(完整版)必修4之《辅助角公式》
辅助角公式_教案
辅助角公式
一、教学目标
1、会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有正弦的一个三角比的形式
2、能够正确选取辅助角和使用辅助角公式
二、教学重点与难点 辅助角公式的推导与辅助角的选取
三、教学过程
1、复习•引入 两角和与差的正弦公式
()sin αβ+=_________________________________
()sin αβ-=_________________________________ 口答：利用公式展开sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭
=_____________________ 反之,
αα
化简为只含正弦的三角比的形式，则可以是αα=_____________________________ 尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为)sin(βα+A ()0A >的形式
（1
1cos 2
αα+ （2
）sin αα
2、辅助角公式•推导
对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？
sin cos ))
a b αααααβ+==+
其中辅助角β
由cos sin ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
β（通常πβ20<≤）的终边经过点(,)a b
------------------我们称上述公式为辅助角公式，其中角β为辅助角。
3、例题•反馈
例１、试将以下各式化为)sin(βα+A ()0A >的形式.
（11cos 2αα- （2）ααcos sin +
（3αα （4）ααcos 4sin 3-
例2、试将以下各式化为)sin(βα+A （),[,0ππβ-∈>A ）的形式.
必修之《辅助角公式》
高一数学期末复习————必修4之《辅助角公式》
一．知识点回顾
对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx+bcosx =
++++a b x a a b
x b a b
222
2
2
2
(sin cos )·
·
。记
a a b
2
2
+=cos
θ，
b a b 22
+=sin
θ，则cos cos sin ))y x x x θθθ=+=+
由此我们得到结论：asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ，（*
cos ,θ=
sin θ=来确定。通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问
题，最终化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式。 二．训练
1.化下列代数式为一个角的三角函数 （1
）1sin cos 22
αα+； （2
cos αα+；
（3）sin cos αα- （4
）sin()cos()6363
ππ
αα-+-．
（5）5sin 12cos αα+ （6）sin cos a x b x +
2．函数
y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3
－x －cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6
＋x (x ∈R)的最小值等于
( )
A ．－3
B ．－2
C ．－1
D ．－ 5
3.若函数()(1)cos f x x x =，02
x π
≤<，则()f x 的最大值为
( )
A ．1
B ．2
C 1
D 2
4.（2009安徽卷理）已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63k k k Z ππππ++∈
辅助角公式例题及解析十道
辅助角公式例题及解析十道
辅助角公式是解决三角函数问题的一种重要工具，它可以将复杂的三角函数表达式化简为更易于处理的形式。以下是十道辅助角公式的例题及解析：
1. 例题：求函数y = 2sin(x + π/3) + cos(x - π/6) 的值域。
解析：利用辅助角公式将原函数化简为y = √3sinx + cosx + 1，再进一步
化简为y = 2sin(x + π/6) + 1。由于正弦函数的值域为 [-1, 1]，因此原函
数的值域为 [-1, 3]。
2. 例题：求函数 y = sin(2x - π/3) + cos(2x - π/6) 的单调递增区间。
解析：利用辅助角公式将原函数化简为y = √3sin(2x - π/6)，再利用正弦
函数的性质，求得单调递增区间为[kπ - π/6, kπ + π/3]，其中 k 是整数。3. 例题：求函数 y = sin(x) + cos(x) 的最大值和最小值。
解析：利用辅助角公式将原函数化简为y = √2sin(x + π/4)，正弦函数的最大值为 1，最小值为 -1，因此原函数的最大值为√2，最小值为 -√2。
4. 例题：已知sinθ + sin(θ + π/3) = 1，求cos(θ + π/6) 的值。
解析：利用辅助角公式和已知条件，将原问题转化为求sin(2θ + π/6) 的值，再利用三角恒等式化简求解。
5. 例题：已知sinαcosβ = 1/2，求cosαsinβ 的取值范围。
解析：利用辅助角公式将原问题转化为求sin(α + β) 的取值范围，再利用三角恒等式和已知条件求解。
(完整版)必修4之《辅助角公式》
高一数学期末复习————必修4之《辅助角公式》
一．知识点回顾
对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx+bcosx =++++a b x a
a b x b a b 222222(sin cos )··。记a a b 22+=cos θ，b
a b 22+=sin
θ，则cos cos sin ))y x x x θθθ+=+
由此我们得到结论：asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ，（*
cos ,θ=
sin θ=来确定。通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问
题，最终化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式。
二．训练
1.化下列代数式为一个角的三角函数
（1
）
1sin 2αα+； （2
cos αα+；
（3）sin cos αα- （4
）
sin()cos()6363
ππαα-+-．
（5）5sin 12cos αα+ （6）sin cos a x b x +
2．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6＋x (x ∈R)的最小值等于 ( )
A ．－3
B ．－2
C ．－1
D ．－ 5
3.若函数()(1)cos f x x x =，02x π≤<
，则()f x 的最大值为 ( )
A ．1
B ．2
C 1
D 2
4.（2009安徽卷理）已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2
y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212
辅助角公式(高一必修四新授课)
两角和与差的正弦、余弦、正切公式的化归
-辅助角公式
教学目标：
知识与技能：熟练利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式化归以及辅助角公式的应用。
过程与方法：讲练结合法
情感、态度及价值观：会用联系变化的观点看待事物，增强解决问题的能力。
教学重点：熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式和辅助角公式的应用。
教学难点：在应用辅助角公式进行化归求值的过程中，涉及两角和与差的正弦、余弦、正切公式的使用。
教学过程：
一、讲解新知：
课本6、化简
解：原式
解：原式
解：原式
知识点讲解：
辅助角公式：
有原式
或原式
其中，叫辅助角。或
二、当堂训练：
课本6、化简
课本13、化简
答案：课本6、化简原式
课本13、化简原式原式
原式原式
三、课堂小结
四、课后作业
三角函数的叠加之辅助角公式【公开课教学PPT课件】
（2）请问当α取何值时，矩形CDEF的面积S最大？并求出这最大 面积
小结提升
一次数学的探究之旅
声波的合成
数学化
三角函数的叠加
推导出
三角函数应用பைடு நூலகம்
辅助角公式
形 特殊
数 信息技术 一般 数学思考
作业布置
作业：课本P137页A组11 题，B组第12题
计算：
（1）sin(x
4
)
sin
x
cos
4
cos
x
sin
4
2 sin x 2
2 cos x 2
（2）sin(x )
3
（3）sin(x )
6
（4）2 s in( x
3
)
sin x
sin x
2sin
cos
cos3
cos x sin
cosx sin3
经过点P，设OP= a2 b2,由三角函数的定义知
sin
b
a2 b2
cos
a
a2 b2
所以 a sin x b cos x
a2 b（2
专题03 辅助角公式 高考数学多题一解篇(文理通用)(解析版)
高考数学二轮复习微专题（文理通用）
多题一解之辅助角公式篇
【知识储备】
新课标人教A 版必修四第三章习题3.2 B 组 第6题： （1）求函数3sin 4cos y x x =+的最大值与最小值；
（2）你能用a,b 表示函数sin cos y a x b x =+的最大值和最小值吗？ 解析：（2）a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2（
a a 2＋
b 2sin α＋b
a 2＋
b 2
cos α)， 因为22
=1+，故令cos φ＝
a a 2＋
b 2，sin φ＝b
a 2＋
b 2 则a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2（sin x cos φ＋cos x sin φ)= a 2＋b 2（sin （α+φ)，
（或令sin θ＝
a a 2＋
b 2，cos θ＝b
a 2＋b
2
，则a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2cos(α－θ)。
温馨提示：1、a sin α＋b cos α中的αϕ角所
在的象限由a,b 的符号确定，ϕ的值由tan b
a
ϕ=
确定，特别是当=1，3b a ±±±ϕ特殊角，
此时取，，4
3
6
π
π
π
±
±
±
。
2、对于形如()sin cos f x a x b x =+的函数，在研究其最值、周期、单调、对称等性质时，都需要化为一个角的三角函数，转化的手段是利用三角函数的和、差、倍角、半角公式结合辅助角公式，然后再利用三角函数的图象及性质去研究()f x 的性质。
【走进高考】
1、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以坐
辅助角公式
公式在必修4的教材中并没有出现专门的一节进行讲解，是因为公式的本质其实就是两角和的正弦公式的逆应用。
在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化a sin θ+b cos θ为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法,总结出公式
22sin cos sin()a b a b θθθφ+=++或22sin cos cos()a b a b θθθφ+=+-
,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.
教师引导：
P(a,b)总有一个角φ的终边经过点P ，设
OP=r=22
a b +
由三角函数定义可知： 辅助角公式•推导
对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？ 其中辅助角φ由
2222
cos sin a a b b a b φφ=+=
+ 确定，
即辅助角φ（通常02φπ≤≤）的终边经过点P (,)a b
------------------我们称
上述公式为辅助角公式，其中角φ为辅助角。 其中φ
的大小可以由sin φ
、cos φ
的符
P
号确定φ的象限,再由tanφ的值求出.或
和P(a,b)所在的象限来确定. 由tanφ=b
a
教师指导题目4
将下列各式化为一个角的正弦形式
教师总结，批阅。
学案
一、知识回顾：
两角和与差的正余弦公式：
二、新课探究：
1、利用和差角公式计算下列各式的值：
练习：
2、求证：cos2sin()
6
π
ααα
=+
3
、将sin cos
a x
b x
+化为一个角的正弦形式。
必修四第三章辅助角公式
a2 b2
a2 b2
(其中 tan = b ) 一般地，0
a
2
说明：
利用辅助角公式可以将形如 asin x bcosx 的
式子 ，转化为一个角的一种三角函数形式。便于后面 求三角函数的最小正周期、最大（小）值、单调区间 等。
课堂练习： 化简：（1） 2sin 2 cos （2） 2sinx - 6 cos x
4
试一试：
将下面式子化为只含正弦的形式：
(1) 3 sin 1 cos
2
2
解：原式
sin
cos
cos
sin
6
6
sin
6
试一试：
将下面式子化为只含正弦的形式：
(2)sin 3 cos
解：原式 2(1 sin 3 cos )
2
2
（3）sin 2x cos2x
延伸拓展：
化简： 2 3 sin x cos x 2 cos2 x 1
解：原式 3 sin 2x cos 2x
（ 2 3 sin 2x 1 cos 2x）
2
2
（ 2 sin2x cos cos2x sin ）
6
6
2sin 2x
便于后面求三角函数的最小正周期最大小值单调区间cossin一般地课堂练习
高中数学全套讲义 必修4 辅助角公式与图像变换 拔高学生版
目录
辅助角公式与图像变换 (2)
模块一：辅助角公式 (2)
考点1：辅助角公式 (2)
模块二：图像变换 (3)
考点2：图像变换 (4)
课后作业： (6)
辅助角公式与图像变换
模块一：辅助角公式
辅助角公式：
() sin cos y a b αααϕ=+=+，
其中tan b
a
ϕ=，ϕ所在的象限由a b ，的符号确定． 考点1：辅助角公式
例1.（1）函数πcos cos 3y x x ⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭的最小值和最小正周期分别是( )．
A ．2π
B ．32π-，
C ．π
D ．3π-，
（2）函数2()sin cos f x x x x =在区间ππ42⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上的最大值是( )
A ．1
B ．3
2
D ．1
例2.（2016•山东）设2())sin (sin cos )f x x x x x π=---． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()6
g π
的值．
例3.（2010•山东）已知函数211()sin 2sin cos cos sin()(0)222
f x x x π
ϕϕϕϕπ=+-+<<，其图
象过点(6π，1
)2
．
（Ⅰ）求ϕ的值；
（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的
1
2
，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在[0，]4
π
上的最大值和最小值．
例4.（2008•湖北）已知函数2()sin cos cos 2222
高中数学辅助角公式
高中数学辅助角公式
辅助角公式是李善兰先生提出的一种高等三角函数公式，使用代数式表达为asinx+bcosx=√(a²+b²)sin[x+arctan(b/a)]（a>0）
高中数学中的常见公式：
1.对数公式
对数公式是数学中的一种常见公式，如果a^x=N(a>0,且a≠1)，则x叫做以a为底N的对数,记做x=log(a)(N)|
2.面积公式
面积公式，其中包括长方形面积公式、正方形面积公式、扇形面积公式，圆形面积公式，弓形面积公式，菱形面积公式，三角形面积公式
3.体积公式
体积公式是用于计算体积的公式，即计算各种几何体（比如：圆柱、棱柱、锥体、台体、球体、椭球体等）体积的数学算式。
辅助角公式
π
π
化简：(1) sin
－ 3cos
；
12
12
(2) cos 15°＋sin 15°；
(3) 3 15sin x＋3 5cos x.
【解析】
＝2sin
1
(1)方法一：原式＝2 sin
2
π
π
π
π
6 sin 12－cos 6 cos 12
π π
＝－2cos ＋ ＝－2cos
3. 若函数 () = 3sin2 + 3sin2 + cos2 在 [−, ] 上为增函数，则实数
的取值范围为( B ).
A.
(0, ]
3
B.
(0, ]
6
C.
[ , ]
6 3
D.
[ , ]
6 2
解析 f() = 3sin2 + 3sin2 + cos2 = 3sin2 + 2sin2 + 1
sin 20°＋4sin 20°cos 20°
解析 原式＝
＋4sin 20°＝
cos 20°
cos 20°
sin 20°＋2sin 40° sin（30°－10°）＋2sin（30°＋10°）
＝
＝
cos 20°
辅助角公式》专题(更新版)
辅助角公式》专题(更新版)
XXX高一数学组
辅助角公式》专题
2017年（日期未知）
班级姓名
XXX从磨砺出，梅花香自苦寒来。我们知道sin(π/6+x)，那么sin(π/6)cosx+cos(π/6)sinx=13(cosx-sinx)(cosx-
3sinx)/(2sinx+cosxsin(π/12)-3cos(π/12))，这就是辅助角公式asinx+bcosx=a^2+b^2sin(x+φ)。接下来，我们来看如何将asinx+bcosx化为Asin(ωx+φ)的形式。
问题请写出把asinx+bcosx化成Asin(ωx+φ)形式的过程。
asinx+bcosx=a+b(sin x+cos x)/(a^2+b^2)
a^2+b^2(sin x+cos x)/(a(a^2+b^2)+b(a^2+b^2))
a^2+b^2(sin x+cos
x)/(a^2+b^2)^0.5(a/(a^2+b^2)^0.5+b/(a^2+b^2)^0.5)
a^2+b^2(sin x+cos x)/(a^2+b^2)^0.5(sin φ+cos φ)
a^2+b^2sin(x+φ)，其中sinφ=b/(a^2+b^2)，
cosφ=a/(a^2+b^2)。
辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用。接下来，我们来试一试将下列各式化成Asin(ωx+φ)的形式，其中A>0，ω>0，|φ|<π。
1)sinx+cosx
2^0.5/2)sin(x+π/4)+ (2^0.5/2)cos(x+π/4)
A sin(x+φ)，其中A=2^0.5/2，ω=1，φ=π/4.
三角函数的叠加之辅助角公式【公开课教学PPT课件】
参阅原始资料
1.2018年部级优课 阅读材料:三角函数叠加
授课教师：陕西师范大学附属中学 马翠
2.2016-2017年部级优课 阅读材料：三角函数叠加
授课教师：江西省赣州市于都第二中学 钟文华
北师大版高中必修四第三章:三角恒等变形之信息技术应用和阅读材料
高中数学信息技术应用课堂展示
• 情景引入 • 数学实验 • 温故知新 • 探求新知 • 追根溯源 • 学以致用 • 综合应用 • 拓展提高 • 小结提升 • 作业布置 • 参阅资料
目录
情景引入
听音乐 看波形 探原理
声波的合成 → 三角函数的叠加
2
2
(3) 3 sin 2x 1 cos 2x ?
2
2
(4) 3 sin x cos x ?
探求新知
思考：一般地， asinx+bcosx是 否能化成一个 三角函数形式？
追根溯源 （此部分学生小组讨论，教师总结归纳）
在平面直角坐标系中,以a为横坐标,b为纵坐标描
一点P(a，b)如图所示,则总有一个角 ,它的终边
数学实验 （此部分几何画板动画）演示
不同周期三角函数的叠加
同周期的三角函数的叠加
三角函数的叠加之辅助角公式
三角函数的叠加之辅助角公式
江西宜春实验中学 汪普先
温故而知新 （此部分解学生口答解题过程）
高中数学必修四重要公式归纳
高中数学必修四重要公式归纳
学习数学重再学习数学思想方法,它是数学知识在更高层次上的抽象和概括,它蕴含于数学知识发生、发展和应用的过程中,也是历年来高考数学命题的特点之一。下面是小编为大家整理的关于高中数学必修四重要公式，希望对您有所帮助!
高中数学必修四诱导公式
公式一：
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin(2kπ+α)=sinα
cos(2kπ+α)=cosα
tan(2kπ+α)=tanα
cot(2kπ+α)=cotα
公式二：
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-cotα
co t(π/2+α)=-tanα
高中数学必修4辅助角公式
⾼中数学必修4辅助⾓公式
学习⾼中数学必修4要学会对辅助⾓的公式进⾏归纳整理，⾼中数学必修4辅助⾓公式有哪些呢？下⾯是店铺为⼤家整理的⾼中数学必修4辅助⾓公式，希望对⼤家有所帮助!
⾼中数学必修4辅助⾓公式1.两⾓和差公式 (写的都要记)
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA ?
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
⾼中数学必修4辅助⾓公式2.⽤以上公式可推出下列⼆倍⾓公式
tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]
cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2
(上⾯这个余弦的很重要)
sin2A=2sinA*cosA
⾼中数学必修4辅助⾓公式3.半⾓的只需记住这个
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)
⾼中数学必修4辅助⾓公式4.⽤⼆倍⾓中的余弦可推出降幂公式
(sinA)^2=(1-cos2A)/2
(cosA)^2=(1+cos2A)/2
⾼中数学必修4辅助⾓公式5.⽤以上降幂公式可推出以下常⽤的化简公式
1-cosA=sin^(A/2)*2
1-sinA=cos^(A/2)*2
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•知识点回顾
对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下:
----------- sin 来确定。通常称式子(*)为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数冋
题，最终化为y=Asin( x )+k 的形式。
二.训练
1.化下列代数式为一个角的三角函数
(4) -sin
.3 cos ；
(2) •
，3 sin cos
2
2
高一数学期末复习
必修 4之《辅助角公式》
y=as in x+bcosx
押a 2 b 2
(sin x •
cosx •
a
------------- =cos .
a 2
b 2
0, 0,则y
,a 2 b 2(sin xcos cosxs in )Va b 2 sin(x )
由此我们得到结论: 2 2
asinx+bcosx= . a b sin(x
),(*)其中0由
cos
(3) sin cos
sin(-
) ^6 cos(- 6
3
6 3
(5) 5sin 12cos
(6) asinx bcosx
-------------=si n a
3
2
2
的两个相邻交点的距离等于 ，则f (x)的单调递增区间是
( ) A . [k
,k A ，k Z B. [k
11
],k
Z
12
12 12
12
C . [k
,
k
],k Z D.
[k
,k
2
],k Z
3 6
6
3
5. 如 果函
数 y=s in 2x+acos2x 的 图象关 于直
线x=- —对称，那么 a=
()
(A )
2 (B ) ,2
(C ) 1 (D ) -1
n
6.函数 y = cos x + cos x +三 的最大值是 ___________
3
7.已知向量 a (cos(x ),1), b
3
c (sin(x
),0),求函数 h(x)=a 2的最大值及相应的x 的值.
2 . 函 数
y =
n
2s in
3 x — cos
( )
A.— 3 B .—2
C
3.若函数 f(x)
(1
、_3ta nx)cosx , 0 x
( )
A. 1
B
.2
C
4.( 2009安徽卷理)已知函数f(x)
3sin x cos x(
n
~6 + x (x € R)的最小值等于
1
D
5
-，则f(x)的最大值为
2
.,3 1 D . ,3 2
0), y f(x)的图像与直线y 2
(cos(x -),-),
(本题中可以选用的公式有cos2
g^sinacos ^sin2 )
3
22