2018学年高中人教A版数学必修4单元测试卷：第8课时诱导公式五、六 含解析
高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式第2课时三角函数的诱导公式五～六优化练习新人教A版必修4
第2课时 三角函数的诱导公式五～六[课时作业] [A 组 基础巩固]1．已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－π－θ等于( )A ．2B ．－2C ．0D ．3解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－π－θ＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝－2. 答案：B2．如果sin(π－α)＝－13，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α的值为( )A.13 B ．－13C.223D ．－223解析：∵sin(π－α)＝－13，∴sin α＝－13，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－sin α＝13.答案：A 3．化简： 1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝( )A ．sin αB ．|sin α|C ．cos αD ．|cos α|解析：原式＝1－cos 2α＝sin 2α＝|sin α|. 答案：B4．若f (sin x )＝3－cos 2x ，则f (cos x )＝( ) A ．3－cos 2x B ．3－sin 2x C ．3＋cos 2xD ．3＋sin 2x解析：f (cos x )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝3－cos (π－2x )＝3＋cos 2x . 答案：C5．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α＝( ) A.355B.377C.31010D.13解析：利用诱导公式化简为⎩⎪⎨⎪⎧－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0，解得：tan α＝3，由⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝3，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝31010.答案：C6．已知cos(75°＋α)＝13且－180°<α<－9 0°，则cos(15°－α)＝________.解析：因为c os(75°＋α)＝13且－180°<α<－90°，所以sin(75°＋α)＝－223，故cos(15°－α)＝cos[90°－(75°＋α)]＝sin(75°＋α)＝－223.答案：－2237．sin(π＋θ)＝45，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝35，则θ角的终边在第________象限．解析：因为sin(π＋θ)＝45，所以sin θ＝－45<0，因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝35，所以cos θ＝35>0，所以θ角的终边在第四象限． 答案：四8．若sin(180°＋α)＋cos (90°＋α)＝－a ，则cos (270°－α)＋2sin (360°－α)的值是________．解析：由已知得sin α＝a2，∴cos (270°－α)＋2sin (360°－α)＝－sin α－2sin α＝－3×a 2＝－3a2.答案：－3a29．已知sin(α－3π)＝cos(α－2π)＋sin(α－32π)，求sin 3π－α＋5cos 3π－α3cos 3π＋α－sin 3－α的值．解析：sin(α－3π)＝cos(α－2π)＋sin(α－32π)，得－sin α＝2cos α.则tan α＝－2，所以sin 3π－α＋5cos 3π－α3cos 3π＋α－sin 3－α＝sin 3α＋5cos 3α－3cos 3α＋sin 3α ＝tan 3α＋5－3＋tan 3α ＝－3＋5－3＋－3＝311. 10．已知sin α＝55，且α是第一象限角． (1)求cos α的值；(2)求tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－απ－α的值．解析：(1)因为α是第一象限角，所以cos α>0. 因为sin α＝55.所以cos α＝1－sin 2α＝255. (2)因为tan α＝sin αcos α＝12.所以tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－απ－α＝tan α＋－cos α－cos α＝tan α＋1＝32.[B 组 能力提升]1．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cos(A 2＋C )＝sin B D ．sinB ＋C2＝cos A2解析：∵A ＋B ＋C ＝π， ∴A ＋B ＝π－C ，∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C . 所以A ， B 都不正确；同理，B ＋C ＝π－A ， 所以sin B ＋C2＝sin(π2－A 2)＝cos A2，因此D 是正确的． 答案：D2．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( )A ．－2m3B.2m 3 C ．－3m 2D.3m 2解析：因为sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α ＝－sin α－sin α＝－m ，所以sin α＝m2，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α) ＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m .答案：C3．已知角α终边上一点P (－4,3)，则π2＋α－π－α11π2－α9π2＋α的值为________．解析：因为角α的终边过点P (－4,3)，所以tan α＝－34，则π2＋α－π－α11π2－α9π2＋α＝－sin α·sin α3π2－απ2＋α＝－sin 2α－π2－αα＝sin 2αsin αcos α＝sin αcos α＝tan α＝－34. 答案：－344．已知锐角α终边上一点A 的坐标为(2sin 3，－2cos 3)，则角α的弧度数为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－cos 3，cos α＝sin 3，∵3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin 3>0，cos 3<0.即α的终边在第一象限．∴cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－π2.又∵3－π2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴α＝3－π2.答案：3－π25．是否存在角α，β，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使得等式sin(3π－α)＝ －2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β与3cos(－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－β同时成立． 解析：存在．所需成立的两个等式可化为sin α＝2sin β，3cos α＝2cos β， 两式两边分别平方相加得： sin 2α＋3cos 2α＝2， 得2cos 2α＝1，所以cos 2α＝12.又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， 所以α＝π4或－π4.当α＝π4时，由3cos α＝2cos β，得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6； 当α＝－π4时，由sin α＝2sin β，得sin β＝－12，而β∈(0，π)，所以无解．。
2018年新人教A版高中数学必修4全册同步检测含答案解析
2018年新人教A版高中数学必修四全册同步检测目录第1章1.1-1.1.1任意角第1章1.1-1.1.2弧度制第1章1.2-1.2.1任意角的三角函数第1章1.2-1.2.2同角三角函数的基本关系第1章1.3第1课时诱导公式二、三、四第1章1.3第2课时诱导公式五、六第1章1.4-1.4.1正弦函数、余弦函数的图象第1章1.4-1.4.2第1课时正、余弦函数的周期性与奇偶性第1章1.4-1.4.2第2课时正、余弦函数的单调性与最值第1章1.4-1.4.3正切函数的性质与图象第1章1.5函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象第1章1.6三角函数模型的简单应用第1章章末复习课第1章单元评估验收(一)第2章2.1平面向量的实际背景及基本概念第2章2.2-2.2.2向量减法运算及其几何意义第2章2.2-2.2.3向量数乘运算及其几何意义第2章2.3-2.3.1平面向量基本定理第2章2.3-2.3.3平面向量的坐标运算第2章2.3-2.3.4平面向量共线的坐标表示第2章2.4-2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义第2章2.4-2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角第2章2.5平面向量应用举例第2章章末复习课第2章单元评估验收(二)第3章3.1-3.1.1两角差的余弦公式第3章3.1-3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式第3章3.1-3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式第3章3.2简单的三角恒等变换第3章章末复习课第3章单元评估验收(三)模块综合评价第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角A级基础巩固一、选择题1．已知A＝{第二象限角}，B＝{钝角}，C＝{大于90°的角}，那么A、B、C关系是()A．B＝A∩C B．B∪C＝CC．A C D．A＝B＝C解析：钝角大于90°，小于180°，故B C，选项B正确．答案：B2．若角α的终边经过点M(0，－3)，则角α()A．是第三象限角B．是第四象限角C．既是第三象限角，又是第四象限角D．不是任何象限的角解析：因为点M(0，－3)在y轴负半轴上，所以角α的终边不在任何象限．答案：D3．若α是第四象限角，则－α一定在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：因为α是第四象限角，所以k·360°－90°＜α＜k·360°，k∈Z.所以－k·360°＜－α＜－k·360°＋90°，k∈Z，由此可知－α是第一象限角．答案：A4．终边与坐标轴重合的角α的集合是()A．{α|α＝k·360°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°，k∈Z}D．{α|α＝k·90°，k∈Z}解析：终边在坐标轴上的角为90°或90°的倍数角，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}．答案：D5．下面说法正确的个数为()(1)第二象限角大于第一象限角；(2)三角形的内角是第一象限角或第二象限角；(3)钝角是第二象限角．A．0 B．1 C．2 D．3解析：第二象限角如120°比第一象限角390°要小，故(1)错；三角形的内角可能为直角，直角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故(2)错；(3)中钝角是第二象限角是对的．所以正确的只有1个．答案：B二、填空题6．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是________．解析：顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1 080°.又50°＋(－1 080°)＝－1 030°，故所得的角为－1 030°.答案：－1 030°7．若α为锐角，则角－α＋k·360°(k∈Z)是第________象限角．解析：α为锐角，则角α是第一象限角，所以角－α是第四象限角，又因为角－α＋k·360°(k∈Z)与－α的终边相同，所以角－α＋k·360°(k∈Z)是第四象限角．答案：四8．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________．解析：根据终边相同角定义知，与－60°终边相同角可表示为β＝－60°＋k·360°(k∈Z)，当k＝1时β＝300°与－60°终边相同，终边在其反向延长线上且在0°～360°范围内角为120°.答案：120°，300°三、解答题9.如图所示，写出阴影部分(包括边界)的角的集合，并指出－950°12′是否是该集合中的角．解：题图阴影部分(包括边界)的角的范围是k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z，所求集合为{α|k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z}，因为－950°12′＝－3×360°＋129°48′，所以－950°12′不是该集合中的角．10．已知角β的终边在直线3x－y＝0上．(1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素．解：(1)因为角β的终边在直线3x－y＝0上，且直线3x－y＝0的倾斜角为60°，所以角β的集合S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}．(2)在S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}中，取k＝－2，得β＝－300°，取k＝－1，得β＝－120°，取k＝0，得β＝60°，取k＝1，得β＝240°，取k＝2，得β＝420°，取k＝3，得β＝600°.所以S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素分别是－300°，－120°，60°，240°，420°，600°.B级能力提升1．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B等于()A．{－36°，54°} B．{－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°，144°} D．{－126°，54°}解析：令k＝－1，0，1，2，则A，B的公共元素有－126°，－36°，54°，144°.答案：C2．如图，终边落在OA的位置上的角的集合是________；终边落在OB的位置上，且在－360°～360°内的角的集合是________．解析：终边落在OA的位置上的角的集合是{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB的位置上的角的集合是{α|α＝315°＋k·360°，k∈Z}(或{α|α＝－45°＋k·360°，k∈Z})，取k＝0，1，得α＝315°，－45°，所求的集合是{－45°，315°}．答案：{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}{－45°，315°}3．已知角α的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：(1)集合M有几类终边不相同的角？(2)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？(3)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．解：(1)集合M的角可以分成四类，即终边分别与－150°，－60°，30°，120°的终边相同的角．(2)令－360°<30°＋k·90°<360°，则－133<k<113，又因为k∈Z，所以k＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，所以集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330，－240°，－150，－60°，30°，120°，210°，300.(3)集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，所以β＝120°＋k·360°，k∈Z.第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制1.1.2 弧度制A 级 基础巩固一、选择题1．下列说法中，错误的是( ) A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度解析：根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A 、B 、C 均正确，D 错误． 答案：D2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( ) A.143π B ．－143π C.718π D ．－718π解析：显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为－73×2π＝－143π. 答案：B3．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( ) A.403π B.203πC.2003π D.4003π 解析：240°＝240180π＝43π，所以弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π.答案：A4．把－11π4表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )A ．－3π4B ．－π4C.π4D.3π4解析：令－11π4＝θ＋2k π(k ∈Z)，则θ＝－11π4－2k π(k ∈Z)．取k ≤0的值，k ＝－1时，θ＝－3π4，|θ|＝3π4；k ＝－2时，θ＝5π4，|θ|＝5π4>3π4；k ＝0时，θ＝－11π4，|θ|＝11π4>3π4.答案：A5．一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A.π2 B.π3 C. 3D. 2解析：设圆内接正方形的边长为a ，则该圆的直径为2a ， 所以弧长等于a 的圆弧所对的圆心角为α＝l r ＝a22a ＝ 2.答案：D二、填空题6．π12 rad ＝________度，________ rad ＝－300°. 解析：π12＝180°12＝15°；－300°＝－300×π180＝－5π3.答案：15 －5π37．已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则扇形的面积是________． 解析：因为60°＝π3 rad则扇形的面积S ＝12×π3×32＝32π.答案：32π8．(1)1°的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为________米； (2)1 rad 的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为______米． 解析：(1)因为|α|＝1°＝π180，l ＝1，所以r ＝l|α|＝1π180＝180π.(2)因为l ＝1，|α|＝1，所以r ＝l|α|＝1. 答案：(1)180π (2)1三、解答题 9．已知α＝2 000°.(1)把α写成2k π＋β [k ∈Z ，β∈[0，2π)]的形式； (2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)．解：(1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋109π. (2)θ与α的终边相同，故θ＝2k π＋109π，k ∈Z ， 又θ∈(4π，6π)，所以k ＝2时，θ＝4π＋109π＝46π9.10．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．解：(1)如题图①，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12， 所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π－π6＜θ＜2k π＋5π12，k ∈Z .(2)如题图②，因为30°＝π6，210°＝7π6，这两个角的终边所在的直线相同，因此终边在直线AB 上的角为α＝k π＋π6，k ∈Z ，又终边在y 轴上的角为β＝k π＋π2，k ∈Z ，从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪k π＋π6＜θ＜k π＋π2，k ∈Z .B 级 能力提升1．集合⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角的终边所在的范围(阴影部分)是( )解析：当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z ，所以选C.答案：C2．钟表的时间经过了一小时，则时针转过了________rad.解析：钟表的时针是按顺时针的方向旋转的，经过12小时，时针转过－2π rad ，所以经过一小时，时针转过－π6rad.答案：－π63．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.求α(∠AOB )所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .解：由⊙O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形， 所以α＝∠AOB ＝60°＝π3.所以弧长l ＝a ·r ＝π3×10＝10π3，所以S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，又S △AOB ＝12·AB ·53＝12×10×53＝5032，所以S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数A 级 基础巩固一、选择题1．已知角α终边经过P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则cos α等于( )A.12B.32C.33 D ．±12解析：由三角函数定义可知，角α的终边与单位圆交点的横坐标为角α的余弦值，故cos α＝32. 答案：B2．如果MP 和OM 分别是角α＝7π8的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )A ．MP ＜OM ＜0B ．OM ＞0＞MPC ．OM ＜MP ＜0D ．MP ＞0＞OM解析：因为78π是第二象限角，所以sin 78π＞0，cos 78π＜0，所以MP ＞0，OM ＜0， 所以MP ＞0＞OM . 答案：D3．若α＝2π3，则α的终边与单位圆的交点P 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32C.⎝⎛⎭⎪⎫－32，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32解析：设P (x ，y )，因为角α＝2π3在第二象限，所以x ＝－12，y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝32，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.答案：B4．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形必为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能解析：因为sin αcos β＜0，α，β∈(0，π)，所以sin α＞0，cos β＜0，所以β为钝角．答案：B5．函数y ＝11＋sin x的定义域为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠3π2＋2k π，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋2k π，k ∈ZC.{}x |x ≠2k π，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－3π2＋2k π，k ∈Z解析：因为1＋sin x ≠0，所以sin x ≠－1.又sin 3π2＝－1，所以x ≠3π2＋2k π，k ∈Z.答案：A 二、填空题6．(2016·四川卷)sin 750°＝________．解析：sin 750°＝sin(30°＋2×360°)＝sin 30°＝12.答案：127．sin 1 485°的值为________．解析：sin 1 485°＝sin(4×360°＋45°)＝sin 45°＝22.答案：228．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP ，OM ，AT ，则它们从大到小的顺序为____________．解析：作图如下，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以θ >π4，根据三角函数线的定义可知AT >MP >OM .答案：AT >MP >OM 三、解答题9．求下列各式的值：(1)sin(－1 320°)cos(1 110°)＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233π＋tan 17π4.解：(1)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝32×32＋12×12＝1.(2)原式＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋（－4）×2π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2×2π＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.10．已知P (－2，y )是角α终边上一点，且sin α＝－55，求cos α与tan α的值．解：因为点P 到原点的距离为r ＝4＋y 2， 所以sin α＝y 4＋y 2＝－55，所以y 2＋4＝5y 2，所以y 2＝1.又易知y <0，所以y ＝－1，所以r ＝5， 所以cos α＝－25＝－255，tan α＝－1－2＝12.B 级 能力提升1．若α是第三象限角，则|sin α|sin α－cos α|cos α|＝( )A ．0B ．1C ．2D ．－2解析：因为α是第三象限角，所以sin α<0，cos α<0， 所以|sin α|sin α－cos α|cos α|＝－1－(－1)＝0. 答案：A2．已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos α＝________． 解析：因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos θ<0， 所以点(－3cos θ，4cos θ)到原点的距离r ＝5|cos θ|＝－5cos θ， 所以cos α＝－3cos θ－5cos θ＝35.答案：353．利用三角函数线，写出满足|cos α|＞|sin α|的角α的集合． 解：如图，作出单位圆．所以角α满足的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪k π－π4＜α＜k π＋π4，k ∈Z .第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系A 级 基础巩固一、选择题1．化简1－sin 2160°的结果是( ) A ．cos 160° B ．－cos 160° C ．±cos 160° D ．±|cos 160°| 解析：1－sin 2160°＝cos 2160°＝|cos 160°|＝－cos 160°. 答案：B2．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝35，则tan α＝( )A.34 B ．－34 C.43 D ．－43解析：由sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π得cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.答案：B3．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则三角形是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形解析：将sin α＋cos α＝23两边平方，得1＋2sin αcos α＝49，即2sin α·cos α＝－59.又α是三角形的内角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以α为钝角．答案：A4．若sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，则m 的值为( )A ．0B ．8C ．0或8D ．3<m <9解析：由sin 2θ＋cos 2θ＝1得⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1，解得m ＝0或8. 答案：C5．已知sin αcos α＝18，且π＜α＜5π4，则cos α－sin α的值为( )A.32B ．－32C.34 D ．－34解析：(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，因为π＜α＜54π，所以cos α＜sin α，所以cos α－sin α＜0， 所以cos α－sin α＝－34＝－32. 答案：B 二、填空题6．在△ABC 中，若cos(A ＋B )>0，sin C ＝13，则tan C 等于________．解析：在△ABC 中，因为cos(A ＋B )>0， 所以0<A ＋B <π2，又C ＝π－(A ＋B )，所以角C 是钝角，所以cos C ＝－ 1－sin 2C ＝－223，所以tan C ＝sin C cos C ＝13－223＝－24.答案：－247．若4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝10，则tan α的值为________．解析：因为4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝10，所以4sin α－2cos α＝50cos α＋30sin α， 所以26sin α＝－52cos α，即sin α＝－2cos α. 所以tan α＝－2. 答案：－28．已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15，则sin x －cos x ＝________．解析：由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，即2sin x cos x ＝－2425，所以(sin x －cos x )2＝1－2sin x ·cos x ＝4925，又因为－π2<x <0，所以sin x <0，cos x >0，sin x －cos x <0，所以sin x －cos x ＝－75.答案：－75三、解答题9．已知tan α＝23，求下列各式的值；(1)1sin αcos α； (2)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2α.解：(1)1sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝tan 2α＋1tan α＝136.(2)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2 a ＝ sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－2tan α＋4tan 2α＋1＝49－43＋449＋1＝2813.10．化简：tan α·1sin2α－1(α是第二象限角)． 解：tan α·1sin2α－1＝tan α·1－sin2αsin2α＝tan α·cos2αsin2α＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos αsin α. 因为α为第二象限角， 所以sin α＞0，cos α＜0， 所以原式＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1.B 级 能力提升1．已知α是锐角，且tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根，则sin α＝( ) A.45 B.35 C.25 D.15解析：因为方程4x 2＋x －3＝0的根为x ＝34或x ＝－1，又因为tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根且α为锐角， 所以tan α＝34，所以sin α＝34cos α，即cos α＝43sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1， 所以sin 2α＋169sin 2α＝1， 所以sin 2α＝925(α为锐角)，所以sin α＝35.答案：B 2．使1－cos α1＋cos α＝cos α－1sin α成立的α的范围是__________．解析：1－cos α1＋cos α＝（1－cos α）2sin 2α＝1－cos α|sin α|＝cos α－1sin α，所以sin α<0，故2k π－π<α<2k π，k ∈Z. 答案：{α|2k π－π<α<2k π，k ∈Z}3．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan α＝1sin α＋1cos α. 证明：左边＝sin α·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin αcos α＋cos α·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos αsin α ＝sin α＋sin2αcos α＋cos α＋cos2αsin α＝sin2α＋cos2αsin α＋sin2α＋cos2αcos α＝1sin α＋1cos α＝右边．即原等式成立．第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 第1课时 诱导公式二、三、四A 级 基础巩固一、选择题1．sin 7π6的值是( )A ．－12B ．－2C ．2 D.12解析：sin 7π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π6＝－sin π6＝－12.答案：A2．sin 600°＋tan(－300°)的值是( ) A ．－32 B.32 C ．－12＋ 3 D.12＋ 3 解析：原式＝sin(360°＋240°)＋tan(－360°＋60°)＝－sin 60°＋tan 60°＝32. 答案：B3．已知sin(π＋α)＝35，α为第三象限角，则cos(π－α)＝( )A.35 B ．－35 C.45 D ．－45解析：因为sin (π＋α)＝35，所以sin α＝－35.因为α为第三象限角，所以cos α＝－45.所以cos (π－α)＝－cos α＝45.答案：C4．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β∈R ，若f (2 017)＝5，则f (2 018)等于( )A ．4B ．3C ．－5D ．5解析：因为f (2 017)＝a sin (2 017π＋α)＋b cos (2 017π＋β)＝－a sin α－b cos β＝5，所以f (2 018)＝a sin (2 018π＋α)＋b cos (2 018π＋β)＝a sin α＋b cos β＝－5.答案：C5．设tan(5π＋α)＝m ，则sin （α＋3π）＋cos （π＋α）sin （－α）－cos （π＋α）的值等于( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1 C ．－1D ．1解析：因为tan(5π＋α)＝tan[4π＋(π＋α)]＝ tan(π＋α)＝tan α，所以tan α＝m ；所以原式＝sin （π＋α）－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1. 答案：A 二、填空题6．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝________．解析：因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝－13.答案：－137．已知sin(π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)＝________．解析：由sin(π＋α)＝－sin α，得sin α＝－45.故cos(α－2π)＝cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝35.答案：358．化简sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值是________． 解析：原式＝(－sin α)2－(－cos α)·cos α＋1＝ sin 2α＋cos 2α＋1＝2. 答案：2 三、解答题9．计算下列各式的值：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；(2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5＋cos 4π5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π5＋cos3π5＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π5＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π5＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5－cos π5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π5－cos2π5＝0. (2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)·cos(－2×360°＋60°)＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝ 32×32＋12×12＝1. 10．已知sin(α＋π)＝45，且sin αcos α<0，求2sin （α－π）＋3tan （3π－α）4cos （α－3π）的值．解：因为sin(α＋π)＝45，所以sin α＝－45，又因为sin αcos α<0， 所以cos α>0，cos α＝ 1－sin 2α＝35，所以tan α＝－43.所以原式＝－2sin α－3tan α－4cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－434×35＝－73.B 级 能力提升1．下列三角函数：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π6；③sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3；④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π6；⑤sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π3，上述中的n ∈Z.其中与sin π3的值相同的是( )A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤解析：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋43π＝⎩⎨⎧sin π3（n 为奇数），－sin π3（n 为偶数）；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π6＝cos π6＝sin π3；③sin ⎝⎛⎭⎪⎫2n π＋π3＝sin π3；④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π6＝cos 5π6＝－sin π3；⑤sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π3＝sin π3.答案：C2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx （x <0），f （x －1）－1（x >0），则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π＝sin π6＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16－2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－2＝－52， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝12－52＝－2. 答案：－23．已知α是第二象限角，且tan α＝－2. (1)求cos 4α－sin 4α的值；(2)设角k π＋α(k ∈Z)的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于点P ，求点P 的坐标． 解：(1)原式＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－（－2）21＋（－2）2＝－35.(2)由tan α＝－2得sin α＝－2cos α， 代入sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝15，因为α是第二象限，所以cos α<0， 所以cos α＝－55，sin α＝tan αcos α＝255. 当k 为偶数时，P 的坐标⎩⎨⎧x ＝cos （k π＋α）＝cos α＝－55，y ＝sin （k π＋α）＝sin α＝255，即P ⎝⎛⎭⎪⎫－55，255. 当k 为奇数时，P 的坐标⎩⎨⎧x ＝cos （k π＋α）＝cos （π＋α）＝－cos α＝55，y ＝sin （k π＋α）＝sin （π＋α）＝－sin α＝－255， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫55，－255. 综上，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－55，255或⎝ ⎛⎭⎪⎫55，－255.第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 第2课时 诱导公式五、六A 级 基础巩固一、选择题1．sin 95°＋cos 175°的值为( ) A ．sin 5° B ．cos 5° C ．0D ．2sin 5°解析：原式＝cos 5°－cos 5°＝0. 答案：C2．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ<0，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ>0，则θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：由于sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ>0.所以角θ的终边落在第二象限．答案：B3．如果角θ的终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋cos(π－θ)＋tan(2π－θ)＝( ) A ．－43B.43C.34D ．－34解析：易知sin θ＝45，cos θ＝－35，tan θ＝－43.原式＝cos θ－cos θ－tan θ＝43.答案：B4．若角A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cos A ＋C2＝sin BD ．sin B ＋C 2＝cos A2解析：因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋B ＝π－C ，A ＋C 2＝π－B 2，B ＋C 2＝π－A2，所以cos(A ＋B )＝cos (π－C )＝－cos C ， sin(A ＋B )＝sin (π－C )＝sin C ，cos A ＋C 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2＝sin B2，sin B ＋C 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2＝cos A 2.答案：D5．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝( ) A ．－223 B ．－13C.13D.223解析：因为π6－α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13答案：C 二、填空题6．若cos α＝15，且α是第四象限角，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝________．解析：因为cos α＝15，且α是第四象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝－265.所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α＝265.答案：2657．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝1010，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝________． 解析：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝1010，所以cos α＝1010.又因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos α，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－1010.答案：－10108．sin 21°＋sin 22°＋sin 245°＋sin 288°＋sin 289°＝________．解析：原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋sin 245°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝1＋1＋12＝52.答案：52三、解答题9．化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos （π＋α）＋sin （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin （π＋α）.解：因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α，cos (π＋α)＝－cos α，sin (π－α)＝sin α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α，sin (π＋α)＝－sin α， 所以原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α·（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0.10．已知cos α＝－45，且α为第三象限角．(1)求sin α的值；(2)求f (α)＝tan （π－α）·sin （π－α）·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos （π＋α）的值．解：(1)因为cos α＝－45，且α为第三象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝－35.(2)f (α)＝－tan α·sin α·cos α－cos α＝tan αsin α＝sin αcos α·sin α＝－35－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－920. B 级 能力提升1．已知f (x )＝sin x ，下列式子成立的是( ) A ．f (x ＋π)＝sin xB ．f (2π－x )＝sin xC ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos xD ．f (π－x )＝－f (x )解析：f (x ＋π)＝sin(x ＋π)＝－sin x ；f (2π－x )＝sin(2π－x )＝sin(－x )＝－sin x ；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x ；f (π－x )＝sin(π－x )＝sin x ＝f (x )．答案：C2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13，且－π<α<－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝ ________．解析：因为－π<α<－π2，所以－7π12<5π12＋α<－π12.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13>0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－223， 由⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝π2， 得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－223.答案：－2233．设tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π＝a .求证：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫157π＋α＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－137πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫207π－α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋227π＝a ＋3a ＋1.证明：左边＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫87π＋α＋3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π－3πsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋ 87π－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π＋3tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋87π＋1.将tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π＝a 代入得，左边＝a ＋3a ＋1＝右边，所以等式成立．第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象A 级 基础巩固一、选择题1．点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2 解析：由题意－m ＝sin π2，所以－m ＝1，所以m ＝－1.答案：C2．在同一坐标系中函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( ) A ．重合B ．形状相同，位置不同C ．形状不同，位置相同D ．形状不同，位置不同 解析：解析式相同，定义域不同． 答案：B3．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2的简图是( )解析：可以用特殊点来验证：x ＝0时，y ＝－sin 0＝0，排除A 、C.当x ＝3π2时，y＝－sin 3π2＝1，排除B.答案：D4．函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝2交点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：由函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0，2π]的图象(如图所示)，可知其与直线y ＝2只有1个交点．答案：B5．不等式cos x ＜0，x ∈[0，2π]的解集为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π 解析：由y ＝cos x 的图象知，在[0，2π]内使cos x ＜0的x 的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2.答案：A 二、填空题6．用“五点法”画出y ＝2sin x 在[0，2π]内的图象时，应取的五个点为________________．解析：可结合函数y ＝sin x 的五个关键点寻找，即把相应的五个关键点的纵坐标变为原来的2倍即可．答案：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－2，(2π，0) 7．若sin x ＝2m ＋1且x ∈R ，则m 的取值范围是________． 解析：因为－1≤sin x ≤1，sin x ＝2m ＋1， 所以－1≤2m ＋1≤1，解得－1≤m ≤0. 答案：[－1，0] 8．函数y ＝log 12sin x 的定义域是______________． 解析：由log 12sin x ≥0知0<sin x ≤1，由正弦函数图象知2k π<x <2k π＋π，k ∈Z.答案：{x |2k π<x <2k π＋π，k ∈Z} 三、解答题9．用“五点法”作函数y ＝－2cos x ＋3(0≤x ≤2π)的简图． 解：列表：10．判断方程sin x ＝x10的根的个数．解：当x ＝3π时，y ＝x 10＝3π10<1；。
诱导公式五、六
第一章
1.3 1.3.2
成才之路 ·高中新课程·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
公式五和公式六可以概括为： π α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函 2 ± 数值，前面加上一个把α看成 锐角 时原函数值的符 号，公式一～六都叫做诱导公式
第一章
1.3 1.3.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
第一章
1.3 1.3.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
3π 1 1 (1)∵cos(α－ )＝－sinα＝ ，∴sinα＝－ ， 2 5 5 2 6 ∵α为第三象限角，∴cosα＝－ ， 5 2 6 ∴f(α)＝－cosα＝ 5 . (2)∵－1860° ＝－5×360° －60° ， 1 ∴f(－1860° )＝－cos(－5×360° －60° )＝－ . 2
第一章 1.3 1.3.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
[解析] f(α)＝
3π sin 2 －α sinα· cos－α· 3π cos 2 －α
cosα＋π
－cosα sinα· cosα· －sinα ＝ ＝－cosα. －cosα
存在，求出 α、 β 的值；若不存在，说明理由．
第一章
1.3 1.3.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
[分析]
题中所给条件式比较繁琐，故先化简，然后利用
平方关系消去 α(或 β)解方程可求出角 α 与 β 的一个三角函数值 和其范围，进一步求出角．
第一章
1.3 1.3.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
人教版数学高一-人教A版必修4习题 1.3.2 诱导公式五、六
[A 基础达标]1．化简：sin ⎝⎛⎭⎫92π＋x ＝( ) A ．sin x B ．cos x C ．－sin xD ．－cos x解析：选B ．sin ⎝⎛⎭⎫92π＋x ＝sin ⎣⎡⎦⎤4π＋⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝cos x .2．已知cos 31°＝m ，则sin 239°tan 149°的值是( ) A .1－m 2mB ．1－m 2C ．－1－m 2mD ．－1－m 2解析：选B ．sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)tan(180°－31°) ＝－sin 59°(－tan 31°) ＝－sin(90°－31°)(－tan 31°) ＝－cos 31°(－tan 31°) ＝sin 31°＝1－cos 231°＝1－m 2.3．在△ABC 中，已知sin A 2＝45，则cos B ＋C 2的值为( )A .35 B ．－35C .45D ．－45解析：选C .因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＋C 2＝π2－A2，所以cosB ＋C 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－A 2＝sin A 2＝45. 4．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是( ) A ．－2a3B ．－3a 2C .2a 3D .3a 2解析：选B ．由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ， 得－sin α－sin α＝－a ，即sin α＝a 2，所以cos(270°－α)＋2sin(360°－α) ＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－3a 2.5．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( ) A ．－12B ．12C ．－32D .32解析：选A .f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.6．已知cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝________． 解析：sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14. 答案：147．化简sin(π＋α)cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos(π＋α)＝________． 解析：原式＝－sin α·sin α－cos α·cos α＝－1. 答案：－18．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2，则 sin （π－α）＋cos （π＋α）5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝________．解析：因为cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2， 所以sin α＝2cos α. 原式＝sin α－cos α5sin α－3cos α＝2cos α－cos α10cos α－3cos α＝17.答案：179．化简：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos （π＋α）＋sin （π－α）cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin （π＋α）.解：因为sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α， cos(π＋α)＝－cos α，sin(π－α)＝sin α， cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α，sin(π＋α)＝－sin α， 所以原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α·（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0.10．设f (α)＝2sin （π＋α）cos （π－α）－cos （π＋α）1＋sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α，求f ⎝⎛⎭⎫－23π6的值． 解：因为f (α)＝（－2sin α）（－cos α）＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α（1＋2sin α）sin α（1＋2sin α）＝1tan α， 所以f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π6 ＝1tan π6＝3. [B 能力提升]1．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )A .13B ．23C ．－13D ．－23解析：选D .sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)] ＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α) ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α) ＝－2cos(75°＋α) ＝－23.2．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＋sin 290°的值为________． 解析：因为sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1， sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，sin 2x °＋sin 2(90°－x °)＝sin 2x °＋cos 2x °＝1(1≤x ≤44，x ∈N )，所以原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 290°＋sin 245°＝45＋⎝⎛⎭⎫222＝912. 答案：9123．求证：对任意的整数k ，sin ⎝⎛⎭⎫2k ＋12π－αcos ⎝⎛⎭⎫2k ＋12π＋αsin ⎝⎛⎭⎫2k ＋32π＋αcos ⎝⎛⎭⎫2k －12π－α＝－1.证明：左边＝sin ⎝⎛⎭⎫k π＋π2－αcos ⎝⎛⎭⎫k π＋π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫k π＋3π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫k π－π2－α.①当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，则左边＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫－π2－α＝cos α（－sin α）－cos α（－sin α）＝－1.②当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1(n ∈Z )，同理可得左边＝－1.综上，可知原等式成立． 4．(选做题)已知sin(3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋β，cos(π－α)＝63cos(π＋β)，且0<α<π，0<β<π，求sin α和cos β的值．解：由已知，得sin α＝2sin β，① 3cos α＝2cos β，②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2， 即sin 2α＋3(1－sin 2α)＝2， 所以sin 2α＝12.又0<α<π，则sin α＝22. 将sin α＝22代入①，得sin β＝12. 又0<β<π， 故cos β＝±32.。
高中人教A版数学必修4：第8课时 诱导公式五、六 Word版含解析
第8课时 诱导公式五、六课时目标1.理解公式五、六的推导．2．运用所学的四组公式正确进行求值化简、证明．识记强化公式五：sin ⎝ ⎛⎭⎪π2－α＝cos α，cos ⎝ ⎭⎪π2－α＝sin α；公式六：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α.课时作业一、选择题1．已知cos x ＝15，且x 是第四象限角，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝( )A.55 B ．－15 C ．－45 D.2 65答案：D解析：∵x 是第四象限角，cos x ＝15，∴sin x ＝－1－cos2x ＝－265.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝－sin x ＝265. 2．已知sin40°＝a ，则cos50°等于( ) A ．±a B ．－a C ．a D.1－a2 答案：C3．下面诱导公式使用正确的是( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝cos θB ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＝－sin θC ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝－cos θD ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝－sin θ答案：C4．若sin(π2＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝75，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2等于( )A ．－35 B.45C ．－75 D.75答案：C解析：由已知得cos α＋sin α＝75，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－cos α－sin α＝－75.5．若sinθ＋cosθsinθ－c osθ＝2，则sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ等于( )A.43 B ．±310 C.310 D ．－310 答案：C 解析：由sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝2，可得tan θ＝3，∴sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝(－sin θ)(－cos θ)＝sinθcosθsin2θ＋cos2θ ＝tanθtan2θ＋1＝310. 6．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于( )A ．－33 B.33C ．－3 D.3答案：C解析：由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32.又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴tan φ＝－3.二、填空题7．sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)sin(－1050°)＋tan945°＝________. 答案：2解析：原式＝－sin1200°cos(210°＋3×360°)－cos1020°sin1050°＋tan(225°＋2×360°) ＝－sin(120°＋3×360°)cos210°－cos(－60°＋3×360°) sin(－30°＋3×360°)＋tan225° ＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(－60°) sin(－30°)＋tan(180°＋45°) ＝－32⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1＝2. 8．已知tan(3π＋α)＝2，则 错误!＝________. 答案：2解析：由tan(3π＋α)＝2，得tan α＝2，所以原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝2. 9．已知函数f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2－2a sin πx2，若f (3)＝6，则a ＝________. 答案：152解析：f (x )为奇函数，所以f (－3)＝－6，即f (－3)＝9－2a sin －3π2＝9＋2a sin 3π2＝9－2a＝－6，∴a ＝152.三、解答题10．已知f (α)＝错误!. (1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．解：(1)f (α)＝错误!＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α，∴sin α＝－15.又α是第三象限角，∴cos α＝－52－125＝－265， ∴f (α)＝265.11．(1)设f (α) ＝错误!，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6的值． (2)化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫nπ＋23π·cos ⎝⎛⎭⎪⎫nπ＋43π(n ∈Z )．解：(1)∵f (α)＝错误! ＝2sinαcosα＋cosα2sin2α＋sinα＝错误!＝1tanα， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＝1tan π6＝3.(2)当n ＝2k (k ∈Z )时，原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2kπ＋23π·cos ⎝⎛⎭⎪⎫2kπ＋43π＝sin 23π·cos 43π＝sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π3 ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－34. 当n ＝2k ＋1(k ∈Z )时， 原式＝sin 错误!· cos 错误!＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋23π·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋43π＝－sin 23π·cos π3＝－sin π3·cos π3＝－32×12 ＝－34.综上，原式＝－34.能力提升12．若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )等于( ) A ．3－cos2x B ．3－sin2x C ．3＋cos2x D ．3＋sin2x 答案：C解析：f (cos x )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x＝3－cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝3－cos(π－2x )＝3＋cos2x .13．已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，求证：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－A 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A 2＝cos π4－B ＋C2.证明：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－A 2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－A 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A 2.又因为在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， 所以A 2＝π2－B ＋C 2，所以B ＋C 2＝π2－A 2.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－B ＋C 2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋A 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－A 2.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－A 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－B ＋C 2.。
数学人教A版必修4练习第8课时 诱导公式五、六 Word版含解析
第课时诱导公式五、六.公式五：＝α公式六：＝α，＝－α.一、选择题．已知＝，且是第四象限角，那么＝( )．－．－())答案：解析：∵是第四象限角，＝，∴＝－＝－()).∴＝－＝()). ．已知°＝，则°等于( )．±．－．答案：．下面诱导公式使用正确的是( )．＝θ．＝－θ．＝－θ．＝－θ答案：．若(＋α)＋＝，则＋等于( )．－．－答案：解析：由已知得α＋α＝，∴＋＝－α－α＝－.．若＝，则(θ－π)等于( )．±．－答案：解析：由＝，可得θ＝，∴(θ－π)＝(－θ)(－θ)＝＝＝.．已知＝，且φ<，则φ等于( )．－．－答案：解析：由＝－φ＝，得φ＝－.又φ<，∴φ＝－，∴φ＝－.二、填空题．(－°)°＋(－°)(－°)＋°＝.答案：解析：原式＝－°(°＋×°)－°°＋(°＋×°)＝－(°＋×°)°－(－°＋×°)(－°＋×°)＋°＝－(°－°)(°＋°)－(－°)(－°)＋(°＋°)＝－－＋＝.．已知(π＋α)＝，则＝.答案：解析：由(π＋α)＝，得α＝，所以原式＝＝＝＝＝.．已知函数()是奇函数，当<时，()＝－，若()＝，则＝.答案：解析：()为奇函数，所以(－)＝－，即(－)＝－＝＋＝－＝－，∴＝.三、解答题．已知(α)＝.()化简(α)；()若α是第三象限角，且＝，求(α)的值．解：()(α)＝＝－α.()∵＝－α，∴α＝－.又α是第三象限角，∴α＝－＝－，∴(α)＝.．()设(α)＝，求的值．()化简：·(∈)．解：()∵(α)＝＝＝＝，∴＝＝＝＝.()当＝(∈)时，原式＝·＝π·π＝·＝×＝－.当＝＋(∈)时，原式＝·＝·＝－π·＝－·＝－×＝－.综上，原式＝－.．若()＝－，则()等于( )．－．－．＋．＋。
人教A版必修4数学《三角函数的诱导公式》同步练习(B)含答案试卷分析详解
专题三三角函数的诱导公式测试卷（B 卷）（测试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 的值是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】；故选B. 2．【2018届黑龙江省齐齐哈尔八中高三8，则（ ）【答案】A3.若点在角的终边上，则的值为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】A.【解析】根据任意角的三角函数的定义，，故选A. 0sin300tan600+32-32132-+132+0sin300tan600sin120tan60sin60tan60+=-+=-+==tan α=55(sin,cos )66ππαsin α32-12-12325cos 6sin 12πα==-4（ ） A【答案】C【解析】5. 已知，是第四象限的角，则=（ ） A ．B ．C ．D ． 【答案】A 【解析】由题意，得，即，又因为是第四象限的角，所以，则；故选A ．6．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，则） A ．-2 B ．2 C ．0 D【答案】B7．已知，则=（ ）2πα∈（，53)sin(=+απα)2cos(πα-54±5453αθx 20x y -=1tan()2πα+=sin cos 2sin cos αααα-+A【答案】C ，将原式上下同时除以C. 8．已知函数f (x)=,则f[f(2014)]= ( )A.1B.-1C.0D.【答案】A 【解析】9.设，则）.A ．3B ．2C ．1D ．﹣1 【答案】B10.已知角α终边上一点P(−2,3)，则cos(π2+α)sin(π+α)cos(π−α)sin(3π−α)的值为（ ） A. 32B. −32C. 23D. −23【答案】A【解析】角α终边上一点P(−2,3)，所以tanα=−32. cos(π2+α)sin(π+α)cos(π−α)sin(3π−α)=(−sinα)(−sinα)−cosαsinα=−tanα=32.故选A.11. 已知，且，则的值为（ ）αcos ()20142014142000f =-=()()2014200020005()0014f f f cos cos ππ⎡⎤⎣⎦∴==⨯==3tan =α()2tan 3πα-=-,2παπ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭()()()cos 3sin cos 9sin απαπαα-++-+A【答案】A【解析】,所以，A.12. ，则（ ）A【答案】A第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13． = ．【答案【解析】注意利用诱导公式奇变偶不变，符号看象限来化简求值即可.()2tan tan 3παα-=-=-2tan 3α=tan α=2sin 840cos540tan 225cos(330)sin(210)++--+-14【答案】【解析】根据诱导公式：奇变偶不变，符号看象限进行化简15. 若cosα=−13,则cos(2π−α)⋅sin(π+α)sin(π2+α)⋅tan(3π−α)=___________.【答案】－13【解析】∵cos α=−13，∴cos(2π−α)sin(π+α)sin(π2+α)⋅tan(3π−α)=cosα(−sinα)cosα(−tanα)=cosα=－13.故答案为：－13.16. 已知，则的值为 ．【答案】-3【解析三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知α为第三象限角，f(α)=sin(α−π2)cos(3π2+α)tan(π−α)tan(−α−π)sin(−α−π)．（1）化简f(α) （2）若cos(α−3π2)=15，求f(α)的值.【答案】（1）=(−cosα)(sinα)(−tanα)(−tanα)sinα=−cosα（2）−2√65【解析】第一问利用f(α)=sin(α−π2)cos(3π2+α)tan(π−α)tan(−α−π)sin(−α−π)=(−cosα)(sinα)(−tanα)=−cosα1-tan 2α=sin()sin()23cos()cos()2ππααπαπα+-+++-第二问∵cos(α−3π2)=15∴−sinα=15从而sinα=−15，从而得到三角函数值。
2020高中人教A版数学必修4：第8课时 诱导公式五、六 Word版含解析
第8课时 诱导公式五、六课时作业一、选择题 1．已知cos x ＝15，且x 是第四象限角，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝( ) A.55 B ．－15C ．－45 D.2 65答案：D解析：∵x 是第四象限角，cos x ＝15，∴sin x ＝－1－cos 2x ＝－2 65.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝－sin x ＝2 65. 2．已知sin40°＝a ，则cos50°等于( )A ．±aB ．－aC ．a D.1－a 2答案：C3．下面诱导公式使用正确的是( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝cos θ B ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＝－sin θ C ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝－cos θ D ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝－sin θ 答案：C4．若sin(π2＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝75，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2等于( ) A ．－35 B.45C ．－75 D.75答案：C 解析：由已知得cos α＋sin α＝75，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－cos α－sin α＝－75. 5．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ等于( )A.43 B ．±310 C.310 D ．－310 答案：C 解析：由sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，可得tan θ＝3，∴sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝(－sin θ)(－cos θ) ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ ＝tan θtan 2θ＋1 ＝310. 6．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于( ) A ．－33 B.33C ．－ 3 D. 3答案：C解析：由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32.又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴tan φ＝－ 3. 二、填空题7．sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)sin(－1050°)＋tan945°＝________. 答案：2解析：原式＝－sin1200°cos(210°＋3×360°)－cos1020°sin1050°＋tan(225°＋2×360°)＝－sin(120°＋3×360°)cos210°－cos(－60°＋3×360°)sin(－30°＋3×360°)＋tan225°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(－60°)sin(－30°)＋tan(180°＋45°)＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1＝2. 8．已知tan(3π＋α)＝2，则sin α－3π＋cos π－α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin －α＋cosπ＋α＝________.答案：2 解析：由tan(3π＋α)＝2，得tan α＝2，所以原式＝－sin α＋－cos α＋cos α－2－sin αsin α－cos α＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2. 9．已知函数f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2－2a sin πx 2，若f (3)＝6，则a ＝________.答案：152 解析：f (x )为奇函数，所以f (－3)＝－6，即f (－3)＝9－2a sin －3π2＝9＋2a sin 3π2＝9－2a ＝－6，∴a ＝152. 三、解答题10．已知f (α)＝sin π－αcos 2π－αtan －α＋π－tan －α－πsin －π－α. (1)化简f (α)； (2)若α是第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝sin αcos α－tan αtan αsin α＝－cos α. (2)∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α，∴sin α＝－15. 又α是第三象限角，∴cos α＝－52－125＝－265， ∴f (α)＝265. 11．(1)设f (α)＝2sin π＋αcos π－α－cos π＋α1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α， 求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6的值． (2)化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋23π·cos ⎝⎛⎭⎪⎫n π＋43π(n ∈Z )． 解：(1)∵f (α)＝－2sin α－cos α＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α ＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α ＝cos α1＋2sin αsin α1＋2sin α＝1tan α， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＝1tan π6＝ 3. (2)当n ＝2k (k ∈Z )时，原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋23π·cos ⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋43π＝sin 23π·cos 43π ＝sin π3·⎝⎛⎭⎪⎫－cos π3 ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝－34. 当n ＝2k ＋1(k ∈Z )时， 原式＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k ＋1π＋23π· cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k ＋1π＋43π ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋23π·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋43π ＝－sin 23π·cos π3＝－sin π3·cos π3＝－32×12＝－34. 综上，原式＝－34.。
2020年高中数学 人教A版 必修4 同步作业本《诱导公式》(含答案解析)
12.答案为：{α|2kπ-π≤α≤2kπ，k∈Z}； 解析：因为|sin(4π-α)|=sin(π＋α)，则|sin α|=-sin α，sin α≤0， 所以 2kπ-π≤α≤2kπ(k∈Z)．
B．cos 5°
C．0
D．2sin 5°
A4
B＋C
6.在△ABC 中，已知 sin = ，则 cos 的值为( )
25
2
3
3
4
4
A.
B．-
C.
D．-
5
5
5
5
7.下列三角函数值：
4π
π
π
①sin(nπ＋ )；②sin(2nπ＋ )；③sin[(2n＋1)π- ]，其中 n∈N.
3
3
3
π 其中与 sin 数值相同的是( )
10.答案为：C.
π 解析：∵cos x=sin( -x)，
2
π
π
∴f(cos x)=f(sin( -x))=3-cos[2( -x)]=3-cos(π-2x)=3＋cos 2x.
2
2
7 11.答案为：- ；
5
4
4
3
解析：∵tan α= ，α 为第一象限角，∴sin α= ，cos α= ，
3
5
5
7 ∴sin(π＋α)＋cos(π-α)=-sin α-cos α=- .
2 22
2
22
25
7.答案为：C.
解析：
4π ①sin(nπ＋ )=Error!；
3
ππ
②sin(2nπ＋ )=sin ；
3
3
ππ
③sin[(2n＋1)π- ]=sin .故②③正确．
2020年高中数学人教A版 必修4 诱导公式 能力测试题(含答案)
2020年高中数学人教A 版 必修4诱导公式 能力测试题一、选择题1.A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，则下列关系式中不成立的是( )①cos(A ＋B)=cos C ；②cos B ＋C 2=sin A2；③tan(A ＋B)=-tan C ；④sin(2A ＋B ＋C)=sin A ；A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③2.若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)=-a ，则cos(270°-α)＋2sin(360°-α)的值是( )A ．-2a 3B ．-3a 2 C.2a 3 D.3a 23.在△ABC 中，已知sin A 2=45，则cos B ＋C2的值为( )A.35 B ．-35 C.45 D ．-454.若cos 165°=a，则tan 195°=( )A.1－a 2B ．-1－a 2a C.1－a 2a D.1＋a 2a5.已知cos α=35，则sin(3π＋α)·cos(2π-α)·tan(π-α)等于( )A ．±35B ．±45 C.925 D.16256.若sin(π＋α)=-12，则sin(4π-α)的值是( )A.12 B ．-12 C ．-32 D.327.已知tanθ=2，则sinθ＋cosθsinθ＋sin 2θ的值为( )A.195B.165C.2310D.17108.已知2sinα=1＋cosα，则tanα的值为( )A ．－43 B.43 C ．－43或0 D.43或09.已知点(tan 5π4，sin(-π6))是角θ终边上一点，则tan θ等于( )A ．2B ．-32C ．-12D ．-210.已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于x 的方程2x 2＋(3－1)x ＋m=0(m ∈R)的两根，则sin θ－cos θ=( ) A.1－32 B.1＋32 C. 3 D ．－ 3二、填空题11.若cos α=15，且α是第四象限角，则cos(α＋π2)=________.12.已知tan α=43，且α为第一象限角，则sin(π＋α)＋cos(π-α)=________.13.sin(-3π)＋2sin 34π＋3sin32π等于________.14.已知cos(π2＋α)=2sin(α-π2)，则)27sin(3)25cos(5)cos()sin(απαπαπαπ-+-++-=________.三、解答题15.已知f(α)=)cos()2sin()2cos()tan(πααπαπαπ--+⋅-⋅-.(1)证明：f(α)=sin α；(2)若f(π2-α)=-35，且α是第二象限角，求tan α.16.已知()413sin =+θπ，求)cos()cos()2cos()2cos(]1)[cos(cos )cos(θθππθπθθπθθπ-+++-+-++的值．答案解析1.答案为：C.解析：因为cos(A ＋B)=cos(π-C)=-cos C ，所以①错，排除B ，D ；因为cos B ＋C 2=cos π－A 2=cos(π2-A 2)=sin A2，所以②正确，排除A ，故选C.2.答案为：B.解析：由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)=-a ，得-sin α-sin α=-a ，即sin α=a2，所以cos(270°-α)＋2sin(360°-α)=-sin α-2sin α=-3sin α=-3a2.3.答案为：C.解析：∵A ＋B ＋C=π，∴B ＋C 2=π2-A 2，∴cos B ＋C 2=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2=sin A 2=45.4.答案为：B.解析：∵cos 165°=-cos 15°=a，∴cos 15°=-a.∴tan 195°=tan(180°＋15°)=tan 15°=sin 15°cos 15°=1－a2－a.故选B.5.答案为：D.解析：原式=sin(π＋α)·cos(-α)·tan(π-α)=(-sin α)·cos α·(-tan α)=sin 2α，由cos α=35，得sin 2α=1-cos 2α=1625.6.答案为：B.解析：∵sin(π＋α)=-12=-sin α，∴sin α=12，sin(4π-α)=-sin α=-12.7.答案为：C ；解析：原式=1＋1tanθ＋sin 2θcos 2θ＋sin 2θ=1＋12＋tan 2θ1＋tan 2θ=32＋41＋4=2310.故选C.8.答案为：D解析：由2sinα=1＋cosα得sinα≥0，且4sin 2α=1＋2cosα＋cos 2α，因而5cos 2α＋2cosα－3=0，解得cosα=35或cosα=－1，那么tanα=43或0，故选D.9.答案为：C.解析：点(tan 5π4，sin(-π6))可化为点(1，-12)，则tan θ=-12.故选C.10.答案为：B ；解析：∵sin θ，cos θ是方程2x 2＋(3－1)x ＋m=0(m ∈R)的两根，∴sin θ＋cos θ=1－32，sin θ·cos θ=m2，可得(sin θ＋cos θ)2=1＋2sin θ·cos θ=1＋m=2－32，解得m=－32.∵θ为第二象限角，∴sin θ>0，cos θ<0，即sin θ－cos θ>0，∵(sin θ－cos θ)2=1－2sin θ·cos θ=1－m=1＋32，∴sin θ－cos θ= 1＋32=1＋32，故选B.11.答案为：265；解析：∵cos α=15，且α是第四象限角，∴sin α=-1－cos 2α=-1－152=-265.∴cos(α＋π2)=-sin α=265.12.答案为：-75；解析：∵tan α=43，α为第一象限角，∴sin α=45，cos α=35，∴sin(π＋α)＋cos(π-α)=-sin α-cos α=-75.13.答案为：0；解析：原式=-sin 3π＋2sin(π+3π)+3sin(π-3π)=-sin 3π-2sin 3π＋3sin 3π=0.14.答案为：17；解析：∵cos(π2＋α)=2sin(α-π2)，∴sin α=2cos α.原式=sin α－cos α5sin α－3cos α=2cos α－cos α10cos α－3cos α=17.15.解：(1)证明：因为f(α)=tan π－α·cos 2π－α·sin π2＋αcos －α－π=sin π－αcos π－α·cos α·cos α－cos α=sin α·cos α·cos α－cos α·－cos α=sin α.(2)由sin(π2-α)=-35，得cos α=-35，又α是第二象限角，所以sin α=1－cos 2α=45，则tan α=sin αcos α=-43.16.答案为：32;。
2014-2015学年高中数学 第一章 三角函数第8课时诱导公式(二)～(四)检测试题 新人教A版必
【金版教程】2014-2015学年高中数学 第一章 三角函数第8课时诱导公式(二)～(四)检测试题 新人教A 版必修4一、选择题1．[2013·雷州联考]sin480°等于( )A ．－12B ．12C ．－32D ．32解析：sin480°＝sin(360°＋120°)＝sin120°＝sin(180°－60°)＝sin60°＝32.答案：D2．sin 2(π＋α)－cos(2π＋α)cos(－α)＋1的值是( )A ．1B ．2sin 2αC ．0D ．2解析：原式＝(－sin α)2－cos αcos α＋1＝sin 2α－cos 2α＋1＝2sin 2α.答案：B3．设tan(5π＋α)＝m ，则sin α－3π＋cos π－αsin －α－cos π＋α的值为( )A.m ＋1m －1 B ．m －1m ＋1C ．－1D ．1解析：∵tan(5π＋α)＝m ，∴tan α＝m .原式＝sin π＋α＋cos π－αsin －α－cos π＋α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1.答案：A4．[2013·东莞联考]已知cos α＝35，则sin(3π＋α)·cos(2π－α)·tan(π－α)＝() A ．±35 B ．±45C.925 D ．1625 解析：原式＝sin(π＋α)cos α·(－tan α)＝sin αcos αtan α ＝sin 2α＝1－cos 2α＝1－(35)2＝1625. 答案：D二、填空题5．计算sin(－1560°)cos(－930°)－cos(－1380°)·sin1410°＝1.解析：sin(－1560°)cos(－930°)－cos(－1380°)sin1410°＝sin(－4×360°－120°)cos(－1080°＋150°)－cos(－1440°＋60°)·sin(1440°－30°)＝sin(－120°)cos150°－cos60°sin(－30°)＝－32×(－32)＋12×12＝34＋14＝1. 6．若f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋α，且f (2004)＝1，则f (2012)＝1. 解析：∵f (2004)＝1且f (x )＝sin(π2x ＋α)， ∴sin(1002π＋α)＝1，故sin α＝1.∴f (2012)＝sin(1006π＋α)＝sin α＝1.7.2＋2sin 2π－θ－cos 2π＋θ可化简为1－sin θ.解析： 2＋2sin 2π－θ－cos2π＋θ＝2＋2sin －θ－cos 2θ ＝1－2sin θ＋sin 2θ＝|1－sin θ|＝1－sin θ.三、解答题8．已知sin(α＋π)＝45，且sin αcos α<0， 求2sin α－π＋3tan 3π－α4cos α－3π的值． 解：∵sin(α＋π)＝45，∴sin α＝－45. 又∵sin αcos α<0，∴cos α>0.∴cos α＝1－sin 2α＝35.∴tan α＝－43. ∴原式＝－2sin α－3tan α－4cos α＝2×－45＋3×－434×35＝－73. 9．化简：sin ⎝⎛⎭⎪⎫k π－23πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6(k ∈Z )． 解：分k 为奇数和偶数进行讨论．(1)当k ＝2n (n ∈Z )时，则原式＝sin(2n π－23π)·cos(2n π＋π6) ＝－sin 23πcos π6＝－sin π3cos π6＝－32×32＝－34. (2)当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，则原式＝sin(2n π＋π－2π3)cos(2n π＋π＋π6) ＝sin π3cos(π＋π6) ＝sin π3(－cos π6)＝32×(－32)＝－34. 所以sin(k π－23π)cos(k π＋π6)＝－34，(k ∈Z )．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第8课时诱导公式五、六
课时目标
1.2
公式五：cos
公式六：cos α，sin α.
课时作业
一、选择题
1．已知cos x ＝15，且x 是第四象限角，那么()
A.55B ．－15C ．－45 D.265
答案：D
解析：∵x 是第四象限角，cos x ＝15，∴sin x ＝－1－cos 2x ＝－265.∴sin x ＝265.2．已知sin40°＝a ，则cos50°等于()A ．±a B ．－a
C ．a D.1－a 2
答案：C
3()
A ．cos θ
B ．sin θ
C ．cos θ
D ．sin θ
答案：C
4．若sin(π2＋α)＋＝75，则cos ()A ．－35 B.45C ．－75 D.75
答案：C
解析：由已知得cos α＋sin α＝75，∴cos α－sin α＝－75
.
5．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin(θ－5π)sin ()
A.43B ．±310C.310D ．－310
答案：C
解析：由sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，可得tan θ＝3，∴sin(θ－(－sin θ)(－cos θ)＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝310.
6．已知＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于()A ．－33 B.33C ．－3 D.3
答案：C
解析：由sin φ＝32，得sin φ＝－32.又|φ|<π2，∴φ＝－π3
，∴tan φ＝－ 3.二、填空题
7．sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)sin(－1050°)＋tan945°＝________.
答案：2
解析：原式＝－sin1200°cos(210°＋3×360°)－cos1020°sin1050°＋tan(225°＋2×360°)
＝－sin(120°＋3×360°)cos210°－cos(－60°＋3×360°)
sin(－30°＋3×360°)＋tan225°
＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(－60°)
sin(＋45°)
1＝2.
－sin (－α)＋cos (π＋α)
________.答案：2
解析：由tan(3π＋α)＝2，得tan α＝2，所以原式＝－sin α＋(－cos α)＋cos α－2(－sin α)sin α－cos α＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2.9．已知函数f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2－2a sin πx 2，若f (3)＝6，则a ＝________.答案：152
解析：f (x )为奇函数，所以f (－3)＝－6，即f (－3)＝9－2a sin －3π2
＝9＋2a sin 3π2＝9－2a ＝－6，∴a ＝152.三、解答题。