初三数学二次函数求面积最值问题的4种方法

中考数学压轴系列：二次函数面积最值问题

十三．面积最值问题

1．( 枣庄)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．

（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；

（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

2．（滨州）如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴

交于点C

（1）求点A，B，C的坐标；

（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；

（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

3 （高薪一模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y 轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．

（1）求n的值和抛物线的解析式；

（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；

4（日照）如图1，抛物线y=﹣[（x﹣2）2+n]与x轴交于点A（m﹣2，0）和B

（2m+3，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连结BC．

（1）求m、n的值；

（2）如图2，点N为抛物线上的一动点，且位于直线BC上方，连接CN、BN．求△NBC面积的最大值；

初三数学应用二次函数求面积的最值专题辅导

应用二次函数求面积的最值

吴复

二次函数是初中数学的重要内容之一，应用它可探求几何图形面积的最值，而这类问题又是中考及竞赛的典型题型。下面举几例，说明其应用。

例1 如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，P 为BC 边上的一个动点，QP ⊥AP 交DC 于Q 点。问：当点P 在何位置时，△ADQ 的面积最小？并求出其面积。

解：设BP=x ，则

PC=4-x ，S △ADQ =y ，

得y=42

1⨯·DQ=2DQ ，所以y 2

14CQ ,y 21DQ -==。可知∠B=∠APQ=∠C=90°。

因为△ABP~△PCQ ，

所以CQ

BP PC AB =，所以y 2

14x x 44-=-，整理，得8x 2x 2

1y 2+-=。所以当BP=2时，y 取最小值为6。

例2 若y=x 2-(k-1)x-k-1与x 轴的交点为A 、B ，顶点为C ，那么△ABC 的面积的最小值为（）

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

解：由于Δ=(k-1)2+4(k+1)

=（k+1）2+4＞0。

故对于任何实数k ，抛物线与x 轴总有两个交点，设这两点的横坐标分别为x 1、x 2，则 221)x x (AB -= =21221x x 4)x x (-+

=5k 2k 2++

因为抛物线的顶点C 坐标为（2

1k -，-45k 2k 2++），所以S △ABC

5k 2k 2

12++=·|-|45k 2k 2++

=3

2)5

k2

k(

8

1

+

+。

因为4

)1

k(

5

k

2

k2

2+

+

=

+

+≥4，

当k=-1时等式成立，

所以S△ABC≥1

二次函数最值的4种解法

从近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合。在这里以一道中考题为例，介绍几种不同的解题方法，供同学们参考，都掌握了之后一定会在压轴题上有一个大的提升。

ps.因格式问题，部分上标未能正常显示，望知悉。

1题目

如图1，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1，0)，B(-3，0)两点。

(1)求该抛物线的解析式;

(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小?若存在，求出Q点的坐标;若不存在，请说明理由;

(3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大?若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值;若没有，请说明理由。

解答：

(1)抛物线解析式为y=-x2-2x+3;

(2)Q(-1，2);

下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法.

解法1

补形、割形法

几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形。

方法一

如图3，设P点(x，-x2-2x+3)(-3

方法二如图4，设P点(x，-x2-2x+3)(-3

(下略.)

解法2

“铅垂高，水平宽”面积法

如图5，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：S△ABC=1/2ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。

二次函数最值的4种解法中考压轴题

二次函数最值的4种解法中考压轴

题(总9页)

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二次函数最值的4种解法，看完不惧压轴

题！

从近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合。

在这里小编以一道中考题为例，介绍几种不同的解题方法，供同学们参考，都掌握了之后一定会在压轴题上有一个大的提升。

一、题目：

如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点。

(1)求该抛物线的解析式；

(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由。

解答：

(1)抛物线解析式为y＝－x2－2x＋3；

(2)Q(－1，2)；

下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法．

解法1：

补形、割形法

几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形。

方法一：

如图3，设P点（x，－x2－2x＋3）(－3<x<0)．

方法二：

如图4，设P点(x，－x2－2x＋3)(－3<x<0)．

解法2

“铅垂高，水平宽”面积法

如图5，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高

最全二次函数中的面积问题(中考数学必考题型)

二次函数中的面积问题

二次函数中的面积问题是中考的热点，面积问题如果是规则图形可以用常见的面积公式解决问题的就直接用面积公式，如果不能直接用面积公式在坐标系中处理面积问题，通常有以下三种思路：第一是割补法：分割求和、补形作差，其中用的最多的是铅垂线法；第二是同底等高利用平行线转化求面积；第三如果遇到的是面积比可以考虑用相似的性质得到线段比去解决相关问题。

【引例1】在平面直角坐标系中，已知()1,1A 、()7,3B 、()4,7C ，求△ABC 的面积．

【铅垂法】

()1111

2222

ABC

ACD

BCD

C D B A S

S

CD AE CD BF CD AE BF y y x x =+=⋅+⋅=+=-⋅-

【方法梳理】

（1）求A 、B 两点水平距离，即水平宽；

（2）过点C 作x 轴垂线与AB 交于点D ，可得点D 横坐标同点C ；（3）求直线AB 解析式并代入点D 横坐标，得点D 纵坐标；（4）根据C 、D 坐标求得铅垂高；（5）12

S =⨯水平宽铅垂高．

二、转化法——借助平行线转化：

若S △ABP =S △ABQ ，若S △ABP =S △ABQ ，

当P ，Q 在AB 同侧时，PQ △AB ．当P ,Q 在AB 异侧时，AB 平分PQ

P

A

B

Q

B

A P

D

E

F O

y

x

C

B

A 铅垂高水平宽

D

A B

C

x

y

O

E

三、面积比类型

例1.如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣5x +5与x 轴，y 轴分别交于A 、C 两点，抛物线y ＝x 2﹣6x +5经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为B ．若点M 为x 轴下方抛物线上一动点，当点M 运动到某一位置时，△ABM 的面积等于△ABC 面积的，求此时点M 的坐标；

1题4解求动点P点坐标，全面讲解二次函数中，三角形面积最值问题

1题4解求动点P点坐标，全面讲解二次函数中，三角形面积

最值问题

二次函数，是中考的一个重点，也是一个难点。特别是压轴大题，代数几何综合题型，更是考试常见。但是，很多同学觉得这类题型实在太难，望而生畏。

比如二次函数图像中，抛物线先上是否存点动点P，使得三角形面积最大，然后求出动点P此时的坐标。这就是最经典最常见的二次函

数图像面积最值问题。

今天，通过一道中考真题，用四种不同的方法来一起探讨这一类题型。希望同学们认真体会，理解透彻，举一反三。

解法一，割补法。就是把通过图形割和补的方式，把三角形的面积求法表达出来。这个方法，最简单最常用。

解法一，方法1，设动点P的坐标，△PBC的面积等于△PBE面积加梯形的面积，再减去三角形BOC的面积。

把三角形PBC的面积表达出来，得到一个二次函数的顶点式。即可求出面积最大值。

解法一，方法2。连接PO，三角形PBC的面积等于三角形BOP 面积加三角形COP的面积，再减去三角形BOC的面积。

和方法1一样，最后得到一个二次函数的顶点式，即可求出三角形面积的最大值。

解法二、铅垂定理法。上面这个图片，就是铅垂定理的基本知识点。

铅垂定理的求法公式就是，三角形的面积等于水平宽度与铅垂高度乘积的一半。

任何一个三角形，都可以用这个方法来求面积。在直角坐标系中，只要求出一个三角形水平宽度，和铅垂高度，那么这个三角形的面积就出来了。

这个题目，作PE⊥x轴交BC于F，则水平宽度就是OB的长度，铅垂高度就是PF的长度。

后面的就是直接套用铅垂定理的公式，经过化简，得出二次函数的顶点式，即可求出三角形面积最大值。

“二次函数最值”4种解法

二次函数作为初中函数知识板块中最复杂的函数，无论是平常的考试中，还是中考中都占据非常重要的位置。

作为初三数学学习中的一个重点，也是难点，在平常的考试，乃至中考中占有很大的比重，尤其是在大型考试的最后三题中，必有一题是二次函数的综合题。

在学习二次函数过程中，我们时常会碰见一类题目，试图让你求竖直线段最大值，抑或三角形面积最大值，我们常用的解题伎俩是几何问题代数化，从而将问题得到完美的转化，只不过在求解的过程中，对于逻辑性不是很好的同学思考路程难免有些长！

但就近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合，一般作为中考的压轴题存在。

可在实际的学习中，无数学生一提到二次函数，都会异口同声的说二次函数太难了！在考试里一做到二次函数的压轴题就一脸茫然，怀疑自己到底有没有学过二次函数。

针对这一现状，今天，老师就特地为大家整理了一份“二次函数最值”4种解法，并附有例题+解析，介绍几种不同的解题方法，供同学们参考，都掌握了之后一定会在压轴题上有一个大的提升。

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二次函数最值的5种解法,从此不怕压轴题安徽太和赵玉苗

求二次函数面积最值的五种解法，从此不怕压轴题安徽太和赵玉苗

从安徽中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合.

在这里赵老师以一道中考题为例，介绍几种不同的解题方法. 掌握了之后，一定会在压轴题上有一个大的提升. 题目：如图，抛物线c bx x y ++-=2

与x 轴交于A (1，0)，B (－3，0)两点。

(1)求该抛物线的解析式；

(2)设(1)中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标及 △PBC 的面积最大值；若没有，请说明理由。

解答：(1)抛物线解析式为322

+--=x x y ；(2)Q (－1，2)；

下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法．

解法1：补形法

几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形。

方法一：如图，设)32,(2+--x x x P ．03<<-x ， OBC PECO BPE PBC S S S S ∆∆∆-+=梯形 .

解法1：割形法

方法二：如图，设)32,(2

+--x x x P ．03<<-x ，OBC PCO OBP PBC S S S S ∆∆∆∆-+= .

“铅垂高，水平宽”面积法

如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽a ，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高h ，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：ah S ABC 2

二次函数背景下三角形面积最值问题的几种解法

数学篇

纵观近年来各地中考数学试题，一类以二次函数为载体，探讨图形面积的最值问题频频出现.这类试题整合了代数和几何的部分重要知识，并融合了许多数学方法，难度颇高.如何根据题目提供的信息，依据图形的变化特征，抓住解答问题的关键，从而化难为易，正确解题呢？对此，笔者介绍四种常用方法，希望能给同学们攻破难题带来帮助.

一、割补法

在平面直角坐标系中，当三角形任意一边均不在坐标轴上，或者不与坐标轴平行时，一般采用割补法求解.割补法分为两部分，割是指将图形分解成几部分分别求解；补是指将所求图形填上一部分，然后用补后的图形面积减去所补部分的面积.两种方法的实质都是将二次函数中图形面积的最值问题通过“转化”思想，化为“线段（和）”最值问题，间接地求出图形面积的最值.

例1如图1，

在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+2x -3交x 轴于点A ，B ，在y 轴上有一点E （0，1），连接AE ．

（1）求直线AE 的解析式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴下方的一个动点，求△ADE

面积的最大值．

图1

解：（1）∵y =x 2

+2x -3=(x +3)(x -1)，

∴当y =0时，

x 1=-3，x 2=1，∴点A 的坐标为（-3，0），

设直线AE 的解析式为y =kx +b ，

∵过点A （-3，0），E （0，1），

∴ìíî-3k +b =0,b =1,解得：ìíîïïk =13,b =1,

∴直线AE 的解析式为y =13

x +1；

（2）如图1，过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，延长DG 交AE 于点F ，

初中数学二次函数面积最值问题的4种解法…掌握不再惧怕压轴题

初中数学二次函数面积最值问题的4种解法…掌握不再

惧怕压轴题

初中数学二次函数面积最值问题一般是指给出一个二次函数，要求求出其在一定范围内的面积最大值或最小值。这类问题可以通过四种不同的解法来求解，分别是代数解法、几何解法、导数解法和平移法。下面我来详细介绍这四种解法。

1.代数解法：

代数解法是通过代数方法来解决问题。对于给定的二次函数，首先根据题目要求找出变量的限制条件，然后可以利用一些代数的技巧，如配方法、因式分解等，将问题转化为求最值的问题。通过求取顶点，得到函数的极值点，进而求得面积的最值。代数解法的优点是原理简单，容易理解和掌握；缺点是计算量大，需要一些代数技巧和计算能力。

2.几何解法：

几何解法是通过几何图形的性质和关系来解决问题。对于给定的二次函数，可以画出函数的图像，然后根据几何图形的性质，找出切线、直线和坐标轴的交点，进而得到问题的解。几何解法的优点是直观简单，理论基础较弱；缺点是需要具备较好的几何直观和空间想象能力。

3.导数解法：

导数解法是通过求函数的导数，对函数的变化情况进行分析，进而求出极值点。对于给定的二次函数，可以求出其导数，并令导数为零，求得顶点的横坐标，再代入函数中求得纵坐标，从而得到问题的解。导数解法的优点是简单快捷，通用性强；缺点是需要一些微分的知识和运算能力。

4.平移法：

平移法是通过对函数进行平移变换，将求最值的问题转化为求一些形状固定的函数的最值问题。对于给定的二次函数，可以通过平移到一些特定位置，使得问题的解变为该函数的最值。平移法的优点是逻辑清晰，简单明了；缺点是需要一些平移变换的知识和运算能力。

初中数学二次函数最值的4种解法，看完不惧压轴题！

从近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合。

在这里以一道中考题为例，介绍几种不同的解题方法，供同学们参考，都掌握了之后一定会在压轴题上有一个大的提升。

ps.因格式问题，部分上标未能正常显示，望知悉。

1

题目

如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点。

(1)求该抛物线的解析式；

(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由。

解答：

(1)抛物线解析式为y＝－x2－2x＋3；

(2)Q(－1，2)；

下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法．

解法1

补形、割形法

几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形。

方法一

如图3，设P点（x，－x2－2x＋3）(－3<x<0)．

方法二如图4，设P点(x，－x2－2x＋3)(－3<x<0)．

（下略．）

解法2

“铅垂高，水平宽”面积法

如图5，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：S△ABC＝1/2ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。

二次函数面积最值问题

一、问题概述

二次函数面积最值问题是指在给定的二次函数中，找到使其面积最大或最小的变量取值。这个问题在数学中有着广泛的应用，比如在经济学、物理学、工程学等领域都有着重要的作用。

二、问题分析

为了解决二次函数面积最值问题，我们需要先了解一些基本概念和公式。下面是一些常见的数学公式：

1. 二次函数的标准形式：y=ax^2+bx+c

其中a,b,c都是实数，且a≠0。

2. 二次函数的顶点坐标：(h,k)

其中h=-b/2a，k=f(h)，f(x)表示二次函数。

3. 二次函数的对称轴方程：x=h

4. 两点之间距离公式：

d=sqrt[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]

5. 矩形面积公式：

S=lw

其中S表示矩形面积，l表示矩形长，w表示矩形宽。

了解了这些基本概念和公式后，我们可以开始分析如何解决二次函数面积最值问题。

三、求解方法

1. 求最大值

要求一个二次函数在给定区间内的最大面积，我们可以通过以下步骤来实现：

步骤一：将二次函数化为标准形式。

步骤二：求出二次函数的顶点坐标。

步骤三：根据顶点坐标和区间端点，确定矩形的长和宽。步骤四：计算矩形面积，并比较得出最大值。

具体的，可以按照以下函数来实现：

```python

def max_area(a,b,c,start,end):

# 将二次函数化为标准形式

f = lambda x: a*x**2+b*x+c

# 求出二次函数的顶点坐标

h = -b/(2*a)

k = f(h)

# 根据顶点坐标和区间端点，确定矩形的长和宽

l = end-start

二次函数最值的4种解法

从近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合。下面以一道中考题为例，介绍几种不同的解题方法，供同学们参考，都掌握了之后一定会在压轴题上有一个大的提升。

【题目】如图1，抛物线y ＝－x 2

＋bx ＋c 与x 轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点。（1）求该抛物线的解析式；

（2）设(1)中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值；若没有，请说明理由。【解答】(1)抛物线解析式为y ＝－x 2－2x ＋3； (2)Q(－1，2)；下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法．解法1、补形、割形法

几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形。方法一

解：如图3，设P 点（x ，－x 2

－2x ＋3）

方法二解：如图4，设P 点(x ，－x 2－2x ＋3)

（图3）

（图4）

解法2、“铅垂高，水平宽”面积法

如图5，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h)”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：S △ABC ＝ah/2，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。根据上述方法，本题解答如下：

中考数学二次函数中三角形面积最值及平行四边形存在性问题(必考知识点)

一、知识梳理

1．三角形面积公式：S 中考数学|二次函数中三角形面积最值及

平行四边形存在性问题

（必考知识点）=2

1×底×高2．平行四边形的性质：对边相等、对角相等、对角线互相平分

3．判别式法求最值：通过判别式判断二次方程的根的情况，进而求出最值

二、问题分析

1．三角形面积最值存在性问题：

∙利用二次函数的性质和对称性，找到合适的底和高，计算三角形的面积；

∙设置关于底和高的二次方程，利用判别式判断方程的根的情况，进而求出面积的最值。

2．平行四边形存在性问题：

∙利用二次函数的对称性和性质，找到满足平行四边形性质的点；

∙利用平行四边形的性质证明这些点构成平行四边形。

三、例题解析

【例1】

已知抛物线y=x2−2x和直线y=2x+b相交于A、B两点，且∠AOB=90°，其中O为坐标原点。求△AOB的面积。

【答案】

联立方程组：

y=x2−2x，

y=2x+b.

消去y得：

x2−4x−b=0.

由于直线与抛物线有两个交点，所以判别式Δ>0：

Δ=16+4b>0⇒b>−4.

设交点A、B坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，由韦达定理得：

x1+x2=4，

x1x2=−b.

由于∠AOB=90，所以x1x2+y1y2=0。代入y1=2x1+b和y2=2x2+b，解得：

−b+(2x1+b)(2x2+b)=0.

化简得：

−b−4b+8b+b2=0⇒b2+3b=0.

解得：b=−3或b=0。当b=0时，A、B坐标分别为(0，0)和(4，8)，点A和点O重合，不符合条件。

因此，b =−3，代入方程组得A (1，-1)，B (3，3)。所以，△AOB 的面积为：

[详细讲解]利用二次函数求几何图形面积的最值问题

利用二次函数求几何图形面积的最值问题

构造二次函数来确定几何图形中的有关面积最大值的问题是近年来常考的题型，求解这类问题，实际上，只要我们能充分运用条件，根据图形的特点，综合运用所学知识，如，勾股定理、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、图形的面积公式等等来寻求等量关系，从而构造出二次函数，再利用二次函数的性质即可求解.现举例说明.

方法：

1、用含有自变量的代数式分别表示出与所求几何图形相关的量（如周长、长、宽、半径等）。

2、根据几何图形的特征，列出其面积的计算公式，用函数表示这个面积。

3、根据函数关系式求出最大值及取得最大值的自变量的值，当的值不在自变量的取值范围内时，应根据取值范围来确定最大值。

例1（2006年旅顺口区中考试题）已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图1），其中AF ＝2，BF ＝1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积.

简析设矩形PNDM 的边DN ＝x ，NP ＝y ，

则矩形PNDM 的面积S ＝xy （2≤x ≤4），易知CN ＝4－x ，EM ＝4－y .

且有

NP BC CN

-＝

BF

AF

（作辅助线构造相似三角形），即

34y x --＝1

2

，

所以y ＝－12

x +5，S ＝xy ＝－1

2

x 2+5x （2≤x ≤4），

此二次函数的图象开口向下，对称轴为x ＝5，所以当x ≤5时，函数的值是随x 的增大而增大，对2≤x ≤4来说，当x ＝4时，S 有最大值

S 最大＝－1

2

×42+5×4＝12.

说明本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力.同时，也给同学们探索解题思路留下了思维空间.

中考数学中的二次函数最值问题(四)

（ 3 ）作 E 关于 x 轴的对称点 F ，过点 F 作 FH AE 于点 H ，交 x 轴于点 P ，则
BAE HAP HFE ，利用锐角三角函数的定义可得出 EP 3 AP FP HP ，此时 FH 5
最小，求出最小值即可．
略解：（1） y 1 x2 x 3 ．直线 AD 的解析式为 y 1 x 1 ．
22
2
求 MF 的长，由三角形面积公式可求 MAB 的面积 (m 2)2 4 ，利用二次函数的性质可
求点 M 坐标，过点 O 作 KOB 30 ，过点 N 作 KN OK 于 K 点，过点 M 作 MP OK 于
P ，延长 MF 交直线 KO 于 Q ，由直角三角形的性质可得 KN 1 ON ，可得 2
3
乐博思数学组
直线 BC 与 x 轴的负半轴的夹角为 45 ，则 xP
2 CE t ， 2
PE 2 CE t 2 2t 3 t 3 t t 2 4t ， 2
1 0 ，故 PE 2 CE 有最大值，当 t 2 时，其最大值为 4，此时点 P(2,3) ； 2
（3）①当 F 点在 PE 的左边时，
，过点 B 作 BH⊥AC 于点 H，则 PG+PB≥BH，即 BH
是 PC+PB 的最小值，由三角形面积公式可求解．