湖北省武汉市 高二数学3月月考试题理
湖北省高二下学期3月联考数学试题(解析版)
一、单选题1．一质点运动的位移方程为，当秒时，该质点的瞬时速度为（ ）()2216010m/s 2s t gt g =-=4t =A ． B ． C ． D ．20m/s 30m/s 40m/s 50m/s 【答案】A【分析】利用导数的概念即可求出结果.【详解】因为，所以当时，. 60s gt '=-4t =20m/s s '=故选：A.2．直线与平行，则（ ） 320ax y -+=()2210a x y ---==a A ．6 B ．C ．或3D ．36-2-【答案】A【分析】根据两直线平行与系数的关系即可求出结果. 【详解】已知直线与平行， 320ax y -+=()2210a x y ---=由，得.经验证，符合题意. ()322a a --=-6a =故选：A.3．已知函数的导函数的图象如图所示，则的极小值点为（ ）()f x ()f x '()f xA ．和B ．C ．D ．1x 4x 2x 3x 5x 【答案】D【分析】根据导函数的图像，确定导函数取得正负的区间，得到原函数的单调性，从而可得选项. 【详解】因为当，，所以单调递增；当时，，当()3,x x ∈-∞()0f x ¢>()f x ()35,x x x ∈()0f x '<时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故的极()5,x x ∈+∞()0f x ¢>()f x ()35,x x ()5,x +∞()f x 小值点为. 5x 故选：D.4．已知等比数列满足，则（ ）{}n a 1352112nn a a a a -+++⋅⋅⋅+=-234a a a =A ．8B ．C ．D ．168-【答案】C【分析】利用等式数列前n 项和公式求出，，进而即可求出结果.22q =11a =-【详解】设等比数列的公比为，由， {}n a q ()211352121121nn n a q a a a a q-⎡⎤-⎢⎥⎣⎦+++⋅⋅⋅+==--解得，.22q =11a =-所以. ()332234318a a a a a q ===-故选：C.5．某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料.瓶子的制造成本是分，其中r （单位：40.1πr cm ）是瓶子的半径.已知每出售1mL 的液体材料，制造商可获利0.3分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为8cm ，则当每瓶液体材料的利润最大时，瓶子的半径为（ ） A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm【答案】A【分析】根据给定条件，借助球的体积公式求出每瓶液体材料的利润，再利用导数求解作答. 【详解】依题意，每瓶液体材料的利润，，34344()0.3π0.1)π0.1π(43f r r r r r =⨯-=-08r <≤则，令，得，当时，，当时，2()0.4π(3)f r r r =-'()0f r '=3r =(0,3)r ∈()0f r '>(3,8)r ∈()0f r '<，因此函数在上单调递增，在上单调递减，即当时，取最大值， ()f r (0,3)(3,8]3r =()f r 所以当每瓶液体材料的利润最大时，. 3r =故选：A6．已知，分别为双曲线的左、右焦点，若点到该双曲线渐近线的距1F 2F ()222210,0x y a b a b -=>>2F 离为1，点在双曲线上，若的面积为（ ） P 12tan F PF ∠=12F PF △A ． BCD【答案】B【分析】根据点到该双曲线渐近线的距离为1，可以求出，利用双曲线定义和余弦定理可以2F 1b =得到，再根据，进而可以求出()121221cos 4PF PF F PF -∠=12tan F PF ∠=121cos 5F PF ∠=结果.【详解】因为点到该双曲线渐近线的距离为1，双曲线渐近线方程为， 2(,0)F c by x a=±.1b ==由， ()12222121212222cos PF PF a c PF PF PF PF F PF ⎧-=⎪⎨=+-∠⎪⎩可得.()2121221cos 44PF PF F PF b -∠==因为， 12tan F PF ∠=12sin F PF ∠=121cos 5F PF ∠=所以，1212251cos 2PFPF F PF ==-∠故的面积为12F PF △1212115sin 222PF PF F PF ∠=⨯=故选：B.7．定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式()0,∞+()f x ()f x '()()0xf x f x '-<()20f =的解集为（ ）()()10x f x ->A ． B ． C ． D ．()0,2()1,2()0,1()2,+∞【答案】B 【分析】设，由已知得出在上单调递减，结合进一步计算得到结()()f xg x x=()g x ()0,∞+()20f =果.【详解】设，则，因为，所以在上()()f x g x x=()()()2xf x f x g x x '-'=()()0xf x f x '-<()g x ()0,∞+单调递减.因为，所以，所以当时，，当时，，故不等式()20f =()20g =02x <<()0f x >2x >()0f x <的解集为.()()10x f x ->()1,2故选：B.8．若数列对任意连续三项，，，均有，则称该数列为“跳跃{}n a i a 1i a +2i a +()()2210i i i i a a a a +++-->数列”，下列说法中正确的是（ ） A ．存在等差数列是“跳跃数列”{}n a B ．存在公比大于零的等比数列是“跳跃数列”{}n aC ．若等比数列是“跳跃数列”，则公比 {}n a ()1,0q ∈-D ．若数列满足，则为“跳跃数列” {}n a 121n n a a +=+{}n a 【答案】C【分析】由可判断A ；由可()()222120i i i i a a a a d +++--=-≤()()()()2222111i i i i i a a a a a q q q +++--=--+判断B ；解不等式可判断C ；由得()()()()22221110i i i i i a a a a a q q q +++--=--+>121n n a a +=+，计算可判断D.243n n a a +=+()()221i i i i a a a a +++--【详解】若是等差数列，设公差为，则，所以不存在等差数{}n a d ()()222120i i i i a a a a d +++--=-≤列是“跳跃数列”，故A 错误；{}n a 若是等比数列，设公比为，则，当时，{}n a q ()()()()2222111i i i i i a a a a a q q q +++--=--+0q >，所以B 错误；()()()()22221110i i i i i a a a a a q q q +++--=--+≤由，得，所以C 正确；()()()()22221110i i i i i a a a a a q q q +++--=--+>()1,0q ∈-因为，所以，所以121n n a a +=+212143n n n a a a ++=+=+，故D 错误.()()()()()()()22214343213322610i i i i i i i i i i i a a a a a a a a a a a +++--=--+--=--+=-+≤故选：C.二、多选题9．已知函数的导函数为，则下列选项正确的有（ ） ()f x ()f x 'A ．若，则 ()()ln 21f x x =-()221f x x ='-B ．若()f x =()2535f x x -'=C ．若，则()cos sin x f x x =π24f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭D ．若，则 ()3xf x =()31ln 3f '=【答案】AC【分析】根据复合函数的导数公式判断选项A ，B ，C ；根据指数函数的求导公式判断选项D. 【详解】对于A ，令，，因为，，所以ln y μ=21x μ=-1y μ'=2μ'=()12221f x y x μμ'=⨯='⋅'=-，故A 正确；对于B ，因为，所以，故B 不正确；()53f x x ==()2353f x x ='对于C ，因为，所以，故C 正确；()()()22cos sin sin cos 1sin sin x x x x f x x x''=-'-=π24f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭对于D ，因为，所以，故D 不正确.()3ln3xf x ='()13ln3f '=故选：AC.10．如图，在四棱锥中，平面，，，P ABCD -PA ⊥ABCD AB CD A π2ABC ∠=122AB PA CD ===，M 为PC 的中点，则（ ）BC =A ．直线AM 与BC 所成的角为π4B ．DM = C．直线AM 与平面 ADP D ．点M 到平面ADP 【答案】ACD【分析】过A 作，垂足为E ，以A 为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一AE CD ⊥判断各个选项即可.【详解】过作，垂足为，则，A AE CD ⊥E 2DE =以为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，A AE AB AP 则，，，，，，()0,2,0B ()2,0C ()2,0D -()002P ,,)M)AM =，.()BC = ()DM =对于A ，因为cos ,AM BC AM BC AM BC ⋅===所以直线AM 与BC 所成的角为，故A 正确. π4对于B B 不正确. =对于C ，设平面的法向量为，ADP (),,n x y z =因为，，()2,0AD =- ()0,0,2AP = 所以令.20,20,n AD y n AP z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩x)n = 设直线与平面所成的角为，则，AM ADP αsincos ,AM n AM n AM n α⋅====所以直线与平面C 正确. AM ADP 对于D ，设点到平面的距离为，则M ADPd AM n d n⋅=== 即点到平面D 正确. M ADP故选：ACD.11．已知函数，，若与的图象上有且仅有2对关于原点对()ln 1f x x x =+()e xg x ax -=+()f x ()g x 称的点，则a 的取值可以是（ ） A ．2e B ． C ． D ．e 2+e 1+2e 【答案】ABD【分析】根据与的图象上有且仅有两对关于原点对称的点，可转化为与在()f x ()g x ()f x ()g x --上有两个交点，分离参数构造函数，求导讨论单调性求最值即可求解.(0,)+∞a 【详解】因为与的图象上有且仅有2对关于原点对称的点， ()f x ()g x 所以方程有且仅有两解.()()0f x g x +-=由，得. ()()ln 1e 0xf xg x x x ax +-=++-=e 1ln x a x x+=+设，则与的图象有两个交点，()e 1ln x x x x ϕ+=+y a =()e 1ln xx x xϕ+=+因为，所以在上单调递减，在上单调递增，且两边趋向正无()()()21e 1x x x x ϕ-'+=()x ϕ()0,1()1,+∞穷，所以，故，所以. ()()min 1e 1x ϕϕ==+()1e 1a ϕ>=+()e 1,a ∞∈++故选：.ABD 12．已知抛物线的焦点为F ，过F 的直线与C 交于点，，则下列结论2:4C y x =()11,A x y ()22,B x y 正确的是（ ）A ．若，则直线AB 的斜率为1 124y y +=B ．若，则 124x x +=8AB =C ．的最小值为4AB D ．若直线AB 的斜率为1，则AF BF -=【答案】ACD【分析】利用点差法求直线AB 的斜率判断选项A ；根据焦点弦长公式求解判断选项B ；对于选项C ，D ，用直线的倾斜角为表示，进一步计算判断C ，D 选项.AB α,AF BF 【详解】对于A ，因为所以，，则. 2112224,4,y x y x ⎧=⎨=⎩22121244y y x x -=-12x x ≠1212124y y x x y y -=-+因为，所以直线的斜率为，故A 正确.124y y +=AB 12121y yx x -=-对于B ，，故B 错误. 12122622p pAB AF BF x x x x =+=+++=++=对于C ，如图，过点作轴，垂足为，作垂直于准线的直线，垂足为.A AH x ⊥H 1AA 1A设直线的倾斜角为.，则，即AB α1cos AF AA p FH p AF α==+=+()1cos AF p α-=，同理可得.，当且仅当1cos pAF α=-1cos p BF α=+22244sin sin p AB AF BF αα=+==≥90α=︒时，等号成立，故C 正确.对于D ，因为直线的斜率为1，所以AB cos α=，故D 正确.1cos p AF BF α-=-故选：ACD.三、填空题13．已知数列满足，，则______. {}n a 11a =1n n a a n +=-4a =【答案】5-【分析】根据递推公式计算可得. 【详解】因为，， 11a =1n n a a n +=-所以，，， 211a a -=-232a a -=-433a a -=-累加可得，解得. 411236a a -=---=-45a =-故答案为：.5-14．函数的导函数为，若，则______.()f x ()f x '()()31e 03xf x x f x '=++()0f '=【答案】2【分析】可以求出导函数，代入可得．()()31e 03xf x x f x '=++0x =()0f '【详解】由，得，()()31e 03xf x x f x '=++()()2e 01x f x x f ''=++得. ()02f '=故答案为：2.15．已知直线与圆相交，则整数的一个取值可能是4320x y m ++=22:(3)(1)1C x y ++-=m __________.【答案】3（或，只需填写一个答案即可）4,5,6【分析】利用圆的标准方程及点到直线的距离公式，结合直线与圆相交的条件即可求解. 【详解】由圆，得圆的圆心为，半径为， 22:(3)(1)1C x y ++-=C ()3,1C -1所以圆心到直线的距离为()3,1C -4320x y m ++=d因为直线与圆相交 4320x y m ++=22:(3)(1)1C x y ++-=所以，解得，2915m -<27m <<所以整数的所有可能取值为.m 3,4,5,6故答案为：3（或，只需填写一个答案即可）.4,5,6四、双空题16．现代建筑讲究的线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点()f x '()f x ()f x ''()f x '()y f x =()(),x f x 处的曲率，若曲线和在处的曲率分别为，，则()()()()3221f x K f x =+'''()13e x f x -=()21g x x=1x =1K 2K ______；设余弦曲线的曲率为K ，则的最大值为______ 12K K =()cos h x x =2K 【答案】【分析】根据曲率的定义求得，，从而求得，求得的表达式，结合导数求得的最大1K 2K 12K K 2K 2K 值.【详解】因为，所以，，()13e x f x -=()13e x f x -='()13e x f x -=''所以，，所以.()13f '=()13f ''=()()()()()32133222133101911f K f -===⨯+'+''因为，所以，. ()21g x x =()32g x x -=-'()46g x x -=''所以，，所以，()21g '=-()16g ''=()3223266514K -==⨯+所以35212322310265K K ---⨯===⨯因为，所以，则， ()cos h x x =()sin h x x =-'()cos h x x =-''所以.()()2223322cos cos 1sin 2cos xxK x x ==+-令，则.[]2cos 0,1t x =∈()()232tK h t t ==-因为，所以在上单调递增，()()42202t h t t +=>-'()h t []0,1当，即时，有最大值，所以.1t =2cos 1x =2K ()11h =2max 1K =；1.五、解答题17．已知函数.()3223129f x x x x =--+(1)求曲线在处的切线方程； ()y f x =()()1,1f (2)求在上的最值. ()f x []3,3-【答案】(1) 1280x y +-=(2)最小值为，最大值为16. 36-【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，再根据点斜式方程即可得切线方程； （2）求出函数在上的所有极值和，通过比较即可得最值.()f x []3,3-()()3,3f f -【详解】（1）因为，所以.()3223129f x x x x =--+()26612f x x x '=--因为，，()112f '=-()14f =-所以所求切线方程为，即.()4121y x +=--1280x y +-=（2），令，得或.()()()26612621f x x x x x '=--=-+()0f x '==1x -2x =当时，，单调递增； [)3,1x ∈--()0f x ¢>()f x 当时，，单调递减； ()1,2x ∈-()0f x '<()f x 当时，，单调递增，(]2,3x ∈()0f x ¢>()f x 所以，当时，取极大值；当时，取极小值， =1x -()f x ()116f -=2x =()f x ()211f =-又因为，，()336f -=-()30f =所以在上的最小值为，最大值为16.()f x []3,3-36-18．如图1，在中，，，AD 是BC 上的高，沿AD 把折起，ABC A 60ABC ∠=︒90BAC ∠=︒ABD △使，如图2.=90BDC ∠︒(1)证明：.AB CD ⊥(2)设E ，F 分别为BC ，AC 的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. ADB DEF 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，验证即可；0AB DC ⋅=（2）分别求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式求解即可得出答案. ADB DEF 【详解】（1）由题意可知，DA ，DB ，DC 两两垂直，不妨设，以为坐标原点，以，2DB =D DB，的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， DC DA则，，，，.(0,0,A ()2,0,0B ()0,6,0C ()1,3,0E (F因为，(2,0,AB =- ()0,6,0DC =所以，故. (200600AB DC ⋅=⨯+⨯+-⨯= AB CD ⊥（2）设平面的法向量为，DEF (),,n x y z =因为，，()1,3,0DE=(DF = 所以令，得.30,30,n DE x y n DF y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩1y =(3,1,n =- 取平面的一个法向量为.ADB ()0,1,0m =设平面与平面所成的锐二面角为，则ADB DEF αcos m n m nα⋅=== 故平面与平面. ADB DEF 19．已知函数.()22e xf x x ax =--(1)若函数在R 上单调递减，求实数a 的取值范围；()f x (2)若过点可作三条直线与曲线相切，求实数a 的取值范围. ()1,1-()y f x =【答案】(1)证明见解析(2) 2,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）由题意可得在上恒成立，分离参数后即可求出结果；()0f x '≤R （2）设切点为，表示出切线方程，进而转化为的图象与直线()()00,x f x ()2212e xh x x x x =++-有三个交点，研究图像即可求出结果.y a =()h x 【详解】（1）因为在上单调递减，所以在上恒成立，()f x R ()0f x '≤R 因为，()22e xf x x a =--'所以，即.22e 0x x a --≤22e x a x ≥-令，则，()22e x g x x =-()()22e 21e x xg x =-=-'所以在上单调递增，在上单调递减， ()g x (),0∞-()0,∞+所以， ()()max 02g x g ==-故实数的取值范围是.a [)2,-+∞（2）设切点为，则， ()()00,x f x ()020002e x f x x ax =--()00022e x f x x a =--'所以切线方程为 ()()()00200002e 22e x x y x ax x a x x ---=---将点代入得，()1,1-()()()002000012e 22e 1x x x ax x a x ---=----整理得，02000212e 0x x x x a ++--=即关于的方程有三个不同根，x 2212e 0x x x x a ++--=等价于的图象与直线有三个交点.()2212e xh x x x x =++-y a =因为，()()()()()2121e 211e x xh x x x x =+-=+-'+所以在，上单调递减，在上单调递增. ()h x (),1-∞-()0,∞+()1,0-因为，， ()21eh -=()01h =所以实数的取值范围是.a 2,1e ⎛⎫⎪⎝⎭20．设等差数列的公差为d ，前n 项和为，等比数列的公比为q .已知，，{}n a n S {}n b 11b a =29b =，.q d =10165S =(1)求，的通项公式 {}n a {}n b (2)当时，记，求数列的前n 项和. 1d >nn na cb ={}n c n T 【答案】(1)或 3,3n n n a n b =⎧⎨=⎩1477,6272.23nn nn a b -+⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=⨯ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)19231443n n n T -+⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭【分析】（1）由已知应用等差、等比数列的通项公式列方程求基本量，进而写出通项公式；（2）由题设有，应用错位相减法求Tn ．113n n c n -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭【详解】（1）由题意知，119,1045165a d a d =⎧⎨+=⎩解得或 13,3a d =⎧⎨=⎩127,22,3a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以或 3,3n n n a n b =⎧⎨=⎩1477,6272.23nn nn a b -+⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=⨯ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）因为，所以.1d >13133n n n n n a n c n b -⎛⎫===⨯ ⎪⎝⎭因为，012111111233333n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，1231111112333333nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得121211111333333n nn T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11133131322313nn nn n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-⨯=-+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-故19231443n n n T -+⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭21．已知椭圆，四点，，，中恰有三()2222:10x y C a b a b+=>>(1P ()21,1P )3P ()4P 点在C 上. (1)求C 的方程；(2)若圆的切线l 与C 交于点A ，B ，证明为定值，并求出定值.2243x y +=OA B OB A ⋅【答案】(1)22142x y +=(2)【分析】(1)利用对称性可以判断经过，两点，与的纵坐标相同可以判断在上，进C 3P 4P 2P 3P 1P C 而求出结果；(2)先讨论切线的斜率不存在时，求出，再讨论切线的斜率存在时，利用相切得到l OA OB ⊥l ，进而联立直线与椭圆可以判断，从而求出结果.()22341m k =+OA OB ⊥【详解】（1）由，两点关于轴对称，可得经过，两点.3P 4P y C 3P 4P 与的纵坐标相同，且都位于第一象限，不可能都在上，所以不在上.2P 3PC 2P C 所以在上.1P C 则，解得，22211b a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩故的方程为.C 22142x y +=（2）当切线的斜率不存在时，得l :l x =当，. :l x=AB，则.0OA OB ⋅== OA OB⊥当时，同理可证. :l x =当切线的斜率存在时，设.l :l y kx m =+因为与圆相切， l 2243x y +=所以圆心到的距离为()0,0l d ==即，()22341m k =+联立得.22,1,42y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222214240k x kmx m +++-=设，，则，. ()11,A x y ()22,B x y 122412km x x k +=-+21222412m x x k -=+ ()()()()221212*********OA OB x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=++++()()222222212441212k m k m m k k+-=-+++. 22243412k m k -+-=+由，得，则.()22341m k =+0OA OB ⋅= OA OB ⊥综上，若圆的切线与交于点A ，B ，则， 2243x y +=l C OA OB ⊥所以由等面积法可得OA OB d AB⋅==所以为定值，定值为OA B OB A ⋅【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．22．已知函数，.()22e xa f x x =0a ≠(1)讨论函数的单调性；()f x (2)若恒成立，求实数a 的取值范围. ()ln ln x xf x a -≤【答案】(1)答案见解析(2). 1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）对进行求导，得，分类讨论和两种情况，利用导()f x ()()222e 21x a x f x x'-=0<a 0a >数研究函数的单调性，即可得出函数的单调性；()f x （2）根据题意，将原不等式转化为，令，即，根据ln 22e e xxax x a ≥()e xu x x =()2ln x u x u a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭()x μ的单调性及函数值的正负得出恒成立，参变分离得，构造新函数，利用2ln x x a ≥2e x xa ≥()2ex x v x =导数研究的单调性和最值，从而得出实数a 的取值范围.()v x 【详解】（1）因为，，()22e xa f x x=()(),00,x ∈-∞⋃+∞所以. ()()222222e 214e 2e xx x a x a x a f x x x --='=当时，由，得，由，得，且，0a >()0f x ¢>12x >()0f x '<12x <0x ≠故的单调递增区间为，单调递减区间为，；()f x 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(),0∞-10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，由，得，且，由，得， 0<a ()0f x ¢>12x <0x ≠()0f x '<12x >故的单调递增区间为，，单调递减区间为.()f x (),0∞-10,2⎛⎫⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）易知，.0x >0a >由，可得， ()ln ln x xf x a -≤22e ln ln lnxx a x a a≥-=所以恒成立，即恒成立22e ln xx x x a a ≥ln 22e e ln x x ax x a≥设，则，()e xu x x =()()1e xu x x '=+当时，，当时，， 1x <-()0u x '<1x >-()0u x '>所以在上单调递减，在上单调递增. ()u x (),1-∞-()1,-+∞因为当时，，当时，，0x <()0u x <0x >()0u x >所以恒成立, 即恒成立,等价于恒成立，ln 22e e ln xxaxx a ≥()2ln x u x u a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭2ln x x a ≥即对恒成立.2exxa ≥()0,x ∈+∞设，，则. ()2e x x v x =0x >()212ex xv x -'=当时，；当时，.10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0v x '>1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0v x '<所以在上单调递增，在上单调递减，()v x 10,2⎛⎫⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭所以，所以，即的取值范围是.()max 1122e v x v ⎛⎫== ⎪⎝⎭12e a ≥a 1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】方法点睛：对于含参不等式的恒成立问题，往往采用参变分离或构造含参函数两种方法，参变分离在使用时，一定保证能够分离出函数，可利用导数清晰的研究出其单调性；构造含参函数，利用导数研究其单调性时，一般导函数能够分解因式，再利用分类讨论，可得答案.。
高二下学期3月月考数学(理)试题 Word版含答案
高二理科数学月考试题一第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、下列没对向量垂直的有（ ）对（ ）A ．(3,4,0),(0,0,5)B ．(3,1,3),(1,0,1)-C ．(2,1,3),(6,5,7)--D ．(6,0,12),(6,5,7)-2、已知向量(,2,5)a x =-和(1,,3)b y =-平行，则xy 为A ．4B ．3C ．-2D ．13、函数()22ln f x x x =-的单调递增区间是 A ．(0,1) B ．2(0,)4 C ．1(,)2+∞ D ．1(,0)2-1(,)2+∞ 4、曲线x y e =在点2(2,)e 处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为A ．212eB ．22eC ．2eD ．294e 5、已知函数()32()1f x x ax a xb =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是A ．12a -<<B ．36a -<<C ．3a <-或6a >D ．1a <-或2a >6、如图，平面六面体1111ABCD A B C D -，其中0014,3,3,90,60AB AD AA BAD BAA '===∠=∠=，0160DAA ∠=,则1AC 的长为A ．55B ．65C ．85D ．957、曲线ln(21)y x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是A ．5B ．25C ．35D ．08、已知3,(1,2,0),()4a c a c ==-=，则cos ,a c =A ．13B ．3C ．3D ．3 9、,,a b c 为三个非零向量，则①对空间任一向量p ，存在唯一实数组(,,)x y z ，使p xa yb zc =++；②若//,//a b b c ，则//a c ；③若a b b c ⋅=⋅，则a c =；④()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，以上说法一定成立的个数A ．0B ．1C ．2D ．310、已知函数()y xf x '=的图象如右图所示（其中：()f x '是函数()f x 的导函数），下面四个图象中()y f x =的图象大致是A ．111111B ．111111C ．111111D ．111111A ．111111B ．111111C ．111111D ．111111A ．111111B ．111111C ．111111D ．111111第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..11、在ABC ∆中，已知15(1,2,3),(2,2,3),(,,3)22A B C --，则AB 边上的中线CD 的长是12、在曲线的切线323610y x x x =++-斜率中，最小值是13、已知函数()()cos sin 4f x f x x π'=+，则()4f π的值为 14、直线y a =与函数()33f x x x =-的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是 15、已知向量(2,2,0),(2,0,2)a b ==-，若存在单位向量n ，使n a ⊥，且n b ⊥， 则n 为三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16、（本小题满分12分）设函数()28ln 3f x x x =-+. （1）求曲线()y f x =在点(1,4)处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间.17、（本小题满分12分）如图边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是111,CC B C 的中点.（1）证明：1A N ⊥平面1AMD ；（2）求二面角1M AD D --的余弦值.18、（本小题满分12分）已知a 为实数，()2(4)()f x x x a =--. （1）求导数()f x '；（2）若1x =-是函数()f x 的极值点，求()f x 在[]2,2-上的最大值和最小值；（3）若()f x 在(,2]-∞-和[2,)+∞上都是递增的，求a 的取值范围.19、（本小题满分12分）某厂生产产品x 件的总成本()32120075c x x =+（万元），已知产品单价P （万元）与产品件数x 满足：2k P x=，生产件这样的产品单价为50万元. （1）设产量为x 件时，总利润为()L x （万元），求()L x 的解析式；（2）产量x 定为多少件时总利润()L x （万元）最大？并求最大值（精确都1万元）20、（本小题满分13分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，24,AB AD BD PD ===⊥平面ABCD.（1）证明：平面PBC ⊥平面PBD ；（2）若二面角P BC D --大小为4π，求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值.21、（本小题满分14分）已知()ln xf x e x =. （1）求()()y f x f x '=-的单调区间与极值；（2）证明：()1f x '>.。
湖北省武汉市2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题含答案
武汉2025届高二下学期数学三月月考（答案在最后）一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数3()3sin f x x x =-+的图象在点(0,(0))A f 处的切线方程是（）A.30x y -=B.30x y -= C.30x y += D.30x y +=【答案】B 【解析】【分析】利用导数的几何意义求切线方程.【详解】因为3()3sin f x x x =-+，所以(0)0f =，所以切点为(0,0)A ，又2()33cos f x x x '=-+，由导数的几何意义知函数的图象在点A 处的切线斜率(0)03cos03k f '==+=，故得函数()f x 的图象在点A 处的切线方程是03(0)y x -=-，即为30x y -=．故选：B2.已知函数()()()1e xf x x a =-+在区间()1,1-上单调递增，则a 的最小值为（）A.1e -B.2e - C.eD.2e 【答案】A 【解析】【分析】()0f x '≥在()1,1-上恒成立，即e x a x ≥-，构造函数()e xg x x =-，()1,1x ∈-，求导得到其单调性，得到()()11e g x g ->-=，得到1e a -≥，求出答案.【详解】由题意得()0f x '≥在()1,1-上恒成立，()()e 1e e x x x f x a x x a =++-=+'，故e 0x x a +≥，即e x a x ≥-，令()e xg x x =-，()1,1x ∈-，则()()e e 1e <0xxxg x x x =--=-+'在()1,1x ∈-上恒成立，故()e xg x x =-在()1,1x ∈-上单调递减，故()()11e g x g ->-=，故1e a -≥，故a 的最小值为1e -.故选：A3.若函数()3231f x ax x x =+-+恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围是（）A.(3,0)- B.(0,)+∞C.(,3)(0,)∞∞--⋃+ D.(3,0)(0,)-⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】由题意得()2361f x ax x +'=-有两个不相等的零点，列出不等式组求解即可.【详解】依题意知，()2361f x ax x +'=-有两个不相等的零点，故0Δ36120a a ≠⎧⎨=+>⎩，解得3a >-且0a ≠.故选：D.4.已知R 上的可导函数()f x 的图象如图所示，则不等式()()20x f x '->的解集为（）A.()(),21,-∞-+∞B.()()212-∞-,,UC.()(),12,-∞-+∞ D.()()1,12,-+∞ 【答案】D 【解析】【分析】由函数图象得出()0f x '>和()0f x '<的解，然后用分类讨论思想求得结论．【详解】由图象知()0f x '>的解集为(,1)-∞-(1,)⋃+∞，()0f x '<的解集为(1,1)-，(2)()0x f x '->20()0x f x -⇔'>⎧⎨>⎩或20()0x f x -<<'⎧⎨⎩，所以2x >或11x -<<，解集即为()()1,12,-+∞ ．故选：D ．5.已知函数()()2121ln 2f x f x x x '=-++（()f x '是()f x 的导函数），则()1f =（）A.32B.1C.2D.12-【答案】A 【解析】【分析】先对函数()f x 求导，代入1x =，求出()1f '的值，进而求解()1f 的值即可.【详解】因为()()2121ln 2f x f x x x '=-++所以定义域为()0,+∞.所以()()1212f x f x x''=-+当1x =时，()()12121f f ''=-+，()11f '=，则()1312122f =-+=故选：A6.已知函数2ln 1()x a g x x x x=+-在()21,e 上存在极值，则实数a 的取值范围为（）A.e 1,2⎛⎫⎪⎝⎭B.e 02⎛⎫ ⎪⎝⎭, C.(0,1)D.(0,e)【答案】B 【解析】【分析】先求导函数，根据存在极值得出()32ln 2()x x ag x x--'=在给定区间有变号零点,设()()2ln ,t x x x =-再根据导数求出最值即可求解.【详解】()222332ln 2ln 11ln 21()()x x ax a x a g x g x x x x x x x x---'=+-∴=-+= ,函数2ln 1()x a g x x x x =+-在()21,e 上存在极值，()()32ln 2x x a g x x --∴='在该区间有变号零点.即()()2ln 2=02=2ln x x a a x x ---，,()()()2ln ,2ln 11ln t x x x t x x x '=-=--=-,()t x '单调递减,设()00=0,e t x x '=，()()()1,e ,0,x t x t x '∈>单调递增;()()()2e,e ,0,x t x t x '∈<单调递减;()()()max e e 21e t x t ==-=,()()()()2211202e e 220t t =⨯-==-=，()(]0,e t x ∈,e 0,2a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭.故选:B.7.已知函数()2ln f x x ax =+，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有()()12122f x f x x x ->-，则实数a的取值范围是（）A.1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C.1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】构造函数2()()2ln 2(0)g x f x x x ax x x =-=+->，则转化得到()g x 在(0,)+∞上单调递增，将题目转化为1()220g x ax x=+-≥'在(0,)+∞上恒成立，再利用分离参数法即可得到答案.【详解】由题意,不妨设120x x >>,因为对任意两个不等的正实数12,x x ,都有()()12122f x f x x x ->-,所以()()121222f x f x x x ->-,即()()112222f x x f x x ->-,构造函数2()()2ln 2(0)g x f x x x ax x x =-=+->,则()()12g x g x >,所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以1()220g x ax x =+-≥'在(0,)+∞上恒成立,即2112a x x ≥-在(0,)+∞上恒成立,设211()(0)2m x x x x =->,则233111()xm x x x x-'=-+=，所以当(0,1)x ∈时,()0,()m x m x '>单调递增，(1,)x ∈+∞时,()0,()m x m x '<单调递减，所以max 11()(1)122m x m ==-=，所以12a ≥.故选：D.8.已知函数()()120e (0)xkx x x f x kx x ⎧--+≤=⎨->⎩恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（）A.[)1,e B.()1,1e,2∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭C.1,e 2⎛⎫-⎪⎝⎭D.{}1,1e 2⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】分别讨论<2x -，20x -≤≤，0x >时的零点个数，求出恰有两个零点时实数k 的取值范围即可.【详解】()()()()()31212011(20)e (0)e (0)xx k x x kx x x f x k x x kx x kx x ⎧+-<-⎧--+≤⎪==--+-≤≤⎨⎨->⎩⎪->⎩，①当<2x -时，令()0f x =，解得31x k =-，若()f x 在(),2∞--内有零点，则321k <--，解得112k -<<，即当112k -<<时，()f x 在(),2∞--内有一个零点；②当20x -≤≤时，令()0f x =，解得11x k -=+，若()f x 在[]2,0-内有零点，则1201k --≤≤+，解得12k ≥-，即当12k ≥-时，()f x 在[]2,0-内有一个零点；③当0x >时，令()e 0xf x kx =-=，即e xk x=，令()()e 0xg x x x =>，则()()2e 1x x g x x='-，令()0g x '=，得1x =，∴当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 在()0,1上单调递减，当()1,x ∞∈+时，()0g x '>，()g x 在()1,∞+上单调递增，∴()()1e g x g ≥=，∴当e =k 时，方程e xk x=有一个实数根，即函数()f x 在()0,∞+内有一个零点，当e k >时，方程e xk x=有两个实数根，即函数()f x 在()0,∞+内有两个零点，综上所述，当12k <-时，函数()f x 无零点；当12k =-时，函数()f x 在[]2,0-内有一个零点；当112k -<<时，函数()f x 在(),2∞--和[]2,0-内分别有一个零点，即()f x 有两个零点；当1e k ≤<时，函数()f x 在[]2,0-内有一个零点；当e =k 时，函数()f x 在[]2,0-和()0,∞+内分别有一个零点，即()f x 有两个零点；当e k >时，函数()f x 在[]2,0-内有一个零点，在()0,∞+内有两个零点，即()f x 有三个零点.函数()()120e (0)xkx x x f x kx x ⎧--+≤=⎨->⎩恰有两个零点，∴实数k 的取值范围是{}1,1e 2⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭.故选：D.二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分2分，有选错的得0分.9.下列函数在定义域上为增函数的是（）A.()ln f x x x =B.()ln f x x x =+C.()cos f x x x =-D.()2exf x x =【答案】BC【解析】【分析】结合选项中的函数，求得相应的导数，结合导函数的符号，即可判定函数的单调，得到答案．【详解】对于A 中，函数()ln f x x x =，可得()ln 1f x x ='+(0)x >，当1ex >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当10ex <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以A 不符合题意,对于B,函数()ln f x x x =+（0x >），可得()11f x x'=+，当0x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；故B符合，对于C 中，()cos f x x x =-,则()1sin 0f x x ='+≥，故()f x 单调递增；故C 符合，对于D ，函数()2e xf x x =，可得()()2e2xf x x x ='+，当0x >或<2x -时，()0f x '>，()f x 单调递增；当20x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以D 不符合题意；故选：BC ．10.已知函数()ln xf x x=，下列说法正确的是（）A.()f x 的单调递减区间是()0,eB.()f x 在点()()22e ,ef 处的切线方程是24ex y -+=C.若方程ln a x x =只有一个解，则ea =D.设()2g x x a =+，若对()12R,1,x x ∀∈∃∈+∞，使得()()12g x f x =成立，则ea ≥【答案】BD 【解析】【分析】对函数()ln xf x x=求导，分析其单调性得到其图象，可判断ABC ，对应选项D ，设函数()()()1,f x x ∞∈+的值域为E ，()2g x x a =+的值域为G ，由G E ⊆求解判断.【详解】函数()ln x f x x =，()()0,11,x ∞∈⋃+，()2ln 1ln x f x x-'=，令()0f x '<，得01x <<或1e x <<；令()0f x '>，得e x >；可得函数()f x 在()0,1和()1,e 上单调递减，在()e,∞+单调递增，其大致图象如图：对于A ，由上述分析可得A 错误；B 对于，由()2222ln e 11eln e 4f -='=，()22e e 2f =，得()22e 1e 24y x -=-，所以切线为24e 0x y -+=，故B 正确；对于C ，由方程()ln xf x a x==只有一解，由图象可知，e a =或a<0，故C 错误；对于D ，设函数()()R g x x ∈的值域为G ，函数()()()1,f x x ∞∈+的值域为E ，对于()2g x x a =+，R x ∀∈，[),G a ∞=+，对于()f x ，()1,x ∞∀∈+，[)e,E ∞=+，若1x ∀∈R ，()21,x ∞∃∈+，使得()()12g x f x =成立，则,e G E a ⊆∴≥，故D 正确，故选：BD.11.已知()e xf x x =，()lng x x x =.若存在1x ∈R ，()20,x ∈+∞，使得()()12f x g x t ==成立，则下列结论中正确的是（）A.当0t >时，12x x t= B.当0t >时，12eln t x x ≤C.不存在t ，使得()()12f x g x =''成立 D.()()f x g x mx >+恒成立，则2m ≤【答案】AB 【解析】【分析】A 选项，转化同构形式12ln 1222e ln eln xx x x x x ==，根据函数()e x f x x =在()0,∞+上单调，可得12ln x x =，即12x x t =；B 选项，转化为研究函数()ln tt tϕ=的最小值问题即可；C 选项，特值验证，找到t 满足条件即可；D 选项，不等式变形、分离参数，转化为e ln x m x <-恒成立问题，构造函数研究最值即可.【详解】选项A ，()()12f x g x t == 12ln 1222e ln e ln 0x xt x x x x ===>∴，则1220,0,ln 0x x x >>>，且12()(ln )0t f x f x ==>，由()e xf x x =，得()()e1xf x x '=+，当0x >时，()0f x ¢>，则()f x 在()0,∞+上递增，所以当0t >时，()f x t =有唯一解，故12ln x x =，1222ln x x x x t ∴==，故A 正确；选项B ，由A 正确，得12ln ln (0)t tt x x t=>，设()ln t t t ϕ=，则()21ln tt t ϕ-'=，令()0t ϕ'=，解得et =易知()t ϕ在(]0,e 上单调递增，在[)e,+∞上单调递减，()()1e e t ϕϕ∴≤=，12ln 1e t x x ∴≤，12eln t x x ∴≤，故B 正确；选项C ，由()()e1xf x x '=+，()ln 10g x x '=+=，得()110e f g '⎛⎫-= '=⎪⎝⎭，又验证知()111e ef g ⎛⎫-==-⎪⎝⎭，故存在1e t =-，使得()110e f g '⎛⎫-= '=⎪⎝⎭，C 错误；选项D ，由0x >，()()f x g x mx >+恒成立，即e ln x x m ->恒成立，令()e ln xr x x =-，则()1e xr x x='-，由()r x '在()0,∞+上递增，又1202r ⎛⎫=<⎪⎝⎭'，()1e 10r ='->，∴存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00r x '=，()r x ∴在()00,x 上递减，在()0,x +∞上递增（其中0x 满足001e xx =，即00ln x x =-）.()()000001e ln 2x r x r x x x x ∴≥=-=+>，要使e ln x m x <-恒成立，0()m r x ∴<，存在02()m r x <<满足题意，故D 错误.故选：AB.【点睛】方法点睛：在应用导数研究函数的综合题型中，在题干条件中同时出现指数函数和对数函数，通常可以考虑借助幂函数作为桥梁，通过变形转化为相同结构的式子，再构造函数研究问题，即指对同构思想的应用.三､填空题：本题共3小题每小题5分，共15分12.若函数()312f x x x a =-+的极大值为11，则()f x 的极小值为____________．【答案】－21【解析】【分析】首先利用导数判断函数的单调性和极大值，并求a ，再求解函数的极小值.【详解】函数的定义域为R ，()2312f x x -'=，令()0f x '=，解得12x =-或22x =，列表：x(),2∞--2-()2,2-2()2,∞+()f x '+0-0+()f x 单调递增极大值16a+单调递减极小值16a-+单调递增所以当2x =-时，函数有极大值()216f a -=+，由题意得1611a +=，解得5a =-，当2x =时，函数有极小值()21616521f a =-+=--=-.故答案为：21-13.与曲线e xy =和24x y =-都相切的直线方程为__________.【答案】1y x =+【解析】【分析】分别设出直线与两曲线相切的切点，然后表示出直线的方程，再根据切线是同一条直线建立方程求解.【详解】设直线与曲线e x y =相切于点()11,ex x ，因为e x y '=，所以该直线的方程为()111e exx y x x -=-，即()111e e 1x x y x x =+-，设直线与曲线24x y =-相切于点222,4x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为2x y '=-，所以该直线的方程为()222242x x y x x +=--，即22224x x y x =-+，所以()112221e 2e 14x x x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得120,2x x ==-，所以该直线的方程为1y x =+，故答案为：1y x =+.14.已知函数()e e 2sin x x f x x -=--，不等式2(2023e )(2ln )0x f a x f x x -++≤对任意的x ∈(0,)+∞恒成立，则a 的最大值为________．【答案】12023【解析】【分析】先根据奇函数的定义推出()f x 为R 上的奇函数，再利用导数推出()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，再利用奇偶性和单调性将不等式化为22ln e 2023x x x x a +≤-对任意的,()0x ∈+∞恒成立，再参变分离得2ln 2023e (2ln )x x a x x +≤-+对任意的,()0x ∈+∞恒成立，然后构造函数()e x h x x =-，再利用导数求出其最小值可得结果．【详解】因为()()e e 2sin()e e 2sin ()x x x x f x x x f x -----=---=-+=-，所以()f x 为R 上的奇函数．又()e e 2cos 2cos 22cos 0x x f x x x x -'=+-≥-=-≥，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，不等式2(2023e )(2ln )0x f a x f x x -++≤对任意的,()0x ∈+∞恒成立，即2(2ln )(e 2023)x f x x f x a +≤-对任意的,()0x ∈+∞恒成立，所以22ln e 2023x x x x a +≤-对任意的,()0x ∈+∞恒成立，即22ln 2ln 2023e (2ln )e e (2ln )e (2ln )x x x x x a x x x x x x x +≤-+=⋅-+=-+对任意的,()0x ∈+∞恒成立，令()e x h x x =-，所以()e 1x h x '=-，所以当0x >时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞上为增函数；当x 0<时，()0h x '<，()h x 在(,0)-∞上为减函数，所以0min ()(0)e 01h x h ==-=，设()2ln g x x x =+，显然()g x 为(0,)+∞上的增函数，因为1111(2ln20e e e eg =+=-+<，(1)10g =>，所以存在01(1)e,x ∈，使得000()2ln 0g x x x =+=，所以2ln min [e(2ln )]1x xx x +-+=，此时2ln 0x x +=，所以20231a ≤，即a 的最大值为12023．故答案为：12023．【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()y f x =，[],x a b ∈，（1）若[],x a b ∀∈，总有()f x k <成立，故()max f x k <；（2）若[],x a b ∀∈，总有()f x k >成立，故()min f x k >；（3）若[],x a b ∃∈，使得()f x k <成立，故()min f x k <；（4）若[],x a b ∃∈，使得()f x k >，故()max f x k >．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数()2ln f x x a x=+-．（1）若1a =，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；（2）若()()0,,0x f x ∞∈+≥恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】15.20x y +-=16.ln 21a ≤+【解析】【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）()()0,,0x f x ∞∈+≥恒成立，即()()min 0,,0x f x ∞∈+≥，利用导数求出函数()f x 的最小值即可.【小问1详解】若1a =，则()2ln 1f x x x =+-，()212f x x x-'=，故()()11,11f f '==-，所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为()11y x -=--，即20x y +-=；【小问2详解】()()0,,0x f x ∞∈+≥恒成立，即()()min 0,,0x f x ∞∈+≥，又()()221222x f x x x x x-=-=>'，当02x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,2上单调递减，在()2,∞+上单调递增，所以()()min 2ln 21f x f a ==+-，所以ln 210a +-≥，所以ln 21a ≤+.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．16.已知函数()21e xf x x x a =-+-．（1）当1a =-，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 有三个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）单调递减区间为(),0∞-，单调递增区间为()0,∞+（2）213,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可得到答案；（2）由()0f x =，把函数()f x 的零点个数问题等价转化为，两个函数的交点个数问题，令()21exx x g x -+=，利用导数法研究函数()g x 的单调性和极值，进而结合函数图象得到实数a 的取值范围．【小问1详解】将1a =-代入可得()21e x f x x x =-++，其定义域为R ，则()21e xf x x -+'=.21y x =-和e x y =都在R 上增函数，所以()21e x f x x -+'=在R 上单调递增且()00f '=，因此，当(),0x ∞∈-时，()0f x '<，函数()f x 为单调递减；当()0,x ∞∈+时，()0f x '>，函数()f x 为单调递增；综上所述，函数()f x 的单调递减区间为(),0∞-，单调递增区间为()0,∞+．【小问2详解】（2）由()0f x =得，21e x x x a -+=，令()21exx x g x -+=，则()()()()()()22221e 1e 3212e e e x xxxxx x x x x x x g x ---+--+---=='=，(),1x ∞∈-时，()()0,g x g x '<单调递减；()1,2x ∈时，()()0,g x g x '>单调递增；()2,x ∞∈+时，()()0,g x g x '<单调递减；由单调性可知，当x →-∞时，()g x ∞→+；当x →+∞时，()0g x →；当1x =时，取得极小值，即()11e g =；当2x =时，取得极大值，即()232eg =.所以()y g x =和y a =的大致图象如下：综上所述，若()f x 有三个零点，则a 的取值范围为213,e e ⎛⎫⎪⎝⎭．17.已知函数()2ln f x x ax =-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a >时，求()f x 在区间[]1,2上的最大值．【答案】（1）答案见解析；（2）()max1ln 24,081111ln 2,22821,2a a f x a a a a ⎧-<≤⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩．【解析】【分析】（1）求导后，分别在0a ≤和0a >的情况下，根据()f x '的正负得到函数单调性；（2112a≤、1122a <<122a ≥三种情况下，得到()f x 在[]1,2上的单调性，由单调性可确定最大值点，代入可得最大值.【详解】（1）由题意得：()f x 定义域为()0,∞+，()21122axf x ax x x-'=-=，①当0a ≤时，()0f x ¢>，()f x \在()0,∞+上单调递增；②当0a >时，令()0f x '=得：12x a=列表如下：x10,2a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭12a1,2a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭()f x '＋0－()f x递增极大值递减()f x \在⎛⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减；综上所述：当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a >时，()f x在⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减.（2）当0a >时，由（1）知：1≤，即12a ≥时，()f x 在[]1,2上单调递减，则()()max 1f x f a ==-；②当12<<，即1182a <<时，()f x在⎡⎢⎣上单调递增，在2⎤⎥⎦上单调递减，()max11ln 222f xf a ∴==--；2≥，即108a <≤时，()f x 在[]1,2上单调递增，则()()max 2ln 24f x f a ==-；综上所述：()max1ln 24,081111ln 2,22821,2a a f x a a a a ⎧-<≤⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩.18.已知函数()ln 1f x a x ax =++.（1）当1a =时，求()f x 的图像在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若不等式()e x f x x ≤恒成立，求a 的取值集合.【答案】（1）y =2x （2）{1}【解析】【分析】（1）先求出切点，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出结果；（2）通过构造函数()e ln 1x g x x a x ax =---，将问题转化成求()g x 的最小值，通过对a 进行分类讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出单调区间，进而求出结果.【小问1详解】当1a =时，()ln 1f x x x =++，所以(1)2f =，又()11f x x '=+，所以()11121f '=+=，故()f x 的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为2(1)2y x =-+，即2y x =.【小问2详解】解法一：因为()e x f x x ≤恒成立，e ln 10x x a x ax ---≥恒成立，令函数()e ln 1x g x x a x ax =---，则()()1e e (1)e (1)(e )x x x x a x a ag x x a x x x x x+'=+--=+-=+-①当0a ≤时，()()1(e )0xag x x x'=+->在区间(0,)+∞恒成立，此时g (x )在区间(0,)+∞单调递增，又11221111()e ln21(e 2)(ln2)22222a g a a =+--=-+-，易知12e 2,<1ln 22<，所以1(02g <，故0a ≤不合题意，②当0a >时，由()()1e 0xa g x x x ⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭，可得e 0xa x-=，即e 0x x a -=令()e xh x x =，则()()e e 1e 0xxxh x x x '=+=+>在区间(0,)+∞上恒成立所以()e xh x x =在区间(0,)+∞上单调递增，又因为()00h =，所以存在0(0,)x ∈+∞，使得00e x x a ⋅=，两边同时取对数可得00ln ln x x a +=，则当0(0,)x x ∈时，e x x a <，即()0g x '<，当0(,)x x ∈+∞时，e x x a >，即()0g x '>，所以当0x x =时，()0000min e ln 1ln 1xg x x a x ax a a a =⋅---=--，故要使()0g x ≥恒成立，只需ln 10--≥a a a ，令()ln 1a a a a ϕ=--，则()11ln ln a a a a aϕ=--⨯=-'，由()0a ϕ'>，得到01a <<，由()0a ϕ'<，得到1a >，所以()a ϕ在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，()()10a ϕϕ≤=，即()ln 10a a a a ϕ=--≤，所以ln 10--≥a a a 只有唯一解，即1a =.综上，a 的取值集合为{}1.解法二：由题意可得()e ln e10xxx a x --≥恒成立，令()e x t x x =，则()()e e 1e 0xxxt x x x '=+=+>在区间(0,)+∞上恒成立，所以()e xt x x =在区间(0,)+∞上单调递增，又因为()00t =，所以()e 0xt x x =>，所以()e ln e10xxx a x --≥恒成立，即ln 10t a t --≥在区间(0,)+∞上恒成立，令()ln 1g t t a t =--，又因为(1)0g =，要使()0g t ≥恒成立，则1t =是()g t 的极小值点，又因为()1ag t t'=-，所以()110g a '=-=，解得1a =.当1a =时，令()ln 1ln 1g t t a t t t =--=--，11()1t g t t t-'=-=，所以(0,1)t ∈时，()0g t '<，()1,t ∈+∞时，()0g t '>，所以()(1)1ln110g t g ≥=--=，满足题意.综上，a 的取值集合为{}1.【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义，考查不等式恒成立问题，解题方法是把不等式变形为()0g x ≥，然后由导数求得()g x 的最小值min ()g x ，解不等式min ()0g x ≥即可得参数范围．19.已知函数()23ln 4(0,)f x x ax x b a b =+-+>∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当12a =时，方程()0f x =有三个不相等的实数根，分别记为()1,2,3i x i =.①求b 的取值范围；②证明()41,2,3;1,2,3i j x x i j -<==.【答案】（1）答案见解析（2）①715,3ln322⎛⎫-⎪⎝⎭；②证明见解析【解析】【分析】（1）应用导数讨论函数的单调性，分Δ0≤与Δ0>讨论即可；（2）①结合函数的极值点即可求解；②构造函数()()()2(01)h x f x f x x =--<<与()()()6(13)x f x f x x ϕ=--<<讨论即可.【小问1详解】函数()f x 的定义域为()()232430,,24ax x f x ax x x∞-=+'++-=.又0a >，令()0f x '=，得22430,Δ1624ax x a -+==-.当Δ0≤，即23a ≥时，22430ax x -+≥在()0,∞+恒成立，()0f x '≥.当Δ0>，即023a <<时，方程22430ax x -+=有两根，可求得：1222,22x x a a+==，因为1212430,0,22x x x x a a+=>=>所以210x x >>，当()10,x x ∈和()2,x +∞时，()0f x ¢>，()f x 为增函数，当()12,x x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数.综上：当23a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递增，当023a <<时，()f x 在20,2a ⎛ ⎝⎭和2,2a ∞⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在22,22a a ⎛-+ ⎝⎭上单调递减.【小问2详解】当12a =时，()213ln 42f x x x x b=+-+.①方程()0f x =有三个不相等的实数根，即方程213ln 42b x x x -=+-在()0,∞+上有三个不相等的实数根.令()()213ln 4,0,2g x x x x x =+-∈+∞，则()()()1334x x g x x x x--=+-='，令()0g x '=，求得：1x =或3x =，则当01x <<或3x >时，()0g x '>，当13x <<时，()0g x '<，则()g x 在()0,1和()3,+∞上单调递增，在()1,3上单调递减，()g x 存在极大值为()712g =-，存在极小值()1533ln32g =-，且当0x →时，()g x →-∞，当x →+∞时，()g x ∞→+.要使方程()0f x =有三个不相等的实数根，则1573ln3,22b -<-<-b ∴的取值范围为715,3ln322⎛⎫-⎪⎝⎭.②证明：设方程()0f x =三个不相等的实数根分别为：123,,x x x ，且123x x x <<，由①可得123013x x x <<<<<，要证()41,2,3;1,2,3i j x x i j -<==，只需证max4i j x x -<，即证314x x -<，当12a =时，()f x 在()0,1和()3,+∞上单调递增，在()1,3上单调递减，且当0x →时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →+∞.由()()()1230f x f x f x ===，构造函数()()()2(01)h x f x f x x =--<<，()()26(1)()(2)2x h x f x f x x x -''=+-=-'，当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '>在()0,1上单调递增，()()10h x h ∴<=，即()()20f x f x --<在()0,1上恒成立，又()10,1x ∈，则有：()()()()()1121120,2f x f x f x f x f x --<∴=<-，又()()211,3,21,2x x ∈-∈ ，且()f x 在()1,3上单调递减，212x x ∴>-，即122x x +>.构造函数()()()6(13)x f x f x x ϕ=--<<，()()22(3)()(6)6x x f x f x x x ϕ-''=+-=-'，当()1,3x ∈时()()0,x x ϕϕ'>在()1,3上单调递增.()()30x ϕϕ∴<=，即()()60f x f x --<在()1,3上恒成立.又()21,3x ∈ ，则()()2260f x f x --<.即()()()3226f x f x f x =<-，由()()231,3,3,x x ∞∈∈+，则()263,5x -∈.()f x 在()3,+∞上单调递增，32326,6x x x x ∴<-+<.又122x x +>，则可证得：()314,41,2,3;1,2,3i j x x x x i j -<∴-<==.。
湖北省 高二数学下学期3月月考试卷(含解析)新人教A版
高二（下）3月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）32．（5分）（2008•重庆）若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p据双曲线解：双曲线的左焦点坐标为：的准线方程为，所以3．（5分）一质点运动时位移与时间的关系式为s（t）=t2﹣t+6，作直线运动，则此物体在4的斜率为﹣=4x5．（5分）平面内有一长度为2的线段AB和一动点P满足|PA|+|PB|=6，则|PA|的取值范围6．（5分）（2010•丹东二模）已知命题p：∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x；命题q：∀x∈（0，），时，，时，7．（5分）函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象如图所示，则等于（），﹣+=故答案为：．22y=3⇔，sin=3=，]9．（5分）设1≤a≤b≤c≤d≤100，则的最小值为（）+最小，只需++≥≥2=2×=10．（5分）已知函数f（x）是偶函数，当x∈[0，+∞）时f（x）=x3﹣2x2+x+a，则当a＜0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）求函数的最小值．利用分离常数把函数化为：…（，所以12．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=3x2+2xf′（2），则f′（5）= 6 ．13．（5分）已知P为抛物线y2=4x上的动点，过P分别作y轴与直线x﹣y+4=0的垂线，垂足分别为A，B，则PA+PB的最小值为．， PA+PB=++2﹣+2=2PB=﹣，∴PA+PB=﹣+2﹣+2y=故答案为：﹣14．（5分）已知圆C：x2+y2=1，点A（﹣2，0）及点B（2，a），若从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是a＞或a．．相切的直线的斜率是＞＞15．（5分）已知关于x方程cos2x﹣sinx+a=0，若0＜x≤程有解，则a取值范围是（﹣1，1]＜x≤得三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知命题p：关于x的方程有负根；命题q：不等式|x+1|+|2x﹣1|＜a的解集为φ．且“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题，求实数a的取值范围．的方程，我们易得的取值范围为：，根⇔⇔＞且17．（12分）已知椭圆的中心在原点，焦点为F1（0，﹣），F2（0，），且离心率．（I）求椭圆的方程；（II）直线l（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB中点的横坐标为，求直线l倾斜角的取值范围．，由焦点可得2×）设椭圆方程为，，，所以所以椭圆的方程为；中点的横坐标为2×（﹣），②，或，＜﹣18．（12分）已知函数，且函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称，又，g（1）=0．（Ⅰ）求f（x）的值域；（Ⅱ）是否存在实数m，使得命题p：f（m2﹣m）＜f（3m﹣4）和满足复合命题p且q为真命题？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．）=1∴∴，+∞）上是减函数∴（解得的取值范围为：19．（12分）（2006•福建）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：x+8（0＜x≤120）．已知甲、乙两地相距100千米．（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？时，汽车从甲地到乙地行驶了小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为20．（13分）（2008•东城区二模）已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为，两条准线间的距离为1，F1，F2是双曲线的左、右焦点．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M，N，点P为双曲线上异于M，N的一点，且直线PM，PN的斜率均存在，求k PM•k PN的值．轴上，且其一条渐近线方程为，可得方程组：在双曲线上，可得，将其坐标代入．，21．（14分）已知x∈R，函数f（x）=ax3+bx2+cx+d在x=0处取得极值，曲线y=f（x）过原点O（0，0）和点P（﹣1，2）．若曲线y=f（x）在点P处的切线l与直线y=2x的夹角为45°，且直线l的倾斜角θ∈（，π），（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数y=f（x）在区间[2m﹣1，m+1]上是增函数，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若x1、x2∈[﹣1，1]，求证：f（x1）﹣f（x2）≤4．+2bx+c∴）≤m＜2…（。
高二数学下册3月月考试题(有参考答案)
高二数学下册3月月考试题（有参考答案）高二数学（理科）月考测试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的。
1、复数对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是（）A.B.C.D.或2、且,则乘积等于()A．B．C．D．3、有五条线段长度分别为，从这条线段中任取条，则所取条线段能构成一个三角形的概率为（）A.B.C.D.4、已知，则等于（）AB)—1C2D15、在长为12cm的线段上任取一点，并以线段为边作正方形，则这个正方形的面积介于与之间的概率为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．6、从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有（）A.280种B.240种C.180种D.96种7、设为曲线:上的点且曲线C在点处的切线的倾斜角的取值范围为，则点的横坐标的取值范围()ABCD8、若为的各位数字之和，如则,记则（）A3B5C8D11二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9、某家庭电话，打进的电话响第一声时被接的概率为，响第二声时被接的概率为，响第三声时被接的概率为，响第四声时被接的概率为，则电话在响前四声内被接的概率为。
10、已知，则=(最后结果)。
11、某单位有7个连在一起的停车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停放方法有种。
12关于二项式，有下列命题：①该二项展开式中非常数项的系数之和是1；②该二项展开式中第六项为；③该二项展开式中系数最大的项为第1002项；④当时，除以的余数是。
其中所有正确命题的序号是。
13、直线与曲线围成图形的面积为，则的值为。
14、将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”.已知直角三角形具有性质：“斜边的中线长等于斜边边长的一半”.仿照此性质写出直角三棱锥具有的性质：。
湖北省武汉市高二数学3月月考试题 理(无答案)
湖北省武汉市2016-2017学年高二数学3月月考试题理（无答案）满分：150一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某咖啡厂为了了解热饮的销售量y(个)与气温x C之间的关系，随机统计了某4天的销售量与气温，并制作了对照表：由表中数据，得线性回归方程为ˆ2y x a=-+，当气温为4C-时，预测销售量约为（）A. 68个B.66个C. 72个D.70个2.在建立两个变量y与x的回归模型中，分别选择了四个不同的模型，它们的相关指数如下，其中拟合效果最好的模型是（）A.模型1的相关指数2R为0.98B.模型2的相关指数2R为0.80.C模型3的相关指数2R为0.54.D模型4的相关指数2R为0.353.通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，计算得到统计量2K的观测值 4.892k≈，参照附表，得到的正确结论是 ( )A.有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”；B.有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”；C.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”；D.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”.4.已知函数1()2()2lnf x x xx=--，则曲线()y f x=的点(1,(1))f的切线方程是（）A. 220x y+-=B.220x y--=C. 20x y+-= D. 0y=5.函数2()(0)+1axf x ax=>的单调递增区间是（）A.(,1)-∞-B.(1,1)-C.(1,)+∞D.(,1)(1,)-∞-⋃+∞6.一个口袋内装有大小相同的红、蓝球各一个，若有放回地摸出一个球并记下颜色为一次试验，试验共进行三次，则至少摸到一次红球的概率是（）A.18B.78C.38D.587.设随机变量(2,)X B p ，随机变量(3,)Y B p ,若5(1)9P X ≥=，则(1)P Y ≥=（ ）A .1927B .59C .79D .527 8.已知随机变量8X η+=,若(10,0.6)XB ，则(),()E D ηη分别是（ ）A .6 2.4和B .2 2.4和C .2 5.6和D .6 5.6和 9．已知随机变量X 服从正态分布23,N σ（），且(P X ，则(1P <（ ） A .0.6 B .0.4C .0.3D .0.210．在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为,a b ，则方程22221x y a b+=表示焦点在x 轴上且离心率小于2的椭圆的概率为（ ）A .12 B .1532 C .1732 D .313211．函数()f x 的图像如图所示，'()f x 是()f x 的导函数，下列判断正确的是（ ）A .''(2)(3)(2)(3)0f f f f -<-<---<B .''(2)(2)(3)(3)0f f f f -<---<-<C .''(3)(2)(3)(2)0f f f f -<---<-<D .''(2)(3)(2)(3)0f f f f ---<-<-<12．为了旅游业的发展，某旅行社组织了14人参加“旅游常识”知识竞赛，每人回答3个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见下表： 根据上表信息，若从人中任选人，则3人答对题目个数之和为6的概率是（ ）A .12B .13C .314D .1791二、 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分。
湖北省武汉市2019-2020学年高二下学期3月月考数学(理科)试卷Word版含解析
湖北省武汉市2019-2020学年高二下学期3月月考数学（理科）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列程序框图中表示判断框的是（）A．B．C． D．2．我校在检查学生作业时，抽出每班学号尾数为5的学生作业进行检查，这里运用的是（）A．分层抽样B．抽签抽样C．随机抽样D．系统抽样3．椭圆x2+4y2=1的离心率为（）A． B．C． D．4．已知命题“∀a，b∈R，如果ab＞0，则a＞0”，则它的逆否命题是（）A．∀a，b∈R，如果ab＜0，则a＜0 B．∀a，b∈R，如果a≤0，则ab≤0C．∃a，b∈R，如果ab＜0，则a＜0 D．∃a，b∈R，如果a≤0，则ab≤05．已知=（2，2，1），=（4，5，3），则下列向量中是平面ABC的法向量的是（）A．（1，2，﹣6）B．（﹣2，1，1）C．（1，﹣2，2）D．（4，﹣2，1）6．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如表：认为作业多认为作业不多总数喜欢玩电脑游戏18927不喜欢玩电脑游戏81523总数262450根据表中数据得到 5.059，因为p（K2≥5.024）=0.025，则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为（）A．97.5% B．95% C．90% D．无充分根据7．一个三位自然数的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b且c＞b 时称为“凹数”．若a，b，c∈{4，5，6，7，8}，且a，b，c互不相同，任取一个三位数，则它为“凹数”的概率是（）A．B．C．D．8．已知O、A、B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km 处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过km的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（）A．1﹣B． C．1﹣D．9．已知服从正态分布N（μ，σ2）的随机变量，在区间（μ﹣σ，μ+σ），（μ﹣2σ，μ+2σ）和（μ﹣3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%，95.4%和99.7%．某大型国有企业为10000名员工定制工作服，设员工的身高（单位：cm）服从正态分布N，则适合身高在163～178cm范围内员工穿的服装大约要定制（）A．6830套 B．9540套 C．8185套 D．9755套10．已知抛物线y2=4x的焦点为F，A、B，为抛物线上两点，若=3，O为坐标原点，则△AOB的面积为（）A． B．C．D．11．若直线l：y=﹣+m与曲线C：y=有且仅有三个交点，则m的取值范围是（）A．B．（1，）C．（1， +1）D．（2， +1）12．已知函数f（x）=x2﹣4x+3，集合M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}，集合N={（x，y）|f （x）﹣f（y）≥0}，则集合M∩N面积为（）A．B．C．πD．二、填空题（本大题4小题，每题5分，共20分）13．所给命题：①菱形的两条对角线互相平分的逆命题；②{x|x2+1=0，x∈R}=∅或{0}=∅；③对于命题：“p且q”，若p假q真，则“p且q”为假；④有两条边相等且有一个内角为60°是一个三角形为等边三角形的充要条件．其中为真命题的序号为．14．已知b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（﹣）6的展开式中的常数项是．（用数字作答）15．如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆=1（a＞b＞0）的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为．16．某情报站有A，B，C，D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第1周使用A种密码，那么第7周也使用A种密码的概率是．（用最简分数表示）三、解答题：（本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=sin（2x﹣）+2cos2x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2，f（A）=，求△ABC 的面积．18．已知数列{an }满足a1=，an+1=，n∈N+．（1）求证：数列{﹣2}是等比数列，并且求出数列{an}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和Sn．19．如图，AB是圆O的直径，C是圆O上不同于A，B的一点，PA⊥平面ABC，E是PC的中点，，PA=AC=1．（1）求证：AE⊥PB；（2）求二面角A﹣PB﹣C的正弦值．20．一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p，出现“×”的概率为q，若第k次出现“○”，则记ak =1；出现“×”，则记ak=﹣1，令Sn=a1+a2+•+an．（Ⅰ）当p=q=时，记ξ=|S3|，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当p=，q=时，求S8=2且Si≥0（i=1，2，3，4）的概率．21．如图，椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的短轴长，C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于点D、E．（Ⅰ）求C1、C2的方程；（Ⅱ）求证：MA⊥MB：（Ⅲ）记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，若=λ，求λ的最小值．22．设命题p：（4x﹣3）2≤1；命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，（1）p是q的什么条件？（2）求实数a的取值范围．湖北省武汉市2019-2020学年高二下学期3月月考数学（理科）试卷参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列程序框图中表示判断框的是（）A．B．C． D．【考点】选择结构．【分析】平行四边形框为输入（输出）框，矩形框为处理框，圆角矩形框为起止框，菱形框为判断框【解答】解：判断框是菱形框故选D2．我校在检查学生作业时，抽出每班学号尾数为5的学生作业进行检查，这里运用的是（）A．分层抽样B．抽签抽样C．随机抽样D．系统抽样【考点】系统抽样方法．【分析】学生人数比较多，把每个班级学生从1到最后一号编排，要求每班学号尾数为5的同学留下进行交流，这样选出的样本是具有相同的间隔的样本，是采用系统抽样的方法．【解答】解：∵学生人数比较多，∵把每个班级学生从1到最后一号编排，要求每班编号尾数为5的同学留下进行交流，这样选出的样本是采用系统抽样的方法，故选D．3．椭圆x2+4y2=1的离心率为（）A． B．C． D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】把椭圆的方程化为标准方程后，找出a与b的值，然后根据a2=b2+c2求出c的值，利用离心率公式e=，把a与c的值代入即可求出值．【解答】解：把椭圆方程化为标准方程得：x2+=1，得到a=1，b=，则c==，所以椭圆的离心率e==．故选A4．已知命题“∀a，b∈R，如果ab＞0，则a＞0”，则它的逆否命题是（）A．∀a，b∈R，如果ab＜0，则a＜0 B．∀a，b∈R，如果a≤0，则ab≤0C．∃a，b∈R，如果ab＜0，则a＜0 D．∃a，b∈R，如果a≤0，则ab≤0【考点】四种命题．【分析】命题的逆否命题是条件与结论交换并且否定，故可得答案．【解答】解：命题的逆否命题是条件与结论交换并且否定，故命题“∀a，b∈R，如果ab＞0，则a＞0”，则它的逆否命题“∀a，b∈R，如果a≤0，则ab ≤0“故选：B5．已知=（2，2，1），=（4，5，3），则下列向量中是平面ABC的法向量的是（）A．（1，2，﹣6）B．（﹣2，1，1）C．（1，﹣2，2）D．（4，﹣2，1）【考点】直线的方向向量．【分析】设平面ABC的法向量是=（x，y，z），则，即可得出．【解答】解：设平面ABC的法向量是=（x，y，z），则，∴，取x=1，解得y=﹣2，z=2．∴=（1，﹣2，2）．故选：C．6．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如表：认为作业多认为作业不多总数喜欢玩电脑游戏18927不喜欢玩电脑游戏81523总数262450根据表中数据得到 5.059，因为p（K2≥5.024）=0.025，则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为（）A．97.5% B．95% C．90% D．无充分根据【考点】独立性检验的应用．【分析】根据条件中所给的计算出的观测值的数据，把观测值同临界值进行比较，得到认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为1﹣0.025=97.5%．【解答】解：∵根据表中数据得到 5.059，因为p（K2≥5.024）=0.025，∴认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为1﹣0.025=97.5%故选A．7．一个三位自然数的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b且c＞b 时称为“凹数”．若a，b，c∈{4，5，6，7，8}，且a，b，c互不相同，任取一个三位数，则它为“凹数”的概率是（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】根据题意，分析“凹数”的定义，根据十位数分类讨论即可求出凹数的个数，再利用古典概型概率计算公式即可得到所求概率．【解答】解：根据题意，当且仅当a＞b且c＞b时称为“凹数”，3=60种取法，在{4，5，6，7，8}的5个整数中任取3个不同的数组成三位数，有A5在{4，5，6，7，8}的5个整数中任取3个不同的数，将4放在十位上，再排2个数排在百、2=12种情况，个位上，有A42=6种情况，将5放在十位上，再排2个数排在百、个位上，有A32=2种情况，将6放在十位上，再排2个数排在百、个位上，有A2根据分类计数原理可得12+6+2=20种，故它为“凹数”的概率是=．故选：C．8．已知O、A、B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km 处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过km的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（）A．1﹣B． C．1﹣D．【考点】解三角形的实际应用．【分析】作出图形，以长度为测度，即可求出概率．【解答】解：由题意，△AOB是直角三角形，OA=OB=2，所以AB=2，O地为一磁场，距离其不超过km的范围为个圆，与AB相交于C，D两点，作OE⊥AB，则OE=，所以CD=2，所以该测绘队员能够得到准确数据的概率是1﹣=1﹣．故选：A．9．已知服从正态分布N（μ，σ2）的随机变量，在区间（μ﹣σ，μ+σ），（μ﹣2σ，μ+2σ）和（μ﹣3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%，95.4%和99.7%．某大型国有企业为10000名员工定制工作服，设员工的身高（单位：cm）服从正态分布N，则适合身高在163～178cm范围内员工穿的服装大约要定制（）A．6830套 B．9540套 C．8185套 D．9755套【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】变量服从正态分布N，即服从均值为173cm，方差为25的正态分布，适合身高在163～183cm范围内取值即在（μ﹣2σ，μ+2σ）内取值，其概率为：95.4%，身高在168～178cm 范围内取值即在（μ﹣2σ，μ+2σ）内取值，其概率为：68.3%，从而得出适合身高在163～278cm范围内，概率为： =81.85%，即可求出员工穿的服装大约情况，得到结果．【解答】解：∵员工的身高（单位：cm）服从正态分布N，即服从均值为173cm，方差为25的正态分布，∵适合身高在163～183cm范围内取值即在（μ﹣2σ，μ+2σ）内取值，其概率为：95.4%，身高在168～178cm范围内取值即在（μ﹣2σ，μ+2σ）内取值，其概率为：68.3%从而得出适合身高在163～278cm范围内，概率为： =81.85%，适合身高在163～278cm范围内员工穿的服装大约套数是：10000×81.85%=8185套故选C．10．已知抛物线y2=4x的焦点为F，A、B，为抛物线上两点，若=3，O为坐标原点，则△AOB的面积为（）A． B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的定义，不难求出，|AB|=2|AE|，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所以直线AB的倾斜角为60°，可得直线AB的方程，与抛物线的方程联立，求出A，B 的坐标，即可求出△AOB的面积．【解答】解：如图所示，根据抛物线的定义，不难求出，|AB|=2|AE|，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所以直线AB的倾斜角为60°，直线AB的方程为y=（x﹣1），联立直线AB与抛物线的方程可得A（3，2），B（，﹣），所以|AB|==，而原点到直线AB的距离为d=，=，所以S△AOB当直线AB的倾斜角为120°时，同理可求．故选B．11．若直线l：y=﹣+m与曲线C：y=有且仅有三个交点，则m的取值范围是（）A．B．（1，）C．（1， +1）D．（2， +1）【考点】函数的图象．【分析】由题意作出函数的图象，由图象求出m的临界值，从而求m的取值范围．【解答】解：由题意作图象如下，y=的图象由椭圆的一上部分与双曲线的上部分构成，故直线l：y=﹣+m与曲线C：y=有且仅有三个交点的临界直线有，当y=﹣+m过点（2，0）时，即0=﹣1+m，故m=1；当直线y=﹣+m与椭圆的上部分相切，即y′==﹣，即x=，y=时，此时，m=．故选B．12．已知函数f（x）=x2﹣4x+3，集合M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}，集合N={（x，y）|f （x）﹣f（y）≥0}，则集合M∩N面积为（）A．B．C．πD．【考点】定积分．【分析】先分析M，N所表示的平面区域，并在平面直角坐标系中用图形表示出来，最后结合平面几何的知识解决问【解答】解：因为f（x）=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，f（y）=（y﹣2）2﹣1，则f（x）+f（y）=（x﹣2）2+（y﹣2）2﹣2，f（x）﹣f（y）=（x﹣2）2﹣（y﹣2）2．∴M={（x，y）=（x﹣2）2+（y﹣2）2≤2}，N={（x，y）||y﹣2|≤|x﹣2|}．故集合M∩N所表示的平面区域为两个扇形，其面积为圆面积的一半，即为π．故选：C．二、填空题（本大题4小题，每题5分，共20分）13．所给命题：①菱形的两条对角线互相平分的逆命题；②{x|x2+1=0，x∈R}=∅或{0}=∅；③对于命题：“p且q”，若p假q真，则“p且q”为假；④有两条边相等且有一个内角为60°是一个三角形为等边三角形的充要条件．其中为真命题的序号为③④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，原命题的逆命题是“对角线互相平分的四边形是菱形“，对角线互相平分的四边形不一定是菱形；②，{0}中有一个元素0，∅中一个元素都没有；③，若p、q中只要有一个是假，则“p且q”为假；④，满足有两条边相等且有一个内角为60°的三角形一定为等边三角形，等边三角形一定满足两条边相等且有一个内角为60°．【解答】解：对于①，原命题的逆命题是“对角线互相平分的四边形是菱形”，对角线互相平分的四边形不一定是菱形，故错对于②，{0}中有一个元素0，∅中一个元素都没有，故错；对于③，若p、q中只要有一个是假，则“p且q”为假，故正确；对于④，满足有两条边相等且有一个内角为60°的三角形一定为等边三角形，等边三角形一定满足两条边相等且有一个内角为60°，故正确．故答案为：③④14．已知b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（﹣）6的展开式中的常数项是﹣540 ．（用数字作答）【考点】程序框图．【分析】根据题意，分析该程序的作用，可得b的值，再利用二项式定理求出展开式的通项，分析可得常数项．【解答】解：第一次循环：b=3，a=2；第二次循环得：b=5，a=3；第三次循环得：b=7，a=4；第四次循环得：b=9，a=5；不满足判断框中的条件输出b=9．∵（﹣）6=的展开式的通项为：=令3﹣r=0得r=3∴常数项为=﹣540．故答案为：﹣540．15．如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆=1（a＞b＞0）的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为e=2﹣5 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】解法一：可先直线A1B2的方程为，直线B1F的方程为，联立两直线的方程，解出点T的坐标，进而表示出中点M的坐标，代入椭圆的方程即可解出离心率的值；解法二：对椭圆进行压缩变换，，，椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）．根据题设条件求出直线B1T方程，直线直线B1T与x轴交点的横坐标就是该椭圆的离心率．【解答】解法一：由题意，可得直线A1B2的方程为，直线B1F的方程为两直线联立则点T（），则M（），由于此点在椭圆上，故有，整理得3a2﹣10ac﹣c2=0即e2+10e﹣3=0，解得故答案为解法二：对椭圆进行压缩变换，，，椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）．延长TO交圆O于N，易知直线A1B1斜率为1，TM=MO=ON=1，，设T（x′，y′），则，y′=x′+1，由割线定理：TB2×TA1=TM×TN，，（负值舍去），易知：B1（0，﹣1），直线B1T方程：令y′=0，即F横坐标即原椭圆的离心率e=．故答案：．16．某情报站有A，B，C，D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第1周使用A种密码，那么第7周也使用A种密码的概率是．（用最简分数表示）【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】由题意可得，第n+1周也使用A种密码的概率 Pn+1=Pn•，且P2=0，P3=，以此类推可得第七周使用A的概率P7的值．【解答】解：第一周使用A，第二周使用A的概率P2=0，第三周使用A的概率P3=，依此类推，第四周使用A的概率 P4=（1﹣）•=，第五周使用A的概率P5=（1﹣）•=，第六周使用A的概率P6=（1﹣P5）•=，第七周使用A的概率P7=（1﹣P6）•=．故答案为．三、解答题：（本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=sin（2x﹣）+2cos2x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2，f（A）=，求△ABC 的面积．【考点】正弦函数的单调性；余弦定理．【分析】（Ⅰ）函数f（x）展开后，利用两角和的公式化简为一个角的一个三角函数的形式，结合正弦函数的单调增区间求函数f（x）的单调增区间．（Ⅱ）利用f（A）=，求出A的大小，利用余弦定理求出bc的值，然后求出△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为===所以函数f（x）的单调递增区间是〔〕（k∈Z）（Ⅱ）因为f（A）=，所以又0＜A＜π所以从而故A=在△ABC中，∵a=1，b+c=2，A=∴1=b2+c2﹣2bccosA，即1=4﹣3bc．故bc=1从而S△ABC=18．已知数列{an }满足a1=，an+1=，n∈N+．（1）求证：数列{﹣2}是等比数列，并且求出数列{an}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和Sn．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）对已知等式取倒数，再减2，结合等比数列的定义和通项公式即可得到结论；（2）求得=n•（）n+2n，运用数列的求和方法：分组求和和错位相减法，以及等差数列和等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．【解答】解：（1）证明：由a1=，an+1=，n∈N+，取倒数，可得==+，即﹣2=（﹣2），所以数列{﹣2}是以为首项，为公比的等比数列，可得﹣2=•（）n﹣1=（）n；所以数列{an }的通项公式为an=，n∈N*；（2）=n•（）n+2n，设Tn=1•（）+2•（）2+…+n•（）n，Tn=1•（）2+2•（）3+…+n•（）n+1，两式相减得Tn=+（）2+…+（）n﹣n•（）n+1，=（1﹣）﹣n•（）n+1，所以Tn=﹣，又2+4+6+…+2n=n2+n，所以前n项和S=﹣+n2+n．n19．如图，AB是圆O的直径，C是圆O上不同于A，B的一点，PA⊥平面ABC，E是PC的中点，，PA=AC=1．（1）求证：AE⊥PB；（2）求二面角A﹣PB﹣C的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）由线面垂直得PA⊥BC，由圆O的直径，得AC⊥BC，从而AE⊂平面PAC，进而BC ⊥AE，由等腰三角形性质得AE⊥PC，由此能证明AE⊥PB．（2）过A作AF⊥PB交PB于F，连接EF，推导出∠AFE是二面角A﹣PB﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣PB﹣C的正弦值．【解答】证明：（1）∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC∴PA⊥BC，又AB是圆O的直径，C是圆O上不同于A，B的一点∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，又PA∩AC=A∴BC⊥平面PAC，又AE⊂平面PAC∴BC⊥AE…∵PA=AC，E是PC的中点∴AE⊥PC，又BC∩PC=C∴AE⊥平面PBC，又PB⊂平面PBC∴AE⊥PB．…解：（2）过A作AF⊥PB交PB于F，连接EF又由（1）得AE⊥PB，AE∩AF=A∴PB⊥平面AEF，又EF⊂平面AEF∴PB⊥EF，又AF⊥PB∴∠AFE是二面角A﹣PB﹣C的平面角…∵在Rt△PAC中，PA=AC=1，则，在Rt△PAB中，PA=1，，同理得∴在Rt△AEF中，故二面角A﹣PB﹣C的正弦值为．…20．一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p，出现“×”的概率为q，若第k次出现“○”，则记ak =1；出现“×”，则记ak=﹣1，令Sn=a1+a2+•+an．（Ⅰ）当p=q=时，记ξ=|S3|，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当p=，q=时，求S8=2且Si≥0（i=1，2，3，4）的概率．【考点】离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）ξ=|S3|的取值为1，3，故欲求ξ的分布列，只须分别求出取1或3时的概率即可，最后再结合数学期望的计算公式求得数学期望即可；（II）由S8=2知，即前八秒出现“○”5次和“×”3次，又Si≥0（i=1，2，3，4）知包括两种情形：若第一、三秒出现“○”，则其余六秒可任意出现“○”3次；或者若第一、二秒出现“○”，第三秒出现“×”，则后五秒可任出现“○”3次．分别求出它们的概率后求和即得．【解答】解：（I）∵ξ=|S3|的取值为1，3，又，∴P（ξ=1）=，P（ξ=3）=∴ξ的分布列为∴Eξ=1×+3×=．（II）当S8=2时，即前八秒出现“○”5次和“×”3次，又已知Si≥0（i=1，2，3，4），若第一、三秒出现“○”，则其余六秒可任意出现“○”3次；若第一、二秒出现“○”，第三秒出现“×”，则后五秒可任出现“○”3次．故此时的概率为21．如图，椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的短轴长，C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于点D、E．（Ⅰ）求C1、C2的方程；（Ⅱ）求证：MA⊥MB：（Ⅲ）记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，若=λ，求λ的最小值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（I）离心率=，可得a2=2c2=2b2，又x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长2=2b，解得b，a2．可得曲线C2的方程；曲线C1的方程．（II）设直线AB的方程为：y=kx，A（x1，y1），B（x2，y2）．M（0，﹣1）．与抛物线方程联立可得：x2﹣kx﹣1=0，利用根与系数的关系、数量积运算性质即可证明MA⊥MB．（III）设直线MA的方程：y=k1x﹣1；MB的方程为：y=k2x﹣1，且k1k2=﹣1．分别与抛物线椭圆方程联立解得A，B，D，E的坐标，利用三角形面积计算公式即可得出， =λ，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】（I）解：离心率=，∴a2=2c2=2b2，又x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长2=2b，解得b=1．∴a2=2．∴曲线C2的方程为：y=x2﹣1；曲线C1的方程为： =1．（II）证明：设直线AB的方程为：y=kx，A（x1，y1），B（x2，y2）．M（0，﹣1）．联立，化为：x2﹣kx﹣1=0，∴x1+x2=k，x1•x2=﹣1．∴=x1x2+（y1+1）（y2+1）=（k2+1）x1•x2+k（x1+x2）+1=﹣（k2+1）+k•k+1=0．∴MA⊥MB．（III）解：设直线MA的方程：y=k1x﹣1；MB的方程为：y=k2x﹣1，且k1k2=﹣1．联立，解得，或，∴A．同理可得B．S 1=|MA|•|MB|=|k1|•|k2|．，解得，或，∴D．同理可得：E，∴S2==•．∴=λ==，所以λ的最小值为，此时k=1或﹣1．22．设命题p：（4x﹣3）2≤1；命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，（1）p是q的什么条件？（2）求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（1）根据命题之间的关系判断即可；（2）分别求出关于p，q成立的x的范围，问题转化为q是p的必要不充分条件，根据集合的包含关系，解不等式组即可求出a的范围．【解答】解：（1）因为￢p是￢q的必要而不充分条件，其逆否命题是：q是p的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件；…（2）∵|4x﹣3|≤1，∴．解x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，得a≤x≤a+1．因为┐p是┐q的必要而不充分条件，所以q是p的必要不充分条件，即由命题p成立能推出命题q成立，但由命题q成立不推出命p成立．∴[，1]⊊[a，a+1]．∴a≤且a+1≥1，得0≤a≤．∴实数a的取值范围是：[0，]．…。
湖北省武汉市数学高二下学期理数第三次月考试卷
湖北省武汉市数学高二下学期理数第三次月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·邵东月考) 已知集合，则（）A .B .C .D .2. （2分）复数在复平面内所表示的点在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）如果命题“￢（p或q）”为假命题，则（）A . p、q均为真命题B . p、q均为假命题C . p、q中至少有一个为真命题D . p、q中至多有一个为真命题4. （2分） 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有（）A . 90种B . 180种C . 270种D . 540种5. （2分）对定义域为的函数，若存在距离为的两条平行直线和，使得当时，恒成立，则称函数在有一个宽度为的通道.有下列函数：①；②；③；④.其中在上通道宽度为的函数是（）A . ①③B . ②③C . ②④D . ①④6. （2分）公差小于0的等差数列{an}中，且(a3)2=(a9)2 ，则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的n 的值是（）A . 6B . 7C . 5或6D . 6或77. （2分）设,若直线与轴相交于点,与轴相交于点B,且坐标原点O到直线的距离为,则的面积的最小值为（）A .B . 2C . 3D . 48. （2分） (2019高二上·四川期中) 在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为A .B .C .D .9. （2分）已知外接圆的半径为1，且．，从圆内随机取一个点，若点取自圆内的概率恰为，判断的形状（）A . 直角三角形B . 等边三角形C . 钝角三角形D . 等腰直角三角形10. （2分）(2020·陕西模拟) 某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则棱长为a的正方体的外接球的表面积为（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高二下·孝感期中) 已知分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点，为的内心，若，则该椭圆的离心率是（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高三上·汕头期末) 已知函数，的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A . 的图象关于直线对称B . 的图象关于点对称C . 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象D . 若方程在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知向量⊥ ， =（1，2），| |=2 ，则向量的坐标是________．14. （1分）(2018·江西模拟) 在的展开式中的系数为________．15. （1分）(2019高二上·雨城期中) 某曲线的方程为，若直线与该曲线有公共点，则实数的取值范围是________.16. （1分）(2018高二下·台州期中) 若，，且，，则 ________.三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）(2017·榆林模拟) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求角B的大小；（2）若b= ，a+c=3，求△ABC的面积．18. （10分） (2018高三下·滨海模拟) 已知数列的前项和为 ,满足（）,数列满足（）,且（1）证明数列为等差数列,并求数列和的通项公式;（2）若 ,求数列的前项和 ;（3）若 ,数列的前项和为 ,对任意的 ,都有 ,求实数的取值范围.19. （10分）如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面APC；（Ⅱ）若BC=1，AB=4，求三棱锥D﹣PCM的体积．20. （10分）(2016·海南模拟) 某市为了缓解交通压力，提倡低碳环保，鼓励市民乘坐公共交通系统出行．为了更好地保障市民出行，合理安排运力，有效利用公共交通资源合理调度，在某地铁站点进行试点调研市民对候车时间的等待时间（候车时间不能超过20分钟），以便合理调度减少候车时间，使市民更喜欢选择公共交通．为此在该地铁站的一些乘客中进行调查分析，得到如下统计表和各时间段人数频率分布直方图：分组等待时间（分钟）人数第一组[0，5）10第二组[5，10）a第三组[10，15）30第四组[15，20）10（1）求出a的值；要在这些乘客中用分层抽样的方法抽取10人，在这10个人中随机抽取3人至少一人来自第二组的概率；（2）从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X个组，求X的分布列及数学期望．21. （10分） (2017高二上·莆田月考) 过轴上动点引抛物线的两条切线、，、为切点，设切线、的斜率分别为和 .（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：直线恒过定点，并求出此定点坐标；22. （10分）(2017·鞍山模拟) 已知函数f（x）=x2+ +alnx．（Ⅰ）若f（x）在区间[2，3]上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设f（x）的导函数f′（x）的图象为曲线C，曲线C上的不同两点A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）所在直线的斜率为k，求证：当a≤4时，|k|＞1．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、。
高二数学3月月考试题理 12(共6页)
实验高级中学(gāojízhōngxué)2021-2021学年高二数学3月月考试题理第一卷(选择题一共60分)一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．〔1〕以下求导运算正确的选项是( )．A. B．C． D．〔2〕以下函数中，在内为增函数的是 ( )A． B． C. D．〔3〕曲线在点x＝1处的切线方程为( )A．y＝2x＋2 B．y＝2x－2 C．y＝x－1 D．y＝x＋1〔4〕曲线在点处切线为，那么等于( ) A. B. C. 4 D. 2〔5〕直线与曲线相切，那么的值是( )〔Ａ〕 1 〔Ｂ〕2 〔Ｃ〕 -1 〔Ｄ〕 -2〔6〕函数的导函数存在，那么函数在一点的导数值为是函数y 在这点取极值的〔〕f)(x〔7〕假设函数，那么的值是( )A．0 B． 2 C． 1 D． -1〔8〕函数的单调减区间为( )〔Ａ〕 〔Ｂ〕 〔Ｃ〕〔Ｄ〕〔9〕函数(hánshù)y ＝14x 4－13x 3的极值点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 〔10〕f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，那么a 的取值范围是( )A ．－1<a <2B ．－3<a <6C ．a <－3或者a >6D ．a <－1或者a >2〔11〕函数的图象如图(1)所示(其中是函数的导函数)，下面四个图象中，的图象大致是( )〔12〕设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数的图像如下图，那么以下结论中一定成立的是( )〔Ａ〕函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)〔Ｂ〕函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)〔Ｃ〕函数(hánshù)f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)〔Ｄ〕函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)第二卷(非选择题一共90分)二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，把答案填在题中横线上.13．，那么______________.14．求_______________．15．求____________16假设函数f(x)＝x3－3bx＋b在区间(0,1)内有极值，那么实数b的取值范围是_____________三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分.17．函数，，；f x的解析式；〔1〕求()f x在处的切线方程．〔2〕求()18． 计算由直线，曲线以及轴所围图形的面积S19.函数(hánshù)f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a 、b ∈R)的图象过点P (1,2)，且在点P 处的切线斜率为8.(1)求a 、b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．20. 函数， (1)假设()f x 在区间上为减函数，试求a 的取值范围 (2) 假设()f x 在区间()1,1-上不单调，试求a 的取值范围在上的最大值与最小值.22 .函数(hánshù)〔a为常数〕〔I〕假设函数在内单调递增，务实数a的取值范围；〔II〕假设存在〔其中为自然对数的底数〕，使得成立，务实数a的取值范围.高二数学〔理科〕试题参考答案一选择题每一小(yī xiǎo)题5分1—5 BBCCB. 6-10 BAABC 11-12 CD二填空题每一小题5分13． 14 . 15. 0 16.三解答题17〔10分〕略18〔12分〕出自2-3 第57页例2。
湖北省武汉市数学高二下学期理数第三次月考(期中)试卷
湖北省武汉市数学高二下学期理数第三次月考（期中)试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·龙岩模拟) 设复数z满足z（1+i）=4，则| |等于（）A . 2B . 8C . 2﹣2iD . 2+2i2. （2分） (2017高二下·张家口期末) 给出下列两种说法：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2，②已知a，b∈R，|a|＋|b|＜1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根绝对值都小于1，用反证法证明时，可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1．以下结论正确的是（）A . ①和②的假设都错误B . ①和②的假设都正确C . ①的假设正确，②的假设错误D . ①的假设错误，②的假设正确3. （2分）推理：“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形．”中的小前提是（）A . ①B . ②C . ③D . ①和②（）4. （2分） (2019高二上·贺州期末) 已知，则曲线在点处的切线方程为：A .B .C .D .5. （2分）若，，，则a、b、c的大小关系是（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高二上·苏州月考) 下列命题为真命题的是（）A . 平行于同一平面的两条直线平行B . 与某一平面成等角的两条直线平行C . 垂直于同一平面的两条直线平行D . 垂直于同一直线的两条直线平行7. （2分）(2017·南充模拟) 某校开设5门不同的数学选修课，每位同学可以从中任选1门或2门课学习，甲、乙、丙三位同学选择的课没有一门是相同的，则不同的选法共有（）A . 330种B . 420种C . 510种D . 600种8. （2分）若,则的值为（）A .B . -5C . 50D . 2559. （2分）某电视台连续播放6个广告，其中4个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有（）A . 720种B . 48种C . 96种D . 192种10. （2分）①已知a是三角形一边的边长，h是该边上的高，则三角形的面积是ah，如果把扇形的弧长l，半径r分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积lr；②由1=12 ， 1+3=22 ， 1+3+5=32 ，可得到1+3+5+…+2n﹣1=n2 ，则①﹑②两个推理依次是（）A . 类比推理﹑归纳推理B . 类比推理﹑演绎推理C . 归纳推理﹑类比推理D . 归纳推理﹑演绎推理11. （2分）李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有（）种不同的选择方式（）A . 24B . 14C . 10D . 912. （2分）已知数列{an}是无穷等比数列，其前n项和是Sn ，若a2+a3=2，a3+a4=1，则limSn的值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·闵行模拟) 如果复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2（i是虚数单位），则|z|的最大值为________．14. （1分）(2020·厦门模拟) 高三年段有四个老师分别为，这四位老师要去监考四个班级，每个老师只能监考一个班级，一个班级只能有一个监考老师.现要求老师不能监考班，老师不能监考班，老师不能监考班，老师不能监考班，则不同的监考方式有________种.15. （1分） (2017高二下·牡丹江期末) 定义在上的函数满足，为的导函数，且对任意恒成立，则的取值范围是________16. （1分） (2017高三上·张家口期末) （x﹣）4（x﹣2）的展开式中，x2的系数为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2019高二下·吉林期中) 设复数， .（1）若是实数，求；（2）若是纯虚数，求的共轭复数.18. （10分）综合题。
湖北省武汉市2020学年高二数学3月月考试题理(无答案)
湖北省武汉市2020学年高二数学3月月考试题理(无答案)湖北省武汉市2020 学年高二数学 3 月月考试题理（无答案）满分： 150一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .1.某咖啡厂为了认识热饮的销售量y ( 个) 与气温x o C之间的关系，随机统计了某 4 天的销售量与气温，并制作了比较表：气温－18 1310（℃）1销售量24 34 3864（个）由表中数据，得线性回归方程为y?2x a ，当气温为 4 o C 时，展望销售量约为（）A.68个B. 66个C.72个个2.在成立两个变量 y 与x的回归模型中，分别选择了四个不一样的模型，它们的有关指数以下，此中拟合效果最好的模型是（）A.模型1的有关指数R2为B .模型2的有关指数R2为C.模型3的有关指数R2为D.模型 4 的有关指数 R2为3.经过随机咨询 200 名性别不一样的大学生能否喜好踢毽子运动，计算获得统计量 K 2的观察值，参照附表，获得的正确结论是 ( )P(K 2k )kA .有97.5%以上的掌握以为“喜好该项运动与性别有关”；B .有97.5%以上的掌握以为“喜好该项运动与性别没关”；C . 在出错误的概率不超出5% 的前提下，以为“喜好该项运动与性别有关”；D .在出错误的概率不超出5% 的前提下，以为“喜好该项运动与性别没关” .4. 已知函数 f (x)2( x 1 ) 2ln x ，则x曲线 y f ( x) 的点 (1, f (1)) 的切线方程是（）湖北省武汉市2020学年高二数学3月月考试题理(无答案)A. 2 x y 20 B .2x y20 C .x y 20 D .y 05. 函数ax0) 的单调递f (x)(ax2+1增区间是（）A . (,1)B . (1,1)C.(1,)D . (, 1)(1,)6.一个口袋内装有大小同样的红、蓝球各一个，如有放回地摸出一个球并记下颜色为一次试验，试验共进行三次，则起码摸到一次红球的概率是（）A .1B .7 88C .3D .5 887.设随机变量 X : B(2, p) ，随机变量Y : B(3, p) ,若 P(X1)5，则9P(Y1) （）A .19B .5 279 C .7 D .59278.已知随机变量X8, 若X : B(10,0.6) ，则 E( ), D () 分别是（）A . 6和B . 2和C . 2和D . 6和9 ．已知随机变量X 听从正态散布A BC D10．在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为 a, b ，则方程x2y21a2b2表示焦点在 x 轴上且离心率小于3的椭圆的概率为（）2A .1 B.15232 C.17D .31323211．函数f ( x)的图像以下图，f'( x)是 f (x) 的导函数，以下判断正确的选项是（）A.f ' ( 2) f ' ( 3) f ( 2) f ( 3)0B.f ' ( 2) f ( 2) f ( 3) f ' ( 3)0C.f ' ( 3) f ( 2) f ( 3) f ' ( 2)0D.f ( 2) f ( 3) f ' ( 2) f ' ( 3)0 12．为了旅行业的发展，某旅行社组织了 14人参加“旅行知识”知识比赛，每人回答 3 个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见下表：答对题目0123个数人数3254依据上表信息，若从 14 人中任选 3人，则 3 人答对题目个数之和为 6 的概率是（）A.1 2B .1C .3 314D.1791二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5分，共 20分。
湖北省武汉市第三中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题
湖北省武汉市第三中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．函数3()3sin f x x x =-+的图象在点(0,(0))A f 处的切线方程是（ ） A ．30x y -=B ．30x y -=C ．30x y +=D ．30x y +=2．已知函数()()()1e xf x x a =-+在区间()1,1-上单调递增，则a 的最小值为（ ）A ．1e -B ．2e -C ．eD ．2e3．若函数()3231f x ax x x =+-+ 恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(3,0)-B ．(0,)+∞C ．(,3)(0,)∞∞--⋃+D ．(3,0)(0,)-⋃+∞4．已知R 上的可导函数()f x 的图象如图所示，则不等式()()20x f x '->的解集为（ ）A ．()(),21,-∞-+∞UB ．()()212-∞-,,UC ．()(),12,-∞-+∞UD ．()()1,12,-+∞U5．已知函数()()2121ln 2f x f x x x '=-++（()f x '是()f x 的导函数），则()1f =（ ）A ．32B ．1C ．2D ．12-6．已知函数2ln 1()x a g x x x x =+-在()21,e 上存在极值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．e 02⎛⎫ ⎪⎝⎭,C ．(0,1)D ．(0,e) 7．已知函数()2ln f x x ax =+，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有()()12122f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭8．已知函数()()120e (0)x kx x x f x kx x ⎧--+≤=⎨->⎩恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[)1,eB ．()1,1e,2∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭C ．1,e 2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．{}1,1e 2⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭二、多选题9．下列函数在定义域上为增函数的是（ ） A ．()ln f x x x = B ．()ln f x x x =+C ．()cos f x x x =-D ．()2e xf x x =10．已知函数()ln xf x x=，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的单调递减区间是()0,eB ．()f x 在点()()22e ,ef 处的切线方程是24e0x y -+=C ．若方程ln a x x =只有一个解，则e a =D ．设()2g x x a =+，若对()12R,1,x x ∀∈∃∈+∞，使得()()12g x f x =成立，则e a ≥11．已知()e xf x x =，()lng x x x =.若存在1x ∈R ，()20,x ∈+∞，使得()()12f x g x t ==成立，则下列结论中正确的是（ ）A ．当0t >时，12x x t =B ．当0t >时，12eln t x x ≤C ．不存在t ，使得()()12f x g x =''成立D ．()()f x g x mx >+恒成立，则2m ≤三、填空题12．若函数()312f x x x a =-+的极大值为11，则()f x 的极小值为．13．与曲线e xy =和24x y =-都相切的直线方程为.14．已知函数()e e 2sin x x f x x -=--，不等式2(2023e )(2ln )0x f a x f x x -++≤对任意的x ∈(0,)+∞恒成立，则a 的最大值为．四、解答题15．已知函数()2ln f x x a x=+-．(1)若1a =，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程； (2)若()()0,,0x f x ∞∈+≥恒成立，求实数a 的取值范围．16．已知函数()21e xf x x x a =-+-．(1)当1a =-，求()f x 的单调区间； (2)若()f x 有三个零点，求a 的取值范围．17．已知函数()2ln f x x ax =-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a >时，求()f x 在区间[]1,2上的最大值． 18．已知函数()ln 1f x a x ax =++.(1)当1a =时，求()f x 的图像在点(1,(1))f 处的切线方程； (2)若不等式()e x f x x ≤恒成立，求a 的取值集合.19．已知函数()23ln 4(0,)f x x ax x b a b =+-+>∈R .(1)讨论函数()f x 的单调性； (2)当12a =时，方程()0f x =有三个不相等的实数根，分别记为()1,2,3i x i =. ①求b 的取值范围；②证明()41,2,3;1,2,3i j x x i j -<==.。
湖北省武汉市汉铁高级中学高二数学3月月考试题 理
湖北省武汉市汉铁高级中学2014-2015学年高二3月月考数学（理）试题—、选择题 (本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1命题“若00,022===+b a b a 且则”的逆否命题是( )A ．若00,022≠≠≠+b a b a 且则B ．若00,022≠≠≠+b a b a 或则 C ．若则0,0022≠+==b a b a 则且 D ．若0,0022≠+≠≠b a b a 则或 2命题甲：2≠x 或3≠y ；命题乙：5≠+y x ，则甲是乙的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分条件也不必要条件3若“01x <<”是“()[(2)]0x a x a --+≤”的充分而不必要条件,则实数a 的取值范围是 （ ）A ．[1,0]-B ．(1,0)-C ．(,0][1,)-∞+∞D ．(,1)(0,)-∞-+∞4 (3,2,3)a =--，(1,1,1)b x =--且与的夹角为钝角，则x 的取值范围是( )A ．（－2，+∞）B ．（－2，53）∪（53，+∞） C ．（－∞，-2） D ．（53，+∞）5下列说法正确的是( )A ．x ≥3是x ＞5的充分而不必要条件 C ．若，则p 是q 的充分条件B ．x ≠±1是|x|≠1的充要条件 D ．一个四边形是矩形的充分条件是：它是平行四边形 6已知命题:p 对任意的R x ∈，有23x x <；命题:q 存在R x ∈，使321x x =-，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．非p 且qB ．p 且qC ．p 且非qD ．非p 且非q7在直三棱柱 111ABC A B C -中， 190,1ACB CA CB CC ∠====：则直线 1A B 与平面 11BB C C 所成角的正弦值为( )A ．B ．．D ．8. 如图，已知二面角l αβ--为60，点A α∈，AC l ⊥，C 为垂足，点B β∈，BD l ⊥，D 为垂足，且2AC =，3CD =，1DB =，则AB的长度为 ( )A．．4 C．A α9已知空间四边形OABC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在MN 上，且 .3MG GN =,,,,OA a OB b OC c OG xa yb zc ====++,则x 的值为( )A ．12 B ． 14 C ． 18 D ． 3810棱长为2的正四面体ABCD 在空间直角坐标系中移动，但保持点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，则棱CD 的中点E 到坐标原点O 的最远距离为( )A ．B ．1+ D 1+ 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置.) 11命题“对任意的013≤+-∈x x R x ，”的否定是>=<=-= b , a ),0,0,1( b ),3,3,2( a .12则若__________13已知空间四点11(0,1,0),(1,0,),(0,0,1),(1,1,)22A B C D ，则异面直线,AB CD 所成的角的余弦值为__________14设1:21(0),:021x p x m m q x -+<>>-，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为15四面体OABC 中，,,OA a OB b OC c ===, 点M 在OA 上，且2OM MA =，N 是BC 中点，则MN 等于___________三、解答题(本大题共6小题，满分75分.解答须写出文字说明、证明过程和演箅步骤.) 16（本小题满分12分）设p:实数x 满足22430x ax a -+<,其中0a >,命题:q 实数x 满足2260,280.x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩. (Ⅰ)若1,a =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；(Ⅱ)若p ⌝是⌝q 的充分不必要条件,求实数x 的取值范围.17（本小题满分12分）已知命题p :不等式2533a a --≥;命题q :只有一个实数x 满足不等式2110x a ++≤,若p ⌝且q 是真命题,求a 的取值范围集合.18（本小题满分12分）直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AB 、BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．19（本小题满分12分）如图，ABC ∆中，O 是BC 的中点，AB AC =，22AO OC ==．将BAO ∆沿AO 折起，使B 点与图中B '点重合．（Ⅰ）求证：OC B AO '⊥平面；（Ⅱ）当三棱锥AOC B -'的体积取最大时，求二面角O C B A -'-的余弦值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问在线段A B '上是否存在一点P ，使CP 与平面B OA '所成的角的正弦值为32？证明你的结论．20（本小题满分13分）如图，AC 是圆O 的直径，点B 在圆O 上，30BAC ∠=︒，BM AC ⊥交AC 于点M ，EA ⊥平面ABC ，//FC EA ， 431AC EA FC ===，，．（1）证明：EM BF ⊥；（2）求平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值．21（本小题满分14分）已知长方体1AC 中，棱1AB BC ==，棱12BB =，连接1B C ，过B 点 作1B C 的垂线交1CC 于E ，交1B C 于F 。
湖北省武汉市高二下学期3月质量检测数学试题(解析版)
一、单选题1．与双曲线有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是（ ）2212x y -=2214y x +=A ．B ．C ．D ．2212y x -=2212x y -=2214x y -=2212y x -=【答案】B【分析】根据椭圆与双曲线的性质即可求解.【详解】因为椭圆的焦点在轴上，2214y x +=(0,y 所以设所求双曲线方程为且，22221,y x a b-=222=3c a b =+双曲线的渐近线方程为，所以，即2212x y -=y =a b ±=a b =联立，解得22=3a b a b⎧+⎪⎨=⎪⎩1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以双曲线方程为.2212x y -=故选：B.2．函数的单调递增区间为（ ）21=ln 22y x x -+A ． B ．C ．D ．()1,1-()0,1[)1,+∞()0,∞+【答案】C【分析】先对函数求导，然后令导函数大于0解出不等式，并结合函数的定义域，即可得到本题答案.【详解】因为，所以，21=ln 22y x x -+211x y x x x -'=-=令，得或，0y >'A A A A 1x <-1x >又函数的定义域为，所以函数的单调递增区间为， {}0x x >[1,)+∞故选：C3．已知等比数列满足：，则的值为（ ） {}n a 24682820,8a a a a a a +++=⋅=24681111a a a a +++A ．20 B ．10 C ．5D ．52【答案】D【分析】利用等比数列的性质可得：，对进行化简后求值即可. 46288a a a a ⋅=⋅=24681111a a a a +++【详解】在等比数列中，由等比数列的性质可得：. {}n a 46288a a a a ⋅=⋅=所以． 284624682468284628111120582a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++=+===故选：D4．已知函数，则（ ）()()12e 11xf x f x -=++'()2f '=A ． B ． C ． D ．e 2+e 4-e 7-e 8-【答案】B【分析】根据导数运算公式求得函数的导数，令求出，再令即可求解.()f x 1x =()11f '=-2x =【详解】，()()1e 21xf x f x -+''=令可得解得，1x =()()1121f f ''=+()11f '=-所以，所以，()1e 2xf x x -'=-()2e 4f '=-故选:B. 5．设函数，则（ ）1()1f x x =+0(13)(1)lim x f x f x∆→-∆-=∆A ．3 B ．C ．D ．013-13【答案】A【分析】根据导数的定义以及导数运算公式求解. 【详解】因为，0(13)(1)(13)(1)lim 3lim 3(1)3x x f x f f x f f x x∆→∆→-∆--∆-'=-=-∆-∆因为，所以，所以， 21()f x x'=-(1)1f '=-3(1)3f '-=故选:A.6．6.《推背图》是唐朝贞观年间唐太宗李世民命天文学家李淳风和相士袁天罡推算大唐气运而作，此著作对后世诸多事件都进行了准确的预测．推背图以天干地支的名称进行排列，共有60象，其中天干分别为甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸，地支分别为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．该书第一象为“甲子”，第二象为“乙丑”，第三象为“丙寅”，一直排列到“癸酉”后，天干回到甲，重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支又回到子，即“丙子”，以此类推2023年是“癸卯”年，正值武汉大学建校130周年，那么据此推算，武汉大学建校的年份是（ ）A ．癸巳年B ．癸亥年C ．庚丑年D ．庚辰年【答案】A【分析】本题由题意可得数列天干是10个为一个循环的循环数列，地支是以12个为一个循环的循环数列，倒推130年即可求解.【详解】由题意可知，数列天干的周期为10，地支的周期为12， 因为，所以武汉大学建校年份的天干也是癸， 1301310=因为，所以武汉大学建校年份的地支是巳， 13012112=⨯-因此武汉大学建校的年份是“癸巳年”， 故选：A.7．已知双曲线的左右焦点分别为，A 为双曲线右支上一点，直线()222210,0x y a b a b -=>>12,F F 1AF交y 轴于点M ，原点O 到直线，且﹐则双曲线的离心率为（ ） 1AF 12MF AF =A B C ．2 D【答案】B【分析】根据定义结合条件，取的中点为，进而可得，2AM a =AM B 223c a =即得.【详解】因为，，12MF AF =122AF AF a -=所以，又， 12112AF AF AF MF A a M -=-==12MF MF =所以，122MF AF MF ==取的中点为，连接，则， AM B 2BF 21BF AF ⊥因为为的中点，原点O 到直线， O 12F F 1AF，又， 2AM a =所以，1222MF AF MF a ===所以， 2222222211934F BF B a c F F a =+=+=所以，即223c a =e =故选：B.8．已知函数仅有唯一极值点，则实数的取值范围（ ） ()[)2212,0,2xx mx x f x x x e-+=--∈+∞m A ． B ． C ． D ．[),e -+∞1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭[)1,-+∞[)0,∞+【答案】C【解析】转化为方程在仅有一个变号根，进一步将问题转化为方程'()0f x =[)0,x ∈+∞在不存在变号根，由得在单调递增，利用10x e mx +-=[)0,x ∈+∞(0)0y =1xy e mx =+-[)0,x ∈+∞导数即可得答案.【详解】∵， 2'(21)(1)(2)(1)()2x x xmx mx x x e mx f x x e e ---+-+-=--=∵在仅有一个变号根，显然为一个变号根， '()0f x =[)0,x ∈+∞2x =∴在恒大于等于0或恒小于等于0， 1x y e mx =+-[)0,x ∈+∞∵，'x y e m =+∴当时，在恒成立， 1m ≥-'0x y e m =+≥[)0,x ∈+∞∴在单调递增时，且， 1x y e mx =+-[)0,x ∈+∞(0)0y =∴在恒成立，10x y e mx =+-≥[)0,x ∈+∞故满足题意.1m ≥-当时，，1m <-'0ln()x y e m x m =+=⇒=-，''0ln();00ln()y x m y x m >⇒>-<⇒<<-∴在单调递减，在单调递增， 1x y e mx =+-[)0,ln(]x m ∈-[)ln(,)x m ∈-+∞且，(0)0y =∴在恒大于等于0或恒小于等于0均不成立， 1x y e mx =+-[)0,x ∈+∞∴不合题意； 1m <-综上所述：. 1m ≥-故选：C.【点睛】本题考查导数的应用、利用导数研究函数的单调性、极值、恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意参变分离的应用.二、多选题9．函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题（ ）()y f x =()'y f x =A ．是函数的极值点 3-()y f x =B ．是函数的最小值点1-()y f x =C ．在区间上单调递增 ()y f x =()31-，D ．在处切线的斜率小于零 ()y f x =0x =【答案】AC【分析】根据导函数的图象判断出的单调性、极值点、最值点、切线的斜率，由此判断()'f x ()f x 出命题错误的选项.【详解】根据导函数图象可知当x ∈（﹣∞,﹣3）时，，在时，，()'0f x <()3,x ∈-+∞()'0f x ≥∴函数y ＝f （x ）在（﹣∞,﹣3）上单调递减，在上单调递增，故C 正确； ()3,-+∞则﹣3是函数y ＝f （x ）的极小值点，故A 正确；∵在上单调递增，∴﹣1不是函数y ＝f （x ）的最小值点，故B 不正确； ()3,-+∞∵函数y ＝f （x ）在x ＝0处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故D 不正确； 故选：AC10．已知无穷等差数列的前项和为，，且，则（ ） {}n a n n S 67S S <78S S >A ．在数列中，大于 B ．在数列中，公差 {}n a 1a 0{}n a 0d >C ． D ．当时，310S S =8n ≥0n a <【答案】AD【分析】利用等差数列的通项公式可以求，，即可求公差，然后根据等差数列的70a >80a <0d <性质判断四个选项是否正确.【详解】解：因为，所以 ， 67S S <7670S S a -=>因为，所以， 78S S >8780S S a -=<所以等差数列公差， {}n a 870d a a =-<所以是递减数列，{}n a 故最大且，选项A 正确；选项B 不正确；1a 10a >， 10345678910770S S a a a a a a a a -=++++++=>所以，故选项C 不正确；310S S ≠当时，，即，故选项D 正确； 8n ≥80n a a ≤<0n a <故选：AD11．已知抛物线C ：的焦点为F ，P 为C 上一点，下列说法正确的是（ ） 214y x =A ．抛物线C 的准线方程为 1y =-B ．直线与C 相切1y x =-C ．若，则的最小值为4()0,4M PM D ．若，则的周长的最小值为11 ()3,5M PMF △【答案】ABD【分析】确定，，设，计算A 正确，联立方程得到B 正确，2p =()0,1F ()00,P x yC 错误，过点作垂直于准线于，计算得到D 正确，得到答≤P PH H 案.【详解】抛物线C ：，即，，，设， 214y x =24x y =2p =()0,1F ()00,P x y 对选项A ：抛物线C 的准线方程为，正确； 12py =-=-对选项B ：，整理得到，方程有唯一解，故相切，正确；214y x x y=-⎧⎨=⎩()220x -=对选项C ：时取等号，错误；PM ==≥020y =>对选项D ：过点作垂直于准线于，P PHH PF FM MP FM MP PH ++=++，当共线时等号成立，正确.5111≥+=,,M P H故选：ABD12．设函数，，则下列说法正确的有（ ）()ln f x x x =()()f x g x x'=A ．不等式的解集为；()0g x >1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．函数在单调递增，在单调递减； ()g x ()0,e ()e,+∞C ．当时，总有恒成立；1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()f x g x <D ．若函数有两个极值点，则实数()()2F x f x ax =-10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【答案】ACD【分析】A 选项，解不等式即可；B 选项，求导，利用导函数研究其单调性；C 选项，构造函数，二次求导结合函数单调性和极值，最值进行证明；D 选项，转化为在有两个ln 12x a x+=(0,)+∞根，求导后结合单调性，极值等求出的取值范围. a 【详解】由题意得，则 ()ln 1f x x '=+ln 1()(0)x g x x x+=>对于A ：由，可得，解得，所以解集为，故A 正确；ln 1()0x g x x +=>ln 1x >-1e x >1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭对于B ：，令，解得x =1， 221(ln 1)ln ()x x x x g x x x ⋅-+-'==()0g x '=所以当时，，函数为增函数，(0,1)x ∈()0g x '>()g x 当时，，函数为减函数，故B 错误； (1,)x ∈+∞()0g x '<()g x 对于C ：当时，若，则，1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()f x g x <()()0f x g x -<所以，即， ln 1ln 0x x x x +-<2ln ln 10x x x --<令，21,()ln l 11e n ,h x x x x x =--⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则，2111()2ln 2ln h x x x x x x x x x x'=⋅+⋅-=+-，22111()2ln 212ln 3h x x x x x x x''=+⋅++=++当时，，函数为增函数，1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0h x ''>()h x '又，所以在是恒成立，(1)0110h '=+-=()0h x '<1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以为减函数，21,()ln l 11e n ,h x x x x x =--⎛⎫∈ ⎪⎝⎭又，所以在是恒成立，max 211()0e e h x h ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭2()ln ln 10h x x x x =--<1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以当时，总有恒成立，故C 正确；1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()f x g x <对于D ：若函数有两个极值点，()()22ln F x f x ax x ax x ==--则有两个根，即在有两个根， ()ln 120F x x ax +-'==ln 12x a x+=(0,)+∞令，则，ln 1()x m x x+=2ln ()xm x x -'=所以当时，，函数为增函数， (0,1)x ∈()0m x '>()m x 当时，，函数为减函数，(1,)x ∈+∞()0m x '<()m x 又当时，，当时，，， 0x →()m x →-∞x →+∞()0m x →(1)1m =所以，解得，故D 正确.2(0,1)a ∈10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：ACD【点睛】导函数在研究函数单调性和函数图象上非常重要，很多问题看似与函数单调性无关，不过通过转化或构造新函数，通过求导，结合函数单调性及极值，最值，就变的迎刃而解.三、填空题13．已知一物体的运动方程是的单位为的单位为），则该物体在时间段内2243(S t t S =-m,t s [0,6]的平均速度与时刻的瞬时速度相等，则___________. t t =s 【答案】3【分析】由平均速度和瞬时速度的概念可得关于的等量关系，从而得到的取值. t t 【详解】在到t +这段时间内，物体的平均速度， t Δt ()()2463s t t s t s v t t t t+∆-∆===--∆∆∆所以该物体在时间段内的平均速度为6,当无限趋近于0时即可得到时刻的瞬时速度即[0,6]Δt t ,由题意平均速度与时刻的瞬时速度相等，即,解得,246t -t 2466t -=3t =故答案为：314．若函数在区间(1，4)上不单调，则实数a 的取值范围是___________.()324132x a f x x x =-++【答案】(4，5)【分析】由已知得在上存在变号零点，参变分离后利用导数讨论新函数()'240f x x ax =-+=(1,4)的单调性后可得实数的取值范围.a 【详解】解：函数，，()324132x af x x x =-++'2()4f x x ax ∴=-+若函数在区间上不单调，则在上存在变号零点，()f x (1,4)()'240f x x ax =-+=(1,4)由得， 240x ax -+=4a x x=+令，，， 4()g x x x =+(1,4)x ∈'2(2)(2)()x x g x x +-=在递减，在递增，而，，， ()g x ∴()1,2()2,4()422+42g ==()411+51g ==()444+54g ==所以.45a <<故答案为：. ()45，15．已知点是椭圆上任意一点，若圆上存在点，使得P 2222:1(0)x y C a b a b+=>>222:O x y b +=,M N ，则椭圆离心率的最大值为__________． 120MPN ∠= 【答案】##0.512【分析】根据题意，过作圆的切线，从而可得，从而，利用直角三角P O 120APB ∠≥ 60APO ∠≥形中边与角的可得，进而可求离心率的最大值. a ≤【详解】若为椭圆的上下顶点，则当为圆与轴的交点时，P ,M N 222:O x y b +=x 最大为，不满足题意；MPN ∠90 若不为椭圆的上下顶点，过点作圆的两条切线， P P 222:O x y b +=切点为，所以为角的最大值， ,A B APB ∠MPN ∠所以，则, 120APB ∠≥ 60APO ∠≥ 而，sin AO PO APO =≤∠又因为，所以，所以，所以， maxPO a =a ≤b a ≥2234b a ≥又因为离心率，12c e a ==≤所以椭圆离心率的最大值为， 12故答案为:.12四、双空题16．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，{}n a 10a =，则______；数列的前100项和为______.11,,n n n a n n a a n n +++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数100a =(){}1nn a -【答案】50002550【分析】当时，,当时，,联立可得，利2n k =2122k k a a k +=+21n k =-2212k k a a k -=+21214k k a a k +--=用累加法可得，从而可求得，即可得到，根据22122k a k k +=+221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数1005000a =，即可得到.2212n n a a n --=1002550S =【详解】令且，k *∈N 1k ≥当时，①；2n k =2122k k a a k +=+当时，②，21n k =-221212112k k k a a k a k --=+-+=+由①②联立得.21214k k a a k +--=所以，315321214,8,,4k k a a a a a a k +--=-=-= 累加可得. ()22112114844222k k k k a a a k k k +++-==+++=⨯=+ 令(且为奇数)，得. 21k n +=3n ≥212n n a -=当时满足上式，1n =10a =所以当为奇数时，. n 212n n a -=当为奇数时，，n ()21112n n n a a n ++=++=所以，其中为偶数. 22n n a =n 所以，所以. 221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数210010050002a ==因为，()()222212211222n n n n a a n ----=-=所以的前2n 项和 (){}1n n a -21234212n n n S a a a a a a -=-+-++-+ ，()()121222212n n n n n +=⨯+⨯++⨯=⨯=+ 所以10050512550S =⨯=故答案为：， 50002550五、解答题17．数列是以1为首项，以公比为4的等比数列，等差数列的各项均为正数，且{}n a {}n b232424,6a b a b b ==+(1)求数列的通项公式；{}n b(2)求数列的前项和.{}n n a b ⋅n n T 【答案】(1)32n b n =-(2)()114n n T n =+-【分析】（1）等差数列的公差为，然后利用等差数列的通项公式列关于的方程，解出即{}n b d 1,b d 可得数列的通项公式；{}n b （2）利用错位相减法求和即可.【详解】（1）设等差数列的公差为，由已知可得{}n b d 14n n a -=则，解得 ()()2111166364b d b d b d ⎧+=⎪⎨+++=⎪⎩113b d =⎧⎨=⎩；32n b n ∴=-（2）由（1）知，()1324n n n a b n -⋅=-①，()2114474324n n T n -∴=+⨯+⨯++- ②，()23444474324n n T n ∴=+⨯+⨯++- ①-②得，()()()()()12141431344432413324333414n n n n n n T n n n ----=++++--=+⨯--=-+-- 整理得. ()114n n T n =+-18．已知函数在处取得极值．()32f x ax bx =++2x =14-(1)求的值；,a b (2)求函数在上的最值．()f x []3,3-【答案】(1)1,12a b ==-(2)最小值为．最大值为14-18【分析】(1)利用极值的定义列方程求解；(2)利用导数讨论函数在的单调性，结合极值和区间端点处的函数值即可求最值.[]3,3-【详解】（1）因，故，()32f x ax bx =++()23f x ax b '=+由于在处取得极值，()f x 2x =故有即， (2)0(2)14f f =⎧⎨=-'⎩12082214a b a b +=⎧⎨++=-⎩化简得解得， 12048a b a b +=⎧⎨+=-⎩112a b =⎧⎨=-⎩经检验，时，，1,12a b ==-()()()2312322f x x x x ==+'--令，解得或，令，解得，()0f x ¢><2x -2x >()0f x '<22x -<<所以在单调递增，单调递减，单调递增，()f x (),2-∞-()2,2-()2,+∞所以在处取得极值，()f x 2x =符合题意，所以．1,12a b ==-（2）由（1）知．()()32122,312f x x x f x x '=-+=-令，得．()0f x '=122,2x x =-=在时，随的变化．的变化情况如下表所示：[]3,3x ∈-x ()(),f x f x ' x 3-()3,2-- 2- ()2,2- 2 ()2,3+ 3 ()f x '正 0 负 0 正 ()f x 11 单调递增 18 单调递减 -14 单调递增 -7当时，有极大值，2x =-()f x ()218f -=当时，有极小值．2x =()f x ()214f =-因为，()()3311f f =--=所以．()()()()21837;214311f f f f -=>=-=-<-=因此在的最小值为，最大值为.()f x []3,3-()214f =-()218f -=19．已知正项数列的前项和为，且．{}n a n n S 1n a =+(1)证明：是等差数列．{}n a(2)求数列的前项和为 14n n n S a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 【答案】(1)证明见解析 (2) 22221n n n ++【分析】（1）根据和的关系进行化简变形即可.n S n a （2）写出数列的通项公式之后，采用分组求和法和裂项相消法即可.【详解】（1）由可得，()1n a =+()241n n S a =+当时，，2n ≥()21141n n S a --=+两式相减可得， ()221142n n n n n a a a a a --=-+-，()22112n n n n a a a a --∴-=+，()10,22n n n a a a n ->∴-=≥ 又由可得，解得，11a =+11a =+11a =是以1为首项，2为公差的等差数列．{}n a ∴（2）由（1）可得， ()()212111221,2n n n n a n n S n ⎡⎤+-⎣⎦=+-⨯=-==所以， ()()()()2214411111111212141212122121n n n S n a a n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫==+=+=+⋅- ⎪ ⎪-+-+--+⎝⎭⎝⎭所以 1111111111112323522121n T n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅-++⋅-+++⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 111111123352121n n n ⎛⎫=+⋅-+-++- ⎪-+⎝⎭21n n n =++ 111221n n ⎛⎫=+⋅- ⎪+⎝⎭22221n n n +=+20．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面P ABCD -ABCD PD ⊥,2,1,ABCD PD DA DC M ===是的中点，点在上，且．BC Q PM 2PQ QM =(1)证明：平面；DQ ⊥PAM (2)求二面角的余弦值．A PM C --【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法结合线面垂直的判定定理即可证明线面垂直； （2）计算出平面和平面的一个法向量，利用空间向量计算面面角.PAM PMC 【详解】（1）由题平面，底面为矩形，可知两两垂直， PD ⊥ABCD ABCD ,,DA DC DP 所以以为原点，直线所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系如D ,,DA DC DP x y z D xyz -图：则，()()()()()2,0,0,0,0,0,0,1,0,1,1,0,0,0,2,A D C M P 因为，所以，所以， 2PQ QM =2PQ QM =u u u r u u u r 222,,333Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()()222,,,1,1,0,2,0,2333DQ AM AP ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭220303DQ AM DQ AM =-=∴⊥++⋅ 304403,DQ AP DQ AP ==-+⊥+⋅∴ ，且平面平面．AM AP A ⋂= ,AM AP ⊂,PAM DQ ∴⊥PAM（2）由（1）可知平面的法向量为． PAM 222,,333DQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭设平面的一个法向量为．PMC (),,m x y z =又()()1,1,2,0,1,2PM PC =-=- ，即 00PM m PC m ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩2020x y z y z +-=⎧⎨-=⎩令则，所以平面的一个法向量．2,y =0,1x z ==PMC ()0,2,1m = 则cos ,m DQ m DQ m DQ ⋅===u u u r r u u u r r u u u r r 二面角为钝角二面角的余弦值为A PM C --∴A PM C --21．已知椭圆的右焦点，离心率为，且点在椭圆上． 2222:1(0)x y C a b a b+=>>F 1231,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭C (1)求椭圆的标准方程； C (2)过的直线（不与轴重合）与椭圆相交于两点，是坐标原点，线段的中点在直线F x C A B ､O OP 上，求面积的最大值．AB PAB A 【答案】(1) 22143x y +=(2) 32【分析】(1)根据离心率和点在椭圆上建立的关系求解； ,,a b c (2)利用韦达定理表示出，再用点到直线的距离公式表示出三角形的高，结合函数的单调性即可AB 求面积的最大值.【详解】（1）由题意，又，解得，， 22129141c a a b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩222c a b =-24a =23b =的方程为； C ∴22143x y +=（2）设直线的方程为，，，，AB 1x my =+()11,A x y ()22,B x y 00(,)P x y 则，消元整理得， 221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2234690m y my ++-=所以，， 122634m y y m +=-+122934y y m =-+，()2212+13+4m m-因为线段的中点在直线上，OP AB 所以到直线的距离即为到直线的距离，P AB O AB距离为∴h = ()2212116234PAB m Sm +∴=⨯=+A6PAB S ∴=A 设，而在时递增， t =13y t t=+1t ≥当，即时，的最大值为． ∴1t =1=0m =AB P S A 3222．已知函数，为函数的导函数. ()ln e xx x f x =()g x ()f x (1)求的图象在处的切线方程；()f x 1x =(2)求函数的零点个数；()g x (3)若函数在区间上有最小值，其中a 为正整数，求a 的最小值.()f x ()e ,a -+∞【答案】(1)e 10x y --=(2)2个(3)2【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何意义即可求解；(2)利用导数求出函数的单调性，根据单调性和零点存在性定理即可求解；()g x (3)结合（2）的结论，要使函数在区间上有最小值，则必须有，解之即可求()f x ()e ,a -+∞2e e a --≤解. 【详解】（1）因为函数，所以， ()ln ex x x f x =(1)0f =又因为， 21(ln )e e (ln )1ln ln ()e e x x x xx x x x x x x x f x +⋅-+-'==所以，所以的图象在处的切线方程为：， 1(1)ef '=()f x 1x =1(1)e y x =-即.e 10x y --=（2）由题意可知：，令， 1ln ln ()e x x x x g x +-=1ln ln ()0e xx x x g x +-==即，令，则， 1ln ln 0x x x +-=()1ln ln h x x x x =+-1()ln 1h x x x'=--因为在上单调性递减，且， ()h x '(0,)+∞(1)0h '=所以当时，，函数在上单调递增； 01x <<()0h x '>()1ln ln h x x x x =+-(0,1)当时，，函数在上单调递减；1x >()0h x '<()1ln ln h x x x x =+-(1,)+∞又，，，222222(e )1ln e e ln e 10e h ----=+-=-<111()1ln e ln e 0e e eh =-+=>(1)10h =>，(e)1ln e eln e 2e 0h =+-=-<由零点存在性定理可知：函数在和上各有一个零点， ()h x (0,1)(1,)+∞也即函数在和上各有一个零点，()g x (0,1)(1,)+∞故函数有两个零点.()g x （3）由（2）可知：使得，使得， 1211(,)e ex ∃∈1()0g x =2(1,e)x ∃∈2()0g x =当时，，函数单调递减；1(0,)x x ∈()0g x <()f x 当时，，函数单调递增；12(,)x x x ∈()0g x >()f x 当时，，函数单调递减；2(,)x x ∈+∞()0g x <()f x 当时，当时，且极小值，1x >()0f x >01x <<()0f x <()f x 1()(0)0f x f <=要使在区间上有最小值，则，()f x ()e ,a -+∞10e a x -<<由a 为正整数，故，解得：，2e e a --≤2a ≥故实数的最小值为. a 2。
湖北省高二上学期第三次月考数学试题(解析版)
一、单选题1．设在处可导，则（ ）()f x 0x x =000()()lim 2x f x x f x x∆→-∆-=∆A ． B ． C ． D ．()012f x -'()02f x '-()0f x '()02f x '【答案】A【分析】变形，结合导数的定义，计算出结果. 【详解】因为在处可导,()f x 0x x =所以，由导数的定义可得：. ()0000000()()()()11lim lim 222x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→-∆-⎡-∆-⎤⎛⎫⎛⎫'=-⋅=- ⎪ ⎪⎢⎥∆-∆⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：A2．已知正项等差数列的前项和为，若，则的值为（ ）{}n a n ()*n S n N ∈28793a a a --=158S a -A ．3 B ．14 C ．28 D ．42【答案】D【分析】根据等差数列的性质得，则可由已知等式求的值，从而利用求和公式和等7982a a a +=8a 差数列性质求得值.158S a -【详解】解：正项等差数列，则{}n a 0n a >若，则，解得或（舍）28793a a a --=28798323a a a a =++=+83a =81a =-则. ()115815888815215144222a a a S a aa a +⨯⨯-=-=-==故选：D.3．直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的20x y +-=x y ,A B P 22(2)2x y ++=ABP 取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．[]2,6[]4,8⎡⎣【答案】A【分析】根据已知条件及两点的距离公式，利用圆的标准方程及点到直线的距离公式，结合圆上的点到直线的最值问题及三角形的面积公式即可求解.【详解】因为直线分别与轴，轴交于两点， 20x y +-=x y ,A B 所以令，得，所以， 0y =2x =()2,0A 令，得，所以，0x =2y =()0,2B，=因为圆的方程为， 22(2)2x y ++=所以圆心坐标为，半径为 ()2,0-r =所以圆心到直线的距离为20x y +-=,1d 设点到直线的距离为，P 20x y +-=d所以，即， 11d r d d r -≤≤+d ≤≤d ≤≤所以， []112,622ABP S AB d d ==⨯=∈ 故面积的取值范围为. ABP []2,6故选: A.4．《几何原木》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，、是直角圆锥的两个轴截面，且，则SAB △SCD SO 1os 3c BOC =∠异面直线与所成角的余弦值为（ ）SA BCA ．B C D 13【答案】B【分析】设，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内垂直于6AB =O OB OS y z ABC 的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值.OB x SA BC 【详解】在圆锥中，平面，设，以点为坐标原点，、所在直线分 SO SO ⊥ABC 6AB =O OB OS 别为、轴，平面内垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，y z ABC OB x因为，所以、、、，1os 3c BOC =∠()0,3,0A -()0,3,0B ()0,0,3S ()C -，，()0,3,3SA =--()2,0BC =-- 所以，cos ,SA BC SA BC SA BC ⋅<>===⋅所以异面直线与SA BC 故选：B.5．数列满足，，则（ ） {}n a 12a =()()1221n n n a a n n *++=∈+N 2022122021a a a a =++⋅⋅⋅+A ．B ．C ．D ．20222021202320212021202220222023【答案】B【分析】采用累乘法可求得；利用错位相减法可求得；分别代入n a 122nn a a a n ++⋅⋅⋅+=⋅2022n =和即可求得结果. 2021n =【详解】由得：， ()()1221n n n a a n n *++=∈+N ()1221n nn a a n ++=+； ()1123211232111432121232n n n n n n n n n a a a a a n n n a a n a a a a a n n n ------+-⎛⎫∴=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅ ⎪--⎝⎭设，12n n S a a a =++⋅⋅⋅+则，()01221223242212n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅++⋅，()12312223242212n n n S n n -∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅++⋅，()()()112121221222221212n nn nn S n n ---∴-=-+⋅+++⋅⋅⋅+=-+⋅+-()212222n n n n n =-+⋅+-=-⋅，即， 2n n S n ∴=⋅122n n a a a n ++⋅⋅⋅+=⋅. 202120222021122021202322023202122021a a a a ⨯∴==++⋅⋅⋅+⨯故选：B.6．已知抛物线的焦点为F ，直线l 过焦点F 与C 交于A ，B 两点，以为直径的圆与2:4C y x =AB y 轴交于D ，E 两点，且，则直线l 的方程为（ ） 4||||5DE AB =A ．B ． 10x -=10x y ±-=C ．D ．220x y ±-=210x y ±-=【答案】C【分析】设的中点为M ，根据求出r ，进而得到M 点横坐标；再||2(24),AB r r AB =≥4||||5DE AB =设直线，由韦达定理得到k 与M 横坐标的关系，进而求出k ． ()()1122:(1),,,,l y k x A x y B x y =-【详解】设的中点为M ，轴于点N ，过A ，B 作准线的垂线，垂||2(24),AB r r AB =≥MN y ⊥=1x -足分别为，如下图：11,A B由抛物线的定义知， 112(||1)||||||2MN AA BB AF BF AB r +=+=+==故，||1MN r =-所以，8||5DE r ==即， 21650250r r -+=解得或（舍去），52r =58r =故M 的横坐标为， 32设直线， ()()1122:(1),,,,l y k x A x y B x y =-将代入，(1)y k x =-24y x =得，()2222240k x k x k -++=则，2122243k x x k ++==解得，2k =±故直线l 的方程为． 220x y ±-=故选：C ．【点睛】本题解题的关键是要抓住圆的两要素：圆心和半径，用圆心的横坐标得到斜率的等量关系．7．已知为坐标原点，双曲线的渐近线方程是，且经过点，过的右焦OC y =(M C 点的直线与两条渐近线分别交于点，，以为直径的圆过点，则下列说法不正确的F C A B OA M B 是（ ）A ．双曲线的标准方程为B ．直线的倾斜角为或22193x y -=AB π32π3C ．圆的面积等于D ．与的面积之比为M 9πOAF △OAB 2:5【答案】D【分析】设双曲线方程为，代入求出双曲线的标准方程可判断A ；2213y x λ-=(M ，根据渐近线方程和倾斜角可得直线的倾斜角可判断B ；根据双曲线的对称性，设OB AB ⊥AB 的倾斜角为，求出直线的方程分别与两条渐近线方程联立，解得，点坐标，求出AB π3AB A B 得圆的半径，求出圆的面积可判断C ； 为与的公共边， 与的OA M OF OAF △OBF OAF △OBF 面积之比等于可判断D.AByy 【详解】对于A ，∵双曲线的渐近线为，∴设双曲线方程为，∵双曲线经过点y =2213y xλ-=，∴，得.∴双曲线的标准方程为，故A 正确；(M 13183λ-⨯=3λ=-22193x y -=对于B ，∵以为直径的圆过点，∴，又渐近线方程为，可得渐近线的倾OA M B OB AB ⊥y =斜角分别为，，则，，则直线的倾斜角为或，故B 正确；π65π6π6FOB ∠=π3BFO ∠=AB π32π3对于C ，根据双曲线的对称性，不妨设的倾斜角为，由，可得直线的方程为AB π3()F AB ，分别与两条渐近线方程联立，解得，，此时y x =-()A 32B ⎫-⎪⎪⎭，故圆的半径，其面积为，故C 正确；对于D ，∵为6=M 132r OA ==9πOF与的公共边，∴与的面积之比等于，故与的面积OAF △OBF OAF △OBF 3232A Byy ==OAF △OAB 之比为，故D 错误. 2:3故选：D.8．已知数列满足，则数列的前2023项的和{}n a ()*12212121,(1),3N n n n n n n a a a a a n -+==+-=+∈{}n a （ ） A ． B ．C ．D ．101132023-101132025-101232023-101232025-【答案】D【分析】利用累加法得到,代入得到,再利用分组求和法计1213(1)122n n n a ---=+-231(1122)n n n a =-+-算得到答案.【详解】因为，()*221212(1),3N n n n n n n a a a a n -+=+-=+∈所以，即，212213(1)3n n n n n n a a a +-+-==++2121(1)3n nn n a a +---+=所以2121232311325()()()n n n n n a a a a a a a a -----=-+-++-+[]1122(1)3(1)3131n n n n ----⎡⎤⎡⎤=-++-+++-++⎣⎦⎣⎦1331(1)122n n ----=-+ 13(1)122n n --=+-所以.12213(1)31(1)1(1)(1)12222n n n nn n n n a a ---=+-=+-+-=+--所以2023132023242022()()S a a a a a a =+++++ 10211012101121011210113(1)3(1)3(1)313131111(1)1(1)1(1)1222222222222⎡⎤⎡⎤---=+-++-+++-++--++--+++--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦101110121331320231322-=⨯+---.101232025=-故选：D二、多选题9．已知等比数列是单调数列，设是其前项和，若，，则下列结论正确的是{}n a n S n 1243a =53a =（ ） A ．B ．327a =±63nn a -=C ．D ．4332n n S +-=121211n n a a a a a a -⋅⋅⋅=⋅⋅⋅【答案】BD【分析】利用等比数列的通项公式和前项和求解即可. n 【详解】设等比数列的公比为，{}n a q 则有，解得或， 5145124333a a a q ⎧==⎨==⎩13q =13-当时数列不是单调数列，所以，13q =-{}n a 13q =所以，故A 错误；23127a a q ==，故B 正确；115611333n n n n a a q---⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，故C 错误； 56611313(1)332123n nn n S a q q -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭--⎢⎥⎣⎦===-，(11)5462123333n n n na a a --⨯⨯⨯⋅⋅⋅== ，()11(55)(11)54521211233333n n n n nn a a a --+---+==⋅⋅⋅⨯⨯⨯= 所以成立，故D 正确. 121211n n a a a a a a -⋅⋅⋅=⋅⋅⋅故选:BD.10．设数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）{}n a n n SA ．若，则221n S n n =+-21n a n =+B ．若，则的最小值为323n a n =-n S 77-C ．若，则数列的前17项和为43n a n =-{}(1)nn a -33-D ．若数列为等差数列，且，则当时，的最大值为2023 {}n a 10111012100010240,0a a a a +<+>0n S <n 【答案】BC【分析】令时，由求出可判断A ；由知，，当时，取1n =,n n S a 1a 323n a n =-780,0a a <>7n =n S 得的最小值可判断B ；若，求出数列的前项和可判断C ；由数列的下标和性43n a n =-(){}1nn a -17质可得，则可判断D.101110121202210001024120230,0a a a a a a a a +=+<+=+>202220230,0S S <>【详解】对于A ，由，当时，，221n S n n =+-1n =112a S ==由，当时，，所以，A 不正确；21n a n =+1n =1=3a 对于B ，若，当时，，则， 323n a n =-1n =120a =-780,0a a <>所以当时，取得的最小值为， 7n =n S ()17777(202)7722a a S +--===-所以，B 正确；对于C ，若 ，设数列的前项和为， 43n a n =-(){}1nn a -n n T 所以1712341617T a a a a a a =-+-+++- ，故C 正确；()()159136165=-++-+++- 486533=⨯-=-对于D ，数列为等差数列，且， {}n a 10111012100010240,0a a a a +<+>则， 101110121202210001024120230,0a a a a a a a a +=+<+=+>所以，()()120221202320222023202220230,022a a a a S S ++=<=>当时，的最大值为，所以D 不正确. 0n S <n 2022故选：BC.11．设椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为4，A ，B 是椭圆上关于x 轴22221(0)x y a b a b +=>>12,F F 对称的两点，的周长的最大值为12．过点的直线交椭圆于C ，D 两点，且C ，D 关1ABF (2,1)M -于点M 对称，则下列结论正确的有（ ）A ．椭圆的方程为22194x y +=BC ．椭圆上存在4个点Q ，使得 120QF QF ⋅=D ．直线CD 的方程为 89250x y -+=【答案】ACD【分析】由椭圆定义，利用直角三角形直角边和斜边关系，知AB 过点时周长最大为求2F 1ABF 4a 出，再由短轴得出，可求得椭圆方程，知A 正确，由的值可确定焦距，知B 错误，由a b c 知在以线段为直径的圆上，由知C 正确，利用点差法可求得直线方1290FQF ∠=Q 12F F c b >CD 程，知D 正确.【详解】对于A ，由题意知，当过点时，等号成立，21||||2AB AF ≤AB 2F 所以，故当过右焦点时，的周长取最大值，1121||||||||22AF AB AF AF a +≤+=AB 2F 1ABF 412a =所以，又，所以椭圆的方程为，A 正确；3a =2b =22194x y +=对于B ，由A 知，所以B 错误；c ==122F F c ==对于C ，由知，在以线段为直径的圆上， 120QF QF ⋅= 1290FQF ∠=Q ∴12F F 由知：以线段为直径的圆与椭圆有个交点，即椭圆上存在个点，使得c b >12F F 44Q 120QF QF ⋅=，C 正确；对于D ，由题意知点为弦的中点，在椭圆内部，()2,1M -CD M 设，，则，，()11,C x y ()22,D x y 2211194x y +=2222194x y +=两式相减得：．()()()()12121212094x x x x y y y y -+-++=，，则，，124x x +=- 122y y +=()1212294x xy y --=121289CD y y k x x -∴==-直线的方程为：，即，D 正确.∴CD ()8129y x -=+89250x y -+=故选：ACD.12．阿基米德不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号.抛物线上任意两点处的切,E F 线交于点，称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为，过的直线交抛M MEF 2:4C x y =F F l 物线于两点，抛物线在处的切线交于点，则为“阿基米德三角形”，下列结论C ,A B C ,A B P PAB正确的是（ ）A ．在抛物线的准线上B ．P C 222||||PA PB AB +>C ．D ．面积的最小值为42||PF FA FB =PAB 【答案】ACD【分析】对A ：根据题意利用导数求切线的方程，进而求交点坐标，结合韦达定理分析运,PA PB 算；对B ：利用韦达定理可得，即可得结果；对C ：分和两种情况讨论，分析PA PB ⊥0k =0k ≠运算可得，即可得结果；对D ：根据题意可求面积，分析运算即PF AB ⊥PAB PAB S =V 可.【详解】对A ：抛物线的焦点为，准线为.C ()0,1F 1y =-设直线的方程为，l ()()()1122001,,,,,,y kx A x y B x y P x y =+联立方程组得，则.24,1,x y y kx ⎧=⎨=+⎩2440x kx --=12124,4x x k x x +==-因为，所以， 24x y =2x y '=故在处切线的斜率，则直线的方程为，即，211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭12PA x k =PA ()211142x x y x x -=-21124x x y x =-同理可得：直线的方程为，PB 22224x x y x =-联立方程，解得， 2112222424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩12122214x x x k x x y +⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩所以，故在抛物线的准线上，A 正确； ()2,1P k -P C 对B ： 因为， ()()()()()()2212121212221212121222114412222242444PA PBk kx kx k x x x x y y k k k x k x k x k x k x x x x k k k +++++=⋅==+==-----+--++-+所以，则，故B 错误；PA PB ⊥222||||PA PB AB +=对C ：当时，则直线的斜率不存在，故； 0k =PF PF AB ⊥当时，则直线的斜率，则，所以； 0k ≠PF 11120PF k k k--=--=1PF AB k k =-PF AB ⊥综上所述：. PF AB ⊥则，所以，C 正确；PF FB FAPF=2||PF FA FB =对D ：设的中点为，则，AB M ()22,21M k k +∴面积，PAB (2121122422PAB S PM x x k =⋅-=⨯+=≥V 当且仅当，即时等号成立， 20k =0k =所以面积的最小值为4，D 正确. PAB 故选：ACD.三、填空题13．如图，直线是曲线在点处的切线，则的值等于______ ．l ()y f x =(4,(4))f (4)(4)f f '+【答案】##5.5 112【分析】由函数的图像可得，以及直线过点和，由直线的斜率公式可得直线()45f =l (0,3)(4,5)l 的斜率，进而由导数的几何意义可得的值，将求得的与的值相加即可. k (4)f '()4f (4)f '【详解】由函数的图像可得，直线过点和，则直线的斜率， ()45f =l (0,3)(4,5)l 531402k -==-又由直线是曲线在点处的切线，则， l ()y f x =(4,(4))f 1(4)2f '=所以． 111(4)(4)522f f '+=+=故答案为：11214．已知在数列中，，，则______．{}n a 156a =111132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n a =【答案】3223n n-【分析】由构造法可得，所以数列是以为首项， ()11223233n n n n a a ++-=-{}23n n a -43-为公比的等比数列，即可求出数列的通项公式. 23{}n a 【详解】因为，，所以，156a =111132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1122213n n n n a a ++=⨯+整理得，所以数列是以为首项， ()11223233n nn n a a ++-=-{}23n n a -14233a -=-为公比的等比数列，所以，解得． 231422333n n n a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭3223n n na =-故答案为：. 3223n n-15．已知抛物线的焦点为，准线为，直线交抛物线于，两()220y px p =>F l 2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭A B点，过点作准线的垂线，垂足为，若等边的面积为，则的面积为______. A l E AFE △BEF △【答案】【分析】由题知，进而根据得，再根据焦半径公12AE =60,12AFx AF AE ∠===2p A ⎛+ ⎝式得，再联立抛物线与直线的方程得，最后根据6p =AB ((,1,A B -计算即可. 12BEF A B S OF y y =⋅⋅-【详解】解：如图，因为为等边三角形，且面积为， AFE △所以，，解得，21sin 602AFE S AE =⨯= △12AE =因为，60,12AFx AF AE ∠===所以，2p A ⎛+ ⎝因为由焦半径公式得：，解得， 6122A pAE x p =+=+=6p =所以，抛物线，直线的方程为：.212y x =AB )3y x =-所以，联立方程得，解得，)2312y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩21090x x -+=129,1x x ==因为， 3122A A pAE x x =+=+=所以 ((,1,A B -所以 1113222BEF E B A B S OF y y OF y y =⋅⋅-=⋅⋅-=⨯⨯=故答案为：16．已知数列的前项和为，且满足，若使不等式成立的最大整数{}n a n n S ()112n n na n a +-+=20n S …为10，则的取值范围是__________.1a 【答案】1514,1111⎛⎤-- ⎥⎝⎦【分析】构造得，利用累加法得到， ()111211n na a n n n n +-=-++()122n a a n =+-分和讨论，再结合等差数列前和公式及二次函数零点分布即可得到关于的不等式12a =-12a ≠-n 1a 组，解出即可.【详解】，两边同除得，， 1(1)2n n na n a +-+=()1n n +()12112111n n a a n n n n n n +⎛⎫-==- ⎪+++⎝⎭所以， 111111212231n a a n n n ⎛⎫-=-+-++- ⎪-⎝⎭ 即，化简得， 1121n a a n n ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭()122n a a n =+-当时，，，，，12a =-2n a =-2n S n =-220n -≤10n ≥-，故其无最大值，不合题意，舍去；N n *∈ 当时，， 12a ≠-()()()1111212222n n a a a n a n a +-=++--++=+故是以为首项，公差为的等差数列，{}n a 1a 12a +， ()()()21111222222n n a a n a n a n S ++-⎡⎤++-⎣⎦∴==，化简得，, 20n S ≤ ()()21122400a n a n ++--≤n *∈N ，故，即，max 10n = 120a +>12a >-令，显然，()()21122400a n a n ++--=()()211216020a a ∆=-++>且两根之积为， 14002a -<+设，()()()2112240f n a n a n =++--则有，即，结合，()()100110f f ⎧≤⎪⎨>⎪⎩()()()()111121002104002121211400a a a a ⎧++--≤⎪⎨++-->⎪⎩12a >-解得， 115141111a -<≤-故答案为：.1514,1111⎛⎤-- ⎥⎝⎦【点睛】关键点睛：本题通过构造得到，然后利用累加法才能得到，即得()111211n na a n n n n +-=-++n a n到表达式，结合等差数列前和公式才能得到的表达式，最后解含参的一元二次不等式n a n n S ，，利用二次函数根的分布才能得到有关不等式组.()()21122400a n a n ++--≤n *∈N四、解答题17．已知数列的前n 项和为，，． {}n a n S 12S =122n n S S +=+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若，数列的前n 项和为，求． 2log n n b a ={}n b n T 1231111nT T T T ++++ 【答案】(1) 2n n a =(2) 21nn + 【分析】（1）利用，求出，再利用求出数列的通项公式；122n n S S +=+n S 11,1,1n n n a n a S S n -=⎧=⎨->⎩{}n a （2）将（1）中的代入化简得出数列通项公式，求出数列的前n 项和为，n a 2log n n b a ={}n b {}n b n T 再求出，最后利用裂项相消法求解即可. 1nT【详解】（1）因为，， 12S =122n n S S +=+所以，，()1222n n S S ++=+124S +=所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列， {}2n S +所以，①，122n n S ++=122n n S +=-当时，②，2n ≥122nn S -=-①减②得：， 2n n a =当时，成立，1n =12a =所以．2(N )n n a n *=∈（2）由（1）知，，2n n a =2log n n b a n ==所以， ()12n n n T +=所以，11121n T n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭所以12111nT T T +++L11111212231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1211n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭21nn =+18．如图，等腰梯形中，，，现以为折痕把折起，ABCD AD BC ∥12AB BC CD AD ===AC ABC 使点到达点的位置，且.B P PA CD ⊥(1)证明：平面；CD ⊥PAC (2)若为上一点，且三棱锥的体积是三棱锥体积的2倍，求平面与平M PD D ACM -P ACM -PAC 面夹角的余弦值. ACM 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）在梯形中，取的中点，证明四边形为平行四边形，再根据圆的性ABCD AD E BCEA 质得出，利用线面垂直的判定定理证明即可； AC CD ⊥（2）建立空间直角坐标系，由得出，利用向量法即可得出二面角:1:2P ACM D ACM V V --=13PM PD =的余弦值.P AC M --【详解】（1）在梯形ABCD 中取AD 中点N ，连接CN ， 所以且，所以四边形为平行四边形， BC AN =//BC AN ABCN 所以，又因为，所以， CN AB =12AB AD =12CN AD =所以点在以为直径的圆上，所以. C AD AC CD ⊥又因为，，平面 AP CD ⊥AP AC A ⋂=,AP AC ⊂PAC 所以平面.CD ⊥PAC（2）取中点，连接，因为，所以， AC O PO AP PC =PO AC ⊥由（1）得平面，又因为面， CD ⊥PAC CD ⊂ACD 所以平面面，因为为两平面交线， PAC ⊥ACD AC 所以面，PO ⊥ACD 以为原点，为轴，过且与垂直的直线为轴，为轴建立直角坐标系，OOA x O OA y OP z设，则，，，，2AB =)A()C ()0,0,1P ()2,0D 由，得，:1:2P ACM D ACM V V --=13PM PD =所以，122,333OM OP PM OP PD ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭设平面的法向量为， ACM (),,n x y z =r所以，即， 00n OM n OA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩220330x y z ⎧++=⎪=取，则，，所以，1z =-0x =1y =()0,1,1n =-又因为平面的法向量，PAC ()0,1,0m =所以cos ,n m因为二面角. P AC M --19．已知椭圆，倾斜角为的直线过椭圆的左焦点和上顶点B ，且2222:1(0)x y C a b a b+=>>30︒1F （其中A 为右顶点）. 11ABF S =△(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，且，求实数m 的取值范围.(0,)M m 2PM MQ =【答案】(1)2214x y +=(2)111,,133⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U【分析】（1）根据条件，列出关于的方程组，即可求椭圆方程；,,a b c （2）讨论直线的斜率不存在和存在两种情况，联立方程，将向量关系，转化为坐标关系，并利用l 韦达定理消元整理，并根据，求解.0∆>m 【详解】（1）由题可知()222112b c a c b a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩解得2,1,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩故椭圆的方程为.2214x y +=（2）当直线l 的斜率不存在时，设，，，()0,1P ()0,1Q -()0M m ，由，，得，2PM MQ = ()()0120,1m m -=--，13m =-同理，当,时，得，所以，()0,1Q ()0,1P -13m =13m =±当直线l 的斜率存在时，即时，13m ≠±设直线的方程为，PQ y kx m =+联立 22,44,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得.()222148440kxkmx m +++-=因为直线l 与椭圆C 交于不同的两点P 、Q ，所以，()()222Δ(8)414440km k m =-+->即①. 22410k m -+>设，()()1122,,,P x y Q x y 则②， 2121222844,1414km m x x x x k k -+=-=++则， ()()1122,,,PM x m y MQ x y m =--=- 由，得③，2PM MQ =122x x -=③代入②得，()22222(8)4421414km m k k --⨯=++化简整理得④， 2221364m k m -=-将④代入①得，2221191m m m ->--化简得，2119m <<解得或.113m -<<-113m <<综上，m 的取值范围为.111,,133⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U20．已知双曲线：（，）过点，且与双曲线：有相同C 22221x y a b-=0a >0b >()D 22128y x -=的渐近线．(1)求双曲线的方程；C(2)若直线：与双曲线交于，两点，且线段的垂直平分线过点l 32y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0k ≠C M N MN B，求直线的方程．()0,1l 【答案】(1)2214x y -=(2) 21630x y -+=【分析】（1）根据条件可列出关于 的的方程，解方程组可得的值，即得答案.,a b 22,a b （2）将直线方程和双曲线方程联立，消去可得根与系数的关系式，然后根据线段的垂直平y MN 分线过点，利用斜率之间的关系得到关于k 的方程，即求得答案.B ()0,1【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，所以，D 12y x =±12b a =因为点在双曲线上，所以， ()C 22811a b -=所以，2241a b ⎧=⎨=⎩故双曲线的方程为；C 2214x y -=（2）设，，()11,M x y ()22,N x y 联立方程组，得，221432x y y k x ⎧-=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩()()22221412940k x k x k ---+=则，，21221214k x x k +=-21229414k x x k +=--，()121223314ky y k x x k +=++=-所以的中点坐标为． MN ()22263,14214k k k k ⎛⎫ ⎪ ⎪--⎝⎭由得，且．2140,0,Δ0,k k ⎧-≠⎪≠⎨⎪>⎩2407k <<214k ≠因为线段的垂直平分线过点，所以 ， MN ()0,1()2222231214183261214kk k k k kk k --+--==-可得或（舍去），18k =2k =-故直线的方程为．l 21630x y -+=21．记数列的前项和为. {}n a n 111,2,34n n n n S a S S a ++=+=-(1)求的通项公式；{}n a (2)设，记的前项和为.若对于且恒成立，求实数的2log n n n b a a ={}n b n n T 2(1)2n t n T -+≤2n ≥*N n ∈t 取值范围. 【答案】(1) 2n n a =(2) 8t ≤【分析】（1）利用与的关系证得数列是等比数列，从而求得； n a n S {}n a 2n n a =（2）先利用错位相减法求得，再将问题转化为，其中，利用作差n T ()min t f n ≤()()1221n f n n n +=≥-法证得，从而得解. ()min 8f n =【详解】（1），1134n n n S S a +++=- 当时，，∴2n ≥134n n n S S a -+=-两式相减，得，整理得， 1133n n n n a a a a +++=-12n n a a +=当时，， 1n =1221122234,34,4S S a a a a a a +=-∴++=-∴=经检验，满足，212a a =12n n a a +=数列是以为首项，2为公比的等比数列， ∴{}n a 12a =.1222n n n a -∴=⨯=（2）由（1）得，2log 2nn n n b a a n ==⋅，1212222n n T n ∴=⨯+⨯++⨯ ，()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯ 两式相减得，1212222nn n T n +-=+++-⨯ ()()11212212212nn n n n ++⨯-=-⨯=-⨯--，()1122n n T n +∴=-⨯+又对于且恒成立，即，2(1)2n t n T -+≤ 2n ≥*N n ∈()21(1)2122n t n n +-+≤-⨯+等价于对于且恒成立， 121n t n +≤-2n ≥*N n ∈令，则， ()()1221n f n n n +=≥-()min t f n ≤则有， ()()()()1212222111n n n n f n f n n n n n +++-+-=-=--所以当时，，当时，，2n =()()23f f =2n >()()1f n f n +>所以，则.()()min ()238f n f f ===8t ≤22．已知点是焦点为F 的抛物线C ：上一点．()1,2Q ()220y px p =>(1)求抛物线C 的方程；(2)设点P 是该抛物线上一动点，点M ，N 是该抛物线准线上两个不同的点，且的内切圆方PMN 程为，求面积的最小值．221x y +=PMN 【答案】(1)24y x =(2)【分析】（1）将代入抛物线的方程即可得出答案；()1,2Q （2）首先设，点，点，求出直线的方程，根据圆心到直线00(,)P x y (1,)M m -(1,)N n -PM (0,0)的距离为，得到，同理得到，即PM 12000(1)2(1)0x m y m x -+-+=2000(1)2(1)0x n y n x -+-+=,m n是关于的方程的两根，再根据韦达定理得到，表t 2000(1)2(1)0x t y t x -+-+=MN =示出面积，由均值不等式即可得出答案.PMN 【详解】（1）因为点是抛物线C ：上一点，()1,2Q ()220y px p =>所以，解得：，42p =2p =所以.24y x =（2）设点，点，点，直线方程为：，化简得()00,P x y ()1,M m -()1,N n -PM ()0011y m y m x x --=++．()()()()0000110y m x x y y m m x --++-++=的内切圆方程为，圆心到直线的距离为，即PMN 221x y +=∴()0,0PM 1．1故．()()()()()()222220000001211y m x y m m y m x m x -++=-+-+++易知，上式化简得，． 01x >()()20001210x m y m x -+-+=同理有，()()20001210x n y n x -+-+=，是关于的方程的两根． ∴m n t ()()20001210x t y t x -+-+=，． ∴0021y m n x -+=-()0011x mn x -+=-．，∴()()()()222200200414411x y MN m n m n mn x x +=-=+-=+-- 2004yx =∴MN ==点到直线的距离为，()00,P x y =1x -01d x =+所以面积为PMN )011122S MN d x=⋅=⨯+=令，则 ()010x t t -=>S ==因为，， 22168t t +≥=401040t t +≥=当且仅当取等，所以2t =S ≥=故面积的最小值为PMN。
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湖北省武汉市2016-2017学年
高二数学3月月考试题理（无
答案）
满分：150
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.某咖啡厂为了了解热饮的销售量y(个)
与气温x C之间的关系，随机统计了
某4天的销售量与气温，并制作了对照
表：
由表中数据，得线性回归方程为
ˆ2
y x a
=-+，当气温为4C
-时，预测销售量约为（）
A. 68个
B.66个
C. 72个
D.70个
2.在建立两个变量y与x的回归模型中，
分别选择了四个不同的模型，它们的相
关指数如下，其中拟合效果最好的模型
是（）
A.模型1的相关指数2R为0.98
B.模型2的相关指数2R为0.80
.C模型3的相关指数2R为0.54
.D
模型4的相关指数2R为0.35
3.通过随机询问200名性别不同的大学生
是否爱好踢毽子运动，计算得到统计量
2
K的观测值 4.892
k≈，参照附表，得到的正确结论是 ( )
A.有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”；
B.有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”；
C.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”；
D.在犯错误的概率不超过5%的前提下，
认为“爱好该项运动与性别无关”.
4.已知函数
1
()2()2ln
f x x x
x
=--，则曲线()
y f x
=的点(1,(1))
f的切线方程是（）
A. 220
x y
+-=B.
220
x y
--=C. 20
x y
+-= D. 0
y=
5.函数
2
()(0)
+1
ax
f x a
x
=>的单调递增
区间是（）
A.(,1)
-∞-B.(1,1)
-
C.(1,)
+∞
D.(,1)(1,)
-∞-⋃+∞
6.一个口袋内装有大小相同的红、蓝球各一个，若有放回地摸出一个球并记下颜色为一次试验，试验共进行三次，则至少摸到一次红球的概率是（）
A.
1
8
B.
7
8
C.
3
8
D.
5
8
7.设随机变量(2,)X B p ，随机变量
(3,)Y B p ,若5
(1)9
P X ≥=
，则(1)P Y ≥=（ ）
A .1927
B .5
9 C .79 D .
5
27 8.已知随机变量8X η+=,若(10,0.6)X
B ，则(),()E D ηη分别是
（ ）
A .6 2.4和
B .2 2.4和
C .2 5.6和
D .6 5.6和 9．已知随机变量X 服从正态分布
2
3,N σ（）
，且
(
P X ，则
(1P <（ ） A .0.6 B .0.4
C .0.3
D .0.2
10．在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，
记为,a b ，则方程22
221x y a b
+=表示焦
点在x 轴上且离心率小于2
的椭圆
的概率为（ ）
A .
12 B .15
32 C .1732 D .3132
11．函数()f x 的图像如图所示，'
()f x 是()f x 的导函数，下列判断正确的是（ ）
A .
''(2)(3)(2)(3)0f f f f -<-<---<
B .
''(2)(2)(3)(3)0f f f f -<---<-<
C .
''(3)(2)(3)(2)0f f f f -<---<-<
D .
''(2)(3)(2)(3)0f f f f ---<-<-<
12．为了旅游业的发展，某旅行社组织了
14人参加“旅游常识”知识竞赛，每人回答3个问题，答对题目个数及对应人数统
计结果见下表： 根据上表信息，若从人中任选人，
则3人答对题目个数之和为6的概率是
（ ）A .12 B .1
3
C .
3
14
D .
1791
二、 填空题：本大题共5小题，每小题5
分，共20分。
13.已知数组11221010(,),(,),
(,)
x y x y x y 满足线性回归方程ˆy
bx a =+，则“00(,)x y 满足线性回归方程ˆy
bx a =+”是“012101
()10
x x x x =
++，
012101
()10
y y y y =
++”的 条
件（填“充分不必要”、“必要不充分”或“充要”）；
14.一个大正方形被平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点（每次都能投中），记投中最左侧3个小正方形区域地事件为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件为B ，则()P A B = 15.若函数
21
12221
2131
()(1)(1)n n
n r r n r
n n n n
n
n
n
n f x C x
C x C x
C x
C x -+-+-=-+--+
-，其中*
n N ∈,则'
(1)f =
16.从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数能被3整除的概率为
三、解答题：本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分） 用012345，，，，，这6个数字
（1） 能组成多少个无重复数字的四位
偶数？
（2） 能组成多少个奇数数字互不相邻
的六位数（无重复数字）？
18.（本小题满分10分） 已知函数
321
()(2)13f x ax bx b x =-+-+在
1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极
小值，且12012x x <<<<. （1）证明0a >；
（2）求2z a b =+的取值范围.
19.（本小题满分12分）
目前我国很多城市出现了雾霾天气，已经给广大人民的健康带来影响.其中汽车尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，很多城市提倡绿色出行方式，实施机动车尾号限行.某市为了解民众对“车辆限行”
的态度，随机调查了50人，并将调查结果制成下表： 10
调查者中各随机选取2人进行跟踪调查，选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数记为X ，求X 的分布列和期望； （2）把年龄在[15,45)称为中青年，年龄在[45,75)称为中老年，请根据上表完成
22⨯列联表，并说明民众对“车辆限行”
的态度与年龄是否有关联.
2
2
()
n ad bc χ-=
20.（本小题满分12分）
如图，在梯形ABCD 中，AB CD ，
,60AD DC CB a ABC ===∠=，平面
ACFE ⊥平面ABCD ，四边形ACFE 是矩形，AE a =.
（1） 求证：BC ⊥平面ACFE ； （2） 求二面角B EF D --的余弦值.
21.（本小题满分12分）
学校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6道备选题中一次随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作，并规定：在抽取的3道题中，至少正确完成其中2道题便可通过考查.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能正确完成；考生乙每题正确完成的概率都为
23
，且每题正确完成与否互不影响. （1）求考生甲正确完成题目个数ξ的分布列和数学期望；
（2）用统计学知识分析比较甲、乙两考生哪位的实验操作能力强及哪位通过考查的可能性大？
22.（本小题满分14分） 已知函数2
1()ln(1)2
f x x ax x =--+，其中a R ∈.
（1） 若2x =是()f x 的极值点，求
a 的值；
（2） 求()f x 的单调区间；
（3） 若()f x 在[0,)+∞上的最大值是
0，求a 的取值范围.。