2-1控制系统的时域数学模型
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自动控制原理第二章 胡寿松ppt课件
—线性定常二阶微分方程式
4、消去中间变量i(t),整理后得整：理版课件
22
第二章 控制系统数学模型
例2、 设一弹簧、质量块、阻
尼器组成的系统如图所示，
当外力F(t)作用于系统时，系 F(t) 统将产生运动。试写出外力
F(t)与质量块的位移y(t)之间
m
的微分方程。
解：
f
1、确立入-出，入-F(t),出—y(t)； 2、根据牛顿定律，∑F=ma；
limsF(s)存在 f(0)lifm (t)lism (F s)
s
t 0
s
（6）终值定理
若: L[f(t)]F(s)
f( )lifm (t)lism (F s)
t
s 0
整理版课件
7
第二章 控制系统数学模型
例2、求下列函数的拉氏变换。
（1）f(t)2(1cot)（s2）f(t)sin5(t（) 3）f (t)tnet
L[
d
2
dt
f (t) 2
]
s
2
F
(s)
L [ d n f ( t ) ] s n F ( s )整理版课件
5
dt n
第二章 控制系统数学模型
（2）积分性质
若: L[f(t)]F(s)
L [ f(t)d] t1 sF (s)1 s f(t)dt t0
当初始条件为0，则有：
L[
f
(t )dt ]
1 - 311 1 14 s 2s 1s 2 s 1s 2
f(t) L 1 [f(t) ](t) e t 4 e 2 t
整理版课件
16
第二章 控制系统数学模型
例 6 求F(s)s(s2ss11)的拉氏反变换
4、消去中间变量i(t),整理后得整：理版课件
22
第二章 控制系统数学模型
例2、 设一弹簧、质量块、阻
尼器组成的系统如图所示，
当外力F(t)作用于系统时，系 F(t) 统将产生运动。试写出外力
F(t)与质量块的位移y(t)之间
m
的微分方程。
解：
f
1、确立入-出，入-F(t),出—y(t)； 2、根据牛顿定律，∑F=ma；
limsF(s)存在 f(0)lifm (t)lism (F s)
s
t 0
s
（6）终值定理
若: L[f(t)]F(s)
f( )lifm (t)lism (F s)
t
s 0
整理版课件
7
第二章 控制系统数学模型
例2、求下列函数的拉氏变换。
（1）f(t)2(1cot)（s2）f(t)sin5(t（) 3）f (t)tnet
L[
d
2
dt
f (t) 2
]
s
2
F
(s)
L [ d n f ( t ) ] s n F ( s )整理版课件
5
dt n
第二章 控制系统数学模型
（2）积分性质
若: L[f(t)]F(s)
L [ f(t)d] t1 sF (s)1 s f(t)dt t0
当初始条件为0，则有：
L[
f
(t )dt ]
1 - 311 1 14 s 2s 1s 2 s 1s 2
f(t) L 1 [f(t) ](t) e t 4 e 2 t
整理版课件
16
第二章 控制系统数学模型
例 6 求F(s)s(s2ss11)的拉氏反变换
第二章控制系统的数学模型.
2.2.1传递函数的定义和性质
⑴ 定义 线性定常系统的传递函数,定义为初始条件为零时,输出 量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,记为G(S),即:
C ( s) G( s) R( s)
(2-4)
注：所有初始条件为零，指的是原系统处于静止状态. 设线性定常系统的n阶线性常微分方程为
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) an 1 c(t ) an c(t ) dt dt dt dm d m1 d b0 m r (t ) b1 m 1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
F(t)
K
F(t) F2(t)
m
f
m
x(t)
F1(t) b)
x(t)
根据牛顿第二运动定律有：
d 2 x (t ) F (t ) F1 (t ) F2 (t ) m dt2
a)
图2-2 机械位移系统
（2-2） 7
式中:
F1 (t ) ——阻尼器阻力。其大小与运动速度成正比，方向 与运动方向相反，阻尼系数为f，即： dx (t ) F1 (t ) f dt F2 (t ) ——弹簧力。设为线性弹簧，根据虎克定律有：
F2 (t ) Kx(t )
K——弹簧刚度 联立以上三式并整理得：
d 2 x (t ) dx(t ) m f Kx (t ) F (t ) 2 dt dt
（2-3） 8
综上所述,列写元件微分方程的步骤可归纳如下: ① 根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用,确定其 输入量和输出量; ② 分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律,列写相 应的微分方程; ③ 消去中间变量,得到输出量与输入量之间关系的微分方 程,便是元件时域的数学模型. 9
自动控制原理(第二章)
F ( s ) = L[ f (t )] =
∫
∞ 0
f (t )e st dt
南理工泰州科技学院
Basis of Control Engineering ——Basic Concept of Automatic Control ——Bas与象函数之间的对应 关系列成对照表的形式.通过查表, 关系列成对照表的形式.通过查表,就能 够知道原函数的象函数, 够知道原函数的象函数,或象函数的原函 常用函数的拉氏变换的对照表如表2 数,常用函数的拉氏变换的对照表如表2-3 所示. 所示.
Basis of Control Engineering ——Basic Concept of Automatic Control ——Basic
拉氏变换的基本定理
(3)积分定理. )积分定理. (4)位移定理. )位移定理.
L[ ∫
t 0
1 f ( t ) dt ] = F ( s ) s
L[ f (t τ0 )1(t τ0 )] = eτ0s F(s)
静态数学模型:静态条件下, 静态数学模型:静态条件下,描述各变量间关系的 代数方程; 代数方程; 动态数学模型: 动态数学模型:描述变量各阶导数之间关系的微分 方程. 方程.
建立控制系统数学模型的方法:分析法和 建立控制系统数学模型的方法:分析法和实验 法.
南理工泰州科技学院
Basis of Control Engineering ——Basic Concept of Automatic Control ——Basic
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Basis of Control Engineering ——Basic Concept of Automatic Control ——Basic
∫
∞ 0
f (t )e st dt
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Basis of Control Engineering ——Basic Concept of Automatic Control ——Bas与象函数之间的对应 关系列成对照表的形式.通过查表, 关系列成对照表的形式.通过查表,就能 够知道原函数的象函数, 够知道原函数的象函数,或象函数的原函 常用函数的拉氏变换的对照表如表2 数,常用函数的拉氏变换的对照表如表2-3 所示. 所示.
Basis of Control Engineering ——Basic Concept of Automatic Control ——Basic
拉氏变换的基本定理
(3)积分定理. )积分定理. (4)位移定理. )位移定理.
L[ ∫
t 0
1 f ( t ) dt ] = F ( s ) s
L[ f (t τ0 )1(t τ0 )] = eτ0s F(s)
静态数学模型:静态条件下, 静态数学模型:静态条件下,描述各变量间关系的 代数方程; 代数方程; 动态数学模型: 动态数学模型:描述变量各阶导数之间关系的微分 方程. 方程.
建立控制系统数学模型的方法:分析法和 建立控制系统数学模型的方法:分析法和实验 法.
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Basis of Control Engineering ——Basic Concept of Automatic Control ——Basic
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自动控制原理第2章(2)
(3) 按信号流向将各框图连起来
Ur(s) + _ I1(s) 1/R1
Uc(s)
华中科技大学文华学院机电学部 自动控制理论
控制系统的结构图与信号流图
方框图等效变换 基本连接方式：串联、并联、反馈 基本连接方式：串联、并联、
1.串联方框的等效变换 1.串联方框的等效变换
R(s) C(s) G1(s) G2(s) R(s) C(s) G1(s) G2(s)
华中科技大学文华学院机电学部 自动控制理论
控制系统的结构图与信号流图
例3 试化简如下系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s) 试化简如下系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s)
H2(s) R(s)
_ _
G1(s)
G2(s)
_
G3(s) H3(s)
G4(s)
C(s)
H1(s)
解：①将G3(s)输出端的分支点后移得： (s)输出端的分支点后移得： 输出端的分支点后移得
x1 = xr gxc x2 = ax1 fx4 x3 = bx2 exc x4 = cx3 xc = dx4
xr x1
a x2 b -f
x3 c
-g
x4 d
-e
xc
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控制系统的结构图与信号流图
2、由系统结构图绘制信号流图 在结构图的信号线上用小圆圈标志出传递的信号， ①在结构图的信号线上用小圆圈标志出传递的信号，得到节点 用标有传递函数的线段代替结构图中的方框， ②用标有传递函数的线段代替结构图中的方框，得到支路
G(s) H(s)
R(s)
C(s) G(s) 1m G(s)H(s)
化简一般方法：移动分支点或相加点 化简一般方法： 交换相加点 合并
第二章_控制系统的数学模型
+
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
自动控制原理(胡寿松)第六版-第二章-控制系统的数学模型--2
if=常数
dia La Ra ia Ea ua dt
ua
ia
Ra Ea La
M
电动机轴上机械运动方程：
d J MD ML dt
J — 负载折合到电动机轴上的转动惯量; MD — 电枢电流产生的电磁转矩; ML — 合到电动机轴上的总负载转矩。 （4）列写辅助方程 Ea = ke
Ra J Tm 令机电时间常数Tm : ke k m 二阶系统 La 令电磁时间常数Ta : Ta Ra 2 Tm TaTm dML d d 1 TaTm 2 Tm ua ML dt dt ke J J dt
1)当电枢电感较小时，可忽略，可简化上式如下：
Ta 0
第二章 控制系统的数学模型
前言 数学模型基础
2.1 控制系统的时域数学模型
2.2 控制系统的复数域数学模型 2.3 控制系统的结构图与信号流图
2.4 控制系统建模实例
End
前言 数学模型基础
2.2 2.3 2.4 2.5
1.定义：数学模型是指出系统内部物理量（或变量）之间动态 关系的表达式。 2.建立数学模型的目的
d nc d n1c dc d mr d m 1r dr a0 n a1 n1 an1 an c b0 m b1 m 1 bm 1 bm r dt dt dt dt dt dt
式中，c(t)是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。 从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束：
统 2) 简化性和准确性：忽略次要因素，简化之，但不能太简单，结果合 理
3) 动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。性能分析
4) 静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。放大倍数
自动控制原理-第二章 控制系统的数学模型
dn dtn f ( t )
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
控制系统的数学模型(卢京潮课件)
取一次近似，且令
y( x ) y( x ) y( x0 )
E0 sin x0 ( x x0 )
即有
y E0 sin x0 x
线性定常微分方程求解
微分方程求解方法
复习拉普拉斯变换有关内容（1）
1 复数有关概念
（1）复数、复函数 复数
s j
复函数 F ( s ) Fx ( s ) jF y ( s ) 例1 F ( s ) s 2 2 j
§2.2 控制系统的数学模型—微分方程
§2.2.1 线性元部件及系统的微分方程
例1 R-L-C 串连电路
ur ( t ) L di ( t ) Ri( t ) uc ( t ) dt du ( t ) i (t ) C c dt
d 2 uc ( t ) duc ( t ) LC RC uc ( t ) 2 dt dt
例7 例8 例9
1 1 L 1 t e Le ss sa sa s3 s - 3t 2 L e cos 5t 2 2 2 s 3 5 s 5 s s 3
f (t ) e
F ( s ) F ( s A) 右 dt源自00
0
0-f 0 s f t e st dt sF s f 0 右
L f n t s n F s s n-1 f 0 s n- 2 f 0 sf n- 2 0 f n1 0
d 2 uc ( t ) R duc ( t ) 1 1 u ( t ) ur ( t ) c 2 dt L dt LC LC
§2.2.1 线性元部件及系统的微分方程（1）
y( x ) y( x ) y( x0 )
E0 sin x0 ( x x0 )
即有
y E0 sin x0 x
线性定常微分方程求解
微分方程求解方法
复习拉普拉斯变换有关内容（1）
1 复数有关概念
（1）复数、复函数 复数
s j
复函数 F ( s ) Fx ( s ) jF y ( s ) 例1 F ( s ) s 2 2 j
§2.2 控制系统的数学模型—微分方程
§2.2.1 线性元部件及系统的微分方程
例1 R-L-C 串连电路
ur ( t ) L di ( t ) Ri( t ) uc ( t ) dt du ( t ) i (t ) C c dt
d 2 uc ( t ) duc ( t ) LC RC uc ( t ) 2 dt dt
例7 例8 例9
1 1 L 1 t e Le ss sa sa s3 s - 3t 2 L e cos 5t 2 2 2 s 3 5 s 5 s s 3
f (t ) e
F ( s ) F ( s A) 右 dt源自00
0
0-f 0 s f t e st dt sF s f 0 右
L f n t s n F s s n-1 f 0 s n- 2 f 0 sf n- 2 0 f n1 0
d 2 uc ( t ) R duc ( t ) 1 1 u ( t ) ur ( t ) c 2 dt L dt LC LC
§2.2.1 线性元部件及系统的微分方程（1）
自控原理2(第二章)
Jm dm (t ) f mm (t ) M m (t ) M c (t ) dt
(2-4)
式中， fm 是电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系 数；Jm是电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量。
由式(2-2)～式(2-4)中消去中间变量ia(t)，Ea及Mm(t)， 便可得到以m(t)为输出量，ua(t)为输入量的直流电动机 微分方程：
消去中间变量i(t)，便得到描述网络输入输出关系的微分 方程为：
显然，这是一个二阶线性微分方程，也就是图2-1无源网 络的时域数学模型。
[例2-2]：试列写图2-2所示电枢控制直流电动机的微分方 程，要求取电枢电压ua (t)为输入量，电动机转速 m (t)为 输出量图中Ra，La分别是电枢电路的电阻和电感；Mc 是折合到电动机轴上的总负载转矩。激磁磁通设为常值。
1.线性元件的微分方程
现举例说明控制系统中常用的电气元件、力学元 件等微分方程的列写。 [例2-1]: 图2-1是由电阻R、电感L和电容C组成的无源 网络，试列写以ui(t)为输人量，以uo(t)为输出量的网络 微分方程。
[解] 设回路电流为i(t)，由基尔霍夫定律可写出回路方程 为：
di(t ) 1 L i(t )dt Ri(t ) ui (t ) dt C 1 u0 (t ) i(t )dt C
[解] 电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换 为机械能，也就是由输入的电枢电压ua(t)在电枢回路中产
生电枢电流ia(t)，再由电流ia(t)与激磁磁通相互作用产生电
磁转矩Mm(t)，从而拖动负载运动。因此，直流电动机的运 动方程可由以下三部分组成：电枢回路电压平衡方程：
dia (t ) ua (t ) La Raia (t ) Ea dt
(2-4)
式中， fm 是电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系 数；Jm是电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量。
由式(2-2)～式(2-4)中消去中间变量ia(t)，Ea及Mm(t)， 便可得到以m(t)为输出量，ua(t)为输入量的直流电动机 微分方程：
消去中间变量i(t)，便得到描述网络输入输出关系的微分 方程为：
显然，这是一个二阶线性微分方程，也就是图2-1无源网 络的时域数学模型。
[例2-2]：试列写图2-2所示电枢控制直流电动机的微分方 程，要求取电枢电压ua (t)为输入量，电动机转速 m (t)为 输出量图中Ra，La分别是电枢电路的电阻和电感；Mc 是折合到电动机轴上的总负载转矩。激磁磁通设为常值。
1.线性元件的微分方程
现举例说明控制系统中常用的电气元件、力学元 件等微分方程的列写。 [例2-1]: 图2-1是由电阻R、电感L和电容C组成的无源 网络，试列写以ui(t)为输人量，以uo(t)为输出量的网络 微分方程。
[解] 设回路电流为i(t)，由基尔霍夫定律可写出回路方程 为：
di(t ) 1 L i(t )dt Ri(t ) ui (t ) dt C 1 u0 (t ) i(t )dt C
[解] 电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换 为机械能，也就是由输入的电枢电压ua(t)在电枢回路中产
生电枢电流ia(t)，再由电流ia(t)与激磁磁通相互作用产生电
磁转矩Mm(t)，从而拖动负载运动。因此，直流电动机的运 动方程可由以下三部分组成：电枢回路电压平衡方程：
dia (t ) ua (t ) La Raia (t ) Ea dt
自动控制原理胡寿松第六版
便于求出其传递函数。 作用：对复杂系统，可以避免解线性方程组求传递函数。
为避免发生错误，在变换过程中应遵循的原则： ➢前向通道各环节传递函数的乘积保持不变； ➢闭合回路各环节传递函数的乘积保持不变； 1）串联环节的简化：多个环节串联的作用等于一个环节的作用。
这个环节的传递函数等于这几个串联环节的乘积。
信号在这地方分成若干路，流向不同的地方，每一路
(s)
的信号完全相同。通常这种情况出现在信号测量处，
所以也称为测量点。
➢比较点（或综合点）：若干信号的汇合点，经过加 （减）运算，形成一个新的信号。流入信号增加使流 ui (t)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
e(t )
出信号增加，在线段旁注“+”；流入信号增加使流出 信号减小，在线段旁注“—” 。通常将“+”符号省略。
解调与直流放大电路：Ua (s) K0U2 (s)
U2 (s) U~ (s) Ut (s)
其中： 直U a流放大器输出， 内U回t 路反馈电压。
直流电动机：
m (s) Ua (s)
s(TKm sm电1)动机的m转角。
内回路反馈电压： Ut (s) Kt sm (s)
其中：Kt测速电机转换系数， 分压系数。
T12s2 3T1s 1 T2s 1
u2
K0 ua
Km s(Tms 1)
m 1/i
r
l
u校
ut
K
校
s Ts
1 1
up
Kt s
K1
• 结构图的等效变换和简化
等效变换：用另外一种方式，画系统结构图，但保持系统传递关系 不变，即系统的输入输出传递函数保持不变。
化简：用简单的结构图表示复杂的结构图。 目的：通过等效变换，使一个复杂的系统结构，变成简单的结构，
为避免发生错误，在变换过程中应遵循的原则： ➢前向通道各环节传递函数的乘积保持不变； ➢闭合回路各环节传递函数的乘积保持不变； 1）串联环节的简化：多个环节串联的作用等于一个环节的作用。
这个环节的传递函数等于这几个串联环节的乘积。
信号在这地方分成若干路，流向不同的地方，每一路
(s)
的信号完全相同。通常这种情况出现在信号测量处，
所以也称为测量点。
➢比较点（或综合点）：若干信号的汇合点，经过加 （减）运算，形成一个新的信号。流入信号增加使流 ui (t)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
e(t )
出信号增加，在线段旁注“+”；流入信号增加使流出 信号减小，在线段旁注“—” 。通常将“+”符号省略。
解调与直流放大电路：Ua (s) K0U2 (s)
U2 (s) U~ (s) Ut (s)
其中： 直U a流放大器输出， 内U回t 路反馈电压。
直流电动机：
m (s) Ua (s)
s(TKm sm电1)动机的m转角。
内回路反馈电压： Ut (s) Kt sm (s)
其中：Kt测速电机转换系数， 分压系数。
T12s2 3T1s 1 T2s 1
u2
K0 ua
Km s(Tms 1)
m 1/i
r
l
u校
ut
K
校
s Ts
1 1
up
Kt s
K1
• 结构图的等效变换和简化
等效变换：用另外一种方式，画系统结构图，但保持系统传递关系 不变，即系统的输入输出传递函数保持不变。
化简：用简单的结构图表示复杂的结构图。 目的：通过等效变换，使一个复杂的系统结构，变成简单的结构，
自动控制理论 2-1 控制系统的数学模型
i (t ) =
uc (t ) R
运动方程： 运动方程： 传递函数： 传递函数：
u r (t) =
G(s) =
1 RC
∫u
c
(t)dt + u c (t)
U c (s) Tc s = U r (s) Tc s + 1
（Tc=RC）
G(s) = U c (s) = Tc s U r (s)
当Tc<<1时，又可表示成：
传递函数
36
例：直流电机
输入量: ud ——电枢电压 输出量： id ——电枢电流 动态方程如下：
第二章 控制系统的数学模型
第二次课 1
1.引言
系统的数学模型：描述系统输入、输出变量以及内部其他变 量之间关系的数学表达式。 控制系统中常见的二种数学模型形式： 1、外部描述：把系统的输出量与输入量之间的关系用数 外部描述：把系统的输出量与输入量之间的关系用数 学方式表达出来，称之为输入— 学方式表达出来，称之为输入—输出描述，或外部描述， 例如微分方程、传递函数、框图和差分方程。适用于单输 例如微分方程、传递函数、框图和差分方程。适用于单输 入、单输出系统。
L C
u r(t)
2
uc(t)
d uc du c LC + RC + uc = ur 2 dt dt
二阶微分方程
9
例2-3 阻尼器系统 (P15)
d 2 y (t ) dy (t ) m + f + ky (t ) = F (t ) 二阶微分方程 2 dt dt
10
本节重点：
控制系统微分方程的建立的方法 两种典型控制系统微分方程的建立。 两种典型控制系统微分方程的建立
自动控制理论-第二章
2-1 控制系统的时域数学模型
1、控制系统微分方程的建立 （1）举例 例1：电路无源网络 试列写以 u (t ) 为输入量，以 u (t )为 输出量的网络微分方程
i
o
解：设回路电流为 i(t ) ，由基尔霍夫 定律可写出回路方程为
di ( t ) 1 + i ( t ) dt + Ri ( t ) = u i ( t ) dt C ∫ 1 u o (t ) = i ( t ) dt C ∫ L
f 2 (t )
c(t ) = c1 (t )
作用时， c(t ) = c2 (t ) 叠加性：当 f (t ) 、 f (t ) 同时作用时，c(t ) = c1 (t ) + c2 (t ) 均匀性：当 f (t ) = A ⋅ f1 (t ) 时， c(t ) = A ⋅ c1 (t ) 线性系统的叠加原理表明：两个外作用同时加于系统所产生的 总输出，为各个外作用单独作用时分别产生的输出之和。
[
]
1 1 1 F ( s ) + n f ( −1) (0) + L + f ( − n ) (0) n s s s
式中
f
( −1)
f ( −1) (0)、f ( −2) (0) L f ( − n ) (0)
(−n)
为
f (t )
的各重积分在 t = 0 时的值。如果
(0) = f ( −2 ) (0) = L = f
(0) = 0 ，则有
L ∫ L ∫ f (t )(dt ) n =
[
]
1 F (s) sn
（4）初值定理 若函数 f (t ) 及其一阶导数都是可拉氏变换的，则
f (0 + ) = lim f (t ) = lim sF ( s)
第第二章 控制系统的数学模型
1
sa
1
(s a)n
18
拉普拉斯变换简表
f (t)
9
sin t
10
cost
11
1 (1 eat )
a
12
1 a
(a0
(a0
a)eat
)
13
1 a2
(at
1
e at
)
14
a0t a2
(
a0 a2
t)(eat
1)
F (s)
s2 2
s
s2 2
s s(s a)
s a0 s(s a)
1 s2 (s a)
(1)独立性（可加性）：线性系统内各个 激励产生的响应互不影响
xi1(t) xi2(t)
xo1(t) xo2(t)
xi1(t)+xi2(t) xo1(t)+xo2(t)
(2)均匀性（齐次性）
8
线形系统的一般形式
an
dn dtn
y(t) an1
d n1 d t n 1
y(t) ... a1
d dt
dt
s
则
证：
f (0) lim sF (s)
s
由微分定理有：
L( df (t)) sF (s) f (0) dt
两边取极限
lim[ df (t) est dt] lim[sF (s) f (0)]
s 0 dt
s
27
lim[ df (t) est dt] lim[sF (s) f (0)]
0 dt s0
s0
lim est 1
s0
[ df (t) dt] lim[sF (s) f (0)]
自动控制原理 第2章数学模型
y y0 K ( x x0 ) 或写为 y Kx
即：线性化方程
式中，
y0
f ( x0 )，K
df dx
，y
x x0
y
y0，x
x x0
严格地说，经过线性化后的所得的系统微分方程式，只 是近似地表征系统的运动情况。
实践证明，对于绝大多数的控制系统，经过线性化后所 得的系统数学模型，能以较高的精度反映系统的实际运动过 程，所以线性化方法是很有实际意义的。
绝对的线性元件和线性系统不存在
非线性微分方程的线性化
实际物理元件或系统都是非线性的，构成系统的元件 都具有不同程度的非线性。
建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有诸 多困难，因此，对非线性问题做线性化处理确有必要。
线性化:在满足一定条件的前提下，用近似的线性系统代 替非线性方程。
线性化的基本条件:非线性特性必须是非本质的，系统各 变量对于工作点仅有微小的偏离。
第二章 控制系统的数学模型
本章内容
2.1 控制系统的时域数学模型 2.2 控制系统的复数域数学模型 2.3 控制系统的结构图/方框图 2.4 梅森公式与信号流图
系统的数学模型
数学模型
描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的 数学表达式。
分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统 的数学模型。
b0s m a0s n
b1s m 1 a1s n 1
... bm 1s ... an 1s
bm an
N(s)=0 系统的特征方程，特征根 特征方程决定着系统的动态特性。 N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。
系统传递函数的极点就是系统的特征根。 零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。
自动控制原理第二章
1 ui (t ) 1(t ), U i ( s) s Ui 0.1s 0.2 1 1 u0 (t ) L [U 0 ( s )] L [ 2 2 ] s s 1 s s 1 1 0.1s 0.2 1 L [ 2 ] 2 s ( s s 1) s s 1
m=10, f=1, k=1
m=10, f=1, k=5
输入： Fi 1(t )
m=10, f=1, k=1
m=10, f=1, k=5
相似系统
RLC无源网络和弹簧-质量-阻尼器机械系 统的数学模型均是二阶微分方程，为相似 系统。 相似系统便于用一个简单系统去研究与其 相似的复杂系统，也便于控制系统的计算 机数字仿真。
化的过程。
4、线性系统的基本特性 叠加性：系统在几个输入信号同时作用 下的总响应，等于这几个输入信号单独 作用的响应之和。
如果元件输入为： r1(t)、r2(t)、r(t) ，
对应的输出为： c1(t)、c2(t)、c(t) 。
如果 r(t)=r1(t)+r2(t) 时， c(t)=c1(t)+c2(t) 满足叠加性。
满足齐次性。
满足叠加性和齐次性的元件才是线性元件
例如 y=kx 是线性元件
输入 x1 输出 y1=kx1 x2 输入x1 ＋x2 C为常数， Cx1 y2=kx2 y1 ＋ y2 满足迭加性 Cy1 满足齐次性
所表示的元件 为线性元件
线性方程不一定满足迭加性和齐次性
y=kx+b(b为常数 0)线性方程，所表示的元件不是 线性元件 . 输入 x1y1 输出 y1＝ kx1+b x2 y2 y2 =kx2+b 输入 x1 ＋ x2 输出 y=k(x1 ＋ x2)+b =k x1 +kx2+b y1 +y2 不满足迭加性 k为常数 :kx1输出y=k(kx1)+b=k2x1+b ky1=k(kx1+b)= k2x1+kb yky1 不满足齐次方程。 所表示的元件不是线性元件。
自动控制原理(第2章)
非线性模型的线性化 非线性模型的线性化
非线性元件 线性元件 切线法、 切线法、小偏差法
泰勒级数展开 泰勒级数展开
df ( x ) ) x0 ( x − x0 ) y = f ( x) = f ( x0 ) + ( dx 2 1 d f ( x) + ( ) x0 ( x − x0 ) 2 + ⋯ 2! dx 2
L[af1 (t ) + bf 2 (t )]
= aL[ f1 (t )] + bL[ f 2 (t )] = aF1 ( s) + bF2 ( s)
（2）微分定理
F ( s ) = L[ f (t )]
df (t ) L[ ] = sF ( s ) − f (0) dt
d 2 f (t ) L[ ] = s 2 F ( s ) − [ sf (0) + f | (0)] dt 2
s1, 2
− a1 ± a12 − 4a0 = 2
s1, 2
− a1 ± j 4a0 − a12 = = σ ± jω 2
二阶齐次通解
∆>0 ∆=0 ∆<0
yh = K1e + K 2e
s1t
s2t
yh = K1e st + K 2te st
yh = e ( K1 cos ωt + K 2 sin ωt )
t →∞ s →0
（6）位移定理
L[ f (t − τ 0 )] = e−τ 0 s F ( s ) L[e at f (t )] = F ( s − a )
（7）相似定理
t L[ f ( )] = aF (as ) a
（8）卷积定理
F1 ( s) = L[ f1 (t )]
自动控制原理 胡寿松
第六版前言第一章自动控制的一般概念1-1 自动控制的基本原理与方式1-2 自动控制系统示例1-3 自动控制系统的分类1-4 对自动控制系统的基本要求1-5 自动控制系统的分析与设计工具习题第二章控制系统的数学模型2-1 控制系统的时域数学模型2-2 控制系统的复数域数学模型2-3 控制系统的结构图与信号流图2-4 控制系统建模实例习题第三章线性系统的时域分析法3-1 系统时间响应的性能指标3-2 一阶系统的时域分析3-3 二阶系统的时域分析3-4 高阶系统的时域分析3-5 线性系统的稳定性分析3-6 线性系统的稳态误差计算3-7 控制系统时域设计习题第四章线性系统的根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念4-2 根轨迹绘制的基本法则4-3 广义根轨迹4-4 系统性能的分析4-5 控制系统复域设计习题第五章线性系统的频域分析法5-1 频率特性5-2 典型环节与开环系统的频率特性5-3 频率域稳定判据5-4 稳定裕度5-5 闭环系统的频域性能指标5-6 控制系统频域设计习题第六章线性系统的校正方法6-1 系统的设计与校正问题6-2 常用校正装置及其特性6-3 串联校正6-4 前馈校正6-5 复合校正6-6 控制系统校正设计习题第七章线性离散系统的分析与校正7-1 离散系统的基本概念7-2 信号的采样与保持7-3 z变换理论7-4 离散系统的数学模型7-5 离散系统的稳定性与稳态误差7-6 离散系统的动态性能分析7-7 离散系统的数字校正7-8 离散控制系统设计习题第八章非线性控制系统分析8-1 非线性控制系统概述8-2 常见非线性特性及其对系统运动的影响8-3 相平面法8-4 描述函数法8-5 非线性控制的逆系统方法8-6 非线性控制系统设计习题第九章线性系统的状态空间分析与综合9-1 线性系统的状态空间描述9-2 线性系统的可控性与可观测性9-3 线性定常系统的反馈结构及状态观测器9-4 李雅普诺夫稳定性分析9-5 控制系统状态空间设计习题第十章动态系统的最优控制方法10-1 最优控制的一般概念10-2 最优控制中的变分法10-3 极小值原理及其应用10-4 线性二次型问题的最优控制10-5 控制系统优化设计。
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式中：
T1 R1C1
T2 R2C2
T3 R1C2
提醒注意
上题中如果把第一级电路的输出看作是第二级电路的 输入，直接利用例1的结论，可列方程如下： duc1 (t ) R1C1 uc1 (t ) ui (t ) dt
duo (t ) R2C2 uo (t ) uc1 (t ) dt 消去中间变量uc1(t)，得：
(2.4)
式中M、B、K均为常数，此机械位移系统为线性定 常系统。 式(2.4)还可写成: M d 2 y (t ) B dy (t ) 1 y (t ) f (t ) (2.4a) 2 K dt K dt K B M 2 令 TB TM K K
则有
2 d y(t ) dy(t ) 1 2 (2.4b) TM T y ( t ) f ( t ) B dt 2 dt K
(2.1.10)
令 L R Ta , RJ (kd km ) Tm ,1 kd Cd , Tm J Cm ，则上式为
dM L d 2 d TaTm 2 Tm Cd ua CmTa Cm M L dt dt dt
(2.1.11)
式（2.1.11）即为电枢控制式直流电动机的数学模型。由式可见，转速ω 既由ua控制，又受ML影响。
dy (t ) f1 (t ) B dt
(2.2)
式中B —— 阻尼系数。 设弹簧为线性弹簧，则有： f2 (t) = K y(t) (2.3)
式中 K—— 弹性系数。
（4）将式(2.2)和式(2.3)代入式(2.1)，得系统的微分
方程式 :
d 2 y (t ) dy (t ) M B Ky (t ) f (t ) 2 dt dt
（1）运动部件质量用M表示.
（2）列出原始方程式。根据牛顿第 二定律，有：
图2-1 弹簧—质量—阻尼器系统
式中 f 1(t)——阻尼器阻力； f 2(t)——弹簧力。
d2 y f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) M 2 dt
(2.1)
（3）f1(t)和f2(t)为中间变量，找出它们与其它因素的 关系。阻尼器阻力与运动方向相反，与运动速度成正 比，故有：
数学模型的定义：能够描述控制系统输出
量和输入量数量关系的表达形式。
实际物理系统
理想化
物理模型
数学化
数学模型
线性化
线性数学模型 无量纲化 可用数学模型
标准化
标准数学模型
数学模型的分类
按输入输出的表达形式 微分方程（时间域） 传递函数（复数域） 动态结构图（各元件传函的连接关系） 响应曲线（step、pulse） 频率特性（bode图、nyquist图、nichols图） 状态变量形式
无论是用分析法还是用实验法建立模型， 都存在模型精度和复杂性之间的矛盾。即描述 系统运动特性的数学模型越精确，则方程的阶 次越高，对系统的分析与设计越困难。所以， 在控制工程上总是在满足分析精度要求的前提 下，尽量使数学模型简单，为此在建立数学模 型时常做许多假设和简化，最后得到的是有一 定精度的近似模型。这点与其他课程不同。
提醒注意
两级滤波电路网络的数学模型：
d 2uo (t ) duo (t ) R1C1R2C2 ( R1C1 R2C2 R1C2 ) uo (t ) ui (t ) 2 dt dt
机械力学系统的数学模型：
d 2 y (t ) dy (t ) m f ky (t ) F (t ) 2 dt dt
(1) 输入变量为电压 ua、M L ；输出变量为电机旋转角速度 ;中间变 量 ia、ed ; (2)根据克希荷夫定律，电机电枢回路的方程为
ed 与转速 成正比， 式中，L，R分别为电感与电阻。当磁通固定不变时， 即
ed kd
式中， k 为反电势常数。这样（2.1.5）式为
d
dia L ia R ed ua dt
或
duo (t ) dui (t ) T ui (t ) dt dt
机械系统
弹簧—质量—阻尼器系统
图2-1表示一个弹簧—质量—阻尼器 系统。当外力f (t)作用时，系统产生 位移y(t)，要求写出系统在外力f (t) 作用下的运动方程式。
f(t)是系统的输入，y(t)是系统的输 出。列出的步骤如下：
二 时域数学模型-微分方程
微分方程的一般形式
单输入单输出线性定常集中参数连续系统微分方程 的一般形式为：
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c (t ) an 1 c (t ) an c (t ) dt dt dt dm d m 1 d b0 m r (t ) b1 m 1 r (t ) bm 1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
解： 1、由KCL： i0 (t ) i1 (t ) 0
由KVL： R0i0 (t ) ui (t )
1 R1i1 (t ) i1 (t )dt uo (t ) C
2、消去中间变量 i0 (t )、i1 (t ) 并标准化，得：
duo (t ) dui (t ) R0C R1C ui (t ) dt dt
d 2uo (t ) duo (t ) R1C1 R2C2 ( R1C1 R2C2 ) uo (t ) ui (t ) 2 dt dt
原因：后级电路的电流i2影响前级电路的输出电压uc1(t)。
负载效应
例3 由理想运算放大器组成的有源网络如图，列写以ui(t) 为输入量，uo(t)为输出量的网络微分方程式。
3、消去中间变量，得到只含有输出量和输入量及 其各阶导数的微分方程；
4、标准化。
电气系统
例1 对下图RC无源网络，列写以ui(t)为输入 量，uo(t)为输出量的网络微分方程式。
解： (1)由KVL，得 ui (t ) Ri(t ) uo (t ) 又因为
duo (t ) i (t ) C dt
0 Cd ua 0 Cm M L 0
（2.1.13）
这就是系统的稳态。
（2）系统的稳态并不能长期稳定，闭环控制系统的任务就是要系统工作 在稳态。当输入量发生变化时，输出量相应变化，输入输出量可以记为：
ua ua 0 ua
M L M L 0 M L
0
机电系统微分方程：
例 图示为电枢控制式直流电机原理图，设 ua为电枢两 为电机旋转角速度，M L为折合到电机 端的控制电压， 轴上的总的负载力矩。当激磁不变时，用电枢控制的 ua 为给定输入， M L 为干扰输入， 情况下， 为输出。系 统中ed为电动机旋转时电枢两端的反电势；ia为电动机 的电枢电流； M为电动机的电磁力矩。
第二章 控制系统的数学模型
型
项目
教学目的
内容
如何从实际的物理系统过渡到数学系统，理解物 理系统、控制系统、数学系统三者的统一；如何 建立控制系统的时域数学模型。 如何建立控制系统的时域数学模型。
教学重点
教 学 难 点 关于数学模型的一些基本概念。从简单到复杂， 及 其 处 理 逐步分层次讲解。
J
M kmia
(2.1.8)
d kmia M L dt 上式略去了与转速成正比的阻尼力矩。 应用（2.1.6）式和（2.1.9）式消去中间变量ia，可得
(2.1.9)
2 dM L d RJ d LJ 1 L R M u kd km dt 2 kd km dt kd a kd km dt kd km L
一 引言
数学模型的基本概念
数学、工程、控制三者的统一
中学时的函数概念： y f ( x) x 自变量，y 因变量 在电路的学习中对函数概念的理解：
激励x 电路系统 响应y
研 究 对 象 的 复 杂 程 度 加 深
自动控制系统对函数概念的理解：
控制量x 控制系统 被控制量y
式中，c(t)是输出量；r(t)是输入量。为了所表示系统 的可实现性，一般限定m n。
建立系统(或元件)的微分方程的一般步骤
1、根据系统(或元件)的工作原理，确定其输入量 和输出量； 2、按照系统中元件所遵循的科学规律(物理或化 学定律等)，围绕输入量、输出量及有关中间量，列 写原始方程式，构成微分方程组；
对L2，由KVL得 uC1 (t ) uR 2 (t ) uo (t ) 0
列出各元件的输入变量和输出变量的关系式 R1：uR1 (t ) R1i1 (t ) R2：uR 2 (t ) R2i2 (t )
1 C1：uC1 (t ) [i1 (t ) i2 (t )]dt C1 1 C2：uo (t ) i2 (t )dt C2
则式（2.1.11）可记为：
d 2 (0 ) d (0 ) d ( M L 0 M L ) TaTm T ( ) C ( u u ) C T Cm (M L 0 M L ) m 0 d a0 a m a 2 dt dt dt
(2.1.5)
dia L ia R kd ua dt
根据刚体的转动定律，电动机转子的运动方程为
(2.1.6)
d J M ML dt
(2.1.7)
式中，J为转动部分折合到电动机轴上的总的转动惯量。当激磁磁通固 定不变时，电动机的电磁力矩与电枢电流成正比。即 式中，km为电动机电磁力矩常数 （3）消除中间变量 将（2.1.8）式代入（2.1.7）式得
同样的x和y，在不同的课程学习中，思维方 式发生了变化：中学时的函数是一个纯数学的 概念；在电路和控制系统中增加了人的因素。 可以用数学的方法来解决工程中遇到的实际问 题，可以通过自动控制原理课程把数学、工程、 控制三者联系统一起来。