13＝14×12－1，a 2＝115＝14×22－1，a 3＝135＝14×32－1，猜想a n ＝14n 2－1. 证明：(1)当n ＝1时，结论成立，(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即a k ＝14k 2－1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2k ＋1－32k ＋1＋1a k ＝2k －12k ＋3·14k 2－1＝12k ＋32k ＋1＝14k ＋12－1. 所以当n ＝k ＋1时，结论成立，故对n ∈N *，都有a n ＝14n 2－1成立．因为a n ＝14n 2－1＝12n ＋12n －1＝12(12n －1－12n ＋1)，所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝12(1－13)＋12(13－15)＋…＋12(12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝n2n ＋1. 13．(文)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象(如图)与x 轴有两个不同的公共点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)试比较1a与c 的大小；(2)证明：－2<b <－1.[解析] (1)由已知，f (x )的图象与x 轴有两个不同的公共点，所以f (x )＝0有两个不同的实数根x 1、x 2.因为f (c )＝0，且x 1·x 2＝c a，所以f (x )＝0的两个根就是c 和1a.如果1a<c ，因为a >0，故1a >0，即0<1a <c ，而当0<x <c 时，f (x )>0，所以有f (1a )>0.这与1a是f (x )＝0的根矛盾，所以1a>c .(2)证明：因为f (c )＝0，所以ac 2＋bc ＋c ＝0.又c >0，故ac ＋b ＋1＝0. 因为a >0，c >0，所以ac >0.于是b ＋1<0.故b <－1.又f (x )的图象的对称轴为x ＝－b 2a ，且f (x )＝0的两根为c 和1a ，且c <1a ，所以－b 2a <1a ⇒b >－2.故－2<b <－1.(理)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝1－14a n ，b n ＝22a n －1，其中n ∈N *.(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求证：12＋13＋14＋…＋12n －1<b n －1(n ∈N *，n ≥2)．[解析] (1)证明：b n ＋1－b n ＝12a n ＋1－1－12a n －1＝121－14a n－1－12a n －1＝12－12a n－1－12a n －1＝1， ∴数列{b n }为等差数列． (2)因为b 1＝12a 1－1＝1，所以b n ＝1＋(n －1)＝n ，b n －1＝n －1(n ≥2)，原不等式即为证明12＋13＋14＋…＋12n －1<n －1(n ∈N *，n ≥2)，即1＋12＋13＋14＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n ≥2)成立．用数学归纳法证明如下：当n ＝2时，1＋12＋13<2成立，所以n ＝2时，原不等式成立；假设当n ＝k 时，1＋12＋13＋…＋12k －1<k 成立；当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋14＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1 <k ＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋2k－1 <k ＋12k ＋12k ＋…＋12k ＝k ＋2k2k ＝k ＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式成立，所以n ∈N *，n ≥2，总有12＋13＋14＋…＋12n －1<b n －1成立．。

【精品专题】2021届高考二轮复习理科数学提升精品专题试卷专题十二复数、算法、推理证明(理)

【精品专题】2021届高考二轮复习理科数学提升精品专题试卷专题十二复数、算法、推理证明（理）命题趋势1．对于复数的考查，一般比较简单，通常在选择题的前两道题，或者填空题当中出现，考查的内容一般为复数的概念、复数的运算、复数的几何意义；2．程序框图考查频率有降低，不再作为必考题出现，考查的形式多为选择题或填空题，考查的内容一般为循环结构的程序框图的输出功能以及判断框内循环体结束条件的填空；3．推理与证明单独的考查的频率比较低，一般作为工具应用到解题当中．一、复数1．形如的数叫做复数，复数通常用字母表示．全体复数构成的集合叫做复数集，一般用大写字母表示．其中，分别叫做复数的实部与虚部．2．复数相等如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．如果，那么且．特别地，，．两个实数可以比较大小，但对于两个复数，如果不全是实数，就只能说相等或不相等，不能比较大小．3．复数的分类复数，时为实数；时为虚数，，时为纯虚数，即复数（，）． 4．复平面直角坐标系中，表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．实轴上的点表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．复数集和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数对应复平面内的点． 5．共轭复数（1）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．复数的共轭复数用表示，即如果，那么．（2）共轭复数的性质①；②非零复数是纯虚数；③，；④；；．（3）两个共轭复数的积两个共轭复数，的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，即．6．复数的模向量的模叫做复数的模(或长度)，记作或．由模的定义可知（显然，）．当时，复数表示实数，此时．7．复数的加法与减法两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即．8．复数的乘法（1）复数的乘法法则复数乘法按多项式乘法法则进行，设，，则它们的积．（2）复数乘法的运算律复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．对任何，有① (交换律)；②(结合律)；此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号③(分配律)．9．复数的除法复数除法的实质是分母实数化，即．二、算法程序框图（也叫流程图、算法框图）是由一些框图和带箭头的流线组成的，其中框图表示各种操作的类型，框图中的文字和符合表示操作的内容，带箭头的流线表示操作的先后次序．流程图通常由输入框、输出框、流程线、处理框、判断框、起止框等构成．三、推理证明1．类比推理的常见内容为：平面几何中的点类比空间几何当中的线；平面几何当中的线类比空间几何中的面；平面几何中的三角形类比空间几何中的三棱锥；平面几何中的圆类比空间几何中的球．一、选择题．1．设复数，那么在复平面内复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．复数z满足（i为虚数单位），则（）A．1B．2C．D．3．已知为实数，复数（为虚数单位），复数的共轭复数为，若为纯虚数，则（）A．B．C．D．4．若i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（）A．2B．3C．D．5．复数，则复数在复平面内所对应的点在第（）象限．A．一B．二C．三D．四6．若是关于的实系数方程的一根，则等于（）A．B．C．D．7．若，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则等于（）A．B．C．0D．18．《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，这是一个伟大创举．其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之”．下面的程序框图体现了该算法的主要过程，若输入，，时，则输出的结果为（）A．，B．，C．，D．，9．如图是一个计算：的算法流程图，若输入，则由上到下的两个空白内分别应该填入（）A．，B．，C．，D．，10．执行如图所示的程序框图，若输出的数，那么判断框内可以填写的是（）A．B．C．D．11．甲､乙､丙三人从红，黄､蓝三种颜色的帽子中各选一顶戴在头上，各人帽子的颜色互不相同，乙比戴蓝帽的人年龄大，丙和戴红帽的人年龄不同，戴红帽的人比甲年龄小，则甲､乙､丙所戴帽子的颜色分别为（）A．红､黄､蓝B．黄､红､蓝C．蓝､红､黄D．蓝､黄､红12．用数学归纳法证明等式时，从到等式左边需增添的项是（）A．B．C．D．二、填空题．13．已知复数满足，则________．14．如图所示，满足如下条件：①第行首尾两数均为；①表中的递推关系类似“杨辉三角”．则第行的第2个数是__________．一、填空题．1．设、均为实数，关于的方程在复数集上给出下列两个结论：①存在、，使得该方程仅有两个共轭虚根；①存在、，使得该方程最多有个互不相等的根．其中正确的是（）A．①与①均正确B．①正确，①不正确C．①不正确，①正确D．①与①均不正确一、选择题．1．复数（）A．0B．2C．D．2．已知复数，，则为（）A．B．C．D．3．如图是求数列，，，，，，，前6项和的程序框图，则①处应填入的内容为（）A．B．C．D．4．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持五金出关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，…，”．源于问题所蕴的数学思想，设计如图所示程序框图，运行此程序，输出的结果为等于（）A．4B．5C．6D．75．由正整数组成的数对按规律排列如下：，，，，，，，，，，，，…．若数对满足，其中，则数对排在（）A．第351位B．第353位C．第378位D．第380位二、填空题．6．已知（i为虚数单位），则_________．7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果，则的取值范围是_________．8．用数学归纳法证明能被整除时，从到添加的项数共有_________项（填多少项即可）．9．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和，则是的更为精确的近似值．己知，试以上述的不足近似值和过剩近似值为依据，那么使用两次“调日法”后可得的近似分数为__________．一、选择题．1．【答案】C【解析】，，因此，复数在复平面内对应的点位于第三象限，故选C．【点评】本题考查了复数平面及复数的运算．2．【答案】C【解析】由，得，①，，故选C．【点评】本题考查了复数的运算及复数的模长，属于基础题．3．【答案】B【解析】①为纯虚数，①，则，①，则，故选B．【点评】本题考查了复数的运算，以及共轭复数，纯虚数的概念，属于基础题．4．【答案】D【解析】因为表示以点为圆心，半径的圆及其内部，又表示复平面内的点到的距离，据此作出如下示意图：所以，故选D．【点评】常见的复数与轨迹的结论：（1）：表示以为圆心，半径为的圆；（2）且：表示以为端点的线段；（3）且：表示以为焦点的椭圆；（4）且：表示以为焦点的双曲线．5．【答案】A【解析】，对应的点为，在第一象限，故选A．【点评】本题主要考了复数的运算，属于基础题．6．【答案】A【解析】由题意可得，即，所以，解得，因此，，故选A．【点评】本题考查了实系数一元次方程的虚根成对原理，即实系数一元次方程如果有虚根，他们的虚根成对出现，且互为共轭，考查了复数模的计算方法，属于基础题．7．【答案】B【解析】因为，所以，所以，所以，所以，故选B．【点评】本题考查了复数的代数形式的运算问题，也考查了复数相等问题，是基础题．8．【答案】B【解析】按照程序框图运行程序，输入：，，，，则，，；，则，，；，则，，；，则，，；，满足，输出，，故选B．【点评】本题考查了框图循环结构的运行，属于基础题．9．【答案】A【解析】观察数据发现，，都相隔2，故空白处应该填，排除B、D；当输入后，，选项A：符合，故选A．【点评】本题考查算法中的循环结构，根据程序框图补充条件，属于基础题．10．【答案】C【解析】，，，，，，循环终止，输出，故填故答案为C．【点评】本题考查算法中的循环结构，根据程序框图补充条件，属于基础题．11．【答案】B【解析】丙和戴红帽的人年龄不同，戴红帽的人比甲年龄小，故戴红帽的人为乙，即乙比甲的年龄小；乙比戴蓝帽的人年龄大，故戴蓝帽的人可能是甲也可能是丙，即乙比甲的年龄大或乙比丙的年龄大，但由上述分析可知，只能是乙比丙的年龄大，即戴蓝帽的是丙；综上，甲､乙､丙所戴帽子的颜色分别为黄､红､蓝，故选B．【点评】本题考查推理论证能力、应用意识及创新意识，考查逻辑推理的核心素养．逻辑推理题通常借助表格或图进行求解，把数学对象之间的逻辑关系表示出来进行判断即可．12．【答案】C【解析】当时，左边，共个连续自然数相加，当时，左边，所以从到，等式左边需增添的项是，故选C．【点评】本题考点为数学归纳法，考生需要熟悉数学归纳法的形式，属于基础题．二、填空题．13．【答案】【解析】因为，所以，设，则，故，，联立，解得，，则，故答案为．【点评】本题考查了复数的概念，复数的运算，复数的模，属于基础题．14．【答案】【解析】由图表可知第行的第2个数为：，故答案为．【点评】本题是一道找规律的题目，考查归纳推理，掌握归纳推理找规律的方法是解题的关键．一、填空题．1．【答案】A【解析】令，为正实数，则存在两个共轭的虚根，如，则存在两个共轭虚根，，故①正确；若为实数，则方程可看做，只需保证有两个正解即可，此时方程有四个实根；若为虚数，则设，有，等价于，所以，又为虚数，所以，则有，即，，即最多有两个根，所以方程最多有6个解．只需即可，如，方程有四个实根，有，两个虚根，故①正确，故选A．【点评】本题考查复数范围内求解，属于中档题．易错点：（1）根为复数时，设，代入计算，可得；（2）把握求实根和虚根时，两个方程之间的关系，保证一个最多方程4个根，一个方程最多2个根．一、选择题．1．【答案】D【解析】因为，所以，故选D．【点评】本题主要考查复数的运算，属于基础题．2．【答案】C【解析】由题意，复数，可得，则，故选C．【点评】本题主要考了复数的运算以及复数的模属于基础题．3．【答案】C【解析】判断框中的条件应该满足经过第一次循环得到，经过第二次循环得到，经过第三次循环得到，…故判断框中的条件应该为，故应选C．【点评】本题考查补全程序框的条件，属于基础题．4．【答案】C【解析】第一次执行循环，，，，继续执行循环；第二次执行循环，，，，继续执行循环；第三次执行循环，，，，继续执行循环；第四次执行循环，，，，继续执行循环；第五次执行循环，，，，结束循环，输出．故选C．【点评】本题考查程序框图的计算，属于基础题．5．【答案】B【解析】（673为质数），故或者，，得，，在所有数对中，两数之和不超过27的有个，在两数之和为28的数对中，为第二个（第一个是），故数对排在第位，故选B．【点评】本题考查了简单的合情推理，等差数列的求和，属于中档题．二、填空题．6．【答案】【解析】因为，所以，所以，所以，故答案为．【点评】复数的计算常见题型：（1）复数的四则运算直接利用四则运算法则；（2）求共轭复数是实部不变，虚部相反；（3）复数的模的计算直接根据模的定义即可．7．【答案】（或写成）【解析】由，；，；，；，；，退出结束，则，故答案为．【点评】本题考查程序框图的计算，属于基础题．8．【答案】5【解析】当时，原式为：，当时，原式为，比较后可知多了，共5项，故答案为5．【点评】本题主要考查了数学归纳法，考生需熟悉数学归纳法的基本形式，属于基础题．9．【答案】【解析】由调日法运算方法可知，第一次用“调日法”后得是的更为精确的不足近似值，即，第二次用“调日法”后得是更为精确的不足近似值，即，故使用两次“调日法”后可得的近似分数为，故答案为．【点评】本题考查了“调日法”的理论基础和操作方法，考查了计算能力，正确理解题目意思是解本题的关键，属于基础题．。

高考数学理科二轮算法初步、推理与证明、复数专题测试试题

卜人入州八九几市潮王学校算法初步、推理与证明、复数专题测试一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。

)1．(2021年四校联考)i为虚数单位，复数z＝，那么复数z的虚部是()A.iB.C．－i D．－解析：z＝＝＝＝－＋i∴z的虚部为.答案：B2．(2021年名校高三联考)i是虚数单位，假设＝a＋b i(a，b∈R，i是虚数单位，满足i2＝－1)，那么ab的值是()A．－15 B．－7C．3 D．15解析：由a＋b i＝＝(－i)(1＋7i)＝7－i，∴a＝7，b＝－1，ab＝－7，答案为B.答案：B3．(2021年皖南八校高三第二次联考)复数z＝1－i，那么的值是()A．2 B．－2C．2i D．－2i解析：∵z＝1－i，∴＝＝＝2.答案：A4．(2021年课标全国高考)假设执行下面的框图，输入N＝5，那么输出的数等于()A. B.C. D.解析：k＝1，S＝0，S＝，k＝2，S＝＋＝，k＝3，S＝＋＝，k＝4，S＝＋＝，k＝5，S＝＋＝.答案：D5．(2021年质检)某程序框图如下列图，那么该程序运行后输出的S的值是()A．1 B.C. D.解析：k＝1，S＝k＝2，S＝k＝3，S＝k＝4，S＝1∴2021÷4＝502 (3)∴S＝.答案：B6．(2021年高三质量评估测试)如图程序框图的功能是求出的值，那么框图中①、②两处应分别填写上的是()A．i≥1，a B．i≥1，a－6C．i>1，a D．i>1，a－6解析：从框图及其功能看出，从6开场经历了5次计算，终止条件应是i>1，最后一步输出的值应是a －6.答案：D7．(2021年高三联考)假设下面的程序执行后输出的结果是11880，那么在程序UNTIL后面的条件应为()A．i<10 B．i<＝10C．i<＝9 D．i<9解析：由于12×11×10×9＝11880，所以执行循环的条件应是i≥9，循环直到i<9时停顿，因此选D.答案：D8．(2021年质量评估)在数列{a n}中，假设存在非零整数T，使得a m＋T＝a m对于任意的正整数m均成立，那么称数列{a n}为周期数列，其中T叫做数列{a n}的周期．假设数列{x n}满足x n＋1＝|x n－x n－1|(n≥2，n∈N)，且x1＝1，x2＝a(a≤1，a≠0)，当数列{x n}的正周期最小时，该数列的前2021项的和是() A．669 B．670C．1339 D．1340解析：x1＝1，x2＝a，x3＝|a－1|＝1－a，x4＝|1－a－a|＝|1－2a|，依题意知周期为3，∴|1－2a|＝1，得a＝1，a＝0(舍去)．∴x1＝1，x2＝1，x3＝0，从而S2021＝1340.答案：D9．(2021年)黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成假设干个图案：那么第n个图案中有白色地面砖的块数是()A．4n B．4n＋1C．4n＋2 D．4n－1解析：第1～3个图案中白色地面砖的块数依次是6,10,14，由此猜想白色地面砖的块数构成以6为首项，4为公差的等差数列，故第n个图案中有白色地面砖6＋4(n－1)＝4n＋2(块)答案：C10．(2021年)设集合M＝{x|x＝3m＋1，m∈Z}，N＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，假设a∈M，b∈N，那么a－b，ab与集合M，N的关系是()A．a－b∈M，ab∉M B．a－b∈N，ab∉NC．a－b∈M，ab∈M D．a－b∈N，ab∈N解析：假设a∈M，b∈N，那么存在m1∈Z，n1∈Z，使a＝1＋3m1，b＝2＋3n1，故a－b＝3(m1－n1)－1＝3(m1－n1－1)＋2，由于m1－n1－1∈Z，故a－b∈N.又ab＝(1＋3m1)(2＋3n1)＝9m1n1＋6m1＋3n1＋2＝3(3m1n1＋2m1＋n1)＋2.由于3m1n1＋2m1＋n1∈Z，故ab∈N.答案：D11．(2021年一模)定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋2)，当x>1时，f(x)单调递增，假设x1＋x2>2且(x1－1)(x2－1)<0，那么f(x1)＋f(x2)的值()A．恒小于0 B．恒大于0C．可能为0 D．可正可负解析：由f(－x)＝－f(x＋2)知函数y＝f(x)关于点(1,0)对称，因此由x>1时f(x)单调递增可知当x<1时函数f(x)单调递减．由(x1－1)(x2－1)<0知x1－1，x2－1异号，不妨设x1>1，那么x2<1.∵x1＋x2>2，∴x1>2－x2.由x2<1知2－x2>1，故x1>2－x2>1.∴f(x1)>f(2－x2)．∵f(2－x2)＝－f(x2)．∴f(x1)>－f(x2)，即f(x1)＋f(x2)>0.答案：B12．(2021年高级一模)定义一种运算“*〞：对于自然数n满足以下运算性质：()A．n B．n＋1C．n－1 D．n2解析：由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝答案：A二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．把答案填在题中横线上．)13．(2021年江南十校联考)执行下边的程序框图，那么输出的结果是________．解析：i＝1，s＝1，p＝3i＝2，s＝4，p＝6i＝3，s＝10，p＝10.答案：1014．(2021年广雅、一中、金中2月联考)cos＝，coscos＝，coscoscos＝，…，根据这些结果，猜想出一般结论是________．答案：coscos…cos＝15．(2021年八三月调考)复数z满足＝1－2i，那么z＝________.解析：＝(1－2i)(1＋i)＝1＋i－2i＋2＝3－iz＝3＋i.答案：3＋i16．(2021年卷高考)设n≥2，n∈N，(2x＋)n－(3x＋)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，将|a k|(0≤k≤n)的最小值记为T n，那么T2＝0，T3＝－，T4＝0，T5＝－，…，T n，…其中T n＝________.解析：由归纳推理得T n＝.答案：T n＝三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分，17题10分，18～22题，每一小题12分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．)17．计算：(1)；(2)；(3)＋；(4)()2021＋()2021.解：(1)＝＝－1－3i.(2)＝＝＝＝＋i.(3)＋＝＋＝＋＝－1.(4)()2021＋()2021＝[(1＋i)2021·(1＋i)＋(1－i)2021·(1－i)]＝[(2i)1005·(1＋i)＋(－2i)1005·(1－i)]＝[i·(1＋i)＋(－i)·(1－i)]＝－.18．(2021年)先阅读框图，再解答有关问题：(1)当输入的n分别为1,2,3时，a各是多少？(2)当输入量n时，①输出a的结果是什么？试证明之；②输出S的结果是什么？写出求S的过程．解：(1)当n＝1时，a＝；当n＝2时，a＝；当n＝3时，a＝.(2)①解法一：记输入n时，①中输出结果为a n，②中输出结果为S n，那么a1＝，a n＝a n－1(n≥2)，所以＝(n≥2)．所以a n＝·…·a1＝··…·＝·＝.解法二：猜想a n＝.证明：(ⅰ)当n＝1时，结论成立．(ⅱ)假设当n＝k(k≥1，k∈N*),即a k＝，那么当n＝k＋1时，a k＋1＝a k＝·＝＝，所以当n＝k＋1时，结论成立．故对n∈N*，都有a n＝成立．即输出a的结果为.②因为a n＝＝＝(－)，所以S n＝a1＋a2＋…＋a n＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝(1－)＝.即输出S的结果为.19．(2021年)将n2个数排成n行n列的一个数阵：a11a12a13 (1)a21a22a23 (2)a31a32a33 (3)……………a n1a n2a n3…a nna11＝2，a13＝a61＋1，该数列第1列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列，其中m为正实数．(1)求第i行第j列的数a ij；(2)求这n2个数的和．解：(1)由a11＝2，a13＝a61＋1，得2m2＝2＋5m＋1，解得m＝3或者m＝－(舍去)，a ij＝a i1·3j－1＝[2＋(i－1)×3]3j－1＝(3i－1)·3j－1.(2)S＝(a11＋a12＋…＋a1n)＋(a21＋a22＋…＋a2n)＋…＋(a n1＋a n2＋…＋a nn)＝＋＋…＋＝(3n－1)·＝n(3n＋1)(3n－1)．20．x＋y＋z＝1，求证：x2＋y2＋z2≥.证明：∵x2＋y2≥2xy，x2＋z2≥2xz，y2＋z2≥2yz，∴2x2＋2y2＋2z2≥2xy＋2xz＋2yz.∴3x2＋3y2＋3z2≥x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz.∴3(x2＋y2＋z2)≥(x＋y＋z)2＝1.∴x2＋y2＋z2≥.21．(2021年模拟)设数列{a n}的前n项和为S n，且对任意的n∈N*，都有a n>0，S n＝.(1)求a1，a2的值；(2)求数列{a n}的通项公式a n；(3)证明：a2n＋1n≥a2n n＋a2n－1n.解：(1)当n＝1时，有a1＝S1＝，由于a n>0，所以a1＝1.当n＝2时，有S2＝，即a1＋a2＝，将a1＝1代入上式，由于a n>0，所以a2＝2.(2)由S n＝，得a13＋a23＋…＋a n3＝(a1＋a2＋…＋a n)2，①那么有a13＋a23＋…＋a n3＋a n＋13＝(a1＋a2＋…＋a n＋a n＋1)2.②②－①，得a n＋13＝(a1＋a2＋…＋a n＋a n＋1)2－(a1＋a2＋…＋a n)2，由于a n>0，所以a n＋12＝2(a1＋a2＋…＋a n)＋a n＋1.③同样有a n2＝2(a1＋a2＋…＋a n－1)＋a n(n≥2)，④③－④，得a n＋12－a n2＝a n＋1＋a n.所以a n＋1－a n＝1.由于a2－a1＝1，即当n≥1时都有a n＋1－a n＝1，所以数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列．故a n＝n.(3)证明：要证a2n＋1n≥a2n n＋a2n－1n，只需证(2n＋1)n≥(2n)n＋(2n－1)n，只需证(1＋)n≥1＋(1－)n，只需证(1＋)n－(1－)n≥1.由于(1＋)n－(1－)n＝[C n0＋C n1()＋C n2()2＋C n3()3＋…]－[C n0－C n1()＋C n2()2－C n3()3＋…]＝2[C n1()＋C n3()3＋C n5()5＋…]＝1＋2[C n3()3＋C n5()5＋…]≥1.∴原不等式成立．22．(2021年第一次质检)数列{a n}中，a1＝1，a n＋1a n－1＝a n a n－1＋a n2(n∈N＋，n≥2)，且＝kn＋1.(1)求k的值；(2)设g(x)＝，f(x)是数列{g(x)}的前n项和，求f(x)的解析式；(3)求证：不等式f(2)<g(3)，其中n为正整数．解：(1)由题意得＝a2＝k＋1，又因为a1＝1，a n＋1a n－1＝a n a n－1＋a n2(n∈N＋，n≥2)，那么a3a1＝a2a1＋a22，即＝a2＋1，又＝2k＋1，∴a2＝2k.所以k＋1＝a2＝2k，∴k＝1.(2)解：由(1)知＝n＋1，∴a n＝··…··a1＝n·(n－1)·…·2·1＝n！，因为g(x)＝＝nx n－1，所以，当x＝1时，f(x)＝f(1)＝1＋2＋3＋…＋n＝，当x≠1时，f(x)＝1＋2x＋3x2＋…＋nx n－1①①·x得xf(x)＝x＋2x2＋3x3＋…＋(n－1)x n－1＋nx n②①－②得：(1－x)f(x)＝1＋x＋x2＋…＋x n－1－nx n＝－nx n，∴f(x)＝－.综上所述：f(x)＝.(3)证明：由(2)知，f(2)＝－＝(n－1)2n＋1，又g(3)＝3n，易验证当n＝1,2,3时不等式成立；假设n＝k(k≥3)，不等式成立，即3k>(k－1)2k＋1，两边乘以3得：3k＋1>3(k－1)2k＋3＝k·2k＋1＋1＋3(k－1)2k－k2k＋1＋2，又因为3(k－1)2k－k·2k＋1＋2＝2k(3k－3－2k)＋2＝(k－3)2k＋2>0，所以3k＋1>k·2k＋1＋1＋3(k－1)2k－k2k＋1＋2>k·2k＋1＋1，即n＝k＋1时不等式成立，故不等式恒成立．。

高考数学二轮专题算法初步、复数、推理与证明训练试题

智才艺州攀枝花市创界学校卢氏一中2021届高考数学二轮算法初步、复数、推理与证明专题训练一、选择题1．(2021·模拟)i为虚数单位，复平面内表示复数z＝的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：因为z＝＝＝＝－－i，所以其在复平面上对应的点为(－，－)，在第三象限．答案：C2．(2021·高考)i是虚数单位，复数＝()A．2－i B．2＋iC．－1－2i D．－1＋2i解析：＝＝＝2－i，应选A.答案：A3．(2021·高考)观察以下各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，那么72011的末两位数字为()A．01 B．43C．07 D．49解析：∵75＝16807,76＝117649,77＝823543,78＝5764801，…∴7n(n∈Z，且n≥5)的末两位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记7n(n∈Z，且n≥5)的末两位数为f(n)，那么f(2011)＝f(502×4＋3)＝f(3)，∴72011与73的末两位数一样，均为43.答案：B4．(2021·高考)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，假设输入x的值是－4，那么输出y的值是() A．0.5 B．1C．2 D．4解析：由框图可知：x＝－4，|x|＞3，x＝|－4－3|＝7；x＝7，|x|＞3，x＝|7－3|＝4；x＝4，|x|＞3，x＝|4－3|＝1＜3，y＝21＝2.答案：C5．(2021·模拟)假设执行如下列图的程序框图，假设输入n＝6，m＝4，那么输出的p等于()A．720 B．360C．240 D．120解析：程序运行如下：n＝6，m＝4，k＝1，p＝1，p＝p(n－m＋k)＝6－4＋1＝3，k<m；k＝1＋1＝2，p ＝p(n－m＋k)＝3×(6－4＋2)＝12，k<m；k＝2＋1＝3，p＝p(n－m＋k)＝12×(6－4＋3)＝60，k<m；k＝3＋1＝4，p＝p(n－m＋k)＝60×(6－4＋4)＝360，k＝m，所以输出p，p＝360，应选B.答案：B6．(2021·质检)在平面几何中有如下结论：假设正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，那么＝.推广到空间几何可以得到类似结论：假设正四面体A－BCD的内切球体积为V1，外接球体积为V2，那么＝()A. B.C. D.解析：平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，设正四面体A－BCD的棱长为a，可得其内切球的半径为a，外接球的半径为a，∴＝.答案：D二、填空题7．(2021·模拟)运行如下列图的程序框图，假设输出的结果是62，那么判断框中整数M的值是________．解析：因为0＋21＋22＋23＋24＋25＝＝62，结合题中所给的框图可知，M＝4.答案：48.a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，那么这两个正方形重叠局部的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个中心，那么这两个正方体重叠局部的体积恒为________．解析：应该是一个常数，因此考虑极端情况，即两正方体重叠局部恰好构成一个棱长为的正方体，这个小正方体的体积为.答案：9．(2021·高考)观察以下等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第5个等式为________．解析：每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第n行最左侧的数应为n；每行数的个数分别为1、3、5、…，所以第n行的个数应为2n－1.所以第5行数依次是5、6、7、…、13，其和为5＋6＋7＋…＋13＝81.答案：5＋6＋7＋…＋13＝81三、解答题10．(2021·高考)复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.解：∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，∴z1＝2－i.设z2＝a＋2i，a∈R，z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.∵z1·z2∈R，∴a＝4，∴z2＝4＋2i.11．等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1＋，S3＝9＋3.(1)求数列{a n}的通项a n与前n项和S n；(2)设b n＝(n∈N*)，求证：数列{b n}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1)由得∴d＝2，故a n＝2n－1＋，S n＝n(n＋)．(2)由(1)得b n＝＝n＋.假设数列{b n}中存在三项b p，b q，b r(p，q，r互不相等)成等比数列，那么b＝b p b r.即(q＋)2＝(p＋)(r＋)．∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.∵p，q，r∈N*，∴∴()2＝pr，(p－r)2＝0.∴p＝r.与p≠r矛盾．∴数列{b n}中任意不同的三项都不可能成等比数列．12．数列{a n}满足S n＝2n－a n(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式a n；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1.当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝.当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝.当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，∴a4＝.由此猜想a n＝(n∈N*)．(2)证明：①当n＝1时，a1＝1，结论成立．②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，结论成立，即a k＝，那么n＝k＋1时，a k＋1＝S k＋1－S k＝2(k＋1)－a k＋1－2k＋a k＝2＋a k－a k＋1.∴2a k＋1＝2＋a k，∴a k＋1＝＝＝，这说明n＝k＋1时，结论成立，由①②知猜想a n＝(n∈N*)成立．。

2021-2022年高考数学二轮复习专题1.9推理与证明、复数教学案理

2021年高考数学二轮复习专题1.9推理与证明、复数教学案理一．考场传真1. 【xx课标1，理3】设有下面四个命题：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数，则.其中的真命题为A. B．C．D．【答案】B2．【xx课标II，理1】（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由复数除法的运算法则有：，故选D.3．【xx课标II，理7】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（）A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁两人一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果与丙的结果相反，丁看到甲的结果则知道自己的结果与甲的结果相反，即乙、丁可以知道自己的成绩，故选D.4．【xx课标3，理2】设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=A．B．C．D．2【答案】C【解析】由题意可得：，由复数求模的法则：可得： .故选C.5．【xx课标3，理7】执行右图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D6．【xx课标1，理8】右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A．A>1 000和n=n+1 B．A>1 000和n=n+2 C．A1 000和n=n+1 D．A1 000和n=n+2【答案】D【解析】由题意，因为，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入，故填，又要求为偶数且初始值为0，所以矩形框内填，故选D.7．【xx课标II，理8】执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B二．高考研究【考纲解读】1.考纲要求1.算法初步（1）算法的含义、程序框图①了解算法的含义，了解算法的思想；②理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环.（2）基本算法语句理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.6.推理与证明（1）合情推理与演绎推理.①了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；②了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；③了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.（2）直接证明与间接证明.①了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；②了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.7.数系的扩充与复数的引入（1）复数的概念，①理解复数的基本概念；②理解复数相等的充要条件；③了解复数的代数表示法及其几何意义.（2）复数的四则运算①会进行复数代数形式的四则运算；②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.8.框图（1）流程图：①了解程序框图；②了解工序流程图（即统筹图）；③能绘制简单实际问题的流程图，了解流程图在解决实际问题中的作用.（2）结构图①了解结构图；②会运用结构图梳理已学过的知识、梳理收集到的资料信息.2.命题规律：1.题量、题型稳定：复数、算法程序框图都是高考中的基础题型，一般地，复数与算法程序框图在高考试题中出现两个题目；推理证明、新定义的题，在高考题中也经常出现，以填空、选择题的形式出现，一般作为选择、填空的最后一题，一般这些题在高考中出现一题或两题.2.知识点分布均衡、重难点突出，对复数、算法、推理与证明等知识点的考查比较全面，更注重知识点有机结合以及重难点的分布，对支撑数学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要深度.算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础，也是新课标高考中新增加的内容，也是新课标高考中新增加的元素.高考十分注重逻辑思维的考查，以循环结构为主，有的也考查条件结构，注重知识点的有机整合，强调知识点在学科内的综合，在考查中也渗透数列、函数以及统计等方面的内容.推理与证明是新课标中的重要内容.高考中也十分注重逻辑思维能力的考查，在推理部分，主要考查归纳推理、类比推理以及新定义，在考查时结合数列、函数以及几何部分的内容，命题时注重了数学学科重点内容的考查以及新定义的理解，并保持必要的深度；在证明部分，加强了直接证明与间接证明法以及数学归纳法在综合中的应用，考查学生的推理论证能力.复数是高中数学的一个基本组成部分.高考中注重复数概念、运算以及几何意义的考查，以复数的四则运算为基石，综合考查复数的概念以及几何意义的理解.3.设计新颖、形式多样、难易适度，复数、算法都是高考中的基础知识，在高考中的考查一般以容易题出现，考查的形式以选择题、填空题出现，考查学生对于复数相关概念以及几何形式的理解以及分析问题的能力、逻辑思维能力；推理证明、新定义一般处于选择、填空题的最后一题，考查学生逻辑推理能力以及新定义的理解，属于较难题.3．学法导航1. 归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察—归纳—猜想—证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想．2. 类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起．当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比．3．复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化．2．复数的代数运算多用于次数较低的运算，但应用i 、ω的性质可简化运算．注意下面结论的灵活运用：(1)(1±i)2＝±2i；(2)1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i ；(3)ω2＋ω＋1＝0，ω3＝1，其中ω＝－12±32i.(4)i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N)．在进行复数的运算时，不能把实数集的运算法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当z ∈C 时，不是总成立的：(1)(z m )n ＝z mn (m ，n 为分数)；(2)若z m ＝z n ，则m ＝n(z≠1)；(3)若z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0.注意利用共轭复数的性质，将zz 转化为||z 2，即复数的模的运算，常能使解题简捷．一．基础知识整合基础知识：1.算法：①自然语言就是人们日常使用的语言，可以是人之间来交流的语言、术语等，通过分步的方式来表达出来的解决问题的过程.其优点为：好理解，当算法的执行都是先后顺序时比较容易理解；缺点是：表达冗长，且不易表达清楚步骤间的重复操作、分情况处理现象、先后顺序等问题.②程序框图程序框图是用规定的图形符号来表达算法的具体过程.优点是：简捷形象、步骤的执行方向直观明了③程序语言程序语言是将自然语言和框图所表达的解决问题的步骤用特定的计算机所识别的低级和高级语言编写而成.特点：能在计算机上执行，但格式要求严格2．程序框图构成程序框的图形符号及其作用循环框用来表达算法中重复操作以及运算连结点连接另一页或另一部分的框图注释框帮助编者或阅读者理解框图3．几种重要的结构（1）顺序结构（2）条件结构（3）循环结构4.算法语句：输入语句输入语句的格式：INPUT “提示内容”；变量输出语句输出语句的一般格式：PR INT“提示内容”；表达式赋值语句赋值语句的一般格式：变量=表达式赋值语句中的“＝”称作赋值号条件语句（1）“IF—THEN—ELSE”语句格式：IF 条件 THEN语句1ELSE语句2END IF（2）“IF—THEN”语句格式：IF 条件 THEN语句END IF循环语句（1）当型循环语句当型（WHILE型）语句的一般格式为：WHILE 条件循环体WEND（2）直到型循环语句直到型（UNTIL型）语句的一般格式为：DO循环体LOOP UNTIL 条件【推理与证明】1.合情推理：前提为真时，结论可能为真的推理叫做合情推理.（1）归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理叫做归纳推理，它是由部分到整体、由个别到一般的推理.（2）类比推理：根据两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，它是由特殊到特殊的推理.2.演绎推理：根据一般性的原理，推出某个特殊情况下的结论叫做演绎推理，它是由一般到特殊的推理.基本形式是三段论：（1）大前提，已知的一般性原理；（2）小前提，所研究的特殊情况；（3）结论.3.直接证明：综合法、分析法（1）综合法：从已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法.（2）分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为一个明显成立的条件为止的证明方法.4.反证法：假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.5.数学归纳法：（1）当取第一个值（例如）时，证明命题成立；（2）假设当时命题成立，并证明当时，命题也成立，于是命题对一切，，命题都成立，这种证明方法叫做数学归纳法.运用数学归纳法证明命题分为两步：第一步是递推的基础，第二是递推的依据，这两步缺一不可的.【复数】1.复数的相关概念：（1）形如的数叫复数，其中叫做复数的虚数单位，且，叫做复数的实部，叫做复数的虚部.复数集用集合C表示. （2）复数的分类：对于复数①当时，是实数；②当时，是虚数；③当且时，是纯虚数.（3）复数相等：若，，则的充要条件是且.特别地：若的充要条件是.2.复数的几何意义：（1）复平面：轴叫做实轴，实轴上的点都表示实数；y轴叫做虚轴，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.（2）复数与复平面内的点一一对应.（3）复数与复平面内所有以原点O为起点的向量一一对应.（4）复数的模：向量的模叫做复数的模，记作或，且.3.复数的四则运算：（1）共轭复数：实部相等，虚部互为相反数.若，则它的共轭复数.（2）复数的加法、减法、乘法、除法运算：除法法则：()()()()2222a bi c dia bi ac bd bc adic di c di c di cd c d+-++-==+++-++；4.重要性质：，，，.，，，.二．高频考点突破考点1程序框图的执行【例1】【xx四川德阳三校联考】执行如图所示的程序框图，若输入，输出的1.75，则空白判断框内应填的条件为（）A. ＜1B．＜0.5C．＜0.2D．＜0.1【答案】B【规律方法】此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束．要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节．识别、运行程序框图和完善程序框图的思路(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．【举一反三】【xx江西宜春六校联考】按下列程序框图来计算：如果输入的，应该运算（）次才停止A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C考点2 简单程序的运用【例2】如图所示，运行该程序，当输入分别为时，最后输出的的值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】程序的作用是取中的最大值，故.【规律方法】输入、输出和赋值语句是任何一个算法必不可少的语句，一个语句可以输出多个表达式．在赋值语句中，一定要注意其格式的要求，如“＝”的右侧必须是表达式，左侧必须是变量；一个语句只能给一个变量赋值；变量的值始终等于最近一次赋给它的值，先前的值将被替换；条件语句的主要功能是实现算法中的条件结构，解决像“判断一个数的正负”“比较两个数的大小”“对一组数进行排序”“求分段函数的函数值”等问题，计算时就需要用到条件语句．【举一反三】1.下面求的值得伪代码中，正整数的最大值为．【答案】xx考点3 归纳推理【例3】【山东省淄博市xx届12月考试】《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术. 得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：， 3344553344558815152424===，，，则按照以上规律，若具有 “穿墙术”，则n= A. 35 B. 48 C. 63 D. 80【答案】C【解析】根据规律得313,824,1535,2446,=⨯=⨯=⨯=⨯ ,所以 ,选C.【规律方法】归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认知功能，所得的结论未必是正确的，但是对于数学家的发现、科学家的发明，归纳推理却是十分有用的，通过观察、实验对有限的资料作出归纳整理，提出带有规律性的猜想. 归纳推理也是数学研究的独特方法之一.【举一反三】【山东省、湖北省重点中学xx 届第二次联考】已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，比如3242549,15,23a a a ===，，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】D考点4 类比推理【例4】已知是的三边，若满足，即，为直角三角形，类比此结论：若满足(,3)n n na b c n N n +=∈≥时，的形状为________．（填“锐角三角形”，“直角三角形”或“钝角三角形”）．【答案】锐角三角形【解析】易得最大，则角最大，(,3)1n nn n n a b a b c n N n c c ⎛⎫⎛⎫+=∈≥⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222221cos 0022n n a b a b a b c a b c C C c c c c ab π+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒+>+=⇒+>⇒=>⇒<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故该三角形为锐角三角形.【规律方法】类比推理主要是找出两类事物的共性，一般的类比有以下几种：①线段的长度——平面几何中平面图形的面积——立体几何中立体图形的体积的类比；②等差数列与等比数列的类比，等差数列中两数相加类比到等比数列中两数相乘，等差数列中两数的差类比到等比数列中两数相除.在类比的时候还需注意，有些时候不能将式子的结构改变，只需将相应的量进行替换.【举一反三】已知36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为，所以36的所有正约数之和为2222(133)(22323)(122)(133)91++++⨯+⨯=++++=参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为 .【答案】【解析】因，故的所有正约数之和为465)551)(2221(232=+++++.故应填答案.考点5复数【例5】【河南省中原名校xx 届第五次联考】已知，若是纯虚数，则在复平面内，复数所对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【规律方法】处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．(1)复数相等是一个重要概念，它是复数问题实数化的重要工具，通过复数的代数形式，借助两个复数相等，可以列出方程(组)来求未知数的值．(2)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．对于复数概念、几何意义等相关问题的求解，其核心就是要将复数化为一般形式，即，实部为，虚部为.（1）复数的概念：①为实数；②为纯虚数且；③为虚数.（2）复数的几何意义：①在复平面内对应的点在复平面对应向量；②复数的模.（3）共轭复数：复数与互为共轭复数.【举一反三】若复数的实部与虚部相等，则的值为（）A.-6B.-3C.3D.6【答案】B 【解析】因5)1225)2)(1(21i b b i bi i bi +--=--=+-,故由题设,即,应选B.1. 执行下列程序框图，如果输出的值为3，那么输入的取值范围是（） A ． B ． C ． D ．【答案】C押题依据算法框图是高考命题的热点题型．2. 已知，是虚数单位.若与互为共轭复数，则（）A ．B ．C ．D ．3【答案】D【解析】()()212i 212i 555a a a a --+-+==-，()()()5i 2i 5i 510i 3i 3i 3i 1i 2i 2i 2i 5+-+-=-=-=+--+，∵与互为共轭复数，∴，解得.故选D.押题依据复数是高考经常考的一个热点，难度不大．3. 观察下列各式：；；开始x 输入0i =2log x x =0?x <1i i =+i 输出结束是否；；若按上述规律展开后，发现等式右边含有“xx”这个数，则的值为（）A ．43B ．44C ．45D ．46【答案】C押题依据数表(阵)是高考命题的常见类型，本题以三角形数表中对应的各组包含的正整数的和的计算为依托，围绕简单的计算、归纳猜想等，考查考生归纳猜想能力．4. “MN 是经过椭圆（a ＞b ＞0）的焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦，则2222111||||a MN OP a b +=+.”类比椭圆的性质，可得“MN 是经过双曲线（a ＞0，b ＞0）的焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O 的半弦，则 .”【答案】2222111||||a MN OP a b-=- 【解析】由于在椭圆中2222111||||a MN OP a b +=+，在双曲线中和变为差，所以类比结果应是2222111||||a MN OP a b-=-. 押题依据本题考查类比推理等基础知识，类比推理也是高考考查的热点.5. 分别计算，，，，，…，并根据计算的结果，猜想的末位数字为．【答案】8【解析】由，，，，，，…，押题依据根据n个等式或不等式归纳猜想一般规律的式子是近几年的高考热点，相对而言，归纳推理在高考中出现的机率较大．。

高考数学(理)二轮专题练习：推理与证明、复数、算法(含答案)

推理与证明、复数、算法1．推理方法(1)合情推理合情推理是依据已有的事实和正确的结论 (包含定义、公义、定理等 )，实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推断某些结果的推理过程，概括和类比是合情推理常有的方法，在解决问题的过程中，合情推理拥有猜想和发现结论、探究和供给思路的作用，有益于创新意识的培育．S△PA′B′ PA′·PB′[问题 1]图1有面积关系：S△PAB＝PA·PB，则图2有体积关系：________.V P－A′B′C′ PA′·PB′·PC′答案V P－ABC ＝PA·PB·PC(2)演绎推理演绎推理是指假如推理是从一般性的原理出发，推出某个特别状况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．演绎推理的一般模式是“三段论”，包含：①大前提；②小前提；③结论．2．证明方法(1)直接证明①综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公义等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论建立，这种证明方法叫综合法．综合法又叫顺推法或由因导果法．②剖析法一般地，从要证明的结论出发，逐渐追求使它建立的充足条件，直至最后，把要证明的结论归纳为判断一个显然建立的条件 (已知条件、定义、定理、公义等 )，这种证明方法叫剖析法．剖析法又叫逆推法或执果索因法．(2)间接证明——反证法一般地，假定原命题不建立，经过正确的推理，最后得出矛盾，所以说明假定错误，进而证明原命题建立，这种证明方法叫反证法．(3)数学概括法一般地，证明一个与正整数n 相关的命题，可按以下步骤进行：① (概括奠定 )证明当 n 取第一个值 n0 0∈N*)时命题建立；(n② (概括递推 )假定 n＝ k (k≥n0，k∈N* )时命题建立，证明当n＝ k＋ 1 时命题也建立．只需达成这两个步骤，就能够判定数题对从n0开始的全部正整数n 都建立．上述证明方法叫做数学概括法．[问题2]用反证法证明命题“三角形三个内角起码有一个不大于60°”时，应假定________________________________________________________________________ ．答案三角形三个内角都大于60°3．复数的观点关于复数 a＋ bi(a，b∈R)，a 叫做实部， b 叫做虚部；当且仅当b＝0时，复数 a＋ bi(a，b∈R )是实数 a；当 b≠0时，复数 a＋ bi 叫做虚数；当a＝ 0 且 b≠0时，复数a＋bi 叫做纯虚数．[问题 3]若复数 z＝ lg(m2－ m－ 2)＋ i ·lg(m2＋3m＋3)为实数，则实数m 的值为 ________．答案－ 24．复数的运算法例与实数运算法例同样，主假如除法法例的运用，此外复数中的几个常用结论应记熟：(1)(121＋ i＝ i ；1－ i＝－ i ； (3)i4n＝ 1； i4 n＋14n＋2＝－ 1； i4n＋ 34n4n＋ 1i)±＝±2i； (2)1＋ i ＝ i ； i＝－ i ； i＋ i1－ i＋ i 4 n ＋2 4 n＋3 1 30232＋ i＝ 0； (4)设ω＝－±2i ，则ω＝1；ω＝ω；ω＝ 1； 1＋ω＋ω＝0.2[问题 4]已知复数 z＝1－3i， z 是 z 的共轭复数，则 | z |＝ ________.3＋ i答案15．算法(1)控制循环构造的是计数变量和累加变量的变化规律以及循环结束的条件．在解答这种题目时第一要弄清楚这两个变量的变化规律，其次要看清楚循环结束的条件，这个条件由输出要求所决定，看清楚是知足条件时结束仍是不知足条件时结束．(2)条件构造的程序框图中对判断条件的分类是逐级进行的，此中没有遗漏也没有重复，在解题时对判断条件要认真鉴别，看清楚条件和函数的对应关系，对条件中的数值不要遗漏也不要重复了端点值．[问题 5]履行以下图的程序框图，假如输出a＝341，那么判断框中能够是()A ． k<4?B ． k>5?C． k<6? D ． k<7?答案C分析依据程序框图，第一次循环，a＝0＋ 1＝ 1， k＝ 1＋ 1＝2；第二次循环，a＝4×1＋ 1＝5， k＝ 2＋ 1＝ 3；第三次循环，a＝4×5＋ 1＝21， k＝ 3＋1＝ 4；第四次循环，a＝4×21＋ 1＝ 85， k＝ 4＋ 1＝ 5；第五次循环，a＝4×85＋ 1＝ 341， k＝5＋ 1＝ 6.要使输出的a＝ 341，判断框中能够是“k<6？”或“k≤5？”．应选 C.易错点 1 复数的观点不明致误例 1 若 z＝ sin θ－3＋ cos θ－4i 是纯虚数，则tan θ－π的值为 () 554A．－7 B ． 711C．－7D．－7 或－7找准失分点此题常有的错误主要有两点：一是混杂复数的相关观点，忽略虚部不为0 的限制条件，错得34sin θ＝， cos θ＝±，致使错选 D.二是记错两角差的正切公式，致使计算有误．55正解由 z 为纯虚数，知sin θ－3＝ 0，且 cos θ－4≠ 0. 5534sin θ3则 sin θ＝，进而 cos θ＝－.所以 tan θ＝＝－.55cos θ4ππ －3－ 1∴ tan θ－＝tan θ－tan 4 ＝4 ＝－ 7. 43π1＋ tan θ·tan 41－ 4答案A易点 2 循次数掌握禁止致例 2行下的程序框，若 p ＝ 0.8，出的 n ＝________.找准失分点简单堕入循运算的 “黑洞 ”，出运算次数的误差而致．正解着框箭的走向列出相关的出数据，有1 ＝ 1 1 1 3 3 1S ： 0＋，＋ 2 ，＋ 32 2 22 ＝ 4 4 2 ＝ 0.875，n: 2,3, 4.“0.875<0.8 ”判断 “否 ”，出 n ＝ 4.答案4易点 3 数学法未用假致例 3用数学法明等差数列的前n 和公式 S n ＝ na 1＋n n －d(n ∈ N ＋ )．2解① 当 n ＝ 1 ， S 1＝ a 1，等式建立．② 假 n ＝ k(k ∈ N ＋，k ≥1) ，等式建立，1即 S k ＝a 1k ＋ 2k(k － 1)d.当 n ＝ k ＋ 1 ， S k ＋1＝ a 1＋ a 2＋ a 3＋ ⋯＋ a k ＋a k ＋ 1＝ a 1＋ (a 1＋ d)＋ (a 1＋ 2d)＋ ⋯ ＋[a 1＋ (k － 1)d] ＋(a 1＋ kd) ＝ (k ＋ 1)a 1＋ (d ＋2d ＋ ⋯ ＋kd)1＝ (k ＋ 1)a 1＋ 2k(k ＋ 1)d1＝ (k ＋ 1)a 1＋ 2(k ＋ 1)[(k ＋ 1)－ 1]d ，即当 n ＝k ＋ 1 ，等式建立．由 ①② 知，等式随意的正整数n 都建立．找准失分点本的因在于从 n ＝k 到 n ＝ k ＋1 的推理中，没实用到假．正解① 当 n ＝ 1 ， S 1＝ a 1，等式建立．② 假 n ＝ k(k ∈ N ＋，k ≥1) ，等式建立，1即 S k ＝a 1k ＋ 2k(k － 1)d.当 n ＝ k ＋ 1 ， S k ＋1 ＝ a 1 ＋a 2＋ ⋯ ＋ a k ＋ a k ＋ 11＝ S k ＋a k ＋1＝ a 1k ＋ 2k(k － 1)d ＋ a 1＋ kd＝ (k ＋ 1)a 1＋ 1(k ＋ 1)[(k ＋ 1)－ 1]d2 即当 n ＝k ＋ 1 ，等式建立．由 ①② 知，等式随意的正整数n 都建立．1． (2014 ·安徽 ) i 是虚数位， z 表示复数 z 的共复数．若z＋ i ·z 等于 ()z ＝ 1＋ i ， iA ．－ 2B ．－ 2iC ． 2D ． 2i 答案 Cz 1＋ i－ i 2＋ i分析 ∵ z ＝ 1＋ i ， ∴ z ＝ 1－ i ， i ＝ i ＝i＝1－ i ，∴ z＋ i ·z ＝ 1－ i ＋ i(1 － i) ＝ (1－ i)(1 ＋ i) ＝ 2. i故 C.2． (2014 ·福建 ) 如所示的程序框，运转相的程序，出的 S 的等于 ( )A ．18B ． 20C ． 21D ．40答案 B分析由意，得S ＝ 0， n ＝ 1；S ＝ 0＋ 2＋ 1＝ 3<15，n ＝2； S ＝ 3＋ 22＋ 2＝ 9<15， n ＝ 3；S ＝9＋ 23＋ 3＝ 20， n ＝ 4，因 20≥15，所以出S.故 B.3．复数 z 知足 (－ 1＋ i) z ＝ (1＋ i) 2，此中 i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点位于 ()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D分析(－ 1＋ i) z ＝ (1＋ i) 2＝ 2i ，＋＝－ i(i ＋ 1)＝ 1－i ，则 z ＝ 2i＝i － 1－＋所以复数 z 在复平面上对应的点为 (1，－ 1)，则这个点位于第四象限．4． i 为虚数单位，复数1＋ ai为纯虚数，则实数 a 等于 ()2＋ iA ．－2B ．－ 131C.2D ． 2答案A1＋ ai＋ a －＋ a＋a －2＋ a＝ 0，且分析因为 2＋ i ＝＋－＝5为纯虚数，所以5 2a － 1≠0即 a ＝－ 2. 55．(2014 北·京 )学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，挨次为 “优异 ”“合格 ”“不合格 ”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且此中起码有一门成绩高于乙，则称 “学生甲比学生乙成绩好 ”．假如一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，而且不存在语文成绩同样、数学成绩也同样的两位学生，那么这组学生最多有 ()A ．2 人B ．3 人C ．4人D ．5 人答案 B分析假定知足条件的学生有 4 位及 4 位以上，设此中4 位同学分别为甲、乙、丙、丁，则4位同学中必有两个人语文成绩同样，且这两个人数学成绩不同样(或 4 位同学中必有两个数学成绩同样，且这两个人语文成绩不同样)，那么这两个人中一个人的成绩比另一个人好，故满足条件的学生不可以超出3 人．当有 3 位学生时，用 A ， B ， C 表示 “优异 ”“合格 ”“不合格 ”，则知足题意的有 AC ， CA ，BB ，所以最多有 3 人．6． (2014 ·山东 )用反证法证明命题： “设 a ， b 为实数，则方程 x 3＋ax ＋ b ＝ 0 起码有一个实根 ”时，要做的假定是 ( )A ．方程 x 3＋ ax ＋ b ＝ 0 没有实根B ．方程 x 3＋ ax ＋ b ＝ 0 至多有一个实数C ．方程 x 3＋ ax ＋ b ＝ 0 至多有两个实根D ．方程 x 3＋ ax ＋ b ＝ 0 恰巧有两个实根答案A分析方程 x 3＋ ax ＋ b ＝ 0 起码有一个实根的反面是方程x 3＋ ax ＋b ＝ 0 没有实根，故应选 A.7．若复数 z 1＝ 4＋ 29i ， z 2＝ 6＋ 9i ，此中 i 是虚数单位，则复数 (z 1－ z 2)i 的实部为 ________．答案－ 20分析(z 1－ z 2)i ＝ (－ 2＋ 20i)i ＝－ 20－ 2i ，故 (z 1－z 2)i 的实部为－ 20.8． (2014 ·江苏 )已知复数 z ＝ (5＋ 2i)2(i 为虚数单位 )，则 z 的实部为 ________．答案 21分析因为 z ＝ (5＋ 2i)2＝ 25＋ 20i ＋ (2i) 2＝ 25＋20i －4＝ 21＋ 20i ，所以 z 的实部为 21.x 2 y 29．椭圆与双曲线有很多优美的对偶性质，如关于椭圆有以下命题：AB 是椭圆 a 2 ＋ b 2＝ 1(a>b>0)2的不平行于对称轴且可是原点的弦，M 为 AB 的中点，则 k OM ·k AB ＝－ b2.那么关于双曲线则有ax 2 y 2以下命题： AB 是双曲线 a 2 － b 2＝ 1(a>0， b>0) 的不平行于对称轴且可是原点的弦， M 为AB 的中点，则 k OM ·k AB ＝ ________.2答案 ba 2分析设 A(x 1， y 1)，B(x 2， y 2) ，M (x 0， y 0)，x 0＝ x 1＋ x 22 ，则有y 1＋ y 2y 0＝2 .将 A ， B 代入双曲线 x 2 y 2＝1 中得2 － 2a b x 12 y 12 x 22 y 22a 2－b 2＝ 1， a 2 －b 2 ＝1，两式相减得x 12－ x 22 y 12－ y 222 ＝2 ，abx 1－ x 2x 1＋ x 2即a2y 1－ y 2 y 1＋ y 2 即x 1－ x 2x 1＋ x 2＝y 1－ y 2y 1＋ y 2 ，b 222＝b 2，即 k OM ·k AB ＝ b2.aa10． (2014 ·北湖 )设 a 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的三位数．将构成a 的 3 个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为 D (a)(比如 a ＝ 815，则 I(a)＝ 158，D( a) ＝851)．阅读以下图的程序框图，运转相应的程序，随意输入一个a ，输出的结果 b＝ ________.答案495分析取 a1＝ 815? b1＝851－ 158＝ 693≠815? a2＝ 693；由 a2＝ 693? b2＝ 963－ 369＝ 594≠693? a3＝594；由 a3＝ 594? b3＝ 954－ 459＝ 495≠594? a4＝495；由 a4＝ 495? b4＝ 954－ 459＝ 495＝ a4? b＝ 495.。

2021年高考数学二轮复习专题突破课时作业20算法初步、复数、推理与证明理

课时作业20 算法初步、复数、推理与证明1．[2021·全国卷Ⅲ](1＋i)(2－i)＝( )A．－3－i B．－3＋iC．3－i D．3＋i解析：(1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i.应选D.答案：D2．[2021·浙江卷]复数21－i(i为虚数单位)的共轭复数是( ) A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i解析：21－i＝21＋i1－i2＝21＋i2＝1＋i，∴ 共轭复数为1－i.应选B.答案：B3．[2021·唐山市高三五校联考摸底考试]执行如下图的程序框图，当输入的n为7时，输出的S的值是( )A．14 B．210C．42 D．840解析：n＝7，S＝1,7<5？，否，S＝7×1＝7，n＝6,6<5？，否，S＝6×7＝42，n＝5,5<5？，否，S＝5×42＝210，n＝4,4<5？，是，退出循环，输出的S的值为210，选择B.答案：B4．[2021·郑州一中高三入学测试]执行如下图的程序框图，输出的s的值为( )A ．－32B ．0C .32D . 3 解析：依题意，数列|sin n π3|的项以6为周期重复出现，且前6项和等于0，因为2 017＝6×336＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫sin n π3的前2 107项和等于336×0＋sin π3＝32，执行题中的程序框图，输出s 的值等于数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫sin n π3的前2 017项和，等于32，应选C .答案：C5．[2021·石家庄市重点高中毕业班摸底考试]假设执行如下图的程序框图，输出的S 的值为4，那么判断框中应填入的条件是( )A ．k<18B ．k<17C ．k<16D ．k<15解析：由程序框图，得S ＝1·log 23·log 34·log 45·…·log k (k ＋1)＝log 2(k ＋1)＝4，解得k ＝15，此时k ＝15＋1＝16，循环中止．所以判断框中应填入的条件是k<16，应选C .答案：C6．[2021·山东潍坊市第一次模拟]“干支纪年法〞是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干〞，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支〞．“天干〞以“甲〞字开场，“地支〞以“子〞字开场，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，……、癸亥，60个为一周，周而复始，循环记录.2021年是“干支纪年法〞中的甲午年，那么2021年是“干支纪年法〞中的( )A ．己亥年B ．戊戌年C ．庚子年D ．辛丑年解析：由题意知2021年是甲午年，那么2021 年到2021年分别为乙未年、丙申年、丁酉年、戊戌年、己亥年、庚子年．答案：C7．[2021·湖北省四校高三上学期第二次联考试题]复数z －是z 的共轭复数，假设z －满足(4－i )z －＝5＋3i ，那么z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i解析：由得z －＝5＋3i4－i ＝5＋3i 4＋i 4－i4＋i ＝17＋17i17＝1＋i ，∴z＝1－i ，应选A .答案：A8．[2021·南昌市摸底调研考试]执行如下图的程序框图，输出的n 为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：当n ＝1时，f(x)＝x′＝1，此时f(x)＝f(－x)，但f(x)＝0无解；当n ＝2时，f(x)＝(x 2)′＝2x ，此时f(x)≠f(－x)；当n ＝3时，f(x)＝(x 3)′＝3x 2，此时f(x)＝f(－x)，且f(x)＝0有解，此时完毕循环，输出的n 为3.答案：C9．[2021·惠州市高三第二次调研考试试卷]假设z1＋i ＝2－i (i 为虚数单位)，那么复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：由题意知z ＝(1＋i )(2－i )＝3＋i ，其在复平面内对应的点的坐标为(3,1)，在第一象限，选A .A ．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 017项和B ．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 018项和C ．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 009项和D ．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 010项和解析：由程序框图得，输出的S ＝(2×1－1)＋(2×3－1)＋(2×5－1)＋…＋(2×2 017－1)，可看作数列{2n －1}的前2 017项中所有奇数项的和，即首项为1，公差为4的等差数列的前1 009项和．应选C.答案：C12．[2021·南昌市第一次模拟]平面内直角三角形两直角边长分别为a ，b ，那么斜边长为a 2＋b 2，直角顶点到斜边的距离为aba 2＋b 2.空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，类比推理可得底面积为S 21＋S 22＋S 23，那么三棱锥顶点到底面的距离为( )A.3S 1S 2S 3S 21＋S 22＋S 23B.S 1S 2S 3S 21＋S 22＋S 23C.2S 1S 2S 3S 21＋S 22＋S 23D.3S 1S 2S 3S 21＋S 22＋S 23解析：设空间中三棱锥O －ABC 的三条两两垂直的侧棱OA ，OB ，OC 的长分别为a ，b ，c ，不妨设三个侧面的面积分别为S △OAB ＝12ab ＝S 1，S △OAC ＝12ac ＝S 2，S △OBC ＝12bc ＝S 3，那么ab ＝2S 1，ac ＝2S 2，bc ＝2S 3.过O 作OD ⊥BC 于D ，连接AD ，由OA ⊥OB ，OA ⊥OC ，且OB ∩OC ＝O ，得OA ⊥平面OBC ，所以OA ⊥BC ，又OA ∩OD ＝O ，所以BC ⊥平面AOD ，又BC ⊂平面OBC ，所以平面OBC ⊥平面AOD ，所以点O 在平面ABC 内的射影O ′在线段AD 上，连接OO ′. 在直角三角形OBC 中，OD ＝bcb 2＋c 2.因为AO ⊥OD ，所以在直角三角形OAD 中，OO ′＝OA ·ODOA 2＋OD 2＝a ·bc b 2＋c 2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫bc b 2＋c 22＝abcab 2＋ac2＋bc2＝ab bc caab2＋ac2＋bc2＝2S 1·2S 2·2S 32S 12＋2S 32＋2S 22＝2S 1S 2S 3S 21＋S 22＋S 23.答案：C13．[2021·福建省高三毕业班质量检查测试]复数z 满足z －(3＋4i)＝4＋3i ，那么|z |＝________.解析：解法一因为z －＝4＋3i3＋4i ＝4＋3i 3－4i 3＋4i 3－4i ＝2425－725i ，所以z ＝2425＋725i ，所以|z |＝1.解法二设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，那么z －＝x －y i ，所以(x －y i)(3＋4i)＝4＋3i ，所以3x ＋4y ＋(4x －3y )i ＝4＋3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝4，4x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2425，y ＝725.所以|z |＝1.解法三由z －(3＋4i)＝4＋3i ，得|z －(3＋4i)|＝|4＋3i|，即5|z －|＝5，所以|z |＝1. 答案：1 14．复数z ＝3＋i 1－3i 2，z －是z 的共轭复数，那么z ·z －＝________.解析：∵z ＝3＋i 1－3i2＝3＋i －2－23i ＝3＋i －21＋3i＝3＋i 1－3i－21＋3i1－3i＝23－2i －8＝－34＋14i ，∴z ·z －＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋14i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－14i ＝316＋116＝14.答案：1415．[2021·济南市高考模拟试题]如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规那么标上标签：原点处标数字0，记为a 0；点(1,0)处标数字1，记为a 1；点(1，－1)处标数字0，记为a 2；点(0，－1)处标数字－1，记为a 3；点(－1，－1)处标数字－2，记为a 4；点(－1,0)处标数字－1，记为a 5；点(－1,1)处标数字0，记为a 6；点(0,1)处标数字1，记为a 7；……以此类推，格点坐标为(i ，j )的点处所标的数字为i ＋j (i ，j 均为整数)，记S n＝a1＋a2＋…＋a n，那么S2 018＝________.解析：设a n的坐标为(x，y)，那么a n＝x＋y.第一圈从点(1,0)到点(1,1)共8个点，由对称性可知a1＋a2＋…＋a8＝0；第二圈从点(2,1)到点(2,2)共16个点，由对称性可知a9＋a10＋…＋a24＝0，……以此类推，可得第n圈的8n个点对应的这8na2 018在第k圈，那么8＋16＋…＋8k＝4k(k＋1)，由此可知前22圈共有2 024个数，故S2 024＝0，那么S2 018＝S2 024－(a2 024＋a2 023＋…＋a2 019)，a2 024所在点的坐标为(22,22)，a2 024＝22＋22，a2 023所在点的坐标为(21,22)，a2 023＝21＋22，以此类推，可得a2 022＝20＋22，a2 021＝19＋22，a2 020＝18＋22，a2 019＝17＋22，所以a2 024＋a2 023＋…＋a2 019＝249，故S2 018＝－249.答案：－24916．[2021·全国卷Ⅰ]如下图的程序框图是为了求出满足3n－2n>1 000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A．A>1 000和n＝n＋1B．A>1 000和n＝n＋2C．A≤1 000和n＝n＋1D．A≤1 000和n＝n＋2解析：因为题目要求的是“满足3n－2n＞1 000的最小偶数n〞，所以n的叠加值为2，所以内填入“n＝n＋2”．由程序框图知，当内的条件不满足时，输出n，所以内填入“A≤1 000”．应选D.答案：D。

(江苏专用)2021高考数学二轮复习第一篇第3练复数与算法初步课件理

n←7 S←0 While S<18
S←S＋n n←n－1 End While Print n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
解析答案
11.(2021·江苏海安高级中学月考)如图，它是一个算法的流程图，最后输出的k值为____5____. 解析模拟执行流程图，可得k＝1，S＝0，满足条件S<20，S＝0＋21＝2，k＝2；满足条件S<20，S＝2＋22＝6，k＝3；满足条件S<20，S＝6＋23＝14，k＝4；满足条件S<20，S＝14＋24＝30，k＝5. 不满足条件S<20，退出循环，输出k的值为5.
高考押题冲刺练
1.设 i 是虚数单位，则复数 i3－2i ＝___i __. 解析 i3－2i ＝－i－2i2i＝－i＋2i＝i.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
解析答案
2.已知 a∈R，i 是虚数单位.若 z＝a＋ 3i，z·z ＝4，则 a 等于_1_或__－__1__. 解析 ∵z·z ＝4，∴|z|2＝4，即|z|＝2. ∵z＝a＋ 3i，∴|z|＝ a2＋3＝2，∴a＝±1.
1－i
1－i2
－2i
解析 ∵z＝1＋i＋2i＝1＋i1－i＋2i＝ 2 ＋2i＝i，
∴|z|＝1.
解析答案
2.a，b∈R，i是虚数单位.假设a－i与2＋bi互为共轭复数，那么(a＋ bi)2＝__3_＋__4_i__. 解析由得a＝2，b＝1，即a＋bi＝2＋i， ∴(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
解析答案
4.“复数z＝
3＋ai i
(a∈R)在复平面内对应的点在第三象限〞是“a≥0〞的

2021年高考数学大二轮复习专题一集合、常用逻辑用语、不等式、平面向量、算法、复数、推理与证明1.4

1.4 算法初步、复数、推理与证明【课时作业】1．(2021·全国卷Ⅱ)1＋2i1－2i ＝( )A ．－45－35iB ．－45＋35iC ．－35－45iD ．－35＋45i解析： 1＋2i1－2i ＝1＋2i 21－2i 1＋2i ＝1－4＋4i 1－2i 2＝－3＋4i 5＝－35＋45i. 应选D. 答案： D2．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，那么方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根〞时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根解析：因为“方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根〞等价于“方程x 3＋ax ＋b ＝0的实根的个数大于或等于1〞，因此，要做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根〞．答案： A3．(2021·广东深圳二模)设i 为虚数单位，那么复数|1－3i|1＋i＝( )A ．－1＋iB ．－2＋2iC ．1－iD ．2－2i解析：|1－3i|1＋i ＝21＋i ＝21－i 1＋i 1－i＝1－i ，应选C.答案： C4．(2021·重庆市质量调研(一))执行如下图的程序框图，如果输入的x ＝0，y ＝－1，n ＝1，那么输出x ，y 的值满足( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－3xC ．y ＝－4xD ．y ＝－8x解析：初始值x ＝0，y ＝－1，n ＝1，x ＝0，y ＝－1，x 2＋y 2<36，n ＝2，x ＝12，y ＝－2，x 2＋y 2<36，n ＝3，x ＝32，y ＝－6，x 2＋y 2>36，退出循环，输出x ＝32，y ＝－6，此时x ，y满足y ＝－4x ，应选C.答案： C5．(2021·湘东五校联考)i 为虚数单位，假设复数z ＝a1－2i＋i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，那么a ＝( )A ．－5B ．－1C ．－13D ．－53解析： z ＝a 1－2i＋i ＝a 1＋2i1－2i 1＋2i ＋i ＝a 5＋2a ＋55i ，∵复数z ＝a 1－2i＋i(a∈R )的实部与虚部互为相反数，∴－a 5＝2a ＋55，解得a ＝－53.应选D.答案： D6．(2021·南宁市摸底联考)(1＋i)·z ＝3i(i 是虚数单位)，那么复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析： ∵(1＋i)·z ＝3i ，∴z ＝3i 1＋i ＝3i 1－i 1＋i 1－i ＝3＋3i2，那么复数z在复平面内对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，∴复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，应选A.答案： A7．(2021·福州市质量检测)如下图的程序框图是为了求出满足1＋12＋13＋…＋1n <1 000的最大正整数n 的值，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A ．“S <1 000〞和“输出i －1〞B ．“S <1 000“和“输出i －2〞C ．“S ≥1 000〞和“输出i －1〞D ．“S ≥1 000〞和“输出i －2〞解析：根据程序框图的功能，可知判断框内应填“S ≥1 000〞．由程序框图分析知，输出框中应填写“输出i －2〞，应选D.答案： D8．假设夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于两平面的任一平面所截得的截面面积的比为常数k ，那么这两个几何体的体积之比也等于k .运用此结论，结合图形，可得长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆绕短轴所在的直线旋转一周所得几何体的体积为( )A ．πa 2b B ．πab 2C.43πa 2b D ．43πab 2 解析：由平面过球心时，求得k ＝b2a 2.设椭圆旋转所得几何体的体积为V ，那么43πb 3V＝k ，解得V ＝43πa 2b ，应选C.答案： C9．(2021·石家庄市质量检测(二))我国魏晋期间的伟大的数学家刘徽，是最早提出用逻辑推理的方式来论证数学命题的人，他创立了“割圆术〞，得到了著名的“徽率〞，即圆周率准确到小数点后两位的近似值 3.14，如图就是利用“割圆术〞的思想设计的一个程序框图，那么输出的n 值为(参考数据：sin 15°＝0.258 8，sin 7.5°＝0.130 5，sin 3.75°＝0.065 4)( )A ．12B ．24C ．36D ．48解析：第一次，当n ＝6时，S ＝12×6×sin 60°＝3×32<3<3.13；第二次，n ＝12，S ＝12×12×sin 30°＝3<3.13；第三次，n ＝24，S ＝12×24×sin 15°＝3.1056<3.13；第四次，n ＝48，S ＝12×48×sin 7.5°＝3.132>3.13，所以输出的n ＝48，应选D.答案： D10．(2021·贵阳市第一学期检测)我国明朝数学家程大位著的?算法统宗?里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争．小僧三人分一个，大小和尚各几丁？〞如下图的程序框图反映了对此题的一个求解算法，那么输出的n 的值为( )A ．20B ．25C ．30D ．35解析：法一：执行程序框图，n ＝20，m ＝80，S ＝60＋803＝8623≠100；n ＝21，m ＝79，S ＝63＋793＝8913≠100； n ＝22，m ＝78，S ＝66＋783＝92≠100； n ＝23，m ＝77，S ＝69＋773＝9423≠100； n ＝24，m ＝76，S ＝72＋763＝9713≠100； n ＝25，m ＝75，S ＝75＋753＝100，退出循环．所以输出的n ＝25.法二：设大和尚有x 个，小和尚有y 个，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝100，3x ＋13y ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝75，根据程序框图可知，n 的值即大和尚的人数，所以n ＝25.答案： B11．(2021·郑州市第二次质量预测)运行如下图的程序框图，那么输出的S 为( )A ．1 009B ．－1 008C ．1 007D ．－1 009解析： S ＝0，n ＝1，M ＝(－1)2×1＝1，S ＝0＋1＝1；n ＝2，M ＝(－1)3×2＝－2，S ＝1－2＝－1； n ＝3，M ＝(－1)4×3＝3，S ＝－1＋3＝2； n ＝4，M ＝(－1)5×4＝－4，S ＝2－4＝－2； n ＝5，M ＝(－1)6×5＝5，S ＝－2＋5＝3； n ＝6，M ＝(－1)7×6＝－6，S ＝3－6＝－3；n ＝7，S ＝(－1)8×7＝7，S ＝－3＋7＝4；……；n ＝2021，M ＝(－1)2 019×2 018＝－2 018，S ＝－2 018＋1 009＝－1 009.退出循环，输出的S ＝－1 009.应选D. 答案： D12．埃及数学中有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成假设干个单位分数和的形式，例如25＝13＋115.可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，假设每人分得一个面包的12，不够，假设每人分得一个面包的13，还余13，再将这13分成5份，每人分得115，这样每人分得13＋115.形如2n (n ＝5,7,9,11，…)的分数的分解：25＝13＋115，27＝14＋128，29＝15＋145，按此规律，2n＝( ) A.2n ＋1＋2n n ＋1 B.1n ＋1＋1n n ＋1 C.1n ＋2＋1nn ＋2D.12n ＋1＋12n ＋12n ＋3解析：根据分面包原理知，等式右边第一个数的分母应是等式左边数的分母加1的一半，第二个数的分母是第一个数的分母与等式左边数的分母的乘积，两个数的原始分子都是1，即2n ＝1n ＋12＋1nn ＋12＝2n ＋1＋2n n ＋1.应选A. 答案： A13．复数z ＝1＋3i2＋i ，那么|z |＝________.解析：法一：因为z ＝1＋3i 2＋i ＝1＋3i2－i 2＋i 2－i ＝5＋5i5＝1＋i ，所以|z |＝|1＋i|＝ 2.法二：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋3i 2＋i ＝|1＋3i||2＋i|＝105＝ 2.答案：214．观察下列图，可推断出“x 〞处应该填的数字是________．解析：由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，所以“x 〞处应填的数字是32＋52＋72＋102＝183.答案： 18315．(2021·浙江卷)我国古代数学著作?张邱建算经?中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？〞设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x ，y ，z ，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝100，5x ＋3y ＋13z ＝100，当z ＝81时，x ＝________，y ＝________.解析：法一：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋81＝100，5x ＋3y ＋13×81＝100，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝19，5x ＋3y ＝73，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝11.法二：100－81＝19(只)， 81÷3＝27(元)， 100－27＝73(元)．假设剩余的19只鸡全是鸡翁，那么 5×19＝95(元)．因为95－73＝22(元)，所以鸡母：22÷(5－3)＝11(只)，鸡翁：19－11＝8(只)．答案： 8 1116．执行如下图的程序框图，假设输入a ＝110 011，那么输出的结果是________．解析：第一次执行循环体，t ＝1，b ＝1，i ＝2，不满足i >6，第二次执行循环体，t＝1，b＝3，i＝3，不满足i>6，第三次执行循环体，t＝0，b＝3，i＝4，不满足i>6，第四次执行循环体，t＝0，b＝3，i＝5，不满足i>6，第五次执行循环体，t＝1，b＝19，i＝6，不满足i>6，第六次执行循环体，t＝1，b＝51，i＝7，不满足i>6，故输出b的值为51.答案：51。

2021-2022年高考数学二轮复习第一部分专题六算法、复数、推理与证明、概率与统计专题跟踪

2021年高考数学二轮复习第一部分专题六算法、复数、推理与证明、概率与统计专题跟踪训练20 文一、选择题1．(xx·湖南卷)已知1－i2z＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝( )A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i[解析]由题意得z＝1－i21＋i＝－2i1＋i＝－i(1－i)＝－1－i，故选D.[答案]D2．(xx·河南郑州第一次质量预测)在复平面内与复数z＝5i1＋2i所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为( )A．1＋2i B．1－2i C．－2＋i D．2＋i[解析]依题意得，复数z＝5i1－2i1＋2i1－2i＝i(1－2i)＝2＋i，其对应的点的坐标是(2,1)，因此点A(－2,1)对应的复数为－2＋i，选C.[答案]C3．(xx·大连双基测试)复数i1－i的虚部为( )A.12i B．－12iC.12D．－12[解析]i 1－i ＝i 1＋i 1－i 1＋i ＝－1＋i 2＝－12＋12i ，故虚部为12，选C.[答案] C4．(xx·山东卷)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根[解析] 方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根的反面是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根，故应选A.[答案] A5．(xx·福建卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入x 的值为1，则输出y 的值为( )A ．2B ．7C ．8D ．128[解析] 输入x ＝1，因为1≥2不成立，所以y ＝9－1＝8，输出y ＝8，故选C. [答案] C6．已知x >0，观察不等式x ＋1x≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x 2＝3，…，由此可得一般结论：x ＋a xn ≥n ＋1(n ∈N *)，则a 的值为( )A ．n nB ．n 2C ．3nD ．2n[解析] 根据已知，续写一个不等式：x ＋33x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋33x 3≥44x 3·x 3·x 3·33x 3＝4，由此可得a ＝n n .故选A.[答案] A7．(xx·重庆卷)执行如下图所示的程序框图，则输出s 的值为( )A.34B.56C.1112D.2524[解析] 第一次循环，得k ＝2，s ＝12；第二次循环，得k ＝4，s ＝12＋14＝34；第三次循环，得k ＝6，s ＝34＋16＝112；第四次循环，得k ＝8，s ＝1112＋18＝2524.此时退出循环，输出s ＝2524，故选D.[答案]D8．如图所示，程序框图输出的所有实数对(x，y)所对应的点都在函数( )A．y＝x＋1的图象上B．y＝2x的图象上C．y＝2x的图象上D．y＝2x－1的图象上[解析]程序的运行过程如下：x＝1，y＝1，x≤4成立；x＝2，y＝2，x≤4成立；x＝3，y＝4，x≤4成立；x＝4，y＝8，x≤4成立；x＝5时退出循环．所以输出的(x，y)依次为(1,1)，(2,2)，(3,4)，(4,8)，所以可判断所有实数对(x，y)所对应的点都在函数y＝2x－1的图象上，故选D.[答案]D9．执行下面的程序框图，若输入的a，b，k分别为1,2,3，则输出的M＝( )A.203B.72C.165D.158[解析] 第一次循环：M ＝32，a ＝2，b ＝32，n ＝2；第二次循环：M ＝83，a ＝32，b ＝83，n ＝3；第三次循环：M ＝158，a ＝83，b ＝158，n ＝4，则输出M ＝158，选D.[答案] D10．(xx·西安模拟)已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是( )A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(10,1)[解析] 依题意，就每组整数对的和相同的分为一组，不难得知每组整数对的和为n＋1，且每组共有n个整数时，这样的前n组一共有n n＋12个整数时，注意到1010＋12<60<1111＋12，因此第60个整数对处于第11组(每对整数对的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每对整数对的和为12的组中的各数对依次为(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个整数对是(5,7)，故选B.[答案]B11．(xx·河北五校高三质检)如图，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分，当x1＝6，x2＝9，p＝8.5时，x3等于( )A ．11B ．8.5C ．8D ．7[解析] 由程序框图可知，若x 3＝11，则|x 3－x 1|<|x 3－x 2|不成立，于是p ＝11＋92＝10，所以选项A 不正确；若x 3＝8.5，则|x 3－x 1|<|x 3－x 2|不成立，于是p ＝8.5＋92＝8.75，所以选项B 不正确；若x 3＝8，则|x 3－x 1|<|x 3－x 2|不成立，于是p ＝8＋92＝8.5，所以选项C 正确；若x 3＝7，则|x 3－x 1|<|x 3－x 2|成立，于是p ＝6＋72＝6.5.故选C. [答案] C12．(xx·新课标全国卷Ⅰ)执行如图所示的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8[解析] 由程序框图可知，S ＝1－12＝12，m ＝14，n ＝1，12>0.01；S ＝12－14＝14，m ＝18，n ＝2，14>0.01；S ＝14－18＝18，m ＝116，n ＝3，18>0.01；S ＝18－116＝116，m ＝132，n ＝4，116>0.01；S ＝116－132＝132，m ＝164，n ＝5，132>0.01；S ＝132－164＝164，m ＝1128，n ＝6，164>0.01； S ＝164－1128＝1128，m ＝1256，n ＝7，1128<0.01.故选C. [答案] C 二、填空题13．(xx·江西九江一模)设复数z ＝2－i 1＋i ，则z 的共轭复数为________．[解析] z ＝2＋i 1－i ＝2＋i 1＋i 2＝12＋32i.[答案] 12＋32i14．(xx·山东卷)执行如图的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的y 的值是________．[解析] 由程序框图，知x ＝1,1<2，x ＝2；2<2不成立，y ＝3×22＋1＝13，故输出的y 的值是13.[答案] 1315．(xx·广东七校联考)将全体正整数排成一个三角形数阵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 …根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行的从左至右的第3个数是________．[解析] 前n －1行共用了[1＋n －1]n －12个数，即nn －12个数，也就是说第n －1行的最后一个数就是n n －12.那么，第n (n ≥3)行的从左至右的第3个数是n n －12＋3，也就是n 2－n ＋62.[答案]n 2－n ＋6216．在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________.[解析] 平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，而正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，所以V 1V 2＝1 27 .[答案]1 27实用文档。

高考数学试题分项解析专题14 复数、推理与证明教师理试题

2021年高考试题分项版解析数学〔理科〕专题14 复数、推理与证明〔老师版〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日一、选择题:1.(2021年高考卷理科1)设i为虚数单位，那么复数56ii-=〔〕A 6+5iB 6-5iC -6+5iD -6-5i 【答案】C【解析】因为56ii-=(56)()i i-⋅-=65i-，应选C.【考点定位】此题考察复数的四那么运算,属容易题.2．(2021年高考卷理科3)设a，b∈R,“a=0”是“复数a+bi是纯虚数〞的〔〕A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3．(2021年高考卷理科2)i是虚数单位，那么3+i1i-＝〔〕A．1－2i B．2－i C．2＋i D．1＋2i 【答案】D【解析】3+i1i-＝()()3+i1+i2＝2+4i2＝1＋2i．4 . (2021年高考卷理科1)假设复数x 满足z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位)，那么z 为〔〕 A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i5.(2021年高考卷理科1)假设复数z 满足i zi -=1，那么z 等于〔〕A ．i --1B ．i -1C ．i +-1D ．i +16.(2021年高考卷理科2)复数22ii-=+〔〕 (A)3455i - (B)3455i + (C) 415i - (D) 315i + 【答案】A【解析】2(2)(2)34342(2)(2)555i i i i i i i i ----===-++-，应选A 【考点定位】此题主要考察复数代数形式的运算，属于容易题。

复数的运算要做到细心准确。

7.(2021年高考新课标全国卷理科3)下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为〔〕1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的一共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 348.(2021年高考卷理科1)i 是虚数单位，复数7=3iz i-+=〔〕〔A 〕2i + 〔Ｂ〕2i - 〔Ｃ〕2i -+ 〔Ｄ〕2i -- 【答案】B 【解析】7=3i z i -+=(7)(3)(3)(3)i i i i --+-=2173110i i ---=2i -. 【考点定位】本试题主要考察了复数的概念以及复数的加、减、乘、除四那么运算. 9．(2021年高考卷理科6)观察以下各式：221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=那么1010a b +=〔〕A ．28B ．76C ．123D ．19910.(2021年高考卷理科1)复数z 满足：()(2)5z i i --=；那么z =〔〕()A 22i -- ()B 22i -+ ()C i 2-2 ()D i 2+2【答案】D【解析】55(2)()(2)5222(2)(2)i z i i z i z i i i i i +--=⇔-=⇔=+=+--+. 11. (2021年高考卷理科1)方程 2x +6x +13 =0的一个根是( ) A -3+2i B 3+2i C -2 + 3i D 2 + 3i12．(2021年高考卷理科15)假设i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，那么〔〕A ．3,2==c bB ．3,2=-=c bC ．1,2-=-=c bD ．1,2-==c b【答案】 B【解析】根据实系数方程的根的特点12i 也是该方程的另一个根，所以b i i -==-++22121，即2-=b ，c i i ==+-3)21)(21(，故答案选择B.【考点定位】此题主要考察实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四那么运算，属于中档题，注重对根本知识和根本技巧的考察，复习时要特别注意. 13．(2021年高考卷理科18)设25sin1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是〔〕A ．25B ．50C ．75D ．10014. (2021年高考卷理科3)设,a b R ∈，i 是虚数单位，那么“0ab =〞是“复数b a i+为纯虚数〞的〔〕〔A 〕充分不必要条件〔B 〕必要不充分条件〔C 〕充分必要条件〔D 〕既不充分也不必要条件15. (2021年高考卷理科2)复数2(1)2i i-=〔〕 A 、1 B 、1- C 、i D 、i - 【答案】B【解析】2(1)2i i -=12212-=-+iii . 【考点定位】突出考察知识点12-=i ，不需采用分母实数化等常规方法，分子直接展开就可以.16.(2021年高考全国卷理科1)复数131ii-+=+〔〕A ．2i +B ．2i -C ．12i +D ．12i - 【答案】C【解析】i ii i i i i i 21242)1)(1()1)(31(131+=+=-+-+-=++-，选C. 【考点定位】本试题主要考察了复数的四那么运算法那么。

2021-2022年高考数学二轮专题复习专题突破篇专题六算法、复数、推理与证明、概率与统计专题

2021年高考数学二轮专题复习专题突破篇专题六算法、复数、推理与证明、概率与统计专题限时训练18 文一、选择题(每小题5分，共30分)1．执行如图所示的程序框图，输出的k 值是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案：B解析：当n ＝5时，5为奇数．∴n ＝3×5＋1＝16，k ＝k ＋1＝1；n ＝n 2＝8，k ＝k ＋1＝2；n ＝n2＝4，k ＝k ＋1＝3；n ＝n 2＝2，k ＝k ＋1＝4；n ＝n2＝1，k ＝k ＋1＝5，输出k ＝5.故选B.2．图①是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…，A 14.图②是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是( )图①图②A ．7B ．8C ．9D ．10 答案：D解析：从算法流程图可知，该图是统计成绩大于或等于90分的考试次数．从茎叶图可知输出的结果为10.3．(xx·新课标全国卷Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案：B解析：∵ (2＋a i)(a －2i)＝－4i ， ∴ 4a ＋(a 2－4)i ＝－4i.∴ ⎩⎨⎧4a ＝0，a 2－4＝－4，解得a ＝0.故选B.4．(xx·新课标全国卷Ⅰ)设复数z 满足1＋z1－z＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 答案：A解析：由1＋z 1－z ＝i ，得z ＝－1＋i 1＋i ＝－1＋i1－i2＝2i2＝i ，所以|z |＝|i|＝1.故选A.5．(xx·山西质量监测)对累乘运算有如下定义：＝a 1·a 2·…·a n ，则下列命题中的真命题是( )答案：D 解析：6．(xx·广东深圳二调)如图，我们知道，圆环也可以看作线段AB 绕圆心O 旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S ＝π(R 2－r 2)＝(R －r )×2π×R ＋r2，所以，圆环的面积等于以AB ＝R －r 为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成圆的周长2π×R ＋r2为长的矩形面积．请你将上述想法拓展到空间，并解决以下问题：若将平面区域M ＝{(x ，y )|(x －d )2＋y 2≤r 2}(其中0<r <d )绕y 轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是( )A ．2πr 2dB ．2π2r 2dC ．2πrd 2D ．2π2rd 2答案：B解析：已知中圆环的面积等于以AB ＝R －r 为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成圆的周长2π×R ＋r2为长的矩形面积，由此拓展到空间，可知：将平面区域M ＝{(x ，y )|(x －d )2＋y 2≤r 2}(其中0<r <d )绕y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积应等于以圆(x－d )2＋y 2＝r 2围成的圆面为底面，以圆心(d,0)绕y 轴旋转一周所形成的圆的周长2π×d 为高的圆柱的体积．故该旋转体的体积V ＝πr 2·2πd ＝2π2π2d .故选B.二、填空题(每小题5分，共20分)7．(xx·重庆卷)设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________. 答案：3解析：∵ |a ＋b i|＝a 2＋b 2＝3，∴ (a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3.8．观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n 个等式为________．答案：13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋122解析：由题知13＝12＝⎝⎛⎭⎪⎫1×222； 13＋23＝⎝⎛⎭⎪⎫2×322； 13＋23＋33＝⎝⎛⎭⎪⎫3×422； 13＋23＋33＋43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4×522； …∴13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋122. 9．(xx·湖北卷)设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I (a )，按从大到小排成的三位数记为D (a )(例如a ＝815，则I (a )＝158，D (a )＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b ＝________.答案：495解析：当a ＝123时，b ＝321－123＝198≠123. 当a ＝198时，b ＝981－189＝792≠198；当a ＝792时，b ＝972－279＝693≠792：当a ＝693时，b ＝963－369＝594≠693. 当a ＝594时，b ＝954－459＝495≠594：当a ＝495时，b ＝954－459＝495＝495＝a ，终止循环，输出b ＝495.10.对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0.将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OBA ·OC →＝0，将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________．答案：V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0.解析：将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知：若O 为四面体ABCD 内一点，则有V O －BCD ·OA →＋V O －ACD·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0. 三、解答题(每题15分，共30分)11．(xx·北京卷)已知数列{a n }满足：a 1∈N *，a 1≤36，且a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，a n ≤18，2a n －36，a n ＞18(n ＝1,2，…)．记集合M ＝{a n |n ∈N *}．(1)若a 1＝6，写出集合M 的所有元素；(2)若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； (3)求集合M 的元素个数的最大值．解：(1)6,12,24.(2)证明：因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设a k 是3的倍数．由a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，a n ≤18，2a n －36，a n ＞18，可归纳证明对任意n ≥k ，a n 是3的倍数．如果k ＝1，则M 的所有元素都是3的倍数．如果k ＞1，因为a k ＝2a k －1或a k ＝2a k －1－36，所以2a k －1是3的倍数，于是a k －1是3的倍数．类似可得，a k －2，…，a 1都是3的倍数．从而对任意n ≥1，a n 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数．综上，若集合M 存在一个元素是3的倍数，则M 的所有元素都是3的倍数．(3)由a 1≤36，a n ＝⎩⎨⎧2a n －1，a n －1≤18，2a n －1－36，a n －1＞18，可归纳证明a n ≤36(n ＝2,3，…)．因为a 1是正整数，a 2＝⎩⎨⎧2a 1，a 1≤18，2a 1－36，a 1＞18，所以a 2是2的倍数．从而当n ≥3时，a n 是4的倍数．如果a 1是3的倍数，由(2)知对所有正整数n ，a n 是3的倍数．因此当n ≥3时，a n ∈{12,24,36}，这时M 的元素个数不超过5. 如果a 1不是3的倍数，由(2)知对所有正整数n ，a n 不是3的倍数．因此当n ≥3时，a n ∈{4,8,16,20,28,32}，这时M 的元素个数不超过8. 当a 1＝1时，M ＝{1,2,4,8,16,20,28,32}有8个元素．综上可知，集合M 的元素个数的最大值为8. 12．(xx·陕西卷)已知函数f (x )＝e x，x ∈R . (1)求f (x )的反函数的图象上点(1,0)处的切线方程； (2)证明：曲线y ＝f (x )与曲线y ＝12x 2＋x ＋1有唯一公共点；(3)设a <b ，比较f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2与f b －f ab －a 的大小，并说明理由．解：(1)f (x )的反函数为g (x )＝ln x ，设所求切线的斜率为k ，∵g ′(x )＝1x，∴k ＝g ′(1)＝1，于是在点(1,0)处切线方程为y ＝x －1.(2)证明：证法一：曲线y ＝e x 与y ＝12x 2＋x ＋1公共点的个数等于函数φ(x )＝e x －12x 2－x －1零点的个数．∵φ(0)＝1－1＝0，∴φ(x )存在零点x ＝0.又φ′(x )＝e x －x －1，令h (x )＝φ′(x )＝e x －x －1，则h ′(x )＝e x －1，当x <0时，h ′(x )<0，∴φ′(x )在(－∞，0)上单调递减．当x >0时，h ′(x )>0，∴φ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．∴φ′(x )在x ＝0处有唯一的极小值φ′(0)＝0，即φ′(x )在R 上的最小值为φ′(0)＝0. ∴φ′(x )≥0(仅当x ＝0时等号成立)，∴φ(x )在R 上是单调递增的，∴φ(x )在R 上有唯一的零点，故曲线y ＝f (x )与y ＝12x 2＋x ＋1有唯一的公共点．证法二：∵e x >0，12x 2＋x ＋1>0，∴曲线y ＝e x 与y ＝12x 2＋x ＋1公共点的个数等于曲线y ＝12x 2＋x ＋1e x与y ＝1公共点的个数，设φ(x )＝12x 2＋x ＋1e x，则φ(0)＝1，即x ＝0时，两曲线有公共点．又φ′(x )＝x ＋1e x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x ＋1e x e2x＝－12x2ex≤0(仅当x ＝0时等号成立)，∴φ(x )在R 上单调递减，∴φ(x )与y ＝1有唯一的公共点，故曲线y ＝f (x )与y ＝12x 2＋x ＋1有唯一的公共点．。

(新)高考数学二轮复习解题思维提升专题09 复数、推理与证明(附答案解析)

专题09 复数、推理与证明【训练目标】1、掌握复数的概念及复数的分类；2、掌握复数的四则运算，复平面问题；3、掌握共轭复数的概念，模长的计算；4、理解复数的几何意义；5、掌握归纳推理和类比推理的方法；6、掌握反证法，综合法，分析法，数学归纳法。

【温馨小提示】本专题高考有一道复数题，一般在选择题的第一或二题，属于送分题，主要考察复数的运算及复平面；推理与证明也是今年考试的热点，一半出现在选择题或者填空题，属于容易题。

【名校试题荟萃】1.若集合，，则等于（）A． B. C. D.【答案】C【解析】因为，，所以。

2.设复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】由题意，对应点为，在第四象限．故选D．3.若复数是纯虚数，则的值为（）A. B. C. D.或【答案】A【解析】由题意可得因为复数z是纯虚数所以满足实部为零且虚部不为零.即.因为且，所以.所以.因为.故选A.4.设为虚数单位，如果复数满足，那么的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B5.设复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】可得，则，则．6.是的共轭复数，若，（为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】方法一：设（），则，，．又，，故．方法二：，，又，，，.7、已知为实数，若，则实数等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】且复数不可比较大小，必为实数，，，.故选B.8、已知，，定义：.给出下列命题:（1）对任意,都有；（2）若是复数z的共轭复数，则恒成立；（3）若，则；（4）对任意，结论恒成立.则其中真命题是（）A.（1）（2）（3）（4）B.（2）（3）（4）C.（2）（4）D. （2）（3）【答案】C9、复数的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故选A.10、考察下列等式：，，，……，其中为虚数单位，均为实数．由归纳可得，的值为.【答案】0【解析】通过归纳可得，，从而．11、是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，则点对应的复数为_______.【答案】12、下面四个命题中，①复数，则其实部、虚部分别是；②复数满足，则对应的点集合构成一条直线；③由，可得；④为虚数单位，则．正确命题的序号是. 【答案】①②13、已知复数和复数,则的值_______.【答案】【解析】.14、若是实数，，则.【答案】【解析】，因为是实数，所以是实数，又，故.15、设，复数满足：且（其中为虚数单位），求的值为．【答案】16、下列说法中正确的序号是_______.①②若一个数是实数,则其虚部不存在③虚轴上的点表示的数都是纯虚数④设(为虚数单位),若复数在复平面内对应的向量为,则向量的模是⑤若,则对应的点在复平面内的第四象限.【答案】④⑤17、观察下列各式：，，，则的末两位数字为（）A.01B.43C.07D.4【答案】B18、观察下列各式：，…，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.所以，所以，所以，故选C.19、一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人作了案”；丁说：“乙说的是事实”。

2021高三数学全国二模汇编(理科)专题10推理与证明算法复数

2021高三数学全国二模汇编(理科)专题10推理与证明算法复数2021高三数学全国二模汇编(理科)专题10推理与证明、算法、复数[2022高中数学处处高质量第二模拟考试项目子项目质量]一、选择题1.[2022年青海省西宁市第一次模拟考试，第三名]一所学校计划在周一至周四的艺术节上表演四个戏剧：《雷雨》、《茶馆》、《天籁之音》和《马蹄铁》。

它受到许多因素的影响。

这场雷雨不能在周一和周四上演。

茶馆不能在“阴阳”中演奏。

“天籁”不能在“和声”中演奏。

《雷雨》只能在周二演出。

B.“茶馆”可能在周二或周四演出c.周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》d.四部话剧都有可能在周二上演【答案】c根据第二次模拟考试，周一是天籁之音的现场，而茶馆在周四。

周三可能是雷雨或马蹄声。

然后是c.2。

[2022陕西省咸阳市第二中学模型]为人所知。

一、二、三级的三个人中，一个是士兵，一个是工人，另一个是农民。

如果B比农民年龄大；C的年龄与工人不同；如果工人的年龄小于a，以下判断是正确的：（a）a是士兵，B是工人，C是农民，B是士兵，C是工人，C是农民，B是工人，C是士兵，D.a是工人，B是农民，C是士兵3．【2021海南高三联考二】在侦破某一起案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中查出真正的嫌疑人，现有四条明确信息：（1）此案是两人共同作案；（2）若甲参与此案，则丙一定没参与；（3）若乙参与此案，则丁一定参与；（4）若丙没参与此案，则丁也一定没参与.据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是（）a.甲、乙b.乙、丙c.甲、丁d.丙、丁【答案】d【分析】如果甲方和乙方参与本案，则不符合（3）；如果乙方和丙方参与本案，则不符合（3）；如果嘉定参与本案，则不符合（4）；冰丁参与本案时，均符合要求故选d.4、（2022年4月，宁夏银川三年级的2022年4月质量检查）周末，一所大学宿舍里的学生做了四件事：读书、写信、听音乐和玩游戏。

以下是一些关于他们所做事情的判断：① a没有阅读或写信；② B不写信或听音乐；③如果甲不在听音乐，那么丁也不在看书；④丙不在看书，也不写信.众所周知，这些判断是正确的。

2021年高考数学二轮复习 推理与证明、算法初步、复数训练题 理

2021年高考数学二轮复习 推理与证明、算法初步、复数专题训练(含解析)