概率论课件估计量的优良准则

ny n fˆ ( y ) 0
ˆ) E (
n 1
0 y 其他


0
y
ny
n 1 n

n dy n 1
故θ的似然估计量为有偏估计且为渐近无偏估计.
6.2.2、有效性
ˆ ˆ ( X , , X ), i 1, 2分别是参数 的两个 设 i i 1 n ˆ ) D( ˆ ), 则称 ˆ比 ˆ 有效. 无偏估计, 若D(
2设总体X的密度函数为
x| 1 | f ( x) e 2
其中 >0,求的极大似然估计量。
4 设总体X服从Poisson分布，其分布律为
k! 试用矩法与极大似然法求λ的估计量。 P( X k )
k
e , (k 0,1, 2,...)
因此X 是所有形如i X i的的最有效估计量.
i 1
n
6.2.3相合性（一致性）
, X n )是的估计量，若 ˆ - | } 1, 对任意小的正数，都有 lim P{|
n
ˆ ˆ( X , 设 1
ˆ是的相合估计量或一致估计量。 则称
例5.设 X 1， 已知0<p<1,求p的 ， X n ~ B(m, p), 极大似然估计，并讨论所求估计量的一致性。
2 n
2 因此 Sn 是σ2渐近无偏估计.
n n 1 2 2 但是样本方差 S 2 Sn ( X X ) i n 1 n 1 i 1
却是σ2 的无偏估计量，因为
2
n 2 n n 1 2 2 E (S ) E ( Sn ) n 1 n 1 n
因而在实际问题中，我们常选用S2作为总体方差 估计量的原因。
X n}
ˆ y ) P( X y, X y, Fˆ ( y ) P( 1 2
n
X n y)
[ P{X y}] n n y y 1 ˆ 当0 y 时 P{ y} dx n 0
从而似然估计量的密度函数为
由此可求得似然估计量的数学期望
(1,2
n
,n ), (1,1,
2
,1)得
n ( , ) 2 i 1 | |2 | |2 n i2 i 1 i 1 n 1 1 2 当1 2 n 时， i 取到极小值 , n n i 1
1 2 1 2
例3 设X1,X2,…Xn是取自总体X的样本，且E(X)=μ,则
ˆ1 X , ˆ 2 X1
均是μ的无偏估计量，但
n ˆ1比 ˆ 2有效。 ˆ1 ) D( ˆ2 ), 因而 故当n 2时，D(
ˆ1 ) D(

2
2 ˆ , D( 2 )
1 n 2 2 E[( X i ) ] E[( X ) ] n i 1
1 n D( X i ) D( X ) n i 1
1 2 n n n
2
n 1 2 n
2 所以 Sn 不是σ2的无偏估计量，而
n 1 2 lim E ( S ) lim 2 n n n
iid
解 p的极大似然估计量为
1 D( X) 1 m 0， p{ X p } m 2 mp (1 p ) 0, ( n ) 2 2 m n ˆ 是p的一致性估计量。 p
1 ˆ p X. m
练习
1设总体X 服从指数分布，分布函数为 e- x , x 0 f(x)= 其他 0, 其中 0，求矩估计量与极大似然估计量。
n
i 1 i 1 n n
所以当

i 1
n
i
1时， i X i 都是μ的无偏估计量.
i=1
最有效的估计量就是方差最小的估计量,因为
Байду номын сангаас
D(1 X1 2 X 2
n X n ) D( X i )
i 1 2 i
n
2

i 1
n
2 i
利用许瓦兹不等式( , )2 | |2 | |2 , 取
X 是的无偏估计.
由于
n 1 2 2 E ( Sn ) E ( X i X ) n i 1
1 n 2 E [( X i ) ( X )] n i 1
1 n 2 2 E ( X i ) n( X ) n i 1
例1 设X1,X2,..Xn是来自总体X的样本，证明样本均值
1 n X X i是总体均值μ的无偏估计量，但样本二阶中心矩 n i 1
n 1 2 2 Sn ( X i X ) 不是方差 2 的无偏估计量， n i 1
而为渐近无偏估计 证 所以
1 n 1 n E ( X ) E ( X i ) EX i E ( X ), n i 1 n i 1
例 4 设总体X的数学期望E(X)=μ 与方差D(X)=σ2
1 2
有限，X1,X2,…Xn是来自总体X的一个样本，
n 1. 试证 1 X1 2 X 2
n X n
均为μ的无偏估计;并求这一族估计量中最有效的估 计量 证 因为
E (1 X1 2 X 2 n X n ) i E ( X i ) i
例2
解
X1 ,
, X n ~U( 0, θ),
E( X )
考察的矩估计和极大似然估计的无偏性
设总体为X，则

2
X
所以θ的矩估计量为 又因为
ˆ 2X
ˆ) 2E( X ) E(
所以θ的矩估计为无偏估计.
又由例4题可知θ的极大似然估计量为
ˆ max{X , X , 1 2