两个变量的线性相关_课件
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人教A版高中数学必修三两个变量的线性相关教学课件
人教A版高中数学必修三第二章2.3.2 两个变量的线性相关教学 课件 (共21张PPT)
人教A版高中数学必修三第二章2.3.2 两个变量的线性相关教学 课件 (共21张PPT)
探究回归方程
(xn, yˆn)
(x2,y2)
yn yˆn
y2 yˆ2
(x2,yˆ2)
(xn, yn)
(x1,y1)
纵
y1yˆ1
平均体重y（kg）
各年各级年样级本样同本学同体学重体y重（y（kgk）g）和和身身高高x（x（cmc）m）的的散散点点图图 y = 0.8325x - 78.223
120 120
100 100
80 80
60
60 40
40 20
体重平体均重值平均值 线性 (体重平均值)
20 0
0
0
50
100
150
200
真实值
预报值
yˆ67.464k5g
人教A版高中数学必修三第二章2.3.2 两个变量的线性相关教学 课件 (共21张PPT)
人教A版高中数学必修三第二章2.3.2 两个变量的线性相关教学 课件 (共21张PPT)
解决问题
利用回归方程，预测学校身高为 188cm的同学的体重？
平wk.baidu.com体重y（kg）
各年级样本同学体重y（kg）和身高x（cm）的散点图
人教A版高中数学必修三第二章2.3.2 两个变量的线性相关教学 课件 (共21张PPT)
探究回归方程
(xn, yˆn)
(x2,y2)
yn yˆn
y2 yˆ2
(x2,yˆ2)
(xn, yn)
(x1,y1)
纵
y1yˆ1
平均体重y（kg）
各年各级年样级本样同本学同体学重体y重（y（kgk）g）和和身身高高x（x（cmc）m）的的散散点点图图 y = 0.8325x - 78.223
120 120
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体重平体均重值平均值 线性 (体重平均值)
20 0
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真实值
预报值
yˆ67.464k5g
人教A版高中数学必修三第二章2.3.2 两个变量的线性相关教学 课件 (共21张PPT)
人教A版高中数学必修三第二章2.3.2 两个变量的线性相关教学 课件 (共21张PPT)
解决问题
利用回归方程，预测学校身高为 188cm的同学的体重？
平wk.baidu.com体重y（kg）
各年级样本同学体重y（kg）和身高x（cm）的散点图
两个变量的线性相关_优秀课件
年降雨 748 542 507 813 574 701 432 量(mm)
分析:利用散点图进行判别.
解:以x轴为年平均气温,y轴为年降雨量,可得相应的散点图 如下图所示:
因为图中各点并不在一条直线的附近,所以两者不具有相关关系,没必要 用回归直线进行拟合,如果用公式求得回归直线也是没有意义的. 规律技巧:用回归直线进行拟合两变量关系的一般步骤为: (1)作出散点图,判断散点是否在一条直线附近; (2)如果散点在一条直线附近,用公式求出a,b并写出线性回归方程.
变式训练1:5个学生的数学和物理成绩如下表:
学生
A
B
C
D
E
学科
数学 80
75
70
65
60
物理 70
66
68
64
62
画出散点图,并判断它们是否有相关关系.
分析:解答本题可以以数学成绩为自变量,考察因变量物理成绩的变化趋 势,从而作出判断. 解:以x轴表示数学成绩,y轴表示物理成绩,可得相应的散点图如图所示: 由散点图可见,图中的点大致在一条直线附近,故两者之间具有相关关系.
基础强化 1.下列两个变量具有相关关系且不是函数关系的是( ) A.正方形的边长与面积 B.匀速行驶的车辆的行驶距离与时间 C.人的身高与体重 D.人的身高与视力 解析:A､B都是函数关系,C是相关关系,D中人的视力与身高 没有关系. 答案:C
分析:利用散点图进行判别.
解:以x轴为年平均气温,y轴为年降雨量,可得相应的散点图 如下图所示:
因为图中各点并不在一条直线的附近,所以两者不具有相关关系,没必要 用回归直线进行拟合,如果用公式求得回归直线也是没有意义的. 规律技巧:用回归直线进行拟合两变量关系的一般步骤为: (1)作出散点图,判断散点是否在一条直线附近; (2)如果散点在一条直线附近,用公式求出a,b并写出线性回归方程.
变式训练1:5个学生的数学和物理成绩如下表:
学生
A
B
C
D
E
学科
数学 80
75
70
65
60
物理 70
66
68
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62
画出散点图,并判断它们是否有相关关系.
分析:解答本题可以以数学成绩为自变量,考察因变量物理成绩的变化趋 势,从而作出判断. 解:以x轴表示数学成绩,y轴表示物理成绩,可得相应的散点图如图所示: 由散点图可见,图中的点大致在一条直线附近,故两者之间具有相关关系.
基础强化 1.下列两个变量具有相关关系且不是函数关系的是( ) A.正方形的边长与面积 B.匀速行驶的车辆的行驶距离与时间 C.人的身高与体重 D.人的身高与视力 解析:A､B都是函数关系,C是相关关系,D中人的视力与身高 没有关系. 答案:C
人教版高中数学必修三第二章第3节 2.3.2两个变量的线性相关 课件(共32张PPT)
广告费用为 6 万元时销售额为
(B )
A.63.6 万元
B.65.5 万元
C.67.7 万元
D.72.0 万元
解析 由题意可知 x ＝3.5，y ＝42，则 42＝9.4×3.5＋a^，a^＝9.1，
y^＝9.4×6＋9.1＝65.5，答案应选 B.
四、跟踪训练 1、从下面四个图中点在散点图上的分布状态,能判
40 30 20 10
0 0
脂肪
脂肪
20
40
60
80
上述三种方案均有一定的道理，但可靠性不强，我们回到回归直线的定义。求回归方 程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看，各点与直线的偏差最小”。
思考2：如何求出回归方程？
即 可 以 用 |yi － y^ i|或 (yi － y^ i)2 ， 其 中 y^ i ＝ bxi＋ a.( 如 图 ) 来刻画各样本点与回归直线的接近程度.
其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪 含量的样本平均数.
年龄 23 27 39 41 45 49 50 脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2
（脂肪含量)
40 30 20 10
0 10 20 30 40 50 60
(年龄)
年龄 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
《变量的相关性》课件
识别变量间的模式
了解数据分布特征
通过观察数据分布和趋势，发现变量间的潜在关系和模式。
通过计算变量的均值、中位数、方差等统计量，了解各变量的分布情况。
03
02
01
确定变量间的因果关系
通过分析时间序列数据或实验数据，利用相关系数和因果发现算法，推断变量间的因果关系。
05
变量相关性在实践中的案例分析
Spearman秩相关系数
Spearman秩相关系数是一种非参数统计方法，用于度量两个变量之间的相关性。它不受变量分布的影响，可以用于度量非线性相关性。
Kendall秩相关系数
Kendall秩相关系数也是一种非参数统计方法，用于度量两个变量之间的相关性。与Spearman秩相关系数类似，它也不受变量分布的影响，可以用于度量非线性相关性。
散点图观察法
01
通过绘制散点图，观察数据点的分布情况，如果散点图呈现出明显的曲线或者非线性趋势，则说明两个变量之间存在非线性关系。
二次项检验法
02
对于两个连续变量，可以通过二次项检验法来检验是否存在二次函数关系。具体来说，可以通过构造二次回归模型，并检验二次项的系数是否显著。
对数转换法
03
如果两个变量之间存在对数关系，可以通过对其中一个变量取对数，将其转换为线性关系，然后再进行线性回归分析。如果回归结果显著，则说明两个变量之间存在对数关系。
变量间的相关关系课件
^
= − =3.5-0.7×4.5=0.35,
^
故线性回归方程为 =0.7x+0.35.
(3)根据线性回归方程的预测,现在生产 100 吨产品消耗的标准
煤的数量为 0.7×100+0.35=70.35,
故消耗能源减少了 90-70.35=19.65(吨).
题型四
易错辨析
【例题 4】下列变量之间的关系属于相关关系的是(
(2)如果样本数据对应的点具有线性相关关系,从回归直线方程
^
^
来看,当系数 >0 时,单调递增,此时这两个变量正相关;当 <0 时,单
调递减,此时这两个变量负相关.
题型一
判断相关关系
【例题 1】设对变量 x,y 有如下观察的数据:
15 15 15
15
15 15
x
154
157
1
2
3
6
8
9
41.
系称为负相关.
【做一做 1】下列图形中具有相关关系的两个变量是(
)
解析:A 项中显然任给一个 x 都有唯一确定的 y 和它对应,是一
种函数关系;B 项也是一种函数关系;C 项中从散点图可以看出所有
点看上去都在某条直线附近波动,具有相关关系,而且是一种线性相
关关系;D 项中所有的点在散点图中没有显示任何关系,因此变量间
人教版高中数学必修三第二章第3节 2.3.2两个变量的线性相关 课件(共24张PPT)
1、散点图 2、最小二乘法 3、线性回归方程
Yi=bxi+a（i=1，2，…，n） y 它与实际收集得到的yi之间偏差是
（xi ，yi ）
yi-Yi
yi-Yi=yi-(bxi+a)（i=1，2，…，n）
（x1，y1）
这样，用这n个偏差的和来刻画 “各点与此直线的整体偏差”
（x2，y2）
是比较合适的。
x
n
Σ（yi-Yi）2的最小值
i=1
Q=(y1-bx1-a) 2+(y2-bx2-a) 2+…+(yn-bxn-a) 2 当a，b取什么值时，Q的值最小，即总体偏差最小
20
40
60
80
人体脂肪含量与年龄之间的规律，由此 回归直线来反映。
将年龄作为x代入上述回归方程，看看得 出数值与真实值之间有何关系？
年龄 脂肪 回归值
23 27 39 41 45 49 50 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 12.8 15.1 22.0 23.2 25.5 27.8 28.4
2、从图3-1看到，各点散布在从左上角到由下角的 区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间成负相关， 即气温越高，卖出去的热饮杯数越少。
3、从散点图可以看出，这些点大致分布在一 条直线的附近，因此利用公式1求出回归方程 的系数。 Y= -2.352x+147.767
高中数学课件 线性相关
2.3
变量间的相互关系复习课
2.3
变量间的相互关系
基础知识框图表解 变量间关系 散点图 函数关系 相关关系 线性回归 线性回归方程
重点知识回顾
1、相关关系
（1）概念：自变量取值一定时，因变量的取值带有一 定随机性的两个变量之间的关系叫相关关系。
（2）相关关系与函数关系的异同点。
相同点：两者均是指两个变量间的关系。
A、定义；B、正相关、负相关。
3、回归直线方程 注:如果关于两个变量统计数据的散点图呈现发散状,则 这两个变量之间不具有相关关系.
3、回归直线方程 （1）回归直线：观察散点图的特征，如果各点大致分 布在一条直线的附近，就称两个变量之间具有线性相关的 关系，这条直线叫做回归直线。 （2）最小二乘法
ˆ y bx a
n n (x i -x)(yi -y) x i yi -n xy b= i=1 = i=1 , n n 2 2 (x i -x) x i 2 -n x i=1 i=1 a= y-bx. 1 n 1 n 其中x= x i ,y= yi . n i=1 n i=1
39900 3274 5
22785 18090 25500 39155 4794 0
x 159.8, y 172,
x
i 1
10
2 i
265448, y 312350, x i y 287640
变量间的相互关系复习课
2.3
变量间的相互关系
基础知识框图表解 变量间关系 散点图 函数关系 相关关系 线性回归 线性回归方程
重点知识回顾
1、相关关系
（1）概念：自变量取值一定时，因变量的取值带有一 定随机性的两个变量之间的关系叫相关关系。
（2）相关关系与函数关系的异同点。
相同点：两者均是指两个变量间的关系。
A、定义；B、正相关、负相关。
3、回归直线方程 注:如果关于两个变量统计数据的散点图呈现发散状,则 这两个变量之间不具有相关关系.
3、回归直线方程 （1）回归直线：观察散点图的特征，如果各点大致分 布在一条直线的附近，就称两个变量之间具有线性相关的 关系，这条直线叫做回归直线。 （2）最小二乘法
ˆ y bx a
n n (x i -x)(yi -y) x i yi -n xy b= i=1 = i=1 , n n 2 2 (x i -x) x i 2 -n x i=1 i=1 a= y-bx. 1 n 1 n 其中x= x i ,y= yi . n i=1 n i=1
39900 3274 5
22785 18090 25500 39155 4794 0
x 159.8, y 172,
x
i 1
10
2 i
265448, y 312350, x i y 287640
变量间的相关关系 课件
【归纳】进行回归分析的关键. 提示：回归分析应用于实践，关键是回归模型的建立.比如题1 中把父子身高分别作为两个变量，建立线性相关关系是解答本 题的切入点.
【规范解答】线性相关关系的判断及线性回归方程的求解 【典例】（12分）假设关于某设备使用年限x（年）和所支出 的维修费用y（万元）有如下统计资料：
2.两次数学考试成绩散点图如图所示，
由散点图可以看出两个变量的对应点集中在一条直线的周围， 且y随x的变大而变大，具有正相关关系.因此，这10名学生的 两次数学考试成绩具有相关关系.
【想一想】人的身高与年龄之间一定没有相关性吗？ 提示：在一定年龄段，比如18岁之前，人的身高与年龄之间可 以看作具有正相关的关系.
【解析】1.设父亲的身高为x cm，儿子的身高为y cm，则根据 上述数据可得到如下表格：
上表中的最后一组（182，？）是预测数据，
x 173，y 176,
n
b$
（xi x）（yi
i1 n
（xi x）2
y）
0 036 0 32 32
1,
i1
a$ y b$x 3,
线性回归方程 y$=x+3,所以当x=182时y$， =185,
【规范训练】（12分）以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x的数据：
（1）画出数据对应的散点图； （2）求回归方程，并在散点图中加上回归直线； （3）试预测90 m2的房屋，销售价格约为多少？（精确到0.01）
《线性相关关系》课件
最小二乘法估计参数
方法
最小二乘法是一种数学优化技术，用于估计未知参数，使得观测 数据与预测数据之间的差异（残差）平方和最小。
计算步骤
计算每个数据点与拟合直线之间的垂直距离（残差），然后使用这 些残差来计算斜率和截距的最佳估计值。
优点
最小二乘法简单易行，适用于大量数据，并能给出参数的唯一解。
回归模型的检验与预测
THANKS
感谢观看
01
02
03
显著性检验
通过显著性检验（如t检验 、F检验等），可以判断 线性相关关系是否具有统 计学上的显著性。
置信区间
置信区间可以用来评估线 性相关关系的稳定性和可 靠性，较窄的置信区间意 味着关系更加稳定。
控制其他变量
在分析线性相关关系时， 需要考虑其他潜在变量的 影响，以避免产生偏差或 误判。
03
CATALOGUE
线性回归分析
一元线性回归模型
定义
一元线性回归模型是用来描述两 个变量之间线性关系的数学模型
，通常表示为(y = ax + b)。
适用场景
当一个变量（因变量）与另一个 变量（自变量）之间存在近似线 性关系时，可以使用一元线性回
归模型进行预测或分析。
参数解释
(a)表示斜率，描述自变量对因变 量的影响程度；(b)表示截距，描 述当自变量为0时因变量的值。
人教版高中数学必修三第二章第3节 2.3.2两个变量的线性相关 课件(共28张PPT)
线上？） 体现了数学思想方法：类比推理！
EXCEL
作散点图 找近似函数模型刻画数据
体现了数学思想方法：转化与化归思想
回归直线依赖样本数据，依赖对样本数据拟合 的效果。因此，回归方程有随机性，由它获得 的结论也具有随机性的特点。回归分析就是寻
找相关关系中非确定关系中的某种确定性。虽然 一个数据具有随机误差，但“总体”具有某种确
人体内脂肪含量与年龄之间是相关关系
在一定年龄段内，随着年龄的增长，人体内的脂肪 含量会增加，但人体内的脂肪含量还与饮食习惯、体 育锻炼等有关，可能还与个人的先天体质有关。
对某一个人来说，他的体内脂肪含量不一定随年龄 增长而增加或减少，但是如果把很多个体放在一起， 就可能表现出一定的规律性.
散点图：
应当说，对于上述各种问题中的两个变量之间 的相关关系，我们都可以根据自己的生活、学习 经验作出相应的判断，因为“经验当中有规律” 。但是，不管你经验多么丰富如果只凭经验办事 ，还是很容易出错的。因此，在分析两个变量之 间的关系时，我们还需要有一些有说服力的方法 。
在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常 重要的作用.变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过收集大量的数据，对数据进 行统计分析，发现规律，才能作出科学的判断.（对具有相关关系的两个变量进行统计分 析的方法叫回归分析.）
【展示交流】
EXCEL
作散点图 找近似函数模型刻画数据
体现了数学思想方法：转化与化归思想
回归直线依赖样本数据，依赖对样本数据拟合 的效果。因此，回归方程有随机性，由它获得 的结论也具有随机性的特点。回归分析就是寻
找相关关系中非确定关系中的某种确定性。虽然 一个数据具有随机误差，但“总体”具有某种确
人体内脂肪含量与年龄之间是相关关系
在一定年龄段内，随着年龄的增长，人体内的脂肪 含量会增加，但人体内的脂肪含量还与饮食习惯、体 育锻炼等有关，可能还与个人的先天体质有关。
对某一个人来说，他的体内脂肪含量不一定随年龄 增长而增加或减少，但是如果把很多个体放在一起， 就可能表现出一定的规律性.
散点图：
应当说，对于上述各种问题中的两个变量之间 的相关关系，我们都可以根据自己的生活、学习 经验作出相应的判断，因为“经验当中有规律” 。但是，不管你经验多么丰富如果只凭经验办事 ，还是很容易出错的。因此，在分析两个变量之 间的关系时，我们还需要有一些有说服力的方法 。
在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常 重要的作用.变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过收集大量的数据，对数据进 行统计分析，发现规律，才能作出科学的判断.（对具有相关关系的两个变量进行统计分 析的方法叫回归分析.）
【展示交流】
数学人教A版必修三：《两个变量的线性关系》课件
（2）从图中可以看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此气温与热饮杯数之间成负相关，即气温越高，卖出的热饮杯数越
少。
左图中两个变量有没有相关关系？
（2）课堂作业：习题2.
除此以外，我们还可以通过另一种图——散点图来分析。
除讨此论以 ：外我 例，们1我如们何有还来一可求个以出同通这学过条另直家一线开种的了图方一程—个呢—小？散点卖图部来，分他析为。了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的
40 35 30 25 20 15 10
5 0
0
系列1
10
20
30
40
50
60
70
结论：从散点图可以看出，年龄越大，体内脂肪含量越高。点的趋 势表明两个变量之间存在一定的关系。
正相关、负相关：
如果散点图中点的分布在从左下角到右上角的区域，即一个变量的值由小变大，另一 个变量的值也近似的由小变大，对于两个变量的这种相关关系，我们称其为正相关。
[两思个考变] 量成热负饮相关杯时数，散点图1有5什6 么样1的5特0点？你13能2举出1一2些8例子吗13？0 116 104 89 93 76 54
解：（1）散点图如下：
（2）从图中可以看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此气温与热饮杯数之间成负相关，即气温越高，卖出的热饮杯数越
少。
我讨们论可 ：以我做们（统如1计何）图来画、求表出出使这散我条们直点对线图两的个方；变程量呢之？间的关系有一个直观上的印象和判断。
《变量的相关性(2)》示范公开课教学课件【高中数学苏教版】
解析 由于－1≤ r ≤ 1，其中|r|越接近1，y与x相关的程度就越强， |r|越接近0， y与x相关的程度就越弱．故ABD错误．
ABD
(多选题)对相关系数r来说，下列说法错误的有( ) A.|r|≤1，|r|越接近0，相关程度越大；|r|越接近1，相关程度越小； B. |r|≥1，|r|越接近1，相关程度越大；|r|越大，相关程度越小； C. |r|≤1，|r|越接近1，相关程度越大；|r|越接近0，相关程度越小； D.|r|≥1，|r|越接近1，相关程度越小；|r|越大，相关程度越大．
当a与b共线时，存在非零实数，使得ba，即 ，这说明向量，趋近共线，即，M这n+1个点接近于共线．
在统计中，常用相关系数来衡量两个变量之间的线性相关的强弱，记为，相关系数可由下面两个公式计算：
相关系数具有怎样的性质？
(1)－1≤ r ≤1；(2) r＞0时y与x呈正相关关系， r＜0时y与x呈负相关关系；(3) |r|越接近1，y与x相关的程度就越强， |r|越接近0， y与x相关的程度就越弱．通常情况下，当|r|＞0.5时，认为线性相关关系显著，当|r|＜0.3时，认为几乎没有线性相关关系．
的夹角就越接近于0或，这时，就趋于共线．当a与b共线时，存在非零实数，使得ba，即 ，这说明向量，，，趋近共线，即，，M四点接近于共线．
对于n对数据，，设点，，取点，(其中,) ，如何说明，的位置关系？
课件5：2.3.1 变量间的相关关系~ 2.3.2 两个变量的线性相关
年份－2006
－4
－2 0 2
4
需求量－257 －21 －11 0 19 29
对预处理后的数据，容易算得 －x ＝0，－y ＝3.2. b＝(－4)×(－21()－＋4()－2＋2)(×－(－2)12＋1)＋22＋2×4129－＋54××0229－5×0×3.2＝24600＝6.5， a＝－y ＝b－x ＝3.2. 由上述计算结果，知所求回归直线方程为 ^y－257＝b(x－2 006)＋a＝6.5(x－2 006)＋3.2. 即^y＝6.5(x－2 006)＋260.2①，
(2)最小二乘法
设 x、y 的一组观察值为(xi，yi)，i＝1,2，…，n，且回归直线方程为^y
＝a＋bx，当 x 取值 xi(i＝1,2，…，n)时，Y 的观察值为 yi，差 yi－^yi(i＝1,2，…， n)刻画了实际观察值 yi 与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度，通常
n
是用离差的平方和，即 Q＝∑i＝1 (yi－a－bxi)2 作为总离差，并使之达 到 最小 .这样，回归直线就是所有直线中 Q 取 最小值 的那一条，由于平 方又叫二乘方，所以这种使“ 离差平方和为最小”的方法，叫做最小二乘法．
解 (1)以 x 轴表示施肥量，y 轴表示水稻产量，可得散点图如图所示：
(2)从图中可以发现施肥量与水稻产量之间具有正相关关系．当施肥 量由小到大变化时，水稻产量也由小变大，但水稻产量只是在一定范围 内随着施肥量的增加而增加．
《变量的相关性》课件
。
Kendall tau系数：衡量两个 变量的排序相关性。
偏相关系数：在控制其他变量 的影响下，衡量两个变量之间
的相关性。
CHAPTER
02
线性相关
线性相关的定义
线性相关是指两个或多个变量之间存在一种关系，当一个变 量变化时，另一个变量也随之变化，这种关系可以用一条直 线近似表示。
线性相关关系可以分为正相关和负相关两种类型，正相关表 示一个变量随着另一个变量的增加而增加，负相关表示一个 变量随着另一个变量的增加而减少。
《变量的相关性》ppt课 件
CONTENTS
目录
• 变量的相关性概述 • 线性相关 • 非线性相关 • 变量相关性在数据分析中的应用 • 变量相关性分析的局限性
CHAPTER
01
变量的相关性概述
什么是变量的相关性
变量的相关性是指两 个或多个变量之间存 在的相互关系。
这种关系可以是正相 关、负相关或无相关 。
非线性相关的度量-Spearman秩相关系数
Spearman秩相关系数是一种用于度 量两个变量之间非线性关系的统计方 法。
Spearman秩相关系数的值介于-1和1 之间，其中正值表示正相关，负值表 示负相关，绝对值越大表示相关性越 强。
它通过比较两个变量的秩次（即数据 值排序后的位置）来计算相关系数， 从而能够揭示出两个变量之间的非线 性关联程度。
Kendall tau系数：衡量两个 变量的排序相关性。
偏相关系数：在控制其他变量 的影响下，衡量两个变量之间
的相关性。
CHAPTER
02
线性相关
线性相关的定义
线性相关是指两个或多个变量之间存在一种关系，当一个变 量变化时，另一个变量也随之变化，这种关系可以用一条直 线近似表示。
线性相关关系可以分为正相关和负相关两种类型，正相关表 示一个变量随着另一个变量的增加而增加，负相关表示一个 变量随着另一个变量的增加而减少。
《变量的相关性》ppt课 件
CONTENTS
目录
• 变量的相关性概述 • 线性相关 • 非线性相关 • 变量相关性在数据分析中的应用 • 变量相关性分析的局限性
CHAPTER
01
变量的相关性概述
什么是变量的相关性
变量的相关性是指两 个或多个变量之间存 在的相互关系。
这种关系可以是正相 关、负相关或无相关 。
非线性相关的度量-Spearman秩相关系数
Spearman秩相关系数是一种用于度 量两个变量之间非线性关系的统计方 法。
Spearman秩相关系数的值介于-1和1 之间，其中正值表示正相关，负值表 示负相关，绝对值越大表示相关性越 强。
它通过比较两个变量的秩次（即数据 值排序后的位置）来计算相关系数， 从而能够揭示出两个变量之间的非线 性关联程度。
人教课标版高中数学必修3《变量间的相关关系》参考课件
规律方法 (1)函数关系是一种确定性关系，如匀速直线 运动中路程s与时间t的关系；相关关系是一种非确定性关 系，如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系． (2)判断两个变量是否是相关关系的关键是看这两个变量 之间是否具有不确定性．
【变式1】下列关系中，带有随机性相关关系的是________． ①正方形的边长与面积之间的关系；②水稻产量与施肥量 之间的关系；③人一生的身高与年龄之间的关系；④某餐 点热饮销售的数量与气温的关系． 解析 ①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；② 水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系，但是 具有相关性，因而是相关关系；③人的身高与年龄之间的 关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达 到一定时期身高就不发生明显变化了，因而他们不具备相 关关系；④一般来说，气温越高，售出的热饮越少．因此 填②④. 答案 ②④
方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的
_平__方__和__最__小__的方法叫做最小二乘法．
回归直线通过样本点的中心，对照平均数与样本数据 之间的关系，你能说说回归直线与散点图中各点之间的关 系吗？ 提示 假设样本点为(x1，y1)(x2，y2)，…，(xn，yn)，记 x ＝
n1i＝n1xi， y ＝n1i＝n1yi，则( x ， y )为样本点的中心，回归直线一
n
xiyi－n x y
即^b＝i＝1n xi2－n x 2
人教版高中数学必修三两个变量的相关关系ppt课件
4
例1.下面变量间的关系属于相关关系的是（ ） A.圆的周长和它的半径之间的关系
C
B.价格不变的条件下，商品销售额与销售量之间的关系
C.家庭收入与消费支出之间的关系
D.正方形的面积和它的边长之间的关系
5
• 练习1.下列两个变量之间不具有相关关系的是（ ） B A.小麦的产量与施肥量 B.球的体积与表面积 C.蛋鸭产蛋个数与饲养天数 D.甘蔗的含糖量与生长期的日照天数
以上公式的推导较复杂，故不作推导，但它的原理较为简单：即 各点到该直线的距离的平方和最小，这一方法叫最小二乘法。 19 （参看如书P80）
思考：把表2-3中的年龄作为x代入回归方程，看看得出的数值与真实数值之间的 关系，从中体会什么？
把年龄x代入回归直线方程，可以看到估计值y与数据Y的值 是由差距的，这说明1.体内脂肪含量与年龄是相关关系， 而非函数关系；2.回归直线能较好地逼近两变量的关系， 直线在整体上的接近程度最好，但因相关关系的非确定性， 有些点的差距还是较大的。
8
探究：
年龄 脂肪 年龄
.
23
27
39
41
45
49
50
53
54
56
57
58
9.5 17.8 21.2
60 61
25.9 27.5 26.3 28.2 29.6
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1.变量之间的相关关系 (1)相关关系 自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变 量之间的关系叫相关关系. (2)相关关系与函数关系的异同点 相同点:两者均是指两个变量的关系;
不同点:①函数关系是一种确定的关系.如匀速直线运动中时 间t与路程s的关系;相关关系是一种非确定的关系.如一块农 田的水稻产量与施肥量之间的关系.事实上,函数关系是两个 非随机变量的关系,而相关关系是非随机变量与随机变量的 关系.
n
xi yi nx y
i 1
n
(xi x )( yi y)
bˆ
__i_n1_x_i2 __nx_2__
,
i 1
n
____i1_(_xi__x_)2____,
aˆ _____y___b_x______ .
通过求Q=_(_y_1_-b_x_1_-_a_)_2+__(y_2_-_b_x_2_-a_)_2_+_…_+_(_y_n_-_b_x_n_-a_)_2_的最小 值而得出回归直线的方法,即使得样本数据的点到回归直线 的距离的平方和最小,这一方法叫做最小二乘法.
利用散点图可以判断变量之间有无相关关系.
3.回归直线方程 (1)回归直线 观察散点图的特征,发现各点大致分布在一条直线的附近,就 称这两个变量之间具有线性相关的关系,这条直线叫做回归 直线.
(2)回归直线方程
设x与y具有相关关系的两个变量,且相应于n组观测值的n个
点大致分布在一条直线的附近,则由
(3)最小二乘法 设与n个观测点(xi,yi)(i=1,2,…,n)最接近的直线方程为 yˆ bx a
(注意它与表示一次函数的习惯y=ax+b不同 ; y ˆ表示y的估算值).其中
a,b是待定系数. 用Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+…+(yn-bxn-a)2来刻画n个点与回归直线在 整体上的偏差.上式展开后,是一个关于a,b的二次多项式,运用配方法, 可求出使Q取得最小值时a,b的值(即上述公式①中的a,b值).
5 60 62 3720 3600
5
b
xi yi 5x y
i 1
5
xi2
2
5x
9 25
0.36,
i 1
a y bx 40.8.
所求回归直线方程为yˆ 0.36x 40.8.
题型三 利用回归直线方程对总体进行估计 例3:在7块并排､形状大小相同的实验田上进行施化肥量对水
稻产量影响的试验,得数据列表(单位:kg):
1.相关关系与函数关系不同,相关关系是一种_不__确___定__性关
系. 2.从散点图上看,点散布在从左下角到右上角的区域内,两个
变量的这种相关关系称为__正__相___关_,点散布在从左上角到右 下角的区域内,两个变量的这种相关关系称为_负__相___关__.
3.从散点图上看,如果这些点从整体上看大致分布在通过散点
上述求回归直线的方法,是使得样本数据的点到它的距离的 平方和最小.由于平方又叫二乘方,所以这种使“偏差平方和 为最小”的方法,叫做最小二乘法.
题型一 相关关系的判断 例1:下表是某地的年降雨量与年平均气温,两者是相关关系吗? 求回归直线方程有意义吗?
年平均 12.51 12.84 12.84 13.69 13.33 12.74 13.05 气温(℃)
基础强化 1.下列两个变量具有相关关系且不是函数关系的是( ) A.正方形的边长与面积 B.匀速行驶的车辆的行驶距离与时间 C.人的身高与体重 D.人的身高与视力 解析:A､B都是函数关系,C是相关关系,D中人的视力与身高 没有关系. 答案:C
2.下列关系是函数关系的是( ) A.产生样本与生产数量 B.球的表面积与体积 C.家庭的支出与收入 D.人的年龄与学习成绩 解析:球的表面积与体积存在函数关系,应选B. 答案:B
题型二 求回归直线方程 例2:每立方米混凝土的水泥用量(单位:kg)与28天后混凝土 的抗压强度(单位:kg/cm2)之间的关系有如下数据:
x 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 26 0
y 56.9 58.3 61.6 64.6 68.1 71.3 74.1 77.4 80.2 82. 86. 89 6 4 .7
制表:
i
1
2
3
4
5
6
xi
150
160
170
180
190
200
yi
56.9 58.3 61.6 64.6 68.1 71.3
xiyi
8535
9328 10472 11628 12939 14260i
i
7
8
9
10
11
12
xi
210
220
230
240
250
260
yi
74.1 77.4 80.2 82.6 86.4 89.7
年降雨 748 542 507 813 574 701 432 量(mm)
分析:利用散点图进行判别.
解:以x轴为年平均气温,y轴为年降雨量,可得相应的散点图 如下图所示:
因为图中各点并不在一条直线的附近,所以两者不具有相关关系,没必要 用回归直线进行拟合,如果用公式求得回归直线也是没有意义的. 规律技巧:用回归直线进行拟合两变量关系的一般步骤为: (1)作出散点图,判断散点是否在一条直线附近; (2)如果散点在一条直线附近,用公式求出a,b并写出线性回归方程.
②函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系, 也可能是伴随关系.例如,有人发现,对于在校儿童,鞋的大小 与阅读能力有很强的相关关系,然而学会新词并不能使脚变 大,而是涉及到第三个因素——年龄,当儿童长大一些,他的 阅读能力会提高,而且由于长大,脚也变大.
(3)相关关系的分析方向 由于相关关系的不确定性,在寻找变量间相关关系的过程中, 统计发挥非常重要的作用.我们可以通过收集大量的数据,在 对数据进行统计分析的基础上,发现其中的规律,对它们的关 系作出判断.
aˆ y bˆx 72.6 0.304 205 10.28, 于是所求的线性回归方程是yˆ 0.304x 10.28.
规律技巧:用公式求回归直线方程的一般步骤:
(1)列表xi,yi,xiyi.
n
n
(2)计算 x, y, x i2, x i yi.
i 1
i 1
(3)代入公式求 bˆ ? aˆ 的值.
变式训练3:改革开放以来,我国高等教育事业有了迅速发展, 这里我们得到了某省从1990年到2000年18岁到20岁的青年 人每年考入大学的百分比.我们把农村,县镇和城市分开统计. 为了便于计算,把1990年编号为0,1991年编号为1,…,2000年 编号为10.如果把每年考入大学的百分比作为因变量,把年份 从0到10作为自变量,进行回归分析,可得到下面三条回归直线:
城市: yˆ 9.50 2.84x;
县镇: yˆ 6.76 2.32x; 农村: yˆ 1.80 0.42x.
(1)在同一坐标系中作出这三条回归直线; (2)对于农村青年来讲,系数等于0.42意味着什么? (3)在这一阶段哪一组的大学入学率年增长最快?
解:(1)图象如下:
(2)对于农村青年来讲,0.42意味着考入大学的百分比平均以 每年0.42的速度递增,由此可以看出农村经济条件及教育现 状与城镇的差别. (3)城市组的大学入学率年增长最快.
(3)正相关､负相关 如果从散点图看到点散布的位置是左下角到右上角的区域. 这种相关称为正相关.反之,如果两个变量的散点图中,点散布 的位置是从左上角到右下角的区域.即一个变量的值由小变 大时,另一个变量的值由大变小,这种相关称为负相关. 如果关于两个变量统计数据的散点图呈现如图的形状,则这 两个变量之间不具有相关关系.例如,学生的身高与学生的数 学成绩没有相关关系.
(1)画出散点图如图: 由图可见是线性相关的.
(2)借助计算器列表:
i
1
2
3
4
5
6
7
xi
15
20
25
30
35
40
45
yi
330 345 365 405 445 450 455
xiyi 4950 6900 9125 12150 15575 18000 20475
计算得 : b 87175 7 30 399.3 4.75, 7000 7 302
(4)写出回归直线方程.
变式训练2:求变式训练1中的回归直线方程.
解:列表: i xi yi
xiyi
x
2 i
1 80 70 5600 6400
2 75 66 4950 5625
3 70 68 4760 4900
4 65 64 4160 4225
5
x 70, y 66, x i yi 23190 i 1
施化肥 15 20 25 30 35 40 45 量x
水稻产 330 345 365 405 445 450 455 量y
(1)画出散点图; (2)求水稻产量y与施化肥量x之间的回归直线方程; (3)当施化肥50 kg时,对水稻的产量予以估计. 分析:解答本题应先画散点图,判断其是否线性相关,再利用 最小二乘法求其回归方程.
图中心的一条直线附近,称两个变量之间具有_线__性___相__关__关__ 系 , 这条直线叫__回__归___直线 _.
4.假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数
据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn).且所求回归方程是 yˆ bˆx aˆ,
其中b是回归方程的___斜__率___, aˆ 是___截__距___,则有
xiyi 15561 17028 18446 19824 21600 23322
12
x 205, y 72.6, x i2 518600, i 1
12
12
y i2 64572.94, x i yi 182943
i 1
i 1
bˆ 182943 12 205 72.6 4347 0.304. 518600 12 2052 14300
n
n
(xi x )( yi y)
xi yi nx y
bˆ i1 n
aˆ
y
( xi
i 1
bˆx
x)2
i 1 n
xi2
2
nx
i 1
其中,b是回归方程的斜率,a是截距. 所得到的方程 yˆ bx a 叫作回归直线方程,相应的直线叫作 回归直线,而对两个变量所进行的统计分析叫作线性回归分 析.
3.如下图所示,有5组(x,y)数据,去掉( 数据的线性相关系数最大.( )
变量之间的相关关系 两个变量的线性相关
1.掌握两个变量间的相关关系及正相关､负相关､不具相关关 系的判定.
2.通过收集实际生活中两个变量的有关数据作出散点图. 3.利用散点图直观地认识变量间的相关关系. 4.正确理解回归直线方程､最小二乘法的概念. 5.能够根据散点图得到回归直线. 6.掌握利用最小二乘法求回归直线方程的方法.
变式训练1:5个学生的数学和物理成绩如下表:
学生
A
B
C
D
E
学科
数ห้องสมุดไป่ตู้ 80
75
70
65
60
物理 70
66
68
64
62
画出散点图,并判断它们是否有相关关系.
分析:解答本题可以以数学成绩为自变量,考察因变量物理成绩的变化趋 势,从而作出判断. 解:以x轴表示数学成绩,y轴表示物理成绩,可得相应的散点图如图所示: 由散点图可见,图中的点大致在一条直线附近,故两者之间具有相关关系.
(1)画出散点图; (2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近,求y与x 之间的回归直线方程.
分析:(1)将表中的各对数据在平面直角坐标系中描点,便 得到具有相关关系的两个变量的一组数据的图形,即得散 点图;(2)按照求回归直线方程的步骤和公式,写出回归直 线方程.
解:(1)如下图.
(2)由散点图知,x与y之间具有线性相关关系,下面求回归直 线方程.
a 399.3 4.75 30 257. 即得回归直线方程yˆ 257 4.75x.
(3)施化肥50 kg时,可以估计水稻产量约为495kg.
规律技巧:(1)回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某 种确定性;(2)求回归直线方程,关键在于正确地求出系数a,b, 由于a,b的计算量大,计算时要仔细,避免计算失误.
2.两个变量的线性相关 (1)回归分析 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析. 通俗地讲, 回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性. (2)散点图 将n个数据点(xi,yi),(i=1,2,…,n)描在平面直角坐标系中,以表示 具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图. 散点图形象地反映了各对数据的密切程度.