§3.2 简单的三角恒等变换(1)
第三章 3.2 简单的三角恒等变换
§3.2 简单的三角恒等变换学习目标 1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法. 2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．知识点一 半角公式思考 半角公式对任意角都适用吗？ 答案 不是，要使得式子有意义的角才适用． 知识点二 辅助角公式 辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ).⎝⎛⎭⎫其中tan θ＝ba1．若α≠k π，k ∈Z ，则tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α恒成立．( √ )2．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中φ所在的象限由a ，b 的符号决定，φ与点(a ，b )同象限．( √ )3．sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.( × ) 提示 sin x ＋3cos x ＝2⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.题型一 应用半角公式求值例1 已知sin θ＝45，5π2<θ<3π，求cos θ2和tan θ2.考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值解 ∵sin θ＝45，且5π2<θ<3π，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.∵5π4<θ2<3π2，∴cos θ2＝－1＋cos θ2＝－55. tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝2.反思感悟 利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦、余弦值时，常先利用sin 2α2＝1－cos α2，cos 2α2＝1＋cos α2计算． (4)下结论：结合(2)求值． 跟踪训练1 已知cos α＝33，α为第四象限角，则tan α2的值为________． 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案2－62解析 方法一 ⎝⎛⎭⎪⎫用tan α2＝±1－cos α1＋cos α来处理因为α为第四象限角，所以α2是第二或第四象限角．所以tan α2<0.所以tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1－331＋33 ＝－2－3＝－128－4 3 ＝－12(6－2)2＝2－62.方法二 ⎝⎛⎭⎫用tan α2＝1－cos αsin α来处理因为α为第四象限角，所以sin α<0. 所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－13＝－63. 所以tan α2＝1－cos αsin α＝1－33－63＝2－62.方法三 ⎝⎛⎭⎫用tan α2＝sin α1＋cos α来处理因为α为第四象限角，所以sin α<0. 所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－13＝－63. 所以tan α2＝sin α1＋cos α＝－631＋33＝－63＋3＝2－62.题型二 三角函数式的化简 例2 化简：2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α.考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 解 2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2α2cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1. 反思感悟 三角函数式化简的要求、思路和方法(1)化简的要求：①能求出值的应求出值．②尽量使三角函数种数最少．③尽量使项数最少．④尽量使分母不含三角函数．⑤尽量使被开方数不含三角函数．(2)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法．跟踪训练2 化简：(1－sin α－cos α)⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22－2cos α(－π<α<0)．考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值解 原式＝⎝⎛⎭⎫2sin 2α2－2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22×2sin2α2＝2sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22⎪⎪⎪⎪sin α2＝sin α2⎝⎛⎭⎫sin 2α2－cos 2α2⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2cos α⎪⎪⎪⎪sin α2.因为－π<α<0，所以－π2<α2<0，所以sin α2<0，所以原式＝－sin α2cos α－sinα2＝cos α.题型三 三角函数式的证明例3 求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ.考点 三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明 证明 要证原式，可以证明1＋sin 4θ－cos 4θ1＋sin 4θ＋cos 4θ＝2tan θ1－tan 2θ.∵左边＝sin 4θ＋(1－cos 4θ)sin 4θ＋(1＋cos 4θ)＝2sin 2θcos 2θ＋2sin 22θ2sin 2θcos 2θ＋2cos 22θ ＝2sin 2θ(cos 2θ＋sin 2θ)2cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝tan 2θ，右边＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ，∴左边＝右边， ∴原式得证．反思感悟 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证．对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 跟踪训练3 求证：2sin x cos x(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos x sin x .考点 三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明 证明 左边＝2sin x cos x⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2 x 2⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 2＝2sin x cos x4sin 2x 2⎝⎛⎭⎫cos 2x 2－sin 2x 2＝sin x2sin 2 x 2＝cos x 2sin x 2＝2cos 2x 22sin x 2cosx 2＝1＋cos xsin x＝右边．所以原等式成立． 题型四 辅助角公式的应用例4 已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合． 考点 简单的三角恒等变换的综合应用 题点 辅助角公式与三角函数的综合应用 解 (1)∵f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2⎩⎨⎧⎭⎬⎫32sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－12cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝1，有2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴所求x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋5π12，k ∈Z . 反思感悟 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提．(2)解此类题时要充分运用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，以便于讨论函数性质． 跟踪训练4 已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x ·cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ，g (x )＝12sin 2x －14. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值时x 的集合． 考点 简单的三角恒等变换的综合应用 题点 辅助角公式与三角函数的综合应用 解 (1)f (x )＝⎝⎛⎭⎫12cos x －32sin x ·⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x ＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3(1－cos 2x )8＝12cos 2x －14， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos 2x －12sin 2x＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π－π8(k ∈Z )时，h (x )有最大值22.此时x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π－π8，k ∈Z .利用半角公式化简求值典例 已知等腰三角形的顶角的余弦值为725，则它的底角的余弦值为( )A.34B.35C.12D.45考点 简单的三角恒等变换的综合应用题点 三角恒等变换与三角形的综合应用 答案 B解析 设等腰三角形的顶角为α，底角为β，则cos α＝725.又β＝π2－α2，所以cos β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α2＝sin α2＝1－7252＝35，故选B. [素养评析] 从实际问题提炼出等腰三角形底角、顶角间的关系，利用半角公式进行恒等变换化简，进而求值，这正是数学核心素养数学抽象的具体体现.1．若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A.63 B ．－63 C ．±63 D ．±33考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 A解析 由题意知α2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α2>0，cos α2＝1＋cos α2＝63. 2．已知sin θ＝－35，3π<θ<72π，则tan θ2的值为( )A ．3B ．－3 C.13 D ．－13考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 B解析 ∵3π<θ<7π2，sin θ＝－35，∴cos θ＝－45，tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝－3.3．已知2sin α＝1＋cos α，则tan α2等于( )A.12B.12或不存在 C ．2D ．2或不存在考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值答案 B解析 2sin α＝1＋cos α，即4sin α2cos α2＝2cos 2α2，当cos α2＝0时，tan α2不存在，当cos α2≠0时，tan α2＝12.4．化简2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α的结果为( )A ．tan αB ．tan 2αC ．1D ．2 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 B解析 原式＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α.5．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用辅助角公式化简求值 答案 D解析 f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋θ. 当θ＝23π时，f (x )＝2sin(2x ＋π)＝－2sin 2x 是奇函数．6．已知在△ABC 中，sin A ·cos 2C 2＋sin C ·cos 2A 2＝32sin B ，求证：sin A ＋sin C ＝2sin B .考点 三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明证明 由sin A ·cos 2C 2＋sin C ·cos 2A 2＝32sin B ，得sin A ·1＋cos C 2＋sin C ·1＋cos A 2＝32sin B ，即sin A ＋sin C ＋sin A ·cos C ＋sin C ·cos A ＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＋sin(π－B )＝3sin B ， 即sin A ＋sin C ＋sin B ＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＝2sin B .1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式． 2．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中φ满足： ①φ与点(a ，b )同象限； ②tan φ＝b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫或sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2.3．研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a ，b 应熟练掌握， 例如sin x ±cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π4； sin x ±3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π3等．一、选择题1．已知cos α＝15，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α2等于( ) A.105 B ．－105 C.265 D.255考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 A解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴α2∈⎝⎛⎭⎫3π4，π， sin α2＝1－cos α2＝105. 2．设α是第二象限角，tan α＝－43，且sin α2<cos α2，则cos α2等于( )A ．－55 B.55 C.35 D ．－35考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 A解析 因为α是第二象限角，且sin α2<cos α2，所以α2为第三象限角，所以cos α2<0.因为tan α＝－43，所以cos α＝－35，所以cos α2＝－1＋cos α2＝－55. 3．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <bD ．b <c <a考点 简单的三角恒等变换的综合应用题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用 答案 C解析 a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°， b ＝2sin 13°cos 13°＝sin 26°，c ＝sin 25°， ∵当0°≤x ≤90°时，y ＝sin x 是单调递增的， ∴a <c <b .4．若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2等于( )A ．－12 B.12C ．2D ．－2考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用弦化切对齐次分式化简求值 答案 A解析 ∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35.∴1＋tan α21－tan α2＝1＋sinα2cos α21－sin α2cosα2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sin α2cos α2＋sin α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.故选A.5．sin x cos x ＋sin 2x 可化为( ) A.22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12 B.2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－12 C ．sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12 D ．2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4＋1 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值答案 A解析 y ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12sin 2x －12cos 2x ＋12＝22⎝⎛⎭⎫22sin 2x －22cos 2x ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12.故选A. 6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2cos 2x －1，则函数f (x )的单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π3(k ∈Z ) 考点 简单的三角恒等变换的综合应用题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用答案 C解析 因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2cos 2x －1＝32sin 2x －12cos 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )，故选C. 7．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5⎝⎛⎭⎫π2<θ<π，则tan θ2等于( ) A ．－13B ．5C ．－5或13D ．－13或5 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换化简求值答案 B解析 由sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1， 解得m ＝0或8，当m ＝0时，sin θ<0，不符合π2<θ<π. ∴m ＝0舍去，故m ＝8，sin θ＝513，cos θ＝－1213，tan θ2＝1－cos θsin θ＝1＋1213513＝5. 二、填空题8．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin 2α＝12，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值答案 32解析 因为1－2sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝－sin 2α， 所以sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝34， 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝32. 9．化简：sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x＝________. 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值答案 tan x 2解析 原式＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝sin 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x 1＋cos x＝sin x 1＋cos x＝tan x 2. 10．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝45，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值答案 65解析 因为cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝45，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35. 所以cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝65. 11．设0≤α≤π，不等式8x 2－8x sin α＋cos 2α≥0对任意x ∈R 恒成立，则α的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π 解析 Δ＝(8sin α)2－4×8×cos 2α≤0，即2sin 2α－cos 2α≤0，所以4sin 2α≤1，所以－12≤sin α≤12. 因为0≤α≤π，所以0≤α≤π6或5π6≤α≤π. 三、解答题12．求证：tan 3x 2－tan x 2＝2sin x cos x ＋cos 2x . 考点 三角恒等式的证明题点 三角恒等式的证明证明 ∵左边＝tan 3x 2－tan x 2＝sin3x 2cos 3x 2－sin x 2cos x 2 ＝sin3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 2cos 3x 2cos x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫3x 2－x 2cos 3x 2cos x 2＝sin x cos 3x 2cos x 2＝2sin x cos ⎝⎛⎭⎫3x 2＋x 2＋cos ⎝⎛⎭⎫3x 2－x 2 ＝2sin x cos x ＋cos 2x ＝右边． ∴原等式得证．13．(2018·浙江宁波高三期末)已知函数f (x )＝2sin x ·cos x ＋1－2sin 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值与最小值．考点 简单的三角恒等变换的应用题点 辅助角公式与三角函数的综合应用解 (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π3≤x ≤π4，所以－5π12≤2x ＋π4≤3π4. 当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取得最大值2； 当2x ＋π4＝－5π12，即x ＝－π3时， f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π3＋cos ⎝⎛⎭⎫－2π3＝－3＋12， 即f (x )的最小值为－3＋12.14．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①f (x )＝2sin x cos x ＋1；②f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4； ③f (x )＝sin x ＋3cos x ；④f (x )＝2sin 2x ＋1.其中是“同簇函数”的有( )A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④考点 简单的三角恒等变换的综合应用题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用答案 C解析 ①式化简后为f (x )＝sin 2x ＋1，③式化简后为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，①④中振幅不同，平移后不能重合．②③振幅、周期相同，平移后可以重合．15．证明：sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝116. 考点 三角恒等式的证明题点 三角恒等式的证明证明 原式＝sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝12cos 20°·cos 40°·cos 80°＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝sin 80°cos 80°8sin 20°＝116·sin 160°sin 20°＝116＝右边，所以原等式得证．。
课件10：§3.2 简单的三角恒等变换
4．将下列各式化简为 Asin(ωx＋φ)的形式： (1)cos x－sin x； (2)3sin x＋ 3cos x.
解：(1)cos x－sin x＝－
2(
2 2 sin
x－
2 2 cos
x)＝
－ 2(sin xcos π4－cos xsin π4)＝－ 2sin(x－π4).
(2)3sin x＋
归纳点评 利用三角公式把三角函数式化简为y＝ Asin(ωx＋φ)＋b(ω>0)或y＝Acos(ωx＋φ)＋b(ω>0)的形 式，是解决三角函数的周期、最值、奇偶性、单调性 等问题的常用方法．
解：(1)方法 1：f(x)＝1－c2os 2x＋sin 2x＋3(1＋c2os 2x)＝ 2＋sin 2x＋cos 2x＝2＋ 2sin 2x＋π4 . ∴当 2x＋π4＝2kπ＋π2，即 x＝kπ＋π8(k∈Z)时，f(x)取得 最大值 2＋ 2.函数 f(x)取得最大值时自变量 x 的集合 为{x|x＝kπ＋π8，k∈Z}.
2．使用此公式的基本思想是“从右到左”用和差角的正弦 或余弦公式，把它化成 Asin(x＋φ)或 Acos(x＋φ)的形式．
规律总结 1．通过公式 asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)(或 asin x ＋bcos x＝ a2＋b2cos(x＋φ))将形如 asin x＋bcos x(a，b 不同时为零)的三角函数收缩为一个三角函数式，这种变 换就是收缩变换．收缩变换有利于三角函数式的化简， 有利于探求三角函数的性质．
解：设 OE 交 AD 于 M，交 BC 于 N，显然矩形 ABCD 关于 OE 对称，而 M，N 分别为 AD，BC 的中点． 在 Rt△ONC 中，CN＝sin α，ON＝cos α， OM＝ DMπ＝ 3DM＝ 3CN＝ 3sin α，
简单的三角恒等变换(教案)
简单的三角恒等变换(一)张掖中学 宋娟一、教学目标知识与技能：理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用；过程与方法：通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、方程、逆向使用公式的数学思想，提高学生推理能力；情感、态度与价值观：通过例题的讲解，让学生体会化归、变形使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生推理能力. 二、教学重、难点教学重点：利用公式进行简单的恒等变换；教学难点：利用倍角公式推出半角公式，并利用变形的方法解决问题. 三、教学方法：探究式教学法. 四、教学类型：新授课. 五、教学内容复习引入(学生组织完成)问题1：和差角的正弦、余弦、正切公式(六个)； 问题2：二倍角的正弦、余弦、正切公式(三个)； 问题3：二倍角的变形公式(四个). 新课讲解思考1(学生组织完成)：如何用cos α表示222sin cos tan 222ααα、、？分析：观察α与2α的关系是2倍的关系，所以我们要利用刚刚学过的二倍角的变形公式.解：α是2α的二倍角.在倍角公式2cos 212sin αα=-中，以α代替2α，以2α代替α，即得2cos 12sin 2αα=-，所以21cos sin 22αα-=； ①在倍角公式2cos 22cos 1αα=-中，以α代替2α，以2α代替α，即得2cos 2cos 12αα=-，所以21cos cos 22αα+=. ②将①②两个等式的左右两边分别相除，即得21cos tan 21cos ααα-=+.思考2：若已知cos α，如何计算sincos tan 222ααα、、？sincos tan 222ααα=== (半角公式) 强调：“±”号由2α所在象限决定. 例1：已知5sin 13α=，且2παπ<<，求tan 2α的值.解512sin cos 13213,tan24222tan tan 522πααπαππαπααπαα=<<∴=-<<∴<<∴>=====因为且又由公式例2 求证sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+ 证明22sin sin2cossin sin 222tan21cos cos cos 2cos 2cos 2222sin sin 2sin 2sin1cos 2222tan2sin sin coscos2sin222αααααααααααααααααααααα⋅====+⋅⋅-====⋅利用例2的结论，再做一下例1，比较两种方法.例3 已知3sin 25θ=，022πθ<<，求22cos sin 12)4θθπθ--+.分析：由降幂公式知22cos 1cos 2αα=+，故有cos sin cos sin θθθθ-=+原式 ﹡ 此处有两种处理方法：方法一、由已知求出cos sin θθ、的值，带入﹡式计算，即可得到结果; 方法二、由﹡继续变形，将半角化为倍角进行计算. 解法一22cos sin......cos sin020cos0,sin02434sin2,02cos2525cos212sin2cos1sin121010θθθθππθθθθπθθθθθθθθ-=*+<<∴<<∴>>=<<==-=-∴==**==原式由由得又带入式得解法二222cos sincos sin(cos sin)(cos sin)(cos sin)12sin cos1sin2......cos sin cos234sin2,02cos252532115544255θθθθθθθθθθθθθθθθπθθθ-=+-=+---==*-=<<=*-*==原式由得带入式得=小结：对于例3，我们从不同角度出发，解法一先利用倍角计算半角，再带入求值，解法二先利用半角化为倍角，再带入求值.在三角恒等变换中,正所谓“条条大路通罗马”.在以后的学习当中，此类问题是三角恒等变换中常见的问题.万丈高楼平地起，在此告诫同学们，基础知识的理解和必要的记忆是很重要的，所以在以后的学习中，不管题目如何变化，都有一个固定的解题理论，那就是我们的倍角公式，及其逆用，掌握好了基础的理论知识，不管题目如何变化，我们都能将他们各个击破.所谓“咬定青山不放松，任尔东南西北风”.下面我们来分小组讨论一下这一个问题：(练一练)化简22221sin sin cos cos cos2cos22αβαβαβ⋅+⋅-⋅.分析：1.从“角”入手,倍角化半角;2.从“幂”入手,利用降幂公式将次;3.从“形”入手,利用配方法.本题目至少有6种解法，请同学们讨论完成.课堂小结三个数学方法1.从“角”入手,倍角化半角(半角化倍角);2.从“幂”入手,利用降幂公式将次(利用升幂公式升次);3.从“形”入手,利用配方法(分母有理化、分子有理化).两个人生哲理1.条条大路通罗马;2.咬定青山不放松，任尔东南西北风.布置作业习题3.2A组1(1)、(2)、(4)、(5)课后反思。
(全国通用版)2018-2019高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换 第1课时
＝cosx2＋sincxos2x．
证法二：cosx2＋sincxos2x＝coEs3v2xa2－sliu2xna＋32txic－oons2x32ox＋nl2xy.
Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
3
课时作业学案
Evaluation only.
Created withCAosppyorsigeh.St 自2li0d0e主4s-预f2o0r1习.1NEA学Tsp案3o.s5eCPliteynLt tPdr.ofile 5.2.0.0.
2．常见的三角恒等变换
(1)asinx＋bcosx＝___a_2_＋__b_2 __sin(x＋φ)(ab≠0)，其中
Evaluation only.
tanφ＝ba，φ
所在象限由
Care和abte的d符w号it确h定A．sp仅o仅s讨e.论Sbali＝de±1s，fo±r3.，N±E3T3的3情.5况C．lient Profile 5.2.0.0.
C．－
1C＋ocopsαyright
2
2004-201D1．Asp1o＋s2ceosαPty
Ltd.
2．已知 sinθ＝35，52π<θ<3π，那么 tan2θ＋cos2θ的值为
( B)
A． 1100－3
EvaluatioBn．o3－nly11.00
CreaCte．d－w3－ith1C10A0osppyorsigห้องสมุดไป่ตู้h.St 2li0d0e4s-f2o0r1.D1N．EA3Ts＋p31o1.0s05eCPliteynLt tPdr.ofile 5.2.0.0.
θ
∴tan2θ＝sinC2θo＝p3y．right 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
简单的三角恒等变换
一、学习目标： 1.知识与技能：
掌握半角公式的正用、逆用和变形应用，并会应用其 进行求值、化简和证明； 2.过程与方法：
小组合作探究、大胆质疑拓展，类比归纳 ； 3.情感态度价值观： 协作精神及合作共赢的意识，激发学习的热情和兴趣。 二、重点、难点：
重点：半角的正弦、余弦、正切公式以及公式的逆用、 变形应用；
难点：半角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系 式、诱导公式、和角公式、倍角公式的综合应用 。
知识回顾:
两角和的正弦 1：sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ
两角差的正弦 2：sin(α -β )=sinα cosβ -cosα sinβ
3：倍角公式 sin2α ＝2sinα cosα cos2α ＝cos2α －sin2α
tan sin 1 cos 2 1 cos sin
注意：每一个确定的半角的三角函数值唯一 确定。应根据角的象限定符号！
2
2
2
tan2 1 cos . 2 1 cos
半角公式：
sin2 1 cos
2
2
cos2 1 cos
2
2
tan2 1 cos
2 1 cos
sin 1 cos
2
2
cos
2
1 cos
2
tan 1 cos 2 1 cos
＝2cos2α －1 ＝1－2sin2α ；
设疑自探 问题1：由二倍角
的公式求出 sin2 , cos2 ,
问题2： 试用cos表示sin 2 , cos2 , tan2 .
简单的三角恒等变换PPT教学课件
＝－18sin70°＋18(sin110°＋sin30°)
＝－18sin70°＋18sin70°＋116＝116.
解法二：原式＝12cos20°cos40°cos80°
＝sin20°cos22s0i°nc2o0s°40°cos80°＝sin40°4csoisn4200°°cos80°
＝sin88s0i°nc2o0s°80°＝1s6insi1n6200°°＝116.
[答案]
－2 5 5
－
5 5
2
[解析] ∵|cosθ|＝35，52π<θ<3π，
∴cosθ＝－35，54π<θ2<32π.
∵cosθ＝1－2sin22θ，
∴sinθ2＝－ 1－2cosθ＝－
1＋2 35＝－2
5
5 .
又 cosθ＝2θcos2θ2－1，有 cosθ2＝－ ∴tanθ2＝ sin2θ＝2.
＝sin32x·cos2x3－x cosx32x·sin2x＝sin332xx－2xx
cos 2 cos2
cos 2 cos2
＝coss32ixncxos2x＝cosx2＋sincxos2x.
求证：1c＋osc2ox＋ s2(cxo＋s2yy)＝ccooss((xx－＋yy)). [证明] 左边＝2cos2(xc＋osy2()xc＋os(yx)－y) ＝ccooss((xx－ ＋yy))＝右边.
原式＝(a＋b)2＋(a－b)2＋(a＋b)(a－b)
＝3a2＋b2
＝34cos220°＋34sin220°＝34.
• [点评] 解法一：通过对该题中两个角的 特点分析，巧妙地避开了和差化积与积化 和差公式．当然运用降次、和积互化也是 一般方法．
• 解法二：利用正余弦函数的互余对偶，构 造对偶式，组成方程组，解法简明．
高中数学第三章三角恒等变换3.2二倍角的三角函数第1课时二倍角的三角函数课件苏教版必修
解析答案
π 5π (2)sin12sin 12 ；
π π 2sin12cos12 π 5π π π 解 sin 12sin 12＝sin 12cos 12＝ 2 π sin 6 1 ＝ 2 ＝4.
解析答案
1 3 (3)sin 50° ＋cos 50° .
解
1 3 ＋ 2 sin 50° cos 50° ＋ 3sin 50° 22cos 50° 原式＝ sin 50° ＝ cos 50° 1 × 2sin 50° cos 50° 2
π 2π (1)cos 5cos 5 ；
解 π π 2π 2sin 5cos5cos 5 π 2π cos5cos 5 ＝ π 2sin 5
2π 2π 2π 2π 4π sin 5 cos 5 2sin 5 cos 5 sin 5 1 ＝ ＝ π ＝ π π ＝4. 2sin 5 4sin 5 4sin5
解析答案
类型三 化简问题
例3 1＋sin 4α－cos 4α 化简： . 1＋sin 4α＋cos 4α
1－cos 4α＋sin 4α 解 原式＝ 1＋cos 4α＋sin 4α
2sin22α＋2sin 2αcos 2α ＝ 2cos22α＋2sin 2αcos 2α 2sin 2αcos 2α＋sin 2α ＝ ＝tan 2α. 2cos 2αcos 2α＋sin 2α
解析 f(x)＝cos 2x＋4sin x＝1－2sin2x＋4sin x
＝－2sin2x＋4sin x＋1＝－2(sin x－1)2＋3.
当sin x＝1时，f(x)max＝3；
当sin x＝－1时，f(x)min＝－5.
解析答案
1
2
3
4
5
解
简单的三角恒等变换
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
填要点·记疑点
以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三 角恒等变换的重要特点.例如，在二倍角公式中 2α 是 α 的二倍， α 是α2的二倍，那么 cos α 能用α2的三角函数表示出来吗？反过来， 你能用 cos α 表示出 sin2α2，cos2α2，tan2α2吗？
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
反思与感悟 研究形如 f(x)＝asin2ωx＋bsin ωxcos ωx＋ccos2ωx 的性质时，先化成 f(x)＝ a2＋b2sin(ωx＋φ)＋c 的形式再解答.
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
课堂检测
跟 踪 训 练 2 已 知 函 数 f(x) ＝ 3 sin 2x－π6 ＋ 2sin2 x－1π2 (x∈R).
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
(2)求函数 f(x)在区间π8，34π上的最小值和最大值. 解 因为 f(x)＝ 2sin2x－π4在区间π8，38π上为增函数，在区间 38π，34π上为减函数，又 fπ8＝0，f38π＝ 2， f34π＝ 2sin32π－π4＝－ 2cos π4＝－1， 故函数 f(x)在区间π8，34π上的最大值为 2，最小值为－1.
要点疑点 深入探究 课堂检测
和一些简单的应用.
填要点·记疑点
1.半角公式
(1)S 2
：sin
α2＝ ±
(2)C ：cos 2
α2＝
±
1－cos α 2；
1＋cos α 2；
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
填要点·记疑点
±
(3)T ：tan 2
α2＝
3.2简单的三角恒等变换(一)
1.两角和差的正弦、余弦、正切公式
2.二倍角正弦、余弦、正切公式
sin 2 2 sin cos
cos 2 cos2 sin 2
2 cos2 1
1 2 sin2
tan 2
1
2
tan tan2
学习了和(差)角公式，倍角公式以后，我 们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角 变换的内容、思路和方法更加丰富，这为提高 我们的推理、运算能力提供了新的平台.
证明：左边 = sin2 x cos2 x 2sin x cos x cos2 x sin2 x
(sin x cos x)2
cos x sin x
(cos x sin x)(cos x sin x) sin x cos x
1 tan x =右边 1 tan x
A.12[sin(α＋β)＋cos(α－β)] B.－21[cos(α＋β)－cos(α－β)] C.－12[sin(α＋β)＋sin(α－β)] D.12[sin(α＋β)＋cos(α－β)]
1.下列各式恒成立的是（ B ）
A.tan = 1 cos 2 sin
2 tan
C.
2
1 tan2
2
22
2sin cos 22
2 cos cos
sin 1 cos
1. 2
22
4、已知 sinθ＝－35，3π<θ<72π，则 tanθ2＝___-_3____.
解析：根据角 θ 的范围，求出 cosθ 后代入公式计算， 即由 sinθ＝－35，3π<θ<72π，得 cosθ＝－45，从而 tanθ2＝ 1＋sincoθsθ＝1－－3554＝－3.
简单的三角恒等变换
简单的三角恒等变换三角恒等变换是数学中非常重要的基础知识，它能够帮助我们解决很多与三角函数相关的问题。
在学习三角恒等变换的过程中，我们需要掌握一些基本的变换公式，这样才能灵活地运用它们来解决实际问题。
首先，我们来看正弦函数的恒等变换。
对于任意实数x，有如下公式：sin(x) = sin(x + 2πk) = sin(-x + 2πk)其中k为任意整数。
这意味着，在正弦函数中，每隔2π，函数的值会重复出现。
此外，我们还可以通过对称性质，得到以下两个恒等式：sin(π + x) = -sin(x)sin(π - x) = sin(x)这两个恒等式告诉我们当x逐渐增大或减小，正弦函数的值也会相应地发生变化。
接下来，我们来看余弦函数的恒等变换。
对于任意实数x，有如下公式：cos(x) = cos(x + 2πk) = cos(-x + 2πk)其中k为任意整数。
这表明在余弦函数中也存在着每隔2π重复的特征。
此外，我们还可以得到以下两个恒等式：cos(π + x) = -cos(x)cos(π - x) = -cos(x)这两个恒等式告诉我们，当x逐渐增大或减小，余弦函数的值也会相应地发生变化，并与正弦函数产生相反的变化。
最后，我们来看正切函数的恒等变换。
对于任意实数x，有如下公式：tan(x) = tan(x + πk)其中k为任意整数且x不为(π/2 + πk)。
这意味着正切函数也存在2π周期性。
此外，我们还可以得到以下两个恒等式：tan(π + x) = tan(x)tan(π/2 - x) = 1/tan(x)这两个恒等式告诉我们，正切函数在π/2和π处会出现无穷大和无穷小的特征，并且在这两个点附近的图像非常陡峭。
总之，三角恒等变换是非常重要的数学基础知识，它能够帮助我们解决非常多与三角函数相关的问题。
在学习的过程中，我们需要认真掌握各种基本变换公式，并能够正确地运用它们来解决实际问题。
希望读者能够通过学习，更好地掌握这一知识点。
简单的三角恒等变换PPT教学课件
a
2时
f
(x)大
a2 4
1 2
a 4
当a 2
1即a
2时
当sin x 1时
f
(x)大
3 4
a
1 2
当
a 2
0即a
0时
sin
x
0时 f
(x)大
1 2
a 4
3 4
a
1 2
(a
2)
即M
(a)
a2 4
a 4
1 2
(0
a
2)
1 2
a 4
(a
0)
(2)当M
(a)
2时,
解得a
10 3
或a
6
小结:
对公式我们不仅要会直接的运用，还 要会逆用、还要会变形用，还要会与 其它的公式一起灵活的运用。
2
log 1 (sin x cosx) f (x)
2
T 2
练习2.f(x)=cos2x+asinx-
a 4
-
1 2
(0≤x≤2 )
①用a表示f(x)的最大值M(a)
②当M(a)=2时，求a的值
解：
(1)
f
(x)
(sin
x
a 2
)2
a2 4
1 2
a 4
0
x
2
0
x
1
当0
a 2
1即0
2
sin2 cos2 1
2
解法2：
原式 1 (1 cos2 )(1 cos2 ) 1 (1 cos2 )(1 cos2 )
4
4
1 cos2 cos2
2
1 (1 cos2 cos2 ) 1 cos2 cos2
简单的三角恒等变换(一)
x 2
1＋cos x ＝ sin x
＝右边．所以原等式成立．
1．证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简、左右归一． 2．条件恒等式的证明要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当 途径化简证明．
【加固训练】
1＋sin θ－cos θ 求证：
1＋sin θ＋cos θ
1＋sin θ＋cos θ ＋
1．下列各式与 tan α 相等的是( )
A.
1－cos 2α 1＋cos 2α
B．1＋sincoαs α
C．1－sicnosα2α
1－cos 2α D． sin 2α
1－cos 2α 【解析】选 D. sin 2α
＝2si2nsαinc2oαs α
＝csoins
α α
＝tan α.
2．若 sin (π－α)＝－
＝14
－
3 2
sin 100°＋
3 2
sin 100°＝14
.
化简问题中的“三变” (1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角 之间的差异，合理选择联系它们的公式； (2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切； (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、 开方等．
2＋2cos 8 ＋2 1－sin 8 的化简结果是( ) A．4cos 4－2sin 4 B．2sin 4 C．2sin 4－4cos 4 D．－2sin 4 【解析】选 D.原式＝ 4cos24 ＋2 （sin4－cos 4）2 ＝|2cos 4|＋2|sin 4－cos 4|＝－2sin 4.
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用
3.2简单的三角恒等变换(一)
2
代替 ,
cos 1 2sin 2
2
2
1 cos sin ① 2 2
在公式 cos 2 2 cos 1中,以 代替2 ,以
2
2
代替
cos 2 cos
2
2
2
1
可表示为 : 1 cos sin 2 2 1 cos 2
sin
2
.
1 sin cos (3) . 1 sin cos
1 cos sin 解：原式 1 cos sin 2 2sin 2sin cos 2 2 2 2 2cos 2sin cos 2 2 2 sin (sin cos ) 2 2 2 cos (cos sin ) 2 2 2
2
观察特点降幂 单角化倍角加项函数名变
13
学习了上述公式，我们就有了进行三角
变换的新工具。从而使三角变换的内容、思 路和方法更加丰富，这为提高我们的推理、 运算能力提供了新的平台。
例1 试用cos 表示 sin
2
2
, cos
2
2
, tan
2
2
.
解 是
2
的二倍角
2
在公式 cos 2 1 2sin 中,以 代替2 ,以
自主预习 三角恒等变换 (1)asinα＋bcosα＝ a2＋b2 sin(α＋θ)(ab≠0)， 其中 tanθ ＝
b a
b ， a 和 b 的符号确定 θ 所在的象限． 仅仅讨论a＝± 1、
3 ± 3、± 3 的情况．
第11讲 简单的三角恒等变换(一)
简单的三角恒等变换（一）主讲教师：苏怀堂【知识概述】三角恒等变换常用的三角基本公式sin()sin cos cos sin sin()sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ+=+-=- cos()cos cos sin sin cos()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=+ tan tan tan()1tan tan tan tan tan()1tan tan αβαβαβαβαβαβ++=---=+ 22222sin 22sin cos cos 2cos sin 2cos 112sin 2tan tan 21tan ααααααααααα==-=-=-=-221cos 2sin 21cos 2cos 2αααα-=+=【学前诊断】1．[难度] 易设(π,2π)α∈1cos(π)2α-+ ）. A ．sin 2αB.cos 2αC .sin 2α- D .cos 2α-2．[难度] 易已知1cos ,54072023αα=<<o o ，则sin _____4α=.3．[难度] 中求函数44cos sin y x x =-的最值.【经典例题】例1．求225ππ5ππcos cos cos cos 12121212++的值．例2．已知1cos()cos sin()sin 3αββαββ+++=且3π,2π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 求πcos 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.例3．已知11cos cos ,sin sin 23αβαβ+=+=，求()cos αβ-的值.例4．已知tan ,tan αβ 是方程2830x x --=的两根，试求2sin ()3sin()cos()αβαβαβ+-++的值.例5．求证：（1）()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （2）sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=. 例6．已知()()sin sin 1m m ααβ=+>，求证：()sin tan cos mβαββ+=-.例7．求函数66sin cos y αα=+的最值.例8．求函数2cos cos 2y x x =-+的最小值.【本课总结】1.三角函数的求值问题，关键是三角公式的灵活运用，要特别关注角的变换、常值代换等方法的运用.2. 三角恒等式的证明，要特别注意角的变换，以及方程思想、换元思想的运用.如果函数名称较多，可通过切化弦等手段化简.3.求三角函数最值常用的方法是：配方法、判别式法、变量代换法、三角函数的单调性和有界性等.基本思想是将三角函数的最值转化为代数函数的最值.【活学活用】1．[难度] 易若△ABC 的角满足 2sin 23A =，则sin cos A A +等于( ).A B ． C ．53 D ．53-2. [难度] 易_____=3. [难度] 中 已知1sin cos ,(0,π)5x x x +=-∈，求 tan x 的值.。
3.2简单的三角恒等变换(一)
3.2
课题
简单的三角恒等变换（一）
教
学
目
标
1.了解三角函数的和差化积、积化和差公式、半角公式，掌握其推导过程。
2.能进行简单的三角恒等变换，掌握方程、换元等数学思想，提高推理运算能力。
教学重点
半角公式的推导过程
教学难点
半角公式的灵活应用
【新知探究】
一、半角公式的推导
1.正弦：在公式 中，以 代替 ， 代替 得： 。
2.余弦：在公式 中，以 代替 ， 代替 得： 。
3.正切：由同角三角函数的基本关系式 得： 。
◆◆半角公式实质是的变形，它的推导体现了思想。
二、积化和差公式推导
1.因为 ①
②
①＋②得 =（1）
①－②得 =（）
③－④得 =（4）
◆◆积化和差公式实质是的变形，它的推导体现了思想。
例2.化简
例3.化简
【达标检测】
A组
1.化简 的结果是（）
A. B. C. D.
2.已知向量 ,且 ,则 等于( )
A. B. C. D.
3.函数 的最大值是。
4.已知 ，则 。
5.已知 的值。
B组
6.若 ，则 的值是（）
A、 B、 C、 D、1
7.设 ，则 =（）
A、 B、 C、 D、
8.已知 是第二象限角，且 ，则 是第象限角
三、和差化积公式推导：令 得
（1）式可变为 即
（2）式可变为即
（3）式可变为即
（4）式可变为即
◆◆和差化积公式实质是的变形，它的推导体现了思想。
【预习自测】
1.已知 ， 则角 所在的象限是（ )
A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限
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§3.2 简单的三角恒等变换（1）
一、学习目标
通过例题的解答，以推导半角公式、积化和差、和差化积为基本训练，学会如何选择正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，从而体会数学中的换元思想和方程思想。
二、学习过程
（一）预习案：
1.温故知新：
（1）两角和与差的正弦()sin αβ±= ；
（2）两角和与差的余弦()cos αβ±= ；
（3）两角和与差的正切()tan αβ±= ；
（4）二倍角公式：sin 2α= ；cos 2α= ；
tan 2α= .
2.新知导学： （1）探究导入：
通过二倍角公式，我们能否用sin α、cos α表示2sin 2
α
，2
cos 2α，2tan 2
α？ （2）自主探究：
阅读课本139页，试用cos α表示2
sin 2
α
，2
cos 2α，2tan 2
α
： 2sin 2
α
= ；2
cos 2
α
= ； 2
tan 2
α
= . （二）探究案：
问题探究一：半角公式
预读课本阅读课本139页例1，推导：sin
2α
= ； cos
2
α
= ； tan
2
α
= .
（并称之为半角公式，不要求记忆，注意正负号由
2
α
所在的象限决定）.
变式训练1 已知3cos 5θ=，且52π<θ<3π，求sin 2
θ
.
问题探究二：积化和差公式的推导
问题1 根据两角和与差的正、余弦公式把下列等式补充完整： ①sin()sin()=αβαβ++- ； ②sin()sin()=αβαβ+-- ； ③cos()cos()=αβαβ++- ； ④cos()cos()=αβαβ+-- .
问题2 由上述①～④这四个等式可得出四个对应的积化和差公式：
①sin cos =αβ ；②cos sin =αβ ； ③cos cos =αβ ；④sin sin =αβ . 问题 3 在问题1①～④这四个等式中，如果我们令==αβθαβϕ+-，，则
=
=
2
2
θϕ
θϕ
αβ+-，，由此可得和差化积公式：
①sin sin =θϕ+ ；②sin sin =θϕ- ； ③cos cos =θϕ+ ；④cos cos =θϕ- . 例2 求证：
（1）[]1
sin cos sin()sin()2
αβαβαβ=
++-； （2）sin sin =2sin cos 22
θϕθϕ
θϕ+-+. 变式训练2 已知1sin sin 4αβ+=，1cos cos 3
αβ+=，求： （1）cos()αβ-； （2）αβ+cos()．
三、总结提升
应注意的问题：
1.在运用半角公式时，需注意根号前符号的选取，不能确定时，根号前应保持正、负两个符号.
2.要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用.
3.整体原则——从角度关系、函数名称差异、式子结构特征分析入手，寻求三角变形的思维指向.
4.角的配凑方法，如：
=--
+=
-+
+=
--=-+=2
2
2
2
)()(α
ββ
αβ
αβ
ααββββαα.
四、检测与反馈
(一)选择题
1．设－3π<α<－5π
2，则化简
1－cos(α－π)
2
的结果是( )
A ．sin α2
B ．cos α2
C ．－cos α
2
D ．－sin α
2
2．若sin α＋sin β＝3
3(cos β－cos α)且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于( ) A ．－2
3π
B ．－π3 C. π3
D.23π
3．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A
2，则△ABC 是( )
A ．等边三角形
B ．等腰三角形
C ．不等边三角形
D ．直角三角形 4．在△ABC 中，若B ＝30°，则cos A sin C 的取值范围是( ) A ．[－1,1]
B ．[－12，12]
C ．[－14，34]
D ．[－34，1
4]
5．已知cos 2α－cos 2β＝a ，那么sin(α＋β)·sin(α－β)等于( ) A ．－a 2 B.a
2 C ．－a D ．a 6．函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x 的最大值是( )
A ．2 B.3
2 C.2＋12 D.1＋222
(二)填空题
7.
sin 7cos15sin8
cos7sin15sin8
+-的值等于
8．若cos2α＝m (m ≠0)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4＋α＝________.
9.1sin10°－3
sin80°的值为________．
(三)解答题
10．若
cos2αsin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫α－π4＝－2
2，求cos α＋sin α的值。
11．求sin42°－cos12°＋sin54°的值．
12.已知11
sin cos ,cos sin ,23
αβαβ-=-=求sin()αβ+的值.。