幂级数逼近法
-函数的幂级数展开,逼近定理
f (n)( x0 )( x n!
x0 )n
？
回答是：不一定.
2019/11/2
福州大学数学与计算机学院
7
例如
f
(x)
e
1 x2
,
x0
0, x 0
在x=0点任意可导, 且 f (n) (0) 0 (n 0,1,2,)
代入上述表达式的右端得到： 0 xn n0
二、幂级数的分析性质
(1) 连续性
设幂级数
a
(x
x
)n
的收敛半径为
n0 n
0
R,
幂级数
a
n0 n
(
x
x 0
)n
的和函数
s(
x)在区间
(x 0
R,
x 0
R)内连续,在端点收敛,则在端点单侧
连续.
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1
(2)
逐项可积性
a
幂级数 n0
n
（1）
Rn ( x)
f (n1) ( ) ( x
(n 1)!
x0 )n1
-----拉格朗日余项
（2）Rn( x)
f
( x (n1) 0
n!
(x
x0 ))
(1
)n
(x
x0 )n1,
(0 1)
-----柯西余项
2019/11/2
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该级数在(,)内和函数s( x) 0. 可见
除x 0外,该级数处处不收敛于 f ( x).
微分方程幂级数解法
P( x)与Q( x)可在− R < x < R内展为x 的幂级数,
那么在− R < x < R内原方程必有形如
的解.
∞
∑ y = an xn n=0
∞
作法 设解为 y = ∑ an x n , n=0
将 P( x),Q( x), f ( x) 展开为 x − x0 的幂级数，
比较恒等式两端x的同次幂的系数, 确定y.
∑ ∞
∞
∑ (n + 2)(n + 1)an+2 x n− x ∑ nan x n−1−
∞
an xn
= 0,
n=0
n=0
n=0
∞
∑[(n + 2)(n + 1)an+2 − (n + 1)an ]x n ≡ 0,
n=0
an+2
=
an , n+2
n = 0,1,2,L
a2
=
a0 2
,
a3
=
a1 3
,
1、 y′ − xy − x = 1； 2、 xy′′ − ( x + m) y′ + my = 0.( m 为自然数 )
二、试用幂级数求下列方程满足所给初始条件的特解:
1、 y′
=
y2
+
x3
,
y x=0
=
1； 2
2、d 2 x dt 2
+
x cos t
=
0
,
x t=0
=
a
,
dx dt
t=0
=
0.
练习题答案
= =
3 2
y y
幂级数端点处收敛判别
幂级数端点处收敛判别幂级数是一种重要的数学概念，它是由一系列形如$a_nx^n$的项组成的级数，其中$a_n$是常数，$x$是变量。
幂级数在数学中的应用非常广泛，涵盖了诸如微积分、复变函数、微分方程等领域。
在实际问题的分析和解决过程中，幂级数的求和或逼近方法是非常重要的。
而幂级数的收敛则是幂级数求和或逼近的前提条件，因此，幂级数的收敛判别方法显得尤为重要。
本文将介绍幂级数端点处的收敛判别方法，其中会涉及一些相关的概念和定理，以便对此进行详细阐述。
一、幂级数端点处的概念在幂级数$ \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$中，如果$x$在某个范围内满足级数收敛的条件，则称该范围内的$x$为幂级数的收敛域。
另一方面，在幂级数收敛域的两个端点处的和值可能为正无穷或负无穷。
因此，这两个端点处的收敛性需要单独讨论。
当$x$为幂级数收敛域的最小值时，即$x=a$时，幂级数可以表示为：$$\sum_{n=0}^{\infty}a_n a^n$$这个级数叫做左端点级数。
同样地，在$x$为幂级数收敛域的最大值时，即$x=b$时，幂级数可以表示为：$$\sum_{n=0}^{\infty}a_n b^n$$这个级数叫做右端点级数。
由于最初的幂级数可以表示为一般形式的幂级数，$$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$$因此，我们需要通过左端点级数和右端点级数来判断原幂级数的端点收敛性。
下面就让我们来讨论如何判断幂级数的端点处的收敛性。
二、收敛判别定理1、Abel定理Abel定理是端点收敛性的一种判别方法。
当左端点级数收敛时，若右端点级数是一个绝对收敛的级数，则原幂级数在其左端点处收敛。
同样地，当右端点级数收敛时，若左端点级数是一个绝对收敛的级数，则原幂级数在其右端点处收敛。
下面是该定理的详细证明：在右端点$b$附近，幂级数可以表示为：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n b^n+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(b-x)^n$$这里，我们令$t=b-x$。
函数的幂级数展开-逼近定理汇总
2
傅里叶级数由正弦函数和余弦函数构成，可以表 示为无穷级数的和，其中每一项都是正弦函数或 余弦函数的线性组合。
3
傅里叶级数的定义基于三角函数的正交性，即在 一个周期内，任何两个不同的三角函数都不会有 相同的积分。
傅里叶级数展开的几何意义
01
傅里叶级数展开的几何意义是将一个周期函数表示为一系列正 弦函数和余弦函数的叠加。
收敛性的判定主要依赖于幂级数的系数和项数， 以及自变量 (x) 的取值范围。
02 泰勒级数展开
泰勒级数定义
泰勒级数定义
对于在某点的可微函数，可以表 示为在该点的n阶导数与n阶倒数 的无穷乘积，即f(x)=f(a)+f'(a)(xa)+f''(a)(xa)^2/2!+...+f^(n)(a)(x-
收敛性的判定通常基于三角函数的性质和函数的周期性，不同的函数可能 有不同的收敛条件和收敛速度。
04 拉格朗日插值法
拉格朗日插值法定义
拉格朗日插值法是一种通过已知的离 散数据点来构造一个多项式，并利用 该多项式对未知数据进行逼近的方法 。
该方法由意大利数学家约瑟夫·拉格朗 日于18世纪提出，是数值逼近理论中 的重要工具之一。
牛顿插值法的收敛性
牛顿插值法的收敛性是指当插值节点增加时，插值多项式的逼近效果会越来越好。具体来说，如果函 数在插值节点上取值的极限存在，则当插值节点趋于无穷时，插值多项式的极限就是该函数的极限。
然而，如果函数在插值节点上取值的极限不存在，则插值多项式的极限也不存在，此时插值多项式无 法逼近该函数。因此，在使用牛顿插值法时需要注意函数的性质和取值情况。
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函数展开幂级数常用公式
函数展开幂级数常用公式幂级数是数学中一个重要的概念，它在很多领域都有广泛的应用。
函数展开幂级数常用公式是一种用于将一个函数表示为幂级数形式的工具。
本文将介绍这个常用的公式，并探讨其应用。
一、幂级数的定义我们来了解一下幂级数的定义。
幂级数是一种形如∑(a_n*x^n)的无穷级数，其中a_n是一系列常数，x是变量。
幂级数是一种非常灵活的表示方法，可以用来表示各种各样的函数。
二、函数展开幂级数的意义为什么要将一个函数表示为幂级数形式呢？这是因为幂级数在计算上具有很大的优势。
通过将函数展开为幂级数，我们可以将原本复杂的函数转化为一系列简单的项相加，从而方便计算和分析。
而函数展开幂级数常用公式就是用来实现这一目的的工具。
三、函数展开幂级数常用公式函数展开幂级数常用公式有很多种，下面我们介绍其中一种常见的形式。
1.泰勒级数公式泰勒级数公式是幂级数常用公式中的一种。
它可以将任意光滑的函数展开为幂级数。
泰勒级数公式的具体形式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中，f(x)表示原函数，f'(x)表示f(x)的导数，a表示展开点。
泰勒级数公式是函数展开幂级数中最常用的一种形式，它在微积分和物理学等领域有广泛的应用。
四、函数展开幂级数的应用函数展开幂级数常用公式在科学和工程中有广泛的应用。
下面我们介绍其中一些常见的应用。
1.逼近法函数展开幂级数常用公式可以用来逼近函数的值。
通过将函数展开为幂级数，我们可以用有限项来逼近无穷项级数，从而得到一个近似值。
2.求解微分方程函数展开幂级数常用公式在求解微分方程时也非常有用。
通过将微分方程中的未知函数展开为幂级数，我们可以将微分方程转化为一系列代数方程，从而得到解析解。
3.信号处理函数展开幂级数常用公式在信号处理中也有广泛的应用。
数列与级数的函数项级数与幂级数
数列与级数的函数项级数与幂级数数列与级数是数学中重要的概念和研究对象，它们在各个领域都有广泛的应用。
而函数项级数和幂级数则是数列与级数的两种特殊形式，它们在解析学、微积分以及物理学等领域都有重要的作用。
本文将介绍函数项级数和幂级数的定义、性质以及应用。
一、函数项级数函数项级数是指数列的通项是一个函数，而不是常数。
函数项级数的一般形式可以表示为∑(n=1到∞) an(x)。
其中，an(x)是一个关于自变量x的函数，并且随着n的增大而变化。
函数项级数可以看作是由一系列函数组成的序列。
函数项级数的收敛性是指当x取某个值时，级数的部分和不断逼近于某个有限值。
如果函数项级数的部分和收敛于有限值，那么我们称该函数项级数在该点收敛。
函数项级数的收敛性可以通过一系列的测试方法进行判断，比如比较判别法、积分判别法以及魏尔斯特拉斯判别法等。
函数项级数在分析学、微积分和物理学等领域都有广泛的应用。
例如，泰勒级数是一种特殊的函数项级数，它可以将任意函数近似为一系列幂函数的和。
这在微积分的应用中非常重要。
此外，函数项级数还有在物理学中解决波动方程、热传导方程和扩散方程等问题中的应用。
二、幂级数幂级数是函数项级数的一种特殊形式，它的通项是幂函数。
幂级数的一般形式可以表示为∑(n=0到∞) cn(x-a)^n。
其中，cn是常数系数，x 是自变量，a是常数。
幂级数可以看作是由一系列幂函数组成的序列。
幂级数的收敛性同样可以通过一系列的测试方法进行判断，比如比值判别法、根值判别法和柯西-阿达玛公式等。
与函数项级数类似，幂级数在分析学、微积分和物理学等领域都有重要的应用。
在解析学中，我们可以使用幂级数来表示一些常见函数，比如指数函数、三角函数和对数函数等。
幂级数在数值计算和近似计算中也有广泛的应用。
此外，幂级数还可以用来解决差分方程、微分方程和边值问题等。
总结：数列与级数是数学中重要的概念，在函数项级数和幂级数的框架下有着广泛的应用。
幂法求特征值算法
幂法求特征值算法幂法是一种用于求解矩阵特征值和特征向量的迭代算法。
它是数值线性代数中的重要算法之一，在科学和工程领域有着广泛的应用。
幂法的基本思想是利用一个非零向量的矩阵幂序列逐渐逼近矩阵的主特征向量。
主特征向量对应矩阵的最大特征值，因此通过逼近主特征向量，我们也能够得到矩阵的最大特征值。
算法步骤如下：1.随机选择一个非零向量b作为初始向量。
2.计算矩阵A乘以向量b的结果，得到向量b1，即b1=A*b。
3.对向量b1进行归一化，使其成为单位向量，即b1=b1/||b1||，其中||b1||表示向量b1的模。
4.判断新向量b1与旧向量b之间的误差是否足够小，如果误差小于给定的阈值，则停止计算，否则继续迭代。
5.将新向量b1赋值给旧向量b，即b=b1。
6.重复步骤2-5，直到满足停止条件。
幂法的核心思想是利用矩阵与向量的乘积进行迭代，使得向量收敛到矩阵的特征向量。
由于迭代过程中，向量b的每一次迭代都会趋近于主特征向量，因此迭代的次数越多，结果越接近主特征向量。
最终，我们可以得到矩阵的主特征向量以及对应的特征值。
幂法的收敛性取决于特征向量对应的特征值的相对大小。
如果矩阵的特征值不重复且特征值的模最大，那么幂法能够收敛到主特征向量。
在实际应用中，为了加快收敛速度，通常会对矩阵进行特征值的平移，使得矩阵的主特征值接近于零，然后再进行幂法的迭代计算。
幂法求解特征值的时间复杂度为O(n^2m)，其中n为矩阵的维度，m为迭代的次数。
这是由于每一次迭代需要进行一次矩阵与向量的乘积，而矩阵与向量的乘积的时间复杂度为O(n^2)。
总结起来，幂法是一种简单而有效的求解矩阵特征值和特征向量的方法。
它通过迭代的方式，利用矩阵与向量的乘积逼近特征向量，从而得到矩阵的特征值。
幂法在科学和工程领域有广泛的应用，如电力系统中的潮流计算、结构分析、图像处理等。
虽然幂法存在一些限制，如只能求解特征模最大的特征值和对应的特征向量，但其简单性和高效性使得它成为一种常用的数值线性代数算法。
幂级数应用于物理竞赛中的近似计算
幂级数应用于物理竞赛中的近似计算幂级数是一种重要的数学工具，它在物理竞赛中被广泛应用于近似
计算。
以下是幂级数在物理学竞赛中的几个应用：
一、光学求解
幂级数在光学中的应用非常广泛。
一些复杂的光学问题可以通过幂级
数的展开来近似解决。
例如，波导光纤的色散可以用幂级数展开来求解，获得更准确的数据和计算结果。
此外，幂级数还可以用于计算光
线的传播路径、折射和反射等问题。
二、热力学计算
幂级数也被广泛应用于热力学中的计算，例如计算气体的热容和内能。
这些计算通常需要通过幂级数展开来进行近似计算。
通过计算幂级数
的前几项，可以获得可靠的近似值。
三、量子力学计算
在量子力学中，幂级数也被广泛应用。
例如，在量子力学的微扰理论中，幂级数可以用于计算微扰对量子态的影响。
此外，在矩阵力学中，幂级数也可以用于计算能量的预测值。
四、电学计算
在电学中，幂级数主要用于电磁场的计算。
通过幂级数展开，我们可以计算电磁场的位势和磁势。
此外，幂级数也可以用于电容、电感和电阻等电学元件的计算。
五、粒子物理计算
幂级数在粒子物理中也有重要应用。
例如，幂级数可以用于计算质子的磁矩和电矩。
此外，幂级数还可以用于计算原子核的结构和性质。
总结
幂级数是物理学竞赛中重要的数学工具，它可以用于解决各种物理学问题。
通过幂级数的展开和计算，我们可以获得更准确的数据和计算结果。
在物理学竞赛中，熟练掌握幂级数的应用和计算方法，可以有效地提高竞赛成绩。
利用幂级数和泰勒级数展开法计算pai的值
利用幂级数和泰勒级数展开法计算pai的值要计算π的值，可以利用幂级数和泰勒级数展开法。
这种方法基于函数的特定级数展开，通过逐步计算级数中的项来逼近函数的值。
在这种情况下，我们将使用的级数展开是由数学家Gregory和Leibniz提出的π/4的无限级数展开。
首先，我们来回顾一下级数展开的概念。
级数是指无穷个数的序列，它们按照一定的规律相加或相乘。
幂级数是一类特殊的级数，其每一项都是变量的幂的乘积。
例如，正弦函数的幂级数展开为：sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + (x^9)/9! - ...因此，我们可以使用幂级数展开来逼近π的值。
Gregory和Leibniz提出的π/4的级数展开如下：π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-...这个级数的收敛速度很慢，所以需要计算很多项才能得到较高的精度。
为了计算π的值，我们可以将级数展开的前n项相加，然后乘以4来获得π的逼近值。
下面我们通过编写一个计算π的函数来实现这一过程：```pythonimport mathdef calculate_pi(n):pi = 0sign = 1for i in range(1, n+1, 2):pi += sign/isign *= -1return 4*pi#测试函数print(math.pi)```在这个函数中，我们使用了一个循环来计算级数展开的前n项。
变量pi用于累加每一项的和，变量sign用于控制每一项的正负号。
在每一次循环中，我们将当前项加到pi中，并将sign乘以-1以改变符号。
最后，我们返回4乘以pi得到π的逼近值。
因为级数展开的收敛速度较慢，要得到更高的精度，我们需要计算更多的项。
一种优化策略是通过比较相邻两次计算结果的差异来判断是否达到了所需的精度，如果差异很小，则可以停止计算。
还有一种方法是使用更快的级数展开，在这里我们只讨论了Gregory和Leibniz的级数展开。
pade逼近
5．2 pade 逼近方法的简介5.2.1 泰勒级数问题一个函数的泰勒级数展开式的系数，和这个函数的值之间的关系，既是一个深奥的数学问题，又是一个重要的实际问题。
关于它的研究，是基于数学分析和物理、生物科学中的自然数学模型的实际计算的基础之上的。
关于这个问题的某些方面已经有过一些研究，但是还有一些问题需要在今后继续研究。
规范的解释是：如果泰勒级数展开式绝对收敛，那么它唯一确定了一个任意次可微的函数。
相反的，如果一个函数是任意次可微的，那它也只有一个对应的泰勒级数展开式。
实际上，我们把函数近似为一个尽可能长的多项式。
然而，这种方法在实际运算中有一些很不理想的局限性[9]。
考虑以下例子：⋅⋅⋅+-+-+=++=4322/1128141161385211)121()(x x x x x x x f （5.18）很容易看出，当x>0.5时，泰勒级数表达式均不收敛，尽管在+∞≤≤x 0时，)(x f 是一个保持在21至的光滑适当的函数。
规范方法是要在一个新点0x （5.000<<x ），应用原来的表达式计算)(x f ，作出一个新的泰勒级数表达式。
这个新的表达式可以满足在x 很大时的情况，但是不包括∞=x 处。
实际上，用这种方法我们永远不能达到∞=x ，并且在这个方向上的任何进展都是非常冗长的。
对于以上这个例子，我们可以应用一个特殊的技巧，将级数转变为一个较长的多项式。
假设我们做一个变量代换：x=w/(1-2w) 或者 w=x/(1+2x)（5.19）就有：⋅⋅⋅+++++=-=-4322/11283516583211)1())((w w w w w w x f （5.20）所以，在这个变量代换下，∞=x 就变为w=0.5。
很容易看出，泰勒级数表达式（5.20）收敛于w=0.5，即∞=x 。
于是)(∞f 的最初连续估计值是：1，1.25，1.34375，1.38281，1.39990……（5.21）可以看出它收敛于2=1.414…。
函数的逼近
定理 2：（Weierstrass 第二逼近定理） 设： f ( x ) ∈ C2π （以 2π 为周期的连续函数） 则 ∀ε > 0 ，存在三角多项式 T ( x ) ，使得： f ( x ) − T ( x ) < ε 。
n−k
k k = ∑ k 2 Cn x (1 − x ) k =0 n
n
n−k
k k −2nx ∑ kCn x (1 − x ) k =0
n−k
k k + n 2 x 2 ∑ Cn x (1 − x ) k =0
n
n−k
= nx (1 − x + nx ) − 2nxin + n 2 x 2 = nx (1 − x ) ≤
,m ，
11.4
高等微积分讲义
若令： α k ( x ) =
xk +1 − x x − xk ， βk ( x ) = ，则有： α k ( x ) + β k ( x ) = 1 ， xk +1 − xk xk +1 − xk ,m ，
从而 Λ ( x ) = f ( xk ) α k ( x ) + f ( xk +1 ) β k ( x ) ， x ∈ [ xk , xk +1 ] ， k = 0,1,
对于 σ 1 ，有： σ 1 <
k − x <δ n
∑
ε
2
k k Cn x (1 − x )
n−k
≤
ε
2
；
对于 σ 2 ，由于： f ( x ) ≤ M （连续函数有界）， 因而：σ 2 ≤ 2 M
二元函数极限求解中的级数展开技巧
二元函数极限求解中的级数展开技巧在二元函数极限求解中，级数展开技巧是一种重要的方法。
级数展开通过将函数表示为无穷级数的形式，进而求得函数的极限值。
本文将介绍一些常用的级数展开技巧，并给出相应的例子。
1. 泰勒展开泰勒展开是一种将函数表示为多项式级数的方法。
基于泰勒展开，我们可以通过计算级数中有限项的和来逼近函数的值。
泰勒展开在二元函数极限求解中也有广泛的应用。
例如，考虑二元函数f(x,y)，我们可以将其泰勒展开为多项式：f(x,y) = f(a,b) + (x-a)∂f/∂x + (y-b)∂f/∂y + 1/2![(x-a)^2∂^2f/∂x^2 + 2(x-a)(y-b)∂^2f/∂x∂y + (y-b)^2∂^2f/∂y^2] + ...其中，a和b是待求解点的坐标，∂f/∂x和∂f/∂y是一阶偏导数，∂^2f/∂x^2、∂^2f/∂x∂y和∂^2f/∂y^2是二阶偏导数。
2. 傅里叶级数展开傅里叶级数展开是一种将周期性函数表示为三角函数级数的方法。
在二元函数极限求解中，也可以使用傅里叶级数展开来进行计算。
例如，考虑二元周期函数f(x,y)，我们可以将其展开为傅里叶级数：f(x,y) = ∑(n=-∞)^(∞)∑(m=-∞)^(∞)C(n,m)e^(i(nkx+mky))其中，C(n,m)为系数，k为周期，e为自然对数的底数，i为虚数单位，x和y是坐标。
3. 幂级数展开幂级数展开是一种将函数表示为幂次递增的多项式级数的方法。
在二元函数极限求解中，幂级数展开可通过级数求和来逼近函数的值。
例如，考虑二元函数f(x,y)，我们可以将其展开为幂级数：f(x,y) = ∑(n=0)^(∞)∑(m=0)^(∞)a(n,m)(x-a)^n(y-b)^m其中，a(n,m)为系数，a和b是待求解点的坐标，x和y是坐标。
通过以上三种级数展开技巧，我们可以在二元函数极限求解中得到更加准确的结果。
当然，具体应用时要结合具体问题来选择合适的展开方法，并注意计算的精度和收敛性。
a的x次方麦克劳林公式展开
a的x次方麦克劳林公式展开
a的x次方的麦克劳林公式展开如下：
a^x = 1 + xln(a) + (x(x-1)/2!)ln^2(a) + (x(x-1)(x-
2)/3!)ln^3(a) + ...
拓展：
麦克劳林公式是一种用函数的各阶导数来逼近函数值的方法，即
将一个函数展开成无穷多项的幂级数形式。
在上述展开中，采用了自
然对数ln(a)，而不是普通对数log(a)。
此外，麦克劳林公式展开是在某个特定点附近进行的。
对于a的x 次方展开，我们通常会选择x=0作为展开点，这种展开又称为泰勒展开。
在展开点附近，通过使用函数的各阶导数可以逐次添加更多的项，从而得到更精确的近似。
对于其他函数的麦克劳林公式展开，我们可以将上述展开式中的
ln(a)替换成相应函数的导数。
这样，就可以得到其他函数的泰勒展开
形式。
这种展开能够方便地进行函数的近似计算，特别是在展开点附近的小范围内。
需要注意的是，麦克劳林公式是一个无穷级数，因此其收敛性需要进行判断。
对于特定的函数和展开点，我们可以通过该函数的性质和级数收敛判定方法来确定展开式的适用范围。
佩亚诺余项的麦克劳林公式
佩亚诺余项的麦克劳林公式佩亚诺余项的麦克劳林公式是数学分析中的重要定理之一，它提供了用幂级数逼近函数的方法。
这个定理的重要性在于它使我们可以用一组无穷多项的多项式函数来逼近任何函数，通过截取适当多项数，我们可以得到一个很好的近似值。
本文将详细介绍佩亚诺余项的麦克劳林公式及其推导过程。
首先，我们定义一个函数f(x)，它在一个开区间I上有无穷多个连续的可求导的导数。
我们希望用幂级数来表示这个函数。
假设f(x)的麦克劳林展开式（即幂级数）为：f(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+a3(x-a)^3+...其中a0,a1,a2,...是常数，x是自变量，a是区间I中的一个固定点。
现在，我们将展开式中的每一个项都进行一次导数。
由于f(x)具有无穷多个可求导的导数，我们可以得到：f'(x)=a1+2a2(x-a)+3a3(x-a)^2+...不难看出，这也是一个幂级数，并且它的常数项已经变为了展开式的第一次导数的系数。
同样地，我们再对该级数进行一次导数，可以得到：f''(x)=2a2+6a3(x-a)+...我们可以继续这个过程，得到f'''(x)，f''''(x)，以此类推。
可以看出，每一次求导都会多出一个导数的系数，并且将幂函数的指数加1现在，我们来考虑麦克劳林公式。
公式的核心是在展开式中的一些小区间a附近进行截取，并保留级数的前n项。
如果我们只取前n项，则得到一个部分和：S(x) = a0 + a1(x-a) + a2(x-a)^2 + ... + an(x-a)^n这个部分和可以用来逼近函数f(x)，但是它不能完美地代替f(x)，因为它只包含了展开式的前n项，并没有无穷多项。
为了量化这个近似的误差，我们引入佩亚诺余项，它是原函数f(x)与部分和S(x)之间的差值：R(x)=f(x)-S(x)在一定条件下，我们可以通过修改截取的项数n，使得余项R(x)变得很小。
第四节函数的幂级数展开简
1.求出f (x)的各阶导数 f (x), f (x),, f (n) (x),,
2.计算 f (x0), f (x0), f (x0),, f (n) (x0),,
3.写出 f (x)在x0 处的泰勒级数
1
n0n!
f
(n)
( x0
)( x
x0
)n
4.求出上述泰勒级数的收敛区间(－R, R)，
解 由 ex 1 x 1 x2 1 xn , x (,)
2!
n!
将x 换成 x2 可得函数的幂级数展开式.
ex2 1 x2 1 x4 (1)n x2n , x (,)
2!
n!
例 求 f (x) ln x 在 x0 3 处的展开式.
泰勒级数展开的唯一性 设f (x)在 x0的某对称区间 (R x0, R x0)内可以 展开成 (x x0)的幂级数 f (x) a0 a1(x x0) a2(x x0)2 an(x x0)n ， 将上式逐阶求导，有
f (x) a1 2a2(x x0) 3a3(x x0)2 nan(x x0)n1 ， f (x) 2!a2 3 2a3(x x0) n(n 1)an(x x0)n2 ， f (x) 3!a3 n(n 1)(n 2)an (x x0)n3 ，
lim
n
Sn
(
x)
f (x)
的充分必要条件是
lim
n
rn
(
x)
0
也即当
lim
n
rn
(
x)
0
时,有
函数的幂级数展开式的应用-近似计算
函数的幂级数展开式的应用近似计算微分方程的幂级数解法欧拉公式近似计算例 计算5240的近似值, 要求误差不超过0.0001.解524053243-=1541313⎛⎫=- ⎪⎝⎭15m =,413x =- 428312111411491315352!353!3⋅⋅⋅⎛⎫=-⋅-⋅-⋅- ⎪⋅⋅⎝⎭取前两项的和作为5240的近似值,其误差(也叫做截断误差)为:||2r ⎝⎛⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=1238231!3594131!25413⎪⎭⎫+⋅⋅⋅⋅⋅+ 16431!4514941 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛++⋅⋅⋅⋅< 282811811131!2541386111253181=⋅⋅- 4027251⋅⋅= 120000<，为了使“四舍五入”引起的误差(叫做舍入误差)与 截断误差之和不超过410-, 计算时应取五位小数,然后再四舍五入. 因此最后得5240 2.9926≈.故取近似式为52404113153⎛⎫≈-⋅ ⎪⎝⎭例 计算ln 2的近似值,要求误差不超过0.0001.解 在)1ln(x +11(1)n nn x n -∞=-=∑(11)x -<≤中令1x =得ln 2=11111(1)23n n --+-+-+, 要使1||1n r n ≤+4110≤, 必须取410n =. 计算量太大 影响近似值的精确度 将)1ln(x +的幂级数展开式中的x 换成x -,得ln(1)x -11(1)()n nn x n -∞=-=-∑ (11)x -≤<,1ln ln(1)ln(1)1x x x x+=+--- 352123521n x x x x n +⎛⎫=+++++ ⎪+⎝⎭(11)x -<<.令121x x +=-, 解出13x =. 以13x =代入上式,得:ln 2 35211111111=2+++++333532+13n n +⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭.取前四项作为ln 2的近似值,其误差为4||r 911211111112++++931132+13n n +⎛⎫=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭211211113999n⎡⎤⎛⎫⎛⎫<+++++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 11211319=⋅-170000<.于是 取ln 2357111111123335373⎛⎫≈+⋅+⋅+⋅ ⎪⎝⎭. 考虑到舍入误差,化为小数时应取小数点后五位, 得ln 20.6931≈.例 利用!3sin 3x x x -≈求9sin 的近似值,并估计误差.解 ︒9sin πsin 9180⎛⎫=⨯⎪⎝⎭πsin 20=3π1π203!20⎛⎫≈- ⎪⎝⎭. 在x sin 210(1)(21)!nn n xn ∞+=-=+∑()x -∞<<+∞中令π20x =得 3521ππ1π1π(1)πsin 20203!205!20(21)!20n nn +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++⎪ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭,误差为||2r 51π5!20⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 51(0.2)120<⋅ 3000001<. 取π0.15708020≈,31π0.0006463!20⎛⎫≈ ⎪⎝⎭, 得︒9sin 0.15643≈, 这时误差不超过510-.3ππ1πsin 20203!20⎛⎫≈- ⎪⎝⎭如果被积函数在积分区间上能展开成幂级数,那么把这个幂级数逐项积分,用积分后的级数就可算出定积分的近似值.例 计算定积分21202ed πx x -⎰的近似值，要求误差 不超过0.0001(取10.56419π≈).解 将0e !nxn x n ∞==∑()x -∞<<+∞中的x 换成2x -,2ex-20(1)!n n n x n ∞=-=∑()x -∞<<+∞. 21202e d πx x -⎰122002(1)d !πn n n x x n ∞=⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦∑⎰ 122002(1)d !πn nn x x n ∞=-=∑⎰ 2462111111(1)23252!273!2(21)!πnn n n ⎛⎫=-+-++-+⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⎝⎭. 21202e d πx x-⎰其误差为||4r 811294!π≤⋅⋅ 190000<, 21202ed πx x -⎰2461111123252!273!π⎛⎫≈-+- ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭0.5205≈.。
幂级数在近似计算中的应
论文4 幂级数在近似计算中的应用谢文清 江权霞 (指导老师:陈引兰)数学与统计学院1001班摘要：形如200102000()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞=-=+-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅∑的函数项级数称为幂级数,幂级数可以看成是一个“无限次多项式”，它无论在理论上还是实践上都是一个有力的工具.本文主要运用幂级数的展开式,对无理数,,ln 2e π等，利用计算机相关软件，进行近似计算.关键词：幂级数、近似计算1.理论依据以某个幂级数展开式为基础，然后把所需要求的量表达成级数的和，并依据要求，选取部分和作这个量的近似值，误差用余项()n r x 估计.我们先给出一些基本初等函数的幂级数展开式及它们对应的余项23012121351211211!2!3!! r (1)!(2)!(1)(1)213!5!21(1) r 2n nxn n n n n n n n n n n n x x x x e x n n x x n n x x x x x n n x n ∞=++----∞=+==++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅++--==-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅---=+∑∑①②arctanx 12321=12123123111(1)123(2n 1)!!=+(2)!!21(21)!!(23)!! r(22)!!23(24)!!25(1)(1)23(1) r n n n n n n n n n n nn n n n x n x n n n x n x n n n n x x x x x n n x n ++-∞++--∞=+-++⋅⋅⋅+-⋅+++=⋅+⋅+⋅⋅⋅++++--=-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-=+∑∑③arcsinx x ④ln(1+x)=12(1)12n n x n ++-++2．π的近似计算本节利用两个函数的幂级数展开式来近似计算π，在相同的误差条件下，取不同的x ，若取级数的前n 项和作为π的近似值，对应的n 值不一样，这就为幂级数在近似计算中的应用提供了很大的空间.⑴由函数arctan y x =的幂级数展开式知1211(1)21n n n x n --∞=-=-∑arctanx①若取1x =时，1111(1)43521n n π=-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅- （1） 1114(1+(-1))3521n n π⇒=-++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-等式的右端是一个交错级数且是收敛的，实际计算时，我们只能使用有限项。
e的x次方的泰勒展开的收敛半径
e的x次方的泰勒展开的收敛半径泰勒展开是一种将函数表示为幂级数的方法，通过使用函数在某一点的导数来逼近函数的值。
它的基本思想是将函数表示为无穷级数的形式，其中每一项都是函数在某一点的导数乘以一定的系数。
对于函数f(x)，它的泰勒展开可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中f'(a)表示函数f(x)在点a处的一阶导数，f''(a)表示函数f(x)在点a处的二阶导数，以此类推。
对于e的x次方函数，我们可以将其泰勒展开为：e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + ...这个级数是无穷级数，它的每一项都是x的幂次乘以1/n!，其中n 是正整数。
这个级数在整个实数轴上都收敛，也就是说，对于任何实数x，这个级数都有一个确定的和。
那么，对于e^x的泰勒展开，我们关心的是它的收敛半径。
收敛半径是一个重要的概念，它表示级数在哪些点上收敛。
对于一个幂级数∑(a_n)(x-a)^n，收敛半径R可以通过以下公式计算得到：R = 1/lim sup|a_n|^1/n其中lim sup表示上极限。
根据这个公式，我们可以计算e^x的收敛半径。
对于e^x的泰勒展开，在每一项中，系数a_n都是1/n!，所以我们可以计算出：lim sup|1/n!|^1/n = lim sup(1/n!)^(1/n) = lim sup1/n = 0因此，我们得到收敛半径R = 1/0 = ∞。
这意味着e^x的泰勒展开在整个实数轴上都收敛，没有发散的点。
这个结果也可以通过其他方法得到。
例如，我们可以使用e^x的级数定义和收敛性定理来证明收敛半径为∞。
无论使用哪种方法，最终得到的结果都是一致的。
了解e^x的泰勒展开的收敛半径对于我们理解这个函数的性质非常重要。
逐项积分定理
逐项积分定理引言在微积分中，逐项积分定理（term-by-term integration theorem ）是一个重要的定理，它允许我们对幂级数进行逐项积分。
逐项积分定理在数学分析、数学物理等领域都有广泛的应用。
本文将详细探讨逐项积分定理的定义、证明方法以及一些实际应用。
定义逐项积分定理是指，如果一个幂级数在某个区间内收敛，并且收敛于一个连续函数，那么我们可以对该级数进行逐项积分，得到的结果仍然是连续的。
证明方法逐项积分定理的证明方法主要基于级数的收敛性和连续函数的性质。
下面我们将给出逐项积分定理的证明过程。
步骤一：级数的收敛性首先，我们需要证明幂级数在某个区间内收敛。
对于幂级数∑a n ∞n=0x n ，我们可以使用收敛半径的定义来确定它的收敛区间。
如果收敛半径R 大于零，则该级数在区间(−R,R )内收敛。
步骤二：连续函数的性质接下来，我们需要证明幂级数的和函数是连续函数。
对于幂级数∑a n ∞n=0x n ，它的和函数可以表示为S (x )=∑a n ∞n=0x n 。
我们需要证明在收敛区间(−R,R )内，S (x )是连续的。
步骤三：逐项积分最后，我们需要证明对于连续函数S (x )，它的逐项积分仍然是连续的。
逐项积分意味着我们对级数的每一项进行积分。
对于幂级数∑a n ∞n=0x n ，其逐项积分可以表示为∫∑a n ∞n=0x n dx 。
我们需要证明这个积分结果是连续的。
整体证明通过以上三个步骤，我们可以得出逐项积分定理的证明结论：如果一个幂级数在某个区间内收敛，并且收敛于一个连续函数，那么我们可以对该级数进行逐项积分，得到的结果仍然是连续的。
实际应用逐项积分定理在数学分析和数学物理中有着广泛的应用。
下面我们将介绍一些实际应用的例子。
应用一：函数逼近逐项积分定理可以用于函数逼近问题。
对于一个给定的函数f (x )，我们可以通过幂级数逼近f (x )。
首先，我们找到一个幂级数∑a n ∞n=0x n ，它在某个区间内收敛，并且收敛于f (x )。