辽宁省沈阳市2015年学业水平测试预测题(最新版)数学(一)试题

2015年辽宁省普通高中学生学业水平考试模拟卷（一）
数 学
1．考试采用书面答卷闭卷方式，考试时间90分钟，满分100分；
2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）若集合}31|{≤≤-=x x A ，}2|{>=x x B ，则=B A （ ）
A. }21|{≤≤-x x
B. }21|{<≤-x x
C. }32|{≤<x x
D. }32|{≤≤x x
（2）若54
cos -=α，且α是第三象限角，则=αtan （ ） A. 43- B. 43 C. 34
D ．34
-
（3）函数)2(log )(23--=x x x f 的定义域为 （ ）
A. }12|{-<>x x x 或
B. }21|{<<-x x
C. }12|{<<-x x
D. }21|{-<>x x x 或
（4）已知数列}{n a 是等比数列，且1,81
41-==a a ，则}{n a 的公比q 为（ ）
A.2
B.2-
C. 21
D.21
-
（5）一个正三棱柱（底面是正三角形，高等于侧棱长） 的三视图如图所示， 这个正三棱柱的表面积是（ ） A.8 B.24 C.43+24 D.83+24
（6）在某体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下:
90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差
分别是（ ）
A.92,2
B.92,2.8
C.93,2
D.93,2.8
（7）已知向量)2,1(-=，)2,3(),1,(-=-=m ，若⊥-)(，则m 的值是（ ）
A.27
B.3
5 C.3 D. 3- （8）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若1=a ， 45=∠B ,2=∆ABC S 则b 等于（ ）
A.5
B.25
C.41
D.52
（9）正数b a ,满足1=ab ，则b a 2+的最小值为（ ） A.2 B.22 C.2
3 D.3 （10）设)(x f 是定义域为R 的奇函数，且当0>x 时，x x x f -=2)(，则=-)2(f （ ）
A. 2
B.2-
C.6
D.6-
（11）直线4+=x y 与圆22)3()(-+-y a x 8=相切，则a 的值为（ ）
A. 3
B.22
C. 3或5-
D. 3-或5
（12）执行如右程序框图，输出的结果为（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．16
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.
（13） 点),(y x P 在不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≤-≥≤22x x y x y 表示的平面区域内，则y x z +=的最大值为 ．
（14）在边长为2的正方形面内随即取一点，取到的点到正方形中心的距离小于1的概率为 ．
（15）若3
1)2sin()sin(=+++x x π
π，则=x 2sin _ _ ． （16）已知函数⎩⎨⎧>-≤=)
1(,)1(,3)(x x x x f x ，若2)(=x f ，则=x _ _ ．
三、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分10分）
已知函数2()2cos2sin f x x x =+ （Ⅰ）求()3
f π
的值； （Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值
（18）（本小题满分10分）
某地区有有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查。

（1） 求应从小学，中学，大学中分别抽取的学生数目；
（2） 若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步的数据分析：
①列出所有可能的抽取结果；
②求抽取的2所学校均为小学的概率。

（19）（本小题满分10分）
已知圆C ：228120x y y +-+=，直线:20l ax y a ++=，
（1）当a 为何值时，直线l 与圆C 相切.
（2）当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB =l 的方程.
（20）（本小题满分10分）
公差不为0的等差数列{n a }中，已知1012
71,4a a a a ==且，其前n 项和为n S ，
（1）求数列{n a }的通项公式
（2）求n S 的最大值及取得最值时的n 值
（21）（本小题满分12分）
如图，已知PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，N M ,分别是PC AB ,的中点，若 45=∠PDA ，
（1）求证：//MN 平面PAD 且⊥MN 平面PCD 。

（2）探究矩形ABCD 满足什么条件时，有BD PC ⊥
2015年辽宁省普通高中学生学业水平考试模拟数学参考答案
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
（13）6 （14）4
π （15）98 （16）2log 3 三、解答题(共5小题，满分52分)
（17）解：（Ⅰ）22()2cos sin 333f πππ=+=31144
-+=- （Ⅱ）22()2(2cos 1)(1cos )f x x x =-+- 23cos 1,x x R =-∈
因为[]cos 1,1x ∈-,所以，当cos 1x =±时()f x 取最大值2；当cos 0x =时，()f x 取最小值-1。

------10分
（18）解：（Ⅰ）从小学，中学，大学中分别抽取的学校数目为3，2,1 ------2分 （Ⅱ）解：3所小学记为1a ，2a ，3a
，2所中学记为1b ，2b ，大学记为c
则抽取两所学校所有可能结果为{1a 2a ，1a 3a ，1a 1b ，1a 2b ，1a c
，2a 3a ， 2a 1b ，2
a 2
b ，
2a c ， 3a 1b ，3a 2b ，3a c ，1b 2b ，1b c ， 2b c }共15种-----------6分
从6
所学校中抽取的2所学校均为小学（记为事件A
）的所有可能结果为{1a 2a ，1a 3a ， 2a 3a }，共3种
所以5
1153)(==A P -----10分
（19）解：设圆心到直线的距离为d ，圆心（0，4）半径r=2 ------1’
（1）直线:20l ax y a ++=与圆相切32,4
d a \===-解得 ---5’ （2）AB =d \= -----7’
由71d a a ===-=-解得或
故所求直线为714020x y x y -+=-+=或 ------10
（20）解：（1）设等差数列公差为d,由1012
71,4a a a a ==且得)9()6(1121d a a d a +=+
可求31-=d ，则3
1331)1(314+-=--=n n a n ---------5 （2）令13,0≤≥n a n 得，013=a ，所以前13项和最大，
262
)04(1313=+=
S -----------------10
（21） （1）证明：如图，取PD 的中点E ，连接AE ，NE 。

N E , 分别为PD,PC 的中点，CD EN 2
1//∴ 又M 为AB 的中点，CD AM 21//∴ AM EN //∴，∴四边形AMNE 为平行四边形。

AE MN //∴，PAD MN 平面//∴ ----------4分
45,=∠⊥PDA ABCD PA 平面
PD AE PAD ⊥∴∆∴为等腰直角三角形。

又A PA AD PA CD AD CD =⊥⊥ ,,
AE CD PAD AE PAD CD ⊥∴⊂⊥∴，平面而平面,
又PCD MN PCD AE D PD CD 平面平面⊥∴⊥∴=,, -----------8分
(2)若 BD PC ⊥，又BD PA ⊥,P PC PA =
PAC BD 平面⊥∴AC BD ⊥∴即矩形ABCD 的对角线互相垂直， 此时矩形为正方形。

即当矩形ABCD 为正方形时，满足BD PC ⊥----------------12分。