2018长嘉数学高考一模
上海市各区2018届高三数学(理科)一模试题分类汇编：三角函数 精品
上海市各区2018届高三数学（理科）一模试题分类汇编三角函数2018.01.23（普陀区2018届高三1月一模，理）3. 在△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2=a ，32=c ，3π=C ，则=b .3. 4；（长宁区2018届高三1月一模，理）7、设ω＞0，若函数f (x )=2sin ωx 在［－4,3ππ］上单调递增，则ω的取值范围是_________. 7、]23,0(（徐汇区2018届高三1月一模，理）4. 已知3sin 5x =，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则x = .（结果用反三角函数表示）（嘉定区2018届高三1月一模，理）6．已知θ为第二象限角，54sin =θ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πθ____________．6．71-（杨浦区2018届高三1月一模，理）9. 已知函数()1cos sin )(2-+=x x x f ωω的最小正周期为π，则=ω _________． 9. 理1±；（浦东新区2018届高三1月一模，理）4.已知tan tan αβ、是方程2670x x ++=的两根，则tan()αβ+=_______. 4. 1（长宁区2018届高三1月一模，理）9、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c.若bc b a 322=-，B C sin 32sin = ，则角A ＝._________9、6π （浦东新区2018届高三1月一模，理）9.在锐角ABC 中,4,3AC BC ==，三角形的面积等于33，则AB 的长为___________. 9. 13（徐汇区2018届高三1月一模，理）2. 函数x x y 2cos 2sin =的最小正周期是 .（普陀区2018届高三1月一模，理）17.将函数)(x f y =的图像向右平移4π个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为x y 2sin 2=，则函数)(x f 的表达式可以是………………………………………（ ）)(A x sin 2. )(B x cos 2. )(C x 2sin . )(D x 2cos .17 C （徐汇区2018届高三1月一模，理）16. 为了得到函数2sin ,36x y x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的图像，只需把函数2sin ,y x x R =∈的图像上所有的点--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------（ ）(A) 向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） (B) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）(C) 向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变）(D) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变）（16. B浦东新区2018届高三1月一模，理）16. 方程5log sin x x 的解的个数为（ ）(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 5 16. B（长宁区2018届高三1月一模，理）17、已知△ABC 为等边三角形,=2AB ,设点P,Q 满足=AP AB λ,=(1)AQ AC λ-,R λ∈,若3=2BQ CP ⋅-,则=λ（ ）A ．12B ．122± C ．1102± D ．3222-± 17、A（嘉定区2018届高三1月一模，理）17．将函数x y 2sin =（R ∈x ）的图像分别向左平移m （0>m ）个单位，向右平移n（0>n ）个单位，所得到的两个图像都与函数⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin πx y 的图像重合，则n m + 的最小值为……………………………………………………………………………（ ） A ．32π B ．65π C ．π D ．34π17．C（杨浦区2018届高三1月一模，理）17. 设锐角ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且 1=a ，A B 2=, 则b 的取值范围为 ………（ ）. )(A ()3,2 ． )(B ()3,1 ．)(C()2,2 ． )(D ()2,0 ．17. A ；（普陀区2018届高三1月一模，理）20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数x x x x f cos sin 322cos )(+=（1）求函数)(x f 的最大值，并指出取到最大值时对应的x 的值； （2）若60πθ<<，且34)(=θf ，计算θ2cos 的值. 20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.【解】（1）)62sin(22sin 32cos )(π+=+=x x x x f ………………2分由20π≤≤x 得，67626πππ≤+≤x ………4分 所以当262ππ=+x 时，2)(max =x f ，此时6π=x ………6分（2）由（1）得，34)62sin(2)(=+=πθθf ，即32)62sin(=+πθ……………8分其中2626ππθπ<+<得0)62cos(>+πθ………………10分所以35)62cos(=+πθ……………11分 ]6)62cos[(2cos ππθθ-+=………………13分 621521322335+=⨯+⨯=………………14分（杨浦区2018届高三1月一模，理）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分 ．某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC 、BD 是过抛物线Γ焦点F 的两条弦，且其焦点)1,0(F ，0=⋅BD AC ，点E 为y 轴上一点，记α=∠EFA ，其中α为锐角． (1) 求抛物线Γ方程；(2) 如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求α的大小？21. 【解】理科 （1） 由抛物线Γ焦点)1,0(F 得,抛物线Γ方程为y x 42= ……5分 （2） 设m AF =，则点)1cos ,sin (+-ααm m A ……6分所以，)cos 1(4)sin (2ααm m +=-，既04cos 4sin 22=--ααm m ……7分解得 αα2sin )1(cos 2+=AF ……8分同理： αα2cos )sin 1(2-=BF ……9分 αα2cos )sin 1(2+=DF ……10分 αα2sin )cos 1(2-=CF ……11分 “蝴蝶形图案”的面积2)cos (sin cos sin 442121αααα-=⋅+⋅=+=∆∆DF CF BF AF S S S CFD AFB 令 ⎝⎛⎥⎦⎤∈=21,0,cos sin t t αα, [)+∞∈∴,21t ……12分则121141422-⎪⎭⎫⎝⎛-=-=t t t S , 21=∴t 时,即4πα=“蝴蝶形图案”的面积为8……14分（长宁区2018届高三1月一模，理）20.（本题满分14分，其中（1）小题满分6分，（2）小题满分8分）在ABC ∆中,已知3AB AC BA BC =. (1)求证tan 3tan B A =; （2）若5cos C =求角A 的大小. 20、(1)∵3AB AC BA BC =,∴cos =3cos AB AC A BA BC B , 即cos =3cos AC A BC B . …………2分 由正弦定理,得=sin sin AC BCB A,∴sin cos =3sin cos B A A B . …………4分 又∵0<A B<π+,∴cos 0 cos 0A>B>，.∴sin sin =3cos cos B AB A即tan 3tan B A =. …………6分(2)∵ 5cos 0C <C <π=,∴2525sin 1=5C ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.∴tan 2C =.…………8分 ∴()tan 2A B π⎡-+⎤=⎣⎦,即()tan 2A B +=-.∴tan tan 21tan tan A BA B+=--. …………10分由 (1) ,得24tan 213tan A A =--,解得1tan =1 tan =3A A -，. …………12分∵cos 0A>,∴tan =1A .∴=4A π. …………14分（浦东新区2018届高三1月一模，理）19. （本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，2SD AD ==（1）求证：AC SB ⊥；（2）求二面角C SA D --的大小. 19.解:（1）连接BD ，∵SD ⊥平面ABCDAC ⊆平面ABCD∴AC ⊥SD ………………4分 又四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ∴AC ⊥平面SBD∴AC⊥SB. ………………6分（2）设SA 的中点为E ，连接DE 、CE ， ∵SD=AD,CS=CA, ∴DE ⊥SA, CE ⊥SA.∴CED ∠是二面角C SA D --的平面角. …………9分 计算得：DE 2，CE 6，CD ＝2，则CD ⊥DE.3cos 3CED ∠=, 3arccos 3CED ∠= 所以所求二面角的大小为3arccos3.………12分（嘉定区2018届高三1月一模，理）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．已知函数3cos 32cos sin 2)(2-+=x x x x f ，R ∈x ．（1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）在锐角三角形ABC 中，若1)(=A f ，2=⋅AC AB ，求△ABC 的面积．20．（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）（1）⎪⎭⎫⎝⎛+=+=-+=32sin 22cos 32sin )1cos 2(3cos sin 2)(2πx x x x x x x x f ， ………………………………………………（2分） 所以，函数)(x f 的最小正周期为π． ………………………………………………（1分） 由223222πππππ+≤+≤-k x k （Z ∈k ）， ………………………………………（2分）得12125ππππ+≤≤-k x k （Z ∈k ）， …………………………………………（2分） 所以，函数)(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππk k （Z ∈k ）． ……………（1分） （2）由已知，132sin 2)(=⎪⎭⎫⎝⎛+=πA A f ，所以2132sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA ， ……………（1分）因为20π<<A ，所以34323πππ<+<A ，所以6532ππ=+A ，从而4π=A ． …（2分）又2cos ||||=⋅⋅=⋅A AC AB AC AB ，，所以，2||||=⋅AC AB ， ………………（1分） 所以，△ABC 的面积2222221sin ||||21=⨯⨯=⋅⋅⋅=A AC AB S ． …………（2分）。
2018年上海市长宁区、嘉定区高考一模数学
9 9 3 2 ，B1C=D1C= 9 16 =5，
B1C D1C B1 D1 2 B1C D1C
2 2 2
∴ cos D1C B1 ∴∠D1CB1=arccos
25 25 18 16 ， 255 25
16 . 25 16 . 25
∴异面直线 A1B 与 B1C 所成角为 arccos
4
)，知 cos
2
mn 1 ∈( ，1)， 4 2
m ＜1 ， 2
∴m=1，n=3， 3 ∴ a b＝ ， 2 答案：B
1 2 x， 0 x 2 16.已知函数 f x ＝ ，且 f1(x)=f(x)，fn(x)=f(fn﹣1(x))，n=1，2，3，…. 1 2 2 x， ＜x 1 2
3 4 ，1]时，f1(x)=2﹣2x，f2(x)=4﹣4x=x，解得 x= . 4 5 2 ∴f 的 2 阶根的个数是 2 . 依此类推 n ∴f 的 n 阶根的个数是 2 . 答案：C
当 x∈( 三.解答题(本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分) 17.如图，设长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB=BC=3，AA1=4. (1)求四棱锥 A1﹣ABCD 的体积； (2)求异面直线 A1B 与 B1C 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)
2
2 3 3 4
n1 ， n 1源自当 n 为偶数时， Tn -1+
1 ， n 1
n
当 n 为奇数时， Tn -1+ 1 1 综上所述 T n -1+ 答案： -1+
n
1 1 ， 1 n 1 n 1
2018年高三一模数学试卷及答案(文科)
2018年高三数学一模试卷（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}320A x N x =∈->，{}24B x x =≤，则AB =（ ）A ．{}21x x -≤< B ．{}2x x ≤ C ．{}22x x -≤≤ D ．{}0,1 2.设i 是虚数单位，若复数()21ia a R i+∈-是纯虚数，则a =（ ） A ．1- B ．1 C ．2- D ．23.已知[],0,2x y ∈，则事件“1x y +≤”发生的概率为（ ） A ．116 B ．18 C ．1516 D ．784.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．122π+ B ．12π+ C. 1π+ D ．2π+ 5.已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数2x =， 1.5y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A ．0.6 1.1y x =+B ．3 4.5y x =- C.2 5.5y x =-+D ．0.4 3.3y x =-+6.已知2AB =，1CD =，且223AB CD -=AB 和CD 的夹角为（ ） A ．30 B ．60 C.120 D ．1507.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点(0A ，.若线段FA 与抛物线C 相交于点M ，则MF =（ ）A ．43 B 23D 8.设x ，y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则目标函数23z x y =-的最小值是（ ）A ．7-B ．6- C.5- D ．3- 9.已知函数()2sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则函数()f x 的单调递减区间为（ ） A ．()372,288k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ B ．()32,288k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C.()37,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦10.已知双曲线C 的中心在原点O ，焦点()F -，点A 为左支上一点，满足OA OF =，且4AF =，则双曲线C 的方程为（ ）A ．221164x y -= B ．2213616x y -= C.221416x y -= D ．2211636x y -= 11.在锐角ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()()()sin sin sin a b A B c b C -+=-，若a =22b c +的取值范围是（ ）A ．(]3,6B ．()3,5 C.(]5,6 D ．[]5,612.已知函数()x e f x x=，若关于x 的方程()()2223f x a a f x +=有且仅有4个不等实根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()0,e D ．()0,+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.sin 47sin17cos30cos17-的值等于．14.执行如图所示的程序框图，若输入1S =，1k =，则输出的S 为．15.若一圆锥的体积与一球的体积相等，且圆锥底面半径与球的半径相等，则圆锥侧面积与球的表面积之比为．16.若1b a >>且3log 6log 11a b b a +=，则321a b +-的最小值为． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()13122n n S a a n N *=-∈，且11a -，22a ，37a +成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()92log n n b a n N *=∈，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18. 如图，在梯形ABCD 中，90BAD ADC ∠=∠=，2CD =，1AD AB ==，四边形BDEF 为正方形，且平面BDEF ⊥平面ABCD .（1）求证：DF CE ⊥；（2）若AC 与BD 相交于点O ，那么在棱AE 上是否存在点G ，使得平面//OBG 平面EFC ？并说明理由.19. 某学校的特长班有50名学生，其中有体育生20名，艺术生30名，在学校组织的一次体检中，该班所有学生进行了心率测试，心率全部介于50次/分到75次/分之间.现将数据分成五组，第一组[)50,55，第二组[)55,60，…，第五章[]70,75，按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前三组的频率之比为:4:10a.（1）求a 的值，并求这50名同学心率的平均值；（2）因为学习专业的原因，体育生常年进行系统的身体锻炼，艺术生则很少进行系统的身体锻炼，若从第一组和第二组的学生中随机抽取一名，该学生是体育生的概率为0.8，请将下面的列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关？说明你的理由.参考数据：参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20. 已知直线:l y kx m =+与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>相交于A ，P 两点，与x 轴，y轴分别相交于点N ，M ，且，PM MN =，点Q 是点P 关于x 轴的对称点，QM 的延长线交椭圆于点B ，过点A ，B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为1A ，1B .（1）若椭圆C 的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点312D ⎛⎫⎪⎝⎭，在椭圆C 上，求椭圆C 的方程；（2）当12k =时，若点N 平方线段11A B ，求椭圆C 的离心率. 21. 已知函数()xf x xe =.（1）讨论函数()()xg x af x e =+的单调性；（2）若直线2y x =+与曲线()y f x =的交点的横坐标为t ，且[],1t m m ∈+，求整数m 所有可能的值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线lsin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（2）设P 是曲线C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x =-.（1）求不等式()1f x ≤的解集A ；（2）当,m n A ∈时，证明：1m n mn +≤+.试卷答案一、选择题1-5:CBBDC 6-10:CABDC 11、12：CB 二、填空题 13.1214.57416.1 三、解答题 17.解：（1）由13122n n S a a =-，得123n n S a a =-. 由()11112=3,232,n n n n S a a S a a n ---⎧⎪⎨=-≥⎪⎩作差得()132n n a a n -=≥.又11a -，22a ，37a +成等差数列，所以213417a a a =-++，即11112197a a a =-++，解得13a =.所以数列{}n a 是以3为首项、公比为3的等比数列，即3n n a =. （2）由992log 2log 3n n n b a n ===，得11111n n b b n n +=-+， 于是11111122311n n T n n n =-+-++-=++. 18.（1）证明：连接EB .∵在梯形ABCD 中，90BAD ADC ∠=∠=，2CD =，1AD AB ==， ∴BD =BC =.∴222BD BC CD +=，∴BC BD ⊥. 又∵平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF 平面ABCD BD =，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面BDEF ，∴BC DF ⊥.又∵正方形BDEF 中，DF EB ⊥且EB ，BC ⊂平面BCE ，EB BC B =，∴DF ⊥平面BCE .又∵CE ⊂平面BCE ，∴DF CE ⊥.（2）解：如图所示，在棱AE 上存在点G ，使得平面//OBG 平面EFC ，且12AG GE =. 证明如下：∵在梯形ABCD 中，90BAD ADC ∠=∠=，2CD =，1AB =，∴//AB DC ，∴12AO AB OC DC ==. 又∵12AG GE =，∴AO AGOC GE=，∴//OG CE .又∵正方形BDEF 中，//EF OB ，且OB ，OG ⊄平面EFC ，EF ，CE ⊂平面EFC ， ∴//OB 平面EFC ，//OG 平面EFC ， 又∵OBOG O =，且OB ，OG ⊂平面OBG ，∴平面//OBG 平面EFC.19.解（1）因为第二组数据的频率为0.03250.16⨯=，故第二组的频数为0.16508⨯=，由已知得，前三组频数之比为:4:10a ，所以第一组的频数为2a ，第三组的频数为20，第四组的频数为16，第五组的数为4.所以2502016842a =----=，解得1a =. 这50名同学心率的平均值为282016452.557.562.567.572.5=63.75050505050⨯+⨯+⨯+⨯+⨯. （2）由（1）知，第一组和第二组的学生（即心率小于60次/分的学生）共10名，从而体育生有100.8=8⨯名，故列联表补充如下.所以()22508282128.3337.87910402030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有99.5%的把握认为心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关.20.解：（1）由题意得22222,191,4,b ab a bc ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩∴223,4,b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）当12k =时，由12y x m =+，得()0,M m ，()2,0N m -. ∵PM MN =，∴()2,2P m m ，()2,2Q m m -， ∴直线QM 的方程为32y x m =-+. 设()11,A x y ，由22221,21,y x m x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()2222222104a b x a mx a m b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭， ∴2122424a mx m a b -+=+，∴()221222344m a b x a b +=-+；设()22,B x y ，由22223,21,y x m x y a b ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()22222229304a b x a mx a m b ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭， ∴222212294a mx m a b +=+，∴()2222223494m a b x a b +=-+.∵点N 平方线段11A B ，∴124x x m +=-，∴()()222222222342344494m a b m a b m a ba b++--=-++，∴2234a b =，∴13x m =-，112y m =-，代入椭圆方程得22217m b b =<，符合题意. ∵222a b c =+，∴2a c =，∴12c e a ==.21.解：（1）由题意，知()()xxxg x af x e axe e =+=+，∴()()'1xg x ax a e =++.①若0a =时，()'x g x e =，()'0g x >在R 上恒成立，所以函数()g x 在R 上单调递增；②若0a >时，当1a x a+>-时，()'0g x >，函数()g x 单调递增， 当1a x a+<-时，()'0g x <，函数()g x 单调递减； ③若0a <时，当1a x a+>-时，()'0g x <，函数()g x 单调递减；当1a x a+<-时，()'0g x >，函数()g x 单调递增.综上，若0a =时，()g x 在R 上单调递增； 若0a >时，函数()g x 在1,a a +⎛⎫-∞-⎪⎝⎭内单调递减，在区间1,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内单调递增； 当0a <时，函数()g x 在区间1,a a +⎛⎫-∞-⎪⎝⎭内单调递增，在区间1,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内单调递减. （2）由题可知，原命题等价于方程2xxe x =+在[],1x m m ∈+上有解，由于0x e >，所以0x =不是方程的解，所以原方程等价于210xe x --=，令()21x r x e x=--， 因为()'220xr x e x=+>对于()(),00,x ∈-∞+∞恒成立，所以()r x 在(),0-∞和()0,+∞内单调递增. 又()130r e =-<，()2220r e =->，()311303r e -=-<，()2120r e -=>， 所以直线2y x =+与曲线()y f x =的交点仅有两个， 且两交点的横坐标分别在区间[]1,2和[]3,2--内， 所以整数m 的所有值为3-，1.22.解：（1）因为2222cos sin 1y θθ+=+=，所以曲线C 的普通方程为2213x y +=；sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，展开得sin cos 3ρθρθ-=，即3y x -=， 因此直线l 的直角坐标方程为30x y -+=.（2）设),sin P θθ， 则点P 到直线l的距离为2d ==≤ 当且仅当sin 13πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()1126k k Z πθπ=+∈时等号成立，即31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因此点P 到直线l23.（1）解：由211x -≤，得1211x -≤-≤，即1x ≤，解得11x -≤≤，所以[]11A =-，.（2）证明：（解法一）()()()222222221111m n mn m n m n m n +-+=+--=---. 因为,m n A ∈，所以11m -≤≤，11n -≤≤，210m -≤，210n -≤，所以()()22110m n ---≤，()221m n mn +≤+. 又10mn +≥，故1m n mn +≤+.（解法二）因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，而()()()1110m n mn m n +-+=--≤()()()1110m n mn m n +--+=++≥⎡⎤⎣⎦，即()11mn m n mn -+≤+≤+，故1m n mn +≤+.。
2018届上海市嘉定、长宁区高三一模数学试题(带答案解析)
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，且满足 ，试确定 的值，使得数列 为等差数列；
（3）将数列 中的部分项按原来顺序构成新数列 ，且 ，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列 ．
参考答案
1．
【解析】
【分析】
集合 ， 是数集，集合的交集运算求出公共部分.
11．已知数列 的前 项和为 ，且 , （ ），若 ,
则数列 的前 项和 _______________.
12．若不等式 对任意满足 的实数 ， 恒成立，则实数 的最大值为__________．
13．设角 的始边为 轴正半轴，则“ 的终边在第一、二象限”是“ ”的…（ ）．
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
当n为偶数时， ，当n为奇数时， ，综上所述 ,故填 或 .
点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前 项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误．
12．
【解析】
∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；
∴该选项正确．
故选D．
考点：点、线、面的位置关系．
15．B
【解析】
，由 与 的夹角 ，知 ，故 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，故选B.
16．C
【解析】
当 时， 解得 ，
当 时， 解得
的1阶根的个数是2.
时， ，解得 ；
时， ，解得 ；
2018届上海市嘉定、长宁区高三一模
数学试题
1．已知集合 ， ，则 ___________________.
2018年上海市15区高考高三一模数学试卷合集 带答案
8
第 2 卷 2018 年崇明区一模
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，其中 1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分）
1、已知集合 A {1, 2, 5}, B {2, a} ，若 A B {1, 2, 3, 5} ，则 a
；
2、抛物线 y2 4x 的焦点坐标是
Sn ，首项 a1
1，公比为
a
3 2
，且
lim
n
S
n
a
，则
a ________.
11.从 5 男 3 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人志愿者服
务，要求服务队中至少有 1 名女生，共有
种不同的选法.（用数字作答）
12.在 ABC 中， BC 边上的中垂线分别交 BC, AC 于点 D, E .若 AE BC 6 ， AB 2 ，
f (C) 1 ，求 ABC 面积的最大值，并指出此时 ABC 为何种类型的三角形. 2
19. 设数列{an} ，{bn} 及函数 f (x) （ x R ）， bn f (an ) （ n N * ）. （1）若等比数列{an} 满足 a1 1， a2 3 ， f (x) 2x ，求数列{bnbn1} 的前 n （ n N * ） 项和； （2）已知等差数列{an} 满足 a1 2 ， a2 4 ， f (x) (q x 1) （ 、 q 均为常数， q 0 且 q 1）， cn 3 n (b1 b2 bn ) （ n N * ），试求实数对 (, q) ，使得{cn} 成等比 数列.
x 1 5. 若 z 2 3i （其中 i 为虚数单位），则 Im z
i 6. 若从五个数 1 ，0，1，2，3 中任选一个数 m ，则使得函数 f (x) (m2 1)x 1 在 R 上
最新-上海市嘉定区2018届高考数学一模理科试卷含答案解析 精品
2018年上海市嘉定区高考数学一模试卷（理科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．=．2．设集合A={x|x2﹣2x＞0，x∈R}，，则A∩B=．3．若函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的反函数的图象过点（3，﹣1），则a=．4．已知一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，则这组数据的方差是．5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱A1B1的中点，则异面直线AM与B1C所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）．6．若圆锥的底面周长为2π，侧面积也为2π，则该圆锥的体积为．7．已知，则cos（30°+2α）=．8．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S值是．9．过点P（1，2）的直线与圆x2+y2=4相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则实数a的值为．10．甲、乙、丙三人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外两人中的任何一人．经过3次传球后，球仍在甲手中的概率是．11．已知直角梯形ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°．AD=2，BC=1，P是腰AB上的动点，则的最小值为．12．已知n∈N*，若，则n=．13．对一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数f（x）=[x]称为取整函数．若，n∈N*，S n为数列{a n}的前n项和，则=．14．对于函数y=f（x），若存在定义域D内某个区间[a，b]，使得y=f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称函数y=f（x）在定义域D上封闭．如果函数（k≠0）在R上封闭，那么实数k的取值范围是．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．“函数y=sin（x+φ）为偶函数”是“φ=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；④若直线l上有一点在平面α外，则l在平面α外．其中错误命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．417．已知圆M过定点（2，0），圆心M在抛物线y2=4x上运动，若y轴截圆M所得的弦为AB，则|AB|等于（）A．4 B．3 C．2 D．118．已知数列{a n}的通项公式为，则数列{a n}（）A．有最大项，没有最小项 B．有最小项，没有最大项C．既有最大项又有最小项 D．既没有最大项也没有最小项三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm的正方形，高为30cm，内有20cm深的溶液．现将此容器倾斜一定角度α（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角α的最大值是多少；（2）现需要倒出不少于3000cm3的溶液，当α=60°时，能实现要求吗？请说明理由．20．已知x∈R，设，，记函数．（1）求函数f（x）取最小值时x的取值范围；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=2，，求△ABC的面积S 的最大值．21．设函数f（x）=k•a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求常数k的值；（2）若，且函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．22．在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F（﹣1，0）的距离与P到定直线x=﹣4的距离之比为．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）若轨迹C上的动点N到定点M（m，0）（0＜m＜2）的距离的最小值为1，求m的值．（3）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A1、B1，且直线OA、OB的斜率之积等于，问四边形ABA1B1的面积S是否为定值？请说明理由．23．设复数z n=x n+i•y n，其中x n y n∈R，n∈N*，i为虚数单位，z n+1=（1+i）•z n，z1=3+4i，复数z n在复平面上对应的点为Z n．（1）求复数z2，z3，z4的值；（2）是否存在正整数n使得∥？若存在，求出所有满足条件的n；若不存在，请说明理由；（3）求数列{x n•y n}的前102项之和．2018年上海市嘉定区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．=．【考点】极限及其运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】分式的分子分母同时除以n2，利用极限的性质能求出结果．【解答】解：==．故答案为：．【点评】本题考查极限的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极限性质的合理运用．2．设集合A={x|x2﹣2x＞0，x∈R}，，则A∩B={x|﹣1≤x＜0，x∈R}（或[﹣1，0））．【考点】交集及其运算．【专题】对应思想；转化法；不等式的解法及应用；集合．【分析】化简集合A、B，再计算A∩B．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x＞0，x∈R}={x|x＜0或x＞2，x∈R}，={x|﹣1≤x＜1，x∈R}，∴A∩B={x|﹣1≤x＜0，x∈R}（或[﹣1，0））．故答案为：{x|﹣1≤x＜0，x∈R}（或[﹣1，0））．【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．3．若函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的反函数的图象过点（3，﹣1），则a=．【考点】反函数．【专题】方程思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用互为反函数的性质即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的反函数的图象过点（3，﹣1），∴3=a﹣1，解得a=．故答案为：．【点评】本题考查了互为反函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．已知一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，则这组数据的方差是2．【考点】极差、方差与标准差．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】由一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，先求出m=10，由此能求出这组数据的方差．【解答】解：∵一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，∴，解得m=10，∴这组数据的方差S2=[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]=2．故答案为：2．【点评】本题考查一组数据的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、方差计算公式的合理运用．5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱A1B1的中点，则异面直线AM与B1C所成的角的大小为arccos（结果用反三角函数值表示）．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；向量法；空间角．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AM与B1C所成的角．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，则A（2，0，0），M（2，1，2），B1（2，2，2），C（0，2，0），=（0，1，2），=（﹣2，0，2），设异面直线AM与B1C所成的角为θ，cosθ===．∴θ=．∴异面直线AM与B1C所成的角为arccos．故答案为：．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．6．若圆锥的底面周长为2π，侧面积也为2π，则该圆锥的体积为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】数形结合；综合法；立体几何．【分析】根据底面周长计算底面半径，根据侧面积计算母线长，再根据勾股定理求出圆锥的高，代入体积公式计算体积．【解答】解：∵圆锥的底面周长为2π，∴圆锥的底面半径r=1，设圆锥母线为l，则πrl=2π，∴l=2，∴圆锥的高h==．∴圆锥的体积V=πr2h=．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，侧面积与体积计算，属于基础题．7．已知，则cos（30°+2α）=．【考点】二阶矩阵；三角函数的化简求值．【专题】计算题；转化思想；综合法；矩阵和变换．【分析】由二阶行列式展开式得到cos（75°﹣α）=，再由诱导公式得cos（30°+2α）=cos[180°﹣2（75°﹣α）]，由此利用二倍角公式能求出结果．【解答】解：∵，∴cos75°cosα+sin75°sinα=cos（75°﹣α）=，cos（30°+2α）=cos[180°﹣2（75°﹣α）]=﹣cos[2（75°﹣α）]=﹣[2cos2（75°﹣α）﹣1]=﹣[2×﹣1]=．故答案为：．【点评】本题考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二阶行列式展开式、诱导公式、倍角公式的性质的合理运用．8．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S值是．【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；数学模型法；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=2018时，不满足条件k≤2018，退出循环，输出S的值，从而得解．【解答】解：模拟执行程序，可得k=1，S=0满足条件k≤2018，S=，k=2满足条件k≤2018，S=+，k=3…满足条件k≤2018，S=++…+，k=2018满足条件k≤2018，S=++…++，k=2018不满足条件k≤2018，退出循环，输出S的值．由于S=++…++=1﹣﹣…+=1﹣=．故答案为：．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，考查了循环结构和条件语句，用裂项法求S的值是解题的关键，属于基本知识的考查．9．过点P（1，2）的直线与圆x2+y2=4相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则实数a的值为﹣．【考点】圆的切线方程．【专题】分类讨论；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】先判断a≠0，可得要求的直线的方程为y﹣2=（x﹣1），即x﹣ay+2a﹣1=0，再根据圆心O到x﹣ay+2a﹣1=0的距离等于半径2，求得a的值．【解答】解：当a=0时，直线ax﹣y+1=0，即直线y=1，根据所求直线与该直线垂直，且过点P（1，2），故有所求的直线为x=1，此时，不满足所求直线与圆x2+y2=4相切，故a≠0．故要求的直线的斜率为，要求的直线的方程为y﹣2=（x﹣1），即x﹣ay+2a﹣1=0．再根据圆心O到x﹣ay+2a﹣1=0的距离等于半径2，可得=2，求得a=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．10．甲、乙、丙三人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外两人中的任何一人．经过3次传球后，球仍在甲手中的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】利用列举法求出所有的传球方法共有多少种，找出第3次球恰好传回给甲的情况，由此能求出经过3次传球后，球仍在甲手中的概率．【解答】解：用甲→乙→丙→甲表示一种传球方法所有传球方法共有：甲→乙→甲→乙；甲→乙→甲→丙；甲→乙→丙→甲；甲→乙→丙→乙；甲→丙→甲→乙；甲→丙→甲→丙；甲→丙→乙→甲；甲→丙→乙→丙；则共有8种传球方法．第3次球恰好传回给甲的有两种情况，∴经过3次传球后，球仍在甲手中的概率是p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．11．已知直角梯形ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°．AD=2，BC=1，P是腰AB上的动点，则的最小值为3．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】应用题；数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】先建立坐标系，以直线AD，AB分别为x，y轴建立平面直角坐标系，设P（0，b）（0≤b≤1），根据向量的坐标运算和模的计算得到，=≥3，问题得以解决．【解答】解：如图，以直线AD，AB分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（0，1），C（1，1），D（2，0）设P（0，b）（0≤b≤1）则=（1，1﹣b），=（2，﹣b），∴+=（3，1﹣2b），∴=≥3，当且仅当b=时取等号，∴的最小值为3，故答案为：3．【点评】此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．12．已知n∈N*，若，则n=4．【考点】二项式定理的应用．【专题】转化思想；综合法；二项式定理．【分析】由题意可得•2+•22+•23+…+•2n﹣1+•2n=40•2，即（1+2）n﹣1=80，由此求得n的值．【解答】解：∵n∈N*，若，则•2+•22+•23+…+•2n﹣1+•2n=40•2，即（1+2）n﹣1=80，∴n=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．13．对一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数f（x）=[x]称为取整函数．若，n∈N*，S n为数列{a n}的前n项和，则=100．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；分类法；等差数列与等比数列．【分析】=，n∈N*，当n=1，2，…，9时，a n=0；当n=10，11，12，…，19时，a n=1；…，即可得出S2009．【解答】解：=，n∈N*，当n=1，2，…，9时，a n=0；当n=10，11，12，…，19时，a n=1；…，∴S2009=0+1×10+2×10+…+199×10+200×10=10×=201000，则=100．故答案为：100．【点评】本题考查了取整函数、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．对于函数y=f（x），若存在定义域D内某个区间[a，b]，使得y=f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称函数y=f（x）在定义域D上封闭．如果函数（k≠0）在R上封闭，那么实数k的取值范围是（1，+∞）．【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意便知方程组至少有两个解，从而可得到至少有两个解，从而有k=1+|x|＞1，这样即求出k的取值范围．【解答】解：根据题意知方程至少有两个不同实数根；即至少有两个实数根；∴；∴k=1+|x|＞1；∴实数k的取值范围为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．【点评】考查对一个函数在定义域上封闭的理解，清楚函数y=x的定义域和值域相同．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．“函数y=sin（x+φ）为偶函数”是“φ=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据三角函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：若φ=时，y=sin（x+φ）=cosx 为偶函数；若y=sin（x+φ）为偶函数，则φ=+kπ，k∈Z；∴“函数y=sin（x+φ）为偶函数”是“φ=”的必要不充分条件，故选B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角函数的性质是解决本题的关键，难度不大．16．下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；④若直线l上有一点在平面α外，则l在平面α外．其中错误命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】两条异面直线不能确定一个平面；若两个平面有3个共线的公共点，则这两个平面相交；若a与b共面，b与c共面，则a与c不一定共面；若直线l上有一点在平面α外，则由直线与平面的位置关系得l在平面α外．【解答】解：在①中，两条异面直线不能确定一个平面，故①错误；在②中，若两个平面有3个不共线的公共点，则这两个平面重合，若两个平面有3个共线的公共点，则这两个平面相交，故②错误；在③中，直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c不一定共面，如四面体S﹣ABC中，SA与AB共面，AB与BC共面，但SA与BC异面，故③错误；在④中，若直线l上有一点在平面α外，则由直线与平面的位置关系得l在平面α外，故④正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．17．已知圆M过定点（2，0），圆心M在抛物线y2=4x上运动，若y轴截圆M所得的弦为AB，则|AB|等于（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】画出图形，可根据条件设，并可得出圆M的半径，从而得出圆M的方程为，这样令x=0便可求出y，即求出A，B点的坐标，根据A，B点的坐标便可得出|AB|．【解答】解：如图，圆心M在抛物线y2=4x上；∴设，r=；∴圆M的方程为：；令x=0，；∴；∴y=y0±2；∴|AB|=y0+2﹣（y0﹣2）=4．故选：A．【点评】考查抛物线上的点和抛物线方程的关系，圆的半径和圆心，以及圆的标准方程，直线和圆的交点的求法，坐标轴上的两点的距离．18．已知数列{a n}的通项公式为，则数列{a n}（）A．有最大项，没有最小项 B．有最小项，没有最大项C．既有最大项又有最小项 D．既没有最大项也没有最小项【考点】数列的函数特性．【专题】探究型．【分析】把数列的通项公式看作函数解析式，令，换元后是二次函数解析式，内层是指数函数，由指数函数的性质可以求出t的大致范围，在求出的范围内分析二次函数的最值情况．【解答】解：令，则t是区间（0，1]内的值，而=，所以当n=1，即t=1时，a n取最大值，使最接近的n的值为数列{a n}中的最小项，所以该数列既有最大项又有最小项．故选C．【点评】本题考查了数列的函数特性，考查了换元法，解答此题的关键是由外层二次函数的最值情况断定n的取值，从而说明使数列取得最大项和最小项的n都存在，属易错题．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm的正方形，高为30cm，内有20cm深的溶液．现将此容器倾斜一定角度α（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角α的最大值是多少；（2）现需要倒出不少于3000cm3的溶液，当α=60°时，能实现要求吗？请说明理由．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】转化思想；数形结合法；立体几何．【分析】（1）根据题意画出图形，结合图形，过C作CF∥BP，交AD所在直线于F，且点F在线段AD上，用tanα表示出DF、AF，求出容器内溶液的体积，列出不等式求出溶液不会溢出时α的最大值；（2）当α=60°时，过C作CF∥BP，交AB所在直线于F，则点F在线段AB上，溶液纵截面为Rt△CBF，由此能求出倒出的溶液量，即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意，画出图形，如图a所示，过C作CF∥BP，交AD所在直线于F，在Rt△CDF中，∠FCD=α，CD=20cm，DF=20tanα，且点F在线段AD上，AF=30﹣20tanα，此时容器内能容纳的溶液量为：S•20=•20梯形ABCF=（30﹣20tanα+30）•20•10=2000（6﹣2tanα）（cm3）；而容器中原有溶液量为20×20×20=8000（cm3），令2000（6﹣2tanα）≥8000，解得tanα≤1，所以α≤45°，即α的最大角为45°时，溶液不会溢出；（2）如图b所示，当α=60°时，过C作CF∥BP，交AB所在直线于F，在Rt△CBF中，BC=30cm，∠BCF=30°，BF=10cm，∴点F在线段AB上，故溶液纵截面为Rt△CBF，∵S△ABF=BC•BF=150cm2，容器内溶液量为150×20=300cm3，倒出的溶液量为（8000﹣3000）cm3＜3000cm3，∴不能实现要求．【点评】本题考查了棱柱的体积在生产生活中的实际应用问题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，是综合性题目．20．已知x∈R，设，，记函数．（1）求函数f（x）取最小值时x的取值范围；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=2，，求△ABC的面积S 的最大值．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．【专题】综合题；转化思想；向量法；综合法；解三角形．【分析】（1）先根据向量的数量积的运算，以及二倍角公式和两角和的正弦公式化简得到f（x）=，再根据正弦函数的性质即可求出答案；（2）先求出C的大小，再根据余弦定理和基本不等式，即可求出ab≤3，根据三角形的面积公式即可求出答案．【解答】解：（1）=．当f（x）取最小值时，，，k∈Z，所以，所求x的取值集合是．（2）由f（C）=2，得，因为0＜C＜π，所以，所以，．在△ABC中，由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，得3=a2+b2﹣ab≥ab，即ab≤3，所以△ABC的面积，因此△ABC的面积S的最大值为．【点评】本题考查了向量的数量积的运算和二倍角公式和两角和的正弦公式，余弦定理和基本不等式，三角形的面积公式，属于中档题．21．设函数f（x）=k•a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求常数k的值；（2）若，且函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．【考点】函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的性质．【专题】分类讨论；分析法；函数的性质及应用．【分析】（1）方法一、由奇函数的性质：f（0）=0，解方程可得k=1，检验成立；方法二、运用奇函数的定义，由恒等式的性质即可得到k=1；（2）求得a=3，即有g（x）=32x﹣3﹣2x﹣2m（3x﹣3﹣x），令t=3x﹣3﹣x，则t是关于x的增函数，可得，h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2，讨论对称轴和区间的关系，运用单调性，可得最小值，解方程可得m的值．【解答】（1）解法一：函数f（x）=k•a x﹣a﹣x的定义域为R，f（x）是奇函数，所以f（0）=k﹣1=0，即有k=1．当k=1时，f（x）=a x﹣a﹣x，f（﹣x）=a﹣x﹣a x=﹣f（x），则f（x）是奇函数，故所求k的值为1；解法二：函数f（x）=k•a x﹣a﹣x的定义域为R，由题意，对任意x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），即k•a﹣x﹣a x=a﹣x﹣k•a x，（k﹣1）（a x+a﹣x）=0，因为a x+a﹣x＞0，所以，k=1．（2）由，得，解得a=3或（舍）．所以g（x）=32x﹣3﹣2x﹣2m（3x﹣3﹣x），令t=3x﹣3﹣x，则t是关于x的增函数，，g（x）=h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2，当时，则当时，，解得；当时，则当t=m时，，m=±2（舍去）．综上，．【点评】本题考查奇函数的定义和性质的运用，考查可化为二次函数的最值的求法，注意运用换元法和二次韩寒说的对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题．22．在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F（﹣1，0）的距离与P到定直线x=﹣4的距离之比为．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）若轨迹C上的动点N到定点M（m，0）（0＜m＜2）的距离的最小值为1，求m的值．（3）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A1、B1，且直线OA、OB的斜率之积等于，问四边形ABA1B1的面积S是否为定值？请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设P（x，y），由两点间距离公式和点到直线距离公式能求出动点P的轨迹C的方程．（2）设N（x，y），利用两点间距离公式能求出m．（3）法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，由点A、B在椭圆C上，得，由此利用点到直线的距离公式、椭圆的对称性，结合已知条件能求出四边形ABA1B1的面积为定值．法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），则A1（﹣x1，﹣y1），B1（﹣x2，﹣y2），由，得，点A、B在椭圆C上，得．由此利用点到直线的距离公式、椭圆的对称性，结合已知条件能求出四边形ABA1B1的面积为定值．法三：设A（x1，y1），B（x2，y2），则A1（﹣x1，﹣y1），B1（﹣x2，﹣y2），由，得，点A、B在椭圆C上，得．由此利用行列式性质及椭圆的对称性，能求出四边形ABA1B1的面积为定值．【解答】解：（1）设P（x，y），∵动点P到定点F（﹣1，0）的距离与P到定直线x=﹣4的距离之比为，∴由题意，，…化简得3x2+4y2=12，…∴动点P的轨迹C的方程为．…（2）设N（x，y），则=，﹣2≤x≤2．…①当0＜4m≤2，即时，当x=4m时，|MN|2取最小值3（1﹣m2）=1，解得，，此时，故舍去．…②当4m＞2，即时，当x=2时，|MN|2取最小值m2﹣4m+4=1，解得m=1，或m=3（舍）．…综上，m=1．（3）解法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），则由，得，，，∵点A、B在椭圆C上，∴，，∴=，化简得．…①当x1=x2时，则四边形ABA1B1为矩形，y2=﹣y1，则，由，得，解得，，S=|AB|•|A1B|=4|x1||y1|=．…②当x1≠x2时，直线AB的方向向量为，直线AB的方程为（y2﹣y1）x﹣（x2﹣x1）y+x2y1﹣x1y2=0，原点O到直线AB的距离为∴△AOB的面积，根据椭圆的对称性，四边形ABA1B1的面积S=4S△AOB=2|x1y2﹣x2y1|，…∴=，∴．∴四边形ABA1B1的面积为定值．…解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），则A1（﹣x1，﹣y1），B1（﹣x2，﹣y2），由，得，…∵点A、B在椭圆C上，所以，，∴=，化简得．…直线OA的方程为y1x﹣x1y=0，点B到直线OA的距离，△ABA1的面积，…根据椭圆的对称性，四边形ABA1B1的面积=2|x1y2﹣x2y1|，…∴=，∴．∴四边形ABA1B1的面积为定值．…解法三：设A（x1，y1），B（x2，y2），则A1（﹣x1，﹣y1），B1（﹣x2，﹣y2）由，得，…∵点A、B在椭圆C上，所以，，∴=，化简得．…△ABA1的面积=|x1y2﹣x2y1|，…根据椭圆的对称性，四边形ABA1B1的面积=2|x1y2﹣x2y1|，…∴=，∴．∴四边形ABA1B1的面积为定值．…【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，考查四边形面积是否为定值的求法与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式、椭圆的对称性的合理运用．23．设复数z n=x n+i•y n，其中x n y n∈R，n∈N*，i为虚数单位，z n+1=（1+i）•z n，z1=3+4i，复数z n在复平面上对应的点为Z n．（1）求复数z2，z3，z4的值；（2）是否存在正整数n使得∥？若存在，求出所有满足条件的n；若不存在，请说明理由；（3）求数列{x n•y n}的前102项之和．【考点】数列的求和；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；规律型；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用已知条件之间求解z2，z3，z4．（2）求出，利用复数的幂运算，求解即可．（3）通过，推出x n+4=﹣4x n，y n+4=﹣4y n，得到x n+4y n+4=16x n y n，然后求解数列的和即可．【解答】本题，第1小题，第2小题，第3小题．解：（1）z2=（1+i）（3+4i）=﹣1+7i，z3=﹣8+6i，z4=﹣14﹣2i．…（算错一个扣，即算对一个得，算对两个得3分）（2）若∥，则存在实数λ，使得，故z n=λ•z1，即（x n，y n）=λ（x1，y1），…又z n+1=（1+i）z n，故，即（1+i）n﹣1=λ为实数，…故n﹣1为4的倍数，即n﹣1=4k，n=4k+1，k∈N．…（3）因为，故x n+4=﹣4x n，y n+4=﹣4y n，…所以x n+4y n+4=16x n y n，…又x1y1=12，x2y2=﹣7，x3y3=﹣48，x4y4=28，x1y1+x2y2+x3y3+…+x100y100=（x1y1+x2y2+x3y3+x4y4）+（x5y5+x6y6+x7y7+x8y8）+…+（x97y97+x98y98+x99y99+x100y100）=，…而，，…所以数列{x n y n}的前102项之和为1﹣2100+12×2100﹣7×2100=1+2102．…【点评】本题考查复数的基本运算，复数的代数形式混合运算，考查数列求和，考查计算能力．。
2018年上海市高三一模数学试题完整解析
2018年高三一模数学试题解析目录2018年杨浦区高三一模试题分析 (1)2018年松江区高三一模试题分析 (10)2018年青浦区高三一模试题分析 (20)2018年虹口区高三一模试题分析 (31)2018年普陀区高三一模试题分析 (42)2018年徐汇区高三一模试题分析 (56)2018年长宁、嘉定区高三一模试题分析 (67)2018年浦东新区高三一模试题分析 (77)2018年崇明区高三一模试题分析 (87)2018年静安区高三一模试题分析 (96)2018年闵行区高三一模试题分析 (105)2018年黄浦区高三一模试题分析 (117)2018年三区高三一模填选难题试题分析 (127)2018年杨浦区高三一模试题分析一、填空题的结果是 1 ．1.计算∞【考点】极限及其运算.=1．【分析】由n→+∞，→0，即可求得∞=1，故答案为：1．【解答】解：当n→+∞，→0，∴∞【点评】本题考查极限的运算，考查计算能力，属于基础题．2.已知集合A={1，2，m}，B={3，4}，若A∩B={3}，则实数m= 3 ．【考点】交集及其运算.【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，m}，B={3，4}，A∩B={3}，∴实数m=3．故答案为：3．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．3.已知，则= ﹣．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值.【分析】由已知利用诱导公式即可化简求值得解．【解答】解：∵θ，∴θπ=θ．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．4.若行列式，则x= 2 ．【考点】二阶矩阵.【分析】先根据行列式的计算公式进行化简，然后解指数方程即可求出x的值．【解答】解：∵，∴2×2x﹣1﹣4=0即x﹣1=1，∴x=2，故答案为：2【点评】本题主要考查了行列式的基本运算，同时考查了指数方程，属于基础题．5.已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，则x+y= 6 ．【考点】增广矩阵的概念.【分析】由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，由此能求出x+y．【解答】解：∵一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，∴由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，解得 x=4，y=2，∴x+y=6．故答案为：6．【点评】本题考查两数和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意增广矩阵的合理运用．6.在的二项展开式中，常数项等于﹣160 ．【考点】二项式定理．【分析】研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应r，从而可求出常数项．【解答】解：展开式的通项为T r+1=x6﹣r（﹣）r=（﹣2）r x6﹣2r ，令6﹣2r=0可得r=3常数项为（﹣2）3=﹣160，故答案为：﹣160【点评】本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，同时考查了计算能力，属于基础题．7.若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】分别求出基本事件数，“点数和为4”的种数，再根据概率公式解答即可．【解答】解：基本事件共6×6个，点数和为4的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，故P==．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，难度不大，属于基础题．8.数列{a n}的前n项和为S n，若点(n，S n)(n∈N*)在函数y=log2(x+1)的反函数的图象上，则a n= 2n﹣1．【考点】反函数．【分析】先利用点（n，S n）都在f（x）的反函数图象上即点（S n，n）都在f（x）的原函数图象上，得到关于S n的表达式；再利用已知前n项和为S n求数列{a n}的通项公式的方法即可求数列{a n}的通项公式；【解答】解：由题意得n=log2（S n+1）⇒s n=2n﹣1．n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，当n=1时，a1=s1=21﹣1=1也适合上式，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1；故答案为：2n﹣1【点评】本小题主要考查反函数、利用已知前n项和为S n求数列{a n}的通项公式的方法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．9.在△ABC中，若sinA、sinB、sinC成等比数列，则角B的最大值为．【考点】余弦定理.【分析】由sinA、sinB、sinC依次成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosB，把得出关系式代入并利用基本不等式求出cosB的范围，利用余弦函数的性质可求B的最大值．【解答】解：∵在△ABC 中，sinA 、sinB 、sinC 依次成等比数列，∴sin 2B=sinAsinC ， 利用正弦定理化简得：b 2=ac ，由余弦定理得：cosB==≥=（当且仅当a=c 时取等号），则B 的范围为（0，π]，即角B 的最大值为π．故答案为：π．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题．10.抛物线y 2=﹣8x 的焦点与双曲线﹣y 2=1的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为．【考点】双曲线的性质.【分析】由已知条件推导出a 2+1=4，从而得到双曲线的渐近线方程为y=，由此能求出这条双曲线的两条渐近线的夹角．【解答】解：∵抛物线y 2=﹣8x 的焦点F （﹣2，0）与双曲线﹣y 2=1的左焦点重合，∴a 2+1=4，解得a= ，∴双曲线的渐近线方程为y=，∴这条双曲线的两条渐近线的夹角为π ，故答案为：π． 【点评】本题考查双曲线的两条渐近线的夹角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线性质的合理运用．11.已知函数，x ∈R ，设a ＞0，若函数g （x ）=f （x+α）为奇函数，则α的值为2k πα=【考点】三角函数中的恒等变换应用.【分析】首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质求出结果．【解答】()cos (sin )sin(2)3f x x x x x π=+，()sin(22)3g x x πα=++为奇函数，且0α>，∴23k παπ+=，26k ππα=-，k ∈*N .【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．12.已知点C 、D 是椭圆上的两个动点，且点M （0，2），若，则实数λ的取值范围为1[,3]3λ∈.【考点】椭圆的性质.【分析】数形结合，取极端情况，考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. 【解答】数形结合，取极端情况. 作CE ⊥y 轴，DF ⊥y 轴，3MD MF MB MC ME MA λ==≤=，同理13λ≥ 当D 点位于(0,1)-，C 点位于(0,1)时，λ等于3； 当D 点位于(0,1)，C 点位于(0,1)-时，λ等于13，∴1[,3]3λ∈.【点评】本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题． 二、选择题13.在复平面内，复数对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【分析】直接由复数的除法运算化简，求出复数对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：∵=，∴复数对应的点的坐标为(﹣1,﹣2），位于第三象限．故选：C ．【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 14.给出下列函数:①y=log 2x;②y=x 2；③y=2|x|；④y=arcsinx ．其中图象关于y 轴对称的函数的序号是( ) A.①②B.②③C.①③D.②④【考点】函数奇偶性的性质与判断.【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．【解答】解：①y=log 2x 的定义域为（0，+∞），定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数； ②y=x 2；是偶函数，图象关于y 轴对称，满足条件．③y=2|x|是偶函数，图象关于y 轴对称，满足条件． ④y=arcsinx 是奇函数，图象关于y 轴不对称，不满足条件，故选：B ．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，利用函数奇偶性的定义和性质是解决本题的关键 15.“t ≥0”是“函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在(﹣∞，+∞)内存在零点”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 【考点】充分条件、必要条件、充要条件.【分析】t ≥0⇒△=t 2+4t ≥0⇒函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点，函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点⇒△=t 2+4t ≥0⇒t ≥0或t ≤﹣4．由此能求出结果． 【解答】解：t ≥0⇒△=t 2+4t ≥0⇒函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点， 函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点⇒△=t 2+4t ≥0⇒t ≥0或t ≤﹣4．∴“t ≥0”是“函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点”的充分非必要条件．故选：A ． 【点评】本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．16.设A 、B 、C 、D 是半径为1的球面上的四个不同点，且满足•=0，•=0，•=0，用S 1、S 2、S 3分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则S 1+S 2+S 3的最大值是( )A.B.2C.4D.8【考点】平面向量数量积的性质及其运算；棱柱、棱锥的体积.【分析】由题意可知，三棱锥的顶点的三条直线AB ，AC ，AD 两两垂直，可以扩展为长方体，对角线为球的直径，设出三边，表示出面积关系式，然后利用基本不等式，求出最大值．【解答】解：设AB=a ，AC=b ，AD=c ，因为AB ，AC ，AD 两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，所以a 2+b 2+c 2=4R 2=4 所以S △ABC +S △ACD +S △ADB =（ab+ac+bc ）≤（a 2+b 2+c 2）=2即最大值为：2故选：B ．【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体，基本不等式求最值问题，能够把几何体扩展为长方体，推知多面体的外接球是同一个球，是解题的关键． 三、解答题17.如图所示，用总长为定值l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开． （1）设场地面积为y ，垂直于墙的边长为x ，试用解析式将y 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域； （2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？【考点】基本不等式及其应用.【分析】（1）由题意设长方形场地的宽为x ，则长为l ﹣3x ，表示出面积y ；由x ＞0，且l ﹣3x ＞0，可得函数的定义域；（2）对其运用基本不等式求出函数的最值即场地的面积最大值，从而求解． 【解答】解：（1）设平行于墙的边长为a ，则篱笆总长3l x a =+，即3a l x =-，所以场地面积(3)y x l x =-，(0,)3lx ∈（2）222(3)33()612ll y x l x x lx x =-=-+=--+，(0,)3l x ∈,所以当且仅当6l x =时，2max 12l y = 综上，当场地垂直于墙的边长x 为6l 时，最大面积为212l【点评】此题是一道实际应用题，考查函数的最值问题，解决此类问题要运用基本不等式，这也是高考常考的方法．18.如图，已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA和OB互相垂直，且OA=3，P是母线BS的中点．（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线SO与PA所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【考点】旋转体（圆柱、圆锥）；异面直线及其所成的角.【分析】（1）推导出BS=5，从而SO=4，由此能求出圆锥的体积．（2）取OB中点H，连结PH、AH．由P是SB的中点知PH∥SO，则∠APH（或其补角）就是异面直线SO与PA所成角，由此能求出异面直线SO与PA所成角．解：（1）由题意，π•OA•SB=15π，解得BS=5，故从而体积πππ．（2）如图，取OB中点H，连结PH、AH．由P是SB的中点知PH∥SO，则∠APH（或其补角）就是异面直线SO与PA所成角．∵SO⊥平面OAB，∴PH⊥平面OAB，∴PH⊥AH．在△OAH中，由OA⊥OB，得，在Rt△APH中，∠AHP=90 O，，…则∠，∴异面直线SO与PA所成角的大小．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．19.已知函数的定义域为集合A，集合B=(a,a+1),且B⊆A.（1）求实数a的取值范围；（2）求证:函数f(x)是奇函数但不是偶函数．【考点】集合的包含关系判断及应用；函数奇偶性的性质与判断.【分析】（1）由对数的真数大于0，可得集合A，再由集合的包含关系，可得a的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得f（x）的定义域，计算f（﹣x）与f（x）比较，即可得到所求结论．【解答】解：（1）令＞，解得﹣1＜x＜1，所以A=（﹣1，1），因为B⊆A，所以，解得﹣1≤a≤0，即实数a的取值范围是[﹣1，0]；（2）证明:函数f(x)的定义域A=(﹣1,1)，定义域关于原点对称，f(﹣x)=ln=ln（）﹣1=﹣ln=﹣f(x)，而，，所以，所以函数f（x）是奇函数但不是偶函数．【点评】本题考查函数的定义域和集合的包含关系，考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义法，考查运算能力，属于基础题．20.设直线l与抛物线Ω：y2=4x相交于不同两点A、B，O为坐标原点．（1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；（2）若直线l又与圆C：（x﹣5）2+y2=16相切于点M，且M为线段AB的中点，求直线l的方程；（3）若，点Q在线段AB上，满足OQ⊥AB，求点Q的轨迹方程．【考点】直线与抛物线的综合.【分析】（1）根据题意，由抛物线的方程分析可得p的值，即可得答案；（2）根据题意，设直线的方程为x=my+b，分m=0与m≠0两种情况讨论，分析m的取值，综合可得m可取的值，将m的值代入直线的方程即可得答案；（3）设直线AB：x=my+b，将直线的方程与抛物线方程联立，结合OQ⊥AB，由根与系数的关系分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，抛物线Ω的方程为y2=4x，则p=2，故抛物线Ω的焦点到准线的距离为2；（2）设直线l：x=my+b,当m=0时，x=1和x=9符合题意；当m≠0时，A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足方程组，所以y2﹣4my﹣4b=0的两根为y1、y2．△=16（m2+b）＞0，y1+y2=4m，所以，所以线段AB的中点M（2m2+b，2m），因为k AB•k CM=﹣1，，所以，得b=3﹣2m2 ，所以△=16（m2+b）=16（3﹣m2）＞0，得0＜m2＜3因为，所以m2=3（舍去）综上所述，直线l的方程为：x=1，x=9（3）设直线AB：x=my+b，A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足方程组，所以y2﹣4my﹣4b=0的两根为y1、y2，△=16（m2+b）＞0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4b所以，得b=0或b=4b=0时，直线AB过原点，所以Q（0，0）；b=4时，直线AB过定点P（4，0）设Q（x，y），因为OQ⊥AB，所以，，（x≠0），综上，点Q的轨迹方程为x2﹣4x+y2=0【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，（2）中注意设出直线的方程，并讨论m的值．21.若数列A：a1，a2，…，a n（n≥3）中（1≤i≤n）且对任意的2≤k≤n﹣1，a k+1+a k﹣1＞2a k恒成立，则称数列A为“U﹣数列”．（1）若数列1，x，y，7为“U﹣数列”，写出所有可能的x、y；（2）若“U﹣数列”A：a1，a2，…，a n中，a1=1，a n=2017，求n的最大值；（3）设n0为给定的偶数，对所有可能的“U﹣数列”A：a1，a2，…，，记，，，，其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数，求M的最小值．【考点】数列与不等式的综合.【分析】（1）根据“U﹣数列”的定义可得：x=1时，＞＞；x=2时，＞＞；x≥3时，＞＞，解出即可得出．（2）n的最大值为65，理由如下：一方面，注意到：a k+1+a k﹣1＞2a k⇔a k+1﹣a k＞a k﹣a k﹣1．对任意的1≤i≤n ﹣1，令b i=a i+1﹣a i，可得b i∈Z且b k＞b k﹣1（2≤k≤n﹣1），故b k≥b k﹣1+1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立．当a1=1，a n=2017时，注意到b1=a2﹣a1≥1﹣1=0，利用裂项求和方法可得b i≥i﹣1．（2≤i≤n﹣1）．即b i≥i ﹣1，此时a n﹣a1=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）=b n﹣1+b n﹣2+…+b1≥，即，解得n≤65．另一方面，取b i=i﹣1（1≤i≤64），可得对任意的2≤k≤64，b k＞b k﹣1，故数列{a n}为“U﹣数列”，进而得出．（3）M的最小值为，分析如下：当n0=2m（m≥2，m∈N*）时，一方面：由（*）式，b k+1﹣b k≥1，b m+k﹣b k=（b m+k﹣b m+k﹣1）+（b m+k﹣1﹣b m+k﹣2）+…+（b k+1﹣b k）≥m．此时有：a1+a2m﹣（a m+a m+1）≥m（m﹣1），即（a1+a2m）≥（a m+a m+1）+m（m﹣1）可得M≥．又，可得，另一方面，当b1=1﹣m，b2=2﹣m，…，b m﹣1=﹣1，b m=0，b m+1=1，b2m﹣1=m﹣1时，a k+1+a k﹣1﹣2a k=（a k+1﹣a k）﹣（a k﹣a k﹣1）=b k﹣b k﹣1=1＞0，取a m=1，则a m+1=1，a1＞a2＞a3＞…＞a m，a m+1＜a m+2＜…＜a2m，且a1=a m﹣（b1+b2+…+b m﹣1）=m（m﹣1）+1．此时．即可得出．【解答】解：（1）x=1时，＞＞，所以y=2或3；x=2时，＞＞，所以y=4；x≥3时，＞＞，无整数解；所以所有可能的x，y为，或．（2）n的最大值为65，理由如下：一方面，注意到：a k+1+a k﹣1＞2a k⇔a k+1﹣a k＞a k﹣a k﹣1．对任意的1≤i≤n﹣1，令b i=a i+1﹣a i，则b i∈Z且b k＞b k﹣1（2≤k≤n﹣1），故b k≥b k﹣1+1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立．（*）当a1=1，a n=2017时，注意到b1=a2﹣a1≥1﹣1=0，得︸个（2≤i≤n﹣1）即b i≥i﹣1，此时a n﹣a1=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）=b n﹣1+b n﹣2+…+b1≥0+1+2+…+（n﹣2）=，（**）即，解得：﹣62≤n≤65，故n≤65．另一方面，为使（**）取到等号，所以取b i=i﹣1（1≤i≤64），则对任意的2≤k≤64，b k＞b k﹣1，故数列{a n}为“U﹣数列”，此时由（**）式得，所以a65=2017，即n=65符合题意．综上，n的最大值为65．（3）M的最小值为，证明如下：当n0=2m（m≥2，m∈N*）时，一方面：由（*）式，b k+1﹣b k≥1，b m+k﹣b k=（b m+k﹣b m+k﹣1）+（b m+k﹣1﹣b m+k﹣2）+…+（b k+1﹣b k）≥m．此时有：（a1+a2m）﹣（a m+a m+1）=（a2m﹣a m+1）﹣（a m﹣a1）=（b m+1+b m+2+…+b2m﹣1）﹣（b1+b2+…+b m﹣1）=（b m+1﹣b1）+（b m+2﹣b2）+…+（b2m+1﹣b m﹣1）≥m+m+…+m=m（m﹣1）．即（a1+a2m）≥（a m+a m+1）+m（m﹣1）故，因为，所以，另一方面，当b1=1﹣m，b2=2﹣m，…，b m﹣1=﹣1，b m=0，b m+1=1，b2m﹣1=m﹣1时，a k+1+a k﹣1﹣2a k=（a k+1﹣a k）﹣（a k﹣a k﹣1）=b k﹣b k﹣1=1＞0，取a m=1，则a m+1=1，a1＞a2＞a3＞…＞a m，a m+1＜a m+2＜…＜a2m，，此时．综上，M的最小值为．【点评】本题考查了新定义、等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题2018年松江区高三一模试题分析一、填空题1.计算：∞= ．【考点】极限及其运算．【分析】∞=∞，当n→∞，→0，即可求得∞=．【解答】解：∞=∞=，故答案为：【点评】本题考查极限的运算，考查计算转化思想，属于基础题．2.已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∩B= {x|2≤x＜3} ．【考点】交集及其运算.【分析】根据题意，B为一元二次不等式的解集，解不等式可得集合B；又由交集的性质，计算可得答案．【解答】解：由已知得：B={x|x≤﹣2或x≥2}，∵A={ x|0＜x＜3}，∴A∩B={x|0＜x＜3}∩{ x|x≤﹣2或x≥2}={x|2≤x＜3}为所求．故答案为：{x|2≤x＜3}．【点评】本题考查交集的运算，解题的关键在于认清集合的意义，正确求解不等式．3.已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1+a9=18，a4=7，则S10= 100 ．【考点】等差数列的前n项和.【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a9=18，a4=7，∴，解得d=2，a1=1．则S10=10+=100．故答案为：100．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.已知函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，则实数a= 3 ．【考点】反函数.【分析】直接利用反函数值域和定义域的关系求出结果．【解答】解：函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，解得：a=3．故答案为：3．【点评】本题考查的知识要点：反函数的应用．5.已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，，则cos2α等于﹣．【考点】二倍角的三角函数.【分析】由角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，，可得：r=1，cosα=，从而可求cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣．【解答】解：∵角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，，∴可得：r=1，cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考察了三角函数的定义，二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查．6.如图是一个算法的程序框图，当输入的值x为8时，则其输出的结果是 2 ．【考点】循环结构.【分析】x=8＞0，不满足条件x≤0，则执行循环体，依此类推，当x=﹣1＜0，满足条件，退出循环体，从而求出最后的y值即可．【解答】解：x=8＞0，执行循环体，x=x﹣3=5﹣3=2＞0，继续执行循环体，x=x﹣3=2﹣3=﹣1＜0，满足条件，退出循环体，故输出y=0.5﹣1=2．故答案为：2【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．7.函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象在区间[0，2π]上交点的个数是 4 ．【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象.【分析】直接利用三角方程求出结果．【解答】解：由于函数y=sin2x与y=cosx有交点，则：sin2x=cosx，整理得：sinx=或cosx=0所以：在[0，2π]范围内，x=π，π，π，π，故答案为：4．【点评】本题考查的知识要点：正弦函数的图象和余弦图象的应用．8.设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a= 0 ．【考点】直线与圆的位置关系.【分析】由弦长公式可得圆心到直线的距离为，再由点到直线的距离公式可得=1，由此求得a的值．【解答】解：由于圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的圆心C（1，2），半径等于2，且圆截直线所得的弦AB的长为2ax﹣y+3=0的距离为，即=1，解得a=0，故答案为 0．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，弦长公式、点到直线的距离公式的应用，属于中档题． 9.在△ABC 中，∠A=90°，△ABC 的面积为1，若=，=4，则的最小值为．【考点】平面向量数量积的性质及其运算.【分析】通过建系设出B ，C 坐标，化简的表达式，利用三角形面积求解表达式的最小值． 【解答】解：如图，建立直角坐标系，设B （10x ，0），C （0，10y ），若 = ， =4， 则M （5x ，5y ），N （2x ，8y ），由题意△ABC 的面积为1，可得50xy=1，=10x 2+40y 2≥2 xy=，当且仅当x=2y=时取等号．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力．10.已知函数f （x ）=x|2x ﹣a|﹣1有三个零点，则实数a 的取值范围为 （2 ，+∞） ． 【考点】函数的零点与方程根的关系；研究曲线上某点切线方程. 【分析】转化方程的根为两个函数的图象的交点，利用数形结合． 【解答】分类讨论，设()|2|g x x x a =-，可以看作()g x 与1y =有三个交点，当0a <，()g x 图像如图所示，易知与1y =只有1个交点，不符；当0a>，()g x 图像如图所示，要与1y =有3个交点，需满足()14af >，即a >解法二：根据题意，可以看作()|2|g x x a =-与1()h x x=有三个交点，结合图像可知，当2ax >时，()g x 与()h x恒有一个交点，∴当2ax <时，()g x 与()h x 有两个不同交点，即12a xx-=在(0,)x∈+∞有两个解，2210x ax-+=，280a∆=->，且0a>，∴a>【点评】本题考查函数的零点的判断，考查数形结合的应用，是中档题．11.定义，＞，已知函数f（x）、g（x）的定义域都是R，则下列四个命题中为真命题的是②③④（写出所有真命题的序号）①若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x））为奇函数；②若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x））为偶函数；③若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x））为增函数；④若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x））为减函数．【考点】函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断.【分析】由已知中：，＞，结合具有奇偶性及单调性的图象特征，可得答案．【解答】解：，＞，若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x））不一定是奇函数，如y=x与y=x3，故①是假命题；若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x））为偶函数，故②是真命题；若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x））为增函数，故③是真命题；若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x））为减函数，故④是真命题．故答案为：②③④．【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数单调性的判断与证明，难度中档．12.已知数列{a n}的通项公式为a n=2q n+q（q＜0，n∈N*），若对任意m，n∈N*都有，，则实数q的取值范围为（﹣，0）.【考点】数列递推式.【分析】由a n=2q n+q，a1=3q＜0，由，，则a n＜0，由指数函数的单调性知，{a n}的最大值为a2=2q2+q，最小值为a1=3q，由题意，的最大值及最小值分别为和，即可求q的取值范围．【解答】解：由a n=2q n+q（q＜0，n∈N*），因为a1=3q＜0，且对任意n∈N*，∈（，6）故a n＜0，特别地2q2+q＜0，于是q∈（﹣，0），此时对任意n∈N*，a n≠0．当﹣＜q＜0时，a2n=2|q|2n+q＞q，a2n﹣1=﹣2|q|2n﹣1+q＜q，由指数函数的单调性知，{a n}的最大值为a2=2q2+q，最小值为a1=3q，由题意，的最小值及最大值分别为=和=．由＞及＜6，解得﹣＜q＜0．综上所述，q的取值范围为（﹣，0），故答案为：（﹣，0）．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，数列与函数关系，考查计算能力、转化思想，属于中档题．二、选择题13.若2﹣i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根（其中i为虚数单位，p，q∈R），则q的值为( )A.﹣5B.5C.﹣3D.3【考点】复数的运算.【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数的关系求解．【解答】解：∵2﹣i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根，∴2+i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的另一个根，则q=（2﹣i）（2+i）=|2﹣i|2=5．故选：B．【点评】本题考查实系数一元二次方程的虚根成对原理，考查复数模的求法，是基础题．14.已知f（x）是R上的偶函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）﹣f（x2）=0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件.【分析】“x1+x2=0”⇒“f(x1)﹣f(x2)=0”，“f(x1)﹣f(x2)=0”⇒“x1+x2=0”或“x1=x2”，由此能求出结果．【解答】解：∵f(x)是R上的偶函数，∴“x1+x2=0”⇒“f(x1)﹣f(x2)=0”，“f(x1)﹣f(x2)=0”⇒“x1+x2=0”或“x1=x2”或者其他情况，∴“x1+x2=0”是“f(x1)﹣f(x2)=0”的充分而不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查函数的奇偶性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．15.若存在x∈[0，+∞）使＜成立，则实数m的取值范围是( )A.(﹣∞，1）B.(﹣1，+∞）C.(﹣∞，﹣1]D.[1，+∞）【考点】存在量词和特称命题.【分析】推导出2x•m＞2x•x﹣1，从而m＞x﹣，再由x∈[0，+∞），能求出实数m的取值范围．【解答】解：存在x∈[0，+∞）使＜成立，∴2x•x﹣2x•m＜1，∴2x•m＞2x•x﹣1，∴m＞x﹣，∵x∈[0，+∞），∴2x≥1，∴m＞x﹣≥﹣1．∴实数m的取值范围是（﹣1，+∞）．故选：B．【点评】本题考查实数值的取值范围的求法，考查二阶行列式、不等式、指数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．16.已知曲线C1：|y|﹣x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是( )A ．（﹣∞，﹣1]∪[0，1）B ．（﹣1，1]C ．[﹣1，1）D ．[﹣1，0]∪（1，+∞） 【考点】双曲线的性质.【分析】利用绝对值的几何意义，由x=|y|﹣2可得，y ≥0时，x=y ﹣2；y ＜0时，x=﹣y ﹣2，函数x=|y|﹣2的图象与方程y 2+λx 2=4的曲线必相交于（0，±2），为了使曲线C 1：|y|﹣x=2与曲线C 2：λx 2+y 2=4恰好有两个不同的公共点，则两曲线无其它交点．x=y ﹣2代入方程y 2+λx 2=4，整理可得（1+λ）y 2﹣4λy+4λ﹣4=0，分类讨论，可得结论，根据对称性，同理可得y ＜0时的情形． 【解答】解：由x=|y|﹣2可得，y ≥0时，x=y ﹣2；y ＜0时，x=﹣y ﹣2， ∴函数x=|y|﹣2的图象与方程y 2+λx 2=4的曲线必相交于（0，±2）， 所以为了使曲线C 1：|y|﹣x=2与曲线C 2：λx 2+y 2=4恰好有两个不同的公共点， 则将x=y ﹣2代入方程y 2+λx 2=4，整理可得（1+λ）y 2﹣4λy+4λ﹣4=0，当λ=﹣1时，y=2满足题意，∵曲线C 1：|y|﹣x=2与曲线C 2：λx 2+y 2=4恰好有两个不同的公共点， ∴△＞0，2是方程的根，∴λ λ＜0，即﹣1＜λ＜1时，方程两根异号，满足题意；综上知，实数λ的取值范围是[﹣1，1）．故选：C ．【点评】本题考查曲线的交点，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题． 三、解答题17.在△ABC 中，AB=6，AC=3 ，=﹣18． （1）求BC 边的长；（2）求△ABC 的面积． 【考点】三角形中的几何计算.【分析】（1）直接利用向量的数量积和余弦定理求出BC 的长． （2）进一步利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．【解答】解：（1）=﹣18，由于：AB=6，AC=3 ， 所以：BC 2=AB 2+AC 2﹣2AB •ACcosA ，解得：BC=3 （2）在△ABC 中，BA=6，AC=3 ，BC=3 ，则：cosA==﹣，所以：sinA=，则：11sin 6922ABCSAB AC A ∆=⋅⋅=⋅⋅【点评】本题考查的知识要点:向量的数量积的应用，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用． 18.已知函数（x ≠0，常数a ∈R ）．（1）讨论函数f （x ）的奇偶性，并说明理由；（2）当a ＞0时，研究函数f （x ）在x ∈（0，+∞）内的单调性． 【考点】函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断.【分析】（1）根据函数奇偶性定义，可得当a=0时，函数f （x ）为偶函数；当a ≠0时，函数f （x ）为非奇非偶函数；（2）当a ＞0时，f （x ）在（0，a ）上为减函数，在（a ，+∞）上为增函数； 【解答】解：（1）当a=0时，函数f （x ）=1（x ≠0）,满足f （﹣x ）=f （x ）， 此时f （x ）为偶函数；当a ≠0时，函数f （a ）=0，f （﹣a ）=2，不满足f （﹣x ）=f （x ），也不满足f （﹣x ）=﹣f （x ），此时f （x ）为非奇非偶函数；（2）当a ＞0时，若x ∈（0，a ），则＞ ，为减函数；若x ∈[a ，+∞]，则＜ ，为增函数；故f （x ）在（0，a ）上为减函数，在[a ，+∞）上为增函数；【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档． 19.松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足2≤t ≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t 相关，当10≤t ≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t ＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t ）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p （t ）． （1）求p （t ）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量； （2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？【考点】根据实际问题选择函数类型.【分析】（1）由题意知，p （t ）= ， ＜ ， （k 为常数），结合p （2）=272求得k=2，则p （t ）的表达式可求，进一步求得p （6）；（2）写出分段函数Q=， ＜，，利用基本不等式及函数的单调性分段求出最大值，取两者中的最大者得答案．【解答】解：（1）由题意知，p （t ）= ， ＜ ， （k 为常数），∵p(2)=400﹣k(10﹣2)2=272，∴k=2．∴24002(10)210()4001020t t p t t ⎧--≤<=⎨≤≤⎩． ∴p(6)=400﹣2(10﹣6)2=368(人)；（2）由，可得Q=， ＜，，当2≤t ＜10时，Q=180﹣（12t+），当且仅当t=5时等号成立；当10≤t ≤20时，Q=﹣60+≤﹣60+90=30，当t=10时等号成立．∴当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为60元．【点评】本题考查函数模型的性质及应用，考查简单的数学建模思想方法，是中档题．20.已知椭圆E：=1（a＞b＞0）经过点，，其左焦点为，，过F点的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴的正半轴于点M．（1）求椭圆E的方程；（2）过点F且与l垂直的直线交椭圆于C、D两点，若四边形ACBD的面积为，求直线l的方程；（3）设，，求证：λ1+λ2为定值．【考点】椭圆的性质.【分析】（1）由c=，由a2=b2+c2=b2+3，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得|AB|及|CD|，则四边形ACBD的面积S=×|AB||CD|=，即可求得k的值，求得直线l的方程；（3）由向量的坐标运算，表示出λ1和λ2，有（2）即可求得λ1+λ2为定值．【解答】解：（1）由题意可得：c=，则a2=b2+c2=b2+3，将，代入椭圆方程：，解得：b2=1，a2=4，∴椭圆的E的方程：；（2）设直线l：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），则D（x1，﹣y1），联立，整理得：（1+4k2）x2+8k2x+12k2﹣4=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，|AB|==，由直线CD的斜率为﹣，将k转化成﹣，同理|CD|=，∴四边形ACBD的面积S=×|AB||CD|==，∴2k4﹣5k2+2=0，解得：k2=2，k2=，∴k=±或k=±，由k＞0，∴k=或k=，∴直线AB的方程为x﹣y+=0或x﹣y+=0；（3）λ，λ，得x1=λ1（﹣﹣x1），x2=λ2（﹣﹣x2），∴λ1=，λ2=，λ1+λ2=﹣（+）=﹣=﹣8，λ1+λ2为定值，定值为﹣8．。
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嘉定一中2018～2018学年度高三年级数学综合测试卷期末模拟试卷（测试范围：高考数学考纲范围内 高考综合试卷）（20___年__月___日）考生注意：1. 答卷前，考生务必将姓名（班级、学号等），（高考）准考证号、校验码等填写清楚。
2. 本试卷共有22道试题，满分150分，考试时间120分钟。
请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
一．填空题（本大题满分48分）本大题共有12小题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1． 函数)23(log 21-=x y 的定义域是2． 抛物线x y 22=与过焦点的直线交于A ，B ，O 是坐标原点，则⋅= 3． 已知数列{}n a 满足*)(1,2,1221N n a a a a nn ∈-=-==+，则该数列前26项的和为 4． 如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面AA 1B 1B 是边长为5的正方形，AB ⊥BC ，AC 与BC 1成60°角，则AC 长为5． 以椭圆141622=+y x 内的点M （1，1）为中点的弦所在直线方程为6． 函数)(x f y =的图象与y=2x 的图象关于y 轴对称，若)(1x f y -=是)(x f y =的反函数，则)2(21x x f y -=-的单调递增区间是 7． 定义运算x ※y=⎩⎨⎧>≤)()(y x y y x x ，若|m －1|※m=|m －1|，则m 的取值范围是8． 某商场开展促销抽奖活动,让参加抽奖的每位顾客从装有编号为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9的十个小球的袋子中取球,每次取一个,且取出的小球不再放回袋中.连续取5次,如果取出的5个小球中至少有4个编号为奇数(不计顺序)就可以得奖,则每位抽奖顾客中奖的概率为 (用数字作答)9． 把函数22sin 2cos )(+-=x x x f 的图象沿x 轴向左平移m 个单位（m>0），所得函数的图象关于直线π817=x 对称，则m 的最小值为10．⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→2229189lim n n n n n = 11．在函数c b a c bx ax x f ,,,)(2若中++=成等比数列，且4)0(=f ，则)(x f 有最小值，且该值为 .12．设函数()k n f =(其中*N n ∈)，k 是2的小数点后第n 位数字74142135623.12=，则}{个2005)]8([f f f f 的值为二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出得代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。
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（11套）2018年上海市含所有区高考数学一模试卷汇总2018年上海市崇明区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，5}，B={2，a}，若A∪B={1，2，3，5}，则a=．2．（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为．3．（4分）不等式＜0的解是．4．（4分）若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z=．5．（4分）在代数式（x﹣）7的展开式中，一次项的系数是．（用数字作答）6．（4分）若函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=．7．（5分）若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则a=．8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm3，则该几何体的侧面积为cm2．9．（5分）已知函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，且f（2）=2，则a=．10．（5分）若无穷等比数列{a n}的各项和为S n，首项a1=1，公比为a﹣，且=a，则a=．S11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有种不同的选法．（用数字作答）12．（5分）在ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于点D，E．若•=6，||=2，则AC=．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13．（5分）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A．B．C．D．14．（5分）设a，b∈R，若a＞b，则（）A．＜B．lga＞lgb C．sin a＞sin b D．2a＞2b15．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，若=a+b（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≥1 B．|ab|≥1 C．|a+b|≥1 D．|a﹣b|≥2三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60°，（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1D1所成角的大小．18．（14分）已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（1）求f（x）的最大值及该函数取得最大值时x的值；（2）在△ABC 中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a=，b=，且f（）=，求边c的值．19．（14分）2016 年崇明区政府投资8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第n （n∈N*）年的累计利润（注：含第n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利．（1）试求 f （n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；（3）若a=2，且k OA•k OB=﹣，求证：△OAB的面积为定值．21．（18分）若存在常数k（k＞0），使得对定义域D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，则称函数f（x）在其定义域D上是“k﹣利普希兹条件函数”．（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；（2）判断函数f（x）=log2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y=f（x）（x∈R ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1．2018年上海市崇明区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，5}，B={2，a}，若A∪B={1，2，3，5}，则a=3．【解答】解：∵集合A={1，2，5}，B={2，a}，A∪B={1，2，3，5}，∴a=3．故答案为：3．2．（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）．【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2∴焦点坐标为：（1，0）故答案为：（1，0）3．（4分）不等式＜0的解是（﹣1，0）．【解答】解：不等式＜0，即x（x+1）＜0，求得﹣1＜x＜0，故答案为：（﹣1，0）．4．（4分）若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z=1﹣i．【解答】解：由iz=1+i，得z==1﹣i故答案为：1﹣i．5．（4分）在代数式（x﹣）7的展开式中，一次项的系数是21．（用数字作答）【解答】解：（x﹣）7的展开式的通项为=，由7﹣3r=1，得r=2，∴一次项的系数是．故答案为：21．6．（4分）若函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=2．【解答】解：根据正弦函数的图象与性质，知函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是T==π，解得ω=2．故答案为：2．7．（5分）若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则a=．【解答】解：若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则：（，）满足f（x）=xα，所以：，解得：，故答案为：．8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm3，则该几何体的侧面积为18πcm2．【解答】解：将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体是圆柱体，设正方形的边长为acm，则圆柱体的体积为V=πa2•a=27π，解得a=3cm；∴该圆柱的侧面积为S=2π×3×3=18πcm2．故答案为：18π．9．（5分）已知函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，且f（2）=2，则a=﹣．【解答】解：∵函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，∴x＞0时，﹣f（x）=2﹣x﹣a（﹣x），∴f（x）=﹣2﹣x﹣ax，∵f（2）=2，∴f（2）=﹣2﹣2﹣2a=2，解得a=﹣．故答案为：﹣．10．（5分）若无穷等比数列{a n}的各项和为S n，首项a1=1，公比为a﹣，且=a，则a=2．S【解答】解：无穷等比数列{a n}的各项和为S n，首项a1=1，公比为a﹣，=a，且S可得=a，即有=a，即为2a2﹣5a+2=0，解得a=2或，由题意可得0＜|q|＜1，即有0＜|a﹣|＜1，检验a=2成立；a=不成立．故答案为：2．11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有780种不同的选法．（用数字作答）【解答】解：根据题意，要求服务队中至少有 1 名女生，则分3种情况讨论：①、选出志愿者服务队的4人中有1名女生，有C53C31=30种选法，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有30×12=360种不同的选法，②、选出志愿者服务队的4人中有2名女生，有C52C32=30种选法，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有30×12=360种不同的选法，③、选出志愿者服务队的4人中有3名女生，有C51C33=5种选法，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有5×12=60种不同的选法，则一共有360+360+60=780；故答案为：780．12．（5分）在ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于点D，E．若•=6，||=2，则AC=4．【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，设B（﹣a，0），C（a，0），E（0，b），∠ABC=α，由||=2，知A（﹣a+2cosα，2sinα），∴=（a﹣2cosα，b﹣2sinα），=（2a，0），∴•=2a（a﹣2cosα）+0=2a2﹣4acosα=6，∴a2﹣2acosα=3；又=（2a﹣2cosα，﹣2sinα），∴=（2a﹣2cosα）2+（﹣2sinα）2=4a2﹣8acosα+4=4（a2﹣2acosα）+4=4×3+4=16，∴||=4，即AC=4．故答案为：4．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13．（5分）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A．B．C．D．【解答】解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，由题意得，=ad﹣bc．故选B．14．（5分）设a，b∈R，若a＞b，则（）A．＜B．lga＞lgb C．sin a＞sin b D．2a＞2b【解答】解：由a＞b，利用指数函数的单调性可得：2a＞2b．再利用不等式的性质、对数函数的定义域与单调性、三角函数的单调性即可判断出A，B，C不正确．故选：D．15．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵S4+S6＞2S5，∴4a1+6d+6a1+15d＞2（5a1+10d），∴21d＞20d，∴d＞0，故“d＞0”是“S4+S6＞2S5”充分必要条件，故选：C16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，若=a+b（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≥1 B．|ab|≥1 C．|a+b|≥1 D．|a﹣b|≥2【解答】解：双曲线﹣y2=1的渐近线为：y=±x．把x=2代入上述方程可得：y=±1．不妨取A（2，1），B（2，﹣1）．=a+b=（2a+2b，a﹣b）．代入双曲线方程可得：﹣（a﹣b）2=1，化为ab=．∴=ab，化为：|a+b|≥1．故选：C．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60°，（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1D1所成角的大小．【解答】解：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，∴AA1⊥平面ABCD，AC==2，∴∠A1CA是A1C与底面ABCD所成的角，∵A1C与底面ABCD所成的角为60°，∴∠A1CA=60°，∴AA1=AC•tan60°=2•=2，=AB×BC=2×2=4，∵S正方形ABCD∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：V===．（2）∵BD∥B1D1，∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成角（或所成角的补角）．∵BD=，A1D=A1B==2，∴cos∠A1BD===．∴∠A1BD=arccos．∴异面直线A1B与B1D1所成角是arccos．18．（14分）已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（1）求f（x）的最大值及该函数取得最大值时x的值；（2）在△ABC 中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a=，b=，且f（）=，求边c的值．【解答】解：f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）（1）当2x+=时，即x=（k∈Z），f（x）取得最大值为2；（2）由f（）=，即2sin（A+）=可得sin（A+）=∵0＜A＜π∴＜A＜∴A=或∴A=或当A=时，cosA==∵a=，b=，解得：c=4当A=时，cosA==0∵a=，b=，解得：c=2．19．（14分）2016 年崇明区政府投资8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第n （n∈N*）年的累计利润（注：含第n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利．（1）试求 f （n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．【解答】解：（1）由题意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累计投入为8+2（n﹣1）=2n+6（千万元），第1年至此后第n（n∈N*）年的累计净收入为+×+×+…+×=（千万元）．∴f（n）=﹣（2n+6）=﹣2n﹣7（千万元）．（2）方法一：∵f（n+1）﹣f（n）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣4]，∴当n≤3时，f（n+1）﹣f（n）＜0，故当n≤4时，f（n）递减；当n≥4时，f（n+1）﹣f（n）＞0，故当n≥4时，f（n）递增．又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利；方法二：设f（x）=﹣2x﹣7（x≥1），则f′（x）=，令f'（x）=0，得=≈=5，∴x≈4．从而当x∈[1，4）时，f'（x）＜0，f（x）递减；当x∈（4，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增．又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利．20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；（3）若a=2，且k OA•k OB=﹣，求证：△OAB的面积为定值．【解答】解：（1）∵M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，∴△MF1F2为等腰直角三角形，∴OF1=OM，当a＞1时，=1，解得a=，当0＜a＜1时，=a，解得a=，（2）当k=1时，y=x+m，设A（x1，y1），（x2，y2），由，即（1+a2）x2+2a2mx+a2m2﹣a2=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2=，∵△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，∴•=0，∴x1x2+y1y2=0，∴+=0，∴a2m2﹣a2+m2﹣a2=0∴m2（a2+1）=2a2，（3）证明：当a=2时，x2+4y2=4，设A（x1，y1），（x2，y2），∵k OA•k OB=﹣，∴•=﹣，∴x1x2=﹣4y1y2，由，整理得，（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．∴x1+x2=，x1x2=，∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=++m2=，∴=﹣4×，∴2m2﹣4k2=1，∴|AB|=•=•=2•=∵O到直线y=kx+m的距离d==，=|AB|d==•==1∴S△OAB21．（18分）若存在常数k（k＞0），使得对定义域D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，则称函数f（x）在其定义域D上是“k﹣利普希兹条件函数”．（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；（2）判断函数f（x）=log2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y=f（x）（x∈R ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1．【解答】解：（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，则对于定义域[1，4]上任意两个x1，x2（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，不妨设x1＞x2，则k≥=恒成立．∵1≤x2＜x1≤4，∴＜＜，∴k的最小值为．（2）f（x）=log2x的定义域为（0，+∞），令x1=，x2=，则f（）﹣f（）=log2﹣log2=﹣1﹣（﹣2）=1，而2|x1﹣x2|=，∴f（x1）﹣f（x2）＞2|x1﹣x2|，∴函数f（x）=log2x 不是“2﹣利普希兹条件函数”．证明：（3）设f（x）的最大值为M，最小值为m，在一个周期[0，2]内f（a）=M，f（b）=m，则|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b）≤|a﹣b|．若|a﹣b|≤1，显然有|f（x1）﹣f（x2）|≤|a﹣b|≤1．若|a﹣b|＞1，不妨设a＞b，则0＜b+2﹣a＜1，∴|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b+2）≤|a﹣b﹣2|＜1．综上，|f（x1）﹣f（x2）|≤1．2018年上海市虹口区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）函数f（x）=lg（2﹣x）定义域为．2．（4分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣1）+f（0）+f（1）=．3．（4分）首项和公比均为的等比数列{a n}，S n是它的前n项和，则=．4．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC=．5．（4分）已知复数z=a+bi（a，b∈R）满足|z|=1，则a•b的范围是．6．（4分）某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是．7．（5分）已知M、N是三棱锥P﹣ABC的棱AB、PC的中点，记三棱锥P﹣ABC 的体积为V1，三棱锥N﹣MBC的体积为V2，则等于．8．（5分）在平面直角坐标系中，双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为．9．（5分）已知y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC，则△ABC的面积等于．10．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于M、N两点，若△MNF 2的内切圆的面积为π，则=．11．（5分）在△ABC中，D是BC的中点，点列P n（n∈N*）在线段AC上，且满足，若a1=1，则数列{a n}的通项公式a n=．12．（5分）设f（x）=x2+2a•x+b•2x，其中a，b∈N，x∈R，如果函数y=f（x）与函数y=f（f（x））都有零点且它们的零点完全相同，则（a，b）为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）异面直线a和b所成的角为θ，则θ的范围是（）A．B．（0，π） C．D．（0，π]14．（5分）命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为（）A．若x≠1，则x≠1或x≠﹣1 B．若x=1，则x=1或x=﹣1C．若x≠1，则x≠1且x≠﹣1 D．若x=1，则x=1且x=﹣115．（5分）已知函数，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=（）A．2017 B．1513 C．D．16．（5分）已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=6，在三角形所在的平面内有两个动点M和N，满足，，则的取值范围是（）A．B．[4，6]C．D．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点．（1）求证：PM⊥平面ABC；（2）求直线PB和平面ABC所成的角的大小．18．（14分）已知函数，其中x∈R，ω＞0，且此函数的最小正周期等于π．（1）求ω的值，并写出此函数的单调递增区间；（2）求此函数在的最大值和最小值．19．（14分）如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km，宽为1km的矩形，矩形两边AB、AD紧靠两条互相垂直的路上，现要过点C修一条直线的路l，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P和Q．（1）设AQ=x（km），将△APQ的面积S表示为x的函数；（2）求△APQ的面积S（km）的最小值．20．（16分）已知平面内的定点F到定直线l的距离等于p（p＞0），动圆M过点F且与直线l相切，记圆心M的轨迹为曲线C，在曲线C上任取一点A，过A 作l的垂线，垂足为E．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）记点A到直线l的距离为d，且，求∠EAF的取值范围；（3）判断∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，a1=4．（1）如果a2=2，且对于一切正整数n，均有，求S n；（2）如果对于一切正整数n，均有a n•a n+1=S n，求S n；（3）如果对于一切正整数n，均有a n+a n=3S n，证明：a3n﹣1能被8整除．+12018年上海市虹口区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）函数f（x）=lg（2﹣x）定义域为（﹣∞，2）．【解答】解：要使函数有意义，可得2﹣x＞0，即x＜2．函数f（x）=lg（2﹣x）定义域为：（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．2．（4分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣1）+f（0）+f（1）=0．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1），f（0）=0，即f（﹣1）+f（0）+f（1）=0，故答案为：0．3．（4分）首项和公比均为的等比数列{a n}，S n是它的前n项和，则= 1．【解答】解：根据题意，等比数列{a n}的首项和公比均为，则其前n项和S n==1﹣（）n，则=1；故答案为：1．4．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC=﹣．【解答】解：因为a：b：c=2：3：4，所以设a=2k，b=3k，c=4k，则根据余弦定理得：cosC===﹣．故答案为：﹣5．（4分）已知复数z=a+bi（a，b∈R）满足|z|=1，则a•b的范围是[，] ．【解答】解：∵z=a+bi（a，b∈R），且|z|=1，∴，即a2+b2=1，令a=cosθ，b=sinθ，则ab=cosθ•sinθ=，∴ab∈[，]．故答案为：．6．（4分）某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是18．【解答】解：根据题意，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，分2种情况讨论：①、从物理、化学、生物这三门中选1门，政治、历史、地理这三门选2门，有C31C32=9种选法，②、从物理、化学、生物这三门中选2门，政治、历史、地理这三门选1门，有C31C32=9种选法，则一共有9+9=18种选法；故答案为：187．（5分）已知M、N是三棱锥P﹣ABC的棱AB、PC的中点，记三棱锥P﹣ABC的体积为V1，三棱锥N﹣MBC的体积为V2，则等于．【解答】解：如图，设三棱锥P﹣ABC的底面积为S，高为h，∵M是AB的中点，∴，∵N是PC的中点，∴三棱锥N﹣MBC的高为，则，，∴=．故答案为：．8．（5分）在平面直角坐标系中，双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为．【解答】解：根据题意，抛物线y2=12x的焦点为（3，0），若双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合，则双曲线的顶点坐标为（±3，0），则有a2=9，则双曲线的方程为：﹣y2=1，双曲线的焦点在x轴上，则其渐近线方程为故答案为：9．（5分）已知y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC，则△ABC的面积等于．【解答】解：由题意正余弦函数的图象可得：y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC是等腰三角形，∵底边长为一个周期T=2π，高为，∴△ABC的面积=2=，故答案为：．10．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于M、N两点，若△MNF 2的内切圆的面积为π，则=4．【解答】解：∵椭圆+的左右焦点分别为F1，F2，a=2，过焦点F1的直线交椭圆于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，△MNF2的内切圆的面积为π，∴△MNF2内切圆半径r=1．∴△MNF2面积S=×1×（MN+MF2+MF2）=2a=4，故答案为：411．（5分）在△ABC中，D是BC的中点，点列P n（n∈N*）在线段AC上，且满足，若a1=1，则数列{a n}的通项公式a n=．【解答】解：如图所示，∵D是BC的中点，∴=+=+，又=+，，∴+=+a n（+），）+，化为：=（1﹣a n﹣a n+1∵点列P n（n∈N*）在线段AC上，+=1，∴1﹣a n﹣a n+1化为：a n=﹣，又a1=1，+1则数列{a n}是等比数列，首项为1，公比为﹣．∴a n=．故答案为：．12．（5分）设f（x）=x2+2a•x+b•2x，其中a，b∈N，x∈R，如果函数y=f（x）与函数y=f（f（x））都有零点且它们的零点完全相同，则（a，b）为（0，0）或（1，0）．【解答】解：根据题意，函数y=f（x）的零点为方程x2+2a•x+b•2x=0的根，如果函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的零点完全相同，则有f（x）=x，即x2+2a•x+b•2x=x，方程x2+2a•x+b•2x=x的根就是函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的零点，则有，解可得x=0，即x2+2a•x+b•2x=0的1个根为x=0，分析可得b=0，则f（x）=x2+2a•x，解可得x1=0或x2=﹣2a，f（f（x））=（x2+2a•x）2+2a（x2+2a•x），若函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的零点完全相同，分析可得a=0或a=1，则（a，b）为（0，0）或（1，0）；故答案为（0，0）或（1，0）．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）异面直线a和b所成的角为θ，则θ的范围是（）A．B．（0，π） C．D．（0，π]【解答】解：∵异面直线a和b所成的角为θ，∴θ的范围是（0，]．故选：C．14．（5分）命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为（）A．若x≠1，则x≠1或x≠﹣1 B．若x=1，则x=1或x=﹣1C．若x≠1，则x≠1且x≠﹣1 D．若x=1，则x=1且x=﹣1【解答】解：命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2≠1”；即“若x≠1，则x≠1且x≠﹣1”．故选：C．15．（5分）已知函数，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=（）A．2017 B．1513 C．D．【解答】解：∵函数，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=1009×f（﹣1）+1008×f（0）=1009×2﹣1+1008×20=．故选：D．16．（5分）已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=6，在三角形所在的平面内有两个动点M和N，满足，，则的取值范围是（）A．B．[4，6]C．D．【解答】解：以AB，AC为坐标轴建立坐标系，则B（4，0），C（0，6），∵||=2，∴M的轨迹是以A为圆心，以2为半径的圆．∵，∴N是MC的中点．设M（2cosα，2sinα），则N（cosα，sinα+3），∴=（cosα﹣4，sinα+3），∴||2=（cosα﹣4）2+（sinα+3）2=6sinα﹣8cosα+26=10sin（α﹣φ）+26，∴当sin（α﹣φ）=﹣1时，||取得最小值=4，当sin（α﹣φ）=1时，||取得最大值=6．故选B．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点．（1）求证：PM⊥平面ABC；（2）求直线PB和平面ABC所成的角的大小．【解答】证明：（1）在三棱锥P﹣ABC中，∵PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点．∴PM⊥AC，AB⊥平面PAC，∴PM⊥AB，∵AB∩AC=A，∴PM⊥平面ABC．解：（2）连结BM，∵PM⊥平面ABC，∴∠PBM是直线PB和平面ABC所成的角，∵PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点，∴PM==，BM===，∴tan∠PBM===，∴．∴直线PB和平面ABC所成的角为arctan．18．（14分）已知函数，其中x∈R，ω＞0，且此函数的最小正周期等于π．（1）求ω的值，并写出此函数的单调递增区间；（2）求此函数在的最大值和最小值．【解答】解：函数=sinωx+cosωx=2sin （ωx），（1）∵函数的最小正周期等于π．即∴ω=2．可得f（x）=2sin（2x），由2x，k∈Z得：≤x≤故得函数的单调递增区间为[，]，k∈Z（2）∵f（x）=2sin（2x），当，（2x）∈[]∴当2x=时，函数f（x）取得最大值为2．当2x=时，函数f（x）取得最小值为﹣1．19．（14分）如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km，宽为1km的矩形，矩形两边AB、AD紧靠两条互相垂直的路上，现要过点C修一条直线的路l，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P和Q．（1）设AQ=x（km），将△APQ的面积S表示为x的函数；（2）求△APQ的面积S（km）的最小值．【解答】解：（1）设AQ=x，则由得：即AP=故S==（x＞1）；（2）由（1）得：S′=（x＞1）；当x∈（1，2）时，S′＜0，当x∈（2，+∞）时，S′＞0，故x=2时，S min=4．20．（16分）已知平面内的定点F到定直线l的距离等于p（p＞0），动圆M过点F且与直线l相切，记圆心M的轨迹为曲线C，在曲线C上任取一点A，过A 作l的垂线，垂足为E．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）记点A到直线l的距离为d，且，求∠EAF的取值范围；（3）判断∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由．【解答】解：（1）如图，以FK的中点为坐标原点O，FK所在的直线为x轴，过O的垂线为y轴建立直角坐标系，即有F（，0），直线l：x=﹣，动圆M过点F且与直线l相切，可得|AE|=|AF|，由抛物线的定义可得曲线C的轨迹为F为焦点、直线l为准线的抛物线，可得方程为y2=2px；（2）点A到直线l的距离为d，可得|AE|=|AF|=d，且，设A（x0，y0），可得y02=2px0，即有d=x0+，则x0=d﹣，即有|EF|2=p2+y02=p2+2p（d﹣）=2pd，在△EAF中，cos∠EAF==1﹣，可得﹣≤cos∠EAF≤，可得arccos≤π﹣arccos，则∠EAF的取值范围是[arccos]；（3）∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数为1．设A（x0，y0），可得y02=2px0，当A与O重合时，显然一个交点；当A不与O重合，由∠EAF的平分线交x轴于M，连接EM，可得∠AMF=∠MAF，即有|MF|=|AF|=d，四边形AEMF为菱形，EF垂直平分AM，可得∠AMF+∠EFM=90°，tan∠AMF=cot∠EFM==，可设y0＞0，则直线AM的方程为y﹣y0=（x﹣x0），则y0y﹣y02=px﹣px0，化为y0y=px+px0，代入抛物线的方程y2=2px，消去x可得，y2﹣2y0y+2px0=0，即为（y﹣y0）2=0，可得y=y0，x=x0，即∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数为1．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，a1=4．（1）如果a2=2，且对于一切正整数n，均有，求S n；（2）如果对于一切正整数n，均有a n•a n+1=S n，求S n；（3）如果对于一切正整数n，均有a n+a n=3S n，证明：a3n﹣1能被8整除．+1【解答】解：（1）∵无穷数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，a1=4．a2=2，且对于一切正整数n，均有，∴==1，=，由此猜想=23﹣n．再利用数学归纳法证明：①当n=1时，=4，成立．②假设n=k时，成立，即，则a k+1====2（6﹣2k）﹣（4﹣k）=22﹣k=23﹣（k+1）．由①②得，∴{a n}是首项为4，公比为的等比数列，∴S n==8（1﹣）．（2）∵对于一切正整数n，均有a n•a n+1=S n，∴S n=a n a n+1，S n﹣1=a n﹣1a n，∴a n=a n（a n+1﹣a n﹣1），∴a n+1﹣a n﹣1=1．a1=4，由a n•a n+1=S n，得a2=1，a3=5，a4=3，…∴当n为偶数时，+===．当n为奇数时，S n=++==．证明：（3）∵对于一切正整数n，均有a n+a n+1=3S n，∴a n+a n+1=3S n，a n﹣1+a n=3S n﹣1，∴a n+1﹣a n﹣1=3a n，a1+a2=3a1，a2=2a1=8，能被8整除，a3﹣a1=3a2，a3=28，假设a3k﹣1=8m，m∈N*．=3a2k+1+a3k=3（3a3k+a3k﹣1）+a3k则a3k+2=10a3k+a3k﹣1=40p+24q，p，q∈N*能被8整除，综上，a3n能被8整除．﹣12018年上海市黄浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分36分.其中第1～6题每题满分36分，第7～12题每题满分36分）1．（3分）已知全集U=R，集合，则（∁U B）∩A=．2．（3分）函数的定义域是．3．（3分）若复数z满足（i为虚数单位），则z=．4．（3分）已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=．5．（3分）若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为．6．（3分）若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a=．7．（3分）已知向量=（x，y）（x，y∈R），=（1，2），若x2+y2=1，则|﹣|的最小值为．8．（3分）已知函数y=f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log2（x+1）．若函数y=g（x）是y=f（x）的反函数，则g（﹣3）=．9．（3分）已知m，n，α，β∈R，m＜n，α＜β，若α，β是函数f（x）=2（x﹣m）（x﹣n）﹣7的零点，则m，n，α，β四个数按从小到大的顺序是（用符号“＜“连接起来）．10．（3分）已知点O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P，若，则实数λ的值为．11．（3分）已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数．如，A（﹣1.1）=﹣1．若A（2x•A（x））=5，则正实数x的取值范围是．12．（3分）已知点M（m，0），m＞0和抛物线C：y2=4x．过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，若=2，且||=||，则m=．二、选择题（本大题共有4题，满分12分．）13．（3分）若x∈R，则“x＞1”是“”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．（3分）已知向量，则下列能使成立的一组向量是（）A．B．C．D．15．（3分）一个算法的程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．4 B．5 C．6 D．716．（3分）已知a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，若线段l1，l2，l3，l4的长分别为a1，a2，a3，a4，则（）A．对任意的d，均存在以l1，l2，l3为三边的三角形B．对任意的d，均不存在以为l1，l2，l3三边的三角形C．对任意的d，均存在以l2，l3，l4为三边的三角形D．对任意的d，均不存在以l2，l3，l4为三边的三角形三、解答题（本大题共有5题，满分74分．）17．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=4，BC=3，E，F分别是所在棱AB，BC的中点，点P是棱A1B1上的动点，联结EF，AC1．如图所示．（1）求异面直线EF，AC1所成角的大小（用反三角函数值表示）；（2）求以E，F，A，P为顶点的三棱锥的体积．18．（12分）如图，已知点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．（1）用α表示A，B两点的坐标；（2）M为x轴上异于O的点，若MA⊥MB，求点M横坐标的取值范围．19．（14分）已知函数g（x）=，x∈R，函数y=f（x）是函数y=g（x）的反函数．（1）求函数y=f（x）的解析式，并写出定义域D；（2）设h（x）=，若函数y=h（x）在区间（0，1）内的图象是不间断的光滑曲线，求证：函数y=h（x）在区间（﹣1，0）内必有唯一的零点（假设为t），且﹣1．20．（18分）（理科）定义：若各项为正实数的数列{a n}满足，则称数列{a n}为“算术平方根递推数列”．，x n）在二次函数f（x）=2x2+2x 已知数列{x n}满足，且，点（x n+1的图象上．（1）试判断数列{2x n+1}（n∈N*）是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；（2）记y n=lg（2x n+1）（n∈N*），求证：数列{y n}是等比数列，并求出通项公式y n；}中依据某种顺序自左至右取出其中的项，（3）从数列{y把这些项重新组成一个新数列{z n}：．若数列{z n}是首项为、公比为的无穷等比数列，且数列{z n}各项的和为，求正整数k、m的值．21．（18分）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l1和l2分别与Γ交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．（1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；（2）若直线l1和l2关于y轴对称，Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，当d12+d22为定值时，求此时直线l1和l2的斜率及该定值．（3）当ACBD为菱形，且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．2018年上海市黄浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分36分.其中第1～6题每题满分36分，第7～12题每题满分36分）1．（3分）已知全集U=R，集合，则（∁U B）∩A= {x|﹣1＜x≤} ．【解答】解：A={x|﹣1＜x＜1}，∁U B={x|x≤}，则（∁U B）∩A={x|﹣1＜x≤}，故答案为：{x|﹣1＜x≤}，2．（3分）函数的定义域是（1，+∞）．【解答】解：要使函数有意义，需满足解得x＞1故答案为：（1，+∞）3．（3分）若复数z满足（i为虚数单位），则z=1+2i．【解答】解：由，得z=1+2i．故答案为：1+2i．4．（3分）已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=﹣2．【解答】解：∵sin（α+）=cosα，sin（α+）=，∴cosα=，又α∈（﹣，0），∴sinα=﹣，∴tanα==﹣2．故答案为：﹣2．5．（3分）若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为．【解答】解：设数列中的任意一项为a，由无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和，得a=，即1﹣q=q∴q=．故答案为：．6．（3分）若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a=1．【解答】解：作函数y=sinx在区间[π，2π]上的图象如下，，结合图象可知，若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a﹣1=0，故a=1；故答案为：1．7．（3分）已知向量=（x，y）（x，y∈R），=（1，2），若x2+y2=1，则|﹣|的最小值为﹣1．【解答】解：设O（0，0），P（1，2），∴|﹣|=≥||﹣1=﹣1=﹣1，∴|﹣|的最小值为﹣18．（3分）已知函数y=f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log2（x+1）．若函数y=g（x）是y=f（x）的反函数，则g（﹣3）=﹣7．【解答】解：∵反函数与原函数具有相同的奇偶性．∴g（﹣3）=﹣g（3），∵反函数的定义域是原函数的值域，∴log2（x+1）=3，解得：x=7，即g（3）=7，故得g（﹣3）=﹣7．故答案为：﹣7．9．（3分）已知m，n，α，β∈R，m＜n，α＜β，若α，β是函数f（x）=2（x﹣m）（x﹣n）﹣7的零点，则m，n，α，β四个数按从小到大的顺序是α＜m＜n ＜β（用符号“＜“连接起来）．【解答】解：∵α、β是函数f（x）=2（x﹣m）（x﹣n）﹣7的零点，∴α、β是函数y=2（x﹣m）（x﹣n）与函数y=7的交点的横坐标，且m、n是函数y=2（x﹣m）（x﹣n）与x轴的交点的横坐标，故由二次函数的图象可知，α＜m＜n＜β；故答案为：α＜m＜n＜β．10．（3分）已知点O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P，若，则实数λ的值为．【解答】解：如图，A（﹣a，0），B（0，b），F（c，0），则P（c，），∴，，由，得，即b=c，∴a2=b2+c2=2b2，．则．故答案为：．11．（3分）已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数．如，A（﹣1.1）=﹣1．若A（2x•A（x））=5，则正实数x的取值范围是（1，] ．【解答】解：当A（x）=1时，0＜x≤1，可得4＜2x≤5，得2＜x≤，矛盾，故A（x）≠1，当A（x）=2时，1＜x≤2，可得4＜4x≤5，得1＜x≤，符合题意，故A（x）=2，当A（x）=3时，2＜x≤3，可得4＜6x≤5，得＜x≤，矛盾，故A（x）≠3，由此可知，当A（x）≥4时也不合题意，故A（x）=2∴正实数x的取值范围是（1，]故答案为：（1，]12．（3分）已知点M（m，0），m＞0和抛物线C：y2=4x．过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，若=2，且||=||，则m=．【解答】解：由题意可知：F（1，0），由抛物线定义可知A（x1，y1），可知B（x2，y2），∵=2，可得：2（x2﹣1，y2）=（1﹣x1，﹣y1），可得y2=﹣，x2=，，解得x1=2，y1=±2．||=||，。
长春市普通高中 2018 届高三质量监测(一)数学理科答案
ΔABC 面积的最大值为 3 3 ，当且仅当 b = c 时取到最大值. 16. 【命题意图】本题考查圆锥的体积最值问题.
【试题解析】设圆锥的底面圆半径为 r (0 < r < 3) ，有圆锥的高为 9 − r ，从而圆
2
锥的体积为 V =
9.
1 2 1 π r 9 − r 2 = π 9r 4 − r 6 ，令 t = r 2 (0 < t < 9) ，有 3 3
18.
（12 分）
3 ，设菱形 ABCD 的边长为 a 2 1 1 3 2 3 ，则 a = 3 . VP− ABCD = S. ABCD ⋅ PA = × (2 × a ) ×1 = 3 3 4 2 取 BC 中点 M ，连接 AM . 以点 A 为原点，以 AM 方向为 x 轴，以 AD 方向为 y 轴，以 AP 方向为 z 轴，
1 15
2 5
1 3
1 5
【试题解析】(1) 由椭圆定义 2a =| EF1 | + | EF2 |= 4 ，有 a = 2, c = 1, b = 从而
3，
x2 y2 + = 1. 4 3
（4 分）
（12 分）
19. (本小题满分 12 分) 【命题意图】 本小题以四棱锥为载体， 考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空 间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】解： （1）连接 BD 交 AC 于点 O ，连接 OE 在 △PBD 中，
12. 【命题意图】本题是考查函数的奇偶性、周期性和对称性及零点的相关知识. 【试题解析】D 由题意知 f ( x) 为奇函数，周期为 2π ，其图象关于 (π , 0) 对称，
g ( x) 的零点可视为 y = f ( x), y =
高三数学-2018年上海市嘉定区高考数学模拟试卷 精品
2018年嘉定区高考数学模拟试卷请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．一．填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．函数12)(-=x x f 的反函数是=-)(1x f________________________．2．复数z 满足i z i 34)21(-=-，则=z _________．3．已知向量}15sin ,15{cos 00-=a ，}15cos ,15sin {00-=b ，则=+b a ________．4．（理）在921⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，31x 的系数是__________．（文）若实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+02x x y y x ，则y x z +=4的最大值是_________．5．若方程1222=+my x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是______________．6．（理）曲线⎩⎨⎧+=+=ty t x 2112（t 为参数，R t ∈）的焦点坐标是_______________．（文）曲线24x y =的焦点坐标是_______________．7．（理）已知21)2(22lim 1=-++∞→n n n n a ，则实数a 的取值范围是__________________． （文）已知数列{}n a 的通项为12-=n a n ，n S 是{}n a 的前n 项和，则=∞→nnn S a 2lim ________．8．从集合}9,7,5,3,1{中取出数m ，从集合}8,6,4,2{中取出数n ，组成分数nm，则 nm为真分数的概率是___________．9．方程x xlg 1=的近似解≈x _____________（精确到1.0）． 10．若点P 到平面α的距离为1，A 是平面α内的动点，斜线段PA 与平面α恒成030角， 则动点A 在平面α内的轨迹所围成的图形的面积为_______________．11．将n 位选民参加无记名投票后的选票进行随机编号，依次为1，2，…，n ，参加竞选的候选人共有k 名，编号依次为1,2,…,k ，给出定义：⎩⎨⎧=号候选人当选号选票不同意第第号候选人当选同意第票号选第j i ，j i ，a j i 01，其中N j i ∈,，且n i ≤≤1，k j ≤≤1，那么22221n a a a S +++= 的实际意义是：______________________________________________________________________． 12．（理）已知)(x f 是定义在R 上的函数，且满足1)()()2()2(=++++x f x f x f x f ，21)1(=f ，41)2(=f ，则=)2006(f ______________． （文）已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且以3为周期，若1)1(>f ，132)2(-+=a a f ， 则实数a 的取值范围是_______________．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论 是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论 是否都写在圆括号内），一律得零分．13．已知},3|12||{R x x x A ∈>+=，},06|{2R x x x x B ∈≤-+=，则B A 为…（ ） (A) ]2,1()2,3[ -- (B) ),1(]2,3(+∞-- (C))2,1[]2,3( -- (D)]2,1(]3,( --∞14．在实数集R 上定义运算⊕：y y x y x -++=⊕1222，则满足x y y x ⊕=⊕的实数对),(y x 在平面直角坐标系内对应点的轨迹是……………………………………（ ） (A) 一个圆(B) 双曲线(C) 一条直线(D) 两条直线15．（理）已知函数1))(()(+--=b x a x x f ，且m 、n 是方程0)(=x f 的两根，则实数a 、b 、m 、n 的大小关系可能是…………………………………………………………（ ） (A) n b a m <<< (B) b n m a <<< (C) b n a m <<< (D) n b m a <<<（文）函数64)(2--=x x x f 的定义域为],0[m ，值域为]6,10[--，则m 的取值范围是……………………………………………………………………………………（ ） (A) ]4,0[ (B) ]4,2[ (C) ]6,2[ (D) ]6,4[16．（理）一个机器人每一秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器人以前进3步，再后退2步的规律移动．如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向，以1步的距 离为1个单位长度．令)(n P 表示第n 秒时机器人所在位置的坐标，且记0)0(=P ． 则下列结论中错误的是………………………………………………………………（ ） (Ａ)3)3(=P (Ｂ)1)5(=P (Ｃ))2005()2003(P P > (Ｄ))2006()2004(P P <（文）设)1(11216121+++++=n n S n ，且431=⋅+n n S S ，则n 的值是…………（ ） (A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（本题满分12分） 已知复数i z +=θ21sin ，θθ2cos cos 22i z +=，其中)2,0(πθ∈．设21z z z +=，且复数z 在复平面上对应的点P 在直线022=-+y x 上，求θ的值所组成的集合．18．（本题满分12分）（理）在四面体ABCD 中，BD 、CD 、AD 两两互相垂直，且4==CD BD ，E 是BC 中点，异面直线AB 与DE 所成角的大小是52arccos，求四面体ABCD 的体积． （文）如图，在四面体ABCD 中，6==CD AB ，异面直线AB 、CD 所成角的大小是31arccos ，M 、N 分别是AC 、BD 的中点．求线段MN 的长．文科题图ABCMND理科题图ABCED19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系用下图中的两条线段表示；该商品在30天内的日销售量Q (件)与时间t (天)之间的关系如下表所示：（1）根据提供的图象，写出该种商品每件的 销售价格P 与时间t 的函数关系式，并根据表中数 据确定日销售量Q 与时间t 的一个函数式；（2）用y 表示该商品的日销售金额，写出y 关于t 的函数关系式，求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2小题满分8分．如图，已知点)0,1(F ，点M 在x 轴上，点N 在y 轴上，且0=⋅NF NM ，点R 满足=+NR NM ．（1）求动点R 的轨迹C 的方程；（2）（理）过点)0,1(-A 作斜率为k 的直线l 交轨迹C 于P 、Q 两点，且PFQ ∠为钝角，求直线l 的斜率k 的取值范围．（2）（文）过)0,4(B 作直线l 交轨迹C 于P 、Q 两点，求OQ OP ⋅的值．21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分 , 第3小题满分7分．用n m S →表示数列{}n a 从第m 项到第n 项（共1+-m n 项）之和． （1）在递增数列{}n a 中，n a 与1+n a 是关于x 的方程014422=-+-n nx x （n 为正整数）的两个根．求{}n a 的通项公式并证明{}n a 是等差数列；（2）对（1）中的数列{}n a ，判断数列31→S ，64→S ，97→S ，…，k k S 323→-的类型； （3）（理）对一般的首项为1a ，公差为d 的等差数列，提出与（2）类似的问题，你可以得到怎样的结论，证明你的结论． （3）（文）对（1）中的数列作进一步研究，提出与（2）类似的问题，你可以得到怎样的结论，证明你的结论．22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．已知函数xx f 11)(-=，),0(+∞∈x ． （1）作出函数)(x f y =的大致图象并根据图象写出函数)(x f 的单调区间；（2）（理）证明：当b a <<0且)()(b f a f =时，1>ab ；（2）（文）设210<<a ，1>b ，试比较)(a f 与)(b f 的大小； （3）（理）若存在实数a ，b （b a <<0），使得函数)(x f y =在],[b a x ∈上的函数的值域为],[mb ma （0≠m ），求实数m 的取值范围； （3）（文）是否存在实数a ，b （b a <<0），使得函数)(x f y =在],[b a x ∈上的值域也是],[b a ．若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．Oxy2018年嘉定区高考数学模拟试卷参考答案与评分标准一、填空题1．)1(log 22+x （0≥x ）；2．i -2；3．1；4．（理）126；（文）5；5．)2,0(；6．（理）)1,2(；（文）⎪⎭⎫⎝⎛161,0；7．（理）)4,0(；（文）4；8．21；9．5.2；10．π3； 11．2号候选人的得票数（或同意2号候选人当选的选票数）；12．（理）41；（文）⎪⎭⎫⎝⎛-1,32．二、选择题13．A ；14．D ；15．B ；16．D 三、解答题17．θθθθθ22221cos 21)2cos 1(12cos cos sin i i i i z z z +=++=+++=+=…（4分） ∴ )cos 2,1(2θP ，∵ 点P 在直线022=-+y x 上，∴ 02cos 412=-+θ，…（6分）41cos 2=θ，21cos ±=θ，…（9分） ∴ θ的值所组成的集合是}35,34,32,3{ππππ……（12分）18（理）．取AC 中点F ，连结EF 、DF ，则EF ∥AB ，∴ DEF ∠（或其补角）是异面直线AB 与DE 所成的角……（2分）设h AD =，在△DEF 中，22=DE ，16212+==h DF EF ，……（4分） 则EDF DEF ∠=∠，于是DEF ∠为锐角，52cos =∠DEF ，……（6分）521622162122282cos 22222=+=+⋅⋅=⋅⋅-+=∠h h EF DE DF EF DE DEF解得212=h ……（10分）∴ 3211621244213131=⋅⋅⋅⋅==Sh V ……（12分）18（文）．取AD 中点E ，连结EM 、EN ，则EM ∥CD ，EN ∥AB ，于是MEN ∠（或其补角）是异面直线AB 与CD 所成的角……（1分）当31cos =∠MEN ，则12313323331222222=⋅⋅⋅-+=⋅⋅⋅-+=NE ME NE ME MN ，32=MN …（6分）当31cos -=∠MEN ，则24313323331222222=⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++=NE ME NE ME MN ，62=MN ……………………（11分） ∴ MN 的长为32或62．……（12分）19．（1）⎩⎨⎧∈≤<+-∈≤<+=Nt t t Nt t t P ,3020,80,200,202 ……（3分）40+-=t Q （N t t ∈≤<,300）……（6分）（2）⎪⎩⎪⎨⎧∈≤<--∈≤<+--=Nt t t Nt t t y ,3020,400)60(,200,1250)15(222……（10分） 当200≤<t ，15=t 时，1250max =y ，当3020≤<t 时，y 随t 的增大而减小，（12分） ∴ 在30天中的第15天，日销售金额取得最大值1250元．…………（14分）20．（1）由已知，N 是MR 的中点，设),(y x R ，则)0,(x M -，)2,0(yN ，……（2分）∴ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=2,y x NM ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=2,1y NF ……（3分）， 由0=⋅得042=+-y x ，……（4分）即x y 42=…………（5分） ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42= …………（6分）（2）（理）直线l 的方程为)1(+=x k y ，由⎩⎨⎧=+=x y x k y 4)1(2得0442=+-k y ky …（8分）△016162>-=k ，11<<-k ……（9分），设),(11y x P ，),(22y x Q ，则ky y 421=+，421=y y ……（10分）由PFQ ∠为钝角，可得0<⋅……（11分）{}11,1y x -=，{}22,1y x -=，于是0)1)(1(2121<+--y y x x ，即01414212221<+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y y y y ，()01416212221221<+++-y y y y y y ， ()042621221<-+-y y y y ，0481662<--k ，解得2102<<k ……（13分）∴ 直线l 的斜率k 的取值范围是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22,00,22 ……（14分） （2）（文）若直线l 垂直于x 轴，则l 的方程为4=x ，则)4,4(P ，)4,4(-Q ， 0=⋅…………（8分）当直线l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为)4(-=x k y ，由⎩⎨⎧=-=x y x k y 4)4(2得01642=--k y ky ……（10分），当0≠k 时，直线l 与抛物线总有两个交点．设),(11y x P ，),(22y x Q ，则ky y 421=+，1621-=y y ……（12分）∴()0161616212212121=-=+=+=⋅y y y y y y x x∴ 0=⋅……（14分）21．（1）解方程014422=-+-n nx x 得121-=n x ，122+=n x ……（1分） ∵ {}n a 是递增数列，∴ 12-=n a n ，121+=+n a n ，21=-+n n a a ……（3分） ∴ 数列{}n a 是等差数列，其通项公式是12-=n a n （n 为正整数）……（4分）（2）当k 为正整数时，91831323323-=++=--→-k a a a S k k k k k9189)1(18)1(32)1(3+=-+=+→-+k k S k k ，∴ 18323)1(32)1(3=-→-+→-+k k k k S S （常数） ∴数列31→S ，64→S ，97→S ，…，k k S 323→-是等差数列……（9分）（3）（理）可以从多个方面加以推广．对一般的以1a 为首项，d 为公差的等差数列， 如照抄（2）中的问题（即三项之和）得2分，证明结论得3分，共得5分；如对（2）中的问题有所改变，如改为四项之和，得3分，证明得3分，共6分； 如对（2）中的问题有所创新，如：“对于任意给定的正整数m ，判断数列m S →1，m m S 21→+，……，km m k S →+-1)1(的类型”，得4分，证明结论得3分，共7分．（3）（文）提出具体的若干项的问题的，如41→S ，85→S ，……，k k S 434→-的，得3分， 判断结论得3分，共6分；如对（2）中的问题有所创新，如：“对于任意给定的正整数m ，判断数列m S →1，m m S 21→+，……，km m k S →+-1)1(的类型”，得4分，证明结论得3分，共7分．22．（1）图象如右图所示．……（3分）单调递减区间：]1,0(；……（4分）单调递增区间：),1[+∞……（5分）（2）（理）由b a <<0，)()(b f a f =及函数的单调性知，10<<a ，1>b ，……（7分）∴ 1111)(-=-=a a a f ， bb b f 1111)(-=-=，由b a 1111-=- 得211=+ba ， ∴ abab ab ab b a b a 22112=≥+=+=，∴ 1≥ab ，即1≥ab ……（10分） （2）（文）由210<<a ，1>b 得21>a ，110<<b，……（7分） 于是1121111)(=->-=-=a a a f ，11111)(<-=-=bb b f ……（9分） ∴ )()(b f a f >……（10分）（3）（理）当)1,0(∈a ，),1(+∞∈b 时，],[1b a ∈，而],[0)1(mb ma f ∉=，矛盾． ∴ )1,0(,∈b a 或),1(,+∞∈b a ……（12分）当)1,0(,∈b a 时，由)(x f 是减函数知，mb a f =)(，ma b f =)(， 即mb a =-11，ma b=-11，得b a =，舍去．……（14分） 当),1(,+∞∈b a 时，由)(x f 是增函数知，ma a f =)(，mb b f =)(，即ma a =-11，mb b=-11，∴ b a ,是方程012=+-x mx 的两个不相等实根，且这 两根均大于1．∴ △041>-=m 且011>+-m ，121>m ，解得410<<m ……（17分） ∴ 实数m 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0…（18分）（3）（文）当)1,0(∈a ，),1(+∞∈b 时，],[1b a ∈，而],[0)1(b a f ∉=，矛盾． ∴ )1,0(,∈b a 或),1(,+∞∈b a ……（12分）当)1,0(,∈b a 时，)(x f 是减函数，于是有b a f =)(，a b f =)(， 即b a =-11，a b=-11，得b a =，舍去．……（14分） 当),1(,+∞∈b a 时，由)(x f 是增函数知，a a f =)(，b b f =)(，即a a =-11，b b =-11，∴ a ，b 是方程012=+-x x 的两根，但方程012=+-x x 没有实根．即实数b a ,也不存在．……（17分）∴ 不存在这样的实数a ，b （b a <<0），使得函数)(x f y =在],[b a x ∈上的值域也是],[b a ．……（18分）。
吉林省长市普通高中高三数学一模考试试题 文
长春市普通高中2018届高三质量监测(一)数学试题卷(文科)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}1,2,4A =，{}14,B x x x Z =??，则A B =( )A ．{}2B ．{}1,2C ．{}2,4D ．{}1,2,42.设i 为虚数单位，则()()11i i -++=( )A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-3.已知圆22460x y x y +-+=的圆心坐标为(),a b ，则22a b +=( )A ．8B ．16C ．12D ．134.等差数列{}n a 中，已知6110a a +=，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( )A ．6B ．7 C.8 D ．95.已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为( )A ．92，94B ．92，86 C.99，86 D ．95，916.顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在y 轴上的角a 的集合是( ) A ．2,2k k Z p a a p 禳镲=+?睚镲铪 B ．2,2k k Z p a a p 禳镲=-?睚镲铪C.,2k k Z p a a p 禳镲=+?睚镲铪 D ．,2k k Z p a a 禳镲=?睚镲铪7.下图是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y 关于测试序号x 的函数图象，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图象，给出下列结论：①一班的成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；②二班成绩不够稳定，波动程度较大；③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升.其中正确结论的个数为( )A．0 B．1 C.2 D．38.《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何.刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈)，那么该刍甍的体积为( )A．4立方丈 B．5立方丈 C.6立方丈 D．12立方丈9.已知矩形ABCD的顶点都在球心为O，半径为R的球面上，6AB=，BC=锥O ABCD-的体积为R等于( )A．4 B．10.已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是( )A ．求首项为1，公差为2的等差数列前2017项和B ．求首项为1，公差为2的等差数列前2018项和C.求首项为1，公差为4的等差数列前1009项和D.求首项为1，公差为4的等差数列前1010项和11.已知O 为坐标原点，设1F ，2F 分别是双曲线221x y -=的左、右焦点，点P 为双曲线左支上任一点，自点1F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足为H ，则OH =( )A ．1B ．2 C.4 D ．1212.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()f x f x p +=-，当0,2x p 轾Î犏犏臌时，()f x ，则函数()()()1g x x f x p =--在区间3,32p p 轾-犏犏臌上所有零点之和为( ) A ．p B ．2p C.3p D ．4p第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()1,2a =，()2,1b =-，则a 与b 的夹角为 ．14.函数()()2ln 34f x x x =--的单调增区间为 ．15.已知点(),P x y 位于y 轴，y x =，2y x =-三条直线所围成的封闭区域内(包括边界)，则2x y +的最大值为 ．16.在ABC △中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1cos sin 2b A B =，且a =6bc +=，则ABC △的面积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，530S =，2616a a +=.(1)求等差数列{}n a 的通项公式；(2)求12111nS S S +++…. 18.长春市“名师云课”活动自开展以为获得广大家长以及学子的高度赞誉，在我市推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给广大学子，现对某一时段云课的点击量进行统计：(1)现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3000的节数.(2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[]0,1000内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(]1000,3000内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的6节课中任意取出2节课进行剪辑，求剪辑时间为40分钟的概率.19.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ^平面ABCD，E 为PD 的中点.(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设1PA =，AD ，PC PD =，求三棱锥P ACE -的体积.20.已知椭圆C 的两个焦点为()11,0F -，()21,0F ，且经过点E . (1)求椭圆C 的方程；(2)过1F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点(点A 位于x 轴上方)，若112AF F B =，求直线l 的斜率k 的值.21.已知函数()x f x e a =-.(1)若函数()f x 的图象与直线:1l y x =-，求a 的值；(2)若()ln 0f x x ->恒成立，求整数a 的最大值.22.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为()1,2，点M 的极坐标为3,2p 骣琪琪桫，若直线l 过点P ，且倾斜角为6p ，圆C 以M 为圆心，3为半径.(1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程；(2)设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求PA PB ×.23.设不等式112x x +--<的解集为A .(1)求集合A ；(2)若,,a b c R Î，求证：11abcab c ->-.长春市普通高中2018届高三质量监测(一)数学试题卷(文科)参考答案一、选择题1-5:BDDCB 6-10:CDBAC 11、12：AD二、填空题 13.2p 14.()4,+?15.3 16.三、解答题17.(1)由题可知315302616a a d ì=ïí+=ïî，从而有12a d ==，2n a n =. (2)由(1)知()1n S n n =+，1111n S n n =-+，从而 12111111111122311n n S S S n n n +++=-+-++=-=++……. 18.解：(1)根据分层抽样，选出的6节课中有2节点击量超过3000.(2)在(1)中选出的6节课中，设点击量在区间[]0,1000内的一节课为1A ，点击量在区间(]1000,3000内的三节课为123,,B B B ，点击量超过3000的两节课为12,C C ，从中选出两节课的方式有11A B ，12A B ，13A B ，11A C ，12A C ，12B B ，13B B ，11B C ，12B C ，23B C ，21B C ，23B C ，31B C ，32B C ，12C C ，共15种，其中剪辑时间为40分钟的情况有11A C ，12A C ，12B B ，13B B ，23B C ，共5种，则剪辑时间为40分钟的概率为51153=. 19.解：(1)连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，在PBD △中，PE DE PB OE BO DO OE ACE PB ACE PB ACE üü=ïïÞýï=ïþïï剔ýïËïïïþ∥平面∥平面平面.(2)11111121244343P ACE P ACD P ABCD ABCD V V V S PA ---骣琪===鬃=状?琪桫平行四边形.20.解：(1)由椭圆定义1224a EF EF =+=，有2a =，1c =，b ，从而22143x y +=. (2)设直线():1l y k x =+，有()221143y k x x y ì=+ïïíï+=ïî，整理得2236490y y k k 骣琪+--=琪桫，设()11,A x y ，()22,B x y ，有122y y =-，()212122y y y y =+，2348k +=，k =?k .21.解：(1)由题意可知，()f x 和1y x =-相切， ()'1f x =，则0x =，即()01f =-，解得2a =.(2)现证明1x e x ?，设()1x F x e x =--，令()'10x F x e =-=，即0x =. 因此()()min 00F x F ==，即()0F x ³恒成立，即1x e x ?，同理可证ln 1x x ?. 由题意，当2a £时，21ln x e x x -??.即2a =时，()()0f x g x ->成立，不3a ³时，存在x 使3ln x e x -<，即3ln x e x -?不恒成立， 因此整数a 的最大值为2.22.解：(1)直线l的参数方程为1122x y tìï=ïíï=+ïî(t 为参数)，圆的极坐标方程为6sin r q =.(2)把1122x y t ìï=ïíï=+ïî代入()2239x y +-=，得)2170t t +-=， ∴127t t =-，设点,A B 对应的参数分别为12,t t ， 则1PA t =，2PB t =，∴7PA PB ?.23.解：(1)由已知，令()2,1112,112,1x f x x x x x x ì³ïï=+--=-<<íï-?ïî，由()2f x <得{}11A x x =-<<.(2)要证11abc ab c->-，只需证1abc ab c ->-， 只需证2222221a b c a b c +>+，只需证()2222211a b c a b ->-， 只需证()()222110a b c -->，由,,a b c A Î，则()()222110a b c -->恒成立.。
吉林省长市普通高中高三数学一模考试卷 文(含解析)
普通高中2018届高三质量监测（一）数学试题卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】集合，所以.故选B.点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2. 设为虚数单位，则（）A. B. C. 2 D. -2【答案】D【解析】. 故选D.3. 已知圆的圆心坐标为，则（）A. 8B. 16C. 12D. 13【答案】D【解析】由圆的标准方程可知圆心为，即. 故选D.4. 等差数列中，已知，且公差，则其前项和取最小值时的的值为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】由题意知，有，所以当时前项和取最小值. 故选C.点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法. 5. 已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为( )A. 92，94B. 92，86C. 99，86D. 95，91【答案】B【解析】由茎叶图可知，中位数为92，众数为86. 故选B.6. 顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边在轴上的角的集合是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】终边落在轴上的角的取值集合为.故选C.7. 右图是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩关于测试序号的函数图像，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图像，给出下列结论：①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；②二班成绩不够稳定，波动程度较大；③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升．其中正确结论的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】通过函数图象，可以看出①②③均正确.故选D.8. 《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（）A. 4立方丈B. 5立方丈C. 6立方丈D. 12立方丈【答案】B【解析】由已知可将刍甍切割成一个三棱柱和一个四棱锥，三棱柱的体积为3，四棱锥的体积为2，则刍甍的体积为5.故选B.9. 已知矩形的顶点都在球心为，半径为的球面上，，且四棱锥的体积为，则等于（）A. 4B.C.D.【答案】A【解析】由题意可知球心到平面ABCD的距离 2，矩形ABCD所在圆的半径为，从而球的半径 .故选A.10. 已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（）A. 求首项为1，公差为2的等差数列前2017项和B. 求首项为1，公差为2的等差数列前2018项和C. 求首项为1，公差为4的等差数列前1009项和D. 求首项为1，公差为4的等差数列前1010项和【答案】C【解析】由题意可知，为求首项为1，公差为4的等差数列的前1009项和.故选C.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.11. 已知为坐标原点，设分别是双曲线的左、右焦点，点为双曲线左支上任一点，自点作的平分线的垂线，垂足为，则（）A. 1B. 2C. 4D.【答案】A【解析】延长交于点，由角分线性质可知根据双曲线的定义，，从而，在中，为其中位线，故.故选A.点睛：对于圆锥曲线问题，善用利用定义求解，注意数形结合，画出合理草图，巧妙转化.12. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】,作图如下：，四个交点分别关于对称，所以零点之和为，选D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，则与的夹角为__________．【答案】【解析】，所以夹角为.14. 函数的单调增区间是__________．【答案】【解析】由题意可知，有或，从而该函数的单调递增区间为.15. 已知点位于轴、、三条直线所围成的封闭区域内（包含边界），则的最大值为__________．【答案】3【解析】根据可行域，取最大值的最优解为，所以的最大值为3.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.16. 在中，三个内角的对边分别为，若，且，，则面积为__________．【答案】【解析】由题意可知，得，由余弦定理，得，从而面积为.三、解答题:共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17. 已知数列的前项和为，．（Ⅰ）求等差数列的通项公式；（Ⅱ）求．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据等差数列前n项和公式及通项公式，结合条件列出关于首项与公差的方程组，解方程组得，再代入通项公式（2）先求，再根据，利用裂项相消法求和试题解析：(1) 由题可知，从而有.(2) 由(1)知，从而.点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.18. 长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学子的高度赞誉，在我市推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给广大学子，现对某一时段云课的点击量进行统计：（Ⅰ）现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3000的节数．（Ⅱ）为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3000，则不需要剪辑，现从（Ⅰ）中选出的6节课中任意取出2节课进行剪辑，求剪辑时间为40分钟的概率．【答案】（1）选出的6节课中有2节点击量超过3000.（2）【解析】试题分析：（1）根据分层抽样，点击量超过3000得节数为（2）利用枚举法确定6节课中任意取出2节课所有可能为12种，其中剪辑时间为40分钟有5种，最后根据古典概型概率公式求概率试题解析：解：（1）根据分层抽样，选出的6节课中有2节点击量超过3000.（2）在（Ⅰ）中选出的6节课中，设点击量在区间内的一节课为，点击量在区间内的三节课为，点击量超过3000的两节课为.从中选出两节课的方式有，，，，，，，，，，，，，，，共15种，其中剪辑时间为40分钟的情况有，，，，，共5种，则剪辑时间为40分钟的概率为.19. 如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）设，求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）连接交于点，则由三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得（2）利用等体积法将所求体积转化为，再根据锥体体积公式求，代入即得试题解析：解：（1）连接交于点，连接. 在中，（2）.20. 已知椭圆的两个焦点为，且经过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过的直线与椭圆交于两点（点位于轴上方），若，求直线的斜率的值．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由椭圆定义得，再根据勾股数求，（2）得从而，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理得及，代入可解得.试题解析：(1) 由椭圆定义，有，从而.(2) 设直线，有，整理得，设，有，，由已知.21. 已知函数．（Ⅰ）若函数的图像与直线相切，求的值；（Ⅱ）若恒成立，求整数的最大值．【答案】（1）1（2）2【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得，即得，再由，解得.（2）先分离：，再利用结论，，可得，所以，即得整数的最大值为2.试题解析：（1）由题意可知，和相切，，则，即，解得.（2）现证明，设，令，即，因此，即恒成立，即，同理可证.由题意，当时，，即时，成立.当时，存在使，即不恒成立.因此整数的最大值为2.22. 选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，点的极坐标为，若直线过点，且倾斜角为，圆以圆心，3为半径．（Ⅰ）求直线的参数方程和圆的极坐标方程；（Ⅱ）设直线与圆相交于两点，求．【答案】（1）（2）7【解析】试题分析：（1）根据直线参数方程形式直接写出直线的参数方程，根据直角三角形关系得，即为圆的极坐标方程（2）利用将圆的极坐标方程化为直接坐标方程，将直线参数方程代入，利用韦达定理及参数几何意义得|=7试题解析：（Ⅰ）直线的参数方程为（t为参数），圆的极坐标方程为 .（Ⅱ）把代入，得，，设点对应的参数分别为，则,23. 选修4-5：不等式选讲设不等式的解集为．（Ⅰ）求集合；（Ⅱ）若，求证：．【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集（2）利用分析法证明，将所求不等式转化为，再根据，证明...............试题解析：（1）由已知，令由得.（2）要证，只需证，只需证，只需证只需证，由，则恒成立.点睛：(1)分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.(2)利用综合法证明不等式，关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式.。
2018年浙江省高考全真模拟数学试卷(一)
2018年浙江省高考全真模拟数学试卷（一）一、单选题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（4分）已知集合A={x|﹣x2+4x≥0}，，C={x|x=2n，n∈N}，则（A∪B）∩C=（）A．{2，4}B．{0，2}C．{0，2，4}D．{x|x=2n，n∈N}2．（4分）设i是虚数单位，若，x，y∈R，则复数x+yi的共轭复数是（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i3．（4分）双曲线x2﹣y2=1的焦点到其渐近线的距离为（）A．1 B．C．2 D．4．（4分）已知a，b∈R，则“a|a|＞b|b|”是“a＞b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（4分）若数列{a n}满足{a1}=2，{a n+1}=（n∈N*），则该数列的前2017项的乘积是（）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．7．（4分）如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且AB=2，若线段DE上存在点P使得GP⊥BP，则边CG长度的最小值为（）A．4 B．C．2 D．8．（4分）设函数，g（x）=ln（ax2﹣2x+1），若对任意的x1∈R，都存在实数x2，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围为（）A．（0，1]B．[0，1]C．（0，2]D．（﹣∞，1]9．（4分）某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ服从二项分布，则E（﹣ξ）的值为（）A．B．C．D．10．（4分）已知非零向量，满足||=2||，若函数f（x）=x3+||x2+x+1在R上存在极值，则和夹角的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11．（6分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为．12．（6分）在的展开式中，各项系数之和为64，则n=；展开式中的常数项为．13．（6分）某人有4把钥匙，其中2把能打开门．现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是．如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是．14．（6分）设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．15．（4分）当实数x，y满足时，ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是．16．（4分）设数列{a n}满足，且对任意的n∈N*，满足，，则a2017=．17．（4分）已知函数f（x）=ax2+2x+1，若对任意x∈R，f[f（x）]≥0恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程18．已知函数f（x）=x﹣1，x∈R．（I）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（II）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=，f（C）=1，sinB=2sinA，求a，b的值．19．如图，在四面体ABCD中，已知∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，CE⊥BD于E （Ⅰ）求证：BD⊥AC；（Ⅱ）若平面ABD⊥平面CBD，且BD=，求二面角C﹣AD﹣B的余弦值．20．已知函数．（Ⅰ）当a=2，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间．21．已知曲线C：y2=4x，M：（x﹣1）2+y2=4（x≥1），直线l与曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点．（Ⅰ）若，求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；（Ⅱ）若直线l与曲线M相切，求的取值范围．22．数列{a n}满足a1=1，a2=+，…，a n=++…+（n∈N*）（1）求a2，a3，a4，a5的值；（2）求a n与a n﹣1之间的关系式（n∈N*，n≥2）；（3）求证：（1+）（1+）…（1+）＜3（n∈N*）2018年浙江省高考全真模拟数学试卷（一）参考答案与试题解析一、单选题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（4分）已知集合A={x|﹣x2+4x≥0}，，C={x|x=2n，n∈N}，则（A∪B）∩C=（）A．{2，4}B．{0，2}C．{0，2，4}D．{x|x=2n，n∈N}【解答】解：A={x|﹣x2+4x≥0}={x|0≤x≤4}，={x|3﹣4＜3x＜33}={x|﹣4＜x＜3}，则A∪B={x|﹣4＜x≤4}，C={x|x=2n，n∈N}，可得（A∪B）∩C={0，2，4}，故选C．2．（4分）设i是虚数单位，若，x，y∈R，则复数x+yi的共轭复数是（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i【解答】解：由，得x+yi==2+i，∴复数x+yi的共轭复数是2﹣i．故选：A．3．（4分）双曲线x2﹣y2=1的焦点到其渐近线的距离为（）A．1 B．C．2 D．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为x2﹣y2=1，其焦点坐标为（±，0），其渐近线方程为y=±x，即x±y=0，则其焦点到渐近线的距离d==1；故选：A．4．（4分）已知a，b∈R，则“a|a|＞b|b|”是“a＞b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：设f（x）=x|x|=，由二次函数的单调性可得函数f（x）为增函数，则若a＞b，则f（a）＞f（b），即a|a|＞b|b|，反之也成立，即“a|a|＞b|b|”是“a＞b”的充要条件，故选：C．5．（4分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D6．（4分）若数列{a n}满足{a1}=2，{a n+1}=（n∈N*），则该数列的前2017项的乘积是（）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．【解答】解：∵数列，∴a2==﹣3，同理可得：a3=，a4=，a5=2，…．=a n，a1a2a3a4=1．∴a n+4∴该数列的前2017项的乘积=1504×a1=2．故选：C．7．（4分）如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且AB=2，若线段DE上存在点P使得GP⊥BP，则边CG长度的最小值为（）A．4 B．C．2 D．【解答】解：以DA，DC，DF为坐标轴建立空间坐标系，如图所示：设CG=a，P（x，0，z），则，即z=．又B（2，2，0），G（0，2，a），∴=（2﹣x，2，﹣），=（﹣x，2，a（1﹣）），∴=（x﹣2）x+4+=0，显然x≠0且x≠2，∴a2=，∵x∈（0，2），∴2x﹣x2∈（0，1]，∴当2x﹣x2=1时，a2取得最小值12，∴a的最小值为2．故选D．8．（4分）设函数，g（x）=ln（ax2﹣2x+1），若对任意的x1∈R，都存在实数x2，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围为（）A．（0，1]B．[0，1]C．（0，2]D．（﹣∞，1]【解答】解：设g（x）=ln（ax2﹣2x+1）的值域为A，∵f（x）=1﹣在R上的值域为（﹣∞，0]，∴（﹣∞，0]⊆A，∴h（x）=ax2﹣2x+1至少要取遍（0，1]中的每一个数，又h（0）=1，∴实数a需要满足a≤0或，解得a≤1．∴实数a的范围是（﹣∞，1]，故选：D．9．（4分）某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ服从二项分布，则E（﹣ξ）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵ξ服从二项分布，∴E（ξ）=5×=，∴E（﹣ξ）=﹣E（ξ）=﹣．故选D．10．（4分）已知非零向量，满足||=2||，若函数f（x）=x3+||x2+x+1在R上存在极值，则和夹角的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：；∵f（x）在R上存在极值；∴f′（x）=0有两个不同实数根；∴；即，；∴；∴；∴与夹角的取值范围为．故选B．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11．（6分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为7+．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为组合体，左右两边都是棱长为1的正方体截去一个角，则该几何体的体积为；表面积为=．故答案为：；．12．（6分）在的展开式中，各项系数之和为64，则n=6；展开式中的常数项为15．【解答】解：令x=1，则在的展开式中，各项系数之和为2n=64，解得n=6，则其通项公式为C6r x，令6﹣3r=0，解得r=2，则展开式中的常数项为C62=15故答案为：6，1513．（6分）某人有4把钥匙，其中2把能打开门．现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是．如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是．【解答】解：第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门的概率为×=．如果试过的钥匙不扔掉，这个概率为×=，故答案为：；．14．（6分）设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为﹣1；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是≤a＜1或a≥2．【解答】解：①当a=1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．15．（4分）当实数x，y满足时，ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，] ．【解答】解：由约束条件作可行域如图联立，解得C（1，）．联立，解得B（2，1）．在x﹣y﹣1=0中取y=0得A（1，0）．由ax+y≤4得y≤﹣ax+4要使ax+y≤4恒成立，则平面区域在直线y=﹣ax+4的下方，若a=0，则不等式等价为y≤4，此时满足条件，若﹣a＞0，即a＜0，平面区域满足条件，若﹣a＜0，即a＞0时，要使平面区域在直线y=﹣ax+4的下方，则只要B在直线的下方即可，即2a+1≤4，得0＜a≤．综上a≤∴实数a的取值范围是（﹣∞，]．故答案为：（﹣∞，]．16．（4分）设数列{a n}满足，且对任意的n∈N*，满足，，则a2017=．﹣a n≤2n，a n+4﹣a n≥5×2n，【解答】解：对任意的n∈N*，满足a n+2﹣a n+2≤2n+2，∴a n+4∴5×2n≤a n﹣a n+2+a n+2﹣a n≤2n+2+2n=5×2n，+4﹣a n=5×2n，∴a n+4∴a2017=（a2017﹣a2013）+（a2013﹣a2009）+…+（a5﹣a1）+a1=5×（22013+22009+…+2）+=5×+=，故答案为：17．（4分）已知函数f（x）=ax2+2x+1，若对任意x∈R，f[f（x）]≥0恒成立，则实数a的取值范围是a≥．【解答】解：当a=0时，函数f（x）=2x+1，f[f（x）]=4x+3，不满足对任意x∈R，f[f（x）]≥0恒成立，当a＞0时，f（x）≥=1﹣，f[f（x）]≥f（1﹣）=a（1﹣）2+2（1﹣）+1=a﹣+1，解a﹣+1≥0得：a≤，或a≥，故a≥，当a＜0时，f（x）≤=1﹣，不满足对任意x∈R，f[f（x）]≥0恒成立，综上可得：a≥故答案为：a≥三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程18．已知函数f（x）=x﹣1，x∈R．（I）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（II）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=，f（C）=1，sinB=2sinA，求a，b的值．【解答】解：由，…（2分）（1）周期为T=π，…（3分）因为，…（4分）所以，∴函数的单减区间为；…（6分）（2）因为，所以；…（7分）所以，a2+b2﹣ab=3，…（9分）又因为sinB=2sinA，所以b=2a，…（10分）解得：a=1，b=2，∴a，b的值1，2．…（12分）19．如图，在四面体ABCD中，已知∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，CE⊥BD于E （Ⅰ）求证：BD⊥AC；（Ⅱ）若平面ABD⊥平面CBD，且BD=，求二面角C﹣AD﹣B的余弦值．【解答】（I）证明：连接AE，∵AB=BC，∠ABD=∠CBD，BE是公共边，∴△ABE≌△CBE，∴∠AEB=∠CEB，∵CE⊥BD，∴AE⊥BD，又AE⊂平面ACE，CE⊂平面ACE，AE∩CE=E，∴BD⊥平面ACE，又AC⊂平面ACE，∴BD⊥AC．（2）解：过E作EF⊥AD于F，连接CF，∵平面ABD⊥平面BCD，CE⊂平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，CE⊥BD，∴CE⊥平面ABD，又AD⊂平面ABD，∴CE⊥AD，又AD⊥EF，∴AD⊥平面CEF，∴∠CFE为二面角C﹣AD﹣B的平面角，∵AB=BC=2，∠ABD=∠CBD=60°，AE⊥BD，CE⊥BD，∴BE=1，AE=CE=，DE=，∴AD==，EF==，CF==，∴cos∠CFE==．∴二面角C﹣AD﹣B的余弦值为．20．已知函数．（Ⅰ）当a=2，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，当a=2时，，∴，∴，f'（1）=0；∴函教f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为．（Ⅱ）由题知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），，令f（x）=0，解得x1=1，x2=a﹣1，①当a＞2时，所以a﹣1＞1，在区间（0，1）和（a﹣1，+∞）上f（x）＞0；在区间（1，a﹣1）上f'（x）＜0，故函数f（x）的单调递增区间是（0，1）和（a﹣1，+∞），单调递减区间是（1，a﹣1）．②当a=2时，f'（x）＞=0恒成立，故函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．③当1＜a＜2时，a﹣1＜1，在区间（0，a﹣1），和（1，+∞）上f'（x）＞0；在（a﹣1，1）上f'（x）＜0，故函数f（x）的单调递增区间是（0，a﹣1），（1，+∞），单调递减区间是（a﹣1，1）④当a=1时，f'（x）=x﹣1，x＞1时f'（x）＞0，x＜1时f'（x）＜0，函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）⑤当0＜a＜1时，a﹣1＜0，函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1），综上，①a＞2时函数f（x）的单调递增区间是（0，1）和（a﹣1，+∞），单调递减区间是（1，a﹣1）；②a=2时，函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；③当0＜a＜2时，函数f（x）的单调递增区间是（0，a﹣1），（1，+∞），单调递减区间是（a﹣1，1）；④当0＜a≤1时，函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）．21．已知曲线C：y2=4x，M：（x﹣1）2+y2=4（x≥1），直线l与曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点．（Ⅰ）若，求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；（Ⅱ）若直线l与曲线M相切，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，可设l：x=my+n，A（x1，y1）¡¢，B（x2，y2）由得：y2﹣4my﹣4n=0，∴y1+y2=4m，y1•y2=﹣4n．∴x1+x2=4m2+2n，x1•x2=n2，∴由•=﹣4可得：x1•x2+y1•y2=n2﹣4n=﹣4．解得：n=2．∴l：x=my+2，∴直线l恒过定点（2，0）．（Ⅱ）∵直线l与曲线C1相切，M（1，0），显然n≥3，∴=2，整理得：4m2=n2﹣2n﹣3．①由（Ⅰ）及①可得：•=（x1﹣1，y1）•（x2﹣1，y2）=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1•y2=x1•x2﹣（x1+x2）+1+y1•y2=n2﹣4m2﹣2n+1﹣4n=n2﹣4m2﹣6n+1=4﹣4n∴•≤﹣8，即的取值范围是（﹣∞，﹣8]．22．数列{a n}满足a1=1，a2=+，…，a n=++…+（n∈N*）（1）求a2，a3，a4，a5的值；（2）求a n与a n﹣1之间的关系式（n∈N*，n≥2）；（3）求证：（1+）（1+）…（1+）＜3（n∈N*）【解答】解：（1）a2=+=2+2=4，a3=++=3+6+6=15，a4=+++=4+4×3+4×3×2+4×3×2×1=64，a5=++++=5+20+60+120+120=325；（2）a n=++…+=n+n（n﹣1）+n（n﹣1）（n﹣2）+…+n!=n+n[（n﹣1）+（n﹣1）（n﹣2）+…+（n﹣1）!]=n+na n﹣1；（3）证明：由（2）可知=，所以（1+）（1+）…（1+）=•…==+++…+=+++…+=+++…+≤1+1+++…+=2+1﹣+﹣+…+﹣=3﹣＜3（n≥2）．所以n≥2时不等式成立，而n=1时不等式显然成立，所以原命题成立．。
2018年上海嘉定区嘉一联合中学高三数学文模拟试题含解析
2018年上海嘉定区嘉一联合中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若a＝f(log47)，，c＝f(0.2－0.6)，则a、b、c的大小关系是( )A．c＜b＜a B．b＜c＜aC．c＜a＜b D．a＜b＜c参考答案：A略2. 已知f（x）是定义域为实数集R的偶函数，?x1≥0，?x2≥0，若x1≠x2，则＜0．如果f（）=，4f（log x）＞3，那么x的取值范围为（）A．（0，）B．（，2）C．（，1]∪（2，+∞）D．（0，）∪（，2）参考答案：B考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据条件判定函数的单调性，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行等价转化即可得到结论，解答：解：依题意得，函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，不等式4f（log x）＞3等价于f（log x）＞，∵f（）=，∴f（log x）＞f（），∵f（x）是定义域为实数集R的偶函数，∴不等式f（log x）＞f（）等价为f（|log x|）＞f（），即|log x|＜，则﹣＜log x＜，由此解得＜x＜2，故选B．点评：本题主要考查不等式的解法，利用条件判定函数的单调性是解决本题的关键，综合考查函数的性质的应用．3. 已知复数 (为虚数单位).则其共轭复数在复平面内所对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D.第四象限参考答案：A4. 已知是上的减函数，那么的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：C5. 若不等式4x2﹣log a x＜0对任意x∈（0，）恒成立，则实数a的取值范围为( )A．[，1）B．（，1）C．（0，）D．（0，]参考答案：A考点：指、对数不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得，x∈（0，）时，函数y=4x2的图象在函数y=log a x的图象的下方，可得0＜a＜1．再根据它们的单调性可得4×≤，解此对数不等式求得a的范围．解答：解：∵不等式4x2﹣log a x＜0对任意x∈（0，）恒成立，∴x∈（0，）时，函数y=4x2的图象在函数y=log a x的图象的下方，∴0＜a＜1．再根据它们的单调性可得4×≤，即 log a≤，∴≥，∴a≥．综上可得，≤a＜1，故选：A．点评：本题主要考查对数不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．6. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．参考答案：D略7. 在各项不为零的等差数列{a n}中，，数列{b n}是等比数列，且，则的值为（）A. 1B. 2C. 4D. 8参考答案：C【分析】根据等差数列的性质可知，代入方程可求出，再根据等比数列的性质即可代入求解.【详解】因为等差数列中，所以，因为各项不为零，所以，因为数列是等比数列，所以所以，故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列中，当时，，等比数列中，当时，，属于中档题.8. 若双曲线+=1（m＜0＜n）的渐近线方程是y=x，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得可得=，再由曲线的离心率为e=，运算求得结果．【解答】解：根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y=x，可得=，则该双曲线的离心率为e==，故选：B．9. 若,则满足等式的实数的取值范围是A. B. C. D.参考答案：A10. 已知集合，则a= ()A．1 B．-1 C．±1 D．0参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知,,,则参考答案：12. 设，若，则实数的取值范围是．参考答案：13. 在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于1，则a的值为．参考答案：1题意得直线过定点．①当a<0时，不等式组所表示的平面区域为上图中的M，一个无限的角形区域，面积不可能为2，故a<0不合题意；②当a≥0时，不等式组所表示的平面区域为上图中的N，为三角形区域．若这个三角形的面积为1，则有AB=2，所以点B的坐标为(1,2)，代入，得a=1．14. 不等式的解集是．参考答案：或略15. 已知数列{a n}满足a1=1，a n+a n﹣1=（）n（n≥2），S n=a1?2+a2?22+…+a n?2n，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得3S n﹣a n?2n+1= ．参考答案：n+1【考点】数列的应用；等差数列与等比数列的综合；类比推理．【分析】先对S n=a1?2+a2?22+…+a n?2n两边同乘以2，再相加，求出其和的表达式，整理即可求出3S n﹣a n?2n+1的表达式．【解答】解：由S n=a1?2+a2?22+…+a n?2n①得2?s n=a1?22+a2?23+…+a n?2n+1②①+②得：3s n=2a1+22（a1+a2）+23?（a2+a3）+…+2n?（a n﹣1+a n）+a n?2n+1=2a1+22×（）2+23×（）3+…+2n×（）n+a n?2n+1=2+1+1+…+1+2n+1?a n=n+1+2n+1?a n．所以3S n﹣a n?2n+1=n+1．故答案为n+1．16. 若直三棱柱的六个顶点在半径为R的同一球面上，且AC=CB=1，，，则该球的表面积为 .参考答案：略17. 设为双曲线的左右焦点，以为直径作圆与双曲线左支交于两点，且.则双曲线的离心率为 __________参考答案：【知识点】双曲线的应用．H6解析：∵以线段F1F2为直径的圆交双曲线左支于A，B两点，且∠AF1B=120°，∴△OF1A是等边三角形∴|AF1|=c，，∴，∴=故答案为。
2018嘉兴数学一模答案
嘉兴市2018年第一次高职模拟考试数学答案一、单项选择题（本大题共20小题，1-12小题每小题2分，13-20小题每小题3分，共48分）二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）三、解答题（本大题共9小题，共74分，解答应写出文字说明及演算步骤） 28.(6分) 解：原式=344112--+22lg100⨯1 …………………5分 3242== ………………… 1分29.(7分) 解：22(1)7x y ++=圆方程可化为:（-2）,故可设圆心为M （2，-1） ……………………………2分 则直线PM 即为最长弦所在直线，31122PM k +==--- …………………………2分 :1(2)PM l y x +=--…………………………2分即最长弦所在直线方程为：10x y +-=……………………1分30.(8分) 解：（1）3-1233a a =---由题意得：……………………………2分 2a ∴= …………………………………1分故B （0，3）抛物线方程为212x y =，………………………………2分（2）A(3，2)，过A 点且平行于X 轴的直线为2y =……………1分 它与直线的交点坐标为43（,2）………………………………2分 31.(8分) 解：（1）212()()r n r r r n T C x x-+=-…………………………2分 23(2)r r n r n C x -=- ………………………1分故22(2)144n C -=，解得9n =……………………2分（2）由（1）知，18319(2)r r r r T C x -+=-令18-306r r ==，则…………………2分故常数项为667619(2)5376T T C +==-=…………………1分32.(9分) 解：（1）()sin 2cos 2f x x x =-2分)4x π=-2分故 55())sin()2424462f ππππ=⨯-==1分（2）max sin(2)1()4x f x π-==当时， ……………… 2分 此时，2=2,42x k k Z πππ-+∈即：{}3=,8x x k k Z ππ+∈时，()f x ……… 2分33.(9分) 解：（1）由正弦定理得： 2222222b a c ac =++，即 222a c b ac +-=-……………………2分2221cos 222a cb ac B ac ac +--===- …………………………… 2分 120B ∴=︒ …………………………………………………… 1分(2)21sin ,sin120sin 2C C ==︒由得又120B =︒ ==30A C ∴︒，三角形为等腰三角形，2a c ==…………………………2分11sin 22222ABC S ac B ∆==⋅⋅=………… 2分 34.(9分) （1）解：由题意知，后一个正方形的面积是前一个正方形面积的2倍，由此各正方形面积形成了一个以4为首项，以2为 公比的等比数列。
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上海市长宁（嘉定）区2018届高三一模数学试卷
2017.12
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 已知集合{1,2,3,4}A =，{2,4,5}B =，则A B =
2. 不等式
01
x x ≤+的解集为 3. 已知4sin 5
α=，则cos()2πα+= 4. 131lim 31n n n +→∞-=+ 5. 已知球的表面积为16π，则该球的体积为
6. 已知函数()1log a f x x =+，1()y f x -=是函数()y f x =的反函数，若1()y f x -=的图像 过点(2,4)，则a 的值为
7. 若数列{}n a 为等比数列，且53a =，则2
738
a a a a -= 8. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、
b 、
c ，若()()a b c a b c ac ++-+=，则B =
9. 若1
(2)n x x
+的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的 值为
10. 已知函数()f x 是定义在R 上且周期为4的偶函数，当时[2,4]x ∈，
43()|log ()|2f x x =-，则1()2
f 的值为 11. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，1
2n n n S a a +=（*n N ∈），若1
21(1)n n n n n b a a ++=-， 则数列{}n b 的前n 项和n T =
12. 若不等式222()x y cx y x -≤-对满足0x y >>的任意实数x 、y 恒成立，则实数c 的最大值为
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 设角α的始边为x 轴正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sin 0α>”的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件
D. 既非充分又非必要条件
14. 若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线， 则下列命题一定正确的是（ ）
A. l 与1l 、2l 都不相交
B. l 与1l 、2l 都相交
C. l 至多与1l 、2l 中的一条相交
D. l 至少与1l 、2l 中的一条相交
15. 对任意两个非零的平面向量α 和β ，定义||cos ||
ααβθβ⊗= ，其中θ为α 和β 的夹角， 若两个非零的平面向量a 和b 满足：① ||||a b ≥ ；② a 和b 的夹角(0,)4πθ∈；③ a b ⊗ 和 b a ⊗ 的值都在集合{|,}2
n x x n N =∈中，则a b ⊗ 的值为（ ） A. 52 B. 32
C. 1
D. 12 16. 已知函数1202()12212x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩
，且1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x -=， 1,2,3,n =⋅⋅⋅，则满足方程()n f x x =的根的个数为（ ）
A. 2n 个
B. 22n 个
C. 2n 个
D. 2(21)n -个
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，设长方体1111ABCD A B C D -中，3AB BC ==，14AA =.
（1）求四棱锥1A ABCD -的体积；
（2）求异面直线1A B 与1B C 所成角的大小.
（结果用反三角函数值表示）
18. 已知复数z
满足||z =，2z 的虚部为2.
（1）求复数z ；
（2）设z 、2z 、2z z -在复平面上的对应点分别为A 、B 、C ，求ABC ∆的面积.
19. 一根长为L 的铁棒AB 欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽2AC BD m ==.
（1）设BOD θ∠=，试将L 表示为θ的函数；
（2）求L 的最小值，并说明此最小值的实际意义.
20. 已知函数()22x x f x -=+.
（1）求证：函数()f x 是偶函数；
（2）设a R ∈，求关于x 的函数22222()x x y af x -=+-在[0,)x ∈+∞时的值域()g a 表达式；
（3）若关于x 的不等式()21x mf x m -≤+-在(0,)x ∈+∞时恒成立，求实数m 的取值范围.
21. 已知数列{}n a 满足：11a =
，
11n a +=*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足
21221
1683n n n n S S n n a a ++=+--，试确定1b 的值， 使得数列{}n b 为等差数列； （3）将数列21{
}n
a 中的部分项按原来顺序构成新数列{}n c ，且15c =，求证：存在无数个 满足条件的无穷等比数列{}n c .
参考答案
一. 填空题
1. {2,4}
2. (1,0]-
3. 45-
4. 13
5. 323
π 6. 4 7. 18
8. 23π 9. 1120 10. 12 11. 1
1(1)1
n n n +++--+ 12. 4
二. 选择题
13. A 14. D 15. B 16. C
三. 解答题
17.（1）12；（2）16arccos 25
. 18.（1）1z i =+或1z i =--；（2）1.
19.（1）22sin cos L θθ
=+；（2）min L =. 20.（1）证明略；（2）2a ≤时，值域为[24,)a -+∞，2a >时，值域为2[2,)a --+∞；
（3）13m ≤-.
21.（1）
n a =
；（2）11b =；（3）证明略.。