数列求和测试题练习题

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数列求和专题训练(含参考答案)

数列求和基础巩固组1.数列112,314,518,7116,…,(2n-1)+12n ,…的前n 项和S n 的值等于( )A.n 2+1-12n B.2n 2-n+1-12n C.n 2+1-12n -1D.n 2-n+1-12n2.在数列{a n }中,a 1=-60,a n+1=a n +3,则|a 1|+|a 2|+…+|a 30|=( ) A.-495 B.765 C.1 080 D.3 1053.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +S m =S n+m ,其中m ,n 为正整数,且a 1=1,则a 10等于( )A.1B.9C.10D.554.已知函数f (x )=x a 的图象过点(4,2),令a n =1f (n+1)+f (n ),n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ,则S 2 018等于( ) A.√2 018-1 B.√2 018+1 C.√2 019-1D.√2 019+15.已知数列{a n }中,a n =2n +1,则1a 2-a 1+1a 3-a 2+…+1a n+1-a n=( )A.1+12nB.1-2nC.1-12nD.1+2n〚6.设数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=2,若S n+1=n+2n S n ,则数列{1a n a n+1}的前2 018项和为 .7.已知等差数列{a n }满足:a 5=11,a 2+a 6=18. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =a n +2n ,求数列{b n }的前n 项和S n .综合提升组8.如果数列1,1+2,1+2+4,…,1+2+22+…+2n-1,…的前n 项和S n >1 020,那么n 的最小值是( ) A.7B.8C.9D.109.(2017山东烟台模拟)已知数列{a n}中,a1=1,且a n+1=a n2a n+1,若b n=a n a n+1,则数列{b n}的前n项和S n为()A.2n2n+1B.n 2n+1C.2n 2n-1D.2n-12n+1〚10.(2017福建龙岩一模)已知S n为数列{a n}的前n项和,对n∈N*都有S n=1-a n,若b n=log2a n,则1b1b2+1 23+…+1n n+1=.11.(2017广西模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=32a n-1(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=2log3a n2+1,求1b1b2+1b2b3+…+1b n-1b n.创新应用组12.(2017全国Ⅰ,理12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是() A.440 B.330 C.220 D.110 〚参考答案数列求和1.A该数列的通项公式为a n=(2n-1)+,则S n=[1+3+5+…+(2n-1)]+=n2+1-.2.B由a1=-60,a n+1=a n+3可得a n=3n-63,则a21=0,|a1|+|a2|+…+|a30|=-(a1+a2+…+a20)+(a21+…+a30)=S30-2S20=765,故选B.3.A∵S n+S m=S n+m,a1=1,∴S1=1.可令m=1,得S n+1=S n+1,∴S n+1-S n=1,即当n≥1时,a n+1=1,∴a10=1.4.C由f(4)=2,可得4a=2,解得a=,则f(x)=.∴a n=,S2 018=a1+a2+a3+…+a2 018=()+()+()+…+()=-1.5.C a n+1-a n=2n+1+1-(2n+1)=2n+1-2n=2n,所以+…++…+=1-=1-.6.∵S n+1=S n,∴.又a1=2,∴当n≥2时,S n=·…··S1=·…·×2=n(n+1).当n=1时也成立,∴S n=n(n+1).∴当n≥2时,a n=S n-S n-1=n(n+1)-n(n-1)=2n.当n=1时,a1=2也成立,所以a n=2n.∴.则数列的前2 018项和=.7.解 (1)设{a n}的首项为a1,公差为d.由a5=11,a2+a6=18,得解得a1=3,d=2,所以a n=2n+1.(2)由a n=2n+1得b n=2n+1+2n,则S n=[3+5+7+…+(2n+1)]+(21+22+23+…+2n)=n2+2n+=n2+2n+2n+1-2.8.D a n=1+2+22+…+2n-1=2n-1.∴S n=(21-1)+(22-1)+…+(2n-1)=(21+22+…+2n)-n=2n+1-n-2,∴S9=1 013<1 020,S10=2 036>1 020,∴使S n>1 020的n的最小值是10.9.B由a n+1=,得+2,∴数列是以1为首项,2为公差的等差数列,∴=2n-1,又b n=a n a n+1,∴b n=,∴S n=,故选B.10.对n∈N*都有S n=1-a n,当n=1时,a1=1-a1,解得a1=.当n≥2时,a n=S n-S n-1=1-a n-(1-a n-1),化为a n=a n-1.∴数列{a n}是等比数列,公比为,首项为.∴a n=.∴b n=log2a n=-n.∴.则+…++…+=1-.11.解 (1)当n=1时,a1=a1-1,∴a1=2.当n≥2时,∵S n=a n-1,①S n-1=a n-1-1(n≥2),②∴①-②得a n=,即a n=3a n-1,∴数列{a n}是首项为2,公比为3的等比数列,∴a n=2·3n-1.(2)由(1)得b n=2log3+1=2n-1,∴+…++…+=+…+.12.A设数列的首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推,设第n组的项数为n,则前n组的项数和为.第n组的和为=2n-1,前n组总共的和为-n=2n+1-2-n.由题意,N>100,令>100,得n≥14且n∈N*,即N出现在第13组之后.若要使最小整数N满足:N>100且前N项和为2的整数幂,则S N-应与-2-n互为相反数,即2k-1=2+n(k∈N*,n≥14),所以k=log2(n+3),解得n=29,k=5.所以N=+5=440,故选A.。

数列的求和方法试题

222247()(3,30)135723A 2 B 4 3 C 3 D 3 4 2{},,0,7,A 12 B 12n n n n n n n n n n n n a n S d S a S n +++++=++++++<=数列的求和试题命题人：叶导一、选择题每题分共分、等差数列求和：…( )、、、、、已知等差数列中它的前项和为公差且则取得最小正数时的值是( )、、或221213 C 24 D 25213 ,,>(41)2A 7 B 8 C 9 D 10log (4)4,2014(5)n n n nnn n n n a n S S n a n n n a S a a n ---=+≤⎧=⎨-≥⎩、、、已知数列它的前项和为则满足不等式的最小正整数的值是( )、、、、、已知数列则它的前项和为014222A 1 B 1log 3 C 3log 3 D 5log 3 1315,,||(2)410A 7B 8C 9D 106()n n n a n S S n n n =++-=-<+( )、、、、、已知数列它的前项和为则满足不等式的最小正整数的值是( )、、、、、文100100,A 17 B 18 C 19 D 20(),A 12 B 13 C 14 D 157n n n n a n S S a n S S ==已知数列它的前项和为则的整数部分为( )、、、、理已知数列它的前项和为则的整数部分为( )、、、、、在公比不242223242422222223242242221{},,2,4A B 22 C 22 D 228n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a n S n S n S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S =+=++=++=+为的等比数列中它的前项和为前项和前项和之间的关系式正确的是( )、、、、、已知数4 5 6 7 11112,,,(20)(1)2{}A B C D299{},,,52215n n n nnn n n n n n n n n n nS n a n S b n a n n b b b b b a a a a n S na k S k S ++-+==++⋅==->+列它的前项和为设则数列中数值最大的一项是( )、、、、、已知数列满足设它的前项和为则使不等式恒成立的最小正整数A 21 B 22 C 23 D 24的值是( )、、、、112122110{}1,,,(21)7119(1)(2)(3)(4) 4.25A 1 B 2 C 3 D 4(3,30)11n n n n nn n n n n n n a a a n S a S a a S S na S +++==-<<+<+≤、已知数列满足设它的前项和为则下列命题正确的个数是( )；；；、、、、二、填空题每题分共分、一群学生排成一个正方形2,10,20,12{}2(1),{}413(),()(1)(2)(0)(1)42()(1),{}14{}n n n n n n xn x n n n a n S a n T f x a f n f n f n f f f n f n a n S a =+-===-+-+-++++++++阵图最里面一层的每条边上有人最外面一层的每条边上有人则这个方阵的总人数为( )、已知数列的前项和则数列的前项和( )、设函数……则数列的前项和为( )、已知数列的前2111,,(1),2{}123415,,567891011121314151616121,1221,12221,122221,122222117(){1,4,7,10,}n n n n n n n n m n S n a a b n a a b n T n n S m S +===+=项和设则数列的前项和( )、如图正整数排成金字塔形则前行中每一行最中间的数之和为( )、数列…的前项和为( )、文已知等差数列…的前项和与等比数列20211{1,2,4,8,}200,(,)(){1,4,7,10,}{64,32,16,8,}125,(,)518{}20(1)19{}1,(2n m n m n m n nn n nn T S T m n m S n T S T m n S n n a a a a n ++≤+≤+==…的前项和满足则实数对的个数为( )理已知等差数列…的前项和与等比数列…的前项和满足则实数对的个数为( )、已知数列的前和的整数部分是( )、已知数列满足2*,,1)200(),n n n n n S a kS S k k N k +-+<∈设它的前项和为若不等式恒成立则的最大值是( )1122216520{},,1,,{}222,25n n n n n n n n n a a n a a a a a n S S a n +++-+===+->、在数列中设数列的前项和为则满足不等式的最小正整数的值为( )133(6,10,12,60)21{},,1,3,1,,.222cos 2,cos 4,,cos 2.2sin (cos 2cos 4cos 2cos 2cos 4cos 2n n n n n a n S a a q S a n S a x x nx n S x x x n S x x nx =≠=>+++=+++=三、解答题前三题各分中间三题各分最后一题分共分、已知等比数列的前项和为公比且对于任意的正整数都有求的取值范围、指出张明同学的错误并改正：求数列...的前项和...解： (2)212131212)2sin (sin 3sin )(sin 5sin 3)[sin(21)sin(21)]2sin sin(21)sin .2sin (2)23{}.(1)(3)24{},,0,0.(1)(2),,,.n n n n x xx x x x n x n x xn x x xn n S n n a n S a n kn S S k S S S -+-+++--=+-=+++=-+><…、求数列的前项和、已知数列的前项和为且求实数的取值范围；指出…中数值最大的一项11211(1)25{}1,,.(1)(1){}410(2)(),().234526{},1,.(1){}(2)()1,(1(nnn n n n n nn n nn n n n na a a a n S n a na n nS S n n a a a a n S a a S S +++==++><++==≤<<、已知数列满足设它的前项和为求数列的通项公式；文求证：理求证：、在数列中设它的前项和为求数列的通项公式；求证：文理文理211111)27{},1,2(2).(1){}12(2)(2),,.22322n n n n n n n n n n n n S a a a a n n a a a nb n n S S n ---≤-≤-==+≥=-≥>+、在数列中求数列的通项公式；设它的前项和为求证：22222233111111()()4(2)1253(3)11336,12,13,14,324(1)(2)(2)1100(101)9915,16,17()70,()16,187,197,208.3812133(21)0.0,n n n BCBCC B BDCCBn n n n n n n n n nS a a a q a q a q a q q a ++-+-+++++--=⇔++=⇔--=≠参考答案一、文理二、、、、、、、、文理、、、三、、因为所以211210,1().21[1()](1)2113132[1()],1(),113224221()2331,(1,).134[1()]42422,sin 0.(1),.2sin (c (2),nn n n n n n n q q q q a a q a S q a a x k x x k S n x x k S πππ--==-=---===-->≤--≤--->≥=+∞--⋅====≠=解得或舍去因为所以故的取值范围是、错误原因：当时分母没有意义正解：当时当时222os 2cos 4cos 2)2sin (sin 3sin )(sin 5sin 3)[sin(21)sin(21)]2sin ()sin(21)sin .,.sin(21)sin 2sin ()2sin (2)441231(1)(3)(1)(43n x x nx xx x x x n x n x xn x k n x x S n x x x x k x n n n n n n n n n ππ+++-+-+++--==⎧+-⎪==+-⎨≠⎪⎩+++==+++++++……综上所述、因为1111(),3)2131111111111111()22435461121311111525().22323122(2)(3)n n n S n n n n n n n n n n n n n n =+-++=+-+-+-++-+-+--+++++=++--=+-++++所以…22221213224(1),(12)(12)(1)(21)(1)(1)(321).6263250250,0,,9.3270325(2)(),9,38,0,09,0,0.n n n n n a n kn S n k n n n n kn n n n k n k S S k k a n kn n n k k n n k a n n k a n =-+=-+++++++++++--=-+=->⎧><<<⎨-<⎩=-+=--<<≤-<>≥-><、由得……由得解得因为所以当时；当时所以当8212112222213243122221122228,.(1)1125(1)1(1).(1)(1)21324312,3,4,,,1234,1,(1)(21)1236n n n n n n n n n n n n S S n a n n n a n n a n a a a n a nn n n a a a a a a a a n n a a a n n n n n a +++-=++=⇔=++⇔-=++++--=-=-=-=-=++++=++=++++=时中数值最大的一项为、…累加得…因为所以…6,.(1)(21)61211(2)()6(),(1)(21)(23)(21)21231111111146()6().355721233232364848()(1)(21)(44)(42)(45)(41)1112(),12(4145n n n n n a n n a n n n n n n nS n n n n a n n n n n n S n n =++=>=-++++++>-+-++-=-=++++==<++++++=-<++得文因为所以…理因为所以111111)59913414511481012().5455(45)45n n n n n n n -+-++-++=-=<+++…2112222211222111111126(1)2 2.21111{}2,1,2 1.10,0,(2)()2),nn nn n n n nn nn n nnna aa aa a a a ana a aa a a aa nS+++++=⇔=⇔=+⇔-=+==-=>=>===<=-≥、所以数列是公差为的等差数列首项所以因为由所以文理所以11111, 1.()1 1.n nnnnnna a SaSaS≤+-+++-=+=≤=≤==>=->+-+=-==<=-<+++…因为所以文因为所以…又因为所以…1.()1111nnnnnn SaSaS=-<<==>=≥+=+==<=≤+=+所以对于任意的正整数理因为…所以又因为所以,11,1).nnn SS+≤≤+≤-≤所以对于任意的正整数221212212127(1),,,2[(1)(1)],2(4)(22).1140, 4.2206462[(1)4(1)6].{46}2,n n n n n n n A B C a An Bn C a A n B n C a a An B A n A B C A A B A B A B C C a n n a n n a n n a ---+++=+-+-+=++-+-+==⎧⎧⎪⎪-==⎨⎨⎪⎪-+==⎩⎩+++=+-+-+++++、待定系数使即由已知得解得于是可知数列是公比为的等比数列首项211222221312121223331222222211232314612,46122,324 6.23(2),,,,,22222222222223123.1,,2222222222{}n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a n n a n n a a a a a a a a n n b a a a n n a b -+----++=+++=⋅=⋅---=-=-=-=-=-=+++==++++所以得由可知…累加得…将代入得…即数列的前12222123246466.2221246121382(46)(223)6.2232232(223)2121121()1,0,2232255012(),0,1382(46)(223)0223n n n n n nn n n nn n a n n n n n S n n n n n n n S n n n I n S nII n k S n n n n +⋅---++===-++⋅-+++-=--=+++⋅=-=-=>+=->⋅-+++>+项和当时显然成立；假设时成立即成立12223211,1382[(1)4(1)6)[2(1)23)]2(46)(223)(611)(225)2253610,12(1)0,1,.2(1)231212,0,.223223n n n n n k n n n n n n n n n n n n n S n k n n nS n S n n ++=+⋅-++++++>+++-+++=+++>+->=+++->>++.那么当时所以成立这就是说当时不等式也成立综上所述对于任意的正整数都成立即成立。

数列求和习题及答案.docx

§数列求和（： 45分分： 100分）一、 ( 每小 7分，共 35 分 )*11．在等比数列 {a n } (n ∈ N ) 中，若 a 1＝ 1， a 4＝ 8，数列的前10 和 ()A ． 2－ 18B ． 2－ 192 2 C ． 2－110D ． 2－111222．若数列 {a n } 的通公式a n ＝2n ＋ 2n － 1，数列 {a n } 的前 n 和 ()n2 n ＋ 12A ． 2 ＋ n －1B ． 2 ＋ n － 1C ． 2n ＋1＋ n 2－ 2D ． 2n ＋ n － 23．已知等比数列 {an } 的各均不等于 1 的正数，数列 {b } 足 b ＝ lga ，b ＝ 18，b ＝ 12，nnn36数列 {b n } 的前 n 和的最大等于 ( )A ． 126B ． 130C ． 132D ． 1344．数列 {a } 的通公式n － 1 ·(4 n － 3) ，它的前 100 之和 S等于 ()n a ＝ ( － 1)n100A ． 200B ．－ 200C ． 400D ．－ 4005．数列 1·n , 2(n －1),3(n－2) ，⋯， n ·1的和 ( )n(n ＋ 1)(n ＋ 2) n(n ＋ 1)(2n ＋ 1) n(n ＋ 2)(n ＋ 3)n(n ＋ 1)(n ＋ 2)二、填空 ( 每小 6 分，共 24 分 )6．等比数列 {a } 的前 n 和 n2 22S ＝2 － 1， a＋ a ＋⋯＋ a＝ ________.n n12n7．已知数列 {a } 的通 a与前 n 和 S之足关系式S ＝ 2－ 3a ， a ＝ __________.nnnnnn8．已知等比数列 {a } 中， a 1＝ 3，a 4＝ 81，若数列 {b} 足 b ＝log 3a ，数列的前 nnnnn1b bn ＋ 1n 和 S ＝ ________.n9．关于 x 的不等式 x 2－ x<2nx (n ∈ N * ) 的解集中整数的个数a n ，数列 {a n } 的前 n 和S n ， S 100 的 ________．三、解答 ( 共 41 分 )10． (13 分 ) 已知数列 nn和，于任意的*{a } 的各均正数， S 其前 nn ∈N 足关系式2S n ＝ 3a n －3. (1) 求数列 {a } 的通公式；n(2) 数列 {b} 的通公式是 b ＝1 ，前 n 和 T ，求：于任意的nnnlog 3a n ·log 3a n ＋ 1正数 n ，有 T n <1.} 足 a ＋ a ＋ a ＝ 28，且 a ＋ 2 是 a ， a 的等差11． (14 分) 已知增的等比数列 {an23432 4中．(1)求数列 {a n} 的通公式；(2) 若 b n＝ a n log 1n＋1成立的最小正整数n 的．a n，S n＝ b1＋b2＋⋯＋b n，求使S n＋ n·2 >50212． (14 分 ) 已知等差数列 {a} 的首 a ＝ 1，公差 d>0，且第二、第五、第十四分n1是一个等比数列的第二、第三、第四．(1)求数列 {a n} 的通公式；n1*n n，是否存在最大的整数t ，使得任意(2)b＝n(a n＋3) (n ∈N) ，S ＝ b1＋b2＋⋯＋ bn t成立？若存在，求出t ；若不存在，明理由．的 n 均有 S >36答案1 n7.1 3 n－18.n1006. 3(4－ 1) 2 4＋ 1n2S＝ 3a－3，10. (1)n n( n≥2) ．解由已知得n n－ 32S－1＝ 3a－1故2(S n－S n－1) ＝2a n＝ 3a n－ 3a n－1，即 a n＝ 3a n－1 (n ≥2) ．故数列 {a n} 等比数列，且公比q＝ 3.又当 n＝ 1 ， 2a1＝ 3a1－ 3，∴ a1＝3. ∴ a n＝ 3n.(2) 明1∵ b n＝n( n＋ 1)＝1－1.n n＋1∴ T n＝ b1＋b2＋⋯＋ b n111＋⋯＋11＝ 1－＋－3－n＋122n1＝ 1－n＋1<1.11 解 (1) 此等比数列a1，a1q， a1q2， a1q3，⋯，其中 a1≠0， q≠ 0.11213＝ 28，①由意知： a q＋ a q ＋ a qa1q＋ a1q3＝ 2(a 1q2＋ 2) ．②②× 7－①得 6a 13121q －15a q＋ 6a q＝0，1即2q2－ 5q＋ 2＝ 0，解得 q＝ 2 或 q＝ .2∵等比数列 {a n} 增，∴ a1＝ 2， q＝2，∴ a n＝ 2n.n(2) 由 (1) 得 b n＝－ n·2，2 n．∴ S ＝ b ＋b ＋⋯＋ b ＝－ (1 ×2＋2×2 ＋⋯＋ n ·2)n 12nn2nT ＝1×2＋2×2 ＋⋯＋ n ·2，③23n ＋ 12T n ＝1×2＋2×2＋⋯＋ n ·2 . ④由③－④，得－n2 ＋⋯＋ nn ＋ 1T ＝1×2＋1×21·2 － n ·2n ＋1n ＋ 1n ＋1＝ 2 － 2－ n ·2 ＝ (1－ n) ·2 － 2，∴－ T n ＝－ ( n －1) ·2n ＋1－ 2.∴ S n ＝－ ( n －1) ·2n ＋1－ 2.n ＋1要使 S n ＋n ·2>50 成立，n ＋ 1n ＋1>50，即 n即－ (n －1) ·2 － 2＋n ·22 >26.45x是增函数，∵2＝ 16<26,2 ＝ 32>26，且 y ＝ 2 ∴ 足条件的 n 的最小 5.12 解 (1)由意得 (a 1＋ d)(a 1＋ 13d) ＝ (a 1 ＋ 4d) 2，整理得 2a 1d ＝ d 2.∵ a 1＝ 1，解得 d ＝2， d ＝ 0( 舍 ) ．∴ a n ＝ 2n － 1 (n ∈N * ) ．(2)b n ＝1＝ 1 ＝ 1 1 1n ( a n ＋3) ＋ 1) 2 n － n ＋ 1 ，2n ( n∴ S ＝ b ＋b ＋⋯＋ b nn 1 21 1 1 111＝ 21－ 2 ＋ 2－ 3＋ n－n ＋111＝2(n＝ 21－n ＋ 1＋ 1) .nt假存在整数 t 足 S n >36 成立，n ＋ 1 －2(n ＝2(1＋ 1)>0，又 S n ＋1－ S n ＝ 2(n ＋ 2)n ＋ 1) n ＋ 2)(n∴数列 {S n } 是增的．1t 1∴ S 1＝ 4 S n 的最小，故 36<4，即 t<9.又∵ t ∈Z ，∴适合条件的 t 的最大 8.。

高中数学数列求和专项练习题(错位相减、裂项相消、倒序相加)

高中数学数列求和专项练习题（错位相减、裂项相消、倒序相加法）一、单选题（本大题共1小题，共5.0分）1.已知函数f(x)满足f(x)+f(1−x)=2，a n=f(0)+f(1n )+f(2n)+⋯+f(n−1n)+f(1)(n∈N∗)，则数列{a n}的通项公式为()A. a n=n−1B. a n=nC. a n=n+1D. a n=n2第II卷（非选择题）二、解答题（本大题共18小题，共216.0分）2.已知公差不为零的等差数列{a n}中，a3=7，且a1，a4，a13成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记数列{a n·2n}的前n项和为S n，求S n．3.设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，a n+1=n+2nS n(n∈N∗).(1)证明：数列{S nn}是等比数列；(2)求数列{S n}的前n项和T n．4.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且a n是S n与2的等差中项，等差数列{b n}中，b1=2，点P(b n,b n+1)在一次函数y=x+2的图象上．(1)求数列{a n}，{b n}的通项a n和b n；(2)设c n=a n⋅b n，求数列{c n}的前n项和T n．5.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a n>0且a1a3=36，a3+a4=9(a1+a2)．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若S n+1=3b n，求数列{b n}及数列{a n b n}的前n项和T n..6.已知正项数列{a n}的前n项和为S n,√S n是1与(a n+1)2的等比中项．4(1)求证：数列{a n}是等差数列；(2)若b n=a n，数列{b n}的前n项和为T n，求T n．2n7.数列{a n}满足：a1+a2+a3+⋯+a n=12(3n−1)．(1)求{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足a n=3a n b n,求{b n}的前n项和T n．8.已知数列{a n}的前n项和S n，且2a n=2+S n．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=(2n−1)a n，求数列{b n}的前n项和T n．9.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，a3+a5=14．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=1a n a n+1，若{b n}的前n项和为T n，证明：T n<12．10.等差数列{a n}中，a3=4，a5+a8=15．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=1(n+2)a n ，数列{b n}的前n项和为S n，求证：S n<12；(3)设c n=a n×4 a n，求数列{c n}的前n项和T n．11.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2+n，(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n=1a n+1a n，求数列{b n}的前n项和．12.已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1=2，a3=2a2+16．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和T n．(2)设b n=log2a n，求数列{1b n⋅b n+113.已知{a n}是等差数列，满足a1=1，a4=13，数列{b n}的前n项和S n=2n+1−2．(1)求数列{a n}、{b n}的通项公式；(2)设c n=b n+4，求数列{c n}的前n项和T n．a n a n+1(a n+n)．14.已知数列{a n}满足：a1=2，a n+1=n+1n(1)设b n=a n，证明：数列{b n}是等差数列；n}的前n项和T n．(2)求数列{1a n15. 已知数列{a n }的前n 项和为S n 满足2S n =4a n −a 2(n ∈N ∗)，且a 1，a 2，a 3−1成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n =1(log2a 2n )(log 2a 2n+2)，{b n }的前n 项和为T n ，对任意n ∈N ∗，T n >m23恒成立，求m 的取值范围．16. 已知等差数列{a n }满足：a 3=7，a 5+a 7=26．{a n }的前n 项和为S n ．(Ⅰ)求a n 及S n ； (Ⅱ)令b n =1an2−1(n ∈N+)，求数列{b n }的前n 项和T n ．17. 已知函数y =a x (a >0，且a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值之和为20，记f(x)=x a x +√2．(1)求a 的值；(2)求证：f(x)+f(1−x)为定值；(3)求f(12021)+f(22021)+⋯+f(20202021)的值．18.已知函数f(x)=14x+m(m>0)，当x1，x2∈R且x1+x2=1时，总有f(x1)+f(x2)=12．(1)求m的值；(2)设数列{a n}满足a n=f(0)+f(1n )+f(2n)+⋯+f(n−1n)+f(1)，求数列{a n}的前n项和S n．19.已知函数f(x)=3x+√3．(1)求证：f(x)+f(1−x)为定值；(2)利用课本中推导等差数列的前n项和公式的方法，求值：f(−100)+f(−99)+⋯+f(0)+⋯+f(100)+f(101)．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了数列“倒序相加”求和，属于中档题．由f(x)+f(1−x)=2，a n =f(0)+f(1n )+⋯+f(n−1n)+f(1)，“倒序相加”即可得出．【解答】解：∵f(x)+f(1−x)=2， a n =f(0)+f(1n )+⋯+f(n−1n)+f(1)，∴a n =f(1)+f(n−1n )+⋯+f(1n )+f(0)，∴2a n =[f(0)+f(1)]+[f(1n )+f(n−1n)]+⋯+[f(1)+f(0)]=2(n +1)，∴a n =n +1．故选C ．2.【答案】解：(1)设等差数列{a n }的公差为d(d ≠0)，由a 3=7，且a 1，a 4，a 13成等比数列，得{a 1+2d =7(a 1+3d)2=a 1(a 1+12d)，解得a 1=3，d =2． ∴a n =3+2(n −1)=2n +1； (2)∵a n ⋅2n =(2n +1)⋅2n ，∴数列{a n ⋅2n }的前n 项和S n =3⋅21+5⋅22+⋯+(2n +1)⋅2n ， 2S n =3⋅22+5⋅23+⋯+(2n −1)⋅2n +(2n +1)⋅2n+1， ∴−S n =6+23+24+⋯+2n+1−(2n +1)⋅2n+1=6+8(1−2n−1)1−2−(2n +1)⋅2n+1，∴S n =2−(1−2n)×2n+1．【解析】本题考查等差数列的通项公式与等比数列的性质，考查错位相减法求数列的前(1)设等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，由已知列关于首项与公差的方程组，得首项与公差，代入等差数列的通项公式得答案；(2)直接利用错位相减法求数列{a n⋅2n}的前n项和S n．3.【答案】(1)证明：由a n+1=n+2nS n，及a n+1=S n+1−S n，得S n+1−S n=n+2nS n，整理，得nS n+1=2(n+1)S n，∴S n+1n+1=2⋅S nn，又S11=1，∴{S nn}是以1为首项，2为公比的等比列；(2)解：由(1)，得S nn=2n−1，∴S n=n⋅2n−1(n∈N∗).∴T n=1×20+2×21+3×22+⋯+n⋅2n−1，①2T n=1×21+2×22+⋯+(n−1)⋅2n−1+n⋅2n，②由②−①，得T n=−(1+2+22+⋯+2n−1)+n⋅2n=−1−2n1−2+n⋅2n=(n−1)⋅2n+1．【解析】本题考查等比数列的定义和通项公式及求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．(1)运用数列的递推式：a n+1=S n+1−S n，代入整理，结合等比数列的定义即可得证；(2)运用等比数列的通项公式，可得S n=n⋅2n−1(n∈N∗).再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．4.【答案】解：(1)在数列{b n}中，b1=2，点P(b n, b n+1)在直线y=x+2上．得：b n+1=b n+2，且b1=2，故数列{b n}为等差数列，所以b n=2+2(n−1)=2n；由2a n=S n+2...①得2a n−1=S n−1+2...②(n≥2)；将两式相减得：2a n−2a n−1=S n−S n−1；∴a n=2a n−1(n≥2)，又∵2a1=S1+2=a1+2，∴a1=2，∴a n=2n；(2)由c n=a n b n=n2n+1，得：T n=1⋅22+2⋅23+3⋅24+⋅⋅⋅+(n−1)⋅2n+n⋅2n+1...①2T n=1⋅23+2⋅24+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(n−1)⋅2n+1+n⋅2n+2...②①−②得，−T n=22+23+24+⋅⋅⋅+2n+1−n⋅2n+2=4−2n+21−2−n⋅2n+2=(1−n)⋅2n+2−4，所以T n=(n−1)2n+2+4．【解析】本题考查了等差数列，等比数列的通项公式，考查了数列求和，属于中档题．(1)根据条件，将点的坐标代入直线方程可得数列为等差数列，则通项公式可知，由等比数列的性质可得数列{a n}为等比数列，则通项公式可得；(2)由错位相减法求和即可．5.【答案】解：(Ⅰ)由题意得：a3+a4=9(a1+a2)，可得(a1+a2)q2=9(a1+a2)，q2=9，由a n>0，可得q=3，由a1a3=36，可得a1a1q2=36，可得a1=2，∴a n=2×3n−1(n∈N∗)；(Ⅱ)由a n=2×3n−1，可得S n=a1(1−q n)1−q =2(3n−1)3−1=3n−1，由S n+1=3b n，可得3n−1+1=3b n，可得b n=n，可得{a n b n}的通项公式：a n b n=2n×3n−1，可得：T n=2×30+2×2×31+2×3×32+...+2×(n−1)×3n−2+2×n×3n−1①，3T n=2×31+2×2×32+2×3×33+...+2×(n−1)×3n−1+2×n×3n②，①−②得：−2T n=2+2×3(3n−1−1)3−1−2×n×3n =2+3n−3−2n×3n=(1−2n)×3n−1，可得T n=(2n−1)×3n2+12．【解析】本题考查等比数列的通项公式与求和公式，错位相减法求和，考查运算化简的能力，属于中档题．(Ⅰ)由a n>0且a1a3=36，a3+a4=9(a1+a2)，利用等比数列通项公式求得a1和q即可；(Ⅱ)由S n+1=3b n利用等比数列求和公式可得b n，再由错位相减法可得T n．6.【答案】(1)证明：由于√S n是14与(a n+1)2的等比中项，故S n=14(a n+1)2，n=1时，a1=14(a1+1)2，得a1=1，n=2时，a1+a2=14(a2+1)2，解得a2=3或−1(舍)，所以a2−a1=2；当n≥2时，S n−1=14(a n−1+1)2，∴a n=S n−S n−1=14(a n2−a n−12+2a n−2a n−1)，(a n+a n−1)(a n−a n−1−2)=0∵a n>0，∴a n−a n−1−2=0即a n−a n−1=2，故{a n }是等差数列；(2)解：数列{a n }为等差数列，首项a 1=1，公差d =2， ∴a n =2n −1， b n =2n−12n，T n =12+322+523+...+2n −12n.① 12T n =122+323+524+...+2n −12n+1.② ①−②：12T n =2×(12+122+123+...+12n )−2n−12n+1−12=2×12(1−12n )1−12−2n−12n+1−12=32−2n+32n+1，求得：T n =3−2n+32n．【解析】本题考查等比数列的性质及等差数列的通项公式，以及错位相减法求和，属于中档题．(1)由已知的√S n 是14与(a n +1)2的等比中项，可得S n =14(a n +1)2，利用作差法可得a n −a n−1=2，即可由等差数列的定义得证；(2)先由(1)的结论，由等差数列的通项公式可求a n ，即可求b n ，由通项可知应该用错位相减法进行求和．7.【答案】解：(1)S n =a 1+a 2+a 3+⋯+a n ，a 1+a 2+a 3+⋯+a n =12(3n −1)， n =1时，a 1=1，n ≥2时，a n =S n −S n−1=3n−1，对n =1也成立， ∴a n =3n−1，n ∈N ∗；(2)由a n=3a n b n，所以b n=(n−1)(13)n−1，T n=b1+b2+⋯+b n=13+2×(13)2+⋯+(n−1)(13)n−1 ①，1 3T n=(13)2+2×(13)3+⋯+(n−2)(13)n−1+(n−1)(13)n ②， ①− ②得23T n=13+(13)2+⋯+(13)n−1−(n−1)(13)n，2 3T n=13[1−(13)n−1]1−(13)−(n−1)(13)n，∴T n=34−(2n+14)(13)n−1．【解析】本题考查数列的递推式的运用，考查数列的通项公式和数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．(1)运用数列的递推式，化简可得所求通项公式；(2)求得b n=(n−1)(13)n−1，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．8.【答案】解：(1)∵数列{a n}的前n项和S n，且2a n=2+S n．∴n=1时，2a1=2+a1，解得a1=2，n≥2时，a n=S n−S n−1=(2a n−2)−(2a n−1−2)=2a n−2a n−1，∴a n=2a n−1．∴{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴数列{a n}的通项公式a n=2n．(2)b n=(2n−1)a n=(2n−1)⋅2n，∴数列{b n}的前n项和：T n=1×2+3×22+5×23+⋯+(2n−1)×2n，①2T n=1×22+3×23+5×24+⋯+(2n−1)×2n+1，②①−②得：−T n=2+22+23+24+⋯+2n−(2n−1)×2n+1=2(1−2n)1−2−(2n−1)×2n+1=2n+1−2−(2n−1)×2n+1，∴T n=(2n−2)×2n+1+2．【解析】(1)由数列{a n}的前n项和S n，且2a n=2+S n.当n=1时，求出a1=2，n≥2时，a n=S n−S n−1=(2a n−2)−(2a n−1−2)=2a n−2a n−1，求出a n=2a n−1.从而{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出数列{a n}的通项公式．(2)由b n=(2n−1)a n=(2n−1)⋅2n，利用错位相减法能求出数列{b n}的前n项和．本题考查数列通项公式、前n项和公式的求法，考查等比数列、等差中项、错位相减法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．9.【答案】解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，由S9=9a5=81，得a5=9，又由a3+a5=14，得a3=5，由上可得等差数列{a n}的公差d=2，∴a n=a3+(n−3)d=2n−1；(2)证明：由题意得，b n=1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)．所以T n=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)<12．【解析】本题考查了等差数列的通项公式、性质及其求和公式、裂项相消法求和的知识点，考查了推理能力与计算能力，属于较难题．(1)利用等差数列的通项公式、性质及其求和公式即可得出；(2)由题意得，b n=1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，利用裂项相消法求和即可得出T n=12(1−12n+1)，从而得证．10.【答案】(1)解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=4，a5+a8=15．∴a1+2d=4，2a1+11d=15，解得a1=2，d=1．∴a n=2+(n−1)=n+1．(2)证明：由(1)可得：a n=n+1．b n=1(n+2)a n =1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2，∴数列{b n}的前n项和为S n=12−13+13−14+⋯+1n+1−1n+2=12−1n+2<12．(3)解：c n=a n×4 a n=(n+1)⋅4n+1．∴数列{c n}的前n项和T n=2×42+3×43+4×44+⋯+(n+1)⋅4n+1，4T n=2×43+3×44+⋯+n⋅4n+1+(n+1)⋅4n+2，∴−3T n=2×42+43+44+⋯+4n+1−(n+1)⋅4n+2=16+16(4n−1)4−1−(n+1)⋅4n+2，解得：T n=(3n+2)⋅4n+2−329．【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d，由a3=4，a5+a8=15.可得a1+2d=4，2a1+ 11d=15，解出即可得出．(2)由(1)可得：a n=n+1.b n=1(n+2)a n =1n+1−1n+2，利用裂项求和方法即可得出．(3)c n=a n×4 a n=(n+1)⋅4n+1.利用错位相减法即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】解：(1)S n=n2+n，可得n=1时，a1=S1=2，n≥2时，a n=S n−S n−1=n2+n−(n−1)2−(n−1)=2n，对n=1也成立，则a n=2n；(2)b n=1a n+1a n =12n⋅2(n+1)=14(1n−1n+1)，可得数列{b n}的前n项和为14(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=14(1−1n+1)=n4n+4．【解析】本题考查数列的递推式的运用，考查数列的裂项相消求和，属于基础题．(1)运用数列的递推式：n=1时，a1=S1，n≥2时，a n=S n−S n−1，计算可得所求通项公式；(2)求得b n=1a n+1a n =12n⋅2(n+1)=14(1n−1n+1)，由数列的裂项相消求和可得所求和．12.【答案】解：(1)设等比数列{a n}的公比为q，(q>0)，由已知：a1=2,a3=2a2+16，∴2q2=4q+16，即q2−2q−8=0，∴q =4或q =−2(舍去)，∴a n =a 1q n−1=2×4n−1=22n−1；(2)由(1)知：b n =log 2a n =log 222n−1=2n −1， ∴1bn ⋅b n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，T n =1b 1⋅b 2+1b 2⋅b 3+⋅⋅⋅+1b n ⋅b n+1=12(1−13+13−15+⋯+12n −1−12n +1) =12(1−12n+1)=n2n+1 ．【解析】本题考查等比数列的通项公式及裂项相消法求和的问题，考查对数的运算性质． (1)设等比数列的公比，由已知列式求得公比，则通项公式可求；(2)把(1)中求得的{a n }的通项公式代入b n =log 2a n ，得到b n ，利用裂项相消法求出结果即可．13.【答案】解：(1)设等差数列{a n }公差为d ，因为a 4=a 1+3d ，，a 1=1所以d =4，所以a n =a 1+(n −1)d =1+(n −1)×4 ∴a n =4n −3；由S n =2n+1−2，当n ⩾2时，b n =S n −S n−1=2n ， n =1时，b 1=2对上式也成立， ∴b n =2n ． (2)c n =b n +4an a n+1=2n +4(4n−3)(4n+1)=2n +(14n−3−14n+1)，T n =21+22+23+...+2n +(1−15)+(15−19)+⋯+(14n −3−14n +1)=2(1−2n )1−2+(1−15)+(15−19)+⋯+(14n −3−14n +1)=2n+1−2+(1−14n+1)=2n+1−4n+24n+1．【解析】本题考查等差数列的通项公式及求和公式，考查方程思想的运用能力及裂项相消法求和的能力，属于中档题．(1)由题意及等差数列的通项公式联立方程解得公差，即可得数列{a n}；利用递推数列当n⩾2时，b n=S n−S n−1=2n，验证n=1时即可得到{b n}的通项公式；(2)首先利用分组求和法进行转化，再利用等比数列公式求和以及裂项相消法求和可得答案．14.【答案】(1)证明：由a n+1=n+1n (a n+n)，可得a n+1n+1=a nn+1，所以a n+1n+1−a nn=1，由于b n=a nn，可得b n+1−b n=1，又b1=a1=2，所以{b n}为首项为2，公差为1的等差数列．(2)由(1)可知为{b n}等差数列．所以b n=n+1(n∈N∗)，可得a nn=n+1，所以a n=n(n+1)，所以1a n =1n(n+1)=1n−1n+1，则T n=1a1+1a2+1a3+⋯+1a n=(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n−1n+1)=1−1n+1=n n+1所以数列{1an }的前n项和T n=nn+1【解析】本题考查了等差数列的判定与证明，等差数列的通项公式，以及裂项相消求和，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．(1)将条件变形得a n+1n+1=a nn+1，再代入b n=a nn即可；(2)根据数列{b n}是等差数列可求出数列{1a n}的通项公式，再利用裂项相消法求和．15.【答案】解：(1)由题意得2S1=4a1−a2⇒a2=2a1 ①，∵数列{a n}的前n项和为S n满足2S n=4a n−a2(n∈N∗)，∴2S3=4a3−a2⇒a3=2a2 ②，∵a1，a2，a3−1成等差数列，∴2a2=a1+a3−1 ③，由 ① ② ③可得a1=1，a2=2，∴2S n=4a n−2，∴2S n−1=4a n−1−2(n ≥2)，∴a n =2a n−1(n ≥2)，∴数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， ∴数列{a n }的通项公式为a n =2n−1． (2)∵b n =1(log2a 2n )(log 2a 2n+2)=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)， ∴{b n }的前n 项和T n =12[(1−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)] =12(1−12n+1)，∴{T n }是单调递增数列， ∴T n ≥T 1=13， ∵对任意n ∈N ∗，T n >m23恒成立，∴13>m23⇒m <233，故m 的取值范围为(−∞,233).【解析】本题考查了等差数列的性质、等比数列的通项公式、裂项相消法的相关知识，属于中档题．(1)由题意得2S n =4a n −2，再推导得数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，即可得{a n }通项公式；(2)由裂项相消法求得T n ，求其最值即可得答案．16.【答案】解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ．因为a 3=7，a 5+a 7=26，所以{a 1+2d =72a 1+10d =26，解得{a 1=3d =2，所以a n=3+2(n−1)=2n+1，S n=3n+n(n−1)2×2=n2+2n．(2)由(1)知a n=2n+1，所以=14(1n−1n+1)，所以T n=14·(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=14(1−1n+1)=n4(n+1)，即数列{b n}的前n项和T n=n4(n+1)．【解析】本题考查等差数列的通项公式，等差数列的求和，裂项相消法，考查运算化简的能力，属于中档题．(1)首先设首项为a1，公差为d，根据已知条件列出a1和d的方程组，求解后可得前n项和和通项公式；(2)根据(1)得b n，把b n变成两项的差，用裂项相消法求和．17.【答案】解：(1)函数y=a x(a>0且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值之和为20，而函数y=a x(a>0且a≠1)在[2,4]上单调递增或单调递减，∴a2+a4=20，得a2=4，或a2=−5(舍去)，∴a=2；(2)证明：由(1)知，a=2，∴f(x)=x2x+√2，∴f(x)+f(1−x)=x2x+√21−x21−x+√2=2x 2x +√222+√2×2x =2x 2x +√2√2√2+2x =1;(3)由(2)知，f(x)+f(1−x)=1．∵12021+20202021=1，22021+20192021=1，…，10102021+10112021=1， ∴f(12021)+f(22021)+⋯+f(20202021) =[f(12021)+f(20202021)]+[f(22021)+f(20192021)]+⋯+[f(10102021)+f(10112021)] =1010．【解析】本题考查了指数函数的单调性及其应用，利用指数运算性质化简求值，倒序相加的求和思想，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．(1)因为函数y =a x (a >0且a ≠1)在[2,4]上单调递增或单调递减，所以最大值和最小值一定取到端点处，列方程即可解得a 值；(2)利用指数运算性质，代入函数解析式即可化简证明；(3)注意到和式中的自变量的特点，利用(2)的结论，将所求分组求和即可得到结果.18.【答案】解：(1)令x 1=x 2=12，得f(12)=14=12+m ，解得m =2． (2)由a n =f(0)+f(1n )+f(2n )+...+f(n−1n )+f(1)，得a n =f(1)=f(n−1n )+...+f(1n)+f(0)，两式相加，得2a n =[f(0)+f(1)]+[f(1n )+f(n−1n )]+...+[f(1)+f(0)]=12(n +1)，所以a n =14(n +1)，显然数列{a n }是等差数列，所以S n =n[12+14(n+1)]2=18n 2+38n ．【解析】【分析】本题主要指数函数以及数列的倒序相加法求通项，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．(1)利用指数函数代入数值计算即可；(2)利用倒序相加法求通项，在利用等差数列公式求和．19.【答案】(1)证明：因为f(x)=3x+√3．f(x)+f(1−x)=3x+√3+31−x+√3=3x+√3x3+3x⋅√3=x√33+3x⋅√3=√33，所以f(x)+f(1−x)为定值√33．(2)解：设f(−100)+f(−99)+⋯+f(0)+⋯+f(100)+f(101)=M，①f(101)+f(100)+⋯+f(0)+⋯+f(−99)+f(−100)=M，②，将①②两式左右两边分别相加可得[f(−100)+f(101)]+[f(−99)+f(100)]+⋯+[f(101)+f(−100)]=2M，因为f(x)+f(1−x)=√33．所以2M=√33+√33+⋯+√33=√33×202=202√33．故原式=12⋅202√33=101√33．即f(−100)+f(−99)+⋯+f(0)+⋯+f(100)+f(101)=101√33．【解析】本题考查函数的解析式的应用，函数值的求法，倒序相加求和，考查计算能力与推理能力，属于中档题．(1)利用函数的解析式直接求解即可．(2)利用倒序相加求和的方法化简求解即可．。

高三数学数列求和练习题

高三数学数列求和练习题假设有一位名叫小明的高三学生，他正在备战数学考试。

最近，他对数列的求和问题感到十分困惑，因此他向老师请教，老师给了他以下一些练习题。

下面，我们来一起解决这些题目，帮助小明理解数列求和的方法。

练习题一：等差数列求和已知等差数列的首项为a₁，公差为d，请计算这个等差数列的前n 项和Sn。

1. a₁ = 3，d = 2，n = 102. a₁ = -2，d = 4，n = 153. a₁ = 0，d = -3，n = 8解答：对于等差数列来说，可以使用求和公式Sn = n(a₁ + an)/2来计算前n项和。

其中，an表示等差数列的第n项。

1. a₁ = 3，d = 2，n = 10根据公式，代入数据计算得到：Sn = 10(3 + a₁ + 2(n-1))/2= 10(3 + 3 + 2(10-1))/2= 10(6 + 18)/2= 10(24)/2= 1202. a₁ = -2，d = 4，n = 15代入数据计算得到：Sn = 15(-2 + a₁ + 4(15-1))/2= 15(-2 + -2 + 4(14))/2= 15(-4 + 56)/2= 15(52)/2= 3903. a₁ = 0，d = -3，n = 8代入数据计算得到：Sn = 8(0 + a₁ + -3(8-1))/2= 8(0 + 0 + -3(7))/2= 8(0 - 21)/2= 8(-21)/2= -84练习题二：等比数列求和已知等比数列的首项为a₁，公比为q，请计算这个等比数列的前n 项和Sn。

2. a₁ = 4，q = -2，n = 63. a₁ = -6，q = 0.5，n = 7解答：对于等比数列来说，可以使用求和公式Sn = a₁(1 - q^n)/(1 - q)来计算前n项和。

1. a₁ = 2，q = 3，n = 5根据公式，代入数据计算得到：Sn = 2(1 - 3^5)/(1 - 3)= 2(1 - 243)/(-2)= 2(-242)/(-2)= 2422. a₁ = 4，q = -2，n = 6代入数据计算得到：Sn = 4(1 - (-2)^6)/(1 - (-2))= 4(1 - 64)/3= 4(-63)/3= -84代入数据计算得到：Sn = -6(1 - 0.5^7)/(1 - 0.5)= -6(1 - 0.0078125)/0.5= -6(0.9921875)/0.5= -11.859375通过解答以上练习题，我们可以得出结论：数列求和可以通过特定的公式来计算，对于等差数列可以使用Sn = n(a₁ + an)/2，对于等比数列可以使用Sn = a₁(1 - q^n)/(1 - q)。

(完整版)数列求和习题及答案

(完整版)数列求和习题及答案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN§6.4 数列求和（时间：45分钟满分：100分）一、选择题(每小题7分，共35分)1．在等比数列{a n } (n ∈N *)中，若a 1＝1，a 4＝18，则该数列的前10项和为( )A ．2－128 B ．2－129 C ．2－1210D ．2－12112．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为( )A ．2n ＋n 2－1B ．2n ＋1＋n 2－1 C ．2n ＋1＋n 2－2D ．2n ＋n －23．已知等比数列{a n }的各项均为不等于1的正数，数列{b n }满足b n ＝lg a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }的前n 项和的最大值等于( ) A ．126B ．130C ．132D ．1344．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A ．200B ．－200C ．400D ．－4005．数列1·n ,2(n －1),3(n －2)，…，n·1的和为( )A.16n(n ＋1)(n ＋2)B.16n(n ＋1)(2n ＋1)C.13n(n ＋2)(n ＋3)D.13n(n ＋1)(n ＋2) 二、填空题(每小题6分，共24分)6．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________.7．已知数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n 之间满足关系式S n ＝2－3a n ，则a n ＝__________.8．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n项和S n ＝________.9．设关于x 的不等式x 2－x<2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．三、解答题(共41分)10．(13分)已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，对于任意的n ∈N *满足关系式2S n ＝3a n －3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的通项公式是b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1，前n 项和为T n ，求证：对于任意的正数n ，总有T n <1.11．(14分)已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n·2n ＋1>50成立的最小正整数n 的值．12．(14分)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d>0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1n (a n ＋3) (n ∈N *)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在最大的整数t ，使得对任意的n 均有S n >t36总成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．答案 1.B 2.C 3.C4.B5.A6. 13(4n －1)7. 12⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －18.n n ＋19.10 10010. (1)解由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝3a n －3，2S n －1＝3a n －1－3(n ≥2)．故2(S n －S n －1)＝2a n ＝3a n －3a n －1，即a n ＝3a n －1 (n ≥2)．故数列{a n }为等比数列，且公比q ＝3.又当n ＝1时，2a 1＝3a 1－3，∴a 1＝3.∴a n ＝3n . (2)证明 ∵b n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1<1.11解 (1)设此等比数列为a 1，a 1q ，a 1q 2，a 1q 3，…，其中a 1≠0，q ≠0.由题意知：a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝28， ① a 1q ＋a 1q 3＝2(a 1q 2＋2)．②②×7－①得6a 1q 3－15a 1q 2＋6a 1q ＝0，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12.∵等比数列{a n }单调递增，∴a 1＝2，q ＝2，∴a n ＝2n . (2)由(1)得b n ＝－n·2n ，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝－(1×2＋2×22＋…＋n·2n )．设T n ＝1×2＋2×22＋…＋n·2n ，③ 则2T n ＝1×22＋2×23＋…＋n·2n ＋1.④由③－④，得－T n ＝1×2＋1×22＋…＋1·2n －n·2n ＋1 ＝2n ＋1－2－n·2n ＋1＝(1－n)·2n ＋1－2， ∴－T n ＝－(n －1)·2n ＋1－2.∴S n ＝－(n －1)·2n ＋1－2.要使S n ＋n·2n ＋1>50成立，即－(n －1)·2n ＋1－2＋n·2n ＋1>50，即2n >26.∵24＝16<26,25＝32>26，且y ＝2x 是单调递增函数， ∴满足条件的n 的最小值为5.12解 (1)由题意得(a 1＋d)(a 1＋13d)＝(a 1＋4d)2，整理得2a 1d ＝d 2.∵a 1＝1，解得d ＝2，d ＝0(舍)． ∴a n ＝2n －1 (n ∈N *)．(2)b n ＝1n (a n ＋3)＝12n (n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n 2(n ＋1).假设存在整数t 满足S n >t36总成立，又S n ＋1－S n ＝n ＋12(n ＋2)－n 2(n ＋1)＝12(n ＋2)(n ＋1)>0，∴数列{S n }是单调递增的．∴S 1＝14为S n 的最小值，故t 36<14，即t<9. 又∵t ∈Z ，∴适合条件的t 的最大值为8.。

优秀的数列求和单元测试题

数列求和单元测试题(一)选择题： 1. 已知数列: 211⨯,321⨯,431⨯,…, )1(1+n n ,…,则其前n 项的和n S 为( ) A.n 11+ B.n 11- C.12++n n D.1+n n2. 数列 ,,,,132a a a 的前n 项的和n S =( ) A.aa n--11 B.aa n ---111C.⎪⎩⎪⎨⎧=≠--)1()1(11n n a aa nD.⎪⎩⎪⎨⎧=≠---)1()1(111n n a a a n 3. 数列9,99,999,…的前n 项和是( ) A.n n+-)110(910 B.110-n C.)110(910-nD.n n --)110(910 4. 数列 ,1614,813,412,211⨯⨯⨯⨯的前n 项和是( )A.12212+--n n nB.n n n 22121---C.n n n 21)2(212-++D.1211)1(21--++n n n5. 数列)2141211()41211()211(11-+++++++++++=n n S =( )A.n n2B.1212-+n nC.12122-+-n nD.121--n n(二)填空题：6. 1-2+3-4+…+99-100的值是 ;1+3+3+…+81的值是 .7. 数列{n}的前n 项和是 . 8. 数列}{n a 的通项为nn a n ++=11,则100S = .9.3211⨯⨯+4321⨯⨯+5431⨯⨯+…+ )2)(1(1++n n n =.10. 已知某数列的通项公式为12-=n n a ,则2047是这个数列的( ) A.第10项 B.第11项 C.第12项 D.第13项11. 已知数列,,32,3,6,3 那么6是这个数列的( )A.第10项B.第11项C.第12项D.第13项12. 已知n n n a a a a a -===++1221,6,3,那么5a 的值是( )A.3B.6C.-3D.-613. 已知数列}{n a 满足na n a a 3log ,1211==+,则5a 的值是( )A.3log 42B.3log 52C.42)3(logD.52)3(log 14. (97高职)数列}{n a 的前n 项和)1(+=n n S n ,则它的第n 项n a 是( )A.nB.n(n+1)C.2nD.n 215. 已知数列}{n a 的通项公式为n a n 351-=,那么数列}{n a 的前n 项和nS 达到最大值时n=( )A.15B.18C.16或17D.19(二)填空题： 16. 数列1,41-,91,161-,x,361-,…中,x= . 17. 数列7,77,777,7777,77777,…的一个通项公式是 .18. 已知数列}{n a 的前n 项和12+=n S n ,则它的第n 项n a = . 19. 已知数列}{n a 的前n 项和1322+-=n n S n ,那么1054a a a +++ =.(三)解答题：20、已知数列}{n a 的前n 项和n S ,求数列}{n a 的通项公式: (1) n S n n 1)1(+-=; (2)322++=n n S n .21、已知数列}{n a 的前n 项和pn n S n +=2,数列}{n b 的前n 项和n n T n 232-=,若1010b a =,求p 的值.22、已知数列}{n a 的前n 项和1322++=n n S n ,求n a .23、写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下面各列数:(1)1,3,5,7; (2)1,3,6,10;(3)31,1,59,38; (4)21,49-,625,849-.24、求数列1-a ,22-a ,33-a ,…,n a n -,…的前n 项的和.25、求数列)1(-a ,)1(22-a ,)1(33-a ,…,)1(-n a n ,…的前n 项的和.26、求数列)1(-a ,)1(22-a ,)1(33-a ,…,)1(-n a n ,…的前n 项的和.27、已知数列 ,3211,,3211,211,11n+++++++,求该数列的前n 项和.。

数列求和专项练习(含答案)

数列求和专项练习1.在等差数列{}n a 中，已知34151296=+++a a a a ，求前20项之和。

2.已知等差数列{}n a 的公差是正数，且,4,126473-=+-=a a a a 求它的前20项之和。

3.等差数列{}n a 的前n 项和S n =m ,前m 项和S m =n (m>n )，求前m+n 项和S n+m4.设y x ≠，且两数列y a a a x ，，，，321和4321b y b b x b ，，，，，均为等差数列，求1243a a b b --5.在等差数列{}n a 中，前n 项和S n ,前m 项和为S m ，且S m =S n , n m ≠，求S n+m6.在等差数列{}n a 中，已知1791,25S S a ==，问数列前多少项为最大，并求出最大值。

7.求数列的通项公式：(1){}n a 中，23,211+==+n n a a a(2){}n a 中，023,5,21221=+-==++n n n a a a a a9.求证：对于等比数列前n 项和S n 有)(32222n n n n n S S S S S +=+10. 已知数列{}n a 中，前n 项和为S n ，并且有1),(241*1=∈+=+a N n a S n n (1)设),(2*1N n a a b n n n ∈-=+求证{}n b 是等比数列；(2)设),(2*N n a c nn ∈=求证{}n b 是等差数列；11.设数列满足，（Ⅰ)求数列的通项公式：（Ⅱ）令，求数列的前n 项和.【规范解答】（Ⅰ)由已知，当时，而，满足上述公式，所以的通项公式为. （Ⅱ）由可知，①从而 ②①②得{}n a 12a ={}n a n n b na ={}n b n S 1n ≥[]111211()()()n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+21232(1)13(222)22n n n --+-=++++=12a ={}n a 212n n a -=212n n n b na n -==•35211222322n n n s -=•+•+•++•23572121222322n n n s +=•+•+•++•-3521212(12)22222n n n n s -+-=++++-•即 12.已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n nn S n ，22. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()n nan a b n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和.【答案】(1) n a n = (2) 21222n n T n +=+-13.已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；211(31)229n n S n +⎡⎤=-+⎣⎦（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .（Ⅰ）由题设可知83241=⋅=⋅a a a a ，又941=+a a ，可解的⎩⎨⎧==8141a a 或⎩⎨⎧==1841a a （舍去）由314q a a =得公比2=q ，故1112--==n n n qa a . （Ⅰ）1221211)1(1-=--=--=n n n n q q a S 又1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-所以1113221211111...1111...++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=n n nn n S S S S S S S S b b b T12111--=+n .14. 设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233nn S =+.（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T . 【解析】所以，13,1,3,1,n n n a n -=⎧=⎨>⎩1363623n n +=-⨯ ，又1T 适合此式.13631243nnn T +=-⨯ 15.知等差数列满足：，，的前n 项和为．（1）求及；（2）令(n N *)，求数列的前n 项和．【命题立意】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和,考查了考生的逻辑推理、等价变形和运算求解能力.【思路点拨】(1)设出首项和公差，根据已知条件构造方程组可求出首项和公差，进而求出求及；(2)由(1)求出的通项公式，再根据通项的特点选择求和的方法.【规范解答】（1）设等差数列的公差为d ，因为，，所以有，解得，所以；==. （2）由（1）知，所以b n ===，所以==，即数列的前n 项和=.{}n a 37a =5726a a +={}n a n S n a n S n b =211n a -∈{}n b n T n a nS n b {}n a 37a =5726a a +=112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩13,2a d ==321)=2n+1n a n =+-（n S n(n-1)3n+22⨯2n +2n 2n+1n a =211n a -21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅111(-)4n n+1⋅n T 111111(1-+++-)4223n n+1⋅-11(1-)=4n+1⋅n4(n+1){}n b n T n4(n+1)。

数列求和综合练习题(含答案)

数列求和综合练习题一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11++=n n a n ，10n S =，则=n （）A ．90B ．121C ．119D ．1202．已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（） A.172 B.192C.10D.12 3．数列{}n a 中,1160,3n n a a a +=-=+，则此数列前30项的绝对值的和为 ( )A.720B.765C.600D.630 4．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则6S 等于( )A ．142 B ．45 C ．56 D ．675．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2·a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( ) A.12 B.314 C.172 D.1526．设是等差数列的前项和，已知，则等于 ( )A. 13B. 35C. 49D. 637．等差数列的前n 项和为= ( ) A ．18 B ．20 C ．21D ．228．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且336,0S a ==，则公差d 等于（） A.1- B.1 C.2- D.29．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111-=a ，664-=+a a ，则当n S 取最小值时，n 等于（） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 10．在等差数列中，已知，则该数列前11项的和等于（）A ．58B ．88C ．143D ． 17611．已知数列}{n a 的前n 项和为)34()1(2117139511--++-+-+-=+n S n n ,则312215S S S -+的值是（）A ．-76B ．76C ．46D ．1312．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，S n ＝15，则项数n 为( ) A ．12 B ．14 C ．15 D ．1613．等差数列{}n a 中，若14739a a a ++=，36927a a a ++=，则{}n a 的前9项和为( ) {}n a 5128,11,186,n S a S a ==则{}n a 4816a a +=11S二、解答题14．已知数列{}n a 的前n 项和()2*,n S n n N =∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 是等比数列，公比为()0q q >且11423,b S b a a ==+，求数列{}n b 的前n 项和n T .15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且93=S ，731,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的公差不为0，数列{}n b 满足nn n a b 2)1(-=，求数列{}n b 的前n 项和n T .16．设数列{}n a 的前n 项和122nn S ，数列{}n b 满足21(1)log n nb n a =+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．17．已知数列}{n a 的各项均为正数，n S 是数列}{n a 的前n 项和，且3242-+=n n n a a S ．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）n n n nn b a b a b a T b +++== 2211,2求已知的值．18．已知数列}{n a 的前n 项和nn S 2=，数列}{n b 满足)12(,111-+=-=+n b b b n n ()1,2,3,n =．（1）求数列}{n a 的通项n a ；（2）求数列}{n b 的通项n b ；（3）若nb ac nn n ⋅=，求数列}{n c 的前n 项和n T ．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S n +=2.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若*)(,1211N n a a a b n n n n ∈-+=+求数列}{n b 的前n 项和n S .20．已知数列{a n }的前n 项和2n n S a =-，数列{b n }满足b 1=1，b 3+b 7=18，且112n n n b b b -++=（n ≥2）.（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）若nnn a b c =，求数列{c n }的前n 项和T n.21．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}1{+n S 是公比为2的等比数列，2a 是1a 和3a 的等比中项. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）求数列{}n na 的前n 项和n T .22．设数列{}n a 满足11=a )(211*+∈=-N n a a n n n （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S三、填空题23．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若11a =，34a =，则2________;a =此数列的其前n 项和__________.n S =24．已知等差数列{}n a 中，52=a ，114=a ，则前10项和=10S ．25．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知488,12,S S ==则13141516a a a a +++的值为． 26．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,且3613S S =，则912S S = ．27．等差数列{}n a 中，10120S =，那么29a a += ．28．[2014·北京海淀模拟]在等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知a 5＝2S 4＋3，a 6＝2S 5＋3，则此数列的公比q ＝________.29．在等差数列}{n a 中，5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S = . 30．已知等差数列{}n a 中，已知8116,0a a ==，则18S =________________.31．已知等比数列的前项和为，若，则的值是 .32．已知{a n }是等差数列，a 1=1，公差d≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8= _________ ． 33．数列{}n an 项和为9n S =，则n =_________．34．[2014·浙江调研]设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝1，a n ＝－S n ·S n －1(n≥2)，则S n ＝________.}{n a n n S 62,256382-==S a a a a 1a参考答案1．D【解析】n n n n a n -+=++=111 ，()()111...23)12(-+=-+++-+-=∴n n n S n ，1011=-+n ，解得120=n ．【命题意图】本题考查利用裂项抵消法求数列的前n 项和等知识，意在考查学生的简单思维能力与基本运算能力． 2．B 【解析】试题分析：∵公差1d =，844S S =，∴11118874(443)22a a +⨯⨯=+⨯⨯，解得1a =12，∴1011199922a a d =+=+=，故选B. 考点：等差数列通项公式及前n 项和公式3．B 【解析】试题分析：因为13n n a a +=+，所以13n n a a +-=。

数列求和小练习10份-教师版

数列求和练习题一、解答题1．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 12a =，且124,,a a a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若11n n b S +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T . 【答案】(1) 2n a n =；（2）()22n nT n =+．【解析】试题分析：（1）利用等差等比基本公式，计算数列{}n a 的通项公式；（2）利用裂项相消法求和. 试题解析：(1)设公差为d ，因为1a ， 2a ， 4a 成等数列，所以2214a a a =，即()()22223d d +=+，解得2d =，或0d = (舍去)，所以()2212n a n n =+-=. (2)由(1)知()()2212nn n S nn +==+，所以()()111111212n n b S n n n n +===-++++， 111111233412n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()112222n nT n n =-=++. 2．设S n 为数列{a n }的前n 项和,已知a 1≠0,2a n -a 1=S 1·S n ,n ∈N *. (1)求a 1,a 2,并求数列{a n }的通项公式; (2)求数列{na n }的前n 项和.【答案】(1) a 1=1 a 2=2 a n =2n-1(2) B n =1+(n-1)·2n 【解析】解:(1)令n=1,得2a 1-a 1=21a ,即a 1=21a . 因为a 1≠0,所以a 1=1.令n=2,得2a2-1=S2=1+a2,解得a2=2.当n≥2时,由2a n-1=S n,2a n-1-1=S n-1两式相减,得2a n-2a n-1=a n,即a n=2a n-1.于是数列{a n}是首项为1,公比为2的等比数列.因此,a n=2n-1.所以数列{a n}的通项公式为a n=2n-1.(2)由(1)知,na n=n·2n-1.记数列{n·2n-1}的前n项和为B n,于是B n=1+2×2+3×22+…+n×2n-1,①2B n=1×2+2×22+3×23+…+n×2n.②①-②,得-B n=1+2+22+…+2n-1-n·2n=2n-1-n·2n.从而B n=1+(n-1)·2n.3．已知公差不为0的等差数列的首项，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）依题意可求得等差数列的公差，从而可数列的通项公式；（2）由已知可得，则，两式相减，可得，当时也适合，故，用错位相减法即可试题解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，由得：．因为，所以所以．（Ⅱ）①②②－①得：+．所以 +当时，，所以，，上述两式相减得，所以点睛：本题考查等比数列的性质与错位相减法求和，求得，的通项公式是关键，考查分析与转化的解决问题的能力，属中档题．4．已知各项都不相等的等差数列{}n a 的前6项和为60，且6a 为1a 和21a 的等比中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足1()n n n b b a n N *+-=∈，且13b =，求数列1{}nb 的前n 项和n T ．【答案】（1）23n a n =+；（2）2354(1)(2)n n nT n n +=++．【解析】试题分析：（1）根据等差数列的前n 项和公式及等比中项的概念联立方程组，可建立首项和公差的一元二次方程组，解出首项和公差，写出通项公式；（2）因为123n n n b b a n +-==+，故可采取累加法，求得b (2)n n n =+，从而11111()(2)22n b n n n n ==-++，采用裂项相消的办法求和．试题解析：（1）设等差数列的公差为（），则解得 ∴．（2）由，{}n a d 0d ≠()()1211161560,205,a d a a d a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩12,5,d a =⎧⎨=⎩23n a n =+1n n n b b a +-=∴，．∴． ∴．考点：1、等差数列的前n 项和；2、等差数列的通项公式；3、累加法求通项；4、裂项相消求和．5．在公差不为0的等差数列{}n a 中，148,,a a a 成等比数列，数列{}n a 的前10项和为45．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若11n n n b a a +=，且数列{}n b 的前项和为n T ，求n T ．【答案】（1）83n n a +=；（2）9nn +. 【解析】【分析】（1）根据条件列关于公差与首项的方程组，再将结果代入通项公式得结果，（2）利用裂项相消法求和. 【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由148,,a a a 成等比数列可得，2418•a a a =，即()()211137a d a a d +=+，11n n n b b a ---=()*2,n n ≥∈N ()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+1211n n a a a b --=++++()()()11432n n n n =--++=+()2n b n n =+()*n ∈N ()11111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭111111123242n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪+⎝⎭()()21311352212412n nn n n n +⎛⎫=--=⎪++++⎝⎭22211116+97a a d d a a d ∴+=+，0d ≠，1=9a d ∴.由数列{}n a 的前10项和为45，得101104545S a d =+=，即904545d d +=，故13d =，13a =. 故数列{}n a 的通项公式为83n n a +=；（2）()()1191198989n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭， 111111111199++=9=19101011111289999n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-⋯--- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 9nn =+ 【点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(其中{}n a 是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如1(1)(3)n n ++或1(2)n n +. 6．已知等差数列{a n }的公差大于0，且a 3，a 5是方程x 2﹣14x +45＝0的两根，数列{b n }的前n 项的和为S n ，且()*12nn b S n N -=∈．（Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）记c n ＝a n •b n ，求数列{c n }的前n 项和T n ．【答案】（Ⅰ）a n ＝2n ﹣113n n b =，（Ⅱ）113nnn T +=- 【解析】【分析】（Ⅰ）由已知可得，35351445a a a a +=⎧⎨⋅=⎩且a 5＞a 3，联立方程解得a 5，a 3，进一步求出数列{a n }通项，数列{b n }中，利用递推公式1121n n n s s n b s n --≥⎧=⎨=⎩，，（Ⅱ）用错位相减求数列{c n }的前n 项和【详解】（Ⅰ）∵a 3，a 5是方程x 2﹣14x +45＝0的两根，且数列{a n }的公差d ＞0， ∴a 3＝5，a 5＝9，公差53253a a d -==-． ∴a n ＝a 5+（n ﹣5）d ＝2n ﹣1．又当n ＝1时，有11112b b S -== ∴113b =当2n ≥时，有()1112n n n n n b S S b b --=-=-，∴()1123n n b n b -=≥． ∴数列{b n }是首项113b =，公比13q =等比数列， ∴1113n n nb b q-==．（Ⅱ）由（Ⅰ）知213n n n n n c a b -==，则123135213333n nn T -=++++（1） ∴234111352321333333n n n n n T +--=+++++（2）（1）﹣（2）得：2312312122221111121233333333333n n n n n n n T ++--⎛⎫=++++-=++++- ⎪⎝⎭ 化简得：113n n n T +=- 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，利用递推公式求通项，体现了数学中的转化思想；一般的，若数列{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，求数列{a n •b n }的前n 和可采用错位相减法7．已知等差数列的公差，它的前项和为，若，且成等比数列．（1）求数列的通项公式及前项和；（2）令，求数列的前项和．【答案】（1），；（2）.【解析】试题分析：（1）列出关于和的的方程组，解出和，从而可求出和；（2）利用裂项相消法求出 .试题解析：（1）依题意，有，即，又，解得∴ ，.（2）.∴.点睛：本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等. 8. 已知数列{}n a 是等差数列，且8161,24a S ==.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若数列{}n b 是递增的等比数列，且14239,8b b b b +==，求()()()()113355n n a b a b a b a b ++++++++L9．等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设 31323log log ......log n n b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（1）13n n a = （2）21nn -+ 【解析】试题分析：（Ⅰ）设出等比数列的公比q ，由23269a a a =，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q 的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q 的值，然后再根据等比数列的通项公式化简12231a a +=，把求出的q 的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q 写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式代入设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，利用对数的运算性质及等差数列的前n 项和的公式化简后，即可得到bn 的通项公式，求出倒数即为1nb 的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{1nb }的前n 项和试题解析：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q,由23a ＝9a 2a 6得23a ＝924a ,所以q 2＝19．由条件可知q ＞0,故q ＝13．由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1,所以a 1＝13．故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n ．（Ⅱ）b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－（1＋2＋…＋n ）＝－()21n n +．故()1211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭． 121111111122122311n n b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=--+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为21nn -+ 考点：等比数列的通项公式；数列的求和10．设数列n a 的前n 项和为n S ，且{}112,2n n n S b -=-为等差数列，且()112211,a b a b b a =-=.（1）求数列n a 和{}n b 的通项公式；（2）设nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）11,212n n n a b n -==-（2）()3232nn T n =+-⋅ 【解析】试题分析：（1）根据数量n a 和n S 的关系，即可求解数列{}n a 的通项公式，再利用等差数列通项公式，即可求解数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）可知()1212n n c n -=-⋅，利用乘公比错位相减法，即可求解数列{}n c 的和. 试题解析：（1）当1n =时， 111a S ==，当2n ≥时， 112111122222n n n n n n a S S ----⎛⎫⎛⎫=-=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，经验证当1n =时，此时也成立，所以112n n a -=，从而1112121,2a b a b b a ==-==，又因为{}n b 为等差数列，所以公差()2,11221n d b n n =∴=+-⋅=-，故数列{}n a 和{}n b 通项公式分别为： 11,212n n n a b n -==-. （2）由（1）可知()112121212n n n n c n ---==-⋅，所以()0121123252212n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⋅①①2⨯得()()12312123252232212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅②①-②得： ()()2112222212n n n T n --=++++--⋅()()()()1121212212124212323212n nn n n n n n -+-=+--⋅=+---⋅=---⋅-∴数列{}n c 的前n 项和()3232n n T n =+-⋅.11．知数列的前项和.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）。

【必刷题】2024高二数学上册数列求和技巧专项专题训练(含答案)

【必刷题】2024高二数学上册数列求和技巧专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn = n^2 + n，则数列{an}的通项公式为（）A. an = 2nB. an = 2n + 1C. an = n + 1D. an = n^22. 等差数列{an}的前5项和为35，第5项为15，则数列的公差为（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n 2，则数列的前10项和为（）A. 85B. 95C. 105D. 1154. 等比数列{an}的首项为2，公比为3，前4项和为（）A. 80B. 81C. 82D. 835. 数列{an}的通项公式为an = 2^n，则数列的前5项和为（）A. 30B. 31C. 32D. 336. 已知数列{an}的通项公式为an = n^2 + n，则数列的前6项和为（）A. 126B. 136C. 146D. 1567. 等差数列{an}的公差为2，第7项为17，则数列的前7项和为（）A. 84B. 88C. 92D. 968. 等比数列{an}的首项为3，公比为1/2，前5项和为（）A. 15/2B. 17/2C. 19/2D. 21/29. 数列{an}的通项公式为an = n(n+1)，则数列的前4项和为（）A. 20B. 24C. 28D. 3210. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn = n^3 + n^2，则数列{an}的通项公式为（）A. an = 3n^2 + 2nB. an = 3n^2 + 3nC. an = 2n^2 + 3nD. an = 2n^2 + 2n二、判断题：1. 等差数列的前n项和公式为Sn = n(a1 + an)/2。

（）2. 等比数列的前n项和公式为Sn = a1(1 q^n)/(1 q)，其中q为公比。

（）3. 数列{an}的通项公式为an = 2n，则数列的前n项和为n^2。

数列求和经典练习题(含答案解析)

1.在等差数列{a n }中，已知a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34，求前20项之和．解法一由a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34 得4a 1＋38d ＝34＝20a 1＋190d＝5(4a 1＋38d)=5×34=170由等差数列的性质可得：a 6＋a 15=a 9＋a 12＝a 1＋a 20 ∴a 1＋a 20=17 S 20＝1702.已知等差数列{a n }的公差是正数，且a 3·a 7=－12，a 4＋a 6=－4，求它的前20项的和S 20的值．解法一设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＞0，由已知可得由②，有a 1＝－2－4d ，代入①，有d 2=4 再由d ＞0，得d ＝2 ∴a 1=－10最后由等差数列的前n 项和公式，可求得S 20＝180 解法二由等差数列的性质可得： a 4＋a 6＝a 3＋a 7 即a 3＋a 7＝－4 又a 3·a 7=－12，由韦达定理可知： a 3，a 7是方程x 2＋4x －12＝0的二根解方程可得x 1=－6，x 2＝2又＝＋×S 20a d 20120192解法二 S =(a +a )202=10(a a )20120120×＋(a 2d)(a bd)12 a 3d a 5d = 41111＋＋＝－①＋＋＋－②⎧⎨⎩∵ d ＞0 ∴{a n }是递增数列 ∴a 3＝－6，a 7=23. 等差数列{a n }的前n 项和S n ＝m ，前m 项和S m ＝n(m ＞n)，求前m ＋n 项和S m+n ．解法一设{a n }的公差d 按题意，则有=－(m ＋n)解法二设S x ＝Ax 2＋Bx(x ∈N)①－②，得A(m 2－n 2)＋B(m －n)＝n －m ∵m ≠n ∴ A(m ＋n)＋B=－1 故A(m ＋n)2＋B(m ＋n)＝－(m ＋n) 即S m+n ＝－(m ＋n)4.设x ≠y ，且两数列x ，a 1，a 2，a 3，y 和b 1，x ，d =a =2a 10S 1807120--a 373，＝－，＝S na d m S ma d n (m n)a d =n mn 1m11＝＋＝①＝＋＝②①－②，得－·＋·－n n m m m n m n ()()()()--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪-+-121212即＋－∴··a d =11m n S m n a m n m n d m n a m n d m n++=++++-=+++-+12121211()()()()()Am Bm n An Bn m22＋＝①＋＝②⎧⎨⎪⎩⎪b b y b 234，，，均为等差数列，求．b b a a 4321--5.在等差数列{a n }中，设前m 项和为S m ，前n 项和为S n ，且S m ＝S n ，m ≠n ，求S m+n ．且S m ＝S n ，m ≠n∴S m+n ＝06. 在等差数列{a n }中，已知a 1＝25，S 9＝S 17，问数列前多少项和最大，并求出最大值．解法一建立S n 关于n 的函数，运用函数思想，求最大值．∵a 1=25，S 17＝S 9 解得d ＝－2∴当n=13时，S n 最大，最大值S 13＝169解法二因为a 1=25＞0，d ＝－2＜0，所以数列{a n }是递减等分析解 d =y x 51(1)=y x52(2)可采用＝由a a m na ab b m n ----------21433264(2)(1)÷，得b b a a 432183--=解 S (m n)a (m n)(m n 1)d(m n)[a (m n 1)d]m+n 11∵＝＋＋＋＋－＝＋＋＋－1212∴＋－＝＋－整理得－＋－＋－ma m(m 1)d na n(n 1)d(m n)a (m n)(m n 1)=011112122d即－＋＋－由≠，知＋＋－＝(m n)[a (m n 1)d]=0m n a (m n 1)d 0111212根据题意：＋×，＝＋×S =17a d S 9a d 1719117162982∴＝＋－－＋－－＋S 25n (2)=n 26n =(n 13)169n 22n n ()-12∵a 1＝25，S 9＝S 17∴a n =25＋(n －1)(－2)=－2n ＋27即前13项和最大，由等差数列的前n 项和公式可求得S 13=169．解法三利用S 9=S 17寻找相邻项的关系．由题意S 9=S 17得a 10＋a 11＋a 12＋…＋a 17=0 而a 10＋a 17=a 11＋a 16=a 12＋a 15=a 13＋a 14 ∴a 13＋a 14＝0，a 13=－a 14 ∴a 13≥0，a 14≤0 ∴S 13=169最大．解法四根据等差数列前n 项和的函数图像，确定取最大值时的n ． ∵{a n }是等差数列 ∴可设S n ＝An 2＋Bn二次函数y=Ax 2＋Bx 的图像过原点，如图3．2－1所示∵S 9＝S 17，∴取n=13时，S 13＝169最大差数列，若使前项和最大，只需解≥≤，可解出．n a 0a 0n n n+1⎧⎨⎩∴×＋××＋×，解得－9252d =1725d d =29817162∴－＋≥－＋＋≥≤≥∴2n 2702(n 1)270n 13.5n 12.5n =13⎧⎨⎩⇒⎧⎨⎩∴对称轴 x =9+172=137．求数列的通项公式：(1){a n }中，a 1＝2，a n+1＝3a n ＋2(2){a n }中，a 1=2，a 2＝5，且a n+2－3a n+1＋2a n ＝0 思路：转化为等比数列．∴{a n ＋1}是等比数列 ∴a n ＋1=3·3n-1 ∴a n =3n －1∴{a n+1－a n }是等比数列，即 a n+1－a n =(a 2－a 1)·2n-1=3·2n-1再注意到a 2－a 1=3，a 3－a 2=3·21，a 4－a 3=3·22，…，a n －a n-1=3·2n-2，这些等式相加，即可以得到+2说明解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知．(1)中发现{a n ＋1}是等比数列，(2)中发现{a n+1－a n }是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体现．8. 三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数．解法一按等比数列设三个数，设原数列为a ，aq ，aq 2 由已知：a ，aq ＋4，aq 2成等差数列即：2(aq ＋4)=a ＋aq 2①a ，aq ＋4，aq 2＋32成等比数列即：(aq ＋4)2=a(aq 2＋32)解 (1)a =3a 2a 1=3(a 1)n+1n n+1n ＋＋＋⇒(2)a 3a 2a =0a a =2(a a )n+2n+1n n+2n+1n+1n －＋－－⇒a =3[1222]=3=3(21)n 2n-2n 1＋＋＋…＋·－21211n ----⇒aq 2=4a ＋②解法二按等差数列设三个数，设原数列为b －d ，b －4，b ＋d由已知：三个数成等比数列即：(b －4)2=(b －d)(b ＋d)b －d ，b ，b ＋d ＋32成等比数列即b 2=(b －d)(b ＋d ＋32)解法三任意设三个未知数，设原数列为a 1，a 2，a 3 由已知：a 1，a 2，a 3成等比数列a 1，a 2＋4，a 3成等差数列得：2(a 2＋4)=a 1＋a 3②a 1，a 2＋4，a 3＋32成等比数列得：(a 2＋4)2=a 1(a 3＋32)③①，②两式联立解得：或－∴这三数为：，，或，，．a =2q =3a =29q =52618⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎩⎪-29109509⇒8b d =162－①⇒32b d 32d =02－－②①、②两式联立，解得：或∴三数为，，或，，．b =269d =83b =10d =82618⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎩-29109509得：①a =a a 2213说明将三个成等差数列的数设为a －d ，a ，a ＋d ；将三个成简化计算过程的作用．9.证 ∵S n =a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n-1 S 2n =S n ＋(a 1q n ＋a 1q n+1＋…＋a 1q 2n-1) =S n ＋q n (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n-1) =S n ＋q n S n =S n (1＋q n )类似地，可得S 3n =S n (1＋q n ＋q 2n )说明本题直接运用前n 项和公式去解，也很容易．上边的解法，灵活地处理了S 2n 、S 3n 与S n 的关系．介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键，并且变得好，则解法巧． 10．数列{a n }是等比数列，其中S n =48，S 2n =60，求S 3n ．解法一利用等比数列的前n 项和公式若q=1，则S n =na 1，即na 1=48，2na 1=96≠60，所以q ≠1①、②、③式联立，解得：或a =29a =109a =509a =2a =6a =18123123-⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎪等比数列的数设为，，或，，是一种常用技巧，可起到a aq aq (a aq)2aq＋＋．S S =S (S S )n 22n 2n 2n 3n ∴＋＋＋＋S +S =S [S (1q )]=S (22q q )n 22n 2n 2n n 2n2n 2nS (S S )=S [S (1q )S (1q q )]=S (22q q )S S =S (S S )n 2n 3n n n n n n 2n n 2n 2nn 22n 2n 2n 3n ＋＋＋＋＋＋＋∴＋＋∵S =a (1q )1n 1n --q=S n (1＋q n ＋q 2n )解法二利用等比数列的性质：S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列 ∴ (60－48)2=48·(S 3n －60) ∴ S 3n =63．解法三取特殊值法取n=1，则S 1=a 1=48，S 2n =S 2=a 1＋a 2=60 ∴ a 2=12∵ {a n }为等比数列S 3n =S 3=a 1＋a 2＋a 3=6311．已知数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，并且S n+1=4a n ＋2(n ∈N*)，a 1=1(1)设b n =a n+1－2a n (n ∈N*)，求证：数列{b n }是等比数列；解 (1)∵ S n+1=4a n ＋2 S n+2=4a n+1＋2S =a (1)a (1)(1+)1q 2n 11--=--=+q qq q S q nn n n n 211()∴q =14S =a (1q )1qn 3n 13n --=-++-a q q q qn n n 12111()()∴S =48(1+116)=633n +14∴ q =a a a =3213=14(2)c =a 2(n N*){c }n nnn 设∈，求证：数列是等差数列．两式相减，得S n+2－S n+1=4a n+1=4a n (n ∈N*) 即：a n+2=4a n+1－4a n变形，得a n+2－2a n+1=2(a n+1－2a n ) ∵ b n =a n+1－2a n (n ∈N*) ∴ b n+1=2b n由此可知，数列{b n }是公比为2的等比数列．由S 2=a 1＋a 2=4a 1＋2，a 1=1 可得a 2=5，b 1=a 2－2a 1=3 ∴ b n =3·2n-1将b n =3·2n-1代入，得说明利用题设的已知条件，通过合理的转换，将非等差、非等比数列转化为等差数列或等比数列来解决(2) c =a 2(n N*)c =b 2n nnn+1n n+1∵∈∴-=-=-++++c a a a a n n n n n n nn 11112222c c =34(n N*)n+1n －∈由此可知，数列是公差的等差数列，它的首项，故＋－·即：{c }d =34c =a 2c =(n 1)C =34n 11n n =-12123414n。

(完整版)数列求和练习题

数列求和1.在等差数列}{n a 中，5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S =( ) A.7 B.15 C.20 D.252．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )． A ．15B ．12C ．－12D ．－153．数列112，314，518，7116，…的前n 项和S n 为( )．A ．n 2＋1－12n －1B ．n 2＋2－12nC ．n 2＋1－12nD ．n 2＋2－12n －14．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为( )． A ．11B ．99C ．120D ．1215. 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，令b n ＝1n(a 1＋a 2＋…＋a n )，则数列{b n }的前10项和T 10＝( )A ．70B ．75C ．80D ．856．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a 、b ∈R)，且S 25＝100，则a 12＋a 14等于( )A ．16B ．8C ．4D ．不确定 7．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为( )．A ．1－14nB ．1－12n C.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n D.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n二、填空题8．数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋n ＋1，其前n 项之和为10，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为________．9．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________.10．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和S n ＝________.11．定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，若数列{a n}满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1122 1＝1且⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 3a n a n ＋1＝12(n ∈N *)，则a 3＝________，数列{a n }的通项公式为a n ＝________.12．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，那么数列{b n }＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和S n 为________．三、解答题13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 15＝225. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋2n ，求数列{b n }的前n 项和T n .14．设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .15．设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝21，a 5＋b 3＝13.(1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n b n 的前n 项和S n .16．等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960. (1)求a n 与b n ； (2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n.。

数列求和练习题

数列求与问题例1．求与：（1）)()2()1(2n a a a n -++-+- （2）)12)(12(1531311+-++⨯+⨯n n （3）)1(32112≠++++-x nx x x n例2．在等差数列{}n a 中，11a =，前n 项与n S 满足条件242,1,2,1n n S n n S n +==+，（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记(0)nan n b a p p =>，求数列{}n b 的前n 项与n T 。

例3．正项数列}{n a 的前n 项与为n S ，且.12+=n n a S (公差为2) （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设.21:,}{,11<⋅=+n n n n n nT T n b a a b 求证项和为的前数列四、练习题：1．数列}{n a 的通项公式是)(11+∈++=N n n n a n ，若它的前n 项与为10，则其项数n 为A ．11B ．99C ．120D ．1212．数列 ,211,,3211,211,1n ++++++的前n 项与为 A ．122+n n B ．12+n n C ．12++n n D ．12+n n3．数列}{n a 的通项是14-=n a n ，na a ab nn +++= 21，则数列}{n b 的的前n 项与为4．已知数列}{n a 的前n项与为142+-=n n S n ，则||||||||10321a a a a ++++ 的值是5．设221)(+=x x f ，利用课本中推导等差数列前n 项与公式的方法，可求)0()4()5(f f f ++-+- )6()5(f f ++的值为A ．23B ．2C ．22D ．22 6．22222212979899100-++-+- 的值是 7．数列 ,21)12(,,815,413,211n n +-的前n 项与为n S ，则=n S 8．在等比数列}{n a 中，1221-=+++n n a a a ，则=+++22221n a a a 9．数列2211,(12),(122),,(1222),n -+++++++的通项公式n a = ，前n 项与n S = .10．若数列{}n a 满足 12a =，1(1)2n n na n a +-+=，则数列{}n a 的通项公式n a =___13．已知数列}{n a 是等差数列，其前n 项与为.621,33=⋅=S a S n （I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）求与：nS S S 11121+++ . 6，1214．设数列}{n a 的前n 项与为22n S n =，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-=（Ⅰ）求数列}{n a 与}{n b 的通项公式；（Ⅱ）设nnnb ac =，求数列}{n c 的前n 项与n T .15. 设数列{}n a 的前n 项与为n S ，且对任意正整数n ，4096n n a S +=。

数列求和训练题

两式相加得 3Tn＝a1＋2(a1＋a2)＋22(a2＋a3)＋…＋2n－1(an－1＋an)＋2nan ＝2＋2×12＋22×212＋…＋2n－1×2n1－1＋2nan ＝2＋(n－1)×1＋2nan＝n＋1＋2nan，所以 bn＝2n，从而 Sn＝211－－22n＝2n＋1－2.
二、高考小题
l
Tl
n
an＋1
13 2 3
2 10 4 5
3 30 7 9
4 94 12 17
5 318 21 33
6 1150 38 65
12an＋1 36 60 108 204 396 780
观察到 l＝5 时，Tl＝S21<12a22，l＝6 时，Tl＝S38>12a39，则 n∈[22,38)， n∈N*时，存在 n，使 Sn≥12an＋1，此时 T5＝A1＋A2＋…＋A16＋B1＋B2＋B3 ＋B4＋B5，则当 n∈[22,38)，n∈N*时，Sn＝T5＋n－22＋12A22－5＋An－5＝ n2－10n＋87.an＋1＝An＋1－5＝An－4,12an＋1＝12[2(n－4)－1]＝24n－108，Sn－ 12an＋1＝n2－34n＋195＝(n－17)2－94，则当 n≥27 时，Sn－12an＋1>0，即 nmin＝27.
13．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a3＝3，S4＝10，
n
则∑ k＝1
S1k＝________.
答案
2n n＋1
解析设等差数列{an}的公差为 d，
则4aa1＋1＋26dd＝＝31，0， ∴ad＝1＝11，， ∴an＝n.
∴等差数列{an}的前 n 项和 Sn＝1＋2＋…＋n＝nn＋ 2 1，∴S1n＝nn2＋1

数列求和练习试题

数列求和练习试题1 / 17数列求和练习题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11++=n n a n ，10n S =，则=n （）A ．90B ．121C ．119D ．1202．已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（）（A ）172 （B ）192（C ）10 （D ）12 3．数列{}n a 中,1160,3n n a a a +=-=+，则此数列前30项的绝对值的和为 ( )A.720B.765C.600D.630 4．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则6S 等于A ．142 B ．45 C ．56 D ．675．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2·a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( ) A.12 B.314 C.172 D.1526．设是等差数列的前项和，已知，则等于 ( )A. 13B. 35C. 49D. 637．等差数列的前n 项和为= ( ) A ．18 B ．20 C ．21D ．228．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且336,0S a ==，则公差d 等于（）（A ）1- （B ）1 （C ）2- （D ）29．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111-=a ，664-=+a a ，则当n S 取最小值时，n 等于（）A ．6B ．7C ．8D ．9 10．在等差数列中，已知，则该数列前11项的和等于A ．58B ．88C ．143D ． 17611．已知数列}{n a 的前n 项和为)34()1(2117139511--++-+-+-=+n S n n ,则312215S S S -+的值是（）A ．-76B ．76C ．46D ．13{}n a 5128,11,186,n S a S a ==则{}n a 4816a a +=11S12．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，S n ＝15，则项数n 为( )A ．12B ．14C ．15D ．1613．等差数列{}n a 中，若14739a a a ++=，36927a a a ++=，则{}n a 的前9项和为( )A ．297B ．144C ．99D ．66一、解答题（题型注释）14．已知数列{}n a 的前n 项和()2*,n S n n N =∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 是等比数列，公比为()0q q >且11423,b S b a a ==+，求数列{}n b 的前n 项和n T .15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且93=S ，731,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的公差不为0，数列{}n b 满足nn n a b 2)1(-=，求数列{}n b 的前n 项和n T .16．设数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，数列{}n b 满足21(1)log n nb n a =+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．17．已知数列}{n a 的各项均为正数，n S 是数列}{n a 的前n 项和，且3242-+=n n n a a S ．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）n n n nn b a b a b a T b +++== 2211,2求已知的值．18．已知数列}{n a 的前n 项和nn S 2=，数列}{n b 满足)12(,111-+=-=+n b b b n n()1,2,3,n =．（1）求数列}{n a 的通项n a ；数列求和练习试题3 / 17（2）求数列}{n b 的通项n b ；（3）若nb ac nn n ⋅=，求数列}{n c 的前n 项和n T ．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S n +=2.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若*)(,1211N n a a a b n n n n ∈-+=+求数列}{n b 的前n 项和n S .20．已知数列{a n }的前n 项和2n n S a =-，数列{b n }满足b 1=1，b 3+b 7=18，且112n n n b b b -++=（n ≥2）.（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）若nnn a b c =，求数列{c n }的前n 项和T n.21．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}1{+n S 是公比为2的等比数列，2a 是1a 和3a 的等比中项.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）求数列{}n na 的前n 项和n T . 22．设数列{}n a 满足11=a )(211*+∈=-N n a a n n n （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S二、填空题23．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若11a =，34a =，则2________;a =此数列的其前n 项和__________.n S =24．已知等差数列{}n a 中，52=a ，114=a ，则前10项和=10S ． 25．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知488,12,S S ==则13141516a a a a +++的值为．26．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,且3613S S =，则912S S = ．27．等差数列{}n a 中，10120S =，那么29a a += ．28．[2014·北京海淀模拟]在等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知a 5＝2S 4＋3，a 6＝2S 5＋3，则此数列的公比q ＝________.29．在等差数列}{n a 中，5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S = . 30．已知等差数列{}n a 中，已知8116,0a a ==，则18S =________________.31．已知等比数列的前项和为，若，则的值是 . 32．（2013•重庆）已知{a n }是等差数列，a 1=1，公差d≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8= _________ ． 33．数列{}n a 的通项公式nn a n ++=11，它的前n 项和为9n S =，则n =_________．34．[2014·浙江调研]设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝1，a n ＝－S n ·S n －1(n≥2)，则S n ＝________.}{n a n n S 62,256382-==S a a a a 1a数列求和练习试题1 / 17参考答案1．D【解析】n n n n a n -+=++=111 ，()()111...23)12(-+=-+++-+-=∴n n n S n ，1011=-+n ，解得120=n ．【命题意图】本题考查利用裂项抵消法求数列的前n 项和等知识，意在考查学生的简单思维能力与基本运算能力． 2．B 【解析】试题分析：∵公差1d =，844S S =，∴11118874(443)22a a +⨯⨯=+⨯⨯，解得1a =12，∴1011199922a a d =+=+=，故选B. 考点：等差数列通项公式及前n 项和公式3．B 【解析】试题分析：因为13n n a a +=+，所以13n n a a +-=。