3 刚体力学习题详解
《大学物理》刚体力学练习题及答案解析
《大学物理》刚体力学练习题及答案解析一、选择题1.刚体对轴的转动惯量，与哪个因素无关 [ C ]（A）刚体的质量（B）刚体质量的空间分布（C）刚体的转动速度（D）刚体转轴的位置2.有两个力作用在一个有固定轴的刚体上. [ B ](1)这两个力都平行于轴作用时,它们对轴的合力矩一定是零;(2)这两个力都垂直于轴作用时,它们对轴的合力矩可能是零;(3)这两个力的合力为零时,它们对轴的合力矩也一定是零;(4)当这两个力对轴的合力矩为零时,它们的合力也一定是零.在上述说法中,(A)只有(1)是正确的；(B) (1)、(2) 正确, (3)、(4)错误；(C) (1)、(2)、(3)都正确, (4)错误；(D) (1)、(2)、(3)、(4)都正确.3.均匀细棒OA可绕通过其一端O而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖立位置的过程中，下述说法哪一种是正确的[ A ](A) 角速度从小到大，角加速度从大到小；(B) 角速度从小到大，角加速度从小到大；(C) 角速度从大到小，角加速度从大到小；(D) 角速度从大到小，角加速度从小到大.4．如图所示，圆锥摆的小球在水平面内作匀速率圆周运动，小球和地球所组成的系统，下列哪些物理量守恒（ C ）（A）动量守恒，角动量守恒（B）动量和机械能守恒（C）角动量和机械能守恒（D）动量，角动量，机械能守恒5.一圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的水平轴转动，轴间摩擦不计，如图射来两个质量相同，速度大小相同、方向相反并在一条直线上的子弹，它们同时射入圆盘并且留在盘内，在子弹射入后的瞬间，对于圆盘和子弹系统的角动量L以及圆盘的角速度ω则有（ B ）（A）L不变，ω增大（B）L不变，ω减小（C）L变大，ω不变（D）两者均不变6.一花样滑冰者，开始自转时，其动能为20021ωJ E =。
然后他将手臂收回，转动惯量减少为原来的1/3，此时他的角速度变为ω，动能变为E ，则下列关系正确的是（ D ） （A ）00,3E E ==ωω （B ）003,31E E ==ωω （C ）00,3E E ==ωω （D ）003,3E E ==ωω1C 2.B ，3.A ，4.C ，5.B ，6.D二、填空1.当刚体受到的合外力的力矩为零时，刚体具有将保持静止的状态或_____________状态，把刚体的这一性质叫刚体___________。
第3章例题_刚体力学基础
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刚体力学基础
解 （1)选小球和棒作为系统 碰撞瞬间角动量守恒
mv0l mvl J
弹性碰撞, 系统碰撞前后动能不变
1 2 1 1 2 mv0 mv J 2 2 2 2
机械能守恒 解得
1 l l 2 J Mg ( cos 60) 2 2 2
3 30 30 1 v0 m s ,v m s 1 4 4
2
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刚体力学基础
例3-6 有一根长为 l , 质量为m 的均匀细直棒, 棒可绕上端光 滑水平轴在竖直平面内转动. 最初棒静止在水平位置, 求它 由此下摆θ 角时的角速度。
解 选细棒和地球作为系统,机械能守恒
1 1 1 2 Ek J ml 2 2 2 2 3
l E p mghc mg sin 2
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3g sin l
刚体力学基础
例3-2 质量均为m 的两物体A 和B , A 放在倾角为α 的光滑斜 面上, 通过滑轮由不可伸长的轻绳与B 相连. 定滑轮是半径 为R 的圆盘, 其质量也为m . 物体运动时, 绳与滑轮无相对滑 动. 求绳中张力FT1 和FT2 及物体的加速度a(设轮轴光滑,滑 1 轮转动惯量为 J mR 2
2
' F 解 T 1 mgsin maA mg FT' 2 maB M FT 2 R FT 1R J a A aB R
FT'1 FT1 , FT' 2 FT 2
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2 3 sin FT 1 mg 5 3 2sin FT 2 mg 5 2(1 sin )
J R dm R
2 2
刚体力学习题答案.docx
连,m1和m2则挂在圆柱体的两侧,如3-8图所示．设R＝0.20m,r＝0.10m,m＝4 kg,M＝10
kg,m1＝m2＝2 kg,且开始时m1,m2离地均为h＝2m．求：
(1)柱体转动时的角加速度；
(2)两侧细绳的张力．
2
1( J
2mr
2)
0
2
0
2
2
0
1
1
(5
2 4
0.22)
122
(5 2
4 0.82)
(2 )2
2
2
＝183J
3-18如3-20图所示,质量为M,长为l的均匀直棒,可绕垂直于棒一端的水平轴O无摩擦地转动,它原来静止在平衡位置上． 现有一质量为m的弹性小球飞来,正好在棒的下端与棒垂
直地相撞．相撞后,使棒从平衡位置处摆动到最大角度30°处．
L2
m2
vr sin 30
1m1r2
2
2
v
1
2
故有
m2vr sin60 m22r sin30
2m1r
可解得：
(2 3 1)m2v
2m1r
3-16
一人站在一匀质圆板状水平转台的边缘
,转台的轴承处的摩擦可忽略不计
,人的质量
为m',转台的质量为
10m',半径为R.最初整个系统是静止的,这人把一质量为
m的石子
2
mv
6m'R
人的线速度为vR
mv
6m'
其中负号表示转台角速度转向和人的线速度方向与假设方向相反-
3-17一人站在转台上,两臂平举,两手各握一个m
第03章(刚体力学)习题答案
轮子的角速度由w ＝0 增大到w ＝10 rad/s，求摩擦力矩 Mr． [5.0 N·m]
解：摩擦力矩与外力矩均为恒力矩，所以刚体作匀角加速转动。其角加速度为：
b = w - w0 = 10 - 0 = 1rad / s2
Dt
10
合外力矩为： M合 = Jb = 15 ´1 = 15(N × m) = M - M r Þ M r = 5.0(N × m)
所以机械能也不守恒。
3-3 一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴 O 以角速度w按图示方向转动.若如图
所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力
F 沿盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度w 如何变化？
w
答：左边力的力矩比右边的大，所以刚体会被加速，其角加速
F
F
度增大。 3-4 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是什么？ 答：刚体所受的合外力矩为零。
解：此过程角动量守恒
Jw0
=
1 3
Jw
Þ
w
=
3w0
3-10 一轴承光滑的定滑轮，质量为 M＝2.00 kg，半径为 R＝0.100 m，
一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为 m＝5.00
kg 的物体，如图所示．已知定滑轮的转动惯量为 J＝ 1 MR 2 ，其初角速 2
w 0
R M
度w0 ＝10.0 rad/s，方向垂直纸面向里．求：
(1) 定滑轮的角加速度的大小和方向； (2) 定滑轮的角速度变化到w＝0 时，物体上升的高度；
m
习题 310 图
(3) 当物体回到原来位置时，定滑轮的角速度的大小和方向．
[ 81.7 rad/s2 ，垂直纸面向外； 6.12×10-2 m； w = 10.0 rad/s，垂直纸面向外]
大学物理习题及解答(刚体力学)
1 如图所示，质量为m 的小球系在绳子的一端，绳穿过一铅直套管，使小球限制在一光滑水平面上运动。
先使小球以速度0v 。
绕管心作半径为r D 的圆周运动，然后向下慢慢拉绳，使小球运动轨迹最后成为半径为r 1的圆，求(1)小球距管心r 1时速度大小。
(2)由r D 缩到r 1过程中，力F 所作的功。
解 (1)绳子作用在小球上的力始终通过中心O ，是有心力，以小球为研究对象，此力对O 的力矩在小球运动过程中始终为零，因此，在绳子缩短的过程中，小球对O 点的角动量守恒，即10L L =小球在r D 和r 1位置时的角动量大小 1100r mv r mv = 100r r v v =(2)可见，小球的速率增大了，动能也增大了，由功能定理得力所作的功 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=-=1)(21 21)(21 21212102020210202021r r mv mv r r mv mv mv W2 如图所示，定滑轮半径为r ，可绕垂直通过轮心的无摩擦水平轴转动，转动惯量为J ，轮上绕有一轻绳，一端与劲度系数为k 的轻弹簧相连，另一端与质量为m 的物体相连。
物体置于倾角为θ的光滑斜面上。
开始时，弹簧处于自然长度，物体速度为零，然后释放物体沿斜面下滑，求物体下滑距离l 时，物体速度的大小。
解 把物体、滑轮、弹簧、轻绳和地球为研究系统。
在物体由静止下滑的过程中，只有重力、弹性力作功，其它外力和非保守内力作功的和为零，故系统的机械能守恒。
设物体下滑l 时，速度为v ，此时滑轮的角速度为ω则 θωsin 2121210222mgl mv J kl -++= （1）又有 ωr v = （2） 由式（1）和式（2）可得 m r J kl mgl v +-=22sin 2θ本题也可以由刚体定轴转动定律和牛顿第二定律求得，读者不妨一试。
3 如右图所示，一长为l 、质量为m '的杆可绕支点O 自由转动，一质量为m 、速率为v 的子弹射入杆内距支点为a 处，使杆的偏转为︒30。
大学物理第三章刚体力学基础习题答案
方向竖直向下
3-15 由角动量守恒得
mul J mvl 1 1 2 1 2 2 mu m v J 因弹性碰撞，系统机械能守恒： 2 2 2 1 1 2 2 又： J M 2l Ml 12 3 6mu M 3m u 联立可得： v M 3m l M 3m
2 2 2 1 mv l [m( l ) M l 2 ] 3 3 3
o
2 l 3
6mv (4m 3M ) l
v
m
A
3-9 电风扇在开启电源后，经过t1时间到达了额定 转速，此时相应的角速度为 0。当关闭电源后，经 过t2时间风扇停转。已知风扇转子的转动惯量为 J， 并假定摩擦力矩和电机的电磁力矩均为常量，试根据 已知量推算电机的电磁力矩。 解： 设电机的电磁力矩为M，摩擦力矩为Mf
1
0
t1
3-9 (1)
mg T ma
T mg sin 30 ma
g 2 a m/s 4
方向竖直向下
T2 N 2
mg
(2)
mg T1 ma
T2 mg sin 300 ma
T1r T2r J
a r
T1
1
mg
J k m r2
g 联立求解得： a 22 k
质点运动 m 质 量 力 F 刚体定轴转动 2 J r 转动惯量 m dm 力矩 M Fr sin
dp dL F m a F 第二定律 转动定律 M J M dt dt p mv 动 量 角动量 L J t t2 动量定理 t Fdt mv2 mv1 角动量定理 t Mdt J 2 J1 1 动量守恒 F 0, mv 恒矢量 角动量守恒 M 0, J 恒矢量 力矩的功 W Md 力 的 功 W F dr
大学物理习题答案03刚体运动学
⼤学物理习题答案03刚体运动学⼤学物理练习题三⼀、选择题1.⼀⼒学系统由两个质点组成，它们之间只有引⼒作⽤。
若两质点所受外⼒的⽮量和为零，则此系统(A) 动量、机械能以及对⼀轴的⾓动量都守恒。
(B) 动量、机械能守恒，但⾓动量是否守恒不能断定。
(C) 动量守恒，但机械能和⾓动量守恒与否不能断定。
(D) 动量和⾓动量守恒，但机械能是否守恒不能断定。
[ C ]解：系统＝０合外F，内⼒是引⼒（保守内⼒）。
（１）021 F F,＝０合外F ，动量守恒。
（２）2211r F r F A ＝合。
21F F，但21r r时0A 外，因此Ｅ不⼀定守恒。
（３）21F F，2211d F d F M ＝合。
两⼒对定点的⼒臂21d d 时，0 合外M，故L 不⼀定守恒。
2. 如图所⽰，有⼀个⼩物体，置于⼀个光滑的⽔平桌⾯上，有⼀绳其⼀端连结此物体，另⼀端穿过桌⾯中⼼的⼩孔，该物体原以⾓速度ω在距孔为R 的圆周上转动，今将绳从⼩孔往下拉。
则物体 (A) 动能不变，动量改变。
(B) 动量不变，动能改变。
(C) ⾓动量不变，动量不变。
(D) ⾓动量改变，动量改变。
(E)⾓动量不变，动能、动量都改变。
[ E ]解：合外⼒（拉⼒）对圆⼼的⼒矩为零，⾓动量O Rrmv L 守恒。
r 减⼩，v 增⼤。
因此p 、E k 均变化（m不变）。
3. 有两个半径相同，质量相等的细圆环A 和B 。
A 环的质量分布均匀，B 环的质量分布不均匀。
它们对通过环⼼并与环⾯垂直的轴的转动惯量分别为J A 和J B ，则(A)A J >B J (B) A J < B J(C) A J =B J (D) 不能确定A J 、B J 哪个⼤。
[ C ]解：2222mR dm R dm R dm r J， J 与m 的分布⽆关。
另问：如果是椭圆环，J 与质量分布有关吗？（是）4. 光滑的⽔平桌⾯上，有⼀长为2L 、质量为m 的匀质细杆，可绕过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴O ⾃由转动，其转动惯量为31mL 2，起初杆静⽌。
刚体力学例题及解答
例 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴OO '转动，设大小圆柱的半径分别为R 和r ，质量分别为M 和m ，绕在两柱体上的细绳分别与物体m 1和物体m 2 相连，m 1和m 2则挂在圆柱体的两侧，如图所示，设R =0.20m ，r =0.10m ，m =4kg ，M =10kg ，m 1=m 2=2kg ，求柱体转动时的角加速度及两侧绳中的张力。
1111222212122212,1122m g T m a m g T m a T R T r J a R a r J m R m r ααα⎧⎪-=⎪-+=⎪⎪-=→⎨⎪==⎪⎪=+⎪⎩2126.13/17.220.8rad s T N T N α⎧=⎪=⎨⎪=⎩例 如图，滑轮质量为M ，半径为R ，物体质量m ，弹簧屈强系数k ，斜面倾角θ均为已知。
开始时扶住物体m ，使系统保持静止，弹簧无伸缩，然后放开。
求： （1）物体下滑距离为x 时的速度为多少？（2）下滑距离x 为多大时，物体的速度为最大，最大速度为多少？ （3）物体下滑的最大距离为多大？（设绳子与滑轮间无相对滑动） 解：（1）22221110sin 22212m v I kx m gx v R J M R ωθω⎧=++-⎪⎪=→⎨⎪⎪=⎩sin /2v m g kx dv dv dx dv a vdt dx dtdxm M θ=-====+（2）2/sin ,sin 0max M m mgx v kmg x dxdvm x x m+==→==θθ（3）kmg x v x x θsin 20max max=→==T 1m 2gm 1gT 2T 1例 如图，长为l ，质量为m 的匀质细棒的两端分别连着质量均为m 的小球A 和质量为2m 的小球B 。
整个系统绕过细棒的中点O 的水平轴自水平位置以零初速自由下摆，求：（1）系统摆到某一角位置θ 时，细棒的角速度和角加速度；（2）此时细棒对小球A 、B 的作用力。
大学物理-刚体力学习题解答
1大学物理-刚体力学习题解答一、选择题1、 B,r v⨯=ω 2、 C, 3 、B, 4 、C, 5、 B, 平轴的力矩和为零，θθsin 2cos lmgNl =，所以2)tan (θmg N =。
6 、B, 7、 A, 32202mgR rdr R mrgrgdm M Rf μππμμ===⎰⎰ 8、 B ，在碰撞过程中，小球和摆对O 轴的角动量守恒，所以有1011sin 100mlv l v m=θ，220v v = 二、填空题1．t 108-==θω ，10-==θβ ，所以s rad s t 62.0==ω；22.010s rad s t -==β； s m R v m R s t 35.0,2.0====ω；()25.0,2.05s m R a m R s t -====βτ；()225.0,2.018s m R a m R s t n ====ω 2s m 18-⋅。
2．刚体对转轴转动惯性大小的量度；2I r dm =⎰；质量、质量分布、转轴的位置。
3．mLv 。
4．()()k t mgv j gt v i v j gt t v i t v v r L αααααcos 21sin cos 21sin cos 200020000-=-+⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⨯=；k t mgv dt L d αcos 00-=；k t mgv dtL d Mαcos 00-==。
5．角动量；04ω 。
6．同时到达。
7．32g。
8．20012I ω。
三、计算题，1、设1m 向下运动，2m 向上运动，对两物体应用牛顿定律列方程有：1111m g T m a -=，2222T m g m a -=，对鼓轮应用转动定律有：11220T r T r -= ，（因为鼓轮的质量忽略不计） 设鼓轮的角加速度为β，则有：11a r β= ，22a r β= 。
联立求解以上各式得：21122221122m r m r g m r m r β-=+ ；若1m 向上运动，2m 向下运动，则 2211221122m r m r g m r m r β-=+ 。
第3章 刚体力学基础
M = F1 d 1
r Ft 2 r2 F2 d 2 = Ft 叉乘右螺旋 1 r1
转动定律
瞬时 角加速度 瞬时 角速度
某质元
Fi
t
qi
n
fi
∑ Fi ri sin j i + ∑ f i ri sin q i = ∑
合外力矩 M 内力矩成对抵消= 0
得
O
ji
ri
等式两边乘以 i 并对所有质元及其所受力矩求和
∑ ∑
∑
是矢量式 与质点平动对比
刚体的角动量守恒定律
由 若 则 刚体所受合外力矩 即
当刚体所受的合外力矩 刚体的角动量
等于零时， 保持不变。
乘积
角动量守恒的另一类现象 角动量守恒的另一类现象 保持不变， 变小则 变大， 变大则
变小。
张臂
大
用外力矩 启动转盘后 撤除外力矩
收臂
小 大
小
乘积
角动量守恒的另一类现象 花样滑冰中常见的例子 保持不变， 变小则
刚体系统的角动量定理
若一个系统包含多个共轴刚体或平动物体 系统的总合外力矩 ∑ ∑ 系统的总角动量的变化率 系统的总角动量增量 轻绳 （忽略质量） 同向 ∑ 而 解得
系统的总冲量矩 例如 求角加速度
∑
系统：
静 止 释 放
∑ 总合外力矩 对O的角动量 对O的角动量 ∑ 由 得
主要公式归纳
（微分形式） （积分形式）
3
转动：分定轴转动和非定轴转动
刚体的平面运动
4
刚体的一般运动可看作： 随质心的平动
+
绕质心的转动
的合成
5
第二节
平 动
定轴转动
第三章 刚体力学基础 课后作业
第三章 刚体力学基础 课后作业班级 姓名 学号一、选择题1、一个质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为2A , 且向x 轴正方向移动，代表此简谐振动的旋转矢量为( )1、有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上：(1) 这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零；(2) 这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零；(3) 当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零；(4) 当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零．对上述说法下述判断正确的是( )(A ) 只有(1)是正确的 (B )(1)、(2)正确，(3)、(4)错误(C ) (1)、(2)、(3)都正确，(4)错误 (D )(1)、(2)、(3)、(4)都正确2、关于力矩有以下几种说法：(1) 对某个定轴转动刚体而言，内力矩不会改变刚体的角加速度；(2) 一对作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零；(3) 质量相等，形状和大小不同的两个刚体，在相同力矩的作用下，它们的运动状态一定相同．对上述说法下述判断正确的是( )(A ) 只有(2)是正确的 (B ) (1)、(2)是正确的(C )(2)、(3)是正确的 (D ) (1)、(2)、(3)都是正确的3、均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示，今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆到竖直位置的过程中，下述说法正确的是( )(A ) 角速度从小到大，角加速度不变(B ) 角速度从小到大，角加速度从小到大(C ) 角速度从小到大，角加速度从大到小(D ) 角速度不变，角加速度为零4、 一圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的水平轴转动，轴间摩擦不计．如图射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，它们同时射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘和子弹系统的角动量L以及圆盘的角速度ω的变化情况为( ) (A) L 不变，ω增大 (B) 两者均不变(C) L不变，ω减小 (D) 两者均不确定5、假设卫星环绕地球中心作椭圆运动，则在运动过程中，卫星对地球中心的( )(A) 角动量守恒，动能守恒 (B) 角动量守恒，机械能守恒(C) 角动量不守恒，机械能守恒 (D) 角动量不守恒，动量也不守恒(Ｅ) 角动量守恒，动量也守恒二、填空题1、有甲、乙两个飞轮，甲是木制的，周围镶上铁制的轮缘。
刚体习题及答案知识讲解
轮的角速度是多少？
θ A v0 cos
v0 sin
R
例6.一块质量为M＝1kg 的木板，高L＝0.6m，可以其一边为轴自 由转动。最初板自由下垂.今有一质量m＝10g的子弹，垂直击中 木板A点，l＝0.36m，子弹击中前速度为500m/s，穿出后的速度 为200m/s， 求： (1) 子弹给予木板的冲量
解法一： 用转动定律求解
在恒力矩和摩擦力矩作用下，0—10s内有：
M M r J1
1 1t1
M
Mr
J
ω1 t1
移去恒力矩后，0—90s内有：
Mr J2
0 1 2t2
Mr
J
2
t2
J Mt1t2
1(t1 t2 )
54kg m2
解题过程尽可能用文字式，最后再带入数字。
解法二:
0-10s: 0-90s:
m 的匀质圆盘，此圆盘具有光滑水平轴，然后在下端系一质量也 为 m的物体，如图。求当物体由静止下落h 时的速度v。
例11.如图所示，一均匀细杆长为 l ，质量为 m，平放在摩擦系数
为μ的水平桌面上，设开始时杆以角速度 ω0 绕过中心 o 且垂直于
桌面的轴转动，试求:
0
（1）作用在杆上的摩擦力矩;
（2）经过多长时间杆才会停止转动。
人 : Mg T 2 Ma
物:
1
1
T1 - 2 Mg = 2 Ma
轮： (T2 T1)R J
a R
2 a 7g
o
T2
T1
A Ba
Mg 1
3 刚体力学(3)
A ⋅9一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中,人、哑铃与转动平台组成的系统的（A）机械能守恒,角动量守恒;（B）机械能守恒,角动量不守恒,（C）机械能不守恒,角动量守恒;（D）机械能不守恒,角动量不守恒.[ C ]9一块方板，可以其一边为轴自由转动.最初板自由下垂.今有一小团粘土,垂直板面撞击方板并粘在板上,对粘土和方板系统，如果忽略空气阻力,在碰撞中守恒的量是:(A)动能.(B)绕木板转轴的角动量.(C)机械能.(D)动量.[ B ]9人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的(A)动量不守恒，动能守恒。
(B)动量守恒，动能不守恒。
(C)角动量守恒，动能不守恒。
(D)角动量不守恒，动能守恒。
[C]§3.3回转仪进动讨论刚体的定点转动。
回转仪：由厚而重，形状对称的刚体绕对称轴高速自转的装置。
当M =0 时，角动量及角速度矢量保持恒定——定向回转仪。
当回转仪受到外力矩作用时，如：陀螺倾斜——？——进动——回转效应。
地球进动的结果使地轴的指向在天球上作缓慢的圆周运动。
随之，北天极的位置在缓慢地变化着。
目前，北天极距离小熊座α星45’，这个距离还会不断变短，到2100年达到最小值28’。
此后，它就要慢慢远离小熊座α星，约13000年后，天琴座的织女星（vega ）将成为北极星。
地球的进动END一陀螺(m, rc )绕自转轴(J )以角速度ω 转动，若自转轴与竖直方向间的夹角为θ ，则：（1）从上往下看，其进动方向如何？（2）进动角速度的大小为多少？图为一简易进动装置，A 是质量为m a 的回转体，绕自转轴的角动量为，B 为平衡块。
在自转轴o’o 的中点以悬绳垂直悬吊，A 、B 距悬线距离均为l 。
现该装置以进动角速度在水平面内旋转，且，试求：（1）对悬点C 的合力矩方向；（2）平衡块的质量m b 。
j L L vv =Ωv k v vΩ=Ωc r作业: P202习题3-18，19，20，21，24。
大学物理第3章-刚体力学习题解答
第3章 刚体力学习题解答3.13 某发动机飞轮在时间间隔t 内的角位移为):,:(43s t rad ct bt at θθ-+=。
求t 时刻的角速度和角加速度。
解：23212643ct bt ct bt a dt d dtd -==-+==ωθβω3.14桑塔纳汽车时速为166km/h ，车轮滚动半径为0.26m ，发动机转速与驱动轮转速比为0.909, 问发动机转速为每分多少转？解：设车轮半径为R=0.26m ，发动机转速为n 1, 驱动轮转速为n 2, 汽车速度为v=166km/h 。
显然，汽车前进的速度就是驱动轮边缘的线速度，909.0/2212Rn Rn v ππ==，所以：min/1054.1/1024.93426.014.3210166909.02909.013rev h rev n R v ⨯=⨯===⨯⨯⨯⨯π3.15 如题3-15图所示，质量为m 的空心圆柱体，质量均匀分布，其内外半径为r 1和r 2，求对通过其中心轴的转动惯量。
解：设圆柱体长为h ，则半径为r ，厚为dr 的薄圆筒的质量dm 为：2..dm h r dr ρπ=对其轴线的转动惯量dI z 为232..z dI r dm h r dr ρπ==212222112..()2r z r I h r r dr m r r ρπ==-⎰ 3.17 如题3-17图所示，一半圆形细杆，半径为 ，质量为 ，求对过细杆二端轴的转动惯量。
解：如图所示，圆形细杆对过O 轴且垂直于圆形细杆所在平面的轴的转动惯量为mR 2，根据垂直轴定理z x y I I I =+和问题的对称性知：圆形细杆对过轴的转动惯量为12mR 2，由转动惯量的可加性可求得：半圆形细杆对过细杆二端轴的转动惯量为：214AA I mR '=3.18 在质量为M ，半径为R 的匀质圆盘上挖出半径为r 的两个圆孔，圆孔中心在半径R 的中点，求剩余部分对过大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量。
刚体的转动部分习题分析与解答
动轨迹为一个圆弧。
刚体的定轴转动和平面转动的比较
03
定轴转动和平面转动是刚体转动的两种基本形式，它们在运动
学和动力学上有一些不同之处，如角速度、角加速度等。
03
刚体的动能与势能
刚体的动能
总结词
刚体的动能是指刚体在转动过程中所 具有的能量，与刚体的转动速度和质 量分布有关。
详细描述
刚体的动能计算公式为$E_{k} = frac{1}{2}Iomega^{2}$，其中$I$为刚体的转 动惯量，$omega$为刚体的角速度。转动惯量 是描述刚体质量分布对其转动影响的物理量， 与刚体的质量分布、形状和大小有关。
解答过程
钢球下落过程中，其速度逐渐增大，故其动能在 不断增加。同时，钢球离地面的高度逐渐减小， 故其势能在不断减小。由于钢球下落过程中只有 重力做功，故其机械能守恒。
习题五：关于刚体的机械能守恒的题目
总结词
理解机械能守恒的概念，掌握机械能守恒的条件和机械能守恒的计算方法。
详细描述
机械能守恒是指系统内各种形式的能量在相互转化时总量保持不变。对于刚体系统，只有重力或弹力 做功时机械能守恒。机械能
刚体的势能
总结词
刚体的势能是指刚体在转动过程中相对于某一参考点所具有 的能量。
详细描述
刚体的势能计算公式为$U = -GMmcostheta$，其中$G$为万 有引力常数，$M$和$m$分别为两个质点的质量，$theta$为 两质点连线和垂直于势能参考平面的夹角。对于刚体，势能的 具体值取决于参考点的选择。
实际问题。
习题五解答与解析
要点一
总结词
刚体的角动量守恒
要点二
详细描述
这道题目考察了学生在刚体转动中如何应用角动量守恒的 知识。学生需要理解角动量的概念，知道角动量等于刚体 的转动惯量乘以角速度，并能够根据角动量守恒的条件判 断刚体的运动状态。
刚体力学第3讲刚体力学小结与习题课
(2)
3
完全1m弹m性x碰2撞m1前x21后m动l能213相m等2l 2：
??? (3)
2
23
(2)+(3) 解出 x 3 l / 3
或小球自下落至碰撞完毕，整个过程中小球、杆、
地球系统旳机械能守恒：
mgx(1 cos )
1
(1
ml 2 )
2
(3´)
(1)+(2)+(3´)一样可解出 2 3
例7：空心圆环可绕竖直轴 AC 自由转动，其转动惯量
mv
mv 0
质点系t 动量定理
t0
其中
Fdt
P
P P0
mv
动量守恒定律 当合外力为 0时
P0 P
转动
冲量矩 角动量
t
t0
刚体 质点
M dt
L Lr
J
P
角动量定t 理
Mdt t0
L
L0
角动量守恒定律 当合外力矩 为0时
L0 L
二 经典例题分析
处理力学问题旳措施
1.拟定研究对象； 2.受力分析； 3.建立坐标系或要求正向，或选择0势点； 4.拟定始末两态旳状态量； 5.应用定理、定律列方程求解； 6.有必要时进行讨论。
M 外 0 系统的角动量守恒.
R /2
Ro
v
(1)开始系统的角动量为
m
12 R
2
0
1 2
M
R 20
后来：
m
1 4
R
2
mE
1 2
M
R 2 ME
mE ME mM 21 M R 2 0 / 40
R /2
Ro
v
大学物理刚体力学习题讲解
m m O
Jw+mvr-mvr=（J+2mr2）w` w`=J/(J+2mr2)w
M
3. 两个滑冰运动员的质量各为70 kg，均以6.5 m/s
的速率沿相反的方向滑行，滑行路线间的垂直距 r=5m 离为10 m，当彼此交错时，各抓住一10 m长的绳 索的一端，然后相对旋转，则抓住绳索之后各自 对绳中心的角动量L＝2275
设m1下降，m2 上升 m1g - T1 m1 a T2 m 2 g m 2 a T1 R T2 R I 1 2 I m3 R 2 a R
2(m1 m2 ) a 联立方程得到 g 2(m1 m2 ) m3 2(m1 m2 ) g [2(m1 m2 ) m3 ]R 4m1m2 m1m3 T1 g 2(m1 m2 ) m3 4m1m2 m2 m3 T2 g 2( m m ) m
4. 一作定轴转动的物体，对转轴的转动惯量J＝ 3.0 kg· m2，角速度0＝6.0 rad/s．现对物体加一 恒定的制动力矩M ＝－12 N· m，当物体的角速度 减慢到＝2.0 rad/s时，物体已转过了角度 ＝
4.0rad
M=Jβ
2as=v`2-v2 2βθ= 2 -02
5. 质量为m1， m2 （ m1 > m2） 的两物体，通过一定滑轮用绳 相连，已知绳与滑轮间无相对 滑动，且定滑轮是半径为 R 、 质量为 m3 的均质圆盘，忽略 轴的摩擦。求：滑轮的角加速 度。（绳轻且不可伸长）
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0
d
dt ， ln
0
t
0
k t ，所以 J
t
J 0 J ln ln 2 k k
（2） A
1 2 1 2 1 1 2 3J 2 2 J J 0 J 0 0 0 2 2 2 4 8
4．如图所示，对完全相同的两定滑轮（半径 R ，转动惯量 J 均相同） ，若分别用 F （N） 的力和加重物重力 P mg F (N) 时，所产生的角加速度分别为1 和 2 ，则 [ （A） 1 2 ； （C） 1 2 ； 答案：A 解：根据转动定律，有 mg R J1 , T R J 2 ， 依受力图，有 mg T ma ， T mg ma mg 所以， 1 2 。 5． 对一绕固定水平轴 O 匀速转动的转盘，沿图示的同一水 平直线从相反方向射入两颗质量相同、 速率相等的子弹， 并停 留在盘中，则子弹射入后转盘的角速度应 [ 答案：B 解： J11 J 0 J 22 ( J1 J 2 J ) ] （A）增大； （B）减小； （C）不变； （D）无法确定。 （B） 1 2 ； （D）不能确定 。
11 mg 8
T2
将 m1 2m ， m2 m M1 M 2 m, R1 R2 代入，得： T
三．计算题 1．在半径为 R 1 、质量为 M 的静止水平圆盘上，站一静止的质量为 m 的人。圆盘可无摩 擦地绕过盘中心的竖直轴转动。当这人沿着与圆盘同心，半径为 R 2 （< R 1 ）的圆周相对 于圆盘走一周时，问圆盘和人相对于地面转动的角度各为多少？ 答案： （1）
ω
r
( J mr 2 )
0
2
J 0
m
J ， r2
m 1 103 kg/s t m J 5 105 t 5s 1 103 r 2 1 103 0.12 1103
由于
5． 如图所示，一轻绳跨过两个质量均为 m、半径均为 R 的匀质圆盘状定滑轮。绳的两端 分别系着质量分别为 m 和 2m 的重物，不计滑轮转轴的 摩擦。将系统由静止释放，且绳与两滑轮间均无相对滑 动，则两滑轮之间绳的张力为 答案： T
0 t 10 5 4 10 ，所以
v r 1 5 m / s
2． 一根质量为 m、长度为 L 的匀质细直棒，平放在水平桌面上。若它与桌面间的滑动 摩擦系数为，在 t 0 时，使该棒绕过其一端的竖直轴在水平桌面上旋转，其初始角速度 为0 ，则棒停止转动所需时间为 答案： t 。
]
（A） 80J ， 80 N m ；（B） 800J ， 40 N m ； （C） 4000J ， 32 N m ； （D） 9600J ， 16 N m 。
M 恒定，匀变速，所以有
0 t ，
0
t
， M J J
0
t
4
m M
1 1 2 mR2 m MR12M 0 得， mR22 M MR12M 0 2 2 2 2 mR2 2mR2 M 2 1 2mR2 MR12 2 mR2 MR12 2
2mR2 2 2mR2 2 4 dt 2 2 2 2 2 2 2mR2 MR1 2mR2 MR1 2 MR12 /(mR2 )
2 0
（B） J / k ； （B） 3J / 8 ；
2 0
（C） ( J / k )ln 2 ；
]
2 （C） J 0 /4；
（D） J /(2k ) 。
2 (D) J 0 /8 。
（2）在上述过程中阻力矩所做的功为 [ 答案：C； B。 解：已知 M k ， 0 ,
1 J ， 0 2 d d d k （1） M J k ， J k ， dt dt dt J k J
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
]
2
T
F
( F mg )
mg
v
O
v
J1 J 2 m1r 2 m2 r 2
所以
(m1 m2 ) ， 1 2
v r
J 0 0 2 J1 J
2
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3 刚体力学习题详解
习题册-上-3
二、填空题 1．半径为 r 1.5m 的飞轮，初角速度 0 =10rad/s ，角加速度 5rad/s2 ，若初始时刻 角位移为零，则在 t 为v 答案： 4s ； 15m/s 。 解：已知 。 时角位移再次为零，而此时边缘上点的线速度
4 mR2 2 2 MR12 4 2 ； （ 2 ） 。 ，或 ，或 2 2 2 2 2 2 2 2mR2 MR1 2 MR1 /(mR2 ) 2mR2 MR1 2mR2 /(MR12 ) 1
解：设人相对圆盘的角速度为 ，圆盘相对地面的角速度为 M 。 则人相对地面的角速度为 应用角动量守恒定律 解得
T1 m1 ( g a) T2 m2 ( g a)
R1
T1
由（1） 、 （2）两式得： 可先求出 a，解得
T2
m2
m2 g
4
a
m1 m1 g
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3 刚体力学习题详解
习题册-上-3
a
2(m1 m2 ) g 4m1m2 m1 ( M1 M 2 ) ， T1 g ， 2(m1 m2 ) ( M1 M 2 ) 2(m1 m2 ) ( M1 M 2 ) 4m1m2 m2 ( M1 M 2 ) 4m1m2 m1M 2 m2 M1 g ，T g 2(m1 m2 ) ( M1 M 2 ) 2(m1 m2 ) ( M1 M 2 )
L
20 L 3 g
r
o
dr
dm
m gdr L m m 1 2 mg grdr ， M dM g L dM r df ， dM rdf L L 2 2L d 1 d mg 又， M J J ，所以 mL2 dt 3 dt 2L 0 t 3 g 3 g 3 g d dt ， d dt ，两边积分得： 0 t，
gl 3
2．圆柱体以 80rad/s 的角速度绕其轴线转动，它对该轴的转动惯量为 4kg m2 。在恒力矩 作用下，10s 内其角速度降为 40rad/s 。圆柱体损失的动能和所受力矩的大小为 [ 答案：D 解： 0 80 ， 40 ， t 10 ， J 4
Ek 1 1 2 J 2 J 0 2 2 Ek 1 1 2 J (0 2 ) 4 (6400 1600) 9600(J) 2 2
r 1.5m ， 0 =10rad/s ， 5rad/s2 ， 0 0 。
因 const ，为匀变速，所以有
0 0t t 2 。
令 0 ，即 (0 t )t 0 得，由此得
1 2
1 2 2 2 10 t 0 4s 5
4． 如图所示，转台绕中心竖直轴以角速度 0 作匀速转动，转台对该轴的转动惯量 现有砂粒以 1g / s 的流量落到转台， 并粘在台面 J 5 105 kg m2 。 形成一半径 r 0.1m 的圆。则使转台角速度变为 0 / 2 所花的时间 为 答案：5s 解：由角动量守恒定律 得 所以 。
80 40 16N m 10
3．一个转动惯量为 J 的圆盘绕一固定轴转动，初角速度为0 。设它所受阻力矩与转动角 速度成正比 M k (k 为正常数)。 （1）它的角速度从 0 变为 0 / 2 所需时间是 [
1
]
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3 刚体力学习题详解
习题册-上-3
（A） J / 2 ； （A） J / 4 ；
J11 J12 J , 1 1 J 2 Mg l 2 2
4M m gl ； 3
]
gl ； 2
（B）
（C）
2M m
gl ；
（D）
16M 2 gl 。 3m2
m 2l l J1 m , 4 2
2
J
1 2 Ml 3
l
v0
m
v0 / 2
m
1 J v0 2v0 v0 / 2 v0 1 J1 (1 2 ) 2 1 1 ， 2 1 1 ， J J l/2 l l/2 l 2
圆盘相对地面转过的角度为
M M dt
人相对地面转过的角度为
m m dt 2 M
2 MR12 2 2 2 2 2mR2 MR1 2mR2 /(MR12 ) 1
2． 如图所示，物体 1 和 2 的质量分别为 m1 与 m2 ，滑轮的转动惯量为 J，半径为 r 。 （1）如物体 2 与桌面间的摩擦系数为，求系统的加速度 a 及绳中 的张力 T1 和 T2 ； （2）如物体 2 与桌面间为光滑接触，求系统的加速度 a 及绳中的张 力 T1 和 T2 。 （设绳子与滑轮间无相对滑动，滑轮与转轴无摩擦） 。
3
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3 刚体力学习题详解
习题册-上-3
解得 1
mR 2 mR 2 ，角速度的变化 J J
系统动能的变化 Ek
1 1 1 mR 2 J 2 J mR 2 2 ，即 Ek mR 2 2 ( 1) 2 2 2 J
M
J 1 1 J 2 Mgl ， J 1 1 Mgl ， 2 2 2J
2
2
J1212 Mgl 4J
2 ml 2 4v0 2 2 2 2 4 l Mgl ， 3 m v0 Mgl ， v 2 16 M gl ，所以 v 4M 0 0 1 m 16 M 3 m2 4 Ml 2 3