(完整版)必修4之《辅助角公式》
三角辅助角公式
三角辅助角公式
asinx+bcosx=√(a+b)sin[x+arctan(b/a)](a>0)。
1.辅助角公式是一种高等三角函数公式，其主要作用是将多个三角函数的和化成单个函数，以此来求解有关最值问题。
该公式已被写入中学课本，表达式为asinx+bcosx=√(a+b)sin[x+arctan(b/a)](a>0)。
在使用该公式时，无论用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx，分母的位置永远是用来表示函数名称的系数。
2.三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。
三角函数将直角三角形的内角和它的两个边的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。
(完整版)必修4之《辅助角公式》
高一数学期末复习————必修4之《辅助角公式》一．知识点回顾对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx+bcosx =++++a b x aa b x b a b 222222(sin cos )··。
记a a b 22+=cos θ，ba b 22+=sinθ，则cos cos sin ))y x x x θθθ+=+由此我们得到结论：asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ，（*cos ,θ=sin θ=来确定。
通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式。
二．训练1.化下列代数式为一个角的三角函数（1）1sin 2αα+； （2cos αα+；（3）sin cos αα- （4）sin()cos()6363ππαα-+-．（5）5sin 12cos αα+ （6）sin cos a x b x +2．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x (x ∈R)的最小值等于 ( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．－ 53.若函数()(1)cos f x x x =，02x π≤<，则()f x 的最大值为 ( )A ．1B ．2C 1D 24.（2009安徽卷理）已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63k k k Z ππππ++∈5. 如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-π8对称，那么a= ( )（A ）2 （B ）-2 （C ）1 （D ）-1 6．函数y ＝cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最大值是________．7.已知向量(cos(),1)3a x π=+r ,1(cos(),)32b x π=+-r , (sin(),0)3c x π=+r ,求函数()h x =2a b b c ⋅-⋅+r r r r 的最大值及相应的x 的值. （本题中可以选用的公式有21cos 21cos ,sin cos sin 222a αααα+==）。
常用的辅助角公式6个
常用的辅助角公式6个辅助角公式是在三角函数应用中经常用到的关键公式，它们能够帮助我们推导和证明各种三角函数的性质和恒等式。
下面将介绍6个常用的辅助角公式。
1.和差公式：三角函数的和差公式是我们在解三角函数方程和证明三角函数恒等式时经常使用的公式。
对于三角函数的和差公式，我们有以下公式：sin(A±B) = sinAcosB±cosAsinBcos(A±B) = cosAcosB∓sinAsinBtan(A±B) = (tanA±tanB)/(1∓tanAtanB)cot(A±B) = (cotAcotB∓1)/(cotA±cotB)2.二倍角公式：二倍角公式是辅助角的基本公式之一，它们可以将三角函数的一个角度表示为另一个角度的函数。
对于三角函数的二倍角公式，我们有以下公式：sin2A = 2sinAcosAcos2A = cos^2A - sin^2A = 2cos^2A - 1 = 1 - 2sin^2Atan2A = (2tanA)/(1 - tan^2A)3.半角公式：半角公式可以将一个三角函数的两倍角表达式转化为它的半角的函数。
对于三角函数的半角公式，我们有以下公式：sin(A/2) = ±√[(1 - cosA)/2]cos(A/2) = ±√[(1 + cosA)/2]tan(A/2) = ±√[(1 - cosA)/(1 + cosA)]4.1/2倍角公式：1/2倍角公式也被称为倍角的1/2倍，它可以把一个三角函数的1/2倍角表达式转化为它的原函数。
对于三角函数的1/2倍角公式，我们有以下公式：sin(A/2) = ± √[(1 - cosA)/2]cos(A/2) = ± √[(1 + cosA)/2]tan(A/2) = ± √[(1 - cosA)/(1 + cosA)]5.和积公式：和积公式是辅助角的常用公式之一，它可以将两个三角函数的和表示为一个三角函数的积。
精品辅助角公式及应用
在学习过程中，我发现自己在某些方面还存在不足，如对某些复杂问题的理解不够深入、解题速度不够 快等。为了改进这些不足，我将继续加强学习，多做练习题，提高自己的解题能力和思维水平。
对未来学习的建议
01
深入学习相关数学知识
为了更好地理解和应用辅助角公式，建议同学们深入学习相关的数学知
识，如三角函数的基本性质、三角恒等式等。
辅助角公式推导过程
推导思路
通过三角函数的基本性质和变换公式，逐步推导出辅助角公 式。
具体步骤
首先，根据三角函数的基本性质，将原函数表达式进行化简 ；然后，通过引入辅助角，将化简后的表达式进一步转化为 简单的三角函数形式；最后，根据已知条件求解辅助角，从 而得到原函数的解。
02
辅助角公式在三角函数中的应用
03
辅助角公式在解三角形中的应用
利用辅助角求三角形内角
辅助角公式
通过引入辅助角，将三角形的内 角和公式转化为与辅助角相关的 表达式，从而求解三角形内角。
应用场景
在已知三角形两边及夹角或已知三 角形三边长度的情况下，可以利用 辅助角公式求解三角形的内角。
求解步骤
首先根据已知条件选择合适的辅助 角，然后利用三角函数性质及三角 形内角和定理，构建方程并求解。
THANKS
感谢观看
求解三角函数值
已知三角函数值求角度
利用辅助角公式，可以将复杂的三角 函数表达式转化为简单的形式，从而 方便求解对应角度。
已知角度求三角函数值
通过辅助角公式，可以将角度转化为 与特殊角相关的表达式，进而求出对 应的三角函数值。
判断三角函数单调性
判断单调增区间
利用辅助角公式，可以确定三角函数在哪些区间内是单调增加的，从而方便进行 相关的数学分析和计算。
高中数学必修4辅助角公式
高中数学必修4辅助角公式
学习高中数学必修4要学会对辅助角的公式进行归纳整理，高中数学必修4辅助角公式有哪些呢？下面是店铺为大家整理的高中数学必修4辅助角公式，希望对大家有所帮助!
高中数学必修4辅助角公式1.两角和差公式 (写的都要记) sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA ?
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
高中数学必修4辅助角公式2.用以上公式可推出下列二倍角公式tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]
cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2
(上面这个余弦的很重要)
sin2A=2sinA*cosA
高中数学必修4辅助角公式3.半角的只需记住这个
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)
高中数学必修4辅助角公式4.用二倍角中的余弦可推出降幂公式(sinA)^2=(1-cos2A)/2
(cosA)^2=(1+cos2A)/2
高中数学必修4辅助角公式5.用以上降幂公式可推出以下常用的化简公式
1-cosA=sin^(A/2)*2
1-sinA=cos^(A/2)*2。
辅助角公式
推导对于fx=asinx+bcosxa>0型函数;我们可以如此变形;设点a;b为某一角φ-π/2<φ<π/2终边上的点;则;因此就是所求辅助角公式..又因为;且-π/2<φ<π/2;所以;于是上述公式还可以写成该公式也可以用余弦来表示针对b>0的情况;设点b;a为某一角θ-π/2<θ<π/2终边上的点;则;因此同理;;上式化成若正弦和余弦的系数都是负数;不妨写成fx=-asinx-bcosx;则再根据得记忆很多人在利用辅助角公式时;经常忘记反正切到底是b/a还是a/b;导致做题出错..其实有一个很方便的记忆技巧;就是不管用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx;的位置永远是你用来表示函数名称的系数..例如用正弦来表示asinx+bcosx;则反正切就是b/a即正弦的系数a 在分母..如果用余弦来表示;那反正切就要变成a/b余弦的系数b在分母..疑问为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为-π/2;π/2 其实是在分类讨论a>0或b>0的时候;已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了;此时辅助角的范围是2kπ-π/2;2kπ+π/2k是整数..而根据三角函数的周期性可知加上2kπ后函数值不变;况且在-π/2;π/2内辅助角可以利用反正切表示;使得公式更加简洁明了..提出者;原名李心兰;字竟芳;号秋纫;别号壬叔..出身于读书世家;其先祖可上溯至南宋末年汴梁今人李伯翼..生于1811年 1月22日;逝世于1882年12月9日;人;是中国近代着名的数学家、天文学家、力学家和;创立了二次的幂级数展开式..1就是现在的他研究各种;和对数函数的幂级数展开式;这是李善兰也是19 世纪中国数学界最重大的成就..1在19世纪把西方近代知识翻译为中文的传播工作中﹐李善兰作出了重大贡献..他的译书也为中国近代物理学的发展起了启蒙作用..同治七年;李善兰到北京担任同文馆天文﹑算学部长﹐执教达13年之久﹐为造就中国近代第一代科学人才作出了贡献.. 李善兰为近代科学在中国的传播和发展作出了开创性的贡献..继之后;李善兰成为清代数学史上的又一杰出代表..他一生翻译西方科技书籍甚多;将近代科学最主要的几门知识从天文学到植物细胞学的最新成果介绍传入中国;对促进近代科学的发展作出卓越贡献..1公式应用例1求sinθ/2cosθ+√5的最大值解：设sinθ/2cosθ+√5=k 则sinθ-2kcosθ=√5k∴√1+-2k2sinθ+α=√5k平方得k2=sin2θ+α/5-4sin2θ+α令t=sin2θ+α t∈0;1则k2=t/5-4t=1/5/t-4当t=1时有kmax=1辅助角公式可以解决一些sin与cos角之间的转化例2化简5sina-12cosa解：5sina-12cosa=135/13sina-12/13cosa=13cosbsina-sinbcosa=13sina-b其中;cosb=5/13;sinb=12/13例3π/6≤a≤π/4 ;求sin2a+2sinacosa+3cos2a的最小值解：令fa=sin2a+2sinacosa+3cos2a=1+sin2a+2cos2a=1+sin2a+1+cos2a公式=2+sin2a+cos2a=2+√2sin2a+π/4辅助角公式因为7π/12≤2a+π/4≤3π/4所以famin=f3π/4=2+√2sin3π/4=3。
必修四第三章辅助角公式
作业：
必修四教材 第137页 第13题 (1) (2) (3) (4)
a2 b2
a2 b2
(其中 tan = b ) 一般地，0
a
2
说明：
利用辅助角公式可以将形如 asin x bcosx 的
式子 ，转化为一个角的一种三角函数形式。便于后面 求三角函数的最小正周期、最大（小）值、单调区间 等。
课堂练习： 化简：（1） 2sin 2 cos （2） 2sinx - 6 cos x
（ 2 sin cos cos sin ）
3
3
2sin
3
思考：2 b cos x 如何化简呢
辅助角公式
asin x bcos x a2 b2 sin(x )
其中 cos a ,sin b .
探究：
1.公式的逆用
sin cos
12 4
cos sin
12 4
sin(
12
)
4
sin
3
3 2
sincos cos sin
4
4
sin( )
4
2.将下面式子化为只含正弦的形式：
2 sin 2 cos
2
2
sin( )
（3）sin 2x cos2x
延伸拓展：
化简： 2 3 sin x cos x 2 cos2 x 1
解：原式 3 sin 2x cos 2x
（ 2 3 sin 2x 1 cos 2x）
2
2
（ 2 sin2x cos cos2x sin ）
6
辅助角公式及应用课件
复数方法是一种有效的推导辅助角公式的方法。通过将三角函数表示为复数形式，我们 可以利用复数的基本运算规则和三角函数的性质来推导辅助角公式。这种方法能够直观 地揭示辅助角公式的内在逻辑和数学结构，有助于深入理解辅助角公式的应用和推广。
CHAPTER 03
辅助角公式的应用
在三角函数化简中的应用
详细描述
三角函数的和差化积公式是推导辅助角公式的关键工具之一。通过利用这些公式，我们可以将两个或多个三角函 数的和或差转化为单一的三角函数形式，从而简化问题。例如，我们可以将正弦函数和余弦函数的和或差转化为 正切函数或余切函数，进一步推导出辅助角公式。
利用三角函数的倍角公式推导
总结词
通过三角函数的倍角公式，我们可以将一个角的三角函数值转化为两个角之和或差的三角函数值，从 而推导出辅助角公式。
辅助角公式及应用课件
CONTENTS 目录
• 辅助角公式简介 • 辅助角公式的推导 • 辅助角公式的应用 • 辅助角公式的扩展 • 辅助角公式的注意事项
CHAPTER 01
辅助角公式简介
辅助角公式的定义
01
辅助角公式是三角函数中用于将 一个复杂的三角函数式转化为简 单三角函数式的一组公式。
02
误差大小
误差的大小取决于角度、参数的选择 以及使用的近似方法。
THANKS
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辅助角公式的局限性
近似性
辅助角公式通常基于近似 计算，因此结果的精度可 能受到限制。
适用性
辅助角公式可能不适用于 某些特定问题或复杂情况 。
计算复杂性
对于一些复杂问题，辅助 角公式的计算可能较为繁 琐。
辅助角公式的误差分析
误差来源
误差控制
必修4辅助角公式
02 辅助角公式的推导过程
利用三角函数的和差化积公式推导
总结词
通过三角函数的和差化积公式，我们可以将复杂的三角函数式转化为单一的三角函数形式，从而简化计算。
详细描述
利用三角函数的和差化积公式，我们可以将两个或多个三角函数的和差形式转化为单一的三角函数形式。例如， 利用正弦和差化积公式，我们可以将表达式$sin(x+alpha)-sin(x)$转化为 $2cos(x+frac{alpha}{2})sin(frac{alpha}{2})$，从而简化计算。
算精度来减小。
近似误差
由于辅助角公式是利用近似值进 行计算的，因此存在近似误差。 这种误差的大小取决于公式的近
似程度和角度的范围。
范围限制误差
由于辅助角公式适用于特定范围 内的角度，因此当角度超出这个 范围时，公式可能不准确，导致
误差。
辅助角公式的适用范围与局限性
适用范围
辅助角公式适用于解决一些特定类型 的三角函数问题，如求三角函数的值、 化简三角函数表达式等。
利用三角函数的倍角公式推导
总结词
通过三角函数的倍角公式，我们可以将一个角的三角函数转化为两个角相等的三 角函数形式，从而简化计算。
详细描述
利用三角函数的倍角公式，我们可以将一个角的三角函数转化为两个角相等的三角 函数形式。例如，利用正弦的倍角公式，我们可以将表达式$sin(2x)$转化为 $2sin(x)cos(x)$，从而简化计算。
03 辅助角公式的应用实例
三角函数图像的变换
辅助角公式在三角函数图像变换中的应用，可以将正弦、余 弦、正切函数等三角函数图像进行平移、伸缩、翻转等变换 ，从而得到新的三角函数图像。
例如，利用辅助角公式可以将正弦函数图像向右平移，得到 余弦函数图像；也可以将正弦函数图像进行伸缩变换，得到 周期不同的三角函数图像。
常用辅助角公式6个
常用辅助角公式6个辅助角公式在数学的三角函数学习中可是相当重要的利器哦！咱们一起来瞧瞧常用的 6 个辅助角公式。
先来说说辅助角公式到底是啥。
其实啊，辅助角公式就是把形如$a\sin x + b\cos x$ 的式子，通过一定的变形，转化成一个更简洁的形式。
这就像是给一团乱麻找到了线头，一下子就清晰明了啦。
第一个常用的辅助角公式是：$\sqrt{a^2 + b^2}\sin(x + \varphi)$ ，其中 $\tan\varphi = \frac{b}{a}$ 。
这个公式用起来就像是给三角函数穿上了一件合身的衣服，让它们的样子变得更整齐。
比如说，有这样一道题：化简 $2\sin x + 2\sqrt{3}\cos x$ 。
这时候辅助角公式就派上用场啦！咱们先计算 $\sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} =\sqrt{4 + 12} = 4$ ，然后 $\tan\varphi = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ ，所以 $\varphi = \frac{\pi}{3}$ ，最后就可以化简为 $4\sin(x +\frac{\pi}{3})$ 。
是不是感觉一下子就简单多啦？还有一次，我在给学生讲这部分内容的时候，有个小家伙怎么都理解不了为什么要这样变形。
我就跟他打了个比方，我说这就像是把一堆七零八落的积木，通过一定的方法拼成一个漂亮的城堡。
这小家伙眼睛一下子亮了，后来做题的时候还做得挺不错呢！第二个辅助角公式是：$\sqrt{a^2 + b^2}\cos(x - \varphi)$ ，这里的$\tan\varphi = \frac{a}{b}$ 。
第三个公式：$\sqrt{a^2 + b^2}\sin(x - \varphi)$ ，其中 $\tan\varphi = -\frac{b}{a}$ 。
第四个：$\sqrt{a^2 + b^2}\cos(x + \varphi)$ ，且 $\tan\varphi = -\frac{a}{b}$ 。
三角函数辅助角公式推导过程是什么
三角函数辅助角公式推导过程是什么
三角函数辅助角公式推导过程是什么
辅助角公式是一种高等三角函数公式，下面小编整理了三角函数辅助角公式公式及推导过程，供大家参考！
1 三角函数辅助角公式是什幺辅助角公式是一种高等三角函数公式，使用代数式表达为asinx+bcosx=√(a2+b2)sin[x+\\arctan(b/a)] （a>0）。
虽然该公式已经被写入中学课本，但其几何意义却鲜为人知。
设要证明的公式为asinA+bcosA=√(a +b )sin(A+M) (tanM=b/a)
以下是证明过程：
设asinA+bcosA=xsin(A+M)
∴asinA+bcosA=x((a/x)sinA+(b/x)cosA)
由题,（a/x) +(b/x) =1,sinM=a/x,cosM=b/x
∴x=√(a +b )
∴asinA+bcosA=√(a +b )sin(A+M) ,tanM=sinM/cosM=b/a
1 三角函数辅助角公式推导过程三角函数辅助角公式推导：
asinx+bcosx=√(a2+b2)[asinx/√(a2+b2)+bcosx/√(a2+b2)]
令a/√(a2+b2)=cosφ，b/√(a2+b2)=sinφ
asinx+bcosx=√(a2+b2)(sinxcosφ+cosxsinφ)=√(a2+b2)sin(x +φ)
其中，tanφ=sinφ/cosφ=b/a，φ的终边所在象限与点(a,b)所在象限相同. 简单例题：
（1）化简5sina-12cosa
5sina-12cosa
=13(5/13sina-12/13cosa)。
必修四第三章辅助角公式PPT优秀课件
探究：
1.公式的逆用
sin cos cos sin sin( ) sin 3
12 4
12 4
12 4
32
sincos cos sin sin( )
4
4
4
2.将下面式子化为只含正弦的形式：
2 sin 2 cos
2
2
sin( )
4
3
试一试：
将下面式子化为只含正弦的形式：
(1) 3 sin 1 cos
2
2
解：原式 sin cos cos sin
6
6
sin
6
4
试一试：
将下面式子化为只含正弦的形式：
(2)sin 3 cos
解：原式 2(1 sin 3 cos )
2
2
（ 2 sin cos cos sin ）
3
3
2sin
3
思考：2与系数1和 3 之间的关系？
对于形如 a sin x b cos x 如何化简呢
5
辅助角公式
a sin x b cos x a2 b2 sin(x )
其中 cos a ,sin b .
a2 b2
a2 b2
(其中 tan
说明：
利用辅助角公式可以将形如 a sin x b cos x 的
解：原式 3 sin 2x cos 2x
（ 2 3 sin 2x 1 cos 2x）
2
2
（ 2 sin2x cos cos 2x sin ）
6
6
2sin 2x
6
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作业： 必修四教材 第137页 第13题
(1) (2) (3) (4)
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辅助角公式是什么时候学的
辅助角公式是什么时候学的数学是许多人的短板，那么辅助角公式是什么呢?多久学的呢?感兴趣的小伙伴快来和小编一起看看吧。
下面是由小编为大家整理的“辅助角公式是什么时候学的”，仅供参考，欢迎大家阅读。
辅助角公式是什么时候学的辅助角公式是高中数学必修四的内容，辅助角公式如下：1.两角和差公式 (写的都要记)sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB;sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA;cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB;cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB;tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB);tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)。
2.用以上公式可推出下列二倍角公式tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2];cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2;(上面这个余弦的很重要)sin2A=2sinA*cosA。
3.半角的只需记住这个tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)。
4.用二倍角中的余弦可推出降幂公式(sinA)^2=(1-cos2A)/2;(cosA)^2=(1+cos2A)/2。
5.用以上降幂公式可推出以下常用的化简公式1-cosA=sin^(A/2)*2;1-sinA=cos^(A/2)*2。
拓展阅读：三角函数公式还有哪些锐角三角函数公式：sin α=∠α的对边 / 斜边；cos α=∠α的邻边 / 斜边；tan α=∠α的对边/ ∠α的.邻边；cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边。
倍角公式：Sin2A=2SinACosA；Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1；tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)。
(注：SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) )三倍角公式：sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)；cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)；tan3a = tan a ·tan(π/3+a)· tan(π/3-a)。
辅助角公式
推导对于fx=asinx+bcosxa>0型函数,我们可以如此变形,设点a,b为某一角φ-π/2<φ<π/2终边上的点,则,因此就是所求辅助角公式;又因为,且-π/2<φ<π/2,所以,于是上述公式还可以写成该公式也可以用余弦来表示针对b>0的情况,设点b,a为某一角θ-π/2<θ<π/2终边上的点,则,因此同理,,上式化成若正弦和余弦的系数都是负数,不妨写成fx=-asinx-bcosx,则再根据得记忆很多人在利用辅助角公式时,经常忘记反正切到底是b/a还是a/b,导致做题出错;其实有一个很方便的记忆技巧,就是不管用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx,的位置永远是你用来表示函数名称的系数;例如用正弦来表示asinx+bcosx,则反正切就是b/a即正弦的系数a在分母;如果用余弦来表示,那反正切就要变成a/b余弦的系数b在分母;疑问为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为-π/2,π/2其实是在分类讨论a>0或b>0的时候,已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了,此时辅助角的范围是2kπ-π/2,2kπ+π/2k是整数;而根据三角函数的周期性可知加上2kπ后函数值不变,况且在-π/2,π/2内辅助角可以利用反正切表示,使得公式更加简洁明了;提出者,原名李心兰,字竟芳,号秋纫,别号壬叔;出身于读书世家,其先祖可上溯至南宋末年汴梁今人李伯翼;生于1811年 1月22日,逝世于1882年12月9日,人,是中国近代着名的数学家、天文学家、力学家和,创立了二次的幂级数展开式;1就是现在的他研究各种,和对数函数的幂级数展开式,这是李善兰也是19 世纪中国数学界最重大的成就;1在19世纪把西方近代知识翻译为中文的传播工作中﹐李善兰作出了重大贡献;他的译书也为中国近代物理学的发展起了启蒙作用;同治七年,李善兰到北京担任同文馆天文﹑算学部长﹐执教达13年之久﹐为造就中国近代第一代科学人才作出了贡献; 李善兰为近代科学在中国的传播和发展作出了开创性的贡献;继之后,李善兰成为清代数学史上的又一杰出代表;他一生翻译西方科技书籍甚多,将近代科学最主要的几门知识从天文学到植物细胞学的最新成果介绍传入中国,对促进近代科学的发展作出卓越贡献;1公式应用例1求sinθ/2cosθ+√5的最大值解：设sinθ/2cosθ+√5=k 则sinθ-2kcosθ=√5k∴√1+-2k2sinθ+α=√5k平方得k2=sin2θ+α/5-4sin2θ+α令t=sin2θ+α t∈0,1则k2=t/5-4t=1/5/t-4当t=1时有kmax=1辅助角公式可以解决一些sin与cos角之间的转化例2化简5sina-12cosa解：5sina-12cosa=135/13sina-12/13cosa=13cosbsina-sinbcosa=13sina-b其中,cosb=5/13,sinb=12/13例3π/6≤a≤π/4 ,求sin2a+2sinacosa+3cos2a的最小值解：令fa=sin2a+2sinacosa+3cos2a=1+sin2a+2cos2a=1+sin2a+1+cos2a公式=2+sin2a+cos2a=2+√2sin2a+π/4辅助角公式因为7π/12≤2a+π/4≤3π/4所以famin=f3π/4=2+√2sin3π/4=3。
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•知识点回顾
对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下:
----------- sin 来确定。
通常称式子(*)为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数冋
题，最终化为y=Asin( x )+k 的形式。
二.训练
1.化下列代数式为一个角的三角函数
(4) -sin
.3 cos ；
(2) •
，3 sin cos
2
2
高一数学期末复习
必修 4之《辅助角公式》
y=as in x+bcosx
押a 2 b 2
(sin x •
cosx •
a
------------- =cos .
a 2
b 2
0, 0,则y
,a 2 b 2(sin xcos cosxs in )Va b 2 sin(x )
由此我们得到结论: 2 2
asinx+bcosx= . a b sin(x
),(*)其中0由
cos
(3) sin cos
sin(-
) ^6 cos(- 6
3
6 3
(5) 5sin 12cos
(6) asinx bcosx
-------------=si n a
3
2
2
的两个相邻交点的距离等于 ，则f (x)的单调递增区间是
( ) A . [k
,k A ，k Z B. [k
11
],k
Z
12
12 12
12
C . [k
,
k
],k Z D.
[k
,k
2
],k Z
3 6
6
3
5. 如 果函
数 y=s in 2x+acos2x 的 图象关 于直
线x=- —对称，那么 a=
()
(A )
2 (B ) ,2
(C ) 1 (D ) -1
n
6.函数 y = cos x + cos x +三 的最大值是 ___________
3
7.已知向量 a (cos(x ),1), b
3
c (sin(x
),0),求函数 h(x)=a 2的最大值及相应的x 的值.
2 . 函 数
y =
n
2s in
3 x — cos
( )
A.— 3 B .—2
C
3.若函数 f(x)
(1
、_3ta nx)cosx , 0 x
( )
A. 1
B
.2
C
4.( 2009安徽卷理)已知函数f(x)
3sin x cos x(
n
~6 + x (x € R)的最小值等于
1
D
5
-，则f(x)的最大值为
2
.,3 1 D . ,3 2
0), y f(x)的图像与直线y 2
(cos(x -),-),
(本题中可以选用的公式有cos2
g^sinacos ^sin2 )
3
22。