超静定梁结构非线性大变形问题的优化算法与应用

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《弯曲变形超静定梁》课件

方法：采用有限元分析方法进行优化设计
优化参数：梁的截面尺寸、材料属性、加载方式等
优化策略：根据优化目标，选择合适的优化算法和优化参数，进行迭代优化设计
弯曲变形超静定梁的优化设计实例
实例1：某桥梁的弯曲变形超静定梁优化设计
实例2：某高层建筑的弯曲变形超静定梁优化设计
实例3：某大型体育场馆的弯曲变形超静定梁优化设计
位移法求解
基本原理：通过求解位移场，得到结构内力求解步骤：建立位移场方程，求解位移场，得到内力适用范围：适用于求解超静定梁的位移和内力优点：计算简便，易于实现自动化计算
混合法求解
混合法求解的基本思想：将超静定梁的求解问题转化为静定梁的求解问题
混合法求解的步骤：先求解静定梁，再求解超静定梁
位移法：通过求解位移法方程，得到超静定梁的位移和内力
混合法：结合力法和位移法，求解超静定梁的位移和内力
矩阵法：通过建立刚度矩阵和荷载向量，求解超静定梁的位移和内力
弯曲变形超静定梁的分析
弯曲变形的产生原因
材料性质：材料的弹性模量、泊松比等参数影响弯曲变形
载荷作用：外力作用下，梁的弯曲变形程度与载荷大小、方向有关
确定超静定梁的边界条件建立超静定梁的平衡方程求解超静定梁的位移和应力验证超静定梁的稳定性和强度
弯曲变形超静定梁的求解方法
力法求解
基本原理：利用静力平衡条件求解超静定结构
求解步骤：建立平衡方程、求解未知力、求解位移
适用范围：适用于超静定梁、桁架等结构
优点：计算简便、易于理解
缺点：需要人工判断未知力的方向和数量，可能存在误差
优化设计的概念和意义
优化设计：通过数学模型和算法，寻找最优解，使结构满足设计要求概念：在满足设计要求的前提下，使结构具有最优的性能和成本意义：提高结构的稳定性、安全性和耐久性，降低成本和能耗应用：广泛应用于建筑、桥梁、机械等领域

结构非线性分析的有限单元法分解课件

意义
通过本课件的学习，学习者可以深入理解结构非线性行为的本质，掌握先进的数值分析方法，提高在复杂工程结构分析方面的专业素养和实践能力。同时，本课件也有助于推动结构非线性分析领域的科技进步和人才培养。
CHAPTER
非线性行为分类
材料非线性
边界条件非线性
ABCD
几何非线性
接触非线性
非线性分析的复杂性
建立模型
确定分析对象和边界条件建立数学模型定义材料属性
网格划分
选择合适的网格划分方法进行网格划分检查网格质量
施加载荷和约束
确定外部作用力
施加约束条件
求解非线性方程组
选择合适的求解器求解非线性方程组结果后处理
CHAPTER
工程实例一：大跨度桥梁的非线性分析
总结词
详细描述
工程实例二：高层建筑的抗震性能分析
CHAPTER
几何非线性分析
几何非线性分析是指考虑结构的大变形和应力应变关系非线性的情况。在有限单元法中，需要采用适当的形函数来描述结构的几何形状变化。
VS
常用的形函数包括多项式、样条函数、有限元形函数等，可以根据具体问题选择合适的形函数。
材料非线性分析
常用的本构模型包括弹性模型、弹塑性模型、塑性模型等，可以根据具体材料的性质选择合适的本构模型。
• 结构非线性分析的基本概念 • 有限单元法的基本原理 • 结构非线性分析的有限单元法分解方法 • 有限单元法的实现过程 • 结构非线性分析的有限单元法应用案例 • 结论与展望
CHAPTER
背景介绍
结构非线性分析的重要性有限单元法的应用
目的和意义
目的
本课件旨在系统介绍结构非线性分析的有限单元法分解，使学习者掌握非线性问题的有限元建模、求解和分析方法，提高解决实际工程问题的能力。

如何在工程力学中处理非线性问题？

如何在工程力学中处理非线性问题？在工程力学的广袤领域中，非线性问题是一个复杂而关键的挑战。

它们不像线性问题那样遵循简单的比例关系，而是呈现出复杂、多变的特性，给分析和解决带来了巨大的困难。

但理解并有效处理这些非线性问题对于确保工程结构的安全性、可靠性和性能优化至关重要。

首先，让我们弄清楚什么是非线性问题。

在工程力学中，当系统的响应与输入不成正比关系时，就出现了非线性。

比如说，材料的应力应变关系不再是简单的直线，而是呈现出复杂的曲线；或者结构的变形与所受的载荷不再是线性增长的。

这种非线性可能源于材料的特性、几何形状的大变形、边界条件的复杂性等多个方面。

那么，如何来处理这些非线性问题呢？一种常见的方法是数值分析。

有限元法就是其中应用广泛的一种。

通过将结构离散化为许多小单元，建立每个单元的力学方程，然后组合起来求解整个结构的响应。

在处理非线性问题时，需要考虑材料非线性（如塑性、超弹性等）、几何非线性（大位移、大转动等）以及接触非线性（两个物体之间的接触和摩擦）等。

在材料非线性方面，我们需要准确描述材料的本构关系。

例如，对于塑性材料，需要确定屈服准则、强化规律等。

这通常需要通过实验来获取材料的性能参数，并将其引入数值模型中。

而且，不同的材料可能有不同的非线性行为，比如金属的塑性变形和橡胶的超弹性，这就要求我们选择合适的本构模型来准确模拟材料的响应。

几何非线性则在结构发生大变形时显得尤为重要。

当结构的变形量足够大，以至于不能忽略其对刚度和平衡方程的影响时，就必须考虑几何非线性。

例如，一根细长的梁在大挠度情况下，其弯曲刚度会发生变化，不再是简单的常量。

处理几何非线性问题需要更新结构的几何形状和刚度矩阵，以反映变形的影响。

接触非线性也是工程中常见的问题，比如机械零件之间的接触、地基与基础的接触等。

在接触问题中，需要确定接触区域、接触力的分布以及可能的摩擦行为。

这需要复杂的接触算法来处理接触状态的变化，包括接触的建立、分离和滑动。

桥梁结构的非线性分析与优化

桥梁结构的非线性分析与优化桥梁是连接两个地理区域的重要基础设施，因其承受巨大的荷载和自然环境的影响，需要进行准确的分析和有效的优化。

随着计算机技术的进步，非线性分析在桥梁工程中得到了广泛应用。

本文将就桥梁结构的非线性分析方法以及优化技术做一综述，并探讨其在实际工程中的应用。

一、桥梁结构的非线性分析方法1.传统的线性分析传统的桥梁结构分析方法基于线弹性理论，即假设材料具有线性弹性行为。

这种方法适用于小变形和低荷载情况下的桥梁设计，但无法准确预测桥梁在极限荷载和大变形下的响应。

2.几何非线性分析几何非线性是指考虑桥梁在大位移和大变形情况下的行为。

这种分析方法需要考虑桥梁结构的非线性几何效应，如因材料体积变化导致的应力和应变的非线性，以及拉压杆和刚性桥梁的非线性。

几何非线性分析可用于预测桥梁塌方、挠度以及桥墩的稳定性等情况。

3.材料非线性分析材料非线性主要涉及材料本身的非线性性质，如混凝土的压缩、拉伸、剪切和抗裂性能等。

对桥梁结构进行材料非线性分析可以更准确地预测桥梁在高应变、高荷载情况下的破坏行为。

4.接触非线性分析接触非线性分析考虑桥梁结构中的接触和摩擦效应。

在桥梁中存在着梁与梁、梁与墩、墩与地基等接触面，接触非线性分析可以更精确地模拟这种接触行为，预测接触界面的变形和局部应力。

二、桥梁结构的非线性优化技术1.参数优化参数优化是指通过改变桥梁结构的几何形状、材料属性等参数，使得桥梁在给定的约束条件下达到最优的性能。

该优化方法可以用于提高桥梁的承载能力、减小自重、最小化材料消耗等。

2.形状优化形状优化是通过改变桥梁的几何形状来提高其性能。

常见的形状优化方法包括参数线性化、敏感性分析和优化算法等。

形状优化可用于改善桥梁的刚度、减小应力集中以及提高桥梁的自然频率等方面。

3.拓扑优化拓扑优化是通过改变桥梁结构的拓扑形态来实现最优设计。

该优化方法考虑了材料的分布和形态，以使桥梁具备最佳的力学性能。

拓扑优化可用于降低桥梁的质量、减小桥梁的应力集中以及提高桥梁的刚度等方面。

结构力学考研知识点归纳

结构力学考研知识点归纳结构力学是土木工程专业研究生入学考试的重要科目之一，它主要研究建筑结构在外力作用下的内力、变形和稳定性问题。

以下是结构力学考研的一些关键知识点归纳：基本概念和原理- 力的基本概念：力的三要素（大小、方向、作用点）。

- 静力学基本定理：平衡条件、力矩平衡等。

- 材料力学性质：弹性模量、泊松比、屈服强度等。

静定结构分析- 静定梁的内力分析：弯矩、剪力、轴力的计算。

- 静定桁架的内力分析：节点法、截面法。

- 三铰拱和悬索结构的内力分析。

超静定结构分析- 力法、位移法和弯矩分配法的原理和应用。

- 连续梁和框架结构的分析。

- 影响线的概念及其应用。

稳定性分析- 临界载荷的确定方法。

- 欧拉公式及其应用。

- 稳定性与结构形式、材料特性的关系。

能量方法- 虚功原理和最小势能原理。

- 莫尔定理和卡斯特拉诺定理。

- 能量方法在结构分析中的应用。

矩阵位移法- 局部坐标系和全局坐标系的建立。

- 刚度矩阵的组装和边界条件的处理。

- 结构的自由振动分析。

非线性问题- 材料非线性：塑性变形、破坏。

- 几何非线性：大变形问题。

- 接触非线性问题的处理方法。

结构动力分析- 单自由度和多自由度系统的振动分析。

- 地震作用下的结构响应分析。

- 随机振动和疲劳分析。

结构优化设计- 结构优化的基本概念和方法。

- 拓扑优化、形状优化和尺寸优化。

- 优化设计在实际工程中的应用。

结束语结构力学作为一门应用广泛的学科，其知识点繁多且相互关联。

考研复习时，不仅要掌握上述知识点，还要注重理论与实践的结合，通过大量的练习来加深理解。

希望以上的归纳能够帮助考生们更系统地复习结构力学，为考研做好充分的准备。

钢结构建筑中的非线性分析与优化

钢结构建筑中的非线性分析与优化钢结构在建筑工程中被广泛应用，因其具有高强度、轻质、耐久等优势。

然而，随着建筑设计需求的不断提高，传统的线性分析方法已不能满足工程师对结构性能的要求。

非线性分析与优化成为了钢结构建筑设计中不可或缺的方法。

一、非线性分析的背景非线性分析是传统线性分析的推进，能更准确地考虑材料非线性、几何非线性、接触非线性等因素，并描述材料在受力过程中的非线性变化。

在钢结构建筑设计中，非线性分析主要包括弹塑性分析和大变形分析。

1. 弹塑性分析弹塑性分析是考虑材料力学性能的非线性变化，即材料在受力后出现塑性行为，使结构在受力后的行为变得更为准确。

在钢结构中，材料的弹性阶段和塑性阶段 cana同步存在，弹塑性分析可以更好地反映整个结构在受力过程中的实际行为。

2. 大变形分析大变形分析是从钢结构变形的角度出发进行分析，通过考虑结构的非线性变形，使分析结果更为准确可靠。

在很多实际情况下，结构会出现较大的变形，比如地震作用下的结构变形、局部破坏等，这些情况对结构的稳定性和安全性有很大影响。

通过进行大变形分析，可以更好地评估结构的变形情况，从而提高设计的精度和可靠性。

二、非线性分析的应用在钢结构建筑设计中，非线性分析有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 抗震设计钢结构建筑在地震作用下容易发生屈曲和变形，因此抗震设计是非线性分析中的重要应用之一。

通过对结构进行非线性分析，可以模拟地震作用下结构的真实响应，并评估结构的抗震性能、承载能力等。

2. 超限设计对于跨度较大的钢结构梁、柱等构件，线性分析将无法准确考虑材料非线性影响，这时需要进行非线性分析，以更好地评估结构的承载能力和安全性能。

3. 局部模型分析在实际的结构设计中，经常需要对某些局部部位进行更为精细的分析，比如节点、连接件等。

通过非线性分析，可以更准确地考虑材料的非线性、接触非线性等因素，从而提高结构的可靠性和安全性。

三、非线性优化的挑战与趋势非线性优化是在非线性分析基础上进行的结构优化，在工程实践中起到了重要作用。

静定结构和超静定结构的优缺点及工程应用

静定结构和超静定结构优缺点及工程应用一、静定结构和超静定结构概念静定结构与超静定结构都是几何不变体系。

在几何结构方面, 二者不一样在于: 静定结构无多出联络, 而超静定结构则含有多出联络。

有多出约束( n > 0)几何不变体系——超静定结构;无多出约束( n = 0)几何不变体系——静定结构。

静定结构──几何特征为无多出约束几何不变, 是实际结构基础。

因为静定结构撤销约束或不合适更改约束配置能够使其变成可变体系, 而增加约束又能够使其成为有多出约束不变体系（即超静定结构）。

静定结构约束反力或内力均能经过静力平衡方程求解, 也就是说, 其未知约束反力或内力数目等于独立静力平衡方程数目。

静定结构在工程中被广泛应用, 同时是超静定结构分析基础。

超静定结构——几何特征为几何不变但存在多出约束结构体系, 是实际工程常常采取结构体系。

因为多出约束存在, 使得该类结构在部分约束或连接失效后仍能够负担外荷载, 但需要注意是, 此时超静定结构受力状态与以前是大不一样, 假如需要话, 要重新核实。

因为其结构中有不需要多出联络, 所以所受约束反力或内力仅凭静力平衡方程不能全部求解, 也就是未知力数目多于独立静力平衡方程个数。

二、静定结构基础特征及优缺点1、静定结构是几何不变体系, 无多出约束, 全部支座反力和内力只要用静力平衡条件就能确定, 而且解答是唯一。

2、静定结构支座反力和内力与结构所用材料性质、截面大小和形状都没相关系。

3、静定结构在温度改变、支座移动、材料伸缩和制造误差等原因影响下, 都不产温度变化（自由地产生弯曲变形，不产生内力）支座移动（刚体位移，不产生内力）制造误差生制作反力和内力。

即没有荷载作用在静定结构上时, 支座反力均为零, 所以内力也均为零。

4、静定结构局部平衡特征在一组平衡力系作用下, 假如静定结构中某一几何不变部分能够与荷载平衡, 则只会是该部分产生内力, 其它部分支座反力和内力均为零。

混凝土结构的非线性分析与优化设计

混凝土结构的非线性分析与优化设计混凝土结构是建筑工程中常见的一种结构形式，具有良好的承载能力和耐久性。

在设计混凝土结构时，非线性分析和优化设计是非常重要的工具，可以提高结构的安全性和经济性。

本文将探讨混凝土结构的非线性分析与优化设计的原理和方法，并通过实例分析展示其应用。

一、非线性分析的原理和方法混凝土结构在荷载作用下会发生一定的变形，对结构和材料的非线性行为（如屈服、弯曲和剪切破坏等）需要进行分析。

非线性分析考虑了结构在荷载作用下的变形和材料的非线性性质，与线性分析相比更接近实际情况。

非线性分析的方法有很多种，其中常用的有塑性铰分析、有限元法和离散元法等。

塑性铰分析主要适用于框架结构，通过假设塑性铰的形成来考虑材料的非线性行为。

有限元法能够模拟结构的复杂形状和荷载，通过将结构离散成有限数量的单元，利用有限元软件进行计算。

离散元法适用于大变形和颗粒材料，通过考虑结构内部单元之间的相互作用力来模拟结构的变形和破坏行为。

二、非线性分析的应用举例为了更好地理解非线性分析在混凝土结构设计中的应用，我们以混凝土框架结构为例进行分析。

首先，我们通过塑性铰分析来考虑框架结构的非线性行为。

框架结构中的柱子和梁通常由混凝土和钢筋组成，混凝土的强度和钢筋的屈服强度都是非线性的。

通过假设合理的塑性铰形成位置和投影长度，使用相应的公式和方法计算结构的变形和内力分布。

通过调整塑性铰形成的位置和投影长度，可以得到更合理的结构设计方案。

其次，有限元法常用于分析混凝土结构的非线性行为。

在有限元法中，我们需要将结构离散成有限数量的单元，并定义各个单元的材料性质和初始条件。

通过施加适当的荷载，通过有限元软件进行求解，得到结构的变形、应力和内力分布。

与塑性铰分析相比，有限元法更加精确，能够模拟更复杂的荷载和结构。

三、优化设计的原理和方法优化设计是指通过系统地调整结构参数和几何形状以满足某些约束条件和目标函数，使得结构具有更好的性能。

2015年《桥梁工程》是非判断题满分答案

2015年《桥梁工程》是非判断题满分答案是非判断题1）桥面连续构造就是使其在该处能承受活载弯矩。

（N ）2）悬臂梁桥一般为静定结构，可在地基较差的条件下使用。

（丫）3）对于坡桥，宜将滑动支座设置在标高较低的墩台上以利主梁伸缩变形。

（丫）4）计算主梁的弯矩和剪力时，可在全跨内取用相同的荷载横向分布系数。

（N）5）当车辆制动力较大时，桥梁就应该设置拉力支座。

（N）6）年温差影响对简支梁只引起温度自应力，并不导致结构内温度次内力。

（丫）7）在超静定梁中，预应力引起的次力矩是由支座次反力产生的，因此次力矩是非线性的。

（N）8）在静定梁式结构中，呈非线性变化的温度梯度会引起结构的次内力。

（N）9）同一座桥中，计算主梁荷载横向分布系数的值与采用的汽车荷载等级有关。

（N）10）混凝土的徐变对于静定结构不会引起次内力，也不会产生徐变变形。

（N）11）因箱形截面梁抗弯、扭能力强，因此简支钢筋混凝土梁采用箱形截面是合适的。

（丫）12）采用悬臂法施工的预应力混凝土连续梁因中间桥墩上要放支座，故施工时存在体系转换的问题，而采用悬臂法施工的预应力混凝土连续刚构则施工时不存在体系转换问题。

（N ）13）修正刚性横梁法主要考虑了主梁的抗扭刚度，与结构几何尺寸和材料特性无关。

（N）14）多跨带剪力铰T形刚构桥在发生基础沉降时，相邻T构会互相发生影响（丫）15）连续梁自重内力的计算与施工方法无关，只与主梁结构最终体系有关。

（N ）16）在同一座连续梁桥中的主梁自重内力与采用的施工方法、顺序、体系转换的具体情况有关，因为主梁自重内力只与它的计算跨径和自重的分布情况有关。

（丫）17）横隔梁在装配式T形梁桥中起着保证各片主梁相互连成整体的作用。

（丫）18）在同一座桥中，由于汽车荷载横向分布系数与采用的汽车荷载等级无关，因此采用不同的汽车荷载等级计算出的汽车荷载横向分布系数不同。

（N）19）计算主梁的弯矩和剪力时，可在全跨内取用相同的载横向分布系数。

静定结构与超静定结构的概念

静定结构与超静定结构的概念
静定结构是指由力学平衡条件完全确定的结构体系。

这种结构体系的节点数和支座数
均为定值，因此问题可以被简化为一组线性方程组，能够通过矩阵运算得到完整的结构位
移和内力。

因此，静定结构具有稳定可靠、计算简单等优点。

常见的静定结构有梁、柱、
桁架等。

超静定结构则是指节点数和支座数不足以完全确定结构体系的构件，在此基础上另外
增设一定数目的约束，即超数约束，从而使结构体系的DOF（自由度）等于零或小于零，可以通过高斯消元、截可省略算法等方法进行求解。

常见的超静定结构有悬链、钢框架、高
层建筑等。

超静定结构相对于静定结构具有以下特点：
1.灵活编排：在设计中，超静定结构通过增加适量的支承约束，可以根据实际情况安
排构件的位置，达到灵活编排的目的。

2.承载能力大：超静定结构的约束力较大，因此在承载能力方面比静定结构更有优势，能够承受更大的荷载。

3.变形小：超静定结构的约束力较大，因此在荷载下变形较小，对结构的稳定性和耐
久性都有良好的保证。

4.抗剪承载能力强：由于超静定结构的超数约束，使得其具有很好的抗剪承载能力，
因此比较适合用于高层、大跨度等大型结构的设计中。

需要注意的是，在设计超静定结构时，要考虑结构的稳定性，避免出现过度约束、约
束不当等问题，以免影响结构的受力性能和使用寿命。

同时，在考虑承重能力的同时，也
要注重结构的变形控制，以达到有效的结构控制和优化设计的目的。

如何在理论力学中处理非线性材料问题？

如何在理论力学中处理非线性材料问题？在理论力学的领域中，处理非线性材料问题是一项具有挑战性但又至关重要的任务。

非线性材料的力学行为往往复杂多变，与我们熟悉的线性材料特性有很大的不同。

为了有效地分析和解决涉及非线性材料的力学问题，我们需要采用一系列特定的方法和策略。

首先，让我们来理解一下什么是非线性材料。

在力学中，当材料的应力与应变之间的关系不再是简单的线性比例关系时，我们就称其为非线性材料。

这种非线性关系可能表现为多种形式，比如材料的弹性模量随应变的增加而变化，或者材料在加载和卸载过程中呈现不同的力学响应。

要处理非线性材料问题，我们需要对材料的本构关系有深入的了解。

本构关系描述了材料在受力时应力与应变之间的内在联系。

对于非线性材料，本构关系通常是复杂的函数形式，需要通过实验数据来确定。

实验可以包括拉伸、压缩、扭转等各种加载方式，以获取材料在不同条件下的力学行为。

通过对实验数据的分析和拟合，可以得到能够准确描述材料非线性特性的本构方程。

数值方法在处理非线性材料问题中发挥着重要作用。

有限元法是其中一种常用的手段。

它将物体离散为有限个单元，通过求解每个单元的力学平衡方程，来获得整个物体的力学响应。

在处理非线性问题时，需要采用适当的迭代算法来求解非线性方程组。

常见的迭代方法有牛顿拉夫逊法、修正牛顿法等。

这些方法通过不断更新计算结果，逐步逼近真实的解。

在选择数值方法时，还需要考虑收敛性和稳定性的问题。

如果算法的收敛性不好，可能会导致计算结果不准确或者计算过程无法收敛。

稳定性则关系到计算过程中是否会出现数值振荡或发散的情况。

为了保证计算的可靠性，需要对数值方法进行仔细的选择和参数调整。

另一个重要的方面是材料的失效准则。

在非线性材料的受力过程中，当应力或应变达到一定的临界值时，材料可能会发生失效，如断裂、屈服等。

确定合适的失效准则对于准确预测材料的破坏行为至关重要。

不同的非线性材料可能有不同的失效模式和相应的准则，这需要结合具体的材料特性和实际应用场景来进行选择和确定。

超静定梁

知识回顾
积分法计算梁的位移。
梁的挠曲线近似微分方程： EIw'' M( x)
积分一次： EIw' EI M( x)dx C
积分两次： EIw M(x)dx2 Cx D
关键：利用边界条件及连续条件求积分常数。
叠加法计算梁的位移。
叠加
荷载的叠加结构形式的叠加
1
重点、难点
1、梁的挠曲线近似微分方程及其积分；（重点）
位（移变条形件协调条件）基本方程—— 平衡条件
参考教材：龙驭球，包世华. 结构力学教程， 1993，高等教育出版社
28
超静定梁的研究现状
郑州大学的李会知教授分析了集中荷载或均布荷载作用下两端固支梁和一次超静定梁的弹塑性加载及变形过程，并给出了加载各阶段的弯矩和位移计算公式。
中南大学的陈玉骥副教授采用半逆解法，求出了一端固定一端铰支单跨超静定梁在均布荷载作用下的应力和位移，并由此说明了材料力学解的精度和适用性。
FN
分析：要画弯矩图应首先求出每个梁的荷载。
C
解：此结构为一次超静定。
分别画出二梁的受力图。
变形相容条件：二梁在自由端的变形相同，即它们的挠度相等。 C 变形几何方程为：
wB1 wB2 18
F F A EI B EI
A
A 8 Fa 9
a
2a
F B
wB1 FN
8F 9 B
FN' wBB2
1F 9 B
M AE
i
FP l 2
在此基础上,由图示结点平衡得 M 0
26
位移法思路(平衡方程法)
以某些结点的位移为基本未知量；
将结构拆成若干具有已知力-位移(转角-位移)关系的单跨梁

简单超静定梁的解法

A l
解出多余约束，代之以
约束反力。得到原超静定梁的基本静定系。
(b) RA
如图6 -11中，将B处的约束
mA
A
当作多余约束。解出后用反力
RB 代替。
图（b）为基本静定系。
q 图 6 -11
B
B RB
第三页，本课件共有21页
超静定梁在多余约束处
(a)
的约束条件，就是原超
q
静定梁的变形相容条件。
多余反力为分别作用于简支梁 AB 和 BC 的 B 端处的一对弯矩
MB 。
变形相容条件
为，简支梁 AB 的 B 截面转角和 BC 梁 B 截面的转角相等。
θ B'θ B"
20KN m
30KN
A
C
B
D
4m
3m 2m
20KN m
A B
θ B'
30KN
C D
θ B"
第十六页，本课件共有21页
θ B'θ B"
（d）
方程。
A
B RB
B
f Bq
f BR B
B RB
第五页，本课件共有21页
f Bq f BRB 0
由附录 1V 查得
f
Bq
ql4 8EI
f
B RB
RB l3 3EI
补充方程为
RA
q
mA
A
q （c）
A
ql4 RB l3 0 8EI 3EI
（d）
由该式解得
A
RB
3 8
ql
B RB
B
f Bq
f BR B
f Aq f AN Δ l

结构非线性问题

第12章结构非线性问题结构的非线性问题可分为两大类，第一类为材料非线性问题，第二类为几何非线性问题。

一些工程结构甚至需要考虑材料和几何双重非线性。

但除了结构存在明显的非线性特征，需要研究非线性分析方法[43]外，在工程精度范围内，许多问题可以用线性分析方法来近似。

§12.1 材料非线性与极限荷载在单纯的材料非线性问题中，假定结构位移微小，位移与应变的几何关系（几何方程）是线性的，而应力与应变关系是非线性的。

这时表征材料特性的弹性模量E和泊松比μ不再是常数，而是应力σ和应变ε的函数。

在有限元分析中，表现在原弹性矩阵[D]是应变的函数，也是位移的函数。

当确定位移模式后，导出的单元刚度矩阵[k]就是结点位移列阵{δ}的函数。

材料非线性问题有非线性弹性问题和非线性弹塑性问题之分。

后者是材料超过屈服极限后呈现出的非线性，常见于各种结构的弹塑性分析。

在简单加载过程中的非线性阶段两者并无本质区别，但卸载过程，前者是可逆过程，即卸载后结构会恢复到加载前的位置；后者是不可逆的，将出现残余变形。

除了加载之外，其它因素如蠕变、温变、裂纹扩展时也存在材料非线性问题。

大多数工程材料（如钢材、钢筋混凝土）在加载变形过程中都存在线弹性阶段、屈服阶段和强化阶段。

随着荷载的增加，结构上应力大的点首先达到屈服强度，发生屈服而使结构进入弹塑性状态。

这时虽然部分材料已进入塑性状态，但相当大部分仍处于弹性范围，因而结构仍可继续承载，直至塑性部分进一步扩展而发生崩溃。

工程设计中，允许材料进入塑性的结构分析称为材料非线性分析，分析基于：理想弹塑性（如图12.1.1所示）、比例加载和平截面等基本假定。

极限状态设计所关心的不是荷载作用下结构弹塑性的演变历程，而是结构出现塑性变形直到崩溃时所能承受的最大荷载，然后考虑结构应有足够的安全储备，以此结构处于极限状态时应同时满足三个条件：平衡条件、屈服条件（也称内力局限条件，即|M|≤M u）和单向机构条件。

大转动几何非线性梁变形问题的优化求解

收稿日期:2006-03-18基金项目:辽宁省教育厅项目(20040297)作者简介:侯祥林,男,(1962-),教授,工学博士,主要从事非线性问题优化分析等研究.文章编号:1671-2021(2006)05-0726-06大转动几何非线性梁变形问题的优化求解侯祥林1,尤　超2(1.沈阳建筑大学理学院,辽宁沈阳110168;　2.沈阳建筑大学土木工程学院,辽宁沈阳110168)摘　要:目的提出一种有效确定梁大变形量的求解思路,解决对几何非线性梁大变形问题的直接分析.方法直接从梁变形后的平衡状态出发,将梁分为有限子段,对每个子段在其流动坐标上进行小变形计算,并在总体坐标上累积端点坐标.建立了以平衡状态端点坐标为设计变量,以端点的计算积累坐标与端点坐标差平方为目标函数的获得梁大变形量的无约束优化方法.结果通过编制的优化程序进行了悬臂梁受集中载荷时的大变形问题的计算,并与Ansys 有限元法计算结果进行对比.结论以建立平衡位置坐标和结构变形的协调条件为目标函数,提出的大变形问题的直接优化算法,实现了平衡位置的结构变形的直接分析计算,为几何非线性大变形问题的直接计算分析提供了新途径.关键词:几何非线性;悬臂梁;大变形(大转动);优化算法;目标函数中图分类号:O343.5 文献标识码:A 对于小变形(小转角)梁求解,通常求解微分方程EI y ″=M (x ),其中弯矩M (x )是以梁在变形前状态计算,认为变形后,梁上各点的横坐标位置不变[1-3].当几何非线性梁出现大变形(大转角)时,载荷作用后的各点坐标应该在新位置平衡,梁的内力包括弯矩M (x )、轴力N (x )和剪力Q (x )都应按变形后的平衡状态计算,由于变形后的位置未知,因此内力就是位置未知量的函数,不能直接计算.通常对几何非线性大变形梁,是采用有限单元法分析,从初始位置出发,采用逐步递增载荷方式,并在每个载荷步中通过牛顿-拉斐逊法逼近平衡状态[4-8].笔者抛开逐步加载平衡思想,建立了大变形直接计算的优化方法.基于梁变形后的平衡状态,梁被分成有限个子段,将末段右端点A ′的坐标设为设计变量,从固定端子段开始逐个计算每个子段内力和变形,并在全局坐标系上依次表达出每个子段右端点坐标,最后构造出由变形计算获得的A ′点坐标与设定坐标之间差平方和的复杂显式目标函数(但其表达只能由程序形式实现),将建立出梁大变形确定分析的最优化问题,并编制优化算法程序获得梁平衡时位置和转角的计算.1　梁大变形时内力与变形关系1.1　梁变形后平衡状态设悬臂梁在载荷作用下产生平面大弯曲变形(变形挠曲线转角相当大),载荷情况可以任意.本文中只考虑在自由端施加集中力P x ,P y 情况.设梁长度为l ,弯曲刚度EI ,在受载荷前位置为OA ,受载荷后平衡位置为O A ′,见图1. 将梁分为n 个子段,每个子段长度为Δs =l n,当梁产生大变形时,内力计算应在平衡位置进行分析,设整体坐标系为OX Y ,每子段端点在整体坐标系中的坐标为S k (X k ,Y k ),k =0,1,…,n .1.2　子段变形分析图2为梁的k 个子段变形分析,其左端点为2006年09月第22卷第5期　沈阳建筑大学学报(自然科学版)Journal of Shenyang Jianzhu University (N atural Science )　Sep .　2006V ol .22,No .5S k -1(X k -1,Y k -1),右端点为S k (X k ,Y k ),以变形曲线S k -1(X k -1,Y k -1)点的切线和法线建立流动坐标系x k ,y k ,则变形梁的第k 子段,可看成左端为固定端的小悬臂梁变形问题.通过图2,第k 个子段所受弯矩M k ,剪力Q k 和轴力N k大小为图1　梁大变形平衡状态图图2　梁子段变形分析图Q k =P y k cos θk -1+P x k sin θk -1;N k =P y k sin θk -1-P x k cos θk -1;M k =P y k (X＊n-X k -1)+P x k (Y＊n-Y k -1).当只考虑弯矩作用时,1ρk=M k EI ,ρk =EI M k ,其子段变形为Δθk =ΔsρkΔx k =ρksin ΔθkΔy k =ρk(1-cos Δθk )(1)若考虑轴力作用,子段有伸长量Δu k =N k Δs EA +12Δy 2kΔx k,其子段变形为Δθk =ΔsρkΔx k =ρk sin Δθk +Δu k Δy k =ρk(1-cos Δθk )(2)若再考虑剪力作用,子段有错动量Δv k =Q k (1+μ)ΔsEA,其子段变形为Δθk =ΔsρkΔx k =ρksin Δθk +Δu k Δy k =ρk(1-cos Δθk )+Δv k(3)1.3　整体坐标积累计算在整体坐标系中,S k 点位置由S k -1点位置和k 段变形与转角决定,k 段变形与转角为Δθk ,Δx k ,Δy k ,S k 点位置和转角由递推公式计算θk =θk -1+ΔθkX k =X k -1+Δx k cos θk -1-Δy k sin θk -1Y k =Y k -1+Δx k sin θk -1+Δy k cos θk -1(4)2　梁几何非线性大变形问题的优化算法2.1　梁几何非线性大变形计算的优化问题建立梁几何非线性大变形计算的无约束优化问题为min (F (z ))(5)其中,设计变量z =[z 1,z 2]T,表示载荷作用下,平衡时设定A ′点的横、纵坐标,即z 1=X n ,z 2=Y n .目标函数F (z )可表示为F (z )=[X n (z 1,z 2)-z 1]2+[Y n (z 1,z 2)-z 2]2,F (z )由累积计算获得的端点坐标X n (z 1,z 2),Y n (z 1,z 2)与设计变量构成的复杂显式函数,可是通过程序计算过程获得.2.2　目标函数的形成过程梁变形后的平衡位置,端点A ′坐标为(z 1,z 2),O 点坐标X 0=Y 0=0,θ0=0,y 0 x 1=0=0,y ′0 x 1=0=0为已知.由第1个子段受的剪力Q 1、轴力N 1和弯矩M 1可计算出该段转角和变形ρ1=EI M 1,Δθ1=Δsρ1,Δx 1=ρ1sin Δθ1,Δy 1=ρ1(1-cos Δθ1),累积计算出S 1点坐标θ1=θ0+Δθ1X 1=X 0+Δx 1cos θ0-Δy 1sin θ0Y 1=Y 0+Δx 1sin θ0+Δy 1cos θ0,每个量都为设计变量z 的函数.由Q k ,N k ,M k 可计算第k 个子段变形转角Δx k ,Δy k ,Δθk ,累积计算出S k 点坐标及转角第22卷侯祥林等:大转动几何非线性梁变形问题的优化求解727　θk =θk -1+ΔθkX k =X k -1+Δx k cos θk -1-Δy k sin θk -1Y k =Y k -1+Δx k sin θk -1+Δy k cos θk -1,每个量都为设计变量z 的函数.最后由Q n ,N n ,M n 可计算第n 个子段变形转角Δx n ,Δy n ,Δθn ,累积计算出S n 点坐标及转角θn =θn -1+ΔθnX n =X n -1+Δx n cos θn -1-Δy n sin θn -1Y n =Y n -1+Δx n sin θn -1+Δy n cos θn -1,每个量都为设计变量z 的函数.获得目标函数　F (z )=[X n (z 1,z 2)-z 1]2+[Y n (z 1,z 2)-z 2]2若只有P y 或P x 单项载荷作用时,则目标函数中只存在z 1或z 2单变量的复杂显式目标函数.2.3　程序组成Pow ell 法[9]搜索示意图(见图3)和优化程序简单框图(见图4).图3　powell 方法搜索示意图3　梁大变形问题算例算例1　(P y 作用)(1)优化计算分析悬臂梁结构参数选取梁截面为正方形边长为412100,梁长度L =1,弹性模量E =108.无量纲结构则EI =1,P yL2EI=P y .自由端受纵向载荷P y 作用. 将梁分为100个子段,因为只有纵向载荷,设计变量为n =1,表示A ′端横坐标.在计算中同时考虑弯矩、轴力和剪力作用,采用本文研究方法进行变形优化计算.将P y =2,4,6,8,10的5种载荷情况及悬臂梁平衡状态变形结果绘制成图5.图4　优化算法程序简图图5　优化算法确定的不同P y 的变形图将P y =10,初始横坐标赋z 1=0.5情况,优化计算平衡时变形过程和结果列于表1,此时黄金分割法精度为e 2=10-5,powell 结束精度e 2=10-10.表1　P y =10情况优化计算平衡位置变形优化次数设计变量优化过程端点横坐标变化相应端点纵横坐标相应端点处转角目标函数变化00.500--0.31203367849510.3780.4561.0790.17380542723420.3780.4800.4050.07110233157830.3820.4810.5100.05430295731240.3820.5910.9070.02164527449750.4000.7400.0630.00322805906260.4360.7541.4090.00000024948070.4380.8681.4500.00000000231580.4380.8681.4500.000000000125728　沈阳建筑大学学报(自然科学版)第22卷 (2)与有限元算法比较采用100个单元的Ansys5.7几何非线性问题方法(牛顿-拉斐逊法)计算分析比较[10],其中Number of substeps取为120步,time at end of load step取为0.3,Every Nth substep取为10.将载荷为P y=1～10,自由端点A′处的变形和转角优化计算结果和采用Ansys5.7分析结果列于表2.并将P y=10情况,两种算法梁的转角和变形位置见图6.结果表明本文提出方法与有限元计算方法是相近.说明这种方法是有效的. 算例2　(P y和P x共同作用):结构参数同算例1,在P y和P x共同作用时.设计变量为n=2,计算了P y=P x=1～5的5种载荷情况,并将梁平衡状态变形状态绘制图7.表2　本文优化算法和ansy s算法确定的梁变形P y本文优化算法X max Y maxθma xAnsys算法X max Y maxθmax 10.9670.3360.4930.9440.3020.461 20.8440.5260.8080.8410.4950.781 30.7480.6541.0250.7490.6060.986 40.6700.7221.1570.6750.6751.121 50.6090.7661.2480.6170.7221.215 60.5600.7981.3130.5710.7551.283 70.5210.8221.3610.5330.7801.335 80.4890.8401.3980.5020.8001.374 90.4610.8411.4200.4760.8171.405 100.4380.8681.4500.4530.8311.430图6　P y=10时优化算法和Ansy s算法确定变形情况图7　优化算法确定的不同P y P x作用的变形图将P y=P x=5情况,初始条件为z1=0.5, z2=0.5,黄金分割法精度为e2=10-5,pow ell结束精度e2=10-10.优化计算次数为428次时,达到计算精度z＊1=0.078217,z＊2=0.883134,此时获得端部转角达到2.018805rad(115.67°).将优化计算过程目标函数变化及其A点坐标的变化过程绘制图8.表3　本文优化算法和ansys算法确定的梁在P x、P y作用下变形载荷P y P x本文优化算法X max Y maxθmaxAnsys算法X max Y maxθmax 110.8710.4270.6780.8780.4280.684 220.5590.7731.3750.5880.7161.303 330.3390.8421.6880.3640.8111.656 440.1810.8811.8970.2220.8401.847 550.0780.8832.0180.1190.8491.975 将P y=P x=1～5种情况,自由端点A′处的变形和转角计算结果和采用Ansy s5.7分析结果列于表3.将P y=P x=5情况,两种算法梁的转角和变形位置分别绘图9.同样表明本文算法是正确的.4　结　论以建立平衡位置坐标和结构变形的协调条件为目标函数,提出了大变形(大转角)问题的直接第22卷侯祥林等:大转动几何非线性梁变形问题的优化求解729优化算法,实现平衡位置的结构变形的直接分析计算,是解决几何非线性问题的新方法,通过对算例的真实计算分析,并与采用Ansys5.7验证比较,表明笔者分析方法的正确有效性,为大变形问题分析直接计算提供了新的思路.图8　P y =P x =5情况优化计算过程图9　P y =P x =5时优化算法和Ansys 算法确定变形情况参考文献:[1]　单辉祖.材料力学[M ].北京:高等教学出版社,1999.[2]　Crisfield M A .N on -linear finite element analy sis ofSolids and structures [M ].New York :John Wiley &Sons ,1991.[3]　郭乙木,陶伟明,庄茁.线性与非线性有限元及其应用[M ].北京:机械工业出版社,2003.[4]　Bonet J ,Wood R D .N onlinear continuum M echanicsfor element analy sis [M ].New Yo rk :Cambridg e uni -versity press ,1997.[5]　吕和祥,朱菊芬,马莉颖.大转动梁的几何非线性分析讨论[J ].计算力学学报,1995,12(4):485-490.[6]　Sansour C .A theory and finite element formulatio n ofshells a t finite deformation involving thickness change [J ].A rch Appl M ech ,1995(65):194-216.[7]　李海阳,雷勇军,周建平.分布传递函数方法的梁杆几何非线性分析[J ].强度与环境,2001(2):12-26.[8]　侯祥林,刘大任.杆件结构大变形问题的优化精确算法[J ].沈阳建筑大学学报:自然科学版,2006,22(2):221-223.[9]　Foulds L R .Optimization Techniques [M ].NewYork :Springer -Verlag ,1982.[10]　龚曙光.Ansys 工程应用实例解析[M ].北京:机械工业出版社,2003.730　沈阳建筑大学学报(自然科学版)第22卷New Optimization Method of Geometric Non -Linear Beams with Large RotationHOU X ianglin 1,Y OU Chao 2(1.School of Science ,Sheny ang Jianzhu U niversity ,Shenyang ,China ,110168;　2.School of Civil Engineering ,Shenyang Jianzhu U niversity ,Sheny ang ,China ,110168)A bstract :In this paper ,a new kind of optimization algorithm about deformation of geometric non -linear beams with large rotation is proposed .Unlike previous method ,equilibrium state is directly adopted .The beam is dividied into limited sections ;small deformations are analy zed in local coordinate of each section ;overall coordinate of nodes are decided through accumation .Making equilibrium points coordinate as design v ariables ,error of equilibrium points coordinate and accumating coordinate as objective function ,an opti -mization problem is formed .Deformation of beam under concentrate force is computed w ith prog ram .Con -trasted w ith Ansy s method ,effectiveness is verified by practical ex ample .The new optimizatio n method will be used to define eng ineering large deformation problem .Key Words :geometric non -linear ;beam ;large deformation (large ro tation );optimization method ;objective function本　刊　声　明为适应信息化建设需要,扩大作者学术交流范围,拓宽刊物对外交流的渠道,本刊已加入《中国学术期刊(光盘片)》、《中国期刊网》和《万方数据库-数字期刊群》,本刊所刊论文均被全文收录,论文著作权使用费随本刊刊酬一次性给付。

超静定结构的工程实例

超静定结构的工程实例
超静定结构是指在外力作用下，结构的每个部分都能保持静止的一种结构形式。

它具有稳定性好、刚度高、变形小等优点，被广泛应用于工程实践中。

例如，在建筑物的设计中，超静定结构可以用于支撑大跨度的屋顶。

以一个大型体育馆为例，为了满足观众的视野需求，屋顶常常需要跨越较大的距离。

在这种情况下，超静定结构可以提供足够的支撑力，使屋顶保持稳定，不会因为外力的作用而发生变形或倾斜。

为了实现这个目标，设计师通常会采用悬臂梁的结构形式。

悬臂梁是一种超静定结构，它通过在一端固定支撑，并在另一端悬空的方式来实现大跨度的支撑。

在体育馆的设计中，悬臂梁可以用于支撑屋顶的一侧，使其能够跨越整个场地，为观众提供广阔的视野。

为了确保悬臂梁的稳定性，设计师通常需要考虑多个因素。

首先，他们需要计算悬臂梁的荷载，并确定悬臂梁能够承受的最大载荷。

其次，他们需要选择合适的材料来构建悬臂梁，以确保其具有足够的刚度和强度。

最后，他们还需要设计合理的支撑结构，以确保悬臂梁在使用过程中不会发生失稳或变形。

除了体育馆的屋顶设计，超静定结构还可以应用于其他工程领域。

例如，在桥梁设计中，超静定结构可以用于支撑大跨度的桥梁。

在高层建筑的设计中，超静定结构可以用于支撑建筑物的立柱和梁柱。

在机械工程中，超静定结构可以用于支撑机器的各个部件。

超静定结构是一种在外力作用下保持稳定的结构形式。

它具有稳定性好、刚度高、变形小等优点，并被广泛应用于各个工程领域。

通过合理的设计和施工，超静定结构可以为工程实例提供稳定的支撑，并满足人们对于安全性和舒适度的需求。

超静定结构的工程实例

超静定结构的工程实例
超静定结构是指结构的支座反力数量大于结构的自由度数量的结构体系。

它具有较高的刚度和稳定性，能够承受较大的荷载和变形。

下面是一些超静定结构的工程实例：
1. 悬臂梁：悬臂梁是一种常见的超静定结构，常用于桥梁和起重设备等工程中。

它的一个支点固定，另一个支点自由，因此具有超静定的特性。

2. 拱桥：拱桥是一种超静定结构，它的支座反力数量大于自由度数量，能够承受大跨度和大荷载。

拱桥常用于跨越河流和山谷等地形复杂的场所。

3. 钢框架结构：钢框架结构是一种常见的超静定结构，常用于高层建筑和大跨度厂房等工程中。

它具有较高的刚度和稳定性，能够承受较大的荷载和地震力。

4. 混凝土拱坝：混凝土拱坝是一种超静定结构，常用于水利工程中的水库和电站等。

它的支座反力数量大于自由度数量，能够承受大水压力和水力冲击。

5. 隧道衬砌：隧道衬砌是一种超静定结构，常用于隧道工程中。

它具有较高的刚度和稳定性，能够抵抗地下水压和地震力的作用。

这些超静定结构的工程实例都具有较高的安全性和稳定性，能够满
足复杂工程环境下的需求。

7.5变形比较法解简单超静定梁

变形比较法解简单超静定梁超静定梁：梁的支反力数大于独立平衡方程数。

多余约束：多于维持平衡所必须的约束。

超静定次数：等于多余约束或多余支反力的数目。

静定基：求解超静定梁时的静定基本系统。

二. 求解方法：1、列出独立静力平衡方程，判定超静定次数，建立相当系统；2、比较相当系统与原结构的变形，列变形协调方程；3、由物理关系建立补充方程；4、联立求解未知约束反力。

一. 基本概念：BFAC例9：求梁的支反力，梁的抗弯刚度为EI 。

解：1）判定超静定次数，建立相当系统在梁的A 和B 处各有3个和1个支反力，独立平衡方程数等于3，所以是一次超静定问题。

选取悬臂梁为静定基，在去掉约束处用一未知力代替。

2）进行变形比较，列变形协调方程为了使相当系统的变形与原超静定梁相同，B 处位移必须为0，即=+=y y y B B F B F By ()()0F By B2a3a ACB FACF ByBFACB A CF ByM A F AyF AxF By有缘学习更多驾卫星ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）3）由物理关系列力补充方程根据悬臂梁自由端受集中力作用的已知结果，得所以4）由平衡方程求其它约束反力323(2)(2)14()323B F F a F a Fa y a EI EI EI ⎡⎤=-+=-⎢⎥⎣⎦()3328()33By By By B F F a F a y EIEI==33814033By F aFa EI EI-+=74By F F=30,(),()42Ax Ay A Fa F F F M ==-=B2a3aACB FACF ByM A F A yF Ax例9：梁AB 和BC 在B 处铰接，A 、C 两端固定，梁的抗弯刚度均为EI ，F = 40kN ，q = 20kN/m 。

画梁的剪力图和弯矩图。

F BM AF Ay B 1F BM C F Cy B 2解：1、结构为二次超静定。

梁挠度叠加

梁挠度叠加
梁的挠度叠加是指在复合荷载作用下，通过将各个荷载分量的挠度相加来计算梁的总挠度。

梁的挠度叠加是结构力学中的常用方法，用于确定梁在多个荷载组合下的挠度情况。

在进行梁的挠度叠加时，通常遵循以下原则：
1.线性叠加原理：如果梁在不同荷载作用下的变形是线性可叠加的，那么可以
将每个荷载分量的挠度相加得到总挠度。

2.超静定系统的挠度叠加：对于超静定系统（自由度大于所需平衡条件的系统），
可以使用弹性法或刚度法进行挠度叠加。

这种方法涉及计算每个荷载分量的刚度和挠度，然后将其叠加得到总挠度。

3.不可靠系统的挠度叠加：对于不可靠系统（自由度小于所需平衡条件的系统），
可以使用相应系数法进行挠度叠加。

这种方法涉及计算每个荷载分量的相应系数，然后将其乘以荷载分量的挠度，并将其叠加得到总挠度。

需要注意的是，梁的挠度叠加方法适用于小挠度情况下的线弹性理论。

对于大变形、非线性和非弹性的情况，可能需要使用其他方法进行分析和计算。

在工程实践中，对于复杂的荷载组合和结构形态，可能需要借助有限元分析等数值方法来进行梁的挠度计算，以获得更准确和全面的结果。