第十章 图与网络(运筹学-上海电力学院,施泉生

第三阶段是二十世纪中叶以后，由 生产管理、军事、交通、运输、计 算机网络等方面提出实际问题，以 及大型计算机使大规模问题的求解 成 为 可 能 ， 特 别 是 以 Ford 和 Fulkerson 建立的网络流理论，与 线性规划、动态规划等优化理论和 方法相互渗透，促进了图论对实际 问题的应用。
例10-1：哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡（现名加里宁格勒） 是欧洲一个城市， Pregei 河把该城 分成两部分，河中有两个小岛，十 八世纪时，河两边及小岛之间共有 七座桥，当时人们提出这样的问题： 有没有办法从某处（如 A ）出发， 经过各桥一次且仅一次最后回到原 地呢？
有向图 v1 e5 e6 e4 e7 v4 v5 e8 e1 e3 v2 v3 e2
链 v1 e5 e6 e4 e7 v4 v5 e8 e1 e3 v2 v3 e2
v1
e1 e3
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e7 v4 v5
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e7 v4 v5
圈 v1 e1 e3 v2
定义（圈）如一条链中起点和终点 重合，则称此为一条圈。
定义（连通图）如果图中的任 意两点之间至少存在一条通路， 则称图为连通图，否则为不连 通图。
定义（连通图）如果图中的任 意两点之间至少存在一条通路， 则称图为连通图，否则为不连 通图。
定义（树）一个无圈的连通图 称为树。如果一个无圈的图中 每一个分支都是树，则称图为 森林。
v5
0
1
1
0
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0
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1
1
0
二、边长邻接矩阵
在图的各边上一个数量指标， 具体表示这条边的权（距离，单价， 通过能力等）——赋权图或网络。
无向网络；有向网络；混合网络； 边权网络；点权网络；
以边长代替邻接矩阵中的元素得到 边长邻接矩阵。
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v1 v2 v3 v1 v2 v3 v4 0 2 5 6 2 4 3 5 3 0 4
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假定第三次就座方案是 （1，4，7，3，6，2，5，1）， 那么第四次就座方案就不允许这 些顶点之间继续相邻，只能从图 中删去这些边，只留下 7 点孤立 点，所以该问题只有三个就座方 案。
是n条边集合。 是描述边与顶点之间关系的函数
称G=（V，E，）为 一个图，如 果它满足： （1）V非空；
（2）E是一个不与V 中顶点相交的 边集合； （3）是关联函数。 V，E，称为图的三要素。
说明：
（1）V非空，即没有顶点的图不讨论；
（2）E无非空条件，即允许没有边；
（3）条件（2）是指点只在边的端点 处相交；
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7 2
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假定第二次就座方案是 （ 1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 2 ， 4 ， 6 ， 1 ）， 那么第三次就座方案就不允许 这些顶点之间继续相邻，只能 从图中删去这些边。
树的性质： 1 在图中任意两点之间必有一条而 且只有一条通路。
树的性质： 1 在图中任意两点之间必有一条而 且只有一条通路。 2 在图中划去一条边，则图不连通。
树的性质： 1 在图中任意两点之间必有一条而 且只有一条通路。 2 在图中划去一条边，则图不连通。 3 在图中不相邻的两个顶点之间加 一条边，可得一个且仅得一个圈。
v2
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v1
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v4
4
v1 v1 v2 v3 v4 0 1 1 1
v2 1 1 1 0
v3 1 1 0 1
v4 1 0 1 0
无向图的邻接矩阵是对称矩阵。
也可以 对有向 图
v1 v2
v5 v3
v4
v1
v2
v3
v4
v5
v1 v2 v3
0 1 0
0 0 1
0 0 1
1 1 0
1 0 0
v4
A
B
F
C
E
D
A
B
F
C
E
D
A
B
F
C
E
D
A
B
F
C
E
D
A
B
F
C
E
D
10.1
图的基本概念
图论是专门研究图的理 论的一门数学分支，主要研 究点和线之间的 几何关系。
定义：（图）
设G=（V，E，）
其中：V= （ v1， v2，…... vm）
是m个顶点集合； E= （ e1， e2，…... en）
如果V1 V， E1 是E中所有 端点属于V1的边组成的集合，则 称G1是G的关于V1的导出子图；
如果G1=（V1，E1，1）是 G=（V，E，）子图，并且V1= V，则称G1为G的生成子图。
v1 e5
e1 e3
v2
v3 e2
e6 e4 e7
v4
v5 e8
（a） 的子图 v1 e5 e1 e3
A C
D
B
最后，数学家 Euler 在 1736 年巧 妙地给出了这个问题的答案，并因 此奠定了图论的基础， Euler 把 A、 B、C、 D四块陆地分别收缩成四个 顶点，把桥表示成连接对应顶点之 间的边，问题转化为从任意一点出 发，能不能经过各边一次且仅一次， 最后返回该点。这就是著名的Euler 问题。
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7 2
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例 10-3 ：哈密顿（ Hamilton ）回 路是十九世纪英国数学家哈密顿 提出，给出一个正12面体图形， 共有20个顶点表示20个城市，要 求从某个城市出发沿着棱线寻找 一条经过每个城市一次而且仅一 次，最后回到原处的周游世界线 路（并不要求经过每条边）。
e6
e7 v4 v5
二、图的矩阵表示
一个图非常直观，但是不 容易计算，特别不容易在计算 机上进行计算，一个有效的解 决办法是将图表示成矩阵形式， 通常采用的矩阵是邻接矩阵、 边长邻接矩阵、弧长矩阵和关 联矩阵。
1 邻接矩阵
邻接矩阵A表示图G的顶点之 间的邻接关系，它是一个nxn的矩 阵，如果两个顶点之间有边相联时， 记为1，否则为0。
定义（有向图）如果图中每一 条边都规定了方向，则称为有 向图。
定义（链）如果图中的某些点、 边可以排列成点和边的交错序 列，则称此为一条链。
定义（链）如果图中的某些点、 边可以排列成点和边的交错序 列，则称此为一条链。
定义（圈）如一条链中起点和 终点重合，则称此为一条圈。
有向图 v1 e5 e6 e4 e7 v4 v5 e8 e1 e3 v2 v3 e2
v4 6 4 0
其中表示两点之间不能连接 。
3 弧长矩阵
对有向图的弧可以用弧长 矩阵来表示。其中表示两点 之间没有弧连接 。
v2 1 4 2 3
2
v3 2 1
v1
2
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6
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v1 v1 v2 0
v2 1 0
v3
v4
v5 2 4

2

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v4 v5


2
3
0
2

6 0

解：以每门课程为一个顶点，共同 被选修的课程之间用边相连，得图， 按题意，相邻顶点对应课程不能连 续考试，不相邻顶点对应课程允许 连续考试，因此，作图的补图，问 题是在图中寻找一条哈密顿道路， 如 C—E—A—F—D—B ，就是一个 符合要求的考试课程表。
A
B
F
C
E
D
A
B
F
C
E
D
A
B
F
C
E
D
有向图 v1 e5 e6 e4 e7 v4 v5 e8 e1 e3 v2 v3 e2
有向图 v1 e5 e6 e4 e7 v4 v5 e8 e1 e3 v2 v3 e2
有向图 v1 e5 e6 e4 e7 v4 v5 e8 e1 e3 v2 v3 e2
有向图 v1 e5 e6 e4 e7 v4 v5 e8 e1 e3 v2 v3 e2