【2014-2015学年高中数学(人教A版)选修1-2练习：3章 数系的扩充与复数的引入 综合素质检测

第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若x 是纯虚数，y 是实数，且2x －1＋i ＝y －(3－y )i ，则x ＋y 等于( ) A ．1＋52iB ．－1＋52iC ．1－52iD ．－1－52i[答案] D[解析] 设x ＝i t (t ∈R 且t ≠0)， 于是2t i －1＋i ＝y －(3－y )i ， ∴－1＋(2t ＋1)i ＝y －(3－y )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12t ＋1＝－(3－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝－52y ＝－1.∴x ＋y ＝－1－52i.2．(2012·课标全国文，2)复数z ＝－3＋i2＋i 的共轭复数是( )A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋iD ．－1－i[答案] D[解析] 本题考查了复数的除法运算以及共轭复数的概念． z ＝－3＋i 2＋i ＝(－3＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－5＋5i5＝－1＋i ，故z 的共轭复数为－1－i.3．设复数z ＝2＋i(1＋i )2，则复数z 的虚部是( )A ．12B ．－1C ．－iD ．1[答案] B[解析] z ＝2＋i 2i ＝－2i ＋12＝12－i ，∴复数z 的虚部是－1.4．若z 1＝(x －2)＋y i 与z 2＝3x ＋i(x 、y ∈R )互为共轭复数，则z 1对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[答案] C[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3x y ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1.∴z 1＝－3－i ，故选C.5．当z ＝1－i2时，z 100＋z 50＋1的值等于( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i[答案] D[解析] z 2＝12(1－2i －1)＝－i ，z 50＝(－i)25＝－i ，z 100＝(－i)2＝－1，故原式＝－i.6．已知复数z 满足2－iz ＝1＋2i ，则z ＝( )A ．4＋3iB ．4－3iC ．－iD ．i [答案] D[解析] 由2－i z ＝1＋2i ，得z ＝2－i 1＋2i ＝(2－i )(1－2i )5＝2－4i －i －25＝－i ，∴z ＝i.7．复数z ＝m －2i1＋2i (m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] A [解析] z ＝m －2i 1＋2i ＝(m －2i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝15[(m －4)－2(m ＋1)i]，其实部为m －45，虚部为－2(m ＋1)5，由⎩⎪⎨⎪⎧ m －4>0－2(m ＋1)>0，得⎩⎪⎨⎪⎧m >4m <－1，此时无解．故复数在复平面上对应的点不可能位于第一象限．8．(2014·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 20131＋i，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] A[解析] ∵i n＝⎩⎪⎨⎪⎧i n ＝4k ＋1，－1 n ＝4k ＋2，－i n ＝4k ＋3，1 n ＝4k ，k ∈Z ，∴i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2013＝503×(i ＋i 2＋i 3＋i 4)＋i 2013＝503×0＋i ＝i ，∴z ＝i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2，在复平面内的对应点(12，12)在第一象限．9．若复数z ＝a ＋3i1－2i (a ∈R )，且z 是纯虚数，则|a ＋2i|等于( )A ． 5B ．210C ．2 5D ．40[答案] B[解析] z ＝a ＋3i 1－2i＝(a ＋3i )(1＋2i )5＝a ＋2a i ＋3i －65＝a －6＋(2a ＋3)i5，当z 为纯虚数时，⎩⎪⎨⎪⎧a －6＝02a ＋3≠0，得a ＝6，∴a ＋2i ＝6＋2i ， ∴|a ＋2i|＝210.10．若z ＝cos θ＋isin θ(i 为虚数单位)，则使z 2＝－1的θ值可能是( ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2[答案] D[解析] ∵z 2＝cos2θ＋isin2θ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos2θ＝－1sin2θ＝0，∴2θ＝2k π＋π (k ∈Z )， ∴θ＝k π＋π2.令k ＝0知，D 正确．11．(2013·陕西理)设z 1、z 2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2 C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22[答案] D[解析] 本题考查复数相等，共轭复数．设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a 、b 、c 、d ∈R ，若|z 1－z 2|＝0，则z 1－z 2＝0，∴a ＝c ，b ＝d ，所以z 1＝z 2，故A 项正确．若z 1＝z 2，则a ＝c ，b ＝－d ，所以z 1＝z 2，故B 项正确．若|z 1|＝|z 2|，则a 2＋b 2＝c 2＋d 2，所以z 1z 1＝z 2·z 2，故C 项正确．z 21＝a 2－b 2＋2ab i ，z 22＝c 2－d 2＋2cd i ，在a 2＋b 2＝c 2＋d 2的条件下，不能得出a 2－b 2＝c 2－d 2,2ab ＝2cd ，故D 项错误．12．(2014·广东文，10)对任意复数ω1、ω2，定义ω1]2，其中ω－2是ω2的共轭复数，对任意复数z 1、z 2、z 3，有如下四个命题：①(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1]( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] B [解析] ∵w 1]．∴①左边＝(z 1＋z 2)z 3，右边＝z 1z 3＋z 2z 3＝(z 1＋z 2)z 3，左边＝右边，正确． ②左边＝z 1(z 2＋z 3)＝z 1(z 2＋z 3)，右边＝z 1z 2＋z 1z 3＝z 1(z 2＋z 3)，左边＝右边，正确．③左边＝(z 1z 2)z 3，右边＝z 1(z 2z 3)＝z 1(z 2z 3)，左边≠右边，不正确． ④左边＝z 1z 2，右边＝z 2z 1，左边≠右边，不正确，选B.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．若复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，则z ·z ＋z ＝________. [答案] 6－2i[解析] ∵z ＝1－2i ，∴z －＝1＋2i ， ∴z ·z －＋z ＝(1－2i)(1＋2i)＋1－2i ＝5＋1－2i ＝6－2i.14．已知a 、b ∈R ，且a －1＋2a i ＝4＋b i ，则b ＝________. [答案] 10[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝42a ＝b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝10.15．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________．[答案] 83[解析] z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝(a ＋2i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝3a ＋4a i ＋6i －825＝3a －825＋4a ＋625i ，∵z1z 2为纯虚数，∴⎩⎨⎧3a －825＝04a ＋625≠0，∴a ＝83.16．已知复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i ，则复数z 在复平面对应的点位于第________象限．[答案] 四[解析] ∵a 、b ∈R 且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i ，即a (1＋i )2＋b (1＋2i )5＝3－i2， ∴5a ＋5a i ＋2b ＋4b i ＝15－5i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5a ＋2b ＝155a ＋4b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7b ＝－10. ∴复数z ＝a ＋b i ＝7－10i 在复平面内对应的点位于第四象限．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)m 为何实数时，复数z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i)是： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？ [解析] z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i) ＝2m 2＋m 2i －3m i －3m －2＋2i ＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i. (1)由m 2－3m ＋2＝0得m ＝1或m ＝2， 即m ＝1或2时，z 为实数．(2)由m 2－3m ＋2≠0得m ≠1且m ≠2， 即m ≠1且m ≠2时，z 为虚数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－3m －2＝0m 2－3m ＋2≠0，得m ＝－12，即m ＝－12时，z 为纯虚数．18．(本题满分12分)已知复数z 满足z z －i(3z )＝1＋3i ，求z . [解析] 将方程两边化成a ＋b i 的形式，根据复数相等的充要条件来解．设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，则z ·z －＝x 2＋y 2， 3z ＝3x ＋3y i 3z ＝3x －3y i∴x 2＋y 2－3y －3x i ＝1＋3i ，由复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－3y ＝1－3x ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝3.∴z ＝－1或z ＝－1＋3i.19．(本题满分12分)已知复数x 2＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i(x ∈R )是复数4－20i 的共轭复数，求实数x 的值．[解析] 因为复数4－20i 的共轭复数为4＋20i ，由题意得x 2＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i ＝4＋20i ，根据复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2＝4， ①x 2－3x ＋2＝20. ② 方程①的解为x ＝－3或x ＝2. 方程②的解为x ＝－3或x ＝6. 所以实数x 的值为－3.20．(本题满分12分)设a 、b 为共轭复数，且(a ＋b )2－3ab i ＝4－6i ，求a 和b . [解析] ∵a 、b 为共轭复数，∴设a ＝x ＋y i(x 、y ∈R ) 则b ＝x －y i ，由(a ＋b )2－3ab i ＝4－6i ，得 (2x )2－3(x 2＋y 2)i ＝4－6i ，即⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＝4－3(x 2＋y 2)＝－6， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝1y 2＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±1y ＝±1. ∴a ＝1＋i ，b ＝1－i ；a ＝－1＋i ，b ＝－1－i ； a ＝1－i ，b ＝1＋i ；a ＝－1－i ，b ＝－1＋i. 21．(本题满分12分)已知z ＝1＋i ， (1)求w ＝z 2＋3z －4；(2)如果z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i ，求实数a 、b 的值．[解析] (1)w ＝(1＋i)2＋3(1－i)－4 ＝2i ＋3－3i －4＝－1－i. (2)z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝(1＋i )2＋a ＋a i ＋b (1＋i )2－1－i ＋1 ＝(a ＋b )＋(a ＋2)ii＝(a ＋2)－(a ＋b )i ，∴(a ＋2)－(a ＋b )i ＝1－i ， ∴a ＝－1，b ＝2.22．(本题满分14分)设z ＝log 2(1＋m )＋ilog 12(3－m )(m ∈R )．(1)若z 在复平面内对应的点在第三象限，求m 的取值范围； (2)若z 在复平面内对应的点在直线x －y －1＝0上，求m 的值． [解析] (1)由已知，得 ⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1＋m )<0， ①log 12(3－m )<0， ② 解①得－1<m <0. 解②得m <2. 故不等式组的解集为{x |－1<m <0}， 因此m 的取值范围是{x |－1<m <0}．(2)由已知得，点(log 2(1＋m )，log 12(3－m ))在直线x －y －1＝0上，即log 2(1＋m )－log 12(3－m )－1＝0，整理得log 2(1＋m )(3－m )＝1.从而(1＋m )(3－m )＝2，即m 2－2m －1＝0，解得m ＝1±2，且当m ＝1±2时都能使1＋m >0，且3－m >0. 故m ＝1±2.。