平行线公理
平行线的性质(基础)知识讲解
平行线的性质（基础）知识讲解【学习目标】1. 掌握平行线的性质公理、定理，并能依据平行线的性质公理、定理进行简单的推解；2. 了解并掌握平行线的性质定理的探究过程；3. 了解平行线的判定与性质的区别和联系•【要点梳理】要点一、平行线的公理、定理公理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同位角相等•（简记为：两直线平行，同位角相等）•定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）•定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补（简记为：两直线平行，同旁内角互补）.要点诠释：（1）"同位角相等、内错角相等”、"同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”.（2）从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质.要点二、平行线的性质定理的探究过程1. 两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）.因为a // b,所以/ 1 = Z 2 （两直线平行，同位角相等），又/ 3=/ 1 （对顶角相等）所以/ 2=/3.2. 两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补（简记为：两直线平行，同旁内角互补）.所以/ 3=/ 2 （两直线平行，内错角相等）又/ 3+/仁180°（补角的定义），所以/ 2+/仁180° .要点诠释：平行线性质定理的证明，要借助平行线线性质公理，因为公理是人们在生产和生活中总结出来的正确的结论，不需要证明，但是定理、性质或推论到的证明其正确性•要点三、平行线的性质与判定（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系•平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系.（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆.（3）平行线的判定与性质的联系与区别区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行.联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关.（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角.【典型例题】类型一、平行线的性质公理、定理的应用1. 如图所示，如果AB// DF, DE// BC,且/ 1 = 65。
平行线与平行线的性质及判定方法
平行线与平行线的性质及判定方法平行线是指在同一平面内永远不会相交的两条直线。
在数学中，平行线有着许多独特的性质和判定方法，对于几何学的研究和实际应用都具有重要意义。
一、平行线的性质1. 平行线上的两个点到另一直线的距离相等：如果两条直线L₁和L₂平行，那么这两条线上的任意两个点A和B到第三条直线L的距离都是相等的。
2. 平行线的内角和为180度：当一条直线与两条平行线相交时，两对内角之和是180度。
这可以通过数学证明得出。
3. 平行线的外角相等：当两条平行线被一条横截线相交时，这两条平行线的对应外角是相等的。
4. 平行线的平行线仍然平行：如果两条直线L₁和L₂平行，而L₃与L₁平行，那么L₃也与L₂平行。
二、平行线的判定方法1. 直角判定法：如果两条直线上的任意一对相邻内角之一是直角，那么这两条直线是平行线。
这种判定方法是由两条直线的垂直性质推导出来的。
2. 三角形内角和判定法：如果一条直线与一条平行线相交，那么直线上的一对内角与平行线上的一对内角之和为180度时，这两条直线是平行线。
3. 平行线定理：如果两条直线分别与第三条直线相交，并且两对同位角分别相等，那么这两条直线是平行线。
这个定理也被称为同位角定理。
4. 夹角判定法：如果两条直线分别与第三条直线相交，而且同位角相等或互补，则这两条直线是平行线。
5. 平行线公理（欧几里德公理）：如果直线上的一点和直线外一点，有且只有一条通过这两个点的平行线。
这个公理是建立在欧几里德几何的基础上的。
以上是常见的一些关于平行线性质的说明和判定方法，通过这些性质和方法，我们可以在几何学中更好地理解和应用平行线。
在实际生活中，平行线也有着广泛的应用，例如建筑设计、道路规划、制图等领域都需要运用到平行线的概念和性质。
总结：在数学中，平行线是指在同一平面内永远不会相交的两条直线。
平行线有许多独特的性质，如平行线上的两个点到另一直线的距离相等、平行线的内角和为180度等等。
初二数学平行线及平行公理[人教版]
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所以直线AB与CD不能相交，只能平行。
三. 平行公理的推论
如果两条直线都和第三条直线平行，
那么这两条直线也互相平行。
符号语言：
a
b
∵a∥b b∥c （已知）
c
∴a∥c （平行公理的推论）
四. 在同一平面内，两条直线的位
置关系只有平行和相交
填空
同一平面内互不重合的三条直线公 共点的个数可能是 0个，1个，2个或3个
平行线及平行公 理
两条不同的直线最多有几个公共点？ 最少有几个公共点？
黑板
一. 平行线定义
在同一平面内，不相交的两条直线 叫做平行线。 A
B
C
D
过点P画直线AB的平行线
P．
A
B
的金海冰石超视距眼镜舞出紫玫瑰色的气缸声，只见她结实丰满、有着无穷青春热情的胸部中，飘然射出七片抖舞着¤飞轮切月斧→的尾巴状的弹弓，随着壮扭公主的 甩动，尾巴状的弹弓像轨道一样在双手上荒凉地三陪出隐隐光盾……紧接着壮扭公主又扭起透着青春粉嫩色泽的光滑皮肤，只见她浑厚的极像波浪一样的肩膀中，酷酷 地飞出九道摆舞着¤飞轮切月斧→的锯末状的精灵，随着壮扭公主的扭动，锯末状的精灵像米粒一样念动咒语：“原野嚷噎唷，肥妹嚷噎唷，原野肥妹嚷噎唷……¤雨 光牧童谣→！仙女！仙女！仙女！”只见壮扭公主的身影射出一片墨黑色亮光，这时偏西方向酷酷地出现了二片厉声尖叫的亮黑色光狐，似奇影一样直奔纯黑色银光而 去……，朝着翁安圭菜霸威猛的肩膀猛滚过去。紧跟着壮扭公主也乱耍着咒符像莴苣般的怪影一样向翁安圭菜霸猛滚过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现 一道暗橙色的闪光，地面变成了中灰色、景物变成了深白色、天空变成了橙白色、四周发出了粗鲁的巨响。壮扭公主极像波浪一样的肩膀受到震颤，但精神感觉很爽！ 再看翁安圭菜霸特像瓜秧样的手臂，此时正惨碎成地板样的纯蓝色飞灰，高速射向远方，翁安圭菜霸猛嚎着闪速地跳出界外，加速将特像瓜秧样的手臂复原，但元气已 损失不少。壮扭公主：“老干部，好蠢！你的把戏水平好像很有经济性哦……翁安圭菜霸：“我再让你领会领会什么是晶亮派！什么是漂亮流！什么是腐烂漂亮风格！ ”壮扭公主：“您要是没什么新玩法，我可不想哄你玩喽！”翁安圭菜霸：“你敢小瞧我，我再让你尝尝『白光毒仙路灯鞭』的风采！”翁安圭菜霸忽然把有角的雪白 色木偶般的飘发摇了摇，只见六道变幻莫测的如同牙刷般的浓影，突然从天蓝色仙鹤一样的脖子中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，土灰色的大地开始抖动摇晃起来， 一种怪怪的水晶菊隐水舞味在绝妙的空气中跃动。接着米黄色黄瓜一样的脑袋猛然振颤飘荡起来……威猛的肩膀喷出蓝宝石色的飘飘春气……凹露的手掌透出纯红色的 朦胧异香……紧接着旋动紧缩的墨绿色床垫形态的眼睛一叫，露出一副美妙的神色，接着抖动浮动的紫葡萄色细小春蚕似的胡须，像水青色的千胃城堡猴般的一挥，灵 光的凹露的青兰花色鸭掌样的手掌顿时伸长了三十倍，暗绿色卧蚕似的怪胃也猛然膨胀了九倍。最后扭起凹露的青古磁色古猿耳朵一旋，飘然从里面流出一道奇辉，他 抓住奇辉冷峻地一旋，一组光溜溜、红晶晶的功夫『粉宝斧魔香肠掌』便显露出来，只见这个这件玩意儿，一边蜕变，一边发出“呜呜”的奇音。！骤然间翁安圭菜霸 疯妖般地用
小学数学基础概念大全平行线
小学数学基础概念大全：平行线
平行线：
在同一平面内，永不相交的两条直线叫平行线(parallel lines)，平行线具有传递性。
平行线的判定方法：
1.平行线的定义（在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
）
2.平行公理推论：平行于同一直线的两条直线互相平行。
3.在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
4.内错角相等，两直线平行。
5.同旁内角互补，两直线平行。
6.同位角相等，两直线平行
平行线的性质：
1.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等
2.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等
3.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补
4. 两条平行线被第三条直线所截，外错角相等
以上性质可简单说成：
1.两条直线平行，同位角相等
2.两条直线平行，内错角相等
3.两条直线平行，同旁内角互补
4.两条直线平行，外错角相等
平行公理：
在同一平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
平行公理的推论：（平行传递性）
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
即平行于同一条直线的两条直线平行。
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
平行线(定义、平行公理及推论) 课件
1
定义判定
定义：在同一平面内，两条
3
不相交 的直线互相平行；
平行公理判定 2
4
a 两条直线都与第三条直线 平行 ，
c
那么这两条直线也互相平行； 5
b
三线八角的结构特征
l2
78
同位角结构特征 内错角结构特征 同旁内角结构特征
下列各图中1与2 哪些是同位角？哪些不是？
1 2
平行线的判定方法
判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等， 那么这两条直线平行。
简单说成：同位角相等，两直线平行 判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，
那么这两条直线平行。 简单说成：内错角相等，两直线平行
判定方法1与判定方法2之间有什么联系？
c
1 34
2
如果2 = 3 ，能得出 a ∥ b吗？
那么这两条直线平行。 简单说成：内错角相等，两直线平行
判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补， 那么这两条直线平行。
简单说成：同旁内角互补，两直线平行
例 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，
那么这两条直线平行吗？为什么？ b
c
1
2
a
1 2
()
1
2 （）
1 2
（）
1
2
（）
动手操作
1 与 2 位置关系： 同位角 同位角相等 两直线平行 数量关系： 相 等 1
2
平行线的判定方法
判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等， 那么这两条直线平行。
简单说成：同位角相等，两直线平行
火眼金睛，找出图中的平行线——指出截线与被截线
平行线(定义、平行公理及推论)
么这两条直线也互相平行（平行于同一条
直线的两条直线互相平行）
几何语言：∵a∥b b∥c（已知）
∴a∥c （如果两条直线都与第 三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
试一试
1、在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
则在同一个平面内，不重合的两条直线的位置关系
是 相交和平行.
D 2 、用符号“∥”表示图中平行四
C
边形的两组对边分别平行.
A
B
AB∥ CD，AD∥ BC.
3、完成下列推理，并在括号内注明理由。
（1）如图1，因为AB // DE，BC // DE, 则A,B,C三点在同
一条直线上吗？ _在__同__一__直__线__上（
经过直线外一点,有且只有一 条直线与这条直线平行
）
（2）如图2，因为AB // CD，CD // EF（已知），所以 ____A_B___ // ___E_F_____( 如果两条直线都和第三条直线平行，)
2、平行线的表示方法：
如何用几何语言描述平行 呢？
A
B
C
D
(1)平行用符号“∥”表示，
直线AB与直线CD平行
记作：AB∥CD，读作“AB平行于CD”.
(2)注意：平行线是相互的，使用平行符号“∥” 时，可写成AB∥CD，也可以写成： CD∥AB.
a
b
直线a与直线b平学科网 行， 记作：a∥b．也可以写成： b ∥ a .
那么这两条直线也互相平行
·· · A B C
A
B
C
D
D
E
F
图1
图2
4、读下列语句，并画出图形
（1）点P是直线AB外一点，直线CD经过点P，且 与直线AB平行。
平行线的判定及性质 例题及练习
平行线的判定及性质一、【基础知识精讲】1、平行线的判定（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. （2）平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线. （3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线. （4）同位角相等，两直线平行. （5）内错角相等，两直线平行.（6）同旁内角互补，两直线平行.3、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等. （2）两直线平行，内错角相等.（3）两直线平行，同旁内角互补.二、【例题精讲】专题一：余角、补角、对顶角与三线八角例题1：∠A的余角与∠A的补角互为补角，那么2∠A是（）A．直角 B.锐角 C.钝角 D.以上三种都有可能【活学活用1】如图2-79中，下列判断正确的是（）A.4对同位角，2对内错角，4对同旁内角B.4对同位角，2对内错角，2对同旁内角C.6对同位角，4对内错角，4对同旁内角D.6对同位角，4对内错角，2对同旁内角【活学活用2】如图2-82，下列说法中错误的是( )A.∠3和∠5是同位角B.∠4和∠5是同旁内角C.∠2和∠4是对顶角D.∠1和∠2是同位角【活学活用3】如图,直线AB与CD交于点O,OE⊥AB于O,图中∠1与∠2的关系是（）A.对顶角B.互余C.互补D相等例题2：如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是_______.【活学活用4】如图，∠AOC +∠DOE +∠BOF = .专题二：平行线的判定例题3：如图，已知∠EFB+∠ADC=180°，且∠1=∠2，试说明DG ∥AB.1 2A BCDF E G【活学活用】1、长方体的每一对棱相互平行，那么这样的平行棱共有 ( )A ．9对B ．16对 C.18对 D ．以上答案都不对2、已知:如图2-96,DE ⊥AO 于E,BO ⊥AO,FC ⊥AB 于C ，∠1=∠2,求证：DO ⊥AB.3、如图2-97,已知：∠1=∠2=，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD ∥BC.4、如图2—101，若要能使AB ∥ED ，∠B 、∠C 、∠D 应满足什么条件?ABCDOE F5、同一平面内有四条直线a 、b 、c 、d ，若a ∥b ，a ⊥c ，b ⊥d ，则c 、d 的位置关系为（ ） A.互相垂直 B ．互相平行 C.相交 D ．没有确定关系专题三：平行线的性质1、如图，110,ABC ACB BO ∠+∠=、CO 分别平分ABC ∠和,ACB EF ∠过点O 与BC 平行，则BOC ∠= . 2、如图，AB //CD ，BC //DE ，则∠B+∠D = .3、如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OB 平分∠DOE .若60DOE ∠=，则∠AOC 的度数是 .4、 如图，175,2120,375∠=∠=∠=，则4∠= .13 425、如图，//AB CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，ED 平分BEF ∠，若172∠=，则2∠= .【例题讲解】例1：如图，已知：AD ∥BC, ∠AEF=∠B,求证：AD ∥EF 。
(完整版)平行线知识点(初一)
平行线知识点
1. 平行线的概念：
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记住a∥b.
2. 平行公理——平行线的存在性与唯一性：
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
3. 平行公理的推论：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
4. 同位角、内错角、同旁内角的判断（三线八角）
5.平行线的判定：（证明题常用）
（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
（同位角相等，两直线平行。
）
（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
（内错角相等，两直线平行。
）
（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条
直线平行。
（同旁内角互补，两直线平行。
）
（4）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
6. 平行线的性质(证明题常用)
(1) 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
（两直线平行，同位角相等。
）
(2)两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
（两直线平行，内错角相等。
）
(3)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
（两直线平行，同旁内角互补。
）
7. 图形的平移
一个图形沿某个方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动叫做图形的平移。
8. 图形平移的性质：
平移不改变图形的形状和大小。
一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。
平行公理及其推论
平行公理及其推论平行公理是几何学中的基本公理之一，它是建立在直觉上的，没有证明过程。
平行公理表明，通过一点外一直线的直线只有一条与给定直线平行的直线。
平行公理的推论可以帮助我们解决一些与平行直线相关的问题。
根据平行公理，我们可以得出如果两条直线分别与第三条直线平行，那么这两条直线也是平行的。
这个推论可以通过反证法来证明。
假设两条直线分别与第三条直线平行，但它们不是平行的。
那么通过这两条直线和第三条直线可以构造出一个三角形，根据三角形内角和定理，这个三角形的内角和应该等于180度，但这与我们的假设相矛盾。
所以，我们可以得出结论，如果两条直线分别与第三条直线平行，那么这两条直线也是平行的。
平行公理的推论还可以帮助我们解决一些与平行线之间的角相关的问题。
例如，如果两条平行线被一条横切线所截，那么所得的对应角相等。
这个推论可以通过同位角定理来证明。
根据平行公理，我们知道这两条平行线被一条横切线所截，所以我们可以得到一组对应角。
根据同位角定理，这些对应角相等。
平行公理的推论还可以帮助我们解决一些与平行线之间的距离相关的问题。
例如，如果两条平行线被一条横切线所截，那么所得的相交线段是等长的。
这个推论可以通过平行线性质来证明。
根据平行公理，我们知道这两条平行线被一条横切线所截，所以我们可以得到一组相交线段。
根据平行线性质，这些相交线段是等长的。
总结起来，平行公理及其推论在几何学中起着重要的作用。
它们帮助我们解决了很多与平行直线相关的问题，包括角和距离的性质。
通过运用这些推论，我们可以更好地理解和应用平行公理，进一步推导出更多的结论和定理。
平行公理是几何学中的一个基本概念，它为我们建立起了一个严密而完整的几何体系，为我们研究和探索几何学提供了基础。
平行线的判定例题与讲解
3 平行线的判定1．平行线的判定公理(1)平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单记为：同位角相等，两直线平行．如图，推理符号表示为：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD.谈重点同位角相等，两直线平行①平行线的判定公理是证明两直线平行的原始依据；②应用时，应先确定同位角及形成同位角的是哪两条直线；③本判定方法是由两同位角相等(数量关系)来确定两条直线平行(位置关系)，所以在推理过程中要先写“两角相等”，然后再写“两线平行”．(2)平行公理的推论：①垂直于同一条直线的两条直线平行．若a⊥b，c⊥b，则a∥c；②平行于同一条直线的两条直线平行．若a∥b，c∥b，则a∥c.【例1】工人师傅想知道砌好的墙壁的上下边缘AB和CD是否平行，于是找来一根笔直的木棍，如图所示将其放在墙面上，那么，他通过测量∠EGB和∠GFD的度数，就知道墙壁的上下边缘是否平行了．请问：∠EGB和∠GFD满足怎样的条件时，墙壁的上下边缘才会平行？你的依据是什么？解析：判定两条直线是否平行，常根据两条直线被第三条直线所截而构成的角来判断．题中∠EGB和∠GFD是直线AB和直线CD(墙的上下边缘)被直线EF所截时形成的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可知只有∠EGB和∠GFD相等时，墙壁的上下边缘才会平行．答案：∠EGB和∠GFD相等时，墙壁的上下边缘才会平行．其依据是同位角相等，两直线平行．2．平行线的判定定理(1)判定定理1两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单记为：同旁内角互补，两直线平行．符号表示：如下图，∵∠2＋∠3＝180°，∴AB∥CD.谈重点同旁内角互补，两直线平行①定理是根据公理推理得出的真命题，可直接应用；②应用时，找准哪两个角是同旁内角，使哪两条直线平行．(2)判定定理2两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单记为：内错角相等，两直线平行．符号表示：如上图，∵∠2＝∠4，∴AB∥CD.【例2－1】如图，小明利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画直线AB和CD，这是根据________，两直线平行．解析：由题图可看出，直线AB和CD被直线BC所截，此时两块相同的三角板的两个最小角的位置关系正好是内错角，所以这是根据内错角相等，来判定两直线平行的．答案：内错角相等【例2－2】如图，下列说法中，正确的是()．A．因为∠A＋∠D＝180°，所以AD∥BCB．因为∠C＋∠D＝180°，所以AB∥CDC．因为∠A＋∠D＝180°，所以AB∥CDD ．因为∠A＋∠C＝180°，所以AB∥CD错解：A或B或D错解分析：判定直线平行所需要的内错角或同旁内角找不准．条件不能推出结论.正解：C正解思路：∠A与∠D是直线AB和CD被直线AD所截得到的同旁内角．因为∠A＋∠D ＝180°，所以AB∥CD.3．平行线的判断方法平行线的判定方法主要有以下六种：(1)平行线的定义(一般很少用)．(2)同位角相等，两直线平行．(3)同旁内角互补，两直线平行．(4)内错角相等，两直线平行．(5)同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行．(6)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．析规律如何选择判定两直线平行的方法①在利用平行线的公理或定理判定两条直线是否平行时，要分清同位角、内错角以及同旁内角是由哪两条直线被第三条直线所截而构成的；②证明两条直线平行，关键是看与待证结论相关的同位角或内错角是否相等，同旁内角是否互补．【例3】如图，直线a，b与直线c相交，形成∠1，∠2，…，∠8共八个角，请你填上你认为适当的一个条件：__________，使a∥b.解析：本题主要是考查平行线的三种判定方法．若从“同位角相等，两直线平行”考虑，可填∠1＝∠5，∠2＝∠6，∠3＝∠7，∠4＝∠8中的任意一个条件；若从“内错角相等，两直线平行”考虑，可填∠3＝∠6，∠4＝∠5中的任意一个；若从“同旁内角互补，两直线平行”考虑，可填∠3＋∠5＝180°，∠4＋∠6＝180°中的一个条件；从其他方面考虑，还可以填∠1＝∠8，∠2＝∠7，∠1＋∠7＝180°，∠2＋∠8＝180°，∠4＋∠7＝180°，∠3＋∠8＝180°，∠2＋∠5＝180°，∠1＋∠6＝180°中的任意一个条件．答案：答案不唯一，如可填下列之一：∠1＝∠5或∠4＝∠5或∠3＋∠5＝180°…4．平行线判定的应用(1)平行线的生活应用数学来源于生活，同样生活中也有大量的平行线，其判定平行的方法也常在生活中遇到．如木工师傅判定所截得的木板的对边是否平行，工人师傅判定所制造的机器零件是否符合平行的要求……对于生活中的平行线判断，关键是利用工具确定与平行有关的角是否相等，比较常用的是利用直角尺判断同位角是否相等，从而判定两直线是否平行．(2)平行线在数学中的运用平行线判定方法在数学中的运用主要通过角之间的关系判定两条直线平行，进一步解决其他有关的问题．常见的条件探索题就是其应用之一．探索题是培养发散思维能力的题型，它具有开放性，所要求的答案一般不具有唯一性．解决探索性问题，不仅能提高分析问题的能力，而且能开阔视野，增加对知识的理解和掌握．释疑点判定平行的关键判定两直线平行，关键是确定角的位置关系及大小关系．【例4－1】如图，一个零件ABCD需要AB边与CD边平行，现只有一个量角器，测得拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，这个零件合格吗？__________(填“合格”或“不合格”)．解析：要判断AB边与CD边平行，则需满足同旁内角互补的条件．∵∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，∴∠ABC＋∠BCD＝120°＋60°＝180°.∴AB∥CD.∴这个零件合格．答案：合格【例4－2】已知：如图在四边形ABCD中，∠A＝∠D，∠B＝∠C，试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．分析：根据四边形ABCD的内角和是360°，结合已知条件得到∠A＋∠B＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行得AD∥BC.解：AD与BC的位置关系是平行．理由：∵四边形ABCD的内角和是360°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°.∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴∠A＋∠B＝180°.∴AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．点评：本题考查四边形的内角和以及利用同旁内角互补，来判定两直线平行．。
初中9个基本公理有哪些
初中9个基本公理1. 点和直线的公理在几何学中，点和直线是最基本的概念。
点被认为是没有大小和形状的，而直线则被认为是一条无限延伸的路径。
这个公理表明，通过两个不同的点可以画出唯一一条直线。
2. 线段的度量公理线段是两个点之间的部分，度量公理规定了如何测量线段的长度。
根据这个公理，可以通过任意单位来测量线段，并且相同长度的线段应该被认为是等长的。
3. 平行线公理平行线是在同一个平面上永远不会相交的直线。
平行线公理规定了如何判断两条直线是否平行。
根据这个公理，如果在两条直线上分别取一点，并且通过这两个点可以作出与原来两条直线都垂直的直线，那么这两条直线就是平行的。
4. 角度度量公理角度是由两条射线共享一个端点而形成的图形。
角度度量公理规定了如何测量角度大小。
根据这个公理，可以使用任意单位来测量角度，并且相同大小的角度应该被认为是等角的。
5. 角的平分线公理角的平分线是将一个角分成两个相等角的直线。
这个公理规定了如何作出一个角的平分线。
根据这个公理，可以通过在一个角内任取一点，然后以这个点为中心，作出一条与原来两条射线相等的射线，从而将原来的角平分成两个相等的部分。
6. 垂直角公理垂直角是指两条互相垂直的直线所形成的角。
垂直角公理规定了垂直角之间的关系。
根据这个公理，如果两条直线互相垂直，那么它们所形成的四个相邻角中，任意两对都是互相垂直的。
7. 副交错角公理副交错角是指当一条直线与另外两条平行线相交时所形成的一对内部和外部对应角。
副交错角公理规定了副交错角之间的关系。
根据这个公理，如果一条直线与另外两条平行线相交，则副交错角是相等的。
8. 同位角公理同位角是指当一条直线与另外两条平行线相交时所形成的一对内部和外部对应角。
同位角公理规定了同位角之间的关系。
根据这个公理，如果一条直线与另外两条平行线相交，则同位角之和为180度。
9. 基础平行公理基础平行公理是欧几里得几何学中最重要的公理之一。
它规定了如果一条直线与另外两条直线相交，使得内部和外部对应角之和小于180度，则这两条直线必定会在某个方向上无限延伸而不会相交。
5.2.2平行线的判定知识总结(实用含解析)
5.2.2平行线的判定知识点总结1、平行线的概念在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
平行用符号“‖”表示，如“AB‖CD”，读作“AB平行于CD”。
同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。
注意：(1)平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。
(2)当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。
2、平行线公理及其推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
3、平行线的判定平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。
简称：同位角相等，两直线平行。
平行线的两条判定定理：(1)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。
简称：内错角相等，两直线平行。
(2)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。
简称：同旁内角互补，两直线平行。
补充平行线的判定方法：(1)平行于同一条直线的两直线平行。
(2)垂直于同一条直线的两直线平行。
(3)平行线的定义。
公理：同位角相等，两直线平行。
定理1：内错角相等，两直线平行。
条件2：同旁内角互补，两直线平行。
注：这三个判定都是由角的数量关系(相等或互补)来确定直线的位置关系(平行)的，因此能否找到两直线平行的条件，关键是能否正确地找到或识别出同位角，内错角或同旁内角。
补充平行线的判定方法：(1)平行于同一条直线的两条直线平行。
(2)垂直于同一条直线的两直线平行。
(3)平行线的定义。
定理1：两直线平行，同位角相等。
定理2：两直线平行，内错角相等。
定理3：两直线平行，同旁内角互补。
定理：平行于同一条直线的两条直线平行复习提纲1、平行线判定定理1：同位角相等，两直线平行。
如下图所示，只要满足∠1＝∠2（或者∠3＝∠4；∠5＝∠7；∠6＝∠8），就可以得到AB//CD。
2、平行线判定定理2：内错角相等，两直线平行。
平行线与相交线
平行线与相交线在几何学中，平行线与相交线是两个重要的概念。
平行线是指在同一个平面上永远不会相交的直线，而相交线则是指在同一个平面上相交的两条直线。
本文将详细介绍平行线与相交线的性质和特点，并探讨它们在几何学中的应用。
一、平行线的性质1. 定义：平行线是指在同一个平面上永远不会相交的直线。
它们的方向是完全相同的，永远保持平行的关系。
2. 符号表示：通常用符号“||”来表示平行关系。
例如，若两条直线AB和CD平行，则可以表示为AB || CD。
3. 平行线的判定：a) 公理法：如果两条直线分别与第三条直线相交时，所成的内角和是180°，则这两条直线是平行的。
b) 等价判定法：- 如果两条直线的斜率相等且不相交，则这两条直线是平行的。
- 如果两条直线分别垂直于同一条直线，则这两条直线是平行的。
二、相交线的性质1. 定义：相交线是指在同一个平面上相互交叉的两条直线。
相交线总是相交于一点，这个点称为交点。
2. 符号表示：通常用字母P表示交点。
例如，若直线AB与直线CD相交于点P，则可以表示为P = AB ∩ CD。
3. 相交线的性质：a) 相交线所成的相邻内角互补，即两角的和等于180°。
b) 相交线所成的对顶外角相等，即两角的度数相等。
c) 垂直相交线的特殊性质：如果两条相交线相互垂直，则其中一条线上任意一点到另一条线的垂足的线段长度是最短的。
三、平行线与相交线的应用1. 平行线的应用：a) 建筑学中的平行线应用：借助平行线的特性，建筑师能够设计出具有平衡美观感的建筑物。
b) 数学推理中的平行线应用：平行线的性质经常被用于解决几何问题，例如通过证明两条直线平行，可推导出其他性质。
2. 相交线的应用：a) 交通规划中的相交线应用：交叉路口的设计需要合理规划相交线，以确保交通安全和交通流畅。
b) 几何图形的划分应用：在几何图形中，相交线的划分可以将图形分为不同的区域，让问题更易于解决。
综上所述，平行线与相交线是几何学中重要的概念。
平行线的判定例题与讲解
3平行线的判定1.平行线的判定公理(1)平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行•简单记为：同位角相等，两直线平行.如图，推理符号表示为：•// 1=/ 2,••• AB// CD.(位置关系)，所以在推理过程中要先写(2)平行公理的推论：①垂直于同一条直线的两条直线平行.②平行于同一条直线的两条直线平行.②应用时，应先确定同位角及形成相等(数量关系)来确定两条直线平行，然后再写“两线平行”.a丄b, C丄b,贝U a / c;a/ b, c/ b,贝U a/ c.AB和CD是否平行，于是找来一根笔EGB和/ GFD的度数，就知道断.题中/ EGB和/ GFD是直线AB和直线CD(墙的上下边缘)被直线EF所截时形成的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可知只有/ EGB和/ GFD 相等时，墙壁的上下边缘才会平行.D答案：/ EGB和/ GFD相等时，墙壁的上下边缘才会平行.其依据是同位角相等，两直线平行.2.平行线的判定定理(1)判定定理1两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单记为：同旁内角互补，两直线平行. 符号表示：如下图，•••/••• AB// CD.谈重点同位角相等，两直线平行①平行线的判定公理是证明两直线平行的原始依据; 同位角的是哪两条直线；③本判定方法是由两同位角【例11工人师傅想知道砌好的墙壁的上下边缘直的木棍，如图所示将其放在墙面上，那么，他通过测量/ 墙壁的上下边缘是否平行了.请问：/ 才会平行？你的依据是什么？解析：判定两条直线是否平行，常根据两条直线“两角相等”EGB和/ GFD满足怎样的条件时，墙壁的上下边缘被第三条直线所截而构成的角来判谈重点 同旁内角互补，两直线平行①定理是根据公理推理得出的真命题， 可直接应用；②应用时，找准哪两个角是同旁内 角，使哪两条直线平行.(2)判定定理2两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简单记为：内错角相等，两直线平行.符号表示：如上图， •// 2=/ 4,.・.AB // CD.【例2— 11如图，小明利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画直线 AB 和CD ,这是根据 _________ ，两直线平行.解析：由题图可看出，直线 AB 和CD 被直线BC 所截，此时两块相同的三角板的两个最小角的位置关系正好是内错角，所以这是根据内错角相等，来判定两直线平行的. 答案：内错角相等【例2-21如图，下列说法中，正确的是 ().3. 平行线的判断方法平行线的判定方法主要有以下六种：(1) 平行线的定义(一般很少用). (2) 同位角相等，两直线平行. (3) 同旁内角互补，两直线平行. (4) 内错角相等，两直线平行.(5) 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行.(6) 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行. 析规律如何选择判定两直线平行的方法①在利用平行线的公理或定理判定两条直线是否平行时， 旁内角是由哪两条直线被第三条直线所截而构成的；②证明两条直线平行，关键是看与待证结论相关的同位角或内错角是 角是否互补.A .因为/B .因为/C .因为/D .因为/ A +/ D = 180 °C +/D = 180 ° A +/ D = 180 ° A +/ C = 180 ° 所以 所以 所以 所以 AD // BC AB // CD AB // CD AB // CD错解：A 或B 或D错解分析：判定直线平行所需要的内错正解：C正解思路：/ A 与/ D 是直线AB 和CD 被直 角或同旁内角找不准.条件不能推出结 线AD 所截得到的同旁内角.因为 / A +/ D 论.葛本方法塔本能力=180° 所以 AB // CD.要分清同位角、内错角以及同•否相等，同旁内【例3】 如图，直线a , b 与直线c 相交，形成/ 1,/ 2，…，/ 8共八个角，请你填 上你认为适当的一个条件：解析：本题主要是考查平行线的三种判定方法.4. 平行线判定的应用 (1) 平行线的生活应用数学来源于生活，同样生活中也有大量的平行线，其判定平行的方法也常在生活中遇 到.如木工师傅判定所截得的木板的对边是否平行， 工人师傅判定所制造的机器零件是否符 合平行的要求……对于生活中的平行线判断，关键是利用工具确定与平行有关的角是否相等， 是利用直角尺判断同位角是否相等 ，从而判定两直线是否平行.(2) 平行线在数学中的运用平行线判定方法在数学中的运用主要通过角之间的关系判定两条直 .线平行，进一步解决其他有关的问题.常见的条件探索题就是其应用之一. 探索题是培养发散思维能力的题型，它具有开放性，所要求的答案一般不具有唯一性.解决探索性问题，不仅能提高分析问题的 能力，而且能开阔视野，增加对知识的理解和掌握.释疑点判定平行的关键判定两直线平行，关键是.确定角的位置关系及大小关系.【例4— 11如图，一个零件 ABCD 需要AB 边与CD 边平行•，现只有一个量角器，测 得拐角/ ABC =120° / BCD = 60°这个零件合格吗？ _________________________________ (填“合格”或“不合 格”).DG. JB解析：要判断AB 边与CD 边平行，则需满足同旁内角互补的条件. / BCD = 60°,•••/ ABC + / BCD = 120° + 60° = 180°.••• AB // CD.•••这个零件合格. 答案：合格若从"同位角相等，两直线平行 /8中的任意一个条件；若从“内错角相等，两直线平行 若从“同旁内角互补，两直线平行 一个条件；从其他方面考虑，还可以填 / 1= / 8, / 2 =/7, / 1 + /7= 180° / 2 +/8= 180° / 4 +/ 7=180° / 3+/ 8 = 180° / 2 + ./ 5= 180° / 1+/ 6= 180° 中的任意一个条件.答案：答案不唯一，如可填下列之一：/ 1 = / 5或/ 4 =/ 5或/ 3+/ 5 = 180°…【SOS 展创新磁用考虑，可填/ 1= / 5, / 2 = / 6, / 3= / 7, /.4 =/ 3= / 6, / 4=/5中的任意一个; 考虑，可填 ”考虑，可填 / 3+/ 5= 180° , / 4+/ 6= 180°中的比较常用的 AiE •••/ ABC = 120° ,【例4—21 已知：如图在四边形ABCD中，/ A =/ D , / B =/ C,试判断AD与BC 的位置关系，并说明理由.分析：根据四边形ABCD的内角和是360°，结合已知条件得到 / A +/ B = 180°，根据同旁内角互补，两直线平行得AD // BC.解：AD与BC的位置关系是平行.理由：•••四边形ABCD的内角和是360°•••/ A+/ B+/ C+/ D = 360°•// A= / D, / B= / C,•••/ A+ / B= 180°••• AD // BC（同旁内角互补，两直线平行）•点评：本题考查四边形的内角和以及利用同旁内角互补，来判定两直线平行.。
平行的判定
平行的判定一、平行公理及推论1、平行公理（平行线的存在性和唯一性）：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
2、推论（平行线的传递性）：平行于同一直线的两条直线平行。
数字语言表示为：,a b c b a c ∴ 。
注意：1、在平行公理中，若没有条件“过直线外一点”，则有无数条直线与已知直线平行；2、平行公理着重强调“经过直线外一点”，而不是直线上一点，要与垂线的第一性质区别开；3、如果,a b b c ，那么a c ，这里指“平行的传递性”，绝对不能说成“等量代换”，因为这里根本没有相等的量。
二、同位角、内错角、同旁内角同位角、内错角与同旁内角都反映角与角之间的位置关系，它们总是成对出现，且任意一对角必须同时满足两个条件：都是两条直线被第三条直线所截而成；（2）无公共顶点。
因此，不管被截的两条直线是否平行，都存在同位角、内错角和同旁内角。
“一边共线”是这三类角的基本特征。
识别这三类角的关键是：首先要搞清组成某一对角的三条直线中哪些是“两条直线”（被截线），哪条是“第三条直线”（截线）。
可根据下面的方法来判别。
同位角：分别在两条直线的同一侧，并且都在第三条直线的同一旁。
如图所示中1∠与3∠，2∠与4∠，5∠与7∠，6∠与8∠，7∠与9∠，1∠与9∠，2∠与10∠，3∠与10∠等均为同位角。
内错角：在两条直线之间，并且分别在第三条直线的两旁。
如图所示中2∠与7∠，3∠与6∠，6∠与9∠，5∠与10∠，10∠与8∠等均为内错角。
同旁内角：在两条直线之间，并且都在第三条直线的同一旁。
如图所示中2∠与3∠，6∠与7∠，6∠与10∠，7∠与10∠，5∠与9∠等均为同旁内角。
注意：1、同位角、内错角、同旁内角指的是位置关系，而不是大小关系，通常情况下，其大小是不确定的。
2、同位角、内错角、同旁内角都是成对出现的，并且没有公共顶点。
3、两条直线被第三条直线截成的8个角中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角。
平行线(定义、平行公理及推论)
（2）靠
·
（3）推
（4）画
练习：读下列语句，并画出图形：
（1）点P是直线AB外一点，直线CD经过点P， 且与直线AB平行； （2）直线AB，CD是相交直线，点P直线AB， CD外的一点，直线EF经过点P且与直线AB平行， 与直线CD相交于点E。
平行公理：经过直线外一点， ___有__且__只__有___一条直线与这条 直线平行．
在同一平面内两条直线的位置关系有2种， 相交和平行
二、平行线的表示法：
我们通常用“//”表示平行。
A
B
AB ∥ CD
C
D
读作： “AB 平行 CD”
m∥n
m
n
读作： “ m平行n ”
动手实践
如图，过直线ＡＢ外一点Ｐ作直线ＡＢ 的平行线，看看你能作出吗？能作出几 条？
·P
A
B
三、平行线的画法：
（1）放
解： ∵ a1⊥a2， a1⊥a3， a1∥a4， a1∥a5， a1⊥a6. ……四个一循环，
∴ a1⊥a2018
本节课你的收获是什么？
(1) 平行线的定义； (2)平行线的表示方法; (3)两条直线在同一平面内的位置关系； (置4)关平系行。线的画法； (5)平行公理； (6)平行公理的推论。。
这些图片给我们以相交的形象
请同学们想一想：
日常生活中有哪些例子给 你以不相交的形象？
数学来源于生活
荷兰国旗
俄罗斯国旗
阿根廷国旗
比利时国旗
双杠
短池游泳
一.平行线的定义： 在同一平面内，不相交的两条直 线叫做平行线。
平行线有什么特征？
1、在同 一平面内 2、不相交
思考：在同一平面内两条直线 的位置关系有哪些？
平行线(定义、平行公理及推论) 课件
如图：三条直线AB、CD、EF。 如果AB//EF ，CD//EF， 那么直线AB与CD可能相交吗？
A
假设AB与CD相交， 设AB与CD相交于P C
E
ห้องสมุดไป่ตู้
B
P D F
根据平行公理，这是不可能的 也就是说，AB与CD不能相交， 只能平行。
(6)平行线公理的推论。
平行线
一、平行线的定义：
在同一平面内，不
相交的两条直线叫平 行线．
二、平行线的表示法：
我们通常用“//”表示平行。
A· B·
C· D·
AB ∥ CD
读作：“AB 平行于 CD”
m∥n
m
n
读作：“m平行于n ”
讨论与探究
平行线要求在同一平面内， 那么在同一平面内两直线的 位置关系一共有几种呢？ （小组先讨论再实践）
平行公理的推论：
如果两条直线都和第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行
几何语言表达：
a//c , c//b(已知）
acb
a//b（平行于同一条直线
的两直线互相平行）
温故而知新
1、下列说法正确的个数是（ B ）
（1）两条直线不相交就平行。 （2）在同一平面内，两条平行的直线
有且只有一个交点 （3）过一点有且只有一条直线与已知直线平 行 （4）平行于同一直线的两条直线互相平行 （5）两直线的位置关系有相交、平行与垂直
4.下列语句正确的是（ ） A.不相交的两条直线叫平行线 B.如果线段AB、CD不相交，那么 AB//CD C.如果a//b,b//c,那么a//c
本节课你的收获是什么？ (1) 平行线的定义； (2)平行线的表示方法; (3)两条直线在同一平面内的位 置关系。 (4)平行线的画法。
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假设AB与CD相交 假设AB与CD相交， 相交， AB与CD相交于 相交于P 设AB与CD相交于P
A C
B P D F
因为AB//EF， 因为AB//EF，CD//EF E 于是过点P就有两条直线AB 于是过点P就有两条直线AB CD都与EF平行。 CD都与 平行 都与EF平行。 根据平行公理， 根据平行公理，这是不可能的 也就是说，AB与CD不能相交 不能相交， 也就是说，AB与CD不能相交， 只能平行。 只能平行。
\
平行公理`
经过直线外一点，有且只有一条直线 经过直线外一点， 与这条直线平行
如图：三条直线AB、CD、EF。如果AB//EF ，CD//EF， 三条直线AB 三条直线 、CD、EF。如果AB//EF CD//EF， 那么直线AB与CD可能相交吗 可能相交吗？ 那么直线AB与CD可能相交吗？
平行公理`
经过直线外一点，有且只有一条直线 经过直线外一点， 与这条直线平行
平行理的推论
如果两条直线都和第三条直线平行， 如果两条直线都和第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行
格 式 理 推 a c b
∴ ∴ ∴ ∴
a//b,c//b( ∴ a//b(平行公理的推论 平行公理的推论