量子论习题

主壳层
1、泡利不相容原理：一个多电子原子系 分配原则
统中，不可能有两个电子具有相同的状态—— 4个量子数( n, l , m l , m s )至少有一对不同。
2、能量最小原理：基态原子中电子先填
满能量小的壳层。
n l : 0 ,1 ,2 ,3. ( n 1 ) l m l : 0 ,1 ,2 , l m l m s : 1 / 2 Z
k
4. 光电效应与时间的关系：从光照射到释放出光 电子, 时间间隔小于10-9秒，几乎是瞬时的,与入射光 的强度无关。
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二、爱因斯坦光子理论 1. 光子假设 (1) 一束光是一粒一粒以光速 c 运动的光子组成的。
(2) 频率为ν的光的一个光子的能量为 2. 光电效应方程
3.光的波粒二相性
2 2
2
n( x )
2 n sin x a a
1
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2
一 氢原子的定态薛定谔方程
2m (E ) 2 0 40 r
2
e
2
分离变量法
40 r ( x , y , z ) ( r , , ) ( r ) ( r , , ) R( r ) ( ) ( )
2l ( l 1 )
l 0
n 1
2n2
例题：氯原子有
17个电子，写出 基态原子组态。
n 1 2
3
1s22s22p63s23p5
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l 0 0 1 0 1
2（2l+1）
2 2 6 2 5
1s2 2s2 2p6 3s2 3p514
原子中的电子总是优先地占据能量最低的能级 电 子 态 填 充 的 次 序 如 图
三、多电子原子系统
由多个电子与原子核组成的原子系统其薛定谔方程的 求解更难更复杂。 由量子力学近似处理： 核外电子的状态由下列四个量子数来确定
n , l , ml , m s
一般来说：能量由主量子数决定，当能量较高时与其他 量子数也有关。 1916年，柯塞尔提出了核外电子的壳层分布模型。
n 决定，n 相同的电子处在同一主壳层。 n 相同 l 不同的电子处在不同的分壳层。 l 0 ,1,2 ,3 , n 1,2 ,3 , K , L , M , N , O , s , p , d , f , 2014-6-21 13
LZ 0, ,2
7
电子的状态可用 n、l、ml 三个量子数表 nlml 示，相应的波函数 。 对确定能级En电子有 n2 种可能状态 基态
n =1 n2=1 —— 100
第一激发态 n =2
n2 =4
—— 2lm
？
l = 0 —— ml = 0
—— 2 0 0 211 2 1 0 —— m = 0 、 1 1 l
-s+1=s
LSz
3 Ls s(s 1 ) 2
s
1 =？ 2
2
Lsz
1 s m 2
1 ms = s，…… s s 2
2
对称，说明银原子 可分为两类，受力 大小相等方向相反。
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电子的状态要用 n、l、ml ，ms四个量子数 表示，相应的波函数 nlm ms 对确定能级
h h p mv
电子的德布罗意波长：
m0
v0 0
加速电场

e
u
v c
h h 12.25 A u m0 v 2eum0
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2.德布罗意波的实验验证 (1) 戴维孙和革末（1927年） 电子衍射实验 (2) 汤姆逊（1927） 电子束穿过多晶薄膜的衍射实验
多晶铝泊
3. 玻恩的统计解释 电子衍 射实验
明条纹处,电子出现的几率大
暗条纹处,电子出现的几率小
物质波是 几率波。
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在空间某处单位体积元中粒子出现的几 率与物质波在该处振幅的平方成正比。
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二、测不准关系
x p x h
一般
x p x h
4
2
常用
x p x
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三、一维无限深势阱:
1.薛定谔方程及其解
2
U=0（0<x<a） U
d 2mE 0 (0 x a ) 2 2 dx 归一化条件： 通解： ( x ) A sinkx B cos kx a 2 2 n 边界条件： (0 ) 0 ( a ) 0 A sin ( a )dx 1
2
E E En
o
n 1,2, 3 ,
r1 0.529 A n 1(基态) E1 13.6 (eV)
20
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电离能：把核外电子从某稳定态（n） 移到无限远处所需要的能量。
15.3 实物粒子的波粒二象性 一、物质波 1. 德布罗意假设 一切实物粒子都具有波粒二象性。
为 使R（r )满 足 标 准 条 件 当E〈0时
1 me En 2 ( 2 2 ) n 8 0h
4
n=1,2,3----主量子数
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5
2、角动量量子化
具有确定能量的电子角动量可有若干， 角动量大小
L
l (l 1)
l 决定角动量大小。
角量子数 l = 0、1、2……n-1 s p d En——n
2 0
E h h P
|2
| |

物质波的强度 |
1. 物理意义 (几率密度) | |2 表示粒子在某时刻某一位置单位体积内出现的几率。 2. 归一化条件 3. 标准化条件
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| | dxdydz 1
V
2
单值、有限、连续。
回顾 一
波函数的条件及统计解释
标准化条件：单值，有限，连续。 归一化条件：



dxdydz 1
2
二 定态薛定谔方程
d 2 2m 2 ( E U ) 0 2 dx 三 一维无限深势阱中的 应用 U=0（0<x<a） U = U0（其他）
n En 2 2ma
式中的
ml2 d l ( l 1 ) 2 0 d sin 2 2 2m e l( l 1 ) E R 0 2 2 4 0 r 2m r
都是整数常数
4
l
和
ml
求解氢原子波函数，化为求三个常微分方程问题。 2014-6-21
1
能量量子化和主量子数
2
U( r )
e2
在球坐标中的拉普拉斯算符
1 2 1 1 2 (r ) 2 (sin ) 2 r r r r sin r sin2 2
2
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用分离变量法，分离成三个常微分方程
d 2 2 2 ml 0 d 1 d sin sin d 1 d 2 dR (r ) 2 r dr dr
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对粒子 的位置 和动量 不可能 同时进 行准确 的测量
(1) 测不准关系 是微观粒子具有 波粒二象性的必 然反映。
(2) 测不准关系 是客观规律， 不是测量技术 和主观能力的 问题。
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15.4 薛定谔方程及应用
一、波函数
一维自由运动的粒子：
i ( Et Px )
2
( x t ) 0e
h
1 2 h mv A 2
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h h p mc c
c h h
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三、康普顿效应
1.实验现象
散射线中有两种波长 0 ：正常光
（> 0）康普顿散射光 2.康普顿效应公式
2h 2 sin 0 m0 c 2
2 n 方程的解： ( x ) sin x a a
2. 能量：
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o
n 1,2,3
n 1,2,3
26
n2 2 2 En 2 2ma
15.5 氢原子的量子力学处理方法
一、四个量子数
（1）主量子数 （2）角量子数
E1 n 1,2,3,... 决定电子的能量 En 2 n
l 0,1,2,...,n 1 共有n个值
决定电子绕核运动的角动量
L l (l 1)
（3）磁量子数
ml 0,1,2,... l 共有( 2l 1)个
磁量子数
ml = 0、±1、±2…… ±l 决定角动量方向。对应一l 可能有 2 l + 1 个不同取向。 例：
6
l2
ml=0——LZ = 0
ml=-1——LZ= ml=-2—LZ= 2
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L 2 (2 1) 6
m 0、 1、 2
时，发射或吸收一个光子。
h En E K
（3）轨道角动量量子化假设
L
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h mvr n 2
n n 1,2,3, ,
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二、 玻尔的氢原子理论
氢 原 子
rn n r1 E1 En 2 n E E E n
2
类 氢 离 子
n r1 r 'n Z 2 E1 E 'n Z 2 n
例如：第二激发态的电 子 n=3 对应角量子数l =
n个
0 — 3s ——L = 0
1 —3p—— L=
2
6
2 —3d——L= 6
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3、角动量取向量子化
具有确定角动量的电子，角动量方向可有若干，L 在任意一轴上（如：沿磁场方向）投影LZ
LZ ml
Z
ml=2—LZ = 2 ml=1—LZ =
n 1 2 3 n
决定 电子饶核运动的角动量。
2 n 1
有 n 个取值
（3）磁量子数：ml
决定 电子饶核运动角 动量的空间取向。 决定
ml 0 1 2 l
（4）自旋磁量子数：m s 电子自旋角动 量的空间取向。 有两个取值
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1 ms 2
0 h C 0.024 A m0 c
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15.2 玻尔氢原子理论
一、 玻尔的三个基本假设 （1）稳定态假设原子只能处在一系列不连续的稳定状态
（定态），其能量只能取不连续的量值E1 ，E2 ，E3，……， 电子虽然绕核作圆周运动，但不辐射能量。
（2）跃迁假设原子从En态跃迁到Ek态
En电子有2 n2 种可能状态
基态 n =1 2n
100 1
2=
2
2
100
1 2
第一激发态 n =2
2n2 = 8 —— 2lm
？
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小结：
决 定 电 子 饶 核 运 动 状 态

（1）主量子数： n （2）副量子数： l
l0 1
决定
电子在原子中的能量。 有某个确定取值
l
n 1 2 3 4 5 6 7
2
0
s
1
p
6 6 6 6 6 6
2
2
d
3
f
4 Z 2n2
g
2 8 18 32 50
K L M N O P Q
2
2 2 2 2 2 2 2
6
10 10 10 10 10
6
14 14 14 14
2
18 18 18
10 6
1s 2s 2 p 3s 3 p 4s 3d 4 p 5s
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2
15
15.1 光的量子性
第十五章 总
结
一、 光电效应的实验规律 1.单位时间内,从受光照射的电极上释放出来的光 电子数目N与入射光的强度I成正比。
1 2.光电子的最大初动能随入射 2 mv ek eu 0 光的频率ν呈线性地增加,与入射光 2 强度无关。 u0 3. 光电效应有一定的截止频率。 0
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二、薛定谔方程
1.一维自由粒子定态薛定谔方程 i Px 与时间无关， 一维定态波函数。 0
( x) e
d 2 ( x) 2m EK ( x) 0 2 2 dx
2.势场中粒子的定态薛定谔方程
若粒子在势场中：
2
E EK U
若 U 与时间无关
2m 2 [ E U ( x)] 0
2 1-1
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二
电子的自旋
1、斯特恩－盖拉赫实验（1921）
Z
S
Ag
Fra Baidu bibliotek
N P
用s态（l=0）银原子无论 有无磁场都只有一条！ 实验结果：有磁场时，底板上是呈对称分布的两条纹。
B 0 z
？
B0
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2、电子自旋理论（1924年）
电子除了绕核运动外，还绕自身轴旋转自转角动量 Ls、Lsz 根据量子理论 且