信号与系统 第7章离散时间系统的时域分析

1 sin ( n 0 ω
)
sin (Ω0 t ) 10
o1 -1
5
n
4π 例7-2-5 已知： sin n ， 求其周期。 11 4π 2π 11 11 N ω0 ，则有： 2π 11 ω0 4π 2 m
所以N 11，即周期为11。（ π 中有5.5个ω0 2 ）
x (n)
3 4 5 1 2
对应值相加可得f ( n )＝{2,－1, 1, 7, 4, 2，4} （2）将指针对齐后，对应值相乘得f (n)＝{－6,12,4,1}
在实际应用中，若序列的第一个非零值对应的是
指针位置n＝0，为了方便则指针可不标示。
z 3．移位： (n) x(n - m) z ( n ) x ( n + m)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12
n
三．常用离散信号
•单位样值信号 •单位阶跃序列 •矩形序列 •斜变序列 •单边指数序列 •正弦序列 •复指数序列
1．单位样值信号
也称为单位取样、单位函数、单位脉冲、单位冲激
0, n 0 d ( n) 1, n 0
d (n)
1 O

离散时间系统的优点
•便于实现大规模集成，从而在重量和体积方面显示其优越性；
•容易做到精度高，模拟元件精度低，而数字系统的精度取决 于位数；
•可靠性好；
•存储器的合理运用使系统具有灵活的功能；
•易消除噪声干扰； •数字系统容易利用可编程技术，借助于软件控制，可大大改 善了系统的灵活性和通用性；软件就是仪器
9 10 6 7 8 11
22
n
一个周期
例7-2-6 信号x(n) sin(0.4n)是否为周期信号？
0 0.4
2π
0
5π是无理数 所以为非周期的序列
f ( t ) sin ( Ω0t )
离散点（时刻）nT上的正弦值 x( n) f (nT ) sin(Ω0 nT )
2．单位阶跃序列
u(n)
1 u( n) 0
n0 n0
1
-1 O

1 23
n
u (n) d (n) + d (n - 1) + d (n - 2) + d (n - 3) + d (n - k )

d (n) u(n) - u( n - 1)
1
-1 O
k 0
u (n - 1)
arg x(n) 0 n
7.3 离散时间系统的数学模型—差分方程
x (0) x (n ) x (3)
右移位 (逐项后移) 左移位 (逐项前移)
x (n - 1) x (0)
x (- 1)
x (1) 2
x (- 1)
x (1) 3
x (3) 4
-1 o 1
3 x (2)
n
-1 o
1 2
n
x (2)
4．反褶： z( n) x( - n) 5．差分： 前向差分：x( n) x( n + 1) - x( n)
●数字频率——抽样间隔S为抽样间隔时间)，s为抽样角频率，
0 π可以取负值，所以 0 (- π，π)
x(n) e j 0n cos 0 n + j sin 0 n 7．复指数序列
复序列用极坐标表示： x (n) x (n) e jarg x (n ) 复指数序列： x (n) 1
系统分析
连续时间系统——微分方程描述
离散时间系统——差分方程描述 差分方程的解法与微分方程类似
本章内容
•离散时间信号及其描述、运算； •离散时间系统的数学模型——差分方程； •线性差分方程的时域解法； •离散时间系统的单位样值（单位冲激）响应； •离散卷积。
学习方法
注意离散系统与连续系统分析方法上的联系、区别、对比， 与连续系统有并行的相似性。和前几章对照，温故而知新。
x(n)d (n) x(0)d (n) x(n)d (n - j ) x( j )d (n - j )
利用单位样值信号表示任意序列
x(n) x(m)d (n - m)
m -

f (n ) 1.5 -1 o 1 -3
2 3 4 n
f (n ) 1,1.5,0,-3,0,0, d (n + 1) + 1.5d (n) - 3d (n - 2) n 0

1 2 3
n
3．矩形序列
1 RN ( n ) 0 0 n N -1 n 0, n N
RN (n) 1 -1 o

1 2 3 N -1 n
x (n)
4．斜变序列
x( n) nu( n)
1
- 1O 1 2 3 4
n
5．单边指数序列 x(n) a n u(n)
a n u(n ) a n u(n )
模拟信号 抽样信号
连续时间系统：
系统的输入、输出都是连续的时间信号。
连续信号与离散信号

连续时间信号：在所讨论的时间间隔内，除若干不连续
点之外，对于任意时间值都可以给出确定的函数值。（模 拟信号）

离散时间信号：在时间上是离散的，只在某些不连续的
规定瞬时给出函数值，在其它时间没有定义。
模拟信号，抽样信号，数字信号
离散信号用x(n)表示，其中n为 整数，表示序号，所以，离散 信号又称为序列。离散信号可 以用图形表示，也可以用所谓 的指针法表示，如x(n)＝{1, 2, 3, 4, 3, 2, 1} 式中， 表示n＝0对应
例7-2-1
2n , n 0 x ( n) 试写出其序列形式并画出波形。 0, n 0
应用前景
由于数字系统的优点，使许多模拟系统逐步被淘汰，被数字 （更多是模／数混合）系统所代替；
人们提出了“数字地球”、“数字化世界”、“数字化生存” 等概念，数字化技术逐步渗透到人类工作与生活的每个角落。数 字信号处理技术正在使人类生产和生活质量提高到前所未有的新 境界。
信号分析
连续时间信号——傅里叶变换 离散时间信号——傅里叶变换、快速傅里叶变换等
2 Ω0 T0
x(n) sin( 0 n)
区别:
ω0 (- π， )
数字角频率（离散域的频率）的取值
数字频率 0可以连续变化，
但 0只能在(- π，π )范围内取值。
正弦函数本身周期为2π, 0为抽样值的数字频率间 隔 的弧度数，其数值不会 超过 2π。

d (t )
(1)
1
n
o
t
注意：
单位冲激信号的性质
d ( n - 1)
1 O 1
n
1, n j 1、时移性 d (n - j ) 0, n j
2、比例性
c, n 0 cd (n) 0, n 0
3、抽样性（筛选特性）
c, n j cd (n - j ) 0, n j
后向差分：x( n) x( n) - x( n - 1)
6．累加： z ( n)
k -
x( k )
n
7．尺度倍乘（压缩、扩展）：
n x (n) x (an) , 或 x (n) x a 注意：有时需按规律去除某些点或补足相应的零值。 该运算也称为序列的“重排”。
sin (W 0 t ) 5 10 n
1
O
1
-1
0 : 正弦序列的频率 序列值依次周期性重复 , 的速率。
2π 当 0 ＝ , 则序列每10个重复一次正弦包络的 数值。 10
x(n + N ) x(n) N称为序列的周期，为任意正整数。
正弦序列周期性的判别 ①
2π sin( n + 2π) sin( n) 0 0 sin 0 (n + N ) sin 0 n + 0 正弦序列是周期的 周期: N
8．序列的能量
E
n -
x ( n)

2
n 已知x(n)波形，请画出 x(2n), x 波形。 例7-2-3 2 x (n ) x (2n )
6 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 6 n x ÷ 2 n 6 4
2
O 1 2 3 4 5 6 n
6 5 4 3 2 1 O
•模拟信号：时间和幅值均为连续
采 样 的信号。
O
t
•抽样信号：时间离散的的信号。
量 化
O
n
•数字信号：时间和幅值均为离散
的信号。 抽样信号也叫离散信号，数字信号是离散 信号的特殊形式；模拟信号是连续信号的 特殊形式。
O
n
离散时间信号、离散时间系统
离散时间信号：
时间变量是离散的，函数只 在某些规定的时刻有确定的值， 在其他时间没有定义。
1, 4}，求：（1）f ( n )＝ f 1( n )＋ f 2( n )；
（2） f ( n )＝ f 1( n ) • f 2( n ) 解 （1）将指针对齐，使二序列长度相同 f 1( n )＝{2,－1, f 2( n )＝{0, 3, 4, 2, 1, 0}
0,－2, 3, 2, 1, 4}
2．相乘：
序列x ( n )与y ( n )序列乘是指两序列中同序号的序列值
相乘，从而构成一新序列，表示为
z( n )＝ x ( n ) • y ( n ) 如果二序列长度不同，对应长度不足的项的序列值应视 为0。
例7-2-2 设序列f 1( n )＝{2,－1, 3, 4, 2, 1}， f 2( n )＝{－2, 3, 2,