(完整)高中数学1.7定积分的简单应用练习新人教A版选修2-2
推荐高中数学第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用学案含解析新人教A版选修2_2
1.7定积分的简单应用积为S 1.由直线x ＝a ，x ＝b ，曲线y ＝g(x )和x 轴围成的曲边梯形的面积为S 2.问题1：如何求S 1? 提示：S 1＝⎠⎛a b f(x)d x.问题2：如何求S 2? 提示：S 2＝⎠⎛ab g(x)d x.问题3：如何求阴影部分的面积S? 提示：S ＝S 1－S 2.平面图形的面积由两条曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )和直线x ＝a ，x ＝b (b >a )所围图形的面积．(1)如图①所示，f (x )>g (x )>0，所以所求面积S ＝⎠⎛ab d x .(2)如图②所示，f (x )>0，g (x )<0，所以所求面积S ＝⎠⎛a b f (x )d x ＋⎪⎪⎪⎪⎠⎛a b＝⎠⎛ab d x .相交曲线所围图形的面积求法如下图，在区间上，若曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )相交，则所求面积S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛ac d x ＋⎠⎛c b－＝⎠⎛ab |f (x )－g (x )|d x .问题：在《1.5.2 汽车行驶的路程》中，我们学会了利用积分求物理中物体做变速直线运动的路程问题，利用积分还可以解决物理中的哪些问题？提示：变力做功．1．变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间上的定积分，即s ＝⎠⎛ab2．变力做功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b(a<b)，那么变力F(x)所做的功为W ＝⎠⎛ab F(x )d x.求变速直线运动的路程的注意点对于给出速度－时间曲线的问题，关键是由图象得到速度的解析式及积分的上、下限，需要注意的是分段解析式要分段求路程，然后求和．计算曲线由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x2－2x ＋3，解得x ＝0或x ＝3.如图．因此所求图形的面积为S ＝⎠⎛03(x ＋3)d x －⎠⎛03(x 2－2x ＋3)d x＝⎠⎛03d x ＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x3＋32x23＝92.求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤(1)画出图形；(2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限； (3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数图象上、下位置； (4)写出平面图形面积的定积分表达式；(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．求曲线y ＝e x，y ＝e －x及x ＝1所围成的图形面积．解：作图，并由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ex ，y ＝e －x ，解得交点(0,1)． 所求面积为⎠⎛01(e x－e －x)d x ＝(e x ＋e －x)1＝e ＋1e－2.先求抛物线和直线的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y2＝2x ，y ＝－x ＋4，求出交点坐标为A (2,2)和B (8，－4)．法一：选x 为积分变量，变化区间为，将图形分割成两部分(如图)，则面积为S ＝S 1＋S 2＝2⎠⎛022xd x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x＝423x322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫223x －12x2＋4x 82＝18.法二：选y 作积分变量，则y 的变化区间为，如图得所求的面积为 S ＝⎠⎛－42⎝ ⎛⎭⎪⎫4－y －y22d y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4y －12y2－16y324－＝18.需分割的图形的面积的求法由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间上位于上方和下方的曲线不同．求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间上曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下．试求由抛物线y ＝x 2＋1与直线y ＝－x ＋7以及x 轴、y 轴所围成图形的面积．解：画出图形(如下图)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2＋1，y ＝－x ＋7，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝10(舍去)，即抛物线与直线相交于点(2,5)．于是所求面积为S ＝⎠⎛02(x 2＋1)d x ＋⎠⎛27(7－x)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x3＋x 20＋⎝⎛⎭⎪⎫7x －12x272＝143＋252 ＝1036.A ，BC 点，这一段的速度为1.2t m/s ，到C 点的速度为24 m/s ，从C 点到B 点前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，速度为(24－1.2t ) m/s ，经t s 后，在B 点恰好停车．试求：(1)A ，C 间的距离； (2)B ，D 间的距离． (1)设A 到C 的时间为t 1， 则1.2t 1＝24，t 1＝20 s ，则AC ＝⎠⎛0201.2t d t ＝0.6t220＝240(m)．(2)设D 到B 的时间为t 2， 则24－1.2t 2＝0，t 2＝20 s ， 则DB ＝⎠⎛020 (24－1.2t )d t求变速直线运动的路程、位移应关注三点(1)分清运动过程中的变化情况；(2)如果速度方程是分段函数，那么要用分段的定积分表示；(3)明确是求位移还是求路程，求位移可以正负抵消，求路程不能正负抵消．一点在直线上从时刻t ＝0(单位：s )开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(单位：m /s )运动，求： (1)在t ＝4 s 时的位置； (2)在t ＝4 s 时运动的路程． 解：(1)在t ＝4 s 时该点的位移为⎠⎛04(t 2－4t ＋3)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t3－2t2＋3t 40＝43(m )， 即在t ＝4 s 时该点距出发点43m .(2)∵v(t)＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)， ∴在区间及上v(t)≥0， 在区间上，v(t)≤0. ∴在t ＝4 s 时的路程为s ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t －⎠⎛13(t 2－4t ＋3)d t ＋⎠⎛34(t 2－4t ＋3)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t3－2t2＋3t 10－⎝ ⎛⎭⎪⎫13t3－2t2＋3t 31＋13t 3－2t 2＋3t43＝4(m )， 即在t ＝4 s 时运动的路程为4 m .一物体在力F (x )(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向运动，力位移曲线如图所示．求该物体从x ＝0 m 处运动到x ＝4 m 处力F (x )做的功．由力位移曲线可知F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，0≤x≤2，3x ＋4，2＜x≤4，因此该物体从x ＝0处运动到x ＝4处力F (x )做的功为W ＝⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝10x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x2＋4x 42＝46(J)．解决变力做功应关注两点(1)首先将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步； (2)根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问题．设有一长25 cm 的弹簧，若加以100 N 的力，则弹簧伸长到30 cm ，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功．解：设x 表示弹簧伸长的量(单位：m)，F (x )表示加在弹簧上的力(单位：N)．由题意F (x )＝kx ，且当x ＝0.05 m 时，F (0.05)＝100 N ，解得即0.05k ＝100，∴k ＝2 000， ∴F (x )＝2 000x .∴将弹簧由25 cm 伸长到40 cm 时所做的功为W ＝⎠⎛00.152 000x d x ＝1 000x 2.015＝22.5(J)．4.利用定积分求面积的策略由抛物线y 2＝8x (y ＞0)与直线x ＋y －6＝0及y ＝0所围成图形的面积为( ) A ．16－3223B ．16＋3223C.403D.403＋3223由题意，作图形如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y2＝＞，x ＋y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，所以抛物线y 2＝8x (y ＞0)与直线x ＋y －6＝0的交点坐标为(2,4)．法一：(选y 为积分变量)S ＝⎠⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫6－y －18y2d y＝⎝⎛⎭⎪⎫6y －12y2－124y340＝24－8－124×64＝403.法二：(选x 为积分变量)S ＝⎠⎛02(8x)d x ＋⎠⎛26(6－x )d x＝8×23x 322＋⎝⎛⎭⎪⎫6x －12x262＝163＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫6×6－12×62－⎝ ⎛⎭⎪⎫6×2－12×22＝403.C1．本题易搞错被积函数及积分上、下限，误认为S ＝⎠⎛04－x －8x)d x ，从而得出S ＝16－3223的错误答案．2．求平面图形面积时，应首先求出交点坐标，确定积分上、下限，然后确定被积函数，判定积分的正负，用公式求解面积．如本例法一中的被积函数为f(y)＝6－y －18y 2，y ∈(0,4]，法二中的被积函数为f(x)＝⎩⎨⎧8x ，，2]，6－x ，，6].3．利用定积分求面积时，应根据具体问题选择不同的方法求解，常见类型有以下几种： (1)换元积分：当两区域所围成图形纵坐标一致时，换元变成对y 积分可简化运算．如本例中的法一． (2)分割求和：当两曲线处于不同区间时，可分割成几块，分别求出面积再相加，如本节例2的求解法．事实上，本例中的法二就是分割求和．(3)上正下负：若a ≤x ≤c 时，f(x)＜0，则⎠⎛a c f(x)d x ＜0；若c ≤x ≤b 时，f(x)≥0，则⎠⎛cb f(x)d x ≥0.此时曲线y ＝f(x)和直线x ＝a ，x ＝b(a ＜b)及y ＝0所围图形的面积是 S ＝⎪⎪⎪⎪⎠⎛ac ＋⎠⎛c b f(x)d x ＝－⎠⎛ac f(x)d x ＋⎠⎛c bd x.例：求正弦曲线y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π2和直线x ＝0，x ＝3π2及y ＝0所围图形的面积S .解：作出曲线y ＝sin x 和直线x ＝0，x ＝3π2，y ＝0的草图，如图所示，所求面积为图中阴影部分的面积．由图可知，当x ∈时，曲线y ＝sin x 位于x 轴的上方； 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2时，曲线位于x 轴下方． 因此，所求面积应为两部分的和，即S ＝π⎰32|sin x |d x ＝⎠⎛0πsin x d x －ππ⎰32sin x d x ＝－cos xπ＋cos xππ32＝3.(4)上下之差：若在区间上f (x )＞g (x )，则曲线f (x )与g (x )所围成的图形的面积S ＝⎠⎛a b d x .例：求由曲线y 2＝x ，y ＝x 3所围图形的面积S .解：作出曲线y 2＝x ，y ＝x 3的草图，如图所示，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y2＝x ，y ＝x3得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01xd x －⎠⎛01x 3d x ＝23x 321－14x 41＝512.1．(山东高考)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．22B ．4 2 C ．2 D ．4解析：选D 由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛02－＝⎝⎛⎭⎪⎫2x2－14x42＝4.2．一物体沿直线以v ＝3t ＋2(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)的速度运动，则该物体在3 s ～6 s 间的运动路程为( )A ．46 mB ．46.5 mC ．87 mD ．47 m解析：选B s ＝⎠⎛36 (3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t2＋2t 63＝(54＋12)－⎝ ⎛⎭⎪⎫272＋6＝46.5(m)．3．(天津高考)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．解析：如图，阴影部分的面积即为所求．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2，y ＝x 得A(1,1)．故所求面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x2－13x3⎪⎪⎪10＝16. 答案：164．设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________. 解析：由已知得S ＝⎠⎛0a xd x ＝23x 32a＝23a 32＝a 2，所以a 12＝23，所以a ＝49. 答案：495．一物体在变力F (x )＝36x2(x 的单位：m ，F 的单位：N)的作用下沿坐标平面内x 轴的正方向由x ＝8处运动到x ＝18处，求力F (x )在这一过程中所做的功．解：由题意得力F (x )在这一过程中所做的功为F (x )在上的定积分，从而W ＝⎠⎛818F (x )d x ＝－36x －1188＝(－36×18－1)－(－36×8－1)＝(－2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝52(J)．从而可得力F (x )在这一过程中所做的功为52 J.一、选择题1．用S 表示下图中阴影部分的面积，则S 的值是( )A .⎠⎛a c f (x )d xB.⎪⎪⎪⎪⎠⎛acC.⎠⎛a b f(x)d x ＋⎠⎛bc f(x)d x D .⎠⎛b c f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x解析：选D 由图可知，x 轴上方阴影部分的面积为⎠⎛b c ，x 轴下方阴影部分的面积为－⎠⎛ab f (x )d x ，故D 正确． 2．曲线y ＝x 3与直线y ＝x 所围图形的面积等于( ) A.⎠⎛－11(x －x 3)d x B.⎠⎛－11(x 3－x )d x C ．2⎠⎛01(x －x 3)d xD ．2⎠⎛－10(x －x 3)d x解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x3，求得直线y ＝x 与曲线y ＝x 3的交点分别为(－1，－1)，(1,1)，(0,0)，由于两函数都是奇函数，根据对称性得S ＝2⎠⎛01(x －x 3)d x .3．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C.32D. 3 解析：选D 结合函数图象可得所求的面积是定积分∫π3－π3cos x d x ＝sin x π3－π3＝ 3. 4．一质点运动的速度与时间的关系为v (t )＝t 2－t ＋2，质点做直线运动，则它在时间内的位移为( )A.176B.143C.136 D.116解析：选A 质点在时间内的位移为⎠⎛12(t 2－t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t3－12t2＋2t 21＝176. 5．由抛物线y ＝x 2－x ，直线x ＝－1及x 轴围成的图形的面积为( ) A.23 B ．1 C.43 D.53解析：选B S ＝⎠⎛0－1(x 2－x )d x ＋⎠⎛01(x －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x3－12x20－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x2－13x310＝1.二、填空题6．曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12围成的封闭图形的面积为________．解析：由于曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12的交点的横坐标分别为x ＝π6及x ＝5π6，因此所求图形的面积为∫5π6π6sin x －12d x ＝－cos x －12x 5π6π6＝3－π3.答案：3－π37．物体A 以速度v ＝3t 2＋1(t 的单位：s ；v 的单位：m/s)在一直线上运动，在此直线上，物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方5 m 处以v ＝10t 的速度与A 同向运动，则两物体相遇时物体A 运动的距离为________m.解析：设t ＝a 时两物体相遇，依题意有⎠⎛0a (3t 2＋1)d t －⎠⎛0a 10t d t ＝(t 3＋t )a 0－5t 2a 0＝5，即a 3＋a －5a 2＝5，(a －5)(a 2＋1)＝0，解得a ＝5，所以⎠⎛05(3t 2＋1)d t ＝53＋5＝130.答案：1308．有一横截面面积为4 cm 2的水管控制往外流水，打开水管后t s 末的流速为v (t )＝6t －t 2(单位：cm/s)(0≤t ≤6)，则t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量为________．解析：由题意可得t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量V ＝⎠⎛064(6t －t 2)d t ＝4⎠⎛6(6t －t 2)d t ＝4⎝⎛⎭⎪⎫3t2－13t360＝144(cm 3)．故t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量为144 cm 3. 答案：144 cm 3三、解答题9．求由曲线y ＝x 2和直线y ＝x 及y ＝2x 所围图形的面积S .解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2，y ＝x 得A (1,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2，y ＝2x 得B (2,4)．如图所示，所求面积(即图中阴影部分的面积)为S ＝⎠⎛01(2x －x )d x ＋⎠⎛12－x 2)d x ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛12－x 2)d x ＝12x 210＋⎝⎛⎭⎪⎫x2－13x321＝76.10．有一动点P 沿x 轴运动，在时间t 时的速度为v (t )＝8t －2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．(1)点P 从原点出发，当t ＝6时，求点P 离开原点的路程和位移； (2)求点P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值． 解：(1)由v (t )＝8t －2t 2≥0，得0≤t ≤4， 即当0≤t ≤4时，P 点向x 轴正方向运动； 当t >4时，P 点向x 轴负方向运动．最新中小学教案、试题、试卷故t ＝6时，点P 离开原点的路程为s 1＝⎠⎛04(8t －2t 2)d t －⎠⎛46(8t －2t 2)d t＝⎝⎛⎭⎪⎫4t2－23t340－⎝ ⎛⎭⎪⎫4t2－23t364＝1283. 当t ＝6时，点P 的位移为⎠⎛06(8t －2t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t2－23t360＝0. (2)依题意⎠⎛0t (8t －2t 2)d t ＝0，即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，而t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况， ∴t ＝6是所求的值．。
人教版a版高中数学选修2-2第一章1.7《定积分的简单应用》【练习】(学生版)
高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）1.7 定积分的简单应用一、选择题1．由直线0,e,2y x y x ===及曲线xy 2=所围成的封闭的图形的面积为（） A ．2ln 23+ B ．3 C ．22e 3- D ．e2.定积分的值是（）A ．B ．C ．2D ．3．如图，抛物线的方程是21y x =-，则阴影部分的面积是（ ）A.220()1x dx -⎰ B.|220()1x dx -⎰| 0|sin cos |x x dx π⎰-22+22-22C.220||1x dx ⎰－ D.122201)(11()x dx x dx ⎰⎰－＋－ 4．如图，阴影区域是由函数cos y x =的一段图象与x 轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是（）A. 1B. 2C. π2D. π 5．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251t+(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是 ( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2 6．设，则的值为（） A. B. C. D. 二、填空题7．若，则的值是______． 8．如图阴影部分是由曲线21,y y x x ==与直线2,0x y ==围成，则其面积为________．()[)[]221,1,11,1,2x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩()21f x dx -⎰423π+32π+443π+34π+11(2)3ln 2(1)a x dx a x+=+>⎰a三、解答题9．一质点做直线运动，其瞬时加速度的变化规律为()2cos a t A t ω=-，在t =0时，v (0)=0，s (0)=A ，其中A 、ω为常数，求质点的位移方程.10．已知()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+（1）求()f x 的解析式．（2）求曲线()y f x =与曲线241y x x =--+所围成的图形的面积．。
高中数学(人教A版选修2-2)作业1.7.2定积分在物理的应用
技能演练基 础 强 化1．已知物体的速度为v ＝v 0＋at (v 0，a 为常数)，则物体在t 1＝0至t 2＝t 时间内的位移为( )A ．s ＝12at 2B ．s ＝v 0t ＋12at 2C ．s ＝v 0t －12at 2 D ．s ＝12at 2－v 0t解析 ⎠⎛0t (v 0＋at )d t＝(v 0t ＋12at 2)⎪⎪⎪t＝v 0t ＋12at 2. 答案 B2．如果某物体以初速度v (0)＝1，加速度a (t )＝6t 作直线运动，那么物体在t ＝2s 时瞬时速度为( )A ．5B ．7C ．9D ．13解析 t ＝2s 时的瞬时速度为v (t )＝v (0)＋⎠⎛026t d t ＝1＋3t 2⎪⎪⎪⎪2＝1＋12＝13.答案 D3．质点做直线运动，其速度v (t )＝3t 2－2t ＋3，则它在第2秒内所走的路程为( )A ．1B ．3C ．5D ．7解析 由定积分的物理意义知S ＝⎠⎛12(3t 2－2t ＋3)d t ＝(t 3－t 2＋3t )⎪⎪⎪⎪21＝(8－4＋6)－(1－1＋3)＝7. 答案 D4．从空中自由下落的物体，在第一秒时刻恰经过电视塔顶，在第二秒时刻物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (t 为常数)，则电视塔高为( )A.52gB.72g C.32gD ．2g解析 依题意得电视塔的高度为h ＝⎠⎛12v d t ＝⎠⎛12gt d t ＝12gt 2⎪⎪⎪⎪21＝2g －12g ＝32g . 答案 C5．做直线运动的质点在任意位置x 处，所受的力F (x )＝1＋e x ，则质点沿着F (x )相同的方向，从点x 1＝0处运动到点x 2＝1处，力F (x )所做的功是( )A ．1＋eB ．e C.1eD ．e －1解析 W ＝⎠⎛01F (x )d x ＝⎠⎛01(1＋e x )d x＝(x ＋e x )⎪⎪⎪⎪1＝1＋e －1＝e.答案 B6．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，(0≤x ≤2)，3x ＋4，(x >2)(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4处(单位：m)，则力F (x )做的功为( )A ．44JB ．46JC ．40JD ．60J解析 W ＝⎠⎛04F (x )d x＝⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x＝10x ⎪⎪⎪⎪2＋(32x 2＋4x )⎪⎪⎪42＝20＋40－14＝46(J)． 答案 B7．质点运动的速度为v ＝(18t －3t 2)m/s ，质点由开始运动到停止运动时所通过的路程为__________．解析 质点停止运动，速度v 为0，即18t －3t 2＝0. 解得t ＝6，或t ＝0(舍去)．∴质点由开始运动到停止运动时所通过的路程为 S ＝⎠⎛06(18t －3t 2)d t＝(9t 2－t 3)⎪⎪⎪6＝108(m)．答案 108m8．如果1 N 力能拉长弹簧1cm ，为了将弹簧拉长6cm ，所耗费的功为__________．解析 设F (x )＝kx ，当F ＝1 N ，x ＝0.01m 时，k ＝100，∴W ＝⎠⎛00.06100x d x＝50x 2⎪⎪⎪0.06＝0.18(J)．答案 0.18J能 力 提 升9．一物体以v (t )＝t 2－3t ＋8(m/s)的速度运动，求其在前30秒内的平均速度．解 由定积分的物理意义有S ＝⎠⎛030(t 2－3t ＋8)d t ＝(13t 3－32t 2＋8t )⎪⎪⎪30＝7890(m)．∴v －＝s t ＝789030＝263(m/s)．10．模型火箭自静止开始垂直向上发射，设启动时即有最大加速度，以此时为起点，加速度满足a (t )＝100－4t 2，求火箭前5s 内的位移．解 由题设知t ＝t 0＝0，v (0)＝0，s (0)＝0， ∴v (t )＝⎠⎛0t(100－4t 2)d t ＝100t －43t 3.∴s (5)＝⎠⎛05v (t )d t＝⎠⎛05(100t －43t 3)d t＝(50t 2－13t 4)⎪⎪⎪5＝31253即火箭前5秒的位移是31253.11．物体A 以速度v ＝3t 2＋1在一直线上运动，在此直线上与物体出发的同时，物体B 在物体A 的正前方5m 处正以v ＝10t 的速度与A 同向运动，问两物体何时相遇？相遇时，物体A 走过的路程是多少？(时间单位：s ，速度单位：m/s)解 设A 追上B 时，所用时间为t 0，依题意得S A ＝S B ＋5，即⎠⎛0t 0(3t 2＋1)d t ＝⎠⎛0t 010d t ＋5， ∴t 30＋t 0＝5t 20＋5 即t 0(t 20＋1)＝5(t 20＋1)．∵t 0＝5(s)，∴S A ＝5t 20＋5＝130(m)．12．在底面积为S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞(面积为S )从点a 处推到b 处，计算在移动过程中，气体压力所做的功．解 力F 对物体所做的功为W ＝F ·s ，求出变力F 的表达式是本题中求功的关键：由物理学知识易得压强P 与体积V 的乘积是常数k ，即PV ＝k ，又∵V ＝x ·S (x 指活塞与底的距离)，∴P ＝k V ＝k xS .∴作用在活塞上的力F ＝P ·S ＝k x ·S ·S ＝kx .∴气体压力所做的功为W ＝⎠⎛ab k x d x ＝k ·ln x ⎪⎪⎪ba＝k ln ba .。
高中数学人教新课标A版 选修2-2 1.7定积分的简单应用B卷
高中数学人教新课标A版选修2-2 1.7定积分的简单应用B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共14题；共28分)1. （2分） (2019高三上·株洲月考) 将函数的图像左移个单位后得到的图像，则的值为（）A . 0B .C . 1D .2. （2分）已知f(x)为一次函数，且，则（）A . -2B . -1C . 1D . 23. （2分）如图，点M在曲线y= ，若由曲线y= 与直线OM所围成的阴影部分的面积为，则实数a等于（）A .B .C . 1D . 24. （2分）已知，则= （）A . 3B . 4C . 3.5D . 4.55. （2分）设连续函数，则当时，定积分的符号（）A . 一定是正的B . 一定是负的C . 当时是正的，当时是负的D . 以上结论都不对6. （2分）（）A .B .C .D .7. （2分）一物体在力F（x)=3x2-2x+5 （力单位：N ，位移单位:m ）作用下沿与F(x) 相同的方向由x=5m 直线运动到 x=10m处作的功是（）A . 925JD . 800J8. （2分）（x2+）6展开式的常数项是15，如图阴影部分是由曲线y=x2和圆x2+y2=a及x轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高三上·兰州期中) 由曲线y=x2+1，直线y=﹣x+3及坐标轴所围成图形的面积为（）A .B .C .D . 310. （2分）等于（）C . e+1D . e﹣111. （2分）直线y=2x与抛物线y=3－x2所围成的阴影部分的面积（）A .B .C .D .12. （2分）下列值等于1的积分是（）A . xdxB . （x+1）dxC . 1dxD . dx13. （2分）(2017·葫芦岛模拟) 已知随机变量X﹣N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点个数的估计值为（）附：若随机变量ξ﹣N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544．C . 7028D . 753914. （2分）（）A . 1B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)15. （1分） (2017高二下·洛阳期末) 设函数f（x）= ，则定积分 f（x）dx=________．16. （1分）(2020·江西模拟) 已知，则的展开式中的常数项为________．17. （1分） (2017高二下·长春期中) ∫ dx=________．18. （1分）(2019·临川模拟) 已知的展开式中含项的系数为-14，则________．三、解答题 (共4题；共40分)19. （5分）一物体沿直线以速度v（t）=2t﹣3（t的单位为：秒，v的单位为：米/秒）的速度作变速直线运动，求该物体从时刻t=0秒至时刻t=5秒间运动的路程？20. （15分） (2015高二下·九江期中) 计算由直线y= ，曲线y= 以及x轴所围成图形的面积．21. （5分）已知函数f（x）= x3﹣ x2+1，x∈R．（1）求函数f（x）的极大值和极小值；（2）求函数图象经过点（，1）的切线的方程；（3）求函数f（x）= x3﹣ x2+1的图象与直线y=1所围成的封闭图形的面积．22. （15分） (2019高三上·海淀月考) 计算参考答案一、单选题 (共14题；共28分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：三、解答题 (共4题；共40分)答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：。
人教版a版高中数学选修22第一章1.7《定积分简单应用》练习(教师版)
高中数学学习资料金戈铁骑整理制作定积分的简单应用一、选择题1．由直线 y 0, xe, y 2x 及曲线 y2所围成的封闭的图形的面积为（）xA ． 3 2 ln 2B． 3C． 2e 23D． e【答案】 B【剖析】 S1 e 2x2 1 2ln xe ，应选 B ．2xdxdx131x2. 定积分| sin x cos x | dx 的值是（）A ． 2 2B ． 2 2C ．2 D． 2 2【答案】 D【剖析】| sin x cos x | dx4cosx sin x dxcos x sin x dx4sin x cosx |04sin x cosx |2 2 ，应选 D ．43．如图，抛物线的方程是y x21，则阴影部分的面积是（）2( x2 1)dx B.|2A.( x2 1)dx |002| x2－1 |dx12( x2－1)dxC. D.( x2－1)dx＋100【答案】 C1222.－＋【剖析】由图形可知阴影部分的面积为－(1x )dx( x 1)dx01212而| x2－1|dx＝ (1－ x2 )dx＋ ( x2－1)dx .应选C.0014．如图，阴影地域是由函数y cos x 的一段图象与x 轴围成的封闭图形，那么这个阴影地域的面积是（）A.1B.2C.ππD.2【答案】Ｂ【剖析】依照余弦函数的对称性可得，曲线从 x ππx 轴围成的面积与从xπ3π到 x与到 x与 x 2222ππ轴围成的面积相等，∴阴影部分的面积S2πcosxdx sin x 2π 2 ，应选B．225．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v( t )＝7－3t ＋25( t的单位：s，v1t的单位： m/s) 行驶至停止．在此期间汽车连续行驶的距离( 单位： m)是 ( )A ． 1＋ 25ln 5B． 8＋ 25ln11 ． 4＋ 25ln 5D． 4＋50ln 2C3【答案】 C【剖析】令v ( t ) ＝ 0 得 t ＝ 4 或 t ＝－8( 舍去 ) ，∴汽车行驶距离 s ＝(7 3t25)dt ＝[7 t － 3t 2＋431 t225ln(1 ＋ t )] 04＝ 28－24＋ 25ln 5 ＝ 4＋ 25ln 5.1 x2 , x 1,1 2 6．设 f x，则f x dx 的值为（）x 2 1,x1,21A.4B.3 C.433 4 D.2234【答案】 A21 21 x 2，得【剖析】由已知得，f ( x)dx1 x2 dx( x 21)dx ，令 y111x 2 y 21 y 0 ，知曲线 y1 x2 是以坐标原点为圆心， 1 为半径的圆处在 x 轴上方部分的半圆，由定积分的几何意义知 1 1 x 2dx1 π 12 1π，1221)dx ( 1x3又(x2x) |12(1 23 2) (1131)4 ，2133332 1 1 x 2dx2 2 1)dxπ4，应选 A ．1 f (x) dx(x1123二、填空题a1)dx 3 ln 2(a 1) ，则 a 的值是 ______．7．若 (2x1x【答案】 2a1) dx( x2ln x) |1a a2ln a1a2 1 3【剖析】由(2 x 3 ln 2 ，得，1x ln a ln 2所以 a 2 ．8．如图阴影部分是由曲线y1, y2x 与直线 x2, y0 围成，则其面积为________．x【答案】2ln 2 3【剖析】由题图知， S12 123122．xdx dx3x 2|0ln x |1ln 20 1x3三、解答题9．一质点做直线运动，其瞬时加速度的变化规律为a t A2 cos t ，在t=0时，v(0)=0，s(0)=A，其中A、ω为常数，求质点的位移方程.t tA2sin t |0t A 2sin t .【剖析】 v t v 0a(t)dt( A 2 cost) dt ，∴v t00∴ s t s 0t t2sin t)dt ，∴s t A A2cost A 2. v(t) dt( A00∴s t A A 2cost A 2.∴质点的位移方程为s t A A 2 cost A 2，t∈［0，+∞).10．已知y f ( x) 是二次函数，方程 f ( x) 0 有两个相等的实根，且 f (x) 2x2（ 1）求f ( x)的剖析式．（ 2）求曲线y f (x) 与曲线y x2 4 x 1所围成的图形的面积．【剖析】（1）设f ( x)ax 2bx c (a 0) ．由题意得b24ac0,2ax b 2x2,a 1,b 2,c 1， f (x) x22x 1 .y x22x1,（ 2）由x24x x3 或x 0.y1S 04x 1) ( x22x 1)]dx (2x33x2 ) |0 [( x23＝9. 33。
11-12学年高中数学 1.7 定积分的简单应用同步练习 新人教A版选修2-2
定积分的简单应用一、选择题1．如图所示，阴影部分的面积为( )A.⎠⎛a b f (x )d xB.⎠⎛a b g (x )d xC.⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d xD.⎠⎛ab [g (x )－f (x )]d x[答案] C[解析] 由题图易知，当x ∈[a ，b ]时，f (x )>g (x )，所以阴影部分的面积为⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .2．如图所示，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．2－ 3 C.323D.353[答案] C[解析] S ＝⎠⎛1－3(3－x 2－2x )d x即F (x )＝3x －13x 3－x 2，则F (1)＝3－1－13＝53，F (－3)＝－9－9＋9＝－9.∴S ＝F (1)－F (－3)＝53＋9＝323.故应选C.3．由曲线y ＝x 2－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( ) A.⎠⎛02(x 2－1)d xB ．|⎠⎛02(x 2－1)d x |C.⎠⎛02|x 2－1|d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x[答案] C[解析] y ＝|x 2－1|将x 轴下方阴影反折到x 轴上方，其定积分为正，故应选C.4．设f (x )在[a ，b ]上连续，则曲线f (x )与直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0围成图形的面积为( ) A.⎠⎛a b f (x )d xB ．|⎠⎛ab f (x )d x |C.⎠⎛ab |f (x )|d xD ．以上都不对[答案] C[解析] 当f (x )在[a ，b ]上满足f (x )<0时，⎠⎛ab f (x )d x <0，排除A ；当阴影有在x 轴上方也有在x 轴下方时，⎠⎛ab f (x )d x 是两面积之差，排除B ；无论什么情况C 对，故应选C.5．曲线y ＝1－1681x 2与x 轴所围图形的面积是( )A ．4B ．3C ．2D.52[答案] B[解析] 曲线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，0故应选B.6．一物体以速度v ＝(3t 2＋2t )m/s 做直线运动，则它在t ＝0s 到t ＝3s 时间段内的位移是( )A ．31mB ．36mC ．38mD ．40m[答案] B[解析] S ＝⎠⎛03(3t 2＋2t )d t ＝(t 3＋t 2)| 30＝33＋32＝36(m)，故应选B.7．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( )A.112B.14 C.13D.712[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝x 3得交点为(0,0)，(1,1)．∴S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 410＝112.8．一物体在力F (x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝1运动到x ＝3处(单位：m)，则力F (x )所做的功为( )A ．8JB ．10JC ．12JD ．14J[答案] D[解析] 由变力做功公式有：W ＝⎠⎛13(4x －1)d x ＝(2x 2－x )| 31＝14(J)，故应选D.9．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t 的函数，若已知产量的变化率为a ＝36t，那么从3小时到6小时期间内的产量为( )A.12B ．3－32 2C ．6＋3 2D ．6－3 2[答案] D [解析] ⎠⎛3636tdt ＝66t | 63＝6－32，故应选D.10．过原点的直线l 与抛物线y ＝x 2－2ax (a >0)所围成的图形面积为92a 3，则直线l 的方程为( )A ．y ＝±axB ．y ＝axC ．y ＝－axD ．y ＝－5ax[答案] B[解析] 设直线l 的方程为y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx y ＝x 2－2ax 得交点坐标为(0,0)，(2a ＋k,2ak ＋k 2) 图形面积S ＝∫2a ＋k[kx －(x 2－2ax )]d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋2a 2x 2－x 33| 2a ＋k 0＝(k ＋2a )32－(2a ＋k )33＝(2a ＋k )36＝92a 3∴k ＝a ，∴l 的方程为y ＝ax ，故应选B. 二、填空题11．由曲线y 2＝2x ，y ＝x －4所围图形的面积是________． [答案] 18[解析] 如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x y ＝x －4得交点坐标为(2，－2)，(8,4)．因此所求图形的面积S ＝⎠⎛4－2(y ＋4－y 22)d y取F (y )＝12y 2＋4y －y 36，则F ′(y )＝y ＋4－y22，从而S ＝F (4)－F (－2)＝18.12．一物体沿直线以v ＝1＋t m/s 的速度运动，该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________．13．由两条曲线y ＝x 2，y ＝14x 2与直线y ＝1围成平面区域的面积是________．[答案] 43[解析] 如图，y ＝1与y ＝x 2交点A (1,1)，y ＝1与y ＝x 24交点B (2,1)，由对称性可知面积S ＝2(⎠⎛01x 2d x＋⎠⎛12d x －⎠⎛0214x 2d x )＝43.14．一变速运动物体的运动速度v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t (0≤t ≤1)a t(1≤t ≤2)b t (2≤t ≤e )则该物体在0≤t ≤e 时间段内运动的路程为(速度单位：m/s ，时间单位：s)______________________． [答案] 9－8ln2＋2ln2[解析] ∵0≤t ≤1时，v (t )＝2t ，∴v (1)＝2； 又1≤t ≤2时，v (t )＝a t， ∴v (1)＝a ＝2，v (2)＝a 2＝22＝4； 又2≤t ≤e 时，v (t )＝bt， ∴v (2)＝b2＝4，∴b ＝8.∴路程为S ＝⎠⎛012t d t ＋⎠⎛122td t ＋⎠⎛2e 8td t ＝9－8ln2＋2ln2 .三、解答题15．计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3y ＝x 2－2x ＋3解得x ＝0及x ＝3.从而所求图形的面积S ＝⎠⎛03(x ＋3)d x －⎠⎛03(x 2－2x ＋3)d x＝⎠⎛03[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋32x 2| 30＝92.16．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2. (1)求y ＝f (x )的表达式；(2)若直线x ＝－t (0＜t ＜1)把y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．[解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ， 又已知f ′(x )＝2x ＋2，∴a ＝1，b ＝2， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋c .又方程f (x )＝0有两个相等实根． ∴判别式Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1. 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)依题意有⎠⎛－1－t (x 2＋2x ＋1)d x ＝⎠⎛0－t (x 2＋2x ＋1)d x ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x | －t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x | 0－t 即－13t 3＋t 2－t ＋13＝13t 3－t 2＋t .∴2t 3－6t 2＋6t －1＝0， ∴2(t －1)3＝－1，∴t ＝1－132.17．A 、B 两站相距7.2km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段速度为1.2t (m/s)，到C 点的速度达24m/s ，从C 点到B 站前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t )m/s ，在B 点恰好停车，试求：(1)A 、C 间的距离； (2)B 、D 间的距离；(3)电车从A 站到B 站所需的时间． [解析] (1)设A 到C 经过t 1s ， 由1.2t ＝24得t 1＝20(s)，所以AC ＝∫2001.2t d t ＝0.6t 2| 200＝240(m)．(2)设从D →B 经过t 2s ， 由24－1.2t 2＝0得t 2＝20(s)， 所以DB ＝∫200(24－1.2t )d t ＝240(m)． (3)CD ＝7200－2×240＝6720(m)． 从C 到D 的时间为t 3＝672024＝280(s)．于是所求时间为20＋280＋20＝320(s)．18．在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112，试求：(1)切点A 的坐标； (2)过切点A 的切线方程．[解析] 如图所示，设切点A (x 0，y 0)，由y ′＝2x ，过A 点的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20.令y ＝0得x ＝x 02，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，0.设由曲线和过A 点的切线及x 轴所围成图形的面积为S ，S ＝S 曲边△AOB －S △ABC . S 曲边△AOB ＝∫x 00x 2d x ＝13x 30， S △ABC ＝12|BC |·|AB | ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－x 02·x 20＝14x 30，即S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112.所以x 0＝1，从而切点A (1,1)，切线方程为y ＝2x －1.。
人教新课标A版选修2-2数学1.7定积分的简单应用同步练习含解析
1。
7定积分的简单应用同步练习1.由曲线y ＝x 2－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( )A 。
错误!(x 2－1)d xB ．|错误!(x 2－1)d x |C 。
错误!｜x 2－1|d xD 。
错误!（x 2－1）d x ＋错误!（x 2－1）d x答案：C 解析:解答： y ＝｜x 2－1|将x 轴下方阴影反折到x 轴上方,其定积分为正，故应选C.分析： 函数f （x )与x =a ，x =b ，y=0所围成的封闭图形的面积为|()|b a f x dx2.曲线y ＝x 3－3x 和y ＝x 围成的图形面积为( )A ．4B ．8C ．10D ．9 答案:B解析:解答: 由错误!解得错误!或错误!或错误!∵两函数y ＝x 3－3x 与y ＝x 均为奇函数，∴S ＝2错误
s＝ (t2－4t＋3)dt＋ ＋
(t2－4t＋3)dt＝ (t2－4t＋3)dt－ (t2－4t＋3)dt＋ (t2－4t＋3)dt＝4(m)，
即在t＝4s时运动的路程为4m.
A. B．1
C. D.
解析：S＝ (x2－x)dx＋ ＝1.
答案：B
7．抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积为________．
解析：由y′＝－2x＋4得在点A、B处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y＝2x－2和y＝－2x＋6，
由 得两直线交点坐标为C(2,2)，
(1)在t＝4s时的位置；
(2)在t＝4s时运动的路程．
解析：(1)在时刻t＝4s时该点的位置为
(t2－4t＋3)dt＝ ＝ (m)，
即在t＝4s时该点距出发点 m.
(2)因为v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，
所以在区间[0,1]及[3,4]上，υ(t)≥0，在区间[1,3]上，v(t)≤0，
∴S＝S△ABC－ (－x2＋4x－3)dx
＝ ×2×2－
＝2－ ＝ .
答案：
8．已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，若 f(x)dx＝2f(a)成立，则a的值为__________．
解析： f(x)dx＝ (3x2＋2x＋1)dx，取F(x)＝x3＋x2＋x，
则F′(x)＝3x2＋2x＋1，原式＝F(1)－F(－1)＝4，所以2(3a2＋2a＋1)＝4，即3a2＋2a－1＝0，解得a＝－1或a＝ .
∴ ∴a≤－ b2且a≥－1.
因此满足条件的点P(b，a)在直角坐标平面xOy的轨迹所围成的图形是由曲线y＝－ x2与直线y＝－1所围成的封闭图形．
高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：1.7 定积分的简单应用1.7.1 Word版含答案
1.7 定积分的简单应用 1.7.1 定积分在几何中的应用[学习目标]1．会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．2．在解决问题的过程中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分的几何意义的理解． [知识链接]1．怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．2．当f (x )<0时，f (x )与x 轴所围图形的面积怎样表示？ 答如图，因为曲边梯形上边界函数为g (x )＝0，下边界函数为f (x )，所以S ＝⎠⎛a b (0－f (x ))d x ＝－⎠⎛abf (x )d x . [预习导引]曲边梯形面积的表达式(1)当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积S ＝⎠⎛ab f (x )d x .(2)当x ∈[a ，b ]时，若f (x )<0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠ b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积S ＝－⎠⎛ab f (x )d x .(3)(如图)当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>g (x )>0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的平面图形的面积S ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .要点一 不分割型图形面积的求解例1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S ，根据图形可得S ＝⎠⎛2－3[(－x ＋2)－(x 2－4)]d x ＝⎠⎛2－3(－x 2－x ＋6)d x＝⎝⎛⎭⎫－13x 3－12x 2＋6x ⎪⎪⎪2－3＝223－⎝⎛⎭⎫－272＝1256. 规律方法 不分割型图形面积的求解步骤： (1)准确求出曲线的交点横坐标；(2)在坐标系中画出由曲线围成的平面区域； (3)根据图形写出能表示平面区域面积的定积分； (4)计算得所求面积．跟踪演练1 求由曲线y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 所围成的图形的面积． 解由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x ， 得x 1＝0，x 2＝2.由图可知，所求图形的面积为S ＝⎠⎛02[(2x －x 2)－(2x 2－4x )]d x＝⎠⎛02(－3x 2＋6x )d x＝(－x 3＋3x 2)⎪⎪⎪2＝4.要点二 分割型图形面积的求解例2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解 法一 画出草图，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x ，及 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ，得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)． 所以S ＝⎠⎛01⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫－13x d x ＋⎠⎛13⎣⎡⎦⎤(2－x )－⎝⎛⎭⎫－13x d x ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－23x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2⎪⎪⎪31 ＝56＋6－13×9－2＋13＝136. 法二 若选积分变量为y ，则三个函数分别为 x ＝y 2，x ＝2－y ，x ＝－3y .因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)． 所以S ＝⎠⎛0－1[(2－y )－(－3y )]d y ＋⎠⎛10[(2－y )－y 2]d y＝⎠⎛0－1(2＋2y )d y ＋⎠⎛10(2－y －y 2)d y＝(2y ＋y 2)⎪⎪⎪－1＋⎝⎛⎭⎫2y －12y 2－13y 3⎪⎪⎪10 ＝－(－2＋1)＋2－12－13＝136.规律方法 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间段内位于上方或下方的函数有所变化时，可通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化区间段，然后根据图象对各个区间段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x 运算较为复杂，可以选y 为积分变量，同时更改积分的上下限． 跟踪演练2 计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 3所围成图形的面积S . 解作出曲线y 2＝x ，y ＝x 3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x 3， 得交点横坐标为x ＝0及x ＝1. 因此，所求图形的面积为 S ＝⎠⎛01x d x －⎠⎛01x 3d x ＝23x 32⎪⎪⎪10－14x 4⎪⎪⎪1＝23－14＝512. 要点三 定积分的综合应用例3 设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2. (1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积． 解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b . 又f ′(x )＝2x ＋2，所以a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又方程f (x )＝0有两个相等实根， 即x 2＋2x ＋c ＝0有两个相等实根，所以Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1.故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)画函数y ＝f (x )的图象如图． 由图象知所求面积为 S ＝⎠⎛0－1(x 2＋2x ＋1)d x＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2＋x ⎪⎪⎪－1 ＝13.规律方法 由定积分求平面区域面积的方法求不规则图形的面积是一种基本的运算技能．在这种题型中往往与导数、函数的最值、不等式等相关知识进行融合．跟踪演练3 在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成图形的面积为112，试求切点A 的坐标及过切点A 的切线方程．解 设切点A (x 0，x 20)， 切线斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0. ∴切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)． 令y ＝0，得x ＝x 02，∴S ＝∫x 020x 2d x ＋∫x 0x 02[x 2－(2x 0x －x 20)]d x ＝112x 30.∴112x 30＝112，x 0＝1. ∴切点为(1,1)，切线方程为y ＝2x －1.1．在下面所给图形的面积S 及相应表达式中，正确的有( )S ＝⎠⎛ba [f (x )－g (x )]d x S ＝⎠⎛08(22x －2x ＋8)d x① ②S ＝⎠⎛14f (x )d x －⎠⎛47f (x )d x S ＝⎠⎛0a [g (x )－f (x )]d x ＋⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x③ ④A ．①③B ．②③C ．①④D ．③④答案 D解析 ①应是S ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x ，②应是S ＝⎠⎛0822x d x －⎠⎛48(2x －8)d x ，③和④正确．故选D.2．曲线y ＝cos x (0≤x ≤32π)与坐标轴所围图形的面积是( )A ．2B ．3C ．52D ．4答案 B解析 S ＝∫π20cos x d x －∫3π2π2cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪π20－sin x 3π2π2＝sin π2－sin 0－ sin 3π2＋sin π2＝1－0＋1＋1＝3.3．由曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 所围成的平面图形的面积为________． 答案 43解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，y ＝x 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0， ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4. ∴曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 交点为(2,4)，(0,0)． ∴S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 2－13x 320＝⎝⎛⎭⎫4－83－0＝43. 4．由曲线y ＝x 2＋4与直线y ＝5x ，x ＝0，x ＝4所围成平面图形的面积是________． 答案193解析由图形可得S ＝⎠⎛01(x 2＋4－5x )d x ＋⎠⎛14(5x －x 2－4)d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3＋4x －52x 210＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫52x 2－13x 3－4x 41＝13＋4－52＋52×42－13×43－4×4－52＋13＋4＝193.对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时 (1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标． (2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的.一、基础达标 1．用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( ) A. ⎠⎛ac f (x )d xB.⎪⎪⎪⎪⎠⎛a cf (x )d xC ． ⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛bc f (x )d xD.⎠⎛b c f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x答案 D解析 ∵x ∈[a ，b ]时，f (x )<0，x ∈[b ，c ]时，f (x )>0， ∴阴影部分的面积S ＝⎠⎛b c f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x .2．若y ＝f (x )与y ＝g (x )是[a ，b ]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面区域的面积为( ) A.⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d xB ．⎠⎛ab [g (x )－f (x )]d xC ．⎠⎛ab|f (x )－g (x )|d xD ．⎪⎪⎪⎪⎠⎛a b[f (x )－g (x )]d x答案 C解析 当f (x )＞g (x )时，所求面积为⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x ；当f (x )≤g (x )时，所求面积为⎠⎛ab [g (x )－f (x )]d x .综上，所求面积为⎠⎛ab |f (x )－g (x )|d x .3．由曲线y ＝x 2－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( )A.⎠⎛02(x 2－1)d xB.⎪⎪⎪⎪⎠⎛02(x 2－1)d x C ．⎠⎛02|x 2－1|d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x答案 C解析 y ＝|x 2－1|将x 轴下方阴影反折到x 轴上方， 其定积分为正，故应选C.4．(2013·北京卷)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( ) A.43 B ．2 C ．83D ．1623答案 C解析 抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为(0,1)，因为直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，所以直线l 的方程为y ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x 2＝4y ，可得交点的横坐标分别为－2,2.所以直线l 与抛物线围成的封闭图形面积为 ⎠⎛2－2⎝⎛⎭⎫1－x 24d x ＝⎝⎛⎪⎪⎭⎫x －112x 32－2＝83.故选C. 5．由曲线y ＝x 与y ＝x 3所围成的图形的面积可用定积分表示为________． 答案 ⎠⎛01(x －x 3)d x解析 画出y ＝x 和y ＝x 3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，解方程组⎩⎨⎧y ＝xy ＝x3得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(x －x 3)d x . 6．由两条曲线y ＝x 2，y ＝14x 2与直线y ＝1围成平面区域的面积是________．答案 43解析 如图，y ＝1与y ＝x 2交点A (1,1)， y ＝1与y ＝x 24交点B (2,1)，由对称性可知面积S ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12d x －⎠⎛0214x 2d x ＝43.7．求曲线y ＝6－x 和y ＝8x ，x ＝0围成图形的面积． 解作出直线y ＝6－x ，曲线y ＝8x 的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎨⎧y ＝6－xy ＝8x 得直线y ＝6－x 与曲线y ＝8x 交点的坐标为(2,4)，直线y ＝6－x 与x 轴的交点坐标为(6,0)．因此，所求图形的面积 S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛028x d x ＋⎠⎛26(6－x )d x ＝8×23x 32 ⎪⎪2⎪⎪＋(6x －12x 2)62＝ 163＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫6×6－12×62－⎝⎛⎭⎫6×2－12×22＝ 163＋8＝403. 二、能力提升8．(2013·江西改编)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34 B ．45C ．56D ．不存在答案 C 解析数形结合，如图，⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ＝ ⎪⎪13x 310＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x －12x 221＝13＋⎝⎛⎭⎫4－2－2＋12＝56. 9．若两曲线y ＝x 2与y ＝cx 3(c >0)围成图形的面积是23，则c 等于( )A.13B ．12C ．1D ．23 答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝cx 3得x ＝0或x ＝1c . ∵0<x <1c时，x 2>cx 3， ∴S ＝∫1c0(x 2－cx 3)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－14cx 41c 0＝13c 3－14c 3＝112c 3＝23. ∴c 3＝18.∴c ＝12. 10．从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．答案 13解析 根据题意得：S 阴＝⎠⎛013x 2d x ＝ x 3⎪⎪10＝1，则点M 取自阴影部分的概率为 S 阴S 矩＝13×1＝13. 11．求抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积． 解 由y ′＝－2x ＋4得在点A 、B 处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y ＝2x －2和y ＝－2x ＋6，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，y ＝－2x ＋6，得两直线交点坐标为C (2,2)， ∴S ＝S △ABC －⎠⎛13f (－x 2＋4x －3)d x ＝12×2×2－⎪⎪⎝⎛⎭⎫－13x 3＋2x 2－3x 31＝2－43＝23. 12．设点P 在曲线y ＝x 2上，从原点向A (2,4)移动，如果直线OP ，曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1、S 2.(1)当S 1＝S 2时，求点P 的坐标；(2)当S 1＋S 2有最小值时，求点P 的坐标和最小值．解 (1)设点P 的横坐标为t (0<t <2)，则P 点的坐标为(t ，t 2)，直线OP 的方程为y ＝tx .S 1＝⎠⎛0t (tx －x 2)d x ＝16t 3， S 2＝⎠⎛12(x 2－tx )d x ＝83－2t ＋16t 3. 因为S 1＝S 2，所以t ＝43，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，169. (2)S ＝S 1＋S 2＝16t 3＋83－2t ＋16t 3＝13t 3－2t ＋83， S ′＝t 2－2，令S ′＝0得t 2－2＝0.∵0<t <2，∴t ＝2，因为0<t <2时，S ′<0；2<t <2时，S ′>0.所以，当t ＝2时，S 1＋S 2有最小值83－423，此时点P 的坐标为(2，2)． 三、探究与创新13．已知抛物线y ＝x 2－2x 及直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a 的值． 解 作出y ＝x 2－2x 的图象如图．(1)当a <0时，S ＝⎠⎛a 0(x 2－2x )d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 20a ＝－a 33＋a 2＝43， ∴(a ＋1)(a －2)2＝0.∵a <0，∴a ＝－1.(2)当a >0时，①若0<a ≤2，则S ＝－⎠⎛0a (x 2－2x )d x ＝－⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 2a 0 ＝a 2－13a 3＝43， ∴a 3－3a 2＋4＝0，∴(a ＋1)(a －2)2＝0.∵a >0，∴a ＝2.②当a >2时，不合题意．综上a ＝－1，或a ＝2.高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用
高中数学 第一章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用教材习题点拨 新人教A 版选修2-2教材问题解答 (思考)本题还有其他解法吗？如果有，请写出你的解法，并比较一下这些解法． 答：解法一：所求阴影部分的面积为38828244140(4)d (4)323x x x x x --=--=⎰⎰. 解法二：以y 为积分变量 所求面积为∫40(4＋y )d y －∫40y 22d y＝⎝⎛⎭⎪⎫4y ＋y 22|40－16y 3|40＝403. 练习1解：(1)323；(2)1.练习21．解：s ＝∫53(2t ＋3)d t ＝(t 2＋3t )|53＝22(m)．2．解：W ＝∫40(3x ＋4)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x |40＝40(J)．习题1.7A 组1．解：(1)2；(2)92.2．解：W ＝∫ba k q r2d r ＝⎝⎛⎭⎪⎫－k q r |ba ＝k q a －k q b.3．解：令v (t )＝0，即40－10t ＝0，解得t ＝4.即第4 s 时物体达到最大高度． 最大高度为h ＝∫40(40－10t )d t ＝(40t －5t 2)|40＝80(m)．4．解：设t s 后两物体相遇，则∫t 0(3t 2＋1)d t ＝∫t010t d t ＋5，解之，得t ＝5.即A ，B 两物体5 s 后相遇．此时，物体A 离出发地的距离为∫50(3t 2＋1)d t ＝(t 3＋t )|50＝130(m)．5．解：由F ＝kl ，得10＝0.01 k ．解之，得k ＝1 000.所做的功为W ＝∫0.10 1 000l d l ＝5 00l 2|0.10＝5(J)．6．解：(1)令v (t )＝5－t ＋551＋t＝0，解之，得t ＝10. 因此，火车经过10 s 后完全停止．(2)s ＝∫100⎝⎛⎭⎪⎫5－t ＋551＋t d t ＝[5t －12t 2＋55ln(1＋t )]|100＝55ln 11(m)． B 组1．解：(1)∫a －a a 2－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝a 2与x 轴所围成的上半圆的面积，因此∫a －aa 2－x 2d x ＝πa22.(2)∫10(1－x －12－x )d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝1与直线y ＝x 所围成的图形(如图所示)的面积，因此∫10(1－x －12－x )d x ＝π×124－12×1×1＝π4－12.2．证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的方程为y ＝ax 2，则h ＝a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，所以a ＝4h b 2.从而抛物线的方程为y ＝4h b2x 2.于是，抛物线的拱形面积23220224422d 233b bh h S h x x hx x bh b b ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰. 3．解：如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋2，y ＝3x得曲线y ＝x 2＋2与曲线y ＝3x 交点的横坐标x 1＝1，x 2＝2.于是所求面积为∫10[(x 2＋2)－3x ]d x －∫21[3x －(x 2＋2)]d x ＝23.4．证明：W ＝∫R ＋hR G Mm r 2d r ＝⎝⎛⎭⎪⎫－G Mm r |R ＋hR ＝GMmhR R ＋h.。
2019-2020年高中数学1.7定积分的简单应用练习新人教A版选修2-2
2019-2020年高中数学1.7定积分的简单应用练习新人教A 版选修1 3 2即 F (x ) = 3x — §x — x ,小 1 5 则 F (1) = 3 — 1— 3= 3，F ( — 3) = — 9 — 9+ 9=— 9.5 32 ,••• S = F(1) — F( — 3) = 3+ 9 =亍.故应选 C.2 . .2•由曲线y = x — 1、直线x = 0、x = 2和x 轴围成的封闭图形的面积 （如图）是（ ）A. 2（x 2— 1）d x■ 0B. | 2(x 2 — 1)d x | 丿0C. '2|x 2— 1|d x■ 0D.1(x 2— 1)d x + 2( x 2— 1)d x'0 ■ 1［答案］C［解析］y = | x 2—1|将x 轴下方阴影反折到 x 轴上方，其定积分为正，故应选3 . .3. 曲线y = x — 3x 和y = x 围成的图形面积为（）A. 4B. 8C. 10D. 9［答案］By= x 3— 3x ,［解析］由l y = x ,A. 2 3B. 2 — 3 32 35C. 一D.— 33［答案］C［解析］S = '1 (3 — x 2— 2x )d xC. 、选择题 1.（xx •祁县高二期中）如图所示，阴影部分的面积是 （■ —3x = 0, x = 2, x=—2, 解得f 或f 或iy=0. y=2, i y=—2._3•.•两函数y = x - 3x 与y = x 均为奇函数,232321 4 2••• S = 2 ■ ［x -(x — 3x )］d x = 2 • ■ (4x -x )d x = 2(2 x — 4x )| 0= 8,故选 B.r ■ 0:" 04. 一物体以速度 v = (3t 1 2+ 2t )m/s 做直线运动，则它在 t = 0s 到t = 3s 时间段内的位移是()A. 31mB. 36mC. 38mD. 40m［答案］B［解析］S = 3(314 + 2t )d t = (t 3+ t 2)| 3 = 33+ 32= 36(m)，故应选 B.M 05.—物体在力F ( x ) = 4x - 1(单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x = 1运动到x = 3处(单位：m),则力F (x )所做的功为()A. 8JB. 10JC. 12JD. 14J［答案］D［解析］由变力做功公式有： W = 3(4x - 1)d x = (2 x 2- x )|1 = 14(J)，故应选D.J 16.若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t 的函数，若已知产量的变化率为3-讯，那么从3小时到6小时期间内的产量为()二、填空题7. ______________________________________________________ 由曲线y 2= 2x , y = x -4所围图形的面积是 __________________________________________________ .［答案］18［解析］ 如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组y = 2x ,得交点坐标为(2 , - 2) , (8,4).y = x -4,21A.2C. 6 + 3 2 ［答案］DD. 6 - 3 2［解=6-3 .2，故应选D.因此所求图形的面积S= '4 ( y+ 4- y)d y』-2 2取F(y) = 2y2+ 4y —£，贝V F(y) = y + 4 —占，从而S= F(4) - F( - 2) = 18. 8. —物体沿直线以速度v= 1 + t m/s运动，该物体运动开始后10s内所经过的路程是32 ■[答案]3(11 2-1)［解析］2 3s=「』+ t d t = 3(1+1) 2|o■ 0=3(寫-1).2 1 2 ,., 、,9.由两条曲线y = x , y = 4X与直线y = 1围成平面区域的面积是4［答案］322 X［解析］解法1：如图，y= 1与y= x交点A(1,1) , y= 1与y=〒交点B(2,1),由对称性可知面积S= 2( '1x2d x+ 2d x- ,21x2d x)=■0 ■ 1 ■0 4 3.解法2:同解法1求得A(1,1) , B(2,1).由对称性知阴影部分的面积1 2 1 2 2 1 2S= 2 •[(x -&x)d x + (1 -4X)d x]■ 0 ■ 11 3 1 1 32 1 5 4=2^[4x 10+(x-存)1 1]= 2x(& +12)= 3.解法3:同解法 1 求得A(1,1) B, (2,1) , Q - 1,1) , D( - 2, 1).r1 2 2 1q2 1q1(1 - 4x )d x- '1 (1 - x)d x = (x -存)|- 2- (x-3x)1 -1 = j -24/-1 123解法4:同解法1求得A(1,1),巳2,1)，取y为积分变量，2 3 4 由对称性知，S= 2 1(2 y - y)d y = 2 1 y d y = 2x( ^y^l1) = 3.■ 0 ■ 0三、解答题10•计算曲线y= x2- 2x + 3与直线y= x + 3所围图形的面积.4-3=4-3［解析］由X J 3，解得x= 0及x= 3.y= x2- 2x + 3,从而所求图形的面积S=，3［( x+ 3) —(x2-2x+ 3)］d x= ,3( —x2+ 3x)d x=■ 0 ■ 0一、选择题一a 1 一一一11. (xx •海南文昌中学高二期中)若’(2x + x)d x= 3+ ln2且a>1，则实数a的值是J1 x( )A. 2B. 3C. 5D. 6［答案］A1［解析］'a(2x+ x)d x = (x2+ In x)| a= a2+ In a—(1 + ln1) = 3 + ln2 , a>1,—x2 2••• a + ln a= 4+ ln2 = 2 + ln2，解得a= 2，故选A.12•利用定积分的几何意义，可求得'39 - x2d x =( )［答案］B［解析］由定积分的几何意义知，，3 9 - x2d x表示圆x2+ y2= 9位于x轴上方部分（即八3半圆）的面积,『寸9-x2d x= 1X n X32=号・一313. （xx •葫芦岛市一模）如图，在边长为e（e为自然对数的底1、填空题15. 已知函数y = f (x )的图象在点M (1 ,f (1))处的切线方程为y = *x + 2,则f (1) + f ' (1)［答案］ 3［解析］1•••切点M 在切线y = *+ 2 上,••• f(1) = |x 1+ 2= 5,数)的正方形区域的A 处与C 处各有一个通信基站，其信号覆盖范围分别为如图所示的阴影若在该正方形区域内随机选择一个地点，则该地点无信号的概率为 ( ) 22 A.孑 B ・ 1— g 21 1 c.- eD. 1 —- e［答案］B［解析］由题意得：S 阴=2 "(e — e )d x = 2(e x — e*)|= 2,由几何概型得所求概率P = 114.如图所示，在边长为概率为 __________________ .1的正方形OAB (中任取一点P,则点P 恰好取自阴影部分的 (1)［答案］6［解析］本题考查了定积分的计算与几何概型•联立X = 1d，二 Q0,0) , 01,1),y =1x = 0解得*，或者y = 02 3S 阴影=1( x — x )d x =(云 x 2 j 312 0= 31 6,Sw 影P= S 正方形 1 1 6.区域，该正方形区域内无其它信号来源且这两个基站工作正常, 2孑.又切线斜率k = 2，二f•-f ⑴ + f ，⑴=5 + 2= 3.三、解答题16.设f (x )是二次函数，其图象过点(0,1)，且在点(一2,f ( — 2))处的切线方程为 2x + y + 3 = 0.(1) 求f (x )的表达式；(2) 求f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积；(3) 若直线x =— t (0< t <1)把f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求 t 的值.［解析］(1)设 f (x ) = ax 5 6 + bx + c , •••其图象过点(0,1) ,••• c = 1,又•••在点(—2, f ( — 2))处的切线方程为2x + y + 3 = 0,at —2 2+ M —2 +1 = 1,••• f '(x ) = 2ax + b ,「. 1q|2a]—2 + b = — 2.• a = 1, b = 2，故 f (x ) = x + 2x + 1.(2) 依题意，f (x )的图象与两坐标轴所围成的图形如图中阴影部分 所示， 1 1故所求面积 S = ，0 (x 2 + 2x + 1)d x = (z x 7 + x 2 + x )| — 1 = 3.■ 3 3■ — 1(3) 依题意，有 1 1 12322S = ' ( x + 2x + 1)d x = (§X + x + x )| -1 =-,■/ —117. 如图，设点P 在曲线y = x 2上，从原点向A (2,4)移动，记直线OP 与曲线y = x 2所围 成图形的面积为 S ，直线OR 直线x = 2与曲线y = x 2所围成图形的面积为 S.5 3 2 1即 313-宀1 = 6，723• 21 — 61 + 61 — 1= 0, • 2(1 — 1) =— 1 ,f —2 = 1，f —2 =— 2.1⑵当S + S2取最小值时，求点P的坐标及此最小值.［解析］⑴设点P的横坐标为t(0<t<2)，则点P的坐标为(t , t2)，直线OP的方程为y= tx .t 2 1 3S= f (tx -x )d x= 6t ,■ o6(1)当S = S2时，求点S2= 2(x2- tx)d x= 3 - 2t + 6t3,-t1 38 1 3 4因为s=S2,所以 = 3—2t + &t，解得t =-,一 4 16故点P的坐标为(3, 9)-⑵令S= S+ S,， 23 8 1 3 1 3 8 …由(1)知，S= 6t3+3—2t + 6t3=g3—2t + 3,贝u s'= t2—2,令s'= 0,得t2—2=0,因为o<t <2，所以t = 2,又当0<t<,2 时，S' <0;当2<t <2 时，S' >0；故当t = Q2时，S + S2有最小值，最小值为3—^^，此时点P的坐标为({2, 2).。
高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：1.7 定积分的简单应用1.7.1 Word版含答案.docx
1.7 定积分的简单应用 1.7.1 定积分在几何中的应用[学习目标]1．会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．2．在解决问题的过程中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分的几何意义的理解． [知识链接]1．怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．2．当f (x )<0时，f (x )与x 轴所围图形的面积怎样表示？ 答如图，因为曲边梯形上边界函数为g (x )＝0，下边界函数为f (x )，所以S ＝⎠⎛a b (0－f (x ))d x ＝－⎠⎛abf (x )d x . [预习导引]曲边梯形面积的表达式(1)当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积S ＝⎠⎛ab f (x )d x .(2)当x ∈[a ，b ]时，若f (x )<0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠ b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积S ＝－⎠⎛ab f (x )d x .(3)(如图)当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>g (x )>0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的平面图形的面积S ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .要点一 不分割型图形面积的求解例1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S ，根据图形可得S ＝⎠⎛2－3[(－x ＋2)－(x 2－4)]d x ＝⎠⎛2－3(－x 2－x ＋6)d x＝⎝⎛⎭⎫－13x 3－12x 2＋6x ⎪⎪⎪2－3＝223－⎝⎛⎭⎫－272＝1256. 规律方法 不分割型图形面积的求解步骤： (1)准确求出曲线的交点横坐标；(2)在坐标系中画出由曲线围成的平面区域； (3)根据图形写出能表示平面区域面积的定积分； (4)计算得所求面积．跟踪演练1 求由曲线y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 所围成的图形的面积． 解由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x ， 得x 1＝0，x 2＝2.由图可知，所求图形的面积为S ＝⎠⎛02[(2x －x 2)－(2x 2－4x )]d x＝⎠⎛02(－3x 2＋6x )d x＝(－x 3＋3x 2)⎪⎪⎪2＝4.要点二 分割型图形面积的求解例2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解 法一 画出草图，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x ，及 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ，得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)． 所以S ＝⎠⎛01⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫－13x d x ＋⎠⎛13⎣⎡⎦⎤(2－x )－⎝⎛⎭⎫－13x d x ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－23x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2⎪⎪⎪31 ＝56＋6－13×9－2＋13＝136. 法二 若选积分变量为y ，则三个函数分别为 x ＝y 2，x ＝2－y ，x ＝－3y .因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)． 所以S ＝⎠⎛0－1[(2－y )－(－3y )]d y ＋⎠⎛10[(2－y )－y 2]d y＝⎠⎛0－1(2＋2y )d y ＋⎠⎛10(2－y －y 2)d y＝(2y ＋y 2)⎪⎪⎪－1＋⎝⎛⎭⎫2y －12y 2－13y 3⎪⎪⎪10 ＝－(－2＋1)＋2－12－13＝136.规律方法 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间段内位于上方或下方的函数有所变化时，可通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化区间段，然后根据图象对各个区间段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x 运算较为复杂，可以选y 为积分变量，同时更改积分的上下限． 跟踪演练2 计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 3所围成图形的面积S . 解作出曲线y 2＝x ，y ＝x 3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x 3， 得交点横坐标为x ＝0及x ＝1. 因此，所求图形的面积为 S ＝⎠⎛01x d x －⎠⎛01x 3d x ＝23x 32⎪⎪⎪10－14x 4⎪⎪⎪1＝23－14＝512. 要点三 定积分的综合应用例3 设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2. (1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积． 解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b . 又f ′(x )＝2x ＋2，所以a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又方程f (x )＝0有两个相等实根， 即x 2＋2x ＋c ＝0有两个相等实根，所以Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1.故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)画函数y ＝f (x )的图象如图． 由图象知所求面积为 S ＝⎠⎛0－1(x 2＋2x ＋1)d x＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2＋x ⎪⎪⎪－1 ＝13.规律方法 由定积分求平面区域面积的方法求不规则图形的面积是一种基本的运算技能．在这种题型中往往与导数、函数的最值、不等式等相关知识进行融合．跟踪演练3 在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成图形的面积为112，试求切点A 的坐标及过切点A 的切线方程．解 设切点A (x 0，x 20)， 切线斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0. ∴切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)． 令y ＝0，得x ＝x 02，∴S ＝∫x 020x 2d x ＋∫x 0x 02[x 2－(2x 0x －x 20)]d x ＝112x 30.∴112x 30＝112，x 0＝1. ∴切点为(1,1)，切线方程为y ＝2x －1.1．在下面所给图形的面积S 及相应表达式中，正确的有( )S ＝⎠⎛ba [f (x )－g (x )]d x S ＝⎠⎛08(22x －2x ＋8)d x① ②S ＝⎠⎛14f (x )d x －⎠⎛47f (x )d x S ＝⎠⎛0a [g (x )－f (x )]d x ＋⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x ③ ④A ．①③B ．②③C ．①④D ．③④答案 D解析 ①应是S ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x ，②应是S ＝⎠⎛0822x d x －⎠⎛48(2x －8)d x ，③和④正确．故选D.2．曲线y ＝cos x (0≤x ≤32π)与坐标轴所围图形的面积是( )A ．2B ．3C ．52D ．4答案 B解析 S ＝∫π20cos x d x －∫3π2π2cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪π20－sin x 3π2π2＝sin π2－sin0－sin 3π2＋sin π2＝1－0＋1＋1＝3.3．由曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 所围成的平面图形的面积为________． 答案 43解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，y ＝x 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0， ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4. ∴曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 交点为(2,4)，(0,0)． ∴S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 2－13x 320＝⎝⎛⎭⎫4－83－0＝43. 4．由曲线y ＝x 2＋4与直线y ＝5x ，x ＝0，x ＝4所围成平面图形的面积是________． 答案193解析由图形可得S ＝⎠⎛01(x 2＋4－5x )d x ＋⎠⎛14(5x －x 2－4)d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3＋4x －52x 210＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫52x 2－13x 3－4x 41＝13＋4－52＋52×42－13×43－4×4－52＋13＋4＝193.对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时 (1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标． (2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的.一、基础达标 1．用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( ) A.⎠⎛ac f (x )d xB.⎪⎪⎪⎪⎠⎛a cf (x )d xC ．⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛bc f (x )d xD.⎠⎛b c f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x答案 D解析 ∵x ∈[a ，b ]时，f (x )<0，x ∈[b ，c ]时，f (x )>0， ∴阴影部分的面积S ＝⎠⎛b c f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x .2．若y ＝f (x )与y ＝g (x )是[a ，b ]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面区域的面积为( ) A.⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d xB ．⎠⎛ab [g (x )－f (x )]d xC ．⎠⎛ab|f (x )－g (x )|d xD ．⎪⎪⎪⎪⎠⎛a b[f (x )－g (x )]d x答案 C解析 当f (x )＞g (x )时，所求面积为⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x ；当f (x )≤g (x )时，所求面积为⎠⎛ab [g (x )－f (x )]d x .综上，所求面积为⎠⎛ab |f (x )－g (x )|d x .3．由曲线y ＝x 2－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( )A.⎠⎛02(x 2－1)d xB.⎪⎪⎪⎪⎠⎛02(x 2－1)d x C ．⎠⎛02|x 2－1|d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x答案 C解析 y ＝|x 2－1|将x 轴下方阴影反折到x 轴上方，其定积分为正，故应选C.4．(2013·北京卷)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( ) A.43 B ．2 C ．83D ．1623答案 C解析 抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为(0,1)，因为直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，所以直线l 的方程为y ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x 2＝4y ，可得交点的横坐标分别为－2,2.所以直线l 与抛物线围成的封闭图形面积为 ⎠⎛2－2⎝⎛⎭⎫1－x 24d x ＝⎝⎛⎪⎪⎭⎫x －112x 32－2＝83.故选C. 5．由曲线y ＝x 与y ＝x 3所围成的图形的面积可用定积分表示为________． 答案 ⎠⎛01(x －x 3)d x解析 画出y ＝x 和y ＝x 3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，解方程组⎩⎨⎧y ＝xy ＝x3得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(x －x 3)d x . 6．由两条曲线y ＝x 2，y ＝14x 2与直线y ＝1围成平面区域的面积是________．答案 43解析 如图，y ＝1与y ＝x 2交点A (1,1)， y ＝1与y ＝x 24交点B (2,1)，由对称性可知面积S ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12d x －⎠⎛0214x 2d x ＝43.7．求曲线y ＝6－x 和y ＝8x ，x ＝0围成图形的面积． 解作出直线y ＝6－x ，曲线y ＝8x 的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎨⎧y ＝6－xy ＝8x 得直线y ＝6－x 与曲线y ＝8x 交点的坐标为(2,4)，直线y ＝6－x 与x 轴的交点坐标为(6,0)．因此，所求图形的面积 S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛028x d x ＋⎠⎛26(6－x )d x ＝8×23x 32 ⎪⎪2⎪⎪＋(6x －12x 2)62＝ 163＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫6×6－12×62－⎝⎛⎭⎫6×2－12×22＝ 163＋8＝403. 二、能力提升8．(2013·江西改编)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34 B ．45C ．56D ．不存在答案 C 解析数形结合，如图，⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ＝ ⎪⎪13x 310＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x －12x 221＝13＋⎝⎛⎭⎫4－2－2＋12＝56. 9．若两曲线y ＝x 2与y ＝cx 3(c >0)围成图形的面积是23，则c 等于( )A.13B ．12C ．1D ．23 答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝cx 3得x ＝0或x ＝1c . ∵0<x <1c时，x 2>cx 3， ∴S ＝∫1c0(x 2－cx 3)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－14cx 41c 0＝13c 3－14c 3＝112c 3＝23. ∴c 3＝18.∴c ＝12. 10．从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．答案 13解析 根据题意得：S 阴＝⎠⎛013x 2d x ＝ x 3错误!＝1，则点M 取自阴影部分的概率为S 阴S 矩＝13×1＝13. 11．求抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积． 解 由y ′＝－2x ＋4得在点A 、B 处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y ＝2x －2和y ＝－2x ＋6，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，y ＝－2x ＋6，得两直线交点坐标为C (2,2)， ∴S ＝S △ABC －⎠⎛13f (－x 2＋4x －3)d x ＝12×2×2－⎪⎪⎝⎛⎭⎫－13x 3＋2x 2－3x 31＝2－43＝23. 12．设点P 在曲线y ＝x 2上，从原点向A (2,4)移动，如果直线OP ，曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1、S 2.(1)当S 1＝S 2时，求点P 的坐标；(2)当S 1＋S 2有最小值时，求点P 的坐标和最小值．解 (1)设点P 的横坐标为t (0<t <2)，则P 点的坐标为(t ，t 2)，直线OP 的方程为y ＝tx .S 1＝⎠⎛0t (tx －x 2)d x ＝16t 3， S 2＝⎠⎛12(x 2－tx )d x ＝83－2t ＋16t 3. 因为S 1＝S 2，所以t ＝43，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，169. (2)S ＝S 1＋S 2＝16t 3＋83－2t ＋16t 3＝13t 3－2t ＋83， S ′＝t 2－2，令S ′＝0得t 2－2＝0.∵0<t <2，∴t ＝2，因为0<t <2时，S ′<0；2<t <2时，S ′>0.所以，当t ＝2时，S 1＋S 2有最小值83－423，此时点P 的坐标为(2，2)． 三、探究与创新13．已知抛物线y ＝x 2－2x 及直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a 的值． 解 作出y ＝x 2－2x 的图象如图．(1)当a <0时，S ＝⎠⎛a 0(x 2－2x )d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 20a ＝－a 33＋a 2＝43， ∴(a ＋1)(a －2)2＝0.∵a <0，∴a ＝－1.(2)当a >0时，①若0<a ≤2，则S ＝－⎠⎛0a (x 2－2x )d x ＝－⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 2a 0 ＝a 2－13a 3＝43， ∴a 3－3a 2＋4＝0，∴(a ＋1)(a －2)2＝0. ∵a >0，∴a ＝2.②当a >2时，不合题意． 综上a ＝－1，或a ＝2.。
人教A版选修2-2 1.7 定积分的简单应用.docx
选修2-2 1.7 定积分的简单应用一、选择题1．如图所示，阴影部分的面积为( )A.⎠⎛ab f (x )d xB.⎠⎛ab g (x )d xC.⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d xD.⎠⎛ab [g (x )－f (x )]d x[答案] C[解析] 由题图易知，当x ∈[a ，b ]时，f (x )>g (x )，所以阴影部分的面积为⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .2．如图所示，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．2－ 3 C.323D.353[答案] C[解析] S ＝⎠⎛1－3(3－x 2－2x )d x即F (x )＝3x －13x 3－x 2，则F (1)＝3－1－13＝53，F (－3)＝－9－9＋9＝－9.∴S ＝F (1)－F (－3)＝53＋9＝323.故应选C.3．由曲线y ＝x 2－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( ) A.⎠⎛02(x 2－1)d xB ．|⎠⎛02(x 2－1)d x |C.⎠⎛02|x 2－1|d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x[答案] C[解析] y ＝|x 2－1|将x 轴下方阴影反折到x 轴上方，其定积分为正，故应选C. 4．设f (x )在[a ，b ]上连续，则曲线f (x )与直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0围成图形的面积为( ) A.⎠⎛ab f (x )d xB ．|⎠⎛ab f (x )d x |C.⎠⎛ab |f (x )|d xD ．以上都不对[答案] C[解析] 当f (x )在[a ，b ]上满足f (x )<0时，⎠⎛ab f (x )d x <0，排除A ；当阴影有在x 轴上方也有在x 轴下方时，⎠⎛ab f (x )d x 是两面积之差，排除B ；无论什么情况C 对，故应选C.5．曲线y ＝1－1681x 2与x 轴所围图形的面积是( )A ．4B ．3C ．2D.52[答案] B[解析] 曲线与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫－94，0，⎝⎛⎭⎫94，0故应选B.6．一物体以速度v ＝(3t 2＋2t )m/s 做直线运动，则它在t＝0s 到t ＝3s 时间段内的位移是( )A ．31mB ．36mC ．38mD ．40m[答案] B[解析] S ＝⎠⎛03(3t 2＋2t )d t ＝(t 3＋t 2)| 30＝33＋32＝36(m)，故应选B.7．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112B.14 C.13D.712[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝x3得交点为(0,0)，(1,1)． ∴S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 410＝112. 8．一物体在力F (x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝1运动到x ＝3处(单位：m)，则力F (x )所做的功为( )A ．8JB ．10JC ．12JD ．14J[答案] D[解析] 由变力做功公式有：W ＝⎠⎛13(4x －1)d x ＝(2x 2－x )| 31＝14(J)，故应选D.9．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t 的函数，若已知产量的变化率为a ＝36t，那么从3小时到6小时期间内的产量为( )A.12B ．3－32 2C ．6＋3 2D ．6－3 2[答案] D[解析] ⎠⎛3636tdt ＝66t | 63＝6－32，故应选D.10．过原点的直线l 与抛物线y ＝x 2－2ax (a >0)所围成的图形面积为92a 3，则直线l 的方程为( )A ．y ＝±axB ．y ＝axC ．y ＝－axD ．y ＝－5ax[答案] B[解析] 设直线l 的方程为y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx y ＝x 2－2ax 得交点坐标为(0,0)，(2a ＋k,2ak ＋k 2) 图形面积S ＝∫2a ＋k 0[kx －(x 2－2ax )]d x ＝⎝⎛⎭⎫k ＋2a 2x 2－x 33| 2a ＋k＝(k ＋2a )32－(2a ＋k )33＝(2a ＋k )36＝92a 3∴k ＝a ，∴l 的方程为y ＝ax ，故应选B. 二、填空题11．由曲线y 2＝2x ，y ＝x －4所围图形的面积是________． [答案] 18[解析] 如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x y ＝x －4得交点坐标为(2，－2)，(8,4)． 因此所求图形的面积S ＝⎠⎛4－2(y ＋4－y22)d y取F (y )＝12y 2＋4y －y 36，则F ′(y )＝y ＋4－y22，从而S ＝F (4)－F (－2)＝18.12．一物体沿直线以v ＝1＋t m/s 的速度运动，该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________．13．由两条曲线y ＝x 2，y ＝14x 2与直线y ＝1围成平面区域的面积是________．[答案] 43[解析] 如图，y ＝1与y ＝x 2交点A (1,1)，y ＝1与y ＝x 24交点B (2,1)，由对称性可知面积S ＝2(⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12d x －⎠⎛0214x 2d x )＝43.14．一变速运动物体的运动速度v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t (0≤t ≤1)a t(1≤t ≤2)b t (2≤t ≤e )则该物体在0≤t ≤e 时间段内运动的路程为(速度单位：m/s ，时间单位：s)______________________．[答案] 9－8ln2＋2ln2[解析] ∵0≤t ≤1时，v (t )＝2t ，∴v (1)＝2； 又1≤t ≤2时，v (t )＝a t ， ∴v (1)＝a ＝2，v (2)＝a 2＝22＝4； 又2≤t ≤e 时，v (t )＝bt ，∴v (2)＝b2＝4，∴b ＝8.∴路程为S ＝⎠⎛012t d t ＋⎠⎛122t d t ＋⎠⎛2e 8td t ＝9－8ln2＋2ln2 .三、解答题15．计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3y ＝x 2－2x ＋3解得x ＝0及x ＝3.从而所求图形的面积S ＝⎠⎛03(x ＋3)d x －⎠⎛03(x 2－2x ＋3)d x＝⎠⎛03[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋32x 2| 30＝92. 16．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2. (1)求y ＝f (x )的表达式；(2)若直线x ＝－t (0＜t ＜1)把y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．[解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ， 又已知f ′(x )＝2x ＋2，∴a ＝1，b ＝2， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋c .又方程f (x )＝0有两个相等实根． ∴判别式Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1. 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)依题意有⎠⎛－1－t (x 2＋2x ＋1)d x ＝⎠⎛0－t (x 2＋2x ＋1)d x ，∴⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2＋x | －t －1＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2＋x | 0－t 即－13t 3＋t 2－t ＋13＝13t 3－t 2＋t .∴2t 3－6t 2＋6t －1＝0， ∴2(t －1)3＝－1，∴t ＝1－132 .17．A 、B 两站相距7.2km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段速度为1.2t (m/s)，到C 点的速度达24m/s ，从C 点到B 站前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t )m/s ，在B 点恰好停车，试求：(1)A 、C 间的距离； (2)B 、D 间的距离；(3)电车从A 站到B 站所需的时间． [解析] (1)设A 到C 经过t 1s ， 由1.2t ＝24得t 1＝20(s)，所以AC ＝∫2001.2t d t ＝0.6t 2| 200＝240(m)．(2)设从D →B 经过t 2s ，由24－1.2t 2＝0得t 2＝20(s)， 所以DB ＝∫200(24－1.2t )d t ＝240(m)． (3)CD ＝7200－2×240＝6720(m)． 从C 到D 的时间为t 3＝672024＝280(s)．于是所求时间为20＋280＋20＝320(s)．18．在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112，试求：(1)切点A 的坐标； (2)过切点A 的切线方程．[解析] 如图所示，设切点A (x 0，y 0)，由y ′＝2x ，过A 点的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20.令y ＝0得x ＝x 02，即C ⎝⎛⎭⎫x 02，0. 设由曲线和过A 点的切线及x 轴所围成图形的面积为S ， S ＝S曲边△AOB －S △ABC . S 曲边△AOB ＝∫x 00x 2d x ＝13x 30，S △ABC ＝12|BC |·|AB |＝12⎝⎛⎭⎫x 0－x 02·x 20＝14x 30， 即S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112. 所以x 0＝1，从而切点A (1,1)，切线方程为y ＝2x －1.。
高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：1.7 定积分的简单应用1.7.2 Word版含答案
1.7.2 定积分在物理中的应用[学习目标]1．能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题．2．通过定积分在物理中的应用，学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值． [知识链接]下列判断正确的是________．(1)路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念； (2)利用定积分求变速直线运动的路程和位移是同一个式子⎠⎛t 1t 2v (t )d t ；(3)利用定积分求变速直线运动的路程和位移不是同一个式子⎠⎛t 1t 2v (t )d t .答案 (1)(3)解析 (1)显然正确．对于(2)，(3)两个判断，由于当v (t )≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用⎠⎛t 1t 2v (t )d t 求解；当v (t )<0时，求某一时间段内的位移用⎠⎛t 1t 2v (t )d t 求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为 －⎠⎛t 1t 2v (t )d t .所以(2)错(3)正确． [预习导引]1．在变速直线运动中求路程、位移路程是位移的绝对值之和，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b 所经过的路程s 和位移s ′分别为： (1)若v (t )≥0，则s ＝⎠⎛a b v (t )d t ，s ′＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)若v (t )≤0，则s ＝－⎠⎛a b v (t )d t ，s ′＝⎠⎛ab v (t )d t .(3)若在区间[a ，c ]上，v (t )≥0，在区间[c ，b ]上v (t )<0， 则s ＝⎠⎛a c v (t )d t －⎠⎛c b v (t )d t ；s ′＝⎠⎛ab v (t )d t .2．定积分在物理中的应用(1)做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)一物体在恒力F (单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s (单位：m)，则力F 所作的功为W ＝Fs ；而若是变力所做的功W ，等于其力函数F (x )在位移区间[a ，b ]上的定积分，即W ＝⎠⎛ab F (x )d x .要点一 求变速直线运动的路程、位移例1 有一动点P 沿x 轴运动，在时间t 时的速度为v (t )＝8t －2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．求(1)P 从原点出发，当t ＝6时，求点P 离开原点的路程和位移； (2)P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值．解 (1)由v (t )＝8t －2t 2≥0得0≤t ≤4，即当0≤t ≤4时，P 点向x 轴正方向运动，当t >4时，P 点向x 轴负方向运动． 故t ＝6时，点P 离开原点的路程 s 1＝⎠⎛04(8t －2t 2)d t －⎠⎛46(8t －2t 2)d t＝⎝⎛⎭⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪40－⎝⎛⎭⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪64＝1283. 当t ＝6时，点P 的位移为⎠⎛06(8t －2t 2)d t ＝⎝⎛⎭⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪60＝0. (2)依题意⎠⎛0t (8t －2t 2)d t ＝0，即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况， t ＝6是所求的值．规律方法 (1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．跟踪演练1 变速直线运动的物体的速度为v (t )＝1－t 2，初始位置为x 0＝1，求它在前2秒内所走的路程及2秒末所在的位置．解 当0≤t ≤1时，v (t )≥0，当1≤t ≤2时，v (t )<0.所以前2秒钟内所走的路程 s ＝⎠⎛01v (t )d t ＋⎠⎛12[－v (t )]d t＝⎠⎛01(1－t 2)d t ＋⎠⎛12(t 2－1)d t＝⎝⎛⎭⎫t －13t 3⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫13t 3－t ⎪⎪⎪21＝2. 2秒末所在的位置x 1＝x 0＋⎠⎛02v (t )d t ＝1＋⎠⎛02(1－t 2)d t＝1＋⎝⎛⎭⎫t －t 33⎪⎪⎪20 ＝1＋2－83＝13.它在前2秒内所走的路程为2， 2秒末所在的位置为x 1＝13.要点二 求变力所作的功例2 在底面积为S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞(面积为S )从点a 处推到b 处，计算在移动过程中，气体压力所做的功． 解 由物理学知识易得，压强p 与体积V 的乘积是常数k ，即pV ＝k . ∵V ＝xS (x 指活塞与底的距离)，∴p ＝k V ＝k xS .∴作用在活塞上的力F ＝p ·S ＝k xS ·S ＝kx .∴所做的功W ＝⎠⎛a b kx d x ＝k ·ln x ⎪⎪ba ＝k ln ba . 规律方法 解决变力作功注意以下两个方面：(1)首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步． (2)根据变力作功的公式将其转化为求定积分的问题．跟踪演练2 设有一长为25 cm 的弹簧，若加以100 N 的力，则弹簧伸长到30 cm ，求使弹簧伸长到40 cm 所做的功．解 设以x 表示弹簧伸长的厘米数，F (x )表示加在弹簧上的力，则F (x )＝kx . 依题意，使弹簧伸长5 cm ，需力100 N ，即100＝5k ，所以k ＝20，于是F (x )＝20x . 所以弹簧伸长到40 cm 所做的功即计算由x ＝0到x ＝15所做的功：W ＝∫15020x d x ＝10x2⎪⎪⎪15＝2 250(N·cm)．1．从空中自由下落的物体，在第一秒时刻恰经过电视塔顶，在第二秒时刻物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( ) A.52g B ．72gC ．32gD ．2g答案 C解析 h ＝⎠⎛12gt d t ＝12gt 2⎪⎪21＝32g .2．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v (t )＝27－0.9t ，则列车刹车后前进多少米才能停车 ( )A ．405B ．540C ．810D ．945答案 A解析 停车时v (t )＝0，由27－0.9t ＝0，得t ＝30，∴s ＝∫300v (t )d t ＝∫300(27－0.9t )d t ＝(27t －0.45t 2)⎪⎪30＝405.3．(2013·湖北)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2答案 C解析 由v (t )＝7－3t ＋251＋t ＝0，解得t ＝4(t ＝－83舍去)，所以所求的路程为⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫7t －32t 2＋25 ln (1＋t )40＝4＋25ln 5，选C.4．一个弹簧压缩x cm 可产生4x N 的力，把它从自然长度压缩到比自然长度短5 cm ，求弹簧克服弹力所做的功．解 设F (x )＝kx ，因为弹簧压缩x cm 可产生4x N 的力，∴k ＝4. ∴弹簧克服弹力所做的功为W ＝4⎠⎛05x d x ＝4×⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 250＝50(N·cm)＝0.5(J)．1．已知变速运动方程，求在某段时间内物体运动的位移或者经过的路程，就是求速度方程的定积分．解这类问题需注意三点：(1)分清运动过程中的变化情况；(2)如果速度方程是分段函数，那么要用分段的定积分表示；(3)明确是求位移还是求路程，求位移可以正负抵消，求路程不能正负抵消．2．利用定积分求变力做功问题，关键是求出变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间．求变力做功时，要注意单位，F (x )单位：N ，x 单位：m.一、基础达标1．一物体沿直线以v ＝2t ＋1 (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)的速度运动，则该物体在1～2 s 间行进的路程为( ) A ．1 m B ．2 m C ．3 m D ．4 m答案 D解析 s ＝⎪⎪⎠⎛12(2t ＋1)d t ＝(t 2＋t )21＝4(m)．2．一物体从A 处向B 处运动，速度为1.4t m/s(t 为运动的时间)，到B 处时的速度为35 m/s ，则AB 间的距离为( ) A ．120 m B ．437.5 m C ．360 m D ．480 m答案 B解析 从A 处到B 处所用时间为25 s ．所以|AB |＝ |∫2501.4t d t ＝0.7t 2250＝437.5 (m)．3．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t s 时速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( ) A.1603 m B ．803 mC ．403 mD ．203m答案 A解析 v ＝0时物体达到最高， 此时40－10t 2＝0，则t ＝2 s. 又∵v 0＝40 m/s ，∴t 0＝0 s.∴h ＝⎠⎛02(40－10t 2)d t ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫40t －103t 320＝1603(m)．4．如果1 N 的力使弹簧伸长1 cm ，在弹性限度内，为了将弹簧拉长10 cm ，拉力所做的功为( ) A ．0.5 J B ．1 J C ．50 J D ．100 J答案 A解析 由于弹簧所受的拉力F (x )与伸长量x 成正比，依题意，得F (x )＝x ，为了将弹簧拉长10 cm ，拉力所做的功为W ＝∫100F (x )d x ＝∫100x d x ＝⎪⎪12x 2100＝50 (N·cm)＝0.5 (J)． 5．汽车以每小时32 km 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度a ＝－1.8 m/s 2刹车，则从开始刹车到停车，汽车所走的路程约为________． 答案 21.95 m解析 t ＝0时，v 0＝32 km/h ＝32×1 0003 600m/s ＝809 m/s.刹车后减速行驶，v (t )＝v 0＋at ＝809－1.8t .停止时，v (t )＝0，则809－1.8t ＝0，得t ＝40081 s ，所以汽车所走的距离s ＝∫400810v (t )d t ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫809t －12t 2×1.8400810≈21.95(m)．6．有一横截面的面积为4 cm 2的水管控制往外流水，打开水管后t 秒末的流速为v (t )＝6t －t 2(单位：cm/s)(0≤t ≤6)．则t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量为________． 答案 144 cm 3解析 由题意可得t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量V ＝⎠⎛064(6t －t 2)d t ＝4⎪⎪⎪⎠⎛06(6t －t 2)d t ＝4⎝⎛⎭⎫3t 2－13t 360＝144 (cm 3)．故t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量为144 cm 3. 7．一物体做变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，求该物体在12s ～6 s 间的运动路程．解 由题意，得 v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t (0≤t ≤1)，2(1≤t ≤3)，13t ＋1(3≤t ≤6)，由变速直线运动的路程公式，可得：s ＝错误!v (t )d t ＝错误!2t d t ＋错误!2d t ＋错误!错误!d t ＝t 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪112＋2t 31＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫16t 2＋t 63＝494(m)．所以该物体在12s ～6 s 间的运动路程是494 m.二、能力提升8．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10(0≤x ≤2)3x ＋4(x >2)(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为( ) A ．44 J B ．46 J C ．48 J D ．50 J答案 B解析 W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝10x ⎪⎪⎪⎪20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x 42＝46(J)．9．做直线运动的质点在任意位置x 处，所受的力F (x )＝1＋e x ，则质点沿着与F (x )相同的方向，从点x 1＝0处运动到点x 2＝1处，力F (x )所做的功是( ) A ．1＋e B ．e C ．1eD ．e －1答案 B解析 W ＝⎠⎛01F (x )d x ＝⎪⎪⎠⎛01(1＋e x )d x ＝(x ＋e x)10＝(1＋e)－1＝e. 10．如图所示，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m 处，则克服弹簧力所做的功为________．答案 12kl 2(J)解析 在弹性限度内，拉伸(压缩)弹簧所需的力与弹簧拉伸(压缩)的长度成正比，即F (x )＝kx ，其中k 为比例系数．由变力做功公式得W ＝⎪⎪⎪⎠⎛0l kx d x ＝12kx 2l 0＝12kl 2(J)． 11．一物体按规律x ＝bt 3作直线运动，其中x 为时间t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x ＝0运动到x ＝a 时，阻力所做的功．解 物体的速度v ＝x ′(t )＝(bt 3)′＝3bt 2，媒质的阻力F 阻＝k v 2＝k ·(3bt 2)2＝9kb 2t 4(其中k 为比例常数，k >0)．当x ＝0时，t ＝0；当x ＝a 时，t ＝⎝⎛⎭⎫a b 13. 所以阻力所做的功为W 阻＝⎠⎛0a F 阻d x ＝∫⎝⎛⎭⎫ab 130k v 2·v d t ＝∫⎝⎛⎭⎫a b 1309kb 2t 4·3bt 2d t ＝∫⎝⎛⎭⎫a b 13027kb 3t 6d t ＝⎪⎪277kb 3t 7⎝⎛⎭⎫a b 130＝277kb 23·a 73. 12．物体A 以速度v A ＝3t 2＋1(米/秒)在一直线上运动，同时物体B 也以速度v B ＝10t (米/秒)在同一直线上与物体A 同方向运动，问多长时间物体A 比B 多运动5米，此时，物体A ，B 运动的距离各是多少？解 依题意知物体A ，B 均作变速直线运动，所以可借助变速直线运动的路程公式求解．设a 秒后物体A 比B 多运动5米，则A 从开始到a 秒末所走的路程为 s A ＝⎠⎛0a v A d t ＝⎠⎛0a (3t 2＋1)d t ＝a 3＋a ；B 从开始到a 秒末所走的路程为s B ＝⎠⎛0a v B d t ＝⎠⎛0a 10t d t ＝5a 2.由题意得s A ＝s B ＋5，即a 3＋a ＝5a 2＋5，得a ＝5. 此时s A ＝53＋5＝130(米)，s B ＝5×52＝125(米)．故5秒后物体A 比B 多运动5米，此时，物体A ，B 运动的距离分别是130米和125米． 三、探究与创新13．A 、B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t m/s ，到C 点的速度为24 m/s ，从C 点到B 站前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t ) m/s ，在B 站恰好停车，试求： (1)A ，C 间的距离； (2)B ，D 间的距离．解 (1)设A 到C 的时间为t 1 s ，则 1.2 t 1＝24，解得t 1＝20，则AC ＝∫2001.2t d t ＝0.6t 2⎪⎪200＝240(m )，即A ，C 间的距离为240 m.(2)设D 到B 的时间为t 2 s ，则24－1.2t 2＝0， 解得t 2＝20，则BD ＝∫200(24－1.2t )d t ＝(24t －0.6t 2)⎪⎪20＝240(m)．即B 、D 间的距离为240 m ．。
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高中数学 1.7定积分的简单应用练习 新人教A 版选修2-2"∴S ＝F (1)－F (－3)＝53＋9＝323.故应选C.2．由曲线y ＝x 2－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( )A.⎠⎛02(x 2－1)d xB ．|⎠⎛02(x 2－1)d x |C.⎠⎛02|x 2－1|d x D.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x[答案] C[解析] y ＝|x 2－1|将x 轴下方阴影反折到x 轴上方，其定积分为正，故应选C. 3．(2013·大庆实验中学高二期中)曲线y ＝x 3－3x 和y ＝x 围成的图形面积为( ) A ．4 B ．8 C ．10 D ．9[答案] B[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 3－3x ，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0.或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2.∵两函数y ＝x 3－3x 与y ＝x 均为奇函数， ∴S ＝2⎠⎛02[x －(x 3－3x )]d x ＝2·⎠⎛02(4x －x 3)d x＝2(2x 2－14x 4)|20＝8，故选B.4．一物体以速度v ＝(3t 2＋2t )m/s 做直线运动，则它在t ＝0s 到t ＝3s 时间段内的位移是( )A ．31mB ．36mC ．38mD ．40m[答案] B[解析] S ＝⎠⎛03(3t 2＋2t )d t ＝(t 3＋t 2)| 30＝33＋32＝36(m)，故应选B.5．一物体在力F (x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝1运动到x ＝3处(单位：m)，则力F (x )所做的功为( )A ．8JB ．10JC ．12JD ．14J[答案] D[解析] 由变力做功公式有：W ＝⎠⎛13(4x －1)d x ＝(2x 2－x )| 31＝14(J)，故应选D.6．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t 的函数，若已知产量的变化率为a ＝36t，那么从3小时到6小时期间内的产量为( ) A.12 B ．3－32 2C ．6＋3 2D ．6－3 2[答案] D [解析] ⎠⎛3636tdt ＝6t | 63＝6－32，故应选D.二、填空题7．由曲线y 2＝2x ，y ＝x －4所围图形的面积是________． [答案] 18[解析] 如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝x －4，得交点坐标为(2，－2)，(8,4)．因此所求图形的面积S ＝⎠⎛4－2(y ＋4－y 22)d y取F (y )＝12y 2＋4y －y 36，则F ′(y )＝y ＋4－y22，从而S ＝F (4)－F (－2)＝18.8．一物体沿直线以速度v ＝1＋t m/s 运动，该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________．[答案] 23(1132－1)[解析] S ＝∫101＋t d t ＝23(1＋t )32| 100＝23(1132－1)．9．由两条曲线y ＝x 2，y ＝14x 2与直线y ＝1围成平面区域的面积是________．[答案] 43[解析] 解法1：如图，y ＝1与y ＝x 2交点A (1,1)，y ＝1与y ＝x 24交点B (2,1)，由对称性可知面积S ＝2(⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12d x －⎠⎛0214x 2d x )＝43.解法2：同解法1求得A (1,1)，B (2,1)． 由对称性知阴影部分的面积S ＝2·[⎠⎛01(x 2－14x 2)d x ＋⎠⎛12(1－14x 2)d x ]＝2·[14x 3|10＋(x －112x 3)|21]＝2×(14＋512)＝43.解法3：同解法1求得A (1,1)B ，(2,1)，C (－1,1)，D (－2，1)． S ＝⎠⎛－22(1－14x 2)d x －⎠⎛1－1(1－x 2)d x ＝(x －112x 3)|2－2－(x －13x 3)|1－1＝83－43＝43. 解法4: 同解法1求得A (1,1)，B (2,1)，取y 为积分变量， 由对称性知，S ＝2⎠⎛01(2y －y )d y＝2⎠⎛01y d y ＝2×(23y 32|10)＝43.三、解答题10．计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3，解得x ＝0及x ＝3.从而所求图形的面积S ＝⎠⎛03[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋32x 2| 30＝92.一、选择题1．如图所示，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．2－ 3 C.323D ．353[答案] C[解析] S ＝⎠⎛－31(3－x 2－2x )d x即F (x )＝3x －13x 3－x 2，则F (1)＝3－1－13＝53，F (－3)＝－9－9＋9＝－9.能力拓展提升一、选择题 11．∫ln20e xd x 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．e 2－1 D ．e 2[答案] B[解析] ∫ln20e xd x ＝e x |ln20＝e ln2－e 0＝2－1＝1.12．(2013·北师大附中高二期中)利用定积分的几何意义，可求得⎠⎛－339－x 2d x ＝( )A ．9πB ．92π C.94π D ．32π [答案] B[解析] 由定积分的几何意义知，⎠⎛－339－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝9位于x 轴上方部分(即半圆)的面积，∴⎠⎛－339－x 2d x ＝12×π×32＝9π2.13．(2013·辽宁实验中学高二期中)直线y ＝2x ＋3与抛物线y ＝x 2所围成的图形面积是( )A ．20B ．283C.323D ．433[答案] C[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝9.∴S ＝⎠⎛－13(2x ＋3－x 2)d x＝(x 2＋3x －13x 3)|3－1＝323.故选C.14．(2012·福建理，6)如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )A.14 B ．15 C.16 D ．17[答案] C[解析] 本题考查了定积分的计算与几何概型．联立⎩⎨⎧y ＝xy ＝x解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0，或者⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1，∴O (0,0)，B (1,1)，∴S 阴影＝⎠⎛01(x －x )d x ＝(23x 32－x 22)|10＝23－12＝16，∴P ＝S 阴影S 正方形＝161＝16.二、填空题15．(2014·福建理，14)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．[答案]2e2 [解析] ∵S 阴＝2⎠⎛01(e －e x)d x ＝2(e x －e x)|10＝2，S 正方形＝e 2，∴P ＝2e2.三、解答题16．(2013·广东省中山一中月考)设f (x )是二次函数，其图象过点(0,1)，且在点(－2，f (－2))处的切线方程为2x ＋y ＋3＝0.(1)求f (x )的表达式；(2)求f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积；(3)若直线x ＝－t (0<t <1)把f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．[解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ， ∵其图象过点(0,1)，∴c ＝1，又∵在点(－2，f (－2))处的切线方程为2x ＋y ＋3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f －2＝1，f ′－2＝－2.∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ·－22＋b ·－2＋1＝1，2a ·－2＋b ＝－2.∴a ＝1，b ＝2，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)依题意，f (x )的图象与两坐标轴所围成的图形如图中阴影部分所示， 故所求面积S ＝⎠⎛0－1(x 2＋2x ＋1)d x ＝(13x 3＋x 2＋x )|0－1＝13.(3)依题意，有12S ＝⎠⎛0－t (x 2＋2x ＋1)d x ＝(13x 3＋x 2＋x )|0－t ＝16， 即13t 3－t 2＋t ＝16， ∴2t 3－6t 2＋6t －1＝0，∴2(t －1)3＝－1，∴t ＝1－132.17．(2013·重庆八中月考)如图，设点P 在曲线y ＝x 2上，从原点向A(2,4)移动，记直线O P 与曲线y ＝x 2所围成图形的面积为S 1，直线O P 、直线x ＝2与曲线y ＝x 2所围成图形的面积为S 2.(1)当S 1＝S 2时，求点P 的坐标；(2)当S 1＋S 2取最小值时，求点P 的坐标及此最小值．[解析] (1)设点P 的横坐标为t (0<t <2)，则点P 的坐标为(t ，t 2)，直线O P 的方程为y ＝tx .S 1＝⎠⎛01(tx －x 2)d x ＝16t 3，S 2＝⎠⎛t2(x 2－tx )d x ＝83－2t ＋16t 3，因为S 1＝S 2，所以16t 3＝83－2t ＋16t 3，解得t ＝43，故点P 的坐标为(43，169)．(2)令S ＝S 1＋S 2，由(1)知，S ＝16t 3＋83－2t ＋16t 3＝13t 3－2t ＋83，则S ′＝t 2－2，令S ′＝0，得t 2－2＝0，因为0<t <2，所以t ＝2，又当0<t <2时，S ′<0；当2<t <2时，S ′>0；故当t ＝2时，S 1＋S 2有最小值，最小值为83－423，此时点P 的坐标为(2，2)．。