直角梯形及其性质

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七年级数学梯形以及特殊的梯形——等腰梯形、直角梯形的性质与判定鲁教版知识精讲

七年级数学梯形以及特殊的梯形——等腰梯形、直角梯形的性质与判

定某某教育版

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

梯形以及特殊的梯形——等腰梯形、直角梯形的性质与判定

二. 学习重难点：

运用梯形和等腰梯形的特征解决有关梯形的问题

三. 知识要点讲解：

同学们，前面我们研究了特殊的四边形——--平行四边形以及特殊的平行四边形——矩形、菱形和正方形。今天我们研究另外一类特殊的四边形——梯形。

1、梯形的意义：

①定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

②有关概念：

平行的两边叫做底，不平行的两边叫做腰，夹在两底之间的垂线段叫做高。

注：较长的底叫做下底、较短的底叫做上底。

2、等腰梯形：

定义：两腰相等的梯形叫做直角梯形。

探究：如图，在半透明的方格纸上，画一个等腰梯形ABCD，过两底边AD、BC的中点E、F画一条直线，将等腰梯形ABCD沿直线EF对折。你发现了什么？

我们可以发现等腰梯形是一个轴对称图形，因而有以下特征

等腰梯形的性质：

①等腰梯形同一底边上的两个内角相等；

②等腰梯形的两条对角线相等；

③两腰相等；

④是轴对称图形。

3、直角梯形——一条腰与底垂直的梯形叫做直角梯形。

4、梯形的研究方法：

思考：你能应用梯形的研究方法得到等腰梯形的性质吗？

探究：如图、四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，将腰AB平移到DE的位置。

（1）DE把四边形ABCD分成了怎样的两个图形？

（2）图中有哪些相等的线段、相等的角？

证明：∵AD∥BC，AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形，∠B=∠DEC，∴AB=DE ∵AB=CD，∴DE=CD ∴∠C=∠DEC，∴∠B=∠C

等腰和直角梯形性质

6 已知：等腰梯形ABCD中，AD∥BC， AD=3,AB=4,BC=７，求∠B的度数。
7
如图，在等腰梯形ABCD中， A AD=2, BC=4, 高DF=2，求腰的长. B
A
2 2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
D
4E F 1 D
C
B
E
F
C
等腰梯形ABCD的对角AC⊥DB， A DE∥AC交BC的延长线于点E，则 △BDE是等腰直角三角形. B
C
A
D
？
F
B
E
BF＝ 5 3<9
可以通过
7 已知梯形ABCD中，AD∥BC， ∠B＋ ∠C＝90°， AD＝AB＝3，BC＝8，求ＤＣ的长。
等腰梯形：两腰相等的梯形
有两腰相等
梯形
等腰梯形
直角梯形：有一个角是直角的梯形。
有一个角是直角
3
等腰梯形的锐角为 60°，
两底长分别为3cm和8cm，则它的腰长为 5cm . B 8cm .
A 3cm D
60°
4、等腰梯形的锐角为60，上底长为3，腰长为5，则下底长为
E 8cm
C
5 等腰梯形的一个内角等于70°，则其他三个内角的度数分别为 70°、 110° 、 110° .
8
D
C
D
E

等腰梯形和直角梯形

A
D
x
x x
B
2x
C
目标Hale Waihona Puke Baidu成检测题
4.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=900，
∠D=1500，CD=8cm，则AB=__4_c_m____。
A
D
8cm
B
E
300
C
本课小结：
先由学习小组民主小结，再由小组长汇报小结：
本课学习了等腰梯形、直角梯形的概念，直角梯形的性质定理；
通过在梯形中添加适当辅助线，将梯形问题有效地转化为平行四边形及等腰三角形加以解决；
性质1等腰梯形性质定理1等腰梯形判断判断1等腰梯形两底角相等等腰梯形两底角相等22等腰梯形的一组对边相等且平行等腰梯形的一组对边相等且平行33等腰梯形同一底上的两个角都等于等腰梯形同一底上的两个角都等于9090度度4等腰梯形的四个内角中不可能有直角等腰梯形的四个内角中不可能有直角5一组对边平行的四边形是梯形一组对边平行的四边形是梯形66一组对边平行且不相等的四边形是梯形一组对边平行且不相等的四边形是梯形77等腰梯形的两个底角相等等腰梯形的两个底角相等
练习1
2.已知等腰梯形的周长25cm,上、下底分别为7cm、8cm，则腰长
为___5____cm。
练习1
3、等腰梯形中一个锐角为70 度，则另外三个角分别为 _7_0_度____,_11_0_度____,1_1_0_度____。

有关梯形的概念、等腰梯形的性质、判定及应用

第 1 页共 4 页有关梯形的概念、等腰梯形的性质、判定及应用

一. 教学内容：

梯形的概念、等腰梯形的性质、判定及中位线的应用

二. 重点、难点

重点：等腰梯形的性质与判定定理。

难点：等腰梯形的性质与判定定理的应用。

三. 具体过程

（一）梯形的有关概念

1. 梯形：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形

注：（1）梯形是特殊的四边形（2）有且只有一组对边平行。

2. 梯形中平行的两边叫做梯形的底，短边为上底，长边为下底，与位置无关，不平行的两边叫做梯形的腰，梯形两底之间的距离叫做梯形的高，它是一底上的一点向另一底作的垂线段的长度。

3. 梯形的分类

梯形⎪⎩

⎪⎨⎧⎩⎨⎧等腰梯形直角梯形特殊梯形一般梯形（1）直角梯形：有一个角为直角的梯形为直角梯形

（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形

（二）梯形的性质

1. 一般梯形的性质

在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，则∠A+∠B=︒180，∠C+∠D=︒180

2. 直角梯形具有的特征

在直角梯形ABCD 中，若AD ∥BC ，∠B=︒90，则∠A=︒90，∠C+∠D=︒180

3. 等腰梯形具有的性质

（1）等腰梯形同一底上的两个内角相等

（2）等腰梯形的两条对角线相等

（3）等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，等腰梯形的对称轴是两底中点所在的直线。

4. 等腰梯形的判定

（1）利用定义：

（2）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

（3）对角线相等的梯形是等腰梯形

二梯形题目的转化策略

常见的梯形辅助线规律口诀为:梯形问题巧转化，变为△和□;要想尽快解决好,添加辅助线最重要;平移两腰作出高,延长两腰也是关键;记着平移对角线,上下底和差就出现;如果出现腰中点,就把中位线细心连;上述方法不奏效,过中点旋转成全等;灵活添加辅助线,帮你度过梯形难关;想要易解梯形题,还得注意特题特解;注意梯形割与补,巧变成为□和△.基本图形如下:

直角梯形对角线交点性质

1. 直角梯形的定义

：

直角梯形是四边形的一种，它有四条边，其中有两条边是平行的，另

外两条边是相交的，形成两个直角。它的两条对角线交于一点，并且

两条对角线的长度相等。

2. 直角梯形的对角线

直角梯形的对角线是两条相交的直线，它们的交点在梯形的中心。这

两条直线是互相垂直的，它们的斜率是相反的，即一条直线的斜率是

另一条直线的负斜率。因此，对角线的斜率乘积为-1。此外，两条对

角线的长度是相等的，因为它们都是由直角梯形的两条直角边构成的。

3. 对角线的交点

直角梯形的两条对角线交于一点，这个交点称为直角梯形的顶点。由

于两条对角线均为直线，所以这个顶点也是两条对角线的交点。因此，直角梯形的顶点也是两条对角线的交点。由于两条对角线均为直线，

因此，它们的交点也是直线上的一点。

4. 交点的性质

交点是两条对角线相交的点，在直角梯形中，交点的性质如下：

1. 交点是直角梯形的顶点，也是两条对角线的交点；

2. 交点到两条对角线的距离相等；

3. 交点到四条边的距离相等；

4. 交点到四条边的垂直距离相等；

5. 交点的坐标是两条对角线的交点坐标；

6. 交点到两条边的距离之和等于对角线的长度；

7. 交点到两条对角线的距离之和等于四条边的长度之和。

5. 对角线的关系

直角梯形的两条对角线互相垂直，且交点处分别是两条边的中点。因此，两条对角线的长度也是相等的，而且它们的中点也是一致的。另外，对角线的交点处也是两条边的中点，因此对角线的交点也是相等的。

6. 其他性质

梯形的定义与性质

∠A=60°,DB⊥AD.
(1)∠DBC= 30°,∠C= 120°;
(2)CD和BC相等吗?为什么?
D
C
A
B
精选可编辑ppt
13
1、梯形有关概念及其性质
2、等腰梯形的性质
边
角
等腰梯形
两底平行两腰相等
同一底上的两个内角相等（对角互补，同一腰上的两个角也互补）
对角线
两条对角线相等
对称性轴对称图形
有一个角是直角两腰相等
精选可编辑ppt
直角梯形
等腰梯形
5
A B
1、等腰梯形的两底平行 AD ∥ BC
2、等腰梯形的两腰相等 AB=DC
❖3、等腰梯形同一条底边上的两个内角相等 D
∠ B= ∠ C， ∠ A = ∠ D
4、等腰梯形的对角线相等 AC=BD C
5、等腰梯形是轴对称图形，通过两底中点的直线是它的对称轴。
精选可编辑ppt
9
1、判断
1、有一组对边平行的四边形是梯形( ×) 2、等腰梯形的两个底角相等( × ) 3、等腰梯形的两条对角线相等( √ )
精选可编辑ppt
Fra Baidu bibliotek10
2.选择
１、对于等腰梯形，下列结论错误的是( B )
A.只有一组相等的对边 B.只有一对相等的内角

直角梯形对角线垂直吗

不一定垂直。直角梯形是指有一个直角的梯形，属于四边形。梯形两腰既不相等也不平行，两底平行，但不相等。由于梯形的二底边平行，因此根据同旁内角关系，直角梯形一腰上的两个底角都是90°。

1.梯形：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

（1）梯形是特殊的四边形。

（2）有且只有一组对边平行。

2.梯形的分类：一般梯形；特殊梯形。﹙特殊梯形包括直角梯形和等腰梯形。﹚

（1）直角梯形：有一个角为直角的梯形为直角梯形

（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形

3.等腰梯形具有的性质

（1）等腰梯形同一底上的两个内角相等；

（2）等腰梯形的两条对角线相等；

（3）等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，等腰梯形的对称轴是两底中点所在的直线。

等腰梯形与直角梯形

梯形
有两腰相等
等腰梯形
直角梯形：有一个角是直角的梯形。
有一个角是直角
小组合作讨论：
性质1 等腰梯形有哪些特殊性质？
从边看：两腰相等
从角看：同一底上的两个角相等
A
1
B
E
D 等已腰知梯：梯பைடு நூலகம்形性AB质CD中定，理AD1∥BC，AB=DC
求证：∠B=∠C
等分腰析：梯通形过添同加辅一助底线，上平移的一
例2 已知：等腰梯形中的腰和上底相等，且一条对角线和一腰垂直，求这个梯形的各个角的大小。
C、等腰梯形同一底上的两个角都等于90度本课学习了等腰梯形、直角梯形的概念，直角梯形的性质定理；
在应用等腰梯形性质定理1时，注意是“同一底上的两个角相等”，不能说成“两底角相等”。已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，BD⊥DC。等腰梯形同一底上的两个角相等。
两腰形个，和将等角梯腰相形三问角等题形问转。题化来为处平理行。四边
C
练习1
从边看：
70度 110度 110度
练习1 下列说法中正确的是( )
3、已知等腰梯形的一个锐角等于600，两底分别为15cm，49cm，则它的腰长为_______cm。 3、已知等腰梯形的一个锐角等于600，两底分别为15cm，49cm，则它的腰长为_______cm。 3、已知等腰梯形的一个锐角等于600，两底分别为15cm，49cm，则它的腰长为_______cm。求：梯形ABCD的各个角的大小。 D、等腰梯形的四个内角中不可能有直角

数学梯形知识点精讲

梯形是只有一组对边平行的四边形。平行的两边叫做梯形的底边：较长的一条底边叫下底，较短的一条底边叫上底；另外两边叫腰；夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。一腰垂直于底的梯形叫直角梯形。两腰相等的梯形叫等腰梯形。以下是店铺为大家整理的数学梯形知识点精讲相关内容，仅供参考，希望能够帮助大家。

数学梯形知识点精讲1

直角梯形

定义;

一腰垂直于底的梯形叫直角梯形。

性质

直角梯形有两个角是直角。

判定

有一个内角是直角的梯形是直角梯形。

温馨提示：上述内容是初中数学直角梯形的知识要领，聪明的大家都能掌握了吧。

初中数学知识点总结：平面直角坐标系

下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。

平面直角坐标系

平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合

三个规定：

①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向

②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。

③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。

相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。

初中数学知识点：平面直角坐标系的构成

对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。

平面直角坐标系的构成

在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。

直角梯形的性质

直角梯形是一种特殊的四边形，它具有一对对边平行且其中一对对

边垂直的性质。在本文中，我们将探讨直角梯形的定义、性质和应用。

一、定义

直角梯形是指具有两条对边平行且其中一对对边垂直的四边形。在

直角梯形中，两条平行边被称为底边，两条垂直边被称为高。此外，

直角梯形还具有两条斜边，它们连结底边的两个顶点。

二、性质

1. 底边平行：直角梯形的两条底边是平行的。这意味着它们具有相

同的长度。

2. 高垂直：直角梯形的两条垂直边是垂直的，它们相互成直角。

3. 斜边相等：直角梯形的两条斜边具有相等的长度。这是因为在直

角梯形中，底边的对边及其延长线构成了等腰直角三角形。

4. 对角线相等：直角梯形的对角线（即连接两个非邻边顶点的线段）具有相等的长度。这可以通过应用勾股定理来证明。

5. 面积计算：直角梯形的面积可以通过将两条底边长度相加，再乘

以高的一半来计算。即面积=（a+b）*h/2，其中a和b分别为两条底边

的长度，h为高的长度。

6. 内角和为360度：直角梯形的内角和等于360度。其中，两个邻

边的内角对分别相等，两个对角线所夹的内角对也相等。

三、应用

直角梯形的性质可以应用于几何问题的解决中。下面是一些常见应用场景：

1. 计算梯形面积：根据直角梯形的面积计算公式，我们可以轻松计算一个直角梯形的面积。这对于建筑设计、土地测量等领域的专业人士来说非常有用。

2. 判断平行性：直角梯形中两条底边平行的特性可以用于判断其他图形的平行性。通过观察两条对边是否平行，我们可以得出结论并解决与平行性相关的几何问题。

两个直角梯形能拼成什么图形

两个完全一样的直角梯形可以拼成正方形、长方形、等腰梯形、平行四边形。直角梯形是指有一个直角的梯形，属于四边形。梯形两腰既不相等也不平行，两底平行，但不相等，一个腰上的两角都是直角。

直角梯形基本定义

有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。

一个底角为90°的梯形是直角梯形。由于梯形的二底边平行，因此根据同旁内角关系，直角梯形一腰上的两个底角都是90°。

注意，矩形并非直角梯形，因为它虽然有一个角为90°，但不满足梯形的判定。

直角梯形特征

在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠D=90°，则∠C=90°，∠A+∠B=180°。

重要性质：

直角梯形斜腰的中点到直角腰的二端点距离相等。

等腰梯形与直角梯形PPT课件

例2 已知：等腰梯形中的腰和上底相等，且一条对角线和一腰垂直，求这个梯形的各个角的大小。
已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，BD⊥DC。求：梯形ABCD的各个角的大小。
A
D
x
x x
B
2x
C
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本课小结：
先由学习小组民主小结，再由小组长汇报小结：
• 本课学习了等腰梯形、直角梯形的概念，直角梯形的性质定理； • 通过在梯形中添加适当辅助线，将梯形问题有效地转化为平行四边形及等腰
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练习1
2.已知等腰梯形的周长25cm,上、下底分别为7cm、 8cm，则腰长为_______cm。
5
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练习1
3、等腰梯形中一个锐角为70 度，则另外三个角分别为 _7_0_度____,_11_0_度____,1_1_0_____。
度
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定义：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。
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感谢您的观看！
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等腰梯形：两腰相等的梯形
梯形
有两腰相等
等腰梯形
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直角梯形：有一个角是直角的梯形。有一个角是直角
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小组合作讨论：
性质1 等腰梯形有哪些特殊性质？
从边看：两腰相等

直角梯形的性质

直角梯形是一个具有两个对角线互相垂直的四边形。它的特点是有

一对相邻边是平行的，同时有一个内角是直角（90度）。在本文中，

我们将探讨直角梯形的性质以及相关推论。

一. 基本性质

直角梯形有以下基本性质：

1. 对角线

直角梯形有两条对角线，它们是互相垂直的。如果我们将直角梯

形的一个顶点作为原点，对角线分别为x轴和y轴，那么这两条对角

线可以表示为x轴和y轴的方程：y = kx、y = -kx，其中k是一个常数。

2. 高

直角梯形的高是指两条平行边之间的垂直距离。可以通过计算两

条平行边的长度差再除以2得到直角梯形的高：h = (b2 - b1) / 2，其中

b1和b2分别表示两条平行边的长度。

3. 面积

直角梯形的面积可以通过底边的长度和高来计算：A = (b1 + b2) *

h / 2，其中b1和b2分别表示直角梯形的上底和下底的长度。

二. 相关推论

在了解了直角梯形的基本性质之后，我们可以得出一些相关的推论。

1. 对角线长度

根据勾股定理，直角梯形的两条对角线的长度可以通过上底、下

底和高来计算：

d1 = √(h^2 + b1^2)

d2 = √(h^2 + b2^2)

2. 角的性质

直角梯形有若干个角，其中一个是直角（90度），另外三个角可

以通过以下方式求得：

∠A = ∠C = arctan((b2 - b1) / h)

∠B = ∠D = 90度 - arctan((b2 - b1) / h)

3. 周长

直角梯形的周长可以通过上底、下底和两条腰的长度来计算：

P = b1 + b2 + √(h^2 + (b2 - b1)^2)

初中梯形知识习题难题

梯形

一、四边形的分类：

我们已经研究了四边形及特殊的四边形的有关问题，我们还应了解它们之间的互相联系，因此我们要了解四边形的分类。

二、梯形是一种特殊的四边形，我们重点研究特殊的梯形：等腰梯形和直角梯形；重点研究等腰梯形的性质和判定。

1.梯形定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

2.直角梯形定义：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。

3.等腰梯形定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

4.等腰梯形的性质：

（1）由定义知两腰相等，两底平行；

（2）等腰梯形在同一底上的两个角相等；

（3）等腰梯形的两条对角线相等；

（4）等腰梯形是轴对称图形。

5.等腰梯形的判定：

（1）用定义判定；

（2）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；

（3）两条对角线相等的梯形是等腰梯形。

三、解决有关梯形问题经常需要添加辅助线，下面我们研究几种常见的辅助线：

1.延长两腰交于一点

作用：使梯形问题转化为三角形问题。

若是等腰梯形则得到等腰三角形。

2.平移一腰

作用：使梯形问题转化为平行四边形及三角形问题。

3.作高

作用：使梯形问题转化为直角三角形及矩形问题。

4.平移一条对角线

作用：（1）得到平行四边形ACED，使CE=AD，

BE等于上、下底的和

（2）S梯形ABCD=S△DBE

5.当有一腰中点时，连结一个顶点与一腰中点并延长交一个底的延长线。

作用：可得△ADE≌△FCE，所以使S梯形ABCD=S△ABF。

6.添加梯形中位线

作用：能应用梯形中位线的有关性质。

四、例题：

研究梯形问题常常要用到平行四边形及三角形的有关知识，我们要善于把学过的知识融汇贯通。

梯形复习2

B
解得：X=36°
4.已知如图：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，延长CB到E，使EB=AD，求证：AE=AC。
A
D
E
B
C
开动脑筋
在梯形中常用的作辅助线方法
平移腰
作高
补为三角形
平移对角线其他方法
Leabharlann Baidu
转化为三角形或平行四边形等
灵活应用
A D A D
B B E C
E
C
练习2
在等腰梯形ABCD中，AB∥DC， ∠D=60 °, AB=2，AD=4，
求:梯形ABCD 的周长。
A B
D
E
F
C
练习3
在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD， AC= 3，BD=2 ，求：梯形ABCD的面积。
A D
B
C
E
练习4
如图，在梯形ABCD中，AD ∥BC， AB=BC+AD，H是CD中点，试说明： BH⊥AH
解：∵四边形 ABCD是等腰梯形
∴∠A+∠BCD= 180° ∵∠BCD+∠BCE= 180° ∴∠A=∠BCE 又∵ BE＝BC ∴∠E=∠BCE
∴∠A=∠E
例3. 图，在梯形ABCD中，BC∥AD， DE∥AB，如

梯形的特征总结

梯形是一种四边形，具有一些独特的特征和性质。本文将总结梯形的特征，让我们更好地理解和识别这种图形。

1. 定义：

梯形是一个四边形，其中两边是平行边，称为上底和下底，另外两边称为腰。上底和下底不相等，腰也不相等。

2. 边角关系：

- 上底和下底之间的两个内角分别为锐角和钝角。锐角为顶点的内角，钝角为底角的内角。

- 上底和下底之间的两个外角也是锐角和钝角，与内角对应。

3. 对角线：

- 梯形的对角线是连接非相邻顶点的线段。它们交于一点，称为对角点。

- 对角线的长度关系：对角线的中点与顶点的连线是平行边中点的倍数关系。

4. 面积计算：

梯形的面积可以通过以下公式计算：面积 = (上底 + 下底) ×高÷ 2。

5. 特殊类型：

- 等腰梯形：梯形的两个腰相等。

- 直角梯形：梯形的一个内角为直角。

通过了解以上特征，我们可以更容易地识别和解决与梯形相关的问题。梯形在几何学和实际生活中都有广泛的应用，包括建筑设计、土地测量等。希望这份文档能帮助你更好地理解梯形的特征和性质。

参考资料：