山东省潍坊市2012高考数学一轮复习 备考训练 2.6 不等式的应用学案 理(扫描版) 新人教版.doc
高考数学(理科)一轮复习基本不等式及其应用学案有答案
高考数学（理科）一轮复习基本不等式及其应用学案有答案学案36基本不等式及其应用导学目标：1了解基本不等式的证明过程2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．自主梳理1．基本不等式ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条：____________(2)等号成立的条：当且仅当________时取等号．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥________ (a，b∈R)．(2)ba＋ab≥____(a，b同号)．(3)ab≤a＋b22 (a，b∈R)．(4)a＋b22____a2＋b223．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为________，几何平均数为________，基本不等式可叙述为：________________________________________________4．利用基本不等式求最值问题已知x>0，>0，则(1)如果积x是定值p，那么当且仅当________时，x＋有最____值是________(简记：积定和最小)．(2)如果和x＋是定值p，那么当且仅当________时，x有最____值是__________(简记：和定积最大)．自我检测1．“a>b>0”是“ab<a2＋b22”的()A．充分而不必要条B．必要而不充分条．充要条D．既不充分也不必要条2．(2011•南平月考)已知函数f(x)＝12x，a、b∈(0，＋∞)，A ＝fa＋b2，B＝f(ab)，＝f2aba＋b，则A、B、的大小关系是() A．A≤B≤ B．A≤≤B．B≤≤A D．≤B≤A3．下列函数中，最小值为4的函数是()A．＝x＋4xB．＝sin x＋4sin x(0<x<π)．＝ex＋4e－xD．＝lg3x＋lgx814．(2011•大连月考)设函数f(x)＝2x＋1x－1(x<0)，则f(x)有最________值为________．．(2010•东)若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围为________________．探究点一利用基本不等式求最值例1 (1)已知x>0，>0，且1x＋9＝1，求x＋的最小值；(2)已知x<4，求函数＝4x－2＋14x－的最大值；(3)若x，∈(0，＋∞)且2x＋8－x＝0，求x＋的最小值．变式迁移1(2011•重庆)已知a>0，b>0，a＋b＝2，则＝1a＋4b的最小值是()A72 B．492 D．探究点二基本不等式在证明不等式中的应用例2 已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1＋1a)(1＋1b)≥9变式迁移2已知x>0，>0，z>0求证：x＋zxx＋zxz＋z≥8探究点三基本不等式的实际应用例3 (2011•镇江模拟)某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为60＋48x(单位：元)．(1)写出楼房平均综合费用关于建造层数x的函数关系式；(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)变式迁移3(2011•广州月考)某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每化妆品的售价定为其生产成本的10%与平均每促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)将2012年的利润(万元)表示为促销费t(万元)的函数．(2)该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)1．a2＋b2≥2ab对a、b∈R都成立；a＋b2≥ab成立的条是a，b∈R＋；ba＋ab≥2成立的条是ab>0，即a，b同号．2．利用基本不等式求最值必须满足一正、二定、三相等三个条，并且和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值．3．使用基本不等式求最值时，若等号不成立，应改用单调性法．一般地函数＝ax＋bx，当a>0，b<0时，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数；当a<0，b>0时，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数；当a>0，b>0时函数在－ba，0，0，ba上是减函数，在－∞，－ba，ba，＋∞上是增函数；当a<0，b<0时，可作如下变形：＝－－ax＋－bx解决最值问题．(满分：7分)一、选择题(每小题分，共2分)1．设a>0，b>0，若3是3a与3b的等比中项，则1a＋1b的最小值为()A．8 B．4 ．1 D142．(2011•鞍月考)已知不等式(x＋)1x＋a≥9对任意正实数x，恒成立，则正实数a的最小值为()A．2 B．4 ．6 D．83．已知a>0，b>0，则1a＋1b＋2ab的最小值是()A．2 B．22 ．4 D．4．一批货物随17列货车从A市以a /h的速度匀速直达B市，已知两地铁路线长400 ，为了安全，两列车之间的距离不得小于a202 ，那么这批货物全部运到B市，最快需要()A．6 h B．8 h ．10 h D．12 h．(2011•宁波月考)设x，满足约束条3x－－6≤0x－＋2≥0x≥0，≥0，若目标函数z＝ax＋b (a>0，b>0)的最大值为12，则2a＋3b 的最小值为()A26 B83 113 D．4二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2010•浙江)若正实数x，满足2x＋＋6＝x，则x的最小值是________．7．(2011•江苏)在平面直角坐标系x中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝2x的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是________．8．已知f(x)＝32x－(＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则的取值范围为__________________．三、解答题(共38分)9．(12分)(1)已知0<x<43，求x(4－3x)的最大值；(2)点(x，)在直线x＋2＝3上移动，求2x＋4的最小值．10．(12分)(2011•长沙月考)经观测，某公路段在某时段内的车流量(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系＝920vv2＋3v＋1 600(v>0)．(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量最大？最大车流量为多少？(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？11．(14分)某加工厂需定期购买原材料，已知每千克原材料的价格为1元，每次购买原材料需支付运费600元，每千克原材料每天的保管费用为003元，该厂每天需要消耗原材料400千克，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管)．(1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用1关于x的函数关系式；(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用最小，并求出这个最小值．学案36基本不等式及其应用自主梳理1．(1)a>0，b>0(2)a＝b2(1)2ab(2)2(4)≤3a＋b2ab两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4(1)x＝小2p(2)x＝大p24自我检测1．A2A 34．大－22－1[1，＋∞)堂活动区例1 解题导引基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化，使用基本不等式求最值时，给定的形式不一定能直接适合基本不等式，往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式)，构造出基本不等式的形式再进行求解．基本不等式成立的条是“一正、二定、三相等”，“三相等”就是必须验证等号成立的条．解(1)∵x>0，>0，1x＋9＝1，∴x＋＝(x＋)1x＋9＝x＋9x＋10≥6＋10＝16当且仅当x＝9x时，上式等号成立，又1x＋9＝1，∴x＝4，＝12时，(x＋)in＝16(2)∵x<4，∴－4x>0＝4x－2＋14x－＝－－4x＋1－4x＋3≤－2 －4x•1－4x＋3＝1，当且仅当－4x＝1－4x，即x＝1时，上式等号成立，故当x＝1时，ax＝1(3)由2x＋8－x＝0，得2x＋8＝x，∴2＋8x＝1∴x＋＝(x＋)8x＋2＝10＋8x＋2x＝10＋24x＋x≥10＋2×2× 4x•x＝18，当且仅当4x＝x，即x＝2时取等号．又2x＋8－x＝0，∴x＝12，＝6∴当x＝12，＝6时，x＋取最小值18变式迁移1[∵a＋b＝2，∴a＋b2＝1∴1a＋4b＝(1a＋4b)(a＋b2)＝2＋(2ab＋b2a)≥2＋22ab•b2a＝92(当且仅当2ab＝b2a，即b＝2a时，“＝”成立)，故＝1a＋4b的最小值为92]例2 解题导引“1”的巧妙代换在不等式证明中经常用到，也会给解决问题提供简捷的方法．在不等式证明时，列出等号成立的条不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转化是否有误的一种方法．证明方法一因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以1＋1a＝1＋a＋ba＝2＋ba同理1＋1b＝2＋ab所以(1＋1a)(1＋1b)＝(2＋ba)(2＋ab)＝＋2(ba＋ab)≥＋4＝9所以(1＋1a)(1＋1b)≥9(当且仅当a＝b＝12时等号成立)．方法二(1＋1a)(1＋1b)＝1＋1a＋1b＋1ab＝1＋a＋bab＋1ab＝1＋2ab，因为a，b为正数，a＋b＝1，所以ab≤(a＋b2)2＝14，于是1ab≥4，2ab≥8，因此(1＋1a)(1＋1b)≥1＋8＝9(当且仅当a＝b＝12时等号成立)．变式迁移2证明∵x>0，>0，z>0，∴x＋zx≥2zx>0，x＋z≥2xz>0，xz＋z≥2xz>0∴x＋zxx＋zxz＋z≥8z•xz•xxz＝8当且仅当x＝＝z时等号成立．所以(x＋zx)(x＋z)(xz＋z)≥8例3 解题导引1用基本不等式解应用题的思维程序为：由题设写出函数→变形转化→利用基本不等式→求得最值→结论2．在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：(1)先理解题意，设变量，一般把要求最值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数最值问题；(3)在定义域内求函数最值；(4)正确写出答案．解(1)依题意得＝(60＋48x)＋2 160×10 0002 000x＝60＋48x＋10 800x (x≥10，x∈N*)．(2)∵x>0，∴48x＋10 800x≥248×10 800＝1 440，当且仅当48x＝10 800x，即x＝1时取到“＝”，此时，平均综合费用的最小值为60＋1 440＝2 000(元)．答当该楼房建造1层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2 000元．变式迁移3解(1)由题意可设3－x＝t＋1，将t＝0，x＝1代入，得＝2∴x＝3－2t＋1当年生产x万时，∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，∴年生产成本为32x＋3＝323－2t＋1＋3当销售x(万)时，年销售收入为10%323－2t＋1＋3＋12t由题意，生产x万化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，得年利润＝－t2＋98t＋32t＋1 (t≥0)．(2)＝－t2＋98t＋32t＋1＝0－t＋12＋32t＋1≤0－2t＋12×32t＋1＝0－216＝42(万元)，当且仅当t＋12＝32t＋1，即t＝7时，ax＝42，∴当促销费投入7万元时，企业的年利润最大．后练习区1．B[因为3a•3b＝3，所以a＋b＝1，1a＋1b＝(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab≥2＋2ba•ab＝4，当且仅当ba＝ab即a＝b＝12时，“＝”成立．] 2．B[不等式(x＋)1x＋a≥9对任意正实数x，恒成立，则1＋a＋x＋ax≥a＋2a＋1≥9，∴a≥2或a≤－4(舍去)．∴正实数a的最小值为4]3．[因为1a＋1b＋2ab≥21ab＋2ab＝21ab＋ab≥4，当且仅当1a＝1b且1ab＝ab，即a＝b＝1时，取“＝”号．]4．B[第一列货车到达B市的时间为400a h，由于两列货车的间距不得小于a202 ，所以第17列货车到达时间为400a＋16•a202a ＝400a＋16a400≥8，当且仅当400a＝16a400，即a＝100 /h时成立，所以最快需要8 h．]．A6．18解析由x>0，>0,2x＋＋6＝x，得x≥22x＋6(当且仅当2x＝时，取“＝”)，即(x)2－22x－6≥0，∴(x－32)•(x＋2)≥0又∵x>0，∴x≥32，即x≥18故x的最小值为187．4解析过原点的直线与f(x)＝2x交于P、Q两点，则直线的斜率>0，设直线方程为＝x，由＝x，＝2x，得x＝2，＝2或x＝－2，＝－2，∴P(2，2)，Q(－2，－2)或P(－2，－2)，Q(2，2)．∴|PQ|＝2＋22＋2＋22＝22＋1≥48．(－∞，22－1)解析由f(x)>0得32x－(＋1)•3x＋2>0，解得＋1<3x ＋23x，而3x＋23x≥22，∴＋1<22，<22－19．解(1)∵0<x<43，∴0<3x<4∴x(4－3x)＝13(3x)(4－3x)≤133x＋4－3x22＝43，(4分)当且仅当3x＝4－3x，即x＝23时，“＝”成立．∴当x＝23时，x(4－3x)的最大值为43(6分)(2)已知点(x，)在直线x＋2＝3上移动，∴x＋2＝3∴2x＋4≥22x4＝22x＋2＝223＝42(10分)当且仅当2x＝4，x＋2＝3，即x＝32，＝34时，“＝”成立．∴当x＝32，＝34时，2x＋4的最小值为42(12分)10．解(1)＝920vv2＋3v＋1 600＝920v＋1 600v＋3≤9202v×1 600v＋3＝92083≈1108(4分)当v＝1 600v，即v＝40千米/小时时，车流量最大，最大值为1108千辆/小时(6分)(2)据题意有920vv2＋3v＋1 600≥10，(8分)化简得v2－89v＋1 600≤0，即(v－2)(v－64)≤0，所以2≤v≤64所以汽车的平均速度应控制在[2,64]这个范围内．(12分)11．解(1)每次购买原材料后，当天用掉的400千克原材料不需要保管费，第二天用掉的400千克原材料需保管1天，第三天用掉的400千克原材料需保管2天，第四天用掉的400千克原材料需保管3天，…，第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400千克原材料需保管(x－1)天．∴每次购买的原材料在x天内总的保管费用1＝400×003×[1＋2＋3＋…＋(x－1)]＝6x2－6x(6分)(2)由(1)可知，购买一次原材料的总费用为6x2－6x＋600＋1×400x，∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为＝1x(6x2－6x＋600)＋1×400＝600x＋6x＋94(9分)∴≥2600x•6x＋94＝714，(12分)当且仅当600x＝6x，即x＝10时，取等号．∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用最小，且最小为714元．(14分)。
【备战2012】高考数学 最新模拟专题06 不等式理
最新模拟专题【2012某某省某某市质检理】设102m <<，若1212km m +≥-恒成立，则k 的最大值为；【答案】8【解析】由题可知k 的最大值即为1212m m +-的最小值。
又1212m m +-22122()[2(12)]22()2212212m m m m m m m m -=++-=+++--8≥，取等号的条（ ）A ．ab ＜b2＜1B ．21log b ＜21log a ＜0 C ．2b ＜2a ＜2 D ．a2＜ab ＜1 【答案】C【解析】因为b ＜a ＜1,所以2b ＜2a <1,故选C.【某某省日照市2012届高三12月月考理】（11）如果不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≥01,2,0y kx x y x 表示的平面区域是一个直角三角形，则该三角形的面积为（A ）5121或（B ）3121或（C ）4151或（D ）2141或【答案】：C 解析：有两种情形：（1）直角由x y 2=与01=+-y kx 形成，则21-=k ，三角形的三个顶点为（0，0），（0，1），（54,52），面积为51；（2）直角由0=x 与01=+-y kx 形成，则0=k ，三角形的三个顶点为（0，0），（0，1），（1,21），面积为41。
【某某实验中学2012届高三第四次诊断性考试理】10. 设x 、y 满足约束条件，若目标函数（其中0,0a b >>)的最大值为3,则的最小值为（）[Zxxk.](A) . 3 (B) . 1 (C) .2 (D) . 4【某某省潍坊市三县2012届高三联考理】【2012某某市高三模拟统一考试理】已知变量x，y满足约束条件10,310,10,y xy xy x+-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y=+的最大值为。
【答案】 2【解析】本题主要考查线性规划的最优解. 属于基础知识、基本运算的考查.实数x，y满足不等式组10,310,10,y xy xy x+-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则可行域如图，作出2y x=-，平移，当直线通过A(1,0)时，2z x y=+的最小值是⒉. 【2012年某某市高三年级第三次质检理】在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定.若M(x ,y)为D上的动点，点N 的坐标为（，1)，则的最大值为._______【答案】4【解析】本题主要线性规划可行域的概念、平面向量的数量积. 属于基础知识、基本运算的考查.2z OM ON x y=⋅=+如图，作出变量,x y满足约束条件02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩,可行域是图中的阴影部分；,2),作出直线y =,z y y z =+⇒=+,直线y z =+在y 轴上截距最大时，z 最大。
2012届高考数学一轮复习 1不等式和绝对值不等式课件 (文) 新人教A版选修4-5
)
C.(-4,0)
D.(-4,-2)∪(0,2)
解析:由1<|x+1|<3,得 1<x+1<3或-3<x+1<-1,
∴0<x<2或-4<x<-2,
∴不等式的解集为(-4,-2)∪(0,2). 答案:D
5.若关于x的不等式|x-2|+|x-a|≥a在R上恒成立,则a的最大值 是( A.0 C.-1 ) B.1 D.2
(2)由不等式|2x+5|>7+x,
可得2x+5>7+x或2x+5<-(7+x),
整理得x>2或x<-4. ∴原不等式的解集是{x|x<-4或x>2}.
(3)解法一:分别求|x-1|,|x+2|的零点,即1,-2.
由-2,1把数轴分成三部分:
x<-2,-2≤x≤1,x>1. 当x<-2时,原不等式为1-x-2-x<5. 解得-3<x<-2;
[反思感悟] 使用绝对值不等式的性质证明不等式时,常与放缩法结合在一起应用,利用放缩法时要目标明
确,通过添､拆项后,适当放缩.
错源
去绝对值不当致误
【典例】 解不等式:|2x+1|-|x-4|<2. [剖析] 本题可以按照-,4把实数集分割成三个部分,去掉绝对值后转化为三个不等式组的解处理.可能出 现的错误就在这个去绝对值上,一个是分区时漏掉了端点值- ､ 4,另一个是在各个部分内判断绝对 值内式子的符号,如当- ≤ x<4时认为2x+1<0等.
等式.转化的途径有三种:一是依据实数绝对值的定义:
2012年高三数学第一轮复习教案(新人教A)不等式的综合问题
6.7 不等式的综合问题巩固·夯实基础一、自主梳理1.方程与不等式、函数与不等式、解析几何与不等式的综合问题.2.解决上述问题的关键是找出综合题的各部分知识点及解法，充分利用数学思想和数学方法求解.二、点击双基1.(理)(2004湖北高考)若a 1＜b1＜0，则下列不等式中，正确的不等式有( ) ①a+b ＜ab ②|a|＞|b| ③a ＜b ④a b +b a＞2A.1个B.2个C.3个D.4个 解析：∵a 1＜b 1＜0,∴b ＜a ＜0.∴⎪⎩⎪⎨⎧>><+.||||,0,0a b ab b a 故①正确,②③错误.∵a 、b 同号且a ≠b,∴a b 、b a均为正.∴a b +b a＞2b aa b•=2.故④正确.∴正确的不等式有2个.答案：B(文)不等式|1-x 1|>2的解集是…( ) A.{x|-1<x<31} B.{x|x<-1或x>31}C.{x|x>-1}D.{x|-1<x<0或0<x<31}解析：∵|1-x 1|>2,∴x 1-1>2或x 1-1<-2,x 1>3或x 1<-1.∴0<x<31或-1<x<0.答案：D2.已知a<0,-1<b<0，则a 、ab 、ab 2的大小关系是( )A.a>ab>ab 2B.ab 2>ab>aC.ab>a>ab 2D.ab>ab 2>a 解析：特殊值.a=-1,b=-21,ab=21,ab 2=-41.故ab>ab 2>a.答案：D3.设a 、b ∈R ，给出下列条件：①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a 2+b 2>2;⑤ab>1.其中能推出“a 、b 中至少有一个数大于1”的条件是( )A.②③B.①②③C.③④⑤D.③解析：a=b=43⇒a+b>1,否定①. a=b=1⇒a+b=2,否定②,④显然错.a=-2,b=-1⇒ab>1,否定⑤. 答案：D4.(2006四川成都质检)(理)若规定d c b a =|ad-bc|,则不等式2log x111<0的解集为________. 解析：2log x 111<0⇔2log |x-1|<0⇔0<|x-1|<1⇔0<x<1或1<x<2.答案：(0,1)∪(1,2)(文)若角α、β满足-2π<α<β<2π,则2α-β的取值范围是. 解析：∵-2π<α<β<2π,∴-π<2α<π,-2π<-β<2π.∴-23π<2α-β<23π. 又∵2α-β=α+(α-β)<α<2π, ∴-23π<2α-β<2π. 答案：(-23π,2π) 诱思·实例点拨【例1】 已知不等式ax 2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a 、b;(2)解不等式bax c x -->0(c 为常数). 解：(1)由题知1、b 为方程ax 2-3x+2=0的两根，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=a b a b 31,2∴a=1,b=2. (2)不等式等价于(x-c)(x-2)>0,当c>2时解集为{x|x>c 或x<2};当c<2时解集为{x|x>2或x<c};当c=2时，x ∈{x|x ≠2,x ∈R}.【例2】 设函数f(x)=x 2+2bx+c(c<b<1),f(1)=0,且方程f(x)+1=0有实根.(1)证明-3<c ≤-1;(2)证明b ≥0;(3)若m 是方程f(x)+1=0的一个实根，判断f(m-4)的正负并加以证明.(1)证明：f(1)=0⇒1+2b+c=0⇒b=-21+c .又1>b>c,故1>-21+c >c ⇒-3<c<-31. 方程f(x)+1=0有实根，即x 2+2bx+c+1=0有实根.故Δ=4b 2-4(c+1)≥0,即(c+1)2-4(c+1)≥0⇒c ≥3或c ≤-1.又1>b>c,得-3<c ≤-1.(2)证明：由b=-21+c 知b ≥0. (3)解：f(x)=x 2+2bx+c=x 2-(c+1)x+c=(x-c)(x-1).f(m)=-1<0,∴c<m<1.∴c-4<m-4<-3<c.∴f(m-4)=(m-4-c)(m-4-1)>0.∴f(m-4)的符号为正.【例3】 已知抛物线y=ax 2-1上存在关于直线l:x+y=0成轴对称的两点，试求实数a 的取值范围.解法一：设抛物线上关于直线l 对称的两相异点为P(x 1，y 1)、Q(x 2,y 2),线段PQ 的中点为M(x 0,y 0),设直线PQ 的方程为y=x+b,由于P 、Q 两点存在，所以方程组⎩⎨⎧-=+=1,2ax y b x y 有两组不同的实数解，即得方程ax 2-x-(1+b)=0. ①判别式Δ=1+4a(1+b)＞0. ②由①得x 0=221x x +=a 21,y 0=x 0+b=a21+b. ∵M ∈l,∴0=x 0+y 0=a 21+a 21+b,即b=-a 1,代入②解得a ＞43. 解法二：设同解法一，由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=---=-=)4(.022)3(,1)2(,1)1(,121212*********x x y y x x y y ax y ax y 将①②代入③④，并注意到a ≠0,x 1-x 2≠0,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+)6(.21)5(,12222121a a x x a x x 由二元均值不等式易得2(x 12+x 22)＞(x 1+x 2)2(x 1≠x 2).将⑤⑥代入上式得2(-21a +a2)＞(a 1)2,解得a ＞43. 解法三：同解法二，由①-②，得 y 1-y 2=a(x 1+x 2)(x 1-x 2).∵x 1-x 2≠0,∴a(x 1+x 2)=2121x x y y --=1. ∴x 0=221x x +=a21. ∵M(x 0,y 0)∈l, ∴y 0+x 0=0,即y 0=-x 0=-a 21,从而PQ 的中点M 的坐标为（a 21,-a 21）. ∵M 在抛物线内部，∴a(a 21)2-(-a21)-1＜0. 解得a ＞43.(舍去a ＜0，为什么?) 链接·聚焦解法三中为何舍去a<0?这是因为a<0,中点M(x 0,y 0),x 0=a 21<0,y 0=-a 21>0. 又∵a<0,y=ax 2-1<0,矛盾,∴a<0舍去.。
高三数学一轮复习 不等式的综合应用学案(二)
§6.7不等式的综合应用（二）【复习目标】理解掌握不等式在函数，三角，数列，解析几何，方程等内容中的应用；函数性质，三角式，直线与圆锥曲线，数列的通项及部分和的变化等内容常与不等式的证明或解不等式有密切的关系，要熟悉这方面问题的类型和思考方法；培养学生对数形结合，特殊与一般，分类讨论等思想的领悟和应用能力。
【课前预习】数列{}n a 的通项公式290n n a n =+，则数列{}n a 的最大项为 （ ） A. 第9项 B. 第10项 C. 第11项 D.第9项和第10项 函数224sin sin y x x=+的最小值为 。
0a >且1a ≠，3log (1)a P a =+，2log (1)a Q a =+，则P 、Q 的大小关系是 （ ）A ．P>QB ．p<QC ．P ＝QD ．不确定 (2004年重庆卷)若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是 （ ）A ．4005B ．4006C ．4007D ．4008设点（x,y ）在椭圆22194x y +=上移动，则x+y 的最大值为 。
【典型例题】例1 若关于x 的方程9(4)340x x a +++=有解，求a 的取值范围。
例2 设集合A={}2(,)20,x y x mx y +-+=B={}(,)10且02x y x y x -+=≤≤ 如果AB φ≠，求实数m 的取值范围。
例3 在等比数列{}n a 中，其首项10a >，公比1q >-，且1q ≠，前n 项和为n S ；在数列{}n b 中，12n n n b a ka ++=-，前n 项和为n T .求证：0n S >；若n n T k S >⋅对一切正整数n 成立，求证：12k ≤-.【巩固练习】若实数m,n,x,y 满足2222,()m n a x y b a b +=+=≠，则mx ny +的最大值 。
2012年高三数学第一轮复习教案(新人教A)不等式的应用
§5.3 不等式的应用考点核心整合不等式的应用常常与求最值相关联，不等式在函数、方程中的应用，在几何中的应用及利用不等式解决实际问题. 1.定理：如果x,y 是正数，那么2yx ≥xy (当且仅当x=y 时取“=”号). 已知x,y 都是正数，①如果积xy 是定值P ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值2P ;②如果和x+y 是定值S ，那么当x=y 时，积xy 有最大值41S 2. 2.几何中一类求取值范围的问题是通过几何知识列出不等式，然后求解不等式，从而得出参数的取值范围.3.几何中距离、面积等最值问题，可以用重要不等式求解.4.不等式应用题要通过阅读、理解所给定的材料，寻找量与量之间的内在联系，抽象出事物系统的主要特征与关系，建立起相应的能反映其本质属性的数学结构，从而建立起数学模型，然后利用不等式的知识求出题中的问题.(如解不等式、不等式的证明、均值不等式等) 考题名师诠释【例1】(2006陕西高考，8理)已知不等式(x+y)(x 1+ya)≥9对任意正实数x,y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A.8B.6C.4D.2 解析：x,y ∈R +,∴(x+y)(x 1+y a )=1+a+x y +yax ≥1+a+2a . 当且仅当x y =yax 即y 2=ax 2时“=”成立. 由题意得1+a+2a ≥9. a ≥4. 答案：C 链接·聚焦有的同学如下求解：∵x,y ∈R +,∴x+y ≥2xy ＞0,x 1+y a≥2xya . ∴(x+y)(x 1+y a)≥4a ≥9.∴a ≥1681. 上述错误在两不等式“=”不能同时成立. 【例2】已知a ≥21,函数f(x)=-a 2x 2+ax+c. (1)证明：对任意x ∈［0,1］,f(x)≤1的充要条件是c ≤43; (2)已知关于x 的实系数二次方程f(x)=0有两个实数根α、β，证明：｜α｜≤1且｜β｜≤1的充要条件是c ≤a 2-a.分析：本题属于三个“二次”的问题，这类问题在解题时，首先要充分利用相应的二次函数的性质，特别是图象特征与单调性，由此可得解法.解：(1)f(x)=-a 2(x-a 21)2+c+41,∵a ≥21,∴0＜a 21≤1,即a21∈(0,1]， 当x ∈［0,1］时，f(x)max =f(a 21)=c+41.充分性：∵c ≤43,∴x ∈［0,1］时,f(x)≤c+41≤1,∴f(x)≤1(x ∈［0,1］).必要性：∵x ∈［0,1］时，f(x)≤1,而a21∈(0,1), ∴f(a 21)=c+41≤1,∴c ≤43. (2)二次函数f(x)的图象开口向下，对称轴方程为x=a 21,因为a ≥21,故a21∈(0,1)［-1,1］, ∴⎩⎨⎧≤≤1||,1||βα⇔f(x)=0的两根α、β在［-1，1］内⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-≤-∈≥∆0)1(,0)1(],1,1[21,0f f a ⇔⎪⎩⎪⎨⎧+≤-≤⇔⎩⎨⎧≤-≤aa c a a c f f 22,0)1(.0)1(⇔c ≤a 2-a, ∴｜α｜≤1且｜β｜≤1的充要条件是c ≤a 2-a.点评：本题考查了对一元二次方程、二次函数和一元二次不等式这三个“二次”之间关系的本质认识，对学生灵活处理参数的能力及不等式的转换能力有较高要求.三个“二次”问题在高考中经常会出现.【例3】 有一位同学写了一个不等式：cx c x +++221≥cc +1(x ∈R ).(1)她发现当c=1、2、3时不等式都成立，试问：不等式是否对任何的正数c 都成立？为什么？ (2)对已知的正数c ，这位同学还发现，把不等式右边的“cc +1”改成某些值，如-c 、0等，不等式总是成立的，试求出所有这样的值的集合M.分析：解决这类不等式的常用方法就是变量代换，令c x +2=t ，则t ≥c .然后再利用基本不等式或函数的单调性来解决，这样就引起分类讨论.解：(1)令c x +2=t ≥c ,令f(x)=cx c x +++221-c c+1=ct c t c t ))(1(--. ①若不等式成立，即①式≥0，则需tc-1≥0⇔x 2≥c1-c. ② 而当c=21时，②式对于x ∈R 不能成立，所以原不等式对任何正数c 不是都成立.(2)当0<c ≤1时，f(t)=t+t1≥2,当t=1，即x=c -1时取等号.所以［f(x)］min =2,故M={m|m ≤2}. 当c>1时，t ≥c ,t c -1>0. 由①知，f(x)-cc +1≥0，当t=c ，即x=0时，取等号，所以［f(x)］min =cc +1，故M=(-∞,cc +1).综上所述，当0<c ≤1时，M=(-∞,2]；当c>1时，M=(-∞,cc +1).评述：分析法、比较法仍是证明不等式的常用方法.【例4】设函数f(x)=ax 2+8x+3(a ＜0),对于给定的负数a ，有一个最大的正数l(a),使得在整个区间［0,l(a)］上，不等式｜f(x)｜≤5都成立.问a 为何值时,l(a)最大？求出这个最大的l(a),证明你的结论.分析：要使｜f(x)｜≤5在［0，l(a)］上都成立，只需｜f(x)｜在［0,l(a)］上的最大值不大于5即可.求｜f(x)｜在［0,l(a)］上的最大值，需判断-a4是否在［0，l(a)］内，故需分类讨论. 解：f(x)=a(x+a 4)2+3-a16, ∵a ＜0,∴f(x)max =3-a16.当3-a 16＞5,即-8＜a ＜0时，0＜l(a)＜-a4(如图(1)).∴l(a)是方程ax 2+8x+3=5的较小根, l(a)=a a 28648++-=42162++a ＜42=21.当3-a 16≤5,即a ≤-8时，l(a)＞-a4(如图(2)). ∴l(a)是方程ax 2+8x+3=-5的较大根, l(a)=2244232648--=---a aa≤2152204+=-， 当且仅当a=-8时等号成立. 由于215+＞21, 因此，当且仅当a=-8时， l(a)取最大值215+. 评述：本题是一道典型的函数、方程、不等式的综合题.数形结合利于开拓思路，找到解决办法.。
高考第一轮复习数学：66不等式的应用-教案(含习题及答案).
6.6 不等式的应用●知识梳理1.运用不等式求一些最值问题.用a+b ≥2ab 求最小值；用ab ≤（2b a +）2≤222b a +求最大值.2.某些函数的单调性的判定或证明也就是不等式的证明.3.求函数的定义域，往往直接归纳为解不等式（组）.4.三角、数列、立体几何和解析几何中的最值都与不等式有密切联系.5.利用不等式可以解决一些实际应用题. ●点击双基1.已知函数f （x ）=log 21（x 2－ax+3a ）在［2，+∞）上是减函数，则实数a 的范围是A.（－∞，4］B.（－4，4］C.（0，12）D.（0，4］解析：∵f （x ）=log 21（x 2－ax+3a ）在［2，+∞）上是减函数，∴u=x 2－ax+3a 在［2，+∞）上为增函数，且在［2，+∞）上恒大于0. ∴⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤.032422a a a， ∴－4＜a ≤4. 答案：B 2.把长为12 cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是A.233 cm 2 B.4 cm 2C.32 cm 2D.23 cm 2解析：设两段长分别为x cm ，（12－x ） cm ，则S=43（3x ）2+43（312x -）2=183（x 2－12x+72）=183［（x －6）2+36］≥23. 答案：D3.（理）如果0＜a ＜1，0＜x ≤y ＜1，且log a xlog a y=1，那么xy A.无最大值也无最小值 B.有最大值无最小值 C.无最大值有最小值 D.有最大值也有最小值解析：∵log a x+log a y ≥2y x a a log log =2， ∴log a xy ≥2.∴0＜xy ≤a 2. 答案：B（文）已知a ＞b ＞c ＞0，若P=a cb -，Q=bca -，则 A.P ≥Q B.P ≤Q C.P ＞Q D.P ＜Q解析：特殊值检验.a=3，b=2，c=1. P=31，Q=1，P ＜Q. 答案：D4.已知实数x 、y 满足yx=x －y ，则x 的取值范围是_______. 解析：由yx =x －y ，得y 2－xy+x=0. ∵y ∈R ，∴Δ=x 2－4x ≥0.∴0≤x ≤4. ∵x=0时y=0不符合题意，∴0＜x ≤4. 答案：0＜x ≤45.已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+-<+-08603422x x x x ，的解集是不等式2x 2－9x+a ＜0的解集的子集，则实数a 的取值范围是____________.解析：由⎪⎩⎪⎨⎧<+-<+-，，08603422x x x x 得2＜x ＜3.则⇒⎩⎨⎧≤≤0302）（）（f f a ≤9. 答案：（－∞，9］ ●典例剖析【例1】 函数y=122++x bax 的最大值为4，最小值为－1，求常数a 、b 的值.剖析：由于函数是分式函数，且定义域为R ，故可用判别式法求最值.解：由y=122++x bax 去分母整理得yx 2－2ax+y －b=0. ①对于①，有实根的条件是Δ≥0，即（－2a ）2－4y （y －b ）≥0. ∴y 2－by －a 2≤0.又－1≤y ≤4， ∴y 2－by －a 2=0的两根为－1和4. ∴⎩⎨⎧-=⨯-=+-.41412a b ，解得⎩⎨⎧==32b a ，或⎩⎨⎧=-=.32b a ， 评述：这是关于函数最大值、最小值的逆向题.深化拓展已知x 、y ∈R +且x 2+y8=1，求x+y 的最小值.本题不难求解（读者不妨求解）.由本题的启发，你能解下列问题吗？已知a 、b 是正常数，a+b=10，又x 、y ∈R +， 且x a +yb=1，x+y 的最小值为18. 求a 、b 的值. 略解：x+y=（x+y ）（y x 82+）=10+xy 2+y x8≥10+2y x x y 82⋅=18. 当且仅当yxx y 82=时取等号. 由⎪⎩⎪⎨⎧==+224182x y y x ，解得⎩⎨⎧==.126y x ，∴当x=6，y=12时，x+y 的最小值为18.同上题，x+y=（x+y ）（xa +y b）=a+b+y bx x ay +≥a+b+2ab .由⎪⎩⎪⎨⎧=+=++，，10182b a ab b a 得⎩⎨⎧==，，82b a 或⎩⎨⎧==.28b a ，【例2】 已知a ＞0，求函数y=ax a x +++221的最小值.解：y=a x +2+ax +21，当0＜a ≤1时，y=a x +2+ax +21≥2，当且仅当x=±a -1时取等号，y min =2.当a ＞1时，令t=a x +2（t ≥a ）.y=f （t ）=t+t 1.f '（t ）=1－21t＞0.∴f （t ）在［a ，+∞）上为增函数.∴y ≥f （a ）=a a 1+，等号当t=a 即x=0时成立，y min =aa 1+.综上，0＜a ≤1时，y min =2；a ＞1时，y min =aa 1+.【例3】 已知函数f （x ）=ax 2+bx+c （a ＞0且bc ≠0）.（1）若| f （0）|=| f （1）|=| f （－1）|=1，试求f （x ）的解析式；（2）令g （x ）=2ax+b ，若g （1）=0，又f （x ）的图象在x 轴上截得的弦的长度为l ，且0＜l ≤2，试确定c －b 的符号.解：（1）由已知| f （1）|=| f （－1）|，有|a+b+c|=|a －b+c|，（a+b+c ）2=（a －b+c ）2，可得4b （a+c ）=0.∵bc ≠0，∴b ≠0.∴a+c=0. 又由a ＞0有c ＜0.∵|c|=1，于是c=－1，则a=1，|b|=1.∴f （x ）=x 2±x －1.（2）g （x ）=2ax+b ，由g （1）=0有2a+b=0，b ＜0. 设方程f （x ）=0的两根为x 1、x 2.∴x 1+x 2=－a b =2，x 1x 2=ac.则|x 1－x 2|=212214x x x x -+）（=ac 44-.由已知0＜|x 1－x 2|≤2，∴0≤ac＜1.又∵a ＞0，bc ≠0，∴c ＞0.∴c －b ＞0. ●闯关训练 夯实基础1.已知方程sin 2x －4sinx+1－a=0有解，则实数a 的取值范围是A.［－3，6］B.［－2，6］C.［－3，2］D.［－2，2］解析：∵a=（sinx －2）2－3，|sinx|≤1，∴－2≤a ≤6. 答案：B2.当x ∈［－1，2］时，不等式a ≥x 2－2x －1恒成立，则实数a 的取值范围是 A.a ≥2 B.a ≥1 C.a ≥0 D.a ≥－2解析：当x ∈［－1，2］时，x 2－2x －1=（x －1）2－2∈［－2，2］.∵a ≥x 2－2x －1恒成立，∴a ≥2. 答案：A3.b g 糖水中有a g 糖（b ＞a ＞0），若再添m g 糖（m ＞0），则糖水变甜了.试根据这一事实，提炼出一个不等式____________.解析：b a ＜m b ma ++.答案：b a ＜mb ma ++4.若a ＞0，b ＞0，ab ≥1+a+b ，则a+b 的最小值为____________.解析：1+a+b ≤ab ≤（2b a +）2，∴（a+b ）2－4（a+b ）－4≥0.∴a+b ≤2244-或a+b ≥2244+. ∵a ＞0，b ＞0，∴a+b ≥2+22. 答案：2+225.已知正数x 、y 满足x+2y=1，求x 1+y1的最小值. 解：∵x 、y 为正数，且x+2y=1，∴x 1+y 1=（x+2y ）（x 1+y 1） =3+x y 2+y x ≥3+22，当且仅当x y 2=yx，即当x=2－1，y=1－22时等号成立.∴x 1+y1的最小值为3+22. 6.（2004年春季上海）已知实数p 满足不等式212++x x ＜0，试判断方程z 2－2z+5－p 2=0有无实根，并给出证明.解：由212++x x ＜0，解得－2＜x ＜－21.∴－2＜p ＜－21.∴方程z 2－2z+5－p 2=0的判别式Δ=4（p 2－4）.∵－2＜p ＜－21，41＜p 2＜4，∴Δ＜0.由此得方程z 2－2z+5－p 2=0无实根. 培养能力7.（2003年全国）已知c ＞0，设P ：函数y=c x在R 上单调递减，Q ：不等式x+|x －2c|＞1的解集为R.如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围.解：函数y=c x在R 上单调递减⇔0＜c ＜1.不等式x+|x －2c|＞1的解集为R ⇔函数y=x+|x －2c|在R 上恒大于1.∵x+|x －2c|=⎩⎨⎧>≥-，，c x c c x c x 22222∴函数y=x+|x －2c|在R 上的最小值为2c. ∴不等式x+|x －2c|＞1的解集为R ⇔2c ＞1⇔c ＞21. 如果P 正确，且Q 不正确，则0＜c ≤21. 如果P 不正确，且Q 正确，则c ≥1.∴c 的取值范围为（0，21］∪［1，+∞）.8.已知函数f （x ）=x 2+bx+c （b 、c ∈R ）且当x ≤1时，f （x ）≥0，当1≤x ≤3时，f （x ）≤0恒成立.（1）求b 、c 之间的关系式；（2）当c ≥3时，是否存在实数m 使得g （x ）=f （x ）－m 2x 在区间（0，+∞）上是单调函数？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（1）由已知f （1）≥0与f （1）≤0同时成立，则必有f （1）=0，故b+c+1=0. （2）假设存在实数m ，使满足题设的g （x ）存在.∵g （x ）=f （x ）－m 2x=x 2+（b －m 2）x+c 开口向上，且在［22b m -，+∞）上单调递增，∴22b m -≤0.∴b ≥m 2≥0.∵c ≥3，∴b=－（c+1）≤－4.这与上式矛盾，从而能满足题设的实数m 不存在. 探究创新9.有点难度哟！已知a ＞b ＞0，求a 2+）（b a b -16的最小值.解：∵b （a －b ）≤（2b a b -+）2=42a ，∴a 2+）（b a b -16≥a 2+264a≥16.当且仅当⎩⎨⎧=-=82a b a b ，，即⎪⎩⎪⎨⎧==222b a ，时取等号.深化拓展a ＞b ＞0，求b （a －b ）·216a 的最大值.提示：b （a －b ）≤42a .答案：4 ●思悟小结1.不等式的应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题.2.建立不等式的主要途径有：（1）利用问题的几何意义；（2）利用判别式；（3）利用函数的有界性；（4）利用函数的单调性.3.解不等式应用问题的三个步骤： （1）审题，必要时画出示意图；（2）建立不等式模型，即根据题意找出常量与变量的不等关系；（3）利用不等式的有关知识解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号. 4.利用重要不等式求最值时，要注意条件：一正、二定、三相等，即在x+y ≥2xy 中，x 和y 要大于零，要有定积或定和出现；同时要求“等号”成立.5.化归思想在本节占有重要位置，等式和不等式之间的转化、不等式和不等式之间的转化、函数与不等式之间的转化等，对于这些转化，一定要注意条件.●教师下载中心 教学点睛1.应用不等式解决数学问题时，关键在于要善于把等量关系转化为不等量关系，以及不等关系的转化等，把问题转化为不等式的问题求解.2.应用不等式解决应用问题时，应先弄清题意，根据题意列出不等式或函数式，再利用不等式的知识求解.3.与不等式相关联的知识较多，如函数与不等式、方程与不等式、数列与不等式、解析几何与不等式，要善于寻找它们之间的联系，从而达到综合应用的目的.拓展例题【例1】 （2003年福建质量检测题）已知函数f （x ）=|log 2（x+1）|，实数m 、n 在其定义域内，且m ＜n ，f （m ）=f （n ）.求证：（1）m+n ＞0；（2）f （m 2）＜f （m+n ）＜f （n 2）. （1）证法一：由f （m ）=f （n ），得|log 2（m+1）|=|log 2（n+1）|，即log 2（m+1）=±log 2（n+1），log 2（m+1）=log 2（n+1）， ①或log 2（m+1）=log 211+n . ②由①得m+1=n+1，与m ＜n 矛盾，舍去.由②得m+1=11+n ，即（m+1）（n+1）=1. ③∴m+1＜1＜n+1.∴m ＜0＜n.∴mn ＜0. 由③得mn+m+n=0，m+n=－mn ＞0. 证法二：（同证法一得）（m+1）（n+1）=1.∵0＜m+1＜n+1，∴211）（）（+++n m ＞））（（11++n m =1.∴m+n+2＞2.∴m+n ＞0.（2）证明：当x ＞0时，f （x ）=|log 2（x+1）|=log 2（x+1）在（0，+∞）上为增函数.由（1）知m 2－（m+n ）=m 2+mn=m （m+n ），且m ＜0，m+n ＞0，∴m （m+n ）＜0. ∴m 2－（m+n ）＜0，0＜m 2＜m+n.∴f （m 2）＜f （m+n ）.同理，（m+n ）－n 2=－mn －n 2=－n （m+n ）＜0，∴0＜m+n ＜n 2.∴f （m+n ）＜f （n 2）.∴f （m 2）＜f （m+n ）＜f （n 2）.【例2】 求证：对任意x 、y ∈R ，都有497721++x x ≤5－3y+21y 2，并说明等号何时成立.证明：72x +49≥2·7x ·7=2·7x+1，∴497721++x x ≤21.又∵5－3y+21y 2=21（y －3）2+21≥21，∴497721++x x ≤5－3y+21y 2.当且仅当x=1，y=3时取等号.。
2012高考数学第一轮复习基本不等式
2因为x 0，所以225x 3602 2 225 3602 10800.
x
所以y 225x 3602 360 10440，当且仅当225x 3602 时，
x
x
等号成立，即当x 24 m时，修建围墙的总费用最小，
最小总费用是10440元．
拓展练习3：某公司一年购买某种货物400吨，每次购买x吨，
sin2 x
sin2 x
所以函数y sin2 x 4 的最小值是5 sin2 x
方法2：令t sin2 x，则0 t 1，y t 4， t
所以y
1
4 t2
.当0 t
1时，y 1
4 t2
0，
即y t 4 在0,1上是减函数，
t
所以当t 1时，y t 4的最小值是5. t
运费为4万元 / 次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年
的总运费与总存储费用之和最小，则x 20 吨．
解析：设购买n次，总费用为y万元，则n 400， x
总运费为 400 4万元， x
所以总费用y 400 4 4x 2 400 4 4x 160.
x
x
当且仅当 400 4 4x，即x 20时，等号成立， x
23
3
3
3
2设函数f x 2x 1 1 x 0，则f x A
x
A．有最大值
B．有最小值
C．是增函数
D．是减函数
基本不等式与函数
例3：(2009 湖北卷)围建一个面积为360 m2的矩形场地，要 求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他 三面围墙要新建．在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 2 m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元 / m， 新墙的造价为180元 / m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)， 修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．
2012年高三数学第一轮复习教案(新人教A)不等式的解法(一)
6.4 不等式的解法(一)巩固·夯实基础一、自主梳理1.关于x 的一元一次不等式ax>b 的解集是a>0时,x>a b ;a<0时,x<ab .关于x 的不等式ax>b 的解集是R,则实数a 、b 满足的条件是a=0,b<0.2.一元二次不等式ax 2+bx+c<0(a ≠0)的解集的确定受a 的符号,b 2-4ac 的符号的影响,结合图象,数形结合!3.分式不等式的解法(1)如能判断分母的符号,可直接去分母,转化为整式不等式;(2))()(x g x f ≥0⇒⎩⎨⎧≠≥•;0)(,0)()(x g x g x f (3)用穿根法.4.简单的高次不等式解法——穿根法.穿根法操作过程(1)把不等式变形为一边是一次因式的积,另一边是0的形式;(2)各因式中x 的系数全部变为1,约去偶次因式;(3)把各个根从小到大依次排好,从右上方向左下方穿根;(4)严格检查因式的根(特别是约去的偶次因式的根)是否在解集内.二、点击双基1.(理)关于x 的不等式ax 2+bx-2>0的解集是(-∞,-21)∪(31,+∞),则ab 等于…( ) A.-24 B.24 C.14 D.-14解析：-21,31是方程ax 2+bx-2=0的两根. 答案：B(文)不等式(x 2-2)log 2x>0的解集是( )A.(0,1)∪(2,+∞)B.(-2,1)∪(2,+∞)C.(2,+∞)D.(-2,2)解析:原不等式等价于⎩⎨⎧>>-0log ,0222x x 或⎩⎨⎧<<-,0log ,0222x x 答案：A2.(经典回放)若不等式|ax+2|＜6的解集为(-1,2)，则实数a 等于( )A.8B.2C.-4D.-8解析:由|ax+2|＜6得-6＜ax+2＜6,即-8＜ax ＜4.∵不等式|ax+2|＜6的解集为(-1,2),易检验a=-4.答案:C3.(经典回放)已知函数f(x)是R 上的增函数，A （0，-1）、B （3，1）是其图象上的两点，那么|f(x+1)|＜1的解集是( )A.（1，4）B.（-1，2）C.（-∞,1]∪［4,+∞)D.(-∞,-1］∪［2,+∞)解析:由题意知f(0)=-1,f(3)=1.又|f(x+1)|＜1⇔-1＜f(x+1)＜1，即f(0)＜f(x+1)＜f(3),又f(x)为R 上的增函数，∴0＜x+1＜3.∴-1＜x ＜2.答案:B4.不等式1)3)(2)(1(+---x x x x ≤0的解集是__________________________________. 解析：穿根法.答案：(-1,1)∪［2,3］5.(2006湖北八校联考) (理)已知x 1·x 2·x 3·…·x 2 006=1,且x 1,x 2,…,x 2 006都是正数,则(1+x 1)(1+x 2)…(1+x 2 006)的最小值是_________________________________.解析:由题意得(1+x 1)(1+x 2)...(1+x 2 006)≥21x .22x .. (22006x)=22 006·200621x x x ⋅⋅⋅=22 006.答案:22 006(文)已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+-<+-086,03422x x x x 的解集是不等式2x 2-9x+a<0的解集的子集,则实数a 的取值范围是____________________________________.解析:解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+-<+-086,03422x x x x 得2<x<3. 令f(x)=2x 2-9x+a,只需满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≤+-<⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤>-=∆<<9108810271808188810)3(0)2(0881442a a a a a a f f a a ⇒a ≤9. 答案:a ≤9诱思·实例点拨【例1】 如果关于x 的不等式ax 2+bx+c<0的解集是{x|x<m 或x>n}(m<n<0),求关于x 的不等式cx 2+bx+a>0的解集.解:由已知m 、n 是ax 2+bx+c=0的两根,且m<n<0,则cx 2+bx+a=0中易知a<0,c<0,则方程可变为c(x 1)2+b(x1)+a=0,∴cx 2+bx+a=0的两根为m 1、n 1,且m 1>n1. ∴所求解集为{x|n 1<x<m 1}. 链接·拓展在本题的条件下,求不等式ax 2-bx+c<0的解集.解:令f(x)=ax 2+bx+c,则f(-x)=ax 2-bx+c.由已知f(x)的图象为又∵f(-x)与f(x)图象关于y 轴对称, ∴f(-x)<0的解集为{x|x<-n 或x>-m}.【例2】 解关于x 的不等式1-x x <1-a. 解:原不等式等价于1)1(---x a ax <0⇔［ax-(a-1)］(x-1)<0.(*) (1)当a>0时,(*)等价于(x-1)(x-a a 1-)<0, ∵a a 1-=1-a1<1, ∴不等式的解集是a a 1-<x<1. (2)当a=0时,(*)等价于x-1<0,不等式的解是x<1.(3)当a<0时,(*)等价于(x-1)(x-a a 1-)>0, ∵a a 1-=1-a1>1, ∴不等式的解是x<1或x>aa 1-. 综上知,当a<0时,不等式的解集为(-∞,1)∪(a a 1-,+∞); 当a=0时,不等式的解集为(-∞,1);当a>0时,不等式的解集为(aa 1-,1). 【例3】 若不等式2x-1>m(x 2-1)对满足|m|≤2的所有m 都成立,求x 的取值范围.剖析:对于m ∈［-2,2］,不等式2x-1>m(x 2-1)恒成立,把m 视为主元,利用函数的观点来解决. 解:原不等式化为(x 2-1)m-(2x-1)<0.令f(m)=(x 2-1)m-(2x-1)(-2≤m ≤2),则⎪⎩⎪⎨⎧<---=<----=-.0)12()1(2)2(,0)12()1(2)2(22x x f x x f 解得271+-<x<231+. 链接·聚焦1.本题若变式:不等式2x-1>m(x 2-1)对一切-2≤x ≤2都成立,求m 的取值范围.2.本题若把m 分离出来再求m 的范围能行吗?。
2012年高三数学第一轮复习教案(新人教A) 不等式的解法
§5.2 不等式的解法考点核心整合1.本节的重点内容是：一元二次不等式、分式不等式、含绝对值的不等式，对它们的解法必须熟练掌握.解一般的一元二次不等式ax 2+bx+c>0(<0),第一，讨论a 的符号；第二，讨论Δ的符号；第三，讨论对应方程的两根x 1、x 2的大小.解分式不等式，一般要将一边转化为零，采用穿根法可简捷地求得其解集.解含绝对值的不等式，基本思路是去掉绝对值，视其不同的形式，采用的方法有分类讨论去绝对值、两边平方去绝对值、借助性质|x|<a ⇔-a<x<a,|x|>a ⇔x<-a 或x>a 去绝对值.2.了解简单的指数不等式、对数不等式及无理不等式.通过解不等式，体现等价转化、分类讨论、数形结合的思想.考题名师诠释【例1】 已知c ＞0.设命题P ：∞→n lim c n =0. 命题Q ：当x ∈［21,2］时，函数f(x)=x+x 1＞c1恒成立. 如果P 或Q 为真命题，P 且Q 为假命题，求c 的取值范围.分析：由∞→n lim c n =0得，0＜c ＜1.∴P ：0＜c ＜1, 由x ∈［21,2］时，函数f(x)=x+x 1＞c 1恒成立，想到c 1＜f(x)min ,故需求f(x)在［c1,2］上的最小值. 解析：∵∞→n lim c n =0且c ＞0,∴0＜c ＜1,∴P ：0＜c ＜1. x ∈［c 1,2］时，x+x1≥2当且仅当x=1时“=”成立. ∵x ∈［21,2］时，函数f(x)=x+x 1＞c 1恒成立，∴c 1＜2.∴c ＞21. Q ：c ＞21, 如果P 或Q 为真命题，则c ＞0;如果P 且Q 为假命题，则0＜c ≤21或c ≥1. 综上得0＜c ≤21或c ≥1. 评述：解本题关键是熟练掌握求最值的方法：均值不等式或利用函数的单调性，及复合命题的真假性判断.【例2】 解关于x 的不等式2)1(--x x a >1(a ∈R ). 解：当a ≠1时,原不等式 ⇔2)2()1(----x x x a >0⇔2)12)(1(-----x a a x a >0, 由12--a a -2=aa -1得 ①当0<a<1时，解为2<x<12--a a ;②当a>1时，解为x<12--a a 或x>2;③当a<0时，解为12--a a <x<2;④当a=0时，无解；⑤当a=1时，解为x>2.评述：解含参数的不等式时，往往需要对参数进行讨论，应当根据条件正确制定分类标准，确保穷尽所有可能情形，做到不重不漏.【例3】(2005浙江高考)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x 2+2x.(1)求函数g(x)的解析式;(2)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|.解：(1)设函数y=f(x)的图象上任一点Q(x 0,y 0)关于原点的对称点为P(x,y), 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+,02,0200y y x x 即⎩⎨⎧-=-=.,00y y x x∵点Q(x 0,y 0)在函数y=f(x)的图象上,∴-y=x 2-2x ，即y=-x 2+2x.故g(x)=-x 2+2x.(2)由g(x)≥f(x)-|x-1|，可得2x 2-|x-1|≤0.当x ≥1时,2x 2-x+1≤0,此时不等式无解.当x<1时,2x 2+x-1≤0,∴-1≤x ≤21. 因此,原不等式的解集为［-1,21］. 评述：本题主要考查函数图象的对称、中点坐标公式、解不等式等基础知识以及运算和推理能力.【例4】定义在(0，+∞)内的函数f(x),对任意的x,y ∈(0,+∞)都有f(xy)=f(x)+f(y),当且仅当x ＞1时f(x)＞0成立.(1)设x,y ∈(0,+∞),求证：f(xy )=f(y)-f(x); (2)设x 1,x 2∈(0,+∞),f(x 1)＞f(x 2),试比较x 1,x 2的大小；(3)解不等式f(1-x a )＞f(a x -3)(0＜a ＜1).分析：有关抽象函数的不等式其实就是研究抽象函数的单调性，在把抽象函数不等式转化为普通不等式时，不能忘记抽象函数的定义域要求.解析：(1)∵f(x)+f(y)=f(xy),∴f(x y )+f(x)=f(xy ·x)=f(y),∴f(xy )=f(y)-f(x). (2)∵f(x 1)＞f(x 2)⇔f(x 1)-f(x 2)＞0 ⇔f(21x x )＞0⇔21x x ＞1⇔x 1＞x 2, ∴x 1＞x 2.(3)由(2)知，f(1-x a )＞f(a x -3)等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->->->-31,03,01x x x x a a a a ⇔⎪⎩⎪⎨⎧->->-31,03x x x a a a ⇔⎪⎩⎪⎨⎧<-->⇔⎪⎩⎪⎨⎧<+->⇔⎪⎩⎪⎨⎧->->0)5)(2(,30107,3)3(3,322x x x x x x x x x a a a a a a a a a ⇔⎪⎩⎪⎨⎧<<>52,3x x a a ⇔3<a x <5⇔log a 3＞x ＞log a 5. ∴原不等式的解集为(log a 5,log a 3)(0＜a ＜1).评述：本题将函数与不等式两大不同的知识块在网络交汇处融为一体，具有很强的综合性和时代性.高考试题中，对于解不等式要求较高，往往与二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切相关.从近几年的高考试题来看，解不等式的内容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的则是间接考查解不等式(如本例)，其难度系数一般在0.6左右.对不等式的基本性质以及各种类型的不等式的解法要求熟练掌握，对思维能力和运算化简能力有较高要求.。
山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-不等关系与不等式的性质及一元二次不等式含答案解析
第六章不等式第1讲不等关系与不等式的性质及一元二次不等式[考纲解读] 1.不等式性质是进行变形、证明、解不等式的依据，掌握不等式关系与性质及比较大小的常用方法：作差法与作商法．(重点)2．能从实际情景中抽象出一元二次不等式模型，通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程之间的联系，能解一元二次不等式．(重点、难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容，但一般不会单独命题．预测2021年将会考查：利用不等式的性质判断结论的成立性，求参数的取值范围；一元二次不等式的解法，对含参数的二次不等式的分类讨论等．命题时常将不等式与函数的单调性相结合．试题一般以客观题的形式呈现，属中、低档题型.1.两个实数比较大小的依据(1)a－b＞0⇔a□01＞b.(2)a－b＝0⇔a□02＝b.(3)a－b＜0⇔a□03＜b.2．不等式的基本性质(1)对称性：a＞b⇔□01b＜a.(2)传递性：a＞b，b＞c⇒□02a＞c.(3)可加性：a＞b⇒a＋c＞b＋c.(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒□03ac＞bc；a＞b，c＜0⇒□04ac＜bc.(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒□05a＋c＞b＋d.(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒□06ac＞bd.(7)乘方法则：a＞b＞0⇒□07a n＞b n(n∈N，n≥1)．(8)开方法则：a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N，n≥2)．3．必记结论 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b . (2)a <0<b ⇒1a <1b . (3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd .(4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a . (5)若a >b >0，m >0，则b a <b ＋ma ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)；a b >a ＋m b ＋m ； a b <a －mb －m (b －m >0)．4．一元二次函数的三种形式 (1)一般式：□01y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)顶点式：□02y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a ≠0)． (3)两根式：□03y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 5．三个二次之间的关系 判别式 Δ＝b 2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根 有两相异实根x 1，x 2 (x 1<x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集□01(－∞，x 1) ∪(x 2，＋∞)□02⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－b 2a □03Rax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集□04(x1，x2)□05∅□06∅1．概念辨析(1)a＞b⇔ac2＞bc2.()(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx ＋c＝0的两个根是x1和x2.()(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.()(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．小题热身(1)设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于()A．(0,4] B．[0,4)C．[－1,0) D．(－1,0]答案 B解析因为M＝{x|－1<x<4}，N＝{x|0≤x≤5}，所以M∩N＝[0,4)．(2)已知a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中一定成立的是()A．ab>ac B．c(b－a)<0C．cb2<ab2D．ac(a－c)>0答案 A解析因为c<b<a，且ac<0，所以a>0，c<0，b的符号不确定，b－a<0，a －c>0，据此判断A成立，B，D不成立，C不一定成立．(3)设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有()A．M >N B．M≥NC．M<N D．M≤N答案 A解析M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0，故M >N.(4)已知函数f(x)＝ax2＋ax－1，若对任意实数x，恒有f(x)≤0，则实数a的取值范围是________．答案 [－4,0]解析 当a ＝0时，f (x )＝－1≤0成立， 当a ≠0时，若对∀x ∈R ，f (x )≤0， 须有⎩⎨⎧a 2－4×a ×(－1)≤0，a <0，解得－4≤a ＜0.综上知，实数a 的取值范围是[－4,0]．题型 一 不等式性质的应用1．(2020·辽宁省鞍山一中高三上学期期末)已知条件甲：a >0，条件乙：a >b 且1a >1b ，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由a >0不能推出a >b 且1a >1b ，故甲不是乙的充分条件．若a >b 且1a >1b ，即a >b 且b －a ab >0，则ab <0，所以a >0，b <0.所以由a >b 且1a >1b 能推出a >0.故甲是乙的必要条件．所以甲是乙的必要不充分条件．2．已知等比数列{a n }中，a 1>0，q >0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．答案 S 3a 3<S 5a 5解析 当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3<S 5a 5.当q >0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 1(1－q 3)a 1q 2(1－q )－a 1(1－q 5)a 1q 4(1－q )＝q 2(1－q 3)－(1－q 5)q 4(1－q )＝－q －1q 4<0，所以S 3a 3<S 5a 5.综上可知S 3a 3<S 5a 5.3．已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．解 由题意知f (x )＝ax 2＋bx ，则f (－2)＝4a －2b ， 由f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，设存在实数m ，n ，使得4a －2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(m －n )b ， 所以⎩⎨⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎨⎧m ＝1，n ＝3， 所以f (－2)＝4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )． 又3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6， 所以6≤(a ＋b )＋3(a －b )≤10， 即f (－2)的取值范围是[6,10]．1.判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．2.比较两个数(式)大小的两种方法3.求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．如举例说明3.1.若1a<1b<0，给出下列不等式：①1a＋b<1ab；②|a|＋b>0；③a－1a>b－1b；④ln a2>lnb2.其中正确的不等式是()A.①④B．②③C．①③D．②④答案 C解析因为1a<1b<0，所以b<a<0，|b|>|a|，所以|a|＋b<0，ln a2<ln b2，由a>b，－1a>－1b可推出a－1a>b－1b，显然有1a＋b<0<1ab，综上知，①③正确，②④错误.2.若a>0，且a≠7，则()A.77a a<7a a7B.77a a＝7a a7C.77a a>7a a7D.77a a与7a a7的大小不确定答案 C解析显然77a a>0,7a a7>0，因为77a a7a a7＝⎝⎛⎭⎪⎫7a7·⎝⎛⎭⎪⎫a7a＝⎝⎛⎭⎪⎫7a7·⎝⎛⎭⎪⎫7a－a＝⎝⎛⎭⎪⎫7a7－a.当a>7时，0<7a<1,7－a<0，⎝⎛⎭⎪⎫7a7－a>1，当0<a<7时，7a>1,7－a>0，⎝⎛⎭⎪⎫7a7－a>1.综上知77a a>7a a7.3.若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________．答案(－3,3)解析∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β|≤0.∴－3<α－|β|<3.题型二不等式的解法1.(2019·黄冈模拟)关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是()A.(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)C.(1,2) D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)答案 C解析 因为关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，所以a >0，且－ba ＝1，所以关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)<0可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b a (x －2)<0，即(x －1)(x －2)<0，所以不等式的解集为{x |1<x <2}.2.解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解 本题采用分类讨论思想． 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1. ②当a >0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a 或x ≤－1.③当a <0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a ； 当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a <－1，即－2<a <0，解得2a ≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≥2a 或x ≤－1；当－2<a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a <－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1≤x ≤2a .1.解一元二次不等式的四个步骤 一化把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式二判 计算对应方程的判别式三求 求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根四写利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集2.分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解．(1)f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0)； (2)f (x )g (x )≥0(≤0)⇔⎩⎨⎧f (x )·g (x )≥0(≤0)，g (x )≠0. 3.解含参数的一元二次不等式的一般步骤1.(2019·江西省重点中学协作体联考)已知命题p ：A ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x －21－x ≤0，命题q ：B ＝{x |x －a <0}．若命题p 是命题q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A.(2，＋∞) B ．[2，＋∞) C.(－∞，1) D ．(－∞，1]答案 D解析 由x －21－x ≤0，得x －2x －1≥0，∴⎩⎨⎧(x －2)(x －1)≥0，x －1≠0，解得x <1或x ≥2，∴A ＝{x |x <1或x ≥2}．又B ＝{x |x －a <0}＝{x |x <a }，命题p 是命题q 的必要不充分条件，∴B A ，利用数轴(如图)可得a ≤1.2.已知函数f (x )＝ax 2＋bx －a ＋2.(1)若关于x 的不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，求实数a ，b 的值； (2)若b ＝2，a >0，解关于x 的不等式f (x )>0.解 (1)由题意，知x ＝－1，x ＝3是方程ax 2＋bx －a ＋2＝0的两个根， 代入方程有⎩⎨⎧ －b ＋2＝0，8a ＋3b ＋2＝0，∴⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝2.(2)当b ＝2时，f (x )＝ax 2＋2x －a ＋2＝(ax －a ＋2)(x ＋1)，∵a >0， ∴f (x )>0可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a (x ＋1)>0， ①当a －2a ≥－1，即a ≥1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x <－1或x >a －2a ；②当a －2a <－1，即0<a <1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x <a －2a 或x >－1.题型 三 二次不等式中的任意性与存在性角度1 任意性与存在性 1.已知函数f (x )＝x 2－a2x ＋1.(1)若f (x )≥0，在R 上恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若∃x ∈[1,2]，f (x )≥2成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)由题意得f (x )＝x 2－a2x ＋1≥0在R 上恒成立， ∴Δ＝a 24－4≤0，解得－4≤a ≤4，∴实数a 的取值范围为[－4,4]．(2)由题意得∃x ∈[1,2]，x 2－a2x ＋1≥2成立， ∴∃x ∈[1,2]，a 2≤x －1x 成立． 令g (x )＝x －1x ，x ∈[1,2]，则g (x )在区间[1,2]上单调递增， ∴g (x )max ＝g (2)＝32， ∴a 2≤32，解得a ≤3，∴实数a 的取值范围为(－∞，3]. 角度2 给定区间上的任意性问题2.已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0解析 要满足f (x )＝x 2＋mx －1＜0对于任意x ∈[m ，m ＋1]恒成立， 只需⎩⎨⎧ f (m )＜0，f (m ＋1)＜0，即⎩⎨⎧2m 2－1＜0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1＜0， 解得－22＜m ＜0.3.设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．解 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即 m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：解法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0，所以m <67， 所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0， 所以m <6，所以m <0.综上所述，m的取值范围是⎩⎨⎧ m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.解法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可． 所以m的取值范围是⎩⎨⎧ m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.角度3 给定参数范围的恒成立问题4.已知a ∈[－1,1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为( )A.(－∞，2)∪(3，＋∞)B.(－∞，1)∪(2，＋∞)C.(－∞，1)∪(3，＋∞)D.(1,3) 答案 C解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数， 记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，要使f (a )＞0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立， 只需f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组 ⎩⎨⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.故选C.形如f (x )≥0(f (x )≤0)恒成立问题的求解思路(1)x ∈R 的不等式确定参数的范围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解．如举例说明1(1)．(2)x ∈[a ，b ]的不等式确定参数范围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求参数的范围；②数形结合，利用二次函数在端点a，b处的取值特点确定不等式求范围．如举例说明2,3.(3)已知参数m∈[a，b]的不等式确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．如举例说明4.1.若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是________．答案⎝⎛⎭⎪⎫－235，＋∞解析由Δ＝a2＋8>0，知方程x2＋ax－2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x2＋ax－2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)>0，解得a>－235，故a的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－235，＋∞.2.函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(3)当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．解(1)∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，∴实数a的取值范围是[－6,2]．(2)当x∈[－2,2]时，设g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：①如图1，当g(x)的图象恒在x轴上方且满足条件时，有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2.②如图2，g(x)的图象与x轴有交点，但当x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x＝－a2≤－2，g(－2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a2－4(3－a)≥0，－a2≤－2，4－2a＋3－a≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a≥2或a≤－6，a≥4，a≤73，解得a∈∅.③如图3，g(x)的图象与x轴有交点，但当x∈(－∞，2]时，g(x)≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x＝－a2≥2，g(2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a2－4(3－a)≥0，－a2≥2，7＋a≥0，可得⎩⎨⎧a≥2或a≤－6，a≤－4，a≥－7.∴－7≤a≤－6.综上，实数a的取值范围是[－7,2]．(3)令h(a)＝xa＋x2＋3.当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立．只需⎩⎨⎧h(4)≥0，h(6)≥0，即⎩⎨⎧x2＋4x＋3≥0，x2＋6x＋3≥0，解得x≤－3－6或x≥－3＋ 6.∴实数x的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞).组基础关1.(2019·潍坊模拟)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则A∩B ＝()A.[－2，－1] B．[－1,2]C.[－1,1] D．[1,2]答案 A解析 A ＝{x |x 2－2x －3≥0}＝{x |(x －3)(x ＋1)≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥3}，又B ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}.2.若正实数a ，b 满足a >b ，且ln a ·ln b >0，则( ) A.1a >1b B ．a 2<b 2 C.ab ＋1>a ＋b D ．lg a ＋lg b >0答案 C解析 由已知得a >b >1或0<b <a <1，因此必有1a <1b ，a 2>b 2，所以A ，B 错误；又ab >1或0<ab <1，因此lg a ＋lg b ＝lg (ab )>0或lg (ab )<0，所以D 错误；而ab ＋1－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0，即ab ＋1>a ＋b ，所以C 正确.3.若角α，β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0 答案 B解析 ∵－π2<α<π，－π2<β<π，∴－π<－β<π2，∴－3π2<α－β<3π2.又α<β，∴α－β<0，从而－3π2<α－β<0.4.设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A.A ≤B B ．A ≥B C.A <B D ．A >B 答案 B解析 因为a ，b ∈[0，＋∞)，所以A ＝a ＋b >0，B ＝a ＋b >0，所以A 2－B 2＝a ＋b ＋2ab －(a ＋b )＝2ab ≥0，所以A 2≥B 2，所以A ≥B .5.(2020·广东清远一中月考)关于x 的不等式ax －b ＜0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)＞0的解集是( )A.(－∞，－1)∪(3，＋∞)B.(1,3)C.(－1,3)D.(－∞，1)∪(3，＋∞) 答案 C解析 关于x 的不等式ax －b ＜0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax ＜b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b ＜0，∴不等式(ax ＋b )(x －3)＞0可化为(x ＋1)(x －3)＜0，解得－1＜x ＜3，∴所求解集是(－1,3)．故选C.6.设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A.(－3,1)∪(3，＋∞) B ．(－3,1)∪(2，＋∞) C.(－1,1)∪(3，＋∞) D ．(－∞，－3)∪(1,3)答案 A解析 由题意知f (1)＝3，故原不等式可化为⎩⎨⎧x <0，x ＋6>3或⎩⎨⎧x ≥0，x 2－4x ＋6>3，解得－3<x <1或x >3，所以原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)，故选A.7.已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集为(－1,3)，那么不等式f (－2x )<0的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 答案 A解析 由f (x )＝(ax －1)(x ＋b )>0的解集是(－1,3)，则a <0，故有1a ＝－1，－b ＝3，即a ＝－1，b ＝－3，∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3，∴f (－2x )＝－4x 2－4x ＋3，由－4x 2－4x ＋3<0，解得x >12或x <－32，故不等式f (－2x )<0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.8.已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 (－3，＋∞)解析 对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立．等价于x 2＋2x ＋a >0，即a >－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝－(x ＋1)2＋1，则g (x )在[1，＋∞)上单调递减，所以g (x )max ＝g (1)＝－3，所以a >－3.9.若存在x ∈[－2,3]，使不等式2x －x 2≥a 成立，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，1]解析 设f (x )＝2x －x 2，则当x ∈[－2,3]时，f (x )＝－(x －1)2＋1∈[－8,1]，因为存在x ∈[－2,3]，使不等式2x －x 2≥a 成立，所以a ≤f (x )max ，所以a ≤1.10.设不等式mx 2－2x －m ＋1<0对于满足|m |≤2的一切m 的值都成立，则x 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋72，1＋32解析 记f (m )＝mx 2－2x －m ＋1＝(x 2－1)m ＋1－2x (|m |≤2)， 则f (m )<0恒成立等价于 ⎩⎨⎧f (－2)＝－2x 2－2x ＋3<0，f (2)＝2x 2－2x －1<0， 解得－1＋72<x <1＋32.组 能力关1.(2019·天津市新华中学模拟)已知命题p ：1a >14，命题q ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则p 成立是q 成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 求解不等式1a >14可得0<a <4，对于命题q ，当a ＝0时，命题明显成立；当a ≠0时，有⎩⎨⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0， 解得0<a <4，即命题q 为真时0≤a <4，故p 成立是q 成立的充分不必要条件. 2.若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( )A.[－4,1] B ．[－4,3] C.[1,3] D ．[－1,3]答案 B解析 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.3.某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24000元，为了减少耕地损失，决定按耕地价格的t %征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t 万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9000万元，则t 的取值范围是( )A.[1,3] B ．[3,5] C ．[5,7] D ．[7,9] 答案 B解析 由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为⎝ ⎛⎭⎪⎫20－52t 万亩，则税收收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫20－52t ×24000×t %万元，由题意有⎝ ⎛⎭⎪⎫20－52t ×24000×t %≥9000，整理得t 2－8t ＋15≤0，解得3≤t ≤5，∴当耕地占用税税率为3%～5%时，既可减少耕地损失又可保证此项税收一年不少于9000万元．∴t 的取值范围是3≤t ≤5，故选B.4.(2019·江西临川一中高考模拟)已知函数f (x )＝x ln (3－x )，则不等式f (lg x )>0的解集为________．答案 (1,100)解析 因为f (x )＝x ln (3－x )，则⎩⎨⎧ x ≥0，3－x >0，解得0≤x <3，所以定义域为[0,3)，因为f (x )＝x ln (3－x )>0等价于⎩⎨⎧x >0，ln (3－x )>0，解得0<x <2，因为f (lg x )>0，所以⎩⎨⎧0≤lg x <3，0<lg x <2，x >0，解得1<x <100，所以解集为(1,100).5.不等式x 2＋8y 2≥λy (x ＋y )对于任意的x ，y ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________．答案 [－8,4]解析 因为x 2＋8y 2≥λy (x ＋y )对于任意的x ，y ∈R 恒成立，所以x 2＋8y 2－λy (x ＋y )≥0对于任意的x ，y ∈R 恒成立，即x 2－λyx ＋(8－λ)y 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2y 2＋4(λ－8)y 2＝y 2(λ2＋4λ－32)≤0， 所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.。