“胡不归模型”——中考最值专题.doc

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九年级培优专题：经典几何模型——“胡不归”

经典几何模型——“阿氏圆”与“胡不归” 一．“胡不归”模型典故从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。

由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径 A →B （如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。

邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…何以归”。

这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。

二.“胡不归”模型建立如图所示，已知sin ∠MBN =k ，点 P 为角∠MBN 其中一边 BM 上的一个动点，点A 在射线BM 、BN 的同侧，连接AP ，则当“PA +k ·PB ”最小时，P 点的位置如何确定? 分析：本题的关键在于如何确定“k ·PB ”的大小，过点P 作 PQ ⊥BN 垂足为Q ，则 k ·PB =PB ·sin ∠MBN =PQ , “PA +k ·PB ”的最小值转化为求“PA +PQ ”的最小值，即A 、P 、Q 三点共线时最小。

三.“胡不归”模型破解策略“胡不归”构造某角正弦值等于系数k （k 小于1）当k 值大于1时，则提取k ，构造某角正弦值等于系数k1 起点构造所需角（k =sin ∠CAE ）→过终点作所构角边的垂线→利用垂线段最短解决四.“胡不归”典型例题讲解1.四边形ABCD 是菱形，AB =6，且∠ABC =60°，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点,则 AM +21BM 的最小值为 . 变式思考：(1)本题如要求“2AM +BM ”的最小值你会求吗？(2)本题如要求“AM +BM +CM ”的最小值你会求吗？A DBC 沙砾地带2.如图，等腰△ABC 中，AB =AC =3，BC =2，BC 边上的高为AO ，点D为射线AO 上一点，一动点P 从点A 出发，沿AD -DC 运动，动点P 在AD 上运动速度3个单位每秒，动点P 在CD 上运动的速度为1个单位每秒，则当AD = 时，运动时间最短为秒.3.如图，在菱形ABCD 中，AB =6，且∠ABC =150°，点P 是对角线AC 上的一个动点，则P A +2PB 的最小值为 .用费马点思想做下试试4.如图，在△ACE 中，CA =CE ，∠CAE =30°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上。

最值模型之胡不归(学生版)-中考数学专题解析

最值模型之胡不归“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。

1.当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理(见专题08);2.当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。

此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。

即点P在直线上运动和点P 在圆上运动。

(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题(见专题11)。

胡不归：【模型建立】如图1：P是直线BC上的一动点，求PA+k·PB的最小值。

【作法】1.作∠CBE=α，使sinα=k,则PD=k·OP(图2)2.当AD最短，AD⊥BE时，则P为要求点。

(图3)AD长即为PA+k·PB的最小值.简记:胡不归,正弦作个角,作高求长即可.特别提醒：当k>1时，kAP+BP=k AP+1k BP按常规模型算即可1∠AOB=30°，OM=2，D为OB上动点，求MD+12OD的最小值．2(1)【问题探究】如图1，点E是等边△ABC高AD上的一定点，请在AB上找一点F，使EF=12AE，并说明理由；(2)【问题解决】如图2，在△ACD中，CO⊥AD，垂足为O，若AD=32，AC=2，OC=3，点P在OC上，求DP+12PC的最小值．(3)【问题拓展】如图3，△ABC中，AB=AC=10，tan∠A=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，求CD+ 55BD的最小值．1.实战训练1一．选择题(共8小题)1如图，在△ABC 中，P 为平面内的一点，连接AP 、PB 、PC ，若∠ACB =30°，AC =8，BC =10，则4PA +2PB +23PC 的最小值是()A.489B.36C.410+25+67D.1610-102如图，△ABC 为等边三角形，BD 平分∠ABC ，AB =2，点E 为BD 上动点，连接AE ，则AE +12BE 的最小值为()A.1B.2C.3D.23如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-49x 2+83x 与x 轴的正半轴交于点A ，B 点为抛物线的顶点，C 点为该抛物线对称轴上一点，则3BC +5AC 的最小值为()A.24B.25C.30D.364如图，在等边△ABC 中，AB =6，点E 为AC 中点，D 是BE 上的一个动点，则CD +12BD 的最小值是()A.3B.33C.6D.3+35如图，在菱形ABCD中，AB=AC=6，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM= 2，点P是线段BD上的一个动点，则MP+12PB的最小值是()A.2B.23C.4D.436如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，则AB=2BC．请在这一结论的基础上继续思考：若AC=2，点D是AB的中点，P为边CD上一动点，则AP+12CP的最小值为()A.1B.2C.3D.27如图，△ABC中，AB=AC=10，tan A=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD +55BD的最小值是()A.25B.45C.53D.108如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是边BC的中点，P是对角线BD上的一个动点，连接AE，AP，若AP+12BP的最小值恰好等于图中某条线段的长，则这条线段是()A.ABB.AEC.BDD.BE2二．填空题(共9小题)1如图，AC垂直平分线段BD，相交于点O，且OB=OC，∠BAD=120°．(1)∠ABC=．(2)E为BD边上的一个动点，BC=6，当AE+12BE最小时BE=2　．2如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为．3如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4的图象分别与y轴和x轴交于点A和点B．若定点P的坐标为(0，63)，点Q是y轴上任意一点，则12PQ+QB的最小值为3　．4如图，直线y=x-3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C(0，1)在y轴上，点P在x轴上运动，则2PC+PB的最小值为．5如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA=4 3，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是　649　s．6如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2-2x+c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B (0，-3)，若P是x轴上一动点，点D(0，1)在y轴上，连接PD，则C点的坐标是，2PD+PC的最小值是．7如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠BAD=30°，P为对角线AC(不含A点)上任意一点，则DP+12AP的最小值为．8如图，四边形ABCD中，AB=62，∠ABC=45°，E是BD上一点，若∠ABD=15°，则AE+12BE的最小值为．9如图，矩形OABC中，点A、C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=3，AB=1，点P为线段OA上一动点，则12OP+PB最小值为．3三．解答题(共5小题)1如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-1，0)，B(0，-3)，C(2，0)，其对称轴与x轴交于点D．(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标；(2)点M为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，求点M的坐标；(3)若P为y轴上的一个动点，连接PD，求12PB+PD的最小值．2如图抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于A(-1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线解析式．(2)连接BC，点P为BC下方上一动点，连接BP，CP．当△PBC的面积最大时，求点P的坐标和△PBC 面积的最大值．(3)点N为线段OC上一点，连接AN，求AN+12CN的最小值．3如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A、B两点，其中A(1，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线解析式；(2)如图1，过点B作x轴垂线，在该垂线上取点P，使得△PBC与△ABC相似，请求出点P坐标；(3)如图2，在线段OB上取一点M，连接CM，请求出CM+12BM的最小值．4(1)【问题探究】如图1，点E是等边△ABC高AD上的一定点，请在AB上找一点F，使EF=12AE，并说明理由；(2)【问题解决】如图2，在△ACD中，CO⊥AD，垂足为O，若AD=32，AC=2，OC=3，点P在OC上，求DP+12PC的最小值．(3)【问题拓展】如图3，△ABC中，AB=AC=10，tan∠A=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，求CD+ 55BD的最小值．。

中考数学几何最值模型专题06 胡不归模型(学生版+解析版)

胡不归模型从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他得知在家乡的年老父亲病危的消息后，便立即启程日夜赶路。

由于思念心切，他选择了全是沙砾地带的直线路径A--B （如图所示：A 是出发地，B 是目的地，AC 是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧全是沙砾地带），当他赶到父亲眼前时，老人已去世了，邻舍告诉小伙子时告诉说，老人在弥留之际还不断喃喃地叨念：胡不归?胡不归？一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BCV V +的值最小．V 2V 1MNCBA121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值．构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CH /AC =k ，CH =kAC ．CH=kACsin α=CH AC=kHDαA BCNM模型讲解将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．MNCBAαDH在求形如“PA +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA +kPB ”型问题转化为“PA +PC ”型．方法点拨题型特征：PA+kPB （P 的运动轨迹为直线）1、将所求线段和改写为“PA+a b PB”的形式（a b <1，若a b>1，提取系数，转化为小于1的形式解决）。

2、在PB 的一侧，PA 的异侧，构造一个角度α，使得sinα=ab3、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题例题演练1．如图，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝2，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则AP+PB的最小值是（）A．B．C．D．2【解答】解：如图，在△ABC内作∠MBA＝30°过点A作AE⊥BM于点E，BM交AC于点P，∵∠BAC＝15°，∴∠APE＝45°∴EP＝AP当BP⊥AE时，则AP+PB＝PE+PB的值最小，最小值是BE的长，在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，AB＝2∴BE＝AB•cos30°＝．∴AP+PB的最小值是．故选：B．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+FB的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：延长AC到点P，使CP＝AC，连接BP，过点F作FH⊥BP于点H，取AC中点O，连接OG，过点O作OQ⊥BP于点Q，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4∴AC＝CP＝2，BP＝AB＝4∴△ABP是等边三角形∴∠FBH＝30°∴Rt△FHB中，FH＝FB∴当G、F、H在同一直线上时，GF+FB＝GF+FH＝GH取得最小值∵AE⊥CD于点G∴∠AGC＝90°∵O为AC中点∴OA＝OC＝OG＝AC∴A、C、G三点共圆，圆心为O，即点G在⊙O上运动∴当点G运动到OQ上时，GH取得最小值∵Rt△OPQ中，∠P＝60°，OP＝3，sin∠P＝∴OQ＝OP＝∴GH最小值为故选：C．强化训练1．如图，AC是圆O的直径，AC＝4，弧BA＝120°，点D是弦AB上的一个动点，那么OD+BD的最小值为（）A．B．C．D．2．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE 上的一个动点，则CD+BD的最小值是．3．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝3，CD⊥AB于点D，点E是线段CD的一个动点，则BE+CE的最小值是．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝6，△BCD为等边三角形点E为△BCD围成的区域（包括各边）的一点过点E作EM∥AB，交直线AC于点M作EN∥AC交直线AB于点N，则AN+AM的最大值为．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接P A，PB，则P A+PB 的最小值为．6．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为．7．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，点E是对角线BD上的一动点，且∠BCD ＝120°，则EB+EC+AE的最小值是．1．（2021•眉山中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的最小值是．胡不归模型从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他得知在家乡的年老父亲病危的消息后，便立即启程日夜赶路。

胡不归模型整理

“胡不归模型”——中考最值专题【教学重难点】 1．“胡不归”之情景再现，模型识别 2．本质：“两定一动”型——系数不为1的最值问题处理3．三步处理：①作角；②作垂线；③计算【模块一模型识别】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路．由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A →B （如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭．邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？···”．这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”．法国著名数学家费马（Fermat ，1601－1665），他在与数学家笛卡尔讨论光的折射现象时，偶然发现，如果把胡不归故事中的小伙子看作“光粒子”，然后，根据光的折射定律建立数学模型，就可以非常巧妙地解决“胡不归”问题．费马解决“胡不归”问题的过程，告诉我们许多科学领域都是互相渗透、互为辅成的．我们应该多多涉猎各方面知识，才能最大限度提升自我，走向成功．模型识别：问题本质：操作步骤：【模块二几何类型·选择题&B 填】【例1】1．（2012·崇安模拟）如图，ABC △在平面直角坐标系中，AB =AC ，A （0，22），C （1，0），D 为射线AO 上一点，一动点P 从A 出发，运动路径为A →D →C ，点P 在AD 上的运动速度是在CD 上的3倍，要使整个过程运动时间最少，则点D 的坐标应为（）A .），（20B . ），（220C . ），（320D . ），（4202．（2015·无锡二模）如图，菱形ABCD 的对角线AC 上有一动点P ，BC =6，∠ABC =150°，则P A +PB +PD 的最小值为__________．高速公路 A D B C沙砾地带【模块三 A 20圆综合】【例2】（2015·内江）如图，在ACE △中，CA =CE ，∠CAE =30°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上．（1）试说明CE 是⊙O 的切线；（2）若ACE △中AE 边上的高为h ，试用含 h 的代数式表示⊙O 的直径AB ；（3）设点D 是线段AC 上任意一点（不含端点），连接OD ，当21CD +OD 的最小值为6时，求⊙O 的AB 的长．【模块三二次函数综合·压轴】【例3】（2014·成都改编）如图，已知抛物线(2)(4)8k y x x =+-（k 为常数，k >0）与x 轴从左至右依次交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线b x y +-=33与抛物线的另一个交点为D ．（1）若点D 的横坐标为－5，求抛物线的函数关系式；（2）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标为多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？【例4】（2015·日照改编）如图，抛物线n mx x y ++=221与直线321+-=x y 交于A 、B 两点，交x 轴于D 、C 两点，连接AC 、BC ，已知A （0，3），C （3，0）．（1）抛物线的函数关系式为____________________，tan ∠BAC =__________；（2）设E 为线段AC 上一点（不含端点），连接DE ，一动点M 从点D 出发，沿线段DE 以每秒一个单位的速度运动到E 点，再沿线段EA 以每秒2个单位的速度运动到点A 后停止，当点E 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？【例5】（2016·徐州改编）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =ax 2+bx +c 的图像经过点A （－1，0）， B （0，－3），C （2，0），其中对称轴与x 轴交于点D ．（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，则PD PB +21的最小值为__________．【例6】（2016·随州改编）已知抛物线）)(1)(3(≠-+=axxay，与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴交于点C，经过点A的直线bxy+-=3与抛物线的另一个交点为D．（1）若点D的横坐标为2，则抛物线的函数关系式为____________________；（2）在（1）的条件下，设点E是线段AD上一点（不含端点），连接BE，一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒332个单位运动到点D停止，问当点E的坐标为多少时，点Q运动的时间最少？。

特殊的平行四边形中的最值模型-胡不归模型(解析版)

特殊的平行四边形中的最值模型--胡不归模型胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。

本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。

【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.补充知识：在直角三角形中锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ，即sin A =∠A 的对边斜边。

若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形(含30°，45°，60°)的三边关系。

【模型解读】一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使AC V 2+BC V 1的值最小．(注意与阿氏圆模型的区分)1)AC V 2+BC V 1=1V 1BC +V 1V 2AC，记k =V 1V 2，即求BC +kAC 的最小值.2)构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CH AC=k ，CH =kAC ,将问题转化为求BC +CH 最小值.3)过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．【解题关键】在求形如“PA +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA +kPB ”型问题转化为“PA +PC ”型．(若k >1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可)。

中考数学几何最值模型第2讲胡不归问题

∴△ABP是等边三角形，∴∠FBH=30°
1
∴Rt△FHB中， = 2
∵Rt△OPQ中，∠P=60°，OP=3,sin∠P= =
3
∴OQ= 2 P=
故选：C.
3 3
-1
2
A
O
C
1
∴当G、F、H在同一直线上时， GF + 2 =GF+FH取得最小值
∵AE⊥CD于点G,∴∠AGC=90°
1
∴ OD + 的最小值为 3。
2
故选B.
3
2
D. 1 + 5
K
E
M
举一反三
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，点D、F分别是边AB、BC上的动点，连接CD，过点A作
1
AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF,则GF + 2 的最小值是（ C ）
A
A. 3 − 1
0， − 3
程的时间最短，则点G的坐标为______.
y
【解答】解：如图作GM⊥AB于点M,设电子虫在CG上的速度
为V，电子虫走完全程的时间 =
AC
CG
+
2

1 AG
+
2
=
，
1
B O
C
x
在Rt△AMG中，GM = 2 ，
y
1
∴电子虫走完全程的时间t = GM + ，
A
当C,G,M共线时，且CM⊥AB时，GM+CG最短，
∴BC= 2 + C 2 =
12 + 2 − 3
2
A
G
P
= 6 − 2,

中考数学经典几何模型之胡不归最值模型(解析版)

中考数学经典几何模型之胡不归最值模型(解析版)在数学中，经典几何模型是考试中经常出现的题型之一。

其中，胡不归最值模型是一种常见的最值问题。

这类问题通常涉及到形如“PA+kP”的式子，可以分为两类问题：胡不归问题和阿氏圆问题。

胡不归问题的故事源于一个少年外出求学，得知父亲病危后，他立即赶回家。

虽然他所在的位置到家的路上有一片砂石地，但他仍然义无反顾地走了这条路。

当他到家时，父亲已经去世了，他深感悔恨并痛哭流涕。

邻居告诉他，父亲在临终前一直念叨着“胡不归？胡不归？……”（“胡”同“何”）。

这个故事启发我们思考如何求解“PA+kP”型问题中的最值。

以胡不归问题为例，我们需要求解一个动点P在直线MN 外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使得AC+BC的值最小，即求BC+kAC的最小值。

为了解决这个问题，我们可以构造射线AD使得sin∠DAN=k，即CH=kAC。

这样，我们可以将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小。

在解决“PA+kP”型问题时，关键是构造与kP相等的线段，将“PA+kP”型问题转化为“PA+PC”型。

而这里的P必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kP的等线段。

举个例子，如图所示，在△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值为5.这个问题的关键在于处理“CD+BD”的式子，考虑tanA=2，△ABE三边之比为1:2:5，sin ABE⊥AB交AB于H点，则DH=BD/5.通过构造HD，我们可以将问题转化为求CD+CH的最小值，其中CH=kAC，k=sin∠DAN=BD/5.过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即CD+BD的最小值为5.综上所述，胡不归最值模型是一类常见的最值问题。

中考数学特殊的平行四边形中的最值模型胡不归模型

本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。

【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？” 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.补充知识：在直角三角形中锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin 。

若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。

【模型解读】一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21A CBC V V +的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）1）121121=V A C B C B C A C V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V kV =，即求BC +kAC 的最小值.2）构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，C H kA C=，CH =kAC ,将问题转化为求BC +CH 最小值.3）过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．【解题关键】在求形如“P A +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“P A +kPB ”型问题V 1V 2V 1驿道砂石地ABCV 2V 1MNCBA转化为“P A+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。

(新)中考数学几何模型--胡不归最值模型(答案解析版)

V 2V 1MNCBACH=kACsin α=CH AC=kHDαA BCNM 中考数学几何模型10：胡不归最值模型名师点睛拨开云雾开门见山在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如P A +PB 最值，除此之外我们还可能会遇上形如“P A +kP ”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆．【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）而如果先沿着驿道AC 先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？V 1V 2V 1驿道砂石地ABC【模型建立】如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BCV V +的值最小．【问题分析】121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值．【问题解决】构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，即CHk AC=，CH =kAC ．将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．M【模型总结】在求形如“P A +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“P A +kPB ”型问题转化为“P A +PC ”型．而这里的PB 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB 的等线段．典题探究启迪思维探究重点例题1. 如图，△ABC 中，AB =AC =10，tan A =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD 的最小值是_______．ABCDEHEDCBA ABCDEH【分析】本题关键在于处理”，考虑tan A =2，△ABE 三边之比为1:2sin ∠，故作DH ⊥AB 交AB 于H 点，则DH =．问题转化为CD +DH 最小值，故C 、D 、H 共线时值最小，此时CD DH CH BE +===【小结】本题简单在于题目已经将BA 线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH ，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．αsin α5HEDC BAEDCB变式练习>>>1．如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB =60°，AB =6，BC =2，P 为边CD 上的一动点，则PB +的最小值等于________．A B CD PMHPD CBA A BCD PHM【分析】考虑如何构造“32PD”，已知∠A=60°，且sin60°=32，故延长AD，作PH⊥AD延长线于H点，即可得32PH PD，将问题转化为：求PB+PH最小值．当B、P、H三点共线时，可得PB+PH取到最小值，即BH的长，解直角△ABH即可得BH长．例题2. 如图，AC是圆O的直径，AC＝4，弧BA＝120°，点D是弦AB上的一个动点，那么OD+BD的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵的度数为120°，∴∠C＝60°，∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴∠A＝30°，作BK∥CA，DE⊥BK于E，OM⊥BK于M，连接OB．∵BK∥AC，∴∠DBE＝∠BAC＝30°，在Rt△DBE中，DE＝BD，∴OD+BD＝OD+DE，根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，OD+BD的值最小，最小值为OM，∵∠BAO＝∠ABO＝30°，∴∠OBM＝60°，在Rt△OBM中，∵OB＝2，∠OBM＝60°，∴OM＝OB•sin60°＝，∴DB+OD的最小值为，故选：B．变式练习>>>2．如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为2，则BC＝﹣．【解答】解：如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴∠BAP＝∠CAP，∵P A＝P A，∴△BAP≌△CAP（SAS），∴PC＝PB，∵MG＝PB，AG＝AP，∠GAP＝60°，∴△GAP是等边三角形，∴P A＝PG，∴P A+PB+PC＝CP+PG+GM，∴当M，G，P，C共线时，P A+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，∵AP+BP+CP的最小值为2，∴CM＝2，∵∠BAM＝60°，∠BAC＝30°，∴∠MAC＝90°，∴AM＝AC＝2，作BN⊥AC于N．则BN＝AB＝1，AN＝，CN＝2﹣，∴BC＝＝＝﹣．故答案为﹣．例题3. 等边三角形ABC的边长为6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中BC边在x轴上，BC 边的高OA在Y轴上．一只电子虫从A出发，先沿y轴到达G点，再沿GC到达C点，已知电子虫在Y 轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍，若电子虫走完全程的时间最短，则点G的坐标为（0，）．【解答】解：如图作GM⊥AB于M，设电子虫在CG上的速度为v，电子虫走完全全程的时间t＝+＝（+CG），在Rt△AMG中，GM＝AG，∴电子虫走完全全程的时间t＝（GM+CG），当C、G、M共线时，且CM⊥AB时，GM+CG最短，此时CG＝AG＝2OG，易知OG＝•×6＝所以点G的坐标为（0，﹣）．故答案为：（0，﹣）．变式练习>>>3．如图，△ABC在直角坐标系中，AB＝AC，A（0，2），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P 从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）解：假设P在AD的速度为3V，在CD的速度为1V，总时间t＝+＝（+CD），要使t最小，就要+CD最小，因为AB＝AC＝3，过点B作BH⊥AC交AC于点H，交OA于D，易证△ADH∽△ACO，所以＝＝3，所以＝DH，因为△ABC是等腰三角形，所以BD＝CD，所以要+CD最小，就是要DH+BD最小，就要B、D、H三点共线就行了．因为△AOC∽△BOD，所以＝，即＝，所以OD＝，所以点D的坐标应为（0，）．例题4. 直线y＝与抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与抛物线的对称轴交于点C，抛物线的顶点为D（点D在点C的下方），设点B的横坐标为t（1）求点C的坐标及线段CD的长（用含m的式子表示）；（2）直接用含t的式子表示m与t之间的关系式（不需写出t的取值范围）；（3）若CD＝CB．①求点B的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点F，使BF+CF的值最小，则满足条件的点F的坐标是（3，）．【解答】解：（1）抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3的对称轴为x＝3，令x＝3，则有y＝×3＝4，即点C的坐标为（3，4）．抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3的顶点D的坐标为（3，﹣4m+3），∵点D在点C的下方，∴CD＝4﹣（﹣4m+3）＝4m+1．（2）∵点B在直线y＝上，且其横坐标为t，则点B的坐标为（t，t），将点B的坐标代入抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3中，得：t＝（t﹣3）2﹣4m+3，整理，得：m＝﹣t+3．（3）①依照题意画出图形，如图1所示．过点C作CE∥x轴，过点B作BE∥y轴交CE于点E．∵直线BC的解析式为y＝x，∴BE＝CE，由勾股定理得：BC＝＝CE．∵CD＝CB，∴有4m+1＝（t﹣3）＝（+﹣3），解得：m＝﹣4，或m＝1．当m＝﹣4时，+4×（﹣4）＝﹣＜0，不合适，∴m＝1，此时t＝+＝6，y＝×6＝8．故此时点B的坐标为（6，8）．②作B点关于对称轴的对称点B′，过点F作FM⊥BC于点M，连接B′M、BB交抛物线对称轴于点N，如图2所示．∵直线BC的解析式为y＝x，FM⊥BC，∴tan∠FCM＝＝，∴sin∠FCM＝．∵B、B′关于对称轴对称，∴BF＝B′F，∴BF+CF＝B′F+FM．当点B′、F、M三点共线时B′F+FM最小．∵B点坐标为（6，8），抛物线对称轴为x＝3，∴B′点的坐标为（0，8）．又∵B′M⊥BC，∴tan∠NB′F＝，∴NF＝B′N•tan∠NB′F＝，∴点F的坐标为（3，）．故答案为：（3，）．变式练习>>>4．如图1，在平面直角坐标系中将y＝2x+1向下平移3个单位长度得到直线l1，直线l1与x轴交于点C；直线l2：y＝x+2与x轴、y轴交于A、B两点，且与直线l1交于点D．（1）填空：点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，2）；（2）直线l1的表达式为y＝2x﹣2；（3）在直线l1上是否存在点E，使S△AOE＝2S△ABO？若存在，则求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如图2，点P为线段AD上一点（不含端点），连接CP，一动点H从C出发，沿线段CP以每秒1个单位的速度运动到点P，再沿线段PD以每秒个单位的速度运动到点D后停止，求点H在整个运动过程中所用时间最少时点P的坐标．【解答】解：（1）直线l2：y＝x+2，令y＝0，则x＝﹣2，令y＝0，则x＝2，故答案为（﹣2，0）、（0，2）；（2）y＝2x+1向下平移3个单位长度得到直线l1，则直线l1的表达式为：y＝2x﹣2，故：答案为：y＝2x﹣2；（3）∵S△AOE＝2S△ABO，∴y E＝2OB＝4，将y E＝4代入l1的表达式得：4＝2x﹣2，解得：x＝3，则点E的坐标为（3，4）；（4）过点P、C分别作y轴的平行线，分别交过点D作x轴平行线于点H、H′，H′C交BD于点P′，直线l2：y＝x+2，则∠ABO＝45°＝∠HBD，PH＝PD，点H在整个运动过程中所用时间＝+＝PH+PC，当C、P、H在一条直线上时，PH+PC最小，即为CH′＝6，点P坐标（1，3），故：点H在整个运动过程中所用最少时间为6秒，此时点P的坐标（1，3）．例题5. 已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在（1）的条件下，抛物线上存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？【解答】解：（1）∵y＝a（x+3）（x﹣1），∴点A的坐标为（﹣3，0）、点B两的坐标为（1，0），∵直线y＝﹣x+b经过点A，∴b＝﹣3，∴y＝﹣x﹣3，当x＝2时，y＝﹣5，则点D的坐标为（2，﹣5），∵点D在抛物线上，∴a（2+3）（2﹣1）＝﹣5，解得，a＝﹣，则抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵A的坐标为（﹣3，0），C（0，3），∴直线AC的解析式为：y＝x+3，①∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形，∴CP⊥AC，∴设直线CP的解析式为：y＝﹣x+m，把C（0，3）代入得m＝3，∴直线CP的解析式为：y＝﹣x+3，解得，（不合题意，舍去），∴P（﹣，）；②∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形，∴AP⊥AC，∴设直线CP的解析式为：y＝﹣x+n，把A（﹣3，0）代入得n＝﹣，∴直线AP的解析式为：y＝﹣x﹣，解y＝得，，∴P（，﹣），综上所述：点P的坐标为（﹣，）或（，﹣）；（3）如图2中，作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，则tan∠DAN＝＝＝，∴∠DAN＝60°，∴∠EDF＝60°，∴DE＝＝EF，∴Q的运动时间t＝+＝BE+32DE=BE+EF，∴当BE和EF共线时，t最小，则BE⊥DM，此时点E坐标（1，﹣4）．变式练习>>>5．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（2，0）、B（﹣8，0），交y轴于点C，过点A、B、C三点的⊙M与y轴的另一个交点为D．（1）求此抛物线的表达式及圆心M的坐标；（2）设P为弧BC上任意一点（不与点B，C重合），连接AP交y轴于点N，请问：AP•AN是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；（3）延长线段BD交抛物线于点E，设点F是线段BE上的任意一点（不含端点），连接AF．动点Q 从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到点F，再沿线段FB以每秒个单位的速度运动到点B后停止，问当点F的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？【解答】解：（1）抛物线解析式为y＝﹣（x+8）（x﹣2），即y＝﹣x2﹣x+4；当x＝0时，y＝﹣x2﹣x+4＝4，则C（0，4）∴BC＝4，AC＝2，AB＝10，∵BC2+AC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，∴AB为直径，∴圆心M点的坐标为（﹣3，0）；（2）以AP•AN为定值．理由如下：如图1，∵AB为直径，∴∠APB＝90°，∵∠APB＝∠AON，∠NAO＝∠BAP，∴△APB∽△AON．∴AN：AB＝AO：AP，∴AN•AP＝AB•AO＝20，所以AP•AN为定值，定值是20；（3）∵AB ⊥CD ，∴OD ＝OC ＝4，则D （0，﹣4），易得直线BD 的解析式为y ＝﹣x ﹣4，过F 点作FG ⊥x 轴于G ，如图2， ∵FG ∥OD ，∴△BFG ∽△BDO ， ∴＝，即＝＝＝，∴点Q 沿线段FB 以每秒个单位的速度运动到点B 所用时间等于点Q 以每秒1个单位的速度运动到G 点的时间，∴当AF +FG 的值最小时，点Q 在整个运动过程中所用时间最少，作∠EBI ＝∠ABE ，BI 交y 轴于I ，作FH ⊥BI 于H ，则FH ＝FG ，∴AF +FG ＝AF +FH ，当点A 、F 、H 共线时，AF +FH 的值最小，此时AH ⊥BI ，如图2，作DK ⊥BI ，垂足为K ，∵BE 平分∠ABI ，∴DK ＝DO ＝4，设DI ＝m ， ∵∠DIK ＝∠BIO ，∴△IDK ∽△IBO ， ∴＝＝＝，∴BI ＝2m ，在Rt △OBI 中，82+（4+m ）2＝（2m ）2，解得m 1＝4（舍去），m 2＝，∴I （0，﹣），设直线BI 的解析式为y ＝kx +n ，把B （﹣8，0），I （0，﹣）代入得，解得，∴直线BI 的解析式为y ＝﹣x ﹣，∵AH ⊥BI ，∴直线AH 的解析式可设为y ＝x +q ，把A （2，0）代入得+q ＝0，解得q ＝﹣，∴直线AH 的解析式为y ＝x ﹣，解方程组，解得，∴F （﹣2，﹣3），即当点F 的坐标是（﹣2，﹣3）时，点Q 在整个运动过程中所用时间最少．达标检测领悟提升强化落实1. 如图，在平面直角坐标系中，点()3,3A ，点P 为x 轴上的一个动点，当OP AP 21+最小时，点P 的坐标为___________. [答案]：()0,2P2. 如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，点M 为对角线BD （不含点B ）上的一动点，则BM AM 21的最小值为___________.[答案]：323. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点A （﹣1，0），B （0，﹣），C （2，0），其对称轴与x 轴交于点D ．（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）点M 为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为菱形，求点M 的坐标；（3）若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，求PB +PD 的最小值．【解答】解：（1）由题意，解得，∴抛物线解析式为y ＝x 2﹣x ﹣，∵y ＝x 2﹣x ﹣＝（x ﹣）2﹣，∴顶点坐标（，﹣）；（2）设点M 的坐标为（，y ）．∵A （﹣1，0），B （0，﹣），∴AB 2＝1+3＝4．①以A 为圆心AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM ＝AB ，则（+1）2+y 2＝4，解得y ＝±，即此时点M 的坐标为（，）或（，﹣）；②以B 为圆心AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM ＝AB ，则（）2+（y +）2＝4，解得y ＝﹣+或y ＝﹣﹣，即此时点M的坐标为（，﹣+）或（，﹣﹣）；③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM＝BM，则（+1）2+y2＝（）2+（y+）2，解得y＝﹣，即此时点M的坐标为（，﹣）．综上所述，满足条件的点M的坐标为（，）或（，﹣）或（，﹣+）或（，﹣﹣）或（，﹣）；（3）如图，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．理由：∵OA＝1，OB＝，∴tan∠ABO＝＝，∴∠ABO＝30°，∴PH＝PB，∴PB+PD＝PH+PD＝DH，∴此时PB+PD最短（垂线段最短）．在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD＝，∠HAD＝60°，∴sin60°＝，∴DH＝，∴PB+PD的最小值为．4. 【问题提出】如图①，已知海岛A到海岸公路BD的距离为AB的长度，C为公路BD上的酒店，从海岛A到酒店C，先乘船到登陆点D，船速为a，再乘汽车，车速为船速的n倍，点D选在何处时，所用时间最短？【特例分析】若n＝2，则时间t＝+，当a为定值时，问题转化为：在BC上确定一点D，使得+的值最小．如图②，过点C做射线CM，使得∠BCM＝30°．（1）过点D作DE⊥CM，垂足为E，试说明：DE＝；（2）请在图②中画出所用时间最短的登陆点D′．【问题解决】（3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图①中的问题．（写出具体方案，如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等）【综合运用】（4）如图③，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，E为OB中点，设F为线段BC上一点（不含端点），连接EF．一动点P从E出发，沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿着线段FC以每秒个单位的速度运动到C后停止．若点P在整个运动过程中用时最少，请求出最少时间和此时点F的坐标．【解答】解：（1）如图①，∵DE⊥CM，∴∠DEC＝90°，在Rt△BCM中，DE＝CD sin30°＝CD；（2）如图①过点A作AE′⊥CM交BC于点D′，则点D′即为所用时间最短的登陆点；（3）如图②，过点C作射线CM，使得sin∠BCM＝，过点A作AE⊥CM，垂足为E交BC于点D，则点D为为所用时间最短的登陆点；（4）由题意得：t＝＝EF+CF，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，过点F作GF⊥CD交CD于点G，∠ACB＝∠DCB＝α，sin∠ABC＝＝，则EF＝CF，EF+CF＝EF+FH，故当E、F、H三点共线且与CD垂直时，t最小，将点B、C坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，点E是OB中点，其坐标为：（3，0），当x＝3时，对于y＝﹣x+3，y＝，点F坐标为（3，），t＝＝EF+CF，当H、F、E三点共线时，EF+FH＝OC＝3，即：最小时间为3秒．5. 如图，△ABC是等边三角形．（1）如图1，AH⊥BC于H，点P从A点出发，沿高线AH向下移动，以CP为边在CP的下方作等边三角形CPQ，连接BQ．求∠CBQ的度数；（2）如图2，若点D为△ABC内任意一点，连接DA，DB，DC．证明：以DA，DB，DC为边一定能组成一个三角形；（3）在（1）的条件下，在P点的移动过程中，设x＝AP+2PC，点Q的运动路径长度为y，当x取最小值时，写出x，y的关系，并说明理由．【解答】（1）解：如图1中∵△ABC是等边三角形，AH⊥BC，∴∠CAP＝∠BAC＝30°，CA＝CB，∠ACB＝60°，∵△PCQ是等边三角形，∴CP＝CQ，∠PCQ＝∠ACB＝60°，∴∠ACP＝∠BCQ，∴△ACP≌△BCQ，∴∠CBQ＝∠CAP＝30°．（2）证明：如图2中，将△ADC绕当A顺时针旋转60°得到△ABQ，连接DQ．∵△ACD≌△ABQ，∴AQ＝AD，CD＝BQ，∵∠DAQ＝60°，∴△ADQ是等边三角形，∴AD＝DQ，∴DA，DB，DC为边一定能组成一个三角形（图中△BDQ）．（3）如图3中，作PE⊥AB于E，CF⊥AB于F交AH于G．∵PE＝P A，∴P A+2PC＝2（P A+PC）＝2（PE+PC），根据垂线段最短可知，当E与F重合，P与G重合时，P A+2PC的值最小，最小值为2CF．由（1）可知△ACP≌△BCQ，可得BQ＝P A，∴P A＝BQ＝AG＝CG＝y，FG＝y，∴x＝2（y+y），∴y＝x．6. 如图，已知抛物线y＝（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F 的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？【解答】解：（1）抛物线y＝（x+2）（x﹣4），令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．∵直线y＝﹣x+b经过点B（4，0），∴﹣×4+b＝0，解得b＝，∴直线BD解析式为：y＝﹣x+．当x＝﹣5时，y＝3，∴D（﹣5，3）．∵点D（﹣5，3）在抛物线y＝（x+2）（x﹣4）上，∴（﹣5+2）（﹣5﹣4）＝3，∴k＝．∴抛物线的函数表达式为：y＝（x+2）（x﹣4）．即y＝x2﹣x﹣．（2）由抛物线解析式，令x＝0，得y＝﹣k，∴C（0，﹣k），OC＝k．因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△P AB．①若△ABC∽△APB，则有∠BAC＝∠P AB，如答图2﹣1所示．设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．tan∠BAC＝tan∠P AB，即：，∴y＝x+k．∴P（x，x+k），代入抛物线解析式y＝（x+2）（x﹣4），得（x+2）（x﹣4）＝x+k，整理得：x2﹣6x﹣16＝0，解得：x＝8或x＝﹣2（与点A重合，舍去），∴P（8，5k）．∵△ABC∽△APB，∴，即，解得：k＝．②若△ABC∽△P AB，则有∠ABC＝∠P AB，如答图2﹣2所示．设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．tan∠ABC＝tan∠P AB，即：＝，∴y＝x+．∴P（x，x+），代入抛物线解析式y＝（x+2）（x﹣4），得（x+2）（x﹣4）＝x+，整理得：x2﹣4x﹣12＝0，解得：x＝6或x＝﹣2（与点A重合，舍去），∴P（6，2k）．∵△ABC∽△P AB，＝，∴＝，解得k＝±，∵k＞0，∴k＝，综上所述，k＝或k＝．（3）方法一：如答图3，由（1）知：D（﹣5，3），如答图2﹣2，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN＝3，ON＝5，BN＝4+5＝9，∴tan∠DBA＝＝＝，∴∠DBA＝30°．过点D作DK∥x轴，则∠KDF＝∠DBA＝30°．过点F作FG⊥DK于点G，则FG＝DF．由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t＝AF+DF，∴t＝AF+FG，即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值．由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．过点A作AH⊥DK于点H，则t最小＝AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点．∵A点横坐标为﹣2，直线BD解析式为：y＝﹣x+，∴y＝﹣×（﹣2）+＝2，∴F（﹣2，2）．综上所述，当点F坐标为（﹣2，2）时，点M在整个运动过程中用时最少．方法二：作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直线BD于点F，∵∠DBA＝30°，∴∠BDH＝30°，∴FH＝DF×sin30°＝，∴当且仅当AH⊥DK时，AF+FH最小，点M在整个运动中用时为：t＝，∵l BD：y＝﹣x+，∴F X＝A X＝﹣2，∴F（﹣2，）．7. 已如二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象和x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，（1）如图1，P是直线BC上方抛物线上一动点（不与B、C重合）过P作PQ∥x轴交直线BC于Q，求线段PQ的最大值；（2）如图2，点G为线段OC上一动点，求BG+CG的最小值及此时点G的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，M为直线BG上一动点，N为x轴上一动点，连接AM，MN，求AM+MN 的最小值．【解答】解：（1）令y＝0，即：﹣x2+2x+3＝0，解得：x＝3或﹣1，即点A、B的坐标分比为（﹣1，0）、（3，0），令x＝0，则y＝3，则点C的坐标为（0，3），直线BC过点C（0，3），则直线表达式为：y＝kx+3，将点B坐标代入上式得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1，则直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点P的坐标为（m，n），n＝﹣m2+2m+3，则点Q坐标为（3﹣n，n），则PQ＝m﹣（3﹣n）＝﹣m2+3m，∵a＝﹣1＜0，则PQ有最大值，当m＝﹣＝，PQ取得最大值为；（2）过直线CG作∠GCH＝α，使CH⊥GH，当sinα＝时，HG＝GC，则BG+CG的最小值即为HG+GB的最小值，当B、H、G三点共线时，HG+GB最小，则∠GBO＝α，∵sinα＝，则cosα＝，tanα＝，OG＝OB•tanα＝3×＝，即点G（0，），CG＝3﹣＝，而BG＝，BG+CG的最小值为：；（3）作点A关于直线BG的对称点A′，过A′作A′N⊥x轴，交BG于点M，交x轴于点N，则此时AM+MN取得最小值，即为A′N的长度，则：∠GBA＝∠AA′N＝∠OGB＝α，AA ′＝2AB sin ∠ABG ＝2×4×sin α＝，A ′N ＝A ′A cos α＝×＝，即：AM +MN 的最小值为．8. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝4，点D 、F 分别是边AB ，BC 上的动点，连接CD ，过点A 作AE ⊥CD 交BC 于点E ，垂足为G ，连接GF ，则GF +FB 的最小值是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：延长AC 到点P ，使CP ＝AC ，连接BP ，过点F 作FH ⊥BP 于点H ，取AC 中点O ，连接OG ，过点O 作OQ ⊥BP 于点Q ， ∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AB ＝4，∴AC ＝CP ＝2，BP ＝AB ＝4 ∴△ABP 是等边三角形，∴∠FBH ＝30° ∴Rt △FHB 中，FH ＝FB∴当G 、F 、H 在同一直线上时，GF +FB ＝GF +FH ＝GH 取得最小值 ∵AE ⊥CD 于点G ，∴∠AGC ＝90° ∵O 为AC 中点，∴OA ＝OC ＝OG ＝AC∴A 、C 、G 三点共圆，圆心为O ，即点G 在⊙O 上运动 ∴当点G 运动到OQ 上时，GH 取得最小值 ∵Rt △OPQ 中，∠P ＝60°，OP ＝3，sin ∠P ＝ ∴OQ ＝OP ＝，∴GH 最小值为故选：C ．9. 抛物线2623663y x x =--+与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ．点P 是直线AC 上方抛物线上一点，PF ⊥x 轴于点F ，PF 与线段AC 交于点E ；将线段OB 沿x 轴左右平移，线段OB 的对应线段是O 1B 1，当12PE EC +的值最大时，求四边形PO 1B 1C 周长的最小值，并求出对应的点O 1的坐标．E B 1O 1P A BCFy xO【分析】根据抛物线解析式得A ()32,0-、B ()2,0、C ()0,6，直线AC 的解析式为：363y x =+，可知AC 与x 轴夹角为30°．根据题意考虑，P 在何处时，PE +2EC取到最大值．过点E 作EH ⊥y 轴交y 轴于H 点，则∠CEH =30°，故CH =2EC，问题转化为PE +CH 何时取到最小值．考虑到PE 于CH 并无公共端点，故用代数法计算，设2623,663P m m m ⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭，则3,63E m m ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，30,63H m ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，2636PE m m =--，33CH m =-，()22643646=226363PE CH m m m +=---++∴当PE +EC 的值最大时，x ＝﹣2，此时P （﹣2，），∴PC ＝2，∵O 1B 1＝OB ＝，∴要使四边形PO 1B 1C 周长的最小，即PO 1+B 1C 的值最小，如图2，将点P 向右平移个单位长度得点P 1（﹣，），连接P 1B 1，则PO 1＝P 1B 1，再作点P 1关于x 轴的对称点P 2（﹣，﹣），则P 1B 1＝P 2B 1， ∴PO 1+B 1C ＝P 2B 1+B 1C ，∴连接P 2C 与x 轴的交点即为使PO 1+B 1C 的值最小时的点B 1， ∴B 1（﹣，0），将B 1向左平移个单位长度即得点O 1，此时PO 1+B 1C ＝P 2C ＝＝，对应的点O 1的坐标为（﹣，0），∴四边形PO 1B 1C 周长的最小值为+3.H O yFC BA P O 1B 1EC 1O yF CBAP O 1B 1E。

中考数学几何最值模型第2讲胡不归问题

2
0，
4
径为A>>D>>C,点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为________.
y
A
D
B
C
X
【解析】假设P在AD上的速度为3V,在CD上的速度为V,总时间

1
AD
=
+ =
+ CD , 要使得t最小，就要 + 最小，
3

3
3
∵AB=AC=3，过点B作BH⊥AC交AC于点H,交OA于点D,
【模型总结】
在求解形如“PA + k ∙ ”的式子的最值问题中，关键是构造与相
等的线段，将“PA + k ∙ ”型问题转化为“PA + ”型．而这
里的必须是一条方向不变的线段，方能构造出定角，并利用三角
函数得到k ∙ 的等线段．
CH

= , = ∙
2、胡不归问题-模型总结
CD+DH的最小值。故C、D、H共线时值最小，此时
CD+DH=CH=BE=4 5.
【小结】本题题干已将BA线作出，只需要分析三角函数值，
作出垂线DH,即可解决问题，若稍加改变，将图形改造如
B
下：则需自行构造α，如右图，这正是解决 “胡不归”问
题的关键所在。
A
E
D
=

H
E
D
α
C
B
C
牛刀小试
不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）而如果先沿着驿道AC先走一段，再走
砂石地，会不会更早些到家？
【模型建立】
如图，一动点P在直线MN外的运动速度为v1 ，在直线MN上运动的速度为

中考数学常见几何模型专题10 最值模型-胡不归问题(原卷版)

专题10 最值模型---胡不归问题最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，可将胡不归问题看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想。

在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。

本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

在解决胡不归问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短。

【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.【模型解读】一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BCV V +的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）1）121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值. 2）构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CHk AC=，CH =kAC ,将问题转化为求BC +CH 最小值. 3）过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．【解题关键】在求形如“P A +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“P A +kPB ”型问题转化为“P A +PC ”型．（若k >1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。

【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。

2驿道V 2V 1MNCBA例1．（2022·内蒙古·中考真题）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，△CAB ＝30°，AD △BC ，垂足为D ，P 为线段AD 上的一动点，连接PB 、PC ．则P A +2PB 的最小值为 _____．例2．（2022·湖北武汉·一模）如图，在ACE △中，CA CE =，30CAE ∠=︒，半径为5的O 经过点C ，CE是圆O 的切线，且圆的直径AB 在线段AE 上，设点D 是线段AC 上任意一点(不含端点)，则12OD CD +的最小值为______．例3．（2021·眉山市·中考真题）如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是______．例4．（2022·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(0,2)，点C 的坐标是(0,2)-，点(,0)B x 是x 轴上的动点，点B 在x 轴上移动时，始终保持ABP 是等边三角形（点P 不在第二象限），连接PC ，求得12AP PC +的最小值为（）ABCD 10AB AC ==AC BD O M AC 3AM =P BD 12MP PB+A．B ．4 C．D ．2例5．（2021·资阳市·中考真题）抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P 是抛物线上位于直线上方的一点，与相交于点E ，当时，求点P 的坐标；（3）如图2，点D 是抛物线的顶点，将抛物线沿方向平移，使点D 落在点处，且，点M 是平移后所得抛物线上位于左侧的一点，轴交直线于点N ，连结的值最小时，求的长．例6．（2020·湖南·中考真题）已知直线与抛物线（b ，c 为常数，）的一个交点为，点是x 轴正半轴上的动点．（1）当直线与抛物线（b ，c 为常数，）的另一个交点为该抛物线的顶点E 时，求k ，b ，c 的值及抛物线顶点E 的坐标；（2）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为时，求b 的值．2y x bx c =-++()()1,0,0,3B C -AC BPAC :1:2PE BE =CD D 2DD CD '=D //MN y OD 'CN D N CN '+MN 2y kx =-2y x bx c =-+0b >(1,0)A -(,0)M m 2y kx =-2y x bx c =-+0b >12b +2DM +例7．（2022·四川成都·中考模拟）6．如图，已知抛物线为常数，且与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为．（1）若点的横坐标为，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点，使得以，，为顶点的三角形与相似，求的值；（3）在（1）的条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？(2)(4)(8ky x x k =+-0)k >x A B y CB y x b =+D D 5-P A B P ABC ∆k F BD AF M A AF F FD D FM课后专项训练1．（2022·河北·九年级期中）如图，在△ABC 中，∠A ＝15°，AB ＝2，P 为AC 边上的一个动点（不与A 、C 重合），连接BP ，则AP +PB 的最小值是（）A ．B ．C ．D ．22．（2022·江苏·九年级月考）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝4，点D 、F 分别是边AB ，BC 上的动点，连接CD ，过点A 作AE ⊥CD 交BC 于点E ，垂足为G ，连接GF ，则GF +FB 的最小值是（）A ．B ．C ．D ．3．（2022·山东·九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2﹣2x ＋c 的图象与x 轴交于A 、C两点，与y 轴交于点B （0，﹣3），若P 是x 轴上一动点，点D （0，1）在y 轴上，连接PD ＋PC 的最小值是（）A ．4B ．2＋C ．D ．324．（2022·重庆·九年级期中）如图所示，菱形ABCO 的边长为5，对角线OB 的长为P 为OB 上一动点，则AP 的最小值为( )A ．4B ．5C ．D ．5．（2022·浙江宁波·九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =x 轴、y 轴于A 、B 两点，若C 为x 轴上的一动点，则2BC +AC 的最小值为__________．6．（2022·湖南·九年级月考）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝6，△BCD 为等边三角形点E 为△BCD 围成的区域（包括各边）的一点过点E 作EM ∥AB ，交直线AC 于点M 作EN ∥AC 交直线AB 于点N ，则AN +AM 的最大值为．7．（2022·湖北武汉·九年级期末）如图，△ABCD 中60A ∠=︒，6AB =，2AD =，P 为边CD 上一点，则2PB +的最小值为______．8．（2022·成都市七中育才九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l 分别交x 、y 轴于B 、C 两点，点A 、C 的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且△OCB ＝60°，点P 是直线l 上一动点，连接AP ，则AP 的最小值是______．9．（2022·四川自贡·一模）如图，ABC 中，10AB AC ==，tan 2A =，BE AC ⊥于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD 的最小值是__________．10．（2022·广东·一模）已知抛物线243y xx =-+与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 点左侧），与y 轴正半轴交于点C ，点P 是直线BC 上的动点，点Q 是线段OC 上的动点．(1)求直线BC 解析式．(2)如图①，求OP ＋P A 的和取最小值时点P 的坐标． (3)如图②，求AQ ＋QP 的最小值．(4)如图③，求AQ 12+QC 的最小值．11．（2022·江苏·中考模拟）如图，抛物线与直线交于，两点，交轴于，两点，连接，，已知，．（Ⅰ）求抛物线的解析式和的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒一个单位速度运动到点，再沿线段个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动中用时最少？12．（2020·四川乐山市·中考真题）已知抛物线与轴交于，两点，为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连结，且，如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）设是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点作轴的平行线交线段于点，过点作交抛物线于点，连结、，求的面积的最大值；②连结，求的最小值．212y x mx n=++132y x=-+A B x DC AC BC(0,3)A(3,0)C tan BAC∠P y PA P PQ PA⊥y Q P A P Q ACB∆PE AC DE M DDE E EA A E M2y ax bx c=++x(1,0)A-(50)B，Cx D BC4tan3CBD∠=P P x BC EE EF PE⊥F FB FC BCF∆PB35PC PB+13．（2021·四川达州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交抛物线于点．（1）求抛物线的解析式；（2）将线段绕着点沿顺时针方向旋转得到线段，旋转角为，连接，，求的最小值．（3）为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由；14．（2022·广西·南宁三中一模）如图，二次函数21y ax bx =++的图象交x 轴于点()2,0A -、()10B ,，交y 轴于点C ，点D 是第四象限内抛物线上的动点，过点D 作//DE y 轴交x 轴于点E ，线段CB 的延长线交DE 于点M ，连接OM 、BD 交于点N ，连接AD ．（1）求二次函数的表达式；（2）当OEM DBES S =时，求点D 的坐标及sin DAE ∠；（3）在（2）的条件下，点P 是x轴上一个动点，求DP 的最小值．2y x bx c =-++x A ()1,0C y ()0,3B x E F OE О'OE ()090αα︒<<︒'AE 'BE 13''BE AE +M N A B M NN15．（2022·广东·东莞市三模）已知，如图，二次函数2y ax bx c =++图像交x 轴于(1,0)A -，交y 交轴于点(0,3)C ，D 是抛物线的顶点，对称轴DF 经过x 轴上的点(1,0)F ．（1）求二次函数关系式；（2）对称轴DF与BC 交于点M ，点P 为对称轴DF 上一动点．①求AP PD 的最小值及取得最小值时点P 的坐标； ②在①的条件下，把APF 沿着x 轴向右平移t 个单位长度(04)t ≤≤时，设APF 与MBF 重叠部分面积记为S ，求S 与t 之间的函数表达式，并求出S 的最大值．16．（2022·天津·中考模拟）如图，在△ACE 中，CA ＝CE ，∠CAE ＝30°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上．（1）证明：CE 是⊙O 的切线；（2）若△ACE 中AE 边上的高为h ，试用含h 的代数式表示⊙O 的直径AB ；（3）设点D 是线段AC 上任意一点（不含端点），连接OD ＋OD 的最小值为6时，求⊙O 的直径AB 的长．。

“胡不归模型”——中考最值专题(一).doc

“胡不归模型”——中考最值专题（一）【教学重难点】 1．“胡不归”之情景再现，模型识别 2．本质：“两定一动”型——系数不为1的最值问题处理3．三步处理：①作角；②作垂线；③计算【模块一模型识别】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路．由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A →B （如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭．邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？···”．这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”．法国著名数学家费马（Fermat ，1601－1665），他在与数学家笛卡尔讨论光的折射现象时，偶然发现，如果把胡不归故事中的小伙子看作“光粒子”，然后，根据光的折射定律建立数学模型，就可以非常巧妙地解决“胡不归”问题．费马解决“胡不归”问题的过程，告诉我们许多科学领域都是互相渗透、互为辅成的．我们应该多多涉猎各方面知识，才能最大限度提升自我，走向成功．模型识别：问题本质：操作步骤：【模块二几何类型·选择题&B 填】【例1】1．（2012·崇安模拟）如图，ABC △在平面直角坐标系中，AB =AC ，A （0，22），C （1，0），D 为射线AO 上一点，一动点P 从A 出发，运动路径为A →D →C ，点P 在AD 上的运动速度是在CD 上的3倍，要使整个过程运动时间最少，则点D 的坐标应为（）A .），（20B . ），（220C . ），（320D . ），（4202．（2015·无锡二模）如图，菱形ABCD 的对角线AC 上有一动点P ，BC =6，∠ABC =150°，则P A +PB +PD 的最小值为__________．高速公路 A D B C沙砾地带【模块三 A 20圆综合】【例2】（2015·内江）如图，在ACE △中，CA =CE ，∠CAE =30°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上．（1）试说明CE 是⊙O 的切线；（2）若ACE △中AE 边上的高为h ，试用含 h 的代数式表示⊙O 的直径AB ；（3）设点D 是线段AC 上任意一点（不含端点），连接OD ，当21CD +OD 的最小值为6时，求⊙O 的AB 的长．【模块三二次函数综合·压轴】【例3】（2014·成都改编）如图，已知抛物线(2)(4)8k y x x =+-（k 为常数，k >0）与x 轴从左至右依次交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线b x y +-=33与抛物线的另一个交点为D ．（1）若点D 的横坐标为－5，求抛物线的函数关系式；（2）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标为多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？【例4】（2015·日照改编）如图，抛物线n mx x y ++=221与直线321+-=x y 交于A 、B 两点，交x 轴于D 、C 两点，连接AC 、BC ，已知A （0，3），C （3，0）．（1）抛物线的函数关系式为____________________，tan ∠BAC =__________；（2）设E 为线段AC 上一点（不含端点），连接DE ，一动点M 从点D 出发，沿线段DE 以每秒一个单位的速度运动到E 点，再沿线段EA 以每秒2个单位的速度运动到点A 后停止，当点E 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？【例5】（2016·徐州改编）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =ax 2+bx +c 的图像经过点A （－1，0）， B （0，－3），C （2，0），其中对称轴与x 轴交于点D ．（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，则PD PB +21的最小值为__________．【例6】（2016·随州改编）已知抛物线）)(1)(3(≠-+=axxay，与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴交于点C，经过点A的直线bxy+-=3与抛物线的另一个交点为D．（1）若点D的横坐标为2，则抛物线的函数关系式为____________________；（2）在（1）的条件下，设点E是线段AD上一点（不含端点），连接BE，一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒332个单位运动到点D停止，问当点E的坐标为多少时，点Q运动的时间最少？。

动点最值之胡不归模型(解析版)中考数学几何模型专项复习与训练

专题14 动点最值之胡不归模型背景故事：从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.模型建立：将这个问题数学化，我们不妨设总时间为，由可得，提取一个得，若想总的时间最少，就要使得最小，如图，过定点A 在驿道下方作射线AE ，夹角为，且，作DG ⊥AE 于点G，则，将转化为DG ＋DB ，再过点B 作BH ⊥AE 于点H就是我们要找的点，此时DG ＋DB 的最小值为BH ，，综上，所需时间的最小值为2驿道解决思路：构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，即CHk AC=，CH =kAC ．将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．例题1. 如图，△ABC 中，AB =AC =10，tan A =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD 的最小值是_______．【解析】∵tan A =2，∴△ABE三边之比为1:2sin ∠，故作DH ⊥AB 交AB 于H点，则DH =．问题转化为CD +DH 最小值，故C 、D 、H 共线时值最小，此时CD DH CH BE +===例2.如图，△ABC 在直角坐标系中，AB ＝AC，C （1，0），D 为射线AO 上一点，一动点P 从A 出发，运动路径为A→D→C ，点P 在AD 上的运动速度是在CD 上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D 的坐标应为（）A ．（0，B ．（0） C ．（0，）D ．（0）M MABCDEHEDCBA ABCDEH【答案】D【解析】假设P在AD的速度为3V，在CD的速度为1V，总时间t＋CD最小，因为AB＝AC＝3，过点B作BH⊥AC交AC于点H，交OA于D，易证△ADH∽△ACO，所以，所以，因为△ABC是等腰三角形，所以BD＝CD，最小，就是要DH＋BD最小，就要B、D、H三点共线就行了．因为△AOC∽△BOD，所以即所以，所以点D的坐标应为.例3.如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是s．【解析】过点E作x轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，∵EH∥AB，∴∠HEB＝∠ABE，∴tan∠HED＝tan∠EBA＝，设DH＝4m，EH＝3m，则DE＝5m，∴蚂蚁从D爬到E点的时间＝4（s）若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s，则蚂蚁从D爬到H点的时间＝＝4（s），∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，∴蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s速度爬到H点的时间，作AG⊥EH于G，则AD＋DH≥AH≥AG，∴AD＋DH的最小值为AQ的长，当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），直线BE交y轴于C点，如图，在Rt△OBC中，∵tan∠CBO＝∴OC＝4，则C（0，4），设直线BE的解析式为y＝kx＋b，把B（3，0），C（0，4）代入得，解得，∴直线BE的解析式为，解方程组得或，则E，∴蚂蚁从A爬到Gs），即蚂蚁从A到E的最短时间为【变式训练1】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则PB的最小值等于________．【解析】已知∠A=60°，且，故延长AD，作PH⊥AD延长线于H点，即可得PH，∴PB=PB+PH．当B、P、H三点共线时，可得PB+PH取到最小值，即BH的长，解直角△ABH即可得BH长．【变式训练2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是.A BCD PMHPD CBA A BCD PHM【解析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，设AE＝a，BE＝2a，则有：100＝a2＋4a2，∴a2＝20，，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴∴CD＋DH≥CM，.【变式训练3】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则________．过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC//AB，∴∠QDP＝∠DAB＝60°，∴当点B、P、Q三点共线时，的最小值为.课后训练1.如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，△B＝30°，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE△CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+FB的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：延长AC到点P，使CP＝AC，连接BP，过点F作FH△BP于点H，取AC中点O，连接OG，过点O作OQ△BP于点Q，△△ACB＝90°，△ABC＝30°，AB＝4，△AC＝CP＝2，BP＝AB＝4△△ABP是等边三角形，△△FBH＝30°，△Rt△FHB中，FH＝FB△当G、F、H在同一直线上时，GF+FB＝GF+FH＝GH取得最小值△AE△CD于点G，△△AGC＝90°，△O为AC中点，△OA＝OC＝OG＝AC△A、C、G三点共圆，圆心为O，即点G在△O上运动，△当点G运动到OQ上时，GH取得最小值△Rt△OPQ中，△P＝60°，OP＝3，sin△P＝△OQ＝OP＝，△GH最小值为故选：C．2.如图，AC是圆O的直径，AC＝4，弧BA＝120°，点D是弦AB上的一个动点，那么OD+BD的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：△的度数为120°，△△C＝60°，△AC是直径，△△ABC＝90°，△△A＝30°，作BK△CA，DE△BK于E，OM△BK于M，连接OB．△BK△AC，△△DBE＝△BAC＝30°，在Rt△DBE中，DE＝BD，△OD+BD＝OD+DE，根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，OD+BD的值最小，最小值为OM，△△BAO＝△ABO＝30°，△△OBM＝60°，在Rt△OBM中，△OB＝2，△OBM＝60°，△OM＝OB•sin60°＝，△DB+OD的最小值为，故选：B．3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则＋PD的最小值为；（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有个；②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．【解答】（1）（2）；【解析】（1）由题意解得，∴抛物线解析式为，∵（2）如图，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P PB＋PD最小．理由：∵OA＝1，OB＝，∴tan∠ABO ABO＝30°，∴PH＝PB，∴＋PD＝PH＋PD＝DH，∴此时＋PD最短（垂线段最短）．在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD＝，∠HAD＝60°，∴sin60°DH＝，∴＋PD的最小值为；4.如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．（1）证明：CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD CD＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．【答案】（1）见解析；（2）（3）AB＝8【解析】（1）连接OC，如图，∵CA＝CE，∠CAE＝30°，∴∠E＝∠CAE＝30°，∠COE＝2∠A＝60°，∴∠OCE＝90°，∴CE是⊙O的切线；（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图，由题可得CH＝h．在Rt△OHC中，CH＝OC•sin∠COH，∴h＝OC•sin60°＝，∴OC＝h，∴AB＝2OC＝h；（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图，则∠AOF＝∠COF＝AOC＝（180°﹣60°）＝60°．∵OA＝OF＝OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF＝AO＝OC＝FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF＝DO．过点D作DH⊥OC于H，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴DH＝DC•sin∠DCH＝DC•sin30°＝DC，∴＋OD＝DH＋FD．根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH＋FD＋OD）最小，此时FH＝OF•sin∠FOH＝＝6，则OF＝，AB＝2OF＝．∴当＋OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为8．5.如图，已知抛物线y＝x＋2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝－＋b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？【答案】（1）；（2）或；（3）当点F坐标为（﹣2）时，点M在整个运动过程中用时最少.【解析】（1）抛物线y＝x＋2）（x﹣4），令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．∵直线经过点B（4，0），∴×4＋b＝0，解得b＝，∴直线BD当x＝﹣5时，y＝，∴D（﹣5）．∵点D（﹣5）在抛物线y＝x＋2）（x﹣4）上，∴5＋2）（﹣5﹣4）＝，∴．∴抛物线的函数表达式为：（x＋2）（x﹣4）．（2）由抛物线解析式，令x＝0，得y＝﹣k，∴C（0，﹣k），OC＝k．因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．①若△ABC∽△APB，则有∠BAC＝∠PAB，如答图2﹣1所示．设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．tan∠BAC＝tan∠PAB，∴．∴P（x x＋k），代入抛物线解析式y＝x＋2）（x﹣4），得（x＋2）（x﹣4x＋k，整理得：x2﹣6x﹣16＝0，解得：x＝8或x＝﹣2（与点A重合，舍去），∴P（8，5k）．∵△ABC∽△APB，∴，即，解得：．②若△ABC ∽△PAB ，则有∠ABC ＝∠PAB ，如答图2﹣2所示．设P （x ，y ），过点P 作PN ⊥x 轴于点N ，则ON ＝x ，PN ＝y ． tan ∠ABC ＝tan ∠PAB ，即：，∴．∴P （x ，x ），代入抛物线解析式y ＝（x ＋2）（x ﹣4），得（x ＋2）（x ﹣4x ＋x 2﹣4x ﹣12＝0，解得：x ＝6或x ＝﹣2（与点A 重合，舍去），∴P （6，2k ）． ∵△ABC ∽△PAB ，，∴，解得，∵k ＞0，∴，综上所述，．（3）作DK ∥AB ，AH ⊥DK ，AH 交直线BD 于点F ，∵∠DBA ＝30°，∴∠BDH ＝30°，∴FH ＝DF ×sin30°，∴当且仅当AH ⊥DK 时，AF ＋FH 最小，点M ，∵lBD ：，∴F X ＝A X ＝﹣2，∴F （﹣2）．。

专题+圆---利用“胡不归”模型求最值-2024年中考数学复习几何模型

那么OD+0.5BD的最小值为______.
K
E M
解析：作BK∥CA,DE⊥BK于E,OM⊥BK于M,连
接OB.由已知得∠BAC=30º,在Rt△DBE
中,DE=0.5BD,∴0D+0.5BD=0D+DE,根据垂线
段最短可知,当点E与M重合时,OD+0.5BD的
值最小,最小值为OM=√3.
B
D
A
O
C
典例精讲
胡不归模型
知识点一
【例2】如图,△ABC在直角坐标系中,AB=AC,A(0, ),C(1,0),D为射线
AO上一点,一动点P从A出发,运动路径为A→D→C,点P在AD上的运动速度是
在CD上的3倍,要使整个运动时间最少,则点D的坐标应为_________.
解析：设点P在DC上的速度为v,则时间
第三步：根据两点之间线段最短,找到最小值的位置；
第四步：计算.
模型分析
胡不归模型
tanα+tanβ
tan(α+β)=
1-tanα·tanβ
预备知识
sin(a+β)=sinα·cosβ+cosa·sinβ
直角三角形斜边大于直角边,直角三角形中,斜边打一个折扣(sinα),
化归为这个角的对边.斜边·sinα=对边.
题情境(1)当m=___时，CP最短,理由是_________.
(2)当m为何值时,
问题再现
1
CP BP
的最小值？请求出最小值。小明的解
2
决方法：如图,作射线BA,使∠OBA=30º,交x轴于点A,过点C作
y
CF⊥AB于点F,请完善小明的解法.问题突破当m为何值时，CP+

专题10 最值模型-胡不归问题(解析版)

专题10 最值模型---胡不归问题最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，可将胡不归问题看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想。

在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。

本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

在解决胡不归问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短。

【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.【模型解读】一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BCV V的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）V 12V 1驿道砂石地ABCV 2V 1MNCBA1）121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值. 2）构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CHk AC=，CH =kAC ,将问题转化为求BC +CH 最小值. 3）过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．【解题关键】在求形如“P A +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“P A +kPB ”型问题转化为“P A +PC ”型．（若k >1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。

【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。

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