人教A版(选修1-1)《函数的单调性与导数》PPT课件

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函数的单调性与导数课件新人教A版选修

4．已知函数f(x)＝2ax－x3，x∈(0,1]，a＞0，若f(x)在(0,1] 上是增函数，求a的取值范围．
◎已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x，求f(x)的单调区间．
【错因】错解的原因是忽视了函数的定义域．本题中含有对数函数，首先应确定函数的定义域，再求导数f′(x)，进而判断单调区间．
常数函数
利用导数求函数单调区间的基本步骤
1．确定函数f(x)的__•_定__义__域___． 2．求导数f′(x)． 3．由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是__________；•增当函f′(数x)<0时，f(x)在相应的区间上是__________．•减函数 4．结合定义域写出单调区间．
1．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)可能为( )
解析：由函数f(x)的图象知f(x)在(－∞，0)上单调递增， ∴f′(x)>0，故排除A、C.又f(x)在(0，＋∞)上有三个单调区间，故排除B，故选D. 答案： D
求函数的单调区间
求下列函数的单调区间：
如果函数y＝f(x)的图象如图所示，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是( )
[思路点拨] 由函数y＝f(x)的图象可得到函数的单调情况，进而确定导数的正负，再“按图索骥”．
解析：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，只有选项A满足．
答案： A
1.利用导数符号判断单调性的方法：
(1)函数的定义域为R. y′＝2x2－4x＝2x(x－2)．令y′＞0，则2x(x－2)＞0，解得x＜0或x＞2. 所以函数的单调递增区间为(－ ∞，0)，(2，＋∞)．令y′＜0，则2x(x－2)＜0，解得0＜x＜2. 所以函数的单调递减区间为(0,2)．

数学：3.3《函数的单调性与导数》课件(新人教版A选修1-1)

上面是否可得下面一般性的结论:
1.回顾一下函数单调性的定义，利用导数的几何意义，研究单调性的定义与其导数正负的关系？在某个区间（a,b）内， ①如果f’(x)>0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增. ②如果f’(x)<0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.
1.如果在某个区间内恒有f’(x)＝0，那么函数f(x) 有什么特性？
本题用到一个重要的转化：
m≥f(x)恒成立 m f (x)max m f (x)恒成立 m f (x )min
练习2 若f (x)在（0， 1]上是增函数，求a的取值范围。
已知函数f (x)= 2ax - x 3，x (0, 1],a 0,
解：f (x)=2ax - x3在（ 0， 1]上是增函数， f '(x)=2a - 3x 0在（ 0， 1]上恒成立， 3 2 即：a x 在（0， 1]上恒成立， 2 3 2 3 而g( x ) x 在（0， 1]上的最大值为， 2 2 3 a 。 3 2 [ , )
练习: 已知 x 1 ，求证： x ln( x 1)
提示:运用导数判断单调性,
根据函数的单调性比较函数值大小
单调性的定义
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1 ， x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x) 在区间D上是增函数．
对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或单调递减的性质，叫做f(x)在这个区间上的单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间。
解: (3) 因为
, 所以
因此, 函数
在

人教A版高中数学选修1-1课件-函数的单调性与导数

跟踪练习1
求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝3x2－2ln x； (2)f(x)＝x2·e－x； (3)f(x)＝x＋1x.
[解析] (1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝6x－2x＝23xx2－1，
令 f′(x)＞0，得 x2＞13，∴x＞ 33，
令
f′(x)＜0，得
跟踪练习3
(2020·阜阳高二检测)函数 y＝f(x)在定义域(－32，3)内可导，其图象如图，记 y＝f(x)的导函数为 y＝f ′(x)，则不等式 f ′(x)<0 的解集为___(－__13_，__1_)_∪__(_2_,3_)____.
[解析] 函数 y＝f(x)在区间(－13，1)和区间 (2,3)上单调递减，所以在区间(－13，1)和区间(2,3) 上，y＝f ′(x)<0，所以 f ′(x)<0 的解集为(－13， 1)∪(2,3)．
第三章
导数及其应用
3.3 导数在研究函数中的应用
3.3.1 函数的单调性与导数
1
自主预习 ·探新知
2
互动探究 ·攻重难
3
课堂达标 ·固基础
4
课时作业 ·练素能
自主预习·探新知
“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点(大约是在距地面高度25 m到 30 m处)时爆裂，烟花冲出后的运动线路是呈抛物线形的，为了达到释放烟花的最佳效果，烟花设计者按照有关的数据设定引线的长度，如果让你来设计，应当如何进行呢？
2．函数y＝x3＋x的单调递增区间为( )
D
A．(0，＋∞)
B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)

新版高中数学人教A版选修1-1课件3.3.1函数的单调性与导数

-3-
3.3.1 函数的单调性与导数
首页
课前预习案新知导学
课堂探究案答疑解惑
当堂检测
【做一做1】若函数f(x)的导数f'(x)=x(x-2),则f(x)在区间上
单调递减.
解析:令f'(x)=x(x-2)<0,解得0<x<2,
所以f(x)在区间(0,2)上单调递减.
答案:(0,2)
【做一做2】若g(x)=ex+4x,则g(x)的单调递增区间是
π,
3π 2
上是单调递增函数.
思路点拨:(1)判断在哪个区间上 f'(x)<0 即可;(2)证明在区间
π,
3π 2
上总有 f'(x)>0.
-7-
3.3.1 函数的单调性与导数
首页
课前预习案新知导学
课堂探究案答疑解惑
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(1)解析:由于 f'(x)=(1+ln��)'·��-2(1+ln��)·��' = -l��n2��, 当 x∈(1,e)时,f'(x)<0,所以 f(x)在(1,e)上单调递减,故选 C.
3.3.1 函数的单调性与导数
-1-
3.3.1 函数的单调性与导数
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课前预习案新知导学
课堂探究案答疑解惑
当堂检测
学习目标
1.理解函数的单调性与其导数之间的关系; 2.掌握利用导数判断或证明函数单调性的方法; 3.掌握利用导数求函数单调区间的方法; 4.理解函数图象与其导函数图象之间的关系.

3.3.1函数的单调性与导数课件(人教A版选修1-1)

第三章
章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1、1-2合订
[解析]
解法一：f ′(x)＝x2－ax＋a－1，
令 f ′(x)＝0 得 x＝1 或 x＝a－1. 当 a－1≤1，即 a≤2 时，函数 f(x)在(1，＋∞)内单调递增，不合题意．当 a－1>1，即 a>2 时，f(x)在(－∞，1)和(a－1，＋∞)上单调递增，在(1，a－1)上单调递减，由题意知：(1,4)⊆(1，a －1)且(6，＋∞)⊆(a－1，＋∞)，所以 4≤a－1≤6，即 5≤a≤7.
学习要点点拨
第三章
章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1、1-2合订
1．函数的单调区间是定义域的子集，利用导数的符号判断函数的单调性和求函数的单调区间，必须先考虑函数的定义域，写函数的单调区间时，一定要注意函数的不连续点和不可导点． 2．y＝f(x)在(a，b)内可导，f ′(x)≥0 或 f ′(x)≤0 且 y＝ f(x)在(a，b)内导数为 0 的点仅有有限个，则 y＝f(x)在(a，b)内仍是单调函数，例如：y＝x3 在 R 上 f ′(x)≥0，所以 y＝x3 在 R 上单调递增．
(2012～2013 学年度重庆南开中学高二期末测试)已知三次函数 f(x)＝x3＋ax＋b 在 x＝0 处的切线为 y＝－3x－2. (1)求 a，b 的值； (2)求 f(x)的单调区间．
第三章
章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1、1-2合订
[解析]
第三章
章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1、1-2合订

2019-2020学年人教A版选修1-1 导数与函数的单调性、极值、最值问题课件(40张)

又切线过点(－e，－1)，所以有 n＋1＝m1 (m＋e)．再由 n＝ln m，解得 m＝e，n＝1. 故点 A 的坐标为(e，1)．答案：(e，1)
4.x2＋2ax6的展开式的中间项系数为 20，如图阴影部分是由曲线 y＝x2 和圆 x2＋y2＝a 及 x 轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积 S＝ ________．
于是 m＝－2a73＋2，M＝42－，a2， ≤0a<<3a.<2，
所以 M－m＝22a7－3，a2＋≤2a7a3，<30. <a<2，当 0<a<2 时，可知 y＝2－a＋2a73单调递减，所以 M－m 的取值范围是287，2. 当 2≤a<3 时，y＝2a73单调递增，
所以曲线在点(π，－1)处的切线方程为 y－(－1)＝－ 2(x－π)，即 2x＋y－2π＋1＝0.
答案：C
2．(2017·全国卷Ⅱ)若 x＝－2 是函数 f(x)＝(x2＋ax
－1)·ex－1 的极值点，则 f(x)的极小值为( )
A．－1 B．－2e－3
C．5e－3 D．1
解析：f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]·ex－1，
所以 f′(x)＝2－xb2＋1x＝2x2＋x2x－b. 因为 x＝1 是 f(x)＝2x＋bx＋ln x 的一个极值点，所以 f′(1)＝0，即 2－b＋1＝0. 解得 b＝3，经检验，适合题意，所以 b＝3. 所以 f′(x)＝2－x32＋1x＝2x2＋x2x－3，令 f′(x)<0，得 0<x<1. 所以函数 f(x)的单调递减区间为(0，1)．
则 f′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]·e－3＝0⇒a＝－1，
则 f(x)＝(x2－x－1)·ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)·ex－1，

高中数学人教A版选修1-1课件3-3-1函数的单调性与导数1

(2)导数与函数图象的关系
函数值增加得越来越快函数值增加得越来越慢 f′x＞0且越来越大 f′x＞0且越来越小
函数值减少得越来越快函数值减少得越来越慢
f′x＜0且越来越小 f′x＜0且越来越大
绝对值越来越大
绝对值越来越小
变式训练
已知函数 y＝xf′(x)的图象如图 3－3－2 所示(其中 f′(x) 是函数 f(x)的导函数，下列四个图象中，y＝f(x)的图象大致是
【解析】由 y＝4x2＋1x，得 y′＝8x－x12.
令 8x－x12＞0，得 x＞12.
【答案】 C
3．函数 y＝2－3x2 在区间(－1,1)上的增减性为( )
A．增函数
B．减函数
C．先增后减
D．先减后增
【解析】 y′＝－6x，故当 x∈(－1,0)时，y′＞0；当 x ∈(0,1)时，y′＜0，所以原函数在区间(－1,1)上先增后减．
教学重难点
重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．
难点：利用导数信息绘制函数的大致图象．采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，图、表并用，使抽象的知识直观化，形象化，以促进学生的理解，以达到突破重点、难点的目的．
为使学生积极参与课堂学习，宜采取以下学习方法： 1．合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题； 2．自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动； 3．探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知．
(2)此函数的定义域为 R. y′＝3x2－4x＋1，令 3x2－4x＋1＞0，解得 x＞1 或 x＜13. 因此 y＝x3－2x2＋x 的单调递增区间为(1，＋∞)，(－∞，13)．再令 3x2－4x＋1＜0，解得13＜x＜1. 因此 y＝x3－2x2＋x 的单调递减区间为(13，1)．

高中数学人教A版选修1-1课件：3.3.1《函数的单调性与导数》

即h(t)是增函数.相应地,v(t) h(t) 0 ．
（2）从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间 t的增加而减少,
即h(t)是减函数.相应地,v(t) h(t) 0 ．
函数的单调性可简单的认为是：
若 f (x2 ) f (x1) 0,则函数f (x)为增函数 x2 x1
通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的,那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢?
复习引入：
问题1：函数单调性的定义怎样描述的? 一般地，对于给定区间D上的函数f(x)，若对于属于区间D的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，有 (1)若f(x1)<f (x2) ，那么f(x)在这个区间上是增函数. (2)若f(x1)>f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数.
可把 f (x2 ) f (x1) 看作 y f (x2 ) f (x1)
x2 x1
x
x2 x1
说明函数的变化率可以反映函数的单调性，即函数的导数与函数的单调性有着密切的联系.
上述情况是否具有一般性呢?导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率,函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的,那么函数的单调性与导数有什么关系呢?
若f(x)在区间(a,b)上是增函数,
则转化为 f '(x) 0 在(a,b)上恒成立;
若f(x)在区间(a,b)上是减函数,
则转化为 f '(x) 0 在(a,b)上恒成立.
利用导函数判断原函数大致图象例1、已知导函数的下列信息：
试画出函数f(x)图象的大致形状。

课件函数的单调性与导数人教A版高中数学选修PPT课件_优秀版

1.如图所示是函数f ( x)的导函数f ( x)的图像，则下列判断中正确的是(_C__)
y
A.函数f ( x)在区间(3,2)上是减函数
B.函数f ( x)在区间(0,2)上是减函数
-3
3
C.函数f ( x)在区间(3,0)上是减函数
O 12
4 x D.函数f ( x)在区间(3,2)上是单调函数
函数及图象
切线斜率 k的正负
导数的正负
单调性
g(a)<0<f(b)
y
B.
∴－1,4是方程f′(x)＝0的两根，y x
解因为h(x)在[1,4]上单调递增，当 x > 4 , 或 x < 1时, , f ’(x)＜0
正
(1)确定函数f(x)的定义域O.
x
f '( x) 0 在R上单增
根据导数与函数单调性的关系，在函数定义域的某个区间(a，b)内求函数单调区间的一般步骤:
(2)可导函数f ( x)在区间a, b上存在单增(减)区间 f (x) 0( f (x) 0)在区间a,b上有解
(3)可导函数f ( x)的单调区间是a, b
a,b是f (x) 0的两根.
合作探究题型三：已知函数单调性求参数的取值范围
例3 已知函数f (x) ln x，g(x) 1 ax2 2x, a 0
解： y
归纳：原函数看“单调”，
导函数看“正负”.
O1
4
x
变式: 试根据 f(x)的图象画出 f '(x)的大致图象.
合作探究 2.利用导数求函数的单调区间
学生阅读完成教材P24-P25例2，并归纳总结方法.
求可导函数单调区间的一般步骤根据导数与函数单调性的关系，在函数定义域的某个区间(a，b) 内求函数单调区间的一般步骤: (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求导数f'(x). (3)解不等式f'(x)＞0或f'(x)＜0，如果f'(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增;如果f'(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减. (4)规范写出单调区间.

高中数学函数的单调性与导数课件新人教A版选修1-1

见右图。
第十三页，编辑于星期五：十点四十五分。
(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1 ;
解： f (x)=6x2+6x-24=6(x2+x-4)>0
当 f (x) >0，
即 x1 17或 x117 时，
2
2
函数单调递增；
第十四页，编辑于星期五：十点四十五分。
当 f (x) <0，
即 1 17x1 17时， y
(3)不等式组
x f
A ( x )
0
的解集为f(x)的单调增区间；
(4)不等式组 x A
f
( x )
0
的解集为f(x)的单调减区间；
第二十一页，编辑于星期五：十点四十五分。
例3、如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象。
函数的单调性与其导函数正负的关系
求函数的单调区间的一般步骤
第二十五页，编辑于星期五：十点四十五分。
第二十六页，编辑于星期五：十点四十五分。
第二十七页，编辑于星期五：十点四十五分。
第二十二页，编辑于星期五：十点四十五分。
第二十三页，编辑于星期五：十点四十五分。
练习4 如图，直线l和圆c，当l从l0开始在平面上绕点O匀速旋转(旋转角度不超过90o) 时，它扫过的圆内阴影局部的面积S是时间 t的函数，它的图象大致是〔〕。
第二十四页，编辑于星期五：十点四十五分。
小结:
其图象的大致形状如图。
第十页，编辑于星期五：十点四十五分。
例2、判断以下函数的单调性，并求出单调区间：

【人教A版】2012新课标选修1-1数学课件3.3.1函数的单调性与导数

间(0,2)上是单调递增函数．
• [题后感悟] (1)如何利用导数判断或证明函数的单调性？
• 利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式 f′(x)>0(f′(x)<0)在给定区间上恒成立．一般步骤为：①求导数f′(x)；②判断f′(x)的符号；③给出单调性结论．
•3．3 导数的应用
•3.3.1 函数的单调性与导数
• 1.通过实例了解函数导数的符号与函数单调性之间的关系；
• 2.能够利用导数研究函数的单调性； • 3.会求函数的单调区间.
• 1.利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间．(重点)
• 2.利用数形结合思想理解导函数与函数单调性之间的关系．(难点)
解析：函数的定义域为(0，＋∞)．
因为 y′＝ln x＋1，令 y′>0，得 x>1e；
令
y′<0，得
1 x<e.
所以函数 y＝xln x 在0，1e上是减函数，在1e，5上是增
• 函答数案．： C
3．若函数 y＝a(x3－x)的单调减区间为－ 33， 33，则 a 的取值范围是________．
【错因】求单调区间时，先确定定义域．本题函数定义域为 (0 ，＋ ∞) ，本解答由于没有确定定义域导致出现－∞，－12和－12，0这样的单调区间．单调区间不能用并集表示．
【正解】由题设函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝4x－1x＝4x2x－1，由 f′(x)＞0 得 x＞12，由 f′(x)＜0 得 0＜x＜12， ∴函数 f(x)＝2x2－ln x 的单调增区间为12，＋∞，减区间为0，12.