牛顿的二项式

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牛顿广义二项式定理

牛顿广义二项式定理牛顿广义二项式定理，也称为差分法，是数学领域中的一个重要定理。

它能够表示出一般的幂级数，被广泛应用于微积分、组合学和概率统计等领域中。

我们将在本文中深入探讨牛顿广义二项式定理的由来、含义、证明及应用。

一、由来与含义牛顿广义二项式定理是由英国科学家牛顿发现的，它具有一般的形式，可表示为：$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c}n \\k\end{array}\right)a^{n-k}b^k$$其中a、b为任意数，n为任意正整数。

在这个式子中，$\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)$表示n 个不同东西中选k个的组合数，即：$\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)=\frac {n!}{k!(n-k)!}$。

当n为自然数时，式子变成了二项式定理，即：$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c}n\\k\ end{array}\right)a^{n-k}b^k$$这个定理表明了当a和b为实数时，幂次为n的多项式$(a+b)^n$可以用次数不超过n的单项式的系数来表示。

例如，当n=2时，$(a+b)^2$可以展开为一个2次多项式：$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$ 那么当n=3时，$(a+b)^3$又怎么展开呢？把式子里的$\left(\begin{array}{c}3\\k\end{array}\right)$替换成具体的数值，就得到了$(a+b)^3$的全展开式：$$\begin{aligned}(a+b)^3&=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)a^3+\left(\begin{array}{c}3\\1\e nd{array}\right)a^2b+\left(\begin{array}{c}3\\2\end {array}\right)ab^2+\left(\begin{array}{c}3\\3\end{a rray}\right)b^3\\&=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\end{aligned} $$这表明了$(a+b)^3$可以展开为一个3次多项式，其中每一项的系数都是由n和k决定的。

二项式定理推导

二项式定理推导
二项式定理又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664年、1665年间提出。

该定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。

二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。

二项式定理的系数具有对称性。

在二项式展开式中与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；将它们绘成图像f(x)，图像关于x=n/2对称，即x=n/2为图像f(x)的对称轴。

二项式展开的中间项是二项式系数的最大值。

当n为偶数时，中间项是第n/2+1项最大；当n为奇数时，中间项为两项，即为第（n+1）/2项和第（n+1）/2+1项的系数最大。

Cn+Cn+Cn+Cn=2，这也是（1+1）^2用二项式展开所得，同时偶次幂系数相加等于奇次幂系数相加=2^（n-1）。

牛顿的二项式

“牛顿的独特天赋就是能够在脑中一直记住一个智力题，直至解出它。

”——Keynes 牛顿在大学时自学了一些数学名著，包括欧几里德的《几何原本》、笛卡尔的《几何学》、沃利斯的《无穷算术》以及韦达和开普勒的著作。

这些书都非常深奥难懂，即使是在这些书中的大部分内容已广为人知的今天。

在那个只有少数人懂数学的时代，知晓这些著作的人少之又少。

就我们知道的，牛顿自学这些著作时没有任何外界帮助，朋友中几乎也无人可以分享他的思想。

这为他后来成为一位隐士般的天才创造了条件，他几乎不需要外界的灵感就能完成伟大的发现。

1665年，这一年牛顿23岁，当时瘟疫流行，学校不得不停课。

对于大部分同学而言，这意味着学业的中断，甚至可能毁坏他们未来的职业生涯，但对于牛顿正好相反。

在家中的两年，他的思想自由驰骋，而他的宇宙观也在此期间逐渐形成。

牛顿在数学上的第一个重要发现与无穷级数有关。

很早，人们就知道的展开式中各项的系数构成了“帕斯卡三角形”，对于，n为1、2、3、4、5……正整数的情况，展开式为：1……牛顿首先将帕斯卡三角形改写成“阶梯”的形式，展开后各项系数为：n=0 : 10 0 0 0 0 0 0 ……n=1 : 1 10 0 0 0 0 0 ……n=2 : 1 2 1 0 0 0 0 0 ……n=3 : 1 3 3 1 0 0 0 0 ……n=4 : 1 4 6 4 10 0 0 ……n=5 : 1 5 10 10 5 1 0 0 ……n=6 : 1 6 15 20 15 6 1 0 …………牛顿发现了其中的规律：将每一行中的第i项与第i-1项相加即可得到下一行中的第i项。

路径为：。

为解决n为负数的情况，牛顿反其道而行之，即：将某行的第i项减去上一行的第i-1项可得上一行第i项的的值，路径为。

因为每行的第一项都是1，这样就得到了负整数的展开：……n=-4 : 1 -4 10 -20 35 -56 84 -120 ……n=-3 : 1 -3 6 -10 15 -21 28 -36……n=-2 : 1 -2 3 -4 5 -6 7 -8 ……n=-1 : 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 ……n=0 : 1 0 0 0 0 0 0 0 ……n=1 : 1 1 0 0 0 0 0 0 ……n=2 : 1 2 1 0 0 0 0 0 ……n=3 : 1 3 3 1 0 0 0 0 ……n=4 : 1 4 6 4 1 0 0 0 ……可以看出，反向扩展的结果是：n为负数时，展开有无穷多项。

牛顿二项式系数

牛顿二项式系数牛顿二项式系数是数学中一个重要的概念，它与二项展开式紧密相关。

在代数和组合数学中，牛顿二项式系数用于展开一个任意次幂的二项式项。

为了更好地理解牛顿二项式系数，我们首先来回顾一下二项式展开式。

二项式展开式是指将一个形如(a + b)^n的式子展开成多个项的和的表达式。

其中，a和b是实数或变量，n是一个非负整数。

展开后的表达式中，每个项的系数就是二项式系数。

牛顿二项式系数被称为牛顿二项式系数，是因为它是由数学家牛顿提出并研究的。

牛顿二项式系数的计算公式如下：(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + C(n,2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n,n-1) * a^1 * b^(n-1) +C(n,n) * a^0 * b^n其中，C(n,k)表示组合数，即从n个元素中选取k个元素的组合数。

它的计算公式为：C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)通过牛顿二项式系数的计算公式，我们可以在不展开(a + b)^n的前提下，快速计算出其中每个项的系数。

这在一些需要频繁计算二项式展开式的问题中，能够极大地提高计算效率。

牛顿二项式系数在代数以及概率论等领域有着重要的应用。

在代数中，它被用于多项式的乘法和幂的计算中，可以简化复杂的计算过程。

在概率论中，它被用于计算二项式分布的概率，帮助解决一些与二项试验相关的问题。

总结起来，牛顿二项式系数是数学中一个重要的概念，用于展开一个任意次幂的二项式项。

它的计算利用了组合数的概念，可以帮助简化复杂的代数计算和概率计算。

掌握牛顿二项式系数的应用，对于解决数学问题和分析数学模型都具有重要意义。

牛顿二项式定理

牛顿二项式定理目录二项式定理发现历程应用二项式的递推加法定理数形趣遇算式到算图二项式定理发现历程应用二项式的递推加法定理数形趣遇算式到算图展开编辑本段二项式定理binomial theorem二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664、1665年间提出。

此定理指出：其中，二项式系数指...等号右边的多项式叫做二项展开式。

二项展开式的通项公式为其i项系数可表示为:见图右，即n取i的组合数目。

因此系数亦可表示为帕斯卡三角形(Pascal's Triangle)二项式定理(Binomial Theorem)是指(a+b)n在n为正整数时的展开式。

(a+b)n的系数表为：1 n=01 1 n=11 2 1 n=21 3 3 1 n=31 4 6 4 1 n=41 5 10 10 5 1 n=51 6 15 20 15 6 1 n=6…………………………………………………………（左右两端为1，其他数字等于正上方的两个数字之和）编辑本段发现历程在我国被称为「贾宪三角」或「杨辉三角」，一般认为是北宋数学家贾宪所首创。

它记载于杨辉的《详解九章算法》(1261)之中。

在阿拉伯数学家卡西的著作《算术之钥》(1427)中也给出了一个二项式定理系数表，他所用的计算方法与贾宪的完全相同。

在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算术书的封面上刻有此图。

但一般却称之为「帕斯卡三角形」，因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果。

无论如何，二项式定理的发现，在我国比在欧洲至少要早300年。

1665年，牛顿把二项式定理推广到n为分数与负数的情形，给出了的展开式。

编辑本段应用二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用。

排列与组合1、Cn0+Cn1+Cn2……Cnk……Cnn=2^n2、Cno-Cn1+Cn2-Cn3+……(-1)^nCnn=0证明：由(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)*b+C(n,2)a^(n-2)*b^2+...+C(n,n)b^ n当a=b=1时，代入二项式定理可证明1但a=-1，b=1时代入二项式定理可证明2二项式定理二项式定理: 叫二项式系数（0≤r≤n）.通项用Tr+1表示，为展开式的第r+1项，且, 注意项的系数和二项式系数的区别.系数性质①对称性：②增减性和最大值：先增后减n为偶数时，中间一项的二项式系数最大，为：Tn/2＋1n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大，为：T(n+1)/2，T[(n+1)/2＋1]赋值法掌握“赋值法”这种利用恒等式解决问题的思想.证明：n个（a+b）相乘，是从（a+b）中取一个字母a或b的积。

牛顿二项式定理课件

研究化学反应速率与反应物浓度关系时，可以利用牛顿二项式定
理进行推导和求解。
扩散方程
在研究扩散方程等偏微分方程时，牛顿二项式定理可用于求解方
程的解析解。
05
牛顿二项式定理的推广与拓展
高阶导数与泰勒级数展开式
高阶导数
通过引入高阶导数，研究函数局部性质，揭示函数变化趋势。
泰勒级数展开式
利用泰勒级数展开式，将复杂函数表示为无穷级数形式，便于分析函数性质。
常见误区和难点解析
忽视公式适用条件
01
注意二项式定理仅适用于二项式的展开，避免将其应用于非二
项式的情况。
系数计算错误
02
在计算二项式系数时，要确保使用正确的组合数公式，避免计
算错误。
展开式中的项数问题
03
正确理解展开式中项数与二项式次数的关系，避免在求解问题
时出现错误。
课后作业及思考题
作业
熟练掌握二项式定理的公式及应用，完成相关练习题，检验学习效果。
生成函数与组合恒等式
生成函数
通过引入生成函数，将组合问题转化为幂级数问题，简化组合恒等式的证明过程。
组合恒等式
介绍常用的组合恒等式，如范德蒙德恒等式、斯特林恒等式等，揭示组合数之间的内在联系。
多项式插值与逼近理论
多项式插值
介绍拉格朗日插值法、牛顿插值法等，通过已知数据点构造多项式，实现函数逼近。
展开式的特点
二项式定理的展开式具有规律性，各项的系数和幂次都可以通过一定的方法求得，便于计算和应用。
二项式定理的适用范围
• 适用范围：二项式定理适用于任意实数a和b，以及非负整数n的情况。同时，它也可以扩展到复数域和多项式环等领域中，具有广泛的应用价值。在实际应用中，二项式定理常常被用于近似计算、组合数学、统计学、物理学等领域中。

牛顿二项式公式推导过程

牛顿二项式公式推导过程牛顿二项式公式可是数学中的一个很重要的知识点哟！咱先来说说啥是牛顿二项式。

简单来讲，就是对于任意的实数指数n ，(a + b)^n 都可以展开成一系列项的和。

这在数学里用处可大啦！那这公式咋来的呢？咱一步一步推导看看。

假设 n 是正整数，咱先从 (a + b)^2 开始，这很简单，就是 a^2 + 2ab + b^2 。

再看看 (a + b)^3 ，那就是 (a + b)×(a^2 + 2ab + b^2) ，展开得到 a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 。

接着 (a + b)^4 ，这就有点复杂了，不过别怕，咱慢慢来。

经过一番计算，可以得到 a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 。

从这几个例子，咱能看出点规律不？嘿，还真有！先看指数，从 0 开始，一直到 n ；再看系数，这可有点意思，就拿 (a + b)^4 来说，系数分别是 1、4、6、4、1 ，这跟杨辉三角有点像哟！那咱就试着找找一般规律。

对于 (a + b)^n ，展开式的第 k + 1 项的系数可以用组合数 C(n, k) 来表示。

这组合数 C(n, k) 是啥呢？就是从 n 个不同元素中取出 k 个元素的组合数，计算公式是 C(n, k) = n! / [k!(n - k)!] 。

有了这个组合数，咱就能写出 (a + b)^n 的展开式啦！第 k + 1 项就是 C(n, k) × a^(n - k) × b^k 。

整个展开式就是：(a + b)^n = C(n, 0) × a^n + C(n, 1) × a^(n - 1) × b^1 + C(n, 2) × a^(n - 2) × b^2 + … + C(n, n - 1) × a^1 × b^(n - 1) + C(n, n) ×b^n 。

牛顿二项公式的证明

牛顿二项公式的证明牛顿二项公式，这可是数学领域里相当厉害的一个家伙！咱们先来说说这牛顿二项公式到底是啥。

简单来讲，它就是描述了二项式 (a + b)^n 展开后的各项系数的规律。

就拿个简单的例子说吧，好比 (1 + 2)^2 ，按照咱们常规的计算，那就是 1 + 4 + 4 = 9 。

但要是用牛顿二项公式，就能一下子搞清楚展开后各项的系数，清楚明了。

我记得有一次给学生们讲这个的时候，那真是状况百出。

有个小家伙，瞪着大眼睛一脸懵，嘴里还嘟囔着：“这都是啥呀，怎么这么复杂！”我笑着跟他说：“别着急，咱们一步步来。

”那咱就开始正式证明这牛顿二项公式。

先从组合数说起。

组合数 C(n, k) 表示从 n 个不同元素中取出 k 个元素的组合数。

它的计算公式是：C(n, k) = n! / [k! (n - k)!] 。

这个可重要啦，在后面的证明里会大显身手。

然后咱们用数学归纳法来证明牛顿二项公式。

当 n = 1 时，(a + b)^1 = a + b ，这很显然是成立的。

假设当 n = m 时，(a + b)^m = C(m, 0) a^m + C(m, 1) a^(m - 1) b +... + C(m, m) b^m 成立。

那么当 n = m + 1 时，(a + b)^(m + 1) = (a + b) × (a + b)^m 。

把 (a + b)^m 按照假设展开，再乘以 (a + b) ，经过一系列的整理和计算，就能得到 (a + b)^(m + 1) 的展开式，而且各项系数正好符合组合数的规律，也就是牛顿二项公式的形式。

证明的过程听起来可能有点复杂，但只要咱们一步一步捋清楚，其实也没那么难。

再回到我给学生们上课的那个场景。

那个一开始觉得难的小家伙，在我一步一步带着他们推导、练习之后，终于露出了恍然大悟的表情，兴奋地说：“老师，我好像懂啦！” 那一刻，我心里别提多有成就感了。

在学习数学的道路上，像牛顿二项公式这样的知识点，可能一开始会让咱们觉得头疼，但只要咱们有耐心，肯钻研，就一定能把它拿下。

牛顿二次项定理公式

牛顿二次项定理公式牛顿二项式定理公式，这可是数学里一个相当厉害的工具！咱们先来说说什么是牛顿二项式定理公式。

简单来讲，它就是描述了一个二项式（就是那种像(a + b)^n 这样的式子）展开后各项系数的规律。

我还记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，发生了一件特别有趣的事儿。

那是一个阳光明媚的上午，教室里的气氛有点沉闷，因为大家都觉得这个定理看起来挺复杂的。

我就想着得想个办法让他们打起精神来。

于是我举了一个特别生活化的例子，我说：“同学们，想象一下，你们去买水果，苹果一个卖 a 元，香蕉一个卖 b 元，现在老板说买 n 个水果有优惠，那这个总价怎么算？”这一下子，大家的眼睛都亮了起来，开始七嘴八舌地讨论。

这牛顿二项式定理公式啊，它的表达式是 (a + b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^(n - 1)b^1 + C(n, 2)a^(n - 2)b^2 +... + C(n, n)a^0 b^n 。

这里面的 C(n, k) 叫做二项式系数，计算方法是 n! / (k!(n - k)!) 。

咱们来实际算算看，比如说 (x + 1)^2 ，按照牛顿二项式定理公式展开，那就是 C(2, 0)x^2 1^0 + C(2, 1)x^1 1^1 + C(2, 2)x^0 1^2 ，算出来就是 x^2 + 2x + 1 。

是不是还挺神奇的？在实际应用中，牛顿二项式定理公式用处可大了。

比如在概率统计里，计算某些随机事件的概率；在物理学中，分析一些波动现象；在计算机科学里，优化算法等等。

再回到学习这个定理的过程中，我发现有些同学一开始总是搞混二项式系数的计算，不是分子分母弄错了，就是阶乘算错了。

这时候就得耐心地带着他们一步步重新推导，多做几道练习题，慢慢地也就熟练了。

总之，牛顿二项式定理公式虽然看起来有点复杂，但只要掌握了其中的规律，多做练习，多结合实际例子去理解，就会发现它其实并没有那么难。

牛顿二项式定理

⽜顿⼆项式定理
⼆项式定理
⼆项式定理（英语：binomial theorem），⼜称⽜顿⼆项式定理，由于1664年、1665年间提出.
(x+y)n=
n
∑
k=0C(k n)x k y n−k
证明：
⾸先补充⼀个知识
C m n=C m n−1+C m−1
n−1
根据定义很容易得出，对第n个元素，有2种选择，1.选 2.不选；
选对应C m−1
n−1
,不选对应C m n−1
再由加法原理得到上式.
接下来开始我们的证明
数学归纳法。

当n=1时，
(x+y)1=C01x+C11y=x+y
显然成⽴.
当n=m+1时，假设对n=m成⽴.
(x+y)m+1=(x+y)(x+y)m=(x+y)(
n ∑
k=0C k m x k y m−k)
=
m
∑
k=0C k m x k+1y m−k+
m
∑
k=0C k m x k y m−k+1
=m+1
∑
k=1C k m x k y m−k+1+
m
∑
k=0C k m x k y m−k+1
=m+1
∑
k=0(C k−1
m
+C l m)x k y m−k+1
=m+1
∑
k=0C k m+1x k y m+1−k
证毕
不会这么⽔吧，还是稍微分析⼀下
第⼀⾏：就是拆开了，由于⽤的是数学归纳法，假设n=m时已经成⽴了，就可以直接⽤⼆项式定理第⼆⾏：乘法分配律，乘进去就完了
第三⾏：将前⾯这项的k换成k+1
第四⾏：和式加法
第五⾏：刚才补充的知识
Processing math: 100%。

天才的推导：你知道牛顿是如何推导出二项式定理的吗？

天才的推导：你知道牛顿是如何推导出二项式定理的吗？展开全文牛顿是如何推导二项式展开的牛顿根据英国数学家约翰·沃利斯等前人的工作，知道了如何对整数指数的二项式进行展开:图一如下图直观的显示了这些系数有趣的变化过程图二牛顿的目标是扩展图一的展开式，使其包含非整数的指数m。

接下来，我们可以将系数排列在一个表中，其中空行用于对非整数值m 的展开式:图三牛顿想要填充这个表中的空单元格。

他的推理如下。

对于指数m是整数的情况下：第一列和第二列不难看出。

第一列只包含1，第二列m虽线性增加。

图四现在我们考虑第三列。

首先，我们注意到它是一个三角形数(如下图所示)，我们可以通过简单的公式得到:图五三角数样式图六我们还注意到第m行总是包含(m-1)个角形数。

更具体地说：m=2时：该行包含第一个三角形数m=3时：该行包含第二个三角形数m=5时，该行包含第四个三角形数将(m-1)代入上式得到:图七然后我们可以完成第列:得到-1/8，3/8，15/8，35/8，.........图八现在，注意，对于前三列，值多项式地增加。

第一列是常数(等于1)第二列线性增长(等于多项式的次数m)第三列按照公式7计算得到（二次多项式形式增长）根据这个模式，牛顿推断第四列应该作为三次多项式增加。

由于这个未知多项式在m = 0,1和2时消失，所以它必须有如下形式:其中常数a可以通过表的第七行得到，根据第七行p(3)=1。

因此:然后我们按照上述原理，填充第四列空的单元格:牛顿推导的过程现在很清楚了。

第五列和第六列对m的依赖关系可以很快得到：最后我们可以填满整个表:所以牛顿就得到了一般的二项式定理上述公式中，其中。

牛顿发现二项式定理

牛顿发现二项式定理牛顿是一位伟大的科学家，他对物理学、数学等领域都有着深刻的贡献。

其中，他的发现之一就是二项式定理。

这个定理在数学中有着非常重要的地位，被广泛运用于各个领域，特别是在代数和组合数学中。

二项式定理是关于二项式展开的一个定理，它可以用来展开任何形式的二项式。

在数学中，二项式是由两个项相加或相减而成的表达式，其中每个项由一个系数和一个幂次组成。

牛顿发现二项式定理的背景可以追溯到17世纪。

当时，牛顿对代数学和数学分析有着浓厚的兴趣，并且致力于寻找一种方法来解决复杂的代数问题。

他的研究使他意识到，通过展开二项式式子，可以将其简化为更为简单的形式，从而更容易进行计算和推导。

二项式定理的表达形式如下：(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n,n) * a^0 * b^n其中，C(n,k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数。

这个式子中的每一项都是由二项式系数和幂次组成的。

二项式定理的发现对于解决一些复杂的代数问题非常有帮助。

通过展开二项式，我们可以得到一个多项式表达式，从而可以更方便地进行计算和分析。

这个定理在组合数学中也有着重要的应用，特别是在计算排列和组合问题时。

通过牛顿的发现，二项式定理成为了数学中一个重要的定理，并被广泛应用于各个领域。

它不仅仅是一种数学工具，更是一种思维方式和解决问题的方法。

通过运用二项式定理，我们可以更好地理解和解决一些复杂的代数和组合问题。

总结起来，牛顿发现的二项式定理是数学中的一项重要成果，它对于解决代数和组合问题有着重要的作用。

通过展开二项式，我们可以得到一个多项式表达式，从而更方便地进行计算和分析。

这个定理的发现不仅推动了数学的发展，也为我们解决问题提供了一种思维方式和方法。

二项式定理的重要性和应用价值将一直存在，并对数学和其他领域的发展产生深远的影响。

二项式定理中的二项式展开问题如何展开xyn中的二项式

二项式定理中的二项式展开问题如何展开xyn中的二项式二项式定理是高中数学中的重要内容之一，它描述了任何一个二项式的展开形式。

在这篇文章中，我将介绍如何展开形如xyn的二项式，并提供具体的计算步骤和示例。

二项式定理是由数学家牛顿提出的，它的一般形式可以表示为：(a + b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^(n-1) b^1 + C(n,2)a^(n-2) b^2 + ...+ C(n,r)a^(n-r) b^r + ... + C(n,n)a^0 b^n其中，a和b是实数，n是非负整数，C(n,r)表示组合数，计算公式为C(n,r) = n! / (r!(n-r)!).现在，我们的目标是展开形如xyn的二项式。

首先，我们可以把xyn表达为(x+y)^n的形式，其中a=x，b=y。

根据二项式定理，我们可以得到展开公式：(x+y)^n = C(n,0)x^n y^0 + C(n,1)x^(n-1) y^1 + C(n,2)x^(n-2) y^2 + ... + C(n,r)x^(n-r) y^r + ... + C(n,n)x^0 y^n然而，这仍然不是我们想要的形式。

我们希望展开结果中只包含x和y的幂次，而不带组合数C(n,r)。

为了达到这个目的，我们需要引入组合恒等式：C(n,r) = C(n,r-1) * (n-r+1) / r利用这个恒等式，我们可以对展开公式中的组合数进行简化，得到：(x+y)^n = x^n + C(n,1)x^(n-1) y + C(n,2)x^(n-2) y^2 + ... + C(n,r)x^(n-r) y^r + ... + C(n,n)y^n现在，我们已经成功地将xyn展开为了一系列含有x和y的幂次的项。

下面，我将以具体的示例来说明展开过程。

假设我们要展开的二项式是(x+y)^4，根据上面的公式，展开式为：(x+y)^4 = x^4 + 4x^3 y + 6x^2 y^2 + 4xy^3 + y^4展开过程中，我们通过计算并应用组合恒等式，逐项得到展开式中各项的系数。