三角形的中位线与多边形(讲义及答案)
三角形与多边形的概念及性质-2024年中考数学考点(全国通用)(解析版)
【中考高分指南】数学（选择+填空）【备战2024年中考·数学考点总复习】（全国通用）三角形与多边形的有关概念及性质一、三角形有关概念及性质1．三角形的分类（1）三角形按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.（2）三角形按边分类：①一般三角形：三边都不等的三角形；②等腰三角形：两边相等的三角形；③等边三角形：三边都相等的三角形2．三角形的边的关系（1）三角形任意两边之和大于第三边.（2）三角形任意两边之差小于第三边3．三角形的角的关系（1）三角形三个内角的和等于180°；特别地，当有一个内角是90° 时，其余的两个内角互余.（2）三角形的外角和等于360°.（3）三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，三角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角4．三角形的中线（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线.（2）一个三角形有三条中线，都在三角形的内部，三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心.（3）三角形的一条中线把原三角形分成面积相等的两部分5．三角形的高（1）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高.（2）一个三角形有三条高，可能在三角形内部，也可能在三角形上，还可能在三角形的外部6．三角形的角平分线（1）在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 它区别于一个角的平分线在于它是线段，而一个角的平分线是射线.（2）三角形的内心：三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心.这个点也是这个三角形内切圆的圆心.三角形的内心到三角形三条边的距离相等7．三角形的中位线（1）连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线.（2）一个三角形有3条中位线，都在三角形的内部.（3）三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半二、多边形1．多边形的内角和、外角和n边形的内角和为(n-2)·180°，外角和为360°.2．正多边形：在平面内，各内角都相等，各边也都相等的多边形叫做正多边形.3．多边形的对角线：在多边形中，连接互不相邻的两个顶点的线段.【考点1】三角形的相关概念与计算【例1】（2024·山东模拟）一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】A.三条线段没有首尾顺次相接，不合题意B.三条线段没有首尾顺次相接，不合题意C.三条线段没有首尾顺次相接，不合题意D.不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接，是三角形，符合题意【例2】（2024·山东模拟）下列图形中具备稳定性的是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】解：A、图形不具备稳定性，不符合题意；B、图形具备稳定性，符合题意；C、图形不具备稳定性，不符合题意；D、图形不具备稳定性，不符合题意；故选：B．根据三角形具有稳定性解答即可．本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．【例3】（2023·湖南）下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )A. 1，3，4B. 2，2，7C. 4，5，7D. 3，3，6【答案】C【解析】解：∵1+3=4，∴1，3，4不能组成三角形，故A选项不符合题意；∵2+2<7，∴2，2，7不能组成三角形，故B不符合题意；∵4+5>7，∴4，5，7能组成三角形，故C符合题意；∵3+3=6，∴3，3，6不能组成三角形，故D不符合题意，故选：C．根据三角形的三边关系分别判断即可．本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．【例4】（2023·天津）如图，在△ABC中，AB=AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于BP+EP最小值的是( )A. BCB. CEC. ADD. AC【答案】B【分析】连接PC，由已知可得AD垂直平分BC，所以PB=PC，从而BP+EP=PC+PE，显然E，P，C三点共线时取得最小值．【解析】解：如图，连接PC，∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∴PB=PC，∴PB+PE=PC+PE，∵PE+PC≥CE，∴当P、C、E三点共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE，故选B．【例5】（2024·四川模拟）如图，△ABC≌△ADE，∠BAC=40°，∠E=115°，则∠B的度数是( )A. 40°B. 30°C. 45°D. 25°【答案】D【分析】【分析】由全等三角形的性质可得∠C=∠E=115°，再利用三角形的内角和定理即可求解．【解析】解：∵△ABC≌△ADE，∠E=115°，∴∠C=∠E=115°，∵∠BAC=40°，∴∠B=180°−∠C−∠BAC=25°．故选：D．【点评】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等．三角形三边关系“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的应用（1）在实际应用中，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形.（2）在实际应用中，已知两边，则第三边的取值范围为：两边之差<第三边<两边之和.（3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形.1.（2023·湖南）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是( )A. 1cm，2cm，3cmB. 3cm，8cm，5cmC. 4cm，5cm，10cmD. 4cm，5cm，6cm【答案】D【解析】解：A、∵1+2=3，∴长度为1cm，2cm，3cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；B、∵3+5=8，∴长度为3cm，8cm，5cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；C、∵4+5<10，∴长度为4cm，5cm，10cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；D、∵4+5>6，∴长度为4cm，5cm，6cm的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；故选：D．根据两边之和大于第三边判断即可．本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．2.（2024·全国模拟）已知a，b为等腰三角形的两边长，且a，b满足√ 2a−3b+5+(2a+3b−13)2=0，则此等腰三角形的周长为( )A. 8B. 6或8C. 7D. 7或8【答案】D【解析】解：∵√ 2a−3b+5+(2a+3b−13)2=0，∴{2a−3b+5=02a+3b−13=0，解得：{a=2b=3，当b 为底时，三角形的三边长为2，2，3，周长为7；当a 为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8，∴等腰三角形的周长为7或8，故选：D ．首先根据√ 2a −3b +5+(2a +3b −13)2=0，并根据非负数的性质列方程求得a 、b 的值，然后求得等腰三角形的周长即可．本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，二元一次方程方程组，关键是根据2，3分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．3.（2024·河北模拟）设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为( )A. 15B. 20C. 25D. 20或25【答案】C【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为5和10，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．【解析】解：分两种情况：当腰为5时，5+5=10，所以不能构成三角形;当腰为10时，5+10>10，所以能构成三角形，周长是：10+10+5=25．故选C ．【考点2】三角形的角平分线、中线、高【例1】（2023·四川）如图，在△ABC 中，∠CAD =90°，AD =3，AC =4，BD =DE =EC ，点F 是AB 边的中点，则DF =( )A. 54B. 52C. 2D. 1【答案】A【解析】解：∵∠CAD =90°，AD =3，AC =4，∴DC =√ AD 2+AC 2=√ 32+42=5，∵DE =EC ，DE +EC =DC =5，∴DE =EC =AE =52，∵BD =DE ，点F 是AB 边的中点，∴DF =12AE =54．故选：A ．先在直角△CAD中利用勾股定理求出DC=5，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AE=52，最后利用三角形的中位线定理求出DF=12AE=54．本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的中位线定理，准确识图并且熟记相关定理与性质是解题的关键．【例2】（2024·陕西模拟）如图，AD是△ABC的中线，AB=5，AC=4.若△ACD的周长为10，则△ABD的周长为( )A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】D【分析】本题考查了三角形的中线，解题关键是求出AD+DC的长.根据三角形的中线的定义可得BD=CD，先求得AD+DC=6，然后求出△ABD的周长为AB+AD+DC，进而即可得到答案．【解析】解：△ACD的周长=AD+DC+AC=AD+DC+4=10，∴AD+DC=6，∵AD是ΔABC的中线，∴BD=DC，∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=5+6=11．故选：D．【例3】（2024·河南模拟）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则( )A. 线段CD是△ABC的AC边上的高线B. 线段CD是△ABC的AB边上的高线C. 线段AD是△ABC的BC边上的高线D. 线段AD是△ABC的AC边上的高线【答案】B【分析】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的概念判断即可．【解析】解：A.线段CD 是△ABC 的AB 边上的高线，故本选项说法错误，不符合题意；B .线段CD 是△ABC 的AB 边上的高线，本选项说法正确，符合题意；C .线段AD 不是△ABC 的边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；D .线段AD 不是△ABC 的边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；故选B ．【例4】（2024·全国模拟）如图，AD ，CE 分别是△ABC 的中线和角平分线，若AB =AC ，∠CAD =20∘，则∠ACE 的度数是( )A. 20∘B. 35∘C. 40∘D. 70∘【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB =70°是解题的关键．先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB =2∠CAD =40°，∠B =∠ACB =12(180°−∠CAB)=70°.再利用角平分线定义即可得出∠ACE =12∠ACB =35°．【解析】解：∵AD 是△ABC 的中线，AB =AC ，∠CAD =20°，∴∠CAB =2∠CAD =40°，∠B =∠ACB =12(180°−∠CAB)=70°．∵CE 是△ABC 的角平分线，∴∠ACE =12∠ACB =35°．故选B ．三角形中的重要线段∠CAD ∠BAC EC=½BC∠AFC=90°1.（2024·河南模拟）若线段AM，AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线，则( )A. AM>ANB. AM≥C. AM<AND. AM≤AN 【答案】D【分析】此题考查垂线段问题，关键是根据垂线段最短解答．【解析】解：因为线段AM，AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线，所以AM≤AN，故选：D．2.（2024·河北模拟）如图，将△ABC折叠，使点C落在BC边上C′处，展开后得到折痕l，则l是△ABC的( )A. 高B. 中线C. 中位线D. 角平分线【答案】A【解析】解：∵将△ABC折叠，使点C落在BC边上C′处，展开后得到折痕l，∴l⊥BC，即l是△ABC的高，故选：A．根据折叠性质可知，l⊥BC，由三角形高的定义即可得到答案．本题考查折叠性质及三角形高的定义，熟记相关性质及定义是解决问题的关键．3.（2024·广东模拟）如图，△ABC中，CD是AB边上的中线，AC=9cm，BC=3cm，那么△ACD和△BCD的周长的差是( )A. 3cmB. 6cmC. 12cmD. 无法确定【答案】B【解析】解：∵CD是AB边上的中线，∴AD=DB，∴△ACD的周长−△BCD的周长=(AC+CD+AD)−(BC+CD+BD)=AC−BC=9−3=6(cm)，故选：B．根据三角形的中线的概念得到AD=DB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．4.（2024·福建模拟）如图所示，AD，AE分别为△ABC的高线和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，则∠DAE 的度数为( )A. 20°B. 18°C. 38°D. 40°【答案】A【分析】此题主要考查了高线以及角平分线的定义，得出∠BAE的度数是解题关键．根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出∠BAD=14°，∠BAE=34°，进而得出∠DAE的度数，进而得出答案．【解析】解：∵AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=68°，∠BAD=90°−76°=14°，∴∠BAE=12∠BAC=12×68°=34°，∴∠DAE=34°−14°=20°．故选A．【考点3】三角形的内心、外心【例1】（2024·河南模拟）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕AD，再将△ABC折叠，使BC边落在AB边上，展开后得到折痕BE，若AD与BE的交点为O，则点O是( )A. △ABC的外心B. △ABC的内心C. △ABC的重心D. △ABC的中心【答案】B【解析】解：由题意得：∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE，∴O为角平分线的交点，则点O是△ABC的内心．故选：B．根据折叠的性质可知点O为角平分线的交点，可得结论．本题考查了翻折变换以及角平分线的性质，解题的关键是根据翻折变换的性质得出O为角平分线的交点．【例2】（2024·全国模拟）如图，在△ABC中，点D和E分别是边AB和AC的中点，连接DE，DC与BE交于点O，若△DOE的面积为1，则△ABC的面积为( )A. 6B. 9C. 12D. 13.5【答案】C【解析】解：∵点D和E分别是边AB和AC的中点，∴O点为△ABC的重心，∴OB=2OE，∴S△BOD=2S△DOE=2×1=2，∴S△BDE=3，∵AD=BD，∴S△ABE=2S△BDE=6，∵AE=CE，∴S△ABC=2S△ABE=2×6=12．故选C．利用O点为△ABC的重心得到OB=2OE，利用三角形面积公式得到S△BOD=2S△DOE=2，再利用AD=BD得到S△ABE=2S△BDE=6，然后利用AE=CE得到S△ABC=2S△ABE=12．本题考查了三角形的重心的性质的运用，三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．由△的三线组成的几个“心”：△三边中线交点—→重心—→性质：△的重心到一中线中点的距离=重心到这条中线定点距离的一半；△三条角平分线交点—→内心—→性质：△的内心到△三边的距离（垂线段）相等；△三边中垂线交点—→外心—→性质：△的外心到△三个顶点的距离（连接）相等；1.（2024·河北模拟）如图，在4×4的正方形格纸中，△ABC的顶点均在格点上，BC边与网格线交于点D，AC边过格点E，连接AD，BE相交于点O，则点O为△ABC的( )A. 重心B. 外心C. 内心D. 以上结果均不对【答案】A【解析】解：由图可知，点D、E是BC、AC的中点，∴AD、BE是△ABC的中线，∴点O是△ABC的重心，故选：A．根据三角形三条中线的交点是三角形的重心进行判断即可．本题考查了三角形的重心，熟练掌握三角形重心的定义是解题的关键．2.（2024·山东模拟）已知：如图1，在△ABC中，AB=AC.小明的作法如图2所示，则他作出的两条线的交点O是△ABC的( )A. 中心B. 内心C. 外心D. 重心【答案】C【解析】解：按如图作图痕迹可知，AD为∠BAC的角平分线，∵AB=AC，∴AD也是BC边的中线、高线，即BC边的垂直平分线，∵另一痕迹是AB边的垂直平分线，∴点O为边的垂直平分线的交点，∴点O为外心，故选：C．根据等腰三角形的“三线合一”定理可得，AD是垂直平分线，由另一痕迹是AB边的垂直平分线得点O为外心．本题考查了外心的判断，由痕迹判断尺规作图是解题关键．3.（2024·安徽模拟）下列说法中正确的是( )①等边三角形三条高的交点就是它的重心；②三角形的重心到一边的距离等于这边上中线长的三分之一；③三角形的重心到一边中点的距离等于这边上中线长的三分之一；④三角形的重心到一边的距离等于这边上高的三分之一A. ①③④B. ②③④C. ①②③D. ①②③④【答案】A【解析】解：①等边三角形三条高的交点既是它的垂心，也是重心，故正确；③三角形的重心到一边中点的距离等于这边上中线长的三分之一，故正确；如图，O为重心，过点O和点A分别作BC的垂线，垂足为E，F，则OE//AF，则△ODE∽△ADF，∴ODAD =OEAF=13，即三角形的重心到一边的距离等于这边上高的三分之一，故②错误，④正确；故选：A．根据三角形重心的性质分别判断，利用相似三角形的判定和性质判断相应推论．本题考查了三角形的重心，掌握相似三角形的判定和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．【考点4】三角形的中位线定理【例1】（2023·云南）如图，A，B两点被池塘隔开，A，B，C三点不共线．设AC，BC的中点分别为M，N.若MN=3米，则AB=( )A. 4米B. 6米C. 8米D. 10米【答案】B【解析】解：∵点M，N分别是AC和BC的中点，∴AB=2MN=6(m)，故选：B．根据三角形中位线定理计算即可．本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．【例2】（2023·四川）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE.若AC=6，BD=8，则OE=( )A. 2B. 52C. 3D. 4【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OC=12AC，OB=12BD，AC⊥BD，∵AC=6，BD=8，∴OC=3，OB=4，∴CB=√ OB2+OC2=5，∵E为边BC的中点，∴OE=12BC=52．故选：B．由菱形的性质得到OC=12AC=3，OB=12BD=4，AC⊥BD，由勾股定理求出BC的长，由直角三角形斜边中线的性质，即可求出OE的长．本题考查菱形的性质，直角三角形斜边的中线，勾股定理，关键是由菱形的性质求出OC，OB的长，由勾股定理求出BC的长，由直角三角形斜边的中线的性质即可求出OE的长．【例3】（2023·辽宁）如图，AC，BC为⊙O的两条弦，D、G分别为AC，BC的中点，⊙O的半径为2.若∠C=45°，则DG的长为( )A. 2B. √ 3C. 32D. √ 2【答案】D【解析】解：如图，连接AO、BO、AB，∵∠C=45°，∴∠AOB=2∠C=90°，∵⊙O的半径为2，∴AO=BO=2，∴AB=2√ 2，∵点D、E分别是AC、BC的中点，∴DE=12AB=√ 2．故选：D．先根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB=90°，则可判断△OAB为等腰直角三角形，然后根据勾股定理可得AB=2√ 2，再根据三角形的中位线定理可得DE=√ 2．此题主要考查了三角形的中位线定理，以及勾股定理，圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半1.（2023·四川）如图，在Rt△ABC中，AB=6cm，BC=8cm，D、E分别为AC、BC中点，连接AE、BD相交于点F，点G在CD上，且DG：GC=1：2，则四边形DFEG的面积为( )A. 2cm2B. 4cm2C. 6cm2D. 8cm2【答案】B【解析】解：连接DE，如图：∵D、E分别为AC、BC中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12AB=3cm，DE//AB，∴△DEF∽△BAF，∴S△DEF S△ABF =(DEAB)2=14，EFAF=DEAB=12，∴S△BEF S△ABF =EFAF=12，∴S△ABF=23S△ABE=23×12AB⋅BE=23×12×6×12×8=8(cm2)，∴S△DEF=14S△ABF=2(cm2)，∵S△DEC=12DE⋅CE=12×3×4=6(cm2)，DG：GC=1：2，∴S△DEG=13S△DEC=2(cm2)，∴S四边形DFGE=S△DEF+S△DEG=4(cm2)，∴四边形DFEG 的面积为4cm 2， 故选：B ．连接DE ，由D 、E 分别为AC 、BC 中点，可得DE =12AB =3cm ，DE//AB ，即得△DEF ∽△BAF ，故S△DEF S △ABF=(DE AB)2=14，EF AF=DE AB=12，可得S △ABF =23S △ABE =23×12AB ⋅BE =8(cm 2)，故S △DEF =14S △ABF =2(cm 2)，又S △DEC =12DE ⋅CE =6(cm 2)，DG ：GC =1：2，可得S △DEG =13S △DEC =2(cm 2)，从而S 四边形DFGE =S △DEF +S △DEG =4(cm 2)，本题考查相似三角形判定与性质，三角形中位线及应用，解题的关键是掌握相似三角形的性质及应用． 2.（2023·内蒙古）如图，⊙O 是锐角三角形ABC 的外接圆，OD ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC.垂足分别为D ，E ，F ，连接DE ，EF ，FD.若DE +DF =6.5，△ABC 的周长为21，则EF 的长为( ) A. 8 B. 4 C. 3.5 D. 3 【答案】B【解析】解：∵OD ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ， ∴AD =BD ，AF =CF ，BE =CE ， ∴DE ，DF ，EF 是△ABC 的中位线， ∴DE =12AC,DF =12BC,EF =12AB ，∴DE +DF +EF =12(AB +BC +AC)=12×21=10.5， ∵DE +DF =6.5， ∴EF =10.5−6.5=4， 故选：B ．根据垂径定理得到AD =BD ，AF =CF ，BE =CE ，根据三角形的中位线定理得到DE +DF +EF =12(AB +BC +AC)=12×21=10.5，于是得到结论．本题考查了三角形外接圆与外心，三角形中位线定理，垂径定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．【考点5】多边形的内角和与外角和【例1】（2023·湖南）七边形的内角和为( ) A. 540°B. 720°C. 900°D. 1 080°【答案】C【分析】本题考查了多边形的内角和定理．熟记“n边形的内角和为(n−2)·180°”是解题的关键．利用多边形的内角和=(n−2)·180°即可解决问题．【解析】解：根据多边形的内角和可得：(7−2)×180°=900°．故选C．【例2】（2023·甘肃）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1=( )A. 45°B. 60°C. 110°D. 135°【答案】A【解析】解：∵正八边形的外角和为360°，∴每一个外角为360°÷8=45°．故选：A．由多边形的外角和定理直接可求出结论．本题考查了多边形外角和定理，掌握外角和定理是解题的关键．【例3】（2023·北京）若正多边形的一个外角是60∘，则该正多边形的内角和为( )A. 360∘B. 540∘C. 720∘D. 900∘【答案】C【分析】本题主要考查的是多边形的内角和和外角和定理的有关知识，根据多边形的外角和等于360°，先求出这个多边形的边数，然后再利用多边形的内角和公式进行求解即可．【解析】解：由多边形的外角和为360∘可知，这个正多边形的边数为360∘÷60∘=6，由多边形内角和公式可知内角和为180∘×(6−2)=720∘．故选C．（1）多边形的内角和：n边形的内角和等于（n-2）·180°;（2）多边形的外角和：360°.1.（2023·湖北）五边形的外角和为( )A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°【答案】B【分析】此题考查了多边形内角与外角，比较简单，只要识记多边形的外角和是360°即可．多边形外角和都等于360°，则四边形的外角和为360度．【解析】解：∵多边形外角和=360°，∴四边形的外角和为360°．故选：B．2.（2023·广东）如图，直线AB//CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，则∠GHM的大小是．【答案】40°【解析】如图，延长PM、EG K，PM延长线交AB于点L．∵AB//CD，∴∠ALM=∠LND=∠CNP=50°，∴∠MKG=∠BFG+∠ALM=80°．∵∠HMN=30°，∴∠HMK=150°∵∠FGH=90°，∴∠KGH=90°，∴∠GHM=360°−∠HMK−∠MKG−∠KGH=360°−150°−80°−90°=40°．3.（2023·江苏）如图，五边形ABCDE是正五边形，l1//l2，若∠1=20°，则∠2=_____°．【答案】56【分析】本题主要考查了平行线的性质以及多边形的内角与外角，解题的关键是连接AC，利用内错角相等建立等量关系．连接AC，依据平行线的性质，即可得到等式∠2+∠ACB=∠1+∠CAE，据此可得∠2的度数．【解析】解：如图所示，连接AC，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠B=∠BAE=108°，∠ACB=∠CAB=36°，∴∠CAE=108°−36°=72°，∵l1//l2，∴∠2+∠ACB=∠1+∠CAE，即∠2+36°=20°+72°，解得∠2=56°，故答案为56．4.（2023·山东）已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是边形．【答案】五【分析】本题考查了多边形的内角和定理，熟记公式是解题的关键.根据多边形的内角和公式求出边数即可．【解析】解：设多边形的边数是n，则(n−2)·180°=540°，解得n=5，故答案为五．。
三角形的中位线
三角形的中位线三角形是平面几何学中最基本的多边形之一，由三个连在一起的线段组成。
而中位线则是三角形内的一条特殊线段，它连接三角形的两个顶点和中点。
一、中位线的定义和性质中位线是三角形的一条线段，连接三角形的两个顶点和中点。
对于任意三角形ABC，连接顶点A和线段BC的中点D所形成的线段AD 就是这个三角形ABC的中位线。
中位线有一些重要的性质：1. 中位线的另一端也是三角形的中点。
即线段AD的另一端点是线段BC的中点。
2. 三角形的三条中位线交于一点，称为三角形的重心。
即中位线AD、BE和CF的交点G就是三角形ABC的重心。
3. 三角形的重心到顶点的距离是中位线的2/3。
即AG:GD = BG:GE = CG:GF = 2:1。
二、中位线的应用由于中位线有一些特殊的性质，所以它在几何学中有一些重要的应用。
1. 三角形的重心重心是指三角形的三条中位线的交点，常用G表示。
重心具有以下性质：（1）重心到三个顶点的距离相等，即AG = BG = CG。
（2）重心将三角形划分成六个小三角形，且每个小三角形的面积都相等。
（3）重心是三角形内部离每条边距离之和最小的点。
2. 中位线的长度关系对于任意三角形ABC，由中位线的定义可知，线段AD、BE和CF 都是三角形ABC内部的线段，而且它们的终点都是对边的中点。
根据中位线的性质可知，AD = BC/2，BE = AC/2，CF = AB/2。
因此，我们可以得出以下结论：（1）对于等边三角形，由于AB = BC = AC，所以中位线的长度都相等。
（2）对于等腰三角形，由于等腰三角形的腰相等，所以中位线的长度也相等。
（3）对于一般的三角形，中位线的长度存在一定的关系，但各中位线的长度不相等。
三、中位线的构造方法根据中位线的定义，我们可以得知构造中位线的方法：1. 根据已知边长如果已知三角形的三个顶点和边长，可以通过求线段中点的方法来构造中位线。
例如，对于已知边长为a、b、c的三角形ABC，可以先求出BC、AC和AB的中点D、E和F，再连接AD、BE和CF，即可得到中位线。
北师大数学八年级下册第六章-三角形的中位线经典讲义
第02讲_三角形的中位线知识图谱三角形的中位线知识精讲一．三角形的中位线三角形中位线定义 连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线性质DE ∥BC ， 12DE BC =如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，则线段DE 是△ABC 的中位线．求证：DE ∥BC ， 12DE BC =证明过程：延长DE 到F ，使EF = DE ，连接 FC 、DC 、AF 1）证明四边形ADCF 是平行四边形 2）证明四边形BCFD 是平行四边形∴DE// BC 且DE=EF=12BC 2．任意两点的中点坐标公式：平面直角坐标系内的任意两点()11A x y ， ，()22B x y ，，线段AB 的中点C 的坐标为121222x xy y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，．ABCD EABCDEF出现两个中点，无三角形→构造三角形如图，四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H分别为四边中点连接对角线AC 、BD ，则HG 为△ADC的中位线，HG ∥AC 且HG ＝12AC 。
最后可证四边形HEFG 为平行四边形三．易错点（1）注意中线与中位线的区分 （2）中位线的辅助线构造三点剖析一．考点：1．中位线定理．二．重难点： 构造中位线，解决相关的角度线段问题．三．易错点：中线与中位线的区别．中位线定理例题1、 如图，▱ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 是BC 的中点．若OE=3cm ，则AB 的长为（ ）A.3 cmB.6 cmC.9 cmD.12 cm【答案】 B【解析】 解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA=OC ；又∵点E 是BC 的中点， ∴BE=CE ，∴AB=2OE=2×3=6（cm ） 故选：B ．例题2、 如图，在Rt △ABC 中，△A=30°，BC=1，点D ，E 分别是直角边BC ，AC 的中点，则DE 的长为（ ）A.1B.2C.D.1+【答案】 A【解析】 如图，△在Rt △ABC 中，△C=90°，△A=30°， △AB=2BC=2．又△点D 、E 分别是AC 、BC 的中点， △DE 是△ACB 的中位线， △DE=AB=1．例题3、 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝5，BC ＝12，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCEH GFEA BCD中，DE 的最小值是（ ）A.5B.6C.12D.13【答案】 A【解析】 ∵在Rt △ABC 中，∠B ＝90°， ∴BC ⊥AB ．∵四边形ADCE 是平行四边形， ∴OD ＝OE ，OA ＝OC ．∴当OD 取最小值时，DE 线段最短，此时OD ⊥BC ． ∴OD 是△ABC 的中位线，∴12.52OD AB ==，∴ED ＝2OD ＝5．例题4、 已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，点D 、E 分别是AC 、AB 的中点，点F 在BC 的延长线上，且CF=DE ，求证：∠CDF=∠A ．【答案】 见解析【解析】 证明：∵D 、E 分别是AC 、AB 的中点， ∴DE ∥BC ，∵点F 在BC 的延长线上， ∴DE ∥CF ， ∵DE=CF ，∴四边形CEDF 为平行四边形， ∴DF ∥CE ，∴∠CDF=∠ECA ，∵∠ACB=90°，E 为AB 的中点， ∴CE=21AB=AE ， ∴∠A=∠DCE ， ∴∠CDF=∠A ．例题5、 （1）如图1，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接EF 并延长，分别与BA 、CD 的延长线交于点M 、N ，则BME CNE ∠=∠，求证：AB CD =．（提示取BD 的中点H ，连接FH ，HE 作辅助线） （2）如图2，在ABC ∆中，且O 是BC 边的中点，D 是AC 边上一点，E 是AD 的中点，直线OE 交BA 的延长线于点G ，若5AB DC ==，60OEC ∠=︒，求OE 的长度．【答案】 （1）见解析（2）52【解析】 连结BD ，取DB 的中点H ，连结EH 、FH ． E 、F 分别是AD 、BC 的中点，∴EH AB ∥，12EH AB =，FH CD ∥，12FH CD =BME CNE ∠=∠，∴HE HF =， ∴AB CD =；（2）解：连结BD ，取DB 的中点H ，连结EH 、OH ， AB CD =，∴HO HE =，∴HOE HEO ∠=∠，60OEC ∠=︒，∴60HEO AGO ∠=∠=︒， ∴OEH ∆是等边三角形， 5AB DC ==∴52OE =随练1、 一个三角形的周长是36，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是（ ） A.6 B.12 C.18 D.36 【答案】 C【解析】 根据题意，画出图形如图示， 点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，∴DE=12BC ，DF=12AC ，EF=12AB ，∵AB+CB+AC=36，∴DE+DF+FE=36÷2=18． 故选C ．随练2、 如图，△ABC 中，已知AB=8，△C=90°，△A=30°，DE 是中位线，则DE 的长为（ ）A.4B.3C.D.2【答案】 D【解析】 △△C=90°，△A=30°， △BC=AB=4， 又△DE 是中位线， △DE=BC=2．故选D ．随练3、 如图，已知ABC △是锐角三角形，分别以AB 、AC 为边向外侧作两个等边三角形ABM △和CAN △，D 、E 、F 分别MB 、BC 、CN 的中点，连结DE 、FE ，求证：DE EF =.【答案】 证明见解析【解析】 连接MC 、BN ，ABM ∵△和CAN △是等边三角形，60BAM CAN ∠=∠=︒∴，MA BA =，AN AC =， BAM BAC CAN BAC ∠+∠=∠+∠∴， 即MAC BAN ∠=∠， 在MAC △与BAN △中 MA BA MAC BAN AN AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， MAC BAN ∴△≌△， MC NB =∴，D ∵、E 、F 分别是MB 、BC 、CN 的中点，12DE MC =∴，12EF BN =，DE EF =∴.随练4、 如图所示，在△ABC 中，M 是BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN ．若AB=14，AC=19，则MN 的长度为__________．【答案】 2.5【解析】 延长BN 交AC 于D ，∵AN ⊥BN ，AN 平分∠BAC ，∴AN 是BD 的垂直平分线，∵点M 是BC 的中点，∴MN 是△BCD 的中位线，111 2.5222MN CD AC AD AC AB ==-=-=（）（） 随练5、 已知，如图，四边形ABCD 中AD BC =，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，延长AD 、EF 和BC 的延长线分别交于M 、N 两点，求证：AME BNE ∠=∠．ABCMN ABC D EFMNNMFD C BA【选项】【答案】见解析【解析】证明：连接BD，取BD的中点G，连接EG、FGE、F、G分别是AB、CD、BD的中点//FG BC∴，//EG AD且1=2FG BC，1=2EG ADAME FEG∴∠=∠,BNE GFE∠=∠AD BC=FG EG∴=FEG EFG∴∠=∠AME BNE∴∠=∠．拓展1、如图，在△ABC中，从A点向∠ACB的角平分线作垂线，垂足为D，E是AB的中点，已知AC＝4，BC＝6，则DE的长为（）A.1B.43C.32D.2【答案】A【解析】如图，延长AD交BC于F，∵CD是∠ACB的角平分线，CD⊥AD，∴AD＝DF，AC＝CF，（等腰三角形三线合一），又∵E是AB的中点，∴DE是△ABF的中位线，∴12DE BF=，∵AC＝4，BC＝6，∴BF＝BC－CF＝6－4＝2，∴1212DE=⨯=．2、如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC=6，则DF的长是（）A.2B.3C.52D.4【答案】 B【解析】 在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点 ∴DE ∥AB∴∠EDC=∠ABC ∵BF 平分∠ABC ∴∠EDC=2∠FBD在△BDF 中，∠EDC=∠FBD+∠BFD ∴∠DBF=∠DFB∴FD=BD=12BC=12×6=3．3、 如图，已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于点D ，连接CD ，则CD ＝________．【答案】 5【解析】 ∵AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6， ∴BC 2＋AC 2＝AB 2，∴△ABC 是直角三角形， ∵DE 是AC 的垂直平分线，∴AE ＝EC ＝4，DE ∥BC ，且线段DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ＝3， ∴225AD DC AE DE ==+=．4、 如图，点A ，B 为定点，定直线l △AB ，P 是l 上一动点，点M ，N 分别为PA ，PB 的中点，对下列各值： ①线段MN 的长；②△PAB 的周长；③△PMN 的面积；④直线MN ，AB 之间的距离；⑤△APB 的大小． 其中会随点P 的移动而变化的是（ ）A.②③B.②⑤C.①③④D.④⑤【答案】 B【解析】 △点A ，B 为定点，点M ，N 分别为PA ，PB 的中点， △MN 是△PAB 的中位线， △MN=AB ，即线段MN 的长度不变，故①错误； PA 、PB 的长度随点P 的移动而变化，所以，△PAB 的周长会随点P 的移动而变化，故②正确；△MN 的长度不变，点P 到MN 的距离等于l 与AB 的距离的一半， △△PMN 的面积不变，故③错误；直线MN ，AB 之间的距离不随点P 的移动而变化，故④错误； △APB 的大小点P 的移动而变化，故⑤正确． 综上所述，会随点P 的移动而变化的是②⑤． 故选：B5、 如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC 及斜边AB 为边向外作等边△ACD 、等边△ABE ，EF ⊥AB ，垂足为F ，连接DF ，当ACAB=______时，四边形ADFE 是平行四边形．【答案】32【解析】 当ACAB =32时，四边形ADFE 是平行四边形．理由：∵ACAB =32，∴∠CAB=30°，∵△ABE 为等边三角形，EF ⊥AB ，∴EF 为∠BEA 的平分线，∠AEB=60°，AE=AB ， ∴∠FEA=30°，又∠BAC=30°， ∴∠FEA=∠BAC ， 在△ABC 和△EAF 中， ACB EFA BAC AEF AB AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△EAF （AAS ）； ∵∠BAC=30°，∠DAC=60°， ∴∠DAB=90°，即DA ⊥AB ， ∵EF ⊥AB ， ∴AD ∥EF ，∵△ABC ≌△EAF ， ∴EF=AC=AD ，∴四边形ADFE 是平行四边形6、 如图所示，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC <，F ，E 分别是对角线AC ，BD 的中点．求证：()12EF BC AD =-【答案】 见解析【解析】 如图所示，连接AE 并延长，交BC 于点G ． AD BC ∥，∴ADE GBE ∠=∠，EAD EGB ∠=∠，又E 为BD 中点，∴AED GEB ∆∆≌．∴BG AD =，AE EG =． 在AGC ∆中，F ，E 分别是对角线AC ，BD 的中点∴F 、E 是AGC ∆的为中位线，∴EF BC ∥，()()111222EF GC BC BG BC AD ==-=-，即()12EF BC AD =-。
中考数学三角形之中位线和中线常见考题题型教学案(模型辨析+例题讲解+练习题)
中考数学三角形之中位线和中线常见考题题型在中位线的学习，很多同学掌握不到位，遇到题目中有直角三角形斜边上的中点，经常视而不见，从而想不到斜边中线处理线段之间数量关系时的妙用；而有时出现多个中点，想不到再找中点，从而也就看不见隐藏的中位线了，本讲就精选几道例题帮助同学们突破难点．一、想不到的斜边中线例1：如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB ＝6，BC＝8，则EF的长为________．分析：根据DE是中位线，可知DE长是第三边BC长的一半，点D是AB的中点．由∠AFB＝90°，则Rt△ABF中，可知DF作为斜边中线，长度等于斜边AB长的一半，将DE的长减去DF的长，即可得到EF的长．解答：例2：如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．(1)求证：四边形ADEF是平行四边形；(2)求证：∠DHF＝∠DEF．分析：(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，可得DE∥AC，EF∥AB，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)D，F分别作为Rt△ABH，Rt△ACH斜边AB，AC上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得DH＝AD，FH＝AF，∠BAH＝∠AHD，∠CAH＝∠AHF，即∠BAC＝∠DHF，由平行四边形对角相等可得∠DEF＝∠BAC，等量代换即可得证．证明：(1)∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE、EF是△ABC的中位线，∴DE∥AC，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形．(2)∵AH是边BC上的高，D，F分别是AB，CA中点∴Rt△ABH中，DH＝AD，Rt△ACH中，FH＝AF，∴∠BAH＝∠AHD，∠CAH＝∠AHF，∴∠DHF＝∠BAC，∵四边形ADEF是平行四边形，∴∠DEF＝∠BAC，∴∠DHF＝∠DEF．本题也可连接DF，证明△DEF≌△FHD。
三角形中位线、多边形内角和定理
三角形的中位线与多边形的内角和定理【知识梳理】1、三角形中位线连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．注意三角形中位线与三角形中线的区别．2、三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图，D、E分别是△ABC边AB、AC的中点，则，且DE∥BC．3、定理：经过三角形一边中点与另一边平行的直线平分第三边．4、多边形有关概念在一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.这里所指的多边形是指凸多边形．即多边形总在任何一条边所在直线的同一旁．如图（1）是凸多边形，图（2）是凹多边形.组成多边形的各条线段叫做多边形的边，多边形有几条边就叫几边形，每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线，相邻两边组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角．5、正多边形如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那就称它为正多边形.研究多边形的问题经常转化为研究三角形的问题.6、多边形内角和定理n边形的内角和等于(n－2)·180°（n≥3的正整数），可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.7、多边形外角和定理多边形的外角：多边形的角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角．在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°.8、注意：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.二、重难点知识归纳1、三角形中位线定理的证明方法，关键在于添加辅助线．除课本上的证明方法外，还有如下几种方法参考：（1）如图，延长中位线DE到点F，取EF＝DE，连接DC、FC、AF．根据对角线互相平分判定四边形ADCF是平行四边形，得到AD CF．以下步骤同教材．（2）如图，作CF∥AB，与DE的延长线交于点F，通过证明△ADE≌△CFE，得 AD FC，以下步骤同教材．2、三角形中位线定理是三角形的一个重要性质定理．在同一题设下，有两个结论，一个结论是表明位置关系，即平行关系，另一个结论是表明数量关系，即中位线等于第三边的一半，应用时按需选用．3、经过探索式推理得到的定理：经过三角形一边中点与另一边平行的直线平分第三边，可以作为中位线的判定方法．4、利用三角形中位线定理，可判定顺次联结各种不同类型的四边形各边中点所得四边形的形状，它取决于原四边形的两条对角线的位置与长短，一般可归结为：原四边形两条对角线中点四边形互相垂直矩形相等菱形互相垂直且相等正方形既不互相垂直也不相等平行四边形5、由三角形中位线定理可以推得的结论（1）三角形三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长一半．（2)三角形三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形．(3)三角形三条中位线可以从原三角形中划分出面积相等的三个平行四边形．6、多边形内角和定理的几种证法（1）在n边形内任取一点，并把这点与各顶点连结起来，共构成n个三角形，这n个三角形的内角和为n·180°，再减去一个周角，即得到多边形的内角和为(n－2)·180°.（2）过n边形一个顶点连对角线，可以得(n－3)条对角线，并且将n边形分成(n－2)个三角形，这(n－2)个三角形的内角和恰好是多边形的内角和，等于(n－2)·180°.（3）在n边形一边上取一点与各顶点相连，得(n－1)个三角形，n边形内角和等于这(n－1)个三角形内角和减去所取点处的一个平角，即(n－1)·180°－180°=(n－2)·180°.注意：以上各推导方法体现将多边形问题转化为三角形问题来解决的基本思想.7、多边形外角和定理的证明多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n边形内角和加外角和等于n·180°，外角和等于n·180°－(n－2)·180°=360°.8、多边形边数与内角和、外角和的关系（1）内角和与边数成正比，边数增加，内角和增加；边数减少，内角和减少.每增加一条边，内角和就增加180°.（反过来也成立）（2）多边形外角和恒等于360°，与边数的多少无关.9、多边形对角线的条数设n边形为A1A2A3…A n则以A1为端点的对角线有A1A3，A1A4，…，A1A n－1共(n－3)条.同理以A2，A3，…，A n为端点的对角线都有(n－3)条.但每条对角线都重复计数了一次，故n边形对角线的总数为．【典型例题】知识点一：三角形的中位线例1、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：EG、FH互相平分．例2、如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF．（1）求证：DE=CF；（2）求EF的长．例3、如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．（1）求证：四边形EGFH是菱形；（2）若AB=，则当△ABC+△DCB=90°时，求四边形EGFH的面积．知识点二：多边形的内角和与外角和例1、已知两个多边形的内角和的和为1980°，且这两个多边形的边数之比为2︰3，求这两个多边形的边数.例2、一个多边形除了一个内角外，其余各角的和为2750°．则这一内角是（）A．130°B．140°C．150°D．120°1．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（）A．8B．10C．12D．142．如图，点D、E、F分别为△ABC各边中点，下列说法正确的是（）A．DE=DF B．EF=AB C．S△ABD=S△ACD D．AD平分△BAC3.如图，△ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3cm，则AB的长为（）A．12cm B．9cm C．6cm D．3cm4.过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是（）A．8B．9C．10D．115．如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，连接OA，点G、F分别为OC、OB的中点，BC=8，AO=6，则四边形DEFG的周长为（）A．12B．14C．16D．186．如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为10cm，连接各边中点E，F，G，H得四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为（）A．20cm B．20cm C．20cm D．25cm7.若凸n边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是（）A．6B．8C．18D．278.顺次连接四边形各边中点所得的四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．以上都不对9.如图，点A，B为定点，定直线l△AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：△线段MN的长；△△PAB的周长；△△PMN的面积；△直线MN，AB之间的距离；△△APB的大小．其中会随点P的移动而变化的是（）A．△△B．△△C．△△△D．△△10.如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB，点A、D关于点F对称，过点F作FG△CD，交AC 边于点G，连接GE．若AC=18，BC=12，则△CEG的周长为．11.己知正多边形的每个外角都是45°，则从这个正多边形的一个顶点出发，共可以作条对角线．12.已知一个多边形的边数恰好是从一个顶点出发的对角线条数的2倍，则这个多边形的边数是，内角和是．13.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，如果EF=2，那么菱形的周长为．14.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC+BD=24cm，△OAB的周长是18cm，则EF的长为．15.如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点．若EF=5cm，则AB=cm；若BC=9cm，则DE=cm；中线AF与DE的关系．16.已知一个三角形的周长为10cm，则连接各边中点所得的三角形的周长为cm．17.如图，D，E，F分别是△ABC的AB，BC，CA边的中点．若△ABC的周长为18cm，则△DEF的周长为．18.如图，已知直线l1：y=k1x+4与直线l2：y=k2x﹣5交于点A，它们与y轴的交点分别为点B，C，点E，F 分别为线段AB、AC的中点，则线段EF的长度为．19.已知从n边形的一个顶点出发共有4条对角线，其周长为56，且各边长是连续的自然数，求这个多边形的各边长．20.已知，如图，E、F分别是AB、AC的中点，△ACD是△ABC的外角，延长EF交△ACD的平分线于G 点，求证：AG△CG．21.探索与证明如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于点O，M、N分别是BO、CO 的中点，顺次连接E、M、N、D四点．（1）求证：EMND是平行四边形；22.如图，已知△ABC是等边三角形，点D，F分别在线段BC，AB上，连接FC，AD，DE△FC，EF△DC （1）若D，F分别是BC，AB的中点，连接FD，求证：EF=FD；（2）连接AE，若BF=CD，求证：△AED是等边三角形．23.如图1，点P是线段AB的中点，分别以AP和BP为边在线段AB的同侧作等边三角形APC和等边三角形BPD，连接CD，得到四边形ABDC．（1）在图1中顺次连接边AC、AB、BD、CD的中点E、F、G、H，则四边形EFGH的形状是菱形；（2）如图2，若点P是线段AB上任一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，△APC=△BPD，连接CD，得四边形ABDC，则（1）中结论还成立吗？说明理由；（3）如图3，若点P是线段AB外一点，在△APB的外部作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，且△APC=△BPD=90°，请你先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．【巩固练习】1.如果三角形的两边分别为4和6，那么连接该三角形三边中点所得三角形的周长可能是（）A．6B．8C．10D．122.如图，点D、E、F分别是△ABC中AB、BC、AC边上的中点，点M、N、P分别是DE、EF、DF的中点．若△ABC的周长为24，则△PMN的周长为（）A．6B．8C．10D．123.直角三角形斜边上的中线与连结两直角边中点的线段的关系是（）A．相等且平分B．相等且垂直C．垂直平分D．垂直平分且相等4.从一个多边形的任何一个顶点出发都只有5条对角线，则它的边数是（）A．6B．7C．8D．95.一个多边形的外角和与它的内角和的比为1：3，这个多边形的边数是（）A．9B．8C．7D．66.如图，在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=7，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为（）A．9B．10C．11D．127.如图，已知△ABC的周长是1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形…依此类推，则第2015个三角形的周长为（）A．B．C．D．8.如图，已知长方形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC 上从点B向点C移动，而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减少C．线段EF的长不变D．线段EF的长先增大后变小9.如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分△ABC，交DE于点F，若BC=6，则DF的长是（）A．3B．2C．D．410.如图，CD是△ABC的中线，点E、F分别是AC、DC的中点，EF=1，则BD=．11.如图，H是△ABC的边BC的中点，AG平分△BAC，点D是AC上一点，且AG△BD于点G．已知AB=12，BC=15，GH=5，则△ABC的周长为．12.如图，在△ABC中，AB=AC=13，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点．已知B（﹣1，0），C（9，0），则点F的坐标为．13.如图，在△ABC中，△ACB=52°，点D，E分别是AB，AC的中点．若点F在线段DE上，且△AFC=90°，则△FAE的度数为°．14．（1）从四边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将四边形分成个三角形．（2）从五边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将五边形分成个三角形．（3）从六边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将六边形分成个三角形．（4）从n边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将n边形分成个三角形．15．由n边形的一个顶点可以引条对角线，它们将n边形分为不重叠的个三角形，n边形共有条对角线，12边形共有条对角线．16．已知一个多边形的每一个内角都等于150°，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有条，可以将此多边形分成个三角形．17.如图，D是△ABC的BC边的中点，AE平分△BAC，AE△CE于点E，且AB=10，AC=16，则DE的长度为．18.如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，CF=1，DF交CE于点G，且EG=CG，则BC=．19.如图，矩形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，已知AB=6，AF=4，则AC=．20.已知，D是△ABC内一点，BD△CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，求四边形EFGH的周长．21.如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）求证：△DHF=△DEF．22.如图1，已知E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形（提示：可连接AC或BD）；（2）在电脑上用适当的应用程序画出图1，然后用鼠标拖动点D，当点D在原四边形ABCD的内部，在原四边形ABCD的外部时，图1依次变为图2、图3．图2、图3中四边形EFGH还是平行四边形吗？选择其中之一说明理由．。
鲁教版数学八年级上册5.3《三角形的中位线》教学设计2
鲁教版数学八年级上册5.3《三角形的中位线》教学设计2一. 教材分析《三角形的中位线》是鲁教版数学八年级上册第五章第三节的内容。
本节内容是在学生学习了三角形的性质、平行线的性质等基础知识后，进一步研究三角形的性质。
通过学习三角形的中位线，不仅能够丰富学生的几何知识，而且能够培养学生的观察能力、推理能力。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了三角形的性质、平行线的性质等基础知识，具备一定的观察、推理能力。
但是，对于三角形的中位线的概念、性质和应用，学生可能较为陌生，需要通过具体的教学活动，引导学生理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线的性质，能够运用三角形的中位线解决一些几何问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的观察能力、推理能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受到数学的美。
四. 教学重难点1.重点：三角形的中位线的概念、性质。
2.难点：三角形的中位线的性质的证明和应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生观察、思考、推理，从而理解三角形的中位线的性质。
2.利用多媒体辅助教学，展示三角形的中位线的性质，增强学生的直观感受。
3.采用小组合作学习的方式，培养学生的团队合作意识，提高学生的学习效果。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.三角形的中位线的相关教学素材。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些三角形的中位线的图形，让学生观察并思考：这些图形有什么共同的特点？从而引导学生思考三角形的中位线的性质。
2.呈现（10分钟）通过具体的例子，呈现三角形的中位线的性质，引导学生总结出三角形的中位线的性质。
3.操练（10分钟）让学生分组合作，利用三角板、直尺等工具，自己动手操作，验证三角形的中位线的性质。
4.巩固（10分钟）让学生解答一些与三角形的中位线相关的问题，巩固所学知识。
中位线定理相似多边形位似经典例题及练习题
相似三角形（三）◆三角形、梯形中位线1．三角形中位线：连结三角形两边中点的线段。
注意：三角形的中位线有3条。
2．三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
推论：过三角形一边的中点作另一边的平行线，必平分第三边。
3．梯形的中位线是连结梯形两腰中点的线段4．梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 推论：过梯形一腰的中点，作底边的平行线，必平分另一腰。
例1 △ABC 中，D 、E 分别是边BC 、AB 的中点，AD 、CE 相交于G 。
求证： 31==ADGD CEGE小结：在右图，取AC 的中点F ，取BC 的中点D,假设BF 与AD 交于G ′，那么同理有31='='BF F G AD D G ，所以有31='=AD D G AD GD ，即两图中的点G 与G ′是重合的。
于是，我们有以下结论：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的31。
例2中，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，试判断线段GH 与DC 的关系。
例3．如图，在ABC ∆中，D 为BC 边上的中点，E 、F 为AB 的三等分点。
求证：GE BG 3=。
A BDCFE BDC例4．如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=CD ，EF 为中位线，EG=10，GF=4，AB=10。
求梯形的周长和面积。
【练习】：1．如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上且CD=CA ，CF 平分∠ACB ，AE=EB ，求证：EF=12BD ．2．已知：如图，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形．3．已知：△ABC 的中线BD 、CE 交于点O ，F 、G 分别是OB 、OC 的中点． 求证：四边形DEFG 是平行四边形．4．如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，中位线EF 分别与BD 、AC 交于点G 、H ，若AD=6，BC=10，求GH 的长。
三角形的中位线
知识全讲:1定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
(1)三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。
(2)要会区别三角形中线与中位线。
2、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
3、三角形中位线定理的作用:位置关系：可以证明两条直线平行。
数量关系：可以证明线段的倍分关系。
常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有:1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。
3:三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
5:三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
例题精解:1.依次连接任意四边形各边的中点，得到一个特殊图形(可认为是一般四边形的性质)，则这个图形一定是三角形的中位线结论 结论 2:三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论结论 4:三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论 A.平行四边形 B.矩形 D.梯形2.如图，在 11 ABCDK AD=8, 点E 、F 分别是BD CD 的中点，则 EF =▲3.如图，AB// CD E , F 分别为 AC BD 的中点，若 AB=5, C&3,则EF 的长是【A. 4B. 3C. 2D. 15. （ 2013年黑龙江绥化3分）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线AC , BD 相交于点0,7. （2013年广东省4分）如图，将一张直角三角板纸片 ABC 沿中位线DE 剪开后，在平面上将△ BDE 绕着CB 的中点D 逆时针旋转180°点E 到了点E'位置，则四边形ACE E 的形 状是 ▲巩固练习:1.（ 2013年青海西宁3分）如果等边三角形的边长为 C .2•已知三角形三边长分别为a 、b 、c ,它的三条中位线组成一个新的三角形，这个新三角形的三条中位线又组成一个小三角形，这个小三角形的三条中位线又组成一个新小三角 形，则最小的三角形的周长是 （）111 1A. — （a+b+c ）B. — （a+b+c ）C. — （a+b+c ）D. — （a+b+c ）2 6 8 43 .如图， △ABC 中，如果 AB = 30cm, BC = 24cm, AC = 27cm, AE = EF = FB , EG/DF^BC ,点E ，F 分别是边AD ，AB的中点，EF 交AC 于点H ，则Am 的值为【】6.如图，丨ABCD 的对角线 AC , BD 相交于点 0, 点E , F 分别是线段AO , BO 的中点,若AC+BD=24厘米，△ OAB 的周长是18厘米,▲ 厘米.4，那么等边三角形的中位线长为 【】D .则 EF=FM/EN//AC,则图中阴影部分的三个三角形周长之和为（）A.70cmB.75cmC.80cm4.如图，DE是^ ABC的中位线，F是等于（）DED.81mc的中点，BF的延长线交AC于H，则AH :HE6.如图，EF是△ABC的中位线，7 .三角形各边分别是3cm、是.EF= 3」BC=5cm、6cm, 则连结各边中点所围成的三角形的周长8.如图，△KBC中，AD BE是中线且交于那么$△ BDG10•如图所示，在△ ABC中,1EF=—BD.211.如图所示，已知在□ ABCD中, E, F分别是AD, BC的中点，求证：MN/ BC.B 2 : 第3题2 D . 3 :第4题S A ABC第8题9.如图，EF是^ ABC的中位线，BD平分/ ABC交EF于D，若DE = 2，则EB =12.已知：△ ABC 的中线BD 、CE 交于点0, F 、G 分别是0B 、OC 的中点. 求证：四边形 DEFG 是平行四边形.如图， E 为口 ABCD 中DC 边的延长线上的一点，且 CE = DC ,连结AE BC 、BD 于点F 、G ,连结 AC 交BD 于0,连结 OF .求证：AB = 20F .△ ABC 中，D 为AC 的中点，E 、F 为AB 的三等分点，CF 交BD 于G .求证:15.如图， =6，求MN 的长度. △ ABC 中，BM 平分/ABC13.已知：分别交 r>14.如图，BG = GD .16.如图，△ABC的/ABC的平分线BE与BC边的中线AD垂直且相等，已知BE= AD= 4,求△ABC三边之长.17.已知：如图，在□ ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于G.求证：GF = GC .18.已知：如图，在四边形ABCD中，AD = BC, E、F分别是DC、AB边的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于H、G点. 彳求证：/ AHF =/ BGF .多边形的内角和与外角和知识全讲:1多边形及正多边形(1)、多边形：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形(2)、多边形的分类：多边形按组成它的线段的条数分为三边形 (三角形)、四边形、五边形 由n 条线段组成的多边形叫做 n 边形。
6.3三角形的中位线-北师大版八年级数学下册课件(共15张PPT)
目录
content
01 学 习 目 标 02 课 堂 学 习 03 课 堂 小 结 04 当 堂 检 测
学习目标 1 经历探索三角形中位线定理的过程，发展合情推理能力。
2
证明三角形中位线定理，发展演绎推理能力；运用三角形中位线 定理解决简单问题
02
1. 如图1所示，在△ABC中，D、E分别是AB、CA的中点，并且 ∠ADE=70°，∠A=80°，则∠C= 30°. 2. 如图2所示，在△ABC中，D、E、F分别是BC、CA 、AB的中 点，△ABC的周长是18cm，则△DEF的周长是 9 cm.
3．如图3，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，
C．3
D．4
感谢聆听！
∠ABD＝20°，∠BDC＝70°，则∠NMP的度数为 25
.
【例1】如图4，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AB、BC、CD、AD的中点， 试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
归纳与小结：1.在此四边形问题的解决中，依然运用了
思想，将四边形问题
成三角形问题，具体做法为连接
；
2.本例中点四边形EFG点四边形的形状都是
.
【例2】求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分. 已知：如图，△ABC的中，D、E分别是边AB、AC的中点，AF是BC边上的中线 求证： DE与AF互相平分
03
课堂小结
Life isn't about waiting for the storm to pass. it's about learning to dance
三．课堂小结
1.三角形中位线的定义：连接
2020年中考数学第一轮复习专题 第11课 三角形与多边形(含答案)
第11课 三角形与多边形三角形是平面几何的基础知识，考纲要求考查三角形的有关概念，三边之间的关系，三角形的内角和，多边形的内角和、外角和等。
广东省近5年试题规律：三角的内角与外角的性质，三角形的三边关系，三角形的中位线，多以选择、填空题出现，着重考查基础；也常常渗透到折叠、旋转等图形变换综合题中。
知识清单知识点一三角形的概念及其分类三角形⎩⎪⎨⎪⎧概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所得到的图形叫做三角形.分类⎩⎪⎨⎪⎧按角分类⎩⎪⎨⎪⎧锐角三角形直角三角形钝角三角形按边分类⎩⎪⎨⎪⎧不等边三角形等腰三角形⎩⎪⎨⎪⎧底与腰不相等的等腰三角形等边三角形知识点二三角形有关的线段课前小测1．（三角形的稳定性）下列图形具有稳定性的是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形2．（三角形的三边关系）下列长度的三条线段不能组成三角形的是（）A．5，6，11 B．3，4，5 C．2，2，2 D．5，6，10 3．（三角形的内角）在△ABC中，∠A=80°，∠B=50°，则∠C=（）A．60°B．50°C．40°D．30°4．（三角形的外角）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=30°，延长BA到D，则∠CAD的度数为（）A．110°B．70°C．80°D．60°5．（多边形的内角和）一个五边形的内角和为（）A．540°B．450°C．360°D．180°经典回顾考点一内角（和）与外角（和）【例1】（2019•广东）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是．【点拔】此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）•180 （n≥3）．考点二三角形的三边关系【例2】（2014•广东）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A．17 B．15 C．13 D．13或17【点拔】本题要注意进行分类讨论和三角形三边之间关系．考点三三角形的中线【例3】（2015•广东）如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是．【点拔】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，则：△BGF的面积=△BGD的面积=△CGD的面积，△AGF的面积=△AGE的面积=△CGE的面积．对应训练1．（2014•广东）一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是（）A．10 B．9 C．8 D．7 2．（2019•金华）若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．8 3．（2019•营口）如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝32°，则∠C的度数是（）A．64°B．32°C．30°D．40°4．（2019•眉山）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，∠B＝30°，∠ADC ＝70°，则∠C的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°5．（2014•广东）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=6，则DE=．6．（2017•广东）一个n边形的内角和是720°，则n＝．7．（2019•株洲）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，E、F分别为MB、BC的中点，若EF＝1，则AB＝．中考冲刺夯实基础1．（2018•河北）下列图形具有稳定性的是（）A．B．C．D．2．（2019•百色）三角形的内角和等于（）A．90°B．180°C．270°D．360°3．（2019•梧州）正九边形的一个内角的度数是（）A．108°B．120°C．135°D．140°4．（2019•湘西州）已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形5．（2019•徐州）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．2，2，4 B．5，6，12 C．5，7，2 D．6，8，10 6．（2019•福建）已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为（）A．12 B．10 C．8 D．6 7．（2018•南宁）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ECD等于（）A．40°B．45°C．50°D．55°8．（2019•襄阳）如图，直线BC∥AE，CD⊥AB于点D，若∠BCD＝40°，则∠1的度数是（）A．60°B．50°C．40°D．30°9．（2019•河南）如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为（）A．45°B．48°C．50°D．58°10．（2019•广西）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（）A．60°B．65°C．75°D．85°11．（2019•广东模拟）如图，CE⊥AF，垂足为E，CE与BF交于点D，∠F＝50°，∠C＝30°，求∠EDF和∠DBA的度数．12．（2019•湛江期末）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝70°，AD是△ABC 的角平分线，点E在BD上，点F在CA的延长线上，EF∥AD．（1）求∠BAF的度数．（2）求∠F的度数．能力提升13．（2019•莱芜区）如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形的边数是（）A．10 B．11 C．12 D．13 14．（2019•自贡）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（）A．7 B．8 C．9 D．10 15．（2019•鞍山）如图，某人从点A出发，前进8m后向右转60°，再前进8m 后又向右转60°，按照这样的方式一直走下去，当他第一次回到出发点A时，共走了（）A．24m B．32m C．40m D．48m 16．（2019•青岛）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°17．（2019•益阳）若一个多边形的内角和与外角和之和是900°，则该多边形的边数是．18．（2019•鸡西）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3；再以对角线OA3为边作第四个正方形，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，记△AA1A2、△A1A2A3、△A2A3A4的面积分别为S1、S2、S3，如此下去，则S2019＝．第11课三角形与多边形课前小测1．A．2．A．3．B．4．B．5．A．经典回顾考点一内角（和）与外角（和）【例1】8．考点二三角形的三边关系【例2】A．考点三三角形的中线【例3】4．对应训练1．D．2．C．3．B．4．C．5．3．6．6．7．4．中考冲刺夯实基础1．A．2．B．3．D．4．D．5．D．6．B．7．C．8．B．9．B．10．解：C．11．解：∵CE⊥AF，∴∠FED＝90°，∵∠F＝50°，∴∠EDF＝90°﹣∠F＝90°﹣50°＝40°，∴∠CDB＝∠EDF＝40°，∵∠C＝30°，∴∠DBA＝∠C+∠CDB＝30°+40°＝70°，即∠EDF＝40°，∠DBA＝70°．12．解：（1）∵∠BAF＝∠B+∠C，∵∠B＝40°，∠C＝70°，∴∠BAF＝110°；（2）∵∠BAF＝110°，∴∠BAC＝70°，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAC＝1BAC＝35°，2∵EF∥AD，∴∠F＝∠DAC＝35°．能力提升13．C．14．C．15．D．16．C．17．5．18．22017．。
18.1.2三角形的中位线(教案)
还有一个值得注意的问题是，课后我问了几个学生关于今天学习的难点，他们表示在理解中位线性质证明的部分感到困难。这提醒我，可能需要专门安排一节课，用更多的时间来详细讲解和演练这个证明过程，让学生们能够逐步消化这个难点。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）源自1.讨论主题：学生将围绕“三角形中位线在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
我也观察到，在小组讨论环节，学生们对于将三角形中位线应用到实际问题中表现出很大的兴趣。他们提出了很多有创意的想法，这让我感到非常欣慰。但同时，我也发现有些小组在讨论时偏离了主题，这可能是因为我对讨论方向的引导不够明确。在接下来的教学中，我会更加注意引导学生的讨论，确保他们的思考能够围绕核心知识点进行。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了三角形中位线的定义、性质和在实际中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对三角形中位线的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-掌握三角形中位线的性质：重点强调中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
鲁教版数学八年级上册5.3《三角形的中位线》说课稿2
鲁教版数学八年级上册5.3《三角形的中位线》说课稿2一. 教材分析鲁教版数学八年级上册 5.3《三角形的中位线》是本册教材中的一个重要内容。
在此之前，学生已经学习了三角形的性质、角的度量、线段的性质等基础知识。
本节课通过介绍三角形的中位线，使学生掌握三角形中位线的基本性质，进一步理解和掌握三角形的内在联系。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的几何基础，对图形的性质和概念有了一定的认识。
但他们在学习过程中，可能对三角形的中位线与高线、中线等概念混淆，因此在教学过程中，需要引导学生明确这些概念的区别和联系。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能熟练掌握三角形的中位线的定义、性质和应用。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生分析问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新意识和团队合作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：三角形的中位线的定义、性质和应用。
2.教学难点：三角形中位线与高线、中线的区别和联系。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、合作学习法等。
2.教学手段：多媒体课件、几何画板、实物模型等。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习三角形的基本性质，引出三角形的中位线。
2.自主学习：学生通过阅读教材，了解三角形的中位线的定义和性质。
3.合作交流：学生分组讨论，分析三角形中位线与高线、中线的区别和联系。
4.教师讲解：针对学生的讨论结果，进行讲解和总结。
5.练习巩固：学生独立完成课后练习，巩固所学知识。
6.拓展延伸：引导学生思考三角形中位线在实际问题中的应用。
七. 说板书设计板书设计如下：三角形的中位线1.定义：连接一个三角形两个中点的线段。
a)中位线平行于第三边；b)中位线等于第三边的一半；c)中位线将三角形分成两个面积相等的三角形。
d)求三角形的面积；e)证明线段平行或等长。
八. 说教学评价1.课堂参与度：观察学生在课堂上的发言、提问、合作等情况，评价学生的参与度。
中位线(提高)知识讲解
中位线（提高）【学习目标】1.理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．2.掌握三角形重心的概念以及重心的性质.3.理解梯形的中位线的概念，掌握梯形的中位线定理.4.掌握中点四边形的形成规律.5.了解图形的位似，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小.【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、三角形的重心１.概念：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心．要点诠释：垂心：三角形三条高线的交点．内心：三角形三条角平分线的交点．外心：三角形三边垂直平分线的交点．２.性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的13．要点三、梯形的中位线１．概念：连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.２．性质：梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半.要点四、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.要点五、位似1.位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.要点诠释：（1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k.【典型例题】类型一、三角形的中位线1、如图所示，在△ABC 中，M 为BC 的中点，AD 为∠BAC 的平分线，BD ⊥AD 于D ，AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长．【思路点拨】本题中所求线段MD 与已知线段AB 、AC 之间没有什么联系，但由M 为BC 的中点联想到中位线，另有AD 为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN ，D 为BN 的中点，DM 即为中位线，不难求出MD 的长度．【答案与解析】解：延长BD 交AC 于点N ．∵ AD 为∠BAC 的角平分线，且AD ⊥BN ，∴ ∠BAD ＝∠NAD ，∠ADB ＝∠ADN ＝90°，在△ABD 和△AND 中，BAD NAD AD =ADADB ADN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝ ∴ △ABD ≌△AND(ASA)∴ AN ＝AB ＝12，BD ＝DN ．∵ AC ＝18，∴ NC ＝AC －AN ＝18－12＝6，∵ D 、M 分别为BN 、BC 的中点，∴ DM ＝12CN ＝162⨯＝3． 【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形．举一反三：【变式】如图所示，四边形ABCD 中，Q 是CD 上的一定点，P 是BC 上的一动点，E 、F 分别是PA 、PQ 两边的中点；当点P 在BC 边上移动的过程中，线段EF 的长度将( )．A ．先变大，后变小B ．保持不变C ．先变小，后变大D ．无法确定【答案】B ；解： 连接AQ ．∵ E 、F 分别是PA 、PQ 两边的中点，∴ EF 是△PAQ 的中位线，即AQ ＝2EF ．∵ Q 是CD 上的一定点，则AQ 的长度保持不变，∴ 线段EF 的长度将保持不变．类型二、三角形的重心2、为了探究夹角为60°的V 形架中放置正多边形钢板的稳定性问题（正多边形的重心就是它的中心，重心越低越稳定），请按以下放置的方式进行计算和猜想：（1）将一个边长为 20cm 的正三角形钢板（用△ABC 表示）按图1，图2，图3，的三种方式进行放置．已知在图3中，重心距地面的距离为2033，请通过计算或证明说明，三种放法中，哪一种放法最稳定？（2）若将（l ）中的正三角形钢板换成边长为 20cm 的正方形钢板（如图4，图5，图6）．已知在图6中，重心距地面的距离约为23.7cm ，请通过计算或证明说明，三种放法中，哪一种放法最稳定？（可能用到的数据：2≈1.4；3≈1.7；6≈2.4）（3）通过上述计算，若将一个边长为20cm的正六边形钢板放置于架中（如图7，图8，图9），你认为_______的重心最低（只须填图形的编号，不必计算）．【答案与解析】（1）图1中重心距地面的距离为4033cm，图2中重心距地面的距离为20cm，所以图3的方式最稳定．（2）图4中重心距地面的距离为10+103≈27cm，图5中重心距地面的距离为106≈24cm，所以图6的方式最稳定．（3）图9的方式最稳定．【总结升华】主要考查了重心的性质，根据重心位置得出图形的稳定性是解决问题的关键．类型三、梯形的中位线3、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BE平分∠ABC且交CD于E，E为CD的中点，EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G，当AD＝2，BC＝12时，四边形BGEF的周长为_______.【思路点拨】先根据EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G得出四边形BGEF是平行四边形，再由BE平分∠ABC判断出四边形BGEF是菱形，再根据E为CD的中点，AD＝2，BC＝12求出EF的长，进而可得出结论．【答案】28；【解析】解：∵EF∥BC 交AB 于F ，EG∥AB 交BC 于G ，∴四边形BGEF 是平行四边形，∵BE 平分∠ABC 且交CD 于E ，∴∠FBE＝∠EBC，∵EF∥BC，∴∠EBC＝∠FEB，∴∠FBE＝∠FEB ，∴四边形BGEF 是菱形，∵E 为CD 的中点，AD ＝2，BC ＝12， ∴EF＝12（AD ＋BC ）＝12×（2＋12）＝7， ∴四边形BGEF 的周长＝4×7＝28．【总结升华】本题考查的是梯形中位线定理及菱形的判定与性质，根据题意判断出四边形BGEF 是菱形是解答此题的关键.类型四、中点四边形4、如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AB ＝DC ，对角线AC 、BD 交于点O ，AC⊥BD，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．（1）求证：四边形EFGH 是正方形；（2）若AD ＝2，BC ＝4，求四边形EFGH 的面积．【思路点拨】（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD 入手，进行正方形的判断．（2）连接EG ，利用梯形的中位线定理求出EG 的长，然后结合（1）的结论求出2EH ＝92，也即得出了正方形EHGF 的面积．【答案与解析】证明:（1）在△ABC 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，故可得：EF ＝12AC ，同理FG ＝12BD ，GH ＝12AC ，HE ＝12BD ， 在梯形ABCD 中，AB ＝DC ，故AC ＝BD ，∴EF＝FG ＝GH ＝HE ，∴四边形EFGH 是菱形．设AC 与EH 交于点M ，在△ABD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，则EH∥BD，同理GH∥AC，又∵AC⊥BD，∴EH⊥HG，∴四边形EFGH 是正方形．（2）连接EG ．在梯形ABCD 中，∵E、G 分别是AB 、DC 的中点， ∴EG＝12（AD ＋BC ）＝3． 在Rt△EHG 中， ∵222EH GH EG +=，EH ＝GH ，∴2EH ＝92，即四边形EFGH 的面积为92． 【总结升华】此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理，解答本题的关键是根据三角形的中位线定理得出EH ＝HG ＝GF ＝FE ，这是本题的突破口．举一反三：【变式】如图，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．（1）判断四边形EFGH 的形状，并说明你的理由；（2）连接BD 和AC ，当BD 、AC 满足何条件时，四边形EFGH 是正方形．【答案】解：（1）四边形EFGH 是平行四边形．理由：连接AC ，∵E、F 分别是AB 、BC 的中点，∴EF∥AC，且EF ＝12AC ， 同理，HG∥AC，且HG ＝12AC ， ∴EF∥HG，且EF ＝HG ，∴四边形EFGH 是平行四边形；（2）当BD ＝AC ，且BD⊥AC 时，EFGH 是正方形．理由：连接AC ，BD ，∵E、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴EF＝GH ＝12AC ，EH ＝FG ＝12BD ，EH∥BD，GH∥AC， ∵BD＝AC ，BD⊥AC，∴EH＝EF ＝FG ＝GH ，EH⊥GH，∴四边形ABCD是菱形，∠EHG＝90°，∴四边形EFGH是正方形．类型五、位似5、（2012•陕西）如图，正三角形ABC的边长为3+3．（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长；（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．【答案与解析】（1）如图①，正方形E′F′P′N′即为所求．（2）设正方形E′F′P′N′的边长为x，∵△ABC为正三角形，∴AE′=BF′=33x．∵E′F′+AE′+BF′=AB，∴x+33x+33x=3+3，∴x=933233++，即x=33-3;（3）如图②，连接NE、EP、PN，则∠NEP=90°．设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n（m≥n），它们的面积和为S，则NE=2m，PE=2n．∴PN2=NE2+PE2=2m2+2n2=2（m2+n2）．∴S=m2+n2=12PN2，延长PH交ND于点G，则PG⊥ND．在Rt△PGN中，PN2=PG2+GN2=（m+n）2+（m-n）2．∵AD+DE+EF+BF=AB，即33m+m+n+33n=3+3，化简得m+n=3．∴S=12[32+（m-n）2]=92+12（m-n）2①当（m-n）2=0时，即m=n时，S最小．∴S最小=92；②当（m-n）2最大时，S最大．即当m最大且n最小时，S最大．∵m+n=3，由（2）知，m最大=33-3．∴S最大=12[9+（m最大-n最小）2]=12[9+（33-3-6+33）2]=99-543．【总结升华】本题以位似变换为基础，综合考查了正三角形、正方形、勾股定理、直角三角形边角性质等重要知识点，有一定的难度．本题（1）（2）（3）问之间互相关联，逐级推进，注意发现并利用好其中的联系．第（3）问的要点是求出面积和S的表达式，然后针对此表达式进行讨论，在求S最大值的过程中，利用了第（1）（2）问的结论．举一反三：【变式】（2012•玉林）如图，正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x轴、y 轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC=32，若点A′的坐标为（1，2），则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是（）.A.16B.13C.12D.23【答案】选B．∵在正方形ABCD中，AC=32∴BC=AB=3，延长A′B′交BC于点E，∵点A′的坐标为（1，2），∴OE=1，EC=A′E=3-1=2，∴正方形A′B′C′D′的边长为1，∴正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是13．故选B．。
专题15 三角形的中位线（含答案）
专题15 三角形的中位线知识解读三角形的中位线定理，反映了三角形的中位线与第三边的双重关系：（1）位置关系，三角形的中位线平行于第三边；（2）数量关系，三角形的中位线等于第三边长的一半。
位置关系可证明两直线平行；数量关系可证明线段的倍分关系。
培优学案典例示范一、中位线反映了线段间的平行和数量关系1．如图4-15-1，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是（）图4-15-1A．2B．3C．52D．4【提示】由于D，E分别是BC，AC的中点，所以DE是△ABC的中位线，根据中位线定6理可知DE∥AB，所以∠BFD=∠ABF；又由于BF平分∠ABC，所以∠ABF=∠CBF，就可证得△BDF为等腰三角形，要求DF 的长，只需求BD的长即可．【技巧点评】当题中有中点时，特别是一个三角形中出现两边中点时，我们常常考虑运用三角形的中位线来解决问题.本题是采用中位线来证明两直线平行．跟踪训练1．如图4-15-2，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）A．7B．9C．10D．11图4-15-2 2．如图4-15-3，已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线的一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF．求证：AB＝2OF．图4-15-3【提示】点O是平行四边形两条对角线的交点，所以点O是线段AC的中点，要证明AB=2OF，我们只需证明点F是BC的中点，即证明OF是△ABC的中位线，证明F是BC的中点有两种方法，方法一是证明四边形ABEC是平行四边形，利用平行四边形的对角线互相平分来证明；方法二是证明△ABFQ△ECF，利用全等三角形对应边相等来证明.【解答】【技巧点评】由于中位线等于三角形第三边长的一半，因此当需要证明某一线段是另一线段的一半或两倍，且题中出现中点的时候，常常考虑使用中位线定理．跟踪训练2．如图4-15-4，平行四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，AN与DM相交于点P，BN与CM 相交于点Q．试说明PQ与MN互相平分．图4-15-4二、补全三角形，使得中点连线段成为中位线例3如图4-15-5，已知M、N、P、Q分别是线段AB、BD、CD、AC的中点，四边形MNPQ是平行四边形吗？为什么？【提示】点P、点N分别是CD，BD的中点，很显然PN是△BCD的中位线，所以考虑连接BC，将△BCD补全，然后运用中位线定理解决问题．【解答】图4-15-5 【技巧点评】当一个图形中出现具有公共端点的两条线段的中点时，可考虑连接另外两个端点，构造三角形，使得中点连线段成为中位线．跟踪训练3．如图4-15-6，在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，G、H是AC的三等分点，EG、FH的延长线相交于点D．求证：四边形ABCD是平行四边形．【解答】图4-15-6三、由一个中点构造中位线解决问题例4如图4-15-7，已知四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（）图4-15-7A．1＜MN＜5B．1＜MN≤5C．12＜MN52＜D．12＜MN52【提示】M，N虽然是AD，BC的中点，但MN却不是三角形的中位线，可考虑连接BD，取BD的中点G，线段GM和GN可以看成△ABD和△BCD的中位线，利用中位线可求得GM、GN的长分别为1和1.5.在△GMN中利用三角形两边之和大于第三边以及两边之差小于第三边可求得MN的范围．【技巧点评】当图形中出现中点的时候，就可能应用中位线知识解决问题，如果没有中位线，应考虑构造中位线解决问题．跟踪训练4．如图4-15-8所示．D，E分别在AB，AC上，BD＝CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q．求证：AP＝AQ．【解答】图4-15-8拓展延伸例5 在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为AC的中点．（1）如图4-15-9①，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明；（2）如图4-15-9②，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．图4-15-9【提示】（1）延长DF交AB于点G，根据三角形中位线的判定得出点G为AB的中点，根据中位线的性质及已知条件AC=BC，得出DC=DG，从而EC=FG，易证∠ECF=∠GFH=90°-∠DFC，∠CEF=∠FGH=135°，由AAS证出△CEF≌△FGH.∴CF=FH.（2）通过证明△CEF≌△FGH得出．【解答】跟踪训练5.如图4-15-10，D 是△ABC 中AB 边上的中点，△ACE 和△BCF 分别是以AC ，BC 为斜边的等腰直角三角形，连接DE ，DF.求证：DE=DF.【解答】EABFCD图4-15-10竞赛链接例6（武汉竞赛试题）如图4-15-11，在△ABC 中，∠ABC，∠ACB 的平分线 BE ，CF 相交于O ，AGLBE 于G ，AHLCF 于H. （1）求证：GH/∥BC；（2）若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH 的长度。
北师大版八年级数学下册课件《三角形的中位线》
A
E
B
H
F
D G
C
探究新知 结论 顺次连接四边形各边中点的线段组成一个平行四边形.
猜测: 顺次连接矩形各边中点的线段组成一个菱形. 菱形
探究新知
做一做: （1） 顺次连结平行四边形各边中 点所得的四边形是什么？
（2）顺次连结菱形各边中点所得的 四边形是什么？
（3）顺次连结正方形各边中点所 得的四边形是什么？
关于中点多边形的几个结论 1.中点多边形与原多边形形状__不__一__定__相__同_____. 2.中点多边形的各边与原多边形各边__平__行_____,且等于原多边 形各边的__一__半_____. 3.中点多边形的周长等于原多边形周长的__一__半_____,面积等于
1
原多边形面积的___4___.
∵DE平分△ABC的周长，∴ME=EB. 又AD=DB，∴DE= A1M，DE∥AM.
2
∵∠ACB=60°，∴∠ACM=120°.
∵ CM=CA，∴ ∠ACN=60°，AN=MN.
∴ AN AC • sin∠ACN = 3 ，
2
∴ AM 3 ，
2
DE 3 . ∴
2
探究新知 方法总结
与中位线定理有关的辅助线作法 (1)如果有中线可将中线延长一倍. (2)如果有线段倍分问题时可考虑作中位线. (3)如果有中点,可在同一三角形一边上取中点,作 中位线,或构造一个三角形,使图形中的线段为所 构造三角形的中位线.
点，点F是线段DE上的一点，连接AF，BF，∠AFB=90°，且AB=A.2
B.3
C.4
D.5
课堂检测
基础巩固题
1.如图,点D,E分别是△ABC边BA,BC的中点,AC=3,则DE的
第 13 讲中位线与多边形内角和
第十三讲中位线与多边形内角和【知识点】1、中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫三角形形中位线。
2、三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边，且等于第三边的一半。
推论：过三角形一边的中点作另一边的平行线，必平分第三边。
3、多边形：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连接的封闭图形4、对角线：在多边形中，连接不相邻两个顶点的线段。
5、正多边形：在平面内各内角都相等、各边也都相等的多边形。
6、多边形内角和定理：n 边形的内角和等于（n-2）180°，其中n ≥3，且n 为正整数。
7、多边形外角和定理：多边形外角和都等于360°【典型例题】例1、我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，依次连接各边中点得到的中点四边形EFGH ．（1）这个中点四边形EFGH 的形状是 ；（2）请证明你的结论．例2．如图，在ABC ∆中，D 为BC 边上的中点，E 、F 为AC 的三等分点。
求证：GE BG 3=。
BD C例3、看图回答问题：（1）内角和为2013°，小明为什么说不可能？（2）小华求的是几边形的内角和？（3）错把外角当内角的那个外角的度数你能求吗？是多少度呢？【小试牛刀】一．选择题1．如图1，▱ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点E 是BC 的中点．若OE=3cm ，则AB 的长为 （ ）A ． 12cmB ． 9cmC ． 6cmD ． 3cm2．已知四边形ABCD 中，AB=6，CD=8，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，则线段EF 长的取值范围是 （ ）A ． 2＜EF ＜14B ． 1＜EF ＜7C ． 6＜EF ＜7D ． 2＜EF ＜63．如图3，△ABC 的周长为26，点D ，E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC=10，则PQ 的长为（ ）4．在△ABC 中，AB=12，AC=10，BC=9，AD 是BC 边上的高．将△ABC 按如图4所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 的周长为（ ）A ． 9.5B ． 10.5C ． 11D ． 15.55．如图5，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，且BN ⊥AN ，垂足为N ，且AB=6，BC=10，MN=1.5，则△ABC 的周长是 （ ）A ． 28B ． 32C ． 18D ． 25A ．B ．C ． 3D ． 46．如图6，在△ABC 中，M 为BC 中点，AN 平分∠BAC ，AN ⊥BN 于N ，且AB=10，AC=16，则MN 等于 （ ）7．如图，在▱ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，点E 是边BC 的中点，AB=4，则OE 的长是 （ ）A ． 2B ．C ． 1D ．8．如图8，在△ABC 中，D ，E 分别是边AC ，AB 的中点，连接BD ．若BD 平分∠ABC ，则下列结论错误的是 （ ）A ．B C=2BE B ． ∠A=∠EDAC ． B C=2AD D ． B D ⊥AC9．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是 （ ）A ． 四边形B ． 五边形C ． 六边形D ． 八边形10．如图10，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为 （ ）A ． 13B ． 14C ． 15D ． 1611．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为 （） A ． 5 B ． 5或6 C ． 5或7 D ． 5或6或712．如图12，小林从P 点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P ，则α= （） A ． 30° B ． 40° C ． 80° D ． 不存在13．小明在加一多边形的角的和时，不小心把一个角多加了一次，结果为1500°，则小明多加的那个角的大小为 （） A ． 60° B ． 80° C ． 100° D ． 120°14．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（） A ． 10 B ． 11 C ． 12 D ． 10或11或1215．如图15，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的对角线条数为 （） A ． 77 B ． 90 C ． 65 D ． 104A ． 2B ． 2.5C ． 3D ． 3.516．某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行走和旋转，某一指令规定：机器人先向前行走2米，然后左转45°，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了 （ ）A ． 14米B ． 15米C ． 16米D ． 17米17．如图17，∠1、∠2、∠3、∠4 是五边形ABCDE 的4个外角，若∠EAB=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4等于 （ ）A ． 540°B ． 360°C ． 300°D ． 240°18．如图18，已知△ABC 中，∠B=50°，若沿图中虚线剪去∠B ，则∠1+∠2等于 （ ） A ． 130° B ． 230° C ． 270° D ．310° 19．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是 （ ）A ． 15或17B ． 16或15C ． 15D ． 16或15或1720．如图20，在△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，若∠A=50°，则∠BPC 等于 （ ） A ． 90° B ． 130° C ． 270° D ．315° 二．填空题（共8小题）21．如图21，已知△ABC 的周长为1，连接△ABC 三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，…，依此类推，则第10个三角形的周长为 ．22．如图22，在△ABC 中，M 是BC 边的中点，AP 平分∠A ，BP ⊥AP 于点P 、若AB=12，AC=22，则MP 的长为 ．23．已知：如图23，在△ABC 中，点D 为BC 上一点，CA=CD ，CF 平分∠ACB ，交AD 于点F ，点E 为AB 的中点．若EF=2，则BD= ．24．一个同学在进行多边形内角和计算时，求得内角和为2750°，当发现错了之后，重新检查，发现少加了一个内角，则这个内角是 度．25．如图，正方形ABCD 的周长为64，分别取各边中点得到正方形A 1B 1C 1D 1，再分别取正方形A 1B 1C 1D 1各边中点得到正方形A 2B 2C 2D 2，…，按此规律进行下去，那么正方形A 4B 4C 4D 4的边长为 ．26．如图26所示，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，K、L、M、N分别为四边形各边的中点，如果AC=10，BD=8，求四边形KLMN的面积为．27．如图27，△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm，现在分别取三边的中点E、F、G，顺次连接E、F、G，则△EFG的面积为．28．如图28，在△ABC中，∠ACB=52°，点D，E分别是AB，AC的中点．若点F在线段DE上，且∠AFC=90°，则∠FAE的度数为°．三．解答题（共2小题）29．看图回答问题：（1）内角和为2005°，小明为什么说不可能？（2）小华求的是几边形的内角和？（3）错把外角当内角的那个外角的度数你能求吗？是多少度呢？30．如图，小明从点O出发，前进5m后向右转15°，再前进5m后又向右转15°，…这样一直下去，直到他第一次回到出发点O为止，他所走的路径构成了一个多边形．（1）小明一共走了多少米？（2）这个多边形的内角和是多少度？31．一个多边形除去一个内角外，其余各角之和为2 750°，求这个多边形的边数及去掉的角的度数．图26 图27 图2832．探究多边形内角和时，我们常把多边形转化成三角形，再根据三角形内角为180°得出多边形内角和．如下图是探究多边形内角和一种方法，请根据图示，完成填空：（1）四边形内角和：4×180°﹣2×180°=360°；（2）五边形内角和：5×180°﹣2×180°=；（3）六边形内角和：6×180°﹣2×180°=；（4）n边形内角和：=．33．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．34．如图，在△ABC中，AB=BC=12cm，∠ABC=80°，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC．（1）求∠EDB的度数；（2）求DE的长．。
鲁教版数学八年级上册5.3《三角形的中位线》说课稿
鲁教版数学八年级上册5.3《三角形的中位线》说课稿一. 教材分析鲁教版数学八年级上册5.3《三角形的中位线》这一节主要介绍了三角形的中位线的性质。
在初中数学中，三角形的中位线是一个非常重要的概念，它不仅在几何学习中有着重要的作用，而且对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力也有着积极的影响。
教材从生活实例出发，引导学生探究三角形中位线的性质，通过学生自主探究、合作交流的方式，让学生在实践中掌握知识，体验学习的乐趣。
教材内容由浅入深，层层递进，既有基础知识的巩固，又有拓展提升，使学生在学习过程中不断挑战自我，提高自我。
二. 学情分析学生在学习这一节内容时，已经有了一定的几何基础，对三角形的基本概念有了了解，同时他们也已经掌握了平行四边形的性质，这为学习三角形的中位线提供了良好的基础。
此外，学生的探究能力和合作能力也有了较大的提高，他们在课堂上能够积极参与，勇于发表自己的观点。
然而，学生对于三角形中位线的证明可能还存在一定的困难，这就需要我们在教学中加以引导和帮助。
同时，学生对于三角形中位线在实际问题中的应用可能还不够熟练，我们在教学中也要注重培养学生的应用能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握三角形的中位线的性质，能够运用三角形的中位线解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过学生自主探究、合作交流，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生在探究过程中体验学习的乐趣，增强对数学的兴趣。
四. 说教学重难点1.教学重点：三角形的中位线的性质。
2.教学难点：三角形中位线的证明，以及三角形中位线在实际问题中的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用学生自主探究、合作交流的教学方法，让学生在实践中掌握知识。
2.教学手段：利用多媒体课件，直观展示三角形的中位线性质，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：从生活实例出发，引导学生关注三角形的中位线，激发学生的学习兴趣。
中位线(基础)知识讲解
中位线（基础）【学习目标】1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．2. 掌握三角形重心的概念以及重心的性质.3. 理解梯形的中位线的概念，掌握梯形的中位线定理.4. 了解图形的位似，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小.【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、三角形的重心1．概念：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心．要点诠释：垂心：三角形三条高线的交点．内心：三角形三条角平分线的交点．外心：三角形三边垂直平分线的交点．2．性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的13．要点三、梯形的中位线１．概念：连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.２．性质：梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半.要点四、位似1.位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.要点诠释：（1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.【典型例题】类型一、三角形的中位线1、如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）.A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长不变D．无法确定【答案】C；【解析】连AR，由E、F分别为PA，PR的中点知EF为△PAR的中位线, 则12EF AR，而AR长不变，故EF大小不变.【总结升华】当条件中含有中点的时候，要将它与中位线联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线图形．举一反三：【变式】如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，B点坐标为（3，2），OB与AC交于点P，D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，则四边形DEFG的周长为_____.【答案】5；解：∵四边形OABC是矩形，∴OA＝BC，AB＝OC；BA⊥OA，BC⊥OC．∵B点坐标为（3，2），∴OA＝3，AB＝2．∵D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，∴DE＝GF＝1.5； EF＝DG＝1．∴四边形DEFG的周长为（1.5＋1）×2＝5．2、如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC ＝6，则DF的长是（）.A．2 B．3 C.52D．4【思路点拨】利用中位线定理，得到DE∥AB，根据平行线的性质，可得∠EDC＝∠ABC，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到DF＝DB，进而求出DF的长．【答案解析】解：在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点∴DE∥AB∴∠EDC＝∠ABC∵BF平分∠ABC∴∠EDC＝2∠FBD在△BDF中，∠EDC＝∠FBD＋∠BFD∴∠DBF＝∠DFB∴FD＝BD＝12BC＝12×6＝3．【总结升华】三角形的中位线平行于第三边，当出现角平分线，平行线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．类型二、三角形的重心3、我们给出如下定义：三角形三条中线的交点称为三角形的重心．一个三角形有且只有一个重心．可以证明三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍．可以根据上述三角形重心的定义及性质知识解答下列问题：如图，∠B的平分线BE与BC边上的中线AD互相垂直，并且BE=AD=4（1）猜想AG与GD的数量关系，并说明理由；（2）求△ABC的三边长．【思路点拨】（1）根据BE平分∠B可知∠ABG=∠DBG，再根据全等三角形的判定定理可知△ABG≌△DBG，由全等三角形的对应边相等即可得出结论；（2）延长BA到F，使AF=BA，由AD是BC的中线，可知AD是△BFC的一条中位线，延长BE 交CF于H点，则BH垂直平分FC，可知E是△BFC的重心，由三角形重心的性质可求出AE、EH、HC的值，再根据勾股定理求出BC、EC的长，进而可得出AC的长．【答案与解析】（1）AG=GD …∵BE 平分∠B ， ∴∠ABG=∠DBG ，∵BG ⊥AD ，BG=BG ，∴∠BGA=∠BGD ，∴△ABG ≌△DBG ，∴AG=GD ，AB=BD ；（2）如图，延长BA 到F ，使AF=BA ，则△BFC 是等腰三角形…∵AD 是BC 的中线，∴AD 是△BFC 的一条中位线，延长BE 交CF 于H 点，则BH 垂直平分FC ，∴E 是△BFC 的重心，…∴AE=12EC ，EH=12BE=12×4=2， HC=12FC=AD=4， ∴在Rt △BHC 中，BC=222BH HC +=13， AB=BD=12BC=13， ∵在Rt △EHC 中，EC=2225EH HC +=，∴AC=AE+EC=35．【总结升华】本题考查的是三角形重心的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是作出辅助线，构造出等腰三角形是解答此题的关键． 举一反三【变式】G 为△ABC 的重心，△ABC 的三边长满足AB ＞BC ＞CA ，记△GAB ，△GBC ，△GCA 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则有（ ）.A.123S S S >>B. 123S S S ==C. 123S S S <<D. 123,,S S S 的大小关系不确定【答案】B.类型三、梯形的中位线4、在直角梯形ABCD 中（如图所示），已知AB∥D C ，∠DAB＝90°，∠ABC＝60°，EF为中位线，且BC ＝EF ＝4，那么AB ＝（ ）.A ．3B ．5C ．6D ．8【答案】B ；【解析】解：作CG⊥AB 于G 点，∵∠ABC＝60°BC＝EF ＝4，∴BG＝2，设AB ＝x ，则CD ＝x －2，∵EF 为中位线，∴AB＋CD ＝2EF ，即x ＋x －2＝8，解得x ＝5，【总结升华】此题综合运用了梯形的中位线定理、直角三角形的性质．在该图中，最关键的地方是正确的构造直角三角形．类型四、位似5、利用位似图形的方法把五边形ABCDE 放大1.5倍.【答案与解析】即是要画一个五边形A ′B ′C ′D ′E ′，要与五边形ABCDE 相似且相似比为1.5.画法是：1．在平面上任取一点O.2．以O 为端点作射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE.3．在射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE 上分别取点A ′、B ′、C ′、D ′、E ′，使OA ′:OA ＝OB ′:OB ＝OC ′:OC ＝OD ′:OD ＝OE ′:OE ＝1.5.4．连结A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′E ′、E ′A ′.AB C DE A 1 B 1 C 1D 1E 1 A B C D E这样：A ′B ′AB ＝B ′C ′BC ＝C ′D ′CD ＝D ′E ′DE ＝A ′E ′AE＝1.5. 则五边形A ′B ′C ′D ′E ′为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧.【总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.举一反三【变式】在已知三角形内求作内接正方形．【答案】作法：（1）在AB 上任取一点G ′，作G ′D ′⊥BC；（2）以G ′D ′为边，在△ABC 内作一正方形D ′E ′F ′G ′；（3）连接BF ′，延长交AC 于F ；（4）作FG∥CB，交AB 于G ，从F 、G 分别作BC 的垂线FE ， GD ；∴四边形DEFG 即为所求．E D G FF'E'D'AB C G'。
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三角形的中位线与多边形
➢ 知识点睛
1. 三角形的中位线
（1）定义：连接三角形________的线段叫做三角形的中位线； （2）三角形中位线定理：_____________________________ ___________________________________________________．
N M C
B
A
2. n 边形的内角和等于_________________；外角和等于_____．
3. 平面图形的镶嵌：
用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．
➢ 精讲精练
1. 如图，点D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，AC 的中点，若△DEF 的周
长为10 cm ，则△ABC 的周长为_______．
E
B
D
A
F C
A
B
R
F E
P D
C
第1题图 第2题图
2. 如图，在四边形ABCD 中，R ，P 分别是BC ，CD 上的点，E ，F 分别是AP ，
RP 的中点，当点P 在CD 上从点C 向点D 移动而点R 不动时，下列结论成立的是（ ）
A ．线段EF 的长逐渐增大
B ．线段EF 的长逐渐减小
C ．线段EF 的长保持不变
D ．线段EF 的长与点P 的位置有关
3. 如图，在四边形ABCD 中，AD =BC ，E ，F ，G 分别是AB ，CD ，AC 的中点．若
∠ACB =66°，∠CAD =20°，则∠EFG =____．
A
C D F
E
G
A E
B C
G
F D
第3题图 第4题图
4. 如图，B D ，C E 分别是∠A B C 和∠A C B 的角平分线，已知
AG ⊥BD ，AF ⊥CE ．若BF =2，DE =3，CG =4，则△ABC 的周长为__________． 5. 如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN 于点N ，若AB =10，
BC =15，MN =3，则△ABC 的周长为（ ）A ．38 B ．39
C ．40
D ．41
N
B
A
C
A
D
C
B E
F
第5题图 第6题图 6. 如图，AB ∥CD ，E ，F 分别为AC ，BD 的中点．若AB =5，CD =3，则EF 的长为____________．
7. 如图，在四边形ABCD 中，AD =BC ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AD ，BC
的延长线分别与EF 的延长线交于点H ，点G ，则∠AHE ______∠BGE ．（填“>”，“=”或“<”）
B A
F
D
C
G
H
8. 如图，在一个足够大的操场上的点M 处，小明沿直线向前走10米后，向左
转30°，再沿直线向前走10米，又向左转30°，……，如此继续下去．则小明第一次回到出发点M 处时，一共走了_________米．
9. 如图，以正六边形ABCDEF 的边AB 为边，在六边形内作正方形ABMN ，连
接MC ，则∠BCM 的度数为___________．
N M
F
E D
C B
A
第9题图 第10题图
10. 如图是由3个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，
则这种多边形是_____边形．
11. 如果要用正三角形和正方形两种图案进行镶嵌，那么至少需要（ ）
A ．3个正三角形，2个正方形
B ．2个正三角形，3个正方形
C ．2个正三角形，2个正方形
D ．3个正三角形，3个正方形
【参考答案】
1.20cm
2. C
3.23°
4.30
5. D
6. 1
7.=
8.120
9.75°
10.正六
11.A。