【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习题组层级快练38含答案

题组层级快练(三十八)

1．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64

答案 A

解析 a 1＝S 1＝1，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1(n ≥2)．a 8＝2×8－1＝15.故选A. 2．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，则a 2 013等于( ) A ．2 013×2 014 B ．2 012×2 013 C ．2 011×2 012 D ．2 013×2 013

答案 B

解析 累加法易知选B.

3．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且1x n －1＋1x n ＋1＝2

x n (n ≥2)，则x n 等于( )

A ．(23)n －

1

B ．(2

3)n

C.n ＋12

D.2n ＋1

答案 D

解析 由关系式易知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为首项为1x 1＝1，d ＝12的等差数列，1x n ＝n ＋12，所以x n ＝2

n ＋1

.

4．已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＝1

2a n －1＋1(n ≥2)，则a n ＝( )

A ．2－(12)n －

1

B ．(12)n －

1－2

C ．2－2n －

1

D ．2n －1

答案 A

解析 设a n ＋c ＝12(a n －1＋c )，易得c ＝－2，所以a n －2＝(a 1－2)(12)n －1＝－(12)n －

1，所以选

A.

5．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝3

2a n －3，则这个数列的通项公式a n ＝( )

A ．2(n 2＋n ＋1)

B ．2·3n

C ．3·2n

D ．3n ＋1

答案 B

解析 a n ＝S n －S n －1，可知选B.

6．(2015·衡水调研)运行如图的程序框图，则输出的结果是( )

A ．2 014

B ．2 013 C.12 014 D.12 013

答案 D

解析 如果把第n 个a 值记作a n ，第1次运行后得到a 2＝a 1

a 1＋1，第2次运行后得到a 3＝

a 2a 2＋1，…，第n 次运行后得到a n ＋1＝a n

a n ＋1，则这个程序框图的功能是计算数列{a n }的第2 013项．将a n ＋1＝a n a n ＋1变形为1a n ＋1＝1a n ＋1，故数列{1a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故1a n ＝

n ，即a n ＝1n ，所以输出结果是1

2 013

.故选D.

7．在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，则通项公式a n ＝________.

答案 4－1

n

解析 原递推式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1

n ＋1，

则a 2＝a 1＋11－12，a 3＝a 2＋12－1

3，

a 4＝a 3＋13－14，…，a n ＝a n －1＋1n －1－1

n .

逐项相加，得a n ＝a 1＋1－1n .故a n ＝4－1

n

.

8．已知数列{a n }的首项a 1＝1

2，其前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥1)，则数列{a n }的通项公式为

________．

答案 a n ＝1

n (n ＋1)

解析 由a 1＝1

2，S n ＝n 2a n ，①

∴S n －1＝(n －1)2a n －1.②

①－②，得a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －1，

即a n ＝n 2a n －(n －1)2a n －1，亦即a n a n －1＝n －1

n ＋1(n ≥2)．

∴a n a 1＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·n －3n －1·…·24·13＝2n (n ＋1). ∴a n ＝1n (n ＋1)

.

9．在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，有a n ＝3a n －1＋2，则a n ＝________. 答案 2·3n －

1－1

解析 设a n ＋t ＝3(a n －1＋t )，则a n ＝3a n －1＋2t .

∴t ＝1，于是a n ＋1＝3(a n －1＋1)．∴{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，以3为公比的等比数列．

∴a n ＝2·3n －

1－1.

10．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1＋2n ＋

1(n ≥2)，则a n ＝________.

答案 (2n －1)·2n

解析 ∵a 1＝2，a n ＝2a n －1＋2n ＋

1(n ≥2)，

∴a n 2n ＝a n －12n －1＋2.令b n ＝a n

2n ，则b n －b n －1＝2(n ≥2)，b 1＝1. ∴b n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1，则a n ＝(2n －1)·2n .

11．若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 答案 2n (n －1)2

解析 由于a n ＋1a n ＝2n ，故a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a n a n －1

＝2n －

1，将这n －1个等式叠乘，得a n a 1＝

21

＋2＋…＋(n －1)

＝2

n (n －1)2，故a n ＝2n (n －1)

2

. 12．已知{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝a n

3a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________．

答案 a n ＝1

3n －2

解析 由已知，可得当n ≥1时，a n ＋1＝a n

3a n ＋1.

两边取倒数，得1

a n ＋1＝3a n ＋1a n ＝1a n ＋3.

即

1

a n ＋1－1a n ＝3，所以{1a n }是一个首项为1

a 1＝1，公差为3的等差数列．

则其通项公式为1a n ＝1

a 1＋(n －1)×d ＝1＋(n －1)×3＝3n －2.

所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1

3n －2

.