等比数列前n项和第二课时

这五个量中，知三求二； 在 a1 , q, an , n, Sn 这五个量中，知三求二； 运用等比数列求和公式的时候， 运用等比数列求和公式的时候，一定要对公比是否为 1进行检查，注意分类讨论； 进行检查， 进行检查 注意分类讨论； 在解决实际问题的时候， 在解决实际问题的时候，注意根据题目的意思建立等 比数列的模型，转化为能用公式解决的问题； 比数列的模型，转化为能用公式解决的问题； 等比数列与等差数列有很多的性质可以类比
S10 = b1 (1 − q ′1 0 ) 1 − q′
10 1 4 1 − 2 = 1 1− 2

10 1 = 8 × 1 − 2
1023 = 128
公式再应用
例2.求和： a − 1) + ( a 2 − 2 ) + L + ( a n − n ) ( 问题4：能看成等比数列的前 项和吗 项和吗？ 问题 ：能看成等比数列的前n项和吗？ 等比数列中不能有“0”这样的项； 这样的项； 等比数列中不能有“ 这样的项 等比数列的前n项和公式需要对公比 是否等于1进行 项和公式需要对公比q是否等于 等比数列的前 项和公式需要对公比 是否等于 进行 分类讨论. 分类讨论
n = 30000 整理得：1.1 = 1.6 1 − 1.1 lg1.6 两边取对数，得 n lg1.1 = lg1.6 即 n = lg1.1 a1 , q, an , n, Sn 0.202 ≈5 （年） n≈ 由计算器算得 0.041
5000 (1 − 1.1n )
答：大约5年可使总销售量达到30000台
解：（1）设这10个正方形的边长构成数列 {an } ，
2 则数列{an } 是等比数列， 且 a1 = 2, q = 4 24 2 1 ∴第五个正方形的边长 a5 = a1q = 2 × = 2 2 （2）设这10个正方形的面积构成数列 {bn }，且 bn = an 2 1 b1 = a12 = 4, q′ = q 2 = 则数列 {bn }是等比数列，且 2 9 1 ∴第10个正方形的面积 b10 = b1q′9 = 4 × = 1 2 128 （3）这10个正方形的面积之和即数列 {bn } 的前10项之和
知三求二
类比推理，归纳性质
如果一个等比数列前5项的和等于 例4.如果一个等比数列前 项的和等于 ，前10项的和 如果一个等比数列前 项的和等于10， 项的和 等于50，求它的前15项的和 项的和. 等于 ，求它的前 项的和 项和为 解：设该等比数列的首项为 a1 ，公比为 q ，前n项和为 Sn
S 此时， 当 q = 1 时， 5 = 5a1 ⇒ 10 = 5a1 ⇒ a1 = 2 此时，S10 = 10a1 = 20 ≠ 50 故 q ≠1 a1 (1 − q 5 ) a1 (1 − q10 ) S10 = = 50 ∴ S5 = 1 − q = 10 1− q
普通高中课程标准实验教科书·数学·必修5
2.5 等比数列的前n项和 等比数列的前n （第二课时）
华师一附中 李继林
一、实例探究
如图，画一个边长为2cm的正方形，再将这 的正方形， 例1. 如图，画一个边长为 的正方形 个正方形各边的中点相连得到第二个正方形， 个正方形各边的中点相连得到第二个正方形，依 此类推，这样一共画了10个正方形 个正方形.求 此类推，这样一共画了 个正方形 求： （1）第5个正方形的边长； ） 个正方形的边长； 个正方形的边长 个正方形的面积； （2）第10个正方形的面积； ） 个正方形的面积 个正方形的面积之和. （3）这10个正方形的面积之和 ） 个正方形的面积之和
复习回顾
等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起 项起， 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与 它的前一项的比都等于同一个常数， 它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列 叫做等比数列. 叫做等比数列 an = a1q n −1 = am q n − m 等比数列的通项公式
na1 , ( q = 1) S n = a (1 − q n ) a − a q 等比数列的前n项和公式 等比数列的前 项和公式 1 = 1 n , ( q ≠ 1) 1− q 1− q
a1 (1 − q n ) 1− q an +1 (1 − q n ) S 2 n − S n = an +1 + an + 2 + L + a2 n= 1− q a2 n +1 (1 − q n ) S3n − S 2 n = a2 n +1 + a2 n + 2 + L + a3n = 1− q 2 ∵ an +1 = a1 ⋅ a2 n +1 ∴ Sn , S2 n − Sn , S3n − S2 n 是等比数列
例2.求和： a − 1) + a 2 − 2 + L a n − n (
(
)
(
)
( a −1) + ( a2 − 2) +L+ ( an − n) = ( a + a2 +L+ an ) − (1+ 2 +L+ n) 解： n ( n +1) 分组求和 （1）当 a = 0时， 原式 = − (1+ 2 +L+ n) = − 2 n ( n−1) （2）当 a = 1 时， 原式 = n − (1+ 2 +L+ n) = − 2 n a (1− a ) n ( n +1) （3）当 时， = −
如图，画一个边长为 的正方形， 如图，画一个边长为2cm的正方形，再将这个正方形各边的中点相连 的正方形 得到第二个正方形，依此类推，这样一共画了10个正方形 个正方形.求 得到第二个正方形，依此类推，这样一共画了 个正方形 求： （1）第5个正方形的边长； ） 个正方形的边长； 个正方形的边长 个正方形的面积； （2）第10个正方形的面积； ） 个正方形的面积 个正方形的面积之和. （3）这10个正方形的面积之和 ） 个正方形的面积之和
问题1：第一个正方形的边长和第二个正方形的边长有 什么关系？你能发现规律吗？ 设这10个正方形的边长构成数列{an }，则数列 {an }是等比数列 问题2：第一个正方形的面积和第二个正方形的面积有 什么关系？你能发现规律吗？ 设这10个正方形的面积构成数列{bn }，则数列 {bn }是等比数列 问题3：怎样求这10个正方形的面积之和？ 这10个正方形的面积之和就是数列 {bn }的前10项的和.
2 n ( n−1) 综上，当 a = 1 时，原式 = n − (1+ 2 +L+ n) = − 2 a (1− an ) n ( n +1) 当 a ≠ 1 时，原式 = − 1− a 2
a ≠ 1且a ≠ 0
原式
1− a
公式的实际应用
某商场今年销售计算机5000台.如果平均每 例3.某商场今年销售计算机 某商场今年销售计算机 台 如果平均每 年的销售量比上一年的销售量增加10％， ％，那么从 年的销售量比上一年的销售量增加 ％，那么从 今年起，大约几年可使总销售量达到30000台 今年起，大约几年可使总销售量达到 台 结果保留到个位）？ （结果保留到个位）？
∴ Sn , S2 n − Sn , S3n − S2 n ,L 是等比数列
如果一个等比数列前5项的和等于 例4.如果一个等比数列前 项的和等于 ，前10项的和 如果一个等比数列前 项的和等于10， 项的和 等于50，求它的前15项的和 项的和. 等于 ，求它的前 项的和 另解： 另解：∵ S5 , S10 − S5 , S15 − S10 也成等比数列 而 S5 = 10, S10 − S5 = 50 − 10 = 40 402 ∴ S15 − S10 = 10 = 160 ∴ S15 = S5 + ( S10 − S5 ) + ( S15 − S10 ) = 10 + 40 + 160 = 210 项的和与前3项的和的比等 练：已知一个等比数列前6项的和与前 项的和的比等 已知一个等比数列前 项的和与前 项的和与前12项的和的比 于3，求前 项的和与前 项的和的比 (1: 5 ) ，求前6项的和与前 项的和的比.
作业
完成习题2.5A组，其中第5题为选做题 组 其中第 题为选做题 完成习题 尝试类比等差数列和等比数列的性质
思考
问题8：在公差为 项和， 问题 ：在公差为d的等差数列{an }中， n 为其前 项和，则 S 为其前n项和
S n , S 2 n − S n , S3n − S 2 n ,L 也成等差数列， 公差 d ′ 为多少？ 也成等差数列， 为多少？
等比数列的类似结论呢？ 等比数列的类似结论呢？
小结
问题5：怎样理解“ 问题 ：怎样理解“平均每年的销售量比上一年的销售量 增加10％ 增加 ％”？ 如果把每年的销售量看成一个数列， 如果把每年的销售量看成一个数列，则这个数列 是一个等比数列. 是一个等比数列
某商场今年销售计算机5000台.如果平均每年的销售量 例3.某商场今年销售计算机 某商场今年销售计算机 台 如果平均每年的销售量 比上一年的销售量增加10％，那么从今年起， ％，那么从今年起 比上一年的销售量增加 ％，那么从今年起，大约几年可 使总销售量达到30000台（结果保留到个位）？ 使总销售量达到 台 结果保留到个位）？ 解：根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同. 所以，从今年起，每年的销售量组成一个等比数列{an } 其中 a1 = 5000, q = 1 + 10％ = 1.1, Sn = 30000 于是得到
1 − q10 两式相除得： 两式相除得： 5 = 5 ⇒ 1 + q5 = 5 ⇒ q5 = 4 1− q
∴Baidu Nhomakorabea
a1 10 =− 1− q 3
∴
S15 =
a1 (1 − q15 ) 1− q
=−
10 (1 − 43 ) = 210 3
用整体思 想求解
问题6：在等差数列 {an } 中， Sn 为其前n项和，则 问题 ： 为其前 项和， 项和 S n , S 2 n − S n , S3n − S 2 n ,L 具有怎样的性质？ 具有怎样的性质？ S n , S 2 n − S n , S3n − S 2 n ,L 也成等差数列 问题7：你能类比在等比数列中，也有类似的性质吗？ 问题 ：你能类比在等比数列中，也有类似的性质吗？ 并用该性质重新解答例题4 并用该性质重新解答例题 显然是等比数列； 当 q = 1 时，Sn = S2 n − Sn = S3n − S2 n = L = na1 显然是等比数列； 当 q ≠ 1 时， n = a1 + a2 + L + an = S