第十讲：特殊的四边形(1)

合集下载

第10讲几何综合一-完整版

第十讲几何综合一内容概述复杂的长度、角度计算；复杂的直线形比例关系，其中包括平行线分线段成比例及相似三角形的相关知识，具有一定综合性的直线形计算问题.典型问题兴趣篇：1．图10-1中八条边的长度正好分别是1、2、3、4、5、6、7、8厘米．已知a=2厘米，b=4厘米，c=5厘米，求图形的面积．答案：35平方厘米【解析】因为g=a+c+e=2+5+e=7+e，但g最大只能是8厘米，所以g=8厘米，e=l厘米．观察图形可知，h-b=f-d.而b=4厘米，代入有：h-4 =f-d．而d、f、h要从3厘米、6厘米、7厘米中选择，所以h=7厘米，f=6厘米，d=3厘米．作辅助线把图形分割成三个长方形①、②、③．如图所示，所以①的面积为a×b=2×4=8（平方厘米），②的面积为d×e=3×1=3(平方厘米），③的面积为g ×(f-d)=8×(6-3)=24（平方厘米）．因此整个图形的总面积为24+8+3=35（平方厘米）．2．如图10-2所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于多少度？答案：360°【解析】解法一：这个图形中，六个三角形围着一个处于中心的六边形，如图所示，∠1和六边形的内角∠7互成补角．类似地，可以发现，∠2、∠3、∠4，∠5、∠6也分别和∠8、∠9、∠10、∠11、∠12互成补角，并且它们对应的内角各不相同．由于∠1和六边形的内角∠7互成补角，所以∠1 =180°-∠7.类似地，有∠2=180°-∠8，∠3=180°-∠9，∠4=180°-∠10，∠5=180°-∠11，∠6=180°-∠12.所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°×6-(∠7+∠8+∠9+∠10+∠11+∠12)=180°×6 -180°×(6-2)=360°.解法二：任意多边形的外角和为360°．通过观察可以看出，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6恰为中间六边形的外角和，因此∠l+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于360°.3．如图10-3，平行四边形ABCD的周长为75厘米．以BC为底时高是14厘米，以CD为底时高是16厘米．求平行四边形ABCD的面积．答案：280平方厘米【解析】平行四边形的面积等于底乘以高，所以底边BC和CD之比就等于它们各自对应的高的反比.由此可知底边的倍数关系为147168 CDBC==，因为平行四边形的周长为75厘米，所以BC+CD=752，从而BC=75820278⨯=+厘米，因此平行四边形ABCD面积为20×14=280平方厘米．4．如图10-4，一个边长为1米的正方形被分成4个小长方形，它们的面积分别是310平方米、25平方米、15平方米和110平方米．已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方米？答案：25441平方米【解析】由于FG=HG-HF，则先求HG与HF的长度．而四边形AEFH和EBIF有公共的竖直边，所以它们的面积比等于水平边的比．于是HF是FI的323 1054÷=，所以HF 是HI 的33347=+，即HF 为37米．观察下面的两个小长方形，同理可知，HG 是GI 的112510÷=倍，所以HG 为22213=+米．因此FG=HG-HF=2353721-=米，所以正方形的面积为：55252121441⨯⨯= 平方米．5．如图10-5，红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方体盒内，它们之间相互重叠．已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是14，绿色的面积是10．那么，正方体盒子的底面积是多少？答案：51.2【解析】把黄色的正方形挪动位置，如下图所示：可以发现，把黄色正方形移到左边后，它露在外面的部分少了长方形①，但是绿色正方形露在外面的部分又多了长方形①．那么移动之后，黄、绿两个正方形露在外面的面积之和不变，还是14+10=24.因为各个正方形的边长相同，而由上图可看出，移动后，黄、绿两个正方形露出的面积相等，此时它们露出的面积都为24÷2=12.由“红×空白正方形=黄×绿”，可得右上角正方形的面积是12×12÷20=7.2．所以大正方形盒子的底面积为20+12+12+7.2=51.2．6．如图10-6，三角形ABC 中，DE 与BC 平行，且AD ：DB=5：2，求AE ：EC 及DE ：BC ．答案：5:2，5:7【解析】根据金字塔模型的结论即可直接得出答案．7．如图10-7，已知三角形ABC 的面积为1平方厘米，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点．求三角形OBC 的面积．答案：13平方厘米【解析】由D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，可知DE 与BC 平行，且12DE BC =．如右图所示，沙漏DEOBC 中，有12OD OE DE OC OB BC ===. 把线段的比例关系转化为面积的比例关系，得到=2BODDOESS，=2COEDOESS，=24BOCCOEDOES S S =．那么梯形DECB 的面积就是(1+2+2+4)×9DOE DOESS=.由于△ABC 的面积为1平方厘米，则△ADE 的面积是14平方厘米．而梯形DECB 的面积是13144-=平方厘米.因此1131==99412DOE BCDE S S =⨯⨯梯形平方厘米，从而 11=44123BOC DOE S S =⨯=平方厘米．8．在图10-8的正方形中，A 、B 、C 分别是ED 、EG 、GF 的中点．请问：三角形CDO 的面积是三角形ABO 面积的几倍？答案：3倍【解析】不妨设正方形的边长是2，所以FC=CG=GB=BE=EA=AD=1．又A 、C 分别是所在边的中点，所以AC ∥GE ，即OA ∥BE ．由此可见OA 是△DBE 的中位线，有12OA BE =，所以△OAD 的面积是111224⨯÷=．△AOB 的面积等于△BAD 的面积减去△AOD 的面积，等于1111244⨯÷-=．△COD的面积等于△CAD的面积减去△AOD的面积，等于13 21244⨯÷-=．由此可得，△CDO的面积是△ABO面积的3倍．9．如图10-9，四边形ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E、F分别为边AB、BC的中点，请问：阴影部分的面积为多少平方厘米？答案：48平方厘米【解析】因为E为边AB的中点，四边形ABCD是平行四边形，所以12AE CD=，且AE∥CD．在沙漏AEHCD中，有AH：HC=1：2，EH：HD=1：2．由EH：HD =1：2可知，△AEH的面积为△AED面积的13．易知△AED面积为平行四边形ABCD的面积的14，即72×14=18平方厘米，所以△AEH的面积为18×13=6平方厘米．由F为边BC的中点，同理可求出△FOC的面积为6平方厘米．由AH：HC=1：2，FD：OD=1：2可知，H、0为边AC的三等分点，所以S△HOD =S△AHD=S△DOC=13S△ACD，而S△ACD =172362⨯=平方厘米，所以S△HOD=13×36=12平方厘米，于是空白部分面积为S△AEH +S△FOC+S△HOD=6+6+12=24平方厘米，因此阴影部分的面积为72-24=48平方厘米．10.如图10-10，在三角形ABC中，CE=2AE，F是AD的中点，三角形ABC的面积是1，那么阴影部分的面积是多少？答案：5 12【解析】连结CF，把阴影部分分成△CEF和△DCF，如图1所示．假设△AEF 的面积是“1”，由于CE= 2AE，因此△CEF的面积就是“2”．而F又是AD的中点，则△CFD的面积是“3”，如图2所示．剩下两块空白部分：△ABF、△DBF.因为F是AD中点，因此它们的面积相同．不妨设为“x”，如图3所示．利用2×S△ABE =S△CBE作为等量关系列出方程：()2123x x⨯+=++，解得3x=．因此△ABF与△DBF的面积都是“3”，如图4所示．则△ABC的面积是“1”+“2”+“3”+“3”+“3”="12”，所以“1”=112．那么阴影部分的面积就是1551212⨯=.拓展篇：1．如图10-11，A、B是两个大小完全一样的长方形，已知这两个长方形的长比宽长8厘米，图10-11中的字母表示相应部分的长度．问：A、B中阴影部分的周长哪个长？长多少？答案：B长，长16厘米【解析】根据A图中标出的字母，我们马上就能写出长方形的长为a+2b，宽为a+b．再根据长比宽多8厘米，就能求出b=8厘米，要比较阴影部分的周长，可以把它们的边长都求出来，进而再求出周长进行比较．长方形A中，阴影部分为两个小长方形①和②．①的长为2b，宽为b，则周长为(2b+b)×2=6b.②的长为a，宽为a+b-2b=a-b，则周长为(a+a-b)×2=4a-2b.所以阴影部分的周长为6b+4a-2b=4（a+b）．长方形B中，阴影部分有6条边，它的周长其实就等于大长方形的周长，为(a+2b+a+b)×2=4a+6b．所以，长方形B中的阴影部分周长比长方形A中的阴影部分周长要长，并且多出的长度为(4a+6b)-(4a+4b)=2b=2×8=16厘米.当然还可以直接利用平移的方法，直接看出B中的阳影部分的周长比A中的阴影部分的周长多2b，即16厘米．2．如图10-12，三角形ABC中，AD=CD，∠B=51°，∠DCB=73°，求∠CDB 和∠A．答案：∠CDB=56°，∠A=28°【解析】因为∠B+∠DCB+∠CDB+∠ADC+∠A+∠ACD=360°，又∠CDB+∠ADC=180°，∠A=∠ACD,所以51°+73°+180°+2∠A=360°，解得∠A=28°，那么∠CDB=∠A+∠ACD=56°.3．如图10-13，ABCDE是正五边形，CDF是正三角形，那么∠BFE等于多少度？答案：168°【解析】正五边形的内角和是(5-2)×180°=3×180°=540°，每个内角是540°÷5=108°．而△CDF是正三角形，每个内角是60°，因此∠CFD=∠FCD=60°．而∠BCF=108°-60°=48°，是等腰△BCF的顶角，因此∠BFC=（180°-48°）÷2=66°，同理∠DFE也等于66°．于是∠BFE=360°-∠BFC -∠CFD -∠DFE=360°-66°-60°- 66°=168°．4．一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形，将它的短直角边对折到斜边上去与斜边框重合，如图10-14所示．问：图中的阴影部分（即折叠的部分）的面积是多少平方厘米？答案：183平方厘米【解析】如图所示，折叠后△AED 与△ACD 面积相等，且AE=AC=5厘米.因此BE=BA-AE=13-5=8厘米，则△BDE 的面积是△AED 的面积的85.而大△ABC 的面积是l2×5÷2=30平方厘米，那么阴影部分的面积就是 81825301130553⎛⎫÷++=÷= ⎪⎝⎭平方厘米．5．在图10-15中大长方形被分为四个小长方形，面积分别为12、24、36、48.请问：图中阴影部分的面积是多少？答案：2147【解析】上面的两个小长方形有公共的竖直边，所以它们的面积比就等于水平边的比，可得EH 是GE 的24÷12=2倍，所以CE=13GH ．下方的两个小长方形也有公共的竖直边，同理可知，FH 是GH 的36336487=+.因此，EF 是GH 的13513721--=，所以△EFC 的面积为长方形AGHC 的51521242⨯=，△EFJ 的面积也是长方形GHDJ 的542．由此可知，阴影部分的面积也占整个大长方形的542；为（12+24+36+48）×51002144277==．6．三个面积都是12的正方形放在一个长方形的盒子里面，如图10-16，盒中空白部分的面积已经标出，求图中大长方形的面积．答案：45【解析】把大长方形如下图所示分割：在最上面的加粗的长方形中，面积为4的长方形和①组成了一个新的长方形，面积为3的长方形和①，②组成了一个新长方形，面积为5的长方形和②也组成了一个新长方形.这3个长方形的面积显然是相等的．所以有4+①的面积=3+①的面积+②的面积=5+②的面积．于是不难求出①的面积为2，②的面积为l，所以加粗长方形的面积为4+2+3+1+5=15.再来观察左边的三个长方形，如下图加粗部分所示：上、下两块长方形的面积都是4+2=6，而左边正方形的面积为12，所以中间长方形的面积也是6．因此，左边加粗长方形为最上面的小长方形面积的3倍，于是所求的大长方形面积等于第一个图中加粗长方形面积的3倍，即15×3=45.7．如图10-17，三角形ABC的面积为1．D、E分别为AB、AC的中点.F、G 是BC边上的三等分点．请问：三角形DEF的面积是多少？三角形DOE的面积是多少？答案：13 , 420【解析】注意到D、E分别为AB、AC的中点，则DE就是△ABC的中位线，连结CD，如图1所示.则△DEF 与△CDE 面积相等，因此S △DEF =S △CDE =12S △ACD =1122⨯⨯S △ABC =14. 在沙漏DEOFG 中，OE DEOF FG=（如图2）．而DE=12BC ，FG=13BC ，因此32OE DE OF FG ==，即有33325OE EF ==+，转化为面积比35DOE DEFS S=．而S △DEF =14，所以S △DOE =35×S △DEF =3135420⨯=．8．如图1 -18，在三角形ABC 中，IF 和BC 平行，GD 和AB 平行，HE 和AC 平行．已知AG ：GF ：FC=4:3:2，那么AH:HI:IB 和BD:DE:EC 分别是多少？答案：AH:HI:IB =3:4:2,BD:DE:EC=4:2:3【解析】(1)因为AG ：GF ：FC=4：3：2，所以AF ：FC=7：2．又因为IF ∥BC ，所以AI ：IB=AF ：FC=7：2．因为GD ∥AB ，所以GF ：AG=OF ：IO=3：4．又因为HE ∥AC ，所以AH ：H=OF ：IO=3：4．由上可得AH ；HI ：IB=3：4：2．(2)因为AG ：GF ：FC=4：3：2，所以AG ：GC=4：5．又因为GD ∥AB ，所以BD ：DC=AG ：GC=4：5．因为GF ：FC=3：2，IF ∥BC ，所以OD ：GO=FC ：GF=2：3．又因为HE ∥AC,所以DE ：EC=OD ：GO=2:3．由上可得BD ：DE ：EC=4：2：3． 9．如图10-19，梯形ABCD 的上底AD 长10厘米，下底BC长15厘米．如果EF 与上、下底平行，那么EF 的长度为多少？答案：l2厘米【解析】在沙漏ADOBC 中，23OA AD OC BC ==，于是25AO AC =（如图所示）．由于EO//BC ，因此25EO AO BC AC ==，即2215655EO BC =⨯=⨯=厘米．同理，OF 也等于6厘米，所以EF=EO+OF=6+6=12厘米．10.如图10-20，正六边形的面积为6，那么阴影部分的面积是多少？答案：223【解析】方泫一：连结阴影部分的对角线，如图l 所示．这条辅助线平分阴影部分，也正好把正六边形平分成两个等腰梯形，那么每个梯形的面积为6÷2=3．要求出阴影部分的面积，只需求出其中的一半即可．画出其中一个梯形，给它的各个顶点标上字母，如图2所示，△BCD 和△ABD 是一对等高三角形，并且底边BC 是AD 的2倍，所以△BCD的面积是△ABD 面积的2倍，于是△BCD 面积为3×23=2．在沙漏ADOBC 中，12OD OB =，所以S △BOC=23S △BDC=113．因此正六边形中的阴影部分面积为1212233⨯=．方法二：利用正六边形中的格点，将其分割，如图3所示.观察图形可知，这时正六边形被分割成18个三角形，这些三角形面积全都相等．阴影部分由8个三角形组成，所以阴影部分面积为6÷l8×8=223.11．两盏4米高的路灯相距10米，有一个身高1.5米的同学行走在这两盏路灯之间，那么他的两个影子总长度是多少米？答案：6米【解析】根据题意画出如图所示的图，延长FE 与AC 交于I ，则△AEI 和△EFH 以及△CEI 和△EFG 都能组成沙漏三角．、不难看出，EI=4-1.5=2.5米．而在沙漏AIEFH 中，又有2.551.53AE IE EH EF ===．在沙漏ACEGH 中，有53AC AE GH EH ==.由此可知3310655GH AC ==⨯=米，这就是两个影子的总长度．12．如图10-21，O 是长方形ABCD 一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为3和4，那么阴影直角三角形的面积是多少？答案：138【解析】由S △AOD =4可知S △BCD =12×S 长方形ABCD =12×4×S △AOD =8．而△CDF 与△CDB 从C 出发的高相同，则38CDF CDBSDF DB S==．由于EF ∥CD ，把线段的比例转移到BC 上，则有38CE DF BC DB ==，从而得到35188BE BC =-=，所以阴影△BEF 的面积是△BCF 面积的58，于是阴影三角形的面积是()()55525838888BCF BCD CDF S S S ⨯=⨯-=⨯-=.13．如图10-22，在三角形ABC 中，AE=ED ，D 点是BC 的四等分点，请问：阴影部分的面积占三角形ABC 面积的几分之几？答案：37【解析】连结四边形CDEF 的对角线CE ，将其分为△EFC 和△ECD ，如下图所示．由题意，D 点是BC 的四等分点，不妨就设△CDE 的面积是“1”，而△BDE 的面积则是“3”，再根据E 是AD 的中点，那么△ABE 的面积就是“3”，△ACE 的面积是“1”．根据燕尾模型得34ABE CBESAF FC S==，所以△AEF 的面积就是“37”份，△ECF 的面积就是“47”份，如下图所示.由此可得阴影部分的面积和是“337”，而△ABC 的总面积是“8”，所以阴影部分占总面积的333877÷=．14．如图10-23，在三角形ABC 中，三角形AEO 的面积是1，三角形ABO 的面积是2，三角形BOD 的面积是3，那么四边形DCEO 的面积是多少？答案：24【解析】连结四边形CDOE 的对角线OC ，将其分为△EOC 和△OCD ，如图1所示.很明显，EO ：OB=1：2．四边形CDOE 被分成了两部分，不妨设△EOC 为x ，那么在△EBC 中，12OCE BCOS OE SOB ==，所以△OBC 的面积为2x ，△ODC 的面积就是2x-3(如图2所示)．在△ADC 中，23OCA OBA DCODBOS SAO SDO S===，也就是12233x x +=-．交叉相乘可得3(1+x)=2(2x-3)，解得x=9．于是2x-3=15，所以四边形CEOD 的面积是9+15=24．超越篇：1．如图10-24，长方形的面积是60平方厘米，其内3条长度相等且两两夹角为120°的线段将长方形分成了两个梯形和一个三角形．请问：一个梯形的面积是多少平方厘米？答案：25平方厘米【解析】连结AE 、EB ，如右图所示，从中容易看出，△AOB 、△B0E和△AOE都是顶角为120°的等腰三角形，它们的底角都是(180°-120°)÷2=30°，因此△ABE 的三个角都是60°，是一个正三角形.这样一来，△AOB 、△BOE 和△AOE 的面积都相等，它们的面积之和是△ABE 的面积，即长方形面积的一半60÷2=30平方厘米，因此这3个三角形的面积都是30÷3=10平方厘米．大长方形由2个梯形以及△AOB 组成，那么1个梯形的面积就是(60-10)÷2=25平方厘米．2．如图10-25，P 是三角形ABC 内一点，DE 平行于AB ，FG 平行于BC ，HI 平行于CA ，四边形AIPD 的面积是12，四边形PCCH 的面积是15，四边形BEPF 的面积是20.请问：三角形ABC 的面积是多少？答案：72【解析】当两个平行四边形的高相等时，它们底边的比等于面积比.考虑平行四边形BEPF 和AIPD ，分别以PE 和PD 为底边，它们的高相等，因此它们底边的比等于面积比，即205123BEPF AIPDSEP PD S===. 由于IH ∥AC ，所以53EH EP HC PD ==，转化为面积比，得到： 11552236PEH PGCH S EH S HC =⨯=⨯=而平行四边形PGCH 的面积是15，则△PEH 的面积是5251562⨯=．类似的方法可以求出△FPI 和△DPG 的面积分别是8和92，因此这三个小三角形的面积分别是92、8、252，所以大△ABC 的面积就是92512152087222+++++= .3．如图10-26所示，正方形ABCD的面积为1．E、F分别是BC和DC 的中点，DE与BF交于M点，DE与AF交于N点，那么阴影三角形MFN的面积为多少？答案：1 30【解析】如下图，延长AF、BC交于点G，在沙漏ADNEG中，AD：EG=2:3，所以DN：NE=2：3，故DN=25 DE．如下图，延长BF、AD交于景H，在沙漏DHMBE中，DH：BE=2：1，所以DM：ME=2：1，故ME=13 DE.所以21415315NM DE DE⎛⎫=--=⎪⎝⎭，故4414111151******** MFN DFE DCES S S==⨯⨯=⨯⨯=.4．如图10-27，三角形ABC的面积为1，D、E、F分别是三条边上的三等分点，求阴影三角形的面积．答案：17【解析】给中间三角形的3个顶点标上字母，如图1所示．由于D 、E 、F 分别是3条边上的三等分点，而△ABC 的面积为1，所以△ABE 、△BCF 、△CAD 的面积都是13，这3个三角形的面积之和就等于大△ABC 的面积．它们的重叠部分是3个小三角形：△AME 、△BNF 、△CPD.因此阴影△MNP 的面积就等于这3个小三角形的面积之和.假设S △CPD =“1”，由于D 是BC 上的三等分点，可知S △BPD =“2”（如图2所示）．由燕尾模型可得2APC BPCSAFSFB ==，所以S △APC =“6”；而2APB APCS BDSDC==，所以S △ABP =“12”（如图3所示）．因此整个△ABC 的面积是“12”+“6”+“2”+“1”=“21”，则“1”=121，即S △PCD =121．类似地，小△BNF 和小△AME 的面积都是121，那么阴影部分的面积就是121×3=17.5．如图10-28，小高测出家里瓷砖的长为21厘米，宽为10厘米，而且还测出了边上的中间线段均为4厘米，那么中间菱形的面积是多少平方厘米？答案：64平方厘米【解析】利用平行线中的线段比例关系来计算，把瓷砖右下角的直角三角形标上字母（如图所示），同时过B作BC⊥AG于C，DE⊥FG于E．由于BC与FG平行，所以21147BC ACFG AG===，因此117177BC FG=⨯=⨯=．由于DE与AG平行，所以27DE FEAG FG==，因此2214477DE AG=⨯=⨯=．由此可得菱形的两条对角线分别为：24-4×2=16厘米，10-1×2=8厘米.那么菱形的面积就是16×8÷2=64平方厘米．6．如图10-29，ED垂直于等腰梯形ABCD的上底AD，并交BC于G，AE平行于BD，∠DCB=45°，且三角形ABD和三角形EDC的面积分别为75、45，那么三角形AED的面积是多少？答案：30【解析】已知的△CDE的底边是ED，高是CG;所求的△AED的底边是ED，高是AD;它们有公共的底边ED.另一个已知的三角形是△ABD，如果能找到一个以ED为底边的三角形，它的面积等于△ABD的面积，那么底边ED就成了这三个三角形的公共底边．如图1，连结BE.由于AE∥BD，把AABD作等积变换，变成△BDE，此时△BDE 以DE为底边以BG为高，且面积是75.这样一来，这3个三角形有相同的底边DE.于是来看看它们的高BG、CG、AD之间有什么关系．由于四边形ABCD是等腰梯形，如图2所示，再作分别从A、D出发与BC垂直的垂线AH、DG.容易看出，BH=GC ，AD=HG ，因此BG=BH+HG=GC +AD.在等式两边同时乘以DE ÷2，可得BG ×DE ÷2=(GC+AD)×DE ÷2．用乘法分配律得BG ×DE ÷2=CC ×DE ÷2+AD ×DE ÷2．而S △BDE =BG ×DE ÷2，S △DEC =CG ×DE ÷2，S △AED =AD ×DE ÷2，因此所求的三角形的面积就是75-45=30．7．在长方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，将长方形的四个角分别沿着HE 、EF 、FG 、GH 对折后，A 点与B 点重合，C 点与D 点重合，已知EH=3，EF=4，求线段AD 与AB 的长度比．答案：25：24【解析】如图，由于对折后A 、B 两点要重合，所以E 点一定是AB 的中点，且AH 和BF 折过去后都在HF 这条线上．同理，G 点一定是CD 的中点．容易得到∠HEF 是直角，由于EH=3，EF=4，所以HF=5．根据已有的条件可以画出确定的部分，接着AH 和BF 都要适当地延长形成长方形ABCD ，并且满足G 是CD 的中点，∠HGF 是直角．试画一下后会发现：①若延长出去的不够多，则∠HGF 是钝角；②若延长出去的多，则∠HGF 是锐角；③只有刚好的一个位置使得∠HGF 是直角，并且会发现此时HD=BF ，AH=FC ，所以AD=AH+BF=HF=5, AB=2AE=2×345⨯=4.8．（其中AE=EB=△EFH 斜边上的高）．所以AD ：AB=25：24．8．如图10-30在长方形ABCD 中，AE:ED=AF:AB=BG:GC.已知△EFC 的面积为20，△FGD 的面积为16，那么长方形ABCD 的面积是多少？答案：52【解析】设AF 为a 、AB 为b ，AE 为a 、ED 为b ，BG 为a 、GC 为b （这里可能有人会疑惑AF 和AE 并不相等为什么都设为a ，因为这里一个是“a ”，一个是‘a ’；或者认为一个是a ，一个是ax ；但由于运算的过程当中，每个图形的面积都会涉及到长、宽两边的线段的乘积，所以最后产生的影响都会消掉，放心不会出错），那么可以列出2个等式：()()()()()()2221112022211116222b a b a b b a a b b a b a a b b b a a ⎧+----+=⎪⎪⎨⎪+-+---=⎪⎩化简得：220 32ab b =⎧⎨=⎩所以长方形ABCD的面积b（a+6）ab+b2=20+32=52．。

北师大版九年级上册数学《菱形的性质与判定》特殊平行四边形说课教学复习课件

(二)预习反馈 1. 下列四个几何体中，左视图为圆的是( D )
2. 如图所示的几何体的主视图为( B )
3. 如图是一个正方体被截去一个直三棱柱得到的几何体，则该几何体的俯视图是( D )
4. 一座楼房的三种视图中，主主视视图图和和左左视视图可以反映出楼房的高度，俯俯视视图可以反映出楼房的建筑面积．
∴∠CEF＝∠EFG，∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，∴CE＝FG，
∵CE∥FG，∴四边形CEGF是平行四边形，
∵CE＝CF，∴平行四边形CEGF菱形
课堂小结
定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形的判定
定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
定理定理2：四边相等的四边形是菱形.
第五章投影与视图
合作探究
已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相较于点O，AC⊥BD.
求证：□ABCD是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
B
∴OA=OC. 又∵AC⊥BD，
A
O
C
∴直线BD是线段AC的垂直平分线.
D
∴BA=BC.
∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
新课讲授
菱形的判定
B
定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
合作探究
什么样的四边形是菱形？有一组邻边相等的平行四边形.
我们还可以从哪些角度考虑？
合作探究
用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形. 转动木条，这个四边形什么时候变成菱形?
你能证明它吗？
可以发现：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

中考数学总复习第一部分教材考点全解第五章四边形第特殊的平行四边形课件

点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC.
(1)求证：四边形BECD是平行四边形；
(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝
°时，四边形BECD
是矩形．
12/9/2021
第二十九页，共六十四页。
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∴∠OEB＝∠ODC. 又∵O为BC的中点， ∴＝. 在△BOE和△COD中，
【答案】 (1)BO，CO，OE，OD(方法不唯一) (2)∠BCD，∠BDC，OD，∠ODB(方法不唯一)
12/9/2021
第三十二页，共六十四页。
证明一个四边形是矩形的常用方法有：(1)首先证明这个四边形是平行四边形，再证明有一个角是直角或者证明其对角线相等；(2)直接证明四边形有三个角都是直角.注意不能将两个判定方法相混淆.
12/9/2021
第二十四页，共六十四页。
命题(mìng 正方形的性质(xìngzhì)与判定(8年4考) tí)点3 7．(2017·河南 9 题)我们知道：四边形具有不稳定性．如图，
在平面直角坐标系中，边长为 2 的正方形 ABCD 的边 AB
在 x 轴上，AB 的中点是坐标原点 O.固定点 A，B，把正方
12/9/2021
第三十八页，共六十四页。
(2)∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝ . ∵△ADE≌△CDF， ∴AE＝， ∴BE＝， ∴∠BEF＝∠BFE.
【答案】 (1)CD，∠C，∠CFD，∠CFD，∠C，CD (2)CB，CF，BF
12/9/2021
第三十九页，共六十四页。
证明一个四边形是菱形的常用方法有：(1)首先证明这个四边形是平行四边形，再证明有一组邻边相等或者对角线互相垂直；(2)直接证明四边形的四条边都相等.注意不能将两个判定方法混淆.

第十讲梅涅劳斯定理与塞瓦定理配套课程教案

AH DP DP AG DP AG CE ．对△ADC，应用梅涅劳斯定理的逆定理， FD PA PA ED PA GC ED 知 P ，G，E 三点共线，即 P 为直线 EG 与 FH 的交点．故点 P 与点 P 重合，从而 PA BC ．
又 CE CG ，则 1 证法 2：延长 PA 交 BC 于 D，直线 PHF 与△ABD 的三边延长线都相交，直线 PGE 与△ADC 的三边延长线都相交，分别应用（迭用）梅涅劳斯定理，有上述两式相除，则有
分别平行且方向相反，从而 PMQ BAC ，且
MP MQ ，故△MPQ∽△ABC． AB AC
A
X
Q
G P M
N Y
B
C
例5. 以△ABC 的底边 BC 为直径作半圆，分别与边 AB， AC 交于点 D 和 E，分别过点 D， E 作 BC 的垂线，垂足依次为 F，G，线段 DG 和 EF 交于点 M．求证： AM BC ．证法 1：设直线 AM 与 BC 交于 H，连 BE，CD，则知 BEC BDC 90 ，直线 FME 与△AHC 相 AM HF CE AM HG BD 截，直线 GMD 与△ABH 相截，迭用梅涅劳斯定理，有 1， 1． MH FC EA MH GB DA 两式相除，得
AX AG NC 1 而对 2，． XB GM CA 2
AX BQ NC BQ 1 2 1 ，故 BQ QN ．从而 MQ XB QN CA QN 2
1 1 1 ∥AC，且 MQ CN AC ．同理，MP∥AB，且 MP AB ．由此可知， PMQ 与 BAC 的两边 2 4 4
AM CN r 0 r 1 ，AC 交 BD 于 E． AC CD

四年级数学专题讲义第十讲格点与面积

第十一讲格点与面积同学们，一看这个题目，你一定会有许多疑问：什么是格点?格点与面积之间又有什么关系等等．这一节我们就来探讨这些问题。

在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达?下面就让我们一起来探讨这些问题吧！一、正方形格点问题：正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.例1、判断下列图形哪些是格点多边形？分析：根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线，顶点要在格点上！所以只有(1)是格点多边形。

例2、如右图，计算各个格点多边形的面积.分析：本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了.法一：第(1)图是正方形，边长是4，所以面积是4×4=16(面积单位)；第(2)图是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5×3=15(面积单位)；第(3)图是三角形，底是5，高是4，所以面积是5×4÷2=10(面积单位)；第(4)图是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5×3=15(面积单位)；第(5)图是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是(3+5)×3÷2=12(面积单位)；第(6)图是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是(3＋6)×4÷2=18(面积单位).注：如果两格点之间的距离是2，你能利用刚计算的结果说出相应面积么？分析：面积数值均扩大4倍。

法二：以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发，即用“割补法”或“扩展法”分别转化成平置的长方形来求。

第十讲：平行四边形和梯形

平行四边形和梯形1、同一平面内两条直线的位置关系：2、平行：在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。

3、垂直：如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。

垂直的标注最重要的就是直角符号，一定要记得标注，如果需要用字母表示则分别用两个字母代表一条直线，写出关系式。

4、三条直线的位置关系：（1）如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也一定互相平行，这叫做平行的传递性。

（2）在同一个平面内，如果两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线也一定互相平行。

5、画垂线和平行线的方法：靠、移、画、验6、点到直线的距离：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。

注意：缩句后变成——垂直线段的长度叫距离。

7、平行线的性质：两条平行线之间的距离处处相等。

这个性质可以用来证明长方形对边相等且平行。

8、画长方形和正方形时的要点：用垂直和平行的方法画图，注意标注：长方形要标出一组邻边的长度，正方形要标出一条边的长度（如果有的话），再标上直角（3个及以上）或者在旁边写出“长方形”、“正方形”。

注意：长方形标出四个直角即可，利用“同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行”很容易证明出它的两组对边分别平行（所以不用标注平行符号）；正方形不仅要标出四个直角，还要标注“四边相等”这个特性。

如下图当然如果用含字母的等式表示相等就更好了，在五年级会学到，这里不作要求。

至少要学会右边这两种依据特性标注的方法。

9、平行四边形和梯形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；10、只有一组对边平行的四边形叫做梯形。

菱形（考试不要求）：四条边都相等的四边形是菱形，菱形是特殊的平行四边形。

正方形是特殊的菱形，特殊在“正方形是有四个直角的菱形”。

正方形是长方形“有四个直角”和菱形“四边相等”特性的结合体，是最特殊的平行四边形，也叫做“正四边形”。

三年级下册数学试题-奥数专题讲练：第10讲图形规律提高篇(解析版)全国通用

第十讲图形规律【精品】在今天这节课中，我们将来研究图形规律问题．教师通过研究几何图形出发引导学生正确观察思考图形规律，并且帮助学生掌握观察思考复杂图形变化规律的方法，培养学生全面地、由浅入深、由简到繁观察思考问题的良好习惯以及获得利用规律解决问题的能力. 知识点 1、从图形数量、位置变化出发观察思考几何图形的规律2、从图形形状、大小变化发现寻找图形的变化规律3、掌握寻找复杂图形变化规律的方法分析：第一排按1到6的顺序排列，从第二排起把第一个移动到最后，剩下的依次往前移.如右图所示，这样每一横行和每一竖行都没有重复.答案不唯一，类似的方法还有很多.找规律是解决数学问题的一种重要的手段，而规律的找寻既需要敏锐的观察力，又需要严密的逻辑推理能力.一般地说，在观察图形变化规律时，应抓住一下几点来考虑问题：（1）图形数量的变化；（2）图形形状的变化；（3）图形大小的变化；（4）图形颜色的变化；（5）图形位置的变化；（6）图形繁简的变化.对于较复杂的图形，也可分为几部分来分别考虑，总而言之，只要全面观察，勤于思考就一定能抓住规律，解决问题.教学目标专题精讲想挑战吗？有六种不同图案的瓷砖，每种各6块.将它们砌在如下图那样的地面上，使每一横行和每一竖行都没有相同图案的瓷砖.你会怎样设计？（一）从图形形状、大小、颜色变化发现寻找图形的变化规律【例1】根据左边图形的关系，画出右边图形的另一半.（1）（2）（3）分析：（1）由左边图形的变化，即阴影部分从内环变为外环，可得“？”处应填：（2）已知图形是两层圆形对应两层方形，三层圆形对应三层方形，阴影部分变为非阴影部分，所以“？”应填：（3）图形都是△和□，阴影部分两个图形的位置正好相反，△的阴影部分在上面，即“？”处□的阴影应该在下方：【例2】按照下列图形的变化规律，空白处应是什么样的图形？？分析：先看图中不变的部分.在整个变化过程中，图形中大小两个正方形没有变化，因此可以肯定空白处的图形一定是大小两个正方形，位置是一里一外.变化的部分可以分为两部分：（1）图形中的直线段部分，其变化规律是每次顺时针旋转90°，因此空白处图中的直线段应是如右图的形状.（2）图中的阴影部分，是在小正方形的对角线的左右两边交替出现的，因此空白处图中的阴影部分应在小正方形对角线的右边.根据上面的分析，可画出空白处的图形，如图所示:[巩固]请你认真仔细观察，按照下面图形的变化规律，在“?”处画出合适的图形。

2019秋三年级上册精英班讲义第10讲图形综合(教师版)

四季教育-2018年秋季-精英班-三年级-第10讲JY(3)第十讲图形综合解答姓名一、基础例题1、把7 个完全相同的小长方形拼成如下图。

已知每个小长方形的长是5 厘米，求拼成的大长方形的周长。

答案：34 厘米。

解析：小长方形的长是5 厘米，所以拼成的大长方形的长为5×2=10（厘米）。

注意到大长方形的长是由 5 个大小完全相同的小长方形的宽组成的，所以小长方形的宽就是10÷5=2（厘米），则大长方形的宽就是5+2=7（厘米），大长方形的周长为（10+7）×2=34（厘米）。

2、一个长方形的周长是24 厘米，它恰能分成3 个正方形。

每个正方形的周长是多少厘米？答案:12 厘米。

解析：如下图所示，每个小正方形的边长为24÷[（3+1）×2]=3(厘米)，故每个正方形的周长为3×4=12（厘米）。

3、有两个相同的长方形，长6 厘米，宽4 厘米，将他们按如图所示叠放在一起，这个图形的周长和面积分别是多少？答案：24；32。

解析：叠放在一起所组成的图形的周长比原来两个长方形的周长和少一个边长为 4 厘米的正方形的周长，面积也是同样的情况。

周长为（6＋4）×2×2 －4×4＝24（厘米），面积为4×6×2－4×4＝32（平方厘米）。

二、举一反三4、如下图，用5 个小正方形和1 个大正方形拼成一个更大的正方形,若此最大正方形的周长为120 厘米，则图中的5 个小正方形周长之和为多少？四季教育-2018年秋季-精英班-三年级-第10讲答案：200 厘米。

解析：大正方形的边长是小正方形边长的 2 倍，所以每个小正方形的边长为120÷4÷(1＋2)＝10(cm)，周长是10×4＝40(cm)。

那么，5 个小正方形周长之和为40×5＝200(cm)。

5、已知长方形的长是宽的5 倍，长方形的周长是36 厘米，求长方形的面积.答案：45 平方厘米。

九年级数学上册单元及第一章备课

单元及第一章备课第二项：单元备课第周第课时难点运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．教学方法自主探究，合作交流，精讲多练，当堂达标教学过程二次备课一、学习新知：自学课本，明确以下知识，并在小组内交流。

1、平行四边形的定义（1）定义：________________________________________叫做平行四边形。

（2）几何语言表述: ∵ AB∥CD AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形（3）定义的双重性: 具备__________________的四边形，才是平行四边形，反过来，平行四边形就一定具有性质。

（4）平行四边形的表示：平行四边形ABCD记作_________,读作___________.2、平行四边形的性质平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？已知：如图ABCD，求证：AB＝CD，CB＝AD．分析：要证AB＝CD，CB＝AD．我们可以考虑只要证明四条线段所在的两个三角形全等，因此我们可以作辅助线__________________,它将平行四边形分成_________和__________，我们只要证明这两个三角形全等即可得到结论．证明：总结：本题提供了证明线段相等的方法，也体现了数学中的转化思想。

在上题中你能证明∠B=∠D, ∠BAD=∠BCD吗？利用我们学过的方法试一试。

由学生自己自学总结并记忆、整理，教师对学生的表现及时给予鼓励。

教师提出问题后，小组内交流，讨论出四边形转化为三角形问题是作对角线。

生独立完成证明：通过上面的证明，我们得到了：平行四边形的性质定理1是_______________________________________. 平行四边形的性质定理2是_______________________________________.二、典型示例：例1、如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE．例2、（1）在平行四边形ABCD中，∠A=500，求∠B、∠C、∠D的度数。

2011中考数学专题(空间与图形)—第十讲《四边形(二)》课件(北师大版)

能力训练
三、解答题：解答题： 14、如图，在矩形边上一点，、如图，在矩形ABCD中，F是BC边上一点，AF 中是边上一点的延长线交DC的延长线于点，DE⊥AG于E，且的延长线交的延长线于点G， ⊥ 于，的延长线于点 DE＝DC，根据上述条件，请在图中找出一对全等＝，根据上述条件，三角形，并证明你的结论. 三角形，并证明你的结论
典型例题
已知：如图，为对角线BD的中点例4 已知：如图，O为ABCD对角线的中点，MN过O 对角线的中点，过且垂直BD，分别交CD、于、．求证：且垂直，分别交、AB于M、N．求证：四边形 DNBM是菱形．是菱形．是菱形分析：已知MN为BD的垂直平分线，有DM=BM，DN=BN，的垂直平分线，分析：已知为的垂直平分线，， A 又由△ ，，又由△DOM≌△BON，得DM=BN，即由四条边都相等的 ≌ D N 四边形是菱形可证得结论. 四边形是菱形可证得结论证明：证明：∵MN为BD的垂直平分线为的垂直平分线 O ∴DM=BM，DN=BN ， M 又∵△DOM≌△BON ≌ B C ∴DM=BN，， ∴DM=BM=BN=DN．．四边形DNBM是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）是菱形（ ∴四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形）
能力训练
10、如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝、如图，在矩形中＝，＝ 12cm，P点在边上以每秒 cm的速度从向D运点在AD边上以每秒的速度从A向运，点在边上以每秒1 的速度从边上，的速度从C点出发动，点Q在BC边上，以每秒 cm的速度从点出发，在边上以每秒4 的速度从点出发，间往返运动，点到达D点在CB间往返运动，二点同时出发，待P点到达点间往返运动二点同时出发，点到达为止，在这段时间内，线段PQ有为止，在这段时间内，线段有（）次平行于 AB. D A、1 A B、2 C、3 D、4 、、、、

高斯小学奥数含答案二年级第10讲-平面图形认知

高斯小学奥数含答案二年级(下)第10讲-平面图形认知(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第十讲平面图形认知前续知识点：二年级第一讲；XX 模块第X 讲后续知识点：X 年级第X 讲；XX 模块第X 讲只需换风格就行，与其它的风格相符．长方形家族的成员集合！菱形家族的成员集合！长方形，一定菱形，必胜！咦？我是正方形，我该去哪边呢？你是长方形家族的！你属于菱形，快归队！啊！！！救命！说一说，正方形到底该去哪边呢？在我们的周围有许多的几何图形：教室的墙、天花板都是长方形的，人民币是长方形的，我们现在正在看的这页纸也是长方形的，尼泊尔的国旗是三角形的，乐器中的三角铁也是三角形的．这些都是最基本的平面图形．在本讲中，我们就来认识一些基本的几何图形．例题1下图中哪些是三角形？哪些是长方形哪些是平行四边形哪些是菱形【提示】正方形既属于长方形也属于菱形．练习1数一数下面这幅画中的各种图形，并分别在横线上写出相应的个数．如果没有，在横线上打“×”．（不包括几个图形拼成的新图形）圆形___________ 平行四边形__________ 正方形_________ 菱形________________ 长方形_________ 梯形________________ 三角形_________ 五边形______________下面我们来了解一下图形的周长．周长是指围绕一个图形一周的长度．实际上，一般图形的周长都可以用所有边长相加得出．例题2如图，用4个完全相同的边长分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形拼成了一个“风车”．那么这个风车的周长是多少厘米？【提示】周长就是图形外围一周边的长度之和．练习2用4个完全相同的长和宽分别为10厘米、4厘米的长方形拼成如下图形．那么这个图形的周长是多少厘米例题3现有两个完全相同的各边长分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形纸片．（1）能拼成几个不同的等腰三角形几个不同的平行四边形（2）画出拼成后的每个图形，它们的周长分别是多少厘米【提示】动手拼拼看．练习3用两个完全相同的各边长分别为3厘米、4厘米、5厘米的直角三角形纸片，可以拼成几个不同的等腰三角形几个不同的平行四边形三角形是由三条线段首尾顺次相连得到的，是几何图案的基本图形．那么任意三条线段都能拼成一个三角形吗？动手试一试吧！例题4下面每组线段都可以拼接成一个三角形吗？可以的，在这组线段后面的括号中打“√”，不可以的，则在对应的括号中打“×”．【提示】三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．练习4下面每组线段都可以拼接成一个三角形吗可以的，在这组线段后面的括号中打“√”，不可以的，则在对应的括号中打“×”．（1）1厘米，3厘米，7厘米．（）（2）2厘米，5厘米，7厘米．（）（3）2厘米，6厘米，4厘米．（）（4）5厘米，8厘米，9厘米．（）（5）4厘米，4厘米，8厘米．（）（6）6厘米，7厘米，7厘米．（）例题5（1）一个等腰三角形的两条边的长度分别是3厘米和4厘米，那么这个三角形的周长可能是多少？（2）一个等腰三角形的两条边的长度分别是4厘米和9厘米，那么这个三角形的周长可能是多少【提示】利用三角形的组成条件，先判断三角形第三边是多少，再求周长．例题6周长是12厘米，各边长都是整数的等腰三角形有几种？（1）（2）（3）（）（）（）【提示】等边三角形属于等腰三角形吗？课堂内外错觉一般说来，两个相等的图形，如果一个在内部包含某个图形，而一个被包含在某个图形的内部，那么被包含的图就会显得比较大．下图就说明了这种错觉，右边的内圆显得比左边的外圆更大些，尽管它们实际上是一样大的．下面这个图更突出了这种错觉，两个本来相等的圆，右边的显得比左边的更大．作业1.下图中共有几个三角形几个长方形几个菱形几个平行四边形2.用四个完全相同的长和宽分别是5厘米和1厘米的长方形拼成如下图形，这个图形的周长为多少厘米3. 用3个完全相同的长和宽分别是3厘米和2厘米的长方形，可以拼成几个不同的长方形它们的周长分别是多少厘米4. 判断下面每组线段是否可以拼接成一个三角形．可以的，在对应的横线上打“√”；不可以的，在对应的横线上打“×”．（1）3厘米，6厘米，2厘米．________ （2）8厘米，8厘米，8厘米．________ （3）5厘米，1厘米，4厘米．________ （4）9厘米，5厘米，9厘米．________5. （1）一个等腰三角形的两条边长度分别是6厘米和10厘米，那么这个三角形的周长可能是多少厘米（2）等腰三角形的两条边长度分别为3厘米和8厘米，那么这个三角形的周长可能是多少厘米．15。

2013夏季四提高教材第十讲神奇的图形世界电子版教材

第十讲神奇的图形世界基础知识：一、轴对称1、把一个图形沿着某一条直线对折，如果直线两侧的部分能完全重合，那么这两部分图形就成轴对称，这个图形就是轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

对折后重合的点是对应点，叫对称点。

对称点到对称轴的距离相等。

2、轴对称与成轴对称图形的区别轴对称是指两个图形，轴对称图形是指一个图形的两个部分。

成轴对称的两个图形，对称轴只有一条。

轴对称图形可以有一条、两条甚至无数条对称轴。

3、判断两个图形是不是成轴对称，我们可以将两个图形沿着它们之间的某一条直线折叠，看它们对应的点、对应的线段、对应的角是否完全重合在对称轴的另一侧。

4、画已知图形的轴对称图形，先要在对称轴的另一侧等距离地找到已知图形各个顶点的对称点，再把这些对称点依次连接成与已知图形相同但方向相反的图形。

二、平移1、在同一平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。

2、平移不改变图形的形状和大小，只是位置发生变化。

三、旋转1、把一个图形绕着某一点或某一条轴转动一定角度的图形变换叫做旋转。

2、画旋转图形，关键是找到已知图形旋转后的对应点。

如简单图形旋转90°的画法：利用图形旋转的特征和性质，原图形上的关键点和旋转后的对应点与旋转点所连线段的夹角都是90°对应点到旋转点的距离同关键点到旋转点的距离相等，从而把图形的旋转分解为图形上关键点与旋转点连线的旋转。

(1)先找出原图形的几个关键点(一般是图形的顶点或线段的端点、交点)，借助三角板作关键点所在线段的垂线；也可以直接以旋转点为端点，作出所找线段的垂线。

(2)从旋转点开始，在所作的垂线上量出与原线段相等的长度，确定出原图关键点的对应点的位置。

(3)顺次连接所画出的对应点。

例题系列：例1．下列图形中是轴对称图形的画上“√”，并画出它的对称轴。

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )分析与解：此题我们可以通过轴对称的概念来判断。

部编版数学五年级上册第10讲.几何计数进阶.优秀A版

答案：12 个。
杯赛提高
如图，方格纸上放了 20 枚棋子，以这些棋子为顶点，可以连出多少个正方形？
【分析】除了图中的 9 个正方形之外，还可以连出许多的斜三角形，经过尝试不难看出，斜三角形只有下列四种形式：
第９级下优秀 A 版教师版９
容易数出，第一种有 4 个，第二种有 2 个，第三种有 4 个，第四种有 2 个.综上，总共 9 4 2 4 2 21 个.
”的长方形中.
（1）如图 1 中含有“
”的所有长方形（含正方形）有多少个？
（2）如图 2 中含有两个“
”的长方形（含正方形）有多少个？
（3）如图 2 中只含一个“
” 的长方形（含正方形）有多少个？
（4）如图 2 中不含“
”的长方形（含正方形）有多少个？
４第９级下优秀Ａ版教师版
第１０讲
例5
一个三角形的 3 条边上共有 7 个点，画出这 7 个点之间的全部连线（同一条边上的两点不画）后，发现在这些连线的交点没有出现过重合；请问三角形内共有多少个交点？
（学案对应：学案 4）【分析】转化法和排除法的综合应用.每一个交点唯一对应不共线的 4 个点，故 C94 之后还要减去有
共线的情况： C74 C33 C41 35 4 31个. 此题可以拓展如下：三角形每边各有三个点，则三角形内部交点个数有多少个？
（2）含两个“
46=24
”最小长方形（此图为正方形）左上角有 4 个点，右下角有 6 个点，即
（3）只含一个：容斥原理： 6 8 6 9 24 80
（4）不含：排除法： C62 C52 80 24 46 （5）至少含一个：80+24=104
想想练练：如图，包含两个五角星的长方形有多少个？

【详解】二年级(上)第10讲图形变换

第十讲图形变换1.例题1答案：如图所示：详解：房子在平移时，整体都在移动，找出房子墙角的一点作为关键点，注意平移前后大小、形状、方向不发生变化，并画出平移的轨迹．2.例题2答案：如图所示：详解：找关键点，注意图形大小、形状、方向不发生改变，只有位置发生改变．数对是表示把图形往两个方向平移，先把中心的图形中的3个顶点标出，然后分别把这3个点按照数对的方向平移，最后用直线连接3个点组成图形．3.例题3答案：如图所示：详解：找准图形的关键点和关键线，依次进行旋转，之后再连接画出完整的图形．注意旋转后图形大小、形状不变，位置、方向改变．4.例题4详解：“笑脸”是按照逆时针方向进行旋转，再进行移动，注意题中要求只能向右或者向下移动，所以先找出便捷的移动路径，就是向右直走或向下直走．5. 例题5答案：如图所示：详解：先观察A要求，其中有1条可以经过平移到A 位置，其余2条都是旋转加平移到A 位置．6. 例题6答案：如图所示：详解：根据平移和旋转的特点判断．平移：大小、形状、方向不变，位置变．旋转：大小、形状不变，方向、位置变．旋转方向可分为顺时针和逆时针方向旋转．7. 练习1答案：如图所示：（ ② ）简答：图形在平移时，整体都在移动，找出图形的一点作为关键点，注意平移前后大小、形状、方向不发生变化，并画出平移的轨迹．8.练习2答案：A简答：找关键点，注意图形大小、形状、方向不发生改变，只有位置发生改变．数对是表示把图形往两个方向平移，先把图形中的1个顶点标出，然后把这1个点按照数对的方向平移，画出平移的轨迹，可知图形是向下平移4格，向右平移11格．所以选择A．9.练习3答案：B简答：图中长条颜色不同，最下面是绿色，再橘黄色，最上面是蓝色．所以旋转之后图形颜色先后顺序不能改变．10. 练习4简答：者向下移动，所以先找出便捷的移动路径，就是向右直走或向下直走．11. 作业1答案：向上平移6格；向右平移12格简答：从关键点入手，根据关键点的移动推测图形的移动．12. 作业2答案：C简答：在观察图形平移的距离时，要找平移前后的图形相同位置之间的距离．本题可以看箭头最下面的顶点与向上平移后箭头最下面顶点间的距离，可以看出是4格，判断向右平移时方法一致．13. 作业3答案：C简答：本题的关键点在于审题，题目要求是绕田字格中心旋转，需要注意平行四边形中直线的对应．平行四边形绕田字格中心位置旋转时，顶点一直在田字格的中心上，所以综合考虑下来只有答案C 满足要求．14. 作业4简答：或者向下移动，所以先找出便捷的移动路径，就是向右直走或向下直走．？15.作业5答案：如图所示：A简答：平移只改变图形位置，不改变图形方向、大小；旋转只改变图形方向、位置，而不改变图形大小．观察可知只有1只小鸟可以平移到A小鸟的位置，有2只可以旋转加平移到A小鸟的位置．。

人教版初中数学中考总复习：特殊的四边形--知识讲解(基础)

第十九讲特殊的四边形【考纲要求】1. 会识别矩形、菱形、正方形以及梯形；2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题．3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性质和判定，会用性质和判定解决实际问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、几种特殊四边形性质、判定四边形性质判定边角对角线矩形对边平行且相等四个角是直角相等且互相平分1、有一个角是直角的平行四边形是矩形；2、有三个角是直角的四边形是矩形；3、对角线相等的平行四边形是矩形中心、轴对称图形菱形四条边相等对角相等，邻角互补垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、四条边都相等的四边形是菱形；3、对角线互相垂直的平行四边形是菱中心、轴对称图形.形正方形四条边相等四个角是直角相等、垂直、平分，并且每一条对角线平分一组对角1、邻边相等的矩形是正方形2、对角线垂直的矩形是正方形3、有一个角是直角的菱形是正方形4、对角线相等的菱形是正方形中心、轴对称图形等腰梯形两底平行，两腰相等同一底上的两个角相等相等1、两腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3、对角线相等的梯形是等腰梯形.轴对称图形【要点诠释】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们具有平行四边形的一切性质.考点二、梯形1．解决梯形问题常用的方法：（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（图2）；（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（图3）；（4）“延腰”：构造具有公共角的两个三角形（图4）；（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）．图1 图2 图3 图4 图5【要点诠释】解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．在学习时注意它们的作用，掌握这些辅助线的使用对于学好梯形内容很有帮助．2.特殊的梯形1）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．性质：（1）等腰梯形的同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等．（2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形．（3）等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过两底中点的一条直线．2）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．考点三、中点四边形相关问题1.中点四边形的概念：把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．2.若中点四边形为矩形，则原四边形满足条件对角线互相垂直；若中点四边形为菱形，则原四边形满足条件对角线相等；若中点四边形为正方形，则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等．【要点诠释】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．【典型例题】类型一、特殊的平行四边形的应用1. 在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE.（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是；（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是；（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由.【思路点拨】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．【答案与解析】（1）四边形EGFH是平行四边形；证明：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∴点O是平行四边形ABCD的对称中心；∴EO=FO，GO=HO；∴四边形EGFH是平行四边形；（2）菱形；（提示：菱形的对角线垂直平分）（3）菱形；（提示：当AC=BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响，故结论同（2））（4）四边形EGFH是正方形；证明：∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形；又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；∵EF⊥GH，∴∠GOF=90°；∴∠BOG=∠COF；∴△BOG≌△COF（ASA）；∴OG=OF，∴GH=EF；由（3）知四边形EGFH是菱形，又EF=GH，∴四边形EGFH是正方形．【总结升华】主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质；熟练掌握各特殊四边形的联系和区别是解答此类题目的关键．2．动手操作：在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形．小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），小明同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠CAD，∠ACF=∠ACB 的方法得到菱形AECF（见方案二）．（1）你能说出小颖、小明所折出的菱形的理由吗？（2）请你通过计算，比较小颖和小明同学的折法中，哪种菱形面积较大？【思路点拨】（1）、要证所折图形是菱形，只需证四边相等即可．（2）、按照图形用面积公式计算S=30和S=35.21，可知方案二小明同学所折的菱形面积较大．【答案与解析】（1）小颖的理由：依次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形，小明的理由：∵ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，则∠DAC=∠ACB ，又∵∠CAE=∠CAD ，∠ACF=∠ACB ， ∴∠CAE=∠CAD=∠ACF=∠ACB ， ∴AE=EC=CF=FA ， ∴四边形AECF 是菱形．（2）方案一：S 菱形=S 矩形-4S △AEH =12×5-4×12×6×52=30（cm ）2，方案二：设BE=x ，则CE=12-x ， ∴AE=22BE AB +=225x +由AECF 是菱形，则AE 2=CE 2∴x 2+25=（12-x ）2， ∴x=11924， S 菱形=S 矩形-2S △ABE =12×5-2×12×5×11924≈35.21（cm ）2，比较可知，方案二小明同学所折的菱形面积较大．【总结升华】本题考查了矩形的性质和菱形的判定，以及图形面积的计算与比较．举一反三：【变式】如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC=3，则折痕CE 的长为（）.A.B．C．4 D．5【答案】A.类型二、梯形的应用3.（•黄州区校级模拟）如图，△ABC中，∠BAC=90°，延长BA至D，使AD=AB，点E、F分别是边BC、AC的中点．（1）判断四边形DBEF的形状并证明；（2）过点A作AG∥BC交DF于G，求证：AG=DG．【思路点拨】（1）利用梯形的判定首先得出四边形DBEF为梯形，进而得出四边形HFEB是平行四边形，得出BE=FD进而得出答案；（2）利用四边形DBEF为等腰梯形，得出∠B=∠D，利用AG∥BG，∠B=∠DAG，得出答案．【答案与解析】（1）解：四边形DBEF为等腰梯形，理由如下：如图，过点F作FH∥BC，交AB于点H，∵FH∥BC，点F是AC的中点，点E是BC的中点，∴AH=BH=AB，EF∥AB，显然EF＜AB＜AD，∴EF≠AD，∴四边形DBEF为梯形，∵AD=AB，∴AD=AH，∴CA是DH的中垂线，∴DF=FH，∵FH∥BC，EF∥AB，∴四边形HFEB是平行四边形，∴FH=BE，∴BE=FD，故四边形DBEF为等腰梯形；（2）证明：∵四边形DBEF为等腰梯形，∴∠B=∠D，∵AG∥BG，∠B=∠DAG，∴∠D=∠DAG，∴AG=D G．【总结升华】此题主要考查了等腰梯形的判定以及其性质和平行四边形的判定与性质等知识，得出BE=FD 是解题关键．举一反三：【变式】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD=2.7，AF=4，AB=6，则CE的长为（）.C. 2.5D.2.3A.22B. 231类型三、特殊四边形与其他知识结合的综合运用4. （•北京）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．【思路点拨】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE 是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；（2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DFA=∠FAB．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC===5，∴AD=BC=DF=5，∴∠DAF=∠DFA，∴∠DAF=∠FAB，即AF平分∠DAB．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．5．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．【思路点拨】（1）根据菱形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度；（2）先利用“边角边”证明△CEM和△CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于点G，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用“角角边”证明△CDF和△BGF 全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，最后结合图形GM=GF+MF即可得证．【答案与解析】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠1=∠ACD，∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴MC=MD，∵ME⊥CD，∴CD=2CE，∵CE=1，∴CD=2，∴BC=CD=2；（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，∴BF=CF=12BC，∴CF=CE，在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，在△CEM和△CFM中，∵CE CFACB ACDCM CM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF，延长AB交DF于点G，∵AB∥CD，∴∠G=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠G，∴AM=MG，在△CDF和△BGF中，∵2GBFG CFDBF CF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GF=DF，由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME．【总结升华】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．6 . 如图，己知ABC的顶点B、C为定点，A为动点(不在直线BC上)．是点B关于直线AC的对称点，是点C关于直线AB的对称点．连结、、、．(1)猜想线段与'的数量关系，并证明你的结论；(2)当点A运动到怎样的位置时，四边形为菱形?这样的位置有几个?请用语言对这样的位置进行描述；(不用证明)(3)当点A在线段BC的垂直平分线l(BC的中点及到BC的距离为的点除外)上运动时，判断以点B、C、、为顶点的四边形的形状，画出相应的示意图．(不用证明)【思路点拨】本题考查轴对称的基本性质，综合考查菱形、正方形、等腰梯形的判定．在运动变化过程中，认识图形之间的内在联系．【答案与解析】（1）猜想：BC′=CB′∵B′是点B关于直线AC的对称点∴AC垂直平分B B′∴BC= CB′同理BC= BC′∴B C′=C B′（2）要使BCB′C′是菱形,根据菱形的性质，对角线互相垂直平分∵B′是点B关于直线AC的对称点，C′是点C关于直线AB的对称点∴AC垂直平分B B′,AB垂直平分C C′,∴B B′、C C′应该同时过A点∴∠BAC=90°∴只要AB⊥AC即可满足要求，这样的位置有无数个.（3）如图，当A是BC的中点时，没有形成四边形；当A到BC时,∵l是BC的垂直平分线,∴∠ACB=∠ABC=30°,∴∠BAC=120°,∴∠BOC=60°,∴BC=C B′= B′C′=B C′.∴BC B′C′为菱形,当BC的中点及到BC BC的点除外时,∵∠BOC= B′O C′,OB=OC O B′=O C′,∴∠OBC=∠OCB=∠O B′C′=∠O C′B′,∴BC∥B′C′.∵B C′不平行C B′，B C′=C B′,四边形BC B′ C′为等腰梯形．【总结升华】本题可以很好的培养观察推理能力，按照要求画出图形可以更清楚的解题．举一反三：【变式】（2012•襄阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．【答案】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠DEC=∠AEB，又∵EB=EC，∴△DEC≌△AEB，∴AB=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形．（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．证明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．∴AB=ED，∵AB⊥AC，∴AE=BE=EC，∴四边形AECD是菱形．过A作AG⊥BE于点G，∵AE=BE=AB=2，∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴AG=3，∴S菱形AECD=EC•AG=2×3=23.第十九讲特殊的四边形一、选择题1.（•天水）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和BC′F的周长之和为（）A．3 B．4 C．6 D．82.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF面积为( )．A．4 B．6 C．8 D．103．如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的一点，PE⊥AC，垂足为E，PF⊥BD，垂足为F，则PE+PF的值为( )．A．B．C．2 D．第3题第4题4.如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使EFGH为矩形，四边形应该具备的条件是（）.A．一组对边平行而另一组对边不平行B．对角线相等C．对角线相互垂直 D．对角线互相平分5.如图，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OE⊥OF分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF等于（）.A.7B.5C.4D.3第5题第6题6.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）.A．15° B．18° C．36° D．54°二、填空题7.（春•西城区期末）直角△ABC中，∠BAC=90°，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，已知DF=3，则AE= ．8. 如图，菱形ABCD中，于E，于F，，则等于___________．9. 正方形ABCD中，E为BC上一点，BE=，CE=，P在BD上，则PE+PC的最小值可能为__________．10.如图，M为正方形ABCD中BC边的中点，将正方形折起，使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形的面积为64，则△AEM的面积为____________．11.如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC=4，BC=3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC 于F，则线段EF长度的最小值是_______________.第10题第11题第12题12.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2AD=23，点E是BC边的中点，△DEF是等边三角形，DF交AB于点G，则△BFG的周长为________．三、解答题13．如图1，图2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A，B重合)，另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．(1)如图1，当点E在AB边的中点位置时：①猜想DE与EF满足的数量关系是__________；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是__________；③请证明你的上述两个猜想．(2)如图2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时 DE 与EF有怎样的数量关系．14. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=3cm，∠A=120°，BD⊥CD，(1)求BC、AD的长度；(2)若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm/秒的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出t的取值范围(不包含点P在B、C两点的情况)；(3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．15. （•青岛模拟）已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F．（1）如图1，当P点在线段AB上时，PE+PF的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请加以说明．（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE﹣PF的值．16.如图，十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形（其中有三个小正方形的边长已标出字母x，y，z）．试求满足上述条件的矩形的面积最小值．【答案与解析】一．选择题1．【答案】C．【解析】将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，由折叠特性可得，CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90°∴∠ABE=∠C′BF在△BAE和△BC′F中，∴△BAE≌△BC′F（ASA），∵△ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3，△ABE和△BC′F的周长=2△ABE的周长=2×3=6．故选：C．2．【答案】C.3．【答案】A.4．【答案】C.5．【答案】B.【解析】可证△OEB≌△OFC，则EB=FC=3，AE=BF=4，32346．【答案】B.【解析】由题意∠ADE=54°，∠CDE＝36°，∠DCE=54°，∠BDE=54°-36°=18°.二．填空题7．【答案】3．【解析】如图，∵在直角△ABC中，∠BAC=90°，D、F分别为AB、AC的中点，∴DF是△ABC的中位线，∴DF=BC．又∵点E是直角△ABC斜边BC的中点，∴AE=BC，∵DF=3，∴DF=AE．故填：3．8．【答案】60°.9．【答案】.10．【答案】10.【解析】提示：设AE=x=EM ,BE=8-x,MB=4,在Rt△BEM中由勾股定理解得x=5,从而算出面积.11.【答案】125.【解析】连接PC．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°；又∵∠ACB=90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF=PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC=4，BC=3，∴AB=5，∴12AC•BC=12AB•PC，∴PC=125．∴线段EF长的最小值为125；故答案是：125．12．【答案】3+3.【解析】首先由已知AD∥BC，∠ABC=90°点E是BC边的中点，推出四边形ABED是矩形，所以得到直角三角形CED，所以能求出CD和DE，又由△DEF是等边三角形，得出DF，由直角三角形AGD可求出AG、DG，进而求得FG，再证△AGD≌△BGF，得到BF=AD，从而求出△BFG的周长．三.综合题13．【解析】（1）①DE=EF；②NE=BF；③∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，∵N，E分别为AD，AB中点，∴AN=DN=12AD，AE=EB=12AB，∴DN=BE，AN=AE，∵∠DEF=90°，∴∠AED+∠FEB=90°，又∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠FEB=∠ADE，又∵AN=AE，∴∠ANE=∠AEN，又∵∠A=90°，∴∠ANE=45°，∴∠DNE=180°-∠ANE=135°，又∵∠CBM=90°，BF平分∠CBM，∴∠CBF=45°，∠EBF=135°，∴△DNE≌△EBF（ASA），∴DE=EF，NE=BF．（2）在DA上截取DN=EB（或截取AN=AE），连接NE，则点N可使得NE=BF．此时DE=EF．证明方法同（1），证△DNE≌△EBF．14．【解析】（1）在Rt△BCD中，CD=3cm，∠C=60°, ∴∠DBC=30°,∴BC=2CD=6cm.由已知得：梯形ABCD是等腰梯形,∴∠ABC=∠C=60°,∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=30°.∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=30°,∴∠ABD=∠ADB,∴AD=AB=3cm.（2）当P、Q分别从B、C同时出发运动t秒时，BP=2t，CQ=t, ∴PC=6-2t,过Q作QE⊥BC于E，则QE=CQsin60°=32t,∴S梯形ABCD-S△PCQ=2734-34（6-2t）t=34（2t2-6t+27）（0＜t＜3）.（3）存在时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5.∵S梯形ABCD=2734，S△ABD=12×3×32×3,∴S△ABD=13×S梯形ABCD,∴五边形ABPQD的面积不可能是梯形ABCD面积的16.∴S△PCQ：S五边形ABPQD=1：5，即S五边形ABPQD=56S梯形ABCD∴34（2t2-6t+27）=56×2734,整理得：4t2-12t+9=0,∴t=32，即当t=32秒时，PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5．15．【解析】解：（1）是定值，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45°=a．（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE﹣PF=OF﹣BF=OB=acos45°=a．16.【解析】已有三个小正方形的边长为x，y，z，我们通过x，y，z表示其余正方形的边长依次填在每个正方形中，它们是x+y，x+2y，x+3y，4y，x+7y，2x+y，2x+y+z，4x+4y-z，4x+4y-2x及5x-2y+z．因矩形对边相等，所以得11x+3y=7x+16y-z及8x+8y-3z=6x+5y+z．化简上述的两个方程得到z=13y-4x，4z=2x+3y，消去z得18x=49y．因为18与49互质，所以x、y的最小自然数解是x=49，y=18，此时z=38．以x=49，y=18，z=38代入矩形长、宽的表达式11x+3y及8x+8y-3z，得长、宽分别为593和422．此时得最小面积值是593×422=250246．。

高一物理秋季第十讲思维导图

静力学平衡（合力为零）
1.明确研究对象
2.按顺序找力
先场力（重力、电场力、磁场力），后接触力；接触力中必须先弹
如何进行受力分析同｜力，后摩擦力（只有在有弹力的接触面之间才可能有摩擦力）·
3.只画性质力，不画效果力
4.需要合成或分解时，必须画出相应的平行四边形（或三角形）
①选取研究对象：处于平衡状态的物体：
②对研究对象进行受力分析，画受力图：
正交分解法在平衡问题中应用阿－③建立直角坐标系：
④根据Fx=O和Fy=O�tl方程；
⑤解方程，求出结果，必要时还应进行讨论。

用图解法处理物体的动态平衡问题b
利用图解法解决此类问题的基本方法是：对研究对象在状态
变化过程中的若干状态进行受力分析，依据某一参量的变
化，在同一图中做出物体在若干状态下的平衡力图（力的平
行四边形简化为三角形〉，再由动态的力四边形各边长度变
临界状态处理方法一假设法←
化及角度变化确定力的大小及方向的变化情况。

某种物理现象变化为另一种物理现象的转折状态
叫做临界状态，平衡物体的临界状态是指物体所
处的平衡状态将要破坏、而尚未破坏的状态。

解
答平衡物体的临界问题时可用假设法。

(1)明确研究对
象：
(2）画受力图：
(3）假设可发生的临界现象：
(4）列出满足所发生的临界现象的平衡方程求解。

2023年五年级秋季奥数材料第十讲等高模型课件

能力冲浪 5
1、三条边长分别为 9 厘米、12 厘米、15 厘米的直角三角形,将它的长直角边对折到斜边上去,与斜边重合(如下图所示)。那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米?
2、如下图所示,边长为 6 厘米和 9 厘米的两个正方形并放在一起,则△ABC(阴影部分)的面积是多少平方厘米?
例6：直角三角形ABC的三条边AB、AC、BC分别是5厘米、3厘米、4厘米。将它的直角
第十讲等高模型
专题解析 1、等底等高的两个三角形面积相等，可利用这个性质对三角形进行等积变形。 2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比。两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。 3、等底等高的两个平行四边形面积相等。 4、三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。 5、如果两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比。如果两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比。
能力冲浪 3 1、如右图， ABFE 和CDEF 都是矩形， AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是_____ 平方厘米。
2、如图长方形的长是 6 米，宽是 4 米，那么阴影部分的面积为（）平方米。
3、如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是 BC 的中点，点 F 是 CD 的中点，若三角形 ABE 的面积是 5,求阴影部分四边形的面积是多少？平行四边形 ABCD 的面积呢？
能力冲浪 1
1、如图，三角形 ABC 中，BC 长度是 DE 的 3 倍，CD 是 DE 的 2 倍。如果三角形 ACD 的面积是 5 平方厘米，则三角形 ABE 和三角形 ADE 的面积分别是多少？

特殊的平行四边形教案

长分别为 cm ， cm ， cm ， cm ． 2．（选择）（1）下列说法错误的是（）．（A ）矩形的对角线互相平分（B ）矩形的对角线相等（C ）有一个角是直角的四边形是矩形（D ）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（2）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（）．（A ）2对（B ）4对（C ）6对（D ）8对 3．已知：如图，O 是矩形ABCD 对角线的交点，AE 平分∠BAD ，∠AOD=120°，求∠AEO 的度数．课后作业七、课后练习 1．（选择）矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm ，较短边的长为（）．(A)12cm (B)10cm (C)7.5cm (D)5cm 2．在直角三角形ABC 中，∠C=90°，AB=2AC ，求∠A 、∠B 的度数．3．已知：矩形ABCD 中，BC=2AB ，E 是BC 的中点，求证：EA ⊥ED ．4．如图，矩形ABCD 中，AB=2BC ，且AB=AE ，求证：∠CBE 的度数．已知：如图，E 为矩形ABCD 内一点，且EB =EC 。

求证：EA =ED .ABC DE：1.如图,矩形纸片ABCD ,且AB =6cm ,宽BC =8cm ，将纸片沿EF 折叠，使点B 与点D 重合，求折痕EF 的长。

FEDCB A2.已知矩形ABCD 中,对角线交于点O ,AB =6cm ,BC =8cm ,P 是AD 上一动点,PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，则PE +PF 的值是多少？这个值会随点P 的移动（不与A 、D 重合）而改变吗？请说明理由.ABC DE FP3.已知：如图，矩形ABCD 的两条对角线AC 、BD 相交于点O ，∠BOC =120°，AB =4cm 。

求矩形对角线的长。

ODC BA附：板书设计18.2.1 矩形(二)教学目标：理解并掌握矩形的判定方法．使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力重点、难点重点：矩形的判定．难点：矩形的判定及性质的综合应用．教学过程一、温故知新：1.矩形是轴对称图形，它有______条对称轴．2.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC=10cm，•边BC=•8cm，•则△ABO的周长为________．3.想一想：矩形有哪些性质？在这些性质中那些是平行四边形所没有的？列表进行比较.1、矩形是特殊的平行四边形，怎样判定一个平行四边形是矩形呢?请说出最基本的方法：矩形具有平行四边形不具有的性质是：思考：小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？看看谁的方法可行？（得到矩形的一个判定）2.做一做：按照画“边―直角、边－直角、边－直角、边”这样四步画出一个四边形.判断它是一个矩形吗?说明理由. （探索得到矩形的另一个判定）总结：矩形的判定方法．矩形判定方法1：______________________________矩形判定方法2：_______________________________（指出：判定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了．因为由四边形内角和可知，这时第四个角一定是直角．）3.议一议：下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（）（2）有四个角是直角的四边形是矩形；（）（3）四个角都相等的四边形是矩形；（）（4）对角线相等的四边形是矩形；（）(5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（）（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（）（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（）（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（）（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形．( )三、例题学习。

第十讲数学文化

1.数学文化
(2)新授环节:请同学们想办法画出一个圆形(发现圆的曲线美)。方法一:用圆片描摹。方法二:圆规作图。认识圆心:将所画的圆剪下来，将其对折为半圆，将半圆对折为四分之一圆，那么看到的折尖即为圆心。通常用字母O来表示。(体会圆的无限对称美)。圆规的针尖所在的点即为圆心。认识半径:打开圆片之后从圆心出发的每一条折痕即为半径。(发散美)。圆规作图的半径即为从圆心到圆上任意一点的连线即为半径。通常用字母r 来表示。
1.数学文化小学数学文化研究的意义：（1）有助于培养学生的数学素养；（2）有助于深化数学课程改革；（3）有助于推进数学素质教育。
1.数学文化
案例1:数学美的渗透（五年级下册第六单元《圆》第一课时）
教学重难点:学生掌握圆心，半径和直径的概念，并能准确识别。教学目标:(1)学生能准确认识圆心，半径，直径。 (2)学生在学习过程中体会圆的曲线美，对称美。 (3)培养学生感受数学美，发现数学美，体会数学美的能力。教师行为: (1)导入环节:同学们，现在我们开始上课！生活中同学们见过那些圆形呢？谁能来说一说。(引导学生发现生活中的数学美)，对比之前学习过的三角形，长方形。圆形和他们相比有什么相同，有什么不同呢？
1.数学文化
认识直径:打开所折叠的圆片之后，两条半径在同一条直线上并且经过圆心，那么这条线段叫做直径。通常用字母d来表示。
运用以上新授方式学生可以直观的体会到圆形的无限美，学生从书本上圆的刻板印象到实实在在看到圆的圆心，半径，直径。感受到数学美就在身边。
1.数学文化
案例2:数学史的渗透（六年级下册鸡兔同笼的数学问题）
题目:今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？教学重难点:学生掌握假设法解决鸡兔同笼的应用题。教学目标: (1)学生学会运用前人总结的假设法解决鸡兔同笼问题。 (2)体会数学文化在生活中的应用，体会数学的趣味性。

第十讲：特殊的四边形(1)

第10讲 几何综合一-完整版

北师大版九年级上册数学《菱形的性质与判定》特殊平行四边形说课教学复习课件

中考数学总复习 第一部分 教材考点全解 第五章 四边形 第特殊的平行四边形课件

第十讲 梅涅劳斯定理与塞瓦定理配套课程教案

四年级数学专题讲义第十讲 格点与面积