第二章 基本初等函数知识点

第二章 基本初等函数知识点
一、指数函数
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *
．
◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。

当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)
0()
0(||a a a a a a n n
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
)
1,,,0(*>∈>=n N n m a a a
n m n
m ，
)1,,,0(1
1*>∈>=
=
-
n N n m a a a
a
n
m
n
m n
m
◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质
（1）r a ·s
r r a a +=
（2）rs s r a a =)(
（3）s r r a a ab =)(
（二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x
且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a ，b]上，
)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；
（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x
≠>=且，总有a )1(f =； 二、对数函数 （一）对数
1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）
说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；
○
2 x N N a a x =⇔=log ；
○
3 注意对数的书写格式． 两个重要对数：
○
1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○
2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化
幂值 真数
（二）对数的运算性质
如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么：
○1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○
2 =N
M
a log M a log －N a log ；
○
3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式
a
b
b c c a log log log =
（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．
利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n
b a n a m log log =
；
（2）a b b
a log 1log =． （二）对数函数
1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。

如：x y 2log 2=，5
log 5x y = 都不是对数函数，而只能称
其为对数型函数．
○
2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ．
2、对数函数的性质：
（三）幂函数
1、幂函数定义：一般地，形如α
x y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数． 2、幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）； （2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是
增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；
（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 例题：
基本初等函数 复习题
一、选择题
1、 下列函数中，在区间()0,+∞不是增函数的是（ ） A.x y 2= B. x y lg = C. 3x y = D. 1y x
= 2、函数y ＝log 2x ＋3（x≥1）的值域是（ ）
A.[)+∞,2
B.（3，＋∞）
C.[)+∞,3
D.（－∞，＋∞） 3
、若{|2},{|x M y y P y y ====，则M∩P （ ）
A.{|1}y y >
B. {|1}y y ≥
C. {|0}y y >
D. {|0}y y ≥ 4、对数式2log (5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是（ ） A.a>5,或a<2
B.2<a<5
C.2<a<3,或3<a<5
D.3<a<4
5、 已知x a x f -=)( )10(≠>a a 且，且)3()2(->-f f ，则a 的取值范围是（ ）
A. 0>a
B. 1>a
C. 1<a
D. 10<<a 6、函数|log |)(2
1x x f =的单调递增区间是
A 、]2
1
,0( B 、]1,0( C 、（0，+∞） D 、),1[+∞
7、图中曲线分别表示l g a y o x =，l g b y o x =，l g c y o x =，
l g d y o x =的图象，,,,a b c d 的关系是（
）
A 、0<a<b<1<d<c
B 、0<b<a<1<c<d
C 、0<d<c<1<a<b
D 、0<c<d<1<a<b
8、已知幂函数f(x)过点（2，
2
2
），则f(4)的值为 x
（ ）
A 、
2
1
B 、 1
C 、2
D 、8
9、a=log 0.50.6，b=log 20.5，c=log 3
5，则( )
A.a ＜b ＜c
B.b ＜a ＜c
C.a ＜c ＜b
D.c ＜a ＜b
10、已知)2(log ax y a -=在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是( )
A.(0，1)
B.(1，2)
C.(0，2)
D.［2，+∞］ 二、填空题
11、函数)1(log 2
1-=x y 的定义域为 .
12. 设函数()(
)()()4242x x f x x f x ⎧≥⎪
=⎨<+⎪⎩，则
()2log 3f =
13、计算机的成本不断降低，如果每隔5年计算机的价格降低3
1
，现在价格为
8100元的计算机，15年后的价格可降为
14、函数2)23x (lg )x (f +-=恒过定点
三、 解答题：
15、求下列各式中的x 的值
1)1x (ln )1(<-
16、点（2，1）与（1，2）在函数()2ax b
f x +=的图象上，求()f x 的解析式。

1.
a 0a ,1)2(2
1
2≠>⎪⎭
⎫ ⎝⎛>--且其中x x a a
17． （本小题满分12分）设函数421()log 1
x x f x x x -⎧<=⎨>⎩, 求满足()f x =41
的x 的值．
18．已知()2x f x =，()g x 是一次函数，并且点(2,2)在函数[()]f g x 的图象上，点(2,5)在函数[()]g f x 的图象上，求()g x 的解析式．
19、 已知函数x
x
x f -+=11lg
)(，（1）求)(x f 的定义域； （2）使0)(>x f 的x 的取值范围.
20、已知定义域为R 的函数12()22
x x b
f x +-+=+是奇函数。

（Ⅰ）求b 的值；
（Ⅱ）判断函数()f x 的单调性;。