新人教版九年级上册数学24.2.2直线和圆的位置关系(第2课时)课件
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新人教版九年级上册数学24.2.2直线和圆的位置关系——相交、相切、相离优质课件
D
A．r＝5 B．r＝ 5
C. ≤r＜5 D．r＝2 或r＞5
5
5
2
2
第十八页，共二十页。
圆
1.直线和圆的位置关系：相交、相切、相离. （1）从公共点数来判断；
（2）从d与r间的数量关系来判断.
第十九页，共二十页。
圆
2.直线和圆的位置关系的性质与判定：
（1）直线和圆相离 d＞r； （2）直线和圆相切 d=r； （3）直线和圆相交 d＜r.
离，求r的取值范围．
导引：⊙C与直线AB不相离，即⊙C与直线AB相交或相 切，因此只需点C到直线AB的距离小于或等于r.
知3－练
第十五页，共二十页。
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.
在Rt△ABC中，
AC＝3 cm，BC＝4 cm，∠ACB＝90°，
∴AB＝ AC 2 BC 2 32 42 5(c m). 又∵S△ABC＝ 1 AB•CD= 1AC•BC,
直线与圆的位置关系的判定 直线与圆的位置关系的性质
逐点 导讲练
课堂小 结
作业提 升
第二页，共二十页。
本课是在研究点和圆的位置关系之后，进一步研究由点组成 的直线和圆的位置关系.
第三页，共二十页。
知识点 1 直线和圆的位置关系与圆的公共点个数间的关系
直线和圆的位置关系与圆的公共点个数间的关系：
这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．
直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．
这条直线叫做圆的割线，公共点叫直线和圆的交点．
第十三页，共二十页。
总结
1. 直线和圆相离→d＞r； 2. 直线和圆相切→d=r； 3. 直线和圆相交→d＜r.
第十四页，共二十页。
人教版九年级数学上册：24.2.2 直线和圆的位置关系 课件(共29张PPT)
2.如图2，△ABC中，AB=AC，O是BC的中点，以O为 圆心的圆与AB相切于点D， 求证：AC是⊙O的切线。
C
A
小组合作:
1、独立思考；
D
E
A
. O
B
D B
2、小组成员相互交
E
流；
3、在小黑板写出证
·O
C
明过程（不需再画 图）；
4、小组成果展示。
图1
图2
奉天府（今沈阳）的名吃有一道叫窟窿烧饼，这好好 的烧饼为啥中间挖了个大窟窿？中间挖了个窟窿是为了熟 得快、好拿，还是占奸取巧？中间挖掉一块，几个烧饼的 面还能再做一个。帐就怕细算，不算不知，一算吓一跳， 一年下来，这卖烧饼的掌柜能多赚千斤面的钱。真是无奸 不商！据说窟窿烧饼的面积等于切于大圆的弦为直径的圆 的面积，大家知道这是怎么一回事吗？
解：（1）∵∠BOC=90°， ∴∠OBC+∠OCB=90°， 又BE与BF为⊙O的切线， ∴BO为∠EBF的平分线，
∴∠OBE=∠OBF，
同理可得∠OCF=∠OCG， ∴∠OBE+∠OCG=90°， ∴∠OBC+∠OCB+∠OBE+
∠OCG=180°， 即∠ABF+∠DCF=180°， ∴AB∥CD；
内含
d<R-r
对称性
都
是结
轴 对 称
论 ：
图相
形切
， 其 对 称 轴 是
时 ， 切 点 在
：连
两心
圆线
连上
心
线
三.直线与圆的位置关系
d：圆心到直线的距离
r ●O ┐d
相交
割线
r ●O
d ┐
相切
切线
人教版数学九年级上册24.2.2直线和圆的位置关系授课课件(共19张PPT)
（用公共点的个数来区分）
(（4)3⊙）Od的>r割所线点是以在直圆线(外__1_)__当，⊙r=O的2切c线m是时直线,___有_ ，d切>点r是, 点因____此. ⊙C和AB相离。
（2）当r=2.4cm时,有d=r, 因此⊙C和AB相切。
D
d
（3）当r=3cm时，有d<r， 因此，⊙C和AB相交。
在实际应用中，常采用第二种方法判定。
1、已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d ：
1)若d=4.5cm ,则直线与圆 相交 , 直线与圆有__2__个公共点. 2)若d=6.5cm ,则直线与圆_相__切___, 直线与圆有___1_个公共点. 3)若d= 8 cm ,则直线与圆_相__离___, 直线与圆有__0__个公共点. 2、已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据 条件填写d的范围:
例1：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，
BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB 有怎样的位置关系？为什么？ (1)r=2cm；(2)r=2.4cm (3)r=3cm．
分析：要了解AB与⊙C的位置 关系，只要知道圆心C到AB的 距离d与r的关系．已知r，只需 求出C到AB的距离d。ຫໍສະໝຸດ 特点：直线和圆有唯一的公共点，
叫做直线和圆相切。
这时的直线叫切线，
唯一的公共点叫切点。
特点：直线和圆没有公共点，
叫做直线和圆相离。
.O
..
A
Bl
.O
.
l
切点 A
.O l
1.如图，填空:
l1
l2
(1)直线L1和⊙O有_没_有__个公共点，
它们的位置关系是___相_离__ ；
人教版九年级数学第24.2.2 ：直线和圆的位置关系课件
∵CD是⊙O的切线,A是切点, ∴CD⊥OA.
●O
C
A
D
切线判定定理：
①过半径外端; ②垂直于这条半径.
切线性质定理：
①圆的切线; ②过切点的半径.
O
切线
l
A
切线垂直于半径
我是小法官：
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ × ） 2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ × ） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ × ）
O l
r
A
O r
l
A
O l
r
A
利用判定定理时，要注意直线须具备以 下两个条件,缺一不可:
(1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直。
我是应用高手：
例 已知：△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的
中点，腰 AB 与⊙O 相切于点 D.
A
求证： AC 是⊙O 的切线．
D
E
B
O
C
1、判定直线与圆相切有哪些方法？
安全总动员：
课间打闹容易让自己或者对方造成伤害， 影响其他同学休息，让同学们处于兴奋状态， 在下节课无法更好的接收知识。同学们要提 高安全意识，培养文明习惯。遵守班级相关 的安全纪律，规范和约束自己的课内外活动 的行为，杜绝在危险的地方(如楼道里、楼梯 口、窗台口、课桌椅上)，或使用有危险性的 器具(如棍棒、刀具)追逐打闹。
继续探究：
直线l与⊙O相切于点A，那么半径 OA l 吗？
切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径. 反证法：
（1）假设直线l与OA不垂直．
（2）作OB⊥ l，垂足为点B．
O
（3）因为OB＜OA，即d ＜ r．
（4）所以，直线l与圆相交，
●O
C
A
D
切线判定定理：
①过半径外端; ②垂直于这条半径.
切线性质定理：
①圆的切线; ②过切点的半径.
O
切线
l
A
切线垂直于半径
我是小法官：
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ × ） 2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ × ） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ × ）
O l
r
A
O r
l
A
O l
r
A
利用判定定理时，要注意直线须具备以 下两个条件,缺一不可:
(1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直。
我是应用高手：
例 已知：△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的
中点，腰 AB 与⊙O 相切于点 D.
A
求证： AC 是⊙O 的切线．
D
E
B
O
C
1、判定直线与圆相切有哪些方法？
安全总动员：
课间打闹容易让自己或者对方造成伤害， 影响其他同学休息，让同学们处于兴奋状态， 在下节课无法更好的接收知识。同学们要提 高安全意识，培养文明习惯。遵守班级相关 的安全纪律，规范和约束自己的课内外活动 的行为，杜绝在危险的地方(如楼道里、楼梯 口、窗台口、课桌椅上)，或使用有危险性的 器具(如棍棒、刀具)追逐打闹。
继续探究：
直线l与⊙O相切于点A，那么半径 OA l 吗？
切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径. 反证法：
（1）假设直线l与OA不垂直．
（2）作OB⊥ l，垂足为点B．
O
（3）因为OB＜OA，即d ＜ r．
（4）所以，直线l与圆相交，
人教版九年级数学上册《24.2.2直线和圆的位置关系》课件第2课时(共17张PPT)
过点O作一条线段垂 直于CD，垂足为M， 则OM＜OA，
．A
O
M
D
即圆心O到直线CD的距离小于⊙O的半径，
因此CD与⊙O相交，
这与已知条件“直线CD与⊙O相切” 矛盾，
则OA与CD垂直．即圆的切线垂直于过切点的半径．
例题分析，深化提高
例 已知：△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的
中点，AB 与⊙O 相切于点 D．
练习巩固，综合应用
2．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，
DE⊥AC于点E，连接AD，求证：DE是⊙O的切线．
证明：连接DO， ∵OD=OB
∵点D是BC的中点， ∴∠B=∠ODB，
∴CD=BD．
∴∠ODB=∠C
∵AB是直径，
∴OD∥AC．
∴∠ADB=90°
∵DE⊥AC，
∴AD⊥BC．
∴∠ODE=∠CED=90°
圆的切线垂直于过切点的半径．
即AT是⊙O的切线．
你会用反证法证明切线的性质定理吗？
∴∠ATB=∠ABT=45°．
∴直线FC与⊙O相切．
生活中你发现了与切线有关的实例吗？
∴∠COG=60°，∴∠OCE=30°．
练习巩固，综合应用
解：（1）直线FC与⊙O相切． 理由如下：连接OC．
∵OA=OC，
∴∠1=∠2． 由翻折，得∠1=∠3，∠F=∠AEC=90°． ∴∠2=∠3． ∴OC∥AF． ∴∠OCG=∠F=90°． ∴OC⊥FG． ∴直线FC与⊙O相切．
∴AC=AB
∴DE⊥OD．
∴∠C=∠B．
∴ED是⊙O的切线．
练习巩固，综合应用
证明：假设OA与CD不垂直， 求证：AT是⊙O的切线．
人教版九年级数学上册直线和圆的位置关系精品ppt课件
人教版（ 九2年01级2）数九学年上级册数直学线上和册圆的位24置.2关.2系直线精和品圆pp的t 课位件置关系（2） 课件（25张ppt）
归纳分析
例1与例2的辅助线、证法有何不同?
〖例1〗已知：直线AB经过 ⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。 求证：直线AB是⊙O的切线。
O
A
C
B
〖例2〗已知：O为∠BAC平分上
人教版九年级数学上册直线和圆的位 置关系 精品ppt 课件
判 断×
×
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ ） ×
2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ ）
3. 过l 半径的rO 端点与半径垂直rO的直线l 是圆的切线rO（
l）
A
A
A
利用判定定理时，要注意直线须具备以 下两个条件,缺一不可:
(1)直线经过半径的外端; (2)直线垂直于这条半径。
O.
那过点O可作OB⊥ l 于点B,
则OA为直角三角形的斜边，
AB l
OB的长就是圆心0到切线l的距离,即OA=OB，
这与“直角三角形的斜边大于直角边”相矛盾，
所以半径OA与切线 l 不垂直的假设不成立。
那半径OA与切线 l 垂直成立。
人教版（ 九2年01级2）数九学年上级册数直学线上和册圆的位24置.2关.2系直线精和品圆pp的t 课位件置关系（2） 课件（25张ppt）
九年级 上册
24.2.2 直线和圆的位置关系（2）
切线的判定与性质
直线和圆相切
．
O
切
切点 A
线
利用切线的定义: 与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
利用d与r的关系作判断: 当d＝r时直线是圆的切线。
人教统编九年级数学上册24.2.2直线和圆的位置关系2课件新版新人教版 (2)
∴∠ACO=∠BCO∵∠ACO+∠BCO=180o
∴OC⊥AB
又∵直线AB经过⊙O上的点C,∴直线AB是⊙O的切线.
课堂探究
切线的判定定理
问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线 定义过点A作圆O的切线？
观察：（1） 圆心O到直线AB的距离 和圆的 半径有什么数量关系? （2)二者位置有什么关系？为什么？
⑴ 经过半径外端的直线是圆的切线. （×）
⑵ ⑶
垂 过直直于径半的径外的端直并线且是垂圆 直的 于切 这线 条.直（径的×）直线是圆的切线.（√
）
⑷ 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （√ ）
⑸ 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.
（√ ）
随堂检测
2.如图所示，A是⊙O上一点，且AO=5,PO=13,AP=12,则PA与⊙O的位置
(1) 有交点，连半径,证垂直;
(2) 无交点，作垂直,证半径.
例1
例2
有切线时常用辅助线添加方法
(1) 见切点，连半径，得垂直.
切线的其它重要结论
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点; （2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
本课小结
定义法
1个公共点，则相切
切 线 的 数量关系法 判定方法
d=r，则相切
判定定理
证切线时常用辅助线添加方法：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线 是圆的切线
①有公共点，连半径，证垂直；
②无公共点，作垂直，证半径.
切线的
性质定理
圆的切线垂直于 经过切点的半径
性 质 有1个公共点
有切线时常用辅助线 添加方法： 见切线，连切点，得垂直.
d=r
人教版九年级上册 数学 课件 24.2.2 直线与圆的位置关系(共24张PPT)
回 顾： 点和圆的位置关系有哪几种？
A d
C
O
点在圆外 点在圆上 点在圆内
位置关系
B
点到圆心距离为d ⊙O半径为r
d>r; d=r； d<r.
数量关系
相关知识点回忆
直线外一点到这条 直线的垂线段的长 度叫点到直线的距 离。
.A
D
a
把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线,注
意观察直线与圆的公共点的个数
(3) 当 r = 2.5时，有 d = r ，因此⊙M 和直线 OA 相切.
例题的变式题
如图:M是OB上的一点,且OM =5 以M为圆心,半径
r=2.5作⊙M. 试问过O的射线 OA与OB所夹的锐角a取
什么值时射线OA与 ⊙M
A
（1）相离 (2)相切
(3)相交 ? C
解: 过 M 作 MC⊥OA 于 C 1)当∠a = 30°时,d=r=2.5 O a
d=r
当m=-8时原方程 为x2+ 2x+1=0
x1=x2= -1 (不符合题意舍去)
当m=0时原方程 为9x2- 6x+1=0
∴ x1=x2=
1 3
m=0
b2－4ac=0
[-(m+6)]2－4(m+9)=0
已知⊙O的半径r=7cm,直线l1 // l2,且l1与⊙O相切,圆心O到l2的距离 为9cm.求l1与l2的距离m.
3、圆心O到直线的距离等于⊙O的半径，则直线
和⊙O的位置关系是（ C ）：
A．相离 B.相交 C.相切 D.相切或相交
4、已知⊙O的半径为5, 圆心O到直线AB的距 离为d, 根据条件填写d的范围:
1)若AB和⊙O相离, 则
A d
C
O
点在圆外 点在圆上 点在圆内
位置关系
B
点到圆心距离为d ⊙O半径为r
d>r; d=r； d<r.
数量关系
相关知识点回忆
直线外一点到这条 直线的垂线段的长 度叫点到直线的距 离。
.A
D
a
把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线,注
意观察直线与圆的公共点的个数
(3) 当 r = 2.5时，有 d = r ，因此⊙M 和直线 OA 相切.
例题的变式题
如图:M是OB上的一点,且OM =5 以M为圆心,半径
r=2.5作⊙M. 试问过O的射线 OA与OB所夹的锐角a取
什么值时射线OA与 ⊙M
A
（1）相离 (2)相切
(3)相交 ? C
解: 过 M 作 MC⊥OA 于 C 1)当∠a = 30°时,d=r=2.5 O a
d=r
当m=-8时原方程 为x2+ 2x+1=0
x1=x2= -1 (不符合题意舍去)
当m=0时原方程 为9x2- 6x+1=0
∴ x1=x2=
1 3
m=0
b2－4ac=0
[-(m+6)]2－4(m+9)=0
已知⊙O的半径r=7cm,直线l1 // l2,且l1与⊙O相切,圆心O到l2的距离 为9cm.求l1与l2的距离m.
3、圆心O到直线的距离等于⊙O的半径，则直线
和⊙O的位置关系是（ C ）：
A．相离 B.相交 C.相切 D.相切或相交
4、已知⊙O的半径为5, 圆心O到直线AB的距 离为d, 根据条件填写d的范围:
1)若AB和⊙O相离, 则
人教版数学九年级上册24.直线和圆的位置关系(第2课时)课件
O.
图1
图2
猜猜看：图2中直线l与⊙O由怎样的位置关系？
相切的语言把这一结论总结出来吗？
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直
线是圆的切线
符号表示： ∵OA是⊙O半径，l⊥OA于点A， ∴l是的⊙O切线.
及时练
问题：定理中的两个条件缺少一个行不行?
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ × ） 2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ ×） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ×）
03
练习
例1
如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与 ⊙O相切于点D. 求证：AC是⊙O的切线.
分析：根据切线的判定定理，要证明AC是 ⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂 线段OE是⊙O的半径就可以了，而OD是的 半径，因此需要证明OE=OD.
例1
证明：如图，过点 O 作 OE⊥AC，垂足为 E，连接 OD，OA. ∵⊙O 与 AB 相切于点 D， ∴OD⊥AB. 又为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点， ∴AO 是∠BAC 的平分线. ∴OE=OD，即 OE 是⊙O 的半径. 这样，AC 经过⊙O 的半径 OE 的外端 E，并且垂直于半径 OE，所以 AC 与⊙O 相切.
1.要解决此问题用什么方法？ 切线的判定定理 2.AB要具备哪些条件？ 经过半径的外端并且垂直于这条半径 3.连接OB就使AB过半径的外端，只需证明 OB⊥AB即可，如何证明呢？
例
常用证两条 线段（或直 线）垂直的 方法
例
证法1：连接OB ∵OB=OC,CA=OC ∴BC= 1 OA
2
∴ ∠OBA=90º， 即AB⊥OB ∴AB是⊙O的切线
反证法：假设AB与OC不垂直， 则过点O作OM⊥AB，垂足为M， 根据垂线段最短，得OM<OC， 即圆心O到直线AB的距离d<R ∴直线AB与⊙O相交， 这与已知“AB是⊙O的切线”矛盾 ∴假设不成立，即AB⊥OC.
人教版九年级数学上册24.2.2直线和圆的位置关系(第2课时)课件(2)
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You made my day!
我们，还在路上……
【跟踪训练】 3．一个钢管放在 V 形架内，图 24-2-13 是其截面图，O 为 钢管的圆心．如果钢管的半径为 25 cm，∠MPN3 cm
图 24-2-13 B．25 3 cm D．50 3 cm
4．如图 24-2-14，PA ，PB 分别切⊙O 于点 A，B，点 E 是 ⊙O 上一点，且∠AEB＝60°，则∠P＝____6_0_°__.
知识点 1 切线的判定定理及性质定理 【例 1】 如图 24-2-9 所示，点 A 是⊙O 外一点，OA 交⊙ O 于点 B，AC 是⊙O 的切线，切点是 C，且∠A＝30°，BC＝1. 求⊙O 的半径．
图24-2-9
思路点拨：连接 OC 可得△AOC 为直角三角形，由∠A＝ 30°知∠COB＝60°，从而得△BOC 为等边三角形，所以OC＝ BC＝1.
图 24-2-14
知识点 3 三角形的内心 【例 3】如图 24-2-15，已知点 E 是△ABC 的内心，∠A 的平分线交 BC 于点 ，且与FABC 的外接圆相交于点 D. 求证：∠DBE＝∠DEB.
图 24-2-15
思路点拨：点 E 是△ABC 的内心，AD，BE 分别是∠BAC 和∠ABC 的角平分线，又同弦所对的圆周角相等，易证明∠DBE ＝∠DEB.
• 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月上午8时37分22.4.1108:37April 11, 2022 • 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022年4月11日星期一8时37分6秒08:37:0611 April 2022 • 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
解：连接 OC.因为 AC 是⊙O 的切线，所以∠OCA ＝90°. 又因为∠A＝30°，所以∠COB＝60°. 所以OBC 是等边三角形． 所以 OB＝BC＝1，即⊙O 的半径为 1.
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我们，还在路上……
【跟踪训练】 3．一个钢管放在 V 形架内，图 24-2-13 是其截面图，O 为 钢管的圆心．如果钢管的半径为 25 cm，∠MPN3 cm
图 24-2-13 B．25 3 cm D．50 3 cm
4．如图 24-2-14，PA ，PB 分别切⊙O 于点 A，B，点 E 是 ⊙O 上一点，且∠AEB＝60°，则∠P＝____6_0_°__.
知识点 1 切线的判定定理及性质定理 【例 1】 如图 24-2-9 所示，点 A 是⊙O 外一点，OA 交⊙ O 于点 B，AC 是⊙O 的切线，切点是 C，且∠A＝30°，BC＝1. 求⊙O 的半径．
图24-2-9
思路点拨：连接 OC 可得△AOC 为直角三角形，由∠A＝ 30°知∠COB＝60°，从而得△BOC 为等边三角形，所以OC＝ BC＝1.
图 24-2-14
知识点 3 三角形的内心 【例 3】如图 24-2-15，已知点 E 是△ABC 的内心，∠A 的平分线交 BC 于点 ，且与FABC 的外接圆相交于点 D. 求证：∠DBE＝∠DEB.
图 24-2-15
思路点拨：点 E 是△ABC 的内心，AD，BE 分别是∠BAC 和∠ABC 的角平分线，又同弦所对的圆周角相等，易证明∠DBE ＝∠DEB.
• 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月上午8时37分22.4.1108:37April 11, 2022 • 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022年4月11日星期一8时37分6秒08:37:0611 April 2022 • 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
解：连接 OC.因为 AC 是⊙O 的切线，所以∠OCA ＝90°. 又因为∠A＝30°，所以∠COB＝60°. 所以OBC 是等边三角形． 所以 OB＝BC＝1，即⊙O 的半径为 1.
人教部初三九年级数学上册 24.2.2直线和圆的位置关系(2) 名师教学PPT课件
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的
直线是圆的切线。
对定理的理解： 切线必须同时满足两个条件： ①经过半径的外端；
O l
A
②垂直于这条半径．
（二）合作探究，获得新知
切线判定定理的几何语言表达：
∵ OA是半径， l ⊥OA于点A
∴ l是⊙O的切线
O
r
A
l
（二）合作探究，获得新知
思考：
O
CA=CB。
求证证明：：直连线结AOBC是(如⊙图O)的。切 线 。 ∵OA＝OB , CA＝CB,
A
C
B
∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中
线，
∴ AB⊥OC。
∵ OC是⊙O的半径
∴ AB是⊙O的切线。
（二）合作探究，获得新知
例2 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC
的中点，腰AB与⊙O相切于点D。
相等
（2）二者位置有什么关系？ 垂直
O
（3）由此你发现了什么？
A
l
（二）合作探究，获得新知
发现：(1)直线 l 经过半径OA的外端点A； (2)直线 l 垂直于半径0A． 则:直线 l 与⊙O相切
O
A
l
这样我们就得到了从位置关系来判定直 线是圆的切线的方法——切线的判定定理。
（二）合作探究，获得新知
于是直线l就与⊙O相交，
而这与“直线l为⊙O的切线”矛盾。
因此OA⊥l。
（二）合作探究，获得新知
切线的性质定理:
圆的切线 垂直于过切点的半径。
切线 得出 垂直
定理的几何符号表达： O.
∵ 直线 l 切⊙O于点A
∴ l⊥OA
人教版九年级上册24.2.2直线和圆的位置关系课件2
O
T
l
OT⊥l于T
探索性质
问2：如图，已知⊙O的切线l，但切点未知，你能 作出切点A吗？
O
TA
l
∵OT⊥l于T，这里又有OA⊥l于A， ∴垂足T就是切点A.
结论1：
文
经过圆心 且垂直于 切线的直 线一定经 过切点.
探索性质
图
式
∵直线l与⊙O相切
O
（直线l是⊙O的切
线），l⊥OA于A，
A
l
∴点A为切点.
（1）求证：AC∥ED ;
∵D是 A⌒C的中点，
∴ A⌒D =
⌒ CD
，
∴∠2 = ∠3， 又∵OA = OC，∴OD⊥AC， E
D
C
1
42
3
A
O
B
例2.如图，AB为⊙O的直径，AC是弦，D是
⌒ AC
的中
点，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E.
（1）求证：AC∥ED ;
∵D是 A⌒C的中点，
O
问2：如图，已知⊙O的切线l，但切点未知，你能作出切点A吗？
探索性质
（2）若OA = AE = 4，求弦AC的长.
圆的切线垂直于过切点的半径.
A
CB
布置作业
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，点
O在AB上，OB = 2，以OB为半径的⊙O与AC相切
于点D，交BC于点E，求弦BE的长.
4
2 3
E
A
O
B
例2.如图，AB为⊙O的直径，AC是弦，D是
⌒ AC
的中
点，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E.
（2）若OA = AE = 4，求弦AC的长.
人教版九年级上册24.2.2直线和圆的位置关系课件2
A
EB
F O
D
G
C
同学们，再见！
3. 点P在⊙O外
A
O
M
P
B
作法：连接OP,
①作线段OP的中点M； ②作以M为圆心，OM长为半径的 ⊙ M ,与⊙O交于A,B两点； ③作直线PA,PB，则直线PA,PB即
为⊙O的两条切线.
作图依据？
作图依据： ①直径所对的圆周角是直角; ②经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线; ③两点确定一条直线.
解：∵ ⊙O是△ABC的内切圆.
例1 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F.
圆外一点引圆的两条切线 若AB=10， CA=17， BC=21. 可证四边形CDOF是正方形.
A l
其中a，b为直角三角形的直角边长；
线段PA,PB的长就叫点P到⊙O的切线长.
如图从圆外一点P引圆的两条切线PA，OPB，切点分别为A,B. P
锐角三角形的外心在形内；
锐角三角形的外心在形内；
切线长定理的证明及三种语言表达
在与三角形外接圆比较中加深对内切圆的理解
多边形的边都与圆相切叫“切”.
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
A
O P
CB
3.如图，AB，BC， CD分别与⊙O相切于E，F, G三点，且 AB∥CD，BO=6cm，CO=8cm.求BC的长.
B
， ， 设 OP与⊙O的交点分别为H G CN, 角平分线BM、CN的交点记为I；
由BD+CD=BC，得
还能得什么结论？
圆外一点引圆的两条切线
点P在⊙O上，过P点，可以作圆的一条切线；
其中a，b为直角三角形的直角边长；
人教版九年级数学上册24.2.2 直线和圆的位置关系(2)教学课件
3.如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝30°， 半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距
离为6cm，如果⊙P以1cm/s的速度沿A向B的方向 移动，则经过 4或8 秒后⊙P与直线CD相切
4.如图，以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB与小圆相切于点C，若大圆 半径为10cm，小圆半径为6cm，则弦 AB的长为 16 cm.
。 10
一、小组合作：
1.如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，E是BC 边上的中点，连接PE，则PE与⊙O相切吗？若相切，请加以证明， 若不相切，请说明理由。
解：相切； 证明：连结OP、BP，则OP＝OB. ∴∠OBP＝∠OPB. ∵AB为直径，∴BP⊥PC. 在Rt△BCP中，E为斜边中点， ∴PE＝ 1 BC＝BE.∴∠EBP＝∠EPB
二、自学检测：
1.如图，已知AB是⊙O的直径，PB
.
是⊙O的切线，PA交⊙O于C，AB＝
12
3cm，PB＝4cm，则BC＝ 5 cm
2.如图，BC是半圆O的直径，点D是半圆上
一点，过点D作⊙O的切线AD，BA⊥DA于
点A，BA交半圆于点E，已知BC＝10，AD ＝4，那么直线CE与以点O为圆心，52 为半
径的圆的位置关系是 相离 。
3.如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中 点于点D，DE⊥AC于E，连接AD，则下面 结论正确的有 ①②③④ 。
①AD⊥BC
②∠EDA＝∠B
③OA＝
1 2
AC
④DE是⊙O的切线
4.如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于T，
AC⊥PQ于C，交⊙O于D，若AD＝2，TC
＝3，则⊙O的半径是
归纳：1.经过 半径的外端 并且垂直于这条半径 的直线是圆的切线. 2.切线的性质有：①切线和圆只有 1个 公共点；②切线和圆 心的距离等于 半径 ；③圆的切线 垂直于 过切点的半径. 3.当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的， 辅助线常常是连接 圆心 和 切点 ，得到半径，那么半径 垂直于 切线.
离为6cm，如果⊙P以1cm/s的速度沿A向B的方向 移动，则经过 4或8 秒后⊙P与直线CD相切
4.如图，以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB与小圆相切于点C，若大圆 半径为10cm，小圆半径为6cm，则弦 AB的长为 16 cm.
。 10
一、小组合作：
1.如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，E是BC 边上的中点，连接PE，则PE与⊙O相切吗？若相切，请加以证明， 若不相切，请说明理由。
解：相切； 证明：连结OP、BP，则OP＝OB. ∴∠OBP＝∠OPB. ∵AB为直径，∴BP⊥PC. 在Rt△BCP中，E为斜边中点， ∴PE＝ 1 BC＝BE.∴∠EBP＝∠EPB
二、自学检测：
1.如图，已知AB是⊙O的直径，PB
.
是⊙O的切线，PA交⊙O于C，AB＝
12
3cm，PB＝4cm，则BC＝ 5 cm
2.如图，BC是半圆O的直径，点D是半圆上
一点，过点D作⊙O的切线AD，BA⊥DA于
点A，BA交半圆于点E，已知BC＝10，AD ＝4，那么直线CE与以点O为圆心，52 为半
径的圆的位置关系是 相离 。
3.如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中 点于点D，DE⊥AC于E，连接AD，则下面 结论正确的有 ①②③④ 。
①AD⊥BC
②∠EDA＝∠B
③OA＝
1 2
AC
④DE是⊙O的切线
4.如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于T，
AC⊥PQ于C，交⊙O于D，若AD＝2，TC
＝3，则⊙O的半径是
归纳：1.经过 半径的外端 并且垂直于这条半径 的直线是圆的切线. 2.切线的性质有：①切线和圆只有 1个 公共点；②切线和圆 心的距离等于 半径 ；③圆的切线 垂直于 过切点的半径. 3.当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的， 辅助线常常是连接 圆心 和 切点 ，得到半径，那么半径 垂直于 切线.
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下雨天当你快速转动雨伞时飞出的水，在砂轮上打磨工件飞
出的火星，都是沿着圆的切线的方向飞出的．
例1 如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，
CA=CB，求证：直线AB是⊙O的切线. 证明：连接OC.
∵ OA=OB ， CA=CB ，
A C B
O
∴△OAB是等腰三角形，OC是底边AB上的中线. ∴ OC⊥AB. ∴ AB是⊙O的切线.
证明: ∵ l1是⊙O切线， ∴ l1⊥OA. ∵ l2是⊙O切线， ∴ l2⊥OB.
O · A
∵AB为⊙O的直径，
∴ l1∥ l2 .
l2
B
课堂小结
1.切线的判断定理： 经过半径的外端，并且垂直 于这条半径的直线是圆的切线．
o
∵OA是⊙O半径，OA⊥l于A, ∴直线l是⊙O的切线。 2.切线的性质定理:
组卷网
（1）若AB和⊙O相离, 则 d > 5cm ; （2）若AB和⊙O相切, 则 d = 5cm ; （3）若AB和⊙O相交,则 0cm≤d < 5cm .
3.已知⊙O的直径是6，直线l和⊙O相交，圆心O到 直线l的距离是d，则d应满足( C ) A．d＞6 B ． 3＜ d＜ 6 C．0≤d＜3 D．0≤d＜6
24.2.2 直线和圆的位置关系
（第2课时）
一.复习旧知：
1.直线和圆的位置关系
—— 用公共点的个数来区分
直线和圆有两个公共点， 叫做直线和圆相交 ．
l 这时的直线叫做圆的割线 ．
直线和圆有唯一的公共点，
．O ． ． B A
． O 切点 A ． O
割 线
切 线
叫做直线和圆相切 ． 这时的直线叫切线，
定理证明
已知：直线CD与⊙O相切于点A， 求证：OA⊥CD . 证明：假设OA与CD不垂直，
过点O作一条半径垂直于CD，垂足为M， 则OM＜OA， 即圆心O到直线CD的距离小于⊙O的半径， 因此CD与⊙O相交， 这与已知条件“直线CD与⊙O相切” 矛盾， 所以OA与CD垂直．
C
． O
A M D
即圆的切线垂直于过切点的半径．
B
P
30º
D
M
.
A
Q
课后作业： 1、课本：P101页，第4、5题 2、基础训练：P55页，练习七
1、判断题： (1) 垂直于圆的半径的直线一定是这个圆的切线。 × (2) 过圆的半径的外端的直线一定是这个圆的切线 。 × 2、以三角形的一边为直径的圆恰好与另一边相 直角 三角形 切，则此三角形是__________
作业：
1.如图:公路MN和PQ在P处交汇, 且∠QPN=300 , 点 A处有一所中学, AP=160米, 假设拖拉机在公路MN行使 时, 周围100米以内会受到噪声的影响, 已知拖拉机的速 度为18km／h, 那么学校会受到影响吗? 如果会, 受到影 响的时间多长? N C
O ●
∴∠OAB＝180°-∠OBA-∠AOB＝90°
∴ 直线AB⊥OA 又∵直线AB经过⊙O 上的A点
∴直线AB是⊙O的切线
将上页思考中的问题反过来,如图， 如果直线l是⊙O的切线,切点为A,那 么半径OA与直线 l 是不是一定垂直呢? A O
l
切线的性质定理:
圆的切线垂直于过切点的半径.
可以用反 证法证明 这个结论.
二.学习新知：
如图，在⊙O中经过半径OA的外端点A 作直线l⊥OA,则圆心O到直线 l 的距离 是多少？ 直线 l 和⊙O有什么位置关系? A 这时圆心O到直线 l 的距离就是⊙O的半径．
由d=r
o
l
直线 l 是⊙O的切线．
切线的判断定理：
经过半径的外端，并且垂直于这条半径 的直线是圆的切线．
问题： 1. 当你在下雨天，快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？ 2. 砂轮打磨工件飞出火星的方向是什么方向？
圆 的 切 线 垂 直 过 切 点 的 半 径. ∵直线l与⊙O相切于点A， ∴OA⊥l.
A
l
课堂小结：
1、如何判定一条直线是已知圆的切线？
(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
(2)和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； (d=r)
(3)经过半径外端，并且和半径垂直的直线是圆的切线；
A 、经过圆上的一点； B、 垂直于过该点的半径； 2、圆的切线有什么性质？ 圆的切线垂直于经过切点的半径。
练习
1.如图，AB是⊙O的直径,∠B=45°, AT=AB.
B
求证：AT 是⊙O的切线. 证明: ∵ ∠B = 45°， AT=AB，
O · T A
∴ ∠T= ∠B=45 °
∴ ∠A= 180°－∠T－∠B = 90°.
∴ TA⊥OA. ∵ OA是⊙O的半径，来自∴ AT是⊙O的切线.
2.如图，AB是⊙O的直径,直线l1、l2是⊙O的切线， A、B是切点， l1、l2有怎样的关系？证明你的结论． l1 ∥ l2 l1
唯一的公共点叫切点． 直线和圆没有公共点， 叫做直线和圆相离 ．
l
l
2．直线和圆的位置关系 —— 数量特征
d
O
d：弦心距 r ：半径
r
l
直线 l 和⊙O相交
d<r d>r
O
d
r
直线 l 和⊙O相离 l
O
d
r
直线 l 和⊙O相切
l
d=r
练习：
1. 已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为 相交 d, （1）若d=4.5cm , 则直线与圆 相切 ; （2）若d=6.5cm , 则直线与圆 相离 ; （3）若d= 8 cm , 则直线与圆 . 2.已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据条件填写d的范围:
例2、如右图所示，已知直线AB经过⊙O上的点A，且AB＝OA， ∠OBA＝45°，直线AB是⊙O的切线吗？为什么？ 解：直线AB是⊙O的切线 。理由如下： 在圆O 中， ∵因为AB＝OA，∠OBA＝45°(已知) ∴∠AOB＝∠OBA＝45°(等边对等角) 又∵∠OAB＋∠OBA＋∠AOB ＝ 180° A B