【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习题组层级快练38含答案

题组层级快练(三十八)
1．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64
答案 A
解析 a 1＝S 1＝1，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1(n ≥2)．a 8＝2×8－1＝15.故选A. 2．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，则a 2 013等于( ) A ．2 013×2 014 B ．2 012×2 013 C ．2 011×2 012 D ．2 013×2 013
答案 B
解析 累加法易知选B.
3．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且1x n －1＋1x n ＋1＝2
x n (n ≥2)，则x n 等于( )
A ．(23)n －
1
B ．(2
3)n
C.n ＋12
D.2n ＋1
答案 D
解析 由关系式易知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为首项为1x 1＝1，d ＝12的等差数列，1x n ＝n ＋12，所以x n ＝2
n ＋1
.
4．已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＝1
2a n －1＋1(n ≥2)，则a n ＝( )
A ．2－(12)n －
1
B ．(12)n －
1－2
C ．2－2n －
1
D ．2n －1
答案 A
解析 设a n ＋c ＝12(a n －1＋c )，易得c ＝－2，所以a n －2＝(a 1－2)(12)n －1＝－(12)n －
1，所以选
A.
5．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝3
2a n －3，则这个数列的通项公式a n ＝( )
A ．2(n 2＋n ＋1)
B ．2·3n
C ．3·2n
D ．3n ＋1
答案 B
解析 a n ＝S n －S n －1，可知选B.
6．(2015·衡水调研)运行如图的程序框图，则输出的结果是( )
A ．2 014
B ．2 013 C.12 014 D.12 013
答案 D
解析 如果把第n 个a 值记作a n ，第1次运行后得到a 2＝a 1
a 1＋1，第2次运行后得到a 3＝
a 2a 2＋1，…，第n 次运行后得到a n ＋1＝a n
a n ＋1，则这个程序框图的功能是计算数列{a n }的第2 013项．将a n ＋1＝a n a n ＋1变形为1a n ＋1＝1a n ＋1，故数列{1a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故1a n ＝
n ，即a n ＝1n ，所以输出结果是1
2 013
.故选D.
7．在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，则通项公式a n ＝________.
答案 4－1
n
解析 原递推式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1
n ＋1，
则a 2＝a 1＋11－12，a 3＝a 2＋12－1
3，
a 4＝a 3＋13－14，…，a n ＝a n －1＋1n －1－1
n .
逐项相加，得a n ＝a 1＋1－1n .故a n ＝4－1
n
.
8．已知数列{a n }的首项a 1＝1
2，其前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥1)，则数列{a n }的通项公式为
________．
答案 a n ＝1
n (n ＋1)
解析 由a 1＝1
2，S n ＝n 2a n ，①
∴S n －1＝(n －1)2a n －1.②
①－②，得a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －1，
即a n ＝n 2a n －(n －1)2a n －1，亦即a n a n －1＝n －1
n ＋1(n ≥2)．
∴a n a 1＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·n －3n －1·…·24·13＝2n (n ＋1). ∴a n ＝1n (n ＋1)
.
9．在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，有a n ＝3a n －1＋2，则a n ＝________. 答案 2·3n －
1－1
解析 设a n ＋t ＝3(a n －1＋t )，则a n ＝3a n －1＋2t .
∴t ＝1，于是a n ＋1＝3(a n －1＋1)．∴{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，以3为公比的等比数列．
∴a n ＝2·3n －
1－1.
10．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1＋2n ＋
1(n ≥2)，则a n ＝________.
答案 (2n －1)·2n
解析 ∵a 1＝2，a n ＝2a n －1＋2n ＋
1(n ≥2)，
∴a n 2n ＝a n －12n －1＋2.令b n ＝a n
2n ，则b n －b n －1＝2(n ≥2)，b 1＝1. ∴b n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1，则a n ＝(2n －1)·2n .
11．若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 答案 2n (n －1)2
解析 由于a n ＋1a n ＝2n ，故a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a n a n －1
＝2n －
1，将这n －1个等式叠乘，得a n a 1＝
21
＋2＋…＋(n －1)
＝2
n (n －1)2，故a n ＝2n (n －1)
2
. 12．已知{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝a n
3a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________．
答案 a n ＝1
3n －2
解析 由已知，可得当n ≥1时，a n ＋1＝a n
3a n ＋1.
两边取倒数，得1
a n ＋1＝3a n ＋1a n ＝1a n ＋3.
即
1
a n ＋1－1a n ＝3，所以{1a n }是一个首项为1
a 1＝1，公差为3的等差数列．
则其通项公式为1a n ＝1
a 1＋(n －1)×d ＝1＋(n －1)×3＝3n －2.
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1
3n －2
.
13．如下图，它满足：①第n 行首尾两数均为n ；②表中的递推关系类似杨辉三角，则第n 行(n ≥2)第2个数是________.
答案 n 2－n ＋22
解析 设第n 行的第2个数为a n ，不难得出规律a n ＋1＝a n ＋n ，累加得a n ＝a 2＋2＋3＋…＋(n －1)＝n 2－n ＋2
2
.
14．数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝a ，S n ＋1＝2S n ＋n ＋1，n ∈N *，求数列{a n }的通项公式．
答案 a n ＝⎩
⎪⎨⎪
⎧ a ，(a ＋3)·2n －2
－1，
n ＝1，n ≥2
解析 由S n ＋1＝2S n ＋n ＋1，① 得S n ＝2S n －1＋(n －1)＋1(n ≥2)．② ①－②，得
S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1)＋n －(n －1)． 故a n ＋1＝2a n ＋1.(n ≥2) 又a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，所以
a n ＋1＋1
a n ＋1
＝2(n ≥2)． 故数列{a n ＋1}是从第2项起，以a 2＋1为首项，公比为2的等比数列．又S 2＝2S 1＋1＋1，a 1＝a ，所以a 2＝a ＋2.
故a n ＝(a ＋3)·2n －
2－1(n ≥2)．
又a 1＝a 不满足a n ＝(a ＋3)·2n －
2－1，
所以a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧ a ，(a ＋3)·2n －
2－1，
n ＝1，n ≥2.
15．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足：a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n
3n ＋1，求数列{b n }的通项公式．
答案 (1)a n ＝2n (2)b n ＝2(3n ＋1)
解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (n ＋1)－(n －1)n ＝2n ，知a 1＝2满足该式，
∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .
(2)∵a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n
3n ＋1(n ≥1)，①
∴a n ＋1＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n
3n ＋1＋b n ＋13n ＋1＋1.②
②－①，得
b n ＋1
3n ＋1
＋1
＝a n ＋1－a n ＝2，b n ＋1＝2(3n ＋
1＋1)． 故b n ＝2(3n ＋1)(n ∈N *)．。