稳定性模型食饵捕食者地中海鲨鱼问题知识讲解

定理1 对于x>0，y>0，方程(4)给出了一族封闭曲线(相 轨线)，且每条封闭曲线不包含方程组(1)的任何平衡点 。 由定理1，当x(0)及y(0)皆为正数时，方程组(1)的解x(t)， y(t)都是时间t的周期函数，设周期为T>0。 方程(4)无解析解，数值积分求解，绘制如下图 注意到平衡点P(c/f,a/b)，在图中分析得
D’Ancona的数据是捕食者每年的年平均数，为了比较，我 们必须算出方程组(1)的解 x(t)、y(t)的平均值。我们易算出
x
1 T
T
0
xtdt
1 T
T
0
c
y f
y
dt
c f
1 fT
ln
yTln
y0
捕食者死亡率下降或食饵对 捕食者供养能力提高将导致
由y(t) 的周期性，y(0)=y(T) ，得 食饵减少
稳定性模型食饵捕食者地中海鲨 鱼问题
建立微分方程组模型
设食用鱼的数量为x(t)，鲨鱼等软骨鱼的数量为y(t)，根据 鲨鱼靠捕食食用鱼为生这一事实，假设a为食饵(食用鱼)的 自然增长率，b为捕食者(鲨鱼)掠取食饵的能力的比例系数 ，c为捕食者死亡率，f为食饵对捕食者的供养能力(使捕食 者增多)的比例系数。我们建立下面的微分方程组：
dx dt
f x, y
dy
dt
g x, y
(2)
f x, y 0 gx, y 0
平衡点P0(x0,y0)就是右端对应代数方程组的解，仅当 limx(t)=x0 且limy(t)=y0 时，我们说平衡点P0是稳定的。称 x=x0，y=y0为方程组（2）的平衡解。
注意到，方程组(1)有两组平衡解x(t)=0，y(t)=0及x(t)=c/f， y(t)=a/b。对第一组平衡解，没有讨论的实际意义。 Nhomakorabea dx dt
ax
bxy
dy
dt
cy
fxy
bx为单位鲨鱼捕食量；fy为单 个食饵对捕食者的供养能力。
(1)
其中a、b、c、f皆为正常数。方程组（1）给出了在没有 捕鱼的情况下，软骨鱼和食用鱼之间相互影响的关系。
平衡点与稳定性
一般情况下，我们并不想知道方程组（1）中x(t)、y(t)的 变化规律而只关心t→+∞时x(t)、y(t)的变化趋势，因此， 只要讨论方程组（1）的平衡点及稳定性即足矣。
T1 : x& 0, y& 0 x(t) y(t) T2 : x& 0, y& 0 x(t) y(t) T3 : x& 0, y& 0 x(t) y(t) T4 : x& 0, y& 0 x(t) y(t)
这是稳定的一种形式。
捕食者与食饵的数量~x(t)和y(t)一个周期内的平均值
我们在x>0，y>0的范围内对方程组（1）进行讨论 。
用对相于轨x≠线0，分y析≠0平，衡（点1）P(c两/f式,a/相b)除的，稳得定性。
d d y x ac x ybfx x y yyx ac bfy x
(3)
易解得（3）式的解为
ya eby
xc e fx
K
(4)
其中，K为任意常数，由初始条件确定。
平衡点为P1(0,0,0)，P2(r2/λ2,r1r2/rλ2,r1/λ1)，P2点中X11和 X2结果与本节前面一样
Volterra级数
是一种泛函级数，由意大利数学家Volterra于1880年首 先提出，当时是作为对Taylor级数的推广而提出的。
1912年，Volterra将这种泛函级数用于研究某些积分方 程和积分---微分方程的解。
就是平 衡点！
同理
x c f
ya b
(5)
由方程组中第二个方程知道，这
两者都使捕食者y增多；再看第一
(6)
个方程，知y多将导致食饵x减少。
食饵自然增长率下降或捕食者掠 取食饵能力提高将使捕食者减少
考虑捕鱼对方程组(1)的影响。假设捕鱼使食用鱼按 ε*x(t) 的速度减少(ε>0为常数)，鲨鱼等软骨鱼按ε*y(t) 的速度减少。这样，方程组(1)将变为
模型扩展
问题：如果食饵——捕食者系统中，捕食者掠食的对象只 是成年的食饵，而未成年的食饵因体积太小免遭捕获。在 适当的假设下建立这三者之间关系的模型，并求平衡点。
要求：模型方程建立不要求同学们做到，理解答案即可！ 平衡点容易计算。
解答：
设X11(t)为成年食饵数量，X12(t)为未成年食饵数量，X2(t) 为捕食者数量，由未成年变成成年食饵的存活率为r，仍 不考虑各个种群自身的阻滞增长作用，则模型为
直到1942年，美国著名科学家、控制论的奠基人 N.Wiene:才首次将Volterra泛函级数用于非线性系统的分析 。后来其他人继续N.Wiene:的工作，将Volterra泛函级数用 于发展非线性算子理论以及非线性方程和系统分析。
二十世纪七十年代后Volterra泛函级数开始受到人们的普 遍重视。法国学者Fliess等人建立了由Lie群表示的动力学 系统的Volterra泛函级数分析理论。Brockett研究了Volterra 泛函级数与几何控制论的关系。美国学者Sandberg利用 Volterra泛函级数研究了一大类非线性动力学系统。
ẋ11=rX12-λ1X11X2， ẋ12=r1X11-rX12， 未成年食饵没有被掠食，但有部分 减少了，rX12是未成年变成成年食饵的数量。 ẋ2=X2(-r2+λ2X11) 式中其余符号与本节(1)式的相同，λ1是捕食者掠取食饵的 能力，r1是繁殖率，rX12是未成年变成成年食饵的数量，r2 是死亡率，λ2是食饵X11对捕食者的供养能力。
ddddyxttacxybxfxyyxyacxybxfyxy(7)
请同学们仿照前页，求(7)式的平均解
ya,ya
b
b
(8)
与(5)(6)式比较，我们发现，适当地增加捕食量将使食用 鱼的数量增加，而使鲨鱼等软骨鱼的数量减少。反之，我 们易得出，降低捕鱼量，将使鲨鱼等软骨鱼的数量增加， 而使食用鱼的数量减少。
其他类似问题的理解
利用上述Volterra原理还可解释某种杀虫剂的相反效果。 1968年，介壳虫偶然从澳大利亚传入美国，威胁着美国的 柠檬生产。随后，美国又从澳大利亚引入了介壳虫的天然 捕食者——澳洲瓢虫。后来，DDT被普通使用来消灭害虫 ，柠檬果园主想利用DDT进一步杀死介壳虫。谁料，DDT 也同样杀死澳洲瓢虫。结果事与愿违，介壳虫增加起来， 澳洲瓢虫反倒减少了。按以上的分析，这种结果是极其自 然的。