5.2 惯性矩和平行移轴公式
M02资_惯性矩和惯性积的平行移轴定理
材料力学
本章主要内容
§5–1 面积矩与形心位置 惯性矩、惯性积、 §5–2 惯性矩、惯性积、极惯性矩 §5–3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理 §5–4 惯性矩和惯性积的转轴定理 、 截面的主惯性轴和主惯性矩
材料力学
§5-1 静矩与形心位置
一、面积（对轴）矩：(与力矩类似) 面积（对轴） y 是面积与它到轴的距离之积。
I AB = I x + d 2 A=
π d 4 π d 4 5π d 4
64 + 4 = 64
材料力学
§5 - 4
惯性矩和惯性积的转轴定理、 惯性矩和惯性积的转轴定理、 截面的主惯性轴和主惯性矩
y y1 x1
一、 惯性矩和惯性积的转轴定理
x 1 = x cos α + y sin α y 1 = − x sin α + y cos α
i i
1
1
2
A2
A
A1 + A2
x
5×(−70×110) = =−20.3 120×80−70×110
图(b)
材料力学
§5 - 2
惯性矩、惯性积、 惯性矩、惯性积、极惯性矩
是面积与它到轴的距离的平方之积。
与转动惯量类似） 一、惯性矩：(与转动惯量类似） 惯性矩： 与转动惯量类似
I x =∫ y dA
tg2 0=− α IxC−I yC
2IxC yC
形心主惯ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ矩：
IxC+I yC 2 2 IxC0 IxC+I yC ± ( ) +IxCyC = 2 2 I yC0
材料力学
3.求截面形心主惯性矩的方法 ①建立坐标系 ②计算面积和面积矩 ③求形心位置
惯性矩和平行移轴公式课件
01
深入研究惯性矩和平行 移轴公式的理论和应用， 提高计算精度和效率。
Байду номын сангаас
02
探索新的计算方法和算 法，以适应更复杂和大 规模的结构分析。
03
加强与其他学科的交叉 研究，如计算机科学、 数学等，以推动相关领 域的发展。
04
推广惯性矩和平行移轴 公式的应用，提高工程 和科学研究的水平。
THANKS
感谢观看
实例二：复杂结构的平行移轴公式应用
总结词：深入浅
详细描述：以一个复杂的组合结构为例，介绍如何利用平行移轴公式计算其惯性矩。首先，对平行移轴公式的应用条件进行 说明，然后通过逐步解析和推导，展示如何将复杂的结构拆分成简单的部分，并分别计算其惯性矩，最后利用平行移轴公式 得出整个结构的惯性矩。
实例三
05
总结与展望
CHAPTER
惯性矩和平行移轴公式的重要性和意义
惯性矩
描述物体在转动时保持其转动轴不变 的特性，是工程和物理学中常用的物 理量。
平行移轴公式
应用领域
广泛应用于机械、航空、船舶、车辆 等领域，用于设计和优化各种结构。
用于计算多个轴上的惯性矩，是解决 复杂问题的重要工具。
未来研究方向和展望
工程应用
02
平行移轴公式
CHAPTER
平行移轴公式的推导
平行移轴公式的应用 01 02
平行移轴公式的证明
平行移轴公式的证明可以通过几 何证明和代数证明两种方法进行。
几何证明方法利用了平行四边形 的性质和平行线的性质，通过图 形变换和比较证明平行移轴公式
的正确性。
代数证明方法基于矩的性质和线 性代数中的向量运算，通过数学 推导证明平行移轴公式的正确性。
材料力学第五章
xC
Sy A
n
x C
Ai
i 1
n
Ai
i 1
n
yC
Sx A
i 1 n
y C
Ai
Ai
i 1
第五章 平面图形的几何性质
270
30
y [例1] 已知：图形尺寸如图
Ⅱ
所示。
求：图形的形心。
50
C2
Ⅰ
C C1
yc
z
解：1、将图形分解为 简单图形的组合
第五章 平面图形的几何性质
静矩与形心坐标之间的关系
S y
zdA
A
S z
ydA
A
Sy AzC
Sz AyC
yC
Sz A
ydA
A
A
zC
Sy A
zdA
A
A
已知静矩可以确定图形的形心坐标 已知图形的形心坐标可以确定静矩
第五章 平面图形的几何性质
构件截面的图形往往是由矩形、圆形等简单图形 组成，称为组合图形。
xc
A
G
A At g
, yc
A
G
A At g
由于是均质等厚度，t、 、g为常量，故上式可改写为
xdA
ydA
xc
A
A
, yc
A
A
第五章 平面图形的几何性质
1. 静矩的定义
对 z 轴静矩 对 y 轴静矩
Sz
ydA
A
Sy
惯性矩的计算方法
惯性矩的计算⽅法第1节静矩和形⼼静矩和形⼼任何受⼒构件的承载能⼒不仅与材料性能和加载⽅式有关，⽽且与构件截⾯的⼏何形状和尺⼨有关．如：计算杆的拉伸与压缩变形时⽤到截⾯⾯积 A ，计算圆轴扭转变形时⽤到横截⾯的极惯性矩 I等． A 、 I等是从不同⾓度反映了截⾯的⼏何特性，因此称它们为截⾯图形的⼏何性质．静矩和形⼼设有⼀任意截⾯图形如图 4 — 1 所⽰，其⾯积为 A ．选取直⾓坐标系 yoz ，在坐标为 (y,z) 处取⼀微⼩⾯积 dA ，定义微⾯积dA 乘以到 y 轴的距离 z ，沿整个截⾯的积分，为图形对 y 轴的静矩 S，其数学表达式(4 -1a )同理，图形对 z 轴的静矩为(4-1b)图 4-1截⾯静矩与坐标轴的选取有关，它随坐标轴 y 、 z 的不同⽽不同．所以静矩的数值可能是正，也可能是负或是零．静矩的量纲为长度的三次⽅．确定截⾯图形的形⼼位置 ( 图 4-1 中 C 点 ):(4 -2a )(4-2b)式中 y、 z 为截⾯图形形⼼的坐标值．若把式 (4-2) 改写成(4-3)性质：若截⾯图形的静矩等于零，则此坐标轴必定通过截⾯的形⼼．若坐标轴通过截⾯形⼼，则截⾯对此轴的静矩必为零．由于截⾯图形的对称轴必定通过截⾯形⼼，故图形对其对称轴的静矩恒为零。
4 ）⼯程实际中，有些构件的截⾯形状⽐较复杂，将这些复杂的截⾯形状看成是由若⼲简单图形 ( 如矩形、圆形等 ) 组合⽽成的．对于这样的组合截⾯图形，计算静矩 (S) 与形⼼坐标 (y、 z ) 时，可⽤以下公式(4-4)(4-5)式中 A， y ， z 分别表⽰第个简单图形的⾯积及其形⼼坐标值， n 为组成组合图形的简单图形个数．即：组合图形对某⼀轴的静矩等于组成它的简单图形对同⼀轴的静矩的代数和．组合图形的形⼼坐标值等于组合图形对相应坐标轴的静矩除以组合图形的⾯积．组合截⾯图形有时还可以认为是由⼀种简单图形减去另⼀种简单图形所组成的．例 4-1 已知 T 形截⾯尺⼨如图 4-2 所⽰，试确定此截⾯的形⼼坐标值．图 4-2解： (1) 选参考轴为 y 轴， z 轴为对称轴，(2) 将图形分成 I 、两个矩形，则(3) 代⼊公式 (4-5)惯性矩、惯性积和惯性半径设任⼀截⾯图形 ( 图 4 — 3) ，其⾯积为 A ．选取直⾓坐标系 yoz ，在坐标为 (y 、 z) 处取⼀微⼩⾯积 dA ，定义此微⾯积 dA 乘以到坐标原点o的距离的平⽅，沿整个截⾯积分，为截⾯图形的极惯性矩 I．微⾯积 dA 乘以到坐标轴 y 的距离的平⽅，沿整个截⾯积分为截⾯图形对 y 轴的惯性矩 I．极惯性矩、惯性矩常简称极惯矩、惯矩．数学表达式为极惯性矩 (4-6)对 y 轴惯性矩 (4 -7a )同理，对 z 轴惯性矩 (4-7b)图 4-3由图 4-3 看到所以有即(4-8) 式 (4 — 8) 说明截⾯对任⼀对正交轴的惯性矩之和恒等于它对该两轴交点的极惯性矩。
截面的几何性质—平行移轴公式(材料力学)
1、平行移轴公式
右图任意截面，zc、yc 轴为通过截面形心C的一对正交轴，z、y轴为分别与zc、yc 轴平行的轴，
两平行轴之间的距离分别为a和b。
根据定义，图形对zc、yc 轴的惯性矩和惯性积分别为
Izc yc2dA, I yc zc2dA, Izc yc yc zcdA
I zy
i 1
I yzi
Izi， Iyi
,Iyz i
----指第
i个简单截面对
y, z
轴的惯性矩，惯性积。
例题 求T形截面对其形心轴 zC 的惯性矩（单位为mm）。
解：将截面分成两个矩形截面。 截面的形心必在对称轴 y 上。
取过矩形2的形心且平行于底边的轴作为参考轴记作z轴。
A1
20140
2800mm2 ,
Iz c
I1 zc
I2 zc
7.68106
4.43106
12.11106 mm4
20 140
yc
20
1
a1 zc
y1 a2 yc z
2
100
a2A b2A
c
I zy I zc yc abA
上式即为惯性矩和惯性积的平行移轴公式。
y
z yc
b
zc
dA
C
yc
a y zc
O
z
2、组合截面的惯性矩、惯性积
组合截面对某轴的惯性矩、惯性积，等于各简单图形对此轴的惯性矩、惯性积的代数和。
n
Iz Iz i
i 1
n
I y I y
i1 i
n
ycdA a2
dA
A
A
A
A
A
A
惯性矩及相关总结(画重点)-20200408整理
前引360知识：惯性矩是一个物理量，通常被用作描述一个物体抵抗弯曲的能力。
惯性矩的国际单位为(m^4)。
百度知识：惯性矩(moment of inertia of an area)是一个几何量，通常被用作描述截面抵抗弯曲的性质。
惯性矩的国际单位为(m4)。
即面积二次矩，也称面积惯性矩，而这个概念与质量惯性矩（即转动惯量）是不同概念。
截面惯性矩（I=截面面积X截面轴向长度的二次方）结构构件惯性矩I x结构设计和计算过程中，构件惯性矩I x为截面各微元面积与各微元至与X轴线平行或重合的中和轴距离二次方乘积的积分。
主要用来计算弯矩作用下绕X轴的截面抗弯刚度。
结构构件惯性矩I y结构设计和计算过程中，构件惯性矩I y为截面各微元面积与各微元至与Y轴线平行或重合的中和轴距离二次方乘积的积分。
主要用来计算弯矩作用下绕Y轴的截面抗弯刚度。
工程构件典型截面几何性质的计算2.1面积矩1．面积矩的定义图2-2.1任意截面的几何图形如图2-2.1所示为一任意截面的几何图形(以下简称图形)。
定义：积分和分别定义为该图形对z轴和y轴的面积矩或静矩，用符号S z和S y，来表示，如式(2—2.1)(2—2.1)面积矩的数值可正、可负，也可为零。
面积矩的量纲是长度的三次方，其常用单位为m3或mm3。
2．面积矩与形心平面图形的形心坐标公式如式(2—2.2)(2—2.2)或改写成，如式(2—2.3)(2—2.3)面积矩的几何意义：图形的形心相对于指定的坐标轴之间距离的远近程度。
图形形心相对于某一坐标距离愈远，对该轴的静距（面积矩）绝对值愈大。
图形对通过其形心的轴的静距（面积矩）等于零；反之，图形对某一轴的面积矩等于零，该轴一定通过图形形心。
形心确定的规律：（a）图形有对称轴时，形心必在此对称轴上。
（b）图形有两个对称轴时，形心必在此两对称轴的交点处。
3．组合截面面积矩和形心的计算组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩的代数和。
结构力学
本章重点1、静矩与形心2、惯性矩、极惯性矩和惯性积3、平行移轴公式、转轴公式关键概念静矩、惯性矩、极惯性矩、惯性积、主惯性轴、形心主惯性轴目录§I-1 静矩和形心§I-2极惯性矩·惯性矩·惯性积§I-3 平行移轴公式§I-4 惯性矩和惯性积的转轴公式.截面的§I -1 静矩和形心一、基本概念1. 静矩（或一次矩）O xd A y yx C x ydA x ⋅——微面积对y 轴的静矩dA y ⋅——微面积对x 轴的静矩A x S A y d ⎰=A y S A x d ⎰=——整个平面图形对y 轴的静矩——整个平面图形对x 轴的静矩2.形心坐标公式AS A Ay y A S A A x x x A yA ====⎰⎰d d 常用单位：m 3或mm 3。
数值：可为正、负或0 。
3.静矩与形心坐标的关系yA S x A S x y ==推论：截面对形心轴的静矩恒为0，反之，亦然。
1.组合截面的静矩根据静矩的定义：整个平面图形对某轴的静矩应等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和，即：∑=∑===ni i i x n i i i y y A S x A S 11 和面积。
个简单图形的形心坐标分别为第和 式中： i A y x i i i ,二、讨论：2.组合截面的形心坐标公式∑=∑===n i i i x n i i i y y A S x A S 11 组合截面静矩∑==n i i A A 1组合截面面积组合截面的形心坐标公式为：∑∑==∑∑======n i i ni i i x n i i n i i i y A y A A S y A x A A S x 1111 ，例I —1：计算由抛物线、y 轴和z 轴所围成的平面图形对y 轴和z 轴的静矩，并确定图形的形心坐标。
z h y b =-⎛⎝ ⎫⎭⎪122O y z 解：S z A y A =⎰2d S y A z A =⎰d =-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎰12102222b h y b y d =-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎰yh y b y b0221d =4152bh =b h 24O y z y d y bh A A A =⎰d =-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎰0221b h y b y d =23bh 形心坐标为:⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧======52321548332422hbh bh A S z bbh bhA S y y C z C例I —2：确定图示图形形心C 的位置。
惯性矩的计算方法与常用截面惯性矩计算公式
惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式截面图形的几何性质一.重点及难点：(一).截面静矩和形心1.静矩的定义式如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA ，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即ydAdSx xdA dS y == 整个图形对y 、z 轴的静矩分别为⎰⎰==AAy ydASx xdAS （I-1） 2.形心与静矩关系 图I-1设平面图形形心C 的坐标为C C z y , 则 0AS y x= ， A S x y = （I-2）推论1 如果y 轴通过形心（即0=x ），则静矩0=y S ；同理，如果x 轴通过形心（即0=y ），则静矩0=Sx ；反之也成立。
推论2 如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y 轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。
3.组合图形的静矩和形心设截面图形由几个面积分别为n A A A A ⋯⋯321,,的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为⋯⋯332211,,,y x y x y x ；；，则图形对y 轴和x轴的静矩分别为∑∑∑∑========ni ni ii xi x ni ii ni yi y y A S S x A S 1111S （I-3）截面图形的形心坐标为∑∑===ni ini ii AxA x 11 ， ∑∑===ni ini ii AyA y 11 （I-4）4.静矩的特征(1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。
(2) 静矩有的单位为3m 。
(3) 静矩的数值可正可负，也可为零。
图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。
(4) 若已知图形的形心坐标。
则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静矩。
若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（I-2）求图形的形心坐标。
组合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式（I-4）求出其形心坐标。
惯性矩和平行移轴公式.ppt
xC1
a1 57.5 xC
a2 57.5 xC2
I x I xC a2 A
同理
I y I yC b2 A I xy I xC yC abA
——惯性矩和惯性积的平行轴定理
显然：
I x I xC
I y I yC
性质4：在平面图形对所有相互平行的坐标轴的惯性矩
中，以对形心轴的惯性矩为最小。
二、应用
解： 例 求 I和xC I yC
200 y
A
h y2 bdy bh3
0
3
y dy
_h_
2
dA y
C
yx
_h_
2
O
_b_ _b_
x1
22
常用图形的惯性矩：
2.圆形截面
D4
I x I y Ip 32
由对称性
y
O
x
Ix
Iy
1 2
Ip
D4
64
d
D
3.环形截面
Ix
Iy
1 2
Ip
(D4 64
d
4
)
D4 (1 4 )
64
特别指出： 惯 性 矩——对某一轴而言 极 惯 性 矩——对某一点而言
三、惯性半径
在力学计算中，有时把惯性矩写成
即：
Ix
A
i
2 x
Iy
A
i
2 y
ix
I x ——图形对 x 轴的惯性半径 A
iy
I y ——图形对 y 轴的惯性半径 A
单位：m
三、惯性半径
试问： 即： 注意：
I x
A
y 2dA
A
i
2 x
惯性矩计算方法及常用截面惯性矩计算公式
惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式截面图形的几何性质一.重点及难点：(一).截面静矩和形心1.静矩的定义式如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA ，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即ydAdSx xdA dS y == 整个图形对y 、z 轴的静矩分别为⎰⎰==AAy ydASx xdAS （I-1） 2.形心与静矩关系 图I-1设平面图形形心C 的坐标为C C z y , 则 0AS y x=， A S x y = （I-2）推论1 如果y 轴通过形心（即0=x ），则静矩0=y S ；同理，如果x 轴通过形心（即0=y ），则静矩0=Sx ；反之也成立。
推论2 如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y 轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。
3.组合图形的静矩和形心设截面图形由几个面积分别为n A A A A ⋯⋯321,,的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为⋯⋯332211,,,y x y x y x ；；，则图形对y 轴和x 轴的静矩分别为∑∑∑∑========ni ni ii xi x ni ii n i yi y y A S S x A S 1111S （I-3）截面图形的形心坐标为∑∑===ni ini ii AxA x 11 ， ∑∑===ni ini ii AyA y 11 （I-4）4.静矩的特征(1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。
(2) 静矩有的单位为3m 。
(3) 静矩的数值可正可负，也可为零。
图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。
(4) 若已知图形的形心坐标。
则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静矩。
若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（I-2）求图形的形心坐标。
组合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式（I-4）求出其形心坐标。
5.2惯性矩和平行移轴公式
显然：
Ix IxC
Iy IyC
性质4：在平面图形对所有相互平行的坐标轴的惯性矩 中，以对形心轴的惯性矩为最小。
二、应用
解： 例 求 I 和xC I yC
200 yC
IxC IxC IxC 6.0110 7mm 4
30 I
C
而
I xC
I xC1
a 1
2 A1
200 157.5 30
200 303 5.5 7220 30m 0 4m
I
12
2.0310 7mm 4
xC1
a 1 57.5 x
C
a 2 57.5 xC2
I xC
I xC2
a 2
2 A2
30 2003 5.5 7220 30m 0 4m 3.9810 7mm 4
12
例2 求 I x和C I yC
解：
IxC IxC IxC 6.0110 7mm 4
IyC IyC IyC
x
整个图形 A 对x 轴的惯性矩
Ix
y2dA
A
整个图形 A 对 y 轴的惯性矩
Iy
x2dA
A
单位：m4
其值：+
二、惯性矩与极惯性矩的关系 y
若 x 、 y 轴为一对正交坐标轴
x dA
Ip
2dA (x2y2)dA
A
A
A
y
x2dA y2dA
A
A
O
x
即：
Ip Iy Ix
性质 ：
平面图形对任意一点的极惯性矩等于该图形对通过 该点的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和
ix
I x ——图形对 x 轴的惯性半径 A
1、静矩与形心2、惯性矩、极惯性矩和惯性积3、平行移轴公
1. 转轴公式
y
y
A dA
C E
D
O
x
B
新坐标系ox1y1 旧坐标系o x y
x1 x cos y sin y1 y cos x sin
将上述关系代入平 面图形对x1轴的惯性矩：
x
I x1 A y12 d A
Ix1
cos2
y2 d A sin2
（4）由转轴公式得
80 aⅡ 20 10
40 C
bⅠ Ⅰ
aⅠ
xC
tan 20
2I xc yc I xc I yc
1.093
=113°.8
yc0
bⅡ
20 227 .6 0 113 .8
10 Ⅱ
I xc0
Imax
I xc
I yc 2
1 2
I xc
目录
§ I－2 极惯性矩 ·惯性矩 ·惯性积
1.极惯性矩（或截面二次极矩）
y
I p
2d A
A
2.惯性矩（或截面二次轴矩）
y
I y
x2 d A
A
I x
y2d A
A
O
由于 2 y2 x2
dA
x
x
所以
Ip
2 d A
A
(y2
A
x2)
dA IxIy
（B） Ixy<０ （D） Ix=Iy
（思考题I—2）A
y
bO
（思考题I—3）
x
a
y a
x
Ba
D
思考题I—3：等腰直角三角形如图所示，x、y轴是过斜边中点的
平行移轴公式
截面的几何性质\平行移轴公式
平行移轴公式
1.1 惯性矩和惯性积的平行移轴公式
图示截面的面积为A，xC、yC轴为 其形心轴，x、y轴为一对与形心轴平行
的正交坐标轴，微面积dA在两个坐标系
OxCyC和Oxy中的坐标分别为xC、yC和x、 y。截面对x轴的惯性矩为
Ix
y2dA AA( yC Nhomakorabea)2 dA
目录
力学
24.122 2030mm4
267104 mm4
3）求组合截面对x轴和y轴的惯性矩。组合截面对x轴和y轴的 惯性矩为
Ix=Ix+2 Ix=3690×104 mm4+2×2110×104
mm4=7910×104mm4
Iy=Iy+2 Iy=431×104 mm4+2×267×104 mm4=965×104mm4
组合截面对x、y轴的惯性矩和惯性积为
Ix Ixi , I y I yi , Ixy Ixyi
式中：Ixi、Iyi、Ixyi——各个简单截面对x、y轴的惯性矩和惯性积。 对于工程中常用的截面，其主要的几何性质列于表Ⅰ.1中，以
备查用。
目录
截面的几何性质\平行移轴公式 表Ⅰ.1 常用截面的几何性质
I y I yC b12 A 218.415104 mm4
19.21 26.47 24.12 4491mm4
431104 mm4
目录
截面的几何性质\平行移轴公式 角钢截面对x、y轴的惯性矩为
I x I xC a2 A 149.22104 mm4 98.322 2030mm4
3690104 mm4 I y I yC b2 A 149.22104 mm4
r 4
惯性矩和平行移轴公式课件
实例二：平行移轴公式的应用
总结词
平行移轴公式在工程中有着广泛的应用，它 可以用来计算物体的质心位置和转动惯量。
详细描述
平行移轴公式是一种常用的计算方法，在工 程中广泛应用于机械、航空、航天等领域。 该公式可以用来计算物体的质心位置和转动 惯量，是设计和分析各种机构和机器的关键 工具。通过应用平行移轴公式，可以优化机 构和机器的性能，提高其稳定性和精度。
在计算机图形学和虚拟现实领域， 惯性矩与平行移轴公式被广泛应 用于碰撞检测和响应算法中，以
实现更加真实和精确的模拟效果。
CHAPTER 04
常见问题解答
如何计算截面的惯性矩？
总结词
通过计算截面的面积和边缘到中心的距离，可以计算出截面的惯性矩。
详细描述
首先，需要确定截面的形状，如圆形、矩形、三角形等。然后，根据形状计算截面的面积。接下来，确定截面的 边缘到中心的距离，即截面边缘到截面中心的垂直距离。最后，利用惯性矩的计算公式，即惯性矩 = 面积 × (边 缘到中心的距离)^2，可以计算出截面的惯性矩。
惯性矩和平行移轴公式 课件
• 惯性矩的基本概念 • 平行移轴公式 • 惯性矩与平行移轴公式的应用 • 常见问题解答 • 惯性矩和平行移轴公式的实例
CHAPTER 01
惯性矩的基本概念
定义与公式
惯性矩的定义
惯性矩是物体对于某一点或某轴 线的惯性大小的量度，用I表示。
平行移轴公式
平行移轴公式是计算惯性矩的一 种常用方法，适用于具有平行轴 线的物体。
什么是平行移轴公式？
总结词
平行移轴公式是一种计算组合图形惯性矩的方法，通过将图形分解为简单的组成部分，并分别计算各 部分的惯性矩，再根据平行移轴公式进行组合。
惯性矩的计算方法
I等． I等是从不同角度反映了截S，其数学表达式(4 -1a )(4-1b)(4 -2a )(4-2b)式中 y、 z 为截面图形形心的坐标值．若把式 (4-2) 改写成(4-3)性质：•若截面图形的静矩等于零，则此坐标轴必定通过截面的形心．•若坐标轴通过截面形心，则截面对此轴的静矩必为零．•由于截面图形的对称轴必定通过截面形心，故图形对其对称轴的静矩恒为零。
4 ）工程实际中，有些构件的截面形状比较复杂，将这些复杂的截面形状看成是由若干简单图形 ( 如矩形、圆形等 ) 组合而成的．对于这样的组合截面图形，计算静矩 (S) 与形心坐标 (y、 z ) 时，可用以下公式(4-4)(4-5)式中 A， y ， z 分别表示第个简单图形的面积及其形心坐标值， n 为组成组合图形的简单图形个数．即：组合图形对某一轴的静矩等于组成它的简单图形对同一轴的静矩的代数和．组合图形的形心坐标值等于组合图形对相应坐标轴的静矩除以组合图形的面积．组合截面图形有时还可以认为是由一种简单图形减去另一种简单图形所组成的．例 4-1 已知 T 形截面尺寸如图 4-2 所示，试确定此截面的形心坐标值．、两个矩形，则设任一截面图形 ( 图 4 — 3) ，其面积为 A ．选取直角坐标系 yoz ，在坐标为 (y 、 z) 处取一微小面积 dA ，定义此微面积 dA 乘以到坐标原点o的距离的平方，沿整个截面积分，为截面图形的极惯性矩 I．微面积 dA 乘以到坐标轴 y 的距离的平方，沿整个截面积分为截面图形对 y 轴的惯性矩 I．极惯性矩、惯性矩常简称极惯矩、惯矩．数学表达式为极惯性矩 (4-6)对 y 轴惯性矩 (4 -7a )同理，对 z 轴惯性矩 (4-7b)由图 4-3 看到所以有即(4-8) 式 (4 — 8) 说明截面对任一对正交轴的惯性矩之和恒等于它对该两轴交点的极惯性矩。
在任一截面图形中 ( 图 4 —3) ，取微面积 dA 与它的坐标 z 、 y 值的乘积，沿整个截面积分，定义此积分为截面图形对 y 、z 轴的惯性积，简称惯积．表达式为(4-9)惯性矩、极惯性矩与惯性积的量纲均为长度的四次方． I,I,I恒为正值．而惯性积 I其值能为正，可能为负，也可能为零．若选取的坐标系中，有一轴是截面的对称轴，则截面图形对此轴的惯性积必等于零．当截面图形对某一对正交坐标轴的惯性积等于零时，称此对坐标轴为截面图形的主惯性轴．对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩．而通过图形形心的主惯性轴称为形心主惯性轴 ( 或称主形心惯轴 ) ．截面对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩 ( 或称主形心惯矩 ) ．例如，图 4-4 中若这对 yz 轴通过截面形心，则它们就是形心主惯性轴．对这两个轴的惯性矩即为形心主惯性矩．工程应用中 ( 如压杆稳定中 ) ，有时将惯性矩表示成截面面积与某一长度平方的乘积，即,或写成, （ 4-10 ）式中 i分别称为截面图形对 y 轴、 z 轴的惯性半径．其量纲为长度的一次方．例 4-2 已知矩形截面的尺寸 b,h( 图 4-5) ，试求它的形心主惯性矩．解：取形心主惯性轴 ( 即对称轴 )y,z ，及 dA=dy，代入公式 (I— 7a ,) 得同理：例 4-3 设圆的直径为 D( 图 4-6) ，试求图形对其形心轴的惯性矩及惯性半径值．解： (1) 求惯性矩因为图形对称， y,z 为对称轴，所以 I＝ I这是较简单的解法．本例也可取出图 4-6 上的微面积 dA ，按积分法来求得。
建筑工程技术 教材 组合图形的惯性矩
Iz Iy
a 2 A
b
2
A
I z1y1 I zy abA
特别注意：式中 I与Iy必须是平面图形对其形心轴的惯性矩 。
上式表明：图形对任一轴的惯性矩，等于图形对与
该轴平行的形心轴的惯性矩，再加上图形面积与两
平行轴间距离平方的乘积。 由于 a2 恒为正值，故在所有平行轴中，平面图形
对形心轴的惯性矩最小。
yC2=29cm
yC
Ai yCi Ai
600 64 1450 29 39.2cm 600 1450
2 计算组合图形对形心轴的惯 性矩I、Iy。
首先分别求出矩形Ⅰ、Ⅱ对形心轴的惯性矩。由平行移轴公 式可得
平面图形的几何性质
I1z I1z1 a12 A1 50123 24.82 600 12 3.76105 cm4
I y I1y I2y
12503 58 253
12
12
2.01105 cm4
当把组合图形视为几个简单图形之和时，其惯性矩等于简单 图形对同一轴惯性矩之和；当把组合图形视为几个简单图形 之差时，其惯性矩等于简单图形对同一轴惯性矩之差。
平面图形的几何性质
例6-5 计算图示的矩形截面对1轴和y1轴的惯性矩。
解
2
I z1
Iz
h 2
A
bh3 12
h 2
2
bh
bh3 3
2
I y1
Iy
b 2
A
hb3 12
b 2
2
bh
hb3 3
平面图形的几何性质
二、组合图形惯性矩的计算
由矩形、圆形和三角形等几个简单图形组成，或 由由几惯个性型矩钢定组义成可，知称：为组组合合图图形形对。任一轴的惯性矩，
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第五章 平面图形的几何性质
5.1 静矩和形心 5.2惯性矩、极惯性矩 、平行移轴公式
教学目的和要求
• 平面图形的几何性质是影响构件承载能力的重要 因素之一。如何确定平面图形的几何性质的量值， 是本章讨论的内容。本章主要介绍了形心、静矩、 惯性矩、惯性积等几何量，学习时要掌握其基本 的概念和计算方法，同时要掌握平行移轴公式及 其应用。
30
I
xC1
C
200 157.5
I yC I yC I yC
a1 57.5 xC a2 57.5 xC2
30
II
30 200 3 200 30 3 12 12 2.05 107 mm 4
I xC I xC 2 a 22 A2
30 200 3 57.52 200 30 mm 4 3.98 107 mm 4 12
例2 求 I x 和 I y C C 解：
200 yC
7 4
I xC I
xC
I 6.01 10 mm
xC
x xC b y yC a
I x y dA ( yC a) dA
2
y
x
yC
b
xC
dA
yC
C
A O
2
a
y
xC
A
A
y dA 2a yC dA a
A 2 C A
2
dA
A
x
I xC
即：
0
a2 A
2
I x I xC a A
§A.3 平行轴定理
2 2 A A
x
即： 性质 ：
Ip I y I x
平面图形对任意一点的极惯性矩等于该图形对通过 该点的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和
§A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径
常用图形的惯性矩：
1.矩形截面
y
dy
bh3 2 2 I x y dA y bdy h 2 A 12
一、定理推导
同理
I x I xC a A
2
I y I yC b A I xy I xC yC abA
2
——惯性矩和惯性积的平行轴定理
显然：
I x I xC
I y I yC
性质4：在平面图形对所有相互平行的坐标轴的惯性矩
中，以对形心轴的惯性矩为最小。
二、应用
解： 例 求 I xC和 I yC
h2
h __ 2
C
dA
y
y
x
hb 3 Iy 12
h __ 2
h
I x1 y 2dA
A
0
bh3 y 2 bdy 3
O
b __ 2 b __ 2
x1
常用图形的惯性矩：
2.圆形截面
y
I x I y Ip
由对称性
D
4
32
4
O
x
D 1 I x I y Ip 2 64
200 yC
7 4
I xC I
而
xC
I 6.01 10 mm
xC
30
I
xC1
C
200 157.5
I
xC
I
xC 1
a A1
2 1
a1 57.5 xC a2 57.5 xC2
30
II
200 30 3 57.52 200 30 mm 4 12 2.03 107 mm 4
ix
Ix ——图形对 x 轴的惯性半径 A
iy
单位：m
Iy A
——图形对 y 轴的惯性半径
三、惯性半径
试问：
即： 注意：
2 2 I x y 2dA A i x A yC
A
?
i x yC
i x yC
?
i y xC
四、平行移轴公式
一、定理推导 二、应用
一、定理推导
3.环形截面
d D
( D 4 d 4 ) D 4 1 4 (1 ) I x I y Ip 64 64 2
特别指出： 惯 性 矩——对某一轴而言 极 惯 性 矩——对某一点而言
三、惯性半径
在力学计算 A i y2
x
整个图形 A 对x 轴的惯性矩
整个图形 A 对 y 轴的惯性矩
I x y 2dA
A
I y x dA
2 A
单位：m4
其值：+
二、惯性矩与极惯性矩的关系
若 x 、 y 轴为一对正交坐标轴
y
x
dA
I p 2dA ( x 2 y 2 )dA
A
A
A O
y
x dA y dA
§5.2
一、惯性矩
惯性矩 惯性半径
二、惯性矩与极惯性矩的关系 三、惯性半径
四、平行移轴公式
教学重点
1、惯性矩、极惯性矩的概念和计算方法；
2、平行移轴公式。
教学难点
• 平行移轴公式的应用。
一、惯性矩
1.惯性矩 定义： y2dA——微面积dA对 x 轴的惯性矩
y
x
dA
A
y
x2dA——微面积dA对 y 轴的惯性矩 O