数学建模——传染病模型

传染病模型

摘要

当今社会，人们开始意识到通过定量地研究传染病的传播规律，建立传染病的传播模型，可以为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。本文利用微分方程稳定性理论对传统传染病动力学建模方式进行综述，且针对甲流，SARS等新生传染病模型进行建模和分析。

不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。本文中，我们应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法。然后，通过借助Matlab程序拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测，评估各种控制措施的效果，从而不断完善文中的模型。

本文由简到难、全面地评价了该模型的合理性与实用性，而后对模型和数据也做了较为扼要的分析，进一步改进了模型的不妥之处。同时，在对问题进行较为全面评价的基础上又引入更为全面合理的假设，运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议，做好模型的完善与优化工作。

关键词：传染病模型,简单模型，SI，SIS,SIR，微分方程，Matlab。

一、问题重述

有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行，现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。

数学建模传染病模型例题

（最新版）

一、引言

二、数学建模传染病模型的基本概念

1.SEIR 模型

2.SIS 模型

3.SIR 模型

三、数学建模传染病模型的例题

1.模型假设

2.模型建立

3.模型求解

四、结论

正文

一、引言

随着全球化的发展，传染病的传播越来越引起人们的关注。为了更好地预测和控制传染病的传播，数学建模传染病模型被广泛应用。本文将以数学建模传染病模型为例，介绍相关的模型概念和例题。

二、数学建模传染病模型的基本概念

（1）SEIR 模型

SEIR 模型是传染病数学模型中最基本的模型之一，它将人群分为四类：易感者 (Susceptibles)、暴露者 (Exposed)、感染者 (Infectives) 和抵抗者 (Resistances)。该模型假设人群数量不变，感染者会以一定的

速率传染给易感者，同时易感者会以一定的速率转变为暴露者，暴露者在一定时间后转为感染者，感染者又会在一定时间后转为抵抗者。

（2）SIS 模型

SIS 模型是 SEIR 模型的一种特殊形式，它将人群分为易感者(Susceptibles)、感染者 (Infectives) 和恢复者 (Recovered) 三类。该模型假设易感者与感染者的接触会导致疾病传播，感染者会在一定时间后恢复为易感者，恢复者则具有免疫力。

（3）SIR 模型

SIR 模型是另一种常见的传染病数学模型，它将人群分为易感者(Susceptibles)、感染者 (Infectives) 和恢复者 (Recovered) 三类。与 SIS 模型不同的是，SIR 模型假设感染者会以一定的速率恢复为易感者，而恢复者则具有免疫力。SIR 模型适用于短期传染病，例如流感。

数学建模_传染病模型

传染病模型

医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。

社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。

一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S 类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I 类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S 类成员；R 类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。

问题提出

请建立传染病模型，并分析被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来?为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？

关键字:传染病模型、建模、流行病

摘要：随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、

天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制。但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄向人类袭来。20世纪80年代十分险恶的爱滋病毒开始肆虐全球，至今带来极大的危害。还有最近的SARS 病毒和禽流感病毒，都对人类的生产生活造成了重大的损失。长期以来，建立制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播模型机理建立几种模型。

模型1

在这个最简单的模型中，设时刻t 的病人人数x(t)是连续、可微函数，

数学建模传染病模型例题

一、传染病模型简介

传染病模型是数学建模的一个重要分支，主要用于描述传染病在人群中的传播规律。通过构建合适的数学模型，可以研究传染病的传播动力学、预测疫情发展趋势以及评估防控措施的效果。本文将重点介绍几种常见的传染病模型及其应用。

二、传染病模型的类型及应用

1.SIR模型

SIR模型是一种基于微分方程的传染病模型，其中S、I、R分别代表易感者（Susceptible）、感染者（Infected）和康复者（Recovered）。该模型通过描述易感者感染、感染者康复以及康复者不再易感的动态过程，揭示了传染病在人群中的传播规律。SIR模型在分析疫情爆发、研究防控措施等方面具有广泛应用。

2.SEIR模型

SEIR模型是在SIR模型基础上发展的一种传染病模型，其中E代表潜伏者（Exposed）。与SIR模型相比，SEIR模型增加了潜伏期这一概念，使得模型更加符合实际情况。该模型可以用于研究传染病的传播速度、预测疫情发展趋势以及评估疫苗的效果。

3.SI模型

SI模型是一种简化的传染病模型，仅包含易感者和感染者两个群体。该模型适用于分析短期传染病，如流感等。通过研究易感者与感染者的动态关系，

可以预测疫情爆发的时间和规模。

三、传染病模型的参数估计与预测

传染病模型的参数估计是数学建模的关键环节，通常采用最大似然估计、贝叶斯估计等方法。此外，基于传染病模型的预测技术在疫情防控中也具有重要意义。通过构建时间序列模型，如ARIMA、SVM等，可以预测未来一段时间内疫情的发展趋势。

四、数学建模在传染病防控中的实际应用

数学建模传染病模型例题

以下是一个简单的数学建模传染病模型的例题：

问题：假设有一个小岛上住着100个人，其中有1个是传染病源。初始时，这个人不知道自己已经患病，所以没有采取隔离措施。其他人也不知道有传染病源在岛上。假设每天，每个健康的人都有可能接触并感染患病的人，感染的概率是p。另外，健康的人每天也有1个单位的时间用于自我保护，减少被感染的风险。假设在t天后，岛上有x个人被感染。

我们需要找出p和时间t的关系，以及如何通过调整p来控制传染病的传播。

假设：

1. 每个人每天只能接触一次患病的人。

2. 每个人每天有1个单位的时间用于自我保护。

3. 每个人接触患病的人后，有p的概率被感染。

4. 初始时，只有1个人是患病者。

5. 没有新的外来感染者进入岛上。

模型建立：

根据上述假设，我们可以建立如下的微分方程模型：

dx/dt = p * (100 - x) * (1/100) - x/100

其中，x表示被感染的人数，p表示感染概率，t表示时间。

求解模型：

通过求解这个微分方程模型，我们可以得到x与t的关系。由于这个方程较为简单，我们可以直接求解它，找出x的解。然后我们可以根据解的情况，讨论p对x的影响，从而找到控制传染病传播的方法。

通过上述模型和求解过程，我们可以了解传染病的传播情况以及如何通过调整感染概率p来控制其传播。这个例题可以帮助我们理解数学建模在传染病控制中的应用，并为实际的传染病控制提供理论支持。

传染病数学建模

传染病数学建模是一种使用数学方法来描述和预测传染病传播过程的手段。通过建立数学模型，研究人员可以更好地理解疾病的传播机制，预测其在未来的发展趋势，并为防控措施的制定提供科学依据。

在传染病数学建模中，常见的模型有SIR 模型、SEIR 模型、SEIRS 模型等。这些模型通过定义不同的状态变量来描述人群中不同个体的状态，如易感者（Susceptible）、感染者（Infected）、康复者（Recovered）等。然后，通过建立微分方程或差分方程来描述这些状态变量之间的动态关系。

在SIR 模型中，假设人群中只有易感者和感染者两种状态，感染者经过一段时间后会自行康复并获得免疫力。在SEIR 模型中，增加了“暴露”状态，表示已经接触但尚未表现出症状的个体。而在SEIRS 模型中，除了“暴露”状态外，还增加了“易感”状态，表示从未被感染过且没有免疫力的人群。

除了以上提到的模型外，还有许多其他的数学模型用于描述传染病传播过程，如基于agent 的模型、网络模型、元胞自动机模型等。这些模型各有优缺点，需要根据具体的研究问题和数据来选择合适的模型。

总之，传染病数学建模是一种重要的研究手段，可以帮

助我们更好地理解疾病的传播机制和预测未来的发展趋势。通过建立数学模型，我们可以更好地制定防控措施，减少疾病的传播和影响。

数学建模——传染病模型

传染病模型

摘要

当今社会，人们开始意识到通过定量地研究传染病的传播规律，建立传染病的传播模型，可以为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。本文利用微分方程稳定性理论对传统传染病动力学建模方式进行综述，且针对甲流，SARS等新生传染病模型进行建模和分析。

不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。本文中，我们应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法。然后，通过借助Matlab程序拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测，评估各种控制措施的效果，从而不断完善文中的模型。

本文由简到难、全面地评价了该模型的合理性与实用性，而后对模型和数据也做了较为扼要的分析，进一步改进了模型的不妥之处。同时，在对问题进行较为全面评价的基础上又引入更为全面合理的假设，运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议，做好模型的完善与优化工作。

关键词：传染病模型,简单模型，SI，SIS,SIR，微分方程，Matlab。

一、问题重述

有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行，现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。

数学建模——传染病模型_2022年学习资料

数学模型-传染病模型-问题-·描述传染病的传播过程-·分析受感染人数的变化规律-·预报传染病高潮到来的时刻 ·预防传染病蔓延的手段-·按照传播过程的一般规律，-用机理分析方法建立模型-00①
数学模型-模型1-已感染人数（病人）t-假设-每个病人每天有效接触-足以使人致病人数为入-建模-it+△t it=入it△t-di-:i-dt-it=ie"-i0-io-0t→00→i→00？-若有效接触的是病人，必须区分已感染者（病-则不能使病人数增加-人和未感染者（健康人）
数学模型-SIR模型具体解释：-易感染人数变化率：-ds-=-Si-dt-排外人数变化率：-dr-病人数变率：-di-Asi-ui-00①
数学模型-附件1中模型-指数增长模型的应用及局限性-·与SARS前期一些地区病人统计数据吻合-·可用于短期 ARS增长预测-·不符合SARS后期多数地区病人数量变化规律-·不能预测较长期的SARS病人数量变化过程ARS后期病人数量变化数据-平均每病人每天可传染K个人是逐渐下降的-没有考虑到传染期L的因素
数学模型-模型2-区分已感染者（病人）和未感染者（健康人）-假设-1总人数N不变，病人和健康-人的比例分别 it,st-SI模型-2每个病人每天有效接触人数-九~日-为2，且使接触的健康人致病-接触率-建模-W[i +△t-it]=[λ st]Wit△t-di-=几si-几i1--dt-+it=1-i0=i。

数学建模——传染病模型

关键词：数学建模，传染病模型，预测，疫情，发展

一、引言

传染病模型是数学建模中的一个重要领域，旨在通过数学方法描述和预测传染病的发展趋势。通过建立传染病模型，我们可以了解疾病传播的机制，评估各种干预措施的效果，并为制定有效的防控策略提供决策支持。

二、传染病模型概述

传染病模型是基于生物学、流行病学和数学理论建立的，主要考虑个体之间的接触方式和疾病传播的动态过程。基本的传染病模型通常假设人群由易感者（Susceptible）、感染者（Infectious）和康复者（Recovered）三类组成。通过分析这三类人群的数量变化，可以揭示疾病传播的规律。

常见的传染病模型包括 SIR 模型、SEIR 模型等。SIR 模型假设人群分为易感者（S）、感染者（I）和康复者（R），其中感染者与易感者接触后将传染疾病，感染后将进入康复阶段。SEIR 模型则在 SIR 模型的基础上增加了潜伏期（E），即感染者并非立即变为易感者，而是进入潜伏期，一段时间后才具有传染性。

三、建模方法与步骤

1、建立数学模型：根据传染病的基本假设，列出描述疾病传播的微分方程，确定变量及其含义。

2、参数估计：根据历史数据或实验结果，估计模型中的参数值。这些参数包括感染率、恢复率、潜伏期等。

3、模型求解：通过求解微分方程，得到易感者、感染者和康复者的数量变化情况。

4、模型检验：将模型的预测结果与实际数据进行比较，检验模型的准确性和可靠性。

四、案例分析

以某个地区的流感疫情为例，通过建立 SIR 模型预测疫情的发展趋势。首先，根据历史数据估计模型的参数值，包括感染率和恢复率等。然后，通过求解微分方程得到易感者、感染者和康复者的数量变化情况。根据预测结果，可以评估各种干预措施的效果，如隔离、疫苗接种等。通过比较预测结果与实际数据的差异，可以不断修正和完善模型，提高预测精度。

数学建模传染病模型

传染病的传播

摘要：本文先根据材料提供的数据建立了指数模型，并且全面地评价了该模型的合理性与实用性。而后对模型与数据做了较为扼要地分析了指数模型的不妥之处。并在对问题进行较为全面评价的基础上引入更为全面合理的假设和建立系统分析模型。运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法结合

MATLAB 编程(程序在附件二)拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测。同时运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议以及指出建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难本文的最后，通过本次建模过程中的切身体会，说明建立如SARS 预测模型之类的传染病预测模型的重要意义。

关键词：微分方程 SARS 数学模型感染率

1问题的重述

SARS （Severe Acute Respiratory Syndrome ，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS 的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：

1)建立传染病传播的指数模型，评价其合理性和实用性。

2)建立你们自己的模型，说明为什么优于指数模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件1提供的数据供参考。

数学建模传染病模型例题

摘要：

I.引言

- 数学建模在传染病研究中的重要性

- 常见传染病模型简介

II.指数增长模型

- 基本定义与假设

- 传染病传播的数学表示

- 指数增长模型的应用案例

III.逻辑斯蒂增长模型

- 基本定义与假设

- 传染病传播的数学表示

- 逻辑斯蒂增长模型的应用案例

IV.传染病模型的优化与控制

- 优化目标与方法

- 控制策略与效果评估

- 案例分析

V.总结与展望

- 数学建模在传染病控制中的贡献

- 未来研究方向与挑战

正文：

I.引言

数学建模是一种通过数学方法对实际问题进行抽象和描述的技术，能够帮助人们深入理解问题的本质，并为实现问题的解决提供有力支持。在传染病研究领域，数学建模同样具有重要的价值。通过建立合适的数学模型，可以揭示传染病的传播规律，预测疾病发展趋势，为制定公共卫生政策提供科学依据。本文将介绍两种常见的传染病模型：指数增长模型和逻辑斯蒂增长模型，并探讨如何利用这些模型进行传染病控制。

II.指数增长模型

指数增长模型是一种简单的传染病模型，它假设感染者数量随时间呈指数增长。模型基于以下三个基本假设：

1.感染者一旦感染，就会立即传播给其他人；

2.每个感染者在感染期间接触的其他人数量相同；

3.感染者传播给其他人的概率与感染者数量成正比。

根据这些假设，我们可以得到传染病传播的数学表示：dN/dt = kN，其中N 表示感染者数量，t 表示时间，k 是一个正比例常数。

指数增长模型在研究天花、麻疹等传染病的传播过程中得到了广泛应用。然而，该模型过于简化，无法准确描述现实生活中传染病的复杂传播过程。

(6数学建模)传染病模型

3.传染者的恢复数正比于传染者的数量NI，比例系数ν称为恢复率，则平均传染周期为1／ν。若考虑死亡，则平均传染周期为1／（μ＋ν）。 σ＝λ／（μ＋ν)为一个传染者在其传染周期
内与其他成员的接触总数，称为接触数。
二、SIS模型
SIS模型是最简单的传染模型，人群只分成两类， S类和I类。人员的流动形式：S→I→S，如图
下图显示模型的理论曲线与实际数据
（四）接触数σ的估计
已经看到，在SIS及SIR模型中，传染病是否流行与接触数σ直接有关，因而有必要估计这个参数。一般地，初始传染者数量很小，可近似取 I 0 ， 0 故1 R0 S 0 ，则可得
ln( S 0 S ) ( S0 S )
（三）模型检验
某一传染病流行后，可以从医院的报告中获得每天传染者数量的增量，因此可以用传播曲线来验证模型的可靠性。本世纪初(1905下半年至1906上半年)，在印度孟买发生的一次瘟疫中几乎所有病人都死亡了，死亡相当于移出传染系统。根据有关部门记录的每天移出者的人数，科马克（ Kermack）和马肯德莱克（Makenclrick）用这些数据对SIR模型作了验证，其数据与模型的结果相当吻合，也说明了模型的可靠性
三、不考虑出生和死亡的SIR模型
（一）模型建立
SIR模型中人员流动方式为S→I→R，即将人员分成三类，传染者病愈后可终身免疫，而且这些传染病的传染周期较短，因而可不考虑出生和死亡因素对传播的影响。人员流动如图所示。

数学建模实验(传染病模型)

实验二：传染病模型

1、SI 模型的建立基于以下三个假设，求出平衡点，给出参数，图示模型曲线。

（1）不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。人口始终保持一个常数，即()K t N ≡。

（2）一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。假设t 时刻单位时间内，一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数()t S 成正比，比例系数为β，从而在t 时刻单位时间内被所有病人传染的人数为()()t I t S β。 2、SIS 模型的建立基于以下三个假设，求出平衡点，给出参数，图示模型曲线。

（1）不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。人口始终保持一个常数。即()K t N ≡。

（2）一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。假设t 时刻单位时间内，一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数()t S 成正比，比例系数为β，从而在t 时刻单位时间内被所有病人传染的人数为()()t I t S β。

（3）t 时刻，单位时间内从染病者中治愈的人与病人数量成正比，比例系数为γ，单位时间内治愈的人不具有免疫，将再成为易感者。

3、SIR 模型的建立基于以下三个假设，求出平衡点、给出参数、图示模型曲线。

（1）不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。人口始终保持一个常数，即()K t N ≡。

（2）一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。假设t 时刻单位时间内，一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数()t S 成正比，比例系数为β，从而在t 时刻单位时间内被所有病人传染的人数为()()t I t S β。

数学建模传染病模型例题

摘要：

I.引言

- 介绍数学建模在传染病研究中的重要性

- 简述本文将涉及的传染病模型

II.传染病模型的种类

- 介绍常见的传染病模型，如SIR 模型、SEIR 模型等

- 解释这些模型的基本假设和方程

III.数学建模传染病例题

- 给出一个具体的传染病建模例题

- 详细解释该例题的背景、建模过程和解决方案

IV.结论

- 总结数学建模在传染病研究中的应用

- 强调建模过程中的关键步骤和注意事项

正文：

I.引言

数学建模是一种通过数学方法对实际问题进行抽象和分析的方法，它在各个领域都有着广泛的应用。在传染病研究中，数学建模可以帮助我们理解和预测疾病的传播规律，为疾病防控提供科学依据。本文将介绍一种常见的传染病模型，并以一个具体的例题来说明数学建模在传染病研究中的具体应用。

II.传染病模型的种类

在传染病研究中，常见的模型主要有以下几种：

1.SIR 模型：该模型将人群分为易感者（Susceptible）、感染者（Infected）和康复者（Recovered）三类，通过微分方程描述这三类人群的数量变化。

2.SEIR 模型：在SIR 模型的基础上，增加了潜伏期（Exposed）这一类别，更加准确地描述了感染过程。

3.SI 模型：简化版的SIR 模型，只考虑易感者和感染者两类人群。

4.SIRS 模型：在SIR 模型的基础上，增加了死亡者（Deceased）这一类别，可以用于研究致死性传染病。

这些模型都基于一定的假设，例如人群数量恒定、人与人之间的接触是均匀的等。在实际应用中，需要根据具体问题和数据来选择合适的模型。

数学建模传染病模型

与s(t)，初始时刻的病人数为 i。根据病人不死也不会康复的
假设及可（得竞：争象无模模项病，法型型），且解预2统与当仍释测计ii为确人dd实((时t有ito医最)筹)了，群多际间不生终k算s使有细房ii情(os趋足t们所律)模必分室况与之发有，型要，系n不无处现人更再建统符1穷，的都精将立。时它现得，（3.16）
大，故一r般是小量。利用泰勒公式展开取前三项，有：
r
e
1
r
1(r
)2
2
代入（3.20）得近似方程：
dr dt
l
n
1
So
So
1 r
So 2
r
2
积分得：
r(t)
2
So
So
1
m
tanh( 1 2
mlt
)
其中：
1
m
So
2 1
2So
(n
1
So
)
2
这里双曲正切函数：
tanh
1 r(t)
s(t) soe
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由(1)式可得： di ds li ds ds
不如伴如难从积果随验果证而分地ssoo，解得有当得：st→(，，t：+)单∞则则时减开有，d。i始ddr(ti(tti(t)t当)时)趋0si向oid(，ddott于ti)减s此一soo0少个疾，ss(到t(病it)()dt小在)t单于l该nl增nss等地ss(dso。t(ot)t于区) 但根在时本（i(3，流t.)1增9行i）(加t不)s开的u起s始c同e来p减t时i。b小l，e ，