5.2 惯性矩和平行移轴公式
M02资_惯性矩和惯性积的平行移轴定理
Ix=IxC+b A
2
S xC = AyC =0
=I xC +2bS xC +b 2 A
材料力学
Ix=IxC+b2 A
I y = I yC + a2 A
注意: 点必须为形心 注意 C点必须为形心
Ixy = IxCyC + abA
Iρ =IρC+(a+b)2 A
材料力学
例2 求图示圆对其切线AB的惯性矩。 y 解 ：求解此题有两种方法： 一是按定义直接积分； d O B x 二是用平行移轴定理等知识求。 建立形心坐标如图,求图形对形 心轴的惯性矩。
A
Iρ =
I P πd 4 I x =I y = = 2 64
πd 4
32
=I x +I y ⇒2 I x
圆
10
1
2
A2
A
A1 + A2
图(a)
−35×10×110 = =−20.3 10×110+80×10 60×10×110 y= =34.7 10×110+80×10
材料力学
y
2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)
C1（0,0） C2（5,5）
负面积 C2 C1
M02资_惯性矩和惯性积的平行移轴定理
y 2d d yC O x1
(1.5d ) 3×2d πd 4 I yC =I 矩xC −I圆xC = − =0.513d 4 12 64
I xCyC =0 ∴ x C y C 轴便是形心主轴 I xC 、I yC 便是形心主惯性矩
x xC b
材料力学
本章小结
一、知识点 1、熟练计算典型形状的静矩和形心 2、熟练计算典型形状的惯性矩、惯性积、 惯性半径 3、掌握平行移轴公式的应用方法 二、重点内容 1、常见形状的二次矩计算 2、平行移轴公式
x y
dA y1 x1 x
Ix+I y Ix−I y Ix1 = + α α 2 cos2 −Ixysin2 2
α
材料力学
Ix+I y Ix−I y − I y1 = α α 2 cos2 −Ixysin2 2 Ix−I y Ix1y1 = sin2 +Ixycos2 α α 2
材料力学
A 2 =∫ ( yC +2byC +b 2 )dA A
Ix=IxC+b A
2
S xC = AyC =0
=I xC +2bS xC +b 2 A
材料力学
Ix=IxC+b2 A
I y = I yC + a2 A
工程力学第03节 惯性矩的平行移轴公式
I x A y2dA I y A x2dA
I x A y2dA I y A x2dA
依据两个坐标系 的关系，则有
x xC b y yC a
Ix A（yC a)2dA A yC2dA 2aA yCdA a2 AdA
I y A（xC b)2dA A xC2dA 2bA xCdA b2 AdA
I2x0 I2xC2 C2C2 A2
运用叠加法公式，得到截面
x0
对 x0 轴的惯性矩
I x0
2
Iix0 i 1
（300 303 12
902 9000）
（50 2703 602 13500）
12
2.04104 m4
运用叠加法公式，得到截面 对 x0 轴的惯性矩
解 首先将截面分为两个 矩形，如图所示 （1）矩形 I、矩形 II
A1 9000 mm 2 xC1 0 , yC1 0
A2 13500 mm 2 xC2 0 , yC2 150mm
整个截面形心 C 坐标
xC 0 2
Ai yCi
yC
i 1 2
90mm
Ai
i 1
y0 x0
（2）以0截面13形5心00C1为50原m点m，
建立 Cx0y900坐00标系13500
平行移轴公式
材料力学
平行移轴公式
z
zc
y
a
yc
y yc a z zc b
O
材料力学
C dA
zc yc bz
y
材料力学
z
zc
a
C
yc
b
O
y
材料力学
Iz IzC a2 A
材料力学 平行移轴公式：
I y I yC b2 A
I z I zC a 2 A
I yz I yCzC abA
材料力学
Fra Baidu bibliotek
材料力学例：求图示平面图形对y轴的惯性矩 Iy
z
a
y
a
d
材料力学
材料力学
解：
z
a
a
y
Iy
d (2a)3 12
d
CL6TU11
材料力学
d 4
2
128
d2
8
2d
3
2
d 8
2
2d
3
a
2
材料力学
惯性矩总结含常用惯性矩公式
惯性矩是一个物理量，通常被用作描述一个物体抵抗扭动，扭转的能力。惯性矩的国际单位为(m^4)。
工程构件典型截面几何性质的计算
2.1面积矩
1．面积矩的定义
图2-2.1任意截面的几何图形
如图2-31所示为一任意截面的几何图形(以下简称图形)。定义：积分和分别定义为该图形对z轴和y轴的面积矩或静矩，用符号S z和S y，来表示，如式(2—2.1)
(2—2.1)面积矩的数值可正、可负，也可为零。面积矩的量纲是长度的三次方，其常用单位为m3或mm3。
2．面积矩与形心
平面图形的形心坐标公式如式(2—2.2)
(2—2.2)
或改写成，如式(2—2.3)
(2—2.3)
面积矩的几何意义：图形的形心相对于指定的坐标轴之间距离的远近程度。图形形心相对于某一坐标距离愈远，对该轴的面积矩绝对值愈大。
图形对通过其形心的轴的面积矩等于零；反之，图形对某一轴的面积矩等于零，该轴一定通过图形形心。
3．组合截面面积矩和形心的计算
组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩的代数和。如式(2—2.4)
(2—2.4)
式中，A和y i、z i分别代表各简单图形的面积和形心坐标。组合平面图形的形心位置由式(2—2.5)确定。
(2—2.5)
2.2极惯性矩、惯性矩和惯性积
1．极惯性矩
任意平面图形如图2-31所示，其面积为A。定义：积分称为图形对O点的极惯性矩，用符号I P，表示，如式(2—2.6)
(2—2.6)
极惯性矩是相对于指定的点而言的，即同一图形对不同的点的极惯性矩一般是不同
的。极惯性矩恒为正，其量纲是长度的4次方，常用单位为m4或mm4。
惯性矩和惯性积的平行移轴公式
xc
b
x
Ix , Iy , Ixy _____ 截面对 x , y 轴的惯性矩和惯性积。
Ixc ,Iyc , Ixc yc —— 截面对形心轴 xc , yc 的惯性矩和惯性积。
则平行移轴公式为
y
yc
I x I xc a2 A
Iy Iyc b2 A
I xy I xcyc abA
a
C(a,b)
xc
ob
x
二、组合截面的惯性矩 惯性积
Ixi , Iyi , Ixyi —— 第 i个简单截面对 x ,y 轴的惯性矩、
惯性积。
组合截面的惯性矩，惯性积
n
I x I xi i1
n
I y I yi i1
n
I xy I xyi i 1
例 3 -1 求梯形截面对其形心轴 yc 的惯性矩。
解：将截面分成两个矩形截面。
§8-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 组合截面的惯性矩和惯性积
一、 平行移轴公式
y x , y ——任意一对坐标轴
C —— 截面形心
a
（a , b ) _____ 形心 c 在 xoy 坐标系下的
坐标。
o
xc , yc ——过截面的形心 c 且与 x , y 轴平 行的坐 标轴（形心轴）
yc
C(a,b)
ZC
2
平行移轴公式
IyC , IzC , IyCzC￣ 截面对形心轴 yC , zC的惯性矩
和惯性积。
z
zC
I yC z12dA z z1 b
z1
I y z2dA
b
C(a,b)
z yC
y
(z1 b)2dA
Oa
平行移轴公式
(z12 2z1b b2 )dA
A z12dA
A 2z1bdA
b2dA
A
I yC
?
b2 A
A 2z1bdA 2b A z1dA
z
zC
2bSyC
0
b
C(a,b)
Oa
z1 z yC
y
平行移轴公式
I y I yC b2 A Iz IzC a2 A
I yz I yCzC abA
z
zC
b
C(a,b)
Oa
z1 z yC
y
截面对形心轴的惯性矩最小， 但惯性积不能确定是否最小
Leabharlann Baidu
平行移轴公式
二、组合截面的惯性矩和惯性积
n
I y I yi i 1
n
Iz Izi i 1
n
I yz I yzi i 1
I yi , Izi , I yzi —第 i个简单截面对 y, z 轴的惯性矩
和惯性积。
材料力学常用的基本公式
1.外力偶矩计算公式（P功率，n转速）
2.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式
3.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横截面轴力F N，横截面
面积A，拉应力为正）
4.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a 从x轴正方向逆时针转
至外法线的方位角为正）
5.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标距l1；拉伸前试样直径d，
拉伸后试样直径d1）
6.纵向线应变和横向线应变
7.泊松比
8.胡克定律
9.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式?
10.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式
11.轴向拉压杆的强度计算公式
12.许用应力，脆性材料，塑性材料
13.延伸率
14.截面收缩率
15.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ）
16.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式
17.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆
（b）空心圆
18.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所求点到圆心距离r）
19.圆截面周边各点处最大切应力计算公式
20.扭转截面系数，（a）实心圆
（b）空心圆
21.薄壁圆管（壁厚δ≤R0 /10 ，R0为圆管的平均半径）扭转切应力计算公式
22.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的关系式
23.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同（如阶梯轴）时
或
24.等直圆轴强度条件
25.塑性材料；脆性材料
26.扭转圆轴的刚度条件? 或
27.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式,
28.平面应力状态下斜截面应力的一般公式
,
29.平面应力状态的三个主应力,
惯性矩总结(含常用惯性矩公式)
惯性矩是一个物理量，通常被用作描述一个物体抵抗扭动，扭转的能力惯性矩的国际单位为(m%)。
工程构件典型截面几何性质的计算
2.1面积矩
1•面积矩的定义
别定义为该图形对z轴和y轴的面积矩或静矩，用符号和，来表示，如式(2 —2.1)
(2 — 2.1)
面积矩的数值可正、可负，也可为零。面积矩的量纲是长度的三次方，其常用单
3 3
位为m或o
2•面积矩与形心
平面图形的形心坐标公式如式(2 —2.2)
4
=—
」」(2 — 2.2)
或改写成，如式(2 —2.3)
亀二5
—2.3)
面积矩的几何意义：图形的形心相对于指定的坐标轴之间距离的远近程度。图形
如图2-31所示为一任意截面的几何图形
(以下简称图形)。定义：积分和I二‘分
图2-2.1任意截面的几何图形
形心相对于某一坐标距离愈远，对该轴的面积矩绝对值愈大。
图形对通过其形心的轴的面积矩等于零；反之，图形对某一轴的面积矩等于零, 该轴一定通过图形形心。
3•组合截面面积矩和形心的计算
组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩的代数和。如式(2 — 2.4)
= S5，ii ,
(2 — 2.4)
式中，A和、分别代表各简单图形的面积和形心坐标。组合平面图形的形心位置由
式(2 —2.5)确定。
占1西+舄阳+・* • +4兀二名1
丿】+缶+…+哉V
V" Ay
=岀了】十爲丁2十-•.十爲丿击
=
台
2.2极惯性矩、惯性矩和惯性积
1 •极惯性矩
任意平面图形如图2-31所示，其面积为A。定义：积分「川」称为图形对0点的
极惯性矩，用符号，表示，如式(2 —2.6)
(2 — 2.6)
平行移轴公式
平行移轴公式
平行移轴公式
同一平面内对所有相互平行的坐标轴的惯性矩，对形心轴的最小。
定义/平行移轴公式编辑
由于同一平面图形对于相互平行的两对直角坐标轴
或惯性积并不相同，如果其中一对轴是图形
(A
证明：
图形微面积dA在y,z坐标系中的位置可以表示为（y c+a , z c+b），则
I z= ∫A y2dA= ∫A(a2+2ay c+y c2)dA=a2A+2aS z+I zc
其中S z为图形对形心轴的静矩，其值应等于零，则得
I z= I zc+ Aa2
同理可证图中的其它两式。
结论：从平行移轴公式中可以看出，图形对形心轴的惯性矩最小。另外，在使用惯性积移轴公式时应注意 a ,b 的正负号。
材料力学第五章
zydA
A
说明： 1）惯性积为代数量
z
dA
dA
dA
y
z A z
Oy
y z
2）惯性积与坐标轴有关 3）惯性积的单位为 m4
O
z
4）若直角坐标轴 z、y 中有一个是图形的对称轴，则图形
对该坐标轴的惯性积必为零。
第五章 平面图形的几何性质
5.3 组合图形的惯性矩
1. 平行移轴公式
Iz IzC a2 A I y I yC b2 A
20 C1
2
140
C2
O
20
z
第五章 平面图形的几何性质
5.2 惯性矩和惯性半径
1. 惯性矩的定义
对 z 轴惯性矩
Iz
y2 dA
A
y
对 y 轴惯性矩
Iy
z2 dA
A
对坐标原点的极惯性矩
Ip
2 dA
A
z
dA
y
A
说明： 1）惯性矩恒为正值
O
z
2）惯性矩与坐标轴有关
3）惯性矩的单位为 m4
3）静矩的单位为 m3
y
z
dA
y
O
z
第五章 平面图形的几何性质
2. 静矩与形心的关系
y
Sz A yC S y AzC
截面的几何性质—平行移轴公式(材料力学)
y
z yc
A
A
A
图形对z、y轴的惯性矩和惯性积分别为
Iz y2dA, I y z2dA, Izy yzdA
A
A
A
b
zc
dA
C
yc
a y zc
由右图知
y yc a, z zc b
O
z
因此
Iz
y2dA
( yc a)2 dA
百度文库
(
y2 c
2ayc
a2
)dA
y2dA 2a c
ycdA a2
dA
A
A
A
A
A
A
Iz Iz c 2aSzc a2 A
Iy
z2dA
(zc b)2 dA
(z2 c
2bzc
b2
)dA
z2dA 2b c
zcdA b2
dA
A
A
A
A
A
A
Iy
Iy c
2bSyc
b2A
Izy yzdAyc azc bdAyczc byc azc abdA yczcdAb ycdAazcdAabdA
I zy
i 1
I yzi
Izi， Iyi
,Iyz i
----指第
i个简单截面对
y, z
轴的惯性矩，惯性积。
平行移轴公式
a、b ——截面形心C在Oxy坐标系中的坐标。 上式称为惯性矩和惯性积的平行移轴公式。利用它可以计算截 面对与形心轴平行的轴之惯性矩和惯性积。
目录
截面的几何性质\平行移轴公式 1.2 组合截面的惯性矩和惯性积 设组合截面由n个简单截面组成，根据惯性矩和惯性积的定义，
目录
截面的几何性质\平行移轴公式 续表1
目录
截面的几何性质\平行移轴公式 续表1
目录
截面的几何性质\平行移轴公式 续表1
目录
截面的几何性质\平行移轴公式 续表1
目录
截面的几何性质\平行移轴公式 【例Ⅰ.6】 图示截面是在工字钢上下加焊两块钢板形成的截面，
试求该组合截面对其形心轴x的惯性矩。
[120103 12
(110 5)2
12010]}mm4
6576104 mm4
上述计算结果表明，在工字钢截面上下增加很小的面积却能使
整个组合截面对形心轴的惯性矩增大将近一倍。工程中常常采用这 样的组合截面，来增大截面的惯性矩，达到提高构件承载能力的目 的。
目录
截面的几何性质\平行移轴公式 【例Ⅰ.7】 在半径为R的圆截面中，有一半径为r的偏心圆孔，
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截面的几何性质\平行移轴公式
截面的几何性质面积矩惯性矩惯性积平行移轴公式
附录A 截面的几何性质
§A-1 截面的面积矩和形心位置
一、面积矩的定义
Sy=∫ zdA A
Sz=∫ ydA A
面积矩可为正、负或为零。
o
z
y z dA
y
1
HOHAI UNIVERSITY
二、截面形心的位置
∫ yc =
ydA
A
= A
Sz A
zc
∫ =
zdA
A
A
=
Sy A
bh3 12
同样地
Iy
hb3 12
I yz 0
y、z为形心主轴
Iy、Iz为形心主惯性矩
bb/2/2 bb/2/2
hh/2/2
zz
y
hh/2/2
dy
yy
8
HOHAI UNIVERSITY
例4 计算图示圆形截面对其直径轴y和z的惯性矩。
d
d
z y
zHale Waihona Puke Baidu
y
dy
zz y
Iy
Iz
64
d4
若为空心截面呢？（d/D）求Iy与Iz
作业题 求图示工字形截面对z轴的惯性矩。
b d
z
15
HOHAI UNIVERSITY
惯性矩和平行移轴公式.ppt
I x I xC a2 A
同理
I y I yC b2 A I xy I xC yC abA
——惯性矩和惯性积的平行轴定理
显然：
I x I xC
I y I yC
性质4：在平面图形对所有相互平行的坐标轴的惯性矩
中，以对形心轴的惯性矩为最小。
二、应用
解： 例 求 I和xC I yC
200 y
xC1
a1 57.5 xC
a2 57.5 xC2
C
I xC
I xC
I
xC
6.01 107
mm
4
而
I xC
I xC 1
a12 A1
200 303 57.52 200 30 mm 4 12
2.03 107 mm 4
30 I C
200 157.5 30 II
xC1
a1 57.5 xC
a2 57.5 xC2
I xC
I xC 2
a
2 2
A2
A
h y2 bdy bh3
0
3
y dy
_h_
2
dA y
C
yx
_h_
2
O
_b_ _b_
x1
22
常用图形的惯性矩：
2.圆形截面
D4
I x I y Ip 32
惯性矩和平行移轴公式课件
实例四：飞机翅膀的惯性矩计算
总结词
飞机翅膀的惯性矩计算对于飞机的飞行性能 和安全性至关重要。
详细描述
飞机翅膀的惯性矩计算是飞机设计和制造过 程中的一个关键环节。翅膀的惯性矩能够反 映飞机在飞行过程中受到气动力作用的程度 ，进而影响飞机的飞行速度、高度和稳定性 。通过精确计算飞机翅膀的惯性矩，可以优 化飞机的设计和性能，提高其安全性和可靠
实例三：汽车轮轴的惯性矩计算
总结词
汽车轮轴的惯性矩计算对于汽车的性能和安全性至关重 要。
详细描述
汽车轮轴的惯性矩计算是汽车设计和制造过程中的一个 重要环节。通过计算轮轴的惯性矩，可以得知汽车在行 驶过程中的振动和稳定性情况，进而优化汽车的性能和 安全性。在实际应用中，汽车轮轴的惯性矩计算需要考 虑多种因素，如轮轴的形状、材料、转动速度等。
动力学模型建立
惯性矩与平行移轴公式可以用来 建立物体的动力学模型，描述物
体的运动状态和变化规律。
碰撞检测与响应
在计算机图形学和虚拟现实领域 ，惯性矩与平行移轴公式被广泛 应用于碰撞检测和响应算法中， 以实现更加真实和精确的模拟效
果。
CHAPTER 04
常见问题解答
如何计算截面的惯性矩？
总结词
通过计算截面的面积和边缘到中心的距离，可以计算出截面的惯性矩。
提高承载能力
通过合理利用惯性矩与平 行移轴公式，可以提高结 构的承载能力，减少变形 和断裂的风险。
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h __ 2
C
dA
y
y
x
hb 3 Iy 12
h __ 2
h
I x1 y 2dA
A
0
bh3 y 2 bdy 3
O
b __源自文库2 b __ 2
x1
常用图形的惯性矩：
2.圆形截面
y
I x I y Ip
由对称性
D
4
32
4
O
x
D 1 I x I y Ip 2 64
30
I
xC1
C
200 157.5
I yC I yC I yC
a1 57.5 xC a2 57.5 xC2
30
II
30 200 3 200 30 3 12 12 2.05 107 mm 4
§5.2
一、惯性矩
惯性矩 惯性半径
二、惯性矩与极惯性矩的关系 三、惯性半径
四、平行移轴公式
教学重点
1、惯性矩、极惯性矩的概念和计算方法；
2、平行移轴公式。
教学难点
• 平行移轴公式的应用。
一、惯性矩
1.惯性矩 定义： y2dA——微面积dA对 x 轴的惯性矩
y
x
dA
A
y
x2dA——微面积dA对 y 轴的惯性矩 O
x
整个图形 A 对x 轴的惯性矩
整个图形 A 对 y 轴的惯性矩
I x y 2dA
A
I y x dA
2 A
单位：m4
其值：+
二、惯性矩与极惯性矩的关系
若 x 、 y 轴为一对正交坐标轴
y
x
dA
I p 2dA ( x 2 y 2 )dA
A
A
A O
y
x dA y dA
I xC I xC 2 a 22 A2
30 200 3 57.52 200 30 mm 4 3.98 107 mm 4 12
例2 求 I x 和 I y C C 解：
200 yC
7 4
I xC I
xC
I 6.01 10 mm
xC
5.1 形心和静矩
第五章 平面图形的几何性质
5.1 静矩和形心 5.2惯性矩、极惯性矩 、平行移轴公式
教学目的和要求
• 平面图形的几何性质是影响构件承载能力的重要 因素之一。如何确定平面图形的几何性质的量值， 是本章讨论的内容。本章主要介绍了形心、静矩、 惯性矩、惯性积等几何量，学习时要掌握其基本 的概念和计算方法，同时要掌握平行移轴公式及 其应用。
3.环形截面
d D
( D 4 d 4 ) D 4 1 4 (1 ) I x I y Ip 64 64 2
特别指出： 惯 性 矩——对某一轴而言 极 惯 性 矩——对某一点而言
三、惯性半径
在力学计算中，有时把惯性矩写成
I x A i x2
即：
I y A i y2
一、定理推导
同理
I x I xC a A
2
I y I yC b A I xy I xC yC abA
2
——惯性矩和惯性积的平行轴定理
显然：
I x I xC
I y I yC
性质4：在平面图形对所有相互平行的坐标轴的惯性矩
中，以对形心轴的惯性矩为最小。
二、应用
解： 例 求 I xC和 I yC
200 yC
7 4
I xC I
而
xC
I 6.01 10 mm
xC
30
I
xC1
C
200 157.5
I
xC
I
xC 1
a A1
2 1
a1 57.5 xC a2 57.5 xC2
30
II
200 30 3 57.52 200 30 mm 4 12 2.03 107 mm 4
ix
Ix ——图形对 x 轴的惯性半径 A
iy
单位：m
Iy A
——图形对 y 轴的惯性半径
三、惯性半径
试问：
即： 注意：
2 2 I x y 2dA A i x A yC
A
?
i x yC
i x yC
?
i y xC
四、平行移轴公式
一、定理推导 二、应用
一、定理推导
x xC b y yC a
I x y dA ( yC a) dA
2
y
x
yC
b
xC
dA
yC
C
A O
2
a
y
xC
A
A
y dA 2a yC dA a
A 2 C A
2
dA
A
x
I xC
即：
0
a2 A
2
I x I xC a A
§A.3 平行轴定理
2 2 A A
x
即： 性质 ：
Ip I y I x
平面图形对任意一点的极惯性矩等于该图形对通过 该点的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和
§A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径
常用图形的惯性矩：
1.矩形截面
y
dy
bh3 2 2 I x y dA y bdy h 2 A 12