2019版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形课时分层作业十九3.2同角三角函数的基本关系及诱导公式理

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2019版高考数学(文)讲义：第3章三角函数、解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式

[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 α，β 为锐角，则 sin2α＋cos2β＝1.( )
[ ] 4
π
3
，π
(2)已知 sinα＝5，α∈ 2 ，则 cosα＝5.( )
(3)sin(π＋α)＝－sinα 成立的条件是 α 为锐角．( )
(4)六组诱导公式中的角 α 可以是任意角．( )
1
1
A.2 1
B．－ 3 1
C．－ 2
D.3
答案 C
sinα·cosα
解析 ∵f(α)＝－cosαtanα＝－cosα，
( ) ( ) ( ) 31π
31π
π
π1
－
－
10π＋
∴f 3 ＝－cos 3 ＝－cos
3 ＝－cos3＝－2.
( ) ( ) π 1
7π
α＋
α＋
5．已知 sin 12 ＝3，则 cos 12 的值为( )
命题角度 2 同角关系和诱导公式的综合应用
例 3 [2016·全国卷Ⅰ]已知 θ 是第四象限角，且
( ) ( ) π 3
π
θ＋
θ－
sin 4 ＝5，则 tan 4 ＝________.
4
答案－3
( ) ( ) π 3
π
θ＋
θ－
解析因为 sin 4 ＝5，所以 cos 4 ＝sinError!Error!＝sin
3
3
A．－ 2
B. 2
3
3
C．－ 4
D.4
答案 B
5π 3π
解析 ∵ 4 ＜α＜ 2 ，
∴cosα＜0，sinα＜0 且|cosα|＜|sinα|，∴cosα－sinα＞0. 13

2019年高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式增分练

2019年高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式增分练1．[xx·洛阳模拟]下列各数中与sinxx°的值最接近的是( ) A.12 B.32 C ．－12D ．－32答案 C解析 xx°＝5×360°＋180°＋39°， ∴sinxx°＝－sin39°和－sin30°接近．选C.2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3 答案 D解析 ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.3．[xx·华师附中月考]已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )A.45 B ．－45C.35 D ．－35答案 B解析 tan(α－π)＝34⇒tan α＝34.又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－45. 4．已知f (α)＝π－απ－α－π－αα，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－31π3的值为( ) A.12 B ．－13C ．－12D.13答案 C解析 ∵f (α)＝sin α·cos α－cos αtan α＝－cos α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫10π＋π3＝－cos π3＝－12. 5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值为( )A.13 B ．－13C ．－223D.223答案 B解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋π12＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－13.选B. 6．已知tan x ＝2，则sin 2x ＋1的值为( ) A ．0 B.95 C.43 D.53答案 B解析 sin 2x ＋1＝2sin 2x ＋cos 2x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan 2x ＋1tan 2x ＋1＝95.故选B. 7．[xx·福建泉州模拟]已知1＋sin αcos α＝－12，则cos αsin α－1的值是( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2答案 A解析因为1－sin 2α＝cos 2α，cos α≠0,1－sin α≠0，所以(1＋sin α)(1－sin α)＝cos αcos α，所以1＋sin αcos α＝cos α1－sin α，所以cos α1－sin α＝－12，即cos αsin α－1＝12.故选A.8．已知角α的终边上一点P (3a,4a )(a <0)，则cos ()540°－α的值是________．答案 35解析 c os(540°－α)＝cos(180°－α)＝－cos α.因为a <0，所以r ＝－5a ，所以cos α＝－35，所以cos(540°－α)＝－cos α＝35.9．[xx·北京东城模拟]已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝________.答案－125解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝713，sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝1213，cos θ＝－513或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－513，cos θ＝1213(舍)．故tan θ＝－125.10．[xx·淮北模拟]sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3的值是________．答案－334解析原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π6·tan ( －π－π3 )＝ ⎝⎛⎭⎪⎫－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×(－3)＝－334. 1．[xx·湖北荆州联考]若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 ∵△ABC 是锐角三角形，则A ＋B ＞π2，∴A ＞π2－B ＞0，B ＞π2－A ＞0，∴sin A ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ，sin B ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝cos A ，∴cos B －sin A ＜0，sin B －cos A ＞0， ∴点P 在第二象限．选B.2．[xx·新乡模拟]若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin θcos θ＝3716，则sin θ＝( )A.35 B.45 C.74D.34答案 D解析 ∵sin θcos θ＝3716，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝8＋378，(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝8－378，∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴sin θ＋cos θ＝3＋74 ①，sin θ－cos θ＝3－74 ②，联立①②得，sin θ＝34.3．已知cos(75°＋α)＝513，α是第三象限角，则sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值为________．答案－1713解析因为cos(75°＋α)＝513>0，α是第三象限角，所以75°＋α是第四象限角， sin(75°＋α)＝－1－cos2＋α＝－1213.所以sin(195°－α)＋cos(α－15°) ＝sin[180°＋(15°－α)]＋cos(15°－α) ＝－sin(15°－α)＋cos(15°－α)＝－sin[90°－(75°＋α)]＋cos[90°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)＋sin(75°＋α) ＝－513－1213＝－1713.4．求值：sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＋tan945°. 解原式＝－sin1200°·cos1290°＋cos1020°·(－sin1050°)＋tan 945° ＝－sin120°·cos210°＋cos300°·(－sin330°)＋tan225° ＝(－sin60°)·(－cos30°)＋cos60°·sin30°＋tan45°＝32×32＋12×12＋1＝2. 5．[xx·南京检测]已知f (α)＝π－απ－α⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－π－α.(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．解 (1)f (α)＝π－απ－α⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－π－α＝sin αcos α－sin αsin αsin α＝－cos α.(2)因为α是第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，sin α＝－15.所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝－265.所以f (α)＝－cos α＝265.2019年高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词讲义分析解读江苏高考近五年没有考查本部分知识,在复习时主要要理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义,会写含有全称量词与存在量词的命题的否定.五年高考考点一简单的逻辑联结词(xx湖南改编,5,5分)已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(¬q);④(¬p)∨q中,真命题是(填序号).答案②③考点二全称量词与存在量词1.(xx课标Ⅰ改编,3,5分)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为.答案∀n∈N,n2≤2n2.(xx山东,12,5分)若“∀x∈,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为.答案 13.(xx重庆理改编,2,5分)命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为.答案存在x0∈R,使得<04.(xx四川理改编,4,5分)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈B,则¬p 为.答案∃x∈A,2x∉B三年模拟A组xx模拟·基础题组考点一简单的逻辑联结词1.(苏教选2—1,一,2,变式)若命题p:0是偶数,命题q:2是3的约数,则下列命题中为真的是.①p且q;②p或q;③ ;④p且q.答案②2.(苏教选2—1,一,2,变式)若p、q是两个命题,且“p或q”的否定是真命题,则p、q的真假性是. 答案p假q假3.(苏教选2—1,一,2,变式)对于命题p、q,若p且q为真命题,则下列四个命题:①p或q是真命题;②p且q是真命题;③p且q是假命题;④p或q是假命题.其中真命题是.答案①③考点二全称量词与存在量词4.(xx江苏南通中学测试)若命题“存在x∈R,ax2+4x+a≤0”为假命题,则实数a的取值范围是.答案(2,+∞)5.(xx江苏南京溧水中学质检,2)命题“∀x∈R,x2+2x+5>0”的否定是.答案∃x0∈R,+2x0+5≤06.(xx江苏苏州期中,2)若命题p:∃x∈R,使x2+ax+1<0,则p: .答案∀x∈R,x2+ax+1≥0B组xx模拟·提升题组(满分:30分时间:15分钟)一、填空题(每小题5分,共15分)1.(xx江苏南京师大附中期初调研,8)已知命题p:∃x∈R,x2+2x+a≤0是真命题,则实数a的取值范围是.答案(-∞,1]2.(xx江苏前黄中学第二次学情调研,8)已知下列四个命题,其中真命题的序号是(把所有真命题的序号都填上).(1)命题“∃x∈R,x2+x+1>0”的否定是“∀x∈R,x2+x+1<0”;(2)命题“在△ABC中,若A>B,则sin A>sin B”的逆命题为真命题;(3)“f '(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处取得极值”的充分不必要条件;(4)直线y=x+b不能作为函数f(x)=图象的切线.答案(2)(4)3.(xx江苏泰州一模,5)若命题“存在x∈R,ax2+4x+a≤0”为假命题,则实数a的取值范围是.答案(2,+∞)二、解答题(共15分)4.(xx江苏盐城期中,15)设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0;q:实数x满足<0.(1)若a=1,且p∨q为真,求实数x的取值范围;(2)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.解析(1)由x2-4ax+3a2<0,得(x-3a)(x-a)<0,因为a>0,所以a<x<3a,当a=1时,1<x<3,即p为真时,实数x的取值范围是1<x<3.<0等价于(x-2)(x-3)<0,解得2<x<3,即q为真时,实数x的取值范围是2<x<3.若p∨q为真,则实数x的取值范围是1<x<3.(2)p是q的必要不充分条件等价于q⇒p且p⇒/ q,则有或所以实数a的取值范围是1≤a≤2.C组xx模拟·方法题组方法1 含有逻辑联结词的命题的真假判断1.若命题p:不等式4x+6>0的解集为,命题q:关于x的不等式(x-4)(x-6)<0的解集为{x|4<x<6},则“p且q”“p 或q”“ ”形式的命题中的真命题是.答案p或q,p且q2.分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“ ”形式的命题的真假.(1)p:6<6,q:6=6;(2)p:梯形的对角线相等,q:梯形的对角线互相平分;(3)p:函数y=x2+x+2的图象与x轴没有公共点,q:不等式x2+x+2<0无解;(4)p:函数y=cos x是周期函数,q:函数y=cos x是奇函数.解析(1)∵p为假命题,q为真命题,∴p∧q为假命题,p∨q为真命题,p为真命题.(2)∵p为假命题,q为假命题,∴p∧q为假命题,p∨q为假命题,p为真命题.(3)∵p为真命题,q为真命题,∴p∧q为真命题,p∨q为真命题,p为假命题.(4)∵p为真命题,q为假命题,∴p∧q为假命题,p∨q为真命题,p为假命题.方法2 全称(存在性)命题真假的判定3.下列命题中的真命题的个数是.①∃x∈R,使得sin x+cos x=;②∃x∈(-∞,0),2x<3x;③∀x∈(0,π),sin x>cos x.答案04.已知命题p:∃x∈R,使tan x=1,命题q:∀x∈R,x2>0.下面结论正确的是.①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧ ”是假命题;③命题“ ∨q”是真命题;④命题“ ∧ ”是假命题.答案④方法3 全称(存在性)命题的否定5.(xx江苏姜堰中学高三期中)命题“∀x∈,sin x>0”的否定是.答案∃x∈,sin x≤06.命题“任意x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是.答案存在x∈R,使得|x-2|+|x-4|≤37.判断下列命题是全称命题还是存在性命题,并写出它们的否定:(1)p:对任意的x∈R,x2+x+1=0都成立;(2)p:∃x∈R,x2+2x+5>0.解析(1)由于命题中含有全称量词“任意的”,因而是全称命题;又由于“任意的”的否定为“存在一个”,因此,p:存在一个x∈R,使x2+x+1≠0成立.(2)由于“∃x∈R”表示存在一个实数x,即命题中含有存在量词“存在一个”,因而是存在性命题;又由于“存在一个”的否定为“任意一个”,因此,p:∀x∈R,x2+2x+5≤0.方法4 与逻辑联结词、全称(存在性)命题有关的参数问题8.(xx江苏盐城高三(上)期中)命题“∃x∈R,使x2-ax+1<0”是真命题,则a的取值范围是.答案(-∞,-2)∪(2,+∞)9.已知p:函数y=x2+mx+1在(-1,+∞)上单调递增,q:4x2+4(m-2)x+1>0恒成立.若p或q为真,p且q为假,求m的取值范围.解析若函数y=x2+mx+1在(-1,+∞)上单调递增,则-≤-1,∴m≥2,即p:m≥2;若4x2+4(m-2)x+1>0恒成立,则Δ=16(m-2)2-16<0,解得1<m<3,即q:1<m<3.因为p或q为真,p且q为假,所以p、q一真一假,当p真q假时,解得m≥3.当p假q真时,解得1<m<2.综上可知,m的取值范围是{m|m≥3或1<m<2}.。

高考一轮复习第3章三角函数解三角形第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式

第二讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式知识梳理·双基自测知识梳理知识点一同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系： sin 2x ＋cos 2x ＝1 . (2)商数关系： sin xcos x ＝tan x .知识点二三角函数的诱导公式重要结论1．同角三角函数基本关系式的变形应用：如sin x ＝tan x·cos x，tan 2x ＋1＝1cos 2x，(sinx ＋cos x)2＝1＋2sin xcos x 等．2．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”．“奇”与“偶”指的是诱导公式k·π2＋α(k∈Z)中的整数k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k·π2＋α(k∈Z)中，将α看成锐角时k·π2＋α(k∈Z)所在的象限．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × )(2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( × )(3)sin (π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × ) (4)若sin (kπ－α)＝13(k ∈Z)，则sin α＝13.( × )[解析] (1)根据同角三角函数的基本关系式知当α，β为同角时才正确．(2)cos α≠0时才成立．(3)根据诱导公式知α为任意角．(4)当k 为奇数和偶数时，sin α的值不同．题组二走进教材2．(必修4P 22B 组T3改编)已知tan α＝12，则sin α－cos α3sin α＋2cos α＝( A )A ．－17B ．17C ．－7D ．7[解析] sin α－cos α3sin α＋2cos α＝tan α－13tan α＋2＝12－13×12＋2＝－17.故选A.3．(必修4P 22B 组T2改编)化简cos α1－sin α1＋sin α＋sin α1－co s α1＋cos α⎝⎛⎭⎪⎫π<α<3π2得( A )A ．sin α＋cos α－2B ．2－sin α－cos αC ．sin α－cos αD ．cos α－sin α[解析] 原式＝cos α1－sin α2cos 2α＋sin α1－cos α2sin 2α，∵π<α<32π，∴cos α<0，sin α<0.∴原式＝－(1－sin α)－(1－cos α)＝sin α＋cos α－2.4．(必修4P 29B 组T2改编)若sin(π＋α)＝－12，则sin(7π－α)＝ 12 ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝ 12 . [解析] 由sin(π＋α)＝－12，得sin α＝12，则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2－2π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α＝12.题组三走向高考5．(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝( D )A ．－2－ 3B ．－2＋ 3C ．2－ 3D ．2＋ 3[解析] 由正切函数的周期性可知，tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝33＋11－33＝2＋3，故选D.另：tan 225°＝tan 75°>tan 60°＝3，∴选D.6．(2015·福建)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( D )A.125B ．－125C ．512D ．－512[解析] 因为sin α＝－513，且α为第四象限角，所以cos α＝1213，所以tan α＝－512，故选D.7．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( A )A ．－79B ．－29C ．29D ．79[解析] 将sin α－cos α＝43的两边进行平方，得sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝169，即sin 2α＝－79，故选A.考点突破·互动探究考点一同角三角函数的基本关系式——师生共研例1 (1)已知α为第三象限角，cos α＝－817，则tan α＝( D )A ．－815B ．815C ．－158D ．158(2)已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为－5 .(3)若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为－3 .[解析] (1)因为α是第三象限角，cos α＝－817，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－8172＝－1517，故tan α＝sin αcos α＝158.选D.(2)由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，所以cos 2α＝910，易知cos α<0，所以cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105. (3)由角α的终边落在第三象限，得sin α<0，cos α<0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－c os α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3.名师点拨(1)已知一个角的三角函数值求这个角的其他三角函数值时，主要是利用公式sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α求解，解题时，要注意角所在的象限．并由此确定根号前的正、负号，若不能确定角所在象限要分类讨论．(2)遇sin α，cos α的齐次式常“弦化切”，如：asin α＋bcos αcsin α＋dcos α＝atan α＋b ctan α＋d ；sin αcos α＝sin αcos α1＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α； sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝sin 2α＋sin αcos α－2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋tan α－21＋tan 2α. 〔变式训练1〕(1)若α是第二象限角，tan α＝－512，则sin α＝( C )A.15 B ．－15C ．513D ．－513(2)已知α是第二象限角，化简1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α＝ 23. (3)(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝ 31010 .[解析] (1)∵tan α＝－512，∴sin αcos α＝－512.∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－125sin α2＝1，∴sin α＝±513.又α为第二象限角，∴sin α＝513，故选C.(2)解法一：原式＝1－cos 2α1＋cos 2α－sin 4α1－cos 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 6α ＝sin 2α1＋cos 2α－sin 2αsin 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α ＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α ＝2cos 2α3cos 2α＝23. 解法二：∵1－cos 4α－sin 4α＝1－(cos 2α＋sin 2α)2＋2sin 2αcos 2α＝2sin 2αcos 2α， ∴原式＝2sin 2αcos 2α1－cos 2α＋sin 2αcos 4α－cos 2αsin 2α＋sin 4α ＝2sin 2αcos 2α1－cos 4α－sin 4α＋cos 2αsin 2α ＝2sin 2αcos 2α3sin 2αcos 2α＝23. (3)由tan α＝2得sin α＝2cos α. 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝15.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝55，sin α＝255.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝55×22＋255×22＝31010. 考点二诱导公式及其应用——多维探究角度1 利用诱导公式化简三角函数式例2 (1)化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 22π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin π＋α＝－1sin α .(2)化简1－2sin 10°sin 100°cos 80°－1－sin 2170°＝－1 . [解析] (1)原式＝cos α－cos αtan 2αsin α－sin α－sin α＝－cos 2α·sin 2αcos 2αsin 3α＝－1sin α. (2)∵cos 10°>sin10°，∴原式＝1－2sin 10°cos 10°sin 10°－cos 10°＝sin 210°－2sin 10°cos 10°＋cos 210°sin 10°－cos 10°＝|sin 10°－cos 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°－cos 10°－sin 10°＝－1.角度2 “换元法”的应用例3 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是 0 .[解析] 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0. 名师点拨(1)诱导公式的两个应用方向与原则：①求值：化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了．(2)注意已知中角与所求式子中角隐含的互余、互补关系、巧用诱导公式解题，常见的互余关系有π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等，互补关系有π3＋α与2π3－α；π4＋α与3π4－α等．〔变式训练2〕(1)(角度1)已知f(α)＝sin α－3πcos 2π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos －π－αsin －π－α.①化简f(α)；②若α是第三象限的角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f(α)的值． (2)(角度2)(2021·唐山模拟)已知α为钝角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－74 ，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝ 34 .[解析] (1)①f(α)＝sin α－3πcos 2π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos －π－αsin －π－α＝－sin α·cos α·－cos α－cos α·sin α＝－cos α.②因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α，所以sin α＝－15. 又α是第三角限的角，所以cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝－265.所以f(α)＝265.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，因为α为钝角，所以34π<π4＋α<54π，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α<0.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝－74.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34.名师讲坛·素养提升sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin xcos x 之间的关系例4 (2021·北京东城模拟)已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝－125. [解析] 解法一：因为sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169，sin θcos θ＝－60169.由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x 2－713x －60169＝0的两根，所以x 1＝1213，x 2＝－513.因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0.所以sin θ＝1213，cos θ＝－513，tan θ＝sin θcos θ＝－125.解法二：同解法一，得sin θcos θ＝－60169，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝－60169，弦化切，得 tan θtan 2θ＋1＝－60169，解得tan θ＝－125或tan θ＝－512. 又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝713>0，sin θcos θ＝－60169<0.∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin θ>|cos θ|，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θcos θ＝|tan θ|>1，∴tan θ＝－125.解法三：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝713，sin 2θ＋cos 2θ＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝1213，cos θ＝－513或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－513，cos θ＝1213.(舍去)故tan θ＝－125.名师点拨sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin xcos x 之间的关系为(sin x ＋cos x)2＝1＋2sin xcos x ，(sin x －cos x)2＝1－2sin xcos x ，(sin x ＋cos x)2＋(sin x －cos x)2＝2.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．〔变式训练3〕(1)(2021·山东师大附中模拟)已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α的值为( C ) A.75 B ．725 C ．257D ．2425(2)若1sin α＋1cos α＝3，则s in αcos α＝( A )A ．－13B ．13C ．－13或1D ．13或－1 [解析] (1)解法一：∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝125，∴sin αcos α＝－1225，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴sin α<0，cos α>0，∴cos α－sin α＝sin α－cos α2＝1－2sin αcos α＝75.∴1cos 2α－sin 2α＝1cos α－sin αcos α＋sin α＝257，故选C. 解法二：由解法一知⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝－75，得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝45，sin α＝－35.∴tan α＝sin αcos α＝－34.∴1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝1＋tan 2α1－tan 2α ＝1＋9161－916＝257，故选C.(2)由1sin α＋1cos α＝3，可得sin α＋cos α＝3sin αcos α，两边平方，得1＋2sin αcosα＝3sin 2αcos 2α，解得sin αcos α＝－13或sin αcos α＝1.由题意，知－1<sin α<1，－1<cos α<1，且sin α≠0，cos α≠0，所以sin αcos α≠1，故选A.。

2019届高考数学(文)大一轮：第3章三角函数、解三角形第3节两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第三节两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．知识点一两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1．基本公式sin(α±β)＝________， cos(α±β)＝________， tan(α±β)＝________. 2．公式变形(1)tan α±tan β＝________.(2)函数f(α)＝asin α＋bcos α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 或f(α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b .答案1．sin αcos β±cos αsin β cos αcos β∓sin αsin β tan α±tan β1∓tan αtan β2．(1)tan(α±β)(1∓tan αtan β)1．sin75°的值为________．解析：sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24. 答案：6＋242．已知cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值是____. 解析：∵cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝45×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×32＝4－3310.答案：4－33103．tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝________. 解析：∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝tan20°＋tan40°1－tan20°tan40°，∴tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°) ＝3－3tan20°tan40°，∴原式＝3－3tan20°tan40°＋3tan20°tan40°＝ 3. 答案： 3知识点二二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．基本公式 sin2α＝________.cos2α＝________＝________＝________. tan2α＝________. 2．有关公式的逆用、变形等(1)cos 2α＝________，sin 2α＝________. (2)1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4. 答案1．2sin αcos α cos 2α－sin 2α 2cos 2α－1 1－2sin 2α 2tan α1－tan 2α 2.(1)1＋cos2α2 1－cos2α24．计算：tan7.5°1－tan 27.5°＝________. 解析：tan7.5°1－tan 27.5°＝12×2tan7.5°1－tan 27.5° ＝12tan15°＝12tan(45°－30°) ＝12×tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝12×1－331＋33＝2－32. 答案：2－325．(2016·浙江卷)已知2cos 2x ＋sin2x ＝Asin(ωx ＋φ)＋b(A>0)，则A ＝________，b ＝________. 解析：由于2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π4)＋1，所以A ＝2，b ＝1.答案： 2 1热点一三角公式的正用与逆用【例1】 (1)化简：＋sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0<θ<π)；(2)求值：sin50°(1＋3tan10°)．【解】 (1)由θ∈(0，π)，得0<θ2<π2，∴cos θ2>0，∴2＋2cos θ＝4cos2θ2＝2cos θ2. 又(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2＝2cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2＝－2cos θ2cos θ.故原式＝－2cos θ2cos θ2cosθ2＝－cos θ.(2)sin50°(1＋3tan10°) ＝sin50°(1＋tan60°·tan10°)＝sin50°·cos60°cos10°＋sin60°sin10°cos60°cos10°＝sin50°·cos 60°－10°cos60°cos10°＝2sin50°cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝cos10°cos10°＝1.(1)求sin7°＋cos15°sin8°cos7°－sin 15°sin8°的值；(2)求tan20°＋4sin20°的值．解：(1)原式＝－＋cos15°sin8°－－sin15°sin8°＝sin15°cos8°cos15°cos8°＝tan15°＝tan(45°－30°)＝tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝1－331＋33＝3－13＋1＝2－ 3. (2)原式＝sin20°cos20°＋4sin20°＝sin20°＋4sin20°cos20°cos20°＝sin20°＋2sin40°cos20°＝－＋＋cos20°＝32cos10°＋32sin10°cos20°＝332cos10°＋12sin10°cos20°＝3－cos20°＝ 3.热点二三角函数式求值考向1 给值求值【例2】已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．【解】 (1)∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，从而－π2<α－β<π2.又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×(－1010)＝91050.1．在本例条件下，求sin(α－2β)的值．解：∵sin(α－β)＝－1010，cos(α－β)＝31010，cos β＝91050，sin β＝131050.∴sin(α－2β)＝sin[(α－β)－β]＝sin(α－β)cos β－cos(α－β)sin β＝－2425.2．若本例中“sin α＝35”变为“tan α＝35”，其他条件不变，求tan(2α－β)的值．解：∵tan α＝35，tan(α－β)＝－13，∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋α－β1－tan αα－β＝35－131＋35×13＝29.考向2 给值求角【例3】已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．【解】 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝α－β＋tan β1－α－ββ＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2.又∵tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.(1)(2016·新课标全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin2α＝( )A.725B.15C ．－15D ．－725(2)已知cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求β的值．解析：(1)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin2α＝1825，所以sin2α＝－725，故选D. (2)解：∵π<α<3π2，3π2<α＋β<2π，∴0<β<π.又cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，∴sin α＝－513，sin(α＋β)＝－7226.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝17226×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－7226×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝－22，且0<β<π，所以β＝3π4.答案：(1)D热点三三角恒等变换的综合应用【例4】 (2016·天津卷)已知函数 f(x)＝4tanxsin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(Ⅰ)求f(x)的定义域与最小正周期；(Ⅱ)讨论f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．【解】 (Ⅰ)f(x)的定义域为{x|x≠π2＋k π，k ∈Z}．f(x)＝4tanxcosxcos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sinxcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sinx ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cosx ＋32sinx － 3＝2sinxcosx ＋23sin 2x －3＝sin2x ＋3(1－cos2x)－ 3 ＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以，f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(Ⅱ)令z ＝2x －π3，函数y ＝2sinz 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z. 由－π2＋2k π≤2x－π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x≤5π12＋k π，k ∈Z.设A ＝[－π4，π4]，B ＝{x|－π12＋k π≤x≤5π12＋k π，k ∈Z}，易知A∩B＝[－π12，π4]．所以，当x ∈[－π4，π4]时，f(x)在区间[－π12，π4]上单调递增，在区间[－π4，－π12]上单调递减.已知函数f(x)＝2cos 2ωx －1＋23sin ωxcos ωx(0<ω<1)，直线x ＝π3是函数f(x)的图象的一条对称轴．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)已知函数y ＝g(x)的图象是由y ＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin α的值．解：(1)f(x)＝cos2ωx ＋3sin2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6，由于直线x ＝π3是函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6的图象的一条对称轴，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3ω＋π6＝±1.因此2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，解得ω＝32k ＋12(k ∈Z)，又0<ω<1，所以ω＝12，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.由2k π－π2≤x＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－2π3≤x≤2k π＋π3(k ∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z)．(2)由题意可得g(x)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6，即g(x)＝2cos x2，由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝65，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故π6<α＋π6<2π3，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6·cos π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6·sin π6＝45×32－35×12＝43－310.求值、化简、证明是三角函数中最常见的题型，其解题一般思路为“五遇六想”即：遇切割，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角．“五遇六想”作为解题经验的总结和概括，操作简便，十分有效．其中蕴含了一个变换思想(找差异，抓联系，促进转化)，两种数学思想(转化思想和方程思想)，三个追求目标(化为特殊角的三角函数值，使之出现相消项或相约项)，三种变换方法(切割化弦法，消元降次法，辅助元素法)．三角恒等变换中的解题策略三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点，其公式多、变法活的特点使不少同学在学习此知识点时感到困难重重，力不从心．本文介绍了几种常用的三角恒等变换中的解题策略，旨在帮助大家全面、系统地了解和掌握三角变换中的常规思路与基本技巧，促进同学们的推理能力和运算能力的提升．策略1 从角入手，寻找关系好解题解有关三角函数的题目时，要特别注意角与角之间的关系，只要明确了其中的关系，解题就完成了一半．【例1】已知α为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则sin α＝________. 【解析】解法1：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝32cos α－12sin α＝35，①又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①可得cos 2α＝13⎝⎛⎭⎪⎫sin α＋652，代入②并整理得100sin 2α＋60sin α－39＝0，解得sin α＝43－310，或sin α＝－43＋310(舍)．解法2：因为α为锐角，即α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝43－310.【答案】43－310【点评】不少同学习惯用解法1，却往往因运算量大而出现了各种问题；解法2抓住了α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6这一关系，减少了运算量，使求解轻松简捷．策略2 从函数名入手，化切为弦助解题在有关三角函数的题目中，当正弦(余弦)与正切“相遇”时，可采用化切为弦的方法，即将正切转化为正弦(余弦)．【例2】求1＋cos20°2sin20°－sin10°⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan5°－tan5°.【解】因为1tan5°－tan5°＝cos5°sin5°－sin5°cos5°＝cos 25°－sin 25°sin5°cos5°＝2cos10°sin10°，所以原式＝2cos 210°4sin10°cos10°－sin10°·2co s10°sin10°＝cos10°2sin10°－sin20°sin10°＝cos10°2sin10°－－sin10° ＝cos10°2sin10°－cos10°－3sin10°2sin10°＝3sin10°2sin10°＝32. 策略3 从结构入手，存同化异探思路三角恒等变换中的公式较多，每个公式都有其固有的结构．解题时要善于从结构入手，存同化异，寻求结构形式的统一．【例3】 (1)已知3sin β＝sin(2α＋β)，α≠k π＋π2，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z)．求证：tan(α＋β)＝2tan α；(2)已知cosxcosy ＝12，求sinxsiny 的取值范围．【解】 (1)证明：由3sin β＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，即3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，整理可得sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)·sin α. 因为α≠k π＋π2，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z)，所以cos(α＋β)·cos α≠0，则有tan(α＋β)＝2tan α.(2)设p ＝sinxsiny ，则cos(x －y)＝cosxcosy ＋sinxsiny ＝12＋p ，cos(x ＋y)＝cosxcosy －sinxsiny ＝12－p. 因为|cos(x±y)|≤1，所以－1≤12＋p≤1，且－1≤12－p≤1，解得－12≤p≤12. 【点评】题(1)由条件向结论靠拢，从统一角的结构入手，顺利完成解题；题(2)从结构的相似(部分相似)展开联想，寻找解题突破口，亦成功解题．这两个方法都是值得重视的、从结构入手解题的常用方法．策略4 “先化简后求值”与“先局部后整体”“先化简后求值”本是初中数学中的一种题型，这里将其引申为一种解题策略．这种策略能简化解题过程，有事半功倍之功效；“先局部后整体”，则与之相反，虽其方法略显笨拙，但其逐个“击破”的策略却能降低解题难度，且解题方向明确，也是一个不错的思路．【例4】已知0<x<π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，求 cos2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值．【解】解法1(先化简后求值)：原式＝cos 2x －sin 2x22－＝2(cosx ＋sinx)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ， ∵0<x<π4，∴0<π4－x<π4，则原式＝21－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2413. 解法2(先局部后整体)：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513. 下面从两个角度求cos2x ：角度1：cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ；角度2：cos2x ＝cos 2x －sin 2x ＝(cosx －sinx)·(cosx＋sinx)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x . ∵0<x<π4，∴0<π4－x<π4，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213，故cos2x ＝2×513×1213＝120169. 所以cos2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝120169÷513＝2413. 【点评】采用“先化简后求值”解题简捷流畅，采用“先局部后整体”解题思路简单，条理清晰．两种方法各有千秋，都是值得我们重视的好方法.。

2019版高中全程复习数学(文)课时作业：第三章三角函数、解三角形19含答案

π π π ＋φ＝，求得φ＝， 12 2 3
∴f(x)＝2sin
π π 2x＋ π 3 ， 3 的图象向右平移个单位长度， g(x)＝2sin2x，故把 f(x)＝2sin 可得 g(x) 6
＝2sin
2
x－
π π 6 ＋ 3 ＝2sin2x 的图象，故选 D.
答案：D 二、填空题 π π ω>0，－ <φ< 2 2 的部分图象如图所示，则ω＝________. 6．函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)
课时作业 19 一、选择题
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及简单三角函数模型的应用
1．(2018·四川自贡一诊)将函数 y＝2sin f(x)，则函数 f(x)的单调递增区间为( )
2x＋
π 1 6 的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为 4
A.
B. C. D.
kπ－
π 5π ，kπ＋ 12 12 (k∈Z)
π 3π x＋ 4 ＋20，x∈[6,14] A．y＝10sin 8 π 5π x＋ 4 ＋20，x∈[6,14] B．y＝10sin 8 π 3π x－ 4 ＋20，x∈[6,14] C．y＝10sin 8 π 5π x＋ 8 ＋20，x∈[6,14] D．y＝10sin 8
解析：本题考查正弦函数的图象与性质．由图知 A＝10，b＝20，T＝2(14－6)＝16，所以ω＝
π π ， 3 2 上单调递减，则( A．ω＝6，φ＝ C．ω＝3，φ＝ π 2 π 2
B．ω＝6，φ＝－ D．ω＝3，φ＝－
π π ， π π 2 上单调递减．解析：因为 x＝，x＝均为函数的对称轴，且在 3 3 2
T π π π 所以＝－＝， 2 2 3 6

2019版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形3.2同角三角函数的基本关系及诱导公式课后作业理

3．2 同角三角函数的基本关系及诱导公式[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．若tan(5π＋α)＝m ，则sin α－3π ＋cos π－αsin －α －cos π＋α的值为( )A.m ＋1m －1 B.m －1m ＋1C ．－1D ．1 答案 A解析由tan(5π＋α)＝m ，得tan α＝m .原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1，故选A.2.1＋2sin π－3 cos π＋3 化简的结果是( ) A ．sin3－cos3 B ．cos3－sin3 C ．±(sin3－cos3) D ．以上都不对答案 A解析 ∵sin(π－3)＝sin3，cos(π＋3)＝－cos3， ∴1－2sin3²cos3＝ sin3－cos3 2＝|sin3－cos3|. ∵π2<3<π，∴sin3>0，cos3<0. ∴原式＝sin3－cos3，选A.3．(2017²梅州模拟)已知α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，则sin α的值是( ) A.13 B.31010 C.377 D.355 答案 B解析由tan(π－α)＋3＝0得tan α＝3，即sin αcos α＝3，sin α＝3cos α，所以sin 2α＝9(1－sin 2α)，10sin 2α＝9，sin 2α＝910.又因为α为锐角，所以sin α＝31010.故选B.4．(2017²化德县校级期末)设cos(－80°)＝m ，那么tan100°等于( ) A.1－m2m B ．－1－m2m C.m1－m2D ．－m1－m2答案 B解析 ∵cos(－80°)＝m ，∴cos80°＝m ，sin80°＝1－cos 280°＝1－m 2.∴tan100°＝－tan80°＝－1－m2m.故选B.5．(2017²郑州期末)sin40°1＋cos80°1－2sin10°cos10°＋sin10°的值为( )A.12B.22 C. 2 D.3 答案 B 解析sin40°1＋cos80°1－2sin10°cos10°＋sin10°＝sin40°²2cos40°cos10°－sin10°＋sin10°＝22sin80°cos10°＝22.故选B.6．(2017²雅安模拟)已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B.13 C ．－23 D ．－13答案 C解析 (sin θ＋cos θ)2＝169，∴1＋2sin θcos θ＝169，∴2sin θcos θ＝79，由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－79＝29，可得sin θ－cos θ＝±23.又∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，sin θ<cos θ，∴sin θ－cos θ＝－23.故选C. 7．(2017²安徽江南十校联考)已知tan α＝－34，则sin α²(sin α－cos α)＝( )A.2125B.2521C.45D.54 答案 A解析 sin α²(sin α－cos α)＝sin 2α－sin α²cos α＝sin 2α－sin α²cos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1，将tan α＝－34代入，得原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－342－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＋1＝2125，故选A. 8．cos 21°＋cos 22°＋cos 23°＋…＋cos 290°＝( ) A ．90 B ．45 C ．44.5 D ．44 答案 C解析原式＝(cos 21°＋cos 289°)＋(cos 22°＋cos 288°)＋…＋(cos 244°＋cos 246°)＋cos 245°＋cos 290°＝(cos 21°＋sin 21°)＋(cos 22°＋sin 22°)＋…＋(cos 244°＋sin 244°)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋0＝1³44＋12＋0＝44.5.故选C.9．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，则tan θ的值为( ) A ．－512B.512C ．－512或－34D ．与m 的值有关答案 A解析已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1所以m ＝8，满足题意，tan θ＝sin θcos θ＝m －34－2m ＝－512.故选A.10．已知3cos 2α＋4sin αcos α＋1＝0，则sin 4α－cos 4αsin 2α－sin αcos α＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－12 D.12答案 D解析 ∵3cos 2α＋4sin αcos α＋1＝0， ∴4cos 2α＋4sin αcos α＋sin 2α＝0， ∴(sin α＋2cos α)2＝0，∴tan α＝－2.sin 4α－cos 4αsin α sin α－cos α ＝sin 2α－cos 2αsin α sin α－cos α ＝sin α＋cos αsin α＝1＋1tan α＝12.故选D.二、填空题11．(2017²福建泉州质检)已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝________.答案－43解析由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin 2θ＋cos 2θ，得6sin θcos θ＝－8cos 2θ，又因为θ为第四象限角，所以cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－43.12．(2017²福建漳州二模)已知θ是三角形的一个内角，且sin θ、cos θ是关于x 的方程4x 2＋px －2＝0的两根，则θ等于________．答案3π4解析由题意知sin θ²cos θ＝－12，联立⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ＋cos 2θ＝1，sin θ²cos θ＝－12，得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝22，cos θ＝－22或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－22，cos θ＝22，又θ为三角形的一个内角，∴sin θ>0，则cos θ＝－22， ∴θ＝3π4.13．已知1－cos x sin x ＝－13，则1＋cos xsin x 的值是________．答案－3解析 ∵sin 2x ＋cos 2x ＝1，∴sin 2x ＝1－cos 2x ，即1－cos x sin x ＝sin x 1＋cos x ，∵1－cos x sin x ＝－13，∴1＋cos x sin x ＝sin x1－cos x＝－3. 14．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，则C ＝________.答案7π12解析由已知得⎩⎨⎧sin A ＝2sin B ，①3cos A ＝2cos B ，②①2＋②2，得2cos 2A ＝1，即cos A ＝±22，当cos A ＝22时，cos B ＝32，又A 、B 是三角形的内角，所以A ＝π4，B ＝π6，所以C ＝π－(A ＋B )＝7π12.当cos A ＝－22时，cos B ＝－32. 又A 、B 是三角形的内角，所以A ＝3π4，B ＝5π6，不合题意．综上，C ＝7π12.三、解答题15．已知－π2<α<0，且函数f (α)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin α²1＋cos α1－cos α－1.(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝15，求sin α²cos α和sin α－cos α的值．解 (1)f (α)＝sin α－sin α²1＋cos α 21－cos 2α－1＝sin α＋sin α²1＋cos αsin α－1＝sin α＋cos α.(2)由f (α)＝sin α＋cos α＝15，平方可得sin 2α＋2sin α²cos α＋cos 2α＝125，则2sin α²cos α＝－2425.∴sin α²cos α＝－1225.∵(sin α－cos α)2＝1－2sin α²cos α＝4925，又－π2<α<0，∴sin α<0，cos α>0，∴sin α－cos α<0，∴sin α－cos α＝－75.16．已知f (x )＝cos 2n π＋x ²sin 2n π－xcos 2[ 2n ＋1 π－x ](n ∈Z )． (1)化简f (x )的表达式；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫504π1009的值．解 (1)f (x )＝cos 2n π＋x ²sin 2n π－xcos 2[ 2n ＋1 π－x ] ＝cos 2x ²sin 2x cos 2x＝sin 2x . (2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫504π1009＝sin 2π2018＋sin 21008π2018 ＝sin 2π2018＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π2018 ＝sin2π2018＋cos 2π2018＝1.。

2019年高考数学(文)一轮复习第3章三角函数、解三角形第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式学案整理

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式
[ 考纲传真 ] 1. 理解同角三角函数的基本关系式：
sin
2
2
sin
α ＋ cos α ＝ 1，cos
α α ＝ tan
α .2.
能利用单位圆中的三角函数线推导出
π 2 ±α ， π ± α 的正弦、余弦、正切的诱导公式．
( 对应学生用书第 41 页 )
[ 基础知识填充 ]
1 α cos α ＝得 2sin
2 α cos α＝－，
3
3
所以 (cos
α － sin
α ) 2＝ 1－2sin
5 α cos α ＝，
3
又 α 是第二象限角，所以 cos α － sin α ＜ 0，
15 所以 cos α － sin α ＝－ 3 ，
2
2
3
15
因此 cos 2 α ＝ cos α－ sin α ＝ (cos α ＋ sin α )(cos α － sin α ) ＝ 3 × － 3 ＝
cos_ α
余弦 cos α
－ cos α
cos α
－ cos_ α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－ tan α
－ tan_ α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变符号看象限
[ 知识拓展 ]
同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)(sin α ±cos α ) 2＝1±2s in α cos α .
( 1) A
5
3
2
cos2α ＋ 4sin α cos α
(2) － 3 [(1) ∵ tan α ＝4，则 cos α ＋ 2sin 2α ＝ sin2 α ＋cos2 α ＝

2019年高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形课时分层作业二十 3.3 三角函数的图象与性

2019年高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形课时分层作业二十 3.3 三角函数的图象与性质理一、选择题(每小题5分,共25分)1.(xx·海淀区模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+)的最小正周期为π,则ω=( )A.1B.±1C.2D.±2【解析】选D.因为T=,所以|ω|==2,故ω=±2.【误区警示】解答本题易出现选C的错误答案,导致出现这种错误的原因是忽略了周期公式T=中的ω应加绝对值.2.(xx·全国卷Ⅲ)设函数f(x)=cos ,则下列结论错误的是 ( )A.f(x)的一个周期为-2πB.y=f(x)的图象关于直线x=对称C.f(x+π)的一个零点为x=D.f(x)在内单调递减【解析】选D.当x∈时,x+∈,函数在该区间内不单调.3.函数y=-2cos2+1是( )A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的非奇非偶函数【解析】选A.y=-2cos2+1=-+1=sin 2x.4.(xx·浙江高考)函数y=sin x2的图象是( )【解题指南】根据函数的奇偶性和最值判断.【解析】选D.因为y=sin x2为偶函数,所以它的图象关于y轴对称,排除A,C选项;当x2=,即x=±时,y max=1,排除B选项.5.(xx·大连模拟)已知函数f(x)=sin(ωx-)(ω>0),若函数f(x)在区间上为单调递减函数,则实数ω的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选B.因为π<x<,所以ωπ-<ωx-<-,由正弦函数的单调性可得即也即所以≤ω≤.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(xx·广州模拟)若函数f(x)=cos(ωx+)(ω∈N*)的一个对称中心是,则ω的最小值为________. 【解析】因为f=0,所以cos=0,即+=+kπ,故ω=2+6k(k∈Z),又因为ω∈N*,故ω的最小值为2. 答案:27.函数y=的定义域为________.【解析】由题意得cos x≥,故2kπ-≤x≤+2kπ(k∈Z).答案:,k∈Z8.函数y=sin x-cos x+sin xcos x的值域为________.【解析】设t=sin x-cos x,则t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x,sin xcos x=,且-≤t≤.所以y=-+t+=-(t-1)2+1.当t=1时,y max=1;当t=-时,y min=--.所以函数的值域为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(xx·北京高考)已知函数f(x)=cos(2x-)-2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求证:当x∈时,f(x)≥-.【解析】(1)f(x)=cos-2sin xcos x=cos 2x+sin 2x-sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin,所以T==π.(2)令t=2x+,因为-≤x≤,所以-≤2x+≤,因为y=sin t在上递增,在上递减,且sin<sin ,所以f(x)≥sin=-,得证.10.已知f(x)=sin.(1)求函数f(x)图象的对称轴方程.(2)求f(x)的单调递增区间.(3)当x∈时,求函数f(x)的最大值和最小值.【解析】(1)f(x)=sin,令2x+=kπ+,k∈Z,则x=+,k∈Z.所以函数f(x)图象的对称轴方程是x=+,k∈Z.(2)令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,则kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.故f(x)的单调递增区间为,k∈Z.(3)当x∈时,≤2x+≤,所以-1≤sin≤,所以-≤f(x)≤1,所以当x∈时,函数f(x)的最大值为1,最小值为-.1.(5分)已知函数f=sin(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为 ( )A. B.2 C. D.【解析】选D.因为f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数图象关于直线x=ω对称,所以f(ω)必为一个周期上的最大值,所以有ω·ω+=2kπ+,k∈Z,所以ω2=+2kπ,k∈Z.又ω-(-ω)≤·,即ω2≤,即ω2=,所以ω=.2.(5分)(xx·广州模拟)已知函数f(x)=sin ωx+cosωx(x∈R),又f(α)=2,f(β)=2,且|α-β|的最小值是,则正数ω的值为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选D.函数f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin.由f(α)=2,f(β)=2,且|α-β|的最小值是,所以函数f(x)的最小正周期T=,所以ω==4.3.(5分)(xx·深圳模拟)若函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间上是单调递减函数,且函数值从1减少到-1,则f=________.【解析】由题意知=-=,故T=π,所以ω==2,又f=1,所以sin=1.因为|φ|<,所以φ=,即f(x)=sin.故f=sin=cos=.答案:4.(12分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π.(1)求当f(x)为偶函数时φ的值.(2)若f(x)的图象过点,求f(x)的单调递增区间.【解析】由f(x)的最小正周期为π,则T==π,所以ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ).(1)当f(x)为偶函数时,f(-x)=f(x).所以sin(2x+φ)=sin(-2x+φ),展开整理得sin 2xcos φ=0,由已知上式对∀x∈R都成立,所以cos φ=0.因为0<φ<,所以φ=.(2)因为f=,所以sin=,即+φ=+2kπ或+φ=+2kπ(k∈Z),故φ=2kπ或φ=+2kπ(k∈Z),又因为0<φ<,所以φ=,即f(x)=sin,由-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z)得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),故f(x)的递增区间为.5.(13分)已知函数f(x)=asin+a+b.(1)若a=-1,求函数f(x)的单调递增区间.(2)若x∈[0,π],函数f(x)的值域是[5,8],求a,b的值.【解析】f(x)=asin+a+b.(1)当a=-1时,f(x)=-sin+b-1,由2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z),得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z),所以f(x)的单调递增区间为[2kπ+,2kπ+],k∈Z.(2)因为0≤x≤π,所以≤x+≤,所以-≤sin≤1,依题意知a≠0.①当a>0时,所以a=3-3,b=5.②当a<0时,所以a=3-3,b=8.综上所述,a=3-3,b=5或a=3-3,b=8.【变式备选】(xx·咸阳模拟)已知函数f(x)=2sin.(1)求函数的最大值及相应的x值集合.(2)求函数的单调区间.(3)求函数f(x)的图象的对称轴与对称中心.【解析】(1)当sin=1时,2x-=2kπ+,k∈Z,即x=kπ+,k∈Z,此时函数取得最大值为2;故f(x)的最大值为2,使函数取得最大值的x的集合为.(2)由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.由+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以函数f(x)的单调递减区间为,k∈Z.(3)由2x-=+kπ,k∈Z得x=+kπ,k∈Z.即函数f(x)的图象的对称轴为x=+kπ,k∈Z.由2x-=kπ,k∈Z得x=+kπ,k∈Z,即对称中心为,k∈Z.*20445 4FDD 保WXs39029 9875 页 e34649 8759 蝙 37328 91D0 釐39922 9BF2 鯲25719 6477 摷28844 70AC 炬36073 8CE9 賩。

2019版高考数学(理)(全国通用版)一轮复习课时分层作业：十九 3.2同角三角函数的基本关系及诱导公式

课时分层作业十九同角三角函数的基本关系及诱导公式一、选择题(每小题5分,共35分)1.若角α的终边落在第三象限,则+的值为 ( )A.3B.-3C.1D.-1【解析】选B.因为α是第三象限角,故sin α<0,cos α<0,所以原式=+=-1-2=-3.2.α是第四象限角,tan α=-,则sin α= ( )A. B.- C. D.-【解析】选D.因为tan α=-,所以=-,所以cos α=-sin α,代入sin2α+cos2α=1得sin α=±,又α是第四象限角,所以sin α=-.【一题多解】选D.因为tan α=-,且α是第四象限角,所以可设y=-5,x=12,所以r==13,所以sin α==-.3.已知cos 29°=a,则sin 241°·tan 151°的值是( )A. B.C.-D.-【解析】选B.sin 241°·tan 151°=sin(270°-29°)·tan(180°-29°)=(-cos 29°)·(-tan 29°)=sin 29°=.4.若sin(π-α)=-2sin,则sin α·cos α的值等于( )A.-B.-C.或-D.【解析】选A.因为sin(π-α)=-2sin,所以sin α=-2cos α,即tan α=-2,所以原式====-.【延伸探究】本题条件不变,试求的值.【解析】由sin(π-α)=-2sin知tan α=-2,所以原式====.5.若sin θ,cos θ是方程4x2+2mx+m=0的两根,则m的值为( )A.1+B.1-C.1±D.-1-【解析】选B.由题意知sin θ+cos θ=-,sin θ·cos θ=.又(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,所以=1+,解得m=1±.又Δ=4m2-16m≥0,所以m≤0或m≥4,所以m=1-.6.已知tan(α-π)=,且α∈,则sin(α+)等于 ( )A. B.- C. D.-【解析】选B.因为tan(α-π)=-tan(π-α)=tan α=>0,又α∈,所以α∈,即cos α<0,所以sin α=cos α,又因为sin2α+cos2α=1,故cos2α+cos2α=1,故cos α=-,因此sin=cos α=-.【变式备选】已知α∈,sin α=-,则cos(-α)的值为( )A.-B.C.-D.【解析】选B.因为sin α=-<0,α∈,所以α∈,故cos(-α)=cos α==.7.已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且f(4)=3,则f(2 019)的值为 ( )A.-1B.1C.3D.-3【解析】选D.因为f(4)=3,所以asin α+bcos β=3,故f(2 019) =asin(2 019π+α)+bcos(2 019π+β)=-asin α-bcos β=-(asin α+bcos β)=-3.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018·杭州模拟)已知cos2α=sin α,则+cos4α=__________.【解析】由cos2α=1-sin2α=sin α,解得sin α=(负值舍去),所以==,则+cos4α=+sin2α=+1-cos2α=+1-sin α=+1-=2.答案:29.设α是第三象限角,tan α=,则cos(π-α)=__________. 【解析】因为α为第三象限角,tan α=,所以cos α=-,所以cos(π-α)=-cos α=.答案:10.化简:=________. 【解析】原式===1.答案:1【变式备选】α为第二象限角,则cos α·+sin α·=________.【解析】原式=cos α·+sin α·=+=-1+1=0.答案:01.(5分)已知cos=且-π<α<-,则cos=( )A. B.C.-D.-【解题指南】利用角+α与-α互余,借助诱导公式及同角公式求解,但要注意角+α的范围.【解析】选D.因为-π<α<-,所以-<+α<-,又因为cos=cos=sin=-=-.2.(5分)(2018·衡水模拟)已知2θ是第一象限的角,且sin4θ+cos4θ=,那么tan θ= ( )A. B.- C. D.-【解题指南】条件中四次方先用配方法进行降次,求出sin θcos θ,后添上分母1,再将“1”用“sin2θ+cos2θ=1”代换,为了寻找与 tanθ的关系,借助于=tan θ合理转换,从而求出所求式的值.【解析】选A.因为sin4θ+cos4θ=,所以(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=,所以sin θcos θ=,所以=,所以=,解得tan θ=(舍去,这是因为2θ是第一象限的角,所以tan θ为小于1的正数)或tan θ=.3.(5分)已知sin α+2cos α=0,则2sin αcos α-cos2α=________.【解析】因为sin α=-2cos α,所以tan α=-2,原式====-1.答案:-14.(12分)已知在△ABC中,sin A+cos A=.(1)求sin Acos A的值.(2)求tan A的值.【解析】(1)因为sin A+cos A=,所以(sin A+cos A)2=,即1+2sinAcos A=,故sin A cos A=-.(2)因为sin A-cosA====, ①又sin A+cos A=, ②由①②知,sin A=,cos A=-,因此tan A==-.5.(13分)已知tan α=-,α为第二象限角.(1)求的值.(2)求++的值.【解析】(1)原式===-cos α. 因为tan α=-,α为第二象限角,所以=-.又sin2α+cos2α=1.解得cos α=-,故原式=.(2)原式=++=++=+,因为α为第二象限角,所以上式=-1-=-1-=-1.。

2019年高考数学一轮复习第三章三角函数三角恒等变换及解三角形课时训练(含答案)

第三章　三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时　任意角和弧度制及任意角的三角函数一、填空题1. 若α为第二象限角，则＋的值是________．|sin α|sin αtan α|tan α|答案：0解析：因为α为第二象限角，所以sin α＞0，＝1，tan α＜0，＝－1，所以|sin α|sin αtan α|tan α|＋＝0.|sin α|sin αtan α|tan α|2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为，则cos 45α＝________．答案：－35解析：因为点A 的纵坐标y A ＝，且点A 在第二象限．又圆O 为单位圆，所以点A 的横坐标x A ＝－.由4535三角函数的定义可得cos α＝－.353. 已知角α的终边经过点P(2，－1)，则＝________．sin α－cos αsin α＋cos α答案：－3解析：由题意得sin α＝－，cos α＝，所以＝－3.1525sin α－cos αsin α＋cos α4. (2017·泰州模拟)设α是第二象限角，P(x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝x ，则tan 15α＝________．答案：－43解析：因为α是第二象限角，所以cos α＝x<0，即x<0.又cos α＝，所以x ＝，15x x2＋1615x x2＋16解得x ＝－3，所以tan α＝＝－.4x 435. 函数y ＝的定义域为________．2sin x －1答案：(k∈Z )[2k π＋π6，2k π＋5π6]解析：∵ 2sin x －1≥0，∴ sin x≥.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)12．∴ x∈(k∈Z )．[2k π＋π6，2k π＋5π6]6. 若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a)，则a 的值为________．答案：－43解析：由三角函数的定义有tan 420°＝.又tan 420°＝tan (360°＋60°)＝tan 60°＝，故a－43＝，解得a ＝－4.a－4337. 点P 从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为2π3________．答案：(－12，32)解析：由弧长公式l ＝|α|r，l ＝，r ＝1得点P 按逆时针方向转过的角度为α＝，所以点Q 的2π32π3坐标为，即.(cos 2π3，sin 2π3)(－12，32)8. 已知角α的终边在直线y ＝－x 上，则2sin α＋cos α＝________．34答案：或－2525解析：由题意知tan α＝－，∴ α在第二象限或第四象限，34故sin α＝，cos α＝－或sin α＝－，cos α＝，35453545∴ 2sin α＋cos α＝或－.25259. 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是__________．答案：2sin 1解析：如图，∠AOB＝2弧度，过点O 作OC⊥AB于C ，并延长OC 交弧AB 于D.则∠AOD＝∠BOD＝1弧度，且AC ＝BC ＝1.在Rt△AOC 中，AO ＝＝.AC sin ∠AOC 1sin 1即r ＝，从而弧AB 的长为l ＝|α|·r＝.1sin 12sin 110. 已知角x 的终边上一点的坐标为，则角x 的最小正值为________．(sin5π6，cos 5π6)答案：5π3解析：∵ sin ＝，cos ＝－，∴ 角x 的终边经过点，所以角x 是第四象限角，5π6125π632(12，－32)tan x ＝＝－，∴ x ＝2kπ＋，k∈Z ，∴ 角x 的最小正值为.(也可用同角基本关系式tan x ＝－321235π35π3得出)sin xcos x 11. 设θ是第三象限角，且＝－cos ，则sin 的值的符号是________．|c osθ2|θ2θ2答案：＋解析：由于θ是第三象限角，所以2kπ＋π<θ<2kπ＋(k∈Z )，kπ＋<<kπ＋(k∈Z )．3π2π2θ23π4又＝－cos ，所以cos ≤0，|c osθ2|θ2θ2从而2kπ＋≤≤2kπ＋(k∈Z )．π2θ23π2综上可知：2kπ＋<<2kπ＋(k∈Z )，即是第二象限角，所以sin >0.π2θ23π4θ2θ2二、解答题12. 如图所示，动点P ，Q 从点A(4，0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q 按π3顺时针方向每秒钟转弧度，求点P ，Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧π6长．解：设点P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t·＋t·＝2π.π3|－π6|所以t ＝4(秒)，即点P ，Q 第一次相遇时所用的时间为4秒．设点P ，Q 第一次相遇点为C ，第一次相遇时点P 和点Q 已运动到终边在·4＝的位置，π34π3则x C ＝－cos ·4＝－2，y C ＝－sin ·4＝－2.π3π33所以点C 的坐标为(－2，－2)．3点P 走过的弧长为4··4＝，点Q 走过的弧长为4··4＝.π316π3π68π313. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动.(1) 若点B 的横坐标为－，求tan α的值；45(2) 若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；(3) 若α∈，请写出弓形AB 的面积S 与α的函数关系式．(0，2π3]解：(1) 由题意可得B ，根据三角函数的定义得tan α＝＝－.(－45，35)y x 34(2) 若△AOB 为等边三角形，则∠AOB＝.π3故与角α终边相同的角β的集合为{β＋2kπ，k∈Z }．|β＝π3)(3) 若α∈，则S 扇形AOB ＝αr 2＝α，α∈.(0，2π3]1212(0，2π3]而S △AOB ＝×1×1×sin α＝sin α，1212故弓形AB 的面积S ＝S 扇形AOB －S △AOB ＝α－sin α，α∈.第2课时　同角三角函数的基本关1212(0，2π3]系式与诱导公式一、填空题1. sin 750°＝________．答案：12解析：sin 750°＝sin (2×360°＋30°)＝sin 30°＝.122. 若α∈，sin α＝－，则cos(－α)的值为________．(－π2，π2)35答案：45解析：因为α∈，sin α＝－，所以cos α＝，即cos (－α)＝.(－π2，π2)3545453. (2017·镇江期末)已知α是第四象限角，sin α＝－，则tan α＝________．1213答案：－125解析：因为α是第四象限角，sin α＝－，所以cos α＝＝，故tan α＝＝－12131－sin2α513sin αcos α.125 4. 已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin(π2＋β)α的值是________．答案：31010解析：由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3.又α为锐角，故sin α＝.310105. (2017·射阳县中模拟)若f(tan x)＝sin 2x －5sin x·cos x, 则f(5)＝________．答案：0解析：由已知得f( tan x)＝＝，所以f(5)＝＝0.sin2x －5 sin x· cos x sin2x ＋ cos2x tan2x －5tan x tan2x ＋152－5×552＋16. 已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－，则sin θ＋cos θ＝________．25答案：－3125解析：由sin θ－2cos θ＝－，sin 2θ＋cos 2θ＝1，θ是第三象限角，得sin θ＝－，cos 252425θ＝－，则sin θ＋cos θ＝－.72531257. 已知sin(π－α)＝log 8，且α∈，则tan(2π－α)的值为________．14(－π2，0)答案：255解析：sin (π－α)＝sin α＝log 8＝－.1423又α∈，得cos α＝＝，(－π2，0)1－sin2α53tan (2π－α)＝tan (－α)＝－tan α＝－＝.sin αcos α2558. 已知sin θ＝2cos θ，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________．答案：45解析：由 sin θ＝2cos θ，得 tan θ＝2.sin 2θ＋sin θ cos θ－2cos 2θ＝＝＝sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θsin2θ＋cos2θtan2θ＋tan θ－2tan2θ＋1＝.22＋2－222＋1459. 设函数f(x)(x∈R )满足f(x ＋π)＝f(x)＋sin x ，当0≤x<π时，f(x)＝0，则f ＝________．(23π6)答案：12解析：由f(x ＋π)＝f(x)＋sin x ，得f(x ＋2π)＝f(x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f(x)＋sin x －sin x ＝f(x)，所以f ＝f ＝f ＝f＝f ＋sin π.因为当0≤x<π时，f(x)＝0，所以f (236π)(116π＋2π)(116π)(π＋56π)(56π)56＝0＋＝.(236π)121210. 已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 017)的值为________．答案：－3解析：∵ f(4)＝asin (4π＋α)＋bcos (4π＋β)＝asin α＋bcos β＝3，∴ f(2 017)＝asin (2 017π＋α)＋bcos (2 017π＋β)＝asin (π＋α)＋bcos (π＋β)＝－asin α－bcos β＝－(asin α＋bcos β)＝－3.二、解答题11. 已知＝－，求的值．1＋sin αcos α12cos αsin α－1 解：由同角三角函数关系式1－sin 2α＝cos 2α及题意可得cos α≠0，且1－sin α≠0，可得(1＋sin α)(1－sin α)＝cos αcos α，所以＝，所以＝－，即1＋sin αcos αcos α1－sin αcos α1－sin α12＝.cos αsin α－11212. 已知f(x)＝(n∈Z )．cos2（n π＋x ）·sin2（n π－x ）cos2[（2n ＋1）π－x](1) 化简f(x)的解析式；(2) 求f ＋f 的值．(π2 017)(2 015π4 034)解：(1) 当n 为偶数，即n ＝2k(k∈Z )时，f(x)＝＝cos2（2k π＋x ）·sin2（2k π－x ）cos2[（2·2k ＋1）π－x]cos2x·sin2（－x ）cos2（π－x ）＝＝sin 2x ；cos2x·（－sin x ）2（－cos x ）2当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k∈Z )时，f(x)＝cos2[（2k ＋1）π＋x]·sin2[（2k ＋1）π－x]cos2{[2·（2k ＋1）＋1]π－x}＝cos2（2k π＋π＋x ）·sin2（2k π＋π－x ）cos2[2·（2k ＋1）π＋π－x]＝＝＝sin 2x.cos2（π＋x ）·sin2（π－x ）cos2（π－x ）（－cos x ）2·sin2x（－cos x ）2综上，f(x)＝sin 2x.(2) 由(1)得f ＋f (π2 017)(2 015π4 034)＝sin 2＋sin 2π2 017 2 015π4 034＝sin 2＋sin 2π2 017(π2－π2 017)＝sin 2＋cos 2＝1.π2 017π2 01713. 是否存在角α和β，当α∈，β∈(0，π)时，等式(－π2，π2)同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．{sin （3π－α）＝2cos(π2－β)，3cos （－α）＝－2cos （π＋β）)解：存在α＝，β＝使等式同时成立．π4π6由{sin （3π－α）＝2cos (π2－β)，3cos （－α）＝－2cos （π＋β），)得{sin α＝2sin β，3cos α＝2cos β，)两式平方相加，得sin 2α＋3cos 2α＝2，得到cos 2α＝，即cos α＝±.1222因为α∈，所以cos α＝，所以α＝或α＝－.(－π2，π2)22π4π4将α＝代入cos α＝cos β，得cos β＝.π43232由于β∈(0，π)，所以β＝.π6将α＝－代入sin α＝sin β，得sin β＝－.由于β∈(0，π)，这样的角β不存在．π4212综上可知，存在α＝，β＝使等式同时成立．第3课时　三角函数的图象和性质π4π6一、填空题1. (必修4P 33例4改编)函数y ＝－tan＋2的定义域为____________．(x ＋π6)答案：{x |x ≠k π＋π3，)k ∈Z}解析：由x ＋≠kπ＋，k∈Z ，得x≠kπ＋，k∈Z .π6π2π32. (2017·珠海调研改编)要得到函数y ＝sin的图象，只需要将函数y ＝sin 2x 的图象作平移(2x ＋π6)变换：____________.答案：向左平移个单位π12解析：y ＝sin＝sin 2，所以要得到函数y ＝ sin 的图象，只需要将函数(2x ＋π6)(x ＋π12)(2x ＋π6)y ＝sin 2x 的图象向左平移个单位．π123. (2017·南京、盐城一模)将函数y ＝3sin 的图象向右平移φ个单位后，所得(2x ＋π3)(0<φ<π2)函数为偶函数，则φ＝________．答案：5π12解析：由题意得y ＝3sin为偶函数，所以－2φ＋＝＋kπ(k∈Z )．又0<φ<，(2（x －φ）＋π3)π3π2π2所以φ＝.5π124. 函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别是________．答案：2，－2解析：y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－(sin x ＋1)2＋2.由－1≤sin x≤1知，当sin x ＝－1时，y 取最大值2；当sin x ＝1时，y 取最小值－2.5. 若函数y ＝cos (ω∈N )图象的一个对称中心是，则ω的最小值为____________．(ωx ＋π6)(π6，0)答案：2解析：由题意知＋＝kπ＋(k∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k∈Z )⇒ωmin ＝2.πω6π6π26. (2017·苏北四市第三次调研)若函数f(x)＝2sin(2x ＋φ)的图象过点(0，)，则函(0<φ<π2)3数f(x)在[0，π]上的单调递减区间是________．答案：(π12，7π12)解析：由题意可得2sin(2×0＋φ)＝，∴ sin φ＝，φ＝，f(x)＝2sin，函数f(x)在332π3(2x ＋π3)[0，π]上的单调递减区间是.(π12，7π12)7. (2017·南京调研)如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈(0，2π))图象的一部分，则f(0)的值为________．答案：322解析：由函数图象得A ＝3，＝2[3－(－1)]＝8，解得ω＝，所以f(x)＝3sin .因为2πωπ4(π4x ＋φ)(3，0)为函数f(x)＝3sin 的一个下降零点，所以×3＋φ＝(2k ＋1)π(k∈Z )，解得(π4x ＋φ)π4φ＝＋2kπ(k∈Z )．因为φ∈(0，2π)，所以φ＝，所以f(x)＝3sin ，则f(0)＝3sin ＝π4π4(π4x ＋π4)π4.3228. 若f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值是，则ω的值为________．[0，π3]2答案：34解析：由0≤x≤，得0≤ωx≤＜，π3ωπ3π3则f(x)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，所以2sin ＝，且0＜＜，[0，π3]2ωπ32ωπ3π3所以＝，解得ω＝.ωπ3π4349. 函数f(x)＝sin πx＋cos πx＋|sin πx－cos πx|对任意的x∈R 都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则|x 2－x 1|的最小值为__________．答案：34解析：依题意得，当sin πx≥cos πx 时，f(x)＝2sin πx；当sin πx<cos πx 时，f(x)＝2cos πx.由已知可知f(x 1)，f(x 2)分别是函数f(x)的最小值与最大值，结合函数y ＝f(x)的图象可知，|x 2－x 1|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值．由于x ＝时，函数取得最大值2，x ＝时函数取得最1254小值－，所以|x 2－x 1|的最小值是－＝.254123410. 若函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是____________．(ωx －π4)(0，π2)答案：(0，32]解析：由－＋2kπ≤ωx－≤＋2kπ，k∈Z ，得－＋≤x≤＋，k∈Z .取k ＝0，得π2π4π2π4ω2k πω3π4ω2k πω－≤x≤.因为函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，所以≥，即ω≤.又π4ω3π4ω(ωx －π4)(0，π2)3π4ωπ232ω>0，所以ω的取值范围是.(0，32]11. (原创)已知函数f(x)＝cos 2x ＋sin x ，那么下列命题中是真命题的是________．(填序号)① f(x)既不是奇函数也不是偶函数；② f(x)是周期函数；③ f(x)在[－π，0]上恰有一个零点；④ f(x)在上是增函数；(π2，5π6)⑤ f(x)的值域为[0，2]．答案：①②④解析：∵ f ＝1，f＝－1，即f(－x)≠f(x)，(π2)(－π2)∴ f(x)不是偶函数．∵ x∈R ，f(0)＝1≠0，∴ f(x)不是奇函数，故①为真命题．∵ f(x)＝f(x ＋2π)，∴ T ＝2π，故函数f(x)为周期函数，故②为真命题．令f(x)＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x ＝0，则sin 2x －sinx －1＝0，解得sin x ＝，当x∈[－π，0]时，sin x ＝，由正弦函数图象可知函数f(x)在1±521－52[－π，0]上有两个零点，故③为假命题．∵ f′(x)＝2cos x·(－sin x)＋cos x ＝cos x·(1－2sin x)，当x∈时，cos x<0，<sin x<1，∴ f′(x)＝cos x·(1－2sin x)>0，(π2，5π6)12∴ f(x)在上是增函数，故④为真命题．f(x)＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1＝－(π2，5π6)＋，由－1≤sin x≤1得f(x)的值域为，故⑤为假命题．(sin x －12)2 54[－1，54]二、解答题12. 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜)的周期为π，且图象上有一个最π2低点为M .(2π3，－3)(1) 求f(x)的解析式；(2) 求使f(x)＜成立的x 的取值集合．32解：(1) 由题意知，A ＝3，ω＝2，由3sin ＝－3，得φ＋＝－＋2kπ，k∈Z ，即(4π3＋φ)4π3π2φ＝－π＋2kπ，k∈Z .116而0＜φ＜，所以k ＝1，φ＝.π2π6故f(x)＝3sin.(2x ＋π6)(2) f(x)＜等价于3sin＜，即32(2x ＋π6)32sin＜，(2x ＋π6)12于是2kπ－＜2x ＋＜2kπ＋(k∈Z )，7π6π6π6解得kπ－＜x ＜kπ(k∈Z )，2π3故使f(x)＜成立的x 的取值集合为{x|kπ－＜x ＜kπ，k∈Z }．322π313. (2017·扬州中学质检)如图，函数y ＝2cos(ωx＋φ)的部分图象与y 轴(ω>0，0≤φ≤π2)交于点(0，)，最小正周期是π.3(1) 求ω，φ的值；(2)已知点A ，点P 是该函数图象上一点，点Q(x 0，y 0)是PA 的中点，当y 0＝，x 0∈(π2，0)32时，求x 0的值．[π2，π]解：(1) 将点(0，)代入y ＝2cos(ωx＋φ)，得cos φ＝.332∵ 0≤φ≤，∴ φ＝.π2π6∵ 最小正周期T ＝π，且ω>0，∴ ω＝＝2.2πT (2) 由(1)知y ＝2cos.(2x ＋π6)∵ A ，Q(x 0，y 0)是PA 的中点，y 0＝，(π2，0)32∴ P .(2x0－π2，3)∵ 点P 在y ＝2cos的图象上，(2x ＋π6)∴ 2cos＝，∴ cos ＝－.(4x0－π＋π6)3(4x0＋π6)32∵ x 0∈，∴ 4x 0＋∈，[π2，π]π6[2π＋π6，4π＋π6]∴ 4x 0＋＝2π＋π－或4x 0＋＝2π＋π＋，π6π6π6π6∴ x 0＝或.第4课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式2π33π4一、填空题1. cos 15°的值是____________．答案：2＋64解析：cos15°＝cos(60°－45°)＝.2＋642. 计算：cos 42°cos 18°－cos 48°sin 18°＝_________．答案：12解析：原式＝sin 48°cos 18°－cos 48°sin 18°＝sin (48°－18°)＝sin 30°＝.123. 设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则cos(α＋β)的值为________．5531010答案：22解析：∵ α，β为钝角，sin α＝，cos β＝－，5531010∴ cos α＝，sin β＝，－2551010∴ cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝.224. (2017·苏锡常镇四市调研(二))已知α是第二象限角，且sin α＝，tan(α＋β)＝－2，则310tan β＝________．答案：17解析：由α是第二象限角，且sin α＝，得cos α＝－，tan α＝－3，所以tan310110β＝tan(α＋β－α)＝＝＝.tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α－2＋31＋6175. 已知α，β∈，若sin ＝，cos ＝，则sin(α－β)＝__________．(π3，5π6)(α＋π6)45(β－5π6)513答案：1665解析：由题意可得α＋∈，β－∈，所以cos＝－，sin(β－)π6(π2，π)5π6(－π2，0)(α＋π6)355π6＝－，1213所以sin(α－β)＝－sin[(α＋)－(β－)]＝－[×－×]＝.π65π645513(－35)(－1213)16656. 已知sin ＋sin α＝，则sin＝__________.(π3＋α)435(α＋7π6)答案：－45解析：sin ＋sin α＝⇒sin cos α＋cos sin α＋sin α＝⇒sin α＋cos (π3＋α)435π3π34353232α＝⇒sin α＋cos α＝，故sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝－(sin 435321245(α＋7π6)7π67π632α＋cos α)＝－.12457. 若锐角α，β满足tan α＋tan β＝－tan αtan β，则α＋β＝____________．33答案：π3解析：由已知可得＝，即tan (α＋β)＝.tan α＋tan β1－tan αtan β33又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.π38. 计算：＝________．2sin 50°－3sin 20°cos 20°答案：1解析：原式＝2sin （30°＋20°）－3sin 20°cos 20°＝2sin 30°cos 20°＋2cos 30°sin 20°－3sin 20°cos 20°＝＝1.cos 20°＋3sin 20°－3sin 20°cos 20°9. 若α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α－β)＝，则 β＝________．551010答案：π4解析：∵ α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α－β)＝，551010∴ sin α＝，cos(α－β)＝，从而cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin 25531010αsin(α－β)＝.∵ β是锐角，∴ β＝.22π410. 如图所示，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连结EC ，ED ，则sin∠CED＝__________．答案：1010解析：因为四边形ABCD 是正方形，且AE ＝AD ＝1，所以∠AED＝.π4在Rt△EBC 中，EB ＝2，BC ＝1，所以sin ∠BEC＝，cos ∠BEC＝.55255sin ∠CED＝sin (π4－∠BEC)＝cos ∠BEC－sin ∠BEC 2222＝×＝.22(255－55)1010二、解答题11. 在△ABC 中，已知sin(A ＋B)＝2sin(A －B)．(1) 若B ＝，求A ；π6(2) 若tan A ＝2，求tan B 的值．解：(1) 由条件，得sin＝2sin(A －)，(A ＋π6)π6∴ sin A ＋cos A ＝2.3212(32sin A －12cos A)化简，得sin A ＝cos A ，∴ tan A ＝.33又A∈(0，π)，∴ A ＝.π3(2) ∵ sin(A ＋B)＝2sin(A －B)，∴ sin Acos B ＋cos Asin B ＝2(sin Acos B －cos Asin B)．化简，得3cos Asin B ＝sin Acos B.又cos Acos B≠0，∴ tan A ＝3tan B.又tan A ＝2，∴ tan B ＝.2312. 已知α∈，且sin ＋cos ＝.(π2，π)α2α262(1) 求cos α的值；(2) 若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值．35(π2，π)解：(1) 已知sin ＋cos ＝，两边同时平方，α2α262得1＋2sin cos ＝，则sin α＝.α2α23212又<α<π，所以cos α＝－＝－.π21－sin2α32(2) 因为<α<π，<β<π，所以－<α－β<.π2π2π2π2又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.3545则cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－×＋×＝－.324512(－35)43＋31013. 已知函数f(x)＝sin ωxcos φ＋tan ·cos ωxsin φ的图象关3π3(ω>0，－π2≤φ<π2)于直线x ＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.π3(1) 求ω和φ的值；(2) 若f ＝，求cos 的值．(α2)34(π6＜α＜2π3)(α＋3π2)解：(1) 由已知得f(x)＝sin (ωx＋φ)，3因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T ＝π，从而ω＝＝2.2πT 又f(x)的图象关于直线x ＝对称，π3所以2·＋φ＝kπ＋，k∈Z .π3π2由－≤φ<得k ＝0，π2π2所以φ＝－＝－.π22π3π6(2) 由(1)得f(x)＝sin，3(2x －π6)所以f ＝sin＝，(α2)3(2·α2－π6)34即sin＝.(α－π6)14由<α<得0<α－<，π62π3π6π2所以cos＝＝(α－π6)1－sin2(α－π6)1－(14)2 ＝.154因此cos＝sin α＝sin (α＋3π2)[(α－π6)＋π6]＝sin cos ＋cos sin (α－π6)π6(α－π6)π6＝×＋×＝.1432154123＋158第5课时　二倍角的正弦、余弦和正切公式一、填空题1. －sin 2的值为________．12π12答案：34解析：－sin 2＝＝cos ＝×＝.12π1212(1－2sin2π12)12π61232342. 函数y ＝(sin x －cos x)2的最小正周期为__________．答案：π解析：y ＝(sin x －cos x)2＝1－2sin xcos x ＝1－sin 2x ，最小正周期T ＝π.3. 若＝－，则sin α＋cos α＝__________．cos 2αsin (α＋7π4)22答案：12解析：由已知得＝－，整理得sin α＋cos α＝.cos2α－sin2α22（sin α－cos α）22124. 已知sin(α－45°)＝－，且0°＜α＜90°，则cos 2α的值为________．210答案：725解析：由sin (α－45°)＝－，展开得sin α－cos α＝－.又sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 21015α＝，cos α＝，则cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝.35457255. 若函数f(x)＝sin 2＋cos 2－1，则函数f(x)的单调增区间是____________．(x ＋π4)(x －π4)答案：(k∈Z )[－π4＋k π，π4＋k π]解析：f(x)＝sin 2(＋x)＋sin 2(＋x)－1＝2sin 2(＋x)－1＝－cos ＝sin 2x.易得函数f(x)的π4π4π4(π2＋2x)单调增区间是(k∈Z )．[－π4＋k π，π4＋k π]6. (2017·苏州调研)已知α是第二象限角，且tan α＝－，则sin 2α＝________．13答案：－35解析：因为α是第二象限角，且tanα＝－，所以sin α＝，cos α＝－，所以sin131010310102α＝2sin αcos α＝2××(－)＝－.101031010357. 已知sin 2α＝，则cos 2＝___________．13(α－π4)答案：23解析：cos 2＝＝＝＝.(α－π4)1＋cos (2α－π2)21＋sin 2α21＋132238. 若＝2 017，则tan 2α＋＝________．1＋tan α1－tan α1cos 2α答案：2 017解析：tan 2α＋＝＋＝＝＝2 017.1cos 2α2tan α1－tan2αcos2α＋sin2αcos2α－sin2α（1＋tan α）21－tan2α1＋tan α1－tan α9. 设f(x)＝＋sin x ＋a 2sin的最大值为＋3，则常数a ＝____________．1＋cos 2x2sin (π2－x )(x ＋π4)2答案：±3解析：f(x)＝＋sin x ＋a 2sin ＝cos x ＋sin1＋2cos2x －12cos x (x ＋π4)x ＋a 2sin＝sin ＋a 2sin ＝(＋a 2)sin(x ＋)．依题意有＋a 2＝＋3，(x ＋π4)2(x ＋π4)(x ＋π4)2π422∴ a ＝±.310. 已知θ∈，且sin ＝，则tan 2θ＝________．(0，π2)(θ－π4)210答案：－247解析：由sin＝，得sin θ－cos θ＝①， θ∈，①平方得2sin θcos θ＝，(θ－π4)21015(0，π2)2425可求得sin θ＋cos θ＝，∴ sin θ＝，cos θ＝，∴ tan θ＝，tan 2θ＝＝－.754535432tan θ1－tan 2θ24711. 已知函数f(x)＝sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ－·sin (0<φ<π)，将函数f(x)的图象向1212(π2＋φ)左平移个单位后得到函数g(x)的图象，且g ＝，则φ＝________．π12(π4)12答案：2π3解析：∵ f(x)＝sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ－sin1212(π2＋φ)＝sin 2xsin φ＋cos φ－cos φ12cos 2x ＋1212＝sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ1212＝cos(2x －φ)，12∴ g(x)＝cos ＝cos .12[2(x ＋π12)－φ]12(2x ＋π6－φ)∵ g ＝，(π4)12∴ 2×＋－φ＝2kπ(k∈Z )，即φ＝－2kπ(k∈Z )．π4π62π3∵ 0<φ<π，∴ φ＝.2π3二、解答题12. (2017·江阴期初)已知函数f(x)＝sin＋sin ＋2cos 2x －1，x∈R .(2x ＋π3)(2x －π3)(1) 求函数f(x)的最小正周期；(2) 求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．[－π4，π4]解：(1) ∵ f(x)＝sin2xcos ＋cos2xsin ＋sin2xcos －cos2xsin ＋cos2x ＝sin2x ＋cos2x ＝sin，π3π3π3π32(2x ＋π4)∴ 函数f(x)的最小正周期T ＝＝π.2π2(2) ∵ 函数f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数，[－π4，π8][π8，π4]又f＝－1，f ＝，f ＝1，(－π4)(π8)2(π4)∴ 函数f(x)在上的最大值为，最小值为－1.[－π4，π4]213. 已知函数f(x)＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋cos 4x.12(1) 求f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2) 若α∈(0，π)，且f ＝，求tan 的值．(α4－π8)22(α＋π3)解：(1) f(x)＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋cos 4x ＝cos 2xsin 2x ＋cos 4x ＝(sin 4x ＋cos 4x)＝sin 12121222，(4x ＋π4)∴ f(x)的最小正周期T ＝.π2令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋π，k∈Z ，π2π432得＋≤x≤＋，k∈Z .k π2π16k π25π16∴ f(x)的单调递减区间为，k∈Z .[k π2＋π16，k π2＋5π16](2) ∵ f ＝，即sin ＝1，(α4－π8)22(α－π4)又α∈(0，π)，－<α－<，π4π43π4∴α－＝，故α＝.π4π23π4因此tan＝＝＝2－.(α＋π3)tan 3π4＋tanπ31－tan 3π4tanπ3－1＋31＋33第6课时　简单的三角恒等变换一、填空题1. 已知cos 4α－sin 4α＝，则cos 4α＝________．23答案：－19解析：∵cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos2α＝，∴cos234α＝2cos 22α－1＝2×－1＝－.(23)2 192. 若sin ＝，则cos 2α＝________．α233答案：－79解析：cosα＝1－2sin 2＝1－2×＝，cos2α＝2cos 2α－1＝2×－1＝－.α2(33)2 13(13)2 793. 在△ABC 中，若2cos Bsin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是__________．答案：等腰三角形解析：在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B)，∴ 2cos Bsin A ＝sin[π－(A ＋B)]＝sin(A ＋B)＝sin A cos B ＋cos Asin B ．∴ －sin Acos B ＋cos Asin B ＝0，即sin(B －A)＝0.∴ A ＝B ，故△ABC 的形状一定是等腰三角形．4. 在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋＝tan A·tan B ，则C ＝__________．33答案：π3解析：由已知可得tan A ＋tan B ＝(tan A·tan B －1)，3∴ tan(A ＋B)＝＝－.又0＜A ＋B ＜π，tan A ＋tan B1－tan Atan B 3∴ A ＋B ＝，∴ C ＝.2π3π35. 若2cos 2α＝sin ，且α∈，则sin 2α＝___________．(π4－α)(π2，π)答案：－78解析：由2cos 2α＝sin ，得2(cos 2α－sin 2α)＝(cos α－sin α)，所以cos α＋sin (π4－α)22α＝.又(cos α＋sin α)2＝1＋2sin α·cos α＝1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝－.2418786. 若α∈[0，2π)，则满足＝sin α＋cos α的α的取值范围是__________．1＋sin 2α 答案：∪[0，3π4][7π4，2π)解析：由＝sin α＋cos α，得sin α＋cos α＝sin≥0.因为α∈[0，2π)，1＋sin 2α2(α＋π4)2所以α的取值范围为∪.[0，3π4][7π4，2π)7. ＝___________．2cos 10°－sin 20°sin 70°答案：3解析：原式＝2cos （30°－20°）－sin 20°sin 70°＝2（cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°）－sin 20°sin 70°＝＝.3cos 20°cos 20°38. 已知sin 2α＝－，且α∈，则sin α＝________．2425(3π4，π)答案：35解析：∵ α∈，∴ cos α＜0，sin α＞0，且|cos α|＞|sin α|.又(sin α＋cos α)(3π4，π)2＝1＋sin 2α＝1－＝，2425125∴ sin α＋cos α＝－，同理可得sin α－cos α＝，1575∴ sin α＝.359. sin 18°cos 36°＝________．答案：14解析：原式＝2sin 18°cos 18°cos 36°2cos 18°＝＝＝.2sin 36°cos 36°4cos 18°sin 72°4cos 18°1410. 已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为________．12(0，π2)cos 2αsin (α－π4)答案：－142解析：由sin α＝＋cos α，得sin α－cos α＝，1212∴ (sin α－cos α)2＝，∴ 2sin αcos α＝，1434∴ (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝.74又α∈，∴ sin α＋cos α＝，(0，π2)72∴ ＝＝－(sin α＋cos α)cos 2αsin (α－π4)cos2α－sin2α22（sin α－cos α）2＝－.142二、解答题11. 已知△ABC 是锐角三角形，且sin ·cos ＝.(B －π6)(B －π3)12(1) 求角B 的值；(2) 若tan Atan C ＝3，求角A ，C 的值．解：(1) sincos (B －π6)(B －π3)＝(32sin B －12cos B )(12cos B ＋32sin B)＝sin 2B －cos 2B ＝sin 2B －＝，34141412所以sin 2B ＝.34因为B 为锐角三角形的内角，所以sin B ＝，即B ＝.32π3(2) 因为B ＝，所以A ＋C ＝.π32π3又△ABC 是锐角三角形，所以tan A ＞0，tan C ＞0.而tan(A ＋C)＝＝－，tan A ＋tan C1－tan Atan C 3所以tan A ＋tan C ＝tan Atan C －＝2　①.333又tan Atan C ＝3　②，由①②解得tan A ＝tan C ＝，所以A ＝C ＝.3π312. (2017·南通、扬州、泰州、苏北四市二模)已知sin ＝，α∈.(α＋π4)210(π2，π)(1) 求cos α的值；(2) 求sin的值．(2α－π4)解：(1) (解法1)因为α∈，所以α＋∈.(π2，π)π4(3π4，5π4)又sin＝，所以cos ＝－＝－＝－.(α＋π4)210(α＋π4)1－sin2(α＋π4)1－(210)2 7210所以cos α＝cos＝cos cos ＋sin sin ＝－×＋×＝－.[(α＋π4)－π4](α＋π4)π4(α＋π4)π47210222102235(解法2)由sin＝得，sin αcos ＋cos αsin ＝，(α＋π4)210π4π4210即sin α＋cos α＝　①.15又sin 2α＋cos 2α＝1　②.由①②解得cos α＝－或cos α＝.3545因为α∈，所以cos α＝－.(π2，π)35(2) 因为α∈，cos α＝－，(π2，π)35所以sin α＝＝＝.1－cos2α1－(－35)2 45所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，45(－35)2425cos 2α＝2cos 2α－1＝2×－1＝－.(－35)2 725所以sin＝sin 2αcos －cos 2αsin ＝×－×＝－.(2α－π4)π4π4(－2425)22(－725)221725013. (2017·泰州模拟)如图，现要在一块半径为1 m ，圆心角为的扇形白铁片AOB 上剪出一个平行四π3边形MNPQ ，使点P 在弧AB 上，点Q 在OA 上，点M ，N 在OB 上，设∠BOP＝θ，平行四边形MNPQ 的面积为S.(1) 求S 关于θ的函数关系式；(2) 求S 的最大值及相应的θ值．解：(1) 分别过P ，Q 作PD⊥OB 于点D ，QE⊥OB 于点E ，则四边形QEDP 为矩形．由扇形半径为1 m ，得PD ＝sin θ，OD ＝cos θ.在Rt△OEQ 中，OE ＝QE ＝PD ，MN ＝QP ＝DE ＝OD －OE ＝cos θ－sinθ，所以S ＝MN·PD ＝333333·sin θ＝sin θcos θ－sin 2θ，θ∈.(cos θ－33sin θ)33(0，π3)(2) 由(1)得S ＝sin 2θ－(1－cos 2θ)1236＝sin 2θ＋cos 2θ－123636＝sin－，33(2θ＋π6)36因为θ∈，所以2θ＋∈，(0，π3)π6(π6，5π6)所以sin ∈.(2θ＋π6)(12，1]当θ＝时，S max ＝(m 2)．π636第7课时　正弦定理和余弦定理一、填空题1. (2017·江阴期初)在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝3，则AC ＝________．2答案：23解析：由已知及正弦定理得＝，即AC ＝＝＝2.AC sin B BC sin A BC·sin B sin A 32·sin 45°sin 60°32. 在△ABC 中，AC ＝，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝______．3答案：2解析：由题意得B ＝180°－A －C ＝60°.由正弦定理得＝，则BC ＝，所以BC ＝AC sin B BC sin A AC·sin Asin B ＝.3×223223. 在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为，则BC 的长为____________．32答案：3解析：S ＝AB·ACsin 60°＝×2××AC ＝，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·ACcos 60°12123232＝3，所以BC ＝.34. 已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为________．答案：3解析：∵ a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴ cos A ＝.12∴ A ＝.又bc ＝4，∴ △ABC 的面积为bcsin A ＝.π31235. (2017·苏锡常镇调研(二))在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，若满足2bcos A ＝2c －a ，则角B 的大小为________．3答案：π6解析：由正弦定理得2sin Bcos A ＝2sin C －sin A ⇒2sin Bcos A ＝2sin(A ＋B)－sin A ⇒2sin33Acos B ＝sin A ．∵ A∈(0，π)，∴ cos B ＝.∵ B∈(0，π)，∴ B ＝.332π66. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c.已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A)，则A ＝________．答案：π4解析：由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ，因为b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A)，所以b 2＋b 2－2b 2cos A ＝2b 2(1－sin A)，所以cos A ＝sin A ，即tan A ＝1.因为A∈(0，π)，所以A ＝.π47. (2017·盐城诊断)在△ABC 中，cos 2＝(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长)，则△ABC 的形B 2a ＋c2c 状为________．答案：直角三角形解析：因为cos 2＝，所以2cos 2－1＝－1，所以cos B ＝，所以＝，所以B 2a ＋c 2c B 2a ＋c c a c a2＋c2－b22ac ac c 2＝a 2＋b 2.所以△ABC 为直角三角形．8. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c.若S △ABC ＝2，a ＋b ＝6，3＝2cos C ，则c ＝________．acos B ＋bcos Ac 答案：23解析：∵ ＝2cos C ，acos B ＋bcos Ac 由正弦定理，得sin Acos B ＋cos Asin B ＝2sin Ccos C ，∴ sin(A ＋B)＝sin C ＝2sin Ccos C.由于0＜C ＜π，sin C≠0，∴ cos C ＝，∴ C ＝.12π3∵ S △ABC ＝2＝absin C ＝ab ，∴ ab ＝8.31234又a ＋b ＝6，∴或{a ＝2，b ＝4){a ＝4，b ＝2，)∴ c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ＝4＋16－8＝12，∴ c ＝2.39. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足csin A ＝acos C ，则sin A ＋sin B 3的最大值是______．答案：3解析：由csin A ＝acos C ，得sin Csin A ＝sin Acos C ，即sin C ＝cos C ，∴ tan C ＝，∴ 3333C ＝，A ＝－B ，π32π3∴ sin A ＋sin B ＝sin ＋sin B ＝sin.(2π3－B )3(B ＋π6)∵ 0＜B ＜，∴ ＜B ＋＜，2π3π6π65π6∴ 当B ＋＝，即B ＝时，sin A ＋sin B 的最大值为.π6π2π3310. 在锐角三角形ABC 中，若A ＝2B ，则的取值范围是________．ab 答案：(，)23解析：因为△ABC 为锐角三角形，且A ＝2B ，所以所以<B<.{0＜2B ＜π2，0＜π－3B ＜π2，)π6π4因为A ＝2B ，sin A ＝sin 2B ＝2sin Bcos B ，所以＝＝2cos B∈(，)．a b sin Asin B 23二、解答题11. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足a 2－b 2－c 2＋bc ＝0，2bsin 3A ＝a ，BC 边上中线AM 的长为.14(1) 求角A 和角B 的大小；(2) 求△ABC 的面积．解：(1) ∵ cos A ＝＝，∴ A ＝.b2＋c2－a22bc 32π6由2bsin A ＝a ，得b ＝a ，∴ B ＝A ＝.π6(2) 设AC ＝BC ＝x ，由余弦定理，得AM 2＝x 2＋－2x··＝()2，解得x ＝2，故S △ABC ＝×2×2×＝2.x24x 2(－12)142122232312. (2017·江西联考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且·a2＋b2－c2ab ＝1.(a c cos B ＋bc cos A )(1) 求角C ；(2) 若c ＝，△ABC 的周长为5＋，求△ABC 的面积S.77 解：(1) 由正弦定理与余弦定理，得2cos C(sin Acos B ＋sin Bcos A)＝sin C ，即2cos Csin(A ＋B)＝sin C ，∴ 2sin Ccos C ＝sin C ，故cos C ＝，∴ C ＝.12π3(2) ∵ a ＋b ＋c ＝5＋且c ＝，∴ a ＋b ＝5.77由余弦定理，得a 2＋b 2－2abcos C ＝c 2，∴ (a ＋b)2－2ab －2abcos C ＝7，∴ 52－3ab ＝7，∴ ab ＝6，S △ABC ＝absin C ＝.1233213. (2017·苏州期中)已知函数f(x)＝2sincos x ．(1) 若0≤x≤ ，求函数f(x)的值域；(x ＋π3)π2(2) 设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若A 为锐角，且f(A)＝，b ＝2，c ＝3，求cos(A －B)的值．32 解：(1)f(x)＝2sincos x ＝(sin x ＋cos x)cos x ＝sinx cos x ＋cos 2x ＝sin 2x ＋cos (x ＋π3)3312322x ＋＝sin ＋.32(2x ＋π3)32由0≤x≤，得≤2x＋≤，π2π3π34π3∴－ ≤sin≤1，32(2x ＋π3)∴ 0≤sin＋≤1＋，(2x ＋π3)3232∴ 函数f(x)的值域为.[0，1＋32](2)由f(A)＝sin＋＝，(2A ＋π3)3232得sin＝0，(2A ＋π3)又0＜A ＜，∴ ＜2A ＋＜，π2π3π34π3∴ 2A ＋＝π，解得A ＝.π3π3在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝7，解得a ＝.7由正弦定理＝，得sin B ＝＝.a sin Ab sin B bsin Aa217∵ b ＜a ，∴ B ＜A ，∴ cos B ＝，277∴ cos(A －B)＝cos Acos B ＋sin Asin B ＝×＋×＝.12277322175714第8课时　解三角形应用举例一、填空题1. 在相距2 km 的A ，B 两点处测量目标C ，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A ，C 两点之间的距离是________km.答案：6解析：由题意知∠ACB＝45°，由正弦定理得＝，∴ AC ＝×＝.AC sin 60°2sin 45°2223262. 如图，在坡度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15，向山顶前进100 m 后，又从点B 测得斜度为，假设建筑物高50 m ，设山坡对于地平面的坡角为，则cos ＝________．答案：－13解析：在△ABC 中，AB ＝ 100 m , CAB ＝15°，45°－15°＝ 30°.由正弦定理＝，∴ BC ＝ 200sin 15°.100sin 30°BCsin 15°在△DBC 中，CD ＝50 m ，CBD ＝45°，CDB ＝90°＋，由正弦定理得＝，∴ cos θ＝－1.50sin 45°200sin 15°sin （90°＋θ）33. 如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为________．答案：45°解析：依题意可得AD ＝20 m ，AC ＝30 m ，又CD ＝50m ，所以在△ACD 中，由余弦定理，得105cos∠CAD＝＝＝＝.AC2＋AD2－CD22AC·AD （305）2＋（2010）2－5022×305×2010 6 0006 000222又0°＜∠CAD＜180°，所以∠CAD＝45°，即从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.4. 如图，某住宅小区的平面图为圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD.已知某人从O 沿OD 走到D 用了2 min ，从D 沿着DC 走到C 用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min ，则该扇形的半径为________m.答案：507解析：如图，连结OC ，在△OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理可得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×＝17 500，解得OC ＝50 m.1275. 如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距8 n mile.此船的航速是2__________n mile/h.答案：32。

2019届高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第三节三角函数的图象与性质课时作业

第三节三角函数的图象与性质课时作业 A 组——基础对点练1．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期T ＝2π2＝π，且为奇函数，其图象关于原点对称，故A 正确；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于y 轴对称，故B 不正确；C ，D 均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C ，D 不正确．答案：A2．已知函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23，1 B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫16，13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫16，23解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧π2ω≥π2，3ωπ＝k π，即⎩⎪⎨⎪⎧0<ω≤1，ω＝k 3，其中k ∈Z ，则ω＝13，ω＝23或ω＝1，即ω的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23，1.答案：A3．(2018·长春调研)函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2图象的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝π4B ．x ＝π3C ．x ＝π2D ．x ＝π解析：f (x )＝(sin x ＋cos x )2＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＝1＋sin 2x ，将各选项代入验证可知，当x ＝π4时，f (x )取得最值，故选A.答案：A4．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)D ⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z) 解析：由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z)，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)．答案：B5．(2018·云南五市联考)若函数f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间[0，π3]上的最大值为1，则ω＝( ) A.14 B ．13 C.12D ．32解析：因为0＜ω＜1,0≤x ≤π3，所以0≤ωx ＜π3.所以f (x )在区间[0，π3]上单调递增，则f (x )max ＝f (π3)＝2sin ωπ3＝1，即sin ωπ3＝12.又0≤ωx ＜π3，所以ωπ3＝π6，解得ω＝12，选C. 答案：C6．函数f (x )＝3cos 2x 2－12sin x －32(x ∈[0，π])的单调递增区间为( ) A ．[0，5π6]B ．[0，2π3]C ．[5π6，π]D ．[2π3，π]解析：f (x )＝3cos 2x 2－12sin x －32＝32(2cos 2x 2－1)－12sin x ＝32cos x －12sin x ＝cos(x ＋π6)，由2k π－π≤x ＋π6≤2k π(k ∈Z)，得2k π－7π6≤x ≤2k π－π6(k ∈Z)，又x ∈[0，π]，所以当k ＝1时，f (x )的单调递增区间为[5π6，π]，故选C.答案：C7．函数y ＝(sin x ＋cos x )2－1是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数解析：y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x －1＝sin 2x ，故选C. 答案：C8．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6等于( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0D ．－2或0解析：因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.答案：B9．已知函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω＞0)在(0，π)上有且只有两个零点，则实数ω 的取值范围为( ) A ．(0，43]B ．(43，73]C ．(73，103]D ．(103，133]解析：易得f (x )＝2sin(ωx －π3)，设t ＝ωx －π3，因为0＜x ＜π，所以－π3＜t ＜ωπ－π3，因为函数f (x )在(0，π)上有且仅有两个零点，所以π＜ωπ－π3≤2π，解得43＜ω≤73，故选B. 答案：B10.(2018·长沙模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为π12和7π12，图象在y 轴上的截距为3，给出下列四个结论：①f (x )的最小正周期为π；②f (x )的最大值为2；③f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1；④f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6为奇函数．其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由图知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π，则ω＝2，由2×π12＋φ＝π2，得φ＝π3.由f (0)＝3，得A sin π3＝3，即A ＝2.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝2cos π3＝1，f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝2sin 2x 为奇函数．所以四个结论都正确．答案：D11．已知x ∈(0，π]，关于x 的方程2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝a 有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围为__________．解析：令y 1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈(0，π]，y 2＝a ，作出y 1的图象如图所示．若2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝a 在(0，π]上有两个不同的实数解，则y 1与y 2应有两个不同的交点，所以3<a <2. 答案：(3，2)12．若函数f (x )＝sin(x ＋φ)＋cos(x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2为偶函数，则φ＝__________.解析：由题意可知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2为偶函数，所以φ＋π4＝π2＋k π(k∈Z)．又由|φ|<π2，得φ＝π4.答案：π413．当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x ＜2π)取得最大值时，x ＝________.解析：由已知条件可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，又由0≤x ＜2π得－π3≤x －π3＜5π3，当x －π3＝π2时y 取得最大值，此时x ＝5π6. 答案：5π6B 组——能力提升练1．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2内的图象是( )解析：y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2tan x ，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤π2，π，2sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，对比选项，可知选D. 答案：D2．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－2，则f (x )的一个单调递增区间可以是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π8，9π8C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π8D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－2，∴－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1.∴π4＋φ＝π2＋2k π，又∵|φ|<π，∴φ＝π4，∴f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.由2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，k∈Z ，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z.当k ＝0时，得π8≤x ≤5π8.即f (x )的一个单调递增区间可以是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8.答案：D3．若函数y ＝tan ωx (ω∈N *)的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值是( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：因为正切函数f (x )＝tan x 图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z)，且函数y ＝tan ωx (ω∈N *)的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，所以πω6＝k π2(k ∈Z)，因此ω＝3k (k ∈Z)．因为ω∈N *，所以当k ＝1时，ω取得最小值3，故选B. 答案：B4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与直线y ＝b (0<b <A )相交，其中一个交点P 的横坐标为4，若与P 相邻的两个交点的横坐标为2,8，则f (x )的单调递减区间为( )A ．[6k π，6k π＋3]，k ∈ZB ．[6k －3,6k ]，k ∈ZC ．[6k,6k ＋3]，k ∈ZD ．[6k π－3,6k π]，k ∈Z解析：根据题设中提供的数据信息可知周期T ＝6，结合f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象可知f (x )在区间[6k －3,6k ]，k ∈Z 上是单调递减的，故选B. 答案：B5．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0＝( )A.5π12 B ．π4C.π3D ．π6解析：由题意得T 2＝π2，T ＝π，则ω＝2.由2x 0＋π6＝k π(k ∈Z)，得x 0＝k π2－π12(k ∈Z)，又x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以x 0＝5π12. 答案：A6．已知函数f (x )＝cos2ωx 2＋32sin ωx －12(ω＞0)，x ∈R ，若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω 的取值范围是( ) A ．(0，512]B ．(0，512]∪[56，1112)C ．(0，56]D ．(0，512]∪[56，1112]解析：函数f (x )＝cos2ωx 2＋32sin ωx －12＝12cos ωx ＋32sin ωx ＝sin(ωx ＋π6)，可得T＝2πω≥π，0＜ω≤2，f (x )在区间(π，2π)内没有零点，函数的图象如图两种类型，结合三角函数可得：⎩⎪⎨⎪⎧ωπ＋π62ωπ＋π6≤π或⎩⎪⎨⎪⎧πω＋π6≥π2ωπ＋π6≤2π，解得ω∈(0，512]∪[56，1112)．答案：B7．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3B ．[－3,3] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 解析：因为两个函数图象的对称轴完全相同，所以这两个函数的周期相同，即ω＝2，所以函数f (x )＝3sin(2x －π6)．当x ∈[0，π2]时，2x －π6∈[－π6，5π6]，由正弦函数的图象及其性质知， f (x )min ＝f (0)＝－32，f (x )max ＝f (π3)＝3，故选A.答案：A8．(2018·长沙市模拟)已知函数f (x )＝32sin(x ＋π6)－12cos(x ＋π6)，若存在x 1，x 2，…，x n 满足0≤x 1＜x 2＜…＜x n ≤6π，且|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|＋…＋|f (x n －1)－f (x n )|＝12(n ≥2，n ∈N *)，则n 的最小值为( ) A ．6 B ．10 C ．8D ．12解析：f (x )＝32sin(x ＋π6)－12cos(x ＋π6)＝sin(x ＋π6－π6)＝sin x ，所以|f (x n －1)－f (x n )|≤2，又|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|＋…＋|f (x n －1)－f (x n )|＝12(n ≥2，n ∈N *)，所以要使n 取最小值，需x 1＝0，x 2＝π2，x 3＝3π2，x 4＝5π2，…，x 7＝11π2，x 8＝6π.故满足条件的最小整数n 为8. 答案：C9．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R)，则f (x )( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是减函数B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数 C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是增函数D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6上是减函数解析：由f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3可知，f (x )的最小正周期为π.由k π≤x ＋π3≤π2＋k π(k ∈Z)，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z)，即f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z)上单调递增；由π2＋k π≤x ＋π3≤π＋k π(k ∈Z)，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z)，即f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)上单调递减．将各选项逐项代入验证，可知B 正确．答案：B10．若函数f (x )同时具有以下两个性质：①f (x )是偶函数；②对任意实数x ，都有f ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝cos xB ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π2D ．f (x )＝cos 6x解析：由题意可得，函数f (x )是偶函数，且它的图象关于直线x ＝π4对称．因为f (x )＝cosx 是偶函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝22，不是最值，故不满足图象关于直线x ＝π4对称，故排除A.因为函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 是奇函数，不满足条件①，故排除 B.因为函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π2＝cos 4x 是偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－1，是最小值，故满足图象关于直线x ＝π4对称，故C 满足条件．因为函数f (x )＝cos 6x 是偶函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，不是最值，故不满足图象关于直线x ＝π4对称，故排除D.答案：C11．已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2图象相邻对称轴间的距离为π2，f (0)＝12，则g (x )＝2cos(ωx ＋φ)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－ 3B ．－2C ．－1D ．1解析：由题意得函数f (x )的最小正周期为π，则ω＝2，由f (0)＝12，可得φ＝π6，所以g (x )＝2cos(ωx ＋φ)即为g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，76π，得－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤32，则g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－2.答案：B12．已知函数f (x )＝2cos 22x －2.给出下列命题：①∃β∈R ，f (x ＋β)为奇函数；②∃α∈(0，3π4)，f (x )＝f (x ＋2α)对x ∈R 恒成立；③∀x 1，x 2∈R ，若|f (x 1)－f (x 2)|＝2，则|x 1－x 2|的最小值为π4；④∀x 1，x 2∈R ，若f (x 1)＝f (x 2)＝0，则x 1－x 2＝k π(k ∈Z)．其中的真命题有( ) A ．①② B ．③④ C ．②③D ．①④解析：由题意，f (x )＝2cos 22x －2＝cos 4x －1.对于①，f (x )＝cos 4x －1的图象如图所示，函数f (x ＋β)的图象是f (x )的图象向左或向右平移|β|个单位长度得到的，它不会是奇函数，故①错误；对于②，f (x )＝f (x ＋2α)，所以cos 4x －1＝cos(4x ＋8α)－1，所以8α＝2k π，k ∈Z ，所以α＝k π4，k ∈Z.又α∈(0，3π4)，所以取α＝π4或π2时，f (x )＝f (x ＋2α)对x ∈R 恒成立，故②正确；对于③，|f (x 1)－f (x 2)|＝|cos 4x 1－cos 4x 2|＝2时，|x 1－x 2|的最小值为T 2＝2π2×4＝π4，所以③正确；对于④，∀x 1，x 2∈R ，当f (x 1)＝f (x 2)＝0时，x 1－x 2＝kT ＝k ·2π4＝k π2，k ∈Z ，所以④错误．综上，真命题是②③，故选C.答案：C13．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是__________．解析：由2x ＋π4＝k π(k ∈Z)得，x ＝k π2－π8(k ∈Z)．∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z.答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z 14．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为__________．解析：由f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6知，f (x )有对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π知f (x )有对称轴x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋23π＝712π.记f (x )的最小正周期为T ，则12T ≥π2－π6，即T ≥23π.故712π－π3＝π4＝T4，解得T ＝π. 答案：π15．已知函数：①f (x )＝2sin(2x ＋π3)；②f (x )＝2sin(2x －π6)；③f (x )＝2sin(12x ＋π3)；④f (x )＝2sin(2x －π3)．其中，最小正周期为π且图象关于直线x ＝π3对称的函数序号是________．解析：对于①，其最小正周期T ＝2π2＝π，其图象的对称轴为2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，即11 x ＝k π2＋π12(k ∈Z)，显然x ＝π3不是函数f (x )＝2sin(2x ＋π3)图象的对称轴，①错误；对于②，其最小正周期T ＝2π2＝π，其图象的对称轴为2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z)，即x ＝k π2＋π3(k ∈Z)，显然x ＝π3是函数f (x )＝2sin(2x －π6)图象的对称轴，②正确；对于③，其最小正周期T ＝2π12＝4π，③错误；对于④，其最小正周期T ＝2π2＝π，其图象的对称轴为2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z)，即x ＝k π2＋5π12(k ∈Z)，显然x ＝π3不是函数f (x )＝2sin(2x －π3)图象的对称轴，④错误．答案：②。

2019届高考数学一轮复习第3单元三角函数、解三角形作业理

第三单元三角函数、解三角形课时作业(十六)第16讲任意角和弧度制及任意角的三角函数基础热身1.下列说法中正确的是()A.第一象限角一定不是负角B.不相等的角,它们的终边必不相同C.钝角一定是第二象限角D.终边与始边均相同的两个角一定相等2.[2017·南充模拟]若角α的终边经过点P0(-3,-4),则tan α=()A.B.C.-D.-3.已知点P,-在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为 ()A.B.C.D.4.扇形的周长是16,圆心角是2弧度,则扇形面积是()A.16πB.32πC.16D.325.已知角α的终边在图K16-1中阴影表示的范围内(不包括边界),那么角α用集合可表示为.图K16-1能力提升6.若α是第三象限角,则下列各式中不成立的是()A.sin α+cos α<0B.tan α-sin α<0C.cos α-tan α<0D.tan αsin α<07.已知集合M={x|x=k·90°+45°,k∈Z},N={x|x=k·45°+90°,k∈Z},则有()A.M=NB.N⊆MC.M⊆ND.M∩N=⌀8.若sin θ·cos θ>0,sin θ+cos θ<0,则θ在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.已知角α的终边过点P(-8m,-6sin 30°),且cos α=-,则m的值为()A.-B.-C. D.10.角α的终边与直线y=3x重合,且sin α<0,又P(m,n)是角α终边上一点,且|OP|=(O 为坐标原点),则m-n等于()A.2B.-2C.4D.-411.角α的顶点在坐标原点O,始边在y轴的正半轴上,终边与单位圆交于第三象限内的点P,且tan α=-;角β的顶点在坐标原点O,始边在x轴的正半轴上,终边与单位圆交于第二象限内的点Q,且tan β=-2.对于下列结论:①P-,-;②|PQ|2=;③cos∠POQ=-;④△POQ的面积为.其中正确结论的编号是()A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④12.若△ABC的两内角A,B满足sin A cos B<0,则△ABC的形状是.13.cos 1·cos 2·cos 3·cos 4的符号为(填“正”或“负”).14.[2017·泉州二模]在平面直角坐标系xOy中,角θ的终边经过点P(x,1)(x≥1),则cos θ+sin θ的取值范围是.难点突破15.(5分)[2017·吉林、黑龙江两省八校联考]《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式,即弧田面积=×(弦×矢+矢2).弧田(如图K16-2)由圆弧和其所对弦围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,现有圆心角为,半径为6米的弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积大约是平方米.(结果保留整数,≈1.73)图K16-216.(5分)若角α的终边落在直线y=x上,角β的终边与单位圆交于点,m,且sin α·cos β<0,则cos α·sin β= .课时作业(十七)第17讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式基础热身1.[2017·天水二中期中] tan 390°=()A.-B.C.D.-2.[2017·成都一诊]已知α为锐角,且sin α=,则cos(π+α)=()A.-B.C.-D.3.[2017·宁德质检]已知sinα+=,则cosα-的值为 ()A. B.C.-D.-4.已知tan θ=2,则的值为()A. B.1C.-D.-15.[2017·东莞四校联考] 已知sin α=,≤α≤π,则tan α= .能力提升6.[2017·潮州二模] 已知sin α-=,则cos α+= ( )A .-B .C .-D .7.[2017·衡阳四中月考] 若sin x=2sin x+,则cos x cos x+= ( )A .B .-C .D .-8.[2017·重庆一中月考] 已知α∈π,2π,且满足cos α+π=,则sin α+cosα= ( )A .-B .-C .D .9.[2018·岳阳一中一模] 已知sin x+cos x=,x ∈(0,π),则tan x= ( )A.-B.C.D.-10.若三角形ABC中,sin(A+B)sin(A-B)=sin2C,则此三角形一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形11.[2017·沈阳三模]若=2,则cos α-3sin α=()A.-3B.3C.-D.12.设tan α=3,则=()A.3B.2C.1D.-113.已知sin θ,cos θ是方程4x2-4mx+2m-1=0的两个根,<θ<2π,则θ=()A.B.C.D.14.已知A,B为△ABC的两个内角,若sin(2π+A)=-·sin(2π-B),cos A=-cos(π-B),则角B=.难点突破15.(5分)已知=3+2,则sin x(sin x-3cos x)的值为.16.(5分)已知sin α+cos α=-,且<α<π,则+的值为.课时作业(十八)第18讲三角函数的图像与性质基础热身1.已知函数y=cosωx-的周期为π,则ω的值为 ()A.1B.2C.±1D.±22.已知函数f(x)=2sin-2x,则函数f(x)的单调递减区间为()A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)3.已知函数f(x)=-sin x+(x∈R),则下面结论中错误的是()A.函数f(x)的最小正周期为2πB.函数f(x)在区间上是增函数C.函数f(x)的图像关于直线x=0对称D.函数f(x)是奇函数4.[2017·天水二中期中]下列函数中,最小正周期为π,且图像关于直线x=对称的是()A.y=sinB.y=sinC.y=sinD.y=sin5.函数y=的定义域是.能力提升6.[2017·太原五中段考]给出下列函数:①y=cos|2x|,②y=|cosx|,③y=sin2x+,④y=tan|x|.其中周期为π的所有偶函数为()A.①②B.①②③C.②④D.①③7.[2017·枣庄八中月考]已知函数f(x)=2sin的定义域为[a,b],值域为[-1,2],则b-a的值不可能是()A.B.2πC.D.8.[2017·许昌二模]若函数y=sin(2x+φ)0<φ<的图像的对称中心在区间,内有且只有一个,则φ的值可以是()A.B.C. D.9.[2017·龙岩六校联考]已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f(x)≤f对任意x∈R恒成立,且f>0,则f(x)的单调递减区间是()A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ),其图像相邻的两条对称轴方程为x=0与x=,则()A.f(x)的最小正周期为2π,且在(0,π)上为增函数B.f(x)的最小正周期为2π,且在(0,π)上为减函数C.f(x)的最小正周期为π,且在上为增函数D.f(x)的最小正周期为π,且在上为减函数11.[2017·昆明三模]已知函数f(x)=sinωx+(ω>0),A,B是函数图像上相邻的最高点和最低点,若|AB|=2,则f(1)= .12.[2017·荆州中学二模]已知函数y=3cos(2x+φ)的图像关于点,0中心对称,则|φ|的最小值为.13.(15分)[2017·衡水冀州中学月考]已知函数f(x)=sin2x-.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)的单调递增区间;(3)当x∈0,时,求函数f(x)的最小值,并求出使y=f(x)取得最小值时相应的x值.14.(15分)[2017·安阳林州一中期中]已知函数f(x)=cos(ωx+φ)ω>0,0<φ<的最小正周期为π,且f=-.(1)求ω和φ的值;(2)若f(x)>,求x的取值范围.难点突破15.(5分)[2017·湖北部分重点中学模拟]设函数f(x)=4cos(ωx+φ)对任意的x∈R,都有f(-x)=f+x,若函数g(x)=sin(ωx+φ)-2,则g的值是()A.1B.-5或3C. D.-216.(5分)[2017·安阳林州一中期中]已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)+1ω>0,|φ|<,其图像与直线y=3相邻两个交点的距离为,若f(x)>1对任意x∈-,恒成立,则φ的取值范围是()A.B.C.D.加练一课(三) 三角函数的性质一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.[2017·资阳一诊]函数y=sin2x-的图像的一条对称轴方程为()A.x=B.x=-C.x=D.x=-2.函数y=的定义域为 ()A.B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.R3.下列函数中,最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是()A.y=cosB.y=sinC.y=sin 2x+cos 2xD.y=sin x+cos x4.[2017·襄阳四校联考]将函数f(x)=2sin2x-+1的图像上各点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的,所得图像的一个对称中心可能是()A.B.C.D.5.[2018·衡水中学二调]已知函数f(x)=a sin x+cos x(a为常数,x∈R)的图像关于直线x=对称,则函数g(x)=sin x+a cos x的图像 ()A.关于直线x=对称B.关于点对称C.关于点对称D.关于直线x=对称6.设函数f(x)=sin2x++cos2x+,则()A.f(x)在上单调递增,其图像关于直线x=对称B.f(x)在上单调递增,其图像关于直线x=对称C.f(x)在上单调递减,其图像关于直线x=对称D.f(x)在上单调递减,其图像关于直线x=对称7.若f(x)=2cos(2x+φ)(φ>0)的图像关于直线x=对称,且当φ取最小值时,存在x0∈0,,使得f(x0)=a,则a的取值范围是 ()A.(-1,2]B.[-2,-1)C.(-1,1)D.[-2,1)8.[2018·广雅中学、河南名校联考]已知函数f(x)=cos(2x+θ)|θ|≤在-,-上单调递增,若f≤m恒成立,则实数m的取值范围为()A.B.C.[1,+∞)D.9.设函数f(x)=sin(ωx+φ),A>0,ω>0,若f(x)在区间,上单调,且f=f=-f,则f(x)的最小正周期为()A. B.2πC.4πD.π10.[2017·河北武邑中学调研]已知函数f(x)=sin x-a cos x图像的一条对称轴为x=π,记函数f(x)的两个极值点分别为x1,x2,则|x1+x2|的最小值为()A.B. C. D.0二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)11.[2017·沧州一中月考]函数y=log3(2cos x+1),x∈-,的值域为.12.[2018·鞍山一中一模]函数f(x)=2sin x cos x+cos 2x的周期为.13.[2018·海南八校联考]函数y=sin x+cos x+2sin x cos x x∈-,的最小值是.14.函数f(x)=3sin2x-的图像为C,如下结论中正确的是.(写出所有正确结论的编号).①图像C关于直线x=π对称;②图像C关于点,0对称;③函数f(x)在区间-,内是增函数;④由y=3sin 2x的图像向右平移个单位长度可以得到图像C.课时作业(十九)第19讲函数y=A sin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用基础热身1.[2017·东莞四校联考]为了得到函数y=sin2x-的图像,可以将函数y=sin 2x的图像()A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度2.[2017·郴州三模]函数f(x)=2sin2x-的图像关于直线x=x0对称,则|x0|的最小值为()A.B. C. D.3.[2017·榆林三模]函数f(x)=A sin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图像如图K19-1所示,则ω,φ的值分别为 ()A.2,0B.2,C.2,-D.2,图K19-14.[2017·昆明一中月考]函数f(x)=cos(ωx+φ)ω>0,|φ|<的部分图像如图K19-2所示,则φ的值为()A. B.C.-D.-图K19-25.已知函数f(x)=A tan(ωx+φ)ω>0,|φ|<的部分图像如图K19-3所示,则f= .图K19-3能力提升6.[2017·江西百所重点高中联考]函数f(x)=sin(πx+θ)|θ|<的部分图像如图K19-4所示,且f(0)=-,则图中m的值为()图K19-4A.1B.C.2D.或27.[2017·绵阳三诊]已知函数f(x)=4cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,A(a,0),B(b,0)是其图像上两点,若|a-b|的最小值是1,则f=()A.2B.-2C.D.-8.[2017·辽南协作体三模]已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)A>0,|φ|<的图像在y轴左侧的第一个最高点为-,3,第一个最低点为-,m,则函数f(x)的解析式为()A.f(x)=3sinB.f(x)=3sinC.f(x)=3sinD.f(x)=3sin9.[2017·泉州二模]已知曲线C:y=sin(2x+φ)|φ|<的一条对称轴方程为x=,曲线C向左平移θ(θ>0)个单位长度,得到的曲线E的一个对称中心为,0,则|φ-θ|的最小值是()A.B.C. D.10.[2017·成都九校联考]已知函数f(x)=A sin(2x+φ)-A>0,0<φ<的图像在y轴上的截距为1,且关于直线x=对称,若对于任意的x∈0,,都有m2-3m≤f(x),则实数m的取值范围为()A.B.[1,2]C.D.11.某实验室一天的温度(单位:摄氏度)随时刻t(单位:时)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-·cos t-sin t,t∈[0,24),则该实验室这一天的最大温差是.12.[2017·柳州、钦州一模]将函数f(x)=3sin4x+图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图像,则y=g(x)的解析式为.13.(15分)[2017·衡阳十校联考]已知函数f(x)=sin2x++sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若函数g(x)对任意x∈R,有g(x)=f x+,求函数g(x)在-,上的值域.14.(15分)[2017·台州质量评估]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤的最小正周期为π,且x=为f(x)图像的一条对称轴.(1)求ω和φ的值;(2)设函数g(x)=f(x)+f x-,求g(x)的单调递减区间.难点突破15.(5分)将函数f(x)=3sin2x+的图像向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到g(x)的图像,若g(x1)g(x2)=16,且x1,x2∈-,,则2x1-x2的最大值为()A.B.C.D.16.(5分)[2017·芜湖质检]将函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图像向左平移个单位长度得到函数g(x)的图像,若函数g(x)的图像关于直线x=ω对称且在区间(-ω,ω)内单调递增,则ω的值为()A.B.C.D.课时作业(二十)第20讲两角和与差的正弦、余弦和正切基础热身1.cos 70°sin50°-cos 200°sin40°的值为()A.-B.-C. D.2.函数y=sin x+cos x的最小值为()A.1B.2C.D.-23.[2017·哈尔滨九中二模]若2sinθ+=3sin-θ,则tan θ=()A.-B.C.D.24.在△ABC中,sin A=,cos B=,则cos C=()A.-B.-C.±D.±5.[2017·济宁二模]已知tan α=-2,tan(α+β)=,则tan β的值为.能力提升6.[2017·长沙长郡中学月考]已知锐角α,β满足sin α=,cos β=,则α+β的值为()A .B .C .D .或7.[2017·东莞四校联考期中] 已知sin α=,α∈,π,tan(π-β)=,则tan(α-β)的值为 ( )A .-B .C .D .-8.[2017·襄阳五中一模] 已知α,β均为锐角,且sin 2α=2sin 2β,则 ( ) A .tan(α+β)=3tan(α-β) B .tan(α+β)=2tan(α-β) C .3tan(α+β)=tan(α-β) D .3tan(α+β)=2tan(α-β)9.[2017·衡水一模] 已知sin α++sin α=-,-<α<0,则cos α+等于( )A.-B.-C. D.10.[2017·淮北一中期中]= .11.[2017·商丘九校联考]函数f(x)=的最小正周期为.12.[2017·德州二模]已知cos α=,cos(α-β)=,且0<β<α<,那么β=.13.(15分)[2017·山东实验中学一模]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2c-a)·cos B-b cos A=0.(1)求角B的大小;(2)求sin A+sin C-的取值范围.14.(15分)已知函数f(x)=(1+tan x)cos2x.(1)若α是第二象限角,且sin α=,求f(α)的值;(2)求函数f(x)的定义域和值域.难点突破15.(5分)已知锐角α,β满足sin α-cos α=,tan α+tan β+tan αtan β=,则α,β的大小关系是()A.α<<βB.β<<αC.<α<βD.<β<α16.(5分)如图K20-1所示,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连接EC,ED,则sin ∠CED=()A.B.C.D.图K20-1课时作业(二十一)第21讲二倍角公式与简单的三角恒等变换基础热身1.[2017·株洲一模]已知α∈(0,π),cos α=-,则sin 2α= ()A.±B.±C.-D.-2.[2017·葫芦岛二模]已知cos-=,则sin θ= ()A. B.C.-D.-3.[2017·揭阳二模]已知sin α-cos α=,则cos-2α=()A.-B.C. D.4.-=()A.4B.2C.-2D.-45.已知sin α-2cos α=,则tan 2α= .能力提升6.[2017·抚州临川实验学校一模]若sin-α=,则2cos2+-1等于()A. B.-C.-D.-7.[2017·郴州四模]已知3cos2θ=tan θ+3,且θ≠kπ(k∈Z),则sin[2(π-θ)]等于()A.-B.C. D.-8.已知tan B=2tan A,且cos A sin B=,则cos A-B-=()A.-B.C.-D.9.设a=cos 50°cos127°+cos 40°cos37°,b=(sin 56°-cos 56°),c=,则a,b,c的大小关系是()A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b10.[2017·四川师大附中二模]已知α∈0,,sin-αsin+α=-,则tan α=()A. B.2C.D.11.化简sin2+sin2-sin2α的结果是.12.cos 20°cos40°cos60°cos80°= .13.已知tan(A-B)=,tan B=-,且A,B∈(0,π),则2A-B= .14.(12分)[2017·天津南开区三模]设函数f(x)=cos2x++sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)设函数g(x)对任意x∈R,有g x+=g(x),且当x∈0,时,g(x)=-f(x).求函数g(x)在[-π,0]上的解析式.15.(13分)[2017·陕西师大附中模拟]已知函数f(x)=2sin x cos x+2cos2x-1(x∈R).(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间0,上的最大值和最小值;(2)若f(x0)=,x0∈,,求cos 2x0的值.难点突破16.(5分)[2017·天水二中期中]已知α,β都是锐角,sin α=,cos(α+β)=,则cos β等于()A. B.C. D.17.(5分)[2017·上饶六校联考]设α,β∈[0,π],且满足sin αcos β-cos αsin β=1,则cos(2α-β)的取值范围为()A.[0,1]B.[-1,0]C.[-1,1]D.课时作业(二十二)第22讲正弦定理和余弦定理基础热身1.在△ABC中,b=8,c=8,S△ABC=16,则A等于()A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°2.在△ABC中,若A=60°,a=,则等于()A.2B.C.D.3.[2017·渭南二模]在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知a=2且b cos C+c cos B=2b,则b=()A.1B.2C.3D.4.[2017·山西五校联考]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b cs A+a cosB=c2,a=b=2,则△ABC的周长为()A.7.5B.7C.6D.55.[2017·泰安二模]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=,则角B= .能力提升6.[2017·赣州、吉安、抚州七校联考]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2,b=2,C=30°,则角B等于 ()A.30°B.60°C.30°或60°D.60°或120°7.在△ABC中,a2+b2+c2=2ab sin C,则△ABC的形状是()A.不等腰的直角三角形B.等腰直角三角形C.钝角三角形D.正三角形8.[2017·鹰潭二模]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos C=,b cos A+a cos B=2,则△ABC的外接圆的面积为()A.4πB.8πC.9πD.36π9.[2017·柳州一模]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a2+b2=2c2,则角C的取值范围是()A.B.C.D.10.已知△ABC的面积为5,A=,AB=5,则BC=()A.2B.2C.3D.11.[2017·福建四地六校联考]已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2-bc,a=3,则△ABC的周长的最大值为()A.2B.6C.D.912.[2017·宜春四校联考]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=1,B=,△ABC 的面积S=2,则的值为.13.[2017·河南新乡二模]如图K22-1所示,在△ABC中,C=,BC=4,点D在边AC上,AD=DB,DE ⊥AB,E为垂足,若DE=2,则cos A= .图K22-114.(10分)[2018·巢湖一中、合肥八中、淮南二中等十校摸底]如图K22-2所示,在△ABC 中, C=,·=48,点D在BC边上,且AD=5,cos∠ADB=.(1)求AC,CD的长;(2)求cos∠BAD的值.图K22-215.(13分)[2017·潮州二模]在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=sin C.(1)求C的值;(2)若=2,求△ABC的面积S的最大值.难点突破16.(12分)[2017·大庆三模]已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且+=.(1)求b的值;(2)若cos B+sin B=2,求a+c的取值范围.课时作业(二十三)第23讲正弦定理和余弦定理的应用基础热身1.以观测者的位置作为原点,东、南、西、北四个方向把平面分成四部分,以正北方向为始边,按顺时针方向旋转280°到目标方向线,则目标方向线的位置在观测者()A.北偏东80°的方向B.东偏北80°的方向C.北偏西80°的方向D.西偏北80°的方向2.一名学生在河岸上紧靠河边笔直行走,某时刻测得河对岸靠近河边处的参照物与学生前进方向成30°角,前进200 m后,测得该参照物与前进方向成75°角,则河的宽度为()A.50(+1) mB.100(+1) mC.50 mD.100 m3.如图K23-1所示,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A.30°B.45°C.60°D.75°图K23-14.如图K23-2所示,为了测量一棵树的高度,在地面上取A,B两点,从A,B两点分别测得树尖的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为60 m,则树的高度为m.图K23-25.[2017·海南中学月考]如图K23-3所示,设A,B两点在河的两岸,一名测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C,测出A,C两点间的距离为50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则A,B 两点间的距离为m.图K23-3能力提升6.在直径为30 m的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,光源射向地面的光呈圆锥体,且其轴截面的顶角为120°,若要求光源恰好照亮整个广场,则光源的高度为()A.15 mB.15 mC.5 mD.5 m7.甲船在岛A正南方向的B处以每小时4千米的速度向正北方向航行,AB=10千米,同时乙船自岛A出发,以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间为()A.分钟B.分钟C.21.5 分钟D.2.15小时8.如图K23-4所示,一座建筑物AB的高为(30-10)m,在该建筑物的正东方向有一座通信塔CD.在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A,塔顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°,则通信塔CD的高为()A.30 mB.60 mC.30 mD.40 m图K23-49.如图K23-5所示,为了了解某海域海底构造,在海平面上取一条直线上的A,B,C三点进行测量,已知AB=50 m,BC=120 m,于A处测得水深AD=80 m,于B处测得水深BE=200 m,于C处测得水深CF=110 m,则∠DEF的余弦值为()A.B.C.D.图K23-510.[2017·北大附中期中]如图K23-6所示,某住宅小区的平面图形是圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于OA的小路DC.已知住户张先生从O 沿OD走到D用了3 min,再从D沿DC走到出入口C用了4 min.若张先生步行的速度为50 m/min,则该扇形的半径为()A.40 mB.50 mC.30 mD.40 m图K23-611.某工厂实施煤改电工程防治雾霾,欲拆除高为AB的烟囱,测绘人员取与烟囱底部B在同一水平面内的两个观测点C,D,测得∠BCD=75°,∠BDC=60°,CD=40米,并在点C处正上方的点E处观测烟囱顶部A的仰角为30°,且CE=1米,则烟囱的高AB= 米.12.某小区的绿化地有一个三角形的花圃区,若该三角形的三个顶点分别用A,B,C表示,其对边分别为a,b,c,且满足(2b-c)cos A-a cos C=0,则在A处望B处和C处所成的视角为.13.[2017·湖北百所重点中学模拟]我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载了这样一个题目:“今有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一块三角形的沙田,三边长分别为13里,14里,15里,假设1里按500米计算,则该沙田的面积为平方千米.14.(10分)[2017·佛山二模]某沿海四个城市A,B,C,D的位置如图K23-7所示,其中∠ABC=60°,∠BCD=135°,AB=80 n mile,BC=40+30 n mile,CD=250 n mile.现在有一艘轮船从A出发以50 n mile/h的速度向D直线航行,60 min后,轮船由于天气原因收到指令改向城市C直线航行,则收到指令时该轮船到城市C的距离是多少.图K23-715.(13分)如图K23-8所示,已知在水平面东西方向上的M,N处各有一座发射塔,塔顶A,B的海拔高度分别为AM=100米,BN=200米,一辆测量车在M正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°,该测量车沿北偏西60°的方向行驶了100米后到达点Q,在点Q处测得发射塔顶B的仰角为θ,且∠BQA=θ,经测量得tan θ=2,求两发射塔顶A,B之间的距离.图K23-8难点突破16.(12分)如图K23-9所示,某流动海洋观测船开始位于灯塔B北偏东θ0<θ<方向的A点,且满足2sin2+θ-cos 2θ=1,AB=AD.在接到上级命令后,该观测船从A点沿AD方向在D点补充物资后沿BD方向投放浮标C.已知该观测船行驶的航程为8 km,浮标C与A点的距离为4 km.(1)求θ的值;(2)求浮标C到补给站D的距离.图K23-9课时作业(十六)1.C[解析] -330°=-360°+30°,所以-330°角是第一象限角,且是负角,所以A错误;同理-330°角和30°角不相等,但它们终边相同,所以B错误;因为钝角的取值范围为(90°,180°),所以C正确;0°角和360°角的终边与始边均相同,但它们不相等,所以D错误.2.A[解析] tan α==,故选A.3.C[解析] 因为点P,-在角θ的终边上,所以θ为第四象限角,由三角函数的定义可知tan θ=-÷=-,又θ∈[0,2π),所以θ=.4.C[解析] 设半径为r,弧长为l,则解得l=8,r=4,所以扇形面积S=lr=16.5.{α|k·360°+45°<α<k·360°+150°,k∈Z}[解析] 在0°~360°范围内,阴影部分边界射线所表示的角分别是45°和150°,即在0°~360°范围内,阴影部分表示的角的范围为45°<α<150°,所以角的终边落在阴影部分的角的集合为{α|k·360°+45°<α<k·360°+150°,k∈Z}.6.B[解析] α是第三象限角,则sin α<0,cos α<0,tan α>0,则可排除A,C,D,故选B.7.C[解析] M={x|x=45°×(2k+1),k∈Z},N={x|x=45°×(k+2),k∈Z},由于2k+1为奇数,k+2为整数,所以M⊆N,选C.8.C[解析] ∵sin θ·cos θ>0,∴sin θ>0,cos θ>0或sin θ<0,cos θ<0.当sin θ>0,cos θ>0时,θ为第一象限角,当sin θ<0,cos θ<0时,θ为第三象限角.∵sinθ+cos θ<0,∴θ为第三象限角.故选C.9.C[解析] 由题知点P(-8m,-3),r=,所以cos α==-,得m=±,又cos α=-<0,所以-8m<0,即m>0,所以m=.10.A[解析] 因为角α的终边与直线y=3x重合,且sin α<0,所以角α的终边在第三象限.又P(m,n)是角α终边上一点,故m<0,n<0,又|OP|=,所以所以故m-n=2.故选A.11.B[解析] 因为tan α=-,α为钝角,所以sin α=,cos α=-,又因为P cosα+,sinα+,所以P-,-,所以①正确;同理,Q-,,所以|PQ|2=,所以②正确;由余弦定理得cos∠POQ=-,所以③错误;sin∠POQ=,所以S△POQ=×1×1×=,所以④正确.故选B.12.钝角三角形[解析] ∵A,B均为三角形的内角,∴sin A>0,由已知得sin A cos B<0,∴cos B<0,∴B为钝角,∴△ABC为钝角三角形.13.负[解析] 1为第一象限角,2,3均为第二象限角,4为第三象限角,所以cos 1>0,cos 2<0,cos 3<0,cos 4<0,所以cos 1cos 2cos 3cos 4<0.14.(1,][解析] 角θ的终边经过点P(x,1)(x≥1),∴r=,cos θ==,sinθ==,∴cos θ+sinθ=+=====.∵x+≥2,当且仅当x=1时取等号,∴1<cos θ+sin θ≤.故cos θ+sin θ的取值范围是(1,].15.20[解析] 如图,由题意可得∠AOB=,OA=6,所以在Rt△AOD中,∠AOD=,∠DAO=,OD=AO=×6=3,可得CD=6-3=3.由AD=AO·sin=6×=3,可得AB=2AD=2×3=6.所以弧田面积S=(弦×矢+矢2)=×(6×3+32)=9+4.5≈20(平方米).16.±[解析] 由角β的终边与单位圆交于点,m,得cos β=,又由sin α·cos β<0知sin α<0,因为角α的终边落在直线y=x上,所以角α只能是第三象限角.记P为角α的终边与单位圆的交点,设P(x,y)(x<0,y<0),则|OP|=1(O为坐标原点),即x2+y2=1,又由y=x得x=-,y=-,所以cos α=x=-.因为点,m在单位圆上,所以+m2=1,得m=±,所以sin β=±.所以cos α·sin β=±.课时作业(十七)1.C[解析] tan 390°=tan(360°+30°)=tan30°=.2.A[解析] ∵α为锐角,∴cos α==,∴cos(π+α)=-cos α=-,故选A.3.B[解析] cosα-=cosα+-=sinα+=,故选B.4.B[解析] ∵tan θ=2,∴===1.5.-[解析] 由sin α=,≤α≤π,可得cos α=-=-,∴tan α==-.6.A[解析] cosα+=cos+α-=-sinα-=-,故选A.7.B[解析] 由sin x=2sin x+,得sin x=2cos x,即tan x=2,则cos x cos x+=-cos x sin x=-=-=-=-.故选B.8.C[解析] 因为cosα+π=cosα+1008π+=-sin α=,且α∈π,2π,所以sin α=-,cos α==,则sin α+cos α=-+=.故选C.9.D[解析] 由题可知sin x+cos x=,x∈(0,π),则(sin x+cos x)2=,因为sin2x+cos2x=1,所以2sin x cos x=-,即==-,得tan x=-或tan x=-.当tan x=-时,sin x+cos x<0,不合题意,舍去,所以tan x=-.故选D.10.B[解析] 因为sin(A+B)sin(A-B)=sin2C,A,B,C为三角形的内角,所以sin(A-B)=sin C,所以A-B=C,所以A=90°,所以三角形ABC一定为直角三角形.11.C[解析] ⇒则cos α-3sin α=-.12.B[解析] ∵tan α=3,∴原式====2.13.C[解析] 由题知又(sin θ+cos θ)2=1+2sin θ·cosθ,∴m=.∵<θ<2π,∴sin θ·cos θ=<0,即m=,∴sin θ+cosθ=m=,sin θ·cos θ=-.又∵<θ<2π,∴sin θ=-,cos θ=,∴θ=.14.[解析] 由已知得化简得2cos2A=1,即cos A=±.当cos A=时,cos B=,又A,B是三角形内角,∴B=.当cos A=-时,cos B=-,又A,B是三角形内角,∴A=,B=,不合题意.综上知B=.15.-[解析] 由=3+2得tan x=,∴sin x(sin x-3cos x)=sin2x-3sin x cos x===-.16.[解析] 由sin α+cos α=-平方得sin αcos α=-,∵<α<π,∴sin α-cos α==,∴+=-===.课时作业(十八)1.D[解析] 由T==π,得ω=±2.2.D[解析] 函数的解析式即f(x)=-2sin2x-.由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),即函数f(x)的单调递减区间为-+kπ,+kπ(k∈Z).3.D[解析] 由题意知f(x)=-cos x,可得A,B,C正确.因为f(-x)=-cos x=f(x),所以f(x)是偶函数,即D错误.4.B[解析] 由y=f(x)的最小正周期为π,可排除D.下面验证图像是否关于直线x=对称.对于A,f=sin=≠±1,故A不满足;对于B,f=sin-=sin=1,故B满足;对于C,f=sin+=sin=≠±1,故C不满足.故选B.5.,k∈Z[解析] 由tan x-1≥0,得tan x≥1,∴+kπ≤x<+kπ,k∈Z.∴函数y=的定义域是+kπ,+kπ,k∈Z.6.A[解析] 对于①,y=cos|2x|=cos 2x为偶函数,且周期为=π,满足条件;对于②,y=|cos x|的周期为π,且是偶函数,满足条件;对于③,y=sin2x+=|cos 2x|的周期为×=,且是偶函数,不满足条件;对于④,y=tan|x|不具有周期性,不满足条件.故选A.7.D[解析] 由题意可得b-a的值不可能超过一个周期,而函数f(x)=2sin的周期为4π,故b-a的值不可能是.8.D [解析] 根据题意,令2x+φ=k π,k ∈Z,得φ=k π-2x ,k ∈Z .又函数f (x )图像的对称中心在区间,内有且只有一个,∴x ∈,,∴-2x ∈-,-,∴φ=k π-2x ∈k π-,k π-,k ∈Z .当k=1时,φ∈,,又0<φ<,∴φ的一个可能取值是. 9.C [解析] 由题意可得函数f (x )=sin(2x+φ)的图像关于直线x=对称,故有2×+φ=k π+,k ∈Z,即 φ=k π,k ∈Z .又 f =sin +φ>0,所以φ=2n π,n ∈Z,所以f (x )=sin(2x+2n π)=sin 2x.令2k π+≤2x ≤2k π+,k ∈Z,求得k π+≤x ≤k π+,k ∈Z,故函数f (x )的单调递减区间为k π+,k π+,k ∈Z,故选C .10.D [解析] f (x )=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=2sin ωx+φ+.因为其图像的两条相邻对称轴方程为x=0与x=,则T=π,即ω=2,所以f (x )=2sin 2x+φ+.当x=0时,得2sin =±2,又|φ|<,所以φ=,所以f (x )=2cos 2x ,则f (x )在上为减函数.11. [解析] 由题意可得=2,∴ω=,∴函数f (x )=sin x+,∴f (1)=.12. [解析] ∵函数y=3cos(2x+φ)的图像关于点,0中心对称,∴2×+φ=k π+,k ∈Z,∴φ=k π-,k ∈Z,则|φ|的最小值为.13.解:(1)对于函数f(x)=sin2x-,它的最小正周期T==π.(2)令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,可得-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,即-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间是-+kπ,+kπ(k∈Z).(3)因为0≤x≤,所以0≤2x≤,所以-≤2x-≤.所以函数f(x)的最小值是-,此时2x-=-或2x-=,即x=0或x=.14.解:(1)因为函数f(x)=cos(ωx+φ)ω>0,0<φ<的最小正周期为π,所以T==π,所以ω=2.因为f=cos2×+φ=-,0<φ<,所以2×+φ=,解得φ=.(2)因为f(x)=cos2x+>,所以2kπ-<2x+<2kπ+,k∈Z,所以kπ-<x<kπ+,k∈Z,即x∈kπ-,kπ+,k∈Z.15.D[解析] ∵函数f(x)=4cos(ωx+φ)对任意的x∈R都有f(-x)=f+x,∴函数f(x)=4cos(ωx+φ)的图像的一条对称轴为x=,∴ω×+φ=kπ(k∈Z),∴g=sin(kπ)-2=-2.16.B[解析] 由题意可得函数f(x)=2cos(ωx+φ)+1的最大值为3.∵f (x)的图像与直线y=3相邻两个交点的距离为,∴f(x)的周期T=,∴=,解得ω=3,∴f(x)=2cos(3x+φ)+1.∵f(x)>1对任意x∈-,恒成立,∴2cos(3x+φ)+1>1,即cos(3x+φ)>0,对任意x∈-,恒成立,∴-+φ≥2kπ-且+φ≤2kπ+,k∈Z,解得φ≥2kπ-且φ≤2kπ,k∈Z,即2kπ-≤φ≤2kπ,k∈Z.结合|φ|<可得当k=0时,φ的取值范围为-,0.加练一课(三)1.B[解析] 令2x-=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),当k=-1时,x=-,故选B.2.C[解析] 由cos x-≥0,得cos x≥,所以2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z.3.A[解析] 由y=cos2x+=-sin 2x,可知该函数的最小正周期为π且为奇函数,满足题意,故选A.4.C[解析] 将函数f(x)的图像上各点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的,得y=2sin4x-+1的图像.令4x-=kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z).当k=1时,x=,把x=代入y=2sin4x-+1,得y=1,所以所得图像的一个对称中心可能是,1,故选C.5.A[解析] ∵函数f(x)=a sin x+cos x(a为常数,x∈R)的图像关于直线x=对称,∴f(0)=f,∴1=+,解得a=,∴g(x)=sin x+cos x=sin x+.对于选项A,当x=时,g=为最大值,故A正确;对于选项B,当x=时,g=≠0,故B不正确;对于选项C,当x=时,g=≠0,故C不正确;对于选项D,当x=时,g=1,不是最值,故D 不正确.故选A.6.D[解析] f(x)=(sin 2x+cos 2x)+(cos 2x-sin 2x)=cos 2x,所以f(x)在0,上单调递减,其图像关于直线x=对称,故选D.7.D[解析] 由题意有2×+φ=kπ,k∈Z,即φ=kπ-π,k∈Z,又因为φ>0,所以当k=1时,φ取得最小值,这时f(x)=2cos2x+.当x0∈0,时,2x0+∈,,f(x0)∈[-2,1),所以a∈[-2,1),故选D.8.C[解析] f(x)=cos(2x+θ)|θ|≤,当x∈-,-时,-+θ≤2x+θ≤-+θ,由函数f(x)在-,-上是增函数得(k∈Z),则2kπ-≤θ≤2kπ+(k∈Z),又|θ|≤,∴-≤θ≤.∵f=cos+θ,0≤+θ≤,∴f≤1,又f≤m恒成立,∴m≥1,故选C.9.D[解析] 因为f(x)=sin(ωx+φ)在区间,上单调,ω>0,所以-≤=×=,得0<ω≤3.因为f=f=-f,所以x==为f(x)=sin(ωx+φ)图像的一条对称轴,且,0,即为f(x)=sin(ωx+φ)图像的一个对称中心.因为0<ω≤3,所以x=与,0为同一个周期内相邻的对称轴和对称中心,则T=4×-=π.10.B[解析] f(x)=sin x-a cos x=sin(x-θ),其中tan θ=a,θ∈-,,其图像关于直线x=对称,所以-θ=+kπ(k∈Z),所以θ=-kπ(k∈Z),又θ∈-,,所以θ=,所以a=tan θ=1,所以f(x)=sin x-a cos x=sin x-.因为x1,x2为函数f(x)的两个极值点,所以当x1=-,x2=时,|x1+x2|取得最小值.11.(-∞,1][解析] 因为-<x<,所以-<cos x≤1,所以0<2cos x+1≤3,所以log3(2cos x+1)≤1,故应填(-∞,1].12.π[解析] 由f(x)=2sin x cos x+cos 2x=sin 2x+cos 2x=2sin2x+,得函数f(x)的周期T==π.13.-1[解析] y=sin x+cos x+2sin x cos x=(sin x+cos x)2+sin x+cos x-1.设sin x+cosx=t,则t=sin x+,那么原函数可化为y=t2+t-1.∵x∈-,,∴x+∈0,,∴0≤t ≤.∵函数y=t2+t-1的图像开口向上,对称轴为t=-,∴当t=0时,y取得最小值-1.14.①②③[解析] ①当x=π时,2x-=2×-=,所以①正确;②当x=时,2x-=2×-=π,所以②正确;③由x∈-,,得2x-∈-,,此时函数f(x)为增函数,所以③正确;④由y=3sin 2x的图像向右平移个单位长度可得y=3sin2x-=3sin2x-的图像,所以④错误.课时作业(十九)1.B[解析] y=sin2x-=sin 2x-,故将函数y=sin 2x的图像向右平移个单位长度,可得y=sin2x-的图像.2.A[解析] 函数f(x)=2sin2x-,由2x-=+kπ(k∈Z),可得x=kπ+(k∈Z),则x0=kπ+(k∈Z),当k=-1时,|x0|取到最小值.3.D[解析] 由函数的图像可知A=1,=-=,所以T=π,所以ω=2,又函数的图像经过点,1,所以1=sin2×+φ,因为|φ|<,所以φ=.4.B[解析] 由题意可得=-=,∴T=1=,解得ω=2π,∴f(x)=cos(2πx+φ).∵点,0在函数图像上,∴0=cos2π×+φ,∴2π×+φ=kπ+,k∈Z,解得φ=kπ+,k ∈Z,∵|φ|<,∴当k=0时,φ=.5.[解析] 由图像知=2×-=,所以ω=2.因为2×+φ=kπ+(k∈Z),所以φ=kπ+(k∈Z),又|φ|<,所以φ=.这时f(x)=A tan2x+.又函数图像过点(0,1),代入上式得A=1,所以f(x)=tan2x+.所以f=tan2×+=.6.B[解析] ∵f(0)=-,∴sin θ=-,又|θ|<,∴θ=-.由πx-=2kπ+(k∈Z),得x=2k+(k∈Z),结合图像得=,∴m=.7.B[解析] ∵函数f(x)=4cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,∴φ=,f(x)=-4sin ωx.∵A(a,0),B(b,0)是其图像上两点,|a-b|的最小值是1,∴×=1,∴ω=π,f(x)=-4sin πx,则f=-4sin=-2.8.A [解析] 因为函数f (x )=A sin(ωx+φ)A>0,|φ|<的图像在 y 轴左侧的第一个最高点为-,3,第-个最低点为-,m ,所以T=2×-+=π=.由题意知ω<0,所以ω=-2,并且A=3.又f -=3,即sin -2×+φ=1,且|φ|<,所以φ=,故所求解析式为f (x )=3sin -2x+.9.A [解析] ∵曲线C :y=sin(2x+φ)|φ|<的一条对称轴方程为x=,∴sin +φ=±1,则+φ=+k π,k ∈Z .∵|φ|<,∴φ=.可得曲线C :y=sin 2x+,向左平移θ个单位长度,得曲线E :y=sin 2x+2θ+.由曲线E 的对称中心为,0,得2×+2θ+=k π,k ∈Z,∴θ=k π-,k ∈Z .则|φ-θ|=+-k π(k ∈Z)的最小值为.10.B [解析] ∵函数f (x )=A sin(2x+φ)-A>0,0<φ<的图像在y 轴上的截距为1,∴A sin φ-=1,即A sin φ=.∵函数f (x )=A sin(2x+φ)-的图像关于直线x=对称,∴2×+φ=k π+,k ∈Z,又0<φ<,∴φ=,∴A ·sin =,∴A=,∴f (x )=sin 2x+-.对于任意的x ∈0,,都有m 2-3m ≤f (x ),∴m 2-3m ≤f (x )min .∵x ∈0,,∴2x+∈,,sin 2x+∈-,1,sin 2x+∈-,,f (x )∈-2,-,∴m 2-3m ≤-2,解得1≤m ≤2.。

2019版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形33三角函数的图象与性质课后作业理.doc

3. 3三角函数的图象与性质E 课后作业孕谀[基础送分提速狂刷练]一、选择题1. 如果函数y=3cos(2/+0)的图象关于点(丄「，0)成中心对称，那么丨如的最小值为 ()JIJIJIJIA •—B •—C •— D.—O4oZ答案A解析依题意得3cos&厂+町=0,= «兀+*, 0 =斤兀一¥皿(&GZ),因此I 如的最小值是石•故选A.71712. 已知函数尸=$注5在|_-y,节上是增函数，则实数g 的取值范围是() A. ~|, 0) B. [-3,0) C.(0, |D. (0,3]答案CJI JI71解析由于y=sinx 在一京，包■上是增函数，为保证y=sin3/在一〒函数，所以小0,ji JI 3且丁 3 ^―,则0< 3 W ㊁.故选C.(JI JI \3. (2017・成都调研)函数y=2sin 「尹一勺(0W 丸W9)的最大值与最小值之和为() A. 2—yj^ B. 0 C. —1 D. —1—答案A解析因为0W/W9,所以一— 所以 sin^-x 一"-平，1 .所以yU [—寸5, 2],所以畑+ /nin = 2—寸5,选A.4. (2017 •长沙模拟)设函数f(x) =£sin(ex+ 0+*)(Q 〉O,丨的最小正周期为兀，且是偶函数，贝9()JI〒上是增A. /tv ）在（0,内单调递减（n 3 兀、B. f （x ）在（了，一厂丿内单调递减C. fd ）在（0,内单调递增（ji 3 兀、D. /tv ）在斤，一内单调递增答案A解析由条件，知G = 2.因为f3是偶函数，且丨如导，所以妇+因为当 xW （0, 时，2xW （0, 所以fd ）在（0,旬内单调递减.故选A.5. 将函数y=sinx 的图象向左平移*个单位，得到函数y=f （M 的图象，则下列说法正确的是（）A. y= f （x ）是奇函数B. y=f{x ）的周期为兀C. 尸代力的图象关于直线/=守对称D. y=f （x ）的图象关于点（一2~’ 0）对称答案D解析由题意知，A%）=cos%,所以它是偶函数，A 错误；它的周期为2兀，B 错误；它的对称轴是直线x=k^,胆Z, C 错误；它的对称中心是点（加+*，0）, AEZ, D 正确.故选D.6. （2017 •广州综合测试）己知函数f 、3=sin （2;v+0）（0〈以閱的图象的一个对称中心为（¥，0）则函数代力的单调递减区间是（）■ 3兀兀 A. 2&n —千厂，2A JI +— JI5 开、B.+—, 2斤兀+~^~ （WWZ ）3兀 n TC. kTi , kTi +—Uk^Z ）兀5 JI这时 f3 =^sin (2x+*)=^cos2x.gZ)D.+—,乃+可(加Z)答案D_ , /3 nA ( 3 n A 3n , 解析由题息得twJ = sin(2X-^~+。

2019版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形课时分层作业十九3.2同角三角函数的基本关系及诱导公式理

2019版高考数学(文)讲义：第3章 三角函数、解三角形 第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式

2019年高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式增分练