八年级下册数学(北师大版)-第二章因式分解-考点与复习

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北师大版八年级数学下册知识点总结

八年级下册数学各章节知识点总结第一章一元一次不等式和一元一次不等式组一. 不等关系1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.2. 区别方程与不等式：方程表示是相等的关系，不等式表示是不相等的关系。

3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0二. 不等式的基本性质1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, cb c a >. (3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即: 如果a>b,并且c<0,那么ac<bc,c b c a < 2. 比较大小:(a 、b 分别表示两个实数或整式) 一般地:如果a>b,那么a-b 是正数;反过来,如果a-b 是正数,那么a>b;如果a=b,那么a-b 等于0;反过来,如果a-b 等于0,那么a=b;如果a<b,那么a-b 是负数;反过来,如果a-b 是正数,那么a<b;即:a>b <===> a-b>0 a=b <===> a-b=0 a<b <===> a-b<0(由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.三. 不等式的解集:1. 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.2. 不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.3. 不等式的解集在数轴上的表示:用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;②方向:大向右,小向左四. 一元一次不等式:1. 只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.2. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.3. 解一元一次不等式的步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1(不等号的改变问题)4. 一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax<b)①当a>0时,解为ab x >;②当a=0时,且b<0,则x 取一切实数;当a=0时,且b ≥0,则无解;③当a<0时, 解为a b x <; 5. 不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义;②设: 设出适当的未知数;③列: 根据题中的不等关系,列出不等式;④解: 解出所列的不等式的解集;⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意.五. 一元一次不等式组1. 定义: 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解.几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定.3. 解一元一次不等式组的步骤:(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;(2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a、b为实数,且a<b)第二章分解因式一. 分解因式1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.2. 因式分解与整式乘法是互逆关系。

北师大八年级下册第二章《分解因式》大全

**一个文档精品尽在***北师大八年级下册第二章《分解因式》大全知识梳理1、分解因式的概念把一个多项式分成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式2、分解因式与整式乘法的关系分解因式与整式乘法是的恒等变形。

3、分解因式的一些注意点（1）结果应该是的形式；（2）必须分解到每个因式都不能为止；（3）如果结果有相同的因式，必须写成的形式。

1．公因式多项式中各项都含有的相同的因式，我们把这个因式叫做这个多项式的2.提公因式法如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方示叫做提公因式法.《重点辨析》提取公因式时的注意点【典型例题】一、分解因式例1.下列各式从左边到右边的变形,哪些是分解因式,哪些不是? (1))11(22xx x x +=+ (2)1)5)(5(22--+=-a a b a (3)22))((n m n m n m -=-+ (4)22)2(44+=++x x x (5))23(232y x x x xy x -=+- (6)32)1)(3(2--=+-x x x x 例2.多项式b ax x ++2分解成)2)(1(-+x x ,求b a +的值.二、提公因式法例3．把下列各式分解因式（1）a ab a 3692+- （2）xy xy y x -+2252（3）234264x x x +-- （4）4324264xy y x y x +--例4．把下列各式分解因式（1）)2(3)2(2y x b y x a --- （2）)2(4)2(3)2(2y x c x y b y x a -----例5．分解因式（1）32)2()2(2x y b y x a -+- （2）32)3(25)3(15a b b a b -+-（3）432)(2)(3)(x y b x y a y x -+--- （4）n m n m x b x a x b x a )()()()(11++-++-+（1）5.12346.45.12347.115.12349.2⨯-⨯+⨯ （2）9910098992222--例7．已知2,32==+ab b a ，求代数式22222ab b a b a ++的值。

专题14 因式分解(2)八年级数学下册强化巩固专题知识(北师大版)

专题14 因式分解（2）教师讲义64x6-1=(8x3)2-1=(8x3+1)(8x3-1)=[(2x)3+1][(2x)3-1]=(2x+1)(4x2-2x+1)(2x-1)(4x2+2x+1) 方法二64x6-1=(4x2)3-1=(4x2-1)(16x4+4x2+1)=(2x+1)(2x-1)(16x4+8x2+1-4x2)=(2x+1)(2x-1)[(4x2+1)2-(2x)2]=(2x+1)(2x-1)(4x2+2x+1)(4x2-2x+1)例5 解 (x+y)2-6(x+y)+9=(x+y)2-2×3×(x+y)+32=(x+y-3)2．例6 解方法一x2+6x-7=x2+6x+9-9-7=(x+3)2-16=(x+3+4)(x+3-4)=(x+7)(x-1)方法二 x2+6x-7=(x+7)(x-1)例7 解方法一方法二 3x2-7x-6=(3x+2)(x-3)．例8 解 2ax-10ay+5by-bx=2ax-10ay-bx+5by=(2ax-10ay)-(bx-5by)=2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b)．例9 解（1）x2-2xy+y2-1=(x2-2xy+y2)-1=(x-y)2-1=(x-y+1)(x-y-1)（2）x2-2y-y2-1=x2-y2-2y-1=x2-(y2+2y+1)=x2-(y+1)2=(x+y+1)(x-y-1)例10 解 x2+4xy+3y2+x+3y=(x2+4xy+3y2)+(x+3y)=(x+y)(x+3y)+(x+3y)=(x+3y)(x+y+1)．例11 解（1）a2+2ab+b2+2a+2b+1=(a2+2ab+b2)+(2a+2b)+1=(a+b)2+2(a+b)+1=(a+b+1)2．（2）a2+2ab+b2+2a+2b-3=(a2+2ab+b2)+(2a+2b)-3=(a+b)2+2(a+b)-3=(a+b+3)(a+b-1)．（3）a2+3ab+2b2+2a+b-3=(a2+3ab+2b2)+(2a+b)-3=(a+b)(a+2b)+(2a+b)-3=(a+b-1)(a+2b+3)．例12 证明因为4x2+4xy+y2-4x-2y+1=0，所以(2x+y)2-2(2x+y)+1=0，(2x+y-1)2=0．所以2x+y-1=0．又因为2x2+3xy+y2-x-y=(x+y)(2x+y-1)．而2x+y-1=0，所以2x2+3xy+y2-x-y=0．例13 解设3x2-4xy-7y2+13x-37y+m=[(3x-7y)+a][(x+y)+b]=3x2-4xy-7y2+(a+3b)x+(a-7b)y+ab．对应项系数相等，所以由（1）（2）解得a=-2，b=5．将a=-2，b=5代入（3），得m=-10，所以 3x2-4xy-7y2+13x-37y+m=3x2-4xy-7y2+13x-37y-10=(3x-7y+a)(x+y+b)=(3x-7y-2)(x+y+5)．例14 解因为｜x-3y-1｜+x2+4y2=4xy，所以｜x-3y-1｜+x2-4xy+4y2=0即｜x-3y-1｜+(x-2y)2=0所以解这个方程组，得x=-2，y=-1．例15 解（1）x4+4y4=x4+4x2y2+4y4-4x2y2=(x2+2y2)2-(2xy)2=(x2+2xy+2y2)(x2-2xy+2y2)．（2）x3+5x-6=x3-x+6x-6=(x3-x)+(6x-6)=x(x+1)(x-1)+6(x-1)=(x-1)(x2+x+6)例16 解因为x2-2xy-3y2=5，所以(x-3y)(x+y)=5．依题意x，y为整数，所以x-3y和x+y都是整数，于是有：解上述方程组得：例17 证明因为A=(x+2)(x-3)(x+4)(x-5)+49=(x2-x-6)(x2-x-20)+49=(x2-x)2-26(x2-x)+169=(x2-x-13)2所以A是一个完全平方数．五、课堂练习A卷：基础题A、选择题1．下列各式从左到右的变形是分解因式的是（）A．a（a－b）=a2－ab B．a2－2a+1=a（a－2）+1C．x2－x=x（x－1） D．xy2－x2y=x（y2－xy）2．（x－5）（x－3）是多项式x2－px+15分解因式的结果，则p的值是（）1-2004 = 100123456689。

专题4.14 因式分解(全章复习与巩固)(知识讲解)八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)

专题4.14因式分解（全章复习与巩固）（知识讲解）【知识点一】因式分解与整式乘法的识别把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。

【知识点二】因式分解的方法（1）提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++（2）运用公式法：平方差公式：))((22b a b a b a -+=-；完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±（3）十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++（4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。

（5）运用求根公式法：若)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是1x 、2x ，则有：))((212x x x x a c bx ax --=++【知识点三】因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。

（4）最后考虑用分组分解法。

【典型例题】类型一、因式分解的概念✭✭求参数1．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（）A ．()2212x x x x+=+B ．()()2111a a a -=+-C ．()()2111x x x +-=-D ．()222312a a a -+=-+【答案】B【分析】根据因式分解的定义解答即可．解：A ．()2212x x x x +=+不是将多项式化成整式乘积的形式，故A 选项不符合题意；B ．()()2111a a a -=+-是将多项式化成整式乘积的形式，故B 选项符合题意；C ．()()2111x x x +-=-不是将多项式化成整式乘积的形式，故C 选项不符合题意；D ．()222312a a a -+=-+不是将多项式化成整式乘积的形式，故D 选项不符合题意；故选：D ．【点拨】本题主要考查了分解因式的定义，掌握定义是解题的关键．即把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做分解因式．举一反三：【变式】下列各式，从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A ．()a m n am an+=+B ．()()2222a b c a b a b c+-=+--C ．()2221x x x x -=-D ．()()2166446x x x x -+=+-+【答案】C【分析】根据因式分解的定义去判断即可．解：A 、因为()a m n am an +=+是单项式乘以多项式，不是因式分解，故A 不符合题意；B 、因为()()2222a b c a b a b c +-=+--不是因式乘积的形式，不是因式分解，故B 不符合题意；C 、因为()2221x x x x -=-是因式分解，故C 符合题意；D 、因为()()2166446x x x x -+=+-+不是因式乘积的形式，不是因式分解，故D 不符合题意；故选C ．【点拨】本题考查了因式分解即把一个多项式写成几个因式积的形式，熟练掌握定义是解题的关键．2．三个多项式：24x y y -，22x y xy -，244x y xy y -+的最大公因式是（）A ．()2y x +B ．()4y x -C ．2(2)y x -D ．()2y x -【答案】D【分析】先把三个多项式因式分解，再进行解答即可．解：∵()()2422x y y y x x -=+-，()222x y xy xy x -=-，2244(2)x y xy y y x -+=-，∴最大公因式是()2y x -．故选D ．【点拨】本题主要考查了最大公因式，熟练掌握最大公因式的定义，将三个多项式分解因式，是解题的关键．举一反三：【变式】下列各组中，没有公因式的一组是（）A ．ax bx -与by ay -B ．ab ac -与ab bc -C ．268xy x y -与43x -+D ．()3a b -与()2b ya -【答案】B【分析】将每一组因式分解，找公因式即可解：A.()ax bx x a b -=-，()by ay y a b -=--，有公因式a b -，故不符合题意；B.()ab ac a b c -=-，()ab bc b a c -=-，没有公因式，符合题意；C.()268234xy x y xy x -=-，4334x x -+=-，有公因式34x -，故不符合题意；D.()3a b -与()2b y a -有公因式a b -，故不符合题意；故选：B【点拨】本题考查公因式，熟练掌握因式分解是解决问题的关键类型二、公因式✭✭提取公因式进行因式分解3．若关于x 的二次三项式23x x k -+的因式是()2x -和()1x -，则k 的值是____．【答案】2【分析】先利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出k 的值即可．解：由题意得：()()2232132x x k x x x x -+=--=-+，2k ∴=．故答案为：2．【点拨】此题考查了多项式乘以多项式法则，因式分解的意义，以及多项式相等的条件，熟练掌握因式分解的意义是解本题的关键．举一反三：【变式】已知多项式4x mx n ++能分解为()()2223x px q x x +++-，则p =______，q =______．【答案】2-；7．【分析】把()()2223x px q x x +++-展开，找到所有3x 和2x 的项的系数，令它们的系数分别为0，列式求解即可．解：∵()()2223x px q x x +++-432322222333x px qx x px qx x px q=+++++---()()()432223233x p x q p x q p x q=++++-+--4x mx n =++．∴展开式乘积中不含3x 、2x 项，∴20230p q p +=⎧⎨+-=⎩，解得：27p q =-⎧⎨=⎩．故答案为：2-，7．【点拨】本题考查了整式乘法的运算、整式乘法和因式分解的关系，将结果式子运用整式乘法展开后，抓住“若某项不存在，即其前面的系数为0”列出式子求解即可．4．因式分解：(1)282abc bc -；(2)()()26x x y x y +-+；【答案】(1)()24bc a c -；(2)()()23x y x +-【分析】（1）用提公因式法解答；（2）用提公因式法解答．（1）解：原式()24bc a c =-（2）解：原式()()23x y x =+-【点拨】此题考查了因式分解——提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．举一反三：【变式】把下列多项式因式分解：(1)2x xy x -+；(2)22m n mn mn -+；(2)33322292112x y x y x y -+；(4)()()22x x y y x y -+-．【答案】(1)()1x x y -+；(2)()1mn m n -+；(3)()223374x y xy x -+；(4)()()22x y x y-+【分析】（1）直接提取公因式x ，进而分解因式得出答案；（2）直接提取公因式mn ，进而分解因式得出答案；（3）直接提取公因式223x y ，进而分解因式得出答案；（4）直接提取公因式()x y -，进而分解因式得出答案．（1）解：()21x xy x x x y -+=-+（2）解：()221m n mn mn mn m n -+=-+（3）解：()33322222921123374x y x y x y x y xy x +--=+（4）解：()()()()2222xx y y x y x y x y -+-=-+【点拨】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．类型三、公式法进行因式分解➽➼平方差公式✭✭完全平方公式5．因式分解：(1)﹣2a 3+12a 2﹣18a(2)9a 2（x ﹣y ）+4b 2（y ﹣x ）【答案】(1)﹣2a （a ﹣3）2(2)（x ﹣y ）（3a +2b ）（3a ﹣2b ）【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．解：（1）原式＝﹣2a （a 2﹣6a +9）＝﹣2a （a ﹣3）2（2）原式＝（x ﹣y ）（9a 2﹣4b 2）＝（x ﹣y ）（3a +2b ）（3a ﹣2b ）．【点拨】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．举一反三：【变式】因式分解：（1）224x y -（2）32296a a b ab -+【答案】（1）()()22x y x y +-；（2）()23a a b -．【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解即可；（2）先提公因式，然后利用完全平方公式进因式分解即可．解：（1）22224(2)(2)(2)x y x y x y x y -=-=+-；（2）232222(96)(963)=-+=--+a a ab b a b a a b b a a ．【点拨】本题主要考查了多项式的因式分解，解题的关键是熟练掌握各种因式分解的方法，并会根据多项式的特征选取合适的方法，还要注意要分解彻底．6．分解因式：(1)2225()9()m n m n +--(2)22441a b a --+【答案】(1)()()444m n n m ++；(2)()()2121a b a b +---【分析】（1）将m n +和m n -看成两个整体，利用平方差公式分解因式得到()()8228m n m n ++，再提取公因式即可．（2）利用分组法先将原式分成2441a a -+和2b -两组，2441a a -+可利用完全平方公式分解，再和2b -组合，由平方差公式分解即可．（1）解：2225()9()m n m n +--()()()()5353m n m n m n m n =++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()55335533m n m n m n m n =++-+-+()()8228m n m n =++()()444m n m n =++．（2）22441a b a --+()22441a a b =-+-()2221a b =--()()2121a b a b =-+--()()2121a b a b =+---．【点拨】本题考查了因式分解的方法，分组法、公式法和提公因式法本题都涉及了，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．举一反三：【变式】分解因式：(1)228168ax axy ay -+-(2)()22222936x y x y +-；【答案】(1)28()a x y --；(2)22(3)(3)x y x y +-【分析】（1）先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可；（2）根据平方差公式和完全平方公式分解因式即可．解：（1）原式228(2)a x xy y =--+28()a x y =--（2）原式2222(9)(6)x y xy =+-2222(96)(96)x y xy x y xy =+++-22(3)(3)x y x y =+-【点拨】本题考查了因式分解，涉及提公因式法和公式法，熟练掌握分解因式的步骤是解题的关键．类型四、因式分解➽➼十字相乘法✭✭分组分解法7．将下列各式分解因式：(1)256x x --；(2)21016x x -+；(3)2103x x --【答案】(1)(7)(8)x x +-；(2)(2)(8)x x --；(3)(5)(2)x x -+-【分析】（1）用十字相乘法，分解因式即可；（2）用十字相乘法，分解因式即可；（3）用十字相乘法，分解因式即可．（1）解：∵78x x ⨯-，即78x x x -=-，∴256(7)(8)x x x x --=+-；（2）解：∵28x x ⨯--，即2810x x x --=-，∴21016(2)(8)x x x x -+=--；（3）解：22103(310)x x x x --=-+-，∵52x x ⨯-，即523x x x -=，∴原式(5)(2)x x =-+-．【点拨】本题主要考查了利用十字相乘法分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握十字相乘法：常数项为正，分解的两个数同号；常数项为负，分解的两个数异号．二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上．举一反三：【变式】用十字相乘法解方程：(1)2560x x +-=；(2)2230x x --=．【答案】(1)6x =-或1x =；(2)3x =或=1x -【分析】根据十字相乘法可分别求解（1）（2）．（1）解：2560x x +-=(6)(1)0x x +-=，60x +=或10x -=，6x =-或1x =；（2）解：2230x x --=，(3)(1)0x x -+=，30x -=或10x +=，3x =或=1x -．【点拨】本题主要考查利用因式分解进行求解方程，熟练掌握因式分解是解题的关键．8．因式分解：323412x x y x y +--．【答案】(3)(2)(2)x y x x ++-【分析】原式第一、三项结合，二、四项结合，提取公因式后再提取公因式，利用平方差公式分解即可．解：原式=324312x x x y y-+-=22(4)3(4)x x y x -+-=2(3)(4)x y x +-=(3)(2)(2)x y x x ++-．【点拨】本题考查了因式分解：分组分解法：对于多于三项以上的多项式的因式分解，先进行适当分组，再把每组因式分解，然后利用提公因式法或公式法进行分解．举一反三：【变式】因式分解：(1)a 2－ab ＋ac －bc ；(2)x 3＋6x 2－x －6.【答案】(1)(a －b)(a ＋c)；(2)(x ＋1)(x －1)(x ＋6)试题分析：根据因式分解的方法进行因式分解即可.解：(1)原式()()()()a a b c a b a b a c =-+-=-+．(2)原式()()()()()()()()()322226616116116x x x x x x x x x x x =-+-=-+-=-+=+-+类型五、因式分解综合9．将下列各式分解因式．（1）3416x x -；（2）()2212a x ax +-；（3）()24a b a b --；（4）()()()()2233a b a b a b b a -+++-．【答案】（1）()()41212x x x +-；（2）()221a x x ++；（3）()22a b --；（4）()()28a b a b -+【分析】（1）先提取公因式，然后进一步利用平方差公式进行因式分解即可；（2）利用提公因式法进行因式分解即可；（3）先将括号去掉，然后移项，根据完全平方公式进行因式分解即可；（4）利用提公因式法以及平方差公式综合进行因式分解即可.解：（1）3416x x -=()2414x x -=()()41212x x x +-；（2）()2212a x ax +-=()221a x x ⎡⎤+-⎣⎦=()221a x x ++；（3）()24a b a b --=2244ab a b --=()2244a ab b --+=()22a b --；（4）()()()()2233a b a b a b b a-+++-=()()()()2233a b a b a b a b -+-+-=()()()2233a b a b a b ⎡⎤-+-+⎣⎦=()()()4422a b a b a b -+-=()()28a b a b -+.【点拨】本题主要考查了因式分解，熟练掌握相关方法及公式是解题关键.举一反三：【变式】因式分解：（1）2273xy x-（2）2292a b ab+-+（3）228x x --【答案】（1）3(3+1)(31)-x y y ；（2）(3)(3)+++-a b a b ；（3）(2)(4)x x +-【分析】（1）根据提取公因式，平方差公式，即可分解因式；（2）根据完全平方公式法、平方差公式，即可分解因式；（3）根据十字相乘法分解因式，即可得到答案．解：（1）2273xy x-23(91)x y =-3(31)(31)x y y =+-；（2）2292a b ab+-+2229a ab b =++-22()3a b =+-(3)(3)a b a b =+++-；（3）228x x --(2)(4)x x =+-．【点拨】本题主要考查分解因式，掌握提取公因式法、公式法、十字相乘法分解因式，是解题的关键．类型五、因式分解的应用10．阅读材料，回答下列问题：若22228160m mn n n -+-+=，求m ，n 的值．解：∵22228160m mn n n -+-+=，∴222(2)(816)0m mn n n n -++-+=，即22()(4)0m n n +--=，又2()0m n -≥，2(4)0n -≥，∴2()0m n -=，2(4)0n -=，∴4n =，4m =．(1)若22440a b a +-+=，求a ，b 的值；(2)已知ABC 的三边a ，b ，c 满足2222220a b c ab ac ++--=．判断ABC 的形状，并说明理由．【答案】(1)2,0a b ==；(2)等边三角形，理由见分析．【分析】（1）参照例题，将等式转化为两个完全平方的和等于0的形式，进而求得a ，b 的值；（2）方法同（1）．解：（1）∵22440a b a +-+=，∴()22440a a b ++-=，即2220()a b -+=，又22(2)0,0a b -≥≥，22(2)0,0a b ∴-==，2,0a b ∴==．（2）∵2222220a b c ab ac ++--=，2222(2)(2)0a ab b b ac c ∴-++-+=，即22()()0a b b c -+-=，又22()0,()0a b b c -≥-≥，∴22()0,()0a b b c -=-=，,a b b c ∴==，a b c ==∴．ABC ∴ 是等边三角形．【点拨】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．举一反三：【变式】已知：1a b +=，154ab =-(1)求22ab a b +的值(2)求22a b +的值(3)若22a b k -=-，求非负数k 的值【答案】(1)154-；(2)172；(3)k =【分析】（1）将代数式22ab a b +用提公因式法因式分解为()ab a b +，再将1a b +=，154ab =-代入计算即可；（2）将22a b +变形为()22a b ab +-，再将1a b +=，154ab =-代入计算即可；（3）类似的方法将()2a b -变形为()24a b ab +-，代入计算后求出a b -的值，继而根据22a b k -=-计算出符合条件的k 的值即可．（1）解：∵1a b +=，154ab =-，∴()221515144ab a b ab a b +=+=-⨯=-；（2）解：∵1a b +=，154ab =-，∴()2222a b a b ab+=+-15124⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1512=+172=；（3）解：∵()()224a b a b ab-=+-1514164⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，∴4a b -=±当4a b -=时，224k -=，k =∵k 为非负数，∴k =当4a b -=-时，224k -=-，22k =-（舍去），∴k =【点拨】本题考查了完全平方公式的应用以及提取公因式分解因式，能够灵活应用完全平方公式是解题的关键．11．阅读材料：()()()2222244454529232322x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=++--=+-=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()51x x =+-上面的方法称为多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．根据以上材料，解答下列问题：(1)因式分解：223x x +-；(2)求多项式2610x x +-的最小值；(3)已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且满足222506810a b c a b c +++=++，求△ABC 的周长．【答案】(1)()()31x x +-；(2)19-；(3)12【分析】（1）先配方后，再利用平方差公式进行因式分解；（2）配方后根据平方的非负性求最小值；（3）配方后根据非负性求出a ，b ，c 的值即可．（1）解：223x x +-222113x x =++--2(1)4x =+-(12)(12)x x =+++-；(3)(1)x x =+-；（2）2226106919(3)19x x x x x +-=++-=+-，∵2(3)0x +≥，∴多项式2610x x +-的最小值为19-；（3）由题意得：2226810500a b c a b c ++---+=，∴2226981610250a a b b c c +++++--=-．∴222(3)4)(0(5)a b c -+-+-=．又∵2(3)0a -≥，2(04)b -≥，2(05)c -≥，∴30a -=，40b -=，50c -=，∴3a =，4b =，5c =，∴ABC 的周长为34512++=．【点拨】本题考查了配方法因式分解以及因式分解的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．举一反三：【变式】先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若2222690m mn n n ++-+=，求m 和n 的值．解：因为2222690m mn n n ++-+=，所以2222690m mn n n n +++-+=．所以22()(3)0m n n ++-=．所以0,30m n n +=-=．所以3,3m n =-=．问题：(1)若224212120++-+=x y xy y ，求xy 的值；(2)已知a ，b ，c 是等腰ABC 的三边长，且a ，b 满足2210841a b a b +=+-，求ABC 的周长．【答案】(1)-4；(2)13或14【分析】（1）仿照例题的思路，配成两个完全平方式，然后利用偶次方的非负性，进行计算即可解答；（2）仿照例题的思路，配成两个完全平方式，再利用偶次方的非负性，先求出a ，b 的值，然后分两种情况，进行计算即可解答．解：（1）∵22421212x y xy y ++-+222231212x xy y y xy =+++-+2()3x y =++2(2)y -，=∴0x y +=，20y -=，∴2x =-，2y =，∴2(2)4=⨯-=-xy ．（2）∵2210841a b a b +=+-，∴2210258160a a b b -+++=-，∴22(5)(4)0a b -+-=，∴50a -=，40b -=，∴5a =，4b =．由于ABC 是等腰三角形，所以5c =或4．①若5c =，则ABC 的周长为55414++=；②若4c =，则ABC 的周长为54413++=．所以ABC 的周长为13或14．【点拨】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，三角形的三边关系，熟练掌握完全平方式是解题的关键．。

北师大版八年级下册数学[《因式分解》全章复习与巩固(提高)知识点整理及重点题型梳理]

北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《因式分解》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1.理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算；2．掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法；3. 了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.【知识网络】【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.要点二、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是，即，而正好是除以m所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.要点三、公式法1.平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：()()22-=+-a b a b a b2.完全平方公式两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即()2222a ab b a b ++=+，()2222a ab b a b -+=-.形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点四、十字相乘法和分组分解法十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b =⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++ 分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点五、因式分解的一般步骤因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【典型例题】类型一、提公因式法分解因式1、分解因式：(1)222284a bc ac abc +-；(2)32()()()()m m n m m n m m n m n +++-+-．【答案与解析】解：(1)2222842(42)a bc ac acb ac abc c b +-=+-．(2)32()()()()m m n m m n m m n m n +++-+-2()[()()()]m m n m n m n m n =++++--22()(22)m m n m mn n n =++++．【总结升华】在提取公因式时要注意提取后各项字母，指数的变化，另外分解要彻底，特别是因式中含有多项式的一定要检验是否能再分，分解因式后可逆过来用整式乘法验证其正确与否．2、利用分解因式证明：712255-能被120整除．【思路点拨】25＝25，进而把725整理成底数为5的幂的形式，然后提取公因式并整理为含有120的因数即可．【答案与解析】证明：712255-＝()721255- ＝141255-＝()122551-＝12524⨯＝115524⨯⨯＝115120⨯∴712255-能被120整除．【总结升华】解决本题的关键是用因式分解法把所给式子整理为含有120的因数相乘的形式．类型二、公式法分解因式3、放学时，王老师布置了一道分解因式题：()()()222244x y x y x y ++---，小明思考了半天，没有答案，就打电话给小华，小华在电话里讲了一句，小明就恍然大悟了，你知道小华说了句什么话吗？小明是怎样分解因式的．【思路点拨】把()()x y x y +-、分别看做一个整体，再运用完全平方公式解答．【答案与解析】解：把()()x y x y +-、看作完全平方式里的,a b ；原式＝()()()()22222x y x y x y x y ++--⨯+-⎡⎤⎣⎦＝()()22x y x y +--⎡⎤⎣⎦＝()23y x -．【总结升华】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，注意把()()x y x y +-、看作完全平方式里的,a b 是解题的关键．举一反三：【变式】下面是某同学对多项式()()2242464x x x x -+-++进行因式分解的过程．解：设24x x y -=原式＝()()264y y +++（第一步）＝2816y y ++（第二步）＝()24y +（第三步）＝22(44)x x -+（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（）．A 、提取公因式B ．平方差公式C 、两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底________．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________.（3）请你模仿以上方法尝试对多项式()()222221x x x x --++进行因式分解．【答案】解：（1）运用了C ，两数和的完全平方公式；（2）244x x -+还可以分解，分解不彻底；结果为()42x -. （3）设22x x y -=． ()()222221x x x x --++＝()21y y ++，＝221y y ++，＝()21y +2，＝22(21)x x -+，＝()41x -．4、（2016秋•海安县期末）因式分解：（1）22369xy x y y --；（2）()()413p p p -++.【思路点拨】（1）直接提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式即可；（2）先去括号，利用平方差公式分解因式即可.【答案与解析】解：（1）22369xy x y y -- ()2269y y xy x =--+()23y x y =--；（2）()()413p p p -++ 2343p p p =--+()()2422p p p =-=+-.【总结升华】此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键．举一反三：【变式】设22131a =-，22253a =-，…，()()222121n a n n =+--（n 为大于0的自然数）．（1）探究n a 是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出1a ，2a ，…，n a ，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n 满足什么条件时，n a 为完全平方数（不必说明理由）．【答案】解：（1）∵()()222221214414418n a n n n n n n n =+--=++-+-=，又n 为非零的自然数，∴n a 是8的倍数．这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数（2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．n 为一个完全平方数的2倍时，n a 为完全平方数类型三、十字相乘法和分组分解法分解因式5、分解因式：（1）()()222222x x ----（2）()2224420x xx x +--- （3）2244634a ab b a b -+-+-【答案与解析】解：（1）原式()()()()()()2222212211x x x x x x =---+=+-+- （2）原式＝()()()222224(4)204544x x x x x x x x +-+-=+-++()()()2512x x x =+-+（3）原式＝()()()()223242421a b a b a b a b ----=---+【总结升华】做题之前要仔细观察，注意从整体的角度看待问题.举一反三：【变式】（浦东新区校级期末）（x ﹣y ）2+5（x ﹣y ）﹣50．【答案】解：将（x-y ）看成一个整体，原式=（x ﹣y+10）（x ﹣y ﹣5）．6、已知长方形周长为300厘米，两邻边分别为x 厘米、y 厘米，且322344x x y xy y +--＝0，求长方形的面积．【思路点拨】把322344x x y xy y +--＝0化简成()()()22x y x y x y ++-，可得2x y =，由题意可得150x y +=，解方程组2150x y x y =⎧⎨+=⎩即可. 【答案与解析】解：∵322344x x y xy y +--＝0∴()()224x x y y x y +-+＝0∵()()()22x y x y x y ++-＝0∴2x y =，x y =-，2x y =-（不合题意，舍去）又由题意可得150x y +=解方程组2150x y x y =⎧⎨+=⎩解之得，x ＝100，y ＝50∴长方形的面积＝100×50＝5000平方厘米．【总结升华】本题是因式分解在学科内的综合运用，主要考查了分组分解法，提取公因式法和运用平方差公式法．举一反三：【变式】因式分解：221448x y xy --+，正确的分组是（）A ．22(14)(84)x xy y -+-B ．22(144)8x y xy --+C ．22(18)(44)xy x y +-+ D ．221(448)x y xy -+- 【答案】D ；当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中22448x y xy --+正好符合完全平方公式，应考虑2，3，4项为一组．。

北师大八年级数学下册因式分解

初中数学试卷金戈铁骑整理制作因式分解一、基本概念：1、分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式。

如：（1）()322232291263342x y x y xy xy x x y +-+-＝（2）))((22b a b a b a -+=-； 2、分解因式的基本要求：（1）最终结果要以乘积的形式表示；（2）每个因式必须是整式，并且每个因式的次数必须低于原来多项式的次数；（3）必须分解到每个因式不能再分解为止。

如：分解因式44x y -二、分解因式的基本方法： 1、提公因式法：问题1、将下列各式分解因式：（1）32642x x x -+ （2）222axy ax y axz --+（3）()()2362a b a a b --- （4）()()24312x x ---（5）222a ab ac bc -+- （6）()()22122nn x x +-+- （n 是正整数）练习：把下列各式分解因式：（1）33)(6)(3x y y y x x ---；（2）23)(6)(4a b b b a a ---；（3）)2()2()2(x c x b x a -+-+-；（4）)()(22m n xy n m y x ---．（5）)1)(32()23()1(52a a a a --+--；（6）))((3))((2y x z x y z y x y x ---+-++；（7）222)()()(b a ac a b a b a ab ---+--；（9）421212288+++++-m m m m y x yx；（8）3222)2(12)2(24)2(18x y x x y xy y x x -----）；（10）)(2)1(311n n n x x x x-+-++．2、公式法：逆用乘法公式：()()22a b a b a b -=-+()2222a ab b a b ++=+ ()2222a ab b a b -+=- ()()3322a b a b a ab b +=+-+ ()()3322a b a b a a b b-=-++ 问题2、把下列各式分解因式：（1）221164a b -（2）2925x -+（3）()()2223362a b a b +-- （4）4348x -（5）22m n m n -++ （6）229644a ab b ++（7）225101x x -+- （8）222212123m n m n m -+（9）()()22221a b a b -+-+ （10）()222x y x xy y -+-+问题3、把下列各式分解因式：（1）421681x x -+ （2）()22222x y xy x y +--（3）2222a b c bc --+ （4）()()221a b b a b +-+（5）()()221816m n m n --+- （6）2221x xy y -+-（7）3233x x x +-- （8）()()2222249x x xx ---++练习：1、把下列各式分解因式：（1）424y a - （2）224925y x -（3）448116n m -（4）22)3()32(4b a b a --+2、把下列各式分解因式：（1）mn n m 32922-+ （2）42222c abc b a -+-（3）16)4(8)4(222+-+-x x x x （4）2294942y x xy --（5）22222)(624b a b a +-（6）2222)(4)(12)(9b a b a b a ++---（7）a a -5（8）242455m b m a -问题4、已知4316x mx nx ++-有因式()()12x x --和，求,m n 的值。

新北师大八年级下因式分解复习PPT课件

3、小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了 x 的指数，他只知
道该数为不大于 10 的正整数，并且能利用平方差公式分解因
式，他抄在作业本上的式子是 x□－4y2(“□”表示漏抄的指
数)，则这个指数可能的结果共有( D )
A．2 种
B．3 种
C．4 种 D．5 种
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4、若 M＝a2－a，N＝a－2，则 M，N 的大小关系是( A )
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
D．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
图4－2
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A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不能确定
5、如图4－2①，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b)，把余下的部
分剪拼成一个矩了一个
等式，则这个等式是( )
D
A．(a＋2b)(a－b)＝a2＋ab－2b2
B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
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第针四对章训| 复练习
1、分解因式b2(x－3)＋b(3－x)的正确结果是( )
D
A．(x－3)(b2＋b)
B．b(x－3)(b＋1)
C．(x－3)(b2－b)
D．b(x－3)(b－1)
2、若多项式 x2＋mx＋4 能用完全平方公式分解因式，
则 m 的值可以是( D )
A．4 B．－4 C．±2 D．±4
(1)平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－_b__)； (2)完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±__b_)2.
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考点攻略
►考点一分解因式
例1 分解因式：a2bx2－a2bxy＋a2by2.

八年级数学下册《分解因式》知识点归纳北师大版

八年级数学下册《分解因式》知识点归纳北师大版第二章分解因式一、分解因式1.把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.2.因式分解与整式乘法是互逆关系.因式分解与整式乘法的区别和联系:整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.二、提公共因式法1、如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.如:2、概念内涵:因式分解的最后结果应当是"积";公因式可能是单项式,也可能是多项式;提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即:3、易错点点评:注意项的符号与幂指数是否搞错;公因式是否提"干净";多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉.三、运用公式法1.如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.2.主要公式:平方差公式:完全平方公式:3.易错点点评:因式分解要分解到底.如就没有分解到底.4、运用公式法:平方差公式:①应是二项式或视作二项式的多项式;②二项式的每项都是一个单项式的平方;③二项是异号.完全平方公式:①应是三项式;②其中两项同号,且各为一整式的平方;③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍.5、因式分解的思路与解题步骤:先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;再看能否使用公式法;用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.四、分组分解法:1、分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.如:2、概念内涵:分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式.3、注意:分组时要注意符号的变化.五、十字相乘法:1、对于二次三项式,将a和c分别分解成两个因数的乘积,,,且满足,往往写成的形式,将二次三项式进行分解.如:2、二次三项式的分解:3、规律内涵:理解:把分解因式时,如果常数项q是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p的符号相同.如果常数项q是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p.4、易错点点评:十字相乘法在对系数分解时易出错;分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.。

北师大版数学八年级下册第二章-因式分解-全章精品导学案

第二章《因式分解》§2.1 分解因式学习重点：1．理解因式分解的意义.2．识别分解因式与整式乘法的关系.学习难点：通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系. 一、自主复习：【填空】公式类：()()a b a b +-= 2()a b += （1）单⨯单：3a×4 （2）单⨯多：(35)a a b -= （3）多⨯多：(3)(2)x y x y -+= （4）混合乘：x （1）（1） = 二、独立探究问题：分解因式的概念1．自主学习教材p4344，其中p44做一做的前（1）—（5）是什么运算？做一做的后（1）—（5）与前（1）—（5）的关系是什么？2．分解因式的概念：把一个多项式化成的形式，这种变形叫做把这个多项式3．掌握分解因式概念应注意：（1）被分解对象是（2）分解因式的结果必须是几个的形式.（3）分解因式要一直分解到每个因式不能再为止. 4．与时反馈：完成书p45随堂练习三、小组合作探究：分解因式与整式乘法的关系1．议一议（1）由(1)(1)a a a +-=3a a -的变形是运算. （2）由3a a -=(1)(1)a a a +-的变形与（1）有什么不同？ 2．想一想分解因式与整式乘法有什么关系？()ma mb mcm a b c ++++因式分解整式乘法.因式分解与整式乘法是的变形.四、知识的运用例：下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不是分解因式？为什么？（1）1（1+x1）（2）()222424ab ac a b c +=+ （3）24814(2)1x x x x --=-- （4）222()ax ay a x y -=- （5）2224(2)a ab b a b -+=- （6）2(3)(3)9x x x +-=-五、课堂小结1．分解因式的概念：2．分解因式应注意：3．分解因式与整式乘法的关系六、课堂过关1．下列从左到右的变形，是分解因式的为（）A ．x 2－（x －1）B ．a （a －b ）2－ C ．（3）（a －3）2－9D ．x 2－21（x －2）+12．下列各式分解因式正确的是（） A. 223633(2)a x bx x x a b -+=- B. ()22xy x y xy x y +=+C.2()a ab ac a a b c -+-=-+-D.22963(32)abc a b abc ab -=-3.（1） 22()()a b a b a b +-=-的运算是（2） 3222(2)x x x x -=-的运算是 4．计算下列各式：（1）（）（a －b ）.（2）（）2.（3）8y （1）. （4）a （1）.根据上面的算式填空：（5）（）（）（6）a 2－b 2=（）（）（7）a 2+22=（）（）（8）8y 2+8（）（）§ 提公因式法（一）学习重点：能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来.学习难点：让学生识别多项式的公因式. 一、自主回顾：1、分解因式的概念.2、分解因式概念应注意什么？3、分解因式与整式乘法的关系二、自主学习1．公因式与提公因式法分解因式的概念. 自主学习教材p47，然后回答以下问题：⑴公因式：多项式的各项中都含有叫做这个多项式各项的公因式⑵提公因式法：把多项式中的提取出来的分解因式方法叫做提公因式法.2．独立将下列各式分解因式（1）32－3a2b; （2）2x3+2x2－6x;（3）－12a2242; （4）－x2y2－x3y3;三、小组合作探究：（1）怎么样确定一个多项式的公因式？确定公因式的步骤有哪些？答：①、②（2）提公因式要注意些什么？答：①、②（3）提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？四、知识运用：独立完成，教材的随堂练习、知识技能 P48~49五、课堂小结1．提公因式法分解因式的一般形式，如：（）.2．提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式的公因式.3．找公因式的一般步骤（1）若各项系数是整系数，取系数的；（2）取相同的，的指数取的；4．特别注意：①不要漏项②要防止出现符号问题六、课堂过关：将下列各式分解因式1．321510a a-；2．224x y xy-；3．64x y x z-； 4．222261530m n mn m n-+；5．432163256x x x--+；6．322462a b a b ab-+-；7．3174m m mx x x++++（m是自然数）；8．112416m n m nu v u v++-+（m，n是自然数）.§提公因式法（二）教学重点：能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行分解因式.学习难点：准确找出公因式，并能正确进行分解因式一、自主回顾：1．怎么样确定一个多项式的公因式？ 2．提公因式要注意些什么？二、自主学习：1．请在下列各式等号右边的括号前填入“＋”或“―”，使等式成立：（1）()____a b b a -=-；（2）()()22___m n n m -=-；（3）()()33___y x x y -=-；（4）()___b c b c --=+；（5）()2222___s t s t -+=-；（6）()()22___p q p q --=+.（7）m －n －（n －m ＋p ）；（8）（1－x ）（x －2）= （x －1）（x －2）（9）)(=-4y x )(4x y - （10）)(=-5y x)(5x y -2．根据1题情况进行归纳总结：一般地，关于幂的指数与底数的符号有如下规律（填“＋”或“―”号）：3．指出下列各式中的公因式：（1）()()23a b c b c +-+（2）()()23279a x y b x y +-+ （3）()()235m a b n b a ---4．自主学习教材p47，特别注意例2、3中用数学的什么思想？例3提公因式前做了什么样的变化？5．与时反馈：㈠完成教材第51的随堂练习题㈡把下列各式分解因式（1）5（x －y ）3+10（y －x ）（2）（b －a ）2（a －b ）（b －a ）（3）()()()222ab a b a b a ac a b --+---（4）m （m －n ）（p －q ）－n （n －m ）（p －q ）三、合作探究将()()()22331218y x x y y y x -+---分解因式，总结用提公因式法分解因式应注意什么？四、过关训练题1．把下列各式分解因式：（1）x 2y －323; （2）a （x －y ）－b （y －x ）（x －y ）;（3）2（x －y ）2+3（y －x ）; （4）()()23515m n n m -+-. （5）（－c ）（a －）+（b －）·（b －a －c ）（6）()()222kk x y y x +-+-；（7）()()2121k k x y y x +--+-. 2．不解方程组23431m n m n -=⎧⎨+=⎩求()()235222n m n n m ---的值.§ 运用公式法（一）学习重点：让学生掌握运用平方差公式分解因式.学习难点：将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力.一、自主回顾：独立回顾，整式乘法中的平方差公式是；其特点是 . 二、新课合作探究学习1．先独立自主学习教材p54，例1、例2用了怎样的方法分解因式？2．合作探究回答以下问题：①例2中解第1题用了什么思想？告诉我们还要注意些什么？解第2题告诉我们分解因式应先做什么再做什么？②公式a 2－b 2=（）（a －b ）特点：等号左边：（1）是一个_ ；（2）每项都可以化成数（或式）的_ ；（3）这两项的符号_等号右边：（1）是两数（或式）的和与这两数（或式）的差的积.（2）被减数是左边平方项为_ 的那个数（或式）3．独立完成教材第55页的练习题.三、理论知识运用例1 判断下列分解因式是否正确. （1）()222222a b c a ab b c +-=++- （2）()()()242221111a a a a -=-=+⋅-例2 分解因式（1）()()223649x y x y +--；（2）()()211x b x -+-（x －1）2（1－x ）;（3）（x 21）2－1. （4） 44a b -（5）()23228x x x +-；（6）()()2244x x x +++-. 四、课时小结1．①分解时先看是否有公因式，再考虑平方差公式. ②分解时一定要分解完整彻底.2．运用平方差公式应注意：五、课堂过关1、把下列各式分解因式：（1）49x 2－121y 2; （2）－25a 2+16b 2; （3）144a 2b 2－0.81c 2; （4）－36x 264492; （5）（a －b ）2－1; （6）9x 2－（2）2;（7）（2m －n ）2－（m －2n ）2;（8）49（2a －3b ）2－9（）2.2、利用分解因式说明257―512能被120整除.§ 运用公式法（二）学习重点：让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法.学习难点：让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式一、自主回顾：1．整式乘法中的完全平方公式是；2．乘法中的完全平方公式的特点二、新课合作探究学习1、先独立自主学习教材p57，例3、例4用了怎样的方法分解因式？其具备条件是什么？2、合作探究回答以下问题：①例4中解第1、2题分别告诉我们分解因式应先做什么再做什么？②公式a2+22=（）2; a2－22=（a－b）2特点左边的特点有（1）多项式是；（2）其中有，且此两项能写成两数（或两式）的形式；（3）另一项是这两数（或两式） .右边的特点：两数（或两式子）的和（或差）的平方，当中间的乘积项与首末两项的符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方；③形如的式子称为完全平方式3．独立完成教材第58页的练习题.三、理论知识运用例1、将下列各式分解因式（1）a2b2+816c2; （2）4（2a）2－12（2a）+9;（3）1442m－6mn2; （4）51x2y－x4－1002y （5）()422422412x x y y x y++-；（6）()()2222221m n m n-+-+例2、（1）若21y ky++是完全平方式，则k.（2）若23x x k-+是完全平方式，则k.（3）若2930a a m-+是完全平方式，则m.例3、在△中，已知三边a、b、c满足4224332220a ab b a b ab++--=，试判断△的形状.四、课时小结1、用完全平方公式分解因式.它与平方差公式不同之处是：（1）要求多项式有.（2）其中两项，且都可以写成某数（或某式）的，另一项则是这两数（或两式）的倍，符号可正可负.2、分解因式要一提（公因式）二套（公式）三要（分解要彻底）五、课堂过关1、把下列各式分解因式（1）－4－4x 2－y 2; （2）32+6a 23a 3; （3）（）2－10（）+25;（4）0.25a 2b 2－2; （5）x 2y －69y; （6）2x 3y 2－16x 232x; （7）16x 5+8x 3y24（8）()22241x x -+ （9）()()x x 2221619---+2、（1）若2210049x kxy y -+是完全平方式，则k . （2）若()292416x a x +-+是完全平方式，则a . （3）已知1x y -=，则221122x xy y -+的值为．§2.4 因式分解（二）——分组分解法一、分组分解法1、将多项式采用“先部分，后整体”的方法，将一个多项式分成若干个组，先在各组中因式分解，然后把各组的公因式提出，达到整体因式分解.2、用分组分解法来分解的多项式一般至少有四项，分组不是盲目的，要有预见性. 也就是说，分组后每组之间必须要有公因式可提取，或者分组后可直接运用公式.注意：多项式分组有多种，哪种分组是成功的分组，要经过尝试才能知道，这也正是分组分解法的难点. 有些多项式可以有多种分组的方法，而一些多项式的分组方法是唯一的. 因此，用分组分解法分解因式时，尝试分组是必要的步骤. 也许第一次就成功了，也许要经过几次才能找到成功的路子.3、分组分解法一般有两种情况（1）等项分组. 把多项式分成项数一样多的几组，先在每组中提公因式，再在各组间提公因式.如223322(33)(22)x xy xz yz x xy xz yz +--=+-+（2）按公式分组. 把多项式按公式分组后，各组分解后，再提公因式按其他方法因式分解.如222221(2)1a ab b a ab b -+-=-+- 4、分组分解应注意以下几个问题（1）在一个多项式用提公因式，公式法都不能分解时，应考虑用分组分解法因式分解.（2）分组时应考虑到分组后，各组是否有公因式或各组能用公式法继续分解，若不能即为分组不合适，应重新分组.（3）有的多项式分组方法并不唯一，但因式分解的结果是唯一的. 二、典型例题例1、分解因式：（1）2ab bc ac b --+ （2）393am bm b a -+- （3）22234334x y axz y z ax -+- （4）24144914m mx nx mn -+- 例2、分解因式：（1）2222a b a b -+- （2）22241299x xy z y --+ （3）224484x xy y --- （4）2244241m mn n m n ++--+ 三、课堂练习把下列各式分解因式：1.2323 axy ax ax y ay --+2. 222444 x xy y z -+-3. 322333 x x y xy y -+-4.2222224 b c b c a -+-（）四、课后作业 1.选择题：（1）下列分解因式，结果正确的是（）A ．55()(5)m n my ny m n y +--=+- B. 22()(1)m n m n m n m n +--=++- C. 2233()(3)a a b b a b a b ++-=++- D. 2221(2)(1)(1)x x y x x y y -+-=-+-+（2）分解因式后,结果等于(2)(3)a b +-的多项式是（）A. 236ab a b -+-B. 623b a ab --++C. 326ab b a -+-D. 623b a ab -+-+（3）把多项式233x xy y x -+-分解因式，下列分组不能得到最后结果的是（）A ．2(3)(3)x x y xy -+- B. 2(3)3x x y -+ C. 2()(33)x xy y x -+- D. 2(3)(3)x x y xy ---+ 2.填空题：（1）分解因式：ax by bx ay -+-= ；（2）分解因式：22x y ax ay --+= ；（3）分解因式：2221a ab b --+= ；（4）分解因式：2244(4)a ab b -++= ；（5）若2a b +=，则222a ab b a b ++++= ； 3.解答题：（1）若0a b +=，求332222a b a b ab -+-的值（2）若2222()(10)250x y x y ++-+=，求22x y +的值（3）计算：22621769473148-⨯-（4）分解因式(1)(2)6x x x --- （5）分解因式22()()ax by bx ay ++-§2.5 因式分解（二）——十字相乘法一、十字相乘法1、使用十字相乘法把二次三项x 2因式分解，如果常数项q分解成a 、b 两个因数的积，并且等于一次项系数p ，则二次三项式2x 2+（）（）（）2、使用十字相乘法把二次三项式2分解因式，如果二次项系数a 分解成a 1、a 2;常数项c 分解成c 1、c 2；并且1 c 2 a 2 c 1等于一次项系数b ,则二次三项式a x 21a 2x 2+（ a 1 c 2+ a 2 c 1） c 1c 2= （a 1 c 1）（ a 22）借助于画十字交叉线排列如下：二、典型例题例1、把下列各式分解因式：（1）256x x ++ （2）26x x -- （3）256x x +-例2、把下列各式分解因式：（1）26136x x ++ （2）2384a a -+ （3）22584y xy x --例3、把2()3()2x y x y ---+分解因式 ※例4、把2222(2)5(2)3x x x x ----分解因式三、课堂练习：将下列各式分解因式： 1. 2568x x +-2. 2221012x xy y --3. 222430x xy y --4. 25398x x --5. 262x x --6. 23415x x --7. 4223x x +- 8. 2222248x xy y x y ++--- 9. 222(2)(3)13x x x +++- 四、课后作业 1.选择题：（1）把多项式2151263x x --+分解因式的结果是（） A ．1(2)(31)6x x --+ B. 1(1)(32)6x x ---C. 1(2)(31)6x x -+-D. 1(1)(32)6x x -++（2）把多项式432235x x x +-分解因式的结果是（） A ．22(5)(7)x x x x -+ B. 22(235)x x x +- C. 2(5)(7)x x x +- D. 2(5)(7)x x x -+（3）在多项式 ①276x x ++；②243x x ++；③268x x ++；④2710x x ++⑤21544x x ++中，有相同因式的是（）A ．①② B. ②④ C. ②⑤ D.以上都不正确.（4）若二次三项式212(4)(3)x mx x x --+-分解成，则实数m 的值为（） A ．1B ．2C ．1-D ． 2-2.填空题：（1）分解因式：2121115x x --= ；（2）分解因式：22910a b ab --= ；（3）分解因式：282221x x --= ；（4）分解因式：222(5)16x x x --= ；3.把下列各式因式分解（1）225-6+73x xy y -（2）217366x x -++（3）222(2)7(2)8x x x x +-+-4.已知222314x xy y -+=，且7x y -=；求2x y -的值.5.若二次三项式23235(0)kx x k +-≠有一个因式是27x +；求k 的值与另一因式.第二章分解因式（单元归纳）学习重、难点：用提公因式法和公式法分解因式. 学习过程：一、自主复习：【回顾】1．分解因式的定义：把一个多项式化成，这种变形叫做把这个多项式分解因式.2．分解因式与整式乘法是变形. 3分解因式的主要方法是，，4．（1）平方差公式：a 22= （2）完全平方公式a 2±22=二、例题精讲（一）利用提公因式法分解因式例1 用提公因式法将下列各式因式分解.（1）34x z x y -+；（2）3x （）+2y （）；（3）（2a ）（2a -3b ）+（2a +5b ）（2a ）；（4）()()324121p q q -+-.（二）利用公式法分解因式例2 把下列各式分解因式.（1）（）2-4a 2；（2）1-1025x 2；（3）（）2-6（）+9.（4）（x 2+4）2-2（x 2+4）+1；（5）（）2-4（1）.（三）利用分组分解法分解因式例3 把下列各式分解因式.（1）bc ac ab a -+-2（2）bx by ay ax -+-5102（3）22144a ab b --- （4） a 2－b 2－a ＋b（四）利用十字相乘法分解因式例4 把下列各式分解因式.（1）22421x xy y --；（2） 2295x x +- （3）()()267a b a b +-+-；（4）()()22524x x -+-+（五）综合运用例5 ：用适当的方法把下列各式分解因式.（1）x 3-2x 2；（2）x 2（）2（）；（3）（x 2－2x ）2－4（x 2－2x ）－5 （4） a 2＋2＋b 2－－例6（1）试用简便方法计算：1982-396202⨯+2022 （2）若（1012+25）2－（1012－25）2=10n ，求n ．（3）若9m 2－128n 2－42p 2－44=0，求的值．（4）若x 220能在整数范围内因式分解，则k 可取的整数值有多少个（六）课后作业：1．下列因式分解正确的是（）A ．x 22=（）（x －y ）B ．x 2－y 2=（）（x －y ）C ．x 22=（）2D ．x 2－y 2=（x －y ）2 2．下列各式不是完全平方式的是（）A ．x 2+41 B ．x 2－22C ．x 2y 2+21 D ．m 2－1423．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（） A ．m 2－2 B ．（）2－4 C ．x 2－214D ．x 2+2x －1 4．某同学粗心大意，分解因式时，把等式x 4－■=（x 2+4）（2）（x －▲）•中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是（）A ．8，1B ．16，2C ．24，3D ．64，85．若129x 2是一个完全平方式，则k 应为（）A.2B.4C.2y2D.4y 26.若x 2+2（3）16, 是一个完全平方式，则m 应为（）5 B.3C.7D.7或-17.若n 为正整数，（11）22的值总可以被k 整除，则k 等于（）A.11B.22C.11或22D.11的倍数.8．多项式4x 2+1加上一个单项式后，使它成为一个整式的平方，则加上的单项式可以是．（填上一个你认为正确的即可） 9. 用适当的方法把下列各式分解因式.（1）（x 2－3）2＋（x 2－3）－2 （2）a 4－2a 2b 2－8b 4 （3）4－6x 3＋9x 2－16 （4） 12+22分解因式（5）()22241x x -+ （6）（x 42-4）（x 42+3）+10.。

北师大八年级下第二章分解因式的复习教案

第二章分解因式的复习一、分解因式的概念（一）概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。

（和差化积）易错点注意：1、被分解的代数式（等式的左边）是多项式；2、分解后的因式（等式的右边）是整式；3、结果是积的形式；4、结果的因式必须分解彻底。

（二）例：1、计算下列各式：(1)()a b (a b)+－ = ___ _ ___. (2)()2a b + = ___ _ ___.(3)()8y y 1+ = ___ _ ___. (4)()a x y 1++ = ___ _ ___.根据上述算式填空：(5)ax ay a ++ =( )( ) (6)22a b － =( )( )(7)22a 2ab b ++ =( )( ) (8)28y 8y + =( )( )小结：(1)～(4) 是初一所学的整式的乘法运算，而(5)～(8)的过程就叫分解因式，故分解因式与整式的乘法运算互为逆运算关系。

2、下列由左到右的变形，哪一个是分解因式（）A 、22))((b a b a b a -=-+B 、)1(4))((4422-+-+=-+-y y x y x y y xC、22)1(1)(2)(-+=++-+b a b a b a D 、)45(452xx x x x ++=++ 分析：等式的左边必须是一个多项式（是用加减号连接的式子）；右边的结果应当是几个整式的、积的形式 [ 即不能出现分式（分母含字母的式子）和加减号 ]，而且结果的每个因式都不能再被分解为止。

A 、是积化和差，右边是减式；B 、右边是和式；D 、右边含有分式4x，故选C 。

3、下列由左到右的变形，属分解因式的是（）A 、3355y x xy ⨯⨯= B 、()()4221644x x x -=+-C 、)54(5422b a ab ab ab b a -=+- D 、)54)(12(8185472++=++x x x x 分析：A 、左边是单项式，不是多项式；B 、分解不彻底，右边结果的分式()24x -还能再被分解为()()22x x +-，正确的结果是()()()4216422x x x x -=++-，C 、结果应当是)154(+-b a ab ，故选D 。

北师大版八年级下册数学《公式法》因式分解说课教学复习课件

随堂检测
1．判断正误（1）x²+y²=（x+y）（x－y）; （2）x²－y²= （x+y）（x－y）; （3）－x²+y²=（－x+y）（－x－y）; （4）－x²－y²=－（x+y）（x－y）.
（✘）（ ✔）（ ✘）（ ✘）
随堂检测
2. 某同学粗心大意，分解因式时，把等式x4－■=（x ²+4）（x+2）（x－▲）中的
=（a-4）²-1 =（a-3）（a-5）
举一反三
1. 若x ²+2（a+4）x+25是完全平方式，求a的值．解：∵x ²+2（a+4）x+25是完全平方式， ∴2（a+4）=±2×5，解得a=1或a=-9．故a的值是1或-9．
举一反三
2. 已知二次三项式x²﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x ²﹣4x+m=x²+（n+3）x+3n ∴n＋3=-4，m=3n．解得：n=﹣7，m=﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21.
解：∵a²+b²+c²=ab+bc+ac, ∴a²+b²+c²-ab-bc-ac=0 等式两边同乘以2，得 2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=0 （a²-2ab＋b²）＋（b²-2bc＋c²）＋（c²-2ac＋a²）=0 ∴(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0， a=b=c 即∆ABC为等边三角形

新北师大版八年级初二数学下册知识点总结归纳

欢迎阅读北师大版八年级数学下册各章知识要点总结第一章三角形的证明一、全等三角形判定、性质：1.判定(SSS) （SAS) (ASA) (AAS) （HL直角三角形）2.全等三角形的对应边相等、对应角相等。

二、等腰三角形的性质定理：等腰三角形有两边相等；(定义)定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1推论21.推论1推论22.1231性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

（外心）判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

2、角平分线。

性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

（内心）判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

第二章一元一次不等式和一元一次不等式组1.定义：一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。

2.基本性质：性质1：.不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变. 如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.（注：移项要变号，但不等号不变）性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 如果a>b,并且c>0,那么ac>bc,cb c a >. 性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 如果a>b,并且c<0,那么ac<bc, c b c a < 说明：比较大小:作差法a>b <===> a-b>0 a=b <===> a-b=0 a<b <===> a-b<03.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解4.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

北师大版八年级数学下知识点汇总

全册知识点总结第一章三角形的证明一、全等三角形判定、性质：定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；三、等腰三角形的判定推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

2. 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。

这种证明方法称为反证法四、直角三角形1 、直角三角形的性质直角三角形的两锐角互余直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

2 、直角三角形判定如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；3 、互逆命题、互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.五、线段的垂直平分线、角平分线1 、线段的垂直平分线。

性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

（外心）判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

2 、角平分线。

性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

（内心）判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

第二章一元一次不等式和一元一次不等式组1..定义：一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。

2.. 基本性质：性质1：.不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变. 如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.（注：移项要变号，但不等号不变）性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 如果a>b,并且c>0,那么ac>bc,性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 如果a>b,并且c<0,那么ac<bc,< span="">说明：比较大小: 作差法a>b <===> a- b> 0a=b <===> a- b= 0 a<b <===> a- b< 03.. 不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解4.. 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。