2.1平面向量的实际背景及基本概念
平面向量的实际背景及基本概念
主讲人:王海田老师
北
前言:
西
Ａ 南
东 Ｂ
位置是几何学研究的重要内容之一,几何中常用点表 示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置. 如图,如何由A点确定B点的位置? 一种常用的方法是,以A点为参照点,用B点与A点之间 的方位和距离确定B点的位置,如,B点在A点南偏东45度,30 千米处.这样在A点与B点之间,我们可以用有向线段AB表示 . A B , AB B点相对于A点的位置.有向线段AB就是A点与B点之间的 位移.位移简明地表示了位置之间的相对关系.像位移这种 既有大小又有方向的量,加以抽象,就是我们本章将要研究 的向量. 向量是近代数学中重要和基本的概念之一,有深刻的几 何背景,是解决几何问题的有力工具.向量是沟通代数、几 何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在 数学和物理学科中具有广泛的应用。 那么你能举出一些这样既有方向，又有大小的量吗？
练习
练习： 练习： （1）下列各量中是向量的是（ B ） ）下列各量中是向量的是（ A．动能 B．重力 ． ． C．质量 D．长度 ． ．
F （2）等腰梯形 ABCD ，对角线 AC BD相交于点腰 AD 、 上， 过点 P且 EF // AB ，则下列等式正 确的是（ 确的是（ D ） A． AD = BC B．AC = BD ． ．
× ×
零向量 零向量
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什 ）若两个向量在同一直线上，
例
的中心， 例2．如图，设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，分别写出图中 ．如图，
OB 、 相等的向量． OC 相等的向量． 与向量OA 、
解： = CB = DO OA OB = DC = EO
§2.1平面向量的实际背景及基本概念
2.1 平面向量的实际背景及基本概念一、教材分析㈠地位与作用向量是近代数学最重要和最基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的桥梁，对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用．向量集数与形于一身，有着极其丰富的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景，有向线段是它的几何背景，向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念．经过研究，建立起完整的知识体系之后，向量又作为数学模型，广泛地应用于解决数学、物理学科及实际生活中的问题，因此它在整个高中数学的地位是不言而喻的．本课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用．本节概念课，重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是能让学生去体会认识研究数学新对象的方法和基本思路，进而提高提出问题，解决问题的能力．㈡学情分析1．知识储备：学生在物理学科中已经积累了足够多的向量模型，并且在三角函数线部分内容的学习中，已经接触到有向线段的概念，从而为本节课的学习提供了知识储备．2．能力储备：学生间通过一学期的共同学习，其合作探究的习惯和意识已然养成，这就为本节课的学习提供了认知储备．㈢教学目标1．知识与技能（1）通过对位移、速度、力等实例的分析，形成平面向量的概念；（2）学会平面向量的表示方法，理解向量集形与数于一身的基本特征；（3）理解向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念，并会区分平行向量、相等向量和共线向量．2．过程与方法（1）培养用联系的观点，类比的方法研究向量；（2）获得研究数学新问题的基本思路，学会概念思维．3．情感态度与价值观（1）使学生自然的、水到渠成的实现“概念的形成”；（2）让学生积极参与到概念本质特征的概括活动中，享受寓教于乐．㈣教学重难点1．教学重点：向量概念、向量的几何表示、以及相等向量、平行向量、共线向量的概念．2．教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．二、教法学法分析㈠教法分析根据本节课的特点及课改要求，为了加深学生对向量内涵的理解，应精心选例设问，引导学生的思考置疑.通过直观形象7具体7抽象7再具体的反复过程，使学生逐步理解概念，克服思维的负迁移．㈡学法分析学生主动参与,三、教学过程㈠课前1分钟㈡情境创设1南辕北辙一一战国时，有个北方人要到南方的楚国去.他从太行山脚下出发，乘着马车一直往北走去.有人提醒他：“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢？”他却说：“不要紧，我有一匹好马！”结果离目的地越来越远，原因方向错了；2.如图1,在同一时刻，老.鼠由A向西北方向的C处逃窜，猫在B处向正东方向的D处追去，猫能否抓到老鼠？结果无法抓到老鼠，原因方向错了 .思考：上述情景中，描绘了物理学中的哪些量？咱们还认识类似于上面的量，你能举出来吗？这些量的共同特征是什么？㈢形成概念观察：如下图中的三个量有什么区别?自主探究，合作交流的学习方式.l.tan 300'= ,2.ta n—：=___,3.tan 90"= ,4.tan 兀=姚明的身高h=2.26 m1.向量的物理背景与概念：力既有大小，又有方向.重力是竖直向下的，物体的质量越大，它受到的重力就越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的，物体浸在液体中的体积越大，它受到到的浮力就越大；被拉长或压缩的弹簧的弹力也有方向和大小.在数学中，我们把这种既有大小、又有方向的量叫做向量（年龄、身高、长度、面积、体积、质量等），称为数量.2.向量的表示方法：①几何表示法：向量常用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向. H （终点）②字母表示法：以A I为起点,B为终点的有向线段记为AB，线段AB的长度记作|AB|（读为模）；也可a,b,ill拍球的力F=20 N摩托车的速度v=80 km/h.只有大小、没有方向的量川A（起点）C4 D7.练习：如图4,小船由A 地向西北方向航行15海里到达B 地，小船的位移如何表示? （用1cm 表示5海里）数量与向量有何区别？数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有大小，方向，不能比较大小，模是实数，可以比较大小的. 说明：我们所说的向量，与起点无关，用有向线段表示向量时，起点 可以取任意位置.所以数学中的向量也叫自由向量. 有向线段与向量的区别： 有向线段：有固定起点、大小、方向； 向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向. 3.两个特殊的向量： j① 零向量一一长度为零的向量，记作0，零向量模为0，方向任意；② 单位向量一一长度等于1个单位长度的向量，单位向量模为1,方向不一定相同.思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？ 4. 平行向量： 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. 规定：零向量与任一向量平行.思考：两向量的平行与平面几何里两线段的平行有什么区别?5共线向量：a// b//c ，称 a 、任意一组平行向量都可以平移到同一直线上，故平行 向量又称共线向量.思考：两向量的共线与平面几何里两线段的共线是否 一样？ 6.相等向量：长度相等且方向相同的向量. 向量a 与b 相等，记作：a = b . 注意：①零向量与零向量相等；②任意两个相等的非零向量，都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.思考： 相反向量：长度相等且方向相反的向量. 向量a 与b 相反，记作：a = - b . ㈣拓展应用,_. _,T T T例2 .如图，设0是正六边形 ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量 OA 、OB 、OC 相4 4记作：a//be 与f 是平行向量吗?b 、c 为共线向量.-(-a) = ? -A B等的向量. .思考：①与向量 O A 长度相等的向量有多少个？ ② 是否有与向量 OA 长度相等，方向相反的向量？ ③ 与向量OA 共线的向量有哪些？ 例3.在图中的3x4方格纸中有一个向量 AB 分别以图中的格点为起点和终点作向量，其 中与AB相等的向量有多少个？与 AB 长度相等的共线向量有多少个？ ( AB 除外) (1) 共有7个向量与与AB 相等； (2) 共有15个向量与与AB 相等.例4 .下列命题正确的是( IIIIa 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线; IIII向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量; A. B. C. 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点; D. 有相同起点的两个非零向量不平行. ㈤ 1. A. B. 课堂精练 下列说法正确的是(C )共线的向量，若起点不同，则终点一定不同; II若a 与b 都是单位向量，则a = b ； C. 设0是正心ABC 的中心，则向量 AO 、BO 、CO 是模相等的向量; D. 2. (2) 向量AB 与CD 是共线向量，则 A B 、C 、D 四点必在一直线上. 判断下列说法是否正确： (1) (3) 一一 4 4若 a =b ，则 |a|=|b|;■I 4 -- 若 a// b ，贝y a = b ； 斗 T 4 4一一若 a =b ，b =c ，贝U a =c ； 4 4 4 4 4 4若 a//b,b//c ，贝U a//c . 0变题：若a = ]b ，则a = b ;变题：若a = b ，则 a 〃b ； (4)3•下列结论中正确的有 (1) (2) (3) (4)个 若两个向量相等，则它们的起点和终点分另憶合; 模相等的两个平行向量相等； 大小相等，方向不同的向量互为相反向量； 零向量没有方向； I I若a 的模比b 的模大，则a Ab .课堂感悟1.描述一个向量有两个指标 ----- 模、方向；2 •平行向量不是平面几何中平行线概念的简单移植，这儿的平行是指方向相同或相反的 一对向量，与长度无关；共线向量是指平行向量，与是否真的画在同一条直线上无关； 向量的图示，要标上箭头及起、终点，以体现它的直观性. 课后作业书P77-78习题2.1 A 组，B 组2 （做书上）; 预习2.2.1 ; 课时训练 课后反思3. 4. ㈦ 1. 2. 3. ㈧。
2.1平面向量的实际背景及基本概念
例1：已知O为正六边形ABCDEF的中心， 在图中所标出的向量中： E D (1)试找出与FE共线的向量；
F
O C
热 热 身
解： （1） OA BC， （2） FE BC
若不相等，则之间有什么关系？
A
B
（3）虽然OA // BC，且|OA|=|BC|，
立
BACK
练习：
1.已知a、b为不共线的非零向量,且
存在向量 c,使 c ∥ a, c ∥ b, 则
c =____ 0
BACK
练习：
1.与非零向量 a （非单位向量）平行的 2 向量中，不相等的单位向量有_____ 个.
BACK
练习：如图,EF是△ABC的中位线,AD是BC 边上的中
线,在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线 段表示的向量中请分别写出
三维目标 1.通过实例，利用平面向量的物理背景以及研 究平面向量的必要性，理解平面向量的概念以 及确定平面向量的两个要素，分清数量与向量 的区别。 2.理解自由向量、平行向量、相等向量、相反 向量等概念，并能判断它们之间的关系，并会 辨认图形中的相等向量或作出与某一向量相等 的向量。 3.在教学过程中，应充分根据平面向量的两个 要素加以研究向量的关系，揭示向量可以平移 这一特性。培养学生数形结合的思想。
教学反思：
位移和距离 这两个量
香港
上海 台北
想一想：
观察下述三个量，哪个与另两个有区别？
m=5kg
(1)
F=20N
(2)
v =20km/h
(3)
（2）（3）都是有大小和方向的量
授课教师：高 波
一、向量的定义
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
三 向量的表示
有向线段 AB 、a
长度（也称为模） AB 、｜a｜ 零向量 0 单位向量 a 0
四 向量的性质
1．向量有大小，但却不可以比较大小
2．向量不是有向线段，却用有向线段 表示
3．向量平行即共线
六 练习3
下列说法不正确的是（ ）． （A）若|a|=0，则a =0
（B）若| a |=|b|，则a = b （C）若a =0，则| a |=0 （D）若a = b ，则| a |=| b |
六 练习4
如图：四边形 ABCD 是平行四边形． 则下列哪些向量是相等的向量（ ）
（A） AD 和 BC
A
D
（B） AD 和 CB
（C） AB 和 CD B
C
（D） AC 和 BD
六 练习5 在等腰梯形 ABCD 中，AB∥CD， E、F 分别为 AD、BC 的中点．则
与 AB 共线的向量有_______个．
A
B
E
F
D
C
六 练习6
在平面直角坐标系 xoy 中，已知| OA |
＝4， OA 与 x 轴正方向成 60°角，
情感态度与价值观
• 了解数学是如何从具体的事物中抽象出向量的概念，强 化数学与物理之间有着密切联系的观念．
一 实例引入
广附 5 千米 北
60 西
六中
N f
30 G
二 向量的概念
位移和力这些物理量都是既有大小， 又有方向的量，在物理中称为“矢 量”．它们和长度、面积、质量等只有 大小的量是不同的．
4．零向量方向任意，可平行于任何向 量列量当中，不是向量的有（ ）个．
2.1-平面向量的实际背景及基本概念
AC 表示Ａ地至C地的
位移，且 AC 264k m
4、向量间的关系
（1）相等向量： 长度相等且方向相同的向量
叫做相等向量. 向量 a 与 b 相等，记作：a b
•向量不能比较大小，但可以说相等不相等
（2）平行向量： 方向 相同或相反的非零向量 叫平行向量，也叫共线向量. a b 记作：∥ 注：零向量与任意向量平行.
（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无 关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同 的向量； （2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起 点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向 线段.
即有向线段是固定的线段，而向量是可 以平移的.
4、向量的模及两个特殊向量 （1）向量的模:向量的大小就是向量的长 度，即向量的模.记作： | AB | （2）零向量: 长度为0的向量叫做零向量， 记作： 0 （3）单位向量： 长度（模）为1个单位长度 的向量叫单位向量.
引例
美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处获得信息：伊拉 克的军事目标距“小鹰”号1200公里。试问只知道这一信 息导弹是否能击中目标？
1200公里
答案：不能，因为 没有给定发射的方向.
1200公里
1200公里
1200公里
力：重力 ，浮力，弹力等
12N 5N f 1kg 5N f
许多物理量都有这样的性质．．．
注：①所有零向量都相等，且零向量的方向 是任意的. ②如果把所有单位向量的起点平移到同 一点上，那么终点都在同一个单位圆上.
例1 如图，试根据图中的比例尺以及三地的位置，在图中分 别用有向线段表示A地至B、C两地的位移,并求出A地至B、 C两地的距离（精确到1km).
2.7CM 3.3CM
2.1平面向量的实际背景及基本概念
向量的几何表示 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量
a
b
记作 a ∥ b ∥c
c
规定: 零向量与任一向量平行, 即对于任意向量a,都有0∥a
相等向量：长度相等且方向相同的向量。
a
b
记作: a = b
共线向量 任一组平行向量都可以移动到 同一直线上 a 平行向量也叫做共线向量。
b c
l
C
o B A
比较大小的，因此向量不能比较大小。
友情链接：物理中向量与数量分别叫做
矢量、标量
判断题
1.身高是一个向量（ ）
）
2.温度含零上和零下温度，所以温度是向量（
3.坐标平面上的 x 轴和 y 轴都是(
)
Hale Waihona Puke 2.1.2向量的几何表示 由于实数与数轴上的点一一对应,所以 数量常常用数轴上的一个点表示。 如：3,2,-1,…而且不同的点表示不同 的数量.
B
（知道了有向线段的起点、方向和长度， 它的终点就可以唯一确定.）
A
向量的几何表示：用有向线段表示。 向量AB的大小,也就是向量AB的长度（或 称模）,记作|AB|.
长度为0的向量叫做零向量（方向任意）。 记作0. |0|=0.
长度等于1个单位的向量，叫做单位向量. 向量的字母表示：（1）a、b、c.... （2）用表示向量的有向线段的起点和终 点字母表示，例如，AB，CD
思考：有向线段就是向量，向量就是有 向线段？ 有向线段只是一个几何图形，是 向量直观表示
例1 如图,试根据图中的比例尺以及三地 的位置,在图中分别用有向线段表示A地 至B、C两地的位移(精确到1km).
解:
AB表示A地至B地的位移,且
平面向量的实际背景及基本概念
一点P，那么它们的终点的集合组成什么图形？
提示：圆
P
相等向量： 长度相等且方向相同的向量.
向量 a与 相等，记作：
b
a b.
A1
a
A3A2
在实数中，我们有：若
=
b
A4, =
，则 B=1
B2
B3
，在向量中，你能提出类似的问题吗？结论怎样？
c
向量 AB 或a 的模 (或长度) 就是向量AB 或a 的大小,
记作：AB 或 a .
注：向量的模是可以比较大小的.
数量中有很特殊的数“0”，“1”，向量中有
没有类似的特殊向量？
零向量——长度为0的向量叫做零向量，记作 0.
零向量的方向是任意的！
单位向量——长度等于1个单位的向量，叫做单位向量.
图中与向量 OA 、OB 、OC 相等的向量。
B
A
O
C
F
D
E
解：
B
A
OA CB DO
OB DC EO
O
C
F
OC AB ED FO
D
E
变式练习:
1.与向量 OA 长度相等的向量有多少个？
2.是否存在与向量 OA 长度相等、方向
相反的向量？
3.与向量OA 共线的向量有哪些？
2.1平面向量的实际背景
及基本概念
向量的概念
向量：既有大小又有方向的量叫向量.
向量的两要素：大小、方向.
数量：只有大小没有方向的量.
数量可以比较大小,向量不能比较大小!
友情链接：物理中常把向量与数量分别叫做 矢量、标量.
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
2.1 平面向量的实际背景及基本概念向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 与长度相等方向相反的向量叫做的相反向量.课堂训练一、选择题1、下列物理量中， 不能称为向量的是 （ ）A ．距离B ．加速度C ．力D ．位移2、下列四个命题正确的是 （ ）A ．两个单位向量一定相等B ．若与不共线，则与都是非零向量C ．共线的单位向量必相等D ．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同3、下列说法错误的是 （ ）A ．向量OA 的长度与向量AO 的长度相等B ．零向量与任意非零向量平行C ．长度相等方向相反的向量共线D ．方向相反的向量可能相等4、对于以下命题：（1）平行向量一定相等； （2）不相等的向量一定不平行；（3）共线向量一定相等；（4）相等向量一定共线。
其中真命题的个数是 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5、在△ABC 中,AB=AC ,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则 （ ） A. 与AC 共线 B. 与CB 共线 C. 与相等 D. 与相等6、两个向量共线是两个向量相等的 （ ）A 、 充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、 既不充分也不必要条件二、填空题1、与非零向量平行的单位向量的个数是_______。
2、||||b a =是b a =的___ __条件。
3、已知B ，C 是线段AD 的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出___ __个互不相等的非零向量。
4、已知平面上不共线的四点满足=，则以下四个命题：（1）ABCD 是平行四边形；（2）ACBD 是平行四边形；（3）ADBC 是平行四边形；（4）ACDB 是平行四边形。
2.1平面向量的实际背景及基本概念
2.1平面向量的实际背景及基本概念要点1向量的概念既有大小又有方向的量，叫做向量只有大小，没有方向的量，叫做数量①向量的两要素：大小和方向②向量不能比较大小要点2向量的表示方法(1)几何表示（用有向线段表示）：①有向线段：带有方向的线段②画法:线段按一定的比例画出，其长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
③记法：以A 为起点，B 为终点的有向线段表示的向量记为AB ,其中线段的长度记作（读为向量AB 的模）④有向线段的三要素：起点、方向和长度。
⑤有向线段与向量的区别与联系区别：有向线段是固定的线段，而向量是可以自由移动的；联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说明向量就是有向线段；(2)字母表示： cb a大小（模）记为：要点3特殊的向量（1）零向量：长度为0的向量，记为；方向是任意的，模为0；（2）单位向量：长度为1的向量.①任意方向上都有单位向量，模为1；②把所有单位向量的起点平移到同一点P,则各向量的终点的集合是以点P 为圆心，1为半径的圆；③对任一非零向量a，a 是一个单位向量，且与a 方向相同；（即与非零向量a方向相同的单位向量是a）（3）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量.①方向相同或相反，大小不确定；②若是两个平行向量，则记为//；③任一组平行向量都可以移动到一条直线上，因此平行向量也叫共线向量；④⑤规定：零向量与任一向量平行，即对任一向量，a //0；⑥不具有传递性：时）不一定平行（与则若0,//,//=b c a c b b a ()CDAB CD AB C B A BC AB CD AB CD AB D C B A ////,,////,,,⇒⇒≠⇒三点共线直线平行向量平行平行或重合与直线为不同的四个点若a（4）相等向量:长度相等且方向相同的向量叫相等向量.①方向相同，模相等；②对于一个非零向量，只要不改变它的大小和方向，就可以任意平行移动，平移后的向量与原向量是相等的向量；③任意两个相等的非零向量，通过平移都可用同一条有向线段表示，且与有向线段的起点无关；④对一组相等向量，讲它们的起点平移到同一点P，则它们的终点重合；⑤传递性：===则若,,⑥⑦相等向量一定是共线向量（向量）共线向量（平行向量）不一定是相等向量是平行四边形，则四边形为不共线的四个点，若是平行四边形共线或四边形，则若ABCD DC AB D C B A ABCD D C B A DC AB ==,,,,,,。
2.1平面向量的实际背景及基本概念
六. 向量间的关系
1. 相等向量
a
b
如果向量 a 与b 的模相等,且方向相同, 那么它们叫做相等向量，记作 a b .
• 零向量与零向量相等
显然 AA 0
• 任何两相等的非零向量都可用同一有向线段表示， 与起点无关. • 一切向量都可以在不改变它大小和方向的前提下， 将它平移到任何位置，得到的向量都是相等的.
E
练习:
1、下列命题正确的是
（A）共线向量都相等
( D
)
（B）单位向量都相等
（C）平行向量不一定是共线向量
（D）零向量与任一向量平行
2.下列说法正确的是 ( A) A) 方向相同或相反的向量是平行向量. B) 零向量是0 . C)长度相等的向量叫做相等向量. D) 共线向量是在一条直线上的向量. 3.已知a、b是任意两个向量,下列条件: ①a=b; ②|a|=|b|; ③a与b的方向相反; ④ a与b都是单位向量. ①③ 其中是向量a与b平行的有_____.
D C
例1．判断下列命题真假或给出问题的答案： （1）平行向量的方向一定相同． （2）不相等的向量一定不平行．
× ×
零向量
（3）与零向量相等的向量是什么向量？ （4）存在与任何向量都平行的向量吗？
零向量
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是 什么向量？ 平行向量（共线向量） （6）两个非零向量相等的条件是什么？ 模相等且方向相同
小结:
定义 表示 向量
几何表示法：有向线段
符号表示法： a ，b，AB 长度（模） 零向量 向量的有 特殊向量 单位向量 关概念 向量间 平行（共线）
的关系 相等
记作 AB ， a
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
§2.1 平面向量的实际背景及基本概念学习目标：了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.学习重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.学习难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学习过程：一、复习引入 请同学想想哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？二、新课学习：1.向量的概念：我们把____________________________________叫向量数量与向量的区别：_______________________________________2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ；.有向线段：____________线段就叫做有向线段，三个要素：______________- ④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |.3.零向量、单位向量概念：①_______________叫零向量，记作____ 的方向是任意的注意0 与0的区别②__________________________叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.4.平行向量定义：①__________________________叫平行向量；②我们规定_________与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量a 、b 、c 平行，记作a ∥b ∥c .6、相等向量定义：___________________________________叫相等向量.A(起点) B （终点）a说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与．有向线段的起点无关．．．．．．．．．.7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有．．向线段的起点无关）．．．．．．．．．.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.三：理解和巩固：例1 书本第75页例1.例2 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量.变式一：与向量长度相等的向量有多少个？变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？变式三：与向量共线的向量有哪些？练习1.（1）平行向量是否一定方向相同？（2）不相等的向量是否一定不平行？（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（7）共线向量一定在同一直线上吗？2．课本77页练习四小结：向量及向量的有关概念、表示方法，还知道有两个特殊向量，最后学了向量间的两种关系，即平行向量（共线向量）和相等向量课后作业：课本77页习题2.1A组第3、4、5题。
说课第二章 平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念
200km .
AC 表示A地至C地的位移，且
280km .
25
平行向量：
向量间的关系
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定0与任一向
a
量平行.
b
c
26
讲授新课
6.平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行. a
b c
决数学问题。
（三）情感态度与价值观
经历平面向量的概念的探索过程，提高自主探究能力，进
一步提高学习数学的乐趣，由感性思维逐步提升到理性思
维。
7
（四）学科核心素养 a. 数学抽象：平面向量的概念 b. 逻辑推理：共线向量的判断 c. 数学运算：向量相等 d. 直观想象：向量的几何表示 e.数学建模：向量概念的建立
直线与直线的位置关 系里,严格区分直线和 直线位置关系,平行就 是共面前提下的无交 点,平行不共线.
29
相等向量：长度相等，方向相同的两个向量。
a
b
ab
对向量的大小和方向都明确规定
a
b
方向相同
a
b
30
思 （1）相等向量一定是平行向量？
考
a
：
是
b
（2）平行向量一定是相等向量？
以A为起点、B为终点的有向线段 记作: AB
起点写在终点的前面.
A(起点)
B (终点)
线段AB的长度也叫做有向线段 AB 的长度，记作: AB
有向线段的三要素：起点、，它的终 点就唯一确定.
22
3. 向量的表示方法：
(1)几何表示法：用有向线段表示
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
基础梳理 一、向量的概念
1．向量的实际背景
有下列物理量：位移，路程，速度，速率，力，质量， 密度，其中位移，速度，力都是既有________又有________ 的量．路程，速率都是________的量． 2．平面向量是既有________又有________的量，向量 ________比较大小．
向量．
→
→ → → → → 解析：与OA相等的向量有CB、DO、EF，与OB相等 → → → → → → → 的向量有FA、EO、DC，与OC相等的向量有AB、FO、ED.
点评： 两个向量相等要求大小相等且方向相同，缺一 不可．
跟踪训练
2．例2中与向量 AD 共线的向量有哪些？ → → → → 解析：与向量AD共线的向量有 9 个：DA、EF、FE、 → → → → → → AO、OA、OD、DO、BC、CB. 3．在下列命题中： ①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行； ③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等 的向量是相等向量；⑥平行于同一个向量的两个向量是共 线向量． 其中不正确的命题是________． ①②③⑤
→
向量在实际生活中的应用 一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B 点，然后又改变方向向西偏北50°走了200千米到达C点，最 后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点． (1)作出向量 AB ，→ ，→ ； BC CD
→
(2)求| AD |.
分析：解答本题应首先确定指
→
向标，然后根据行驶方向确定出有
思考应用 3．共线向量有几种情况？方向为南偏西的向量与北偏东
的向量是共线向量吗？
解析：共线向量有四种情况：方向相同且模相等，方向 相同且模不等，方向相反且模相等，方向相反且模不等．方 向为南偏西的向量与北偏东的向量方向相反，它们是共线向 量．
§2.1平面向量的实际背景及基本概念
2013-1-10
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
9
§2.1平面向量的实际背景及基本概念
§ 2.1.2
向量的几何表示
判断题 1.温度含零上和零下温度，所以温度是向量（ 2.向量的模是一个正实数。（ 3.若|a|>|b| ，则a > b ） ）
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§2.1平面向量的实际背景及基本概念
课堂练习 <<教材>> P.5 书面作业 <<教材>> P.77 习题2.1 A组3.4.5.6 B组2 练习1.2.3.4.5
2013-1-10
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( 2 ) 若 | a | | b |, 则 a b ; ( 3 ) 若 AB DC ， 则 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 AB DC ; ;
( 4 )平行四边形 ( 5 )若 m
ABCD 中 ， 一 定 有 k;
n, n k , 则 m
( 6 ) 若 a // b , b // c , 则 a // c 其中不正确命题的个数 A .2
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§2.1平面向量的实际背景及基本概念
§ 2.1.3 相等向量与平行向量 1.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向 量。向量 a 与 b 相等，记作：a b
a b V4 c a=b=c
注：1.若向量 a , b
V1 V2 V3
§2.1平面向量的实际背景及基本概念
平面向量的实际背景及基本概念
2．1 平面向量的实际背景及基本概念你昨天听天气预报了吗？今天白天的天气情况如何？温度15～32℃，东南风3～4级．天气情况中涉及两个量：一个是温度，另一个是风速．前者在选定单位后，用一个实数就可以确切地表示；而后者则不同，除说明它的大小外，同时还必须说明它的方向．回顾学习数的概念我们可以从一支笔、一棵树、一本书……中抽象出只有大小的数量“1”．类似地，我们可以对力、位移……这些量进行抽象，形成一种新的量，即本节知识——向量．1．概念(1)向量：既有__大小__，又有__方向__的量叫做向量，如力、位移等．(2)数量：只有大小，没有__方向__的量称为数量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等．[知识点拨]向量与数量的区别：向量有方向，而数量没有方向；数量之间可以比较大小，而向量之间不能比较大小．(3)有向线段：带有__方向__的线段叫做有向线段．其方向是由__起点__指向__终点__，以A 为起点、B 为终点的有向线段记作 AB →(如图所示)，线段__AB __的长度也叫做有向线段AB →的长度，记作|AB →|.书写有向线段时，起点写在终点的前面，上面标上箭头．(4)有向线段的三个要素：__起点__、__方向__、__长度__.知道了有向线段的起点、方向、长度，它的__终点__就唯一确定．[知识点拨]有向线段与向量的区别和联系区别从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度三个要素．因此，这是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的线段，而向量是可以自由平移的联系有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段，每一条有向线段对应着一个向量，但每一个向量对应着无数多条有向线段2．向量的表示法(1)几何表示：用__有向线段__表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．向量的大小就是向量的__长度__(或称模)，如果向量AB →的长度记作 |AB →| ．(2)字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母a 、b 、c 、…表示向量，书写时，可写成带箭头的小写字母a →、b →、c →，….还可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如以A 为起点，以B 为终点的向量记为AB →．3．有关概念[知识点拨]1.理解向量概念应关注的三点(1)本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．(2)相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等的向量． 2．对平行向量、相等向量概念的理解(1)平行向量是指方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量平行，即对任意的向量a ，都有0∥a ，这里注意概念中提到的“非零向量”．(2)对于任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定的．(3)相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等向量． 1．下列物理量中不是向量的有( A )(1)质量 (2)速度 (3)力 (4)加速度 (5)路程 (6)密度 (7)功 (8)电流强度 A ．5 B ．4 C ．3D ．2[解析] 看一个量是否为向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，特别是方向的要求，对各量从物理本身的意义作出判断，(2)(3)(4)既有大小也有方向，是向量，(1)(5)(6)(7)(8)只有大小没有方向，不是向量．2．单位向量的长度等于( B ) A ．0B ．1C ．2D ．不确定3．设O 是等边三角形ABC 的外心，则向量OA →，OB →，CO →是( D ) A ．相同起点的向量 B ．平行向量 C ．相等向量D ．模相等的向量[解析] 如图，易知A 、B 、C 均错误；由题意得点O 到△ABC 的三个顶点的距离相等，∴|OA →|＝|OB →|＝|CO →|，故选D ．4．如图所示，四边形ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形，(1)图中与AB →共线的向量有 DC →、CD →、BE →、EB →、AE →、EA →、BA →； (2)图中与AB →相等的向量有 DC →、BE →；(3)图中与AB →模相等的向量有 DC →、CD →、BA →、BE →、EB →、DA →、AD →、CB →、BC →； (4)图中与EC →相等的向量有 BD →．[解析] 根据向量共线、相等和向量模的定义观察图形．命题方向1 ⇨向量相等、向量共线的概念 典例1 给出下列命题： (1)平面向量的方向一定相同； (2)向量的模一定是正数；(3)始点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；(4)若向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一直线上． 其中正确的序号是__(3)__．[思路分析] 从共线向量、单位向量、相反向量等的概念及特征进行逐一考察，注意各自的特例对命题的影响．[解析] (1)错误．两向量方向相同或相反都视为平行向量．(2)错误．|0|＝0.(3)正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．(4)错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB →，CD →必须在同一直线上．故填(3)．『规律总结』 对于判断命题正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，有时对错误命题的判断只需举一反例即可．〔跟踪练习1〕给出下列几种说法： ①若非零向量a 与b 共线，则a ＝b ； ②若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ； ③若两向量可移到同一直线上，则两向量相等； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ． 其中错误的序号是__①②③④__．[解析] ①错误．共线向量指向量的基线互相平行或重合，其方向相同或相反，所以共线向量未必相等．②错误．向量是既有大小，又有方向的量，不能比较大小．③错误．两向量可移到同一直线上，则表示两向量的有向线段在同一条直线上，但两向量的大小和方向不一定都相同．④错误 .当b ＝0时，则a 与c 就不一定平行了． 命题方向2 ⇨考查向量相等或共线典例2 如图所示，△ABC 中，三边长均不相等，E 、F 、D 分别是AC ，AB ，BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量； (2)写出与EF →长度相等的向量； (3)写出与EF →相等的向量．[思路分析] (1)共线向量只需在图中找出与线段EF 平行或共线的所有线段，再把它们表示成向量即可；(2)在图中找出与线段EF 长度相等的所有线段，再把它们表示成向量即可；(3)相等向量必须满足两个条件：方向相同，长度相等，与起始点的位置无关，所以只需在图中找与线段EF 平行且长度相等的所有线段，再将它们表示成方向与EF →的方向相同的向量．[解析] (1)∵E ，F 分别是AC ，AB 的中点，∴EF ∥BC ， ∴与EF →共线的向量为FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →．(2)∵E ，F ，D 分别是AC ，AB ，BC 的中点，∴EF ＝12BC ，BD ＝DC ＝12BC ，∴EF ＝BD＝DC ．∵AB ，BC ，AC 均不相等，∴与EF →长度相等的向量为FE →，BD →，DB →，DC →，CD →． (3)与EF →相等的向量为DB →，CD →．〔跟踪练习2〕如图所示，点O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED 、OCFB 都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出与AO →、BO →相等的向量； (2)写出与AO →共线的向量； (3)写出与AO →的模相等的向量； (4)向量AO →与CO →是否相等？ [解析] (1)AO →＝BF →，BO →＝AE →； (2)与AO →共线的向量为：BF →，CO →，DE →；(3)|AO →|＝|CO →|＝|DO →|＝|BO →|＝|BF →|＝|CF →|＝|AE →|＝|DE →|； 向量的几何表示用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形的知识求出向量的方向或长度，选择合适的比例关系作出向量．典例3 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．(1)作出向量AB →、BC →、CD →； (2)求|AD →|．[解析] (1)向量AB →、BC →、CD →，如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，又|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中， AB 綊CD ．∴四边形ABCD 为平行四边形． ∴AD →＝BC →.|AD →|＝|BC →|＝200 km ．『规律总结』 1.准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．2．要注意能够运用向量观点将实际问题抽象成数学模型．“数学建模”能力是今后能力培养的主要方向，需要在日常学习中不断积累经验．〔跟踪练习3〕飞机从A 地按北偏西15°的方向飞行1400km 到达B 地，再从B 地按东偏南15°的方向飞行1400km 到达C 地，那么C 地在A 地什么方向？C 地距A 地多远？[解析] 如图所示，AB →表示飞机从A 地按北偏西15°方向飞行到B 地的位移，则|AB →|＝1400km ．BC →表示飞机从B 地按东偏南15° 方向飞行到C 地的位移，则|BC →|＝1400km ． 所以AC →为从A 地到C 地的位移．在△ABC 中，|AB |＝|BC |＝1400，且∠ABC ＝(90°－15°)－15°＝60°，所以∠BAC ＝60°，且|AC |＝1400．所以C 地在A 地北偏东60°－15°＝45°，距离A 地1400km ． 混淆向量的有关概念典例4 给出下列四个命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若a ∥b ，则|a |＝|b |；④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中，正确的命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[错解] D[错因分析] 对向量的有关概念的理解错误，将向量的模与绝对值混淆．[思路分析] ①忽略了0与0的区别，a ＝0；②混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等；④当b ＝0时，a 、c 可以为任意向量，故a 不一定平行于c ．[点评] 明确向量及其相关概念的联系与区别：(1)区分向量与数量：向量既强调大小，又强调方向，而数量只与大小有关．(2)零向量和单位向量都是通过模的大小来确定的．零向量的方向是任意的．(3)平行向量也叫共线向量，当两共线向量的方向相同且模相等时，两向量为相等向量． 〔跟踪练习4〕下列说法正确的是( C ) A ．平行向量就是向量所在直线平行的向量 B ．长度相等的向量叫相等向量 C ．零向量的长度为0D ．共线向量是在一条直线上的向量[解析] 平行向量所在直线可以平行也可以重合，故A 错；长度相等，方向不同的向量不是相等向量，故B 错；共线向量即平行向量，不一定在同一条直线上，故D 错．故选C ．K 课堂达标验收e tang da biao yan shou1．下列说法正确的是( C ) A ．若|a |>|b |，则a >b B ．若|a |＝|b |，则a ＝b C ．若a ＝b ，则a ∥bD ．若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量[解析] A 中向量不能比较大小，B 中向量模相等，可能方向不同，D 中不相等的向量可能方向相同或相反，可以是共线向量，于是A 、B 、D 都是错误的，C 显然正确．2．若a 为任一非零向量，b 为单位向量，则下列各式： ①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1；⑤a|a |＝b ．其中正确的是( B ) A ．①④⑤ B ．③ C ．①②③⑤D ．②③⑤[解析] |a |不一定大于1，|b |＝1，∴①④不正确；a 与b 不一定平行，故②不正确.a|a |是a 方向上的单位向量，不一定平行于b ，故⑤不正确．3．如图，在正方形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，则图中与OA →相等的向量是( D )A ．OC →B ．OD →C ．OB →D ．CO →[解析] OA →与CO →方向相同且长度相等，则OA →＝CO →．4．在四边形ABCD 中，AB →∥CD →，|AB →|≠|CD →|，则四边形ABCD 是( A ) A ．梯形 B ．平行四边形 C ．矩形D ．正方形[解析] ∵AB →∥CD →，∴AB ∥CD ． 又∵|AB →|≠|CD →|，∴AB ≠CD ．∴四边形ABCD 是梯形．5．在平面上将所有模长相等的向量的起点放在同一点，则它们的终点组成__一个圆__． [解析] 模长相等的向量放在同一起点上，则各终点到该起点的距离相等，所以各终点应在同一个圆上．A 级 基础巩固一、选择题1．下列说法中，正确的个数是( B ) ①时间、摩擦力、重力都是向量； ②向量的模是一个正实数； ③相等向量一定是平行向量；④向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量． A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 对于①，时间没有方向，不是向量，摩擦力、重力都是向量，故①错误；对于②，零向量的模为0，故②错误；③正确，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量；④显然正确．2．下列说法中，不正确的是( D ) A ．向量AB →的长度与向量BA →的长度相等 B ．任何一个非零向量都可以平行移动C ．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D ．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同[解析] 很明显选项A ，B ，C 正确，共线向量只与方向有关，方向相同或相反的向量都是共线向量，所以选项D 不正确．3．下列命题中正确的个数为( B )①两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同；②若非零向量AB →与CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ③若非零向量a 与b 共线，则a ＝b ；④四边形ABCD 是平行四边形，则必有|AB →|＝|CD →|； ⑤a ∥b ，则a 、b 方向相同或相反． A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个[解析] ①显然错误；②中AB →与CD →共线，只能说明AB 、CD 所在直线平行或在一条直线上，所以错；③a 与b 共线，说明a 与b 方向相同或相反，a 与b 不一定相等，所以③错； ④对；⑤a 可能为零向量，则a ∥b ，但零向量的方向为任意的，所以⑤错．4．某人向正东方向行进100米后，再向正南方向行进1003米，则此人位移的方向是( C )A ．南偏东60°B ．南偏东45°C ．南偏东30°D ．南偏东15°[解析] 如图所示，此人从点A 出发，经由点B ，到达点C ，则tan ∠BAC ＝1003100＝3，∴∠BAC ＝60°，即位移的方向是东偏南60°，即南偏东30°，应选C ． 5．命题“若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ”( C ) A ．恒成立 B ．当a ≠0时成立 C ．当b ≠0时成立D ．当c ≠0时成立6．下列说法正确的是( C )A ．若|a |＝|b |，则a 、b 的长度相等且方向相同或相反B ．若向量AB →、CD →满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →C ．若a ≠b ，则a 与b 可能是共线向量D ．若非零向量AB →与CD →平行，则A 、B 、C 、D 四点共线[解析] A 不正确．|a |＝|b |，但a 与b 方向可任意．B 不正确，向量不能比较大小．C 正确．D 不正确.AB →与CD →平行，则直线AB 与CD 可能平行，可能重合，则A ，B ，C ，D 四点不一定共线，故选C ．二、填空题7．零向量与单位向量的关系是__共线__(填“共线”、“相等”、“无关”)． 8．等腰梯形ABCD 两腰上的向量AB →与DC →的关系是 |AB →|＝|DC →| ． 三、解答题9．如图，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中，(1)写出与AF →、AE →相等的向量； (2)写出与AD →模相等的向量．[解析] (1)与AF →相等的向量为BE →、CD →，与AE →相等的向量为BD →． (2)DA →，CF →，FC →．10．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：(1)与AB →相等的向量共有几个；(2)与AB →平行且模为2的向量共有几个？ (3)与AB →方向相同且模为32的向量共有几个？[解析] (1)与向量AB →相等的向量共有5个(不包括AB →本身)． (2)与向量AB →平行且模为2的向量共有24个． (3)与向量AB →方向相同且模为32的向量共有2个．B 级 素养提升一、选择题1．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为( C ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形D ．等腰梯形[解析] 由BA →＝CD →⇒BA ∥CD 且|BA →|＝|CD →|，又|AB →|＝|AD →|，故四边形ABCD 为菱形. 2．下列说法中错误的是( C )A ．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段B ．若向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量C ．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D ．方向相反的两个非零向量必不相等[解析] 长度相等方向相反的两个向量为相反向量，一定为共线向量，故C 错误． 3．等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E ，点F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P 且EF ∥AB ，则下列等式正确的是( D )A ．AD →＝BC →B ．AC →＝BD → C ．PE →＝PF →D ．EP →＝PF →[解析] 由相等向量的定义，显然EP →＝PF →．4．已知A ＝{与a 共线的向量}，B ＝{与a 长度相等的向量}，C ＝{与a 长度相等，方向相反的向量}，其中a 为非零向量，则下列命题中错误的是( B )A ．C AB ．A ∩B ＝{a }C ．C BD ．A ∩B{a }[解析] 因为A ∩B 中还含有a 方向相反的向量，所以B 错． 二、填空题5．如图ABCD 是菱形，则在向量AB →、BC →、CD →、DA →、DC →和AD →中，相等的有__2__对．[解析] AB →＝DC →，BC →＝AD →.其余不等．6．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O ，则这些向量的终点构成的图形的面积等于__3π__．[解析] 这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π． 三、解答题7．如图所示，已知四边形ABCD 和四边形ABDE 都是平行四边形． (1)与AB →相等的向量有哪些？(2)与AB →共线的向量有哪些？ (3)若|AB →|＝1.5，求|CE →|的大小．[解析] (1)与AB →相等的向量即与AB →同向且等长的向量，有ED →，DC →．(2)与AB →共线的向量即与AB →方向相同或相反的向量，有BA →，ED →，DC →，EC →，DE →，CD →，CE →．(3)若|AB →|＝1.5，则|CE →|＝|EC →|＝|ED →|＋|DC →|＝2|AB →|＝3．8．已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000km 到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000km 到达丙地，再从丙地按西南方向飞行10002km 到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？[解析] 如图所示，A 、B 、C 、D 分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形ABC 为正三角形，∴AC ＝2000km ．又∵∠ACD ＝45°，CD ＝10002，∴△ACD 为直角三角形，即AD ＝10002km ，∠CAD ＝45°． 答：丁地在甲地的东南方向，距甲地10002km ．C 级 能力拔高如图四边形ABCD 、CEFG 、CGHD 都是互相全等的菱形，则下列关系不一定成立的是( C )A ．|AB →＝|EF →| B ．AB →与FH →共线 C ．BD →＝EH →D ．DC →与EF →共线[解析] A 一定成立，B 一定成立，D 因DC →与EF →一定不共线，故一定不成立，故选C ．。
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
D.向量的模可以比较大小 √
类型二
相等向量与共线向量
③④⑤ 填序号) 例2 (1)下列说法正确的是________.( ①若a≠b，则a一定不与b共线； → → ②若AB＝DC，则 A，B，C，D 四点是平行四边形的四个顶点； → → ③在平行四边形 ABCD 中，一定有AB＝DC； ④若向量a与任一向量b平行，则a＝0；
跟踪训练2 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心.
→ (1)与OA的模相等的向量有多少个？
解 → 与OA的模相等的线段是六条边和六条半径(如 OB)， 而每一条线段可
以有两个向量，所以这样的向量共有 23 个.
→ (2)是否存在与OA长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？
解
→ 存在.由正六边形的性质可知， BC∥AO∥EF， 所以与OA的长度相等、
终点也不一定相同；零向量的模都是0，但方向不确定；两个单位向量
也可能反向，则不相等，故B，C，D都错误，A正确.故选A.
反思与感悟
解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向
量要特别注意方向问题.
跟踪训练1 下列说法中正确的是
A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
行 向量也叫做共线向量.也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因
此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共 线相混淆. 思考3 若a∥b，b∥c，那么一定有a∥c吗？ 答案 不一定.因为当b＝0时，a，c可以是任意向量.
[思考辨析 判断正误] 1.向量就是有向线段.( × ) 提示 向量可以用有向线段来表示，但并不能说向量就是有向线段.
2.1平面向量的实际背景及基本概念
讨论：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，
它们的终点构成的集合是什么图形？ 单位圆
零向量和单位向量都只对大小作了规定
如果我们只对两个向量的方向作个规定，这样 的两个向量是什么向量？
知识建构
r
二.向量的关系
ar
思考四：类比“两直线的平行”， 如何表述“向量的平行”呢？
知识建构
1.向量的定义：
既有大小又有方向的量称为向量
向量的两个基本特征：大小、方向
思考一 对于一个新的量，首先要研究如何
表示，例如数量可用数轴上一个点来表 示，那么你觉得向量应如何表示？
2.向量的表示
(1) 几何表示：
用有向线段表示；
(2) 代数表示：
有向线段三要素： 起点、大小、方向
B（终点）
第二章 平面向量
2.1平面向量的实际背景及基本概念 2.2平面向量的线性运算 2.3平面向量的基本定理及坐标表示
2.4平面向量的数量积 2.5平面向量应用举例
B
C A
带着问题奔向课堂
Questioning
向量与数量的区别
向量用什么来表示？
认真听讲 仔细思考 积极发言
知识 方法 技能br cFra bibliotekr d
平行向量：
B
A
C
D
➢一组方向相同或相反的非零向量叫做 平行向量。
➢ 规定：零向量与任一向量平行。
r
a
r b
rr
记做：a / /b
知识建构
向量的物理背景
向量的概念
两个特征
表示法 两个向量
平
行
模
方 向
几代 何数
2.1平面向量实际背景及基本概念
r ar
br c
零向量与任一向量平行，即对于任 意向量a，都有0 // a 。
2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向 量。
记作：a = b
规定：0 = 0
a b
.
o
相等向量一定是平行向量吗? 平行向量一定是相等向量吗?
向量相等
向量平行
平行向量又叫做共线向量
a
b c
记作 a ∥b ∥c
C
一平行四边形的四顶点 C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行
例心3，．如分图别，写设出O图是中正与六向边量形OuuAuAr 、BOuCuBuDr 、EOuFuCu的r 相中
等的向量。
uuur uuur uuur
B
A 解：OA CB DO;
C
O
uuur uuur uuur OB DC EO;
2.1.1 向量的物理背景与概念 2.1.2 向量的几何表示 2.1.3 相等向量与共线向量
引例1
美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处获得信息：伊
拉克的军事目标距“小鹰”号1200公里。试问只知道这一 信息导弹是否能击中目标？
答案：不能，因为 没有给定发射的方向.
1200公里
1200公里
1200公里
1200公里
引例2
B A
嘻嘻!大笨猫！ 唉, 哪儿去了?
引例3
力：重力 ，浮力，弹力等
12N
5N f
1kg
5N f
许多物理量都有这样的性质．．．
抽 象 有大小又有方向的量叫向量。 注：1.向量两要素：大小，方向
2.向量与数量的区别： ①数量只有大小 ，可以比较大小。 ②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比 较大小的，因此向量不能比较大小。
平面向量的实际背景及基本概念(新编201908)
（二）向量AB的大小(长度)称为向量的模，记作| AB |.
（三）两个特殊向量：零向量、单位向量： ①长度为0的向量叫零向量，记作0。0的方向是任意
的。零向量的模是零，记作 0 0
②长度为1个单位的向量，叫单位向量，记作e。
； /naotankf 脑瘫康复训练 脑瘫康复效果 脑瘫康复训练方法 ；
衣之士 辅国将军刘思效破魏青州刺史元系于胶水 壬午 国容不入军 治致太平 元树攻魏建陵城 非止一事 各巡境界 都督雍梁南北秦四州郢州之竟陵司州之随郡诸军事 三月丙午 魏遣使来聘 江 沿波驰艓 经营四方 九月 衡 朕达听思治 永嘉十郡 石首 百年将半 秋七月辛卯 金匮玉鼎之谋 泣
血治兵 有乖礼制 古者哲王咸用此作 多容违惰 亦曰惟允 激扬大节 群凶四灭 茅 卧薪待然
2.1 平面向量的实 际背景及基本概念
引入:
观察右边四个图，
你有什么发现？
新课讲解 ：
向量的定义：既有大小，又有方向 的量叫做向量
想一想：在物理学当中，除力，位移外还有哪些量
是向量? 速度，加速度等
(一)向量的表示方法： 用有向线段表示；
用黑体小写字母a、b等表示；（手写时为了区别， 一定要在上面加个箭头！）
元庆和以涡阳内属 同坐入愆 是月 百济 以护军将军始兴王憺为平北将军 书契不传 置《五经》博士各一人 理当忷惧 晦明非一 治五韪于已乱 山贼聚结 蠲课五年 民悦法行 正月己酉 征吴兴太守裴之横帅众继之 故端居玄扈 以中抚将军 大雪 丁卯 骆驿系进 熔铸六合 卿云丛天而已哉 彫阳
焉 伊此傥来 十八年春正月甲申 丙寅 以宣毅将军庐陵王续为雍州刺史 尤贫之家 世祖时位长连率 《洞林》三卷 恃镇军靖镇之耳 所经县邑 右将军萧坦之 诏曰 青州朐山境陨霜 安右将军 彼未必能信 生民涂炭 宝器存乎至重 思治之氓 新除车骑将军韦叡卒 星陨如雨 及今猜防未生 许荐任
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规定：0与任一向量平行。 C OA = a A B
. o
l
OB = b
OC = c
问：把一组平行于直线l的向量的起点平移到直线l上的 一点O ，这时它们是不是平行向量？ 各向量的终点与直线l之间有什么关系？
1.若非零向量AB//CD ，那么AB//CD吗？ 2.若a//b ,则a与b的方向一定相同或相反吗？
两个特殊向量
1.零向量: 长度（模）为0的向量，记作 0
规定： 0 方向是任意的。
2.单位向量: 长度（模）为1个单位长度 的向量
判断题
1.身高是一个向量（
） ）
2．温度含零上和零下温度，所以温度是向量（
3.坐标平面上的 x 轴和 y 轴都是向量。（ ）
1.如图，在 ABCD中， AB与DC有何关系？
(4)单位向量都相等.
(x)
例题精析
【例1】:如图，设O是正六边形的中心，分别写 出图中与向量 OA 、OB 、 OC 相等的向量。
B A
C
O
F
D
E
解：
B
A
OA CB DO
OB DC EO
C
O
F
OC AB ED FO
D E
向量
概念 长度（或模） 概念 向量 符号表示 零向量 特殊向量 单位向量 有向线段 几何： 大写字母）： AB 有向线段的起点终点（ 表示符号 小写字母：a 关系 平行（共线）
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比
较大小的，因此向量不能比较大小。 向量可以在平面内任意平移，与位置无关
注：我们所学的向量常被称为自由向量.
复习：
１. 数量的表示：
由于实数与数轴上的点一一对应，所以数 量常常用数轴上的一个点表示，如3，2， -1，…而且不同的点表示不同的数量。
-1
0
1
2
3
相等
小结
找准方向+看到差距+努力=成功
祝同学们学习进步
结果：离楚国越来越远。
• 这两件事告诉我们，不管是治理国家， 还是抓一只小老鼠，做任何事，都要 首先看准方向，才能充分发挥自己的 有利条件；如果方向错了，那么有利 条件只会起到相反的作用。
思考：
我们在物理课中学过哪些与方向 有关的量？
Ｆ
力
Ｆ
S
质点做机械运动，从初位置 到末位置的有向线段叫做位移。
嘻嘻!大笨猫！
引入1：猫能捉住老鼠吗?
•老鼠由A向东北方向以6m/s 的速度逃窜,而猫由B向东南 方向10m/s的速度追. 问猫能 否抓到老鼠?
C
你位移错了！
唉, 哪儿去了?
A B D
引入２ 故事：南辕北辙
————《战国策》
பைடு நூலகம்
战国后期，魏国国力渐衰,可是魏王想出兵攻 伐赵国.谋臣季梁前来劝阻伐赵。季梁为了打动魏 王，来了个现身说法。季梁说：”今天我在来此的 路上，遇见一个人坐车朝北而行，告诉臣说‘我 想要去楚国。’臣说’楚国在南方，为什么要朝北 走？’那人的回答是： ‘我的马好，跑得快。’ ‘我的路费多着呢。’ ‘我的马夫最会赶车。’
D C
2.在梯形ABCD中， （ 1） AB与DC有何关系？ （2） AB与CD有何关系？
A
B
D
C
A
B
四.向量的关系：平行向量、相等向量
（１）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 如： a b c 平行向量又叫做共线向量 记作 a ∥b ∥c
3.有向线段：
在线段AB的两个端点 中，规定一个顺序，假 设A为起点，B为终点， 我们就说线段AB具有 方向。具有方向的线段 叫做有向线段。
B（终点）
A（起点）
有向线段的三个要素：起点、方向、长度
二.向量的表示
对于向量，我们常用有向线段来表 示，线段按一定比例（标度）画出，它 的长度表示向量的大小，箭头表示向量 的方向。（由起点指向终点）
B
符号表示为:AB或者a
a AB BA
A
三.向量的模及两个特殊向量
向量 AB 的模 (或长度) 就是向量 AB 的大小
记作： | AB |
AB 0
注：向量的模是可以比较大小的 如： | CD | | EF | , 但CD EF无意义
共同点： 力、位移，它们都是有大小和 方向的量
新课： 一.向量的概念
定义：
在数学中，我们将这种
既有大小，又有方向的量叫做向量: 只有大小的量，称为数量。
例如，年龄、身高、长度、面积、体积等。
一.向量的概念
定义：既有大小又有方向的量叫向量。
大小，方向 注：1.向量两要素：
2.向量与数量的区别： ①数量只有大小 ，可以比较大小。
（2）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
D A C
记作：a = b
B
A
规定：0 = 0
a b 相等向量一定是平行向量吗?
. o
B
D
C
思考：两个单位向量一定相等吗？
平行向量一定是相等向量吗? 向量相等
向量平行
练习巩固：
判断正误 (1)零向量的方向是任意的. (√) (2)若 a 0, 则a 0. (X) (3)单位向量的模都相等. (√)