高中数学第二章第4节二次函数性质的再研究课时作业北师大版必修1

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高一数学必修1教师用书：第二章 §4 二次函数性质的再研究 4.1 二次函数的图像(北师大)

问题2：由f(x)＝2x2的图像如何得到f(x)＝2(x－1)2＋1的图像？
提示：把f(x)＝2x2的图像沿x轴向右平移1个单位，再沿 y轴向上平移1个单位，即可得到f(x)＝2(x－1)2＋1的图像．
问题3：f(x)＝2x2与f(x)＝－2x2的图像有什么区别？提示：开口大小相同，开口方向相反．
1．二次函数的定义函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) 叫做二次函数，定义域为 R . 2．二次函数的图像变换 (1)二次函数y＝ax2(a≠0)的图像可由y＝x2的图像各点的纵坐标变为原来的 a 倍得到；
(2)从图中可以看出，二次函数y＝ax2(a≠0)中的a决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小；
因此，画此函数图像，应利用函数的对称性列表，在顶点的两侧适当地选取两对对称点，然后描点、画图即可． (1)利用二次函数的对称性列表：
x4 5 6 7 8 y 5 3.5 3 3.5 5
(2)描点、连线即得函数 y＝12x2－6x＋21 的图像，
如图所示．把 y＝12x2 的图像向右平移 6 个长度单位，向上平移 3 个长度单位，就可得到 y＝12x2－6x＋21 的图像．
即上述平移规律“h值正、负，左、右移”，亦即“加时左移，减时右移”；“k值正、负，上、下移”，即“加时上移，减时下移”．
1．如何把y＝2x2－4x的图像变换为y＝x2的图像？解：∵y＝2x2－4x＝2(x－1)2－2，故可先把 y＝2x2－4x 的图像向上平移 2 个单位长度得到 y＝2(x－1)2 的图像，然后再把 y＝2(x－1)2 的图像向左平移 1 个单位长度，得到 y＝2x2 的图像，最后把 y＝2x2 的图像纵坐标变为原来的12，便可得到 y＝x2 的图像．

学高中数学第二章二次函数性质的再研究讲解与例题北师大版必修1

4 二次函数性质的再研究(1)函数y ＝x 2和y ＝ax 2(a ≠0)的图像之间的关系二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图像可由y ＝x 2的图像各点的纵坐标变为原来的a 倍得到，参数a 的取值不同，函数及其图像也有区别，a 决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．当a ＞0时，二次函数y ＝ax 2的图像开口向上，当a ＜0时，图像开口向下．而且，当a ＞0时，a 的值越大，函数y ＝ax 2的图像开口越小，a 的值越小，函数y ＝ax 2的图像开口越大；当a ＜0时，a 的值越小，函数y ＝ax 2的图像开口越小，a 的值越大，函数y ＝ax 2图像开口越大．也就是说，|a |越大，抛物线的开口越小；反之，|a |越小，抛物线的开口越大．(2)函数y ＝ax 2和y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的图像之间的关系函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的图像可以由函数y ＝ax 2(a ≠0)的图像向左(h ＞0)或向右(h＜0)平移|h |个单位，再向上(k ＞0)或向下(k ＜0)平移|k |个单位得到．h 决定了二次函数图像的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图像的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．可简记为“左加右减，上加下减”．由于只进行了图像的平移变换，所以函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的图像与函数y ＝ax 2(a ≠0)的图像形状相同，只是位置不同．(3)函数y ＝ax 2和y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像之间的关系二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)通过配方可以得到其恒等形式y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，从而可以知道，由y ＝ax 2的图像如何平移就得到y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像．对于二次函数y＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(a ≠0)，二次项系数a 决定着函数图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小；b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置，抛物线的对称轴是直线2b x a=-，它是一条平行于y 轴或与y 轴重合的直线；a ，b ，c 共同决定抛物线顶点24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的位置，c 的大小决定抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交点的位置，当c ＝0时，抛物线经过坐标原点，当c ＞0时，抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴，当c ＜0时，交点在y 轴的负半轴．【例1－1】(1)由y ＝－2x 2的图像，如何得到y ＝－2(x ＋1)2－3的图像？(2)把y ＝2x 2的图像，向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，能得到哪个函数的图像？(3)将函数y ＝4x 2＋2x ＋1写成y ＝a (x ＋h )2＋k 的形式，并说明它的图像是由y ＝4x 2 的图像经过怎样的变换得到的？解：(1)把y ＝－2x 2的图像向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度就得到y ＝－2(x ＋1)2－3的图像．(2)把y ＝2x 2的图像，向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，就得到函数y＝2(x －3)2＋4，即y ＝2x 2－12x ＋22的图像．(3)y ＝4x 2＋2x ＋1＝21412x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝21114121616x x ⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭ ＝22111341441644x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+=++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 把y ＝4x 2的图像向左平移14个单位长度，再向上平移34个单位长度，就可得到函数y ＝4x 2＋2x ＋1的图像．【例1－2】在同一坐标系中作出下列函数的图像，并分析如何把y ＝x 2的图像变换成y ＝2x 2－4x 的图像．(1)y ＝x 2；(2)y ＝x 2－2；(3)y ＝2x 2－4x .分析：解答本题可就每个函数列表、描点连线，作出相应图像，然后利用图像以及二次函数的平移变换规律分析y ＝x 2与y ＝2x 2－4x 的图像之间的关系．解：(2)y ＝2x 2－4x＝2(x 2－2x )＝2(x 2－2x ＋1－1)＝2(x －1)2－2.由y ＝x 2到y ＝2x 2－4x 的变化过程如下．方法一：先把y ＝x 2的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y ＝2x 2的图像，然后把y ＝2x 2的图像向下平移2个单位长度得到y ＝2x 2－2的图像，最后把y ＝2x 2－2的图像向右平移1个单位长度得到y ＝2(x －1)2－2，即y ＝2x 2－4x 的图像．方法二：先把y ＝x 2的图像向右平移1个单位长度得到y ＝(x －1)2的图像，然后把y ＝(x－1)2的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y ＝2(x －1)2的图像，最后把y ＝2(x －1)2的图像向下平移2个单位长度便可得到y ＝2(x －1)2－2，即y ＝2x 2－4x 的图像．析规律 y ＝x 2与其他二次函数的关系所有二次函数的图像均可以由函数y ＝x 2的图像经过变换得到，变换前，先将二次函数的解析式化为顶点式，再确定变换的步骤．常用的变换步骤如下：y ＝x 2------------→横不变纵变为原来的a 倍y ＝ax 2------------→k >0，上移k <0，下移y ＝ax 2＋k ------------------→h >0，左移h <0，右移y ＝a (x ＋h )2＋k ，其中a 决定开口方向及开口大小(或纵坐标的拉伸)；h 决定左、右平移，k 决定上、下平移．【例1－3】已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 与函数y ＝－2x 2＋3x 有相同的开口方向和大小，与函数2112y x x =-+有相同的对称轴，与函数y ＝4x 2－x －1在y 轴上有相同的交点． (1)求f (x )． (2)由y ＝x 2的图像能得到f (x )的图像吗？分析：(1)根据a ，b ，c 对f (x )的图像影响，由y ＝－2x 2＋3x 确定a ，由2112y x x =-+确定b ，由y ＝4x 2－x －1确定c ；(2)由y ＝x 2的图像得f (x )的图像要分步骤：y ＝x 2→y ＝ax 2→y＝a (x ＋h )2→y ＝a (x ＋h )2＋k ，因此先将f (x )的解析式化为f (x )＝a (x ＋h )2＋k 的形式．解：(1)∵f (x )与y ＝－2x 2＋3x 有相同的开口方向和大小，∴a ＝－2.∵f (x )与函数2112y x x =-+有相同的对称轴14x =，∴124b a -=. 又∵a ＝－2，∴b ＝1.∵f (x )与函数y ＝4x 2－x －1在y 轴上有相同的交点(0，－1)，∴c ＝－1.∴f (x )＝－2x 2＋x －1.(2)f (x )＝217248x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭. 将函数y ＝x 2图像的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的－2倍得到函数y ＝－2x 2的图像；将函数y ＝－2x 2的图像向右平移14个单位，再向下平移78个单位得到函数217248y x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭的图像，即函数y ＝－2x 2＋x －1的图像．谈重点由y ＝x 2的图像得到y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像的基本要求解决本题的关键是明确a ，b ，c 对函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图像的影响以及利用配方法将y ＝ax 2＋bx ＋c 化为y ＝a (x ＋h )2＋k 的形式，这是一项基本要求，往往由于配方过程中出现错误导致后面解答全部错误．2．二次函数图像的草图画法画二次函数的图像时，重点体现抛物线的特征“三点一线一开口”．“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x 轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．根据这些特征，在坐标系中可快速画出抛物线的草图，使画图的操作更简便，使图像更精确．【例2】画出函数y ＝2x 2－4x －6的草图．解：y ＝2x 2－4x －6＝2(x 2－2x )－6＝2(x 2－2x ＋1－1)－6＝2[(x －1)2－1]－6＝2(x －1)2－8.函数图像的开口向上，顶点坐标为(1，－8)，对称轴为直线x ＝1.令y ＝0得2x 2－4x －6＝0，即x 2－2x －3＝0，∴x ＝－1或x ＝3，故函数图像与x 轴的交点坐标为(－1,0)，(3,0)．画法步骤：(1)描点画线：在平面直角坐标系中，描出点(1，－8)，(－1，0)，(3,0)，画出直线x ＝1；(2)连线：用光滑的曲线连点(1，－8)，(－1,0)，(3,0)，在连线的过程中，要保持关于直线x ＝1对称，即得函数y ＝2x 2－4x －6的草图，如图所示．3．二次函数解析式的求法求二次函数的解析式，应根据已知条件的特点，灵活地运用解析式的形式，选取最佳方案，用待定系数法求之．(1)当已知抛物线上任意三点时，通常设所求二次函数为一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c为常数，a ≠0)，然后列出三元一次方程组求解．(2)当已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式y ＝a (x ＋h )2＋k (其顶点是(－h ，k )，a ≠0)．(3)当已知二次函数图像与x 轴的两个交点的坐标为(x 1,0)，(x 2,0)，则设所求二次函数为交点式y ＝a (x －x 1)·(x －x 2)(a ≠0)．【例3】已知二次函数的图像的顶点坐标是(1，－3)，且经过点P (2,0)，求这个函数的解析式．分析：本题已知图像上两点的坐标(1，－3)和(2,0)，若不考虑已知点的特点，设二次函数的一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)似乎差一个条件，但注意到点(1，－3)是抛物线的顶点，再利用对称轴方程，就可以列出关于a ，b ，c 的三元一次方程组，从而得解；根据顶点坐标是(1，－3)，也可设二次函数的顶点式y ＝a (x －1)2－3(a ≠0)，只需将点P (2,0)的坐标代入，即可求出a ；若看到P (2,0)点是图像与x 轴的交点，利用对称性即可求出图像与x 轴的另一个交点，设二次函数的交点式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)也能求解．解：(方法1)设所求函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意，得3,420,1,2a b c a b c b a⎧⎪++=-⎪++=⎨⎪⎪-=⎩解得3,6,0.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴所求函数的解析式为y ＝3x 2－6x .(方法2)设所求函数的解析式为y ＝a (x －1)2－3(a ≠0)，由图像经过点P (2,0)，得a (2－1)2－3＝0，解得a ＝3.∴所求函数的解析式为y ＝3(x －1)2－3，即y ＝3x 2－6x .(方法3)∵二次函数的图像的顶点坐标为(1，－3)，∴其对称轴为直线x ＝1.又∵图像与x 轴的一个交点坐标为P (2,0)，∴由对称性可知，图像与x 轴的另一个交点坐标为(0,0)．∴可设所求函数的解析式为y ＝a (x －0)(x －2)(a ≠0)．∵图像的顶点坐标是(1，－3)，∴a (1－0)(1－2)＝－3，解得a ＝3.∴所求函数的解析式为y ＝3x (x －2)，即y ＝3x 2－6x .析规律二次函数图像对称性的一个用途若二次函数y ＝f (x )的图像与x 轴的两个交点坐标为(x 1,0)和(x 2,0)，则其对称轴方程为122x x x +=，由此可以看出，已知二次函数的对称轴及其与x 轴的一个交点坐标，即可求出另一个交点的坐标． 4．二次函数的性质二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 可以通过配方转化为f (x )＝22424b ac b a x a a -⎛⎫++ ⎪⎝⎭，结合理解记忆二次函数的主要性质．以上大部分性质在初中都已了解，新增加的是单调区间，所以，教科书首先通过图像观察得到函数的单调区间，然后利用单调性的定义进行了严格的证明，用定义证明函数单调性的方法和步骤在前面已经学过．【例4－1】分别指出下列二次函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴方程，写出函数的单调区间及最大值或最小值．(1)y ＝x 2－4x ＋9；(2)y ＝－2x 2＋4x －3.分析：首先将所给的二次函数解析式配方化成顶点式，然后利用图像研究其性质．解：(1)y ＝x 2－4x ＋9＝(x －2)2＋5，由于x 2的系数是正数，所以函数图像开口向上；顶点坐标为(2,5)；对称轴方程为x ＝2；函数在区间(－∞，2]上是减少的，在区间[2，＋∞)上是增加的；函数有最小值，没有最大值，函数的最小值是5.(2)y ＝－2x 2＋4x －3＝－2(x －1)2－1，由于x 2的系数是负数，所以函数图像开口向下；顶点坐标为(1，－1)；对称轴方程为x ＝1；函数在区间(－∞，1]上是增加的，在区间[1，＋∞)上是减少的；函数有最大值，没有最小值，函数的最大值是－1.【例4－2】抛物线y ＝8x 2－(m ＋1)x ＋m －7的顶点在x 轴上，则m ＝________.解析：∵抛物线y ＝8x 2－(m ＋1)x ＋m －7的顶点在x 轴上，∴其顶点的纵坐标248(7)(1)48m m ⨯⨯--+⨯＝0，即m 2－30m ＋225＝0，∴(m －15)2＝0，∴m ＝15. 答案：15析规律抛物线顶点的用途抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a ，当顶点在x 轴上时，其纵坐标4ac －b 24a ＝0；当顶点在y 轴上时，其横坐标－b 2a＝0. 【例4－3】若函数y ＝x 2＋2(a －1)x ＋2在(－∞，4]上是减函数，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，－3]B ．[－3，＋∞)C ．(－∞，5]D ．[5，＋∞)解析：易知函数y ＝x 2＋2(a －1)x ＋2是二次函数，其图像的开口向上，对称轴是直线x＝1－a ，此函数在区间(－∞，1－a ]上是减少的，若函数在(－∞，4]上是减函数，则区间(－∞，4]是(－∞，1－a ]的子区间，故1－a ≥4，∴a ≤－3.答案：A求二次函数的最值或值域，基本的方法是配方法，当限定在某个闭区间上时，关键是确定函数图像的开口方向和对称轴与所给区间的相对位置，结合函数图像确定该函数的单调性、最大值或最小值是在端点处取得还是在顶点处取得．谈重点 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在区间[p ，q ]上的最值一般地，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在闭区间[p ，q ]上的最值有下列四种情况：(1)当－b2a＜p ，即对称轴在区间[p ，q ]的左边时，画出草图如图①，从图像上易得f (x )在[p ，q ]上是增加的，则f (x )min ＝f (p )，f (x )max ＝f (q )．(2)当p ≤－b 2a ≤p ＋q 2，即对称轴在区间[p ，q ]的左端点与区间中点之间时，画出草图如图②.从图像上易得f (x )在[p ，q ]上的最值情况是f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝4ac －b 24a ，f (x )max ＝f (q )． (3)当p ＋q 2＜－b 2a≤q ，即对称轴在区间[p ，q ]的中点与右端点之间时，画出草图如图③.从图像上易得f (x )在[p ，q ]上的最值情况是f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝4ac －b 24a ，f (x )max ＝f (p )． (4)当－b 2a＞q ，即对称轴在区间[p ，q ]的右边时，画出草图如图④.从图像上易得f (x )在[p ，q ]上是减少的，则f min max ＝f【例5】已知函数f (x )＝x 22，x ∈[－5,5]．(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)用a 表示出函数在[－5,5]上的最值；(3)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在[－5,5]上是单调函数．分析：f (x )＝x 2＋2ax ＋2＝(x ＋a )2＋2－a 2.(1)当a ＝－1时，由于对称轴x ＝1在区间[－5,5]内，则由图像知函数f (x )的最大值是f (－5)，最小值是f (1)；(2)中对称轴x ＝－a ，要根据对称轴与区间[－5,5]的相对位置来讨论最值，因此要对对称轴的位置分类讨论； (3)切入点是单调函数，结合图像可知对称轴不能在区间[－5,5]内部，因此也要讨论对称轴的位置．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]，其图像如图①，由图可知，当x＝1时，f(x)取得最小值，f(x)min＝f(1)＝1.当x＝－5时，f(x)取得最大值，f(x)max＝f(－5)＝(－5－1)2＋1＝37.(2)函数y＝f(x)＝(x＋a)2＋2－a2图像的对称轴为x＝－a.①当－a≤－5，即a≥5时，函数在区间[－5,5]上是增加的，所以f(x)max＝f(5)＝27＋10a，f(x)min＝f(－5)＝27－10a；②当－5＜－a≤0，即0≤a＜5时，函数图像如图②所示，由图可知，f(x)max＝f(5)＝27＋10a，f(x)min＝f(－a)＝2－a2；③当0＜－a≤5，即－5≤a＜0时，函数图像如图③所示，由图可知，f(x)max＝f(－5)＝27－10a，f(x)min＝f(－a)＝2－a2；④当－a≥5，即a≤－5时，函数在区间[－5,5]上是减少的，所以f(x)min＝f(5)＝27＋10a，f(x)max＝f(－5)＝27－10a.(3)由(2)可知若函数f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，则有a≤－5或a≥5.析规律利用二次函数图像的对称性求最值当函数的解析式中含有参数或给定的区间不固定时，求二次函数在此区间上的最值，应按开口方向或对称轴与所给区间的相对位置进行正确合理的讨论．讨论时要考虑二次函数的对称轴在区间的某侧还是在区间内，从而确定函数的单调区间；当对称轴在区间内部时，还要考虑区间的两个端点与对称轴的距离的远近，当开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，离对称轴越近，函数值越小；反之，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，离对称轴越近，函数值越大．6．一元二次方程与二次函数的关系一元二次方程与二次函数的关系是方程与函数关系的特例，是研究函数与方程关系的典范．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是相应的二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时的自变量x的值，从图像上看，就是抛物线与x轴交点的横坐标．谈重点二次函数与一元二次方程的联系当一元二次方程的判别式Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，此时对应的二次函数的图像与x轴有两个不同的交点；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，此时对应的二次函数的图像与x轴只有一个公共点；当Δ＜0时，方程没有实数根，此时对应的二次函数的图像与x轴没有交点．当a＞0时，它们之间的关系如下图所示：方法解决比较繁琐，甚至无法求解，此时若借助于二次函数及图像，则问题会转化为易于理解和表达的问题．例如，实数a 为何值时，关于x 的一元二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋2a ＝0有一根小于－1，另一根大于1?显然，如果使用根与系数的关系或求根公式求解非常困难，我们可以利用相应的二次函数的图像解决该问题．设f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋2a ，画出该函数的图像(如下图)，方程的两根中一根小于－1，另一根大于1，等价于函数的图像与x 轴的一个交点在－1的左侧，另一个交点在1的右侧，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f －1，f ，由此可解得a ＜－23.布问题，使难以处理的问题转化的非常直观简单．一般情况下，用二次函数的图像处理一元二次方程根的分布问题，要从多个方面考虑使结论成立的等价条件，如判别式、对称轴、函数值的正负大小等．【例6－1】已知f (x )＝1－(x －a )(x －b )，并且m ，n 是方程f (x )＝0的两根，则实数a ，b ，m ，n 的大小关系可能是( )．A ．m ＜a ＜b ＜nB ．a ＜m ＜n ＜bC ．a ＜m ＜b ＜nD ．m ＜a ＜n ＜b解析：由f (x )＝1－(x －a )(x －b )可知，二次函数f (x )的开口向下，且f (a )＝f (b )＝1＞0.∵m ，n 是方程f (x )＝0的两根，∴f (m )＝f (n )＝0.由f (x )的图像可知，实数a ，b ，m ，n 的关系可能是m ＜a ＜b ＜n (如图所示)．答案：A【例6－2】若方程232x x k -=在(－1,1)上有实根，求k 的取值范围．分析：显然利用求根公式求解不可取，我们可以利用相应二次函数的图像解决该问题，或将其转化为二次函数232k x x =-在区间(－1,1)上的值域问题．解：(方法1)设f (x )＝x 2－32x －k ，函数f (x )的图像开口向上，对称轴为直线34x =. 若方程x 2－32x ＝k 在(－1,1)上有两实根，则函数f (x )的图像如图甲所示，故即()()()()222340,231110,231110,2k f k f k ⎧⎛⎫∆=-+≥⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪=-⨯->⎨⎪⎪-=--⨯-->⎪⎪⎩9,16191,.21625,2k k k k ⎧≥-⎪⎪⎪<-∴-≤<-⎨⎪⎪<⎪⎩. 若方程232x x k -=在(－1,1)上有一实根，则函数f (x )的图像如图乙、丙所示，故(1)0,(1)0,f f ->⎧⎨≤⎩即223(1)(1)0,23110,2k k ⎧--⨯-->⎪⎪⎨⎪-⨯-≤⎪⎩∴5,21,2k k ⎧<⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩ ∴1522k -≤<.综上所述，实数k 的取值范围是95,162⎡⎫-⎪⎢⎭. (方法2)方程22x x k -=可以看作是k 关于x 的二次函数232k x x =-，配方得239416k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其对称轴方程为34x =，函数在区间31,4⎛⎤- ⎥⎝⎦上是减少的，在区间3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增加的(图像如图所示)．由函数的单调性可知，此函数在区间(－1,1)上的值域为3,(1)4f f ⎫⎛⎫- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭， ∵233339442416f ⎛⎫⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， f (－1)＝(－1)2－32×(－1)＝52， ∴实数k 的取值范围是95,162⎡⎫-⎪⎢. 在实际生活中，有很多最优化问题可以通过建立二次函数模型，并借助二次函数的图像和性质加以解决，其解题的关键是列出二次函数解析式，转化为求二次函数的最值问题．例如：某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元．销根据题表，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶．设在进价基础上增加x 元后，日均销售利润为y 元，而在此情况下的日均销售量就为：480－40(x －1)＝520－40x (桶)．由于x ＞0，且520－40x ＞0，即0＜x ＜13，于是可得y ＝(520－40x )·x －200＝－40x 2＋520x－200＝－40(x －6.5)2＋1 490,0＜x ＜13.易知，当x ＝6.5时，y 有最大值．所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润，最大利润为1 490元．【例7】某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数： R (x )＝21400,0400,280000,400,x x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪>⎩ 其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数．(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？(总收益＝总成本＋利润)分析：(1)由于总收益＝总成本＋利润，则利润＝总收益－总成本，总收益是R (x )，总成本＝固定成本＋可变成本＝20 000＋100x ，因此利润＝R (x )－(20 000＋100x )；(2)由于R (x )是分段函数，则利润关于月产量也是分段函数，求出各“段”上的最大值，研卷知古今；藏书教子孙。

北师大版必修一《2.4.2二次函数的性质》课时训练及答案

课时提能演练(十一) / 课后巩固作业(十一)(30分钟 50分)一、选择题（每小题4分，共16分）1.(2018·张掖高一检测)函数f(x)=x2+mx+1的图像关于直线x=1对称,则( )(A)m=-2 (B)m=2(C)m=-1 (D)m=12.二次函数y=4x2-mx+5的对称轴为x=-2,则当x=1时，y的值为( )（A）-7 （B）1 （C）17 （D）253.(2018·安溪高一检测）如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间（-∞,4］上是减少的，那么实数a的取值范围是( )（A）a≤-3 （B）a≥-3 （C）a≤5 （D）a≥54.若函数f(x)=x2+ax+b的图像与x轴的交点为(1,0)和(3,0)，则函数f(x)( )(A)在(-∞,2］上是减少的，在［2,+∞)上是增加的(B)在(-∞,3)上是增加的(C)在［1,3］上是增加的(D)单调性不能确定二、填空题（每小题4分，共8分）5.(2018·蚌埠高一检测）函数y=x2+ax+3(0<a<2)在［-1，1］上的最大值是_____,最小值是______.6.已知关于x的函数f(x)=ax2+bx+c（a,b,c为常数），且ab≠0，若f(x1)=f(x2)(x1≠x2)，则f(x1+x2)的值等于______________.三、解答题（每小题8分，共16分）7.(2018·淮安高一检测）已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)=f(2)=3.(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)在区间［2a,a+1］上不单调，求a的取值范围.8.（易错题）某商场以每件42元的价格购进一种服装,根据试营销量得知:这种服装每天的销售量t(t＞0,t∈N)件与每件的销售价x(x＞42,x∈N)元之间可看成是一次函数关系:t=-3x+204.(1)写出商场每天卖这种服装的销售利润y元与每件的销售价x元之间的函数关系式(每天的销售利润是指所卖出服装的总销售所得与购进这些服装所花费金额的差);(2)通过对所得函数关系式进行配方,指出:商场要想每天获得最大的销售利润,每件的销售价定为多少最合适?最大销售利润为多少?【挑战能力】[:（10分）已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b是常数且a≠0)满足条件:f(2)=0且方程f(x)=x有等根.(1)求f(x)的解析式;(2)问是否存在实数m、n（m＜n）使f(x)的定义域和值域分别为［m,n］和［2m,2n］？如果存在，求出m、n的值；如果不存在，请说明理由.答案解析1.【解析】选A.函数f(x)=x2+mx+1的图像的对称轴为x=-m2,于是-m2=1,得m=-2,故选A.2.【解析】选D.∵二次函数y=4x2-mx+5的对称轴为x=m24⨯,∴m8=-2,∴m=-16,∴f(1)=4×12+16×1+5=25.3.【解析】选A.函数f(x)的对称轴方程为x=-()2a121-⨯=1-a,要使函数f(x)在区间(-∞,4］上是减少的,必须1-a≥4,∴a≤-3.4.【解析】选A.由已知可得该函数的图像的对称轴为x=2,又二次项系数为1＞0,所以f(x)在（-∞,2］上是减少的，在［2,+∞)上是增加的,故选A.5.【解析】函数y=x2+ax+3的对称轴方程为x=-a2,∵0<a<2,∴-1<-a2<0,∴f(x)max=f(1)=4+a,f(x)min=f(-a2)=3-2a4.答案:4+a 3-2 a 46.【解析】∵x1+x2=-ba,∴f(x1+x2)=f(-ba)=a(-ba)2+b(-ba)+c=2ba-2ba+c=c.答案：c7.【解析】（1）∵f(x)为二次函数且f(0)=f(2),∴对称轴为x=1.又∵f(x)最小值为1，∴可设f(x)=a(x-1)2+1(a>0).∵f(0)=3,∴a=2,∴f(x)=2(x-1)2+1,即f(x)=2x2-4x+3.（2）由条件知2a<1<a+1,∴0<a<12.8.【解析】(1)由题意得,每天的销售利润y元与每件的销售价x元之间的函数关系式为y=(x-42)(-3x+204)=-3x2+330x-8 568(42＜x＜68,x∈N).(2)由(1)得y=-3(x-55)2+507(42＜x ＜68,x ∈N)，则当x=55时,y max =507.即当每件的销售价定为55元时,可获得最大的销售利润,每天的最大销售利润为507元.【误区警示】解答本题易漏掉函数的定义域而导致解析过程不完善.【挑战能力】【解题指南】本题是一道求函数解析式、定义域、值域的综合题，应从f(2)=0和f(x)=x 有等根着手，逐个击破.【解析】（1）∵方程ax 2+(b-1)x=0(a ≠0)有等根,∴Δ=(b-1)2-4a ×0=0,∴b=1.又f(2)=0,∴4a+2b=0,∴a=-12. ∴f(x)=-12x 2+x. （2）假设存在所求，∵f(x)=-12(x-1)2+12≤12, ∴2n ≤12,∴n ≤14. 又二次函数f(x)=-12(x-1)2+12的对称轴方程为x=1, ∴当n ≤14时,f(x)在［m,n ］上是增加的，则()()f m 2m,f n 2n,=⎧⎪⎨=⎪⎩ 即221m m 0m 0m 2,21n n 0n 0n 2.2⎧--=⇒==-⎪⎪⎨⎪--=⇒==-⎪⎩或或 ∵m ＜n ≤14,∴m=-2,n=0. ∴存在实数m=-2,n=0使f(x)的定义域为［-2,0］,值域为［-4,0］.。

高中数学第二章函数4二次函数性质的再研究课时跟踪训练含解析北师大版必修1

二次函数性质的再研究[A 组学业达标]1．设点(3,1)及(1,3)为二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋b 的图像上的两个点，则( )A ．a ＝12，b ＝52B ．a ＝12，b ＝－52C ．a ＝－12，b ＝52D ．a ＝－12，b ＝－52 解析：由题知⎩⎨⎧ f (3)＝9a －6a ＋b ＝1，f (1)＝a －2a ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－12，b ＝52.答案：C2．若一次函数y ＝ax ＋b 的图像经过第二、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2＋bx 的图像只可能是( )解析：由一次函数特点知a ＜0，b ＜0，所以对二次函数y ＝ax 2＋bx 而言，开口向下，且对称轴x ＝－b 2a ＜0在y 轴的左边，故C 选项正确．答案：C3．(2019·天津市七校高一模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2ax 在x ∈[－2,1]上有最小值－1，则a 的值为( )A ．－1或1B 、54C 、54或－ 1D 、54或1或－1解析：函数的对称轴是x ＝－a ，当函数的最小值是－1时，有⎩⎨⎧ －a ≤－2，f (－2)＝4－4a ＝－1或⎩⎨⎧ －2＜－a ＜1，f (－a )＝－a 2＝－1或⎩⎨⎧－a ≥1，f (1)＝1＋2a ＝－1，解得a ＝±1，故选A 、答案：A 4．(2019·天津一中高一模拟)已知二次函数f (x )＝x 2－2x －4在区间[－2，a ]上的最小值为－5，最大值为4，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－2,4]C ．[1,4]D ．[1，＋∞)解析：在f (x )＝x 2－2x －4中，f (－2)＝f (4)＝4，f (1)＝－5，所以当y ∈[－5,4]时，a ∈[1,4]．答案：C5．若函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上单调，则实数a 的取值范围为________．解析：函数f (x )在(－∞，a ]上单调递减，在[a ，＋∞)上单调递增，故由题知，a ≤1或a ≥2、答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)6．若顶点坐标为(2，－2)的二次函数f (x )的图像与g (x )＝－3(x ＋1)2的图像开口大小相同，方向相反，则二次函数f (x )的解析式为________．解析：由题意可得函数f (x )的顶点式f (x )＝3(x －2)2－2，即f (x )＝3x 2－12x ＋10、答案：f (x )＝3x 2－12x ＋107．已知二次函数f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2，a ]，且f (x )的最小值为f (a )，则a 的取值范围是________．解析：结合函数图像(图略)由题意知，[2，a ]⊆(－∞，3]，∴2＜a ≤3、答案：(2,3]8．已知二次函数y ＝12x 2＋2x ＋1、(1)写出函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、最值，并指出它可由y ＝x 2的图像怎样变化得到;(2)求函数图像与y 轴、x 轴的交点;(3)作出函数的图像;(4)求函数的单调区间;(5)观察图像：当x 为何值时，y ＞0？当x 为何值时，y ＝0？当x 为何值时，y ＜0?解析：(1)∵y＝12x 2＋2x ＋1＝12(x ＋2)2－1，∴函数图像的开口向上，顶点坐标是(－2，－1)，对称轴是直线x ＝－2、∵a ＝12＞0，函数没有最大值，有最小值，当x ＝－2时，y min ＝－1、(2)令x ＝0，则y ＝1，∴函数图像与y 轴交于(0,1)．令y ＝0，则12x 2＋2x ＋1＝0，解得x 1＝－2－2，x 2＝－2＋2、∴函数图像与x 轴交于点(－2－2，0)，(－2＋2，0)．(3)∴函数图像如图：(4)由图像可知，函数的单调递减区间是(－∞，－2]，单调递增区间是[－2，＋∞)．(5)由图像知，当x ＜－2－2或x ＞－2＋2时，y ＞0;当x＝－2－2或x ＝－2＋2时，y ＝0;当－2－2＜x ＜－2＋2时，y ＜0、9．已知二次函数f (x )的图像的对称轴是直线x ＝1，且f (1)＝4，f (4)＝－5、(1)求函数f (x )的解析式，并画出f (x )的图像;(2)根据图像写出函数f (x )的单调区间，并指明在该区间上的单调性;(3)当函数f (x )在区间(－∞，m ]上是增函数时，求实数m 的取值范围．解析：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ －b 2a ＝1，a ＋b ＋c ＝4，16a ＋4b ＋c ＝－5，解得⎩⎨⎧ a ＝－1，b ＝2，c ＝3，所以函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3，f (x )的图像如图所示．(2)由图像可得函数f(x)的单调区间是(－∞，1]和[1，＋∞)，其中函数f(x)在区间(－∞，1]上是递增的，在区间[1，＋∞)上是递减的．(3)由(2)知函数f(x)＝－x2＋2x＋3在区间(－∞，1]上是增函数，那么(－∞，m]⊆(－∞，1]，则有m≤1、[B组能力提升]10．函数f(x)＝x2－2ax＋a＋2在[0，a]上取得最大值3，最小值2，则实数a为() A．0或1 B．1C．2 D．以上都不对解析：因为函数f(x)＝x2－2ax＋a＋2＝(x－a)2－a2＋a＋2，对称轴为x＝a，开口方向向上，所以f(x)在[0，a]上单调递减，其最大值、最小值分别在两个端点处取得，即f(x)max＝f(0)＝a＋2＝3，f(x)min＝f(a)＝－a2＋a＋2＝2、故a＝1、答案：B11．函数y＝2－－x2＋4x的值域是()A．[－2,2] B．[1,2] C．[0,2] D．[－2，2]解析：要求函数y＝2－－x2＋4x的值域，只需求t＝－x2＋4x(x∈[0,4])的值域即可．设二次函数f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4(x∈[0,4])，所以f(x)的值域是[0,4]．因为t＝f(x)，所以t的值域是[0,2]．所以－t的值域是[－2,0]．故函数y＝2－－x2＋4x的值域是[0,2]．故选C、答案：C12．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是________．解析：y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由(x－1)2＋2＝3，得x＝0或x＝2、作出函数图像如图所示，由图像知，m的取值范围是1≤m≤2、答案：[1,2]13．已知f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间[1,5]上的最小值为f(5)，则a的取值范围为________．解析：由题意知，f(x)在区间[1,5]上为减函数．∵f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2＝[x＋(a－1)]2＋2－(a－1)2，∴－(a－1)≥5，即a≤－4、答案：(－∞，－4]14．某商场以每件42元的价格购进一种服装，根据试营销量得知：这种服装每天的销售量t(t＞0，t∈N)(件)与每件的销售价x(x＞42，x∈N)(元)之间可以看成是一次函数关系t＝－3x＋204、(1)写出商场每天卖这种服装的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系式(每天的销售利润是指所卖出服装的总销售所得与购进这些服装所花费金额的差);(2)通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适？最大销售利润为多少？解析：(1)由题意得，每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系式为y＝(x－42)(－3x＋204)＝－3x2＋330x－8 568(42＜x＜68，x∈N)．(2)由(1)得y＝－3(x－55)2＋507(42＜x＜68，x∈N)，则当x＝55时，y max＝507、即当每件的销售价定为55元时，每天可获得最大的销售利润，最大销售利润为507元．15．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值;(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数;(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．解析：(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]，∴f(x)在区间[－4,2]上是递减的，在区间[2,6]上是递增的，∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35、f(6)＝15，故f(x)的最大值是35、(2)∵函数f(x)的图像开口向上，对称轴是x＝－a，∴要使f(x)在区间[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4、故实数a的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)．(3)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6,6]，且f(x)＝⎩⎨⎧ x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－4，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．。

高中数学第二章函数 2.4.1 二次函数性质的再研究(一)课时作业北师大版必修1

∴a＝，则y＝ x2＋bx＋c.
又(1，n)，(m,1)两点均在直线y＝x－2上，
∴ ⇒ ，即点(1，－1)和(3,1)均在二次函数y＝ x2＋bx＋c的图象上．
∴ ，解得 .
∴所求二次函数的解析式为y＝ x2－x－ .
12．f(x)＝x2－4x－4，x∈[t，t＋1]，t∈R，求：
(1)f(x)的最小值g(t)的解析式；
6．二次函数f(x)满足f(x＋2)＝f(－x＋2)，又f(0)＝3，f(2)＝1，若在[0，m]上有最大值3，最小值1，则m的取值范围是()
A．(0，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(0,2) D．[2,4]
答案：D
解析：二次函数f(x)关于x＝2对，画出图像，知m∈[2,4]．
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
答案：8
解析：令y＝0，则－x2－2x＋3＝0解得：x1＝1，x2＝－3.
所以两交点坐标为(－3,0)，(1,0)．
∵y＝－x2－2x＋3＝－(x2＋2x＋1)＋4＝－(x＋1)2＋4
∴C点的坐标为(－1,4)．∴S△ABC＝ ×4×4＝8.
9．已知关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对于x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
(2)g(t)的最小值．
解：(1)∵f(x)＝(x－2)2－8，∴f(x)的对称轴是直线x＝2.
当2∈[t，t＋1]，即t≤2≤t＋1时，1≤t≤2，g(t)＝f(2)＝－8；
当2＞t＋1，即t＜1时，f(x)在[t，t＋1]上随x增大f(x)减小．
∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7.
当t＞2时，f(x)在[t，t＋1]上随x增大f(x)增大，
3．若函数f(x)＝－2x2－mx＋3满足对于任意实数x，都有f(3＋x)＝f(3－x)，则m＝()

北师大版高中数学必修一第二章第4节二次函数性质的再研究(第2课时).docx

4．2 二次函数的性质1．理解二次函数的性质． 2．会判断二次函数的单调性． 3．掌握二次函数最值的求法．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的性质 (1)定义域：R .(2)图像：当a ＞0时，图像开口向________，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－b 2a ，4ac －b 24a ，对称轴为__________；当a ＜0时，图像开口向________，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－b 2a ，4ac －b 24a ，对称轴为x＝______.(3)值域：当a ＞0时，值域为____________；当a ＜0时，值域为____________．(4)单调性：当a ＞0时，减区间是________，增区间是⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞；当a ＜0时，减区间是____________，增区间是⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a . (5)最值：当a ＞0时，有最小值____________，没有最大值；当a ＜0时，有最大值________，没有最小值．(6)f (0)＝________________.【做一做1－1】抛物线y ＝x 2＋2x －2的顶点坐标是( )． A ．(2，－2) B ．(1，－2) C ．(1，－3) D ．(－1，－3) 【做一做1－2】函数y ＝x 2－x ＋1的值域是( )．A ．RB ．[1，＋∞)C.⎣⎡⎭⎫34，＋∞D.⎝⎛⎦⎤－∞，34【做一做1－3】求函数y ＝5x 2－4x －1的图像与x 轴的交点坐标和对称轴，并判断它在哪个区间上是增加的，在哪个区间上是减少的．答案：(2)上 x ＝2b a - 下 2b a- (3),2b f a ⎡⎫⎛⎫-+∞⎪ ⎪⎢⎝⎭⎣⎭ ,2b f a ⎛⎤⎛⎫-∞- ⎪⎥⎝⎭⎝⎦(4),2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦,2b a⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ (5)2b f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭2b f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭(6)c 【做一做1－1】 D y ＝x 2＋2x －2＝(x ＋1)2－3，故顶点坐标为(－1，－3)．故选D. 【做一做1－2】 C y ＝x 2－x ＋1＝21324x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，故值域为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【做一做1－3】解：令y ＝0，即5x 2－4x －1＝0，解得x 1＝15-，x 2＝1.故函数图像与x 轴的交点坐标为1,05⎛⎫- ⎪⎝⎭，(1,0)．因为y ＝5x 2－4x －1＝229555x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以，函数图像的对称轴是直线x ＝25，函数在区间2,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上是减少的，在区间⎣⎡⎭⎫25，＋∞上是增加的．如何求二次函数在闭区间上的最值？剖析：对于二次函数f (x )＝a (x －h )2＋k (a ＞0)在区间[m ，n ]上的最值可作如下讨论．对称轴x ＝h 与[m ，n ]的位置关系最大值最小值 h ＜m f (n ) f (m ) h ＞n f (m ) f (n ) m ≤h ≤nm ≤h ＜m ＋n2f (n ) f (h ) h ＝m ＋n2f (m )或f (n ) f (h ) m ＋n2＜h ≤n f (m )f (h )题型一二次函数的单调性【例1】函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增加的，求f (1)的取值范围．分析：f (1)＝9－m ，求f (1)的取值范围就是求一次函数y ＝9－m 的值域，利用已知条件先求其定义域．反思：利用二次函数的单调区间与对称轴的关系，求m 的范围是解此题的关键．不要认为f (x )的增区间是[－2，＋∞)，实际上它只是增区间的子区间．题型二二次函数图像的对称性【例2】已知函数f (x )＝12x 2－3x －34.(1)求这个函数图像的顶点坐标和对称轴； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫72＝－418，不计算函数值，求f ⎝⎛⎭⎫52； (3)不直接计算函数值，试比较f ⎝⎛⎭⎫－14与f ⎝⎛⎭⎫－154的大小．分析：解答本题可先将f (x )配方，进而确定顶点坐标及对称轴，然后根据f (x )图像的对称性求f ⎝⎛⎭⎫52的值及比较f ⎝⎛⎭⎫－14与f ⎝⎛⎭⎫－154的大小．反思：(1)已知二次函数的解析式求顶点坐标及对称轴，一般先用配方法把二次函数解析式写成顶点式：y ＝a (x ＋h )2＋k ，进而确定顶点坐标为(－h ，k )，对称轴为x ＝－h .(2)比较两函数值大小，可以先比较两点离对称轴的距离大小，然后结合二次函数的开口方向，从而得到它们的大小关系，也可以将要比较的两点转化到同一单调区间上，利用函数的单调性比较它们的大小．题型三二次函数的最值问题【例3】求函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2,3]的最大值和最小值，并写出单调区间．分析：画出图像来分析．反思：讨论二次函数的性质时，常借助于图像来解决，特别是最值问题，利用图像可以简洁地求出，否则易出现错误．本题中易错认为最小值是f (3)，其原因是没有结合图像分析．【例4】求函数f (x )＝x 2－2ax －1在闭区间[0,2]上的最大值和最小值．分析：因为f (x )＝(x －a )2－a 2－1，其图像的对称轴为直线x ＝a ，由对称轴相对于区间[0,2]的可能位置分别求其最值．反思：求二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的最值，要根据其图像的对称轴相对于所给区间的位置来确定．一般地，当a ＞0，即抛物线开口向上时，在距对称轴较远的区间的端点处取得最大值；在抛物线的顶点处(当对称轴在所属区间内)或在距对称轴较近(当对称轴在所给区间外侧时)的区间的端点处取得最小值．当a ＜0，即抛物线开口向下时，可相应地得出结论．【例5】设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]的最小值为g (t )，求g (t )的解析式．分析：本题按抛物线对称轴x ＝1在区间[t ，t ＋1]之内和之外分类讨论．反思：二次函数求最值问题，首先要采用配方法，化为y ＝a (x －m )2＋n 的形式，得顶点(m ，n )或对称轴方程x ＝m ，可分为三个类型：(1)顶点固定，区间也固定；(2)顶点变动，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外； (3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．题型四二次函数的实际应用【例6】渔场中鱼群的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y 吨与实际养殖量x 吨和空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k ＞0)．(1)写出y 关于x 的函数关系式，并求出定义域； (2)求鱼群的年增长量的最大值；(3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求k 所应满足的条件．反思：二次函数模型是一种常见的函数应用模型，是高考的重点和热点．其解题关键是列出二次函数解析式，即建立函数模型，转化为求二次函数的最值等问题．答案：【例1】解：∵二次函数f (x )＝4x 2－mx －5在区间[－2，＋∞)上是增加的，且对称轴是x ＝m 8，∴m8≤－2，即m ≤－16. ∴f (1)＝4－m ＋5＝－m ＋9≥25，∴f (1)≥25. 【例2】解：(1)∵f (x )＝12x 2－3x －34＝12(x －3)2－214，∴函数的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫3，－214，对称轴为x ＝3. (2)∵f ⎝⎛⎭⎫72＝－418，又⎪⎪⎪⎪52－3＝12，⎪⎪⎪⎪72－3＝12，结合二次函数图像的对称性， ∴有f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫72＝－418. (3)由f (x )＝12(x －3)2－214可知，f (x )在(－∞，3]上是减少的，又－154＜－14＜3，∴f ⎝⎛⎭⎫－154＞f ⎝⎛⎭⎫－14. 【例3】解：画出函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2,3]的图像，如图所示．观察图像，得函数f (x )＝x 2－2x 在区间[－2,1]上是减少的，则此时最大值是f (－2)＝8，最小值是f (1)＝－1；函数f (x )＝x 2－2x 在区间[1,3]上是增加的，则此时最大值是f (3)＝3，最小值是f (1)＝－1.则函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2,3]的最大值是8，最小值是－1. 增区间是[1,3]，减区间是[－2,1]．【例4】解：f (x )＝x 2－2ax －1＝(x －a )2－a 2－1，∴f (x )的图像是开口向上，对称轴为直线x ＝a 的抛物线，如图所示．当a ＜0时(如图(1))，f (x )的最大值为f (2)＝3－4a ，f (x )的最小值为f (0)＝－1；当0≤a ≤1时(如图(2))，f (x )的最大值为f (2)＝3－4a ，f (x )的最小值为f (a )＝－a 2－1；当1＜a ＜2时(如图(3))，f (x )的最大值为f (0)＝－1，f (x )的最小值为f (a )＝－a 2－1；当a ≥2时(如图(4))，f (x )的最大值为f (0)＝－1，f (x )的最小值为f (2)＝3－4a . 【例5】解：∵f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，当t ＋1＜1，即t ＜0时，函数在[t ，t ＋1]上是减少的， ∴g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ＋1≥1且t ＜1，即0≤t ＜1时，g (t )＝f (1)＝1；当t ≥1时，函数在[t ，t ＋1]上是增加的， g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋2. ∴g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t <0，1，0≤t <1，t 2－2t ＋2，t ≥1.【例6】解：(1)由题意，知空闲率为⎝⎛⎭⎫1－xm ， ∴y ＝kx ⎝⎛⎭⎫1－xm (0＜x ＜m )． (2)y ＝－k m x 2＋kx ＝－k m ⎝⎛⎭⎫x －m 22＋km4， ∵－km ＜0且0＜x ＜m ，∴当x ＝m 2时，y max ＝km4.(3)∵当x ＝m 2时，y max ＝km4，又实际养殖量不能达到最大养殖量，∴此时，需要m 2＋km4＜m ，解得k ＜2.又∵k ＞0，∴0＜k ＜2.1 函数y＝x2＋4的最大值和最小值情况是( )．A．有最小值0，无最大值B．有最大值4，无最小值C．有最小值4，无最大值D．有最大值4，有最小值0 2 函数y＝－2x2＋x在下列哪个区间上是增加的( )．A．R B．[2，＋∞)C.1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D.1,4⎛⎤-∞⎥⎝⎦3 函数f(x)＝ax2＋2(a－3)x＋1在区间(－2，＋∞)上是减少的，则a的取值范围是( )．A．[－3,0] B．(－∞，－3]C．[－3,0) D．[－2,0]4 抛物线y＝8x2－(m－1)x＋m－7的顶点在x轴上，则m＝__________.5 将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润是多少？答案：1．C 2.D函数y＝－2x2＋x＝211248x⎛⎫--+⎪⎝⎭的图像的对称轴是直线14x=，图像的开口向下，所以函数在对称轴14x=的左边是增加的．3．A(1)当a＝0时，显然正确．(2)当a≠0时，f(x)＝ax2＋2(a－3)x＋1在(－2，＋∞)上是减少的，应满足0,2(3)2,2aaa<⎧⎪-⎨-≤-⎪⎩解得－3≤a＜0.由(1)(2)可知，a的取值范围是[－3,0]．4．9或25∵抛物线的顶点在x轴上，∴244ac ba-＝0，即b2－4ac＝0.∴(m－1)2－4×8(m－7)＝0.解得m＝9或m＝25.5．分析：设售价及利润，建立利润与售价的函数关系式．解：设售价为x元时，利润为y元，单个涨价为(x－50)元，销量减少10(x－50)个，50≤x ＜100.∴y＝(x－40)[500－10(x－50)]＝－10(x－70)2＋9 000.当x＝70时，y max＝9 000，即售价为70元时，利润最大为9 000元．。

北师大版数学高一作业 2.4 二次函数性质的再研究

§4二次函数性质的再研究一、选择题1．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称，则()A．m＝－2B．m＝2C．m＝－1D．m＝1考点二次函数解析式求法题点一般式求法答案A解析二次函数f(x)＝x2＋mx＋1图像的对称轴为x＝－m2，于是－m2＝1，解得m＝－2.2．二次函数y＝－x2＋4x＋t的顶点在x轴上，则t的值是()A．－4B．4C．－2D．2考点二次函数解析式求法题点一般式求法答案A解析二次函数的图像开口向下，顶点在x轴上，所以对应一元二次方程的Δ＝42－4×(－1)t ＝0，解得t＝－4.3．已知抛物线与x轴交于点(－1,0)，(1,0)，并且与y轴交于点(0,1)，则抛物线的解析式为() A．y＝－x2＋1B．y＝x2＋1C．y＝－x2－1D．y＝x2－1考点二次函数解析式求法题点两根式求法答案A解析设f(x)＝a(x－1)(x＋1)，代入(0,1)，f(0)＝a(0－1)(0＋1)＝－a＝1，∴a＝－1，∴f(x)＝1－x2.4．若一次函数y＝ax＋b的图像经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图像只可能是()考点二次函数图像题点图像与a，b，c的关系答案C解析因为一次函数y＝ax＋b的图像经过第二、三、四象限，所以a<0，b<0，所以二次函数的图像开口向下，对称轴x＝－b2a<0，只有选项C满足．5．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的图像与x轴的交点为(1,0)和(3,0)，则函数f(x)()A．在(－∞，2]上是减少的，在[2，＋∞)上是增加的B．在(－∞，3)上是增加的C．在[1,3]上是增加的D．单调性不能确定考点二次函数性质题点二次函数单调性答案A解析由已知可得函数f(x)图像的对称轴为x＝2，又二次项系数1>0，所以f(x)在(－∞，2]上是减少的，在[2，＋∞)上是增加的．6．函数y＝－x2－2ax(0≤x≤1)的最大值是a2，则实数a的取值范围是()A．[0,1]B．[0,2]C．[－2,0]D．[－1,0]考点二次函数性质题点二次函数在闭区间上的最值答案D解析y＝－(x＋a)2＋a2，要使y max＝a2，需满足0≤－a≤1，解得－1≤a≤0.7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像顶点为(2，－1)，与y轴交点坐标为(0,11)，则()A．a＝1，b＝－4，c＝－11B．a＝3，b＝12，c＝11C．a＝3，b＝－6，c＝－11D．a＝3，b＝－12，c＝11考点二次函数解析式求法题点一般式求法答案D解析由二次函数的图像与y轴交点坐标为(0,11)，知c＝11，又因为函数y＝ax2＋bx＋c的图像顶点为(2，－1)，所以－b2a ＝2，4ac－b24a＝－1，解得a＝3，b＝－12.二、填空题8．函数y＝3x2－x＋2的图像向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图像对应的函数解析式是________________．考点二次函数图像题点二次函数图像变换答案y＝3x2＋5x＋2解析函数y＝3x2－x＋2的图像向左平移1个单位长度，得函数y＝3(x＋1)2－(x＋1)＋2的图像，再向下平移2个单位长度，得函数y＝3(x＋1)2－(x＋1)＋2－2的图像，即所得图像对应的函数解析式是y＝3x2＋5x＋2.9．如果函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减少的，那么实数a的取值范围是________．考点二次函数性质题点二次函数单调性答案(－∞，－3]解析二次函数f(x)的图像开口向上，且对称轴方程为x＝1－a，所以f(x)的递减区间为(－∞，1－a]，故(－∞，4]⊆(－∞，1－a]，因此1－a≥4，解得a≤－3.10．设f(x)＝x2＋4x＋3，不等式f(x)≥a对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．考点二次函数性质题点二次函数最值答案(－∞，－1]解析f(x)≥a对x∈R恒成立⇔f(x)min≥a，f(x)＝(x＋2)2－1，∴f(x)min＝f(－2)＝－1，∴a≤－1.三、解答题11．已知二次函数f(x)的图像的对称轴是直线x＝1，且f(1)＝4，f(4)＝－5.(1)求函数f(x)的解析式，并画出f(x)的图像；(2)根据图像写出函数f(x)的单调区间，并指明在该区间上的单调性；(3)当函数f(x)在区间(－∞，m]上是增函数时，求实数m的取值范围．考点二次函数图像与性质题点图像性质综合应用解(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－b2a＝1，a＋b＋c＝4，16a＋4b＋c＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝－1，b＝2，c＝3，所以函数f(x)＝－x2＋2x＋3，f(x)的图像如图所示．(2)由图像可得函数f(x)的单调区间是(－∞，1]和[1，＋∞)，其中函数f(x)在区间(－∞，1]上是增加的，在区间[1，＋∞)上是减少的．(3)由(2)知函数f(x)＝－x2＋2x＋3在区间(－∞，1]上是增函数，那么(－∞，m]⊆(－∞，1]，则有m≤1.12．二次函数f(x)与g(x)的图像开口大小相同，开口方向也相同．已知函数g(x)的解析式和f(x)图像的顶点，写出函数f(x)的解析式．(1)函数g(x)＝x2，f(x)图像的顶点是(4，－7)；(2)函数g(x)＝－2(x＋1)2，f(x)图像的顶点是(－3,2)．考点二次函数解析式求法题点顶点式求法解(1)因为f(x)与g(x)＝x2的图像开口大小相同，开口方向也相同，f(x)图像的顶点是(4，－7)，所以f(x)＝(x－4)2－7＝x2－8x＋9.(2)由题意知，f(x)的二次项系数为－2，又因为f(x)图像的顶点是(－3,2)，所以f(x)＝－2(x＋3)2＋2＝－2x2－12x－16.13．某商场以每件42元的价格购进一种服装，根据试营销量得知：这种服装每天的销售量t(t>0，t∈N)(件)与每件的销售价x(x>42，x∈N)(元)之间可看成是一次函数关系：t＝－3x＋204.(1)写出商场每天卖这种服装的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系式(每天的销售利润是指所卖出服装的总销售所得与购进这些服装所花费金额的差)；(2)通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适？最大销售利润为多少？考点二次函数性质题点二次函数最值解(1)由题意得，每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系式为y＝(x－42)(－3x＋204)＝－3x2＋330x－8568(42<x<68，x∈N)．(2)由(1)得y＝－3(x－55)2＋507(42<x<68，x∈N)，则当x＝55时，y max＝507.即当每件的销售价定为55元时，每天可获得最大的销售利润，最大销售利润为507元．四、探究与拓展14.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，则下列结论中正确的是()A．a>0B．当x>1时，y随x的增大而增大C．c<0D．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根考点二次函数图像题点二次函数图像与性质关系答案 D解析从二次函数的图像可知，图像开口向下，a <0；当x >1时，y 随x 的增大而减小；当x ＝0时，y ＝c >0；二次函数图像的对称轴为直线x ＝1，函数图像与x 轴的一个交点的横坐标为－1，则根据对称性，函数图像与x 轴的另一个交点的横坐标为3.故选D.15．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]．(1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．考点二次函数性质题点二次函数性质综合解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]，∴f (x )在区间[－4,2]上是减少的，在区间[2,6]上是增加的，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，∴f (x )的最大值是35.(2)∵函数f (x )的图像开口向上，对称轴是x ＝－a ，∴要使f (x )在区间[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.(3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]， ∴f (|x |)的递增区间是(0,6]，递减区间是[－6,0]．。

高中数学第二章函数2.4.2二次函数的性质课时作业2北师大版必修1

—————————— 新学期新成绩新目标新方向 ——————————2.4.2二次函数的性质一、选择题1．下列区间中，使y ＝－2x 2＋x 增加的是( ) A ．R B ．[2，＋∞) C ．[14，＋∞)D ．(－∞，14][答案] D[解析] 由y ＝－2(x －14)2＋18，可知函数在(－∞，14]上是增加的．2．函数y ＝ax 2＋bx ＋3在(－∞，－1]上是增加的，在[－1，＋∞)上是减少的，则( ) A ．b >0且a <0 B ．b ＝2a <0 C ．b ＝2a >0 D ．a ，b 的符号不定[答案] B[解析] 因为函数y ＝ax 2＋bx ＋3在(－∞，－1]上是增加的，在[－1，＋∞)上是减少的，所以a <0，且在对称轴x ＝－b2a＝－1处取最大值，故b ＝2a <0，选B.3．函数y ＝－x 2＋4x 的增区间是( ) A ．[－2，＋∞) B ．[2，＋∞) C ．(－∞，－2] D ．(－∞，2][答案] D[解析] 函数y ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，则对称轴是x ＝2，所以当x ≤2时，函数是增加的．4．二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图像的最高点为(－1，－3)，则b 与c 的值是( ) A ．b ＝2，c ＝4 B ．b ＝2，c ＝－4 C ．b ＝－2，c ＝4 D ．b ＝－2，c ＝－4[答案] D[解析] ∵y ＝－x 2＋bx ＋c ＝－(x －b2)2＋b 2＋4c4最高点为(－1，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝－1，b 2＋4c 4＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝－4.故选D.5．函数f (x )＝x 2＋2x ＋1，x ∈[－2,2]，则函数( ) A ．有最小值0，最大值9 B ．有最小值2，最大值5 C ．有最小值2，最大值9 D ．有最小值1，最大值5[答案] A[解析] 由于f (x )＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2，图像的对称轴是x ＝－1，所以f (x )在x ＝－1处取得最小值且f (－1)＝0.又f (－2)＝1，f (2)＝9.因此函数的最大值等于9.6．某生产厂家生产总成本y (万元)与产量x (件)之间的解析式为y ＝x 2－85x ，若每件产品售价25万元，则该厂所获利润最大时生产的产品件数为( )A ．35B ．45C ．55D ．65[答案] C[解析] 生产x 台时，所获利润f (x )＝25x －y ＝－x 2＋110x ＝－(x －55)2＋3 025. 所以当x ＝55时，f (x )取最大值，即该厂所获利润最大时生产的产品件数是55. 二、填空题7．已知函数f (x )＝4x 2－ x －8在[2,10]上具有单调性，则实数的取值范围是________． [答案] ≤16或 ≥80[解析] 函数f (x )的对称轴为x ＝k8，∴k 8≤2或k8≥10， ∴ ≤16或 ≥80.8．已知抛物线y ＝ax 2与直线y ＝ x ＋1交于两点，其中一点的坐标为(1,4)，则另一交点的坐标为________．[答案] (－14，14)[解析] 把(1,4)的坐标代入y ＝ax 2与y ＝ x ＋1中得a ＝4，＝3.所以由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x 2，y ＝3x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－14，y ＝14.三、解答题9．已知函数f (x )＝x 2＋2ax －3. (1)如果f (a ＋1)－f (a )＝9，求a 的值； (2)问a 为何值时，函数的最小值是－4?[解析] (1)∵f (a ＋1)－f (a )＝(a ＋1)2＋2a (a ＋1)－3－(a 2＋2a 2－3)＝4a ＋1＝9，∴a ＝2.(2)∵由－－4a24＝－4，得a 2＝1，∴a ＝±1.10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (a ≠0)的图像与y 轴交于点(0,1)，且满足f (－2＋x )＝f (－2－x )(x ∈R )．(1)求该二次函数的解析式；(2)已知函数在(t －1，＋∞)上是增加的，求实数t 的取值范围． [解析] (1)由函数f (x )的图像与y 轴交于点(0,1)，知c ＝1. ∵f (－2＋x )＝f (－2－x )， ∴函数f (x )的对称轴x ＝－22a ＝－1a＝－2. ∴a ＝12.∴f (x )＝12x 2＋2x ＋1.(2)∵函数f (x )在(t －1，＋∞)上是增加的， ∴t －1≥－2.∴t ≥－1.11．(1)当－2≤x ≤2时，求函数y ＝x 2－2x －3的最大值和最小值． (2)当1≤x ≤2时，求函数y ＝－x 2－x ＋1的最大值和最小值． (3)当x ≥0时，求函数y ＝－x (2－x )的取值范围．[解析] (1)作出函数的图像，如图(1)，开口向上，对称轴为x ＝1，所以当x ＝1时，y min ＝－4；当x ＝－2时，y max ＝5.(2)作出函数的图像，如图(2)，开口向下，对称轴为x ＝－12.所以当x ＝1时，y max ＝－1；当x ＝2时，y min ＝－5.(3)作出函数y ＝－x (2－x )＝x 2－2x 在x ≥0时的图像，如图(3)．可以看出：当x ＝1时，y min ＝－1，无最大值．所以，当x ≥0时，函数的取值范围是y ≥－1.一、选择题1．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0 D ．a <0,2a ＋b ＝0[答案] A[解析] 由题意得f (0)＝c ，f (4)＝16a ＋4b ＋c ＝c ，即16a ＋4b ＝0,4a ＋b ＝0，f (1)＝a ＋b ＋c ，因为f (4)>f (1)，所以a ＋b <0，a >0，故选A.2．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的取值范围是( )A ．f (1)≥25B ．f (1)＝25C ．f (1)≤25D ．f (1)>25[答案] A[解析] f (x )＝4x 2－mx ＋5在[m 8，＋∞)上是增加的，故[－2，＋∞)⊆[m8，＋∞)，即－2≥m8，∴m ≤－16.∴f (1)＝9－m ≥25.二、填空题3．设函数f (x )＝4x 2－(a ＋1)x ＋5在[－1，＋∞)上是增加的，在(－∞，－1]上是减少的，则f (－1)＝________.[答案] 1 [解析] ∵a ＋18＝－1，∴a ＝－9.∴f (－1)＝4×(－1)2＋8×(－1)＋5＝1.4．已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m 的部分图像如图所示，则关于x 的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的根为________．[答案]3或－1[解析]由图像知f(3)＝0，∴m＝3.由－x2＋2x＋3＝0得x2－2x－3＝0，∴x＝3或－1.三、解答题5．已知函数y＝x2－2x＋3在[0，m]上的最大值为3，最小值为2，求实数m的取值范围．[解析]y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，作出如下函数图像：图像的对称轴为x＝1，顶点坐标为(1,2)．∵函数的最小值为2，∴1∈[0，m]．又∵当y＝3时，解x2－2x＋3＝3，得x＝0或x＝2.再观察图像得：1≤m≤2.6．已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；(3)在区间[－1,1]上，y＝f(x)的图像恒在y＝2x＋2m＋1的图像上方，试确定实数m 的取值范围．[解析](1)由f(0)＝f(2)知二次函数f(x)的图像关于x＝1对称，f(x)的最小值为1，故可设f(x)＝a(x－1)2＋1，因为f(0)＝3，得a＝2，故f(x)＝2x2－4x＋3.(2)要使函数不单调，则2a <1<a ＋1，则0<a <12.(3)由已知，即2x 2－4x ＋3>2x ＋2m ＋1，化简得x 2－3x ＋1－m >0.设g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，则只要g (x )min >0，因为x ∈[－1,1]时，g (x )是减少的，所以g (x )min ＝g (1)＝－1－m ，因此有－1－m >0，得m <－1.7．设f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，且f (x )在闭区间[－2,2]上恒取非负数，求a 的取值范围．[解析] f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋3－a －a 24，f (x )≥0在x ∈[－2,2]恒成立的条件是f (x )在x∈[－2,2]上的最小值非负．(1)当－a2<－2，即a >4时，f (x )在[－2,2]上是增函数，最小值为f (－2)＝7－3a ，由7－3a ≥0，得a ≤73，这与a >4矛盾，此时a 不存在．(2)当－2≤－a2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )在[－2,2]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝3－a －a 24，3－a －a 24≥0⇒a 2＋4a －12≤0，∴－6≤a ≤2.结合－4≤a ≤4，可知此时－4≤a ≤2.(3)当－a2>2，即a <－4时，f (x )在[－2,2]上是减函数，最小值为f (2)＝7＋a ，由7＋a ≥0，得a ≥－7.∵a <－4，∴－7≤a <－4.由(1)(2)(3)可知，a 的取值范围是[－7,2]．8．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)和一次函数g (x )＝－bx (b ≠0)，其中a ，b ，c 满足a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R )．(1)求证：两函数的图像交于不同的两点；(2)求证：方程f (x )－g (x )＝0的两个实数根都小于2. [解析] (1)若f (x )－g (x )＝0，则ax 2＋2bx ＋c ＝0， ∵Δ＝4b 2－4ac ＝4(－a －c )2－4ac＝4[(a －c 2)2＋34c 2]>0，故两函数的图像交于不同的两点．(2)设h (x )＝f (x )－g (x )＝ax 2＋2bx ＋c ，令h (x )＝0可得ax 2＋2bx ＋c ＝0.由(1)可知，Δ>0.∵a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R )，∴a >0，c <0， ∴h (2)＝4a ＋4b ＋c ＝4(－b －c )＋4b ＋c ＝－3c >0，－2b 2a ＝－b a ＝a ＋c a ＝1＋c a<2，即有⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0a >0h－2b 2a <2，结合二次函数的图像可知，方程f (x )－g (x )＝0的两个实数根都小于2.9．某地区上年度电价为0.8元/度，年用电量为1亿度．本年度计划将电价调至0.55 0.75元/度之间，经测算，若电价调到x 元/度，则本年度新增用电量y (亿度)与(x －0.4)(元/度)成反比例．又当x ＝0.65元/度时，y ＝0.8.(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若每度电的成本价为0.3元/度，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20 ？(收益＝用电量×(实际电价－成本价)) .[解析] (1)∵y 与x －0.4成反比例， ∴设y ＝kx －0.4( ≠0)．将x ＝0.65，y ＝0.8代入上式，得0.8＝k0.65－0.4，解得＝0.2.∴y ＝0.2x －0.4＝15x －2，即y 与x 之间的函数关系式为y ＝15x －2.(x ≠25) (2)根据题意，得(1＋15x －2)·(x －0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20 )．整理，得x 2－1.1x ＋0.3＝0. 解得x 1＝0.5，x 2＝0.6.经检验x 1＝0.5，x 2＝0.6都是所列方程的根． ∵x 的取值范围是0.55 0.75之间，故x ＝0.5不符合题意，应舍去．∴取x ＝0.6.当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20 .。

2013-2014学年高一数学2.4《二次函数性质的再研究》课后训练(北师大版必修1)

"【志鸿全优设计】2013-2014学年高中数学 2.4二次函数性质的再研究课后训练北师大版必修1 "基础巩固．函数y ＝x 2的图像向上平移1个单位，所得图像的函数解析式为( )．A ．y ＝(x ＋1)2B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝x 2＋1D ．y ＝x 2－12．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图像大致是( )．3．二次函数f (x )2＋bx ＋c (4,0)(0,2)等于( )． A ．－6 B ．11 C ．14-D ．14 4．函数f (x )＝x 2－2x －3在区间[－2,4]上的最大值和最小值分别为( )．A ．5，－4B ．3，－7C ．无最大值D ．7，－45．二次函数y ＝f (x )满足f (3＋x )＝f (3－x )，且f (x )＝0有两个实根x 1，x 2，则x 1＋x 2等于( )．A ．0B ．3C ．6D ．不能确定6．如果一条抛物线的形状与2123y x =+的形状相同，且顶点是(4，－2)，则它的解析式是____________________．7．已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值为8，试确定此二次函数的表达式．能力提升8．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a ＝( )．A ．－1B ．1C ．2D ．－29．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )．A ．45.606万元B ．45.56万元C ．45.6万元D ．45.51万元10．二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，又f (x )在[0,2]上是增函数，且f (a )≥f (0)，那么实数a 的取值范围是( )．A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．[0,4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)11．已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m 的部分图像如图所示，则关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的根为________．12．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的取值范围是________．13．已知函数f (x )＝212x x -+在区间[m ，n ]上的值域是[3m,3n ]，则m ＝______，n ＝______. 14．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P 和Q (万元)，它们与投入的资金x (万元)的关系有公式：15P x =，Q =3万元资金投入经营甲、乙两种商品，设投入乙的资金为x 万元，获得的总利润为y (万元)．(1)用x 表示y ，并指出函数的定义域；(2)x 为何值时，y 有最大值，并求出这个最大值．参考答案1．C 点拨：将函数y ＝x 2的图像向上(k ＞0)或向下(k ＜0)平移|k |个单位，得到函数y ＝x 2＋k 的图像．2．C 点拨：选项A ，y ＝ax ＋b 中，a ＞0而y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，矛盾；选项B ，y ＝ax ＋b 中，a ＞0，b ＞0，与二次函数的对称轴02b x a=->，矛盾；选项D ，y ＝ax ＋b 中，a ＜0，b ＜0，但y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向上，矛盾．3．C 点拨：∵图像过(4,0)，∴16a ＋4b ＋c ＝0.①又过点(0,2)，∴c ＝2.②由顶点坐标为(4,0)可知 42b x a=-=.③ 由①②③可解得18a =，b ＝－1，c ＝2， ∴abc ＝14-. 4．A 点拨：f (x )＝(x －1)2－4的图像开口向上，对称轴为直线x ＝1，函数f (x )在区间[－2,1]上是减少的，在区间[1,4]上是增加的，所以函数的最小值为f (1)＝－4.又因为f (－2)＝5，f (4)＝5，所以函数的最大值为f (－2)＝f (4)＝5.5．C 点拨：由f (3＋x )＝f (3－x )知函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝3对称，应有122x x +＝3⇒x 1＋x 2＝6.6．21810333y x x =-+或21822333y x x =-+- 点拨：∵顶点是(4，－2)，∴可设抛物线解析式为y ＝a (x －4)2－2. 又∵与2123y x =+的形状相同， ∴13a =或13-. ∴y ＝13(x －4)2－2或y ＝13-(x －4)2－2，即21810333y x x =-+或21822333y x x =-+-. 7．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．∵f (2)＝f (－1)＝－1，f (x )最大值是8， ∴2421,1,48.4a b c a b c ac b a⎧⎪++=-⎪⎪-+=-⎨⎪-⎪=⎪⎩解得4,4,7.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.8．B 点拨：由函数的单调性可知，函数f (x )的最大值应在区间[0,2]的端点处取得，所以，f (0)＝1或f (2)＝1，即－a ＝1或22－2a －a ＝1，解得a ＝－1，或a ＝1，经检验，当a ＝－1时不符合题意，故a ＝1.9．C 点拨：设该公司在甲地销售了x 辆车，在乙地销售了(15－x )辆车，获得的总利润为y ，由题意得y ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30(0≤x ≤15，x ∈N )．此函数的图像开口向下，对称轴为直线x ＝10.2，∴当x ＝10时，y 取得最大值45.6，即获得的最大利润为45.6万元．10．C 点拨：此函数图像的对称轴为x ＝222x x ++-＝2，在[0,2]上递增，如图所示，正确答案为C. 11．－1,3 点拨：由图知抛物线的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的一个交点坐标是(3,0)，所以抛物线与x 轴的另一个交点坐标是(－1,0)．所以关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的根为x 1＝－1，x 2＝3.12．[25，＋∞) 点拨：函数f (x )＝4x 2－mx ＋5的图像开口向上，对称轴为直线8m x =，若函数f (x )在区间[－2，＋∞)上是增函数，则8m ≤－2，即m ≤－16.∴f (1)＝9－m ≥25. 13．－4 0 点拨：f (x )＝212x x -+的对称轴为x －1，则其最大值为1(1)2f -，于是11326n n ≤⇒≤，这样对称轴x ＝1在区间[m ，n ]的右侧，则函数f (x )＝212x x -+在区间[m ，n ]上是增加的，故221()3,21()3,2,f m m m m f n n n n n m ⎧=-+=⎪⎪⎪=-+=⎨⎪>⎪⎪⎩∴4,0.m n =-⎧⎨=⎩ 14．解：(1)1(3)5y x =-≤x ≤3)． (2)令t =，则x ＝t 2(0≤t， ∴213(3)55y t t =⨯-+ 2133555t t =-++ 213215220t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭.根据函数性质，当32t=时，y取得最大值2120.故当94x=时，y有最大值，最大值为2120.。

高中数学第二章函数 2.4.2 二次函数的性质课时作业3 北师大版必修1

2.4.2 二次函数的性质|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．函数y ＝x 2－2x ＋3在(－1,5)上的最小值为( ) A ．2 B ．6 C ．18 D ．22【解析】判断对称轴x ＝1在区间(－1,5)内部，在x ＝1取得最小值2. 【答案】 A2．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于直线x ＝1对称，则( ) A ．m ＝－2 B ．m ＝2 C ．m ＝－1 D ．m ＝1【解析】函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像的对称轴为x ＝－m2，且只有一条对称轴，所以－m2＝1，即m ＝－2.【答案】 A3．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为(4,0)，且过点(0,2)，则abc 等于( ) A ．－6 B ．11C ．－14 D.14【解析】因为f (x )图像过点(0,2)，所以c ＝2. 又顶点为(4,0)，所以－b 2a ＝4，8a －b24a＝0.解得b ＝－1，a ＝18，所以abc ＝－14.【答案】 C4．若f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3(m ≠1)的图像关于y 轴对称，则f (x )在(－3,1)上( ) A ．单调递增 B ．单调递减 C ．先增后减 D ．先减后增【解析】由f (x )的图像关于y 轴对称，得m ＝0，所以函数f (x )＝－x 2＋3，由f (x )的图像(图略)知其在(－3,1)上先增后减．故选C. 【答案】 C5．函数f (x )＝ax 2＋2(a －3)x ＋1在区间(－2，＋∞)上是单调递减，则a 的取值范围是( )A ．[－3,0]B ．(－∞，－3]C ．[－3,0)D ．[－2,0]【解析】若a ＝0，则f (x )＝－6x ＋1(符合题意)，a >0不合题意，若a <0，则－2a －32a≤－2，解得－3≤a <0，所以，当x ＝4 050 时，f (x )最大，最大值为f (4 050)＝307 050.即当每辆车的月租金为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元． |能力提升|(20分钟，40分)11．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞) B．[0,2] C ．[1,2] D ．(－∞，2]【解析】如图所示．f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，f (0)＝3，f (1)＝2，且f (2)＝3.由图可知只有当m ∈[1,2]时，才能满足题目的要求．故选C.【答案】 C12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a －1x －12a ，x ≤1，a ＋1x 2，x >1为R 上的减函数，则实数a 的取值范围为________．【解析】因为函数f (x )＝⎩⎨⎧a －1x －12a ，x ≤1，a ＋1x 2，x >1为R 上的减函数，所以⎩⎨⎧a －1<0，a ＋1<0，a －1×1－12a ≥a ＋1，解得a ≤－4.所以a 的取值范围为{a |a ≤－4}．【答案】 {a |a ≤－4}13．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值； (2)当a ∈R 时，求函数f (x )在区间[－5,5]上的最值．【解析】 (1)因为a ＝－1，所以f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，所以f (x )在[－5,1]上是减少的， f (x )在[1,5]上是增加的．所以f (x )min ＝f (1)＝1， f (x )max ＝f (－5)＝37.(2)函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2＝(x ＋a )2＋2－a 2的图像开口向上，对称轴为x ＝－a .①当－a ≤－5，即a ≥5时，函数在区间[－5,5]上是增加的，所以f (x )max ＝f (5)＝27＋10a ，f (x )min ＝f (－5)＝27－10a .②当－5<－a ≤0，即0≤a <5时，函数图像如图所示．由图像可得f (x )min ＝f (－a )＝2－a 2， f (x )max ＝f (5)＝27＋10a .③当0<－a <5，即－5<a <0时，函数图像如图所示，由图像可得f (x )max ＝f (－5)＝27－10a ， f (x )min ＝f (－a )＝2－a 2.④当－a ≥5，即a ≤－5时，函数在区间[－5,5]上是减少的，所以f (x )min ＝f (5)＝27＋10a ， f (x )max ＝f (－5)＝27－10a .14．已知二次函数f (x )的最小值为1，且f (0)＝f (2)＝3. (1)求f (x )的解析式；(2)若f (x )在区间[ 2a ，a ＋1]上不单调，求实数a 的取值范围；(3)在区间[－1,1]上，y ＝f (x )的图像恒在y ＝2x ＋2m ＋1的图像上方，试确定实数m 的取值范围．【解析】 (1)由f (0)＝f (2)知二次函数f (x )的图像关于x ＝1对称，f (x )的最小值为1，故可设f (x )＝a (x －1)2＋1，因为f (0)＝3，得a ＝2，故f (x )＝2x 2－4x ＋3.(2)要使函数不单调，则2a <1<a ＋1，则0<a <12，即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. (3)由已知得 2x 2－4x ＋3>2x ＋2m ＋1，化简得x 2－3x ＋1－m >0.设g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，则只要g (x )min >0，因为x ∈[－1,1]时，g (x )是减少的，所以g (x )min ＝g (1)＝－1－m ，因此有－1－m >0，得m <－1，即a 的取值范围为(－∞，－1)．。

高中数学第二章函数2.4.2二次函数的性质课时作业2北师大版必修1(2021年整理)

2018-2019学年高中数学第二章函数2.4.2 二次函数的性质课时作业2 北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第二章函数2.4.2 二次函数的性质课时作业2 北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2.4.2二次函数的性质一、选择题1．下列区间中,使y＝－2x2＋x增加的是( ）A．R B．［2，＋∞）C．[错误!，＋∞）D．(－∞,错误!］[答案］D［解析］由y＝－2（x－14)2＋错误!，可知函数在（－∞，错误!］上是增加的．2．函数y＝ax2＋bx＋3在（－∞，－1］上是增加的，在［－1，＋∞)上是减少的，则（）A．b>0且a<0 B．b＝2a<0C．b＝2a〉0 D．a,b的符号不定［答案］B［解析]因为函数y＝ax2＋bx＋3在（－∞，－1]上是增加的，在［－1，＋∞)上是减少的，所以a〈0,且在对称轴x＝－错误!＝－1处取最大值，故b＝2a〈0，选B.3．函数y＝－x2＋4x的增区间是（）A．［－2,＋∞）B．［2，＋∞）C．（－∞,－2］D．（－∞，2］［答案］D［解析]函数y＝－x2＋4x＝－（x－2）2＋4，则对称轴是x＝2,所以当x≤2时，函数是增加的．4．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像的最高点为(－1,－3)，则b与c的值是( ）A．b＝2,c＝4 B．b＝2,c＝－4C．b＝－2，c＝4 D．b＝－2，c＝－4[答案]D［解析］∵y＝－x2＋bx＋c＝－(x－b2)2＋错误!最高点为(－1，－3)，∴错误!解得错误!故选D。

高中数学第二章函数4.2二次函数的性质课时作业北师大版必修1(2021年整理)

2018-2019学年高中数学第二章函数4.2 二次函数的性质课时作业北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第二章函数4.2 二次函数的性质课时作业北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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4.2 二次函数的性质[学业水平训练］1．(2014·太原五中月考）如果函数f（x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x,都有f（1＋x)＝f （－x），那么（）A．f(－2)＜f（0)＜f（2）B．f（0）＜f（－2)＜f(2)C．f(2）＜f（0)＜f(－2）D．f(0)＜f(2)＜f（－2）解析:选D。

函数f(x）＝x2＋bx＋c对任意的实数x都有f（1＋x）＝f（－x)．可知函数f（x）图像的对称轴为x＝错误!,又函数图像开口向上，自变量离对称轴越远函数值越大,故选D.2．如果函数y＝x2＋(1－a）x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是( ）A．a≥5 B．a≤－3C．a≥9 D．a≤－7解析：选C.由题意知对称轴x＝－1－a2≥4，∴a≥9.3．若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，m］，值域为［－8，－4]，则m的取值范围是( ) A．（0,2] B．（2，4)C．[0,4］D．［2，4］解析:选D。

由图像知对称轴为x＝2，f(0）＝－4，f(2)＝－8，f（4）＝－4,若函数在[0，m]上有最小值－8,∴m≥2.若函数在［0，m]上有最大值－4,∵f(0）＝f(4）＝－4,∴m≤4。