张量分析第一章

}
确定的矢量 u x x + y 所构成的一类矢量，称为矢量 y 的等价类。 0 中所有矢量按（1.2-1）所构成 V 的等价类的集合称为自由矢量集合。记为 V0 。 应当注意的是自由矢量的集合中的一个元素是 一类按平行性等价的约束矢量，而不是一个矢 量。
r1 ： (1 − t ) (−2,0) + t (−1,2) 0 ≤ t ≤ 1 , t ∈ F } {
{F ;
+ , ×}
称为具有加法和乘法法则的实数集空间。
实数空间关于加法和乘法法则有如下性质： （1） （2）
x+ y = y+x
x + ( y + z ) = ( x + y) + z
x, y ∈ F
x, y , z ∈ F
（3） F中存在称为关于加法的单位元素0，使得：
x+0= x
x + (− x) = 0
并称定义了实数域上的加法运算和数乘运算的集合为实数 域上的矢量空间。且仍记为V0 。 数域上的矢量空间V0 具有如下性质：x , y, z ∈ V0 , α、 β ∈ F x+ y= y+x （1） ） ( x + y) + z = x + ( y + z) （2） ） （3）V0中存在称为关于加法的单位元素o，使得： ）
由此确定a=0.75 。 图中画出了计算结果 。
1.2 自由矢量
设 V0是实数域上的矢量空间，x是 V0中任一给定 的位置矢量。 Vx是所有起点在x点的约束矢量空 间。对 V0中的所有矢量，按（1.1-7）式的平行 性，在 Vx中有对应的矢量。若矢量
y∈V0 , x + y = (x1 + y1,⋯, xn + yn)∈V0
r1
a4 a5 -2 图1－2
r2 ：(取 s = b2 − b1
与 r3 ： (取 s = (s , s ) ) a 3 b3 = {(1 − t ) (a1 + s ) + t (b1 + s ) a ≤ t ≤ b } = {(1 − t ) (−2 + s1 ,0 + s 2 ) + t (−1 + s1 ,2 + s 2 ) a ≤ t ≤ b } = {(1 − t )(2,2) + t ( 4,4) a ≤ t ≤ b } s1 ， 的解满足： − 2 + s1 = 2 显然没有一组 −1+ s = 4
1× x = x
∀x∈F
1.1 矢量集合的运算
对实数域 F，定义n元有序组： ( x1 ,⋯ , xn ) x1 ∈ F ,⋯ , xn ∈ F ( x1 , ⋯, x n ) = ( x1 , ⋯, x n ) 且当： ( x1 = x1 ,⋯, xn = xn ) 必有： 由n元有序组构成的集合： E n = F ×⋯ × F = {( x1 ,⋯ xn ) xi ∈ F , − ∞ < xi < +∞ , 1 ≤ i ≤ n }
例2：如图所示给定的5个矢量 r1、r2、r3、r4、r5 。 试确定其平行性和等价性。
x2 4 r2 3 a 2 b1 r1 a1 -2 -1Leabharlann Baidur4 1 2 3 -1 2 1 b4 r5 4 a3 r3 b2 b3
r2 ：(1 − t ) (0,3) + t (0.65,4.3) 0 ≤ t ≤ 1 , t ∈ F } { r3 ：(1 − t ) (2,2) + t (4,4) 0 ≤ t ≤ 1 , t ∈ F } { r4 ：(1 − t ) (−1,−1) + t (1,1) 0 ≤ t ≤ 1 , t ∈ F } {
r5 ：(1 − t ) (3−,1) + t (4,1) 0 ≤ t ≤ 1 , t ∈ F } {
b5 x1
) 与 a 2 b2 = {(1 − t ) (a 1 + s ) + t (b1 + s ) a ≤ t ≤ b } = {(1 − t ) (−2 + 1.65,2.3 + 0) + t (−1 + 1.65,2 − 2.3) a ≤ t ≤ b } = {(−0.35 + t ,2.3 + 2t ) a ≤ t ≤ b } (−0.35 + t ,2.3 + 2t ) = (0.65,4.3) 当 t = b 时： (−0.35 + t ,2.3 + 2t ) = (0,3) 当 t = a 时： b 由此可得 a = 0.35 ， = 1 。显然由（1.1-7）式可知 r1∥r2，但 由（1.2-1）式可知 r1 和 r2 不等价（因为 a = 0.35 ≠ 0）。
αu xy = α ( y1 − x1 , ⋯ , y n − x n )
= (α ( y1 − x1 ), ⋯ , α ( y n − x n ))
α ∈F
定义加法和数乘运算。显然所有以x为起点的矢量当 取 uxy为加法单位元素时，构成矢量空间 ，且记为Vx 。 Vx空间中的矢量称为约束矢量。 xy = {z = (1 − t ) x + ty 0 ≤ t ≤ 1 , t ∈ F } 设 定义若存在非o的s位置矢量满足：
∀x ∈ F
（4） 存在唯一的元素,对每一个元素使得： 4
x∈F
(− x) ∈ F
∀a , b , x∈ F （5） (a × b) × x = a × (b × x) ∀a , b , x∈ F （6） (a + b) × x = a × x + b × x ∀a , b , x , y ∈ F （7） a + ( x + y ) = a × x + b × x （8） F中存在称为关于乘法的单位元素1，使得：
证： （1）∵ ∴ （2）∵
x + y = ( x1 + y1 , ⋯ , x n + y n ) = ( y1 + x1 , ⋯ , y n + x n )
x+ y= y+x
x + y + z = ( x1 + y1 ) + z1 , ⋯ , ( x n + y n ) + z n = ( x1 + y1 + z1 ,⋯, xn + y n + z n ) x + ( y + z ) = ( x1 + ( y1 + z1 ), ⋯ , ( x n + ( y n + z n )) = ( x1 + y1 + z1 , ⋯ , x n + y n + z n )
张量分析
第一章 线性空间
若记实数集合为F，F中的元素记为a、b、c、…。 则加法法则将F中的任意两个元素 a , b ∈ F ; c∈ F + ( a , b) ֏ c a+b=c 乘法法则将F中的任意两个元素 a , b ∈ F ; c∈ F a×b = c × ( a , b) ֏ c 显然具有加法法则和乘法则所确定的实数集中元 素间确定关系使得实数集构成一个空间。并记为：
则起点在x的矢量 u x x + y ∈V x 可由有向线段： x x + y = {ξ = (1 − t ) x + t ( x + y ) 0 ≤ t ≤ 1 , t ∈ F } 确定。而 y ∈ V0 矢量可由有向线段： o y = {z = (1 − t ) o + t (o + y ) 0 ≤ t ≤ 1 , t ∈ F } 确定。容易验证 x x + y = {ξ = (1 − t ) (o + x ) + t ( y + x ) 0 ≤ t ≤ 1 , t ∈ F } 满足（1.1-7）式（取 a = 0, b = 1, x → o, y → y, s → x ）。 u x x + y∥ y 因此 ：
ab = {z = (1 − t )( x + s ) + t ( y + s ) | a ≤ t ≤ b, a, b, t ∈ F }
则称 ab 与 xy 平行。切记为 ab ∥ xy 。 例1：若o（原点）是二维Eucild空间的给定点。过o 点的水平和竖直直线为实数数轴。 当： x = (2,3) y = (6,1) a = (1,1.5) b = (2,1) 时，试证明： uxy∥ uab 并将结果画在图上。
n个
E 称为n维仿射空间。 n 中的每一个元素称为点。 ( − x1 ,⋯ , − xn ) x = ( x1 , ⋯ , x n ) , o = ( 0,⋯ , 0 ) , 记： 且分别称为放射空间的原点、位置矢量和负矢量。 对于n维仿射空间，所有的位置矢量构成一个集合：
V0 = {x = ( x1 ,⋯ , xn ) − ∞ < xi < +∞ , xi ∈ F ,1 ≤ i ≤ n}
定义实数域上位置矢量的加法运算和数乘运算：
x + y = ( x1 + y1 ,⋯ xn + yn ) = ( z1 ,⋯ zn ) = z
x, y, z ∈ V0 ; α ∈ F
x, y, z ∈ V0 ; α ∈ F
α x = α ( x1 ,⋯ , xn ) = ( x1 ,⋯ , xn )α = (α x1 ,⋯ , α xn )
1∈ F
证毕。 定义与 x 和 y 相关，且线性依赖参数 0≤t≤ 的矢量 z ：
1x = x
z = (1 − t ) x + ty
1x = 1( x1 , ⋯ x n )
定义连接 x 、y 两点的直线段是满足：
xy = { z = (1 − t ) x + t y
0 ≤ t ≤ 1 , t ∈ F}
x2 3 2 u ab 1 S 2 (a) x2 3 2 u ab 1 x1 1 2 3 (b) 图1－1 4 5 6 u xy 4 6 x1 u xy
当t=b时：位置矢量标 定b点。即：
(4b − 2,3 − 2b) = ( 2,1)
由此确定b=1 。 当t=a时：位置矢量标 定a点。即：
(4a − 2,3 − 2a ) = ( 1, 1.5 )
解：
ab = {(1 − t ) ( x + s ) + ( y + s ) a ≤ t ≤ b}
= {(4t − 2, 3 − 2t ) a ≤ t ≤ b)}
s = b − y = (−4, 0)
= {(−2 (1 − t ),3(1 − t )) + (2t , t ) a ≤ t ≤ b)}
x+o= x
∀ x ∈ V0
（4）V0中每一个元素x都存在唯一的(-x )，使得： ） （5） ） （6） ） (α + β ) x = α x + β x α ( x + y) = α x + α y （7） ） （8） F存在称为关于数乘的单位元素1 ，使得： ）
1x = x
∀ x ∈ V0
x + (− x ) = o (α β ) x = α ( β x )
(α + β ) x = ((α + β ) x1 , ⋯ , (α + β ) x n ) = (α x1 + β x1 ,⋯ , α xn + β xn ) (α + β ) x = α x + β x
（7）∵ ∴ （8）∵
α ( x + y ) = α ( x1 + y1 ,⋯ xn + yn ) = (α x1 + α y1 ,⋯α xn + α yn ) α ( x + y) = α x + α y
∴ （4）∵ ∴ （5）∵ ∴ （6）∵ ∴
x + ( y + z) = ( x + y) + z = x + y + z x + o = ( x1 + 0, ⋯ x n + 0) = ( x1 , ⋯ , x n ) o = (0, ⋯ ,0) ∈ V0
x+o= x
(αβ ) x = (αβ )( x1 ,⋯ , xn ) = ((αβ ) x1 ,⋯ , (αβ ) xn ) = (αβ x1 ,⋯ , αβ xn ) = α ( β x1 ),⋯ , αβ ) xn ) (αβ ) x = α ( β x )
对任意给定的矢量 y ∈V0 ，对不同的x所确定的 约束矢量空间 V x，按平行性可确定一类约束矢 u x x + y ∥y。定义 E n 空间中的每一点约束矢量， 量 对给定的 y ∈V0 ，按有向直线段：
x x + y = { ξ = (1 − t ) (o + x ) + t ( y + x ) 0 ≤ t ≤ 1 , t ∈ F
仿射空间点的集合。 x、y两点的直线段给出空间x点指向y点的矢量uxy。 uxy是 空间由x点指向y点的有向直线段。对于任意空间的点x， 所有以x点为起点的矢量按：
u xy + u xz = ( y1 − x1 , ⋯ , y n − x n ) + ( z1 − x1 , ⋯ , z n − x n ) = (( y1 − x1 ) + ( z1 − x1 ), ⋯ , ( y n − x n ) + ( z n − x n ))