2020-2021重庆市高一数学下期末一模试卷带答案

2020-2021重庆市高一数学下期末一模试卷带答案
一、选择题
1．已知向量a ，b 满足4a =，b 在a 上的投影（正射影的数量）为-2，则2a b -的最小值为（ ） A ．43
B ．10
C ．10
D ．8
2．已知集合{
}
2
2
(,)1A x y x y =+=，{}
(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为
（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
3．函数()23sin 23f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
的一个单调递增区间是 A ．713,1212ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
B ．7,1212ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
C ．,22ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
D ．5,66ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
4．函数223()2x
x x
f x e +=的大致图像是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知函数21(1)()2(1)
a
x x f x x x x x ⎧++>⎪=⎨
⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1
B ．(]0,1
C ．[]1,1-
D ．(]1,1-
6．设函数，则()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫
⎛
⎫=+
++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，则（ ） A ．()y f x =在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增，其图象关于直线4x π=对称
B ．()y f x =在0,2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
单调递增，其图象关于直线2
x π
=
对称 C ．()y f x =在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
单调递减，其图象关于直线4
x π
=
对称
D ．()y f x =在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
单调递减，其图象关于直线2
x π
=
对称
7．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生
B ．200号学生
C ．616号学生
D ．815号学生
8．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，且1CC ⊥底面ABC ，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角为( )
A ．
2
π B ．
C ．
D ．
3
π 9．已知圆()()2
2
:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ） A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
10．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a c b >>
B ．a b c >>
C ．c a b >>
D ．c b a >>
11．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12-
B ．10-
C ．10
D ．12
12．在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则1BC 与侧面
1ACC A 所成角的大小为（ ）
A ．30
B ．45
C ．60
D ．90
二、填空题
13．在区间[]0,1上随机选取两个数x 和y ，则满足20-<x y 的概率为________． 14．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是
___________
15．已知2a b ==，()()
22a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为 . 16．(
)()()()()1tan1
1tan 21tan31tan 441tan 45︒
︒
︒
︒
︒
+++++=__________．
17．关于函数()sin sin f x x x =+有如下四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增；③()f x 最大值为2；④()f x 在[],ππ-上有四个零点，其中正确命题的序号是_______． 18．设
，则
________
19．已知函数2
,
()24,x x m
f x x mx m x m
⎧≤=⎨
-+>⎩ 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的
方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________. 20．设0x >，0y >，24x y +=，则
(1)(21)
x y xy
++的最小值为__________.
三、解答题
21．已知数列{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5. (1)求{a n }的通项a n ；
(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值． 22．在中角所对的边分别是
，
，
，
．
求的值； 求
的面积．
23．记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知22
19a a =，618S =.
（1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最大值及对应n 的大小. 24．
投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元，设表示前n 年的纯利润
总和（
前年总收入-前年的总支出 -投资额72万元）
（Ⅰ）该厂从第几年开始盈利？
（Ⅱ）该厂第几年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值. 25．已知数列{}n a 满足()
*1121
12n n n n n
a a a n N
b a a +==
∈=+，，，． ()1证明数列{}n b 为等差数列；
()2求数列{}n a 的通项公式．
26．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）、一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[)[)0,0.5,0.5,1,...,[)4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图中a 的值；
（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； （3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由.
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一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】
b 在a 上的投影（正射影的数量）为2-可知||cos ,2b a b <>=-，可求出||2b ≥，求2
2a b -的最小值即可得出结果.
【详解】
因为b 在a 上的投影（正射影的数量）为2-， 所以||cos ,2b a b <>=-， 即2
||cos ,b a b =-
<>
，而1cos ,0a b -≤<><，
所以||2b ≥，
因为2
2
2
2
2
2
2(2)44||4||||cos ,4||a b a b a a b b a a b a b b -=-=-⋅+=-<>+
22=1644(2)4||484||b b -⨯⨯-+=+
所以2
2484464a b -≥+⨯=，即28a b -≥，故选D. 【点睛】
本题主要考查了向量在向量上的正射影，向量的数量积，属于难题.
2．B
解析：B 【解析】
试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆
2
2
1x y +=与直线y x =相交于两点,22⎛ ⎝⎭，22⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭
，则A B 中有2个元
素.故选B.
【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
首先由诱导公式对函数的解析式进行恒等变形，然后求解其单调区间即可. 【详解】
函数的解析式即：()223sin 23sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=-=-- ⎪
⎪⎝⎭⎝
⎭， 其单调增区间满足：()23222232
k x k k Z π
π
πππ+≤-≤+∈， 解得：()713
1212
k x k k Z ππππ+
≤≤+∈，
令0k =可得函数的一个单调递增区间为713,1212ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. 故选A . 【点睛】
本题主要考查诱导公式的应用，三角函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4．B
解析：B 【解析】
由()f x 的解析式知仅有两个零点3
2
x =-
与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()223
2x
x x f x e
-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 5．C
解析：C 【解析】
x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1，
x >1时,()()21,10a a
f x x f x x x
=+
+'=-在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，
而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.
点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．
6．D
解析：D 【解析】
()sin(2)cos(2))2442
f x x x x x πππ
=+++=+=,
由02,x π<<得02
x π
<<
，再由2,x k k Z ππ=+∈,所以,2
2
k x k Z π
π
=
+
∈. 所以y=f(x)在()y f x =在(0,
)2
π
单调递减,其图象关于直线2
x π
=
对称,故选D.
7．C
解析：C
【解析】 【分析】
等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】
详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，
所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =， 所以610n a n
=+()n *∈N ，
若8610n =+，则1
5
n =
，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】
本题主要考查系统抽样.
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
由题意设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2，构造直角三角形A 2BM ，解直角三角形求出BM ，利用勾股定理求出A 2M ，从而求解． 【详解】
设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2（如图）．
平移AB 1至A 2B ，连接A 2M ，∠MBA 2即为AB 1与BM 所成的角， 在△A 2BM 中，2225
2()22
a A B a BM a a =
=+=，，
222313
(
)22
a A M a a =+=，
222222,2A B BM A M MBA π∴+=∴∠=， ． 故选A ． 【点睛】
本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．
9．B
解析：B 【解析】
由题意知，点P 在以原点（0，0）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以15m -=，故选B.
考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.
10．A
解析：A 【解析】
由0.5
0.6log 0.51,ln 0.50,00.61><<<，所以1,0,01a b c ><<<，
所以a c b >>，故选A .
11．B
解析：B 【解析】
分析：首先设出等差数列{}n a 的公差为d ，利用等差数列的求和公式，得到公差d 所满足的等量关系式，从而求得结果3d =-，之后应用等差数列的通项公式求得
51421210a a d =+=-=-，从而求得正确结果.
详解：设该等差数列的公差为d ， 根据题中的条件可得3243
3(32)224222
d d d ⨯⨯⨯+
⋅=⨯++⨯+⋅， 整理解得3d =-，所以51421210a a d =+=-=-，故选B.
点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差d 的值，之后利用等差数列的通项公式得到5a 与1a d 和的关系，从而求得结果.
12．A
解析：A 【解析】 【分析】
由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ，求得1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角，在1BC O ∆中，即可求解． 【详解】
由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ,
因为正三棱柱111ABC A B C -，底面三角形的边长为1， 所以1,BO AC BO AA ⊥⊥，
因为1AC AA A ⋂=，所以BO ⊥平面11ACC A ， 所以1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角，
因为222113131(),(2)()2222
BO C O =-=
=+=， 所以1133
2tan 332
BO BC O OC ∠===
， 所以0
130BC O ∠=，1BC 与侧面11ACC A 所成的角030．
【点睛】
本题主要考查了直线与平面所成的角的求解，其中解答中空间几何体的线面位置关系，得到1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化与化归思想，属于中档试题．
二、填空题
13．【解析】概率为几何概型如图满足的概率为 解析：
14
【解析】
概率为几何概型，如图，满足20x y -<的概率为2111
122=14
OAB
S S ∆⨯⨯=
正方形
14．【解析】【分析】先还原几何体再根据柱体体积公式求解【详解】空间几何体为一个棱柱如图底面为边长为的直角三角形高为的棱柱所以体积为【点睛】本题考查三视图以及柱体体积公式考查基本分析求解能力属基础题
解析：
32
【解析】 【分析】
先还原几何体，再根据柱体体积公式求解 【详解】
空间几何体为一个棱柱，如图，底面为边长为1,3的直角三角形，高为3的棱柱，所以体积为
1313322
⨯⨯⨯=
【点睛】
本题考查三视图以及柱体体积公式，考查基本分析求解能力，属基础题
15．【解析】【分析】【详解】根据已知条件去括号得： 解析：60︒
【解析】 【分析】 【详解】
根据已知条件(2)()2a b a b +⋅-=-，去括号得：
2
2
2422cos 242a a b b θ+⋅-=+⨯⨯-⨯=-，1
cos ,602
θθ︒⇒==
16．【解析】【分析】根据式子中角度的规律可知变形有由此可以求解【详解】根据式子中角度的规律可知变形有所以故答案为：【点睛】本题主要考查两角和的正切公式的应用以及归纳推理的应用属于中档题 解析：232
【解析】 【分析】
根据式子中角度的规律，可知()
45045,045αβαβ+=︒<<︒<<，
tan tan tan 4511tan tan αβ
αβ
+=
=-，变形有()()1tan 1tan 2αβ++=，由此可以求解．
【详解】
根据式子中角度的规律，可知()
45045,045αβαβ+=︒<<︒<<，
tan tan tan 4511tan tan αβ
αβ
+=
=-，变形有()()tan 1tan 12αβ++=．所以
()()1tan11tan 442︒
︒
++=，()()1tan 21tan 432︒
︒
++=， ，()()1tan 221tan 232︒
︒
++=，1tan 452+=，
()()()()()23
1tan11tan 21tan31tan 441tan 452
︒
︒
︒
︒
︒
+++++=．
故答案为：232． 【点睛】
本题主要考查两角和的正切公式的应用以及归纳推理的应用，属于中档题．
17．①③【解析】【分析】利用奇偶性的定义判定函数的奇偶性可判断出命题①的正误；在时去绝对值化简函数的解析式可判断函数在区间上的单调性可判断命题②的正误；由以及可判断出命题③的正误；化简函数在区间上的解析
解析：①③ 【解析】 【分析】
利用奇偶性的定义判定函数()y f x =的奇偶性，可判断出命题①的正误；在,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，去绝对值，化简函数()y f x =的解析式，可判断函数()y f x =在区间,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上的单调性，可判断命题②的正误；由22f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
以及()2f x ≤可判断出命题③的正误；化简函数()y f x =在区间[],ππ-上的解析式，求出该函数的零点，即可判断命题④的正误. 【详解】
对于命题①，函数()sin sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，
且()()()sin sin sin sin sin sin f x x x x x x x f x -=-+-=+-=+=，该函数为偶函数，命题①正确； 对于命题②，当
2
x π
π<<时，sin 0x >，则()sin sin 2sin f x x x x =+=，则函数
()y f x =在,2
ππ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
上单调递减，命题②错误；
对于命题③，sin 1x ∴≤，sin 1x ≤，()2f x ∴≤，又
22f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，所以，函数()y f x =的最大值为2，命题③正确；
对于命题④，当0πx <<时，sin 0x >，()sin sin 2sin 0f x x x x =+=>， 由于该函数为偶函数，当0x π-<<时，()0f x >，
又
()()()00f f f ππ=-==，所以，该函数在区间[],ππ-上有且只有三个零点.
因此，正确命题的序号为①③. 故答案为：①③. 【点睛】
本题考查与三角函数相关命题真假的判断，涉及三角函数的奇偶性、单调性、最值以及零点的判断，解题的关键就是将三角函数的解析式化简，考查推理能力，属于中等题.
18．-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出f(-2)的值并判定符号从而可得f(f(-2))的值【详解】∵fx=1-xx≥0x2x<0-2<0∴f-2=-22=4>0所以f(f(-2))=f4=1- 解析：-1 【解析】 【分析】
由分段函数的解析式先求出的值并判定符号，从而可得
的值.
【详解】
， ，
所以，故答案为-1. 【点睛】
本题主要考查分段函数的解析式，属于简单题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外
依次求值．
19．【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示要满足存在实数b 使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根则解得故m 的取值范围是【考点】分段函数函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质函数
解析：()3+∞，
【解析】
试题分析：由题意画出函数图象如下图所示，要满足存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则24m m m -<，解得3m >，故m 的取值范围是(3,)+∞.
【考点】分段函数，函数图象
【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能
较好地考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.
20．【解析】【分析】把分子展开化为再利用基本不等式求最值【详解】由得得等号当且仅当即时成立故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立
解析：92. 【解析】 【分析】
把分子展开化为(1)(21)221255
2x y xy x y xy xy xy xy xy
++++++===+，再利用基本不等式
求最值． 【详解】
由24x y +=，得2422x y xy +=≥，得2xy ≤
(1)(21)221255592222
x y xy x y xy xy xy xy xy ++++++===+≥+=，
等号当且仅当2x y =，即2,1x y ==时成立． 故所求的最小值为9
2
． 【点睛】
使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．
三、解答题
21．（1）a n ＝－2n ＋5.（2）4 【解析】
（Ⅰ）设{a n }的公差为d ，由已知条件，，解出a 1＝3，d ＝－2． 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5．
（Ⅱ）S n ＝na 1＋d ＝－n 2＋4n ＝－(n －2)2＋4，所以n ＝2时，S n 取到最大值4． 22．（1）；（2）
【解析】 【分析】
)利用同角三角函数基本关系式可求，由正弦定理可得
的值；
由
，可得
为锐角，由可得
，利用两角和的正弦函数公式可求
的值，利用三角形面积公
式即可得解． 【详解】
，
，
．
，
由正弦定理可得：
，C 为锐角，
由
可得：
，
，
【点睛】
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理的应用，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，属于中档题．正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
23．（1）*
(2)10n a n n ∈=-N （2）当4n =或5n =时,n S 有最大值为20．
【解析】 【分析】
（1）将已知条件转化为1,a d 的形式列方程，由此解得1,a d ，进而求得{}n a 的通项公式. （2）根据等差数列前n 项和公式求得n S ，利用配方法，结合二次函数的性质求得n S 的最大值及对应n 的大小. 【详解】
（1）设{}n a 的公差为d ，且0d ≠．
由22
19a a =，得140a d +=，
由618S =，得15
32
a d +
=， 于是18a =,2d =-．
所以{}n a 的通项公式为*
(2)10n a n n ∈=-N ．
（2）由（1）得(1)
8(2)2
n n n S n -=+
⨯- 29n n =-+
2981
()24
n =--+
因为*n ∈N ，
所以当4n =或5n =时,
n S 有最大值为20．
【点睛】
本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式基本量的计算，考查等差数列前n 项和的最值的求法，属于基础题.
24．（I ）从第三年开始盈利；（II ）第6年，投资商年平均纯利润达到最大，年平均纯利润最大值16万元 【解析】 【分析】 【详解】 (Ⅰ)依题意
前年总收入- 前年的总支出- 投资额72万元,可得
由得
,解得
由于
,所以从第3年开始盈利.
(Ⅱ)年平均利润
当且仅当
,即
时等号成立
即第6年, 投资商平均年平均纯利润最大,最大值为16万元 25．（1）见解析；（2）21
n a n =+ 【解析】 【分析】
（1）已知递推关系取倒数，利用等差数列的定义，即可证明.
（2）由（1）可知数列{}n b 为等差数列，确定数列{}n b 的通项公式，即可求出数列{}n a 的通项公式． 【详解】
()1证明：
10a ≠，且有122
n
n n a a a +=
+， ∴()
*0n a n N ≠∈，
又
1n n
b a =
， ∴1121111222n n n n n n a b b a a a +++=
==+=+，即()
*112
n n b b n N +-=∈，且1111b a ==， ∴{}n b 是首项为1，公差为
1
2
的等差数列．
()2解：由()1知()1111112
2
2
n n n b b n -+=+-⨯=+=，即1
1
2
n
n a
+=
， 所以21
n a n =+． 【点睛】
本题考查数列递推关系、等差数列的判断方法，考查了运用取倒数法求数列的通项公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题. 26．（1）0.3；（2）3.6万；（3）2.9. 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（1）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a 的值；第（2）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（3）问，将前6组的频率之和与前5组的频率之和进行比较，得出2.5≤x<3，再估计x 的值.
试题解析：（1）由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04， 同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02．
由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1， 解得a=0.30．
（2）由（1），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12． 由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为 300 000×0.12="36" 000．
（3）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85， 而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85， 所以2.5≤x<3．
由0.3×(x –2.5)=0.85–0.73， 解得x=2.9．
所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准． 【考点】 频率分布直方图 【名师点睛】
本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n 个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．。