中科大_盲信号处理_第6章1

并有如下一些假设：
1)
M ≥N
2） 关于 H ( z )
H ( z ) 是不可约的
3） 关于 s(k )
（1） s(k ) 可以是实的或复的随机向量； （2） {s(k )} 是一个平稳的向量新息过程； （3） s(k ) 的各个分量信号具有非零的 4 阶累量。 对于零均值的随机变量 x ，其 4 阶累量定义为：
ˆ( z ) y ( z ) = W ( z ) x( z ) = s
是源信号 s(k ) 波形的“好的”估计。 根据式（6-3），有
(6-7)
y ( z ) = W( z )x( z ) = W( z )H ( z )s( z ) + W ( z )n( z )
如果
(6-8)
W ( z )H ( z ) = PΛD( z )
由此可见，在以“恢复源信号波形”为目标的盲解卷积问题中，允许有三种不确定 性（模糊性），即排列顺序的不确定性、信号幅度的不确定性、以及延时的不确定性。 应该注意到，在有噪声的情况下，合理地利用这些模糊性，可以获得某些准则（如
MMSE）下源信号波形的“好的”估计，具体方法将在本章后续课程内容中加以介绍。
4. 关于 H ( z ) 可盲辨识的条件
利用多项式矩阵分析理论，可以获得 H ( z ) 可辨识性的一些充分和/或必要条件。 根据目前的研究结果，主要有以下的结论： 如果满足： （1） M > N （2） H ( z ) 是不可约的 （3） H ( z ) 是列可约的 （4） {s(k )} 是一个平稳的向量新息过程，或者是
k4 ( x) = cum[ x, x, x* , x* ] = E{| x |4 } − 2{E[| x |2 ]}2 − | E[ x 2 ] |2
当 x 为实随机变量时，有
(6-15)
k4 ( x) = E{x 4 } − 3{E[ x 2 ]}2
4） n(k ) 是 0 均值、i.i.d. 高斯随机向量
如果 R 是正定的，则称 si (k ) 为激励阶数为 q 的持续激励。
(6-6)
FT （ii）令 ri (τ ) ⎯⎯ → Pi (e jω ) ，如果对于所有的频率 ω ， Pi (e jω ) ≠ 0 ，则称 si (k )
为激励阶数为 q 的持续激励。 注：（i）和（ii）是等价的。 比较 s(k ) 的这两种假设可知：第一种假设只是第二种假设的特例！
2）方法
按照求解 W ( z ) 的步骤不同，可以将盲解卷积方法分为“一步法”和“二步法”。 （1）一步法 直接盲解卷积（盲均衡），即直接求 W ( z ) ，这个方法通常需要用到高阶 统计量。 （2）二步法 将 W ( z ) 的求解分为两步来完成。 第一步：各个分量信号解卷积 求解 G ( z ) = ∑ G l z −l ，使得
y ( z ) = W ( z )H ( z )s( z ) = PΛD( z )s( z )
即
(6-10) (6-11)
yi (k ) = a j s (k − τ j )
式（6-10）和（6-11）表明：如果设计的 W ( z ) 满足式（6-9），则 （1） 在无噪声的情况下，可以精确地恢复出源信号的波形 （2） 在有噪声的情况下，可以获得源信号波形的一个估计
2. 盲解卷积的方法
(6-16)
从总体的思路上来说，采用上一章介绍的盲提取的方法对多通道卷积混合信号进行 盲解卷积，即反复使用“提取-压缩”过程来逐个逐个的对信号进行盲解卷积。
1）盲提取
这里的盲提取的含义实际上是对单个源信号进行解卷积，这与上一章介绍的盲提取 的含义有所不同。具体地说，在忽略噪声的条件下，盲提取的目标是：设计一个 M ×1 的 多项式向量 w ( z ) = [ w1 ( z ), w2 ( z ),L , wM ( z )]T ，使得
第六章
第一节
1. 信号模型
多通道盲解卷积
基本概念和问题描述
考虑一个多入多出（MIMO ）的离散线性时不变的有记忆（动态系统），其输入信 号和输出信号的一般性关系可以表示为
x( k ) = ∑ H p s( k − p ) + n ( k )
p =0
L
(6-1)
其中：
s(k ) = [ s1 (k ), s2 (k ),L , sN (k )]T 为 N ×1 输入信号向量； x(k ) = [ x1 (k ), x2 (k ),L , xM (k )]T 为 M ×1 观测信号向量； n(k ) = [n1 (k ), n2 (k ),L , nM (k )]T 为 M ×1 加性噪声向量； H p 是时延 p 的常系数矩阵，其维数为 M × N 。
3）“不可约”以及“列可约”
若对任意 z ≠ 0 （包括 z = ∞ ） ， rank[H ( z )] = N ， 则称 H ( z ) 是不可约的 （Irreducible） 。 若 rank[H L ] = N ，则 H ( z ) 是列可约的（Column Reduced）。
3. 关于 s(k ) 的两种假设 1） {s(k )} 是一个平稳的向量新息过程（Innovation Process） {s(k )} 的各个分量在空域上是相互独立，时域上是均值为 0，方差为 1 的 i.i.d 的随机
{s(k )} 是分量信号相互独立和持续激励的平稳序列
则在相差一个 N × N 的满秩常数矩阵的意义下，利用二阶统计量可以盲辨识
H ( z ) ；进一步地，若 s(k ) 具有非零的高阶统计量，则可以利用高阶统计量（通
常是 4 阶）对常数矩阵进一步辨识。另外，大量的研究还表明，在实际应用中， 上述四个条件基本上都是满足的。 关于 H ( z ) 可盲辨识条件讨论和分析，请阅读文献[1]，[2]。
过程，即
E[s(k )s H (k − τ )] = Ι N δ (τ )
(6-4)
2） {s(k )} 是分量信号相互独立和持续激励（PE: Persistently Exciting）的向量序列
相互独立： {s(k )} 的各个分量在空域上是相互独立， 即 E[s(k )s H (k − τ )] 是一个对角阵； 持续激励：对于 i = 1, 2,L N ， si (k ) 是一个持续激励的平稳时间序列。 持续激励序列的定义和含义解释如下： （1）若 {si (k ); k = 0,1, 2,L Q −1} 为一个确定性序列，定义
(6-9)
其中， P 是置换矩阵，表示排列顺序的不确定性（模糊性）； Λ = diag[a1 , a2 ,L, aN ] 是对 角元素为常数的对角矩阵， 表示幅度的不确定性 （模糊性） ； D( z ) = diag[ z −τ1 , z −τ2 , L, z −τ N ] 是延时对角矩阵，表示延时的不确定性（模糊性）。 则在无噪声的情况下（ n( z ) = 0 ），有
5. 盲解卷积的定义和方法 1）定义
对于式（6-1）的信号与模型的模型，在 H p 和 s(k ) 未知的条件下，仅利用观测到的 系统输出 x(k ) 恢复出 s(k ) 的“各个分量信号波形”的信号处理方法，称为盲解卷积、盲 反卷积、或盲均衡。 用数学的语言来描述， 就是设计一个 N × M 的多项式矩阵 W ( z )（也称为滤波矩阵） ， 使得，
另外，按照算法实现的方式，也可以将盲解卷积方法分为“批处理算法”和“自适应 的递推算法”，这与前面几章介绍的概念是一致的。
第二节
基于高阶统计量和逆滤波的盲解卷积
1. 模型与假设
考虑（6-1）式的信号模型，即
x( k ) = ∑ H p s( k − p ) + n ( k )
p =0
L
(6-14)
⎡ si (0) si (1) L si (Q − q ) ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ si (1) si (2) L si (Q − q + 1)⎥ ⎥ S = ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ s (q −1) s (q ) L s (Q −1) ⎥ ⎢⎣ i ⎥⎦ i i
(6-5)
如果 rank (S) = q ，则称 {si (k ); k = 0,1, 2,L Q} 为激励阶数为 q 的持续激励序列。
定义系统函数 H ( z ) 为
L
H( z ) = ∑ H p z− p
p =0
(6-2)
则式（6-1）在 z 域可以表示为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx( z ) = H ( z )s( z ) + n( z )
(6-3)
在多通道盲解卷积问题中，通常都要求 M > N ，这是与线性瞬时混合的信号模型的 不同点之一。
2. 关于 H ( z ) 的一些概念和术语
下面简要介绍多项式矩阵中的一些常用的概念和术语。
1）MIMO-FIR/IIR 系统
从 （6-2） 式可知，H ( z ) 是关于 z 的多项式矩阵， 即它的第 i, j 个元素 hij ( z ) 是关于 z 的 多项式。 若 L 为有限值，则称 H ( z ) 表示的系统为 MIMO-FIR 系统；反之，若 L = ∞ ，则称为 MIMO-IIR 系统。
l =0 L
G ( z )H ( z ) = F0 ΛD( z )
其中 F0 是满列秩的常数矩阵。由（6-12）式可知：
L
(6-12)
y ( k ) = ∑ G l x( k − i ) = H 0 s ( k )
i =0
(6-13)
式中 H 0 = F0 Λ 是常数矩阵， s (k ) = [ s1 (t − τ1 ), s2 (t − τ 2 ),L, sN (t − τ N )]T 是源 信号 s1 (t ), s2 (t ),L, sN (t ) 分别延迟了 τ1 , τ 2 , L τ N 后构成的向量。 很明显，经过第一步后，y (k ) 与 s (k ) 之间的关系是“线性瞬时”混合关系！ 第二步：解线性瞬时混合 利用前面几章介绍的方法，可以很方便地实现解瞬时线性混合。 经过上述二步后，就可以恢复出各个源信号的“波形”，实现多通道盲解卷积。 几点说明： z 在第一步中，通常只需要利用二阶统计量即可实现。 z 在第二步中，如果源信号是无色的，通常需要用到高阶统计量；如果源 信号是有色的，则也只需要利用二阶统计量。 z 二步法中的关键是第一步，即各个分量信号解卷积，主要方法有三种： 9 线性预测的方法 9 白化方法 9 子空间的方法