13《运筹学》(第四版)非线性规划罚函数法

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运筹学中的非线性规划问题-教案

教案运筹学中的非线性规划问题-教案一、引言1.1非线性规划的基本概念1.1.1定义：非线性规划是运筹学的一个分支，研究在一组约束条件下，寻找某个非线性函数的最优解。

1.1.2应用领域：广泛应用于经济学、工程学、管理学等，如资源分配、生产计划、投资组合等。

1.1.3发展历程：从20世纪40年代开始发展，经历了从理论到应用的转变，现在已成为解决实际问题的有效工具。

1.1.4教学目标：使学生理解非线性规划的基本理论和方法，能够解决简单的非线性规划问题。

1.2非线性规划的重要性1.2.1解决实际问题：非线性规划能够处理现实中存在的非线性关系，更贴近实际问题的本质。

1.2.2提高决策效率：通过优化算法，非线性规划可以在较短的时间内找到最优解，提高决策效率。

1.2.3促进学科交叉：非线性规划涉及到数学、计算机科学、经济学等多个学科，促进了学科之间的交叉和融合。

1.2.4教学目标：使学生认识到非线性规划在实际应用中的重要性，激发学生的学习兴趣。

1.3教学方法和手段1.3.1理论教学：通过讲解非线性规划的基本理论和方法，使学生掌握非线性规划的基本概念和解题思路。

1.3.2实践教学：通过案例分析、上机实验等方式，让学生动手解决实际问题，提高学生的实践能力。

1.3.3讨论式教学：鼓励学生提问、发表观点，培养学生的批判性思维和创新能力。

1.3.4教学目标：通过多种教学方法和手段，使学生全面掌握非线性规划的理论和实践，提高学生的综合素质。

二、知识点讲解2.1非线性规划的基本理论2.1.1最优性条件：介绍非线性规划的最优性条件，如一阶必要条件、二阶必要条件等。

2.1.2凸函数和凸集：讲解凸函数和凸集的定义及其在非线性规划中的应用。

2.1.3拉格朗日乘子法：介绍拉格朗日乘子法的原理和步骤，以及其在解决约束非线性规划问题中的应用。

2.1.4教学目标：使学生掌握非线性规划的基本理论，为后续的学习打下坚实的基础。

2.2非线性规划的求解方法2.2.1梯度法：讲解梯度法的原理和步骤，以及其在求解无约束非线性规划问题中的应用。

管理运筹学讲义第14章非线性规划

s.t. 2x1 - 3x2 +6 0
x1, x2 0
25
石家庄经济学院
管理科学与工程学院
MATLAB 程序如下：
• • • • • fun='x(1)^2+x(2)^2-x(1)*x(2)-2*x(1)-5*x(2)'; x0=[0,0]; A=[-2,3]; b=6; [x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b,[],[],[],[])
7 石家庄经济学院管理科学与工程学院
建立模型：
max Q = 4x1 + 2x2 0.5x12 0.25x22 s.t. 8x1 + 5x2 40 x1, x2 0
8
石家庄经济学院
管理科学与工程学院
引例14.2.3 供应与选址问题。某公司有 6 个建筑工地要开工，每个工地的位置（用平面坐标系 a，b 表示，距离单位：千米）及水泥日用量 d （吨）由下表给出。目前有两个临时料场位于 A(5, 1)，B(2, 7)，日储量各有 20 吨。假设从料场到工地之间均有直线道路相连。
20 石家庄经济学院管理科学与工程学院
§14.4 用 Matlab 求解非线性规划
用 Matlab 求解非线性规划时，要求的标准形式为： min F(X) s.t. AX b Aeq· X = beq C(X) 0 Ceq(X) = 0 VLB X VUB 其中 X 为 n 维变元向量，C(X) 与 Ceq(X) 均为非线性函数组成的向量，其它变量的含义与线性规划中相同。
6 石家庄经济学院管理ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ学与工程学院
引例14.2.2 生产计划问题。某化学公司合成了一种新肥料，只用两种可互相替换的基本原料来制造。公司想利用这个机会生产尽可能多的这种新肥料，公司目前有资金 40000 美元，可购买单价分别为 8000 美元和 5000 美元的原料。当用数量为 x1 和 x2 两种原料合成时，肥料的数量Q 由下式给出： Q = 4x1 + 2x2 0.5x12 0.25x22 试确定购买原料的计划。

运筹学非线性规划

二、模型的解及相关概念
1.可行解与最优解
★可行解：约束集D中的X。
★最优解：如果有 X * D，对于任意的 X D ，都有 f ( X *) f ( X ) ，则称 X *为（NLP）的最优
解，也称为全局最小值点。
★局部最优解：如果对于 X 0 D ，使得在 X 0的邻域 B(X 0, ) {X |P X X 0 P } 中的任意 X D 都有f (X 0 ) f (X ) ，则称 X 0 为（NLP）的局部最
: 风险系数；ij : 第i种与第j种股票收益的协方差
n
nn
max f (x) j xj
xi x j
j 1i1 j1源自s.t.n j 1Pj x j
B
x
j
0
2.模型
min f ( X )
(
NLP
)s.t.
hi
g
( X ) 0,i j ( X ) 0,
1,L , j 1,L
f
(X
)＝f
(X0
)
f
(X0
)（T X－X0）
1 2
(X
X0
)T
H
( X0 )(
X
X0)
o(P X－X 0 P2)
其中：o(P X
X0
P2 )是当X
X
时
0
PX
X0
P2
的高阶无穷小。
例2：写出 f ( X ) 3x12 sin x2 在X 0 [0, 0]T 点的二阶泰勒展开式
解: f ( X ) [6x1 cos x2 ]T , f ( X 0 ) [0 1]T
0
解得：＝－f (Xk )T Pk
PkT H ( X k )Pk

运筹学-非线性规划(四)(名校讲义)

1．外点法（又称惩罚法）
其思路是在目标函数中增加一项使之变为无约束问题，同时对破坏约束项需付出高昂代价，该法的起始点在可行域外，一旦进入可行域内便得到最优解。
§1 多维有约束寻优方法（9）
①思路设原问题为min：f[X] 约束：XS S是En中一个约束子集，即X的可行域为S，
则将其变成无约束问题： min：f[X]+ p(X)
p(x) =1 =10 =100
=100
b
=10
=1
图4-19
x
a
§1 多维有约束寻优方法（11）
②求解过程
令{k }（k=1，2，…，）是一无穷序列，且k≥0，k＋1 >k，定义函数q(，X)=f(X)+Xk，若原问题有解，则当k→∞，
§1 多维有约束寻优方法（2）
一、库恩-塔克（简称库塔）条件
1．可行方向和起作用约束 ①可行方向：
设X(0)是可行点，即X(0) R，若对于某一方向D，存在一个数 0>0,使对于任意（0≤≤0 ）均有下式成立：X(0) +DR，则称方向D是点X(0)处的可行方向。 ②下降方向：对于f(X)的台劳级数展开，若▽f[X(0)]T· D<0, 则称D方向为f[X]的下降方向。
第二十四讲非线性规划（四）
§1 多维有约束寻优方法
§1 多维有约束寻优方法（1）
非线性规划的一般形式
min f(X) hi(X)=0 i=1，2，…，m (1)
gi(X)≥0 j=1，2，…，l
下面，先阐述非线性规划的重要理论成果——库恩-塔克条件(Kuhn-Tucker),然后介绍比较重要的几种有约束的寻优方法。
0 1 2 x1

运筹学(第四版)清华大学出版社《运筹学》教材编写组-第5章线性目标规划

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清华大学出版社
第1节目标规划的数学模型

目标规划的一般数学模型为
目标函数： min z Pl (lk d k lk dk ) l 1 k 1 L K
(4 1) (4 2) (4 3) (4 4) (4 5)
n c x d d g k , k 1, , K kj j k k j 1 n a x (, )b , i 1, , m 满足约束条件： ij j i j 1 x j 0, j 1, , n d k , d k 0, k 1, , K
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第2节解目标规划的图解法

解：设x1，x2分别表示黑白和彩色电视机的产量，本问题的目标规划模型为：
目标函数： min z P d P d P ( 2 d d 1 1 3 3 4) 2 2
x1 x2 d1 d1 40 d2 50 x1 x2 d 2 满足约束条件： x1 d3 d3 24 x d d 2 4 4 30 x , x , d , d 0, i 1,2,3,4 1 2 i i
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第2节解目标规划的图解法

注意：求解目标规划问题时，把绝对约束作为最高优先级考虑。在本例中，能依先后次序都满足d1+=0， d2++d2−=0，d3−=0，因而z*=0。但在大多数问题中并非如此，会出现某些约束得不到满足，故将目标规划问题的最优解称为满意解。
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c j z j akj Pk j 1,2,, n; k 1,2,, K

非线性规划基本概念

序列二次规划法原理及步骤
• 原理：序列二次规划法是一种迭代求解非线性规划问题的方法。它在每次迭代中构造一个二次规划子问题，通过求解该子问题得到原问题的一个近似解，然后利用该近似解的信息构造下一个二次规划子问题，如此循环直至收敛到最优解。
序列二次规划法原理及步骤
2. 求解二次规划子问题，得到近似解。
与线性规划不同，非线性规划中的目标函数或约束条件至少有一个是非线性的。
非线性规划问题通常更加复杂，需要采用特定的算法和工具进行求解。
非线性规划重要性
01
广泛适用性
非线性规划在各个领域都有广泛应用，如经济、金融、工程、管理等。
02
解决复杂问题
03
推动技术进步
非线性规划能够处理涉及复杂非线性关系的问题，提供更精确的解决方案。
THANKS
感谢观看
REPORTING
https://
VS
5. 判断终止条件
若满足终止条件，则停止迭代，输出当前迭代点作为近似最小值点；否则，返回步骤2继续迭代。
拟牛顿法原理及步骤
原理
1. 初始化
拟牛顿法是一种改进牛顿法的方法，其基本思想是通过构造一个近似海森矩阵的逆矩阵来避免直接计算海森矩阵及其逆矩阵。拟牛顿法利用目标函数的一阶导数信息来构造一个满足拟牛顿条件的矩阵来逼近海森矩阵的逆矩阵，从而在保证收敛速度的同时降低了计算复杂度。
选择初始点 x0，设置迭代终止条件。初始化拟牛顿矩阵 B0（或其逆矩阵 H0）。
2. 计算梯度
计算函数在 x0 处的梯度 g0 和 g1。
拟牛顿法原理及步骤
3. 求解搜索方向通过解线性方程组 Bdp = -gp 或 Hdp = -gp 得到搜索方向 dp。

第四章非线性规划2-SUMT方法罚函数法

第二节 SUMT 方法（罚函数法）一、SUMT 方法的原理SUMT （sequential unconstrained minimization technique ）法，序列无约束极小化方法,亦称为罚函数法。

它是一种不等式约束最优化问题的间接解法它的基本思想是将原来的目标函数和约束函数按一定的方式构成一个新的函数，在这个新函数中，既包括目标函数，又包括全部约束函数和一个可以变化的乘子。

当这个乘子按一定的方式改变时，就得到一个新函数序列，求每一个新函数的最优解都是一个无约束最优化问题，这样就把一个约束最优化问题转化为一系列无约束最优化问题进行求解。

所得到的最优解序列将逐步逼近原问题的最优解。

引例一：min()f X ax = s.t()0g X b x =-≤ 显然f （X ）的最优点为x*=b ，对应的最小值为f（X*）=ab用SUMT 求解函数的最优解构造函数 11(,)()()k k kX r f X r ax r g X b xΦ=-=-- 0k r >—可变化乘子，它是一个很小的正数。

其最优解为：*()k X r b =+此时对应的(,)k X r Φ的最小值为***1(,)k kX r ax r b x ab Φ=--=+ 最优点*()k X r 和最小值*(,)k X r Φ均是k r 的函数。

当k r 取不同值时，它们有不同的值，而当0k r →时，**()k X r X b →=，*(,)*k X r f X ab Φ→=（），即最后收敛于约束最优点。

0min lim[min (,)]() {|()0}k k i r X r f X R X g X X R→Φ==≤∈ 以上分析从理论上说明了无约束最优化问题min (,)k X r Φ与约束优化问题min () {|()0}i f X R X g X X R=≤∈之间的联系：约束非线性规划问题可以通过构造新目标函数序列，用无约束优化方法求其极小点，并逐次逼近原问题的最优点。

运筹学(第四版)清华大学出版社《运筹学》教材编写组-第章

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2.1.4 线性规划问题的解概念
❖ 1.可行解 ❖ 2.基 ❖ 3.基可行解 ❖ 4.可行基
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2.1.4 线性规划问题的解的概念
1. 可行解
❖ 定义
满足约束条件(1-5)、(1-6)式的解X=(x1,x2，…，xn)T，称为线性规划问题的可行解，其中使目标函数达到最大值的可行解称为最优解。
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2.1.3 线性规划问题的标准型式
线性规划问题的几种表示形式
用向量形式表示的标准形式线性规划
M
'' 1
:目标函数：max
z
CX
n
约束条件： j1 Pj x j
b
x
j
0,
j 1,2,,n
C c1 ,c2 ,,cn ;
x1
a1 j
b1 Xx2 ; NhomakorabeaPj
a2
j
若约束条件为“≤”型不等式，则可在不等式左端加入非负松弛变量，把原“≤”型不等式变为等式约束；若约束条件为“≥”型不等式，则可在不等式左端减去一个非负剩余变量(也称松弛变量)，把不等式约束条件变为等式约束。 (3) 若存在取值无约束的变量xk,可令
xk xk' xk" xk' , xk" 0
2.1.3 线性规划问题的标准型式
M1 : 目标函数：max z c1x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 约束条件：a21x1 a22 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
x1, x2 , , xn 0

运筹学 — 无约束非线性规划,约束非线性优化解析

则 x是 f (x) 的R上的最小点（全局极小点）
• 凸规划：
定义：若 R En 为凸集， f ( x) 是R上的凸函数，则称规划：
min f (x) s.t. x R
为凸规划
定义：若规划问题：
min f (x) s.t. gi (x) 0 i 1, 2, m
其中 f (x) 为凸函数， gi (x) 为凹函数（或 gi (x) 为凸函数），则该规划问题为凸规划。
x
k+1
=x +k P
k
k
检查得到的新点x是否为极小值点或近似极小值点。若是，停止迭代。否则，令 k：=k+1，回2步继续迭代。
• 确定最优步长
k： min f (x +P )
k k
求以为变量的一元函数 f (xk +Pk ) 的极小值点（一维搜索）
一维搜索重要性质：在搜索方向上所得最优点处的梯度和该搜索方向正交。
t

(t1 ) 0.2082 (t2 ) 0.0611
b-t1=1.146-0.438>0.5
0 t1
t2
1.416
t
4、第四轮：
a = 0.438, t1=0.708, t2=0.876, b=1.146

(t1 ) 0.0611 (t2 ) 0.0798
b-t1=1.146-0.708<0.5 0
第四章非线性规划
凌翔龙建成交通运输工程学院
凸函数定义：
设 f (x) 为定义在n维欧氏空间E中某个凸集R上的函数，若对任何实数 0 1 以及R中的任意两点 x1 和 x2 ，恒有：
f ( x1 (1 )x2 ) f (x1 ) (1 ) f (x2 )

一、非线性规划问题的几种求解方法1.罚函数法(外点法)

x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2, ...)
第三十五页，共五十九页。
输入(shūrù)参数的几点说明
模型中如果没有(méi yǒu)A,b,Aeq,beq,lb,ub的限制，则以空矩阵[ ]作为参数传入； nonlcon：如果包含非线性等式或不等式约束，则将这些函数
第二十八页，共五十九页。
第二步：求
最优的目标函数 (k) (mùbiāo)
function r=fungetlamada(lamada) %关于(guānyú)lamada的一元函数，求最优步长 global x0 d=fun1gra(x0); r=2*(x0(1)-lamada*d(1))^2+(x0(2)lamada*d(2))^2; %注意负号表示是负梯度
主程序main1.m（续）
while sqrt(sum(d.^2))>=yefi lamada=fminsearch(‘fungetlamada’,la mada);%求最优步长lamada
x0=x0-lamada*fun1gra(x0);%计算x0 d=fun1gra(x0);%计算梯度 k=k+1;%迭代(dié 次数 dài) end disp('x='),disp(x0),disp('k='),disp (k),disp('funobj='),disp(2*x0(1)^2+ x0(2)^2)
第八页，共五十九页。
程序3：辅助(fǔzhù)函数程序fun2min.m

第四章非线性规划2-SUMT方法(罚函数法)

第二节 SUMT 方法（罚函数法）一、SUMT 方法的原理SUMT （sequential unconstrained minimization technique ）法，序列无约束极小化方法,亦称为罚函数法。

所得到的最优解序列将逐步逼近原问题的最优解。

引例一：min ()f X ax =s.t ()0g X b x =-≤显然f （X ）的最优点为x*=b ，对应的最小值为f （X*）=ab用SUMT 求解函数的最优解构造函数11(,)()()k k kX r f X r ax r g X b xΦ=-=-- 0k r >—可变化乘子，它是一个很小的正数。

其最优解为：*()k X r b =+ 此时对应的(,)k X r Φ的最小值为***1(,)k kX r ax r b x ab Φ=--=+最优点*()k X r 和最小值*(,)k X r Φ均是k r 的函数。

当k r 取不同值时，它们有不同的值，而当0k r →时，**()k X r X b →=，*(,)*k X r f X ab Φ→=（），即最后收敛于约束最优点。

非线性规划在运筹学中的理论与实践

非线性规划在运筹学中的理论与实践非线性规划是数学规划中的一个重要分支，它在运筹学中具有广泛的应用。

本文将从理论与实践两个方面讨论非线性规划在运筹学中的作用。

一、非线性规划的理论基础非线性规划是研究目标函数和约束条件都为非线性函数的优化问题。

在运筹学中，非线性规划的理论基础主要包括两个方面：一是非线性函数的性质和优化方法；二是约束条件的处理和求解。

1. 非线性函数的性质和优化方法非线性函数具有丰富的性质，如凸性、可导性、二次性等。

这些性质为非线性规划问题的解决提供了理论基础。

在优化方法方面，常用的非线性规划算法包括梯度法、牛顿法、拟牛顿法等。

这些算法可以根据问题的特点选择合适的方法来求解。

2. 约束条件的处理和求解与线性规划相比，非线性规划的约束条件更加复杂。

一般来说，约束条件可以分为等式约束和不等式约束。

等式约束可以通过拉格朗日乘子法进行处理，而不等式约束则可以通过KKT条件来求解。

此外，还可以采用罚函数法、投影法等方法来处理约束条件。

二、非线性规划在运筹学中的实践应用非线性规划在运筹学中有着广泛的实践应用，涉及到生产计划、物流优化、资源配置等方面。

1. 生产计划中的非线性规划在生产计划中，考虑到生产成本、销售需求以及资源限制等因素，常常需要对生产计划进行优化。

非线性规划方法可以帮助实现最小化生产成本、最大化利润等目标。

例如，在汽车制造领域，可以利用非线性规划方法优化生产线的布局，提高生产效率。

2. 物流优化中的非线性规划物流优化是运筹学的重要应用领域之一。

通过对供应链网络进行优化，可以实现库存降低、运输成本最小化等目标。

非线性规划可以在考虑各种限制条件的情况下，对供应链网络进行优化设计。

例如，在仓储和配送中心的选址问题中，可以利用非线性规划方法优化选址方案，提高物流效率。

3. 资源配置中的非线性规划在资源配置问题中，需要考虑到资源的有限性以及不同资源之间的相互关系。

非线性规划可以帮助实现资源的合理配置，以最大化整体效益。

生产运筹非线性规划的基本概念

生产运筹非线性规划的基本概念引言生产运筹是一种管理技术，通过运用经济原理和数学模型，来解决实际生产和运输中的各种问题。

非线性规划是生产运筹中的一种重要工具，可以用于优化生产过程中的决策问题。

本文将介绍生产运筹非线性规划的基本概念。

非线性规划的定义非线性规划是一类优化问题，其中目标函数和约束条件都是非线性的。

一般来说，非线性规划的目标是找到一组决策变量的取值，使得目标函数达到最大或最小值，同时满足一系列约束条件。

非线性规划的基本要素非线性规划包含以下几个基本要素：1. 决策变量决策变量是非线性规划中的可调整参数，用于描述决策者所要做的选择。

在生产运筹中，决策变量可以是产品的产量、投入资源的数量或者是生产过程中的各种参数。

2. 目标函数目标函数是非线性规划中要优化的函数，可以是生产成本、利润、产量或其他决策者关心的指标。

在非线性规划中，目标函数的形式可以是任意的非线性函数。

3. 约束条件约束条件描述了决策变量的取值范围或者彼此之间的关系。

约束条件可以是等式约束或者不等式约束。

在生产运筹中，约束条件可以包括物料的平衡方程、设备的容量限制等。

4. 可行域可行域是指满足约束条件的所有决策变量取值的集合。

在非线性规划中，决策变量的取值必须落在可行域内，才被认为是合理的解。

5. 优化算法非线性规划的求解过程需要使用优化算法来搜索最优解。

常用的优化算法包括梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。

生产运筹非线性规划的应用生产运筹非线性规划的应用非常广泛，涵盖了生产计划、资源分配、供应链优化等领域。

以下是一些非线性规划在生产运筹中的应用案例：1.生产计划优化：通过优化决策变量，如产量、物料分配等，来最大化产量、最小化成本或缩短生产周期。

2.设备选择优化：通过优化设备的选择和使用策略，来最大化产量、降低能耗或最小化故障率。

3.供应链优化：通过优化物流和分配的决策变量，如运输路线、库存水平等，来最小化供应链成本或缩短物流时间。

非线性规划在运筹学中的应用

非线性规划在运筹学中的应用非线性规划是运筹学中的重要领域之一，广泛应用于各种实际问题的优化过程中。

本文将介绍非线性规划在运筹学中的应用，并探讨其在实际问题求解中所面临的挑战以及解决方案。

一、非线性规划的定义与特点非线性规划是指目标函数或约束条件中存在非线性项的优化问题。

与线性规划不同，非线性规划需要通过数值计算的方法来获取最优解。

非线性规划的特点在于问题的复杂性和多样性，涉及到的数学模型通常更加抽象和复杂，求解过程也更加困难。

二、非线性规划在生产调度中的应用生产调度是运筹学中的一个重要问题，旨在合理安排生产资源，提高生产效率。

非线性规划可以用于求解生产调度问题，通过优化生产资源的分配和利用，实现生产效益的最大化。

例如，在一家制造业企业中，存在多个订单需要完成。

每个订单的生产时间、生产成本、交货时间等因素都不同，而且相互之间存在约束条件。

通过建立一个非线性规划模型，可以考虑各种因素，如生产时间、物料需求、生产能力等，利用数学求解方法求得最佳生产调度方案。

三、非线性规划在物流配送中的应用物流配送是一个典型的优化问题，旨在合理安排货物的运输路线、运输方式，以降低物流成本，并保证货物按时到达目的地。

非线性规划可以用于解决物流配送中的路径规划、运输负荷、车辆调度等问题。

例如，在一家快递公司中，需要合理安排快递员的路线，使其能够尽可能地在规定时间内完成配送任务。

非线性规划可以考虑诸如快递员工作时间、路况、配送点的距离等因素，通过求解最优化问题，找到最佳的配送路线，提高配送效率，降低物流成本。

四、非线性规划在金融投资中的应用在金融投资领域，非线性规划也得到了广泛的应用。

通过构建非线性规划模型，可以考虑投资收益、风险、投资期限等多方面因素，以优化投资组合并降低风险。

例如，在一家投资公司中，需要选择一个最佳的投资组合，使得收益最大化的同时，风险最小化。

非线性规划可以考虑不同资产的收益率、投资额度限制等因素，通过求解最优化问题，找到最佳的投资配置方案。

非线性规划的基本概念

处的最速下降方向，并求沿这个方向移动一个单位长度后
新点的目标函数值。
解：由于
f x1 6 x1 4 x2 ,
f x2 4x1 2x2
则函数在 x =[0,1]T 处的最速下降方向是
P
f
x
f
x1 f
x2 x1 0
6 x1 4 x2
4 x1 2 x2
x1 0
4 2
(2)若f1, f2是S上的凸函数, f1 f2是S上的凸函数。性质2: 设S Rn是非空凸集, f是凸函数,cR1,则集合
HS ( f ,c)xS| f ( x) c 是凸集。
证明:略.
➢ （3）凸函数的判定定理1：（一阶条件）
m in f ( x)
s.t. gi ( x) 0, i 1,, p
hi ( x) 0, j 1,, q
➢（4）可行域和可行解：
称
X
x
Rn
gi ( x) hi ( x)
0, i 1,, p 0, j 1,, q
为MP问题的约束集或可行域。
若x在X内，称x为MP的可行解或者可行点。
则称f是S上的凸函数，或f在S上是凸的。若 f (x1 (1 )x2 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x2 ),x1, x2 S
则称f是S上的严格凸函数，或f在S上是严格凸的。
若 f 是S上的(严格)凸函数，称f是S上的(严格) 凹函数, 或f在S上是(严格)凹的。
例 f ( x)|| x||其中xRn是凸函数
4 2
42 22
2
5 1
5
5
5
新点是： x1
x
e
0 1
2
5 1
5

运筹学13 惩罚函数法

由于x 是问题(13.1.1)的最优解, 从而是可行点, 由P( x)的定义, 有 P( x ) 0
(13.1.20)
又x ( k )为F ( x, k )的极小点, 则 f ( x ) f ( x ) k P( x ) f ( x ( k ) ) k P( x ( k 1) ) F ( x ( k ) , k )
min F ( x, )的解为x( )
(13.1.12)

x( )

2
2
1 x*,
TP SHUAI 10
13.1 外点罚函数法
罚因子的选取非常重要!!!
一般的策略是:取一趋向无穷大的严格递增正数列{k }, 从某个1开始, 对每个k , 求解 min f ( x) k P( x) (13.1.13) 从而得到一个极小点的序列{xk }在适当条件下, 此序列收敛于约束问题的最优解. 序列无约束极小化方法(SUMT)
由上引理知, 若迭代不终止, 则{ f ( x ( k ) )},{F ( x ( k ) , k )} 为非减序列, {P( x ( k ) )}为非增序列.
引理13.1.2 设x 是问题(13.1.1)的最优解, 且对任意的
k 0, 由(13.1.3)定义的F ( x, k )存在极小点x ( k ) , 则对
由(13.1.20)-(13.1.21)知(13.1.19)成立.
TP SHUAI 17
(131 .. 21)
13.1 外点罚函数法
i S x (13.1.22) h j ( x) , j 1, 2,...l 是紧的, 又设{k }是趋向的严格递增正数列, 且对每个k , {x

非线性规划——精选推荐

⾮线性规划author: lunardate: Tue 01 Sep 2020 04:31:18 PM CST⾮线性规划如果⽬标函数中包含⾮线性函数, 就称这种规划问题为⾮线性规划问题.⽬前解决⾮线性规划还没有⼀种通⽤⽅法.线性规划和⾮线性规划的区别如果线性规划的最优解存在, 其最优解只能在其可⾏域的边界上达到(特别是可⾏域的顶点上达到); ⽽⾮线性规划的最优解可能在可⾏域的任意⼀点达到.⾮线性规划的MATLAB解法⾸先可以将⾮线性规划表⽰为如下形式:minC(x), Ceq(x)是⾮线性向量函数.MATLAB计算⾮线性规划的函数为x = fmincon(fun, x0, A, B, Aeq, Beq, LB, UB, NONLCON, OPTIONS)fun是⽤.m⽂件定义的⽬标函数; x0表⽰决策变量的初始值; NONLCON是⽤.m⽂件定义的⾮线性向量函数; OPTIONS定义了优化参数; 其余参数与线性规划⼀致.⽰例求解下列⾮线性规划问题\min f(x) = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 8\\ \begin{aligned} s.t.\quad &x_1^2 - x_2 + x_3^2 \ge 0\\&x_1 + x_2^2 + x_3^2 \le 20\\ &-x_1 - x_2^2 + 2 = 0\\ &x_2 + 2x_3^2 = 3\\ &x_1, x_2, x_3 \ge 0\end{aligned}⽤MATLAB代码求解为编写⽬标函数的.m⽂件target.mfunction f = target(x);f = sum(x.^2) + 8;编写⾮线性约束条件的.m⽂件nonlinear.mfunction [g,h] = nonlinear(x);g = [-x(1)^2 + x(2) - x(3)^2x(1) + x(2)^2 + x(3)^3 - 20]; %⾮线性不等式约束f = [-x(1) - x(2)^2 + 2x(2) + 2x(3)^2 - 3]; %⾮线性等式约束主程序⽂件main.moptions = optimset('largescale', 'off');[x, y] = fmincon('target', rand(3,1), [], [], [], [], zeros(3,1),[], 'nonlinear', options)求解⾮线性规划的基本迭代格式(难点)由于线性规划的⽬标函数为线性函数, 可⾏域为凸集, 所以求出的最优解就是整个可⾏域上的最优解. ⾮线性规划则不然, 有时求出的解虽然是⼀部分可⾏域上的极值点, 但不⼀定是整个可⾏域上的全局最优解.对于⾮线性规划模型(NP), 可以采⽤迭代⽅法求最优解. 基本思想为: 从⼀个选定的初始点出发, 按照⼀个特定的迭代规则产⽣⼀个点列{x k}; 使得当{x k}是有穷点列时, 其最后⼀个点是(NP)的最优解; 为⽆穷点列时, 它有极限点, 并且极限点是(NP)的最优解;设x^k\in R^n是某迭代⽅法的第k轮迭代点, x^{k+1}\in R^n是第n+1轮迭代点, 记x^{k+1} = x^k + t_kp^k\\ t_k\in R^1, p^k\in R^n, \lvert p^k\rvert = 1通常将基本迭代格式中的p^k称为第k轮搜索⽅向, t_k为沿p^k⽅向的步长. 有机器学习那味⼉了.对于向量p, 如果存在t\in (0, +\infty)使得f(\overline x + tp) < f(\overline x)\\ \overline x + tp \in KK即为可⾏域, 则称p为\overline x关于K的可⾏⽅向.凸函数, 凸规划凸函数的定义为: 若对区间(0,1)内的任何实数\alpha, 恒有f(\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2) \le \alpha f(x_1) + (1-\alpha)f(x_2)的函数为定义在R上的严格凸函数.⽬标函数为凸函数, 约束函数也为凸函数的⾮线性规划为凸规划.可以证明, 凸规划的可⾏域为凸集, 其局部最优解即为全局最优解, ⽽且其最优解的集合形成⼀个凸集. 当凸规划的⽬标函数f(x)为严格凸函数时, 其最优解必定唯⼀.⽆约束问题⽆约束问题即没有约束条件的问题, 即求解函数极⼩值的问题⼀维搜索⽅法当⽤迭代法求函数的极⼩点时, 常常⽤到⼀维搜索, 即沿⼀已知⽅向求⽬标函数的极⼩点.⼀种⽐较⼀个区间上两端函数值的⽅法, 原理⾮常简单, 不讲了.但是这种⽅法⼀般只能⽤于单极值区间, 对于⼀个多极值的函数. 可以尝试先画出函数图, 然后找出所有只有单个极值的区间分别求解.斐波那契法上⾯那种⽅法本是随机选取区间的两个点, 斐波那契法能够保证区间按照按照斐波那契数进⾏缩⼩.即t_1 = a + \frac{F_{n-1}}{F_n}(b-a),t_2 = a + \frac{F_{n-2}}{F_n}(b-a)根据需要求解的精度\delta, 确定迭代次数的⽅式\frac{b-a}{F_n} \le \delta也可以⽤黄⾦⽐例数代替斐波那契数列.⼆次插值法对极⼩化问题, 当f(t)在[a,b]上连续时, 可以考虑⽤多项式插值来进⾏⼀维搜索. 基本思想为: 在搜索区间内,不断⽤低次(不超过三次)多项式来近似⽬标函数, 并逐步⽤插值多项式的极⼩点来逼近极⼩化问题的最优解.⽆约束问题的解法梯度下降法总是朝着梯度下降最快的⽅向前进⽜顿法⾸先需要了解⼀下什么是考虑⽬标函数f在x^k处的⼆次逼近式f(x)\approx Q(x) = f(x^k) + \nabla f(x^k)^T(x-x^k) + \frac12(x-x^k)^T\nabla^2f(x^k)(x-x^k)假设⿊塞矩阵\nabla^2 f(x^k) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f(x^k)}{\partial x_1^2} & \cdots & \frac{\partial^2f(x^k)}{\partial x_1\partial x_n}\\ \vdots & \cdots & \vdots \\ \frac{\partial f(x^k)}{\partial x_n\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial^2 f(x^k)}{\partial x_n^2} \end{bmatrix}正定由于\nabla^2 f(x^k)正定, 函数Q的驻点x^{k+1}是Q(x)的极⼩点. 令\nabla Q(x^{k+1}) = \nabla f(x^k) + \nabla^2 f(x^k)(x^{k+1} - x^k) = 0解得x^{k+1} = x^k - [\nabla^2 f(x^k)]^{-1}\nabla f(x^k)所以从x^k出发的搜索⽅向为p^k = -[\nabla^2 f(x^k)]^{-1}\nabla f(x^k)⽜顿法的优点是收敛速度快; 缺点是有时不好⽤⽽需采取改进措施, 当维度很⾼时, 计算矩阵的逆矩阵计算量将会很⼤.变尺度法变尺度法由于能够避免计算⼆阶导数矩阵及其逆矩阵, 对于⾼纬度问题具有显著的优越性.为了不计算⼆阶导数矩阵[\nabla^2 f(x^k)]及其逆矩阵, 我们设法构造另⼀个矩阵, 来逼近⼆阶导数矩阵, 这⼀类也称为拟⽜顿法(Quasi-Newton Method).当f(x)是⼆次函数时, 任两点x^k和x^{k+1}的梯度之差为\nabla f(x^{k+1}) - \nabla f(x^k) = A(x^{k+1} - x^k)因此, 我们构造⿊塞矩阵的第k+1次近似\overline H^{k+1}满⾜关系式x^{k+1} - x^k = \overline H^{(k+1)}[\nabla f(x^{(k+1)}) - \nabla f(x^k)]这就是拟⽜顿条件.令\begin{cases} \Delta G^{(k)} = \nabla f(x^{k+1}) - \nabla f(x^k)\\ \Delta x^k = x^{k+1} - x^k\end{cases}记\Delta \overline H^{(k)} = \overline H^{(k+1)} - \overline H^{(k)}称为校正矩阵.省略中间过程, 可求得校正矩阵\Delta \overline H^{(k)} = \frac{\Delta x^k(\Delta x^k)^T}{(\Delta G^{(k)})^T\Delta x^k} -\frac{\overline H^{(k)}\Delta G^{(k)}(G^{(k)})^T\Delta H^{(k)}}{(\Delta G^{(k)})^T\overlineH^{(k)}\Delta G^{(k)}} \tag{17}从⽽有\overline H^{(k+1)} = \overline H^{(k)} + \frac{\Delta x^k(\Delta x^k)^T}{(\Delta G^{(k)})^T\Delta x^k} - \frac{\overline H^{(k)}\Delta G^{(k)}(G^{(k)})^T\Delta H^{(k)}}{(\Delta G^{(k)})^T\overlineH^{(k)}\Delta G^{(k)}} \tag{18}以上矩阵称为尺度矩阵, 取第⼀个尺度矩阵\overline H^{(0)}为单位矩阵.由此可得DFP变尺度法的计算步骤为:给定初始点x_0以及梯度允许误差\varepsilon > 0若\lvert\nabla f(x^{(0)})\rvert \le\varepsilon, 则x_0为近似点, 停⽌迭代.否则转下⼀步.令\overline H^{(0)} = I (单位矩阵)\\ p^0 = -\overline H^{(0)}\nabla f(x^0)在p^0⽅向进⾏⼀维搜索, 确定最佳步长\lambda_0\min_\lambda f(x^0+\lambda p^0) = f(x^0 + \lambda_0p^0)于是可以得到下⼀个近似点x^1 = x^0 + \lambda_0p^0对于近似点x^k, 计算其梯度, 若有\lvert\nabla f(x^k)\rvert\le \varepsilon则停⽌迭代, 最终解为x^k; 否则根据式(18)计算\overline H^{(k)}, 令p^k = -\overline H^{(k)}\nablaf(x^k). 在p^k⽅向进⾏⼀维搜索, 得到\lambda_k, 从⽽得到下⼀个近似点x^{k+1} = x^k + \lambda_kp^k不断重复第4步直到满⾜允许误差.约束极值问题带有约束条件的极值问题称为约束极值问题, 也叫规划问题.⼆次规划问题⽬标函数为⾃变量的⼆次函数的问题称为⼆次规划问题.⼆次规划的模型可以表述为\min \frac12x^THx + f^Tx,\\ s.t.\quad \begin{cases} Ax\le b\\Aeq\dot x = beq\\ \end{cases} MATLAB中求解⼆次规划的函数为[x, f] = quadprog(H, f, A, b, Aeq, beq, LB, UB, X0, OPTIONS)罚函数法利⽤罚函数法, 可将⾮线性规划问题转化为⼀系列⽆约束机制问题. 因此也称这种⽅法为序列⽆约束最⼩化技术, SUMT(Sequential Unconstrained Minization Technique).罚函数法的基本思想是利⽤问题中的约束函数作出适当的罚函数, 由此构造出带参数的增⼴⽬标函数, 把问题转化为⽆约束线性规划问题.罚函数法分为外罚函数法和内罚函数法. 现在介绍外罚函数法.对于问题:\min f(x)\\ s.t.\quad \begin{cases} g_i(x)\le 0, i = 1,\dots,r,\\ h_j(x)\ge 0, j = 1,\dots,s,\\ k_m(x) = 0, m = 1,\dots,t \end{cases}取⼀个充分⼤的正数M, 构造函数P(x, M) = f(x) + M\sum_{i=1}^r\max(g_i(x), 0) - M\sum_{i=1}^s\min(h_i(x), 0) +M\sum_{i=1}^t|k_i(x)|MATLAB 求约束极值问题fminbnd 函数求单变量⾮线性函数在区间[x_1, x_2]上的最⼩值语法格式[x, f] = fminbnd(fun, x1, x2, options)fminimax 函数可以⽤来求解带有⾮线性约束条件的问题x = fminimax(fun, x0, A, B, Aeq, Beq, LB, UB, NONLCON) Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js。

求解非线性约束优化问题精确罚函数方法

独创性声明本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。

尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其它人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得山东理工大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。

与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。

研究生签名：时间：年月日关于论文使用授权的说明本人完全了解山东理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅；学校可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。

(保密的学位论文在解密后应遵守此协议)研究生签名：导师签名：时间：时间：年年月月日日山东理工大学硕士学位论文摘要摘要精确罚函数方法是求解非线性约束优化问题的一种重要方法。

理论上，精确罚函数方法只需求解罚参数取某一有限值的罚问题，就可得到约束优化问题的解，从而避免了当罚参数的值趋于无穷大时产生病态的缺点。

精确罚函数又分为不可微精确罚函数和连续可微精确罚函数。

通常情况下，简单精确罚函数一定是不可微的，从而会在一些快速算法中阻止局部快速收敛，产生“ Maratos效应”。

连续可微精确罚函数就克服了上述缺点，因此具有更好地性质。

增广拉格朗日函数就是这样一种特殊的连续可微精确罚函数。

对于一般的非线性约束优化模型，本文将提出一种新的非线性Lagrange函数,讨论该函数在KKT 点处的性质，并证明在适当条件下，基于该函数的对偶算法产生的迭代点列具有局部收敛性，然后给出与罚参数有关的解的误差估计。

这为解决非线性约束优化问题又提供了一种新途径。

然后对非光滑罚函数进行二阶可微光滑逼近，并给出原优化问题、相应的非光滑罚函数、光滑罚函数最优值间的误差估计，然后设计基于该光滑罚函数的算法，并证明在适当条件下它具有全局收敛性，最后再利用数值实验来说明算法的有效性。

非线性规划中的罚函数及填充函数方法的开题报告

非线性规划中的罚函数及填充函数方法的开题报告一、研究背景和意义非线性规划是数学规划中的一种重要研究领域。

相比线性规划，非线性规划的解法更为困难，解决非线性规划问题需要使用专门的数学方法。

罚函数及填充函数方法是求解非线性规划的两种主要方法之一，它们可以有效地降低问题的复杂度，提高求解效率。

罚函数方法是一种将约束条件的违反程度作为惩罚因子添加到目标函数中的方法，将原问题转化为一个无约束的优化问题，从而使用专门的无约束优化算法求解。

相比其他方法，罚函数方法具有实现简单、稳定可靠等优点，广泛用于实际问题求解过程中。

填充函数方法是一种将约束条件转化为边界条件的方法，这种方法将非线性规划转化为一系列求解带有边界条件的线性规划问题，然后使用线性规划的求解方法进行求解。

填充函数方法具有数学基础适用广泛等优点，被广泛地应用于数学规划中。

二、研究内容和方法本文研究非线性规划中罚函数及填充函数方法的原理和应用。

主要内容包括：1.罚函数方法的原理和应用：介绍罚函数方法的数学原理和基本概念，详细讨论罚函数方法在非线性规划中的应用，包括罚函数参数的设置、罚函数算法的求解等。

2.填充函数方法的原理和应用：介绍填充函数方法的数学原理和基本概念，详细讨论填充函数方法在非线性规划中的应用，包括填充函数的构造方法、线性化方法、求解算法等。

3.比较和分析：对罚函数和填充函数两种方法进行比较分析，研究它们在不同情况下的优劣势，并结合实例进行分析和验证。

本文主要采用文献资料法和实例分析法。

通过系统梳理相关文献资料，深入研究罚函数和填充函数两种方法的原理和应用，探索它们在不同情况下的局限性和优越性。

同时结合实例进行数学模型的建立和求解，验证两种方法在实际问题中的应用效果，给出具体实施方案和可行性建议。

三、预期结果和意义本文研究非线性规划中罚函数及填充函数方法的原理和应用，深入分析它们在实际问题中的应用效果，将对数学规划领域的教学和实际应用有很大的帮助。