3运筹学第二章电子教案
《运筹学第二章》课件
介绍《运筹学第二章》PPT课件内容和目标，运筹学的定义和特点。探索运 筹学的重要性和应用领域，以及运筹学的特点和原则。
线性规划
概念和模型
探索线性规划的定义和基本模型，展示线性规划在 决策和优化中的重要性。
解法和实例
介绍线性规划的常见解法和实际应用案例，展示线 性规划在生产和资源优化中的应用。
例，展示二维规划在资源分配和市场策
略中的应用。
3
优化技巧
分享二维规划的优化技巧和最佳实践， 帮助读者更好地应用二维规划解决问题。
网络流问题
概念和应用 解法和实例 问题扩展
阐述网络流问题的概念和常见应用领域，如流量 规划和运输优化。
介绍网络流问题的解法和实际应用案例，展示网 络流问题在供应链和通信网络中的应用。
2 求解方法
介绍排队论的常见求解方法和实际应用案例，帮助读者理解和解决实际排队问题。
3 模型分析
分享排队论中的模型分析技巧和最佳实践，帮助读者优化排队系统和提高服务质量。
进化算法
概念和原理
解释进化算法的概念和基本原理，如遗传算法和粒 子群优化。
应用领域
介绍进化算法在不同领域中的应用，如机器学习和 智能优化。
整数规划
概念和模型
阐述整数规划的概念和基本模型，展示整数规 划在离散决策中的重要性。
解法和实际应用
介绍整数规划的常见解法和实际应用，展示整 数规划在项目管理和物流优化中的应用。
二维规划
1
概念和模型
解释二维规划的定义和基本模型，展示
解法和实例
2
二维规划在多目标决策中的应用。
介绍二维规划的常见解法和实际应用案
探讨网络流问题态规划
《运筹学》教案汇总
《运筹学》教案授课专业：信息管理、工程管理任课教师：黄健南通大学商学院2007．2教案用纸第 1 次课 3 学时上次课复习：无一、本次课题（或教材章节题目）：绪论1、运筹学的性质和特点2、运筹学的模型与工作步骤3、运筹学的应用与展望教学要求： 1、了解运筹学的性质和特点、运筹学的应用与展望2、运筹学的模型与工作步骤重点：运筹学工作步骤难点：无教学手段及教具：讲授讲授内容：1、运筹学的性质和特点2、运筹学的模型与工作步骤3、运筹学的应用与展望课后作业无同济大学出版社：运筹学教程参考资料高等教育出版社：管理运筹学注：本页为每次课教案首页教案用纸第 2 次课 3 学时上次课复习：运筹学的学科性质和发展概况运筹学的模型与工作步骤本次课题（或教材章节题目）：二、线性规划与目标规划第一章线性规划及单纯形法1、线性规划问题及其数学模型教学要求：1、通过实际问题引入线性规划模型，初步掌握建立线性规划模型的方法；2、通过图解法直观地理解线性规划解的状态和线性规划的基本性质；3、熟练掌握线性规划问题的标准化方法；4、理解基、基解，基可行解的概念。
重点：线性规划问题及其数学模型、标准形式难点：线性规划问题及其数学模型、线性规划问题解的概念教学手段及教具：讲授讲授内容：1、线性规划模型的建立2、线性规划问题的图解法3、线性规划问题的标准形式4、线性规划问题解的概念课后作业P44： 1.1、1.2、1.3、1.10同济大学出版社：运筹学教程参考资料高等教育出版社：管理运筹学注：本页为每次课教案首页教案用纸第 3 次课 3 学时上次课复习：1、线性规划模型的建立2、线性规划问题的图解法3、线性规划问题的标准形式4、线性规划问题解的概念本次课题（或教材章节题目）：2、线性规划问题的几何意义3、单纯形法4、单纯形法的计算步骤教学要求：1、了解线性规划问题的几何意义和基本性质2、理解单纯形法的理论基础，熟练掌握可行条件和优化条件；3、熟练掌握单纯形法的计算步骤重点：可行条件与优化条件。
运筹学第2章课件
目标函数是要求最大或最小的线性函数，形式为(z = c^T x + z_0)，其中(c)是常数向量，(x)是决策变 量向量，(z_0)是常数。
决策变量是问题中需要求解的未知数，通常为非 负实数。
线性规划的几何解释
线性规划问题可以用几何图形直观地 表示。在二维空间中，目标函数和约 束条件可以表示为直线或线段，决策 变量则表示为平面上的点。
分配问题的应用非常广泛，如 资源分配、任务调度等。这些 案例展示了线性规划在优化资 源配置和提高总体效益方面的 巨大潜力。
04
线性规划的扩展
整数规划
01
整数规划问题
整数规划是一类特殊的线性规划问题，要求决策变量取整数值。整数规
划在现实生活中有广泛的应用，如生产计划、物流调度等。
02
求解方法
整数规划的求解方法包括穷举法、割平面法、分支定界法等。这些方法
第2章总结
• 线性规划的求解方法，包括图解 法、单纯形法和内点法等，以及 各种方法的适用范围和优缺点。
第2章总结
01 内容亮点
02
通过案例分析，使抽象的数学模型更加生动具体，易
于理解。
03
详细介绍了线性规划的求解方法，有助于学生掌握实
际操作技能。
第2章总结
练习与思考 结合实际案例，尝试建立线性规划模型并求解。 分析不同求解方法的适用场景，比较其优劣。
大规模优化问题
大规模优化问题是指决策变量数量庞大，导致计算复杂度极高的优化问题。这类问题在现实生活中很常见，如物流网 络优化、生产调度等。
近似算法
为了解决大规模优化问题，研究者们提出了许多近似算法。这些算法通过牺牲最优解的精度来换取更快的计算速度， 从而在实际应用中得到广泛应用。常见的近似算法包括贪心算法、遗传算法、模拟退火算法等。
运筹学教案胡运权版)
《绪论》（2课时）【教学流程图】举例引入，绪论运筹学运筹学与数学模型的基本概念管理学课堂练习课堂小结布置作业【教学方法】本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法，过程当中辅以案例讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。
任务驱动是实现本课教学目标和完成教学内容的主要方法，任务是师生活动内容的核心，在教学过程中，任务驱动被多次利用。
自主学习能提高学生的自主探究能力，竞赛和协作学习调动学生的积极性，激发学生参与的热情。
学生之间互帮互助，共同分享劳动果实，从而激发了学生的团队意识，达到理想的教学效果。
【教学内容】一、教学过程：（一）举例引入：（5分钟）（1）齐王赛马的故事（2）两个囚犯的故事导入提问：什么叫运筹学？（二）新课：绪论一、运筹学的基本概念（用实例引入）例1-1战国初期，齐国的国王要求田忌和他赛马，规定各人从自己的上马、中马、下马中各选一匹马来比赛，并且说好每输一匹马就得支付一千两银子给予获胜者。
当时齐王的马比田忌的马强，结果每年田忌都要输掉三千两银子。
但孙膑给田忌出主意，可使田忌反输为赢。
试问：如果双方都不对自己的策略保密，当齐王先行动时，哪一方会赢？赢多少？反之呢？例1-2有甲乙两个囚犯正被隔离审讯，若两人都坦白，则每人判入狱8年；若两个人都抵赖，则每人判入狱1年；若只有一人坦白，则他初释放，但另一罪犯被判刑10年。
求双方的最优策略。
乙囚犯抵赖坦白甲囚犯抵赖 -1，-1 -10，0坦白 0，-10 -8，-8定义：运筹学（Operation Research）是运用系统化的方法，通过建成立数学模型及其测试，协助达成最佳决策的一门科学。
它主要研究经济活动和军事活动中能用数学的分析和运算来有效地配置人力、物力、财力等筹划和管理方面的问题。
二、学习运筹学的方法1、读懂教材上的文字；2、多练习做题，多动脑筋思考；3、作业8次；4、考试；5、EXCEL操作与手动操作结合。
二、学生练习（20分钟）三、课堂小结（5分钟）《线性规划及单纯形法》（2课时）【教学流程图】运筹学运筹学与线性规划的基本概念线性规划（结合例题讲解）线性规划的标准型目标函数结合例题讲解线性规划标准型的转化方法约束条件的右端常数约束条件为不等式课堂练习课堂小结布置作业【教学方法】本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法，过程当中辅以案例讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。
运筹学课件--运筹学电子教案1-8章
2012-9-1
运筹学
绪论
历史，性质，应用
战争结束了！整个世界投入到了战后的重建国家的经济之中。
运筹学的方法相继在工业，农业，经济，社会问题等各个领域中 展开了应用。与此同时，运筹数学有了飞快的发展，并形成了许 多运筹学的分支。 线性规划，非线性规划，整数规划，目标规划，动态规划， 图与网络分析，统筹方法，排队论，存储论，对策论， 决策论，多目标决策。
2、生产计划------从总体确定生产、存储和劳动力的配合等计划 适应波动的需求计划。巴基斯坦一重型制造厂用线性规划安排生产计
划，节省10%的生产费用。
3、运输问题------涉及空运、水运、公路、铁路运输、管道运输 等。公路网的设计和分析，市内公共汽车路线的选择和行车时刻 表的安排，出租车的调度等。
2012-9-1
运筹学
绪论
历史，性质，应用
4、人事管理------需求估计，教育和培训，人员分配（各种指派 问题），合理利用，人才评价等。 5、设备维修，更新和可靠性等。 6、计算机和信息系统------内存分配研究，网络设计分析等。 7、城市管理------紧急服务系统的设计和运用，区域布局规划， 管道网络设计等。（美）曾用排队论确定纽约市紧急电话站的值班人
绪论
历史，性质，应用
2012-9-1
运筹学的工作步骤 运筹学在解决大量实际问题的过程中形成了自己的工作步骤。 （1） 提出和形成问题。 即弄清问题的目标，可能的约束，问题 的可控变量以及有关参数，搜集有关资料; （2） 建立模型。 即把问题中可控变量，参数和目标与约束之间 的关系用一定的模型表示出来; （3） 求解。用各种手段（主要是数学方法，也可用其他方法） 将模型求解。解可以是最优解、次优解、满意解。复杂模型的求 解需用计算机，解的精度要可由求决策者提出； （4） 解的检验。首先检查求解步骤和程序有无错误，然后检查 解是否反映现实问题； （5） 解的控制。通过控制解的变化过程决定是否要作一定的改 变； （6） 解的实施。是指将解用到实际中必须考虑到实施的问题， 如向实际部门讲清解的用法，在实施中可能产生的问题和修改。 运筹学
运筹学 第二章
由例1的求解的过程中，我们观察到如下事实： 由例 的求解的过程中，我们观察到如下事实： 的求解的过程中 1）若某一个线性规划问题有最优解，则一定有一个可行域的 ）若某一个线性规划问题有最优解， 顶点对应一个最优解。 顶点对应一个最优解。 2）线性规划存在有无穷多个最优界的情况。 ）线性规划存在有无穷多个最优界的情况。 如例1中将目标函数改为 如例 中将目标函数改为 max z = 50 x 1 + 50 x 2 , 则代表目标函数 的直线平移到最优位置后， 重合。 的直线平移到最优位置后， 与直线 x 1 + x 2 = 300 重合。 3）线性规划存在无界解，即无最优解的情况。 如 ）线性规划存在无界解，即无最优解的情况。 x2 • 目标函数： 目标函数： max z = x + x , 约束条件： 约束条件： x 1 − x 2 ≤ 1, − 3 x 1 + 2 x 2 ≤ 6, x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0. 此时称该问题无界！ 原因： 原因：某些约束条件没有考虑到
第二章 线性规划的图解法
几种常见的典型的线性规划问题在管理上的应用: 几种常见的典型的线性规划问题在管理上的应用: 1.合理利用线材问题: 现有一批长度一定的钢管， 1.合理利用线材问题: 现有一批长度一定的钢管， 由于生产的 合理利用线材问题 需要， 需要， 要求截出不同规格的钢管若干。 试问应如何下料， 要求截出不同规格的钢管若干。 试问应如何下料，既满足了 生产的需要，又使得使用原材料钢管最少。 生产的需要，又使得使用原材料钢管最少。 最少 2.配料问题: 用若干种不同价格不同成分含量的原料， 2.配料问题: 用若干种不同价格不同成分含量的原料，用不 配料问题 同的配比混合调配出一些不同的规格的产品， 同的配比混合调配出一些不同的规格的产品， 在原料供应量的限 制和保证产品的成分的含量的前提下，如何获取最大的利润。 制和保证产品的成分的含量的前提下，如何获取最大的利润。 最大的利润 3.投资问题: 从不同的投资项目中选出一个投资方案， 3.投资问题: 从不同的投资项目中选出一个投资方案，使得 投资问题 投资回报为最大 最大。 投资回报为最大。 4.产品生产计划: 合理充分利用厂里现有的人力、物力、财 4.产品生产计划: 合理充分利用厂里现有的人力、物力、 产品生产计划 做出最优的生产计划，使得工厂获利最大 最大。 力，做出最优的生产计划，使得工厂获利最大。
《运筹学》教案_2016
《运筹学》课程教案开课单位：物流管理系课程负责人：叶世杰适用于物流管理专业教学时数：45学时课程名称：运筹学（3学时*15周）授课教材：现代物流运筹学（第3版），沈家骅，电子工业出版社参考教材：运筹学（第3版），吴祈宗，机械工业出版社教学对象：物流应用专业三年级学生已修课程：英语、计算机基础、大学数学、物流专业导论、物流信息管理教学方法：引导提问、课堂讨论、案例教学、上机实践课程目标：使学生掌握运筹学在物流领域中的常见应用理论，启发学生将物流问题转化为运筹学模型并进行求解分析的能力和兴趣，奠定学生通过科学方法分析物流问题的思维模式，培养学生通过自我学习提升上述知识技能的能力。
章节目标：1. 第一章《绪论》，让学生了解运筹学在物流领域中的作用和意义，明确运筹学是物流专业人才所必须具备的知识和技能，培养学生根据实际物流问题建立运筹学模型并进行分析优化的思想基础。
2. 第二章《预测》，根据物流领域中不同预测需求，从易到难进行常规预测模型方法的讲解，让学生掌握线性预测模型和季节预测模型的建模思想和步骤，并能用计算机软件进行求解分析。
培养学生根据物流预测需求的具体特点采用合适预测模型进行分析的能力。
3. 第三章《线性规划》，以物流领域作为背景，让学生了解线性规划的概念和特点。
通过启发式讲解和讨论，使学生掌握建立物流线性规划模型的能力。
在此基础上引导学生掌握人工和计算机软件求解线性规划模型的能力，并根据求解结果进行分析，针对具体物流优化问题提出建议和措施。
4. 第四章《运输问题》，在之前广义的物流运筹模型的基础上进行细化。
将重心放在物流领域重点之一的运输上。
通过案例分析，使学生掌握将实际运输问题转化为运筹学模型的能力，并在此基础上进行人工求解和计算机求解，体会运筹学模型在物流运输中的重要性。
5. 第五章《动态规划》，在之前单步建模的基础上，使学生掌握动态规划中多阶段建模分析的能力，了解各阶段状态转换、决策制定的步骤，培养学生进行递归分析的能力。
《运筹学》教案汇总
《运筹学》教案授课专业：信息管理、工程管理任课教师：黄健南通大学商学院2007．2教案用纸第 1 次课 3 学时上次课复习：无一、本次课题（或教材章节题目）：绪论1、运筹学的性质和特点2、运筹学的模型与工作步骤3、运筹学的应用与展望教学要求： 1、了解运筹学的性质和特点、运筹学的应用与展望2、运筹学的模型与工作步骤重点：运筹学工作步骤难点：无教学手段及教具：讲授讲授内容：1、运筹学的性质和特点2、运筹学的模型与工作步骤3、运筹学的应用与展望课后作业无同济大学出版社：运筹学教程参考资料高等教育出版社：管理运筹学注：本页为每次课教案首页教案用纸第 2 次课 3 学时上次课复习：运筹学的学科性质和发展概况运筹学的模型与工作步骤本次课题（或教材章节题目）：二、线性规划与目标规划第一章线性规划及单纯形法1、线性规划问题及其数学模型教学要求：1、通过实际问题引入线性规划模型，初步掌握建立线性规划模型的方法；2、通过图解法直观地理解线性规划解的状态和线性规划的基本性质；3、熟练掌握线性规划问题的标准化方法；4、理解基、基解，基可行解的概念。
重点：线性规划问题及其数学模型、标准形式难点：线性规划问题及其数学模型、线性规划问题解的概念教学手段及教具：讲授讲授内容：1、线性规划模型的建立2、线性规划问题的图解法3、线性规划问题的标准形式4、线性规划问题解的概念课后作业P44： 1.1、1.2、1.3、1.10同济大学出版社：运筹学教程参考资料高等教育出版社：管理运筹学注：本页为每次课教案首页教案用纸第 3 次课 3 学时上次课复习：1、线性规划模型的建立2、线性规划问题的图解法3、线性规划问题的标准形式4、线性规划问题解的概念本次课题（或教材章节题目）：2、线性规划问题的几何意义3、单纯形法4、单纯形法的计算步骤教学要求：1、了解线性规划问题的几何意义和基本性质2、理解单纯形法的理论基础，熟练掌握可行条件和优化条件；3、熟练掌握单纯形法的计算步骤重点：可行条件与优化条件。
运筹学 教案
《运筹学》课程教案2019-2020（ 1 ）学期授课教师： xxx授课专业：物流管理授课班级： xxxxx周学时： 3授课周数： 16xxxxxxxxxxx系第 一 章 教案教学目的和要求 教学目的：让学生对运筹学的基本概念有一个大致的了解 教学要求：要求学生能够课前预习教材内容 教学重 点难点教学重点：线性规划的图解法 教学难点：线性规划的标准形式教学内容第一章 线性规划的基本概念1.1线性规划问题及其数学模型1.1.1问题的提出1.1.2线性规划的一般数学模型 1.2线性规划的图解法1.2.1图解法的基本步骤适用于求解两个变量的线性规划问题 例4 利用例1说明图解法的主要步骤。
例1的数学模型为s.t.线性规划图解法的基本步骤：（1）建立以x 1,x 2为坐标轴的直角坐标系，画出线性规划 问题的可行域。
（2）求目标函数 Z=C 1x 1+C 2x 2 的梯度▽Z =（c 1,c 2）。
（3）任取等值线 C 1x 1+C 2x 2=Z 0, 沿梯度▽Z 正方向平移, （若是极小化问题，则沿负梯度方向-▽Z 平移）， 求等直线将离未离可行域时与可行域的交点。
121212112maxZ 5x 2x 30x 2 0x 160 5x x 15 x 4x 0, x 0=++≤⎧⎪+≤⎪⎨≤⎪⎪≥≥⎩第 二 章 教案教学目的和要求 使学生对于单纯形法有一定的了解，并且能够解决简单的关于单纯形法的问题。
教学重 点难点教学重点：单纯形法的一般原理 教学难点：表格单纯形法教学内容第二章 单纯形法2.1单纯形法的一般原理Dantzig 的单纯形法把寻优的目标集中在所有基本可行解（即可行域顶点）中。
其基本思路是从一个初始的基本可行解出发，寻找一条达到最优基本可行解的最佳途径。
单纯形法的一般步骤如下：（1）寻找一个初始的基本可行解。
（2）检查现行的基本可行解是否最优，如果为最优， 则停止迭代，已找到最优解，否则转一步。
与清华大学《运筹学》教材相应的授课文档第二章
X * (x1* x2* xn* )T
X
* S
(xS*1
xS*2 xS*m )T
Y * ( y1*
y2*
y
* m
)
YS* ( yS*1
y
* S
2
ys*n
)
用分量表示：
y
* Sj
x
* j
0,
yi*
x
* Si
min w = Yb + YS0 YA - Ys = C Y,Ys ≥ 0
检验数：σ = (C 0)- CBB-1(A I)
= (C- CBB-1A - CBB-1)
= (σ c σ s)
σ c = C - CBB-1A X对应的检验数
σ s = - CBB-1
Xs对应的检验数
22
[eg.6]已知：min w = 20y1 + 20y2 的最优解为y1*=1.2,y2*=0.2
12
§4 对偶问题的性质
1、对称性 对偶问题的对偶为原问题.
max z CX , AX b, X 0
min w Yb, YA C, Y 0
max(w) min w Yb,
YA C YA C;Y 0 即
max(w) Yb
min(w' ) CX
CB B 1b
Y *b
w*
18
∴Y*为对偶问题的最优解，且原问题和对偶问题
的目标值相等。
证毕
6、松弛性
若X*，Y*分别为原问题及对偶问题的可行解，
韩伯棠管理运筹学(第三版)_第二章_线性规划的图解法
之为线性规划。如果目标函数是变量的非线性函数，
或约束条件中含有变量非线性的等式或不等式的数学
模型则称之为非线性规划。
把满足所有约束条件的解称为该线性规划的可行
解。把使得目标函数值最大(即利润最大)的可行解称 为该线性规划的最优解，此目标函数值称为最优目标
函数值，简称最优值。
7
对于一般线性规划问题的建模过程。应注意 如下几个问题：
x1 X1+X2=300
B点为最优解，坐标为（50，250）
12
问题的解：
最佳决策为x1=50, x2=250，此时z=27500。 这说明该厂的最优生产计划方案是生产I产品50单位，
生产Ⅱ产品250单位，可得最大利润27500元。
把x1=50, x2=250代入约束条件得： 50+250=300台时设备
分析: 可知购买的原料A与原料B的总量为
250+100=350(吨)正好达到约束条件的最低限，所需的 加工时间为2×250+1×100=600正好达到加工时间的最 高限。而原料A的购进量250吨则比原料A购进量的最 低限125吨多购进了250-125=125吨， 这个超过量在 线性规划中称为剩余量。
2×50+250=350千克原料A，
1×250=250千克原料B．
这表明了生产50单位Ⅰ产品和250单位Ⅱ产品将消
耗完所有可使用的设备台时数和原料B，但对原料A来
说只消耗了350千克，还有(400—350)=50千克没有
使用。在线性规划中，对一个≤约束条件中没使用的资
源或能力的大小称之为松弛量。
max Z=50 x1+100x2 （称为目标函数）。
其中max为最大化的符号(最小化为min)；50和100分别为单位产
《运筹学》教案目标规划数学模型
《运筹学》教案-目标规划数学模型教案章节：一、引言教学目标：1. 理解目标规划数学模型的基本概念。
2. 掌握目标规划数学模型的建立方法。
教学内容：1. 目标规划数学模型的定义。
2. 目标规划数学模型的建立步骤。
教学方法：1. 讲授法：讲解目标规划数学模型的基本概念和建立方法。
2. 案例分析法：分析实际案例，让学生更好地理解目标规划数学模型。
教学准备：1. 教案、PPT、教学案例。
2. 投影仪、白板、教学用具。
教学过程：1. 引入新课：通过讲解目标规划数学模型的定义和应用领域，引发学生对该课题的兴趣。
2. 讲解基本概念：讲解目标规划数学模型的基本概念，包括目标、约束条件、优化方法等。
3. 讲解建立方法：讲解目标规划数学模型的建立步骤，包括明确目标、确定约束条件、选择优化方法等。
4. 案例分析：分析实际案例，让学生更好地理解目标规划数学模型。
5. 课堂练习：让学生运用所学的知识，解决实际问题，巩固所学内容。
6. 总结与展望：总结本节课的重点内容，布置课后作业，预告下一节课的内容。
教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和准确性。
2. 学生参与案例分析和课堂练习的积极性和主动性。
3. 学生对目标规划数学模型的理解和应用能力。
教案章节：二、线性规划数学模型教学目标：1. 理解线性规划数学模型的基本概念。
2. 掌握线性规划数学模型的建立方法。
教学内容：1. 线性规划数学模型的定义。
2. 线性规划数学模型的建立步骤。
教学方法：1. 讲授法：讲解线性规划数学模型的基本概念和建立方法。
2. 案例分析法：分析实际案例，让学生更好地理解线性规划数学模型。
教学准备：1. 教案、PPT、教学案例。
2. 投影仪、白板、教学用具。
教学过程：1. 引入新课：通过讲解线性规划数学模型的定义和应用领域，引发学生对该课题的兴趣。
2. 讲解基本概念：讲解线性规划数学模型的基本概念，包括决策变量、目标函数、约束条件等。
3. 讲解建立方法：讲解线性规划数学模型的建立步骤，包括明确目标、确定决策变量、列出约束条件等。
运筹学第二章
2.1 用图解法求解下列线性规划问题，并指出各问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-≤+≤++=0,84821234..2max 2121212121x x x x x x x x t s x x z 解：首先划出平面直角坐标系4 x 1 +3x 2X 1解：⎩⎨⎧=+=-1234842121x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧=14921x x 所以：2111492max =+⨯=z 所以有唯一解(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-≤+≤+-+=0,414234223max 2121212121x x x x x x x x x x 解：2=41解得：⎩⎨⎧=+=+-1423422121x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==4132521x x 所以:144132253max =⨯+⨯=z 因为直线与直线平行，02321=+x x 142321=+x x 所以有无穷多最优解，max z=14（3）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-+=0,432..32max 21212121x x x x x x t s x x z 解：（4）⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-≥-+=0,330..max 21212121x x x x x x t s x xz解：2.2将下列线性规划问题化为标准形式(1) s.t.(2)⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-+-=++-+-=无无无321321321321,0,0624322min x x x x x x x x x x x x z ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥-=-+-≤+-≥--+=0,0232132..23min 3213213132321x x x x x x x x x x t s x x x z 无无无无解：（1）令011≥-=x x )0'','('''33333≥-=x x x x x 则上述形式可化为：)'''(32'2max 3321x x x x z --+= ⎪⎩⎪⎨⎧≥=+--+=-++0,'',',,'6)'''('24)'''('..43321433213321x x x x x x x x x x x x x x t s（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥-=-+-≤+-≥--+=0,0232132..23min 3213213132321x x x x x x x x x x t s x x x z 无无无无解：令 33'x x -=)0','','(322≥x x x 则上述形式可化为：')'''(23max 3221x x x x z ----= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=---=+--=+---0,,','',',2')'''(321')'''(3')'''(2..543221322153224322x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s 2.3. 在下列线性规划问题中，找出所有基解，指出哪些是基可行解并分别代入目标函数，比较找出最优解。
运筹学第二章电子讲稿1
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0 –1 -7/2 0 –3/2
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x2 2 0 1 5/2 -1 1/2
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x1 1 1 0 –2 1 –1
•
0 0 –1 –1 –1
•所以最优解为x1=1,x2=2,x3=0，Ζmin=11
运筹学第二章电子讲稿1
•§7.灵敏度分析
• 问题：①当aij,bi,cj中的一个或几个发生 变化时，已求得的线性规划问题的最优解会
运筹学第二章电子讲稿1Fra bibliotek•的，所以不论产品多少，都以其最大加工 能力的工时计入成本，而贵金属按实际使用 量计入成本。
• 如设A、B产品分别生产x1和x2千件，则利 润可按下式计算（单位：万元）
•S=6x1+7x2-[（3x1+2x2）+（141.5+ 102.5)]
• •
=使3得x1毛+5利x2最-4大6 的生产计划即为如下线性
• 于是，问题变成：
•
max Yb
•
YA≤C
•
Y≥0
运筹学第二章电子讲稿1
•§4.线性规划的对偶理论
• 4.1.原问题与对偶问题的关系
•原问题•(P)
•对偶问题•(D)
• max Ζ=c1x1+c2x2+…+cnxn •
• s.t. a11x1+a12x2+…a1nxn≤b1•
• a21x1+a22x2+…a2nxn≤b2•
运筹学第二章电子讲稿1
• (2)按min (B-1b)i 定换出变量xl； • (3)确定换入变量
(B-1b)i<0
=(B-1b)l确
• 若xl所在行的各系数alj≥0(j=1,2,…,n),则 无可行解，停止； • 若alj<0，则计算
运筹学第二讲ppt课件 31页
一个算法的执行时间大致上等于其所有语句执行时间的总和， 而语句的执行时间则为该条语句的重复执行次数和执行一次所需时 间的乘积。
语句的频度(Frequency Count)：一条语句的重复执行次数。 △ 算法的执行时间=∑原操作(基本操作)的执行次数(频度)× 原操作的执行时间 △ 设每条语句一次执行的时间都是相同的，为单位时间。这 样我们对时间的分析就可以独立于软硬件系统。
lim T(n)/n3 lim (2n33n22n1)/n32
n
n
一个算法的时间复杂度(Time Complexity)是该算法的执行时
间，记作T(n)，T(n)是该算法所求解问题规模n的函数。
当问题的规模趋向无穷大时，T(n)的数量级称为算法的渐近时
间复杂度，记作
T(n)=〇(f(n))
(3) x++;
(4) for(i=1；i<=n；i++)
T(n)=〇(n2)
(5) for(j=1jj<=n；j++)
(6)
y++;
例1.7 变量计数之二
ni j
ni
n
1j i(i1)/2
(1) x=1；
i1 j1 k1 i1 j1
i1
(2) for(i=1；i<=n；i++) [n(n1)(2n1)/6n(n1)/2]/2
它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的
增长率相同，简称时间复杂度。我们就是要找这个f(n) 。
例1.5 交换x和y的值。
temp=x;
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Z= ω=问C题X=分Y析b Z/ b=(Yb) '=Y
问题：
原问题：
min z= 15y1 + 24y2 + 5y3
估价——6影y子2 +价y格3 ≥ 2
st . （即得5增y到1加+的单2贡位y献2资+）源y所3 ≥ 1
y1 , y2 , y3 ≥ 0
问题 的解
？ Y*=(0, ¼, ½ , 0, 0 )
5*3/2 = 15/2＜ 1 6*7/2+2*3/2 = 24 = 52
7/2+3/2 = 5 = 45
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第三节 影子价格
一、原问题是利润最大化的生产计划问题
总利润（元）
单位产品的利润（元/件）
max z c1x1
s.t.
a11x1
a21x1
c2x2 a12x2 a22x2
c2x2 a1nxn a2nxn
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影子价格是一种机会成本
在纯市场经济下，当市场价格>y* 时，卖出该资源，否则当市场价格 增加单位资源可以增加的利润
<y*时，买进该资源。 max z c1x1 c2x2
cjxj
cnxn
s.t.
a11x1 a12x2
a1jxj
a1nxn bw11
a21x1 a22x2
a2jxj
a2nxn bw22
总利润（元）
资源限量（吨）
min y b1y1 b2y2
s.t.
a11y1 a21y2
a12y1 a22y2
bmym
资源价格（元/吨）
am1ym ym1
c1
am2ym
ym2
c2
a1ny1 a2ny2
amnym
ymn cn
y1
y2
ym ym1 ym2
ymn 0
对偶问题是资源定价问题，对偶问题的最优解y1、y2、...、 ym称为m种资源的影子价格（Shadow Price）
设： y1 — 设备A值的价值 y2 — 设备B值的价值 y3 — 调试工序值的价值
分 析
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总价值 min z= 15 y1 + 24y2 + 5y3
6y2 + y3 ≥ 2
st .
5y1 + 2y2 + y3 ≥ 1
y1 , y2 , y3 ≥ 0
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第二节 对偶问题的基本性质
对称性：对偶问题的对偶问题是原问题 弱对偶性：极大化原问题的任一可行解的目标
函数值，不大于其对偶问题任意可行解的目 标函数值。P56推论 无界性：原问题有可行解且z无界，对偶问题 无可行解。 对偶定理：若原问题与T其对偶问题均具有可行 解，则两者均具有最优解且最优解对应的目 标函数值相等。若原问题最优基为B，则其对 偶问题最优解Y*=CBB-1 互补松弛性： 需要说明的是：这些性质同样适用于非对称形问题
变化，主要有以下几种情况：
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运 筹 帷 幄 之 中
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运筹学课件
第二章
决
对偶理论
胜
与
千
灵敏度分析
里
之
外 Linear progranming
第一节 线性规划的对偶问题
一、对偶问题的提出
例一美佳公司计划制造Ⅰ、Ⅱ两种家电产品。已知各制造一件时分别占用的设备
A、B的台时、调试时间及A、B设备和调试工序每天可用于这两种家电的能力、 各售出一件时的获利情况如下表所示。问该公司应制造Ⅰ、Ⅱ两种家电备多少 件,使获取的利润为最大。
min y b1w1 b2w2
s.t.
a11y1 a21y2
a12y1 a22y2
差额成本
利润
bmwm
am1ym ym1
am2ym
ym2
c1 c2
a1ny1 a2ny2
amnym
ymn cn
y1
y2
ym ym1 ym2
ymn 0
y m j ( y 1 a 1 j y 2 a 2 j y m a m j ) c j Y T a j c j j
Z*= 17/2
利润 max z= 2 x1 + x2
5x2 ≤ 15 y1
约束 条件 st .
6x1 + 2x2 ≤ 24 y2 x1 + x2 ≤ 5 y3 x1，x2 ≥ 0
问题 的解
X*=(7/2,3/2,15/2,0,0) Z*= 17/2
•两个问题的最优解的值一致
•最大值问题的最优解是最小值问题的可行
z z b 1 y 1 b 2 y 2 ( b i b i ) y i b m y m zbiyi
y * i z b * i 第 最 i 大 种 利 资 润 源 的 的 增 增 量 量 第 i种 资 源 的 边 际 利 润
■影子价格越大，说明增加这种资源越带来的z增加越多， 该资源是相对紧缺的。 ■影子价格越小，说明增加这种资源越带来的z增加越少， 该资源是相对不紧缺的。 ■如果最优生产计划下某种资源有剩余，这种资源的影子 价格一定等于0
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三、资源影子价格的性质
影子价格代表在资源最优利用条件下对单位第i种资源的估价。 市场价格是已知数，相对稳定。影子价格依赖于资源的利用 情况，是未知数。因企业生产任务、产品结构等的变化而变 化。
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资源影子价格是一种边际价格
z b 1 y 1 b 2 y 2 b i y i b m y m
a11x1 - a12x2' + a13x3'- a13x3" ≤ b1
st.
a21x1 - a22x2' + a23x3'- a23x3" ≤ b2 -a21x1 + a22x2' _ a23x3'+ a23x3" ≤-b2
-a31x1 + a32x2' - a33x3'+ a33x3" ≤-b3
am1x1 am2x2
amjxj
x1
x2
xj
减少一件产品可以节省的资源
amnxn bwmm xn 0
机会成本
a 1 j y 1 a 2 j y 2 a i j y i a m j y m
表示减少一件产品所节省的资源可以增加的利润
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产品的差额成本（Reduced Cost）
隐含成本
x1 , x2', x3'，x3" ≥0
min w = b1y1 + b2y2'- b2y2" - b3y3' a11y1 + a21y2'– a21y2" - a31y3'≥ c1 -a12y1 - a22y2'+ a22y2" - a32y3'≥-c2
st. a13y1 + a23y2'– a23y2"- a33y3'≥ c3 -a13y1 - a23y2'+ a23y2"+ a33y3'≥-c3
5y1 + 2y2 + y3 ≥ 1
y1 , y2 , y3 ≥ 0
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min w =YTb ATY ≥ CT
st. Y≥ 0
a11 a12 … a1n A= a21 a22 … a2n
┇┇ …┇ am1 am2 … anm
利润 max z= 2 x1 + x2
5x2 ≤ 15
约束 条件
st
.
6x1 + 2x2 ≤ 24 x1 + x2 ≤ 5 x1，x2 ≥ 0
三、非对称形式的原对偶问题关系
非对称形式？
max z = c1x1 + c2x2
+ca3x113x1+a12x2+a13x3 ≤ b1
st. a21x1+a22x2+a23x3 = b2 a31x1+a32x2+a33x3 ≥ b3
x1 ≥ 0, x2 ≤ 0, x3无约束
min w = b1y1 + b2y2 + b3y3
a11y1 + a21y2 + a31y3 ≥ c1
st.
a12y1 + a22y2 + a32y3 ≤ c2 a13y1 + a23y2 + a33y3 = c3
y1≥0, y2无约束，y3 ≤0
max z = c1x1 - c2x2' + c3x3' - c3x3"
设： x1—— A产品的生产量 x2—— B产品的生产量
利润
max z= 2 x1 + x2
约束 条件 st .
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5x2 ≤ 15 6x1 + 2x2 ≤ 24 x1 + x2 ≤ 5 x1，x2 ≥ 0
一个问题？
市场上设备A、设备B和调试工序每小时值多少钱？在什么价位时，可以出 租或去租借适当数量的资源来扩大生产规模？
对称形式的定义