湖北省江陵县实验高中2013届高三上学期期中考试理科数学
2013年秋期期中考试高三理科数学参考答案
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2013年秋期期中考试高三理科数学参考答案一.选择题:二.填空题: 13. 725 14. -192 15.1544⎛⎤⎥⎝⎦, 16. ①③ 三、解答题:17.解:由题意可知:M ()10,()cos ,sin P x x ()1cos ,sin OQ x x ∴=+ ,1cos OM OQ x ⋅=+又sin ,()1cos 2sin()1,(0)6S x f x x x x x ππ=∴=++=++<<令22,262k x k πππππ-+≤+≤+∴222,()33k x k k z ππππ-+≤≤+∈ 又0x π<<,∴函数的单调递增区间为0,3π⎛⎤⎥⎦⎝18. 证明:(1)121+=+n n a a ,)1(211+=+∴+n n a a , 又11a =,∴11a +≠0,1n a +≠0,∴1121n n a a ++=+,∴数列}1{+n a 是首项为2,公比为2的等比数列. 12nn a +=即,因此12-=n n a . (2)∵()nnb b b b a n 144441111321+=⋅⋅---- ,∴232124nn b b b b n=-++++ , ∴()232122n n b b bb n=-++++ , 即()n n b b b b n 222321+=++++ ,∴21231==.2n nSb b b b n n +++++ 19.解:(I )由已知条件: 20π≤≤x , 得:22)2sin 23(sin )2cos 23(cos )2sin 23sin ,2cos 23(cos x x x x x x x x b a -++=-+=+20. 解:(1)()2sin(2)16f x x m π=++-,2sin(2)16m x π∴=++在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有7022666x x ππππ≤≤∴≤+≤02sin(2)3,036x m π∴≤+≤∴≤≤ (2)3,()2sin(2)216m f A A π=∴=+-=- ,1sin(2),226266A A k ππππ∴+=∴+=+或522,()66A k k Z πππ+=+∈(0,)3A A ππ∈∴=,23A b c π∴=+=≥ ,当且仅当b c =时bc 有最大值1。
湖北省荆州市2013届高中毕业班质量检查数学理科
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湖北省荆州市2013届高中毕业班质量检查(Ⅰ)数学(理工农医类)本试卷共三大题22道小题,满分150分,考试用时120分钟。
注意事项:1·答卷前,考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填在试题答题卡上。
2·第1至10小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第11至22题用钢笔或者圆珠笔在答题卡上作答,答在试题卷上无效。
3·考试结束,只交答题卡。
本科目考试时间:2012年12月1日下午3:00—5:00一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项正确,每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,多涂、不涂或涂错均得0分.1 设集合21,1A xx R x ⎧⎫=>∈⎨⎬-⎩⎭,{B x y ==,则(R A ð)B =A {}11x x -≤≤B {}11x x -<<C {}1,1-D {}1 A B C D2 设函数()f x 在R 上可导,其导函数是()f x ',且函数()f x 在2x =-处取得极小值,则函数()y xf x '=的图像可能是3 已知4sin cos (0)34πθθθ+=<<,则sin cos θθ-的值为A3 B3- C 13 D 13-4 ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为a,b,c,若a,b,c 成等比数列,且2c a =,则cos B =A34 B3 C4D 14 5 已知函数()12x f x =-,2()43g x x x =-+,若有()()f a g b =,则b 的取值范围是A2⎡⎣ B(22+ C []1,3 D ()1,3 6 公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若4a 是3a 与7a 的等比中项,且1060S =,则20S =A 80B 160C 320D 6407 在ABC ∆中,2,4AB AC ==,若点P 为ABC ∆的外心,则AP BC的值为A 2B 4C 6D 88 设定义域为R 的函数1251,0()44,0x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩,若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有5个不同的实数解,则m =A 2B 6C 2或6D 4或69函数()f x 的定义域为D ,若存在闭区间[],m n D ⊆,使得函数()f x 满足:①()f x 在[],m n 上是单调函数,②()f x 在[],m n 上的值域为[]2,2m n ,则称区间[],m n 为()y f x =的“倍值区间”,以下函数:①2(),(0)f x x x =≥;②()()xf x e xR =∈;③24()(0)1xf x x x =≥+;④1()log ()(0,1)8x a f x a a a =->≠。
2013年湖北省高考数学试卷(理科)答案及解析
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2013年湖北省高考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)(2013•湖北)在复平面内,复数(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.(5分)(2013•湖北)已知全集为R,集合,则A∩∁R B=()A.{x|x≤0} B.{x|2≤x≤4} C.{x|0≤x<2或x>4} D.{x|0<x≤2或x≥4}3.(5分)(2013•湖北)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A.(¬p)∨(¬q)B.p∨(¬q)C.(¬p)∧(¬q)D.p∨q4.(5分)(2013•湖北)将函数的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是()A.B.C.D.5.(5分)(2013•湖北)已知,则双曲线的()A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D.离心率相等6.(5分)(2013•湖北)已知点A(﹣1,1),B(1,2),C(﹣2,﹣1),D(3,4),则向量在方向上的投影为()A.B.C.D.7.(5分)(2013•湖北)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止,在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是()A.1+25ln5 B.C.4+25ln5 D.4+50ln28+25ln8.(5分)(2013•湖北)一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为V1,V2,V3,V4,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有()A.V1<V2<V4<V3B.V1<V3<V2<V4C.V2<V1<V3<V4D.V2<V3<V1<V49.(5分)(2013•湖北)如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为X,则X的均值E(X)=()A.B.C.D.10.(5分)(2013•湖北)已知a为常数,函数f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点x1,x2(x1<x2)()A.B.C.D.二、填空题:本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.(一)必考题(11-14题)(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分.)11.(5分)(2013•湖北)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50至350度之间,频率分布直方图如图所示:(Ⅰ)直方图中x的值为_________;(Ⅱ)在这些用户中,用电量落在区间[100,250)内的户数为_________.12.(5分)(2013•湖北)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果i=_________.13.(5分)(2013•湖北)设x,y,z∈R,且满足:,则x+y+z=_________.14.(5分)(2013•湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为.记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:三角形数,正方形数N(n,4)=n2,五边形数,六边形数N(n,6)=2n2﹣n,…可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=_________.15.(5分)(2013•湖北)(选修4﹣1:几何证明选讲)如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D,点D在半径OC上的射影为E.若AB=3AD,则的值为_________.16.(2013•湖北)(选修4﹣4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy中,椭圆C的参数方程为为参数,a>b>0).在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l与圆O的极坐标方程分别为为非零常数)与ρ=b.若直线l经过椭圆C的焦点,且与圆O相切,则椭圆C的离心率为_________.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)(2013•湖北)在△ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c,已知cos2A﹣3cos(B+C)=1.(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)若△ABC的面积,求sinBsinC的值.18.(12分)(2013•湖北)已知等比数列{a n}满足:|a2﹣a3|=10,a1a2a3=125.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)是否存在正整数m,使得?若存在,求m的最小值;若不存在,说明理由.19.(12分)(2013•湖北)如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,直线PC⊥平面ABC,E,F 分别是PA,PC的中点.(Ⅰ)记平面BEF与平面ABC的交线为l,试判断直线l与平面PAC的位置关系,并加以证明;(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l与圆O的另一个交点为D,且点Q满足.记直线PQ与平面ABC所成的角为θ,异面直线PQ与EF所成的角为α,二面角E﹣l﹣C的大小为β.求证:sinθ=sinαsinβ.20.(12分)(2013•湖北)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.(Ⅰ)求p0的值;(参考数据:若X~N(μ,σ2),有P(μ﹣σ<X≤μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<X≤μ+2σ)=0.9544,P(μ﹣3σ<X≤μ+3σ)=0.9974.)(Ⅱ)某客运公司用A,B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次,A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B型车不多于A型车7辆.若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备A型车、B型车各多少辆?21.(13分)(2013•湖北)如图,已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O,长轴均为MN且在x轴上,短轴长分别为2m,2n(m>n),过原点且不与x轴重合的直线l与C1,C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D,记,△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.(Ⅰ)当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,求λ的值;(Ⅱ)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2?并说明理由.22.(14分)(2013•湖北)设n是正整数,r为正有理数.(Ⅰ)求函数f(x)=(1+x)r+1﹣(r+1)x﹣1(x>﹣1)的最小值;(Ⅱ)证明:;(Ⅲ)设x∈R,记[x]为不小于x的最小整数,例如.令的值.(参考数据:.2013年湖北省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)考点:复数的代数表示法及其几何意义.专题:计算题.分析:将复数z=的分母实数化,求得z=1+i,即可求得,从而可知答案.解答:解:∵z====1+i,∴=1﹣i.∴对应的点(1,﹣1)位于第四象限,故选D.点评:本题考查复数的代数表示法及其几何意义,将复数z=的分母实数化是关键,属于基础题.2.(5分)考点:其他不等式的解法;交、并、补集的混合运算.专题:计算题;不等式的解法及应用.分析:利用指数函数的性质可求得集合A,通过解一元二次不等式可求得集合B,从而可求得A∩C R B.解答:解:∵≤1=,∴x≥0,∴A={x|x≥0};又x2﹣6x+8≤0⇔(x﹣2)(x﹣4)≤0,∴2≤x≤4.∴B={x|2≤x≤4},∴∁R B={x|x<2或x>4},∴A∩∁R B={x|0≤x<2或x>4},故选C.点评:本题考查指数函数的性质与元二次不等式,考查交、并、补集的混合运算,属于中档题.3.(5分)考点:复合命题的真假.专题:阅读型.分析:由命题P和命题q写出对应的¬p和¬q,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示.解答:解:命题p是“甲降落在指定范围”,则¬p是“甲没降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则¬q是“乙没降落在指定范围”,命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围,乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围,乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围,乙没降落在指定范围”三种情况.所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(¬p)V(¬q).故选A.点评:本题考查了复合命题的真假,解答的关键是熟记复合命题的真值表,是基础题.4.(5分)考点:两角和与差的正弦函数;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.专题:三角函数的图像与性质.分析:函数解析式提取2变形后,利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,利用平移规律得到平移后的解析式,根据所得的图象关于y轴对称,即可求出m的最小值.解答:解:y=cosx+sinx=2(cosx+sinx)=2sin(x+),∴图象向左平移m(m>0)个单位长度得到y=2sin[(x+m)+]=2sin(x+m+),∵所得的图象关于y轴对称,∴m+=kπ+(k∈Z),则m的最小值为.故选B点评:此题考查了两角和与差的正弦函数公式,以及函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换,熟练掌握公式是解本题的关键.5.(5分)考点:双曲线的简单性质.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:根据双曲线的标准方程求出双曲线的几何性质同,即可得出正确答案.解答:解:双曲线的实轴长为2cosθ,虚轴长2sinθ,焦距2,离心率,双曲线的实轴长为2sinθ,虚轴长2sinθtanθ,焦距2tanθ,离心率,故它们的离心率相同.故选D.点评:本题主要考查了双曲线的标准方程、双曲线的简单性质等,属于基础题.6.(5分)考点:平面向量数量积的含义与物理意义.专题:平面向量及应用.分析:先求出向量、,根据投影定义即可求得答案.解答:解:,,则向量方向上的投影为:•cos<>=•===,故选A.点评:本题考查平面向量数量积的含义与物理意义,考查向量投影定义,属基础题,正确理解相关概念是解决问题的关键.7.(5分)考点:定积分.专题:导数的综合应用.分析:令v(t)=0,解得t=4,则所求的距离S=,解出即可.解答:解:令v(t)=7﹣3t+,化为3t2﹣4t﹣32=0,又t>0,解得t=4.∴由刹车行驶至停止,在此期间汽车继续行驶的距离s===4+25ln5.故选C.点评:熟练掌握导数的运算法则和定积分的几何意义是解题的关键.8.(5分)考点:由三视图求面积、体积.专题:计算题.分析:利用三视图与已知条件判断组合体的形状,分别求出几何体的体积,即可判断出正确选项.解答:解:由题意以及三视图可知,该几何体从上到下由:圆台、圆柱、正四棱柱、正四棱台组成,体积分别记λ为V1==.V2=12×π×2=2π,V3=2×2×2=8V4==;∵,∴V2<V1<V3<V4故选C.点评:本题考查简单组合体的三视图与几何体的体积的求法,正确判断几何体的形状与准确利用公式求解体积是解题的关键.9.(5分)考点:离散型随机变量的期望与方差.专题:压轴题;概率与统计.分析:由题意可知:X所有可能取值为0,1,2,3.①8个顶点处的8个小正方体涂有3面,②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体,还剩下3个,一共有3×12=36个小正方体涂有2面,③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形,还剩下9个小正方形,因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面,④由以上可知:还剩下125﹣(8=36+54)=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆,根据上面的分析即可得出其概率及X的分布列,利用数学期望的计算公式即可得出.解答:解:由题意可知:X所有可能取值为0,1,2,3.①8个顶点处的8个小正方体涂有3面,∴P(X=3)=;②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体,还剩下3个,一共有3×12=36个小正方体涂有2面,∴P(X=2)=;③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形,还剩下9个小正方形,因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面,∴P(X=1)=.④由以上可知:还剩下125﹣(8+36+54)=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆,∴P(X=0)=.X 0 1 2 3P故X的分布列为因此E(X)==.故选B.点评:正确找出所涂油漆的面数的正方体的个数及古典概型的概率计算公式、分布列与数学期望是解题的关键.考点:利用导数研究函数的极值;函数在某点取得极值的条件.专题:压轴题;导数的综合应用.分析:先求出f′(x),令f′(x)=0,由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1,x2⇔函数g(x)=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点⇔g′(x)在(0,+∞)上的唯一的极值不等于0.利用导数与函数极值的关系即可得出.解答:解:∵=lnx+1﹣2ax,(x>0)令f′(x)=0,由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1,x2⇔函数g(x)=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点⇔g′(x)在(0,+∞)上的唯一的极值不等于0..①当a≤0时,g′(x)>0,f′(x)单调递增,因此g(x)=f′(x)至多有一个零点,不符合题意,应舍去.②当a>0时,令g′(x)=0,解得x=,∵x,g′(x)>0,函数g(x)单调递增;时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减.∴x=是函数g(x)的极大值点,则>0,即>0,∴ln(2a)<0,∴0<2a<1,即.∵,f′(x1)=lnx1+1﹣2ax1=0,f′(x2)=lnx2+1﹣2ax2=0.且f(x1)=x1(lnx1﹣ax1)=x1(2ax1﹣1﹣ax1)=x1(ax1﹣1)=﹣<0,f(x2)=x2(lnx2﹣ax2)=x2(ax2﹣1)>=﹣.().故选D.点评:熟练掌握利用导数研究函数极值的方法是解题的关键.二、填空题:本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.(一)必考题(11-14题)(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分.)11.(5分)考点:频率分布直方图.专题:图表型.分析:(I)根据频率分布直方图中,各组的频率之和为1,我们易得到一个关于x的方程,解方程即可得到答案.(II)由已知中的频率分布直方图,利用[100,250)之间各小组的纵坐标(矩形的高)乘以组距得到[100,250)的频率,利用频率乘以样本容量即可求出频数.解答:解:(Ⅰ)依题意及频率分布直方图知,0.0024×50+0.0036×50+0.0060×50+x×50+0.0024×50+0.0012×50=1,解得x=0.0044.(II)样本数据落在[100,150)内的频率为0.0036×50=0.18,样本数据落在[150,200)内的频率为0.006×50=0.3.样本数据落在[200,250)内的频率为0.0044×50=0.22,故在这些用户中,用电量落在区间[100,250)内的户数为(0.18+0.30+0.22)×100=70.故答案为:0.0044;70.点评:根据新高考服务于新教材的原则,作为新教材的新增内容﹣﹣频率分布直方图是新高考的重要考点.对于“频率分布直方图学习的关键是学会画图、看图和用图.考点:程序框图.分析:框图首先给变量a和变量i赋值,然后对a是否等于4进行判断,不等于4,继续判断a是否为奇数,是执行路径a=3a+1,否执行路径,再执行i=i+1,依次循环执行,当a等于4时跳出循环,输出i的值.解答:解:框图首先给变量a和变量i赋值,a=4,i=1.判断10=4不成立,判断10是奇数不成立,执行,i=1+1=2;判断5=4不成立,判断5是奇数成立,执行a=3×5+1=16,i=2+1=3;判断16=4不成立,判断16是奇数不成立,执行,i=3+1=4;判断8=4不成立,判断8是奇数不成立,执行,i=4+1=5;判断4=4成立,跳出循环,输出i的值为5.故答案是5.点评:本题考查了程序框图,循环结构中含有条件结构,外面的循环结构为直到型,即不满足条件执行循环,直到条件满足跳出循环.是基础题.13.(5分)考点:一般形式的柯西不等式;进行简单的合情推理.专题:计算题;不等式的解法及应用.分析:根据柯西不等式,算出(x+2y+3z)2≤14(x2+y2+z2)=14,从而得到x+2y+3z恰好取到最大值,由不等式的等号成立的条件解出x=、y=且z=,由此即可得到x+y+z的值.解答:解:根据柯西不等式,得(x+2y+3z)2≤(12+22+32)(x2+y2+z2)=14(x2+y2+z2)当且仅当时,上式的等号成立∵x2+y2+z2=1,∴(x+2y+3z)2≤14,结合,可得x+2y+3z恰好取到最大值∴=,可得x=,y=,z=因此,x+y+z=++=故答案为:点评:本题给出x、y、z的平方和等于1,在x+2y+3z恰好取到最大值的情况下求x+y+z的值.着重考查了运用柯西不等式求最值的方法,属于中档题.抓住柯西不等式的等号成立的条件,是本题得以解决的关键.14.(5分)考点:归纳推理.专题:计算题.分析:观察已知式子的规律,并改写形式,归纳可得,把n=10,k=24代入可得答案.解答:解:原已知式子可化为:,,,,由归纳推理可得,故=1100﹣100=1000故答案为:1000点评:本题考查归纳推理,观察已知式子的规律并改写形式是解决问题的关键,属基础题.15.(5分)考点:与圆有关的比例线段;直角三角形的射影定理.专题:压轴题;选作题.分析:设圆O的半径为3x,根据射影定理,可以求出OD2=OE•OC=x2,CD2=CE•OC=8x2,进而得到的值.解答:解:设圆O的半径OA=OB=OC=3x,∵AB=3AD,∴AD=2x,BD=4x,OD=x又∵点C在直径AB上的射影为D,在△ABC中,由射影定理得:CD2=AD•BD=8x2,在△ODC中,由射影定理得:OD2=OE•OC=x2,CD2=CE•OC=8x2,故==8故答案为:8点评:本题考查的知识点是直角三角形射影定理,射影定理在使用时一定要注意其使用范围…“双垂直”.16.(2013•湖北)考点:参数方程化成普通方程;椭圆的简单性质;点的极坐标和直角坐标的互化.专题:压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:先根据极坐标与直角坐标的转换关系将直线l的极坐标方程分别为为非零常数)化成直角坐标方程,再利用直线l经过椭圆C的焦点,且与圆O相切,从而得到c=b,又b2=a2﹣c2,消去b后得到关于a,c的等式,即可求出椭圆C的离心率.解答:解:直线l的极坐标方程分别为为非零常数)化成直角坐标方程为x+y﹣m=0,它与x轴的交点坐标为(m,0),由题意知,(m,0)为椭圆的焦点,故|m|=c,又直线l与圆O:ρ=b相切,∴,从而c=b,又b2=a2﹣c2,∴c2=2(a2﹣c2),∴3c2=2a2,∴=.则椭圆C的离心率为.故答案为:.点评:本题考查了椭圆的离心率,考查了参数方程化成普通方程,点的极坐标和直角坐标的互化,考查提高学生分析问题的能力.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)考点:余弦定理;正弦定理.专题:解三角形.分析:(I)利用倍角公式和诱导公式即可得出;(II)由三角形的面积公式即可得到bc=20.又b=5,解得c=4.由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21,即可得出a.又由正弦定理得即可得到即可得出.解答:解:(Ⅰ)由cos2A﹣3cos(B+C)=1,得2cos2A+3cosA﹣2=0,即(2cosA﹣1)(cosA+2)=0,解得(舍去).因为0<A<π,所以.(Ⅱ)由S===,得到bc=20.又b=5,解得c=4.由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21,故.又由正弦定理得.点评:熟练掌握三角函数的倍角公式和诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理得、正弦定理是解题的关键.18.(12分)考点:数列的求和;等比数列的通项公式;数列与不等式的综合.专题:计算题;等差数列与等比数列.分析:(I)设等比数列{a n}的公比为q,结合等比数列的通项公式表示已知条件,解方程可求a1,q,进而可求通项公式(Ⅱ)结合(I)可知是等比数列,结合等比数列的求和公式可求,即可判断解答:解:(Ⅰ)设等比数列{a n}的公比为q,则由已知可得解得故.(Ⅱ)若,则,故是首项为,公比为的等比数列,从而.若,则是首项为,公比为﹣1的等比数列,从而故.综上,对任何正整数m ,总有.故不存在正整数m ,使得成立.点评: 本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的综合应用,还考查了一定的逻辑推理与运算的能力 19.(12分)考点: 用空间向量求平面间的夹角;空间中直线与平面之间的位置关系;直线与平面平行的判定;二面角的平面角及求法.专题:空间位置关系与距离;空间角. 分析: (I )直线l ∥平面PAC .连接EF ,利用三角形的中位线定理可得,EF ∥AC ;利用线面平行的判定定理即可得到EF ∥平面ABC .由线面平行的性质定理可得EF ∥l .再利用线面平行的判定定理即可证明直线l ∥平面PAC .(II )综合法:利用线面垂直的判定定理可证明l ⊥平面PBC .连接BE ,BF ,因为BF ⊂平面PBC ,所以l ⊥BC .故∠CBF 就是二面角E ﹣l ﹣C 的平面角,即∠CBF=β.已知PC ⊥平面ABC ,可知CD 是FD 在平面ABC 内的射影,故∠CDF 就是直线PQ 与平面ABC 所成的角,即∠CDF=θ.由BD ⊥平面PBC ,有BD ⊥BF ,知∠BDF=α,分别利用三个直角三角形的边角关系即可证明结论;向量法:以点C 为原点,向量所在直线分别为x ,y ,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角. 解答: 解:(Ⅰ)直线l ∥平面PAC ,证明如下: 连接EF ,因为E ,F 分别是PA ,PC 的中点,所以EF ∥AC ,又EF ⊄平面ABC ,且AC ⊂平面ABC ,所以EF ∥平面ABC . 而EF ⊂平面BEF ,且平面BEF ∩平面ABC=l ,所以EF ∥l . 因为l ⊄平面PAC ,EF ⊂平面PAC ,所以直线l ∥平面PAC . (Ⅱ)(综合法)如图1,连接BD ,由(Ⅰ)可知交线l 即为直线BD ,且l ∥AC . 因为AB 是⊙O 的直径,所以AC ⊥BC ,于是l ⊥BC . 已知PC ⊥平面ABC ,而l ⊂平面ABC ,所以PC ⊥l . 而PC ∩BC=C ,所以l ⊥平面PBC .连接BE ,BF ,因为BF ⊂平面PBC ,所以l ⊥BF .故∠CBF 就是二面角E ﹣l ﹣C 的平面角,即∠CBF=β.由,作DQ ∥CP ,且.连接PQ ,DF ,因为F 是CP 的中点,CP=2PF ,所以DQ=PF , 从而四边形DQPF 是平行四边形,PQ ∥FD .连接CD ,因为PC ⊥平面ABC ,所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影, 故∠CDF 就是直线PQ 与平面ABC 所成的角,即∠CDF=θ. 又BD ⊥平面PBC ,有BD ⊥BF ,知∠BDF=α, 于是在Rt △DCF ,Rt △FBD ,Rt △BCF 中,分别可得,从而. (Ⅱ)(向量法)如图2,由,作DQ ∥CP ,且.连接PQ ,EF ,BE ,BF ,BD ,由(Ⅰ)可知交线l 即为直线BD .以点C 为原点,向量所在直线分别为x ,y ,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设CA=a ,CB=b ,CP=2c ,则有. 于是,∴=,从而,又取平面ABC 的一个法向量为,可得,设平面BEF 的一个法向量为,所以由可得.于是,从而.故,即sin θ=sin αsin β.点评: 本题综合考查了线面平行的判定定理和性质定理、线面垂直的判定与性质定理、平行四边形的判定与性质定理、线面角、二面角、异面直线所成的角、通过建立空间直角坐标系利用法向量的夹角求二面角等基础知识与方法,需要较强的空间想象能力、推理能力和计算能力. 20.(12分)考点: 简单线性规划;正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题: 不等式的解法及应用;概率与统计. 分析: (I )变量服从正态分布N (800,502),即服从均值为800,标准差为50的正态分布,适合700<X ≤900范围内取值即在(μ﹣2σ,μ+2σ)内取值,其概率为:95.44%,从而由正态分布的对称性得出不超过900的概率为p 0.(II )设每天应派出A 型x 辆、B 型车y 辆,根据条件列出不等式组,即得线性约束条件,列出目标函数,画出可行域求解.解答: 解:(Ⅰ)由于随机变量X 服从正态分布N (800,502),故有μ=800,σ=50,P (700<X ≤900)=0.9544.由正态分布的对称性,可得p 0=(P (X ≤900)=P (X ≤800)+P (800<X ≤900)=(Ⅱ)设A 型、B 型车辆的数量分别为x ,y 辆,则相应的营运成本为1600x+2400y .依题意,x ,y 还需满足:x+y ≤21,y ≤x+7,P (X ≤36x+60y )≥p 0.由(Ⅰ)知,p0=P(X≤900),故P(X≤360x+60y)≥p0等价于36x+60y≥900.于是问题等价于求满足约束条件且使目标函数z=1600x+2400y达到最小值的x,y.作可行域如图所示,可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12),Q(7,14),R(15,6).由图可知,当直线z=1600x+2400y经过可行域的点P时,直线z=1600x+2400y在y轴上截距最小,即z取得最小值.故应配备A型车5辆,B型车12辆.点评:本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查简单线性规划.本题解题的关键是列出不等式组(方程组)寻求约束条件,并就题目所述找出目标函数,将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可得到目标函数的最优解.21.(13分)考点:直线与圆锥曲线的关系;三角形的面积公式;点到直线的距离公式.专题:压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:(Ⅰ)设出两个椭圆的方程,当直线l与y轴重合时,求出△BDM和△ABN的面积S1和S2,直接由面积比=λ列式求λ的值;(Ⅱ)假设存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2,设出直线方程,由点到直线的距离公式求出M和N到直线l的距离,利用数学转化思想把两个三角形的面积比转化为线段长度比,由弦长公式得到线段长度比的另一表达式,两式相等得到,换元后利用非零的k值存在讨论λ的取值范围.解答:解:以题意可设椭圆C1和C2的方程分别为,.其中a>m>n>0,.(Ⅰ)如图1,若直线l与y轴重合,即直线l的方程为x=0,则,,所以.在C1和C2的方程中分别令x=0,可得y A=m,y B=n,y D=﹣m,于是.若,则,化简得λ2﹣2λ﹣1=0,由λ>1,解得.故当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,则.(Ⅱ)如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2,根据对称性,不妨设直线l:y=kx(k>0),点M(﹣a,0),N(a,0)到直线l的距离分别为d1,d2,则,所以d1=d2.又,所以,即|BD|=λ|AB|.由对称性可知|AB|=|CD|,所以|BC|=|BD|﹣|AB|=(λ﹣1)|AB|,|AD|=|BD|+|AB|=(λ+1)|AB|,于是.将l的方程分别与C1和C2的方程联立,可求得根据对称性可知x C=﹣x B,x D=﹣x A,于是②从而由①和②可得③令,则由m>n,可得t≠1,于是由③可得.因为k≠0,所以k2>0.于是③关于k有解,当且仅当,等价于,由λ>1,解得,即,由λ>1,解得,所以当时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2;当时,存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2.点评: 本题考查了三角形的面积公式,考查了点到直线的距离公式,考查了直线与圆锥曲线的关系,该题重点考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法,(Ⅱ)中判断λ的存在性是该题的难题,考查了灵活运用函数和不等式的思想方法.22.(14分)考点:导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性;数列的求和;不等式的证明. 专题:压轴题;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)先求出函数f (x )的导函数f ′(x ),令f'(x )=0,解得x=0,再求出函数的单调区间,进而求出最小值为f (0)=0;(Ⅱ)根据(Ⅰ)知,即(1+x )r+1≥1+(r+1)x ,令代入并化简得,再令得,,即结论得到证明;(Ⅲ)根据(Ⅱ)的结论,令,n 分别取值81,82,83,…,125,分别列出不等式,再将各式相加得,,再由参考数据和条件进行求解.解答: 解;(Ⅰ)由题意得f'(x )=(r+1)(1+x )r ﹣(r+1)=(r+1)[(1+x )r ﹣1], 令f'(x )=0,解得x=0.当﹣1<x <0时,f'(x )<0,∴f (x )在(﹣1,0)内是减函数; 当x >0时,f'(x )>0,∴f (x )在(0,+∞)内是增函数. 故函数f (x )在x=0处,取得最小值为f (0)=0. (Ⅱ)由(Ⅰ),当x ∈(﹣1,+∞)时,有f (x )≥f (0)=0, 即(1+x )r+1≥1+(r+1)x ,且等号当且仅当x=0时成立, 故当x >﹣1且x ≠0,有(1+x )r+1>1+(r+1)x ,①在①中,令(这时x >﹣1且x ≠0),得.上式两边同乘n r+1,得(n+1)r+1>n r+1+n r (r+1), 即,②当n >1时,在①中令(这时x >﹣1且x ≠0),类似可得,③且当n=1时,③也成立. 综合②,③得,④(Ⅲ)在④中,令,n 分别取值81,82,83, (125)得,,,…,将以上各式相加,并整理得.代入数据计算,可得由[S ]的定义,得[S ]=211.点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性和求最值,以及学生的创新精神,是否会观察,会抽象概括,会用类比的方法得出其它结论,难度较大,注意利用上一问的结论.。
2013年高考理科数学湖北卷word解析版(2021年整理)
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2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(湖北卷)本试题卷共6页,22题,其中第15、16题为选考题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑.2.选择题的作答:每小题选出答案后,用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.3.填空题和解答题的作答:用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、草稿纸上无效.4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B铅笔涂黑.考生应根据自己选做的题目准确填涂题号,不得多选.答题答在答题卡上对应的答题区域内,答在试题卷、草稿纸上无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013湖北,理1)在复平面内,复数2i=1iz+(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于().A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案:D解析:∵2i2i1i=1i1i1iz(-)=+(+)(-)=i(1-i)=1+i,∴复数2i=1iz+的共轭复数z=1-i,其在复平面内对应的点(1,-1)位于第四象限.2.(2013湖北,理2)已知全集为R,集合112xA x⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭,B={x|x2-6x+8≤0},则A∩=().A.{x|x≤0} B.{x|2≤x≤4}C.{x|0≤x<2或x>4} D.{x|0<x≤2或x≥4}答案:C解析:由题意知集合112xA x⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭={x|x≥0},集合B={x|x2-6x+8≤0}={x|2≤x≤4},={x|x<2或x>4}.因此A∩()={x|0≤x<2或x>4}.3.(2013湖北,理3)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围",则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( ).A.(⌝p)∨(⌝q) B.p∨(⌝q)C .(⌝p )∧(⌝q )D .p ∨q 答案:A解析:“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括甲或乙没有落在指定范围或者两人均没有落在指定范围,因此应为(⌝p )∨(⌝q ).4.(2013湖北,理4)将函数y =cos x +sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后,所得到的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是( ).A .π12B .π6C .π3D .5π6答案:B解析:∵y x +sin x =π2sin 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,∴函数y x +sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后,变为函数π=2sin 3y x m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的图象.又∵所得到的图象关于y 轴对称,则有 π3+m =k π+π2,k ∈Z , ∴m =ππ6k +,k ∈Z .∵m >0,∴当k =0时,m 的最小值为π6.5.(2013湖北,理5)已知π0<<4θ,则双曲线C 1:2222=1cos sin x y θθ-与C 2:22222=1sin sin tan y x θθθ-的( ).A .实轴长相等B .虚轴长相等C .焦距相等D .离心率相等 答案:D解析:对于双曲线C 1:2222=1cos sin x y θθ-,21a =cos 2θ,21b =sin 2θ,21c =1; 对于双曲线C 2:22222=1sin sin tan y x θθθ-,22a =sin 2θ,22b =sin 2θtan 2θ,22c =sin 2θ+sin 2θtan 2θ=sin 2θ(1+tan 2θ)=22222sin sin sin 1cos cos θθθθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=tan 2θ. ∵只有当θ=ππ4k +(k ∈Z )时,21a =22a 或21b =22b 或21c =22c ,而π0<<4θ,∴排除A ,B ,C.设双曲线C 1,C 2的离心率分别为e 1,e 2,则2121cos e θ=,22222tan 1sin cos e θθθ==. 故e 1=e 2,即两双曲线的离心率相等. 6.(2013湖北,理6)已知点A (-1,1),B (1,2),C (-2,-1),D (3,4),则向量AB 在CD 方向上的投影为( ).A .2BC .2-D .答案:A解析:由题意可知AB=(2,1),CD=(5,5),故AB在CD方向上的投影为2AB CDCD⋅==.7.(2013湖北,理7)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=25731tt-++(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是().A.1+25ln 5 B.118+25ln3C.4+25ln 5 D.4+50ln 2答案:C解析:由于v(t)=7-3t+251t+,且汽车停止时速度为0,因此由v(t)=0可解得t=4,即汽车从刹车到停止共用4 s。
2013年湖北省高考数学试卷(理科)答案及解析
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2013年湖北省高考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共 小题,每小题 分,共 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的..( 分)( ❿湖北)在复平面内,复数(♓为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()✌.第一象限 .第二象限 .第三象限 .第四象限.( 分)( ❿湖北)已知全集为 ,集合,则✌✆ ()✌. ⌧⌧♎❝ . ⌧♎⌧♎❝ . ⌧♎⌧< 或⌧>❝ . ⌧<⌧♎或⌧♏❝.( 分)( ❿湖北)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题☐是❽甲降落在指定范围❾,❑是❽乙降落在指定范围❾,则命题❽至少有一位学员没有降落在指定范围❾可表示为()✌.(✶☐)☎(✶❑) .☐☎(✶❑) .(✶☐) (✶❑) .☐☎❑.( 分)( ❿湖北)将函数的图象向左平移❍(❍> )个单位长度后,所得到的图象关于⍓轴对称,则❍的最小值是()✌. . . ..( 分)( ❿湖北)已知,则双曲线的()✌.实轴长相等 .虚轴长相等 .焦距相等 .离心率相等.( 分)( ❿湖北)已知点✌(﹣ , ), ( , ), (﹣ ,﹣ ), ( , ),则向量在方向上的投影为()✌. . . ..( 分)( ❿湖北)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度的单位:♦,❖的单位:❍♦)行驶至停止,在此期间汽车继续行驶的距离(单位:❍)是()✌. ●⏹ . ●⏹ . ●⏹ . ●⏹.(分)( ❿湖北)一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为✞ ,✞ ,✞ ,✞ ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有()✌.✞ <✞ <✞ <✞ .✞ <✞ <✞ <✞ .✞ <✞ <✞ <✞ .✞ <✞ <✞ <✞.( 分)( ❿湖北)如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为✠,则✠的均值☜(✠) ()✌. . . ..( 分)( ❿湖北)已知♋为常数,函数♐(⌧) ⌧(●⏹⌧﹣♋⌧)有两个极值点⌧ ,⌧ (⌧ <⌧ )()✌... .二、填空题:本大题共 小题,考生共需作答 小题,每小题 分,共 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.(一)必考题( 题)(二)选考题(请考生在第 、 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用 铅笔涂黑.如果全选,则按第 题作答结果计分.).( 分)( ❿湖北)从某小区抽取 户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在 至 度之间,频率分布直方图如图所示:(♊)直方图中⌧的值为♉♉♉♉♉♉♉♉♉;(♋)在这些用户中,用电量落在区间☯, )内的户数为♉♉♉♉♉♉♉♉♉..( 分)( ❿湖北)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果♓♉♉♉♉♉♉♉♉♉..( 分)( ❿湖北)设⌧,⍓, ,且满足:,则⌧⍓♉♉♉♉♉♉♉♉♉..( 分)( ❿湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数 , , , ,⑤,第⏹个三角形数为.记第⏹个 边形数为☠(⏹, )( ♏),以下列出了部分 边形数中第⏹个数的表达式:三角形数,正方形数☠(⏹, ) ⏹ ,五边形数,六边形数☠(⏹, ) ⏹ ﹣⏹,⑤可以推测☠(⏹, )的表达式,由此计算☠( , ) ♉♉♉♉♉♉♉♉♉..( 分)( ❿湖北)(选修 ﹣ :几何证明选讲)如图,圆 上一点 在直径✌上的射影为 ,点 在半径 上的射影为☜.若✌✌,则的值为♉♉♉♉♉♉♉♉♉..( ❿湖北)(选修 ﹣ :坐标系与参数方程)在直角坐标系⌧⍓中,椭圆 的参数方程为为参数,♋>♌> ).在极坐标系(与直角坐标系⌧⍓取相同的长度单位,且以原点 为极点,以⌧轴正半轴为极轴)中,直线●与圆 的极坐标方程分别为为非零常数)与⇧♌.若直线●经过椭圆 的焦点,且与圆 相切,则椭圆 的离心率为♉♉♉♉♉♉♉♉♉.三、解答题:本大题共 小题,共 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤..( 分)( ❿湖北)在 ✌中,角✌, , 对应的边分别是♋,♌,♍,已知♍☐♦✌﹣ ♍☐♦( ) .(♊)求角✌的大小;(♋)若 ✌的面积,求♦♓⏹♦♓⏹的值..( 分)( ❿湖北)已知等比数列 ♋⏹❝满足: ♋ ﹣♋ ,♋ ♋ ♋ .(♊)求数列 ♋⏹❝的通项公式;(♋)是否存在正整数❍,使得?若存在,求❍的最小值;若不存在,说明理由..( 分)( ❿湖北)如图,✌是圆 的直径,点 是圆 上异于✌, 的点,直线 平面✌,☜,☞分别是 ✌, 的中点.(♊)记平面 ☜☞与平面✌的交线为●,试判断直线●与平面 ✌的位置关系,并加以证明;(♋)设(♊)中的直线●与圆 的另一个交点为 ,且点✈满足.记直线 ✈与平面✌所成的角为→,异面直线 ✈与☜☞所成的角为↑,二面角☜﹣●﹣ 的大小为↓.求证:♦♓⏹→♦♓⏹↑♦♓⏹↓..( 分)( ❿湖北)假设每天从甲地去乙地的旅客人数✠是服从正态分布☠( , )的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 的概率为☐ .(♊)求☐ 的值;(参考数据:若✠~☠(↗,⇔ ),有 (↗﹣⇔<✠♎↗⇔) , (↗﹣ ⇔<✠♎↗⇔), (↗﹣ ⇔<✠♎↗⇔) .)(♋)某客运公司用✌, 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次,✌, 两种车辆的载客量分别为 人和 人,从甲地去乙地的营运成本分别为 元 辆和 元 辆.公司拟组建一个不超过 辆车的客运车队,并要求 型车不多于✌型车 辆.若每天要以不小于☐ 的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备✌型车、 型车各多少辆?.( 分)( ❿湖北)如图,已知椭圆 与 的中心在坐标原点 ,长轴均为 ☠且在⌧轴上,短轴长分别为 ❍, ⏹(❍>⏹),过原点且不与⌧轴重合的直线●与 , 的四个交点按纵坐标从大到小依次为✌, , , ,记, 和 ✌☠的面积分别为 和 .(♊)当直线●与⍓轴重合时,若 ↖ ,求↖的值;(♋)当↖变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线●,使得 ↖ ?并说明理由..( 分)( ❿湖北)设⏹是正整数,❒为正有理数.(♊)求函数♐(⌧) ( ⌧)❒﹣(❒)⌧﹣ (⌧>﹣ )的最小值;(♋)证明:;(♌)设⌧ ,记☯⌧为不小于⌧的最小整数,例如.令的值.(参考数据:.年湖北省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共 小题,每小题 分,共 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的..( 分)考点:复数的代数表示法及其几何意义.专题:计算题.分析:将复数 的分母实数化,求得 ♓,即可求得,从而可知答案.解答:解: ♓,﹣♓.对应的点( ,﹣ )位于第四象限,故选 .点评:本题考查复数的代数表示法及其几何意义,将复数 的分母实数化是关键,属于基础题..( 分)考点:其他不等式的解法;交、并、补集的混合运算.专题:计算题;不等式的解法及应用.分析:利用指数函数的性质可求得集合✌,通过解一元二次不等式可求得集合 ,从而可求得✌✆ .解答:解: ♎,⌧♏,✌⌧⌧♏❝;又⌧ ﹣ ⌧♎(⌧﹣ )(⌧﹣ )♎,♎⌧♎.⌧♎⌧♎❝,⌧⌧< 或⌧> ❝,✌✆ ⌧♎⌧< 或⌧> ❝,故选 .点评:本题考查指数函数的性质与元二次不等式,考查交、并、补集的混合运算,属于中档题..( 分)考点:复合命题的真假.专题:阅读型.分析:由命题 和命题❑写出对应的¬☐和¬❑,则命题❽至少有一位学员没有降落在指定范围❾即可得到表示.解答:解:命题☐是❽甲降落在指定范围❾,则¬☐是❽甲没降落在指定范围❾,❑是❽乙降落在指定范围❾,则¬❑是❽乙没降落在指定范围❾,命题❽至少有一位学员没有降落在指定范围❾包括❽甲降落在指定范围,乙没降落在指定范围❾或❽甲没降落在指定范围,乙降落在指定范围❾或❽甲没降落在指定范围,乙没降落在指定范围❾三种情况.所以命题❽至少有一位学员没有降落在指定范围❾可表示为(¬☐)✞(¬❑).故选✌.点评:本题考查了复合命题的真假,解答的关键是熟记复合命题的真值表,是基础题..( 分)考点:两角和与差的正弦函数;函数⍓✌♦♓⏹(▫⌧)的图象变换.专题:三角函数的图像与性质.分析:函数解析式提取 变形后,利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,利用平移规律得到平移后的解析式,根据所得的图象关于⍓轴对称,即可求出❍的最小值.解答:解:⍓♍☐♦⌧♦♓⏹⌧(♍☐♦⌧♦♓⏹⌧) ♦♓⏹(⌧),图象向左平移❍(❍> )个单位长度得到⍓♦♓⏹☯(⌧❍) ♦♓⏹(⌧❍), 所得的图象关于⍓轴对称,❍ ⇨( ☪),则❍的最小值为.故选点评:此题考查了两角和与差的正弦函数公式,以及函数⍓✌♦♓⏹(▫⌧)的图象变换,熟练掌握公式是解本题的关键..( 分)考点:双曲线的简单性质.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:根据双曲线的标准方程求出双曲线的几何性质同,即可得出正确答案.解答:解:双曲线的实轴长为 ♍☐♦→,虚轴长 ♦♓⏹→,焦距 ,离心率,双曲线的实轴长为 ♦♓⏹→,虚轴长 ♦♓⏹→♦♋⏹→,焦距♦♋⏹→,离心率,故它们的离心率相同.故选 .点评:本题主要考查了双曲线的标准方程、双曲线的简单性质等,属于基础题..( 分)考点:平面向量数量积的含义与物理意义.专题:平面向量及应用.分析:先求出向量、,根据投影定义即可求得答案.解答:解:,,则向量方向上的投影为:❿♍☐♦<>❿ ,故选✌.点评:本题考查平面向量数量积的含义与物理意义,考查向量投影定义,属基础题,正确理解相关概念是解决问题的关键..( 分)考点:定积分.专题:导数的综合应用.分析:令❖(♦) ,解得♦,则所求的距离 ,解出即可.解答:解:令❖(♦) ﹣ ♦,化为 ♦ ﹣ ♦﹣ ,又♦> ,解得♦. 由刹车行驶至停止,在此期间汽车继续行驶的距离♦ ●⏹.故选 .点评:熟练掌握导数的运算法则和定积分的几何意义是解题的关键..( 分)考点:由三视图求面积、体积.专题:计算题.分析:利用三视图与已知条件判断组合体的形状,分别求出几何体的体积,即可判断出正确选项.解答:解:由题意以及三视图可知,该几何体从上到下由:圆台、圆柱、正四棱柱、正四棱台组成,体积分别记↖为✞ .✞ ⇨⇨,✞ ✞ ;,✞ <✞ <✞ <✞故选 .点评:本题考查简单组合体的三视图与几何体的体积的求法,正确判断几何体的形状与准确利用公式求解体积是解题的关键..( 分)考点:离散型随机变量的期望与方差.专题:压轴题;概率与统计.分析:由题意可知:✠所有可能取值为 , , , .♊个顶点处的 个小正方体涂有 面,♋每一条棱上除了两个顶点处的小正方体,还剩下 个,一共有 个小正方体涂有 面,♌每个表面去掉四条棱上的 个小正方形,还剩下 个小正方形,因此一共有 个小正方体涂有一面,♍由以上可知:还剩下 ﹣( ) 个内部的小正方体的 个面都没有涂油漆,根据上面的分析即可得出其概率及✠的分布列,利用数学期望的计算公式即可得出.解答:解:由题意可知:✠所有可能取值为 , , , .♊个顶点处的 个小正方体涂有 面, (✠) ;♋每一条棱上除了两个顶点处的小正方体,还剩下 个,一共有 个小正方体涂有 面, (✠) ;♌每个表面去掉四条棱上的 个小正方形,还剩下 个小正方形,因此一共有 个小正方体涂有一面, (✠) .♍由以上可知:还剩下 ﹣( ) 个内部的小正方体的 个面都没有涂油漆, (✠) .✠故✠的分布列为因此☜(✠) .故选 .点评:正确找出所涂油漆的面数的正方体的个数及古典概型的概率计算公式、分布列与数学期望是解题的关键. .( 分)考点:利用导数研究函数的极值;函数在某点取得极值的条件.专题:压轴题;导数的综合应用.分析:先求出♐ (⌧),令♐ (⌧) ,由题意可得●⏹⌧♋⌧﹣ 有两个解⌧ ,⌧ 函数♑(⌧)●⏹⌧﹣ ♋⌧有且只有两个零点 ♑ (⌧)在( , )上的唯一的极值不等于 .利用导数与函数极值的关系即可得出.解答:解: ●⏹⌧﹣ ♋⌧,(⌧> )令♐ (⌧) ,由题意可得●⏹⌧♋⌧﹣ 有两个解⌧ ,⌧ 函数♑(⌧) ●⏹⌧﹣ ♋⌧有且只有两个零点 ♑ (⌧)在( , )上的唯一的极值不等于 ..♊当♋♎时,♑(⌧)> ,♐ (⌧)单调递增,因此♑(⌧) ♐ (⌧)至多有一个零点,不符合题意,应舍去.♋当♋> 时,令♑ (⌧) ,解得⌧,⌧,♑ (⌧)> ,函数♑(⌧)单调递增;时,♑ (⌧)< ,函数♑(⌧)单调递减.⌧是函数♑(⌧)的极大值点,则> ,即> , ●⏹( ♋)< , < ♋< ,即.,♐ (⌧ ) ●⏹⌧ ﹣ ♋⌧ ,♐ (⌧ ) ●⏹⌧ ﹣ ♋⌧ .且♐(⌧ ) ⌧ (●⏹⌧ ﹣♋⌧ ) ⌧ ( ♋⌧ ﹣ ﹣♋⌧ ) ⌧ (♋⌧ ﹣ )﹣< ,♐(⌧ ) ⌧ (●⏹⌧ ﹣♋⌧ ) ⌧ (♋⌧ ﹣ )> ﹣.().故选 .点评:熟练掌握利用导数研究函数极值的方法是解题的关键.二、填空题:本大题共 小题,考生共需作答 小题,每小题 分,共 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.(一)必考题( 题)(二)选考题(请考生在第 、 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用 铅笔涂黑.如果全选,则按第 题作答结果计分.).( 分)考点:频率分布直方图.专题:图表型.分析:(✋)根据频率分布直方图中,各组的频率之和为 ,我们易得到一个关于⌧的方程,解方程即可得到答案.(✋✋)由已知中的频率分布直方图,利用☯, )之间各小组的纵坐标(矩形的高)乘以组距得到☯, )的频率,利用频率乘以样本容量即可求出频数.解答:解:(♊)依题意及频率分布直方图知,⌧,解得⌧.(✋✋)样本数据落在☯, )内的频率为 ,样本数据落在☯, )内的频率为 .样本数据落在☯, )内的频率为 ,故在这些用户中,用电量落在区间☯, )内的户数为( ) .故答案为: ; .点评:根据新高考服务于新教材的原则,作为新教材的新增内容﹣﹣频率分布直方图是新高考的重要考点.对于❽频率分布直方图学习的关键是学会画图、看图和用图..( 分)考点:程序框图.分析:框图首先给变量♋和变量♓赋值,然后对♋是否等于 进行判断,不等于 ,继续判断♋是否为奇数,是执行路径♋♋,否执行路径,再执行♓♓,依次循环执行,当♋等于 时跳出循环,输出♓的值.解答:解:框图首先给变量♋和变量♓赋值,♋,♓.判断 不成立,判断 是奇数不成立,执行,♓;判断 不成立,判断 是奇数成立,执行♋,♓;判断 不成立,判断 是奇数不成立,执行,♓;判断 不成立,判断 是奇数不成立,执行,♓;判断 成立,跳出循环,输出♓的值为 .故答案是 .点评:本题考查了程序框图,循环结构中含有条件结构,外面的循环结构为直到型,即不满足条件执行循环,直到条件满足跳出循环.是基础题..( 分)考点:一般形式的柯西不等式;进行简单的合情推理.专题:计算题;不等式的解法及应用.分析:根据柯西不等式,算出(⌧⍓) ♎(⌧ ⍓ ) ,从而得到⌧⍓恰好取到最大值,由不等式的等号成立的条件解出⌧、⍓且 ,由此即可得到⌧⍓的值.解答:解:根据柯西不等式,得(⌧⍓) ♎( )(⌧ ⍓ ) (⌧ ⍓ )当且仅当时,上式的等号成立⌧ ⍓ , (⌧⍓) ♎,结合,可得⌧⍓恰好取到最大值,可得⌧,⍓, 因此,⌧⍓故答案为:点评:本题给出⌧、⍓、 的平方和等于 ,在⌧⍓恰好取到最大值的情况下求⌧⍓的值.着重考查了运用柯西不等式求最值的方法,属于中档题.抓住柯西不等式的等号成立的条件,是本题得以解决的关键..( 分)考点:归纳推理.专题:计算题.分析:观察已知式子的规律,并改写形式,归纳可得,把⏹, 代入可得答案.解答:解:原已知式子可化为:,,,,由归纳推理可得,故 ﹣ 故答案为: 点评:本题考查归纳推理,观察已知式子的规律并改写形式是解决问题的关键,属基础题..( 分)考点:与圆有关的比例线段;直角三角形的射影定理.专题:压轴题;选作题.分析:设圆 的半径为 ⌧,根据射影定理,可以求出 ☜❿⌧ , ☜❿⌧ ,进而得到的值.解答:解:设圆 的半径 ✌⌧,✌✌,✌⌧, ⌧, ⌧又 点 在直径✌上的射影为 ,在 ✌中,由射影定理得: ✌❿⌧ ,在 中,由射影定理得: ☜❿⌧ , ☜❿⌧ ,故 故答案为:点评:本题考查的知识点是直角三角形射影定理,射影定理在使用时一定要注意其使用范围⑤❽双垂直❾..( ❿湖北)考点:参数方程化成普通方程;椭圆的简单性质;点的极坐标和直角坐标的互化.专题:压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:先根据极坐标与直角坐标的转换关系将直线●的极坐标方程分别为为非零常数)化成直角坐标方程,再利用直线●经过椭圆 的焦点,且与圆 相切,从而得到♍♌,又♌ ♋ ﹣♍ ,消去♌后得到关于♋,♍的等式,即可求出椭圆 的离心率.解答:解:直线●的极坐标方程分别为为非零常数)化成直角坐标方程为⌧⍓﹣❍,它与⌧轴的交点坐标为(❍, ),由题意知,(❍, )为椭圆的焦点,故 ❍♍,又直线●与圆 :⇧♌相切, ,从而♍♌,又♌ ♋ ﹣♍ ,♍ (♋ ﹣♍ ),♍ ♋ , .则椭圆 的离心率为.故答案为:.点评:本题考查了椭圆的离心率,考查了参数方程化成普通方程,点的极坐标和直角坐标的互化,考查提高学生分析问题的能力.三、解答题:本大题共 小题,共 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤..( 分)考点:余弦定理;正弦定理.专题:解三角形.分析:(✋)利用倍角公式和诱导公式即可得出;(✋✋)由三角形的面积公式即可得到♌♍.又♌,解得♍.由余弦定理得♋ ♌ ♍ ﹣ ♌♍♍☐♦✌﹣ ,即可得出♋.又由正弦定理得即可得到即可得出.解答:解:(♊)由♍☐♦✌﹣ ♍☐♦( ) ,得 ♍☐♦ ✌♍☐♦✌﹣ ,即( ♍☐♦✌﹣ )(♍☐♦✌) ,解得(舍去).因为 <✌<⇨,所以.(♋)由 ,得到♌♍.又♌,解得♍.由余弦定理得♋ ♌ ♍ ﹣ ♌♍♍☐♦✌﹣ ,故.又由正弦定理得.点评:熟练掌握三角函数的倍角公式和诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理得、正弦定理是解题的关键..( 分)考点:数列的求和;等比数列的通项公式;数列与不等式的综合.专题:计算题;等差数列与等比数列.分析:(✋)设等比数列 ♋⏹❝的公比为❑,结合等比数列的通项公式表示已知条件,解方程可求♋ ,❑,进而可求通项公式(♋)结合(✋)可知是等比数列,结合等比数列的求和公式可求,即可判断解答:解:(♊)设等比数列 ♋⏹❝的公比为❑,则由已知可得解得故.(♋)若,则,故是首项为,公比为的等比数列,从而.若,则是首项为,公比为﹣ 的等比数列,从而故.综上,对任何正整数❍,总有.故不存在正整数❍,使得成立.点评: 本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的综合应用,还考查了一定的逻辑推理与运算的能力 .( 分)考点: 用空间向量求平面间的夹角;空间中直线与平面之间的位置关系;直线与平面平行的判定;二面角的平面角及求法.专题:空间位置关系与距离;空间角. 分析: (✋)直线●平面 ✌.连接☜☞,利用三角形的中位线定理可得,☜☞✌;利用线面平行的判定定理即可得到☜☞平面✌.由线面平行的性质定理可得☜☞●.再利用线面平行的判定定理即可证明直线●平面 ✌.(✋✋)综合法:利用线面垂直的判定定理可证明●平面 .连接 ☜, ☞,因为 ☞②平面 ,所以●.故 ☞就是二面角☜﹣●﹣ 的平面角,即 ☞↓.已知 平面✌,可知 是☞在平面✌内的射影,故 ☞就是直线 ✈与平面✌所成的角,即 ☞→.由 平面 ,有 ☞,知 ☞↑,分别利用三个直角三角形的边角关系即可证明结论;向量法:以点 为原点,向量所在直线分别为⌧,⍓, 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角. 解答: 解:(♊)直线●平面 ✌,证明如下:连接☜☞,因为☜,☞分别是 ✌, 的中点,所以☜☞✌,又☜☞④平面✌,且✌②平面✌,所以☜☞平面✌. 而☜☞②平面 ☜☞,且平面 ☜☞✆平面✌●,所以☜☞●. 因为●④平面 ✌,☜☞②平面 ✌,所以直线●平面 ✌.(♋)(综合法)如图 ,连接 ,由(♊)可知交线●即为直线 ,且●✌.因为✌是 的直径,所以✌,于是●.已知 平面✌,而●②平面✌,所以 ●.而 ✆,所以●平面 .连接 ☜, ☞,因为 ☞②平面 ,所以●☞.故 ☞就是二面角☜﹣●﹣ 的平面角,即 ☞↓.由,作 ✈,且.连接 ✈, ☞,因为☞是 的中点, ☞,所以 ✈☞,从而四边形 ✈☞是平行四边形, ✈☞.连接 ,因为 平面✌,所以 是☞在平面✌内的射影,故 ☞就是直线 ✈与平面✌所成的角,即 ☞→.又 平面 ,有 ☞,知 ☞↑,于是在 ♦☞, ♦☞, ♦☞中,分别可得,从而.(♋)(向量法)如图 ,由,作 ✈,且.连接 ✈,☜☞, ☜, ☞, ,由(♊)可知交线●即为直线 .以点 为原点,向量所在直线分别为⌧,⍓, 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设 ✌♋, ♌, ♍,则有.于是,,从而,又取平面✌的一个法向量为,可得,设平面 ☜☞的一个法向量为,所以由可得.于是,从而.故,即♦♓⏹→♦♓⏹↑♦♓⏹↓.点评:本题综合考查了线面平行的判定定理和性质定理、线面垂直的判定与性质定理、平行四边形的判定与性质定理、线面角、二面角、异面直线所成的角、通过建立空间直角坐标系利用法向量的夹角求二面角等基础知识与方法,需要较强的空间想象能力、推理能力和计算能力..( 分)考点:简单线性规划;正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.专题:不等式的解法及应用;概率与统计.分析:(✋)变量服从正态分布☠( , ),即服从均值为 ,标准差为 的正态分布,适合 <✠♎范围内取值即在(↗﹣ ⇔,↗⇔)内取值,其概率为: ,从而由正态分布的对称性得出不超过 的概率为☐ .(✋✋)设每天应派出✌型⌧辆、 型车⍓辆,根据条件列出不等式组,即得线性约束条件,列出目标函数,画出可行域求解.解答:解:(♊)由于随机变量✠服从正态分布☠( , ),故有↗,⇔, ( <✠♎) .由正态分布的对称性,可得☐ ( (✠♎) (✠♎) ( <✠♎)(♋)设✌型、 型车辆的数量分别为⌧,⍓辆,则相应的营运成本为 ⌧⍓.依题意,⌧,⍓还需满足:⌧⍓♎,⍓♎⌧, (✠♎⌧⍓)♏☐ .由(♊)知,☐ (✠♎),故 (✠♎⌧⍓)♏☐ 等价于 ⌧⍓♏.于是问题等价于求满足约束条件且使目标函数 ⌧⍓达到最小值的⌧,⍓.作可行域如图所示,可行域的三个顶点坐标分别为 ( , ),✈( , ), ( , ).由图可知,当直线 ⌧⍓经过可行域的点 时,直线 ⌧⍓在⍓轴上截距最小,即 取得最小值.故应配备✌型车 辆, 型车 辆.点评:本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查简单线性规划.本题解题的关键是列出不等式组(方程组)寻求约束条件,并就题目所述找出目标函数,将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可得到目标函数的最优解..( 分)考点:直线与圆锥曲线的关系;三角形的面积公式;点到直线的距离公式.专题:压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:(♊)设出两个椭圆的方程,当直线●与⍓轴重合时,求出 和 ✌☠的面积 和 ,直接由面积比 ↖列式求↖的值;(♋)假设存在与坐标轴不重合的直线●,使得 ↖ ,设出直线方程,由点到直线的距离公式求出 和☠到直线●的距离,利用数学转化思想把两个三角形的面积比转化为线段长度比,由弦长公式得到线段长度比的另一表达式,两式相等得到,换元后利用非零的 值存在讨论↖的取值范围.解答:解:以题意可设椭圆 和 的方程分别为,.其中♋>❍>⏹> ,.(♊)如图 ,若直线●与⍓轴重合,即直线●的方程为⌧,则,,所以.在 和 的方程中分别令⌧,可得⍓✌ ❍,⍓ ⏹,⍓ ﹣❍,于是.若,则,化简得↖ ﹣ ↖﹣ ,由↖> ,解得.故当直线●与⍓轴重合时,若 ↖ ,则.(♋)如图 ,若存在与坐标轴不重合的直线●,使得 ↖ ,根据对称性,不妨设直线●:⍓⌧( > ),点 (﹣♋, ),☠(♋, )到直线●的距离分别为♎ ,♎ ,则,所以♎ ♎ .又,所以,即 ↖✌.由对称性可知 ✌,所以 ﹣ ✌(↖﹣ ) ✌, ✌✌(↖) ✌,于是.将●的方程分别与 和 的方程联立,可求得根据对称性可知⌧ ﹣⌧ ,⌧ ﹣⌧✌,于是♋从而由♊和♋可得♌令,则由❍>⏹,可得♦♊,于是由♌可得.因为 ♊,所以 > .于是♌关于 有解,当且仅当,等价于,由↖> ,解得, 即,由↖> ,解得,所以 当时,不存在与坐标轴不重合的直线●,使得 ↖;当时,存在与坐标轴不重合的直线●,使得 ↖ .点评: 本题考查了三角形的面积公式,考查了点到直线的距离公式,考查了直线与圆锥曲线的关系,该题重点考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法,(♋)中判断↖的存在性是该题的难题,考查了灵活运用函数和不等式的思想方法..( 分)考点:导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性;数列的求和;不等式的证明.专题:压轴题;导数的综合应用;不等式的解法及应用.分析: (♊)先求出函数♐(⌧)的导函数♐(⌧),令♐(⌧) ,解得⌧,再求出函数的单调区间,进而求出最小值为♐( ) ;(♋)根据(♊)知,即( ⌧)❒♏(❒)⌧,令代入并化简得,再令得,,即结论得到证明;(♌)根据(♋)的结论,令,⏹分别取值 , , ,⑤, ,分别列出不等式,再将各式相加得,,再由参考数据和条件进行求解.解答: 解;(♊)由题意得♐(⌧) (❒)( ⌧)❒﹣(❒) (❒)☯( ⌧)❒﹣ , 令♐(⌧) ,解得⌧.当﹣ <⌧< 时,♐(⌧)< , ♐(⌧)在(﹣ , )内是减函数;当⌧> 时,♐(⌧)> , ♐(⌧)在( , )内是增函数.故函数♐(⌧)在⌧处,取得最小值为♐( ) .(♋)由(♊),当⌧ (﹣ , )时,有♐(⌧)♏♐( ) ,即( ⌧)❒♏(❒)⌧,且等号当且仅当⌧时成立,故当⌧>﹣ 且⌧♊,有( ⌧)❒> (❒)⌧,♊在♊中,令(这时⌧>﹣ 且⌧♊),得.上式两边同乘⏹❒,得(⏹)❒>⏹❒ ⏹❒(❒),即,♋ 当⏹> 时,在♊中令(这时⌧>﹣ 且⌧♊),类似可得,♌且当⏹时,♌也成立. 综合♋,♌得,♍ (♌)在♍中,令,⏹分别取值 , , ,⑤, ,得,,,⑤,将以上各式相加,并整理得.代入数据计算,可得由☯的定义,得☯.点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性和求最值,以及学生的创新精神,是否会观察,会抽象概括,会用类比的方法得出其它结论,难度较大,注意利用上一问的结论.。
2013年湖北省高考数学试卷(理科)答案及解析
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2013年湖北省高考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. (5分)(2013?湖北)在复平面内,复数「-丄(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()1+i _ _ A.第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限2. (5 分)(2013?湖北)已知全集为R,集合A ,-. ' < ■ 1 I:. | :■:,则A n?RB=( )A. {x|x O} B . {x|2^X 4} C . {x|0^X V 2 或x > 4} D . {x|0v x 屯或x^4}3. (5分)(2013?湖北)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题p是甲降落在指定范围” q是乙降落在指定范围”则命题至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()z ? ? ? ? ?A. (p) V(q)B. p V(q)C. (p) A (q) D . p V q4. (5分)(2013?湖北)将函数,二hj:宀—=- 的图象向左平移m (m> 0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是()5. (5分)(2013?湖北)已知-'1- ——,则双曲线42 2 2 2 的()cos f sin f sin 已sin 廿tan fA.实轴长相等 B .虚轴长相等 C .焦距相等 D .离心率相等6. ( 5 分)(2013?湖北)已知点A (- 1, 1), B ( 1, 2), C (- 2,- 1) , D ( 3, 4),贝U向量AB 在CD 方向上的投影为( )A .B . 1 .C . ;:D . _ Vis227. (5分)(羽3?湖北)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度-'的单位:s, v的单位:m/s)行驶至停止,在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m )是()A . 1l+25ln5B .8+25l n 1 '3C . 4+25 In5D .4+50 In28 (5分)(2013?湖北)一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为V1, V2, V3, V4, 上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有(正视图 侧视图佣观團A • V i < V 2< V4< V3B . V l < V 3< V 2< V 4C . V 2< V 1 < V 3V V 4D . V 2< V 3V Vi < V49. ( 5分)(2013?湖北)如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为X ,贝U X 的均值E (X )=()A. 126125B. 6 1 5 C . 1168 |125D . 7510. (5分)(2013?湖北)已知a 为常数,函数f (x ) =x (Inx -ax )有两个极值点x1, X 2 ( X 1< X 2)( )A. f (“)>o. f (七)B .. E (x[)<0* f ( xj)C .f ( x|) >0* f 〔 x 2】 D . f Gj) G f (七)二、填空题:本大题共 6小题,考生共需作答 5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位 置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.(一)必考题(11-14题)(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第 15题作答结果计分.)11. (5分)(2013?湖北)从某小区抽取 100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50至350度之间,频率分布直方图如图所示:(I )直方图中 x 的值为 _____________________; (n )在这些用户中,用电量落在区间[100, 250)内的户数为 _____________________ .12. (5分)(2013?湖北)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 i= _____________13. ______________________________________________________________________________________________ (5 分)(2013?湖北)设x, y, z €R,且满足:吕 + 萝2+忑?二],z+2y+3z二寸肓,则x+y+z= ___________________________ .14. (5分)(2013?湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数1, 3, 6,10,…,第n个三角形数为介5+1〕A J丄口.记第n个k边形数为N (n, k)(k為),以下列出了部分k边形数中第n个2 2 2数的表达式:三角形数「」.::;-ri:'二二2正方形数N (n, 4)=n ,五边形数:■:.r : i —丄、-2 2六边形数N (n, 6)=2n2- n,可以推测N (n, k)的表达式,由此计算N (10, 24)= _____________ .15. (5分)(2013?湖北)(选修4 - 1:几何证明选讲)如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D,点D在半径OC上的射影为E.若AB=3AD,则三的值为16. (2013?湖北)(选修4- 4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy中,椭圆C的参数方程为P_aC0S^ (④为参数,a>b>0).在极坐标系(与直角坐标系xOy {y=bsin(P 取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线I与圆O的极坐标方程分别为为非零常数)与p=b.若直线I经过椭圆C的焦点,且与圆O相切,则椭圆C的离心4 2率为 _________________ .三、解答题:本大题共6小题,共75分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (12 分)(2013?湖北)在△ ABC 中,角A, B, C 对应的边分别是a, b, c,已知cos2A - 3cos ( B+C) =1.(I)求角A的大小;(H)若△ ABC 的面积I;■ I' ■,求sinBsinC 的值.18. (12 分)(2013?湖北)已知等比数列{a n}满足:|32-a3|=10, a132a3=125.(I)求数列{a n}的通项公式;(n)是否存在正整数m,使得1 .…,1 I ?若存在,求m的最小值;若不存在,说明理由.a l a219. (12分)(2013?湖北)如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A, B的点,直线PC丄平面ABC , E, F 分别是PA, PC的中点.(I)记平面BEF与平面ABC的交线为I,试判断直线I与平面PAC的位置关系,并加以证明;异面直线PQ与EF所成的角为a,二面角E- l - C的大小为3.求证:sin 0=sin asin 3.220. (12分)(2013?湖北)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N ( 800, 50 )的随机变量•记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p o.(I)求P0的值;2(参考数据:若X 〜N (a, O2),有P ( — O< X < + o) =0.6826 , P (厂2(r< X <+2 <r) =0.9544, P (厂3 o< X < 朮3 o)=0.9974.)(n)某客运公司用A, B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次, A , B两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B型车不多于A型车7辆.若每天要以不小于P0的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备A型车、B型车各多少辆?21. (13分)(2013?湖北)如图,已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O,长轴均为MN且在x轴上,短轴长分别为2m, 2n (m> n),过原点且不与x轴重合的直线l与C1, C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A, B , C, D , 记工』,△ BDM和厶ABN的面积分别为S1和S2.n(I)当直线I与y轴重合时,若S1=;S2,求入的值;(n)当入变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线I,使得s仁泊2?并说明理由.22. (14分)(2013?湖北)设n是正整数,r为正有理数.(I)求函数f (x) = (1+x) r+1-( r+1) x - 1 (x >- 1)的最小值;(n)设(I)中的直线l与圆O的另一个交点为D,且点Q满足fi; . | ■:2.记直线PQ与平面ABC所成的角为0,(川)设x€R ,记[x ]为不小于x 的最小整数,例如厂:=「亍| [_]的值.(参考数据:丨厂-::■ . 「:-—:.丄 J …:…,:“:(n )证明:?+i n '^+i'匸「•令2013年湖北省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5 分)考点:复数的代数表示法及其几何意义.专题:计算题.分析:将复数z=…的分母实数化,求得z=1+i,即可求得•,从而可知答案.1+i解答:解:••• z== 」=1+i ,1+i (1+i) tl - i) 2•••「=1 - i.对应的点(1, - 1 )位于第四象限,故选D.点评:本题考查复数的代数表示法及其几何意义,将复数z=幕的分母实数化是关键,属于基础题.1+i2. (5 分)考点:其他不等式的解法;交、并、补集的混合运算.专题:计算题;不等式的解法及应用.分析:: 利用指数函数的性质可求得集合A,通过解一兀一次不等式可求得集合B,从而可求得A Q C R B .解答:1龙 1 0解:(2)* (2),2 2•x为,•A={x|x 为};2又x - 6x+8 O? (x - 2) (x - 4)切,•2$ 詔.•B={x|2 強<4},•- ?R B={x|x V 2 或x> 4},•- A Q?R B={X|0強V 2 或x >4}, 故选C.点评:本题考查指数函数的性质与兀二次不等式,考查交、并、补集的混合运算,属于中档题.3. (5 分)考点:复合命题的真假.专题:阅读型.分析:由命题P和命题q写出对应的」p和「q,则命题至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示.解答:解:命题p是甲降落在指定范围”则」p是甲没降落在指定范围”q是乙降落在指定范围”则」q是乙没降落在指定范围” 命题至少有一位学员没有降落在指定范围”包括甲降落在指定范围,乙没降落在指定范围”或甲没降落在指定范围,乙降落在指定范围”或甲没降落在指定范围,乙没降落在指定范围”三种情况.所以命题至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(「故选A.p) V 厂q).点评:本题考查了复合命题的真假,解答的关键是熟记复合命题的真值表,是基础题.4. (5 分)考点:两角和与差的正弦函数;函数y=Asin (®x+ $)的图象变换. 专题:三角函数的图像与性质.分析:函数解析式提取2变形后,利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,利用平移规律得到平移后的解析式,根据所得的图象关于y轴对称,即可求出m的最小值.' 解: y= Icosx+sinx=2 ( —cosx+二sinx) =2sin (x+——),2 2 3•••图象向左平移m (m>0)个单位长度得到y=2sin[ (x+m) +H]=2sin (x+m+工),3 3•••所得的图象关于y轴对称,• m+——=k n+——(k €Z),3 2则m的最小值为工.6故选B点评:此题考查了两角和与差的正弦函数公式,以及函数y=Asin ( «x+ $)的图象变换,熟练掌握公式是解本题的关键.5. (5 分)考点:. 双曲线的简单性质.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:;根据双曲线的标准方程求出双曲线的几何性质同,即可得出正确答案.解答:2 2 1解:双曲线::——务一一一卑~=]的实轴长为2cos 0,虚轴长2sin 焦距2,离心率 --------------------------------- ,1cos2e sin2e 8肌2 2 1双曲线- 口J实干山长丿J U,干山UU11 U,八、'距匕U, | ^离_ [ , J sin20 sin29 tan26 cos 0故它们的离心率相同.故选D.点评:本题主要考查了双曲线的标准方程、双曲线的简单性质等,属于基础题.6. (5 分)考点:平面向量数量积的含义与物理意义.专题:平面向量及应用.分析:先求出向量.「、' 1,根据投影定义即可求得答案.解答:,解:厂;1 J 二匚则向量订二〒方向上的投影为:?cosv〒=> =糾‘ ?打•〔=- ;=一 ',|AB | |CD | |CD | W2 2 故选A.点评:本题考查平面向量数量积的含义与物理意义,考查向量投影定义,属基础题,正确理解相关概念是解决问题的关键.7. (5 分)考点:定积分.专题:导数的综合应用.分析:, 令v (t) =0,解得t=4,则所求的距离S= | •.「,解出即可.解答:.一2解:令v (t)=7 - 3t+ 1,化为3t - 4t-32=0,又t>0,解得t=4.•由刹车行驶至停止,在此期间汽车继续行驶的距离2s=:、- … 二」「一=「‘‘十—「」丨二.t 1 7=4+25In5 .故选C.点评:熟练掌握导数的运算法则和定积分的几何意义是解题的关键.考点:由三视图求面积、体积.专题:计算题.分析:禾U用三视图与已知条件判断组合体的形状,分别求出几何体的体积,即可判断出正确选项. 解答:解:由题意以及三视图可知,该几何体从上到下由:圆台、圆柱、正四棱柱、正四棱台组成,体积分别记入为V i=丄兀尹二"尹)=空.3 3V2=i2xnx2 nV3=2 >2X2=8V4=_. • m - =_';3 3• V2V V i v V3V V4 故选C.点评:本题考查简单组合体的三视图与几何体的体积的求法,正确判断几何体的形状与准确利用公式求解体积是解题的关键.9. (5 分)考点:离散型随机变量的期望与方差.专题:压轴题;概率与统计.分析:由题意可知:X所有可能取值为0, 1 , 2, 3.①8个顶点处的8个小正方体涂有3面,②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体,还剩下3个,一共有3X12=36个小正方体涂有2面,③ 每个表面去掉四条棱上的16个小正方形,还剩下9个小正方形,因此一共有9X5=54个小正方体涂有一面,④由以上可知:还剩下125-( 8=36+54 ) =27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆,根据上面的分析即可得出其概率及X的分布列,利用数学期望的计算公式即可得出.解答:解:由题意可知:X所有可能取值为0, 1, 2, 3.①8个顶点处的8个小正方体涂有3面,••• P (X=3 )= ;125②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体,还剩下3个,一共有3X12=36个小正方体涂有2面,• P (X=2 )36125'③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形,还剩下9个小正方形,因此一共有9X3=54个小正方体涂有面,• P (X=1 ) =「.125④ 由以上可知:还剩下125-( 8+36+54 )=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆,/• P( X=0 ) = _ .故X的分布列为因此E (X ) “ —斗二—:点评:正确找出所涂油漆的面数的正方体的个数及古典概型的概率计算公式、分布列与数学期望是解题的关键.i0. (5 分)考点:利用导数研究函数的极值;函数在某点取得极值的条件. 专题:压轴题;导数的综合应用.分析: 先求出f (x ),令f (x ) =0,由题意可得Inx=2ax - i 有两个解x i , X 2?函数g (x ) =lnx+i - 2ax 有且只有 两个零点? g' (x )在(0, +a)上的唯一的极值不等于0.利用导数与函数极值的关系即可得出.工 亠二.丄工 -=lnx+i - 2ax, (x>0)令f(x ) =0,由题意可得Inx=2ax - i 有两个解x i ,X 2?函数g (x )=lnx+i - 2ax 有且只有两个零点? g (x )在(0, + a)上的唯一的极值不等于0.f、 1 o 1 - 2ax | .,二 = .解答:解:••• 当a 包)时,g' (x ) 当a >0时,令g0, f (x )单调递增,因此 g (x ) =f (x )至多有一个零点,不符合题意, (x ) =0,解得 x=,2a应舍去.g (x )> 0,函数g (x )单调递增;—壬3时,g (xX0,「x —— 单调递减.• x='是函数g (X )的极大值点,贝y一 I >0,即•2a52a丄函数g (x )••• 0v 2a v i , 即2- '.,, f (x i ) =ln x i +i - 2ax i =0, f12a d且 f (x i ) =x i (Inx i - ax i ) =x i (2ax i - 1 - ax i ) =x if (X 2)=X 2 (lnX 2 - aX 2)=X 2 ( aX 2 - i ) > 1 :讥汽故选D .点评:熟练掌握利用导数研究函数极值的方法是解题的关键.(2a )v 0,(X2)=lnx 2+1 - 2ax 2=0 .(ax i - i ) ■--- 12a 2a寻-D = (当〉1). 2a 2 2a二、填空题:本大题共 6小题,考生共需作答 5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位 置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.(一)必考题(11-14题)(二)选考题(请考生在第 15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第 15题作答结果计分.)ii . (5 分)考点:频率分布直方图. 专题:图表型. 分析:(I)根据频率分布直方图中,各组的频率之和为i ,我们易得到一个关于 x的方程,解方程即可得到答案.(II)由已知中的频率分布直方图,利用[i00 , 250)之间各小组的纵坐标(矩形的高)乘以组距得到 [i00, 250)的频率,利用频率乘以样本容量即可求出频数.解答:解:(I)依题意及频率分布直方图知, 解得 x=0.0044 .(II )样本数据落在[i00 , 样本0.0024 >50+0.0036 X50+0.0060 >50+x >50+0.0024 X50+0.00i2 >50=i ,故在这些用户中,用电量落在区间 故答案为:0.0044; 70 .i50)内的频率为 0.0036>50=0.i8, 内的频率为 0.006拓0=0.3.内的频率为 0.0044 >50=0.22 , [i00 , 250)内的户数为(0.i8+0.30+0.22) >00=70.点评:根据新高考服务于新教材的原则,作为新教材的新增内容--频率分布直方图是新高考的重要考点.对于 频率分布直方图学习的关键是学会画图、看图和用图.「一- .二 | -> 0 ,「• In12. (5 分)考点:程序框图.分析:;框图首先给变量a和变量i赋值,然后对a是否等于4进行判断,不等于4,继续判断a是否为奇数,是执行路径a-3a+1,否执行路径._-_!,再执行i-i+1,依次循环执行,当a等于4时跳出循环,输出i的值.2 1解答::解:框图首先给变量a和变量i赋值,a=4, i=1 .判断10=4不成立,判断10是奇数不成立,执行 --—-: , i=1+1=2 ; 2判断5=4不成立,判断5是奇数成立,执行a=3>5+1=16 , i=2+仁3 ;判断16=4不成立,判断16是奇数不成立,执行一.;,i=3+1=4 ;2判断8=4不成立,判断8是奇数不成立,执行-i=4+1=5 ;2判断4=4成立,跳出循环,输出i的值为5.故答案是5.点评:本题考查了程序框图,循环结构中含有条件结构,外面的循环结构为直到型,即不满足条件执行循环,直到条件满足跳出循环•是基础题.13. (5 分)考点:般形式的柯西不等式;进行简单的合情推理.专题:计算题;不等式的解法及应用.分析:;根据柯西不等式,算出(x+2y+3z ) <14 (x +y +z ) =14,从而得到x+2y+3z恰好取到最大值QU ,由不等式的等号成立的条件解出x=—、y= '且z=「\由此即可得到x+y+z的值.14 7 14解答::解:根据柯西不等式,得2 2 2 2、/ 2 2 2、一/ 2 2 2、(x+2y+3z ) < (1 +2 +3 ) (x+y+z ) =14 (x+y+z )当且仅当. 时,上式的等号成立1 2 32 2 2 2••• x +y +z =1 ,•••( x+2y+3z ) <14,结合•、可得x+2y+3z恰好取到最大值.■-• 一丄-,可得-,丄,z=--1 2 3 14 14 7 14因此,x+y+z= + '亠=—14 7 14 7故答案为:——7点评:本题给出x、y、z的平方和等于1,在x+2y+3z恰好取到最大值T i. 的情况下求x+y+z的值.着重考查了运用柯西不等式求最值的方法,属于中档题•抓住柯西不等式的等号成立的条件,是本题得以解决的关键.14. (5 分)考点:归纳推理.专题:计算题.分析:1,-9 4-1-观察已知式子的规律,并改写形式,归纳可得■■ :i, ■ :' - ' - •,把n=10, k=24代入可得答案.解答: 1 1 3-9 4—3解:原已知式子可化为::一|二;•+ - ,/ 八 2 4-2 2 4-4 M f八 3 2 1 5-2 2 4-5kt「二m .. ■. + .•,■■•■.•- ,, - - ,, ■,「八n 2 6-2 2 4-6'■——1■--2 2由归纳推理可得■, :>■. 故 / . 111. :J. 1.=1100- 100=1000故答案为:1000点评: 本题考查归纳推理,观察已知式子的规律并改写形式是解决问题的关键,属基础题. 15. (5 分) 考点:与圆有关的比例线段;直角三角形的射影定理. 专题:压轴题;选作题. 分析:设圆O 的半径为3x ,根据射影定理,可以求出 OD 2=OE?OC=X 2,CD 2=CE?OC=8x 2,进而得到 '的值.E0解答: 解:设圆O 的半径OA=OB=OC=3x , •/ AB=3AD , /• AD=2x , BD=4x , OD=x 又•••点C 在直径AB 上的射影为D , 在厶ABC 中,由射影定理得: 在厶ODC 中,由射影定理得:2 2 CD =AD?BD=8x ,2 2 2 2 OD =OE?OC=x , CD =CE?OC=8x , 故打=J故答案为:8点评:本题考查的知识点是直角三角形射影定理,射影定理在使用时一定要注意其使用范围 …双垂直”.16. (2013?湖北) 考点:参数方程化成普通方程;椭圆的简单性质;点的极坐标和直角坐标的互化. 专题:压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:解答: 先根据极坐标与直角坐标的转换关系将直线I 的极坐标方程分别为为非零常4 2数)化成直角坐标方程, 再利用直线I 经过椭圆C 的焦点,且与圆O 相切,从而得到c= ,又b 2=a 2 - c 2, 消去b 后得到关于a, c 的等式,即可求出椭圆 C 的离心率. 解:直线I 的极坐标方程分别为11-:' :-|八为非零常数)化成直角坐标方程为 x+y - m=0,42它与x 轴的交点坐标为(m , 0),由题意知,(m , 0)为椭圆的焦点,故|m|=c , -ml又直线l 与圆O : p=b 相切,••• ----------V2从而 c= ■:b ,又 b 2=a 2 - c 2,2 2 2、…c =2 (a - c ),c 22 c v6•- 3c =2a , •=.a 3则椭圆C 的离心率为 '. 3故答案为:7点评:本题考查了椭圆的离心率,考查了参数方程化成普通方程,点的极坐标和直角坐标的互化,考查提高学生 分析问题的能力. 三、解答题:本大题共 6小题,共75分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (12 分)考点:' 余弦定理;正弦定理. 专题:: 解三角形.分析:t (I)利用倍角公式和诱导公式即可得出;(II)由三角形的面积公式厂•■•汇•即可得到bc=20 .又b=5,解得c=4 .由余弦定理得a2=b2+c2- 2bccosA=25+16 - 20=21,即可得出a.又由正弦定理得即可得到--------------- 厂宀即可得出.a a解答:: 解: (I)由cos2A - 3cos (B+C ) =1,得2cos2A+3cosA - 2=0,即(2cosA 1) (cosA+2) =0,解得,21::•'.(舍去).2因为0V A V n所以职匹.3(n)由S= - = ='、.;%[得到bc=20 .又b=5,解得c=4.由余弦定理得a2=b2+c2- 2bccosA=25+16 - 20=21,故「:二=.又由正弦疋理得.丁.「_门| 一:一:| :卜,._ . 一—• 一 . ,L_ _a a 子21 4 T点评::熟练掌握三角函数的倍角公式和诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理得、正弦定理是解题的关键.18. (12 分)考点:数列的求和;等比数列的通项公式;数列与不等式的综合.专题:计算题;等差数列与等比数列.分析:(1)设等比数列{a n}的公比为q,结合等比数列的通项公式表示已知条件,解方程可求a1, q,进而可求通项公式(n)结合(1)可知「是等比数列,结合等比数列的求和公式可求 1 •….,即可判断5 a l a2 a rt解答:解:(I)设等比数列{a n}的公比为q,则由已知可得/[冷』- 1=10解得.幻它或1故一• — . 「一■- r .(n)若一二工一一,则1'r ,n3 % 5 3故[―:是首项为.;,公比为一的等比数列,“ 5 3上[1-(丄)\…二1 5 3 」9 _n小2 9八从而;, _ ・1' '.3若一…:• 「;则丄匸「一一:川丄;是首项为,公比为-1的等比数“a n 5J 5列,洼山-1(心+)故£丄V .0, mP2k (k€ N +). 炉 1 a n综上,对任何正整数 m ,总有J ,| .炉1故不存在正整数 m ,使得1 |i 成立.a l a2 a n用空间向量求平面间的夹角;空间中直线与平面之间的位置关系;直线与平面平行的判定; 求法.空间位置关系与距离;空间角.(I ) 直线I //平面PAC .连接EF ,利用三角形的中位线定理可得, EF // AC ;禾U 用线面平行的判定定理即可得到EF //平面ABC .由线面平行的性质定理可得 EF // I .再利用线面平行的判定定理即可证明直线I //平面PAC .(II ) 综合法:利用线面垂直的判定定理可证明 I 丄平面PBC •连接BE ,BF ,因为BF?平面PBC ,所以I 丄BC •故 / CBF 就是二面角 E - I - C 的平面角,即/ CBF= 3-已知PC 丄平面ABC ,可知CD 是FD 在平面ABC 内的射影,故/ CDF 就是直线PQ 与平面ABC 所成的角,即 / CDF= 0.由BD 丄平面PBC ,有BD 丄BF ,知/ BDF= a,分别利用三个直角三角形的边角关系即可证明结论;向量法:以点C 为原点,向量:,■■ , 「、所在直线分别为x , y , z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角.解:(I )直线I //平面PAC ,证明如下: 连接EF ,因为E , F 分别是PA , PC 的中点,所以 EF // AC , 又EF?平面ABC ,且AC?平面ABC ,所以EF //平面 ABC . 而EF?平面BEF ,且平面 BEF D 平面 ABC=I ,所以EF / I . 因为I?平面PAC , EF?平面PAC ,所以直线I //平面PAC .(H )(综合法)如图1,连接BD ,由(I )可知交线I 即为直线BD ,且I // AC . 因为AB 是O O 的直径,所以 AC 丄BC ,于是I 丄BC .已知PC 丄平面 ABC ,而I?平面ABC ,所以PC 丄I . 而PCABC=C ,所以I 丄平面PBC .连接BE , BF ,因为BF?平面PBC ,所以I 丄BF . 故/ CBF 就是二面角 E - I - C 的平面角,即/ CBF= 31i1由.-I .',作 DQ // CP ,且 口=「「连接PQ , DF ,因为F 是CP 的中点,CP=2PF ,所以DQ=PF , 从而四边形 DQPF 是平行四边形,PQ // FD .连接CD ,因为PC 丄平面ABC ,所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影, 故/ CDF 就是直线PQ 与平面ABC 所成的角,即/ CDF= 0 . 又BD 丄平面 PBC ,有BD 丄BF ,知/ BDF= a,于是在 Rt △ DCF , Rt △ FBD , Rt △ BCF 中,分别可得 ■ ■ i.:?-,DF DFBF从而二:门匚匕-二和八 一 =]--「.门二「* 1 *(n )(向量法)如图 2,由.■ I :',作 DQ // CP ,且i连接PQ , EF , BE , BF , BD ,由(I )可知交线 I 即为直线 BD .从而厂一n=l a n点评:本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的综合应用,还考查了一定的逻辑推理与运算的能力19 . (12 分)考 占: 八、、♦ 专 题: 分面角的平面角及解 答:】」「「,从而故 ---------------------- :---------------------- ---------------- 二-,即 sin B =sin osin 3,Va 2+b 2+c Z Vb Z +c Z Va Z +b 2+c Z点本题综合考查了线面平行的判定定理和性质定理、 线面垂直的判定与性质定理、平行四边形的判定与性质定理、评:线面角、二面角、异面直线所成的角、通过建立空间直角坐标系利用法向量的夹角求二面角等基础知识与方法,需要较强的空间想象能力、推理能力和计算能力.20. (12 分)(I)变量服从正态分布 N (800, 502),即服从均值为 800,标准差为50的正态分布,适合 700 v X 电00范 围内取值即在(厂2 q时2 d)内取值,其概率为:95.44%,从而由正态分布的对称性得出不超过 900的概 率为P 0.(II) 设每天应派出 A 型x 辆、B 型车y 辆,根据条件列出不等式组,即得线性约束条件,列出目标函数, 画出可行域求解.2解答: 解:(I)由于随机变量 X 服从正态分布 N ( 800, 50 ),故有 尸800 , (=50 , P (700 v X 电00) =0.9544 .由正态分布的对称性,可得 po=(p (X<900)=P(X 詣00)+p (800v X <900)=^+-^P (700<X<;900)=0. 9772(H)设A 型、B 型车辆的数量分别为 x , y 辆,则相应的营运成本为 1600x+2400y .依题意,x , y 还需满足:x+y <21, y<x+7 , P (X <36x+60y )却0.以点C 为原点,向量CA,亍,千所在直线分别为x , y , z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设 CA=a ,CB=b , CP=2c , 则有C (0, O f 0)(a, 0, 0),B (0, b, 0) f P (0, 0, 2c) , Q (a, b f c) , E (吉並 0, c)--------------- */?2, 1|FE| -|QP |又取平面ABC 的一个法向量为 匸-、:,.,可得三[门,-I m ■ QF | c ____ I nt | • | QP | Va 2+b 2+c 2设平面BEF 的一个法向量为所以由n pFE=0t n-BF=0.可得却口 取;(山s b).-by+cz=O*考点:简单线性规划;正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题:不等式的解法及应用;概率与统计. 分析:A.【I , 由(I )知,p o =p (X 电00),故 P (X W60x+60y )却o 等价于 36x+60y 为00.x+y<21y<x+7 36x+60y^900u, y>0, x, y€N且使目标函数 z=1600x+2400y 达到最小值的x ,y . 作可行域如图所示,可行域的三个顶点坐标分别为P (5, 12), Q (7, 14), R (15, 6).由图可知,当直线 z=1600x+2400y 经过可行域的点 P 时,直线z=1600x+2400y 在y 轴上截距—二最小,即 「 2400 z 取得最小值.故应配备A 型车5辆,B 型车12辆.本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查简单线性规划•本题解题的关键是列出不等式组 (方程组)寻求约束条件,并就题目所述找出目标函数,将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可 得到目标函数的最优解.21. (13 分)考点:直线与圆锥曲线的关系;三角形的面积公式;点到直线的距离公式. 专题:丿 压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:1 1(I)设出两个椭圆的方程,当直线1与y 轴重合时,求出 △ BDM 和厶ABN 的面积&和S 2,直接由面积 比=入列式求入的值;(n)假设存在与坐标轴不重合的直线l ,使得S 1=x S 2,设出直线方程,由点到直线的距离公式求出M 和N 到直线l 的距离,利用数学转化思想把两个三角形的面积比转化为线段长度比,由弦长公式得到线段长度比的另一表达式,两式相等得到- '',换元后利用非零的k 值存在讨论 入的取值范围.解答:解:以题意可设椭圆 C1和C2的方程分别为2 2 2 2厂 「.1 ,:「. 1 •其中 a > m >n >0,a ma n(I)如图1,若直线I 与y 轴重合,即直线I 的方程为x=0,则■ : ' II' I- f ■:,在C 1和C 2的方程中分别令 x=0,可得y A =m , y B =n , y D = - m ,于是问题等价于求满足约束条件_ x.,化简得 斤-2入-1=0,由$> 1,解得x =*7^+1 •_ 1故当直线I 与y 轴重合时,若S i = 0,则’.(n)如图2,若存在与坐标轴不重合的直线I ,使得S 仁$2,根据对称性,不妨设直线I : y=kx 点 M (- a , 0) , N等价于 丨-| I -即1「丄,由$>1,解得 当■- - ■ ■ '时,不存在与坐标轴不重合的直线 I ,使得S 1= &; 当’• "i-卜「-时,存在与坐标轴不重合的直线I ,使得S 1=$$2.若…则1 (k > 0),(a , 0)到直线I 的距离分别为d i , d 2,则I - ak- 0|% 二ak|ak- 0|ak--------- --------- ,所以 d i =d 2-又.: = -- ,K I—I I -1,所以「慨「,即 |BD|=开AB| •由对称性可知 |AB|=|CD|,所以 |BC|=|BD| - |AB|=(入-1) |AB| ,|AD|=|BD|+|AB|=(廿1) |AB|,于是 |-将I 的方程分别与 C i 和C 2的方程联立,可求得_ anlB=7?7w根据对称性可知 X C = - x B , X D = - x A ,I ADI RT 胃廿 i BC i Vl+k 2I - X c从而由①和②可得x+l2i 2丄 2一:一 「 ③ a k +n令—/I 、,则由m > n ,可得t 詞,于是由③可得足/ ]衷"y 入(扎 _ 1)a 2(1 -x 2}因为k 旳,所以k 2> 0•于是 ③关于k 有解,当且仅当22. (14 分) 考 导数在最大值、最小值问题中的应用;禾U 用导数研究函数的单调性;数列的求和;不等式的证明.占:八、、♦ 专 压轴题;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 题: 分 (I)先求出函数f (x )的导函数f'(x ),令f (x ) =0,解得x=0,再求出函数的单调区间,进而求出最小值 析:为 f (0) =0 ;(H)根据(I)知,即(1+x ) r+1》+ (r+1) x ,令*2代入并化简得—,再令n r+1 n得n ----------------------- - ----- ,即结论得到证明;r+1(川)根据(n)的结论,令 -,n 分别取值81, 82, 83,…,125,分别列出不等式,再将各式相加得,3444 4--飞 :-:| | !:: :■■ :- --、 :!,再由参考数据和条件进行求解.解 解;(I)由题意得 f (x ) = (r+1) (1+x ) r -( r+1) = (r+1) [ (1+x ) r - 1], 答:令f (x ) =0,解得x=0 .当-1v x v 0 时,f (x )v 0 ,••• f (x )在(-1, 0)内是减函数; 当x >0时,f (x )> 0,「. f (x )在(0, +s)内是增函数. 故函数f (x )在x=0处,取得最小值为f (0) =0.(n)由(I),当 x € (- 1, + R )时,有 f (x )并(0) =0,r+1即(1+x ) 》+ (r+1) X ,且等号当且仅当 x=0时成立, 故当 x >- 1 且 x 和,有(1+x ) r+1> 1+ (r+1) x ,① 在①中,令厂一(这时x >- 1且x 旳),得「「讣■-亠-.AB点评:本题考查了三角形的面积公式,考查了点到直线的距离公式,考查了直线与圆锥曲线的关系,该题重点考 查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法,(n)中判断 入的存在性是该题的难题,考查了灵活运用函数和不等式的思想方法.。
2013—2014学年第一学期高三理科数学期中考试试卷
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精心整理2013—2014学年第一学期高三理科数学期中考试试卷以下是为大家整理的关于《2013—2014学年第一学期高三理科数学期分,1A .B 2A C .奇函数且在(-∞,0)上是增函数D .偶函数且在(-∞,0)上是减函数3.设函数和的定义域都为R ,且为奇函数,为偶函数;当0;(2);(3)应用微积分基本定理,有,则F(x)=lnx;(4)f(x)的原函数为F(x),且F(x)是以T为周期的函数,则;其中正确命题的序号。
三、解答题:(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说17.(1(218.AB中19.离之和为4.(1)求椭圆C的方程和焦点坐标;(2)过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P、Q两点,求△F1PQ的面积.20.(本小题满分12分)已知双曲线过点P,它的渐近线方程为(1)求双曲线的标准方程;(2)设F1和F2是这双曲线的左、右焦点,点P在这双曲线上,且|PF1|•|PF2|=32,求∠F1PF2的大小.21.(1(222.(1)(2一、选择题1~12BBDCBCADBCAB二填空题13、14、15、-416、(2)、(4)三、解答题17.(1)由图象可知,在上,>0,在上,〈0,在上,>0,------------------------------------------------2分故f(x)在上递增,在上递减,----------------------------------4分因所以(,由分解得解法又=,-----------------------------------------------------9分由可得.----------------------------------10分18.解:(1)由题意设抛物线方程为,其准线方程为,…………2分∵A(4,m)到焦点的距离等于A到其准线的距离∴此抛物线的方程为…………5分(2)由消去………………7分∵直线与抛物线相交于不同两点A、B,则有…………9分解得19、分,解得b2=3∴c2=a2-b2=4-3=1,…………………………………………………………3分故椭圆方程为,……………………………………………………4分焦点F1、F2的坐标分别为(-1,0)和(1,0),………………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,………………………………………………………………6分∴PQ所在直线方程为,由得设,20又②由①②得,∴所求的双曲线方程为…………6分(2)证|PF1|=d1,|PF2|=d2,则d1•d2=32又由双曲线的几何性质知|d1-d2|=2a=6…………8分即有………………10分又|F1F2|=2c=10△PF1F2是直角三角形,………………………………12分21.(1)由已知可得,由-------------------------------------------------2分可;3分x+0—所为。
湖北省荆州市2013届高三质量检测一(数学理)
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{
平面区域的面积等于 1 3 1 . C . D . 1 A . B 5 5 2
数学试题(理)第2 页(共4页)
二、 填空题: 本大题共 5小题, 每小题 5分, 共2 5分, 把答案填在答题卡中相应的横线上. 3 π 1 1 . 函数 y = s i n ( x + ) ( 0 , 0< ) 的周期为 π , 且函数图象关于点(- , 0 ) 对称, 则 ω φ ω> φ< π 8 函数解析式为 . 1 2 . 设S a } 的前 n 项和, S , S , S 且a a 2 a 则 m= n 是等比数列{ n 3 9 6 成等差数列, 2+ 5= m,
( 1 ) 请写出 f ( x ) 的达式( 不需要证明) ; n 2 ) 求f ( x ) 的极小值; ( n
2 ( 3 ) 设g ( x )=- x - 2 ( n + 1 ) x - 8 n + 8 , g ( x ) 的最大值为 a , f ( x ) 的最小值为 b , 证明: n n n - 4 a - b ≥e .
荆州市 2 0 1 3届高中毕业班质量检查( Ⅰ)
数 学 ( 理工农医类)
本试卷共三大题 2 1道小题, 满分 1 5 0分, 考试用时 1 2 0分钟。 注意事项: 1 答卷前, 考生务必将自己的学校、 班级、 姓名、 考号填在试卷答题卡上。 2 第 1至 1 0小题选出答案后, 用2 B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号。第 1 1至 2 1题用钢笔或圆珠笔在答题卡上作 答, 答在试题卷上的无效。 3 . 考试结束, 只交答题卡。 本科目考试时间: 2 0 1 2年 1 2月 1日下午 3 ∶0 0 — — —5 ∶0 0 一、 选择题: 本大题共 1 0小题, 每小题 5分, 共5 0分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项正 确, 每小题选出答案后, 用2 B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 多涂、 不涂或涂错均 得 0分. 2 2 1 . 设集合 A= { x > 1 , x } , B= { x =槡 1- x } , 则( C A ) │ ∈R │y ∩B= R x 1- { x 1 } B . { x 1< x < 1 } A . │- ≤x ≤1 │- C . {- 1 , 1 } D . { 1 }
2013届高三上期中数学试题(理)及答案
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2012-2013学年度第一学期高三级数学科(理科)期中考试试卷本试卷分选择题和非选择题两部分,共10页,满分为150分。
考试用时120分钟。
注意事项:1、答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上,用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后,有2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案;不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答,答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上,超出指定区域的答案无效;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
第一部分选择题(共 40 分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若{}1,2,3,4,5U =,{}1,2,3A =,{}2,4B =,则u A C B = ( ) A .{2,4}B .{1,3}C .{1,2,3,4}D .{1,2,3,4,5}2.若复数21(1)a a i -+-(i 为虚数单位)是纯虚数,则实数a =( ) A.1± B.1- C.0 D.13.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且91a ,32a ,3a 成等比数列. 若1a =3,则4a = ( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 54. 设a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数,则方程220x ax ++=有两个不相等的实数根的概率为( )5. 已知变量x 、y 满足条件1,0,290,x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则x y +的最大值是( )A.2B.5C.6D.8 6. 下列各命题中正确的命题是 ( )①命题“p 或q ”为真命题,则命题“p ”和命题“q ”均为真命题; ② 命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤” ;③“函数22()cos sin f x ax ax =-最小正周期为π”是“1a =”的必要不充分条件; ④“平面向量a 与b的夹角是钝角”的充分必要条件是“0a b ⋅<” .A .②③B .①②③ C.①②④ D .③④7. 把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起,使得平面⊥ABD 平面CBD ,形成三棱锥ABD C -的正视图与俯视图如下图所示,则侧视图的面积为 ( )8.点P为双曲线1C:和圆2C:2222bayx+=+的一个交点,且12212FPFFPF∠=∠,其中21,FF为双曲线1C的两个焦点,则双曲线1C的离心率为()A B C D.2第二部分非选择题(共 110 分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
2013湖北高考(理科)数学试题及答案(完整版)
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2013年湖北高考数学试卷(理科)WORD 版绝密 ★ 启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数 学(理科)4.将函数3cos sin ()y x x x R =+∈的图像向左平移(0)m m >个单位长度后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是 A .12πB .6πC .3πD .56π 5.已知04πθ<<,则双曲线22221222222:1:1cos sin sin sin tan x y y x C C θθθθθ-=-=与的 A .实轴长相等 B .虚轴长相等 C .焦距相等 D .离心率相等6.已知点A (-1,1)、B (1,2)、C (-2,1)、D (3,4),则向量AB 和CD 方向上的投影为A .322 B .3152 C .322 D .31527.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度25()73(,/)1v t t t s v m s t=-++的单位:的单位:行驶至停止,在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m )是 A .1+25ln5 B .118+25ln3C .4+25ln5D .4+50ln 2 8.一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别为1234V V V V ,,,,这四个几何体为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有1243.AV V V V <<< 1324.BV V V V <<< 2134.C V V V V <<< 2314.DV V V V <<<9.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中抽取一个小正方体,记它的涂漆面数为X ,则X 的均值E(X)= A .126125 B .65 C .168125 D .7511.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50至350度之间,频率分布直方图如图所示。
2013湖北高考数学理科试题及解析
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2013年湖北省理科数学高考试题乐享玲珑,为中国数学增光添彩!免费,全开放的几何教学软件,功能强大,好用实用一.选择题 1.在复平面内,复数21iz i=+(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2.已知全集为R ,集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭,{}2|680B x x x =-+≤,则R A C B =( )A.{}|0x x ≤B.{}|24x x ≤≤C. {}|024x x x ≤<>或D.{}|024x x x <≤≥或3.在一次跳伞训练中,甲.乙两位学员各跳一次,设命题p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( ) A.()()p q ⌝∨⌝ B. ()p q ∨⌝ C. ()()p q ⌝∧⌝ D.p q ∨4.将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是( ) A.12πB.6πC.3πD.56π5.已知04πθ<<,则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的( ) A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D. 离心率相等6.已知点()1,1A -.()1,2B .()2,1C --.()3,4D ,则向量AB 在CD 方向上的投影为( )A.C. D.7.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度()25731v t t t=-++(t 的单位:s ,v 的单位:/m s )行驶至停止。
在此期间汽车继续行驶的距离(单位;m )是( ) A. 125ln5+ B. 11825ln3+ C. 425ln5+ D. 450ln 2+ 8.一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为1V ,2V ,3V ,4V ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有( )A. 1243V V V V <<<B. 1324V V V V <<<C. 2134V V V V <<<D. 2314V V V V <<<9.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成125个同样大小的小正方体。
湖北省江陵县实验高中2013届高三上学期期中考试数学理试题
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第4题图江陵县实验高中2013届高三上学期期中考试理科数学一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知,,x y R i∈为虚数单位,且(2)1x i y i--=+,则(1)x yi++的值为A.4 B.4-C.44i+D.2i2. 不等式2210ax x-+<的解集非空的一个必要而不充分条件是A.1a<B.1a≤C01a<<D.0a<3如图,测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得∠BCD =15o,∠BDC=30o,CD=30,并在点C测得塔顶A的仰角为60o,则塔高AB= ()A.65B.315C.25D.6154如图,圆弧型声波DFE从坐标原点O向外传播. 若D是DFE弧与x 轴的交点,设OD=x ax≤≤0(),圆弧型声波DFE在传播过程中扫过平行四边形OABC的面积为y(图中阴影部分),则函数)(xfy=5已知数列{}n a为等差数列,{}n b为等比数列,且满足:π=+10121000aa,2141-=bb,则=-+87201111tanbbaaA.1 B.-1CD.6设函数))(()(b xaba xxf-+=,其中a b,是非零向量,则“函数)(xf的图像是一条直线”的充分条件是( )A 、a b⊥ B 、//a b C 、a b= D、a b≠7.已知点1(,)4xx y x yax by c≥⎧⎪+≤⎨⎪++≥⎩是不等式组表示的平面区域内的一个动点,且目标函数2z x y =+的最大值为7,最小值为1,则a b ca++的值为A .2B .12C .-2D .-1 8 已知正项数列{}n a 中,11=a ,22=a , 222112(2)n n n a a a n +-=+≥,则6a 等于( )A .16B .8C .22D .49 函数()f x 的定义域为D ,若存在闭区间[,]a b D ⊆,使得函数()f x 满足:①()f x 在[,]a b 内是单调函数;②()f x 在[,]a b 上的值域为[2,2]a b ,则称区间[,]a b 为()y f x =的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有( )①)0()(2≥=x x x f ; ②()()xf x e x =∈R ;③)0(14)(2≥+=x x xx f ;④)1,0)(81(log )(≠>-=a a a x f xa A.①②③④ B.①②④C.①③④D.①③10.已知函数2()log |1|f x x =-,且关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=有6个不同的实数解,若最小实数解为3-,则b a +的值为( ) A .-3B .-2C .0D .不能确定二、填空题:本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题(11—14题) 11 设111,exm e dx n dx x==⎰⎰,则m 与n 的大小关系为 。
湖北省部分重点中学2013届高三起点考试理科数学试卷.pdf
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§5.2.1 反比例函数的图象与性质(一) 教学目标 (一)教学知识点 1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤,会作反比例函数的图象. 2.体会函数的三种表示方法的互相转换.对函数进行认识上的整合. 3.逐步提高从函数图象小获取信息的能力,探索并掌握反比例函数的主要性质. (二)能力训练要求 通过学生自己动手列表、描点、连线,提高学生的作图能力;通过观察图象,概括反比例函数的有关性质,训练学生的概括、总结能力. (三)情感与价值观要求 让学生积极参与到数学学习活动中,增强他们对数学学习的好奇心与求知欲. 教学重点画反比例函数的图象;并从函数图象中获取信息,探索并研究反比例函数的主要性质. 教学难点反比例函数的图象特点及性质的探究. 教学方法教师引导学生探究法. 教具准备 教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课 [师]我们在前面学习了正比例函数和一次函数的图象,知道它们的图象都是一条直线,正比例函数的图象是过原点的一条直线,在画图象时需找(1,k)点即可,一次函数的图象也是一条直线,是不过原点的一条直线.画图象时只需找(0,b)和(-,0),过这两点作直线即可.那么反比例y=(k≠0)的图象是直线呢?还是曲线,这就需要我们动手去做一做,才能得出结论.本节课就让我们一齐来实践吧. Ⅱ.新课讲解 1.画反比例函数的图象 [师]大家还记得画图象的步骤吗? [生]记得.是列表,描点,连线. [师]下面大家试着作反比例函数y=的图象,在列表时x取值仿照以前,且要多取几点. [生甲]列表: x-8-4-3-2-1-12348y=--1--2-4-88421描点:以表中各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系内描出相应的点. 连线:用光滑的曲线顺次连结各点,即可得到函数y=的图象(如图). [生乙]我作出的图象和他不一样,是这样的 [生丙]我作出的图象和他们都不一样.(如下图)[师]现在出现三种不同类型的图象,请大家认真思考后选出正确的图象是哪一个? [生]第一种正确.第二种也正确,只不过取的点较少,又没有对称地取数,所以画出的图象好象不正确.第三种是错误的,因为应用光滑的曲线连接,而不是用折线连接. [师]很好.可见大家是动脑子思考过的,这种钻研精神值得表扬. 2.议一议 你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题?与同伴进行交流. [生]其实刚才两位同学所画的图象已给出我们答案了,在列表时,自变量的值可以任意选,但如果选取绝对值相等而符号相反的一对一对的数值,这样既可以简化计算,又便于描点;列表、描点时,要尽量多取一些数值.多描一些点,这样方便连线;在连线时要用“光滑的曲线”,不能用折线. 3.做一做 请大家用同样的方法作反比例函数y=的图象. (让学生自己作图,然后出示正确的图象让学生参考) [生]列表 x-8-4-3-2-1-12348y=1248-8-4-2-1-描点:以表中各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系内描出相应的点. 连线:用光滑的曲线顺次连接各点,即可得到函数y=的图象,如下图. [师]很好,大家基本上已经掌握了画反比例函数的步骤,以及反比例函数的图象的大致形状. 4.想一想 观察y=和y=的图象,它们有什么相同点和不同点? [师]上面是函数y=和y=的图象,请大家对比着探索他们的异同点. [生]相同点: (1)图象都是由两支曲线组成; (2)它们都不与坐标轴相交; (3)它们都不过原点; 不同点: 它们所在的象限不同.y=的两支曲线在第一和第三象限;y=的两支曲线在第二和第四象限. [师]很好,完全正确. 大家再仔细观察一下每个函数图象是否为对称图形. [生]是轴对称图形,也是中心对称图形. [师]由此看来,反比例函数的图象是两支双曲线,它们要么在第一、三象限,要么在第二、四象限,究竟什么时候在一、三象限,什么时候在二、四象限,大家能肯定吗? [生]可以,当k>0时,图象的两支曲线在第一、三象限内;当k0时,图象的两支曲线分别在第一、三象限内;当k<0时,图象的两支曲线分别位于第二、四象限. Ⅴ.课后作业 习题5.2 Ⅵ.活动与探究 已知y=y1+y2,y1与x成正比例,y2与x2成反比例,且当x=2与x=3时,y的值都等于19.y与x间的系数关系式,并求x=4时y的值. 解:设y1=k1x,y2=. ∴y=y1+y2=k1x+. 当x=2时, y=19; 当x=3时,y=1.9. 2k1+=19, ∴ 3k1+=19. k1=5. 解得 k2=36. ∴关系式为y=5x+. 当x=4时,y=5×4+=20+=22 初中学习网,资料共分享!我们负责传递知识!。
部分重点中学2013新高三理科试卷定稿2范文
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俯视图湖北省部分重点中学2012-2013学年度上学期新高三起点考试数学试卷(理科)本试卷共四页,共21题,满分150分。
考试用时120分钟。
★ 祝 考 试 顺 利 ★注意事项:1、 答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。
2、 选择题作答:每小题选出答案后,将答案填在答题卡对应题号后。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3、 填空题和解答题的作答:直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效,答在对应区域以外,填错答题区域无效。
命题人:武汉四中 魏兰 审题人:武汉中学 一、选择题:本大题共10小题,每题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.233lim9x x x →-+=-( )A .13B .0C .16D .16-2.如右图,一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形,其俯视图轮廓为正方形,则其体积是( )ABC D .833. 已知复数i z 21--=,则z 在复平面上表示的点位于( )A .第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.在平行四边形ABCD 中,d BD c AC b AD a AB ====,,,,则下列等式中不正确的是( ) A . d b a =-B .a d c 2=-C .c b a =+D .d a b =-5.在区间[1,1]-上随机取一个数x ,则cos2x π的值介于0到12之间的概率是( ) A .12 B .23 C . 13 D .346.函数()f x 在定义域R 内可导,若()(2),(1)()0f x f x x f x '=--<,设(0)a f =,1()2b f = ,(3)c f =,则( )A .a b c <<B .c a b <<C .c b a <<D .b c a << 7.已知223+2=6x y x ,则22=+1m x y -最大值为( )A .2B .3C .4D .728.已知抛物线:C 24x y =,直线:1l y =-.PA 、PB 为曲线C 的两切线,切点为,A B .命题甲:若P 在l 上,命题乙:PA PB ⊥;则甲是乙( )条件A 充要B 充分不必要C 必要不充分D 既不充分也不必要9.执行图1的程序框图,若输出的n =5,则输入整数p 的最大值是( ) A 15 B14 C 7 D 6 10.设()f x 是定义在R 上的偶函数,对任意的x R ∈, 都有(2)(2)f x f x -=+,且当[2,0]x ∈-时,1()()12xf x =-, 若在区间(2,6]-内关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=恰有三个 不同的实数根,则a 的取值范围是A .(1,2)B .(2,)+∞ C. D. 二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分。
2013高三上学期数学期中理科试题(有答案)
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2013高三上学期数学期中理科试题(有答案)2013-2014学年度第一学期金山中学高三期中考试试卷理科数学一、选择题(每题5分,共40分)1、命题“,≥恒成立”的否定是()A.,C.,≥成立;D.,2、已知函数的零点为,则所在区间为()A.B.C.D.3、已知函数为非零常数,则的图像满足()A.关于点对称B.关于点对称C.关于原点对称D.关于直线轴对称4、函数,如果,则的值是()A.正数B.负数C.零D.无法确定5、若、,则是的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不是充分也不是必要条件6、设是定义在上的周期为2的偶函数,当时,,则在区间内零点的个数为()A.2013B.2014C.3020D.30197、设集合≥,≤≤,如果有,则实数的取值范围是()A.B.C.D.8、在R上定义运算:对、,有,如果,则的最小值是()A.B.C.D.二、填空题(每题5分,共30分)9、不等式的解集是.10、已知是R上的奇函数,当时,,则.11、已知函数且,如果对任意,都有成立,则的取值范围是____________.12、如果方程有解,则实数的取值范围是.13、已知函数,则函数过点的切线方程为.14、若对任意,,(、)有唯一确定的,与之对应,称,为关于、的二元函数.现定义满足下列性质的二元函数为关于实数、的广义“距离”;(1)非负性:时取等号;(2)对称性:;(3)三角形不等式:对任意的实数z均成立.今给出三个二元函数,请选出所有能够成为关于、的广义“距离”的序号: ①;②;③能够成为关于的、的广义“距离”的函数的序号是____________.三、解答题(15、16题每题12分,17至20题每题14分,共80分)15、已知函数(1)求的最大值和最小正周期;(2)设,,求的值.16、某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=)17、已知函数满足对,都有,且方程有重根.(1)求函数的解析式;(2)设,求数列的前项和.18、已知函数;(1)如果函数有两个极值点和,求实数、的值;(2)若函数有两个极值点和,且∈,∈,求的最小值.19、已知函数,函数的图象在点处的切线平行于轴.(1)确定与的关系;(2)当时,求函数的单调区间;(3)证明:对任意,都有成立.20、已知,函数,.(其中e是自然对数的底数)(1)当时,求函数的极值;(2)令,若函数在区间上是单调函数,求的取值范围.高三期中考理科数学参考答案:DCABBCAB9、10、111、≤12、或≤13、和14、①15、解:(1)且的最大值为最小正周期(2),又,∴16、解:设楼房每平方米的平均综合费为元,依题意有,故等号成立,当且仅当,即答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为15层.17、解:(1)由对,都有,∴函数图像的对称轴为,∴,∴,又方程有重根,即有重根,∴,∴故(2)由18、解:(1)由,故,函数有两个极值点-1和2,故∴,.经检验,,满足题意.(2)由函数有两个极值点和,且,故有,即画出上述不等式组的可行域如右图:又表示点到点距离的平方.而点到可行域的点的最小距离是点A到点的距离. 所以,的最小值是,此时,,;经检验,,满足题意.19、解:(1)依题意得,则由函数的图象在点处的切线平行于轴得:∴(2)由,令得或,故、随变化如下表:极大值极小值故函数在上单调递增,在单调递减,在上单调递增.(3)证法一:由(2)知当时,函数在单调递增,,即,令,则,即证法二:构造数列,使其前项和,则当时,,显然也满足该式,故只需证令,即证,记,则,在上单调递增,故,∴成立,即证法三:令,则令则,记∵∴函数在单调递增,又即,∴数列单调递增,又,∴20、解:(1)由,…………1分令,解得:…………2分故、随变化如下表:极小值又,故函数有极小值;…………6分(2)由,令,则,,故在区间上是减函数,从而对,≥.①当≥,即≤时,≥,∴在区间上增函数.故≤,即≤,因此,故在区间上是减函数,≤满足题意.②当时,由,,,且y=在区间的图像是一条连续不断的曲线故y=在区间有唯一零点,设为,,在区间上随变化如下表:极大值故有,而,且y=在区间的图像是一条连续不断的曲线,故y=在区间有唯一零点,设为,即y=在区间有唯一零点,,在区间上随变化如下表:极大值即函数在区间递减,在区间递增,矛盾,>不符题意,综上所述:的取值范围是.。
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第4题图江陵县实验高中2013届高三上学期期中考试理科数学一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 已知,,x y R i ∈为虚数单位,且(2)1x i y i --=+,则(1)x yi ++的值为 A .4 B .4- C .44i + D . 2i 2. 不等式2210ax x -+<的解集非空的一个必要而不充分条件是A .1a <B .1a ≤C 01a <<D .0a < 3如图,测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ,测得∠BCD =15o ,∠BDC=30o,CD=30,并在点C测得塔顶A 的仰角为60o,则塔高AB= ( )A .65B .315C .25D .6154如图,圆弧型声波DFE 从坐标原点O 向外传播. 若D 是DFE 弧与x 轴的交点,设OD = x a x ≤≤0(),圆弧型声波DFE 在传播过程中扫过平行四边形OABC 的面积为y (图中阴影部分),则函数)(x f y =5已知数列{}n a 为等差数列,{}n b 为等比数列,且满足:π=+10121000a a ,2141-=b b ,则=-+87201111tanb b a aA .1B .-1 CD . 6设函数))(()(b x a b a x x f -+=,其中 a b,是非零向量,则 “函数)(x f 的图像是一条直线”的充分条件是( )A 、 a b ⊥B 、 //a bC 、a b =D 、 a b ≠7. 已知点1(,)40x x y x y ax by c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≥⎩是不等式组表示的平面区域内的一个动点,且目标函数2z x y =+的最大值为7,最小值为1,则a b ca++的值为A .2B .12C .-2D .-1 8 已知正项数列{}n a 中,11=a ,22=a , 222112(2)n n n a a a n +-=+≥,则6a 等于( )A .16B .8C .22D .49 函数()f x 的定义域为D ,若存在闭区间[,]a b D ⊆,使得函数()f x 满足:①()f x 在[,]a b 内是单调函数;②()f x 在[,]a b 上的值域为[2,2]a b ,则称区间[,]a b 为()y f x =的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有( )①)0()(2≥=x x x f ;②()()x f x e x =∈R ;③)0(14)(2≥+=x x xx f ;④)1,0)(81(log )(≠>-=a a a x f xa A.①②③④ B.①②④C.①③④D.①③10.已知函数2()log |1|f x x =-,且关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=有6个不同的实数解,若最小实数解为3-,则b a +的值为( ) A .-3B .-2C .0D .不能确定二、填空题:本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题(11—14题) 11 设111,exm e dx n dx x==⎰⎰,则m 与n 的大小关系为 。
12已知等差数列{}n a 的公差为2,项数是偶数,所有奇数项之和为15,所有偶数项之和为35,则这个数列的项数为13已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则(Ⅰ)→DE ·→CB 的值为 ; (Ⅱ)→DE ·→DC 的最大值为 .14,故称其为“囧函数”.下列命题正确的是 .①“囧函数”的值域为R ; ②“囧函数”在(0,)+∞上单调递增;③“囧函数”的图象关于y 轴对称; ④“囧函数”有两个零点; ⑤“囧函数”的图象与直线(0)y kx b k =+≠的图象至少有一个交点.(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分.) 15. 在极坐标系中,直线被圆所截得的弦长是____16. 如图所示,⊙O 的直径AB=6cm ,P 是AB 的延长线上的 一点,过P 点作⊙O 的切线,切点为C ,连接AC ,若30CPA ∠=︒,则PC= 。
三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内. 17.(本小题满分12分)函数f (x )=A sin(ωx -π6)+1(A >0,ω>0)的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(Ⅰ)求函数f (x )的解析式;(Ⅱ)设α∈(0,2π),f (α2)=2,求α的值.18.(本小题满分12分)设{}n a 是公差大于零的等差数列,已知12a =,23210a a =-. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设{}n b 是以函数214sin ()12y x π=+-的最小正周期为首项,以3为公比的等比数列,求数列{}n n a b -的前n 项和n S .19.(本小题满分12分)已知ABC ∆的两边长分别为25AB =,39AC =,且O 为ABC∆外接圆的圆心.(注:39313=⨯,65513=⨯)(1)若外接圆O 的半径为652,且角B 为钝角,求BC 边的长; (2)求AO BC ⋅的值.20.(本小题12分)2012年中秋、国庆长假期间,由于国家实行6座及以下小型车辆高速公路免费政策,导致在长假期间高速公路出现拥堵现象。
长假过后,据有关数据显示,某高速收费路口从上午6点到中午12点,车辆通过该收费站的用时y (分钟)与车辆到达该收费站的时刻..t 之间的函数关系式可近似地用以下函数给出:y=3221362936,69844288(),91063366345,1012t t t t t f t t t t t t ⎧--+-≤<⎪⎪⎪=+≤≤⎨⎪⎪-+-<≤⎪⎩求从上午6点到中午12点,通过该收费站用时最多的时刻。
21(本小题满分13分)已知数列{}n a 的相邻两项1,+n n a a 是关于x 的方程022=+-n nb x x ∈n (N )*的两根,且11=a .(1) 求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2) 设n S 是数列{}n a 的前n 项和, 问是否存在常数λ,使得0>-n n S b λ对任意∈n N *都成立,若存在, 求出λ的取值范围; 若不存在, 请说明理由.22.(本小题满分14分)设函数()e xf x =(e 为自然对数的底数),23()12!3!!nn x x x g x x n =+++++ (*n ∈N ). (1)证明:()f x 1()g x ≥;(2)当0x >时,比较()f x 与()n g x 的大小,并说明理由; (3)证明:12322221()()()()(1)2341nn g e n +++++≤<+ (*n ∈N ).参考答案1D2B3D4A5D 6A7C 8D9C10B11 m>n 12 10 13.(Ⅰ)1;(Ⅱ)1 14③⑤ 15. ③⑤17解:(Ⅰ)∵函数f (x )的最大值为3,∴A +1=3,即A =2,∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2,∴最小正周期T =π,∴ω=2.故函数f (x )的解析式为f (x )=2sin(2x -π6)+1.……………………………………6分(Ⅱ)f (α2)=2sin(α-π6)+1=2,即sin(α-π6)=12.∵0<α<2π,∴-π6<α-π6<11π6,∴α-π6=π6,或α-π6=5π6,故α=π3,或α=π.………………………………………………………………12分18(1) 2n n a = (2)21223nn n n s =++-19解:(1)由正弦定理有2sin sin AB ACR C B==, ∴253965sin sin C B ==,∴3sin 5B =,5sin 13C =, ……………………3分 且B 为钝角,∴12cos 13C =,4cos 5B =-,∴3125416sin()sin cos sin cos ()51313565B C B C C B +=+=⨯+⨯-=,又2sin BCR A=,∴2sin 65sin()16BC R A B C ==+=; ……………………6分 (2)由已知AO OC AC += ,∴22()AO OC AC += ,即2222||2||||39AO AO OC OC AC +⋅+== ……………………8分 同理AO OB AB += ,∴2222||2||||25AO AO OB OB AB +⋅+== , …………10分两式相减得22(3925)(3925)896AO OC AO OB ⋅-⋅=-+=,即2896AO BC ⋅= ,∴448AO BC ⋅=. ……………………12分20. .解:当[6,9)t ∈时,3213629()36844f t t t t =--+-得:2333()36(12)(8)828f t t t t t '=--+=-+-故:()f t 在(6,8)单调递增,在(8,9)单调递减, 因此,max ()f t 75(8)4f ==;……………………………………………….4分 当[9,10]t ∈时,288()863t f t t =+≥=。
当且仅当288,63t t =即:24t =[9,10]∉。
因此()f t 在[9,10]单调递减, 所以,max 73()(9)6f t f ==。
……………………………………………8分 当(10,12]t ∈时,2()366345f t t t =-+-,对称轴为11t =,故max ()(11)18f t f ==。
………………………………………………12分综上所述:max75,69473(),910618,1012t f t t t ⎧≤<⎪⎪⎪=≤≤⎨⎪<≤⎪⎪⎩。
故:通过收费站用时最多的时刻为上午8点。
…………………………………..13分21解: (1) ∵1,+n n a a 是关于x 的方程022=+-n n b x x ∈n (N )*的两根,∴⎩⎨⎧==+++.,211n n nn n n a a b a a 2分由n n n a a 21=++,得⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯--=⨯-++n nn n a a 23123111, ……4分故数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯-n na 231是首项为31321=-a ,公比为1-的等比数列. ∴()1131231--⨯=⨯-n n n a , 即()[]nn n a 1231--=. ……6分(2)n n a a a a S ++++= 321()()()()[]{}nn 111222231232-++-+--++++=()⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=+21122311n n . ……8分要使0>-n n S b λ对任意∈n N *都成立,即()[]1229112---+n n ()02112231>⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----+nn λ(*)对任意∈n N *都成立.当n 为正奇数时, 由(*)式得[]1229112-++n n ()1231>--+n λ,即()()1212911+-+n n ()01231>--+n λ,∵0121>-+n , ∴()1231+<nλ对任意正奇数n 都成立.当且仅当1=n 时, ()1231+n有最小值1. ∴1<λ.② 当n 为正偶数时, 由(*)式得[]1229112--+n n ()2231>--+n λ,即()()1212911-++n n ()01232>--nλ,∵012>-n, ∴()12611+<+n λ对任意正偶数n 都成立.当且仅当2=n 时, ()12611++n 有最小值23. ∴<λ23. ……12分综上所述, 存在常数λ,使得0>-n n S b λ对任意∈n N *都成立, λ的取值范围是()1,∞-.……13分22. 【考查目的】本题考查函数与导数、数学归纳法、不等式等基础知识,考查抽象概括能力、推理论证能、运算求解能力和创新意识,考查函数与方程思想、转化与化归思想 解:(1)证明:设11()()()1x x f x g x e x ϕ=-=--,所以1()1x x e ϕ'=-…………1分 当0x <时,1()0x ϕ'<,当0x =时,1()0x ϕ'=,当0x >时,1()0x ϕ'>.即函数1()x ϕ在(,0)-∞上单调递减,在(0,)+∞上单调递增,在0x =处取得唯一极小值,…2分因为1(0)0ϕ=,所以对任意实数x 均有 11()(0)0x ϕϕ=≥.即1()()0f x g x -≥,所以()f x 1()g x ≥………………………………………………………………3分 (2)解:当0x >时,()f x >()n g x .用数学归纳法证明如下:①当1n =时,由(1)知()f x 1()g x >。