专题三函数与方程及函数的应用

高三二轮复习专题三
函数与方程及函数的应用
主备教师：xxx 审核：xxx 班级___________ 姓名____________
【考试要求】1、结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数2、根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解；3、了解函数模型的广泛应用。

【高考试题回放】 1、（2011天津理2）函数()23x
f x x
=+的零点所在的一个区间是（ ）．
Ａ．
()2,1--
Ｂ．
()1,0-
Ｃ．
()0,1
Ｄ．
()1,2
2、（2011山东理10）已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,3
()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为
（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9 3、（2011湖北理10）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：
()30
02
t M t M -=，其中
M 为0=t 时铯137
的含量，已知30=t 时，铯137的含量的变化率是2ln 10-（太贝克/年），则()=60M A. 5太贝克 B. 2ln 75太贝克 C. 2ln 150太贝克 D. 150太贝克
4、（2011北京理6）根据统计，一名工人组装第x
件某产品所用的时间（单位：分钟）为
()x A f x x A <=≥（A ，c 为常数）。

已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件
产品时用时15分钟，那么c 和A 的值分别是
A. 75，25
B. 75，16
C. 60，25
D. 60，16
【课内探究】探究一、确定函数的零点 例1.设函数1()ln (0)3
f x x x x =
->，则f(x)（ ）
A ．在区间1[,1],(1,)e e
内均有零点 B.在区间1[,1],(1,)e e
内均无零点 C.在区间 1
[,1]e 内有零点，在区间（1，e ）内无零点
D ．在区间 1
[,1]e
内无零点，在区间（1，e ）内有零点
拓展延伸：1、方程||cos x x =在(,)-∞+∞内（ ）
A ．没有根 B.有且仅有一个根 C 有且仅有两个根 D 有无穷多个根
2、已知a 是函数12
()2log x f x x =-的零点，若00x a <<，则0()f x 的值满足（ ）
A ．0()f x =0 B. 0()f x <0 C. 0()f x >0 D. 0()f x 的符号不确定 探究二、函数零点的应用
例2. 1.（2011重庆理10）设m ，k 为整数，方程2
20mx kx -+=在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k 的最小值为
（A ）-8 （B ）8 (C)12 (D) 13 2．（2011辽宁文16）已知函数
a
x e x f x
+-=2)(有零点，则a 的取值范围是__________
3.m 为何值时，2()234f x x m x m =+++
（1）、有且仅有一个零点？（2）、有两个零点且比-1大？（3）、若函数2()|4|F x x x a =-+有4个零点，求实数a 的取值范围.
探究三、函数的应用 问题四、（2011湖北理17）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．
（Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数()x v 的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()
x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）
【巩固练习】
1、方程2210ax x ++=至少有一个负根的充要条件是（ ）
A ．01a <≤ B.a<1 C. 1a ≤ D. 01a <≤或a<0 2、已知f (x )=1-(x -a )(x -b ) (a<b ),m ,n 是f (x )的零点，且m<n ,则实数a ,b ,m ,n 的大小关系是 （ ）
A. m<a<b<n
B. a<m<n<b
C.a<m<b<n
D.m<a<n<b
3、关于x 的实系数方程x 2
-ax +2b =0的一根在区间［0，1］上，另一根在区间［1，2］上，则2a +3b 的最大为
4、已知函数32
,2
()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩
若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同的实根，则实数k 的
取值范围是______________. 5、已知二次函数f (x )=4x 2-2(p -2)x -2p 2-p +1在区间［-1，1］内至少存在一个实数c ,使f (c )＞0，求实数p 的取值范围.
6、某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R (x )=5x -2
2
x
（万元）(0≤x ≤5)，其中x 是产品售出的数量（单位：百台）.
（1）把利润表示为年产量的函数；
（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？ （3）年产量是多少时，工厂才不亏本？。