超静定梁结构非线性大变形问题的优化算法与应用

doi： 10． 11717 / j． issn： 2095 － 1922． 2014． 05． 19
超静定梁结构非线性大变形 问题的优化算法与应用
侯祥林， 王洁乐， 李 琦， 孙 红
（ 沈阳建筑大学交通与机械工程学院 ， 辽宁 沈阳 110168 ）
摘
要： 目的 研究建立超静定梁结构非线性大变形问题的优化算法， 分析超静定梁
第 30 卷
and the relative error of the maximum rotation less than 7. 5% ， w hich verify the validity and accuracy of the proposed algorithm． The optimization algorithm of indeterminate beam large deformation provides a basis for the actual project specific issues． Key words： statically indeterminate beam ； geometric nonlinear large deformation； optimization algorithm ； program design 随着新型材料的发展， 工程结构形式由 原来的刚性结构逐渐转变为柔性结构， 同时 也向着高耸、 轻型、 大跨度发展． 柔性结构具 有不可忽略的几何非线性， 在力学模型上表 现为结构的刚度小， 柔性大， 需要将结构转化 成非线性系统计算． 对柔性结构大变形问题， 以小变形为基础的计算方法不再适用， 解析 解的表达也很困难， 故工程实际中大多采用 数值方法来求解
A 支座将向 轴力， 变形前后梁总长保持不变，
第5 期
侯祥林等： 超静定梁结构非线性大变形问题的优化算法与应用
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左移动一段距离， 各点新位置将Biblioteka Baidu未知约束 超静定梁末端点未知 力 F A 及其横坐标 X ， 横坐标 X
* j * n * kd
Δyk ） 表达式 第 k 子段的转角（ θk ） 和位移（ Δxk ， Δθ k = ΔS ， ρk Δx = ρ sinΔθ ， k k k Δy k = ρ k （ 1 － cosΔθ k ） ．
采用绝对坐标法并结合有限元思想建
［8 ］
立大变形梁的离散动力学方程， 并通过能量 法验证了该算法的有效性． 蔡袁强 在研究 强夯过程的动力学响应中采用拉格朗日坐标 描述建立大变形梁几何非线性的有限元模 型， 通过改进边界条件， 液化单元网格， 获得 了稳定的计算结果． 针对一般超静定梁结构问题可采用结构 力学中力法原理转化为静定结构， 建立力法 方程 δ if X j + Δ if = 0 ， 确定未知约束力， 通过建 立梁的挠度方程或应用单位载荷法等方法求 解任意位置点的位移， 其计算条件是横向位 置坐标点不变
［1 － 5 ］
是从初始位置出发， 采用逐步递增载荷方式， 并在每个载荷步中通过牛顿 － 拉斐逊法迭代 逼近平衡状态
［10 － 15 ］
．
笔者抛开逐步 针对静定梁大变形问题， 加载平衡思想， 以梁变形后平衡状态为条件， 将梁分为有限个子段， 每个子段端点坐标是 未知量， 可将内力构造为未知坐标的函数， 进 行子段变形计算， 根据坐标与受载变形的协 调关系构造求解未知坐标的目标函数， 建立 计算求解梁大变形问题的直接最优化方法， 已经 良 好 地 解 决 了 静 定 结 构 的 大 变 形 问 题
个 子 段 为 研 究 对 象，其 左 端 点 坐 标 为 Yk － 1 ） ， Yk ） ， Sk － 1 （ Xk － 1 ， 右端点坐标为 S k （ X k ， Y k － 1 ） 为原点建立 以子段左端点 S k － 1 （ X k － 1 ， 其位置以变形曲线切线和 局部坐标系 o'x k y k ， 则变形梁的第 法线方向为新的 x k 轴和 y k 轴， k 子段， 可看成左端为固定端的悬臂梁小变形 问题， 故可通过各子段的静力学平衡方程来构 造未知量约束力和各未知坐标的函数关系． 略去剪力和轴力作用， 将子段按纯弯曲梁 处理， 若使右端点弯矩为子段梁弯矩， 其大小为 M k = F A （ X － X k － 1 ） － F（ X k － 1 － X ） ． （ 2 ） 由式 ρk = EI / Mk 可得 设子段弯曲为圆弧，
Δx k ， Δy k ， 则 Sk 段的转角与位移分别为 Δθ k ， 点的转角和坐标由递推关系式可得 ：
1. 1
各子段在局部坐标系下变形与在整体 坐标系的关系表达 图 2 为某一子段的变形分析图． 取第 k
{
θk = θk － 1 + Δθk ，
* + Δxk cosθk － 1 － Δyk inθk － 1 ， （ 4 ） X* k = Xk － 1 * Y* k = Yk － 1 + Δx k sinθk － 1 + Δy k cosθk － 1 ．
Fig. 2
1. 2
建立超静定悬臂梁各微段在整体坐标 系下坐标函数关系 S k 点的位置由 S k － 1 点 在整体坐标系下，
* *
位置和第 k 微段的转角与位移描述， 第k子
图1 Fig. 1 超静定悬臂梁大变形前后的平衡状态图 Equilibrium diagram of hyperstatic cantilever beam w ith large deformations
［9 ］
1
超静定悬臂梁的力学模型
另一 超静定悬臂梁结构， 一端为固定端、
端为链杆约束， 设梁结构上某一点受集中力 作用， 梁的弯曲刚度为 EI， 且该结构是一个 具有一次超静定的大变形问题（ 见图 1 ） ． 当梁变形前， 梁结构的平衡位置为虚线 OA ， 将整个梁分 N 个子段， 每个子段长度为 Δs = l / N， 第 k 个子段右端点坐标为 S k （ X k ， Y k = 0 ． 受载荷产生变形后的平 Yk ） ， X k = k Δs ， 衡位置为实线 OA'． 设平衡状态下整体坐标 系为 OXY， 每个子段右端点在整体坐标系中
大变形条件下的结构约束力， 解决实际工程中的具体问题． 方法 以超静定悬臂梁力 学模型为研究对象， 建立变形平衡条件下的坐标位置方程 ． 将梁变形后的节点未知坐 标和未知的多余约束力作为设计变量 ， 局部变形分析， 构建满足坐标关系函数方程的 Power目标函数， 建立求解超静定梁大变形问题的优化求解方法 ． 结果 运用 FortranStation 软件编写优化求解通用计算程序， 超静 分别求得在 P y = 20 和 P y = 40 条件下， 定梁结构的位移和转角变形量． 将计算算例优化结果与 ANSYS 有限元计算结果进行 分析对比， 得出最大位移的相对误差在 5% 以下， 最大转角的相对误差在 7. 5% 以下， 验证了算法的有效性和精确性． 结论 针对梁的超静定大变形问题提出的优化求解算 法， 有效地解决超静定大变形梁等工程结构的约束力求解 ， 为实际工程中具体问题提 供了新算法． 关键词： 超静定梁； 非线性大变形； 优化算法； 程序设计 中图分类号： TU322 文献标志码： A
Optimization Algorithm for Solving Nonlinear Large Deformation Problem of Indeterminate Beam
HOU Xianglin， WANG Jiele ， LI Qi， SUN Hong
（ School of Traffic and M echanical Engineering ， Shenyang Jianzhu University ， Shenyang ， China， 110168 ）
（ 1）
* * X* X* X0 ， X1 …， X* 式中： f（ F A ， kd ， N ， k － 1 ） 为未知
约束力及各离散点未知横坐标的函数表示 ．
图2
第 k 子段在局部坐标系下变形分析图 Defomation analysis of k section local coordinate system
Abstract： A optimization algorithm for solving nonlinear large deformation problem of indeterminate beam is proposed in this paper． Based on a mechanical model of statically indeterminate cantilever beam ， equilibrium equations of deformations w ere established． Taking unknow n node coordinates of deformed beam and unknow n extra constraint forces as design variables， based on the analysis of local deformations， the objective functions that satisfy the coordinate relationship function equations are built． Though optimization of the objective functions， the large deformation problem of this beam can be solved． Calculated results are compared w ith the results of ANSYS and show that under the conditions of P = 20 、 40 ， the relative error of the maximum displacement less than 5%
* k = 0， 1， …， N． 若略去 Y* 的坐标为 S k （ X k ， k ） ，
． 而当梁存在大变形几何非
线性问题时， 载荷作用点和支座的位置是在 新的平衡位置， 梁的内力包括弯矩 M （ x ） 、 轴 力 N（ x） 和剪力 Q （ x ） 都应按变形后的平衡 状态计算， 由于变形后的位置未知， 因此内力 就是位置未知量的函数， 不能直接计算． 针对 几何非线性大变形梁的问题， 最常采用有限 单元法和分布传递函数法等方法， 基本原理
2014年9月 第 30 卷 第 5 期
沈阳建筑大学学报（ 自然科学版） Journal of Shenyang Jianzhu University （ Natural Science）
Sep． 2014 Vol ． 30 ， No ． 5
文章编号： 2095 － 1922 （ 2014 ） 05 － 0909 － 08
和 k 点前的未知横坐标 S j （ X ，
* j
Y ）， j = 0， 1， …， k － 1 的函数． 依据力法的基 本原 理 和 平 衡 位 置 条 件， 可以列出对应前 k － 1 个未知点的平衡方程
（ 3）
{
y A' （ X * N ） =0
* * X* X* X0 ， X1 ， …， X* X* k = f（ F A ， kd ， N ， k －1）
［16 － 20 ］
． Y · J · Hu
［6 ］
采用弧坐
标公式， 建立了满足连续条件和初始位移下 的大变形梁的非线性力学模型， 应用微分求 积单元法 （ DQEM ） 分析与多变量的不连续 条件得到一组 DQEM 离 散 代 数 方 程 组． 李 彬
［7 ］
． 由于工程实际中超静定梁结构的大
变形问题更为常见， 研究这类问题的一般求 解算法与分析程序更有实际应用价值， 因此 笔者以具有一端固定、 一端为链杆约束的超 静定梁结构为研究对象， 通过以分段小变形 叠加的思想来展开非线性大变形问题的优化 算法研究， 并结合 ANSYS 有限元软件作分 析对比， 验证笔者提出的算法的合理有效性 ．
收稿日期： 2014 － 03 － 01 基金项目： 国家科技支撑计划项目 （ 2011BAJ02B05 － 05 ） ； 辽宁省自然科学基金项目 （ 201102181 ） 博士后， 主要从事非线性结构动力学与控制等方面研究 ． 作者简介： 侯祥林（ 1962 —） ， 男， 教授，
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沈阳建筑大学学报（ 自然科学版）