2019年中科大创新班考试数学模拟试题及参考答案

2019年中科大创新班考试数学模拟试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回。

4.本试卷共四大题，满分100分，解答题需写出必要的计算和证明过程。

一、填空题（每小题5分，共40分）1.设{}|12A a a =-≤≤，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =∈+≥的面积为．2.已知{}7,6,5,4,3,2,1,0=A ，A A f →:，若7=+j i ，则ij j f i f =)()(，那么映射f 的个数是.3.已知抛物线P 以椭圆E 的中心为焦点，P 经过E 的两个焦点，并且P 与E 恰有三个交点，则E 得离心率等于.4.在锐角ABC △中，G O ,分别是其外心和重心，若AC OG ∥且 75=∠B ,则=+C A tan tan .5.如图，在单位正四面体ABCD 中，K N M ,,分别在棱BD AD AB 、、上，满足.41,31===DK DN BM 则面ACK 与面CMN 所夹锐角的余弦值为.6.设复数z ，11=+z z ，则z 的取值范围是为.7.严格递增的正实数数列{}n x 满足：{}n x x ∈当且仅当2{}x x +=整数，（其中，等式中的{}x 表示x 的小数部分）．那么，这个数列的前100项之和是．8.任意m 个正整数中，必有一个数的各位数码之和是11的倍数，则m 的最小值为.二、解答题（20分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边依次成等差数列。

求证：312tan 2tan =C A .三、解答题（20分）已知对于任意的]1,1[-∈x ，都有12≤++c bx ax ，证明：对于任意的]1,1[-∈x ，都有22≤++a bx cx 。

四、解答题（20分）在坐标平面内，从原点出发以同一初速度0v 和不同发射角（即发射方向与x 轴正向之间的夹角）[]2,,0(παπαα≠∈射出的质点，在重力的作用下运动轨迹是抛物线，所有这些抛物线组成一个抛物线族，若两条抛物线在同一个交点处的切线互相垂直，则称这个交点为正交点。

证明：此抛物线族的所有正交点的集合是一段椭圆弧，并求此椭圆弧的方程（确定变量取值范围）。

2019年中科大创新班考试数学模拟试题参考答案一、填空题1、答案：7．解析：点集B 如图中阴影部分所示，其面积为133227.2MRS MNPQ S S -=⨯-⨯⨯=正方形2、答案：480．解析：对0,7两元素的像而言，因为0)()(=j f i f ,所以，0,7这两个元素的像至少有一个为0，共计有1518*2=-种情形。

对1,6两元素的像而言，此时，3*26*16)()(===j f i f ，对1,6两元素的像有四种可能。

同理对2,5有2种，对3,4有4种，共计15*4*2*4=480种3、答案：552．解析：不妨设椭圆E 的方程为22221(0)+=>>x y a b a b，P 经过E 的两个焦点，222=+x cy c 222=+a b c ，P 与E 恰有三个交点，所以2=c b ，则E 得离心率等于255==c e a 4、答案：324+.解析：如图所示：324tan 2tan tan sin sin sin 322sin 2122+==+⇔=⇔=⇔∆∆B C A C B A R B R S S AC OG AGC AOC ∥5、答案：.96如图：记MN 与AK 交于点G 并设面ACK 与面CMN 所成的锐角大小为θ。

作⊥CO 面ABD 于点O 。

延长AO 交于BD 于点X ，易知O 是ABD ∆的中心，则XD BX OX AO ==,2，又ND AN MB AM 2,2==，因此，M 、O 、N 三点共线。

O 是MN 的中点。

由MN AO ⊥，CO AO ⊥知⊥AO 面CMN 。

故ACG ∆在面CMN 上的投影为OCG ∆。

由面积射影定理得9643213296413241cos =⨯⨯⨯===∆∆∆∆ACK CMN ACG COG S S S S θ6、答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-215215，.解析：设()()cos sin 0z r i r θθ=+>，由已知得11cos i sin 1r r r r θθ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2212cos 21r r θ++=，所以2132cos 25r r θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭≤，有15r r +，即2510r r -+≤．解这个一元二次不等式，注意到z r =，可知515122z ≤≤．7、答案：2475+.解析：显然每个正整数x 皆属于{}n x ，称{}n x 的这种子列为A 型的，记为123,,,a a a ；下面考虑x 不是正整数的情况，称{}n x 的这种子列为B 型的，记为123,,,b b b ；由[]{}x x x =+，其中0{}1x <<，所以20{}1x <<，设2{},x x k k +=为整数，则2[]{}{},x x x k ++=而由22{}{}[],0{}{}2x x k x x x +=-<+<，得[]1k x -=，所以[]1x k =-，1,2,3,k = ，并且2{}{}1x x +=，解得51{}2x -=，于是11,2x k =-+1,2,3,k = ，因此任两个相邻自然数之间恰有一个B 型子列的项，从而11,2k b k -=-+k a k =，1,2,3,k = ，且{}n x 的前100项自小到大排列是：11225050,,,,,,b a b a b a ，所以，5050100112475k k k k S b a===+=+∑∑．8、答案：39.解析：首先存在38个连续的正整数，其中每一个数的数码之和不是11的倍数,如下：999981,999982， (1000018)若39≥m ，至少有3个是10的倍数，这3个数中必有一个数的十位不大于8，且该后至少有19个数在所取的39个连续的正整数中.设这个数为a ，并设它的数码和为)(a S ，现在考虑数a ，a +1,a +2,...,a +9,a +19,这11个数都是所取的39个数中的数，它们的数码之和构成11个连续的正整数，必有一个是11的倍数.二、解答题证明：由b c a 2=+，得CA B sin sin sin 2+=即2cos 2sin 22cos 2sin4C A C A C A C A -+=++因为02sin ,20≠+<+<C A C A π所以2cos 22cos C A C A +=-展开并整理，得2cos 2cos 2sin 2sin3C A C A =所以312tan 2tan =C A 三、解答题证明：令c bx ax x f ++=2)(，则c f =)0(，c b a f ++=)1(，c b a f +-=-)1(，且1)0(≤f ，1)1(≤f ，1)1(≤-f ，则)0(f c =，2)1()1(--=f f b ，2)0(2)1()1(f f f a --+=，所以当[]1,1-∈x 时，2)0(2)1()1(2)1()1()0(22f f f f f x f x a bx cx --++--⋅+⋅=++)0()1()1(21)1(212f x f x f x ⋅-+-⋅-+⋅+=)0(1)1(1)1(12f x f xf x ⋅-+-⋅-+⋅+≤221212122≤-=-+-++≤x x x x 所以命题得证。

四、解答题证明：引理：抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 在)(00，y x 处的切线斜率是b ax +02。

引理的证明：设)(00，y x 处的切线方程为)(00x x k y y -=-，代入抛物线方程得0)(002=-++-+y kx c x k b ax ①又cbx ax y ++=0200故①可化简成[]0)()(00=-++-k b x x a x x ②因为②只有一个实根，所以b ax k +=02引理得证。

设)(00，y x P 为任一正交点，则它是由线212201cos 2tan x v g x y ⋅-⋅=αα与tan ⋅=x y 22202cos 2ααv g -2x ⋅的交点，则两条切线的斜率分别为（由引理）00112222220102tan ,tan cos cos gx gx k k v v =-+α=-+ααα又由题设121-=k k ，所以001222220102tan tan 1cos cos gx gx v v αααα⎛⎫⎛⎫--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭③又因为)(00，y x P 在两条抛物线上，所以=00x y ,cos 2tan 122001ααv gx -=00x y ,cos 2tan 222002ααv gx -代入③式得.1tan 2tan 2200100-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ααx y x y （※）又因为21tan ,tan αα是方程200022000022gx y gx t t v x v ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭ 的两根，所以201202tan tan ,v gx αα+=④20001220002tan tan 2v y gx gx x v αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⑤把④，⑤代入（※）式得2220000022v x y y g -+=2200204400224,1168v y g x v v g g ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=即。